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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

•MÉTODOS DE SIMULACIÓN DE MAQUINAS SINCRÓNICAS PARA

ESTUDIO DE ESTABILIDAD EN S.E.P.

RAMIRO CUSHICONDOR A.

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO

DE INGENIERO EN LA ESPECIALIZACION . DE»

POTENCIA DE LA ESCUELA POLITÉCNICA

NACIONAL

MARZO, 1983

CertiTico que el presente .trabajo. fue . - en . su totalidad realizado por

e.l Señor Raiíiró Ci/shicóndor A. v -Bajo mi di reación.

El autor dejja constancia de su más sincero

agradecimiento alj Ing. Mil ton Toapantas Director1 "

de Tesis, con cuyja valiosa colaboración se ha pp_.

di'do culminar con éxito el proyecto planteado.

Por el enorme apoyo prestado en el desarrp_i

lio de la Tesiss | expreso mi agradecimiento, ali

Ing. GaBriel Arguello..

S U M A R I O

El propósito da esta tesis es desarrollar modelos de máqui_

ñas usadas en el análisis de estabilidad transitoria en sistemas eléc_

trieos de potencia (S.E.P.) y proveer.un mejor entendimiento de los

modelos de maquinas sincrónicas.

La discusión comienza a partir de un 5reve estudio de esta_

bi]idad transitoria. .Luego se plantea las ecuaciones de Park para ni£

quinas sincrónicas en que los efectos del amortiguamiento del rotor -

• son representados por dos devanados amortiguadores cortocircuitados.

, De estas ecuaciones generales se desarrollan cinco modelos de la más

variada complejidad, realizando las consideraciones respectivas. Las

'' ecuaciones detalladas de los modelos serán descritas utilizando las

estructuras matemáticas básicas que son derivados de leyes físicas.

El desarrollo de los modelos están orientados a ser proba-

dos en el programa digital para el cálculo de estabilidad transitoria

de sistemas eléctricos de potencia del Ing. Fernando Gómez, implemen-

. tado en la E.P.N., y así poder fijar los méritos de las diferentes aj_

ternativas empleadas en la representación de las máquinas en el estu-

dio de estabilidad. Se utilizará los mismos modelos matemáticos de -

los reguladores de voltaje, líneas de .transmisión, cargas y los mis -

mos tipos de disturbio del mencionado estudio.

Para cada modelo se describe el método computacional y se

presentará una comparación entre resultados obtenidos de los diferen-

tes modelos de la máquina en estudios de estabilidad transitoria.

Í N D I C E

PAGINA

CAPITULO I

CAPITULO II

CAPITULO III

INTRODUCCIÓN

1.1 Generalidades 1

1.1.1 Reseña Histórica 2

1.2 Objetivo - f 3

1.3 Alcance ' • 4

ESTUDIO DE ESTABILIDAD/

2.1 Introducción ' • 5

2.2 Tipos de estabilidad 5

2.2.1 Estabilidad Transitoria . " 6

2.2.2 Definición matemática de esta_

B'ilidad transitoria 8

2.3 Ecuación de oscilación de lat>

máquina sincrónica ' 10

MODELO MATEMÁTICO GENERAL PARA MAQUINAS

SINCRÓNICAS Y EL SISTEMA POR UNIDAD tp-ii)

3.1 La máquina sincrónica en un S.E.P. 13

3.2 . Modelo matemático general para má-

quinas sincrónicas 13

3.3 Transformada de Park 15

PAGINA

CAPITULO IV

CAPITULO V

3.3.1 Corrientes.» concatenaciones de

flujo y voltajes en términos -

de variables de Park

3.3.2 Ecuaciones de la maquina en los

ejes dq

3.3.3 Ecuaciones de la máquina en téjr

minos de concatenaciones de flj¿

jo por segundo

3.3.4 La inductancia. mutua base, en -

sistema'p.u.

3..3.4.1 Las. ecuaciones de la máquina -

sincrónica en p.u. forma Matri-

cial

MODELO 1

4.1 Derivación del modelo matemáti-

co

4.2 Expresión fasorial

4.3 Diagrama de flujo esquemático

MODELO 2

5.1

5.2

5.3

Derivación del modelo matemáti-

co

Expresión fasorial

Diagrama de flujo esquemático

16

16

18

19

20

22

25

27

29

30

32

PAGINA

CAPITULO VI : MODELO 3

6.1

6.2

6.3

CAPITULO VII : MODELO 4

7.1

7.2

7.3

CAPITULO VIII: " MODELO 5

CAPITULO IX :

Derivación del modelo matemá_

tico

Expresión fasorial_


Derivación del modelo matema_

tico

Expresión fasorial


.2

.3

Derivación del modelo ma.tem£

tico

Expresión fasorial


PROGRAMA DIGITAL PARA. ANÁLISIS DE ESTA,

BILIDAD TRANSITORIA

Cálculo de estabilidad transit£

ri'a

Descripción del programa digi -

tali

Proceso de cálculo para el estu_

dio de estabilidad transitoria

9.2

9.3

33

37

38

40

53

55

57

58

59

62

63

63

CAPITULO X

APÉNDICE A .:

REFERENCIAS;

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Y CONCLUSIONES

10.1

10.2

10.3

MANUAL

PAGINA

Ejemplos de aplicación

Análisis-y comparación de los

resultados

Conclusiones y recomendado -

nes

DE USO

. 66

67

111

115

137

NOMENCLATURA

SÍMBOLO "TERMINO UNIDAD

fF

H

1

O

Kl

'Lp

rt, T

T

X .-ni

6

\

W0

Frecuencia

Torque

Constante de inercia

Corriente

Constante de saturación

Inductancia

Operador diferencial —-r

ResistenciaTienipo3 constante' dé tiempo

Matriz de transformación de Park

VoltajeReactancia

Variables de estado

Ángulo de carga

Concatenación de flujo

Concatenación de flujo / seg.

Velocidad angular relativa

Velocidad angular

c/s

p.u.

(MW-S/MVA)

p.u.

p.u.

(sec)'1

p.u.seg.

p.u.p.u.

grados

p.u.1/seg.

- p.u.rad/seg.

Subíndices

d

qt

m

ele

1fd

kd

Eje directo ' .

Eje en cuadraturaTerminalMecánica o mutuo

Eléctricoi

DispersiónCampo

Eje directo del. devanado amortiguador

Eje en cuadratura del devanado amortiguador

SÍMBOLO" l'-JERMINO UNIDAD

ad

aq

asb,.c,.s

Superlndtces

Mutuo en el eje directo

Mutuo en el eje en cuadratura

Fase ;

Estator!

Complejo o fasor

Transitorio

.Subtransitorio

tsv

C A P I T U L O I

1.1 GENERALIDADES

El diseño de los sistemas- de control para un generador

sincrónico y estudios de estabilidad de generadores son nece_

sari os para evaluar s:u comportamiento. Estos estudios se re_

quieren deb.ido a que el tamaño y complejidad de los sistemas

eléctricos ha crecido y por tanto la naturaleza del problema

de estabilidad ñ.a cambiado, que en muchos casos, hacen que -

los generadores tiendan a ser inestables.durante condiciones

• de falla.

Los iniciadores en él análisis de Mquinab han estable_

cidó representaciones de máquinas sincrónicas que sean ade -

cuadas con tiempo de computación; y además lo suficientemen-

te exacto para analizar los problemas que involucren su fun-

cionamiento. Varias investigaciones y nuevas técnicas han

sido des-arrolladas para representar el funcionamiento de las

máquinas en el análisis de estabilidad. Se debe señalar que

poca atención se Fia prestado en establecer una comparación -

entre las respuestas digitales de los diferentes modelos de

las máquinas sincrónicas, que forman parte de un sistema e -

léctri'co en el estudio de estabilidad transitoria.

La representación de la máquina sincrónica en un pro -"

grama de estabilidad podría ser tan-simple; hay circunstan -

cias en sistema de potencia en que de acuerdo a la localiza-

ción de la falla, tipo de falla, etc., el modelo simple de -

algunas máquinas es suficiente. Pero hay situaciones donde

una exacta representación es requerida, como en el caso de -

una falla trifásica en los terminales de la máquina.

Esta tesis está encaminada principalmente a desarrollar

2 -

modelos que son representados empezando por el mas sencillo,

en el que se considera el voltaje constante detrás de la re-

actancia transitoria, de eje directo y termina con la repre -

sentación en que los fenómenos subtransitorios y torques de

amortiguamiento son simulados.

1.1.1 RESEÑA HISTÓRICA-

La modelación de sistemas de-potencia, se desarrp_

116 hace varias'décadas. Varios -análisis eléctricos y

electro-mecánicos han sido presentados en el transcur_

so.de los años. Inicialmente se utilizó el analiza -

dor de las redes eléctricas3 en que la máquina sincró_

nica fue simulada por una'fuente de voltaje alterna3 -

variable en -magnitud y fase, conectada en serie con -

una inductanci.a y resistencia.. Esta representación -

es .-conocida como-representación clásica que-no siein -

pre presenta resultados satisfactorios. La mejora en

los modelos de las máquinas, para tener una represen-

tación más aproximada, ha sido factible mediante las

ecuaciones de Park, en que una técnica de computación

analógica fue usada para resolver las ecuaciones dif§_

renciales de la máquina/

Las micromáquinas proporcionaron la solución más

satisfactoria a algunos problemas en los cuales la ca_

lidad de Tos resultados fueron demandados, lo que fa-

cilitó una extensa experimentación. Las desventajas

de estos métodos y análisis son:

a) Las constantes de los modelos no pueden ser aju_s_

tados exactamente a los del sistema.

b) El tiempo requerido puede ser grande.

c) El número de máquinas que pueden ser representa_

- 3 -

dos es limitado.

El computador dtgítal fue empleado posteríormen_

te para reemplazar el analizador de redes, y median-

te ésta se resolvió con gran éxito, problemas de fl£jo de carga, estabilidad para sistemas grandes. U)

El análisis de estabilidad de un S.E.P. se rea-

liza medíante la simulación de los diferentes elemen_tos del sistema en un computador - digital. Los mo-delos -matemáticos desarrollados para estudio de esta^

Bilidad son: modelos para generadores, sistemas de -excitación, sistemas de reguladores de velocidad de .turbina, cargas, sistemas de transmisión.

Con el transcurso del tiempo se ha detectado que

el modelo. clásico de generadores tiene ciertas limitj^

ciónes, como el caso donde interesa centrar la aten -ci'ón sobre la amortiguación de la oscilación. Este a_mortiguamiento es determinado por la variación en. el_generador de niveles de flujo los cuales eran exclui-

dos por la consideración de magnitud constante delvoltaje interno en el modelo clásico. Su uso puede -también conducir a errores significativos en estudiosde estabilidad transitoria, especialmente aquellos -

que involucran fallas trifásicas con sustanciales de_s_magnetizaciones durante la falla.

La representación de cambios de flujos del gene-rador requiere su presentación más exacta, es por és-ta razón que la representación de modelos más preci -sos ha sido objeto de estudio de muchos investigado -res. t3)

/

1.2 OBJETIVO

Con este trabajo lo que se desea es incluir un grado

4 -.

de modelación más completo de máquinas sincrónicas en el estj¿

dio de estabilidad, transitoria realizado anteriormente;'mode-

los en que tomen en cuenta la variación de la densidad de flu_-

jo, la inclusión de los devanados de amortiguamiento, la satu_

ración, etc.-

También se persigue que estudios posteriores incluyan

nuevos modelos de carga, ya que es un factor que influye en -

la estábilidadj y por tanto seria deseab'le conocer las res

puestas de los sistemas de carga a camb'ios de voltaje y fre -

cuencia.

1.3 ALCANCE

Este trabajo comprende el desarrollo de los diferen -

tes modelos de la máquina sincrónica incluidos en un modelo

matemático.general para estudios de estabilidad; y mediante -

la ayuda del computador digital se procesa la información cu-

yos resultados son objeto de análisis. Llegándose a la conclu_

sión de determinar cual modelo es el más recomendado.

C A P I T U L O I I

ESTUDIO DE ESTABILIDAD

2.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo-se analiza el funcionamiento transi-

torio de un S.E.P, como consecuencia de un disturbios tal co-

mo una falla seguida por una operación de los interruptores,

la desconexión inmediata ya sea de la carga o de la genera -

ción, etc.; hay que notar que.la' estabilidad que se está tra-

tando es de tipo electro-mecánico, ya que un disturbio grande

produce un desbalance entre la potencia -mecánica de entrada y

la potencia eléctrica activa de salida de un generador, por -

lo que algunos generadores pueden acelerarse y otros pueden

frenarse; el ángulo del rotor tendrá una amplia variación y -

en este proceso el sincronismo del sistema llega a afectarse.

El sincronismo del sistema se mantiene en muchas ocasiones, -

si hay una oportuna operación de los interruptores, caso con-

trario tanto el voltaje como la frecuencia pueden desviarseampliamente con respecto a sus valores nominales.

La simulación del estudio de estabilidad transitoria

son realizados para estudiar esos fenómenos; los resultados -

hacen posible planificar y coordinar su protección eficiente-mente. (4)"

2.2 TIPOS DE ESTABILIDAD

La estabilidad 'de un S.E.P. puede ser definido asi:

"La estabilidad de un S.E.P. es la habilidad que tie-nen los sistemas de continuar en operación estable luego de -

estar sujetos a perturbaciones de pequeña o gran -magnitud". (4)

En términos de máquinas sincrónicas interconectadas3

las máquinas deben permanecer en sincronismo luego de las pe_r_

turbaciones.

La inestabilidada si existe, será causada por algún -

tipo de disturbio. Este tipo de disturbio puede ser tnuy pe -

queño en magnitud y frecuente en la operación del sistema ta-

les como la acción de un regulador para un pequeño cambio de

velocidad3 por las variaciones de carga, conexión y desconec-

ción de elementos, o el disturbio puede ser poco común y muy

severo tal como el de-una falla.

