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Reserva de derechos de autor: 04-2019-1030-16243300-203 ISSN: 2683-264X

www.joom.org.mx

Ciudad de México. México. No. 1 Julio-Diciembre 2019

OBJETOS MATEMÁTICOS:

• Apuntes sobre dos teoremas de la Geometría Diferencial.

Francisco Guillermo Herrera Armendia.

OBJETIVOS MATEMÁTICOS:

• Diseño y construcción de un manipulador industrial de cinco grados de

libertad: Modelado matemático y análisis del efector final.

Marcos Fajardo Rendón

FENÓMENOS DE CORTE SOCIAL, ANTROPOLÓGICO Y COGNITIVO

• Subdominios y categorías del conocimiento especializado que emergen en el

futuro docente al enseñar la construcción de círculos.

Marleny Hernández Escobar.

• Una visión de la currícula en Matemáticas

Isaac Villavicencio Gómez

Francisco Guillermo Herrera Armendia

Editor en Jefe.

[email protected]


Editor Ejecutivo.

[email protected]

Isaac Villavicencio Gómez

Coordinador Editorial.

[email protected]

CONSEJO PERIODISTA

Efraín Valencia Calzadilla

Sealtiel Pichardo Jiménez

Gregorio Montes de Oca Godínez

Areli Guadalupe Mateos Sanchez

COMITÉ CIENTÍFICO

Vitaliano Acevedo Silva

Marleny Hernández Escobar

Enrique Salazar Peña

María de Jesús Sentiés Nacaspac

Raciel Trejo Reséndiz

PRODUCCIÓN

Francisco Guillermo Herrera Armendia, Marcos Fajardo Rendón e Isaac Villavicencio

Gómez

Webmaster Web Designer

Marcos Fajardo Rendón Juan Carlos Olivo Moya

JOURNAL DE OBJETOS Y OBJETIVOS MATEMÁTICOS, No. 1, julio-

diciembre 2019, es una Publicación semestral editada por Francisco Guillermo

Herrera Armendia con domicilio en Av. Zarzaparrillas 201 casa 12-A, Col. los

Héroes Coacalco, Coacalco de Berriozabal, Estado de México, C.P. 55712,

www.joom.org.mx, [email protected].

Editor responsable: Marcos Fajardo Rendón.

Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. 04-2019-103016243300-203 otorgado

por la Dirección de Reservas de Derechos del Instituto Nacional del Derecho de

Autor, ISSN 2683-264X.

Responsable de la última actualización de este Número, Isaac Villavicencio

Gómez con domicilio Pedro Mz. 10 Bis Lt 12-A; La Purísima, Ecatepec, Estado

de México, C.P. 5031, fecha de la última modificación 01 de junio de 2019.

Journal de Objetos y Objetivos Matemáticos

Número 1

Julio-Diciembre 2019

Journal de Objetos y Objetivos Matemáticos es una revista semestral revisada por pares de Acceso

Abierto que publica artículos de investigación originales, así como ensayos teóricos en todos los

aspectos de los objetos de las matemáticas puras y aplicadas.

Journal de Objetos y Objetivos Matemáticos es una literatura de Acceso Abierto bajo la BOAI

(Budapest Open Access Initiative) y el modelo Open Access, lo que significa la disponibilidad de

acceso libre mediante Internet al público, permitiendo a cualquier usuario su lectura, descarga,

copia, distribución, impresión, almacenamiento, búsqueda, digitalización o vínculo a los textos

completos de estos artículos para su rastreo e indexado; sin necesidad de compensación financiera,

legal o algún otro tipo.

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Journal de Objetos y Objetivos

Matemáticos núm. 1, julio-diciembre de 2019, son propiedad de sus respectivos autores. En cada

artículo publicado los autores conservan los derechos de autoría de su trabajo, pero los lectores son

libres de reutilizar el material siempre y cuando se den las citas correspondientes adecuadamente,

no sea modificado ni usado con fines comerciales; ya que todos los artículos se publican bajo la

licencia de atribución Creative Commons (CC BY-NC-ND).

Las opiniones expresadas por los autores en Journal de Objetos y Objetivos Matemáticos no

necesariamente reflejan la postura de los editores de la publicación.

2

Contenido

Carta del Editor 3

OBJETOS MATEMÁTICOS Apuntes sobre dos teoremas de la Geometría Diferencial.

Notes on two theorems of Differential Geometry. Francisco Guillermo Herrera Armendia

4

OBJETIVOS MATEMÁTICOS

Diseño y construcción de un manipulador industrial de cinco grados de libertad: Modelado

matemático y análisis del efector final.

Design and manufacture of an industrial manipulator with five degrees of freedom:

Mathematical modeling and final effector analysis. Marcos Fajardo Rendón

10

FENÓMENOS DE CORTE SOCIAL, ANTROPOLÓGICO Y COGNITIVO

El conocimiento especializado identificado en las clases de geometría impartidas por el

futuro docente

Specialized knowledge identified in the geometry classes taught by the future teacher Marleny Hernández Escobar

Una visión de la currícula en Matemáticas

A perspective of the curriculum in Mathematics Isaac Villavicencio Gómez

22

28

3

CARTA DEL EDITOR

Con el propósito de contribuir a la divulgación del conocimiento matemático, el grupo

de docentes – investigadores que integramos el Cuerpo Académico “Enseñanza y

Aprendizaje de las Matemáticas en la Formación Inicial y la Educación Básica”, ofrecemos

al público interesado en la matemática y su entorno, una publicación semestral titulada

Journal de Objetos y Objetivos Matemáticos (JOOM) que incluye reportes de investigación,

comentarios sobre obras matemáticas, experiencias áulicas de enseñanza y aprendizaje y

breves ensayos, que representan el producto del trabajo individual y colectivo de los

miembros de este equipo de investigación. Las secciones que conforman la publicación

permiten insertar de manera oportuna las contribuciones recibidas y son: Objetos

Matemáticos, con la intención de tratar exclusivamente los axiomas, teoremas y su

demostración, corolarios y lemas, todos relacionados con la matemática pura. En la sección

Objetivos Matemáticos se incluyen producciones relacionadas con la aplicación de la

matemática a otras ramas del conocimiento; también en esta sección aparecen contribuciones

relacionadas con la didáctica de la matemática (en el estricto sentido del orden en que se

abordan los objetos matemáticos y la forma en que son transmitidos a los estudiantes). La

sección Fenómenos de Corte Social, Antropológico y Cognitivo aborda el proceso enseñanza-

aprendizaje entre los docentes y los estudiantes en el salón de clase.

Durante el año 2019 se consolida esta empresa; misma que surge como una idea que

fue tomando forma hasta consolidarse; año que se relaciona con los siguientes eventos: En

1811 S. D. Poisson publica en Paris su Tratado de Mecánica; en 1872 se publica una excelente

obra didáctica inglesa sobre los Elementos de Euclides dedicada a estudiantes que hoy en día

cursarían la secundaria y el bachillerato escrita por I. Todhunter; 1889, Peano publica su obra

Arithmetices Principia; en 1901 aparece la segunda edición del segundo volumen de William

Rowan Hamilton titulada Los Cuaterniones; también en ese año se publica la primer

traducción inglesa de la obra de Richard Dedekind titulada Ensayos sobre Teoría de

Números; en 1957 la Universidad de Minnesota publica la obra de Oystein Ore titulada Niels

Henri Abel; en 1963 la Sociedad Matemática Americana en colaboración con el MIT

publican la traducción inglesa de la obra conjunta de Alexandrov, Kolmogorov y Laurentiev

originalmente publicada en ruso titulada Las Matemáticas: su contenido, métodos y

significado. Son sólo algunos títulos cuyos años de publicación se relacionan con 2019 por

haber tenido la misma secuencia de días en el calendario (1872 a partir del 1 de marzo); es

decir que la secuencia calendárica de 2019→ 𝑆𝑠𝑒𝑞≡ 0 mod 7 para los años mencionados. Con

este buen augurio publicamos este primer número que ponemos a consideración de nuestros

lectores. Deseamos que el propósito central de esta publicación sea logrado y que sea de

interés y utilidad para nuestros lectores.

Los editores.

Journal Objetos y Objetivos Matemáticos No. 1; julio-diciembre 2019.

ISSN 2683-264X. https://joom.org.mx

© Autor(es) 2019. Artículo de acceso abierto bajo licencia CC BY-NC-ND 4

Apuntes sobre dos teoremas de la Geometría

Diferencial.

Francisco Guillermo Herrera Armendia.

Escuela Normal Superior de México, Manuel Salazar 201 Colonia Ex-hacienda del Rosario, Azcapotzalco,

02420 CDMX, México.

[email protected]

Resumen- El estudio analítico de las curvas y las superficies

ha tenido un amplio desarrollo dentro de la matemática en sí, y

también ha contribuido a sustentar importantes enunciados en

la física – matemática. Se analizan dos teoremas de importancia

en el sentido geométrico – diferencial, con el propósito de

considerar su valor axiomático en el estudio de la matemática

moderna. Palabras Clave- Geometría diferencial. Teorema Egregium.

Teorema Gauss – Bonnet.

Abstract- The analytical study of the curves and surfaces has had an extensive development within mathematics itself, and has also contributed to sustain heavy set forth in physics -

mathematics. It is discussed the two theorems of importance in the geometric sense - differential, with the purpose to consider its axiomatic value to study the modern mathematics.

Keywords- Differential Geometry. Egregium theorem. Gauss theorem - Bonnet..

Sleutelwoorden- Differentiaalmeetkunde. Stelling van

Egregium. Stelling van Gauss - Bonnet.

Zusammenfassung- Die analytische Untersuchung der

Kurven und Flächen hat eine umfangreiche Entwicklung

innerhalb der Mathematik selbst hatte und hat auch dazu

beigetragen, Schwere, die in der Physik - Mathematik gesetzt

erhalten. Es ist den beiden theoreme der Bedeutung im

geometrischen Sinne - Differential diskutiert, mit dem Ziel die

axiomatische Wert in das Studium der modernen Mathematik

zu betrachten.

Mathematical Subject Classification: 53-02.

