REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL … · UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL...

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA

ESCUELA DE INGENIERIA EN SISTEMAS

Profa. Jessica Millán B.

Investigación de Operaciones Profa. Jessica Millán B.

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TEMA Nº 1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la

investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación de operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. De esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella. Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones.

Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones


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completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.

¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?

Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos dos de las mas aceptadas y representativas: LA DEFINICIÓN DE CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF: LA INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES ES LA APLICACIÓN, POR GRUPOS INTERDISCIPLINARIOS, DEL MÉTODO CIENTÍFICO A PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL CONTROL DE LAS ORGANIZACIONES O SISTEMAS (HOMBRE-MÁQUINA), A FIN DE QUE SE PRODUZCAN SOLUCIONES QUE MEJOR SIRVAN A LOS OBJETIVOS DE LA

ORGANIZACIÓN. SEGUN CHASE, AQUILANO Y JACOBS: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

ES LA APLICACIÓN DE METODOS CUANTITATIVOS A LA TOMA DE DECISIONES EN TODOS LOS CAMPOS.

De éstas definiciones se pueden destacar los siguientes conceptos: 1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. 2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de auto-corrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos. 3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. 4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición de la Sociedad de Investigación de Operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:


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”La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones”.

ORÍGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencias de muchos de las componentes de una organización a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.


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Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.

Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período.

Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollada en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1950.

Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de las computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tienen acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.

ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergia generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente.

1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactúan normalmente un gran número de variables.

2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real.


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3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la utilización de funciones matemáticas.

4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o más de las técnicas desarrolladas por la IO.

5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta los detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.

6. Se implanta la solución en el sistema real.

LIMITACIONES DE LA IO

Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico.

Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias. Es por ello que se presentan los siguientes problemas: 1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución. 2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales. 4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

CHASE, Richard y otros. Administración de Producción y Operaciones. 8va Edición. Editorial McGrawHill. Bógota 2001.869 pp. TAHA,Hamdy. Investigación de operaciones. 7ma Edición. Editorial Prentice Hall. Mexico 2004. 848 pp. www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/uno.html


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TEMA Nº 2. PROGRAMACIÓN LINEAL.

FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMATICOS

1) PROBLEMA DE PRODUCTOS: W&C INC. fabrica 2 tipos de juguetes de maderas, soldaditos y trenes. Se venden un soldado a 27 $ y se usa 10 $ de materia prima, cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 14 $. Por otra parte un tren se vende en 21 $ y se usa 9 $ de materia prima por tren, cada tren producido aumenta los costos de mano de obra y los costos generales en 10 $. La producción de soldados y trenes necesita dos tipos de trabajos especializados: carpintería y acabado. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería y los soldados necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de acabado. Cada semana se puede conseguir toda la materia que se necesita, pero solo se dispone de 100 horas de acabados y 80 horas de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límites, pero se pueden vender con un máximo de 50 soldados cada semana. La fabrica quiere maximizar las ganancias por semana para lo cual se le pide a formar un modelo matemático. 2) PROBLEMA DE ALIMENTACIÓN: La alimentación de Juan que todo lo que pertenezca a uno de los 4 grupos básicos de alimentos: Pastel de chocolate, helado, refrescos y pastel de queso y fresa. Actualmente se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: Bizcocho de nueces y chocolate, Helado de chocolate, Coca-cola y pastel de queso con fresa.

Cada Bizcocho cuesta 50 cent. Cada bola de helado cuesta 20 cent. Cada botella de refresco cuesta 30 cent. Y cada trozo de pastel 80 cent.

Cada día Juan tiene que ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo de cada elemento se muestra en la siguiente tabla. Formule un modelo de programación lineal para que pueda satisfacer los requerimientos diarios en la dieta de Juan a un costo mínimo.

Alimentos Calorías Cal)

Chocolate (onzas)

Azúcar (onzas)

Grasa (onzas)

Bizcochos 406 3 2 2 Helado de

Chocolate (Bola) 200 2 2 4

Refresco Coca-cola (botella)

150 0 4 1

Pastel de queso 500 0 4 5 3) PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN: Una compañía recibe pedidos desde 3

ciudades diferentes en las siguientes cantidades: La ciudad A requiere 22 cargas de camión, La ciudad B requiere 21 cargas de camión y la ciudad C requiere 25 cargas de camión. La compañía tiene una cantidad suficiente del producto en cada uno de


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los 3 depósitos situados en otras ciudades y puede enviarse un camión desde cualquier depósito a cualquier destino. El número de camiones disponibles en cada depósito y los costos de enviar un camión de cada depósito a cada destino son:

Ciudades Depósitos Camiones

disponibles A B C W 16 60 50 40 X 30 50 55 60 Y 25 90 85 8

¿Cuál es el programa óptimo de despacho?

EJERCICIOS

Practique los siguientes ejercicios formulando en cada uno de ellos el modelo matemático que lo caracteriza, siguiendo la metodología explicada en clase: EJERCICIO 1. Una compañía fabrica 2 tipos de equipos electrónicos, la compañía está organizada en 3 departamentos:

Tabla 1 Departamentos Equipo 1

(Hr/unid) Equipo 2 (Hr/unid)

Hr/mes disponibles

Circuitos 4.5 2 2000 Chasis 6 1.8 2500

Ensamble 7 3 3000

Las capacidades mensuales de cada uno de los productos y sus requerimientos unitarios en tiempo en cada departamento están dados en la Tabla 1 y en la Tabla 2 están dados los gastos de finanzas.

Tabla 2 BsF/unidad Equipo 1

(Hr/unid) Equipo 2 (Hr/unid)

MDO 1200 250 Materiales 2000 500

Otros costos 1800 400 Precio de Venta 6200 2000

Estudios de mercado anticipan que para el próximo mes habrá una venta máxima de 400 unidades del equipo 1 y 600 unidades del equipo 2. ¿Qué cantidad deberá ser producida por la compañía con el objeto de maximizar las ganancias? EJERCICIO 2. Se procesan 3 productos a través de 3 operaciones diferentes. Los tiempos en minutos requeridos por unidad de cada producto, la capacidad diaria de las operaciones en minutos al día y el beneficio por unidades vendidas de cada producto son presentados en la siguiente tabla:


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Operaciones Producto 1

Producto 2

Producto 3

Capacidad de cada operación (min/día)

1 1 2 1 430 2 3 - 2 460 3 1 4 - 420

Ganancia (BsF/unid) 15 10 25 Estructure la estrategia óptima de producción que maximice las ganancias. EJERCICIO 3. Un proveedor de jugos debe mezclar 5 tipos de jugo que tiene almacenado y obtener 500 galones de ponche que deben contener al menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de uva, si el inventario es el que aparece en la tabla. ¿Cuánto de cada tipo debe utilizarse para obtener la composición requerida al mínimo costo?

