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I.P.T. EL SILENCIO MATEMÁTICA 8

REPÚBLICA DE PANAMÁ MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN REGIONAL DE BOCAS DEL TORO INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO EL SILENCIO

OCTAVO GRADO PRIMER TRIMESTRE 2020

MÓDULO INSTRUCCIONAL

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS

NIVEL: 8° B,C

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:

____________________

PROFESOR:

RAÚL LIN

EL SILENCIO, CHANGUINOLA

Correo electrónico: [email protected]


Tema N° 1 Números irracionales

Objetivo de aprendizaje: Escribe, lee, identifica y denota números reales e irracionales, valorando su utilidad y aplicándolos correctamente en situaciones de la vida real.

Los números racionales son aquellas cantidades que se pueden representar como la razón

de 𝑎

𝑏 donde a y b son cantidades enteras y b ≠ 0.

Ejemplos:

10

3

𝑎

𝑏 = 3,333333333…

√2 = 1,414213562…

√3 = 1,732050808…

Los ejemplos anteriores le permiten comprender que hay números que no son racionales,

es decir, que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros; por esta

razón se les llama números irracionales.

Otra característica de los números irracionales es que al ser expresarlos en forma decimal

nunca se obtiene un decimal exacto, es decir, siempre el cociente de dos números enteros,

es un decimal no periódico infinito.

El conjunto de los números irracionales se denota por la letra I.

Podemos observar cómo se representa el conjunto de los números irracionales (I) en la

recta numerada:


Observa otros ejemplos de números irracionales:

• 0,707106781…

• √11

• 0,577350269…

• 3,1415926535897932…

• 3,7114285714…

• 1,8571142857…

• 0,112903225…

• 0,144483162…

• 0,072241581…

• 1,056061562…

El orden de los números Irracionales

Al estudiar la representación gráfica del conjunto de los números irracionales podremos

comprobar que al comparar dos números irracionales podemos decidir cuál es el número

mayor, cuál es el número menor o saber si los números son iguales, aplicando las relaciones

de orden (˂, ˃, =).

Observa los siguientes ejemplos:


• √5 ˃ -1

• 𝜋 ˃ -√6

• √6 = √6

• - 𝜋 ˂ 𝜋 • 3,141592… ˃ 1,41421…

• 1,414213562… ˃ - 1,7322050808…

• 0,112903255… ˂ 0,577350269…

Los ejemplos presentados nos permiten concluir que:

¨ Los números irracionales, son aquellos cuya expresión decimal es infinita y no periódica¨.

Observa que los números irracionales no tienen periodos que se repitan.

En general, la raíz cuadrada de cualquier número que no es cuadrado perfecto, es un

numero irracional.


Práctica # 1

I Parte. Encierra en un círculo los números irracionales que aparecen a continuación:

14

7 = 2

𝜋

1,1666666667…

10

1000 = 0,01

0,072241581 …

0,9090909090…

II Parte. Compara los siguientes números irracionales. Para ello escribe ˂, ˃ o = según

corresponda.

• √2 ____ 1,359140914…

• 𝜋 ____ √10

• √5 ____ √5

• 7,1414284… ____ 7,0710678…

• 1,414213562… ____ 1,8322050808…

• 0,132913255… ____ 0,0477350269…

Criterios a Evaluar Puntos

Respuesta correcta 1




Taller Individual 1

Estudiante: ____________________ Nivel: 8° ______ Fecha: ____________

Valor: 32 puntos

I Parte. Compara los siguientes números irracionales. Para ello escribe ˂, ˃ o = según

corresponda. Valor 6 puntos

• √2 ____ 1,759140914…

• 𝜋 ____ √2

• √7 ____ √7

• 7,1414284… ____ 7,0710678…

• 1,414213562… ____ 1,5322050808…

• 0,132913255… ____ 0,0877350269…

II Parte. Sopa de Letras. En el conjunto de letras localiza las siguientes palabras y coloréalas

cada una. Además, debe investigar su definición y agregarlas en el cuaderno. Valor 2 puntos

c/u.