I. INTRODUCCIÓN

Un primer intento por definir la curvatura en un punto P

de una superficie S en un espacio tridimensional fue

expresarlo en términos de la curvatura de las curvas del

plano, tomando en consideración las secciones de S como

planos a través de la normal en P [1]. Desde luego que planos

normales diferentes a la superficie en P pueden intersecar la

superficie en curvas muy diferentes que incluyen curvaturas

también distintas. Sin embargo, entre todas estas curvas

existe una de máxima curvatura, y desde luego, una de

mínima curvatura (que puede ser negativa debido al convenio

de asignar una curvatura de acuerdo al lado sobre el cual el

centro de curvatura se extiende. Leonard Euler en 1760

mostró que estas dos curvaturas 𝜅1 y 𝜅2 denominadas

curvaturas principales, se forman en secciones

perpendiculares y que, juntas, determinan la curvatura 𝜅 en

una sección determinada con un ángulo 𝛼 a una de las

secciones principales con base en la expresión: 𝜅 =𝜅1𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜅2𝑠𝑒𝑛2𝛼. Es así que se tiene una condición

suficiente y necesaria, siempre y cuando la curvatura de las

superficies se subordine a la curvatura de

las curvas en el plano. Una idea mucho más profunda, se le

debe a Gauss en el desarrollo de su trabajo en geodesia

(concretamente en agrimensura y cartografía), en estos

términos: la curvatura de una superficie se puede detectar

intrínsecamente, es decir, por las medidas que se realizan

completamente sobre la superficie. Así, la curvatura de la

tierra se conoció con base en las medidas realizadas por

exploradores y expertos que en esa época no tenían una

perspectiva desde una altura adecuada (como en la

actualidad). En 1827, Gauss realizó el extraordinario

descubrimiento de que la cantidad 𝜅1𝜅2 se pueden definir

intrínsecamente, por ello pueden ocuparse como una medida

intrínseca de curvatura. Estaba tan orgulloso de su resultado

que lo llamó Theorema Egregium o Teorema Excelente, y es

particularmente interesante que en particular que 𝜅1𝜅2

llamada la Curvatura Gausiana no es afectada por flexión

alguna (sin arrugas ni estiramientos). El plano, por ejemplo

conserva 𝜅1 = 𝜅2 = 0, es decir una curvatura Gaussiana

cero. De tal forma que es posible obtener cualquier

superficie doblando el plano, como por ejemplo, el cilindro.

Es posible verificar el Teorema Excelente o destacable es

este caso debido a que una de las curvaturas principales de un

cilindro es obviamente cero. Las superficies 𝑆1 , 𝑆2 obtenidas

unas de otras por medio del doblez se dice que son

isométricas, más precisamente, 𝑆1 , 𝑆2 son isométricas si

existe una correspondencia uno a uno entre los puntos 𝑃1 de

𝑆1 y los puntos 𝑃2 de 𝑆2 de tal manera que la distancia entre

𝑃1 y 𝑃′1 en 𝑆1 sea exactamente igual a la distancia entre 𝑃2 y

𝑃′2 en 𝑆2 y donde las distancias se miden dentro de las

respectivas superficies. En un estado más preciso del

teorema, se tiene que si 𝑆1 , 𝑆2 son isométricos, entonces

𝑆1 , 𝑆2 tienen la misma curvatura Gaussiana en los puntos

correspondientes; sin embargo, la afirmación inversa no es

verdadera: existen superficies 𝑆1 , 𝑆2 que no son isométricas a

pesar de que exista una correspondencia continua y uno a

uno entre ellas, por lo que la curvatura Gaussiana es la

misma en los puntos correspondientes. Para superficies de

curvatura Gaussiana constante existe un mejor acuerdo entre

isometría y curvatura (Gaussiana). Tiempo después se

discute una interesante generalización de las superficies

curvadas conocida como el Teorema Gauss – Bonnet, cuya

idea central se refiere a que la superficie curvada 𝜅 se puede

reemplazar por la curvatura geodésica 𝜅𝑔, propuesto por




Bonnet en 1848 con base en la proposición: ∫ 𝜅𝑔 𝑑𝑠 =𝒞

2𝜋 − ∬ 𝜅1𝜅2 𝑑𝐴ℛ

, donde A denota el área, ℛ indica la

región encerrada por 𝒞. A este respecto, Gauss publicó

solamente un caso especial, o más bien el límite de un caso

especial en el que 𝒞 es un triángulo geodésico. En este caso,

𝜅𝑔 = 0 a lo largo de los lados de 𝒞, además 𝜅𝑔 se vuelve

infinita en las esquinas cuya consecuencia se denomina

exceso angular y que Gauss dio a conocer en 1827 su

resultado: 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = ∬ 𝜅1𝜅2 𝑑𝐴ℛ

. Si se observa a

detalle, se infiere que la integral de la curvatura Gaussiana

tiene un significado geométrico más elemental que la

curvatura 𝜅1𝜅2. En una carta publicada por Gauss en 1846

afirmó ya haber conocido el término exceso angular desde

1794.

II. EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS.

Definición 1. Sea 𝑓 una inmersión de una variedad

diferenciable m-dimensional M de clase 𝐶𝑟 en un espacio

Euclidiano n-dimensional 𝐸𝑛 [2].

Esta condición permite que f sea un mapeo diferencial de

clase 𝐶𝑟, tal que la diferencial 𝑑𝑓𝑝 es inyectiva en cualquier

punto p de M. Además, la imagen 𝑓(𝑀) no es

necesariamente una sub-variedad de 𝐸𝑛. Por ello, el par

(𝑀, 𝑓) se denomina sub-variedad inmersa (o también

superficie) de 𝐸𝑛. Si m = 1, entonces es la curva de 𝐸𝑛; si

𝑚 = 𝑛 − 1, es la hipersuperficie en 𝐸𝑛.

Las variedades diferenciables o geometría diferencial de

las curvas y las superficies, cuando 𝑛 = 2 ; 𝑛 = 3 son

también casos importantes de estudio en este contexto.

En este sentido, un difeomorfismo entre dos superficies

que conservan la longitud de arco es equivalente a la

condición de que las primeras cantidades fundamentales de

las superficies coinciden en cada par de puntos

correspondientes, dado que se han introducido parámetros

sobre las dos superficies, así que los puntos correspondientes

conservan los mismos valores paramétricos. En este caso,

tenemos una isometría.

A partir de la ecuación de Gauss podemos observar que el

total de la curvatura depende solamente de las primeras

cantidades fundamentales. Entonces K es una cantidad que es

conservada bajo mapeos isométricos (Teorema egregium, o

destacable, de Gauss).

Definición 2. �̅�1 = 𝐹∗(𝐸1), �̅�2 = 𝐹∗(𝐸2). Debido a que 𝐹∗

conserva el punto producto, �̅�1 , �̅�2 es un campo de referencia

sobre �̅�, puesto que:

�̅�𝑖 ∙ �̅�𝑗 = 𝐹∗(𝐸)𝑖 ∙ 𝐹∗(𝐸)𝑗 = 𝐸𝑖 ∙ 𝐸𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 . (1)

Lema 1. Sea 𝐹: 𝑀 → �̅� una isometría, y 𝐸1 , 𝐸2 un

campo de referencia tangencial sobre 𝑀. Si �̅�1 , �̅�2 es el

campo de referencia transferido sobre �̅� , entonces tenemos

dos condiciones:

(1) 𝜃1= 𝐹∗(�̅�)1 , 𝜃2 = 𝐹∗(�̅�)2

ω12 = 𝐹∗(�̅�)12 .

Prueba. (1) Es suficiente probar que 𝜃𝑖 y 𝐹∗(�̅�)𝑖 poseen

el mismo valor sobre 𝐸1 y 𝐸2. Sin embargo, para 1 ≤ 𝑖 , 𝑗 ≤2 se tiene:

𝐹∗(�̅�𝑖)(𝐸𝑗) = �̅�𝑖(𝐹∗𝐸𝑗) = �̅�𝑖(�̅�𝑗) = 𝛿𝑖𝑗 = 𝜃𝑖(𝐸𝑗) . (2)

(2). Es necesario tomar en cuenta la ecuación estructural

𝑑�̅�1 = �̅�12 ∧ �̅�2 sobre �̅�. Al aplicar 𝐹∗, se tiene:

𝑑(𝐹∗�̅�1) = 𝐹∗(𝑑�̅�1) = 𝐹∗(�̅�12) ∧ 𝐹∗(�̅�2) , por el

concepto de mapeo de superficies.

De ello, y por (1), se tiene que:

𝑑(𝜃1) = 𝐹∗(�̅�12) ∧ 𝜃2 . (3)

La otra ecuación estructural:

𝑑�̅�2 = �̅�21 ∧ �̅�1 (4)

Genera una ecuación correspondiente:

𝑑𝜃1 = 𝐹∗(�̅�12) ∧ 𝜃2 (5)

𝑑𝜃2 = 𝐹∗(�̅�21) ∧ 𝜃1 (6)

Por esta razón (2) es una consecuencia inmediata de la

propiedad de unicidad, puesto que la forma de conexión

𝜔12 = −𝜔21 es la única 1-forma que satisface las primeras

ecuaciones estructurales:

𝑑𝜃1 = 𝜔12 ∧ 𝜃2 ; 𝑑𝜃2 = 𝜔21 ∧ 𝜃1 .

El enunciado del Teorema egregium de Gauss, sostiene

que [3]:

Teorema 1.

Una curvatura Gaussiana es una invariante isométrica, es

decir: Si 𝐹: 𝑀 → �̅� es una isometría, entonces 𝐾(𝑝) =𝐾(𝐹(𝒑)) para cualquier punto 𝒑 en 𝑀.