Jugo % de naranja

% de toronja % de uva Costo ($/galon)

Cantidad de galones

disponibles A 40 40 - 2 200 B 5 10 20 1.25 400 C 100 - - 3 100 D - 100 - 2.25 50 E - - - 0.5 800

EJERCICIO 4. Un fabricante de jabón y detergentes tiene 3 plantas localizadas en Barquisimeto, Puerto La Cruz y Los Teques. Los almacenes principales se encuentran en Caracas, Valencia, Maracay, Maracaibo y Mérida. En la Tabla 1 se proporcionan la demanda del producto del próximo año para cada almacén.

Tabla 1 Almacenes Demanda Anual

Caracas 50000 Valencia 10000 Maracay 60000

Maracaibo 30000 Mérida 20000

En la compañía es necesario determinar cual de las fábricas debe abastecer a cada almacén. La capacidad de las fábricas (oferta) está limitada. Barquisimeto tiene capacidad anual para 100000 cajas; Puerto La Cruz de 60000 y Los Teques de 50000. En la Tabla 2 se muestra en costo de envío de cada caja de jabón de las fábricas a los almacenes en BsF.

Tabla 2 Desde/ hasta Caracas Valencia Maracay Maracaibo Mérida Barquisimeto 12 15 8 25 18

Puerto La Cruz 21 22 15 10 11 Los Teques 15 17 15 24 20

La compañía quiere determinar un programa de entrega que minimice los costos totales de transporte.


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EJERCICIO 5. Una empresa constructora está realizando un proyecto habitacional que consta de apartamentos de Lujo, Normales y tipo Estudio. Las utilidades provenientes de cada uno de ellos son 21, 15 y 7 millones de bolívares. Por razones de mercado, solo se deben construir un máximo de 8 apartamentos de lujo, 12 normales y al menos 5 tipo estudio. Con la finalidad de mantener un equilibrio, los apartamentos tipo estudio no pueden ser mas que la suma de los otros tipos. Los recursos usados son concreto, madera, hierro y mano de obra. Las cantidades y disponibilidad en la tabla:

Lujo Normal Estudio Disponibilidad Concreto 65 42 18 3300 Madera 32 21 12 2000 Hierro 16 12 7 1600 Mano de obra 28 21 13 2400

Construya un modelo de PL para maximizar las utilidades de la empresa. EJERCICIO 6. Una cooperativa tiene una finca de 300 hectáreas que puede bombear un millón de metros cúbicos del acuífero adyacente. La cooperativa quiere usar la totalidad de la finca con fines agropecuarios y proyecta producir plátano y maíz y también sembrar pasto de pastoreo para la cría de ganado. Una hectárea de plátano requiere 10 mil metros cúbicos de agua y 40 horas de mano de obra. Una hectárea de maíz requiere cuatro mil metros cúbicos de agua y 12 horas de mano de obra. Una cabeza de ganado requiere media hectárea de pasto, 100 metros cúbicos de agua y ocho horas de mano de obra. La cooperativa dispone de un capital de 100 millones de bolívares y un total de ocho mil horas de mano de obra. Los costos de producción de una hectárea de plátano y de una de maíz son Bs. 500.000 y Bs. 100.000 respectivamente, mientras que la producción de ganado cuesta Bs. 70.000 por cabeza. Genere un PL que permita a esta cooperativa maximizar la producción. EJERCICIO 7. Tres Depósitos envían sus productos a seis de puntos de venta. Las capacidades de los depósitos son de 600, 500, y 550 respectivamente. Los costos de transporte de cada depósito a cada punto de venta se dan en la siguiente tabla en UM/unidad y los requerimientos de los puntos de venta en unidades.

Depósito /Pto. Venta 1 2 3 4 5 6 A 20 18 21 23 24 28 B 19 20 22 21 22 29 C 25 23 24 20 25 21

Demandas 200 250 300 225 250 125 Construya un modelo de transporte para minimizar los costos de envío de los depósitos a los puntos de venta. EJERCICIO 8. Una empacadora de granos procesa caraotas, frijoles, lentejas y arroz para la venta al mayor. Cada tipo de grano es lavado, secado y empacado en bolsas de un kilogramo que luego son colocados en cajas de 144 paquetes. Los tiempos necesarios para cada operación por tipo de grano en la tabla. Cada caja de caraotas, frijoles, lentejas y arroz se vende a 900, 750, 800 y 950 bolívares. Debido a su impacto


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en las ganancias, la gerencia ha decidido producir, al menos, el doble de caraota y arroz que de fríjol y lentejas. Los precios de compra son 200, 140, 160 y 210 por cada caja de caraotas, frijoles, lentejas y arroz producida. Existe un pedido de 150 cajas de arroz y de 26 de frijoles.

OPERACIÓN Caraota Fríjol Lenteja Arroz DISPONIBLE Lavado 4 3 3 6 2400 horas Secado 2 1 2 3 2100 horas

Empaque 2 2 1 1 1600 horas Construya un modelo de PL para maximizar las utilidades de la empresa.

EJERCICIO 9. Una cooperativa platanera envía su producto a tres puertos de Europa, Barcelona, Nápoles y Hamburgo. Desde allí se envían a ciudades que requieren plátanos. Precios de envío por caja, demandas y ofertas (en miles de cajas) en la tabla. Si la ciudad 4 (C4) requiere recibir al menos el doble de cajas plátanos desde Hamburgo que desde los otros dos y la ciudad 3 (C3) no recibe plátanos de Barcelona, construya un modelo de PL para minimizar los costos de envío y cumplir con los requerimientos. Oferta y Demanda en miles de cajas

Puerto C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Oferta

Barcelona 150 140 180 190 175 215 200 60 Nápoles 200 190 150 160 170 190 220 80 Hamburgo 180 150 200 170 190 180 210 90 Demanda 35 40 25 50 30 45 25


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EJERCICIOS Método Gráfico

Resolver los siguientes problemas de programación lineal empleando el método gráfico y si es posible compruebe por el programa TORA

a) Maximizar Z = 5X1+4X2 Sujeto a: 6X1 + 4X2 ≤ 24 6X1 + 3X2 ≤ 22,5 X1 + X2 ≤ 5 X1 + 2X2 ≤ 6 -X1 + X2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X1; X2 ≥ 0 b) Minimizar Z = 3X1+8X2 Sujeto a: X1 + X2 ≥ 8 2X1 -3X2 ≤ 0 X1 +2X2 ≤ 30 3X1 - X2 ≤ 0 X1 ≤ 10 X2 ≥ 9 X1; X2 ≥ 0