El análisis- completo del funcionamiento de un S.E.P.

después de un disturbio puede ser muy complicado debido a quedepende de su naturaleza3 ya que el sistema de potencia tien-

de a funcionar en. forma indeterminada. Por consiguiente la -

manera tradicional de estudiar la estabilidad del sistema es.clasificando por el tipo de disturbio. Esto conduce a dos -

clasificaciones principales que son:

1.' Estabilidad de estado estable,

2. Estabilidad transitoria.

La estabilidad de estado estable está relacionada conperturbaciones pequeñas. El rango de las condiciones de ope-

ración para el cual el sistema.es estable es una medida de lí_mi'te de estado estable. Y si este Tímite es especificado entérminos de transferencia de potencia de una maquina, se lla-

ma límite de potencia de estado estable.

2.2.1 ESTABILIDAD TRANSITORIA ' "

Cuando se trata de una sola máquina sincrónica -

- 7 -

puede ser definida la estabilidad transitoria. ccwio'si_

gue:

"Si una máquina sincrónica está operando en esta_ •

do estable y se produce algún tipo'de disturbio mayorque produce una desviación en la velocidad del rotor

de la máquina con respecto al eje de referencia, en-tonces la máquina es estaBle si el rotor alcanza unanueva posición de equilibrio". (4-)

Para un sistema de multimáquinas la estabilidad

transitoria puede ser definida como: "si una máquinaindividual en un sistema de tnultimáquinas está operar^

do. en estado estaBle., y si se produce un disturbio ma_yor, entonces el sistema es estable si cada máquina -alcanza un nuevo punto de equilibrio de estado estable".(4)

' Lo? disturbios usual mente considerados en estu -dios de estabilidad transitoria son los más severos,

como se indicó anteriormente, tales como un cortocir-

cuito sobre una línea de transmisión, barras o termi-nales del transformador, cambios bruscos de carga.Estas contingencias se asumen frecuentemente que van

a ser despejadas, separando el equipo'fallado o la -parte fallada del sistema; de tal forma que ninguna -

de. las -maquinas.salgan de sincronismo.

El máximo tiempo que la falla puede permanecer -sobre el sistema y tener luego el sistema estable des_pues de su despeje es llamado tiempo critico. La de- •terminación del tiempo crítico es muy importante pue_s_to que su información facilita la determinación de -las características de los relés para despejar la fa-lla. / '

2.2.2 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE ESTABILIDAD ( 5")

El estado de un S.E.P. puede ser caracterizado

por algunas magnitudes, según los efectos que se con_

sideren al modelar la máquina. Para este estudio los

estados considerados son: el ángulo del rotor3 la ve_

locidad, el voltaje de excitación, los voltajes in -

ternos de la máquina.

Para entender la definición matemática de esta-

bilidad se considera, en principio, únicamente dos -

variables de estado dados por X- , x,, y que son defi-L <-

nidos de la siguiente manera:

x-, = $ Posición angular'del rotor en radianes elec_-

tricos.

x? ' = <5 Velocidad angular del rotor en radianes elec_

trieos por segundo.

En forma vectorial se puede expresar como:

La ecuación de oscilación, que será tratada en -

el siguiente numeral, puede ser expresada en función

de estas variables de estado, asi:

llf- F ele

Ahora, como la variable F -. es función de 6se puede expresar las ecuaciones anteriores en forma

9 -

más general9 así:

xl

(_X-i 3 Xp J

Que en forma vectorial es:

X = f (X)

Para el estudio- de. estab'ili'dad transitoria 3 de -este trab'ajo, es necesario resolver las siguientes e-cuaciones utilizando variables de estado: (6):

X

_ p

r

_ _

2t H -mí elei dt

6i -TE

X7Í B T i . ^/Vrefi/ - /Eti/ - V "X7i

— (-G"Vfd - (X'.d - X"d)id - V"q + V'q)do

+ pV'q

( (Xq - X» ) iq - Vd)

10 -

Estas ecuaciones para el estado de falla y el e_s_

tado después de la falla matemáticamente se expresanpor f, (X) y fp(X) respectivamente. Se asume que la

falla va a ser despejada en un tiempo t . Al produ -

cirse una falla se tiene "un cambio brusco en el esta-do del. sistema a un tiempo t = 0. Entonces matemáti-

camente se tiene que resolver:

* fl 00 Para O* <; t <; t - C2-4)

X = f2 CX) para t. > t [2-5)

Estas ecuaciones se resuelven en un computador •digital; son computados el ángulo del rotors la vel_o_

cidad» los voltajes internos de la máquina, voltajeen /las Barras.

2.3 ECUACIONES DE OSCILACIÓN DE UNA MAQUINA SINCRÓNICA

El principio fundamental de una maquina sincrónica es

transformar el torque mecánico del eje de la turbina en tor -que eléctrico. Si estos dos torques son iguales (.deprecian-do las'insignificantes pérdidas mecánicas) el generador gira-

rá a su velocidad sincrónica. Si por el contrario existe unadiferencia entre estos dos torques3 esta diferencia causará -una aceleración o deseleración de la máquina.

Expresando matemáticamente en p.u. se tiene que ($}:

dt QT;

(2-6)

- 11 - "

Donde;

F , Torque mecánico de entrada.mi

F , -, Torque .eléctrico de salida.eleí ^

H. Constante de inercia de la unidad turbina-ge-

nerador.

f Frecuencia en Hz.

D, Factor debido a los devanados de amortiguamien_

to.

<£. Ros.ición angular del rotor con respecto a una

referencia sincrónica rotativa.

n / Número de máquinas.

Esta se denomina ecuación de oscilación de un ge_

nerador sincrónico. El torque mecánico de entrada en el eje

del generador es una función de la potencia -mecánica inyecta-

da en la turbina y controlada por el regulador de velocidad,

el que no se considera en este estudio, y por lo tanto F es— . """"" m

constante. El torque eléctrico puede expresarse mediante las

variables en los ejes q-d de las ecuaciones de Park; estas v_a_

riables son influenciadas por las ecuaciones de la red, el re_

guiador del voltaje y el sistema de excitación. Es decir el

torque eléctrico será expresado mediante expresiones matemátj_cas cuya exactitud dependerá de cuantos efectos sean tomados

en la modelación de la máquina.

Si la ecuación de oscilación para un caso en par.

ticular no tiene un máximo, la curva 6 - t crecerá en forma,-sucesiva; esto indica que"el sistema será inestable. En cam-bio si' la curva de oscilación ó - t disminuye después de al -

f

canzar un máximoperderá l a estaEi]

se supone, normalmente s que el sistema nol idad .

C A P I T U L O III -

MODELO MATEMÁTICO GENERAL PARA MAQUINAS SINCRÓNICAS Y EL SISTEMA PORUNIDAD (p.u.)

3.1 LA MAQUINA SINCRÓNICA EN UN S.E.P.

El comportamiento de un S.E.P. durante e] período tra_n_

sttorio se obtiene a par/tir de las ecuaciones de la red y de

las características de operación de la máquina sincrónica a

través de sus ecuaciones'diferenciales que relacionan la pa£.

te eléctrica con la parte mecánica de la máquina motriz. Se

hace necesario describir la forma en que son representados -los elementos de un S.E,P. mediante modelos matemáticos para

el cálculo de estabilidad transitoria. El presente trabajo

utilizará como se mencionó anteriormente5 los mismos modelos

de los elementos de un S.E,P,5 pero se analizará con detallelos diferentes modelos de Ta máquina sincrónica para estu -

dios de estabilidad transitoria [7).

3.2 MODELO MATEMÁTICO GENERAL PARA MAQUINAS SINCRÓNICAS

Las ecuaciones generales de la máquina sincrónica, son

desarrollados en base a la máquina sincrónica elemental trifá_

sica de 2 polos como se muestra en la fig. 3-1, Se han reali_

zado las siguientes restricciones ( 8 ).

1. Circuito magnético lineal.

2. Distribución uniforme de los bobinados del estator^ asicomo, el establecimiento de una onda de fuerza magneto-motriz CFMM) de la máquina sinusoidal.

3. Las ranuras del estator producen variaciones desprecia-

bles en las inductancias.

.Desde el punto de vista de un circuito magnético, la co

- 14 -

eje directo

FKM de campo

Eje de fase

FMM resultante de armadurajC

©

Bobina de campe

,Bcbina de armadura

Eje de fase b

en cuadratura terpclc)

^Representación física

13

ig 5-2 Representaci6n de los circuitos

- 15 -

Tríente de campo crea la fuerza magnetomotriz. Esta FMM rotó_

rica gira a la misma velocidad del rotor. Las corrientes 'del

estator también producen una FMM que rota a la misma veloci -dad que la del rotor. Producto de las dos se obtiene una FMM

resultante'que es sinusoidal y estacionario con respecto al -

rotor.

Desde el punto de vista del circuito eléctrico,, la máquj_na puede ser representada por la figura 3-2. Los circuitos de

amortiguamiento son seleccionados de tal manera que no existela inductancia mutua entre algún circuito del eje d y un cir -

cuito en el eje q. .Esto es posible debido a la simetría de -

los ejes d-q en el rotor.

3.3 TRANSFORMACIÓN DE PARK

La forma más común de plantear la modelación de máquinassincrónicas es mediante la aplicación de la transformación dePark a las ecuaciones de las tres fases (asbac) de la armadurade la máquina para tener ecuaciones relacionadas a dos bobinasequivalentes de la armadura d-q3 referidas al rotor.

La Transformada de Park, denominada también transformadaen los-ejes d> q, o y viene dada por las- siguientes relaciones:

GB)'

Kd = | (Kacos e + Kfa eos ( e- 120)+ K eos (e + 120)

Kn =~ (K sen e + K, sen (e - 120)+ K sen (6 + 120)q o d D C

Las dos primeras ecuaciones transforman las variables -del estator en los ejes d-q. La variable K0 no se considera-rá en 'el presente estudio ya que éste comprende solo fallas -simétricas.

- 16

3.3.1 CORRIENTES, CONCATENACIONES DE FLUJO Y VOLTAJES EN

TÉRMINOS DE VARIABLES'DE::PARK/(8) • • " '

La transformación de variables de corriente, -

concatenación de flujo y voltaje está planteado entérminos matrlclales., de la forma siguiente:

Ti

[Tf =

Donde:

eos

-sen

1/2

eos .(' e - 120) eos (.e + 120)

-sen C e - -120) -sen [0 + 120)

1/2 1/2

3.3.2 ECUACIONES DE LA MAQUINA EN LOS EJES dq C 9 )

A continuación se dan las relaciones de conca-tenaciones de flujo de los devanados del esta-

tor del eje directo, del devanado de campo en

el eje directo, del devanado amortiguador en -el eje directo, del devanado del estator en el

eje en cuadraturas y del devanado amortiguadoren el eje en cuadratura. Las ecuaciones dife_réndales de los voltajes de estos devanados3

con la respectiva convención de signos para ge_nerador3 ya transformados a la referencia d-qde rotor, y el torque electromagnético son da-

s • '

das por:

17

Relaciones de _cpn_catenactones _de'flujo

X j - = - L , Í , + L - . I , ; , + L , ,Í,d d d afd fd akd - R

Wfd + Wkd

Xkd . ."Lakd1d + "-fkdVd + L kkd t kd

eje q Xq = -Lqiq + L q1kq

Xkq ~LakqTq + Lkkqíkq

Relac ión de voltajes

eje d ' Vd = PAd - x (pe.) - rsid

Vfd = Pxfd. + rfdVd.

eje q Vq = PAq +. Ad ( p e ) _

O = p A + r, i.K kq kq kq

(3 .2 .2 )

(3.2.Í)

- 18 -

eje d

Ecuación del Torque

Fele = - ( Vq

3.3.3 ECUACIONES DE LA MAQUINA EN TÉRMINOS DE CONCATENACIO-

NES DE FLUJO POR SEGUNDO (8)

Las concatenaciones de flujo por segundo se ob-

tiene, al multiplicar las- concatenaciones de flujo da-

das en las ecuaciones (3-2-1) y (3-2-2) por la velocj_

dad eléctricas asi:

x

Nxf ^afd^d * Xffdffd + Xfkd1kd

4, Y -í* \- • v5 * J- JA k k d n k d

(3.3.2)

Uti l izando la ecuación de la velocidad angular -p9 = W y las concatenaciones .de f l u j o por segundo ,

las relaciones de vol taje (3-2-3) y (3-2-4) quedan ex-presados de la forma s igu ien te :

eje d Vd

- 19 -

• P^o, + r^.ijr, L3-3.3)Wo F fd fd fd

kd

eje q Vq

W0

WDonde: Y = ~r~

(3.3.4)

3.3.4 LA INDUCTANCIA MUTUA BASE EN SISTEMA P.U. X ,ad

La potencia aparente base para todos los circuj_

tos del generador es aquella del propio generador.

La corriente base del circuito del rotor usado de aquí

en adelante será aquella corriente que3 cuando fluye -

en el circuito del rotor, inducirá en fase del estator

con la máquina en circuito abierto un voltaje igual a

la corriente base del estator multiplicado por X ,.(10)

Entonces se seleccionará como sigue:

Xad i ' XadVd base " X~ S baSS ' ''kd.base = (\^ Ts base

""kq base

y si por otro lado se considera que la inductancia m_u_

tua entre el devanado del campo y el devanado amorti-

- 20

.guador el eje d son iguales a las inductancias mutua.s entre el

circuito del rotor y del estator en el eje d entonces las in -

ductanclas mutuas vienen a ser CU).

Y = Vafd . Aakd

aq

Donde X , y X son'las inductancias mutuas.

3.3.4.1 LAS ECUACIONES DE LA MAQUINA SINCRÓNICA EN P.U. FOR

MA MATRICIAL

Reemplazando las ecuaciones (3.3.1} y (3.3.2)

en las ecuaciones (3,3.3) y (3.3.4), y tomando en -

.cuenta las consideraciones anteriores, de la induc -

tancia. mutua Base en sistema P.U.,, las ecuaciones de

Park para una máquina sincrónica3 en que los efectos

de amortiguamiento del rotor son representados por -

dos devanados cortocircuitos, pueden ser expresados

en forma matricial de la siguiente manera.