Prueba. Para un punto arbitrario 𝒑 de 𝑀 se selecciona

un campo de referencia tangente 𝐸1 , 𝐸2 en alguna vecindad

de 𝒑 y se transfiere vía 𝐹∗ hacia �̅�1, �̅�2 sobre �̅�. Entonces,

𝐹∗(�̅�12) = 𝜔12 por lema 1. Además, 𝑑�̅�12 = −𝐾 �̅�1 ∧ �̅�2,

por ser la segunda ecuación estructural y derivar de ella una

nueva interpretación de curvatura Gaussiana: las 𝜔12

representan medidas del rango de rotación del campo de

referencia tangente 𝐸1 y 𝐸2 , puesto que K determina la

derivada exterior 𝑑𝜔12 y se transforma en un tipo de

“segunda derivada” de 𝐸1 , 𝐸2.

Al aplicar 𝐹∗ a esta última ecuación, y como

consecuencia de los resultados del mapeo de superficies, se

tiene:

𝑑(𝐹∗�̅�12) = 𝐹∗(𝑑�̅�12) = −𝐹∗(𝐾)𝐹∗(�̅�1) ∧ 𝐹∗(�̅�2) (7)

En que 𝐹∗(𝐾) es simplemente la función compuesta

𝐾(𝐹). Así, con base en el Lema 1:




𝑑𝜔12 = −𝐾(𝐹)𝜃1 ∧ 𝜃2 . (8)

La comparación con 𝑑𝜔12 = −𝐾𝜃1 ∧ 𝜃2 establece

𝐾 = 𝐾(𝐹), y de ello, en particular:

𝐾(𝒑) = 𝐾(𝐹(𝒑)).

III. CURVATURA TOTAL GAUSSIANA.

En otro sentido Iyanaga afirma que un campo vectorial

𝜆𝛼(𝑡)𝑥𝛼 definido a lo largo de la curva 𝑢𝛼 = 𝑢𝛼(𝑡) sobre

una superficie es paralela en el sentido de Levi – Civita a lo

largo de la curva si su derivada covariante a lo largo de la

curva se desvanece, es decir:

𝛿𝜆𝛼

𝑑𝑡=

𝑑𝜆𝛼

𝑑𝑡+

{𝛼

𝛽𝛾}𝜆𝛽𝑑𝑢𝛾

𝑑𝑡= 0 (9)

Sea 𝜌 la curvatura sobre una curva 𝐶 de clase 𝐶2 sobre

una superficie 𝑆 de clase 𝐶2 y sea 𝜎 el ángulo entre la

binormal de 𝐶 y la normal de 𝑆 en el mismo punto. Entonces,

𝜌𝑔 = 𝜌 cos 𝜎 es una cantidad perteneciente a la geometría

sobre una superficie y se denomina curvatura geodésica de la

curva en el punto. Así, una curva con curvatura geodésica

desvaneciente se denomina geodésica, que satisface las

ecuaciones diferenciales:

𝑑2𝑢𝛼

𝑑𝑠2 + {𝛼

𝛽𝛾}𝑑𝑢𝛽

𝑑𝑠 𝑑𝑢𝛾

𝑑𝑠= 0 (10)

Así, el desarrollo de una geodésica es una línea recta

(Variedades Riemannianas). Es necesario considerar el

dominio limitado orientable D simplemente conectado sobre

una superficie, tal que el límite de D es una curva simple C

cerrada que consiste de un número finito de arcos de clase

𝐶2.

Al denotar por 𝛼𝑖 , (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚) a los ángulos externos

en los vértices del polígono curvilíneo, se observa lo

siguiente:

∫ 𝜌𝑔𝑑𝑠 + ∑ 𝛼𝑖 + ∬ 𝐾𝑑𝛼 = 2𝜋𝐷

𝑚𝑖=1𝐶

(11)

Este enunciado es conocido como la fórmula de Gauss –

Bonnet. Si todos los arcos de C son geodésicos, se tiene:

∑ 𝛼𝑖 + ∬ 𝐾𝑑𝛼 = 2𝜋𝐷

𝑚𝑖=1 (12)

Al observar esta expresión, se advierte que implica como

casos especiales dos teoremas bien conocidos de la geometría

euclidiana y de la trigonometría esférica, que son: a) la suma

de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 𝜋; el

área de un triángulo esférico es proporcional a su exceso

esférico. Además, también se relaciona con la siguiente

proposición: sobre cualquier superficie orientada cerrada

tenemos que:∬ 𝐾 𝑑𝛼 = 2𝜋𝜒, en que 𝜒 representa la

característica Euleriana de la superficie, de modo que

∬ 𝐾 𝑑𝛼 es la integral de curvatura o curvatura total

Gaussiana.

IV. EL TEOREMA GAUSS – BONNET.

Se ha observado con anterioridad que la curvatura

Gaussiana K de una superficie geométrica M tiene gran

influencia sobre otras características geométricas de M, como

son las paralelas, la translación, la geodésica, las isometrías y

sin lugar a dudas, la forma de M si se da el caso que está en

𝐸3, como lo propone O’Neill. Es más, el pensamiento

topológico es profundamente influenciado por esta curvatura,

sobre todo en el concepto de topología conformacional de M,

cuyas propiedades son completamente independientes de la

estructura geométrica particular de M. La idea principal de

esta situación es un teorema relacionado con la curvatura

total de un bi – segmento ( 2-segmento) con la cantidad total

de giro de la curva límite. Para una curva arbitraria 𝛼 en 𝑀,

la curvatura geodésica explica su rango de giro relativo a la

longitud de arco. De esta forma, para evaluar la cantidad total

que 𝛼 gira, es necesario integrar con respecto a la longitud de

arco.

Definición 3. Sea 𝛼: [𝑎, 𝑏] → 𝑀 un segmento curvo

regular en una superficie geométrica orientada M. La

curvatura total geodésica ∫ Κ𝑔𝑑𝑠𝛼

de 𝛼 es:

∫ 𝐾𝑔(𝑠) 𝑑𝑠𝑠(𝑏)

𝑠(𝑎) (13)

Donde 𝐾𝑔(𝑠) es la curvatura geodésica de una

reparametrización unidad – velocidad de 𝛼 .

La curvatura total geodésica de 𝛼 en M es una analogía

de la curvatura total Gaussiana de una superficie en 𝐸3.

Lema 2. Sea 𝛼: [𝑎, 𝑏] → 𝑀 un segmento curvo regular en

una región de M orientada por un campo de referencia 𝐸1 , 𝐸2

, entonces:

∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 = 𝜑(𝑏) − 𝜑(𝑎) + ∫ 𝜔12𝛼𝛼 (14)

Donde 𝜑 es un ángulo función desde 𝐸1 hasta 𝛼′ hasta 𝛼,

y 𝜔12 es la forma de conexión de 𝐸1 , 𝐸2 .

Prueba. Ninguno de estos términos son afectados por la

reparametrización que conserva la orientación, por ello 𝛼

representa una curva de unidad – velocidad. El resultado

obtenido se demuestra con el siguiente argumento: 𝛽

representa una curva de unidad – velocidad en una región

orientada por un campo de referencia 𝐸1 , 𝐸2 ; además, si 𝜑

es una función angular desde 𝐸1 y hasta 𝛽′ , a través de 𝛽,

entonces:

𝐾𝑔 =𝑑𝜑

𝑑𝑠+ 𝜔12(𝛽′) . (15)

Y que a su vez se apoya en la definición de función

angular.

∎

Es necesario imponer el requerimiento más riguroso. Sea

𝑥 un elemento uno a uno y además regular sobre el límite en




𝑅. En otros términos, equivale a afirmar que 𝑥: 𝑅 → 𝑀 es la

restricción a 𝑅 de una ruta definida sobre algún conjunto

abierto que contiene a 𝑅. Ahora, cuando 𝑥 es un bi-segmento

(2-segmento) regular, uno a uno, las curvas de sus aristas

𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 son regulares uno a uno y podemos pensar que el

límite 𝜗𝑥 = 𝛼 + 𝛽 − 𝛾 − 𝛿 como una simple curva rota que

envuelve la región rectangular 𝑥(𝑅). Esta afirmación se

argumenta con la siguiente definición:

Sea 𝑥: 𝑅 → 𝑀 un bi-segmento (2-segmento) en M con R

el rectángulo cerrado 𝑎 ≤ 𝑢 ≤ 𝑏 , 𝑐 ≤ 𝑣 ≤ 𝑑. Las aristas

curvadas de x son el uni-segmento (1-segmento)

𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, tales que:

𝛼(𝑢) = 𝑥(𝑢, 𝑐)

𝛽(𝑣) = 𝑥(𝑏, 𝑣)

𝛾(𝑢) = 𝑥(𝑢, 𝑑)

𝛿(𝑣) = 𝑥(𝑎, 𝑣)

Entonces, el límite 𝜗𝑥 del bi-segmento (2- segmento) 𝑥 es

la expresión formal:

𝜗(𝑥) = 𝛼 + 𝛽 − 𝛾 − 𝛿. (16)

Estos cuatro segmentos curvados son el resultado de

haber considerado la función 𝑥: 𝑅 → 𝑀 solamente sobre las

cuatro líneas segmento que comprimen el límite del

rectángulo R. El signo operador “menos” que antecede a 𝛾 , 𝛿

en 𝜗(𝑥), nos recuerda que 𝛾 , 𝛿 se deben “reservar” para

proporcionar un recorrido consistente alrededor de la parte

curvada de 𝑅 y también de 𝒙. Entonces, si 𝜙 es una uni-

forma (1-forma) sobre M, la integral de 𝜙 sobre el límite de x

se define así:

∫ 𝜙 = ∫ 𝜙 + ∫ 𝜙 − ∫ 𝜙 − ∫ 𝜙𝛿𝛾𝛽𝛼𝜗𝑥

(17)

Se llega al momento de definir la curvatura geodésica

total de 𝜗(𝑥). Esta definición muestra que el total de la

curvatura geodésica de una curva es simplemente el ángulo

total que gira la tangente unitaria T (relativo a la longitud de

arco). Pero para recorrer todo el camino alrededor, se tiene

que:

𝜗(𝑥) = 𝛼 + 𝛽 − 𝛾 − 𝛿 (18)

No solamente se obtiene el total de giro en las curvas de

borde, es decir:

∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 = ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 +−𝛾𝛽𝛼𝜗𝑥

∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 =−𝛿

= ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 − ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 − ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝛿𝛾𝛽𝛼

(19)

Además, también los ángulos a través de los que una

unidad tangente 𝑇 sobre 𝜗(𝑥) debería girar a las cuatro

esquinas de la región rectangular 𝑥(𝑅). Así, se tiene:

𝑅: 𝑎 ≤ 𝑢 ≤ 𝑏 , 𝑐 ≤ 𝑣 ≤ 𝑑

Para estas “esquinas”

𝑝1 = 𝑥(𝑎, 𝑐) , 𝑝2 = 𝑥(𝑏, 𝑐) , 𝑝3 = 𝑥(𝑏, 𝑑) ,𝑝4 = 𝑥(𝑎, 𝑑)

Todos ellos denominados los vértices de 𝑥(𝑅) .