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EJERCICIOS DE METODO SIMPLEX RESOLVER LOS SIGUIENTES MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

POR EL MÉTODO SIMPLEX. VERIFIQUE POR EL PROGRAMA TORA. A) Máx. Z= 3X1 + 2X2 Sujeto a: X1 ≤ 4 X1 + 6 X2 ≤ 15 2X1 + X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0 B) Mín. Z= 2X1 – X2

Sujeto a: X1 + X2 ≤ 2 - X1 + 2 X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0

TABLA SIMPLEX Cj Iteración Cb Bas Solución

Inicial

Ci Z=

I

Ci Z=

II

Ci Z=


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EJERCICIOS DE METODO SIMPLEX

RESOLVER LOS SIGUIENTES MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR EL MÉTODO SIMPLEX. VERIFIQUE POR EL PROGRAMA TORA.

a) Máx. Z= 3X1 + 2X2 Sujeto a: X1 ≤ 4 X1 + 6 X2 ≤ 15 2X1 + X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0 b) Mín. Z= 2X1 – X2

Sujeto a: X1 + X2 ≤ 2 - X1 + 2 X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 c) Máx. Z= 4X1 + 2X2 + 6X3 Sujeto a: X1 - X2 + 4X3 ≤ 5 5X1 + X2 + 2X3 ≤ 10 X1, X2, X3 ≥ 0 d) Mín. Z= 2X1 – X2

Sujeto a: X1 + X2 ≤ 2 - X1 + 2 X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 e) Máx. Z= 2X1 + 3X2 Sujeto a: 2X1 + X2 ≤ 4 X1 +2 X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0


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f) Máx. Z= 2X1 - 4X2+ 5X3 - 6X4 Sujeto a: X1+ 4X2 - 2X3 + 8 X4 ≤ 2 -X1+ 2X2 +3X3 + 4 X4 ≤ 1 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 g) Máx. Z= 5X1 + 4X2 Sujeto a: 6 X1+ 4X2 ≤ 24 X1+ 2X2 ≤ 6 - X1+ X2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X1, X2≥ 0 h) Máx. Z= 5X1 + 4X2 Sujeto a: 6 X1+ 4X2 ≤ 24 X1+ 2X2 ≤ 6 - X1+ X2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X1, X2≥ 0 i) Máx. Z= 16X1 + 15X2 Sujeto a: 40X1+ 31X2 ≤ 124 - X1 + X2 ≤ 1 X1 ≤ 3 X1, X2≥ 0 j) Máx. Z= X1 + X2+ 3X3 + 2X4 Sujeto a: X1+ 2X2 - 3X3 + 5X4 ≤ 4 5X1 - 2X2 + 6 X4 ≤ 1 X1, X2, X3, X4 ≥ 0


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MÉTODOS DE TRANSPORTE

El método de transporte es un caso simplificado del método simplex. Es aplicado a los problemas que tienen que ver con el transporte de productos desde un origen hasta un destino. Objetivos: a) Minimizar los costos de enviar n unidades hasta m destinos. b) Maximizar las utilidades de enviar n unidades a m destinos. Pasos: a) Establecer la matriz de transporte. (ver ejemplo). b) Hacer las asignaciones iniciales: asignar números a las celdas para satisfacer las restricciones de oferta y demanda por cualquier técnica, entre las que se encuentran: - Costo Mínimo - Aproximación Vogel - Esquina Nor-oeste c) Encontrar la solución óptima. Ejemplo: Encuentre la solución óptima para el siguiente modelo de transporte Xij = Número de cajas enviadas de la fabrica i hasta el bodega j. i = A,B,C,D y j =E,F,G,H El objetivo es, entonces: Minimizar Z= 25X11+35X12+36X13+60X14+55X21+30X22+45X23+38X24+40X31+50X32+26X33+65X34 +60X41+40X42+66X43+27X44 Sujeta a: X11+X12+X13+X14 ≤ 15 X21+X22+X23+X24 ≤ 6 X31+X32+X33+X34 ≤ 14 X41+X42+X43+X44 ≤ 11 X11+X21+X31+X41= 10 X12+X22+X32+X42= 12 X13+X23+X33+X43= 15 X14+X24+X34+X44 = 9 Xij ≥ 0

Restricciones de requerimientos bodegas.

Restricciones de capacidad de fábricas.


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1) COSTO MÍNIMO

Costo total: 2) APROXIMACIÓN DE VOGEL

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

Costo total:

Bodegas

1 2 3 4 5 OFERTA

1

2

3

Fabricas

4

DEMANDA

Bodegas 1 2 3 4 5 OFERTA

1

2

3

Fabricas

4

DEMANDA


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3) ESQUINA NOR-OESTE

Costo total: OPTIMIZACIÓN DEL METODO DE LA ESQUINA NOR OESTE

+ - Costo total:

Bodegas

1 2 3 4 5 OFERTA

1

2

3

Fabricas

4

DEMANDA

Bodegas A)

1 2 3 4 5 OFERTA

1

2

3

Fabricas

4

DEMANDA


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+ - Costo total:

+ - Costo total:

Bodegas B)

1 2 3 4 5 OFERTA

1

2

3

Fabricas

4

DEMANDA

Bodegas C)

1 2 3 4 5 OFERTA

1

2

3

Fabricas

4

DEMANDA


19

TEMA Nº 3 PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON PERT-CPM

INTRODUCCIÓN Un proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están relacionadas en una secuencia lógica de tal manera que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otros se hayan terminado. Una actividad en un proyecto usualmente se ven como un trabajo que requiere tiempo y recurso para su culminación. La administración de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo, con el desarrollo de dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Estás técnicas son el Método de la Ruta Crítica (CPM) y la Técnica de Evaluación y Revisión de proyectos (PERT). Ambos métodos están básicamente orientados a la determinación de un programa de tiempo. La programación de proyectos con PERT-CPM consiste en tres fases: planeación, programación y control. Definiendo las fases Planeación: La fase de la planeación se inicia con la descomposición del proyecto en actividades distintas. Se determinan las estimaciones de tiempo para estas actividades y se construye el diagrama de red o diagrama de flechas donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una actividad. El diagrama de flechas completo proporciona una representación básica de las interdependencias entre las actividades del proyecto. Programación: en la fase de programación se debe construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de inicio y fin para cada actividad, asi como la relación con otras actividades del proyecto. Además, el programa debe señalar las actividades CRITICAS, que requieran atención especial para que el proyecto se termine de acuerdo a lo planificado. Para las actividades NO CRITICAS, el programa debe mostrar los TIEMPOS DE HOLGURA que puedan utilizarse cuando tales actividades se demoran o cuando se deben utilizar eficientemente los recursos limitados. Control: es la fase final de la administración de proyectos. Esta incluye el uso de los diagramas de flechas y la gráfica de tiempo para hacer reportes periódicos del progreso del proyecto. La red puede, por consiguiente, actualizarse y analizarse y si es necesario, determinar nuevamente un nuevo programa para la porción restante del proyecto. TERMINOLOGÍA DE LOS SITEMAS DE PERT-CPM Los diagramas de flechas representan las interdependencias y relaciones de precedencia entre las actividades del proyecto. La flecha indica una