NÚMEROS IRRACIONALES, EXPRESIÓN DECIMAL, DECIMAL EXACTO, DECIMAL NO PERIÓDICO, DECIMAL INFINITO


III Parte. Localización en la recta. Valor 14 puntos.

Indicaciones: localizar en la recta numérica los siguientes números irracionales. Utilice

página milimetrada √2, √3

Criterios de evaluación: ubicación 3 puntos, orden y aseo 2 puntos, responsabilidad 2

puntos.


Ejercicio # 1


Valor: 16 puntos

I Parte. Encierra en un círculo los números irracionales que aparecen a continuación:

16

4 = 4

𝜋

1,1666666667…

10

10000 = 0,001

0,072241581 …

0,9090909090…

II Parte. Compara los siguientes números irracionales. Para ello escribe ˂, ˃ o = según

corresponda.

• √2 ____ 1,359140914…

• 𝜋 ____ √10

• √3 ____ - √3

• 7,1414284… ____ 7,0710678…

• 1,414213562… ____ 1,8322050808…

• 0,132913255… ____ 0,0477350269…

III Parte. Localización en la recta. Valor 8 puntos.

Indicaciones: localizar en la recta numérica los siguientes números irracionales. Utilice

página milimetrada √5

Criterios de evaluación: ubicación 4 puntos, orden y aseo 2 puntos, responsabilidad 2

puntos.






Tema # 2

El conjunto de los números reales (R)

Objetivo de aprendizaje: Escribe, lee, identifica y denota números reales e irracionales, valorando su utilidad y aplicándolos correctamente en situaciones de la vida real.

Los Números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver un

sin fin de problemas. Actualmente lo vemos como algo ya terminado y tendremos que creer

que siempre existieron así; sin embargo, en cada época, cuando se introdujo algún número

nuevo o grupo de números nuevo, se suscitaron polémicas muy fuertes y estos números

tardaron muchos años en ser aceptados por la comunidad en general.

Los primeros números que surgieron históricamente fueron los números naturales 1, 2, 3,

4,... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, es más práctico

considerarlo dentro de los números naturales.

Denotamos por N al conjunto de los números naturales, es decir= {0, 1, 2, 3,4,.....}Uno de

los problemas que nos enfrentamos al considerar únicamente los números naturales, es

que al restar dos de ellos, el resultado no siempre es otro natural. Por ejemplo 5 - 8 en la

primaria nos enseñaron que "no se puede efectuar", y lo que sucede es que la respuesta no

es un número natural.

Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números

enteros negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros =

{...,-4, -3, -2, -1-0, 1, 2, 3,4,...}

Así como enfrentamos el problema de no poder restar si tenemos sólo números naturales,

también enfrentamos el problema de no poder dividir si tenemos solo números enteros;

por ejemplo si dividimos 5/3 no obtenemos un número entero, por lo que es necesario

ampliar el conjunto de números.

Consideremos ahora el conjunto de los números racionales, que son aquellos que pueden

escribirse como cociente de dos números enteros, donde el denominador es diferente de

0.Q= {p/q p, q, € Z, q≠0},

Observemos que todos los números se pueden escribir como el cociente de él mismo entre

uno, n= n/1, por lo que todo número entero es un número racional; así, N c Z c Q

Características o propiedades de los números reales

El conjunto de los números reales es un conjunto completo.


Existe una relación entre el conjunto de los números reales y la recta numérica, que afirma lo siguiente: para cada número real existe uno y solo un punto que lo representa en la recta numérica.

Es posible mostrar que la recta no contiene ningún “agujero”. Por lo tanto el conjunto de los números reales es completo (esta ley se la conoce como Axioma de Completitud).

El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado.

En la recta numérica, si se comparan dos números reales cualesquiera, aquel que está más a la izquierda es menor que aquel que está más a la derecha. Además de eso, si están en el mismo punto, son iguales.