Así, se puede afirmar que, en general, si un segmento

curvo regular 𝛼 en una región orientada termina en el punto

de inicio de otro segmento 𝛽, descritos como 𝛼(1) = 𝛽(0),

entonces el ángulo de giro 휀 desde 𝛼 hasta 𝛽 es el ángulo

orientado desde 𝛼′(1) a 𝛽′(0) el cual es el más pequeño en

valor absoluto. Para un bi-segmento (2-segmento), es

posible utilizar la orientación determinada por x, esto es, el

área contenida en 𝑑𝑀 tal que 𝑑𝑀(𝑥𝑢 ,𝑥𝑣) > 0, para fijar, de

alguna manera, una terminología que es familiar en el caso

de un polígono en el plano.

Definición 4. Sea 𝑥: 𝑅 → 𝑀 un bi-segmento (2-

segmento) regular uno a uno, con vértices 𝒑1, 𝒑2, 𝒑3, 𝒑4. El

ángulo exterior 휀 de 𝒙 en 𝒑𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 4) es el ángulo de giro

en 𝒑𝑗 derivado de las curvas de las aristas 𝛼, 𝛽, −𝛾, −𝛿, 𝛼, …,

en orden de ocurrencia en 𝜗(𝑥) . El ángulo interior 𝜄𝑗 de 𝒙 en

𝒑𝑗 es 𝜋 − 휀𝑗. Específicamente, los ángulos exteriores pueden

fácilmente expresarse en términos de las coordenadas

angulares usuales 𝜗 desde 𝒙𝑢 hasta 𝒙𝑣 (0< 𝜗 < 𝜋), de esta

forma:

휀1 = 𝜋 − 𝜗1 , 휀2 = 𝜗2 , 휀3 = 𝜋 − 𝜗3 , 휀4 = 𝜗4 (20)

Donde 𝜗𝑗 representa la coordenada angular en el vértice

𝒑𝒋 .

Teorema 2.

Sea 𝑥: 𝑅 → 𝑀 bi-segmento (2-segmento) regular uno a

uno en una superficie geométrica 𝑀. Si 𝑑𝑀 es la forma del

área sobre 𝒙(𝑅) determinada por 𝒙, entonces:

∬ 𝐾 𝑑𝑀 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 + (휀1 + 휀2 + 휀3 + 휀4) = 2𝜋𝜗𝑥𝑥

(21)

El primer sumando de la expresión corresponde a una

doble integral y representa la curvatura total Gaussiana de 𝒙,

mientras que el segundo sumando que corresponde a una

integral simple, denota la curvatura total Gaussiana de 𝜗𝑥.

Es importante aclarar que la curvatura geodésica y los

ángulos exteriores utilizan la orientación de 𝑥(𝑅) dadas por

𝑑𝑀, en que 𝑑𝑀(𝒙𝑢 , 𝒙𝑣) > 0. Es de notarse que 𝑀 en sí, no

requiere orientarse e inclusive ser orientable.

Se denomina a este resultado la fórmula Gauss – Bonnet

con ángulos exteriores. Puesto que 휀𝑗 = 𝜋 − 𝜄𝑗 para 1 ≤ 𝑗 ≤

4, la expresión puede reescribirse de esta forma:

∬ 𝐾 𝑑𝑀 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 = (𝜄1 + 𝜄2 + 𝜄3 + 𝜄4) = 2𝜋𝜗𝑥𝑥

(22)

En términos de los ángulos interiores de 𝒙(𝑅) .




Prueba.

Sea 𝐸1 =𝑥𝑢

√𝐸 sobre la región 𝒙(𝑅). Entonces, sea 𝐸2 el

campo vectorial único tal que 𝐸1 , 𝐸2 es un campo de

referencia con 𝑑𝑀 (𝐸1 , 𝐸2) = +1. Así, la segunda

ecuación estructural tiene la forma:

𝑑𝜔12 = −𝐾𝜃1 ∧ 𝜃2 = −𝐾 𝑑𝑀, con base en el Teorema

de Stroke, que enuncia lo siguiente:

Si 𝜙 representa una uni-forma (1-forma) sobre M, y sea

𝑥: 𝑅 → 𝑀 un bi – segmento (2-segmento), entonces:

∬ 𝑑𝜙 = ∫ 𝜙𝜗𝑥𝑥

.

Por ello, ahora tenemos la siguiente expresión:

∬ 𝐾 𝑑𝑀 + ∫ 𝜔12 = 0𝜗𝑥𝑥

(23)

Entonces, por Lema 2, tenemos:

∫ 𝜔12 = ∫ 𝜔12 + ∫ 𝜔12𝛽− ∫ 𝜔12 − ∫ 𝜔12𝛿𝛾𝛼𝜗𝑥

.

(24)

Ahora, sobre 𝛼 tenemos 𝛼′ = 𝑥𝑢 = √𝐸 𝐸1 , así que el

ángulo 𝜑 desde 𝐸1 hasta 𝛼′ es idéntico a cero. También, por

Lema 2:

∫ 𝜔12 = ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝛼𝛼

(25)

Ahora, para el caso: ∫ 𝜔12𝛿, donde al ángulo 𝜑, desde

𝐸1 =𝒙𝑢

√𝐸 hasta 𝜗′ = 𝒙𝑣 es justamente la coordenada angular

𝜗 desde 𝒙𝑢 a 𝒙𝑣 . Una vez más, por el Lema 2, se obtiene:

∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 = 𝜗4 − 𝜗1 + ∫ 𝜔12𝜗𝜗 (26)

Donde, 0 < 𝜗𝑗 < 𝜋 es la coordenada angular en el vértice

𝑝𝑗, de 𝑥, (1 ≤ 𝑗 ≤ 4). Sin embargo, como 𝜗1 = 𝜋 − 휀1 y

𝜗4 = 휀4, se reescribe la expresión:

∫ 𝜔12 = 𝜋 − 휀1 − 휀4 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝜗𝜗

. (27)

Expresión que posee una forma similar:

∫ 𝜔12 = −𝜋 + 휀2 + 휀3 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝛽𝛽

(28)

o también:

∫ 𝜔12 = ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝛾𝛾

. (29)

De esta manera, (24) se reescribe de la siguiente manera:

∫ 𝜔12 = ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 + ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝛽

− ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠𝛾

−𝛼𝜗𝑥

∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 − 2𝜋 + (휀1 + 휀2 + 휀3 + 휀4) =𝛿

= ∫ 𝐾𝑔 𝑑𝑠 − 2𝜋 +𝜗𝑥

(휀1 + 휀2 + 휀3 + 휀4) . (30)

Como un complemento, es posible sustituir esta última

expresión en (23).

∎

CONCLUSIONES

Pese a que las ideas expuestas anteriormente ya se habían

intentado explicar como es el caso de Thomas Harriot en

1603, en concordancia con la investigación de Stillwell,

éstas fueron tomando forma al paso de los años, hasta su

actual interpretación. Es así que se han descrito dos teoremas

de la Geometría Diferencial que son importantes en sí, pero

además han dado mucho sustento en la física teórica, como lo

es el concepto de geodésica, definido como la línea de menor

longitud entre dos puntos en el espacio-tiempo [4]. Además,

en el estudio del Análisis tensorial, la curvatura gaussiana

sustenta el estudio de las densidades tensoriales (Richards,

1959) aspecto interesante dentro de la física matemática; en

el estudio de las propiedades especiales de Holmes –

Thompson el tema estudiado en estas líneas también sustenta

algunas ideas de la Geometría de Minkowski [5].

REFERENCIAS

[1] [1] Stillwell, J. (2004). Mathematics and its History.

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[2] Iyanaga, S. (1977) Encyclopedic Dictionary of

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[3] O’Neill, B. (1966). Elementary Differential Geometry.

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[4] Richards, P. (1959). Manual of Mathematical Physics.

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[5] Tribble, A. (1996). Princeton Guide to Advanced

Physics. Princeton University Press. N. J.

[6] Thompson, A.C. (1996). Minkowski Geometry.

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Stoker, J. J. (1969). Differential Geometry. Wiley Interscience.

N. Y.



© Autor(es) 2019. Artículo de acceso abierto bajo licencia CC BY-NC-ND

10

Diseño y construcción de un manipulador

industrial de cinco grados de libertad:

Modelado matemático y análisis del

efector final.




[email protected]

Resumen- El presente artículo describe los resultados obtenidos

al modelar matemáticamente, diseñar y manufacturar un prototipo de brazo robot del tipo manipulador vertical con cinco grados de libertad que permita la colocación de objetos en

coordenadas con un gripper como efector final. La tarea de tomar y colocar un objeto consiste en considerar la coordenada del efector final del robot y la coordenada de la posición deseada

en el espacio de trabajo. Se describe el diseño y modelo matemático de su cinemática directa; así como el análisis del movimiento de su efector final mediante la transformación del

espacio cartesiano al de las articulaciones respecto a sus eslabones utilizando el algoritmo de parametrización matricial Denavit-Hartenberg (D-H) para cinemática directa, su

validación y simulación en MATLAB para obtener las coordenadas del efector final. Posteriormente se describe el diseñó y manufactura en PVC del modelado utilizando

servomotores controlados por una tarjeta servocontroladora con GUI de diseño propio para experimentar y comparar los resultados del modelo matemático, y su simulación respecto al

prototipo físico. Palabras Clave- parametrización matricial, cinemática directa,

parametrización Denavit-Hartenberg, robótica, metodología de

manufactura. Abstract- This paper describes the results in the modelling,

design and build of a vertical manipulator robotic-arm prototype

with 5-degree of freedom designed to perform a pick and place task with its gripper; considering the end-effector coordinate of the robot and the desired position coordinate in its workspace.