20

ACTIVIDAD y la punta indica el sentido de avance de dicha actividad en el proyecto. La relación de precedencia entre las actividades se especifica utilizando eventos. Un EVENTO representa un punto en el tiempo y significa la finalización de una actividad y el inicio de otra (s). Los puntos iniciales y finales de una actividad están descritos por dos eventos, usualmente conocidos como el evento inicial y terminal. Las actividades que comienzan en un evento no pueden comenzar hasta que las actividades que concluyen en el mismo evento hayan finalizado. Utilizando la terminología de la teoría de redes, sabemos entonces que cada actividad está representada por un arco dirigido y cada evento está simbolizado con un nodo. La siguiente figura muestra la representación típica de la actividad (i, j) con su evento de inicio “i” y su evento terminal “j” La dirección de avance de cada actividad se especifica asignando número más pequeño al evento inicial comparado con el número del evento terminal. Reglas del diagrama de redes:

1. Cada actividad se representa por medio de una sola flecha en la red. 2. Dos actividades diferentes no pueden identificarse por medio de los

mismos eventos inicial y final. por ejemplo, si a y b pueden ejecutarse simultáneamente, entonces es incorrecto representarlas de la siguiente forma:

Ya que tanto la actividad a como la b se denominaran de la misma forma, actividad 3-5, el procedimiento correcto para realizar una representación correcta, es introducir una actividad ficticia que no consume tiempo ni recurso, y se representa por medio de una línea no continua. para el ejemplo anterior, la representación correcta sería:


21

Las actividades ficticias también son útiles al establecer relaciones lógicas en el diagrama de flechas, las cuales de otra manera, no pueden representarse correctamente. Suponga que en cierto proyecto las actividades A y B preceden a C y la actividad B está precedida por E solamente.

3. Con el fin de asegurar la relación de precedencia correcta en el diagrama de flechas, las siguientes preguntas deben responderse cuando se agrega cada actividad a la red:

- ¿Qué actividades deben terminarse inmediatamente antes que la

actividad pueda comenzar? - ¿Qué actividades deben seguir a esta actividad? - ¿Qué actividades pueden realizarse simultáneamente con esta

actividad? Ejemplo: Construya un diagrama de flechas de tal manera que se satisfagan todas las relaciones:

1) A, B y C son las actividades iniciales del proyecto y pueden comenzar simultáneamente.

2) A y B preceden a D. 3) B precede a E, F y H. 4) F y C precede a G. 5) E y H preceden a I y J. 6) C, D, F y J preceden a K 7) K precede a L. 8) I, G y L son las actividades finales del proyecto.


22

Costos en la programación de proyectos: Una actividad (i, j) tiene una duración normal (DN) a un determinado costo normal (CN). Sin embargo, si se quiere acortar el tiempo hasta un punto denominado duración acelerada (DA), entonces el costo de esta actividad deberá necesariamente aumentar a un nuevo valor llamado costo acelerado (CA). Esto se debe a que se emplean más recursos ó bien se emplean los mismos recursos pero con mayor intensidad de uso. La relación Costo-Tiempo puede ser lineal o no lineal. Para simplificar las consideraciones de costos en la programación de proyectos, se supondrá una relación lineal, tal como se muestra en la figura:

De esta manera, la pendiente proporciona el costo de reducir una unidad de tiempo la duración de una actividad, es decir: Una vez que se calcula esta pendiente para cada una de las actividades, se determina la ruta crítica en función de las duraciones normales. Si se quiere reducir la duración TOTAL de proyecto, se debe, necesariamente reducir la duración de una de las actividades que forman la ruta crítica. A fin de lograr una reducción en la duración del proyecto, al menor costo posible, se debe reducir la actividad crítica que tenga la pendiente más pequeña. Cuando un proyecto tenga más de una ruta crítica, se necesita disminuir una unidad de tiempo en cada ruta crítica, para de esta manera, reducir en una unidad de tiempo la duración total del proyecto. Si la duración total del proyecto se reduce con respecto a la DN, entonces sus costos directos tienden a incrementarse, mientras que los costos indirectos tienden a disminuir, tal como se muestra en la siguiente figura:

Costo

CA

CN

DA DN Duración

DADNCNCAPendiente


23

El costo total del proyecto es la suma de los costos indirectos y los directos. La figura anterior muestra que existe una duración total óptima que proporciona un costo total mínimo. Ejemplo: Considere la siguiente red

Los costos directos de las duraciones normal y acelerada de las actividades del diagrama de flecha anterior son los siguientes:

Costos

Tiempo

Costo total

Costo indirecto

Costo directo normal

Duración óptima a costo mínimo

Costo


24

Actividad DN CN DA CA 1-2 5 100 3 200 1-4 2 50 1 80 1-5 2 150 1 180 2-3 7 200 5 250 2-5 5 20 3 40 2-6 4 20 2 40 3-4 3 60 2 70 3-6 11 30 9 44 4-6 7 10 6 13 4-7 10 70 6 90 5-6 4 100 1 130 5-7 3 140 1 160 6-7 3 200 2 208

Si los costos indirectos son de 20 unidades monetarias por cada unidad de tiempo que dura el proyecto, determine el programa de duración óptima. NOTA: El resultado de reducir una actividad es un programa nuevo, quizá con una nueva RC. El costo asociado al nuevo programa debe ser menor del anterior. SOLUCIÓN Como se mencionó anteriormente, el análisis de este problema depende principalmente de las pendientes de las diferentes actividades, las cuales vienen dadas por:

Actividad Pendiente 1-2 1-4 1-5 2-3 2-5 2-6 3-4 3-6 4-6 4-7 5-6 5-7 6-7


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El primer paso en la resolución del problema es suponer que las actividades se realizan en tiempos normales. La siguiente red muestra los cálculos de ruta crítica en condiciones normales: La duración normal del proyecto es de ______ unidades de tiempo. El costo total normal del proyecto es igual a_________. Y la ruta crítica es___________________ Para disminuir en una unidad de tiempo la duración total del proyecto, disminuimos una unidad de tiempo a la actividad______, ya que es la actividad crítica con_____________ El nuevo programa será el siguiente: La duración total de este programa es de_____unidades de tiempo. El costo total es de _________. Y las rutas críticas son:


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a)_______________,b) ______________,c)_______________ Para reducir una unidad de tiempo la duración total del proyecto, la selección debe realizarse de forma tal que la cada ruta crítica se reduzca en una unidad de tiempo. Estén las siguientes alternativas:

Alternativa Actividades Costo 1 2 3 4 5

La mejor alternativa es la número_____. Reduciendo una unidad de tiempo a las actividades_______________. El nuevo programa resultante es: La duración total de este programa es de ______ unidades de tiempo. El costo total es de ____________Las rutas críticas se mantienen iguales a las del programa anterior (3 rutas). Pero para reducir en una unidad más la duración total del proyecto, no podemos considerar nuevamente la alternativa______, ya que la actividad_______________se encuentra en su Duración Acelerada (DA). De las 4 alternativas que permanecen factibles, la mejor es la número_____. Si disminuimos una unidad de tiempo a las actividades______________________ Entonces el nuevo programa es:


27

La duración total de este programa es de _______unidades de tiempo. El costo es de _______________________________ Las rutas críticas se mantienen iguales a las del programa anterior (3 rutas). Pero para reducir en una unidad más la duración total del proyecto, no podemos considerar las alternativas________________. Ya que la actividad____________ se encuentra en su duración acelerada y esta actividad está presente en ambas rutas críticas, por lo tanto deben descartarse como alternativas factibles. Solamente permanecen factibles las alternativas__________, siendo la mejor la número_______con un costo de _______. Se puede notar que para una duración de ______unidades de tiempo el costo total aumenta. Veamos: Costo total: Por lo tanto el programa con una duración de _______unidades de tiempo es el que produce el MENOR COSTO TOTAL, y será el programa propuesto es este problema.


28

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I TRABAJO EN PROJECT

MODELO A

Ocean hardware Company era una cadena de tiendas de ferretería y artículos domésticos al por menor. La compañía quería introducir un nuevo sistema de computación para elaborar la nómina de la compañía, para realizar la contabilidad de ventas (pago de compras y envío de facturas) y el control de inventarios. El controlador de la compañía trataba de establecer un programa para las diversas tareas necesarias para poner en marcha en nuevo sistema de computación.

El nuevo gerente de operaciones de cómputo identificó la lista de tareas (actividades) necesarias que se muestra en la tabla.

Actividad Descripción Precedencia Tiempo de terminación

(Meses) A Analizar sistemas de computación alternativos y

pedir el computador al fabricante

B Esperar la entrega del computador C Contratar programadores D Realizar el trabajo preliminar del programa de

nómina

E Realizar el trabajo preliminar del programa de contabilidad

F Efectuar el trabajo final de los programas de nómina y contabilidad

G Contratar al consultor externo para trabajar en el programa de control de inventarios

H Realizar el trabajo preliminar del programa de control de inventario

I Efectuar el trabajo final del programa de control de inventarios

J Pruebas preliminares de los programas de nómina y contabilidad en una máquina alquilada

K Modificar los programas de nómina y contabilidad

L Instalar y probar el computador al recibirlo del fabricante

M Probar los programas de nómina y contabilidad en el computador instalado

N Preparar manuales que describan los programas de nómina y contabilidad

O Implantar los programas de nómina y contabilidad

P Probar los programas de inventario en el computador instalado


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Q Preparar manuales que describan el programa de control de inventarios

R Implantar el programa de control de inventarios S Fin

Establezca:

a) Un nombre para el proyecto b) La precedencia de cada una de las actividades si las tiene. c) Determine: El tiempo de duración de cada actividad, colocando la

fecha calendario de cada una de ellas y por ende el tiempo total del proyecto (Carta Gantt)


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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I TRABAJO EN PROJECT

MODELO B

Una empresa construye una planta para producir un nuevo alimento congelado. Se han identificado las actividades en la tabla de abajo.

Actividad Descripción Precedencia Tiempo de terminación

(Meses) A Diseño de ingeniería del edificio B Diseño de la línea productiva C Diseño del hormo D Diseño del congelador E Diseño del equipo de empaquetado F Pedido y manufactura del horno G Pedido y manufactura del congelador H Pedido y manufactura del equipo de

empaquetado

I Envío y aceptación de propuestas para la construcción del edificio

J Construcción del edificio (primera fase) K Construcción del edificio (segunda fase) L Instalación del hormo M Instalación del congelador N Instalación del equipo de empaquetado O Pruebas del horneado P Pruebas de congelación Q Pruebas del Sistema total R Inspección gubernamental S Fin

Establezca:

d) Un nombre para el proyecto e) La precedencia de cada una de las actividades si las tiene. f) Determine: El tiempo de duración de cada actividad, colocando la

fecha calendario de cada una de ellas y por ende el tiempo total del proyecto (Carta Gantt)


31

TEMA Nº 4. INVENTARIO

La gestión de inventarios es una función de gran importancia dentro de

los planes operativos y estratégicos de una organización. Los inventarios representan una inversión de dinero para las empresas, pero también funciona como un soporte para las operaciones que puede garantizar la fluidez del proceso productivo ante la ocurrencia de imprevistos. En esta guía de estudio se analizaran los conceptos fundamentales que tienen que ver con la gestión de los sistemas de inventarios. Primero se estudian los tipos fundamentales de inventarios, los se analiza las distintas políticas de inventario. Luego se estudian los modelos de inventarios determinísticos como probabilístico. DEFINICIÓN DE INVENTARIO: Un inventario representa la existencia de bienes muebles e inmuebles que tiene la empresa para comerciar con ellos, comprándolos y vendiéndolos tal cual o procesándolos primero antes de venderlos, en un período económico determinado. TIPOS DE INVENTARIOS: De acuerdo a las características de la empresa encontramos cinco tipos de inventarios.

Inventario de Mercancías: Lo constituyen todos aquellos bienes que le pertenecen a la empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los compran para luego venderlos sin ser modificados. En esta cuenta se mostrarán todas las mercancías disponibles para la Venta. Las que tengan otras características y estén sujetas a condiciones particulares se deben mostrar en cuentas separadas, tales como las mercancías en camino (las que han sido compradas y no recibidas aún), las mercancías dadas en consignación o las mercancías pignoradas (aquellas que son propiedad de la empresa pero que han sido dadas a terceros en garantía de valor que ya ha sido recibido en efectivo u otros bienes).

Inventario de Productos Terminados: Son todos aquellos bienes adquiridos por las empresas manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser vendidos como productos elaborados.