YX , -O + -£-X ) TX ,d ^ s W0 q ad

YX

fd - Av/0 ad

- ,/o ad

Afd

. --ad v/0 aq

f) -- x , of v/0 ad

-X . (r, , + -£-X, ,) 0w0 ad v kd v/0 kdy

V/o aq 0 (TV + -l£~Xlv kq W0 kq

d

(3.3.5)

C A P I T U L O I V

MODELO 1

4.1 DERIVACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

_. La representación l'es la más simple de las represen-taciones de la máquina sincrónica. Las siguientes considera-

ciones se hacen (.1):

a) En las ecuaciones del estator son despreciados los -

voltajes de transformación3 es decir:

'= O

b) Se asume que la velocidad es constante excepto en las

ecuaciones de movimiento^ esto significa:

Y = 1\) - Se desprecian los devanados amortiguadores ..

d) No es simulada la saturación.

e) La concatenación de flujo del campo se asume constan-te.

f) Se desprecia la saliencia transitoria por aproxima -ción de X = X 1 ,. En este'caso los voltajes son -

constantes detrás de la reactancia transitoria.

Por lo tanto, las concatenaciones del flujo de los de_vanados del estator del eje directo y del eje en cuadratura -

23 - -

representadas en las ecuaciones(3'.3'.l)y(3'.3i.2)ast como los vo_l_

tajes representados en 'las ecuaciones(3.3.3)y(3' .3,4)quedan re-

ducidas a las siguientes expresiones:

Relaciones de concatenaciones de flujo

Eje q *q = -Xqiq (4-2)

Relaciones de voltajes

Eje d Vd = -rsid - y* (4-3)

Eje q V - = - rsí + Y* d 14-5}

De la ecuación • [4-4) se despeja if y se reemplaza enla ecuación (4-1) s asi:

p ?W Y + r *1 -v Af d a d w

rfd

Ordenando y realizando operaciones se tiene que el $, toma la

forma:

(X - X1 )

I'PT' d V-'Vd- + 1 + PT' Vfd

Donde T1 , y X1 . son constantes de tiempo y reactancia transj_

• - 24 - -

toria, respectivamente y están definidas asi

- Xfdo w°rfd

y = y dA i Ad M T'do

En la que T1 , es también una constante de tiempo y está def1_

nido por [9-).

X2-rt „ 1 (v ad \ " «°rfd f " *d ]

Definiendo la magnitud del voltaje Interno transitorio de la

máquina en el eje q3 se tiene (1):

' X ~ X 1

V ' "q 1 + PT' fd 1 + PT'

do "d

Reemplazando en [4-6).se tiene:

*d = V'q - XVd ' C 8)

Multiplicando a (4-1) y a (4-8) por y3 se obtiene:

(4-9)

¡De acuerdo a la consideración Í5) y = 1, entonces estas ecua

clones se reducen a:

Y*. = V X' 1 ,d q d d

- 25 -

> = - X iq q q C4~.io)

Sustituyendo a [4-10) en (4-3) y [4-5) el resultado será:

V, = - r i . + X i.d s d q q

Vq = - Vq

Olí)

C4-12)

Reemplazando las ecuaciones (_&-?.} y (.4-8) en la ecuación(3.3.6)

y tomando en cuenta'la consideraciónf se obtiene:

Fel - \)

Las ecuaciones a uti l izarse para el motíelo 1 son: la (4-11)s

(4-12) y la'' (4-13). Se deBe señalar, que para este modelo elvoltaje V es constante en m ó d u l o .

4.2 EXPRESIÓN FASORIAL ' - '

Ahoras los siguientes fasores cuya referencia es el -eje directo son definidos (10):

"V = JVq J q

f\, r\j r\,

Vt = Vd + Vq

C4-14)

26 -

• u

Al reemplazar [4-11) Y [4-12] en V, y tomando en cuenta la

consideración f) X = X 1 , 5 da el -s iguiente resultado:

V ' q = Vt[4-15]

El diagrama fasoria.1 se muestra en la fíg.4-1

q.

• ege de referencia

eje d

Fig 4.1Diagrama fasorial

Modelo 1

El modelo 1 es el más s imple de una m á q u i n a s incróni-

ca para el análisis de estabi l idad transitoria.. Los efectos^' .- - -*,,-.' . : . ->,».

del sistema de excitación y los efectos de los devanados amor.

tlguadores no son representados.

Cuando en una máquina se produce un disturbio> la po-

tencia reactiva entregada por la máquina a un S.E.P. crece y

luego con el transcurso del tiempo la concatenación del flujo

usualmente decrece. Este efecto es causado por la "reacción

de armadura". Ahora si la máquina tiene regulador automático

de voltaje, el decrecimiento del voltaje terminal producirá -

- 27

el crecimtento del voltaje de campo, lo que a s.u vez tiende a

aumentar la concatenación del flujo de campo. Por lo tanto -

la concatenación de flujo resultante será la combinación del •

efecto de la reacción de la armadura y del sistema de excita-

ción.

Entonces, la consideración de que la concatenación de

flujo no varia es. lo mismo que asumir un valor promedio dura_n_

te un periodo de estudio corto. De lo anterior se desprende

que el modelo-1 es adecuado solamente para estudiar la prime-

ra oscilación en el análisis de estabilidad -transitorias y es

incorrecto este modelo para fallas severas, y de larga dura -

clon.

Las ventajas del modelo 1 son relacionadas a su simplj_

cidad en el cálculo y mínimos datos requeridos. Las desventa-

jas son las limitaciones descritas, es ''decir no se puede apre-

ciar con este modelo el efecto del sistema de excitación sobre

la estabilidad transitoria, y resulta difícil juzgar si los re_

sultados obtenidos son conservativos u optimistas. Otro mode-

lo mas elaborado es necesario.(3)

4.3 DIAGRAMA DE FLUJO ESQUEMÁTICO

En algún instante del tiempo él ángulo 6 es conocido -

de la solución de la ecuación diferencial de oscilación. Pue_s_

to que la magnitud de la concatenación de flujo de campo es a- .

sumido que va a ser constante entonces y, tiene una magni -q

tud constante. Puesto que tanto la magnitud y ángulo de y,q

son conocidos en algún instante de tiempo, la solución de las

ecuaciones de la máquina es la más simple. El diagrama de flj¿

jo esquemático presentado en la fig.4-2 indica los pasos a se -

guirse en el análisis de estabilidad transitoria. .

Este modelo requiere poca cantidad de datos. La tabla

N° 1 indica los datos requeridos.

28 -

Jálenlo de condiciones de prefa.llo.¿,V' etc.- deben calcularse

V

Resolver ecuaciones de la red y ecuaciones

algebraicas de la máquina iterativamente

Calcular . í1, etc.

ele

Resolverecuaciones, de

oscil acióji

Figura 4.2 Diagrama de flujo para ¿nálisis de Estabilidad

lío del o 1

C A P I T U L O V

MODELO 2


En el modelo 1 las concatenaciones de flujo del campo

fue asumido constante. En el modelo 2 esta consideración es

cambiada. Sin embargo las otras consideraciones se mantienen

similares a las del'modelo 1.

Las expresiones finales dé los- voltajes y el torque -

son.las: siguientes;

Eje d Vd = - rsid + Xqiq ' (5-1)

Ejeq Vq = -rsiq + V

Fele

Como en este modelo las- concatenaciones de flujo del

campo se considera que no es constante, se Incluye entonces -

una ecuación-diferencial3 que represente esta consideraciónj

a las ecuaciones del modelo 1, y es obtenida a partir de la -ecuación (4-7)s así:

PV'q = -j¿- CVfd - El) (5-4)Un

Donde El = V'q + id (xd - X'd)

- 30 -

5.2 EXPRESIÓN FASORIAL

Ahora se definen los fasores, de igual forma que en

el modelo anterior, así:

v a v•Xr

V

d

J V

V, +do,r = t'•d

(5-5)

í* " IA + !„t d q^

. Vfd

X 1

•\

E

Al reemplazar [5-1) y (.5-2) en V, y considerando que

X se otrttene corno resultado que:

" V

Su diagrama fas.ori.al se muestra en la f lg . 5.1

eje q.

ene de referencia

Fi g 5.1Íe d Diagrama fasorial

Modelo 2

31 -

Cal crolo_de coadicicnsB de prefallb

¿,"Vq_í e.tc. deben calcul nrse.

Resolver ecuaciones de la red y ecuaciones

algebraicas de 1 a_ máquina iterativamente

Calcular El, F , ', etc. -ele

fd F "Fele m

Kesolvcr

pv' - -^r1

Y' .a

Resolver •e cu aciLón de

oscilación

Í_JL

. A

Figyra 5.2 Biagraiaa de flujo para Análisis de Estabilidad Transitoria

Modelo 2

- 32 -

En el modelo 2 se Incluyen los efectos del sistema de

excitación y si el análisis de los efectos del sistema de excj_

tación sobre la estabilidad transitoria es deseado, este mode-lo es generalmente el empleado.. Esta representación sirve pa-ra análisis de estabilidad transitoria durante períodos detiempo más largos que los del modelo 1. Pero todavía no se to_

nian en cuenta los efectos de los devanados amortiguadores, ni

la saturación. El tiempo de computación necesario aumenta de-bido a la inclusión de las ecuaciones diferenciales del siste-

ma de excitación. Con esta representación se puede obtener ellímite de estabilidad más confiable en relación al modelo 1.

•5.3 DIAGRAMA DE FLUJO ESQUEMÁTICO

En algún instante de tiempo el ángulo 6 y la magnituddel voltaje transitorio en el eje en cuadratura es conocido -

de la solución de las ecuaciones diferenciales correspondien-• tes a este modelo. Es necesario encontrar un valor- de £•

qque satisfaga simultáneamente las condiciones de la máquina.:y

el sistema. _ El voltaje de campo calculado de las ecuacionesdel sistema de excitación son usados entonces para predecir -los cambios en y, como se puede ver en el diagrama de flujo

qrepresentado en la figura.5.2

•-, La Tabla 1 indica los datos que se requieren para es-te modelo.

C A P I T U L O V I

MODELO 3


Esta representación-es similar'a la representación 2,

excepto que la saturación es ahora .considerada.

Las siguientes suposiciones se hacen (_1):

a) En las ecuaciones del estator son despreciados los -

voltajes de transformación.

b) " La ,velocidad es asumida constante excepto en las ecu_a_

clones- de oscilación.

c) Los devanados amortiguadores son despreciados.

Por lo tanto las relaciones de flujo y de voltaje son:

• Relaciones de concatenaciones de flujo

eje d 4d = -Xdid * Xadif (6-1)

eje q <f»q - -Xqiq - (6-2)

Relaciones de voltaje

eje d Vd = -rsid - y<í>q (6-3).

- 34 -

eje q V = - rsiq + Y^d . (6-4)

Real izando el mismo aná l i s i s matemático que en el mo-delo 1 obtenemos las ecuaciones siguientes:

vd = - Vd

V = - r i - .X' ,i , + V 'q s q d d • q

(6-5)

Para el modelo 3 se realiza las siguientes considera-ciones adic ionales :

Para el circuito abierto la ecuación (.6-5) se reducea:

Vq = V q , 16-6)

Para la misma condición la ecuación (.4-8) queda

= V - (6-7)

Combinando (6-6) y [6-7) y tomando en cuenta que en -

circuito abierto se desprecia el flujo de dispersión, resulta:

V = * , ' - ' (6-8)q md v - \. j

Donde $ , es el flujo mutuo en el eje directo.

La curva de saturación puede ser normalmente aprox1ma_

da por el siguiente polinomio:

1f =. Vq + KIV n (6-9)

- 35 -

De (6-8) y (6-9). nos queda:

if = Ks*d 16-10)

Donde:

L + K1*dn'"1 (6-11)

Si se define V , de la siguiente manera (1):

V'd

En la ecuación [4-12) si se suma y se resta X1 ,i y

se agrupa, queda: -'

Vd = -Vd + X'^ + V'd

Realizando las consideraciones, respectivas para el ci_r

cui'to abierto en la última ecuación se reduce a:

v'd •Ahora la concatenación de flujo mutuo total está-dado

por la siguiente expresión (12):

mqresulta:

Reemplazando en la ultima .ecuación los flujos <í> , y

por sus valores equivalentes considerados anteriormente^

- 36 - -

\d + V ' 2 - - ' C6-16]

Por lo tanto la ecuación [6-11) q u e d a :

ks = 1 +' Kj+J- • 1.6-17)

Como en la práctica el entrehierro presente en el eje

en cuadratura es mayor que en el -eje directo3 no se considerael efecto de saturación en el eje en cuadratura; asi que gene_raímente es necesario ajustar solamente en el eje directo, p_a_ra el caso de polos salientes Cy en los dos ejes si se trata

de rotor cilindrico).

Entonces 5 realizando la corrección por el efecto de s_a_turación la ecuación C6-12) queda así:

KSV'd

A parttr de' la' ecuación [4-7 ) se obtiene para este caso la siguiente expresión:

P V ' q = -j¿- CVfd - EI S ) (6-19)QO

Donde EIS = KSV + (Xd - X'd)id y además se ha

realizado la aproximación siguiente (1):

p (KCV ) = pVS q ' r q

El torque eléctrico se. obtiene sustituyendo la ecua -cion (6-12) en la (5-3 ). Entonces se tiene que:

F e le '

- 37 -


Finalmente los fasores cuya referencia es. el eje .direc

to son definidos asi. (10):

Vt = Vd V

vfd^El, = JEI (6-21)

^ ^. d do.V 1 = jV

Reemplazando (6-5) y (6-13) en V, y si X1 , X se tie-

ne que:

E = Vt

El diagrama fasorial se muestra en la flg. 6.1

eje

Q.¿é de referencia

flg 6.1

Diagrama fasorialModelo 3

- 38 - -

La saturación es un efecto importante en el funciona.mieri_

to de la máquina sincrónica,-pues determina el voltaje de cam-

po necesario para lograr un voltaje terminal preestablecido, -

El efecto de saturación también es importante cuando se utili-

za sistemas de excitación ya influye directamente en el funci£

namiento del sistema de excitación.

El modelo 3 incluye una forma de representar la satura -

clon magnéticas y el igual que el modelo anterior el sistema

de excitación es considerado. Los devanados amortiguadores noson tomados en cuenta.


Este modelo incluye al -modelo 2 una forma posible de re_

presentar la saturación del hierro; para introducir la satura-

ción se'Útiliza un polinomio que represente en forma adecuada

la curva de saturación.