Axiomas de los números reales

Dados los números reales a, b y c, las siguientes propiedades operatorias son válidas:

Asociatividad:

a·(b·c) = (a·b)·c


a + (b + c) = (a + b) + c

Conmutatividad:

a·b = b·a

a + b = b + a

Existencia de elemento neutro único para la suma y para la multiplicación:

a + 0 = a

a·1 = a

Existencia de elemento inverso único para la suma y para la multiplicación:

a + (– a) = 0

a· (1/a) = 1

Distributividad

a · (b + c) = a·b + a·c


Representación gráfica de los números reales

En la recta numérica, la representación de números reales se puede hacer con una exactitud

aproximada, sin embargo, se pueden usar técnicas para representarlos de forma exacta.

Como en el siguiente ejemplo de √7 :

Allí se puede ver que la raíz de 7 se puede descomponer para poder trazar un triángulo que

cumpla con el teorema de Pitágoras.

Primero se descompone √7 en suma de cuadrados:

√7 = 22 + (√3)2

Los sumandos de esta adición serán los puntos en el eje cartesiano que nos darán la

ubicación del número en cada uno de los ejes del plano. La raíz de tres. Para ello primero se

debe representar la raíz de 2 o √2 a cual se obtiene al trazar un triángulo cuyos catetos

tengan valor de uno y cuya hipotenusa será igual a √2. El vértice superior luego se debe

trasladar de forma circular y con pivote en cero hasta llegar a la línea horizontal o eje X:

Con esta representación hecha, se procede a buscar √3, ya que al descomponer este número, obtenemos que:

√3=12+(2)2


Por lo tanto, en la recta numérica se debe ubicar un punto entre estos dos sumandos,

sean 1 y √2 de tal modo que el gráfico, sobre el gráfico anterior quedaría de esta manera:

Finalmente, ya tenemos la ubicación de √3 en el eje X y 2 de en el eje Y. Ahora se procede

a ubicar a √7 en la recta numérica, así:

Cuando grafiquemos números reales debemos tener en cuenta que:

A cada número real le corresponde un punto sobre la recta númerica.

A cada punto sobre unalinea recta le corresonde exactamente un número real.

Debido a que todo punto en la recta numérica corresponde a un numero real, decimos que

el conjunto de R de los numeros reales es completo.

Entre dos numeros reales cualquiera, hay una infinidad de numeros reales entre ellos.


Relaciones de Orden

El conjunto de los números reales R es un conjunto ordenado. Si a y b son números reales,

se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

a = b

a ˃ b

a ˂ b

Ejemplos

• √3 ˃ -√3

• 11

5 = 2,2

• 2,2 ˂ 𝜋

Operaciones con Números Reales

Adición de los números reales

La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre

dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se

tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes

propiedades:

• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no

altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a + b = b + a

Ejemplos:

• 3.25 + 1.04 = 4.29, y también 1.04 + 3.25 = 4.29

• 15.87 + (–2.35) = 13.52, y también –2.35 + 15.87 = 13.52

• Asociatividad. Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe

primero. Si a, b y c son tres números

reales, la asociatividad dice que:

a + (b + c) = (a + b) + c

Ejemplos:


• 0.021 + (0.014 + 0.033) = 0.021 + 0.047 = 0.068, y también (0.021 + 0.014) + 0.033 = 0.035

+ 0.033 = 0.068

• –186.3 + (–223.6 + 202.1) = –186.3 + (–21.5) = –207.8, y también [–186.3 + (–223.6)] +

202.1 = –409.9 + 202.1 =–207.8

Como da igual en qué orden se efectúen las sumas, lo usual es prescindir de los paréntesis,

y marcar sólo a + b + c. En nuestros ejemplos, tenemos entonces 0.021 + 0.014 + 0.033,

o bien –186.3 + (–223.6) + 202.1.