Inventario de Productos en Proceso de Fabricación: Lo integran todos aquellos bienes adquiridos por las empresas manufactureras o industriales, los cuales se encuentran en proceso de manufactura. Su cuantificación se hace por la cantidad de materiales, mano de obra y gastos de fabricación, aplicables a la fecha de cierre.

Inventario de Materias Primas: Lo conforman todos los materiales con los que se elaboran los productos, pero que todavía no han recibido procesamiento.

Inventario de Suministros de Fábrica: Son los materiales con los que se elaboran los productos, pero que no pueden ser cuantificados de una manera exacta (Pintura, lija, clavos, lubricantes, etc.). SISTEMA DE INVENTARIO: Un sistema de inventario es un conjunto de políticas y controles utilizados para el monitoreo de la cantidad de artículos


32

disponibles, la determinación de los niveles que se deben mantener, el momento de reponer la existencia de algún artículo y el tamaño que deben tener los pedidos. OBJETIVOS DEL INVENTARIO:

Mantener la independencia de operaciones. Ajustar la producción a la variación de la demanda. Permitir flexibilidad en los programas de producción. Establecer un margen de seguridad para afrontar las demoras en la

entrega de materias primas. Reducir los costos por las compras de volumen.

COSTOS DE INVENTARIOS: Evidentemente la existencia de algún tipo de inventario produce costos asociados al mantenimiento, preparación y las compras. Costos de Compra (C): es el costo de comprar y producir los artículos individuales del inventario. El costo del artículo generalmente se expresa como un costo unitario multiplicado por la cantidad adquirida o producida. Algunas veces el costo del artículo es menor se compran suficientes unidades a la vez. Costos de Preparación (S): se asocian a los cambios en las características del producto o de la producción. La reducción de costos de preparación se asocia a una consecuente reducción en los tamaños de lotes de cada producto. Los costos de las órdenes y compras son costos administrativos (incluye, la mecanografía de las órdenes, expeditación de la orden, transporte, recepción) que también se asocian con el rastreo de los productos de inventario. Costos de Mantenimiento (H): De todos ellos, el mantenimiento del inventario incurre en los costos más altos. El mantenimiento del inventario no se refiere solo a los productos o materiales que se guardan, se refiere también al espacio físico del depósito, a los seguros por daños, robos y manejo del inventario, a la obsolescencia, depreciación, costos de oportunidad e impuestos. Todos estos costos favorecen el mantenimiento de inventarios pequeños y de alta rotación. Costos por Faltantes: Existen otro tipo de costos que se asocia los productos que se acaban, que faltan o que ya no están disponibles en inventarios. Cuando se agota la existencia de un artículo se incurre en la perdida de clientes, de utilidades o en sanciones por retraso. El retraso en este caso se asocia al tiempo que tarda en reponerse el artículo. Las pérdidas o costos asociados al agotamiento de la existencia en inventario son difíciles de estimar y normalmente son poco más que una conjetura. COSTO TOTAL ANUAL = COSTO DE COMPRA + COSTO DE PREPARACION + COSTO

DE MANTENIMIENTO+COSTO POR FALTANTES


33

MODELOS DE INVENTARIO: Modelos deterministas a.- Cantidad Económica del Pedido (CEP o EOQ) Implica una tasa constante de demanda con el surtido instantáneo del pedido y sin faltantes. Se definen: TC = Costo total D = Demanda C = Costo por unidad Q = Cantidad que debe ordenarse. (Qo ó Qopt) S = Costo de preparación R = Punto de un nuevo pedido L = Plazo de reposición H = Costo anual de mantenimiento y almacenamiento por unidad de inventario promedio d = demanda promedio diaria.

COSTO TOTAL ANUAL = COSTO ANUAL DE COMPRAS + COSTO ANUAL DE

PEDIDOS + COSTO DE MTTO. Y DE ALMACÉN

02

0 2 H

QDS

QTC

2QH

QDSDCTC

Q

Inventario

Tiempo

Momento en que recibe

L

Pto. De Reorden

R


34

Ejercicio: b.- Modelo de descuento por cantidad. Describe la relación entre los costos de colocar pedidos, los costos de manejo de inventarios y la cantidad del pedido bajo la premisa que se manejan descuentos y tarifas especiales cuando se solicitan grandes cantidades de artículos (que varían su precio unitario) Hay tres elementos básicos que deben considerarse:

a) El beneficio del descuento en cuanto a la reducción en costos de compra.

b) El costo de descuento como un aumento en los costos de mantenimiento.

c) El beneficio del menor número de pedidos al año.

Método de Magen y Boodman: 1) Calcular el Qo para cada uno de los puntos de corte: 1.1) Si la de menor precio cae dentro del rango para el cual es correcto el costo, es una cantidad válida y se tendrá el mínimo costo del artículo.

HDSQO

2

dLR


35

1.2) Si no cae siga con el paso 2. 2) Encontrar el TC para cada cantidad del punto de corte en el cual cambia el costo del artículo. 3) Calcular el Qo para cada costo del artículo y validar. 4) Calcular el costo total anual para cada Qo válida en el paso 3. 5) El Qo será aquel que le corresponda el menor costo entre los pasos 2 y 4. Ejemplo:

1 – 49 unid. = 27 Bs/unid. 50 – 99 unid. = 26,5 Bs/unid.

100 – 199 unid. = 26 Bs. /unid. 200 – 499 unid. = 25,5 Bs./unid.

500 – más = 25 Bs./unid.


36

Modelos Probabilísticos a.- Sistemas de Revisión Continua. Este modelo describe la revisión continua de la posición de existencia (material a la mano y órdenes puestas), de manera que cuando la posición de la existencia caiga por debajo del punto de reorden R, se ordena la cantidad fija Q. Entre las características que posee este modelo destaca: - La existencia es lo que se tienen a la mano más lo ordenado. - Q es fija. - El tiempo es variable entre que se consuma el inventario ordenado y el próximo. - La revisión es constante con respecto a R. - La demanda es variable y posibles inexistencias. - Se asume una distribución normal para la demanda. - Se introduce el concepto de nivel de servicio. - El punto de reorden se basa en la noción de una distribución de probabilidades de la demanda durante el tiempo de entrega, ya que cuando se coloca la orden es que queda expuesto al nivel de inexistencia hasta que la orden llega.

Nivel de servicio: es la probabilidad de que todos los pedidos sean surtidos con el material almacenado durante el tiempo de entrega del reabastecimiento de un ciclo de reorden.