En algún instante del tiempo, el ángulo 5 y el voltaje

V y V , son conocidos de la solución de la ecuación di feq d —rencial; entonces se puede determinar el flujo mutuo total $

" m

y por tanto la constante K s con la cual se puede corregir el

voltaje transitorio en los ejes q y d. El diagrama de flujo

de la fig.6.2 indica el proceso de cálculo en el estudio de e_s_

tabilidad transitoria.

La tabla 1 indica los datos requeridos para este modelo.

de condiciones de pref aliod. Y' etc. deben calcularse.'

Falla

Resolver ecuaciones de 1-a red y ecuaciones

algebraicas de 1 a máquina iterativamente

Calcular E I s » ^ - » etc.'

fdEIs F

ele m

Resolver Resolver •ecuación deoscil ación

s

•A

Figura 6. 2 Diagrama de flujo para Análisis de Estabilidad transitoria

HOdclo 3

C A P I T U L O V I I

'MODELO 4

En muchos problemas las- corrientes de campo y devanados amo_r_

tiguadores no se requieren y pueden ser eliminados de las ecuacic -

nes3 dando una relación operacional entre $ ,3 i , y.Vfj Gen el eje -

directo) y relación operacional entre $ e i (en el eje en cuadra-

tura).

De las ecuaciones (3I3'.l)y(3.3".5) ,y considerando la inductan-

cia mutua base3 se tiene: ,

0 = "wT^adVd + Crkd

De las ecuaciones (3.3.2 ]y(3'-.-3..5)se tiene:

(7-2)

Eliminando if . e i, . de C7-1) el valor de i , está dado por:

- 41 -

Donde:

Vfd

P adfr 4, _JL_ Y

irkd * wo

w0 Xad Y Y r + -£- Xad -irkd w0

- X.'"d A-ad •ad

Desarrol lando D, 'se l l ega al resultado siguiente:

2 X • X ' • X2

n — M ———P + A (r + — n ^ (r 4- ——- ni - $ —=~¿ul vf.d ITT1 *d>rfd w0 PJ lrkd + Wo PJ d Wo'

- V f d

Despejando 4 » , - se obtiene:

Xkd Xf -

Esta ultima ecuación puede ser representada por- la siguiente

identidad:

-.42 -

\o N (p) y A tp) se obtiene el resultado siguiente,

d 2 fd ad kd ( — Wo + 1)

Xf

Entonces el <j> , se reduce a la siguiente forma:

Donde T,-,3-'T,?3 T,. y T-7 son constantes de tiempo y están

dados por las siguientes ecuaciones

di w0rfd

, Akd

X2T = 1 ( y - ad'd3 w0r l Akd X

Xkd Xadd7 w0 . ríkd

Efectuando las operaciones en D? se llega al resultado:

o o0 - X , r f ,r, , + £- (-r , ,X, .X . - r, ,X,X, + r, ,X¿ , + r, .X '2 d fd kd v/0 • fd kd d kd f d kd ad fd ad'

- 43 -

X/ad

Combinando los términos semejantes da como resultado que:

X2•i p -i A

2 = TXdrfdrkd ~ rfdrkdxd ( Wor (Xkd ~ Xadj + ^i ^Xf " r. ' Xd

2 2-pj^i-jX, . 3Í j X , (2X , - X. .- X-) o«M^ cx . ad) (v + ad ad d f> 2

o rfdrkd f xd kd xx - x

Finalmente D, se reduce a la siguiente forma:

D2 = -Xdrfdrkd

Donde T,«5T,5 y T.g son constantes de tiempo3 cuyas: expresio-

nes son (9):

X2T

U*T W°^fd ^ ^H '

X2T - 1 ( K _ adl

d5 w0r l t j v\ X, •

Td6ad VAAad "d 'vf

Y Y - YXdxf xad

Reemplazando (7-4) en (7-3) resulta que:

, Xad ti + Td7P) Vfd

- 44 -

Ahora si:

XA (1 + T,- + T,c)p + T•y

n /' /G p) = /., , /•=== —4=—: —=—= 7- (7-6)^r / M 4- (T + T ) n 4- T T r>¿- y

• u + udl 'd2jp 'dl'd p

Entonces:

•h = -X , (p)i . + — G (p) V,, . (7-7)Q Q Q r TQ

Las ecuaciones del eje en. cuadratura son similares a aquellas

para e.l eje directo, pero son más simples porque no hay devanado en

cuadratura del campo.

Eliminando'la corriente i, en (7-2} y realizando las opera_

ciohes respectivas el é queda como sigue (-9):

= - Xq (p) iq . • (7-8)

Donde

1+ T_, „Xq(-P^ ='Xq T^J-<* q X + !q2 p

En la que T , y T 2 son constantes de tiempo (9.):

- X 21 -i rt

Tql Workq

W.°rkq

El significado de los términos de las constantes de tiempo de

circuito abierto y cortocircuito transitorio y subtransttorio son ex.

pilcados en la referencia (9) y 0-1)•

Ellos son dados por:

T1 = T T" = T1 do di ' ' d0 'd3

T1 = T T" = T1 d d4 ' d 'd6

T" = T - T" = T 9q ql q0 q¿ .

Puesto que" T ,2 y T ,3 son del mismo orden y mucho -más peque-

ños que I,.,, T,5 y T,g son del mismo orden y much.o más pequeño que

T.¿, las impedancias operacionales pueden ser aproximadas a:

Cl + T'd p) U + T"d p)X, (p) = X . : . ' (7-10)

- Ü " U + T' p) U + T" p)

= 1 + kd — •" ' (7-11).(!+ T' p] (1 + T". p)

U o UQ

1 4- T" P

XqCp) = X

Estas aproximaciones introducen errores en las constantes de -

tiempo de la maquina que normalmente no excede del 5% para parámetrostípicos de máquinas grandes. (.1)

Es una práctica común en el análisis de sistemas de potencia,en aquellos casos donde las ecuaciones simplificadas son usadas para

adoptar una notación del sistema por unidad en que la"unidad de exci_tación da una unidad de voltaje. Por ello es necesario modificar -las ecuaciones de la máquina solamente para el voltaje de campo3

puesto que las corrientes de los devanados amortiguadores han sido

liminados de las ecuaciones y los voltajes- de los devanados amorti

guadores son cero.

En el sistema p.u. 5 en él 'que se considera unidad de excita'ción/unidad dé voltaje, la ecuación (7-5) queda (9):

fd" Xd(p) 1-d + G (p) V

Esta ultima ecuación puede ser descompuesta -en fracciones par_cialeSi para ello se utiliza el teorema de desarrollo de Heaviside -

que dice.: "La teoría de la descomposición de las funciones raciona -

les en fracciones simples demuestra que, si F(p) es un polinomio de

grado m, que no tiene' más que rafees simples a 3 y si f(p) es un po-

linomio cualquiera de grado inferior-, se verifica la identidad:

Aplicando esta regla al ^d tenemos que:

F(.p) = [1 + T. p) (1 + T" p)>J o *-* o

Para facilitar el desarrollo se'realiza lo siguiente:

Donde:

fl ÍP) = (1 + T'^p) (1 + T"d p)

f2 (p) = (í + Tkd p)

- 47 -

. 'Efec tuando las operaciones indicadas se obtiene que:

rr t T M -ri -pi y i -r"> ln\' T" ,CT" . + !'.)-, d d , d d^ , n d di ( p ) T d T d ( d - ü í " r ~ + — ) . ) P + U - T — r

~MP)

+ do d0 d0 do

T'd0 T"do (1 + T' , p) (1 + T", p)u o UQ

Las raíces de F (.p) son:

T"' d c

La deriva del denominador F Cp) con respecto a p es:

; F'(p) = T' (1 + T" p) + T", ti + T1 p) 'UQ UQ UQ UQ

Para la primera raíz P,3 queda la siguiente expresión:

Ti v ' H ' H ^ T1 T" y y ' V J- T» T" •i~ f .-. \ .1 U U I j l i I _t I iN IP-i J GO d0 d0 ' • • d0' 'd(1 i' _

T"F1 íP, ) H1 V.KT J U0 -i

• T i /1 _ ^ / n 4- -1 }1 j l-L Ti -HP -r,' ^

üo ' d o ' do

Realizando las operaciones necesarias en el numerador_y sim-p l i f i c a n d o se tiene:

)do

(i + T' PTdo

Para la segunda raíz P2 se realiza el mismo proceso y se 06-

48 >

tiene que:

T" T1

. " ~=r"

f (D 1J

FI(P2} (1 + T" p)

Para f« (p) se procede de la misma manera, luego para la raíz

se obtiene:

T1 - Ti i i * ) •d0 kdf ín } T1 T"T2 ltV ' d0 ~ ' d,

De Igual forma, para la raíz P2 se da "como resultado que:

T" - T' d o 'kdT' - T"

F' (P2) 1 + T"do p

Reemplazando todos los. resultados en la ecuación (7-13)3 éstatoma., la siguiente forma:

fltPl}

Entonces:

T" T1 •

7 , T'd T"d 6-Vl

- 49 -

6"Vfd } (7-14)

1 + T" pUo

Las ecuaciones (7-8) y (7-13) pueden ser reescritas de la si-

guiente manera:

A " T - —V— i - X" iI J -1 . Til v-, I. j A i I ,i

Donde:

YA d "d T1.,dc

"d d T1' d

T"Y" = YX

t _-

1 + T" , p

T +T r , P~" 'd " Í P d " dd 1 + T' p fd

G" . ' (7-15)

T"HO

T' - T T" .- TO o _ K Q / - N I ¡ _ . Q O f C u_

=f71 — - —^r-t - 71—j ~ • ' j I j ~ ' jdo do QO do

1 .3 X", y X" son las reactancias en el eje directo transí"Q O C| —

• - 50

tona y subtransitoria en el eje directo y en el eje'en cuadratura,

respectivamente. Estas reactancias son definidas- en las referencias

(8) y (11). Las aproximaciones en las constantes A y B son del or -den de 1/2% y 5%, respectivamente. Los errores Introducidos po.r;res--(tas aproximaciones son por tanto insignificantes. (1).

Asi:

"Y _ Y' Y' - Y"A t . A i A i .A j • r* I, „ d d • , d d • , y u - , , b ..*cl ~ ' 1 + PT' 1Ü " 1 + PT" , ld " A d ld + 1. + PT' , ~ Vfd

d0 d0 d0

G" ' C7-18)1 + PT" . fd.QO

• Tres variables adicionales Vq'3 Vq" y V",5 que son voltaje -

transitorio, en el eje q 5 voltaje su&transitorio en el eje q y d 5 res_pectivamente, son introducidos (l), asi):

1 Y - Y'IM-. - G' M d d - _,

V"q = *. + ^"H id (7-20)

V"d = - (*q + X „ iq) (7-21)

Sustituyendo (7-20) y (7-21) en (7-16), (7-18). y (7-19) y re-ordenando se llega a lo siguiente:

C-6 Vfd - (Xd - X'd) .fd - V C7-22)- "

pV'q = Yñ1- C-G"Vfd - (X'd - X"d) id - V"q + V'q) + pV'q C?"23)

(Xq - X''q) iq - V"d) (7-24)

- 51 .-

Sustituyendo $ , y $ de las ecuaciones (7-20) y (7-21). en la.

ecuación del torque dadas en (3.3.6)se tiene:

Fele = V"d id + V"q iq + tx"q - X'V íd 7

Los valores de $ , y $ definidos en las ecuaciones (3.3'.l)y

(3..3..2)son sustituidos en la ecuación de voltaje del estator de la e-

cuacitfn (3. -31-5)" obteniéndose las siguientes ecuaciones:

V , = -r id + —d s w0

V = -r Iq 4- —E- 4» + Y6 (7-27)q s ^ w0 q r*d v ;

Las ecuaciones comprendidas entre C7-20] y (.7-27) son equiva-

lentes a las ecuaciones de la máquina original^ aunque se Introducen

un error del 5% en el cálculo de las nuevas constantes de la máquina

con respecto a las constantes Básicas empleadas en las ecuaciones o-riginales.

Ciertas reducciones que simplifican son ahora Introducidas y

que dará como resultado modélesele máquinas menos complejos (1).

La aproximación es hecha en la ecuación (7-20) y (7-21), asi:

P*q =-PtV"d + X"q ) PV'd ' - (7"29)

y*d = Y^V"q " X"d 1d^ "YV"n - x"d 1d ' (7-30)

- X"q iq (7-31)

- 52 -

•Int roduciendo estas ú l t imas ecuaciones en (7-26) y (7-27} se

dan como resultado que:

rs i d + - E _ V « + T V « d + X"q i-q (7-32)

V = -r iq - -x— V", + TV' . - X" id [7-33)q • s M W0 d q d '

El modelo 4 es. el más simple de las representaciones en que -

los devanados damping son incluidos. El flujo concatenado principal

se permite que varié, pero el voltaje de transformación en las. ecua-

ciones del estator son despreciados y la saturación no es represente^

da.

Entonces, para el modelo 4 se hacen las siguientes considera-

ciones. (1):

a) • y3 en las ecuaciones de voltaje del estator (.ecuaciones (7-32)

y (7-33) )es asumido que es igual a 1.

15] PV" /w0 y PV" ,/w0 en las ecuaciones de voltaje del estator -

(7-32) y (7-33) se considera que van a ser cero.

c) (V en la ecuación (7-22) es asumido que es igual a 1.

d) G" en la ecuación (7-23) es asumido que es cero.

Tomando en cuenta estas consideraciones las ecuaciones apro -piadas para el modelo 4 son:

PV'q - .^- (Vfd - El) (7-34)

Donde El - V" + CX, - X' ) i.q ^ d d ' d

- 53 -

pVu + _ _ - tV"q + En) + pV'q

Donde EII = V '- (X'd - X"d) i.d

pV'i = •, •*•— (£ - V" •)v d • T n 31 dq°

Fele = VVd

V»d + X " t C7-38)

Vq = - rst + V - X"díd (7-39)


De igual manera que en Tos modelos anteriores se defí-

neti temporalmente fasores tomando como referencia el eje d

(10):

Vt = Vd + Vq

Tq

V"d = V"d . ' (7-40)

V" = JV"q q

- 54 -

j j

y" = v" , + V"d q

Reemplazando las ecuaciones (7-38) y (.7-39) en Vj. y de_s_

preciando la saliencia subtransltorla es X" = X" , se llega a:

V" = V (rs + j X"d)

El diagrama fasorlal se muestra en la f i g . 7 . 1

(7-41)

eje q.

e d

eje de referencia

Kg; 7.1

Diagrama fasorial

.Modelo 4

Al despreciar las corrientes de amortiguamiento s1gnifj_

ca que dos efectos principales son ignorados: 1) que el efec-

to de amortiguamtento debido a-los devanados amortiguadores -

es despreciado, y 2) que el efecto de los devanados amortigua^

dores so&re el campo y el estator es despreciado durante el -

periodo transitorio.