Las propiedades de la conmutatividad y la asociatividad son utilizadas cuando en una suma

"acomodamos" los sumandos para facilitar el proceso. Por ejemplo, cuando compramos

pan de dulce en una panadería, la dependienta va sumando los precios de las distintas

piezas de tal modo que los resultados intermedios sean "cómodos". Digamos que las piezas

que tenemos en la charola cuestan $1.50, $0.70, $0.80, $1.30, $0.50 y $1.20.

Una manera en que se puede efectuar la suma mentalmente

es esta:

Veamos otras propiedades de la suma:

• Elemento neutro. El número real 0 sumado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es

un número real, entonces

a + 0 = a

Ejemplos:

• 8763.218 + 0 = 8763.218

• 0 + (–56.41) = –56.51

• Elemento inverso. Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si

se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces

a + (–a) = 0


Ejemplos:

• El inverso aditivo de 87.36 es –87.36, porque 87.36 +

(–87.36) = 0

• El inverso aditivo de –4.13 es 4.13, porque –4.13 + 4.13 = 0.

La resta de Números Reales

La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números. Las siguientes reglas

pueden recordarle cómo es esto:

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo,

se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo:

28.7 – 11.2 = 17.5

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo,

se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo:

11.2 – 28.7 = –17.5

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos

números y al resultado se le pone el signo menos. Por ejemplo:

–28.1 – 11.2 = –39.3

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo:

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo:

28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3


Practica # 2

I Parte. Clasifica cada número marcando el o los conjuntos a los que pertenezca. Para eso,

completa la tabla con un x. Criterio de evaluación 1 punto cada respuesta correcta.

Número Q R I

3 + √2

-1

1,112233… 17

3

2.25

0

√3

2

𝜋

II Parte. Escribe el signo >, = o < según corresponda:

a) –5 ____ 0

b) 37

____ - 5

c) –6,40 ____ 21

d) 43

____ 0,8

e) - 3 ____ 35

f) –2 ____ -6

g) –8 ____ 15

h) 0 ____ –3

i) 4

3

____ 0,75

j) 5

3

____ 40

24




III Parte. Resuelva las siguientes adiciones y sustracciones.

• 0, 324 − 3

4 −

1

8

• 2 − 1

4− (−

1

8) −

1

10

• 9

4+

1

2− 10,25

• 7

2+ 0,66 − √3

• −2

3+

5

2+ √2


Procedimientos 2



Taller # 2


Valor: 21 puntos

I Parte. Relaciona, con una línea, cada igualdad con la propiedad de la adición que la

justifica. Criterio de evaluación 1 punto cada respuesta correcta. Valor 6 puntos

II Parte. Parte. Resuelva las siguientes adiciones y sustracciones. Valor 15 puntos.

• 0, 236 − 1

4 −

1

5

• 3 − 1

4− (−

1

2) −

1

10

• 9

4+

1

2− 10,25

• 9

2+ 0,45 − √3

• −2

3+

5

2+ √2


Procedimientos 2



OBSERVACIÓN: todas las prácticas deben realizarse en el cuaderno, enviar los

talleres y ejercicios al correo electrónico. Además, puede escribir para las consultas

de las asignaturas al correo. Algunas fechas pueden variar de acuerdo a la situación

de salud con el coronavirus.

Pueden complementar el material con apoyo de contenidos de la plataforma Khan

Academy, Ayudinga y contenidos de internet.

Seguir todas las recomendaciones del Ministerio de Salud para combatir el

coronavirus.

[email protected]

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES Temas Actividad Fecha

Números Irracionales

Origen

Notación

Características

La recta numérica.

Práctica 1 Taller individual 1 Ejercicio 1

Miércoles 25 De marzo. Lunes 30 de marzo Miércoles 1 de abril

Conjunto de Números Reales

Concepto y Notación.

Recta numérica con números reales.

Relación de Orden (<,>,=).

Operaciones con números reales y

sus propiedades.

Adición, sustracción

Práctica 2 Taller individual 2

Viernes 3 de abril Martes 7 de abril

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