Q

Inventario

Tiempo

L L L

Q

Q

R


37

Procedimiento:

a) Calcular Q utilizando la formula correspondiente. b) Calcular R

- Definir el nivel de servicio a brindar - Hallar la probabilidad de inexistencia. (100 – nivel de servicio)

m = demanda promedio durante el tiempo de entrega s = inventario de seguridad Z = factor de seguridad σ = desviación estándar

Z NIVEL DE SERVICIO INEXISTENCIA Z NIVEL DE

SERVICIO INEXISTENCIA

0 50.0 50.0 1.9 97.1 2.9 0.5 69.1 30.9 2.0 97.7 2.3 1.0 84.1 15.9 2.1 98.2 1.8 1.1 86.4 13.6 2.2 98.6 1.4 1.2 88.5 11.5 2.3 98.9 1.1 1.3 90.3 9.7 2.4 99.2 0.8 1.4 91.9 8.1 2.5 99.4 0.6 1.5 93.3 6.7 2.6 99.6 0.5 1.6 94.5 5.5 2.7 99.6 0.4 1.7 95.5 4.5 2.8 99.7 0.3 1.8 96.4 3.6 2.9 99.8 0.2

3.0 99.9 0.1

R d

Probabilidad de Inexistencias

Probabilidad de nivel de servicio

Demanda durante el tiempo de entrega

smR

)(zs


38

Ejercicio: c.- Sistemas de Revisión Periódica. Revisar la posición de existencias (o material disponible más el material en camino) en intervalos periódicos fijos P. Después de cada revisión se ordena una cantidad igual al inventario objetivo T menos la posición de existencia. Características: - El sistema de revisión periódica, la posición de existencia se revisa a intervalos fijos. - Existe un objetivo de inventario, por lo que no hay punto de reorden. - La cantidad Q es variada.

P = tiempo entre órdenes. T = Inventario Objetivo.

Q1

Inventario

Tiempo P

T

Q2

Q3

P P


39

m = demanda promedio entre P + L s = inventario de seguridad Z = factor de seguridad durante P + L σ = desviación estándar Ejercicio:

EJERCICIOS DE INVENTARIO

EJERCICIO 1. La Speedy Grocery promueve una marca particular de café que tiene las siguientes características: Ventas= 10 cajas por semana Costo de orden= $ 10 por orden Costo por mantenerlo= 30% al año Costo del artículo= $80 por caja

a) ¿Cuántas cajas se deben ordenar a la vez? b) ¿Con qué frecuencia se debe ordenar el café? c) ¿Cuál es el costo anual de ordenar y llevar café? d) ¿Qué factores podrían ocasionar que la compañía ordenara una cantidad

más grande o más pequeña que la Qo?

iCDSP

DQP 2

smT

)(zs


40

EJERCICIO 2. La Harvard Coop ordena playeras con el emblema de la Harvard University impreso en ellas para venderlas a $25 cada una. Durante un mes cualquiera, se venden 1000 playeras (esto incluye todos los estilos y tamaños ordenados a un solo proveedor). Cuesta $ 25 colocar una orden (tamaños y múltiples estilos) y 25% el llevar las playeras en el inventario durante un año.

a) ¿Cuántas playeras debe ordenarse la Coop a la vez? b) Al proveedor le gustaría entregar las playeras cada semana en tamaños

más pequeños de lote en lugar del tamaño más óptimo de orden. ¿Cuánto le costará esto a la Coop al año? ¿Bajo que condiciones estaría usted de acuerdo co la propuesta del proveedor?

c) Suponga que las ventas se incrementan a 1500 playeras a la semana, pero usted decide conservar el tamaño del lote que calculo en la pregunta (a) ¿Cuánto le costará esta decisión a Coop?

EJERCICIO 3. La Suregrip Tire Company lleva en inventario un cierto tipo de neumáticos con las siguientes características: Ventas promedio anuales= 500 neumáticos Costo de orden= Bs. 40 por orden Costo de inventario = 25% al año Costo del artículo= Bs. 40 por neumático Tiempo de entrega= 4 días

a) Calcule la Qo b) Para un sistema de revisión continua de control de inventario, calcule el

inventario de seguridad requerida para niveles de servicio de 85, 90, 97 y 99 por cierto.

c) Elabore una gráfica de inversión de inventario versus nivel de servicio. d) ¿Qué nivel de servicio establecería usted con base en la grafica en la

parte (c)?. Comente.

EJERCICIO 4. La compañía Easyfoot Carpet lleva un inventario tres tipos de alfombra con las siguientes características:

Tipo Demanda Anual (Yardas)

Costo del Articulo por yardas

A 300 $ 10 B 200 $ 8 C 100 $ 6

Suponga que los artículos se ordenan juntos al mismo proveedor con un costo de ordenar pedidos de $20 por orden y un costo anual por llevar el inventario del 20%. También suponga que se elaboran 300 días al año.

a) Utilizando el sistema de revisión periódica, ¿Cuál es el intervalo óptimo de orden en días?

b) ¿Cuánto de cada tipo de alfombra se ordenaría en caso de colocar una orden combinada?


41

c) ¿Cuál es el efecto de sobre el intervalo de orden al cambiar el costo de inventario a 25, 30 y 35%?

d) ¿Por qué no se pueden ordenar estas alfombras mediante un sistema de revisión continua?

EJERCICIO 5. Una tienda de aparatos distribuye una cierta marca de televisores que tiene las siguientes características: Ventas promedio anuales= 200 unidades Costo de orden= Bs. 25 por orden Costo por llevar el inventario = 25% al año Costo del artículo= Bs. 400 por unidad Tiempo de entrega= 4 días Días de trabajo al año: 250

a) Determine la Qo. b) Calcule el punto de reorden para un nivel de servicio del 95%,

suponiendo demanda normal. EJERCICIO 6. Para los datos del problema 5:

a) Determine un sistema de revisión periódica de control de inventario para un nivel de servicio del 95%. Calcule P y T

EJERCICIO 7. Suponga que, para el problema 1, a la tienda Speedy Grocery se le ofrece un descuento si se ordena más de 50 cajas a la vez. Los costos unitarios del artículo son $80 una caja para órdenes de 0 a 49 cajas y de $76 para 50 cajas o más.

a) ¿Debe aceptar la tienda el descuento ofrecido? b) ¿Qué descuento requiere antes de que la tienda sea diferente a tomar el

descuento o a ordenar la Qo? EJERCICIO 8. Se le ha acercado un proveedor y le ha ofrecido el siguiente trato. Si usted compra 29 cajas o menos de la solución limpiadora, el costo será de Bs. 25 la caja. Si usted compra 30 o más cajas, el costo será de Bs. 20 la caja. Suponga que su interés por costo de almacenamiento de inventario es de 15% al año, le cuesta Bs. 20 a usted reordenar el material y utiliza 50 cajas al año.

a) ¿Cuántas cajas debe usted ordenar? b) ¿Negociaría usted co el proveedor un descuento mayor? Explique las

cantidades y los precios que negociaría. EJERCICIO 9. Una materia prima determinada está disponible para una compañía a tres precios diferentes, dependiendo del tamaño del pedido: Menos de 100 Kg. Bs. 20 por Kilogramo De 100 a 999 Kg. Bs. 19 por kilogramo Más de 1000 Kg Bs. 18 por kilogramo


42

El costo de colocación de un pedido es de $40. La demanda anual es de 3000 unidades. El costo de mantenimiento es del 25% del precio del material.

a) ¿Cuál es la cantidad del pedido económico que se debe comprar cada vez que se realice?