Si una simulación exacta de estos efectos es requerido,

el modelo 4 puede ser utilizado. Este modelo basado en las -

ecuaciones de los cinco devanados de la máquina, puede repre-

- 55 -

•sentar efectos del sistema, de excitación, efectos de amortigua^

miento3 efectos de los devanados amortiguadores sobre el campo

y el estator.

-Las desventajas de este modelo son dos. El primero es -

que ésta representación requiere un mayor tiempo de. computa -

clon y el segundo, la gran cantidad de datos que son requerí -

dos.

7.3 DIAGRAMA DE .FLUJO ESQUEMÁTICO

En algún instante de tiempo el ángulo <53 la componente

en el eje directo del voltaje subtransitorio V", y la compo -

nente en el eje en cuadratura del-voltaje subtransitorio V"qson conocidos a partir de las ecuaciones diferenciales. Por

lo tanto Y"es conocido. La representación viene a ser como -

la de un voltaje 'constante detrás de una reactancia'constante

para un instante de tiempo cualquiera. Por lo mismo esta re-

presentación es tan simple como la del modelo 1. En cuanto a

la solución del sistema de ecuaciones, .en la fig.7.2 se mués -

tra su proceso de cálculo para el estudio de estabilidad tran-sitoria de este modelo.

La tabla 1 indica los datos requeridos para este modelo.

- 56 -

Cálculo 'de condiciones de prefallo

< $ , 7 " 7 " 7" deben calcularsed a

c

Resolver ecuaciones de la red

Calcular 7" , 7n ,7' ",P _ ,31d' CL . q ele1

EII,SPR,S3I

V ,EIa

j;V" ,31"

<l':,EPR E3I,7"

Resolverpy 1 __ —±—J T'

Resolver

P7" - -V" )+EPR

ele

Resolver•n,Tt, 1 /-,-,-r ,r , ,- \ ' d~ T^ ^I"Yá

\"d

Figura7-2 Diagrama de flujo para en Análisis de Estabilidad 0?ransitoria

Modelo 4

C A P I' T. U L O VIIT

MODELO 5

El desarrollo matemático en su totalidad se efectuó en

el capítulo VII* por lo mismo las demostraciones para el mo-

delo 5 no se considera. La diferencia con el modelo 4 con -

slste en que no se hacen las restricciones a3 \5S c y d3 del

capítulo anterior.- - - - —

Entonces las ecuaciones apropiadas para el modelo 5 son

las ecuaciones comprendidas entre (7-22) y (7-25) y las ecua-

ciones (7-33) 5 así:. - __ . __/

PV = -yr— (G'Vfd - El) [8-1)

P\'"q = -r- l-G"Vfd + EII - V" ) + PV'q (8-2)00 . '

(E3I - V " ) . C8-3)d

Donde:

El = V + OC " X' ) 1 .q v d dj d

EII = V (.X' - tX' - X" ) i .•• q ^ q ^ á á' d

•ESI = exq- x»q) iq

- 58 -

F -, = V " , i , + V" i + tX" - X" ,)i,i (8-4)ele dd qq ^ q d' d q ^ /

V . = -r i, + -E- V" + Y V " . + X" i' ' . (.8-5)d sd v / 0 q d q q *

V = -r i - -2- V- " , + YV" - X1 ' i . * - (8-6)q s q W 0 d q d d . v y


Finalmente definiendo'los fasores de igual forma que

los modelos anteriores se obtiene:

Vt = Vd + Vq

O» O)

í >

V" = V" , + Vd q

Hj

Reemplazando las: ecuaciones (8-5)' y (8-6) en V, y des

preciando la saliencia subtransitoria se logra el siguiente

resultado:

Donde pV" = • (pV"d + jpV" )

Su diagrama fasorial se muestra en la fig. 8.1

-59 -

Cuando se produce una falla cerca de los terminales de .

la máquina puede producrrss una componente de corriente conti_

nua3 la misma que daría lugar al aparecimiento de un torque -

significativo. Este torque decae rápidamente, pero puede te-

ner efectos soBre la variación del ángulo y velocidad de la -

máquina durante la falla. Si éste efecto, asi como la varia-

ción de la velocidad de la máquina sobre el voltaje generado/

y todos los efectos detallados en el modelo 4 desean conside-

rase s el modelo 5 es el recomendado, para lo cual se requiere

•más datos y más tiempo de computación para su ejecución.


En algún instante de tiempo el ángulo <53 la componente

en el eje directo del voltaje suBtransitorio V" , y la componer^

te del eje en cuadratura V" a's-ícomo la variación de velocidadM

(Y) y las variaciones de V", y V" (pV" , y pV" , respectiva -o."

mente) son conocidos. Por tanto V" es conocido. Es decir la

representación de este modelo es similar al .modelo 4. En la -

fig.8.2se muestra el proceso para el cálculo.

La Tabla 1 indica los datos que se necesitan para este -modelo.

eje

eje d

eje de referencia

Píg 8..1

Diagrama fasorial

Modelo 5

- 60 -

' f dV1 ,

Q

t iResolver

Cálculo de condiciones áe prefello

, V" V r t r V n , deben calcularse.

Falla J

".Resolver ecuaciones de la red

Calcular V^,T" V* ,? ,£1,211

fd"

L es oí ver

"V"

cíe

"Resolver

G. j, oí

V

Figura Q.2 Diagrama de flujo para .Análisis de Estabilidad Transitoria

K O d é l o 5

- 61 -

TABLA 1 -

Constantes Modelo 1 Modelo 2 'Modelo 3 Modelo 4 Modelo 5

r x x x • x . x

X , x ' x . x x

' X x x x x

X ' d x x ' x x x

A , " X X

T"

T" q°

kd

•x X.

C A P I T U L O I X

PROGRAMA DIGITAL PARA ANÁLISIS DE ESTABILIDAD TRANSITORIA

IJn análisis de estabilidad transitoria se realiza resolviendo

simultáneamente las ecuaciones -algebraicas .que describen la red y las

ecuaciones diferenciales de la máquina y del regulador de voltaje.

9.'l CALCULO DE ESTABILIDAD TRANSITORIA (7)

Las variaciones de ángulo que se producen en las máqui -

ñas sincrónicas de un S.E.P. al ocurrir una perturbación se ob_

tiene resolviendo la ecuación de oscilación que gobierna el mp_

vimiento rotacional de cada máquina del sistema. En sistemas

de multimáquinas hay tantas .ecuaciones de oscilación cuantas -

máquinas estén conectadas al sistema.

La solución de las ecuaciones de oscilación se realiza -

por métodos numéricos; el método empleado y'que da un buen mar.

gen de seguridad es el. llamado método de Runge-Kutta de 4"° o_r

den.

El torque eléctrico de la máquina depende de la posición

angular de la máquina en consideración, .como también de las má_

quinas del resto del sistema. Para el conocimiento del torque

eléctrico en un intervalo de tiempo-;, hay que resolver las ecua_

ciones de la red. De igual manera el cálculo de corriente dela máquina implica una solución de la red. El proceso se repj_

te para cada una de las máquinas. La diferencia entre el tor-

que mecánico y el torque eléctrico más torque de amortiguamien_to (en casos de que se consideren los efectos de los devanados

amortiguadores) sirven para calcular el nuevo cambio del ángu-lo .

63 -

9.2 .DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL (6).

El programa digital para el estudio de estabilidad tran_

sltoria, Incluyendo la simulación de los diferentes modelos -

de máquinas sincrónicas se realiza en lenguaje FORTRAN IV ylas aplicaciones se. corren en el computador de la Escuela Po-

litécnica Nacional.

El programa digital consta de:

1) Programa principal

2) Subrutina LDFLOW

3) SuBrutina MPRED

4) SuBrutina LINEPA

5) SuBrutina VAIN

6) SuDrutina VTRANS

7) Subrutina POTEN .

8) Subrutina RKUTTA •

9) Subrutina EQGEN

10) Subrutina PLOT

9.3 - PROCESO DE CALCULO PARA UN ESTUDIO DE ESTABILIDAD TRANSITORIA

(6)

El proceso de cálculo usado en el estudio de estabilidad

transitoria en un S.E.P. puede ser mejor mostrado mediante e_n_laces como se Indica en la fig. 9.1. Esta es una representa -ción muy simple pero que comprende todos los bloques que concj_

be todo el proceso para análisis de estabilidad transitoria.

. El bloque 1 es la entrada de los datos generales: comonúmero de barras, numero máximo de lineas, número máximo de j_teraciones.

- 64 -

• . . E l bloque 2 lee datos de- lineas y forma YBUS. El blo-

que 3 lee y almacena los datos de las barras y llama a subnu_

tina LFLOW encargada de encontrar voltajes y flujos de poten_.

cía antes.de la falla. El bloque 4 lee datos de generadores

de reguladores-de voltaje. El bloque 5 ejecuta la modifica-

ción de la matriz original YBARRA, de acuerdo a la continge_n_

cía a simularse a través de subrutina MPRED. Luego transfor_

ma todas las cargas de las barras a admitancia constante-e -

Incluye la admitancia de transferencia de los generadores m_e_

diante la subrutina LINÉPA. Además calcula los valores ini-

ciales de los parámetros, según el modelo de máquina sincró-

nica a emplearse para el tiempo (t) igual a cero mediante -

subrutina VAIN. El; bloque 6 resuelve las ecuaciones de la

red, por medio de subrutina VTRANS. A continuación se calcu_

la el torque eléctrico y si es necesario, el torque debido a .

los devanados amortiguadores5 todo el~io5 mediante la subruti_

na POTEN, Luego resuelve las ecuaciones diferenciales para

determinar Ja curva de oscilación5 la velocidad angular del

rotor y los parámetros del regulador de voltaje mediante la

subrutina RKUTTA. Seguidamente realiza el cálculo de los -

nuevos voltajes internos transitorio y/o sub-transitorio a

través de la subrutina EQGEN. Por ultimo se hace un control

del tiempo de estudio y si éste ha concluido se gráfica las

curvas de oscilación, (6 - t), mediante la subrutina PLOT. -

El bloque 7 contiene instrucciones de escritura de mensajes

de error en caso de que alguna'condición requerida no sea cum_

plida.

Lectura de datos generales

2Lectura de datos de L/T. Formación de YBarra

•v

3Lectura de datos de "barras

Flujo de. carga inicial

•

PJ

r '

ILLA

í

\

\ N\

\.— -i»

/

/

'' /

/ '/ '

/ <

7ERR0RE-S

Lectura de datos degeneradores y- reguladores

4 /V /

Il

i

Modifica YBarraCalculo de parámetros según, el modelo

5

Resuelve-, -ecuaciones de la red-torques-ecuaciones diferenciales

Calcula los nuevos voltajes internos-

í

Sl Terminó eltiempo v

NO

G-raficar.¿—t

ii

*1-~L.

Otracontingencia?

_ÜO)I

_si I

Fie:. 9.1-í- -í. r^,» ^/ * i

C A P I'T U L" O X

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Y CONCLUSIONES

El programa digital puede ser empleado para el cálculo de los

'voltajes en las barras, voltajes internos de la máquina, velocidades

del rotor, ángulos de oscilación del rotor de la máquina sincrónica,después de que se haya producido un disturbio; tanto para el caso de

una máquina conectada a una barra infinita, como para un sistema de

multirnáquinas.

'10.1 EJEMPLOS DE APLICACIÓN • ' .

EJEMPLO N2- 1

La /consistencia y validez de los resultados del pro-

grama digital para, el cálculo de estabilidad transitoria, que

se presentan a continuación en este Capítulo, se realiza pri-

mero mediante una comparación de los- resultados obtenidos coneste programa y los obtenidos en la referencia (_6), que es -

una aplicación también'de la referencia (13). La fig 10.1 in_

dica el sistema propuesto.

El problema en estudio consta de dos unidades de gen_e_

ración, cinco barras, siete lineas. Los datos de la línea -

[impedancia en base 100 MVA) se dan en la tabla-N£ 2. Los -

datos de generación y carga constan en la fig. 10.1. Los da-tos de los generadores se indican en la tabla H° 3. La -tablaN- 4 indica los datos de los reguladores de voltaje empleados.

El estudio de estabilidad, tanto para el presente pro_

grama como el realizado en la referencia (6), comprende una -falla trifásica en la barra N- 2, la falla es despejada en -

--0-.1 seg. El intervalo de "integraciorres-de 0.025 seg.

- 67 -

Las condiciones iniciales del sistema se encuentran

mediante el uso del mismo programa digital.

10.2 ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS

Los resultados obtenidos del ángulo de oscilación <5

del presente programa y los correspondientes- a la referencia(6) se muestran en la tabla 5 y la tañía 6,

En la Tabla 5 se observa los resultados para el mod_e_

lo 1 de este trabajo,cuyo gráfico se muestra en la fig. 10.25y el modelo 1 de la referencia^ las diferencias son mínimasy se deben a que la ecuación de oscilación está expresada en

función de torques. Además los resultados son satisfactorios

con los observados en la referencia (13). Por lo tanto se -puede afirmar que el modelo 1 del presente estudio trabaja co_

rrectamente./

La tabla 6 indica los resultados obtenidos para el mci_

délo Z del programa, cuyo gráfico se muestra en la fig. 10.3

y el modelo 2 de la referencia3 en los que observa que los re_sultados prácticamente, son los mismos.

Pero el objetivo de este trabajo es comparar entre mo_délos de máquinas sincrónicas de diferente grado de aproxima-ción. Con este propósito se .observa que el modelo 1 del pro-grama tiene el ángulo inicial 5 diferente (menor) que el ángu_

lo inicial ¡s del modelo 2. Para poder establecer una compara^ci'ón se debe partir de las mismas condiciones iniciales; estose consigue utilizando la reactancia sincrónica Xq en vez dela reactancia transitoria X1 ,, los resultados obtenidos al ha_cer este cambio se indican en la f.ig. 10.4S la cual muestra -que en la primera oscilación alcanza un valor máximo que es -

mayor que el modelo 2 con 4 grados; lo cual es correcto de a-cuerdo al análisis de los modelos 1 y 2 realizados en los ca-pítulos anteriores. Es decir con el modelo 1 se tiene un lí-

mi te de estabilidad transitoria mayor que el modelo 2.

