Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ciencias

Departamento de Física

Laboratorio de Física 1

Práctica de Laboratorio 4

Elasticidad

Nombre: Carmen Alejandra Ponciano Tobar

Carné: 200915420

Sección: C+

Instructor: Luis Velasquez.

Fecha: 23/03/2010

1

Introducción

El tema que se tratará en este reporte científico es la Elasticidad de los Materiales. Cuando se

realiza un esfuerzo sobre un material este se deforma. Los materiales tienen una medida de rigidez

llamada módulo de elasticidad de Young.

Todos los materiales tienen una zona elástica, en la que se deforman pero son capaces de

regresar a su forma original, en esta zona la deformación unitaria por unidad de esfuerzo se puede

medir con el módulo de elasticidad de Young, el cual es distinto para cada material. La zona elástica

termina en el límite elástico.

Luego de pasar el límite elástico, la deformación por unidad de esfuerzo ya no es una relación

lineal, el cuerpo pasa a la zona plástica, donde se deforma sin ser capaz de volver a su forma original,

pero sin romperse. Al terminar esta zona plástica esta el punto de rompimiento dónde el material ya no

soporta la deformación causada por el esfuerzo y se rompe.

En la práctica realizada en el laboratorio de midió el módulo de elasticidad de Young del hilo de

pescar tomando datos experimentales, utilizando distintas masas, su peso representaba el esfuerzo

aplicado al hilo, y midiendo la deformación que este peso causaba en el hilo de pescar. Luego se realizo

un modelo matemático y se calculó el módulo de Young. Utilizando este dato se hizo una predicción

para la masa, la cual se comparó con un dato experimental arbitrario para la masa, el cual fue tomado

en el laboratorio.

2

Objetivos

Objetivo General

1. Calcular el módulo de Young de un hilo de pescar.

Objetivos Específicos

1. Observar el comportamiento elástico de un hilo de pescar.

2. Calcular una ecuación empírica para la recta que representa el comportamiento elástico del hilo

de pescar, dónde la pendiente es el módulo de Young.

3. Analizar la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria en la región elástica del hilo de

pescar.

4. Por medio de esta ecuación calcular el módulo de Young.

3

Hipótesis

En esta práctica mediremos el módulo de Young del hilo de pescar, utilizando datos

experimentales. El hilo de pescar esta hecho de un material que no es muy elástico por lo que debería

tener un módulo de elasticidad de Young alto.

Cuándo se cuelgue del hilo de pescar una masa muy grande, el hilo pasará la zona elástica y

entrará en la zona plástica, por lo cual se va deformar, es decir se va producir un estiramiento

irreversible. Puede que el hilo no soporte el peso de una masa muy grande por lo cual pasaría del área

plástica al punto de rompimiento.

4

Marco Teórico

Deformación de los materiales

La deformación es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos

producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica.

Deformación Unitaria

La magnitud más simple para medir la deformación es lo que en ingeniería se llama deformación

axial o deformación unitaria se define como el cambio de longitud por unidad de longitud:

(1)

Donde s es la longitud inicial de la zona en estudio y s' la longitud final o deformada. Es útil para

expresar los cambios de longitud de un cable o un prisma mecánico.

Deformaciones elástica y plástica

Tanto para la deformación unitaria como para el tensor deformación se puede descomponer el valor

de la deformación en:

Deformación plástica o irreversible: Modo de deformación en que el material no regresa a su

forma original después de retirar la carga aplicada. Esto sucede porque, en la deformación

plástica, el material experimenta cambios termodinámicos irreversibles al adquirir mayor

energía potencial elástica. La deformación plástica es lo contrario a la deformación reversible.

Deformación elástica o reversible: el cuerpo recupera su forma original al retirar la fuerza que

le provoca la deformación. En este tipo de deformación, el sólido, al variar su estado tensional y

aumentar su energía interna en forma de energía potencial elástica, solo pasa por cambios

termodinámicos reversibles.