Nota: En muchos problemas se describe el costo de almacenamiento como: costo de llevar el inventario


43

TEMA Nº 5.

TEORIA DE COLAS

NOTACIÓN DE FILA INFINITA: MODELOS 1-3 λ = Tasa de llegada μ = Tasa de servicio 1/μ = Tasa de tiempo promedio 1/ λ = Tiempo promedio entre llegadas ρ = Relación entre tasa total de llegadas y tasa de servicio para un solo servidor (λ/ μ)

ln Número promedio que aguarda en fila

sn Número promedio en el sistema (incluido el que está siendo atendido) lt Tiempo promedio de espera en fila st Tiempo total promedio en el sistema (incluido el tiempo de atención)

n = Número de unidades en el sistema M = Número de canales de servicio idénticos Pn = Probabilidad de exactamente n unidades en el sistema Pw = Probabilidad de aguardar en fila Modelo 1

)(

2

ln

sn )(

lt

1

st

n

nP

1

10P

Modelo 2

)(2

2

ln

ls nn )(2

lt 1

ls tt

Modelo 3

ls nn

ll

nt

1

ls

nt

MnP lw


44

El valor de ln se obtiene a través de la tabla S5.10 siendo λ= λ/μ y el número de servidores M NOTACIÓN DE FILA FINITA: MODELOS 4

D = Probabilidad de que quien llega tenga que aguardar F = Factor de eficiencia, una medida del efecto de tener que esperar en fila H = Número promedio de unidades que están siendo atendidas J = Población fuente menos aquellos en el sistema de filas (N-n) L = Número de canales de servicio M = Número de canales de servicio n = Número promedio de unidades en el sistema de fila (incluido el que está siendo atendido) N = Número de unidades en población fuente Pn = Probabilidad de exactamente n unidades en sistema de fila T = tiempo promedio para prestar el servicio U = Tiempo promedio entre los requerimientos de servicio del cliente W = Tiempo promedio de espera en la fila X = Factor de servicio, o proporción de tiempo de servicio requerido Modelo 4

UTTX

PoXnN

NP nn !

!

HLT

LNUTLW

)1( FNL

FNXH )1( XNFJ WUT

UTF

HLn


45

MODELOS DE ESPERA

MODELO DISPOSICIÓN FASE DE SERVICIO

POBLACIÓN FUENTE

PATRON DE LLEGADAS

DISCIPLINA DE FILA

PATRON DE SERVICIO

LONGITUD DE FILA

ADMISIBLE

EJEMPLO TIPICO

1 Canal único Única Infinita Poisson Atención en

orden de llegada

Exponencial Ilimitada

Cajero de autobanco, peaje de un solo carril

2 Canal único Única Infinita Poisson Atención en

orden de llegada

Constante Ilimitada

Lavado automático

de automóviles,

montaña rusa en

parque de diversiones

3 Canal múltiple Única Infinita Poisson Atención en

orden de llegada


Mostrados de

autopartes en

concesonario

4 Canal único Única Finita Poisson Atención en

orden de llegada


Avería y reparación

de máquinas en una fabrica

Fuente: Chase y otros (2002)


46

EJERCICIOS DE CLASE

1) Western National Bank estudia la posibilidad de instalar una ventanilla de autobanca para atender a sus clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender a los clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Suponiendo llegadas Poisson y servicio exponencial, determine:

a) Utilización del cajero b) Número promedio de clientes en la fila de espera c) Número promedio en el sistema d) Tiempo promedio de espera en la fila e) Tiempo promedio de espera en el sistema, incluido el servicio

2) The Robot Company concede en franquicia estaciones de gasolina y lavado de automóviles en Estados Unidos. La experiencia demuestra que el número de clientes que hace lavar su auto después de llenar el tanque de gasolina es aproximadamente el mismo que el de aquellos que sólo lavan vehículo. Robot funciona 14 horas diarias. Robot funciona tiene tres unidades de potencia y de transmisión, y la franquicia debe escoger la unidad que prefiera. La unidad I puede lavar automóviles a una tasa de uno cada cinco minutos y se alquila a un precio de $12 diarios. La unidad II, que es un poco más grande, puede lavar autos a una tasa de uno cada cuatro minutos, pero cuesta $16 diarios. La unidad III, que es la más grande de todas, cuesta $22 diarios y puede lavar un vehículo en tres minutos. El dueño de la franquicia calcula que los clientes no querrán aguardar en fila más de cinco minutos para que les laven el auto. Un tiempo más prolongado hará que robot pierda las ventas de gasolina y las de lavado de autos. Si el cálculo de llegadas de clientes que lavan el auto es de diez por hora ¿Cuál unidad de lavado se debe escoger? 3) En el departamento de servidores del concesionario de automóviles Glenn-Mark, los mecánicos que requieren piezas para reparación o servicio de vehículos presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de autopartes. El funcionamiento de esa división hace la solicitud mientras el mecánico aguarda. Los mecánicos llegan de manera aleatoria (poisson) a una tasa de 40 por hora, y un empleado puede hacer solicitudes a una tasa de 20 por hora (exponencial). Si el costo de un empleado del departamento de autopartes es de $6 la hora y el costo de un mecánico es de $12 la hora, determine el número óptimo de empleados para atender el mostrador. (Debido a la alta de llegadas, puede presumirse una fuente infinita) 4) Los estudios que efectuó un banco con 4 máquinas tejedoras en la textileras Loose Knit han demostrado que, en promedio, cada máquina necesita que se le ajuste cada hora y que el encargado de hacer los ajustes se demore en promedio 7 ½ minutos cada vez. Suponiendo llegadas Poisson, un servicio exponencial y un costo de tiempo ocioso de máquinas de $40 por cada hora, hay que determinar si se debe contratar a otra persona para que haga ajustes (que también dura en promedio 7 ½ en cada uno) a una tarifa de $ 7 la hora.

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