Si Bien no se conoce la respuesta real del sistema fí_

sico, la comparación anterior " permite afirmar que la simu_

lación digital del modelo 1 y del modelo_ 2 pueden determinar-en forma satisfactoria el comportamiento de la maquina sincro_nica durante el período transitorio, dentro de los limites a-

notados para cada modelp.

La información completa proporcionada por el presenteprograma consiste de condiciones iniciales, de los ángulos deoscilación, velocidad angular de la máquina, los voltajes de-trás de la reactancia sincrónica X 5 los voltajes destrás dela reactancia transi'toriassincrÓnica en los ejes d-q, el vol-taje de campo. . Resultados que se presentan en los listados.

2OJ1

Ü

S/E

MA

IN

S/E

E

LM

GE

NE

RA

CIÓ

N

Y

CA

RG

A

DE

L S

IST

EM

A

FI.G

10.

1

- 70 -

TABLA ' 2

DATOS DE LINEAS Y TRANSFORMADORES

LINEA

DE

1

1 '

2

2

2

3

4

A

'2

3

3

4

5

4

5

IMPEDANCIA

RESIST.

2.00UOO

8.00000

6.UOOOO

6.00000

4.00000

l.UOOOO

8.00000 .

PCT

REACTAN.

6.00000

24.00000

18.0000U

18.00000

Í2.00UOO

3.00000

24.00000

Y SHUNT P.U

YC/2

0.03000

0.02500

0.02000

0.02000

0.01500

0.01000

0.02500

TABLA '3

DATOS DE LOS GENERADORES QUE INTERVIENEN EN EL ESTUDIO

GEN BARRA A CTE INER

NUM NUM NOMBRE H

1 1 S/ENORTE 50.0000.

Z 2 S/E SUR 1.0000 0.0000 1.5000

RA

P.U.

0.0000

- XDS

P.U.

0.2500

XD

P.U.

Xq

P.U

TABLA 4

DATOS DE LOS REGULADORES DE VOLTAJE PARA LOS GENERADORES CON MODELO II

NUM KA TA VRMAX VRMIN KF • TF KE TE AEXP BEXP

1 60.00 0.06

2 50.00 0.06

1.00 - 1.00

1.00 -.1.00

0.07 1.00 -0.04 0.50 0.0016 1.465

0.08 1.00 -0.04 0.50 0.0016 1.465

COMPARACIÓN DE ÁNGULOS

TIEMPO(SEG.)

0.0

. 0.1 .

o.z0.3

0.4 .

0.5

0.6

0.7

.0.8

0.9

1.0

1.1

, 1.2

1.3

. .1.4.

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2:1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

' 2.7

GENERADORNUMERO

1'2121.212 . . . .

121 '2•12121"2121

' '21

' ' "2l2121

• • ; • • • • 212

. 121

" "21

' ' 21

' ' 21

' "212 ' '1

' ' 212

, 1' 2 -12'1212

- 71

TABLA

(6) DE LOS. ESTUDIO

MODELO 1'REFERENCIA

16.339• ' '18:403'

17.498' ' 401001 '20.283'63.39624.200

' ' ' 4-1: 746'28.604

'• 3.13532.3712.788 '35.351

' ' '45:558 '38.515

• • '78.934' '42.719

' ' '69:373'47.646

' ' '32.100' '52.184

' ' '19:736' '55.873

' ' '54:584' '59.445

'• -94:425" '63.896

' ' '94:485"69.211

' ' '63:912' '.74.400

1 ' '42.648' '78.761

' ' '67.776 '82.758

' '100.562' '87.428

' '123.058 '93.026

' '97.298" '98.742

' '70:399 '103.712'85.286108.135'127.833' '113.001 •149:199118.797131:342124.922101.832

5

GENERADORES QUE INTERVIENEN EN EL

MODELO 1(6) PROGRAMA

16.339'. "38.391 •

17.497" 39.999 ."

20.28163.38624.19641.72428.5973.11032.3612:78135.33945:56138.50078:91442.699'69.312

- 47.618• '32:01452.14319.687 ' "55.81954.58359.37794:39363.81596:36469.11663:728' '-'74.28742:511' '•78.628

' '67.717 •82.606110:473 -87.259

' • "122.844 • '92.83796.97298.53270.135103.48085.156107.883127:689112.733148.885118.512

' 130.864124.615101.397

COMPARACIÓN

' TIEMPO(SEG.)

0

0.1

O.Z

0.3

0.4

0.5

0.6

• 0.7

0.8

0.9 '

i;b

1.1

.• 1.2

1.3

1.4

1.5

1,6

1.7

. 1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4 '

2.5

DE -ÁNGULOS

GENERADORNUMERO

12121212121212121212121

• 21212121212•121212121212121212

- 72 -

• TABLA 6

(.6) DE LOS GENERADORES QUE INTERVIENEN EN ELESTUDIO

MODELO 2REFERENCIA (6)

32.85529.29634.03950.89636.87581.53740.89377:23645.88644.88850.97514.87355.36117.76258.86053.36262.05889.70865.71396.07869.93972.252

••74.17345.56677.78744.58080.63972.26283 239104.34986.264113.83689.89596.57893.71972.66.497.14367.45599.90687.581102.345115.654105.035127.654108.212116.210111.63196.214114.80389.509117.434103.944

MODELO 2PROGRAMA ' ' :32.85429.29634-03950.89636.87681.49440.89577.21045.88744.91750.97514.9255.35617.79058.8553.32962.04689.64765.69996.06269.92272.37574.15445.71177.76244,567

. 80.60772.05483.198104.099

• 86.210113.760

. 89.82796.70293.64172.87597.05967.49999.81887.322102,246115.230104-.921127.354108.081116,227111.48496.478114.64789.657117.276103.682

- 73

10.2 GRÁFICO DE LAS CURVAS DE OSCILACIÓN DE MODELO 1

FALLA TRIFÁSICA EN LA BARRA NUMERO 2

DESPEJE DE FALLA EN 0.1 seg.

O GEN N£ 1

B GEN N£ 2

- 74 -

FIG> 10.3 • .CURVAS DE OSCILACIÓN DE MODELO 2FALLA TRIFÁSICA' EN LA BARRA. N^ 2

DESPEJE DE FALLA EN 0,1 seg.

O GENERADOR N2 1

B GENERADOR N2 Z

- 75 -

FIG.10.4 CURVAS DE OSCILACIUN DE MODELO 1 (UtilizandoXq )

FALLA TRIFÁSICA EN LA BARRA N2 2

DESPEJE DE FALLA EN 0.1 seg.

1- GENERADOR N2 1 .

2 GENERADOR N* r¿

76 -

EJEMPLO .N£ 1

RESULTADOS DEL PROGRAMA COK DATOS DE LA REFERENCIA (6)

FALLA TRIFÁSICA EN LA BARRA N2 Z

DESPEJE A: 0.1 seg.

TABLA A: MODELO 1 considerando la reactancia transitoria X'

TABLA B: MODELO 1 considerando la reactancia sincrónica X

TABLA C: MODELO 2

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MrjDtiLU 2 CUÍJ Hl-GULAlJUfíES UE VOLTAJE '

GENERADORESENERO 1903

AMCiULUS Y VELO CI DADES HE GENERADORES QUE INTERVIENEN EL ESTUDIO

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.105- 1 1 S

- 98

Ejemplo N* 2

El funcionamiento de los 5 modelos descritos son comparados -

con resultados obtenidos de una máquina de 30 MW conectada a través

de una linea a una barra infinita (1). -La fig. 10.5 indica el siste_

ma propuesto. El sistema consta de un centro de generación-, tres ba^rras, dos lineas y una carga. La generación y carga consta en la -

misma fig. 10.5.

Los datos de la máquina y el sistema de transmisión son dados

en la. tabla 7 y en la Tabla 85 respectivamente a los datos del siste-

ma de transmisión asi como- las reactancias de la máquina se dan en -

la. base de 100 MVA.

Los datos del regulador de voltaje se determinó de tablas (2)

de acuerdo a la potencia nominal 'de 1.a máquina, y se indican en la -

tabla 9. /

El estudio de estabilidad comprende una falla trifásica en el

lado de alto voltaje del transformador (.barra N~ 2) . La duración -

del cortocircuito es de 0.4 seg,

Las condiciones iniciales del sistema se encuentran mediante

el uso del mismo programa digital.

Los resultados del computador de los 5 modelos se incluyen a

continuación.

i

3

30+j22.6 (MW+ MVAR

FIG. .10 .5

99 -

TABLA 7

DATOS DEL GENERADOR

Potencia aparente, MVA

Potencia activa, MW

Resistencia del r 3 p.u,

X > p.u. /

X",5 p.u.

T'rl > S /tío v

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T11 ,s J

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30

• 0.005

5,06

4.3

0,635

0.368

0.48

6.23

0.0517

O*. 536

0.014

0.10.65

7

5.29

- 100 -

TABLA 8

DATOS DE LINhAS Y TRANSFORMADORES

LINEA f IMPEDANCIA PCT Y SHUNT p.U.

DE A RESIST. REACTAN. YC/2

1. 2 4.60000- 12.65000 0.00000

2 3 • 1,35000 35.39999 O.00000

TABLA 9

DATOS DE LOS REGULADORES DE VOLTAJE PARA LOS GENERADORES CON MODELO II

KA TA VRMAX VRMIN KF TF KE TE AEXP BEXP

1 57.14 0.05 1.00 - 1.00 0.08 1.00 - 0.04 0.50 0.0012 1,210

- 101 -

ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS

Tanto las curvas de oscilación para los diferentes modelos, co_

mo la curva de oscilación obtenidas de las pruebas del Sistema real -

físico,, para este ejemplo, son presentados en la, referencia (1) y los

gráficos correspondientes se muestran en la fig. 10.6. En esta se ob_

serva que si bien la representación de los diferentes modelos, tienen

la misma tendencia que la curva de oscilación del sistema físico real3

sin embargo no son bien exactos.

Las curvas de oscilación para los diferentes modelos del pre -

senté programa se muestra en la fi'g. 10.7. Las diferencias que se ad_

vierten se debe a que en la referencia (.1) se toma como datos algunas

medidas obtenidas en las pruebas tanto del regulador de voltaje como

del governor de velocidad. Es decir las condiciones iniciales de op_e_

raci'ón del tregul ador de voltaje fueron tomados como datos iniciales -

para las variables de estado del modelo de regulador de voltaje como

.se menciona en la referencia (.14). También en esta misma, referencia

se anota que existe apreciable diferencia entre los parámetros del e-

je directo y del eje en cuadratura de la máquina e incluso se mam" -

fiesta si; las reactancias subtransitorias fueron seleccionadas para -

tener una buena concordancia en la primera oscilación.

En Base a estos comentarios, a pesar'de que el alcance de esta

tesis, no comprende la modelación del regulador de voltaje, sin em5a_rgo se hizo la prueba utilizando el mismo regulador de voltaje dé la -

referencia 1, pero debido a que se desconocen los valores iniciales -

de variables de estado del regulador.se obtuvo resultados diferentes.

Con el propósito de ccmparar las respuestas de los diferentes

modelos, se utiliza el mismo regulador de voltaje de la referencia (6)con parámetros correspondientes a la potencia nominal de la máquina.

De esta manera se obtiene respuestas de los diferentes modelos.

En el.gráfico de la curva de oscilación (£-t) para el modelo 1

- 102" -

del programa fig. 10.7a, se muestra que los resultados son completa-^mente alejados de los va lores- rea les , tal como se menc iona en la re-ferencia (1). EsjicL-n&ap.ujes.ta-j-ci&arentemente 1 nestable , se debe a -que la reactancia s incrónica X de la m á q u i n a es grande. Esto hace

Mque haya deficiencia de este modelo para este ejemplo en particular.

La fig. 10.765 es el gráfico de la curva de oscilación para este mo-

delo al despreciar la reactancia transitoria, pero se observa que no

hay una'buena correspondencia del ángulo inicial del rotor (.<$) con -

respecto al valor inicial del ángulo del rotor s del sistema real.

La fig. 10.7c muestra el ángulo del rotor del programa para -

el modelo 2, En este gráfico se ve la ventaja de utilizar X por su

verdadero valor, el valor inicial del rotor es satisfactorio. Sin -

'embargo de que el valor inicial del ángulo 5 de la curva de oscila -

ción 6-t y el máximo de esta curva-en la primera oscilación se alcari_za en el mismo intervalo de tiempo, la correspondencia entre la cur-

va de oscilación del programa y la del sistema real no es tan Buena,

para este ejemplo. Esta diferencia se debe a las circunstancias ya

anotadas.

Los resultados- obtenidos del programa para la primera y segun_

da oscilación son como los obtenidos en los modelos más completos. -Pero en casos donde el funcionamiento del generador es de interés pa_-

ra un tiempo considerable (.3 minutos), este modelo da resultados al.e_

jados de los valores reales. El tiempo empleado por este -modelo es

de 166 seg.

La fig. 10.7ds se muestra el ángulo transitorio, del rotor del

programa utilizando el modelo 3. Los resultados nos Indican que lainclusión del efecto de la saturación solamente, no puede mejorar -

los resultados del modelo 2; lo cual también se puede apreciar en -

las respuestas de la referencia.

El tiempo utilizado es de 189 seg.

La fig. 10.7e, indica la computación del ángulo transitorio -

103 -

de] rotor para el modelo 4. La grande mejora de incluir más efectos,

en la simulación de la máquina sincrónica, es notada en comparación

con los modelos anteriores- en que los devanados damping no eran consj_

derados. Esta representación está Basada sobre las ecuaciones de los

cinco devanados de la máquina como se describió en el capitulo VIII.