This research describes a robot forward kinematics matemathical modeling and its gripper motion through a joint space analysis defined by the transformation from the cartesian

space respect the joint space. The Denavit-Hartenberg (D-H) forward kinematics matrix techique is used to model the manipulator’s links and joints to validate a design and simulate

in MATLAB to get the robot’s gripper coordinate. Based on the matemathical model the robotic arm was design and build using servomotors drived by a self design reprogramable USB-HID

servocontroller with a Window’s GUI to experiment and compare results of the physical prototype, matemathical model and simulation.

Keywords- matrix setting, forward kinematics, Denavit-Hartenberg setting, robotics, manufactury metodology.

Mathematical Subject Classification: 70Q05

I. INTRODUCCIÓN

Los manipluadores industriales son robots

antropomórficos articulados que desarrollan procesos de

manufactura programable mediante articulaciones formadas

por motoreductores servocontrolados que brindan un torque

conectados a eslabones logrando un movimiento de rotación o

de desplazamiento traslacional.

La palabra diseño proviene del latín designare que

significa “diseño o marcado”; por otro lado la ABET (2019)

define al diseño de ingeniería como:

Engineering design is the process of devising a system,

component, or process to meet desired needs. It is a

decision-making process (often iterative), in which the

basic sciences, mathematics, and the engineering sciences

are applied to convert resources optimally to meet these

stated needs [1].

Con base a lo anterior el presente estudio se centra en el

diseño y modelado de un robot formado por una cadena

cinemática de articulaciones más un efector final que colocará

un objeto de una posición inicial a una final, su manufactura,

construcción del prototipo físico articulado con servomotores

y la realización de pruebas de control.

II. TEORÍA DE MATRICES

Las técnicas de modelado matemático mediante matrices

surge desde la necesidad de querer representar fenómenos

físicos en representaciones numéricas y se remontan a antes

del siglo II A.C.[2], en un tratado hecho en China de la dinastía

Han que data del 200 A.C llamado arte matemático el que

describe métodos sobre matrices en un problema de

combinatoria de granos resolviéndolo sobre un tablero

divisible que permite encontrar la solución para un 3er tipo de

grano, después para el 2º y después para el 1ero mediante su

sustitución recursiva en reversa; este método se conoce

occidental y modernamente como eliminación Gaussiana y

data del siglo XIX.

Autores como Cardano en in Ars Magna (1545) [3] indicó

reglas para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales

denominado regula de modo [4] y que llama a su vez madre

de reglas, la cual sirve de base para la regla de Cramer de 2x2

dando un acercamiento a la noción determinante. En el libro

Elementos de curvas (Jan De Witt, 1660) [5] se encuentra un

extenso agregado en la versión en latín de La Géométrie

(Descartes,1637) que describe que la transformación de los




11

ejes se reduce a una ecuación dada para una cónica a su forma

canónica sin la diagonalización matricial actual.

El concepto de resolución general de determinante data de

1683 en Japón con el tratado 隱題之法 (Kaiindai no hō:

Método de solución de problemas ocultos) de Takakazu

Shinsuke Seki [6] el cual también descubrió los números

Bernoulli antes que el mismo Jacob Bernoulli diez años

después en una carta de Leibniz a L'Hópital se describe un

sistema de ecuaciones sin la generalización de su contraparte

oriental.

Leibniz [2] utilizó el término “resultante” para la

combinatorias de sumas de términos de una determinante

probando lo que es en esencia la regla de Cramer.

En 1730's Maclaurin escribe Treatise of algebra [7]

(publicado hasta 1749) con la prueba por determinantes de la

regla de Cramer de sistemas 2x2 y 3x3 y la descripción para

4x4.

En el paper Introduction to the analysis of algebraic curves

(1750) Cramer [8] describe la regla general para sistemas n ×

n.

En 1764 Bezout describe metodología para determinantes,

continuado por Vandermonde en 1771; en 1772 Laplace

discute la solución de sistemas de ecuaciones lineales por

determinantes y acuñe el término [2].

En 1773 Lagrange [9] publica un trabajo de mecánica en

donde se da la interpretación de un determinante.

Gauss usa el término determinante [10] en Disquisitiones

arithmeticae (1801) [11] ya que determina las propiedades de

la ecuación cuadrática describiendo el producto y la matriz

inversa (1812) [12] desde los arreglos de coeficientes de

formas cuadradas; en 1826 Cauchy [13] respecto a las formas

cuadráticas en n variables utiliza el término tableau como

matriz de coeficientes, diagonalización.

Kronecker [14] en 1850 y Weierstrass en 1860 trabajaron

en el campo de transformación lineal de matrices;

posteriormente Jacobi en 1841 algoritmizó las determinantes.

Cauchy en 1858 [2] publica Memorias sobre teorías de

matrices con la primera definición abstracta de matriz y

describe la propiedad aditiva, producto, producto escalar,

e inversas y probó que una matriz satisface su propia

ecuación característica en 2 × 2 y 3 × 3 pero es el teorema

Cayley – Hamilton el que prueba 4x4 como cuaterniones.

Se define una matriz ℳ de cuerpo 𝕂 como un arreglo

rectangular de 𝑚 filas y 𝑛 columnas como:

ℳ𝑚.𝑛(𝕂) = {𝑎𝑖𝑗} |

𝑎𝑖𝑗 , 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ ; 𝑖 = { 1 … 𝑚}; 𝑗 = {1, … , 𝑛}; (1)

Considerando el sistema como un dominio D ∈ ℤ con 𝑚

ecuaciones lineales y 𝑛 indeterminadas {𝑥1…𝑥𝑛} cuyos

coefientes en D es una ecuación [8]:

𝑎1𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏|𝑎𝑖 ; 𝑏 ∈ 𝐷; 𝑖 = {1. . . 𝑛} (2)

Análogamente:

𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ | ∀𝑖 = { 1 … 𝑚}; 𝑗 = { 1 … 𝑛} (3)

Considerando 𝑏𝑖 … 𝑏𝑚 como términos independientes del

arreglo su arreglo se describe como:

[

𝑎11𝑥1+ … +𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑎21𝑥1+ … +𝑎2𝑛𝑥𝑛

⋮ ⋮⋮⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1+ … +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛

]

= 𝑏1

(4) = 𝑏2

⋮

= 𝑏𝑚

El sistema (4) puede ser solucionado mediante un elemento

𝑠 descrito como:

(𝑠1 … 𝑠𝑛) ∈ ℝ𝑛 = ℝ1 × … × ℝ𝑛 | ∀𝑖 = { 1 … 𝑚} →

𝑎𝑖1𝑠1 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑠𝑛 = 𝑏𝑖 (5)

Se denomina a (4) matriz de coeficientes 𝑚 × (𝑛 + 1) ∈ℝ del sistema de ecuaciones descrito en (2) y (3) determinado

por los coeficientes de las indeterminadas y los términos

independientes [8].

Así mismo:

ℳ1𝑚.𝑛(𝕂) = ℳ2𝑚.𝑛(𝕂) ⇔

[((𝑚, 𝑛) ∈ ℳ1 ⋀ ℳ2 ) ⋀ (ℳ1, ℳ2 ∈ 𝕂)] (6)

ℳ1𝑚.𝑛(𝕂) + ℳ2𝑚.𝑛(𝕂) | ℳ1={𝑎𝑖𝑗} , ℳ2={𝑏𝑖𝑗} =

ℳ3𝑚.𝑛(𝕂)={𝑐𝑖𝑗}; 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗; ∴ ℳ1 + ℳ2 = ℳ3 (7)

[ℳ1𝑚.𝑙 = {𝑎𝑖𝑗} ] [ ℳ2𝑙.𝑛 = {𝑏𝑖𝑗}] = ℳ3𝑚.𝑛 = {𝑐𝑖𝑗} =

∑ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗𝑙𝑘=1 ∴ ℳ1. ℳ2 = ℳ3 (8)

(ℳ1)(𝛼) |(𝛼 ∈ ℝ𝑖; ℳ2=𝛼ℳ1 = 𝑐𝑖𝑗

∴ ℳ1(𝛼) = 𝛼. 𝑎𝑖𝑗 (9)

Cumpliéndose la propiedad asociativa:

(ℳ1+ ℳ2)+ ℳ3= ℳ1+( ℳ2+ ℳ3) debido a:

({𝑎𝑖𝑗}+{𝑏𝑖𝑗}) + {𝑐𝑖𝑗}={𝑎𝑖𝑗}+({𝑏𝑖𝑗}+{𝑐𝑖𝑗}) y que

{𝑎𝑖𝑗},{𝑏𝑖𝑗}, {𝑐𝑖𝑗}∈ 𝕂 (10)

Conmutativa:

ℳ1 + ℳ2 = ℳ2 + ℳ1 debido a:

{𝑎𝑖𝑗}+{𝑏𝑖𝑗} ={𝑎𝑖𝑗}+({𝑏𝑖𝑗} siendo:

{𝑎𝑖𝑗},{𝑏𝑖𝑗}, {𝑐𝑖𝑗}∈ 𝕂 (11)

Así mismo:

ℳ1 (ℳ2+ ℳ3)= ℳ1ℳ2+ ℳ1ℳ3 (12)




12

(ℳ2 + ℳ3)ℳ4 = ℳ2ℳ4 + ℳ3ℳ4 (13)

ℳ1(ℳ2ℳ3) = (ℳ1ℳ2)ℳ3 (14)

Siendo que ℳ1. ℳ2 ≠ ℳ2. ℳ1. Cuando ℳ1. ℳ2= ℳ2. ℳ1se describe una conmutación

matricial [8].

Para la matriz asociada a una transformación lineal se debe

establecer que éstas son algunas funciones que se encuentran

dentro de espacios vectoriales -asociados en mecánica a los

ejes de coordenadas donde se desplazan los dispositivos-que

permiten obtener una descripción respecto a los sistemas de

ecuaciones lineales.