Comúnmente se entiende por materiales elásticos, aquellos que sufren grandes elongaciones cuando se

les aplica una fuerza, como la goma elástica que puede estirarse sin dificultad recuperando su longitud

5

original una vez que desaparece la carga. Este comportamiento, sin embargo, no es exclusivo de estos

materiales, de modo que los metales y aleaciones de aplicación técnica, piedras, hormigones y maderas

empleados en construcción y, en general, cualquier material, presenta este comportamiento hasta un

cierto valor de la fuerza aplicada; si bien en los casos apuntados las deformaciones son pequeñas, al

retirar la carga desaparecen.

Al valor máximo de la fuerza aplicada sobre un objeto para que su deformación sea elástica se le

denomina límite elástico y es de gran importancia en el diseño mecánico, ya que en la mayoría de

aplicaciones es éste y no el de la rotura, el que se adopta como variable de diseño (particularmente en

mecanismos). Una vez superado el límite elástico aparecen deformaciones plásticas (remanentes tras

retirar la carga) comprometiendo la funcionalidad de ciertos elementos mecánicos.

Esfuerzo

En ingeniería estructural, los esfuerzos internos son magnitudes físicas con unidades de fuerza

sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismáticas como vigas o pilares y también en el cálculo de

placas y láminas.

Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructural se definen como

un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas

sobre el área de esa sección.

Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga es igual a la integral de

las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la

sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de

la placa o lámina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la

resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos

determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de

tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el

esfuerzo cortante.

6

Esfuerzo normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones

perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecánico. Este tipo de solicitación

formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal.

Dada una sección transversal al eje longitudinal de una viga o pilar el esfuerzo normal es la fuerza

resultante de las tensiones normales que actúan sobre dicha superficie. Si consideramos un sistema de

coordenadas cartesianas en que el eje X esté alineado con el eje recto de la viga, y los ejes Y y Z estén

alineados con las direcciones principales de inercia de la sección el tensor de tensiones ([T]xyz) y el

esfuerzo normal (Nx) vienen dados por:

(2)

Modulo de Young

El módulo de Young o módulo elástico longitudinal es un parámetro que caracteriza el

comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción

que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de

un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra,

aumenta de longitud, no disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico

inglés Thomas Young.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo

de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse

empíricamente con base al ensayo de tracción del material. Además de éste módulo de elasticidad

longitudinal puede definirse en un material el módulo de elasticidad transversal.

7

Materiales lineales

Como se ha explicado para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es

una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones).

En este caso su valor se define mediante el coeficiente de la tensión y de la deformación que aparecen

en una barra recta estirada que esté fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el

módulo de elasticidad:

(3)

Donde:

es el módulo de elasticidad longitudinal.

es la presión ejercida sobre el área de sección transversal del objeto.

es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra.

La ecuación anterior se puede expresar también como:

(4)

Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geométricamente idénticos pero de materiales

elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores

tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la

misma fuerza, la ecuación anterior rescrita como:

(5)

Dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este

caso, se dice que el material es más rígido.

8

Diseño Experimental

Material y Equipo

1. 110 cm de hilo de pescar de diámetro 𝜑 = 0.30 𝑚𝑚.

2. Un soporte universal.

3. Una cinta de papel.

4. Una cinta métrica.

5. Una balanza.

6. Un soporte para masas.

7. Un juego de 6 masas.

8. Una masa con gancho de 500 g.

Magnitudes Físicas a Medir

1. La longitud inicial del hilo de pescar, sin esfuerzo.

2. La longitud final del hilo de pescar, sometido a esfuerzo.

3. La masa m que cuelga del hilo.

4. El modulo de Young.

Desarrollo Experimental

1. Armar el equipo: prensar el soporte universal a la mesa, sujetar el hilo de pescar a la barra de

metal, en el otro extremo del hilo amarrar el soporte de masas.

2. Medir la longitud inicial del hilo de pescar, del nudo en la barra de metal, al nudo amarrado al

soporte de masas, utilizando la cinta de papel.