A pesar de la diferencia en comparación con las respuestas del siste-

ma real, por lo anotado anteriormente, sin embargo si comparamos con

las curvas de los modelos anteriores del programa se observa que con

el modelo 4 la curva de oscilación alcanza un máximo de 92 grados que

es menor que 4U al máximo del modelo 2 y 2° menor que el máximo del -

modelo 3. También se nota que en modelo 4 se produce un amortigua -

miento a partir de la segunda oscilaci;óns tal-como se muestra en el -

sistema real.

El tiempo empleado por este modelo es mayor que los anteriores

y 'es de 249 seg.

La curva de oscilación del programa para el modelo 5 se da en

la fig. 10.7f. La diferencia con el modelo 4 es mínima, como se apre_

cia en este gráfico. El tiempo emplead-o es 260 seg.

De las comparaciones anteriores se determina que el modelo 4 -

es el más adecuado para el ejemplo en consideración, y más económico

en tiempo de computación que el modelo 5, y que el modelo 1 es el que

da resultados más alejados.

La información completa se presenta en los listados correspon-

dientes. De la información completa obtenida se muestran los ángulos -

(ó), en la tabla 7.

Para este mismo ejemplo se realiza un estudio para la misma fa_lia trifásica con un tiempo de despeje de 0.3 seg. Las curvas de os-

cilación para cada uno de los modelos se presenta en la fig. 8. El

propósito de este nuevo estudio es comprobar nuevamente el criterio

de que con el modelo 1 se obtiene una curva de oscilación con un limi_

te de estabilidad más alto que todos los otros modelos y que el limi-

te de estabilidad del modelo 2 es mayor que el del modelo 3 y que coneste a su vez obtiene un limite de estabilidad mayor a los obtenidospor los modelos 4 y 5. Los ángulos obtenidos se muestran en la tabla 8'.

- 104.-

TABLA 7

ÁNGULOS OBTENIDOS PARA UN GENERADOR

FALLA TRIFÁSICA EN LA BARRA N^ 2

TIEMPO DE DESPEJE 0.4 seg.

TIEMPO(seg).

MODELO 1con X'<j con Xq MODELO 2 MODELO 3 MODELO 4 MODELO 5

0.000.050.100.150.'200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900,951.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.90

13.56614.14315.87618.76322.80428.00034.35141.85850.52058.45763.53865.61364.545 .60.394 '53.323 "43.65931.92918.8825.456

- 7.319- 18.446- 27.081- 32.606- 34.647- 33.073- 27.985- 19.723- 8.875

3,73917.13730.28542.22652.18659.611'64.15165.'62363.97259.25851.675

36.33136.96138.84841.99446.39852.05258.98467.16476.60286.30295.246103.443110.939117.814.-124.166130.111135.775141.291146.804152.469158.456-164.955172.180180.375189.823200.847213.812229.108247.120268.160292.362319.561349.204380.395412.104443.492474.176504.321534.571

36.33136.91838.68141.62545.75351.07157.58065.28674.19082.81489.386 •93.56995.18394.18190.63684.74576.84167.37956.90445.980

• 35.113. 24.70815.0566.370

- 1.187- 7.479- 12,372- 15.748- 17.505- 17.578- 15.948- 12.650- 7.772- 1.457

6.10314.66223.91233.466 -42.864

36.33136.91838.68141.62445.75251.06657.51265.270

. 74.16582.73789.17693.15694.51293.20689.33083.10374.88165.14454.45047.369

• 32.40021.93612.2603.583

- 3.925- 10.111- 14.829- 17.947- 19.359- 19.005- 16.882- 13.042- 7,600- 0.723

7.37416.42126.08235.94545.522

36.33136.91838.58441.45745.51350.75557.18564.80573.61981.96888.03591.69497.86291.53987.83981.99374.35965.41555.736.45.94636.63428.a9821.29215.82411.9759.7178.9489.513.11.21713.84117.15120.91324.89228.87032.64036.02538.87441.06942.533

36.33136.91838.74841.77445. -99651.41358.02665.83574.84383.42489.76393.69095.12194.04990.57384.90977.39168.47558.71948.74239.14530.44823.03917.15312.89410.2559.1469.42110.89113.33916.53520.23924.21728.24132.10435.60238.57840.90742.505

- 105 -

TABLA 7

(CONTINUACIÓN)

TIEMPO(seg.)

MODELO 1 'con X 1 , con X MODELO 2 MODELO 3 MODELO 4 MODELO 5

1.952.002.05.10,15^20

2.25 -2,2.2.

303540

2.45 -

41.58329.55116.3662.9919.54120.25228.33933.23034.59632.35026.636

565.877599.261635.519674.872716.777759.966803.141845.657887.864930.912976.167

51.55459.02964.80068.49969.91068.97365.78360.59253.77945.80637.161

54.28261.70467.34170.87672.14171.11167.90962.79756.14748.40140.025

43.23643.19242.45841.12639.32237.19034.88632.56130.35228.37626.722

43.33143.39142.74141.46839.69337.55935.22332.83830.54828.47726.719

- 106 -

'TABLA 8

ÁNGULOS OBTENIDOS PARA UN GENERADOR

FALLA TRIFÁSICA EN LA BARRA # 2

TIEMPO DE DESPEJE 0.3 seg.

TIEMPO(seg.) -

•••'ANGUIMODELO. 1 . . .MODELO. 2.

.0 DE' OSCILACIÓN. .MODELO. 3. . MODELO. 4- . . .MODELO 5-

0.00.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.95

36.33136.96138.84841.99446.39852.062

- 58.98466.26872.95078.95284.22788.74792.50795.50797-75599.262100.035100.07999.39697.97995.82292.91589.25084.82379.64073.72567.12259.90552.18444.10335.84627.62819.68712.2705.621

- 0.035- 4-504- 7.633- 9.314- 9.49.0

36.33136.91838.68041.62445.75251.07057.57964.26469.86074.03376.53977.24476.11973.24168.80163.07256.39949.15349.70034.36227.41121.06415.487

-10.806 •7.1194.5013.0442.6573.4615.3878.37212.31617.08122.48528.30634.28140.11145.48250.08453.644

36.33136.91838/68141.62445.75251.05657.57264.22669.739

. 73.78376.12376.63475.30172.21867.58861.69754.89547.55940.04832.68125.72419.38813.8399.2045.5823.052

. 1.6681.4602.4264.5357.71611.86316.83022.43028.43234.57140.54646.04750.76554.466

36.33136.88338.58441.45745.51750.75557.18563.35267.70770.26271.05770.17167.74563.99159.19253.68947.85042.04136.59231.77027.769 '24.705

. 22:621 -:~21.49721.26621.82223.037

. 24.76426.84929.137

• 31.48033.73935.79137.53538.89439.81640.27940.28939.87639.094

36.33136.92538.74841.77445.99651.41358.02664.40869.02171.83472.84672.13569.83866.16561.38555.82749.86143.85738.16033.05628.15625.39523.03821.66021.21721.60722.70124.35826.40628.70431.09033.42135.57837.40738.86139.87140.40940.48040.11139.355

- 107 -

TABLA 8.

(CONTINUACIÓN)

TIEMPO(seg.)

ÁNGULO DE OSCILACIÓNMODELO 1 MODELO 2 MODELO 3 MODELO 4 MODELO 5

2.002.052.102.152.202.252.302.352.402.452.502.552.602.652.702.752.80

: - 8.155

- 5,355-' 1.186' 4.21010.64817.90925.75333.93042.20050.34158.16365.51072.26578.34883.70688.31392.158

55.95456.88356.391'54.53051.44047.33542.47737.14831.63326.19321.062

• 16.43812.4859.3337.0815.7995.524

56.924 ... .58.03057.747

- 56.12553.300

- 49.47544.89539.82934.54529.29324.29519.742-15.7901*2.56510.163

• 8.6533.077

38.01636.72735.31533.86932.47031.19230.08829.20038.54928.14427.97728.03028.27028.66129.16329.73230.328

38.28136.97435.52334.022

• 32.55631.20130.01829.05328.33027.86227.64427.65727.87228.25128.75229.33329,949

fttnfscf miar rtprt3fXíat:\>n.i J arvf 4

Flg.íTrafííirnl rotor anfff títiflt-

. tu "(-1. -^ «ívJ X» -ittr-T'l tu

Figl06.- Curvas de oscilación (o-t) presentadas en referencia (i)

Palla trifásica en la "barra U- 2

Despeje a 0.38 seg.

Modelos de la referencia (1)

*•-- Comportamiento real del'sistema (i)

A

LU -

.10.3 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se ha desarrollado las ecuaciones generales de la má-

quina en términos de impedancia operaclonal para luego parti-

cularizar los modelos, considerando los diferentes efectos, -

mencionados anteriormente3 dando así un enfoque real y físico

de cada modelo. Las comparaciones realizadas entre las res -

puestas existentes en la referencia (6) y las respuestas de -

los modelos de este trabajo indican el grado de confiaB'ilidad

de los diferentes modelos.

El objetivo que se'planteó.al principio de este traba-

jo se logra al analizar un sistema de una máquina conectada -

a través de un transformador y. una línea de transmisión a una

Parra infinita; ya que los factores que afectan a una maquina

unida a una barra infinita son los mismos que influyen en Un

sistema de varias máquinas.

Los resultados obtenidos del programa para los di fe -

rentes modelos- hacen ver los efectos de los diferentes grados

de aproximación de la máquina sincrónica, de lo que se despren_

de:

MODELO 1

El modelo 1 de una máquina es el modelo' más sirn

pie para el análisis de estabilidad transitoria.

Es adecuado solamente para estudiar la primera

oscilación en el análisis de estabilidad transitoria,

Este modelo requiere poca cantidad de datos, es_

to a su vez determina que el tiempo de computación re_

querido sea menor que los modelos más completos.

- 112 -

Con el modelo 1 se obtiene un límite de estabi

lidad más alto que los otros modelos.

MODELO 2

El modelo 2 es la representación más simple en

que los efectos del sistema de excitación son incluí_

dos.

Debido a la inclusión de las ecuaciones diferer^

cíales del sistema de excitación, éste modelo requie-

re más tiempo de computación.

Con- el modelo 2 se obtiene'el límite de estabi-

lidad más exacto, y sirve para análisis de estabilidad

•transitoria en un S.E.P. para períodos- de tiempo mayo-

res que los que se permiten en el modelo 1.

"MODELO 3

De los resultados obtenidos sé concluye que al

incluir solamente la representación de la saturación

no se logra conseguir un buen mejoramiento en reía -

ción al modelo 2.

La representación del. efecto de la saturación

requiere detallar más datos y por lo mismo el modelo

3 emplea más tiempo de computación.

MODELO 4

Este es más completo que los anterioress. ya queconsidera más efectos; 'razón por la que las respues -

tas del modelo 4 son mejores que los modelos anterio-

res, para el caso considerado. .

- 113' -

- . -Al considerar más efectos se requiere una mayorcantidad de datos y, a su. vez., su representación etn -

plea más tiempo de computación. Por estas razones es_te modelo se utiliza para análisis de pocas máquinasde especial interés.

MODELO 5

Es el modelo que toma, en cuenta a más de los e-

fectos considerados en el modelo 43 el efecto de la -variación de la velocidad de la máquina sobre el volta_

je generado.

Este modelo es aconsejable cuando se tiene un -. sistema con una o dos máquinas y se desea realizar e_s_

tudios preciaos como cuando se desea evaluar exacta -

mente el comportamiento de la máquina ante una fallatrifásica en sus terminales.

Del análisis 'matemático de los modelos y de los gráfj_

eos obtenidos del programa se concluye que en el estudio de -

estabilidad en un S.E.P., los generadores sincrónicos no pue-den ser representados por un mismo modelo. Por ejemplo, las

máquinas que se encuentran cerca a un disturbio pueden ser re_presentadas por un modelo muy detallado, mientras que si la -

máquina esta alejada del disturbio puede ser representada porun modelo más simple. Por lo tanto los diferentes modelos demáquinas sincrónicas3 desarrollados en este trabajo, servirán

para obtener un modelo adecuado de la máquina para un tipo- de

estudio en particular en el análisis de estabilidad transito-ria de un S.E.P.

Se debe señalar que el funcionamiento de los diferen-tes modelos se realizó utilizando el mismo modelo de regula -dor de voltaje de la referencia (6). Esta acotación se hacecon el propósito de que en el futuro se emprenda en estudios

114J -

de modelos de reguladores de voltaje en el análisis de establ,

lldad transitoria.

También sería deseable que hagan estudios sobre mode-los de reguladores de veloc1dad3 modelos de sistemas de pro -

tecc16n3 estudios del comportamiento dinámico de la carga, -que son factores determinantes en el funcionamiento' transito-rio de un 5,E.P.

APÉNDICE A

MANUAL DE USO DEL PROGRAMA PARA

ESTABILIDAD TRANSITORIA

I OBJETIVO

Incluir un grado de.modelación más completo de máqui-

nas sincrónicas en los estudios de estabilidad transitoria.Se_

leccionar un modelo adecuado de la máquina para un estudio en

particular, dependiendo del tipo y localización de la falla -

en el análisis de estabilidad transitoria de un S.E.P.

IT MÉTODO DE SOLUCIÓN

El análisis de estabilidad transitoria se realiza re-/solviendo simultáneamente las ecuaciones algebraicas que des-

criben la red, las ecuaciones di-ferenciales de la máquina y

del regulador de voltaje.

Las variaciones del ángulo d que se producen en las -

máquinas sincrónicas de un S.E.P, al ocurrir una perturbación

•se obtiene resolviendo la- ecuación de oscilación que gobierna

el movimiento rotacional de cada máquina del sistema. En sis_

temas de multimáquinas hay tantas ecuaciones de oscilación -

cuantas máquinas están conectadas al sistema.

La solución de las ecuaciones de oscilación se reali-

za por métodos numéricos; el método empleado para el estudio

es el método de Runge Kutta de cuarto orden,

Una vez determinado los nuevos ángulos de todas las -

máquinas se resuelve la red y se encuentra el torque eléctri-

co. El torque eléctrico de la máquina depende de la posición

angular de la máquina en consideración, como también el resto

- 116 -

del sistema. Este proceso se repite para cada máquina. El -

nuevo torque acelerante, que- es la diferencia entre F y F , ,

sirve para calcular el nuevo cambio del ángulo é.

La simulación del regulador de voltaje es el mismo queel de referencia (6).

III DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA

El algoritmo de solución consta de un programa princj_pal formado por 7 bloques, los cuales están enlazados con 9 -

suBruttnas.

1. BLOQUE N2 1: Lee los datos generales; numero de Ba-rras! numero máximo de lineas, número

máximo de iteraciones.

2: BLOQUE- N2 2: Lee datos; de líneas y forma la matriz

YBUS.

3. BLOQUE N2 3: Lee y almacena datos-de barras y llama

'a la subrutina LFLOW que calcula volta_jes y flujos de potencia antes de la falla,

4. BLOQUE N2 4: Lee datos de los generadores y regula-

dores de voltaje.

5. BLOQUE N2 5: Lee datos-de tiempos, tiempo de despe-je,tiempo máximo, 'tiempo de escritura

de resultados y/o voltajes del sistema. Realiza la -modificación de la matriz original YBUS, de acuerdo ala contingencia a simularse, a través de la sub'rutinaMPRED. Transforma las cargas de las barras a admitan_

cia constante e incluye la admitancia de transferenciade los generadores mediante la-subrutina LINEPA. Tam_Bien inicia las variables de estado por medio de la -

- 117

. ' suBrutina VAIN.

6. BLOQUE M£ 6: Es el encarnado de supervisar el estudio

de estabilidad propiamente dicho. Llama

.a la subrutina VTRANS encargado de encontrar los volta-

jes en el sistema. Luego llama a la subrutina POTEN e_n_

cargado de determinar los torques eléctricos de los ge-

neradores, además calcula otras variables como El, EIS,

X9M, X8M3 etc., .a.útil Izarse en Tos diferentes modelos.

Posteriormente llama a la subrutina RKUTTA que resuelve

las ecuaciones diferenciales de los generadores, med1an_

te el método de RKUTTA de cuarto orden. A continuación

se relnlclan las variables de los generadores y regula-

dores de voltaje mediante la sub'rutlna EQGEN. Finalmen_te se hace un control del tiempo; y si se ha alcanzado

el tiempo máximo llama a la subrutina PLOT para grafi -car las curvas de oscilación de !los generadores.

/

- • 7. Contiene una revisión de validez de datos e instruccio-

nes de escritura de mensajes de error en caso de que aj_

guna condición no se cumpla.

IV NOMENCLATURA

Se ha utilizado la siguiente nomenclatura:

1.- VARIABLES DE ENTRADA

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN

AG Constante de saturación del generador (.Kl)

. ' AEX Constante de saturación del sistema de exci-tación

ANG . Ángulo en grados.

B Suceptancia de transferencia entre nodos I yJs con signo negativo.

SÍMBOLO

BG

BEX

COD

DIPCT

DT

DTMI'N

E IMAG

EPS

E REAL

FAC

DESCRIPCIÓN

Factor debido a devanado amortiguador (D)

Constante de saturación del sistema de excita_

ción

Tipo de barra.

COD = O Barra de carga

COD = 1 Barra Slack

Distancia en % de la longitud total de la lí-

nea considerada desde el nodo I si I < J 6 -

del nodo J si J -s^I.

Intervalo de integración, en seg.

Valor mínimo de intervalos de integración, en-

seg. El programa está constituido de tal for_

ma que, para Sistemas con dos o más generado-

res, sí los ángulos entre dos pasos consecuti_

vos de integración difieren en más de 15°3 el

programa' disminuye el .paso de integración a -

la mitad del valor inicial, a continuación

compara "DELTA T" con DTMIN para ver si se -

continua o no el proceso.

Voltaje de la Barra obtenida en flujos de ca_r

ga, en p,u.

Parte imaginaria del voltaje inicial de la.ba_

rra, en p.u.

Tolerancia que utiliza como indicador de con-

vergencia.

Voltaje inicial real de la barra, en p.u.

Factor de aceleración.

SÍMBOLOS

G

H

I

IBINF

DESCRIPCIÓN

Conductancia de transferencia entre los no -

dos I y Js en p.u.

Valor- de constante de Inercia de la.máquina.

Nodo de origen de la línea o transformador.

1 sí se trata de un sistema de un generador

conectado a una Barra Infinita.

O si se trata de un sistema de dos o más ge-

neradores.

IFAULT

IFR

ILDC

Tipo de falla.

1 falla trifásica en la linea de transmisión.

2 salida de una linea de transmisión.

3 variación b'rusca de carga en cualquier ba-

rra del sistema

4 reconexión de la línea de transmisión pre-

viamente sacadas.

5 salida del generador del sistema

6 falla trifásica en las barras de S/E. -

7 despeje de falla en barra de S/E.

I si no se utiliza el flujo de carga del pro_

grama.

0 si se emplea éste. •

1 si linea es de doble circuito.O si linea es de un solo circuito.

0 si hay otras barras en que se tiene varia-

ción de carga1 si es última en que hay variación de carga

- 120.

•SÍMBOLO

INCCT

J

KA

KE

KF

KL

KX

MAX

MVAR CARGA

MVAR GEN

MW CARGA

MW GEN .

N

NADO

DESCRIPCIÓN

1- sí se desea cambiar el EPS

O si no se desea cambiar ¡

Nodo de llegada de la línea o transformador

Ganancia del regulador del voltaje

Constante de la excitatriz relativa a un cam_

po excitado.

Ganancia del circuito estabilizador del regu_

lador.

Constante de saturación del generador

Exponente del polinomio que simula'la satura_

cien del generador.

Numero máximo de iteraciones para obtener -

convergencia.

Potencia reactiva de la carga en la barra.

Potencia reactiva de generación de la barra.

Potencia activa de carga en la barra.

Potencia activa de generación entregada al -

sistema."

Numero de barras del sistema

Iniciador de escala

- 121 -

SÍMBOLO

NB

N BARRA

ND

NG

NGM1

NGM2P

NGM3

NSM4

NGM5

NGEF

NLIN

NODCO

NP

PCTGT

RA

RS .

DESCRIPCIÓN

Número asignado a la Barra en el estudio.

NomBre asignado a la barra en el estudio.

Factor de multiplicación de escala.

Numero de generador al que pertenece el re-

gulador.

Numero de generadores que emplea modelo 1. -

Número de. generadores; que emplea modelo 2.

Número de generadores que emplea modelo 3.

Número de generadores que emplea modelo 4.

Número de generadores que emplea -modelo 5.

Número, del generador sacado del sistema.

Número de líneas del sistema.

Barra a la que está conectado el generador.

Valor de escala superior del gráfico.

Porcentaje de generación con que aporta el

generador.

Resistencia en % de la línea o del transfo_r

mador.

Resistencia de armadura del generador3 en -p.u.

SÍMBOLO

TA

TDDF1

TDDF3

TOO

TE

TDEL

TERES

TF

TKD

TMAX

T2DO

T2QO

DESCRIPCIÓN

Constante de tiempo del regulador.

Tiempo al cual se realiza la primera manio-

bra ó un nuevo disturb'io.

Igual a caso anterior3 pero para tercera -

operción o disturbio^ tiempo en seg.

Constante de tiempo de circuito abierto3 en

seg.

Constante de tiempo de la excitatriz.

Intervalo en que se desea se escriban los -resultados de ángulos y velocidades de los

generadores, en seg.

Intervalos en que se desea se Impriman los

voltajes- de las barras del sistema,, en seg.

Constante del tiempo del circuito estabili-zador del regulador.

Constante de tiempo del devanado amortigua-

dor, en seg.

Tiempo máximo de duración del disturbio. f

Constante de tiempo subtransltorlo de cir -

cuito abierto del eje directo, en seg.

Constante de tiempo subtransitorio de cir -

cuito abierto en el eje en cuadratura, en--seg.

- 123 -


VAB • Velocidad angular 5ase en rad/seg.

VRMAX - Valor máximo del voltaje de salida del regu-

lador en p.u.

VRMIN Valor mínimo del voltaje de salida del regu-

lador en p.u.

X Reactancia en % de la línea o del transforma^

dor.

XD Reactancia sincrónica en el eje directo en -

p.u.

XDS Reactancia transitoria en el eje directo

/ ' •XQ Reactancia sincrónica en el eje en cuadratu-

ra.

X2D Reactancia subtransitoria en el eje directo.

X2Q Reactancia suhtransitoria en el eje en cua -

dratura, en p.u.

YC Susceptancia de la linea o transformador, en

P- M -

2. VARIABLES DE SALIDA

El programa imprime la siguiente información:

datos de línea y/o transformador, datos de barras, resul_

tados de flujos de carga antes de disturbio, datos de ge_neradores y reguladores de voltaje (si los hay), mensajecon el tipo de disturbio simulado, parámetros de la red

- .124-

modificados por la representación de cargas como impe-

dancia constante y la Inclusión de Barras de los genera_

dores, resultados obtenidos de calcular los valores inj_

cíales de las variables de estado. Voltaje en las ba -

'rras del sistema luego de ocurrir la falla, por último

los valores de l'os ángulos de los rotores de la máquina,

velocidad de los mismos y los voltajes en las barras In-

ternas de los generadores, en los tiempos en los que el

usuario los haya* determinados así como la curva de osc1_1 ación. Cuando-se realiza una maniobra o se simula una

nueva falla, de acuerdo al modelo de la máquina sincró-

nica seleccionada, el programa automáticamente entrega

los valores obtenidos en la solución de las ecuaciones

de voltaje del sistema. Se-ha utilizado la siguiente -

nomenclatura.

AEX Constantes de saturación de la excitatriz./

ANG Ángulo en grados

B Suceptancia de la línea o transformador.

BEXP Constantes de saturación de la excitatriz.

CARGA MVAR Potencia reactiva de carga en MVAR

CARGA MW Potencia activa de carga.

COD Tipo de barra.

IMAG Parte imaginaria de la corriente en p.u.

REAL Parte real de la corriente en p.u.

EFDL Voltaje de campo.

- 12a -


GEN NUM

GENERACIÓNWAR

GENERACIÓN

Conductancia de la línea transformadora

en p.u.

Numero del generador.

Potencia reactiva de generación.

Potencia activa de generación.

H Constante de inercia del generador.

KA , Ganancia del regulador del voltaje.

KE Constante de la excitatriz relativa a un

campo excitado

KF Ganancia del circuito estabilizador del -

regulador.

NOMBRE Nombre de la barra.

NUM Número del generador al que pertenece el\,

NUM BARRA Número de. la barra

PCTGT Porcentaje de generación con el que apor_

/ ta el generador./

•PMEC Potencia mecánica de entrada.

SÍMBOLO

RA

REACTAN

TA

TDO

TE

TF '

TORQUE

T2DO

T2QO

VELOCIDAD

VMAG

126: -

DESCRIPCIÓN

Resistencia del generador, en p.u.

Reactancia de la Línea o transformador.

Intervalo de tiempo en que se imprimen los

valores de los ángulos, voltajes detrás de

la reactancia transitoria y suBtransitoria.

Constante de tiempo del regulador, en seg.

Constante de tiempo de circuito abierto, en

seg.

Constante da tiempo de la ejxcitatriz

.Constante de. tiempo del circuito estab.il iza_

dor del regulador.

Torque eléctrico de la máquina, en p.u.

Constante de tiempo de circuito ab.ierto sub_

transitorio del eje directo, en seg. .

Constante de tiempo subtransitorio del cir-

cuito abierto en el eje en cuadratura/ en -

seg.

Velocidad eléctrica del rotor de la máquina

en.rad/seg¿

Magnitud del voltaje de barra, p.u.

VOLTAJE REAL Parte real del voltaje de barra, en p.u,

VOLTAJE IMAG Parte imaginaria del voltaje de barra, en p.u,

-127". -

SÍMBOLO - DESCRIPCIÓN

VQT Voltaje Interno detrás de la reactancia sin_

crónica, en p.u.

V'M Voltaje subtransitorio, en p.u.

VREF Voltaje de referencia, en p.u.

XD ' Reactancia sincrónica en el eje directo3 en

p.u.

XDS Reactancia transitoria en el eje di rectoa -

en p.u.

XQ Reactancia sincrónica en eje en cuadraturas

en p.'u.i

X2D Reactancia sub'transitoria en el eje directo,

en p.u.

X2Q Reactancia sub'transitoria en el eje en cua-

dratura, en p.u.

YC ' Suceptancia capacitiva de la línea o trans-

formador3 en p.u.

V. FORMA DE PROPORCIONAR LOS DATOS AL PROGRAMA

Los datos del sistema que va a ser analizado deben es-

tar en la siguiente forma:

1,- Los valores de las impedancias de los elementos deben

estar en % y las admitancias a tierra de los elementosdeBen estar en p.u. -Los parámetros de la máquina de'-ben estar en p.u.

- 12a -

.2.- Los valores de potencia activa y reactiva, tanto.de ge-

neración como de carga" deben estar en MW y MVAR, respe£tivamente.

3.- Los valores de voltaje inicial se darán en p.u.

4.- La barra oscilante siempre se denominará la primera.^

5. Los voltajes de los reguladores de voltaje se darán en

p.u.

6.- La constante de integración y todas las constantes de

tiempo se darán en seg.

La forma de proporcionar" los datos- se encuentran en las

hojas de codificación respectivas.

VI RESTRICCIONES

1.- El programa fue diseñado para:

2.- El programa tiene un solo modelo de regulador de volta-

je.

3.- El programa no tiene regulador de. velocidad.

4.- Los datos en p.u. se deben dar en la base de 100 MVA.

5.- Se puede'simular solamente fallas simétricas.-

Se muestra las tarjetas de control que se requieren para u-tilizar el programa grabado en disco - esquema N- 3 y graba-

-129; - .

\o en ct'nta- esquema. M2 4.

EJEMPLOS:

Ststema "STAGG El ABrAD\a las siguientes carac_

terTstlcas:

Sistema en antllo

Numero de barras 5

Numero de líneas 7

Numero de transformador OPotencia Base 100 MVA

Barras de carga 4

Una barra Slack

Criterio de convergencia. EPS. = 0.001

Datos de la máquina y del regulador en p,u.

- Sistema--de prueba

Características:

Sistema radialNumero de barras- 3

Número de transformadores 1

Potencia Base 100 MVA

Barras de carga 2

Una barra SlacR

Criterio de convergencia EPS = 0.00001

Datos de la máquina y del regulador de voltaje en p.u.

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