Un espacio vectorial queda descrito como ℝ𝑛 ⋀ ℂ𝑛| 𝑛 ∈ℝ ⋀ 𝑛 ∈∪ ℂ; ℝ: 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑜; ℂ: 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 ⇒

∀�⃗� ∈ ℝ𝑛| {𝑥𝑖}𝑛

𝑖=1 ; su magnitud se describe por:

|�⃗�|=√|𝑥1|2 + |𝑥2|2 + ⋯ + |𝑥𝑛|2 (15)

Mientras que su sentido �⃗� = (𝑥1, 𝑥2, , … , 𝑥𝑛)⋀ �⃗� =(𝑦1, 𝑦2, , … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛 ⋁ ℂ𝑛 ; por lo que se pueden realizar las

operaciones vectoriales por números 𝛼 ∈ ℝ𝑛 ⋁ 𝛽 ∈ ℂ𝑛:

𝛼�⃗� + 𝛽�⃗� = (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑦1, 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑦2, … , 𝛼𝑥𝑛 + 𝛽𝑦𝑛) (16)

Con sus propiedades:

�⃗� + �⃗� = �⃗� + �⃗�; (17)

�⃗� + (�⃗� + 𝑧) = (�⃗� + �⃗�) + 𝑧; (18)

𝛼(�⃗� + �⃗�) = 𝛼�⃗� + 𝛼�⃗�,(𝛼 + 𝛽) �⃗� = 𝛼�⃗� + 𝛽�⃗� (19)

La relación �⃗� ⊥ �⃗� ⟺ (�⃗�, �⃗�) = 0 ; siendo en el espacio

vectorial:

ℝ𝑛 ⊥ ℂ𝑛 ⇒ (�⃗� + �⃗�) ≡ |�⃗�||�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 (20)

La transformación lineal [14] se describe con los

componentes espacios vectoriales 𝑉, 𝑊 ∈ ℝ ; así mismo la

función 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊.

Es una transformación lineal:

𝑇 ⟷ (∀�̅�, 𝑠´ ̅) ∈ 𝑉⋀ 𝛼 ∈ ℝ (21)

Con las propiedades de las funciones que describen como

se componen los espacios vectoriales [14]:

𝑇(�̅� + 𝑠´ ̅) = 𝑇(�̅�) + 𝑇(𝑠´ ̅) (22)

𝑇(𝛼 ⋅ �̅�) = 𝑇 ⋅ 𝛼(�̅�) (23)

Mecánicamente se pueden representar un conjunto de

escalares 𝑎𝑖𝑗… 𝑎𝑖𝑗 con comportamiento cinemático de

acuerdo a lo discutido en (1)-(20) a estos se les puede obtener

una descripción 𝑇(21) a través de una matriz ℳ asociada a 𝑇

manteniendo una base canónica de a 𝕂𝑛 𝑦 𝕂𝑚 denotada por la

matriz de transformación ℳ(𝑇) [14].

ℳ(𝑇) = [

𝑎11 𝑎12 … 𝑎𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮ ⋮ ⋮⋮⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

]

∈ ℳ𝑚.𝑛(𝕂) (24)

La matriz asociada ℳ(𝑇) a la identidad en 𝕂𝑛 es la matriz

de identidad ℳ𝑚.𝑛(𝕂). Se especifica 𝕂 como ℝ para las

descripciones mecánicas siguientes.

III. METODOLOGÍA

Las técnicas de modelado y diseño asistido por

computadora (CAD) y manufactura asistida por computadora

(CAM) permiten experimentar y llevar los modelos a sus

límites [15]. El modelado y virtualización previo a la

construcción física utilizando las técnicas de prototipado

permiten comprobar el diseño mediante una simulación del

comportamiento antes de su construcción física; evitando

tener que invertir recursos de manufactura en un producto que

podría fallar [16].

La metodología es aquella que describe al algoritmo de

desarrollo del diseño de maquinaria Bonsiepe [17]; la

seleccionada para el diseño fue la de Robert Norton [18], la

cual describe que la misma es un proceso iterativo que

contiene aspectos desde el diseño hasta la manufactura en 10

pasos; debiendo retornar a un paso anterior si llegara a fallar

el actual ordenándolas en:

Identificación, Investigación preliminar, Planteamiento de

objetivos, Especificaciones de desempeño, Ideación e

invención, Análisis, Selección, Diseño detallado, Creación

de prototipos-pruebas y Producción [18].

La metodología de manufactura descrita fue propuesta

para obtener un prototipo funcional capaz de manipular un

objeto seleccionando de una posición inicial a una final

mediante el algoritmo anteriormente descrito descartando la

producción, al ser una investigación académica sin fines de

lucro; sin descartar la posibilidad de ser llevado a la

manufactura de fabricación en serie.

IV. DESCRIPCIÓN DEL ROBOT

1.-Identificación de la necesidad: Debido a que diversos

procesos industriales implican el desplazamiento de un objeto

de una posición inicial a una final; así como el estudio del

modelado matemático de su solución se propone el diseño,

modelo matemático, manufactura y control de un manipulador

industrial que reposicione un objeto. El objeto seleccionado

será un dulce de 0.148 oz [19] de dimensiones 𝑥 ⋅ 𝑦 y se

utilizará una matriz sobrepuesta segmentada en milímetros

para comprobar las posiciones obtenidas. 2.-Investigación

preliminar: De acuerdo al vocabulario de la norma ISO 8373

[20] un manipulador industrial es:

machine in which the mechanism usually consists of a

series of segments, jointed or sliding relative to one

another, for the purpose of grasping and/or moving objects




13

(pieces or tools) usually in several degrees of freedom

(p.1).

Al conjunto de articulaciones de un robot se denominan

cadena cinemática [21]; siendo la última de ellas el efector

final el cual es una “herramienta” pudiendo ser intercambiable

en la mayoría de los manipuladores industriales por grippers

(pinzas para atrapar objetos), estaciones de soldadura,

cortadoras, suministradores y otros [20].

El modelado matemático de la cinemática del robot

consistirá en el estudio de su movimiento descartando las

fuerzas que lo causan.

La cinemática directa describe y determina la posición

cartesiana y orientación de una cadena de coordenadas

relacionadas y será la utilizada en el modelado del prototipo

MATHBOT.

La cinemática inversa consiste en determinar las variables

conjuntas respecto a una posición y orientación del efector

final del robot.

El un diseño y modelado matemático mecánico se vuelve

complejo respecto al número de GDL (grados de libertad) y

mecanismos de efecto múltiple como son los desplazamientos

espaciales y el número de efectores vinculados.

3.-Planteamiento de objetivos: Se propuso realizar el

análisis del problema de reposicionamiento de un objeto y las

características del objeto, modelar matemáticamente el

manipulador industrial, simular el modelo matemático del

manipulador.

Con base a lo anterior hacer un diseño CAD de la

estructura y ensamble del prototipo modelad, seleccionar los

servomotores y material adecuados.

Por último, manufacturar el prototipo, experimentar con el

prototipo y comprobar que el prototipo se adecua al modelo.

4.-Especificaciones de desempeño: El manipulador

industrial deberá posicionar un objeto de 0.148 oz [19] y

medidas 30 mm por 20 mm de una posición inicial a una final

pudiendo girar y rotar el objeto; no se abordará en la fuerza y

velocidad debido a que para fines del artículo interesa sólo el

modelado de la cinemática directa.

Se trabajará con el desempeño de la cadena cinemática

directa de un robot de 5-GDL con servomotores controlados a

construir; el modelado se realizará matemáticamente y se

comprobará mediante una simulación en MATLAB

procediendo con la metodología.

5.-Ideación e invención: Se propone el diseño de un

manipulador industrial vertical denominado MATHBOT que

debe ser conceptualizado como una cadena cinemática con 5

articulaciones o 6 si se considera al gripper como actuador

final como se describe en la figura 1, en donde se pueden

identificar las articulaciones y eslabones del manipulador

industrial.

Los movimientos posibles de las articulaciones se

describen en la figura 1 y tabla 1.

Para establecer los parámetros Denavit-Hartenberg [21]

modelados en la figura 2 se asignarán valores de

parametrización para el diseño descartando la articulación 4

“pitch” debido a que se mantendrá recta en el

posicionamiento.

Se describe a 𝜃como el desplazamiento respecto al eje Y,

𝛼 respecto a X; a describe el desplazamiento respecto al centro

de la base que sostiene al manipulador y D el desplazamiento

de la articulación anterior.

Fig. 1. Partes de un manipulador industrial.

Tabla 1. Movimientos del manipulador industrial

Eje Nombre Movimiento.

1 Base Gira el cuerpo.

2 Hombro Levanta y Baja el brazo inferior.

3 Codo Levanta y Baja el brazo Superior.

4 Muñeca (Pitch) Levanta y baja el Efector Final (Gripper).

5 Muñeca (Roll) Rota el Efector Final (Gripper).

Para obtener la solución cinemática se modela cada unión

comenzando con la base hasta el efector final asignando

literales como se describe en la figura 2.

Fig. 2 Asignación de cada unión del robot descartando L4(Pitch).




14

Por lo anterior respecto a la 𝜃 en la articulación base al

girar sobre Z que descansa.

Se utiliza L para describir el eslabón de trabajo y A para el

adelantamiento o desplazamiento respecto a un eje.

La figura 3 describe los parámetros y distancias a las que

se encuentran los eslabones.

Fig. 3 Esquema de acuerdo con los valores establecidos por la

parametrización Denavit-Hartenberg.

V. MODELADO MATEMÁTICO DEL ROBOT MEDIANTE

METODOLOGÍA DENAVIT-HARTENBERG.

Continuando con la metodología descrita anteriormente se

procede a realizar el paso siguiente:

6.-Análisis de las variables a considerar: Para estudiar el

problema cinemático se utilizará el algoritmo Denavit-

Hartenberg [21] que es utilizado para modelar las

articulaciones y eslabones de los robots.