3. Se utilizo el juego de 6 masas y la masa con gancho de 500 g para crear 7 combinaciones para

tomar los 7 datos experimentales y un combinación extra para la medida arbitraria.

4. Medir la masa y colocarla en el soporte de masas, luego medir la longitud final del hilo de

pescar.

5. Repetir el paso anterior para las 7 diferentes combinaciones de masas.

9

6. Realizar la medida arbitraria.

7. Tabular los datos obtenidos.

8. Realizar una gráfica Esfuerzo vrs. Deformación unitaria, utilizando la tabla de datos

experimentales.

9. Realizar un modelo matemático para la recta que representa la parte elástica en la gráfica

anterior.

10. Encontrar la ecuación empírica para el comportamiento elástico del hilo de pescar utilizando los

puntos de la gráfica Esfuerzo vrs. Deformación unitaria.

𝜎 = 𝑎𝜖 + 𝑏

11. Realizar la predicción de la masa m y su incerteza Δm, utilizando los datos obtenidos en el

laboratorio.

12. Comparar la predicción de la masa con el dato arbitrario tomado en el laboratorio, dato

experimental.

13. Calcular el módulo de elasticidad de Young para el hilo de pescar.

Diagrama del Diseño Experimental

10

Resultados

Datos

Longitud inicial del hilo: Lo 0.36 1 103 m

Tabla 1: Datos experimentales

No. Masa

m [kg]

Longitud final Lf

[m]

Fuerza de tensión FT=mg

[N]

Deformación Unitaria

𝝐 =𝑳𝒇−𝑳𝒐

𝑳𝒐

[m/m]

Esfuerzo

𝝈 =𝑭

𝑨

[N/m2]

Incerteza

∆𝝐 = 𝝐∆𝑳𝒐

𝑳𝒐

[m/m]

Incerteza

∆𝝈 = 𝝈∆𝒎

𝒎

[N/m2]

1 0.1518 0.369 1.48764 0.025 2. 1046×10⁷ 6. 9444×10⁻⁵ 1. 3864×10⁵

2 0.3247 0.374 3.18206 3. 8889×10⁻² 4. 5017×10⁷ 1. 0803×10⁻⁴ 1. 3864×10⁵

3 0.5018 0.384 4.91764 6. 6667×10⁻² 6. 957×10⁷ 1. 8519×10⁻⁴ 1. 3864×10⁵

4 0.6957 0.395 6.81786 9. 7222×10⁻² 9. 6453×10⁷ 2. 7006×10⁻⁴ 1. 3864×10⁵

5 0.8935 0.400 8.7563 0.11111 1. 2388×10⁸ 3. 0864×10⁻⁴ 1. 3864×10⁵

6 1.0919 0.418 10.70062 0.16111 1. 5138×10⁸ 4. 4753×10⁻⁴ 1. 3864×10⁵

7 1.4190 0.433 13.9062 0.20278 1. 9673×10⁸ 5. 6328×10⁻⁴ 1. 3864×10⁵

Medida Arbitraria:

Masa que cuelga del hilo: m 1.5919 0.001kg

Longitud final del hilo: Lf 0.441 1 103 m

11

Grafica 2: Esfuerzo vs. Deformación Unitaria (Comportamiento Elástico)

y = 9E+08x + 5E+06

0

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Grafica 1: Esfuerzo vs. Deformación Unitaria

Esfuerzo

Lineal (Esfuerzo)

12

Linealización de la gráfica 2

P10.025,21040000

P20.038889,45017000

a1 21

21 4501700021040000

0.0388890.025

a1 1. 7263 109

b1 1 a11 21040000 1. 7263 1090.025 b1 2. 2118 107

a1 b1

1. 7263 109 2. 2118 107

P30.066667,69570000

P40.097222,96453000

a 43

43 9645300069570000

0.0972220.066667

a 8. 7982 108

b2 3 a23 69570000 8. 7982 1080.066667 b2 1. 0915 107

a2 b2

8. 7982 108 1. 0915 107

8. 7982 108x 1. 0915 107

a a1a2

2 1. 726 31098. 798 2108

2 1. 3031 109

a a1a2

2 1. 726 31098. 798 2108

2 4. 2324 108

b b1b2

2 2. 211 81071. 091 5107

2 5. 6015 106

b b1b2

2 2. 211 81071. 091 5107

2 1. 6517 107

Propuesta de la ecuación empírica:

a b

1. 3031 109 4. 2324 108 5. 6015 106 1. 6517 107

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Predecir la masa Datos arbitrarios

m 1.5919 0.001kg

Lf 0.441 1 103 m Otros datos

Lo 0.36 1 103 m

A 7. 0686 108 m2

a 1. 3031 109 4. 2324 108

b 5. 6015 106 1. 6517 107

Ecuaciones

LfLo

Lo

a b

F

A

F A

F mg

mg A

m Ag

m m

a a b

Masa

LfLo

Lo 0.4410.36

0.36 0.225

Lo

Lo 0.225 1103

0.36 6. 25 104

a b 1. 3031 1090.225 5. 6015 106 2. 8760 108

m Ag

2. 876 0108 7. 068 6108

9.8

m 2. 0744 Incerteza de la masa

a a b

4. 2324 1080.225 1. 3031 1096. 25 104 1. 6517 107

7. 9526 107

m m

2. 07447. 952 6107

2. 876 0108

m 0.5736

Predicción de la Masa

m 2. 0744 0.5736kg

Masa Experimental

m 1.5919 0.001kg

Modulo de Young del hilo de pescar

Y 1. 3031 109 4. 2324 108

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Discusión de Resultados

La gráfica 1 muestra la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria. Los primeros

4 puntos de la gráfica muestran una relación lineal para la que se propuso un modelo

matemático. Utilizando la técnica de linealización y los puntos en la gráfica 2 se calculo una

ecuación empírica para esta recta, su pendiente representa el módulo de elasticidad de Young

del hilo de pescar, el resultado fue el siguiente:

La magnitud obtenida para el módulo de Young del hilo de pescar, es bastante grande, lo cual indica que

es un material poco elástico y difícil de deformar.

En el laboratorio se tomaron siete datos para las masas y la longitud que alargaban el hilo de

pescar, con estos datos se construyó la tabla 1, luego se hicieron cálculos para llenar los campos

faltantes en la tabla. Se tomaron datos arbitrarios también para la masa que colgaba del hilo y la

longitud final del hilo. Utilizando ecuaciones y datos obtenidos anteriormente en los cálculos se hizo una

predicción para la medida arbitraria de la masa, en el siguiente cuadro se muestran tanto la medida de

la masa arbitraria (experimental) como la predicción de la masa.

Modulo de Young del hilo de pescar

Y 1. 3031 109 4. 2324 108

Predicción de la Masa

m 2. 0744 0.5736kg

Masa Experimental

m 1.5919 0.001kg

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Comparando las dos magnitudes puede notarse que aunque la predicción de la masa no cae en el

margen de error de la masa experimental, se acerca mucho, son solo decimales los que la separan del

valor experimental. Por esta observación podemos concluir que la predicción es bastante exacta, esto se

debe a que probablemente los puntos en la gráfica escogidos para la linealización fueron los correctos.

También cabe mencionar que los datos en el laboratorio fueron correctamente tomados y los cálculos

fueron hechos con una precisión aceptable, por lo cual las magnitudes para la masa de la predicción y

del laboratorio fueron muy similares.

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Conclusiones

1. El módulo de Young del hilo de pescar es grande porque está hecho de un material poco elástico.

2. La gráfica esfuerzo versus deformación unitaria empieza describiendo una recta y luego sigue

una curva, debido a que la primera parte representa la parte elástica (la recta), dónde la

pendiente representa el módulo de Young. La segunda parte representa la parte plástica, la cual

no fue analizada en este reporte de laboratorio.