Para analizar el movimiento del robot MATHBOT se

utilizará la cinemática directa para determinar la posición y

orientación del gripper mediante el conocimiento de los

valores dados para la variación de las articulaciones dadas en

el diseño de la figura 3.

La representación D-H [21] anterior dependerá de cuatro

parámetros de eslabones válidos:

• ai (Longitud del eslabón) = La distancia desde Zi-1 a Zi

medido desde Xi.

• αi (eslabón de giro de cadera) = El ángulo desde Zi-1 a Zi

medido desde Xi.

• di (Distancia articular) = La distancia desde Xi-1 hasta Xi

medido desde Zi-1.

• θi (Joint angle) = El ángulo desde Xi-1 a Xi medido

desde Zi-1.

La matriz de transformación homogénea [14] de 4x4 es

utilizada para determinar la cinemática directa. Puede ser

desarrollada de acuerdo al {i-1} ∧ {i}.

A continuación, se asignan los valores de parametrización

para su diseño de la matriz:

Eslabón 𝜃 D A 𝛼

L {1} q1 10.5 0 𝜋

2

L {2} q2 0 11.5 0

L {3} q3 0 7 0 (25)

L {4} 0 0 0 𝜋

2

L {5} q5 4 0 0

Siendo correspondiente a una longitud máxima de 33 cm

sin tomar en cuenta el actuador final (gripper abierto), queda

el desplazamiento mediante:

0.-El origen es la coordenada (0,0,0) que es el piso sobre

el que descansa el primer servomotor.

1.-El primer eslabón a considerar será el hombro

denominado L {1}; tomando en cuenta el origen O hasta la

unión con el primer eslabón, se encuentra adelantado en las

ordenadas en D=10.5cm en donde se colocará el primer

servomotor con un A=0 y 𝛼 de 𝜋

2.

2.-La base de la estructura L {2} donde descansa el codo y

se encuentra sin rotación y adelantado respecto al eje de las

ordenadas del piso en A=11.5 cm.

3.- L {3} es el eslabón del codo al pitch y se encuentra

desplazado en las ordenadas respecto a codo en A=7cm sin

rotación.

4.- L {4} es el eslabón del pitch al gripper de la muñeca y

sólo se tomará el 𝛼 de 𝜋

2 al estar unido al brazo superior por lo

que se descarta q4.

5.- L {5} es el eslabón del roll de la muñeca junto con el

servomotor del gripper hasta el comienzo de la pinza (palma)

y se encuentra desplazado en las abscisas respecto a codo en

D=4cm.

La altura máxima a considerar como mecanismo en la

posición de la figura 3 será entonces de 33 cm del piso al

origen del gripper abierto, pudiendo legar con gripper cerrado

a 39 cm.

Continuando con la metodología anterior se diseñó la

siguiente descripción matemática que consiste en cuatro

transformaciones básicas [14]:

𝑖 − 1𝑇 = [

𝐶𝜃𝑖 −𝑆𝜃𝑖𝐶 ∝𝑖 𝑆𝜃𝑖𝑆 ∝𝑖 𝑎𝑖𝐶𝜃𝑖

𝑆𝜃𝑖 𝐶𝜃𝑖 −𝐶𝜃𝑖𝑆𝛼𝑖 𝑎𝑖𝑆𝜃𝑖

0 𝑆𝛼𝑖 𝐶𝛼𝑖 𝑑𝑖

0 0 0 1

] (26)

En donde 𝑆𝜃𝑖= sin𝜃𝑖 , 𝐶𝜃𝑖 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 , 𝑆𝛼𝑖 = sin𝛼𝑖 , C𝛼𝑖 =

cos𝛼𝑖 . Posteriormentese sustituyen los parámetros D-H de

la tabla 1 en (25) y (26); la matriz de transmisión de cada

eslabón es como sigue [21]:

0T1= [

𝐶1 0 𝑆1 𝑎𝐶1

𝑆1 0 −𝐶1 𝑎𝑆1

0 1 𝐶𝛼𝑖 𝐿1

0 0 0 1

] (27)




15

1T2= [

𝐶2 −𝑆2 0 𝐿2𝐶2

𝑆1 𝐶2 −𝐶2 𝐿2𝑆2

0 0 1 00 0 0 1

] (28)

2T3= [

𝐶3 −𝑆3 0 𝐿3𝐶3

𝑆3 𝐶3 0 𝐿3𝑆3

0 0 1 00 0 0 1

] (29)

3T5= [

𝐶4 0 𝑆4 0𝑆4 0 −𝐶4 00 1 0 00 0 0 1

] (30)

4T5= [

𝐶5 −𝑆5 0 0𝑆1 𝐶5 0 00 0 1 𝐿5

0 0 0 1

] (31)

Para determinar la matriz de transformación del efector

final Te; donde Te =T50.

El producto de las matrices (27) a (31) permite obtener la

matriz:

0T5= 0T1*1T2*2T3*3T4*4T5 (32)

0T5= [

𝐾1 𝐾4 𝐾7 𝑃𝑋

𝐾2 𝐾5 𝐾8 𝑃𝑌

𝐾3 𝐾6 𝐾9 𝑃𝑍

0 0 0 1

] (33)

Donde:

𝐾1= 𝐶1𝐶5𝐶2∗3∗4 + 𝑆1𝑆5

𝐾2= −𝐶1𝑆5+ 𝑆1𝐶2∗3∗4𝐶5

𝐾3= 𝐶5𝑆2∗3∗4

𝐾4= 𝑆1𝐶5+𝐶1𝐶2∗3∗4𝑆5

𝐾5= −𝐶1𝐶5 − 𝑆1𝐶2∗3∗4𝑆5

𝐾6= −𝑆2∗3∗4𝑆5

𝐾7= 𝐶1𝑆2∗3∗4

𝐾8= 𝑆1𝑆2∗3∗4

𝐾8= −𝐶2∗3∗4

Pudiendo obtener el valor del efector final coordenado en

el espacio cartesiano de MATHBOT como:

[

𝑝𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧

] [

𝐶1(𝑎 + 𝐿3𝐶2∗3 + 𝐿5𝐶2∗3∗4 + 𝐿2𝐶2)

𝑆1(𝑎 + 𝐿3𝑆2∗3 + 𝐿5𝐶2∗3∗4 + 𝐿2𝐶2)𝐿1 + 𝐿3𝑆2∗3 − 𝐿5𝐶2∗3∗4 + 𝐿2𝑆2

] (34)

Así mismo:

Sx = sinθx, Cx = cosθx, Sxy = sin(θx+ θz)

Cxy =cos(θx+ θy)

Sxyz = sin(θx+ θy+ θz).

Cxyz = cos(θx+ θy+ θz).

Sustituyendo los valores y realizando el producto matricial

equivalente a la transformación D-H [21] se obtiene:

[

0 −0 1 01 0 −0 10 1 0 10 0 0 1

] (35)

Sustituyendo los valores en la transformación Denavit

Hartenberg se obtiene de igual forma la misma que en (35):

[

0 −0 1 01 0 −0 10 1 0 10 0 0 1

] (36)

Con el modelo matemático anteriormente descrito se

pueden indicar ángulos para la cinemática directa como el de

una posición de arranque en donde todos los servomotores sean

energizados en forma de cadena lineal vertical serían la

configuración [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5] como:

[ 0 𝜋

2 0

𝜋

2 0 ] (37)

El ángulo y posición del efector final (𝐸) utilizando el

modelo matemático (33) y descartando el efector final θ5

quedaría como:

[𝐸𝑥 0𝐸𝑦 0𝐸𝑧 33

] (38)

Por otro lado, una posición desenergizada de los

servomotores marcará lo contrario; es decir una configuración

[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5] como:




16

[ 0 𝜋

2 − 3

𝜋

4

𝜋

4 0 ] (39)

La posición del efector (𝐸) queda susutituyendo (39)

descartando el efector final θ5 en (33) como:

[𝐸𝑥 4.95𝐸𝑦 0𝐸𝑧 13.05

] (40)

Para poder tomar un objeto la posición del gripper con el

robot queda dada por una configuración [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5] de:

[ 0 𝜋

2 −3

𝜋

4 3

𝜋

4 0 ] (41)

(𝐸) toma la posición al susutituir (41) en (33) descartando

el efector final θ5 como:

[𝐸𝑥 8.95𝐸𝑦 0𝐸𝑧 17.05

] (42)

Una vez tomado el objeto se girará sobre la base en la

misma posición para dejar el objeto siendo la configuración

angular [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5] dada por:

[ 𝜋 𝜋

2 −3

𝜋

4 3

𝜋

4 0 ] (43)

El efector final (𝐸) susutituyendo (43) en (33) descartando

el efector final θ5 coloca el objeto final mediante:

[𝐸𝑥 − 8.95𝐸𝑦 0

𝐸𝑧 17.05

] (44)

7.-Selección: Con base a los valores descritos en el diseño

y modelado matemático se diseñará un brazo robot de 5

eslabones, un gripper y seis GDL utilizando servomotores que

puedan ocupar los espacios entre los eslabones manteniendo

los tamaños.

De acuerdo al esquema de la figura 3 se seleccionó para el

ensamble del diseño a manufacturar tres servomotoreductores

Hitec HS-311, un DYNAMIXEL AX para la base y dos

Servomotor Micro HD-1900A para el gripper debido a sus

características y tamaño [22].

VI. CAD

De acuerdo al diseño de la figura 3 y al modelado

matemático se procedió a realizar su simulación utilizando los

parámetros Denavit-Hartenberg descritos anteriormente.

8.-Diseño detallado CAD: Siendo correspondiente el

desplazamiento de acuerdo al modelado matemático y el

diseño de la figura 3, se diseñó mediante AutoCAD los

eslabones tomando en cuenta los servomotores anteriormente

descritos utilizando los siguientes parámetros:

El origen (piso) como coordenada (0,0,0); el hombro L {1}

con D=10.5cm con rotado en 𝜋

2 para 𝛼; la base L {2}

adelantado a las abscisas en A=4 cm. como se describe en la

figura 4.

El eslabón del codo L {3} está desplazado a las ordenadas

hombro en A=7 cm como se describe en la figura 5.