3. Al realizar la linealización de los primeros puntos de la gráfica se obtuvo un modelo matemático

de la forma:

𝜎 = 𝑎𝜖 + 𝑏

4. Al comparar la magnitud para la masa de la predicción con la magnitud para la masa obtenida

experimentalmente se encontró mucha semejanza. Aunque la predicción no caía dentro del

margen de error de la masa experimental estas eran muy semejantes, por lo cual concluimos

que la ecuación empírica fue calculada correctamente, por lo cual su pendiente es el modulo de

Young para el hilo de pescar.

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Fuentes de Consulta

Fuentes Bibliográficas

1. Seway, Raymond A., Jerry S. Faughn. Física. Qinta edición. Pearson Edication, México 2001.

PP 216-243.

2. Serway Raymond A., John W. Jewett Jr. Física para ciencias e ingenierías. Sexta edición.

Thomson. Mexico, 2003. PP 206-215.

Fuentes Electrónicas

1. Deformación, Wikipedia. [En línea][Fecha de consulta: 20/03/2010]

http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n

2. Esfuerzo Interno, Wikipedia. [En línea][Fecha de consulta: 21/03/2010]

http://es.wikipedia.org/wiki/Discusi%C3%B3n:Esfuerzo_interno

3. Modulo de Young, wikipedia. [En línea][Fecha de consulta: 22/03/2010]

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young

4. Vilchez, Ramón. Deformación Simple. [En línea][Fecha de consulta: 22/03/2010] [En línea][Fecha

de consulta: 22/03/2010] http://www.slideshare.net/vilchez/deformacin

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Apéndice

Cálculos:

Tabla 1: datos experimentales

F mg

g 9.8m/s2

F1 0.15189.8 1. 4876N

F2 0.32479.8 3. 1821N

F3 0.50189.8 4. 9176N

F4 0.69579.8 6. 8179N

F5 0.89359.8 8. 7563N

F6 1.09199.8 10. 701N

F7 1.41909.8 13. 906N

LfLo

Lo

Lo 0.36m

1 0.3690.36

0.36 0.025 m/m

2 0.3740.36

0.36 3. 8889 102 m/m

3 0.3840.36

0.36 6. 6667 102 m/m

4 0.3950.36

0.36 9. 7222 102 m/m

5 0.4000.36

0.36 0.11111m/m

6 0.4180.36

0.36 0.16111m/m

7 0.4330.36

0.36 0.20278m/m

3 104

R

2 3104

2 1.5 104

A R2 1.5 104 2 2. 25 108 7. 0686 108

F

A

1 1.48764

7. 068 6108 2. 1046 107 N/m2

2 3.18206

7. 068 6108 4. 5017 107 N/m2

3 4.91764

7. 068 6108 6. 957 107 N/m2

4 6.81786

7. 068 6108 9. 6453 107 N/m2

19

5 8.7563

7. 068 6108 1. 2388 108 N/m2

6 10.70062

7. 068 6108 1. 5138 108 N/m2

7 13.9062

7. 068 6108 1. 9673 108 N/m2

Lo

Lo

Lo 1 103 m

Lo 0.36m

1 0.025 1103

0.36 6. 9444 105 m/m

2 3.8889 102 1103

0.36 1. 0803 104 m/m

3 6.6667 102 1103

0.36 1. 8519 104 m/m

4 9.7222 102 1103

0.36 2. 7006 104 m/m

5 0.11111 1103

0.36 3. 0864 104 m/m

6 0.16111 1103

0.36 4. 4753 104 m/m

7 0.20278 1103

0.36 5. 6328 104 m/m

mm

m 0.001kg

1 2.1046 107 0.001

0.1518 1. 3864 105 N/m2

2 4.5017 107 0.001

0.3247 1. 3864 105 N/m2

3 6.957 107 0.001

0.5018 1. 3864 105 N/m2

4 9.6453 107 0.001

0.6957 1. 3864 105 N/m2

5 1.2388 108 0.001

0.8935 1. 3865 105 N/m2

6 1.5138 108 0.001

1.0919 1. 3864 105 N/m2

7 1.9673 108 0.001

1.4190 1. 3864 105 N/m2