Fig. 4. Descripción de L {1} y L {2}

El eslabón final hacia la muñeca encuentra dividida en el

eslabón de pitch de la muñeca L {4} descartado para

parametrización con una rotación en 𝛼 en 𝜋

2 pero es

considerado en su simulación gráfica.

Fig. 5. L {3}

Se considera a continuación para el movimiento de la

muñeca el roll L {5} desde el codo hasta el origen del actuador

final desplazado en las abscisas respecto al codo en A=4cm

obteniendo el mecanismo con este último eslabón una altura

máxima de 33 cm en posición de gripper abierto para tomar

objetos y pudiendo alcanzar un tamaño máximo de 39 cm con

el gripper cerrado; como se describe en la figura 6.




17

Fig. 6. L {5}

VII. SIMULACIÓN

El diseño CAD y modelado de la cinemática directa del

robot MATHBOT fue comprobado mediante una simulación

utilizando el lenguaje MATLAB para examinar la eficiencia

del modelo matemático descrito en la matriz 0T5 (33) con los

parámetros descritos comparando los resultados respecto a la

simulación.

Dado el conjunto de ángulos con entrada para el desarrollo

de la cinemática directa 0T5 (33) y MATLAB los resultados

correspondientes al modelado matemático han sido

comparados y graficados.

Al ejecutar la simulación se programaron los siguientes

resultados de Denavit-Hartenberg (D-H) [21]de acuerdo a

(25):

Rob = noname: 5 axis, RRRRR, stdDH, slowRNE +---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+

| j | theta | d | a | alpha | offset |

+---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+

| 1| q1| 10.5| 0| 1.5708| 0|

| 2| q2| 0| 11.5| 0| 0|

| 3| q3| 0| 7| 0| 0|

| 4| q4| 0| 0| 1.5708| 0|

| 5| q5| 4| 0| 0| 0|

+---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+

Los comandos anteriores describen en la columna j que el

manipulador tiene 5 grados de libertad; así como sus

respectivos parámetros configurados de 𝜃, d, a y 𝛼 con sus

respectivos valores de 𝜋

2 en decimal y las L1 a L5.

Al realizar el producto matricial en la simulación se

obtiene con los comandos:

PRODUCTOMATRICIAL=R_tetha*D_d*D_a*R_alph

Coincidiendo con los valores obtenidos en la matriz (36):

0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0 1.0000 0.0000 1.0000 0 0 0 1.0000

De forma similar mediante la transformación Denavit

Hartenberg:

DENAVITHARTENBERG=[cos(teta) -cos(alpha)*sin(teta) sin(alpha)*sin(teta) a*cos(teta); sin(teta) cos(alpha)*cos(teta) -sin(alpha)*cos(teta) a*sin(teta); 0 sin(alpha) cos(alpha) d; 0 0 0 1]

Se obtiene el mismo resultado que en (37):

0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0 1.0000 0.0000 1.0000 0 0 0 1.0000

Para la simulación de las posiciones la configuración inicial

de cadena vertical se programó el ángulo-articulación [θ1 θ2

θ3 θ4 θ5] por q1 a q5 de acuerdo a (37):

q1=0; q2=pi/2; q3=0; q4=pi/2; q5=0; %Valores pos1=[q1 ,q2, q3, q4, q5]%MATRIZ Rob.plot (pos1)%PLOTEO 1 Rob.fkine(pos1) %Generación de MTD

Con lo que obtuvo la transformación directa coincidiendo

con los valores de (38):

pos1= 0 1.5708 0 1.5708 0 ans =

-1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 33 0 0 0 1

En la figura 7 se describe la simulación de la posición

obtenida mediante la MTD (38).

Fig. 7. Posición de inicio con todos los servos energizados de acuerdo a

la MTD (14).




18

Para la programación de la posición desenergizada de los

servomotores da configuración [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5] viene dada por

(39) con:

q1=0;q2=pi/2;q3=-3*pi/4;q4=pi/4;q5=0; %Valores pos2=[q1 ,q2, q3, q4, q5]%MATRIZ Rob.plot (pos2) %PLOTEO Rob.fkine(pos2) %Generación de MTD

Obteniendo su MTD que coincidie con (40):

pos2 = 0 1.5708 -2.3562 0.7854 0 ans = 1 0 0 4.95 0 -1 0 0 0 0 -1 13.05 0 0 0 1

Su ploteo en modo de “reposo” se describe en la figura 8.

Fig. 8 Simulación de la posición de reposo de acuerdo a la MTD (40).

La posición para tomar un objeto tiene la configuración [θ1

θ2 θ3 θ4 θ5] queda dada por (41) con el programa:

q1=0;q2=pi/2;q3=-3*pi/4;q4=3*pi/4;q5=0; %valores pos3=[q1 ,q2, q3, q4, q5]%MATRIZ Rob.plot (pos3) %PLOTEO Rob.fkine(pos3) %Generación de MTD

El resultado del efector final (𝐸) coincide con la MTD (42):

pos3=0 1.5708 -2.3562 2.3562 0 ans = 0 0 1 8.95 0 -1 0 0 1 0 0 17.05 0 0 0 1

La simulación se describe en la figura 9 en donde se

descartan los comandos del actuador final:

Fig 9. Posición de toma del objeto de acuerdo a la MTD (42).

Para la programación de la posición final para colocar el

objeto en su posición final tiene la configuración angular [θ1

θ2 θ3 θ4 θ5] descrita en (43):

q1=pi;q2=pi/2;q3=-3*pi/4;q4=3*pi/4;q5=0;%valores pos4=[q1 ,q2, q3, q4, q5]%MATRIZ Rob.plot (pos4) %PLOTEO Rob.fkine(pos4) %Generación de MTD

Susutituyendo se obtiene el mismo resultado que en (44)

por Matlab:

pos4=3.1416 1.5708 -2.3562 2.3562 0 ans = 0 0 -1 -8.95 0 1 0 0 1 0 0 17.05 0 0 0 1

El resultado de la simulación de los comados anteriores se

describe en la figura 10.

Fig. 10 Simulación de la posición en donde coloca el objeto el

manipulador de acuerdo a la MTD (44)




19

VIII. MANUFACTURA.

Continuando con la metodología anterior y una vez

realizado el diseño, modelado matemático y comprobado

mediante su simulación en MATLAB como se describió

anteriormente, se procedió a realizar un CAM mediante el

programa AutoCAD del prototipo de acuerdo a los

parámetros diseñados.

9.-Creación de prototipos y pruebas: Para la construir la

estructura del prototipo se seleccionó el material SINTRA,

debido a que es un PVC no frágil que permite ser

manufacturado mediante una cortadora laser mediante un

archivo CAD/CAM. La pieza diseñada en el CAD/CAM

fueron manufacturadas mediante una cortadora laser y

ensambladas con los servomotores como se muestra en la

figura 11 y 12.

Fig 11. Piezas para manufactura de Cintra mediante corte laser mediante

el CAM.

El paso “10.- Producción” fue descartado debido a que el

prototipo tiene una función experimental de carácter científico

y ha sido registrada; sin embargo, puede ser producida por un

tercero solicitando los derechos correspondientes.

Fig 12. MATHBOT manufacturado y ensamblado en Cintra.

IX. PRUEBAS

Para realizar las pruebas se utilizó la tarjeta

servocontroladora reprogramable plug and play USB-HID

(Fajardo y Herrera, 2013) [22]; la cual permite controlar 30

servomotores simultáneamente mediante una GUI que

mediante sliders con interpolación de Lagrange para generar

el equivalente proporcional del valor del pulso PWM a cada

servomotor mediante un sistema neurodifuso que compara y

controla la posición actual del motoreductor respecto a la

deseada hasta colocarse en ella [23].

Para las pruebas del manipulador se colocaron ejes para

ordenadas y abscisas generando un mapa donde el robot fue

manipulado mediante la programación de la GUI siguiendo las

instrucciones obtenidas a través de las matrices modeladas y

simuladas previamente.

Fig. 13. GUI de la servocontroladora reprogramable USB-HID utilizada

en el CIINDET 2013 de la IEEE [22].




20

Los ángulos de las imágenes fueron medidos y reconocidos

por un sistema de reconocimiento de patrones con visión

artificial con base a los puntos indicados.

Se calibraron las posiciones máximas y mínimas de los

servomotores, así como la posición inicial de los eslabones

para que se adecuara con el modelo matemático anteriormente

descrito con ayuda del sistema de servocontrol.

Se comparó el resultado de cada uno de los movimientos

obtenidos por el robot físico respecto a la simulación y

modelado matemático.

Para el primer movimiento de calibración de cadena

energizada se obtuvo una posición que coincide con la MTD

(38) y la figura 14, en donde se encontró que coinciden las

alturas mínimas y corresponde a lo modelado.

Fig 14. MATHBOT en posición de cadena energizada.

Para el segundo movimiento se obtuvo una posición de

reposo de acuerdo a la Fig. 8 y la MTD (40) posicionando las

articulaciones en el piso como se describe en la figura 15.

Fig 15. MATHBOT En posición de reposo

Para tomar el objeto se utilizó la MTD (42) coincidiendo

con la simulación de la figura 9 y colocando el actuador final

(gripper) en modo de apertura para t0 y en cierre para t1, como

se describe en la figura 16.

Fig 16. MATHBOT En posición de toma de objeto.

Para colocar en su posición final el objeto se utilizó la

MTD (43) coincidiendo con la simulación de la figura 10 y

colocando el actuador final (gripper) en modo de cierre para

t0 y en apertura para t1 para liberar el objeto, como se describe

en la figura 17.

Fig 17. MATHBOT En posición de colocado de objeto.

X. CONCLUSIONES

Al haber diseñado de acuerdo a la metodología de Norton

[18], se logró la manufactura de un manipulador industrial

vertical de 5 GDL de tipo brazo robot modelando 5 eslabones,

6 servomotores y un gripper como actuador final, el modelado

matemático de su cinemática directa mediante matrices D-H

[21], su simulación en MATLAB, el diseño CAD de sus

eslabones y su manufactura CAM en SINTRA mediante corte

laser.




21

La metodología de diseño, modelado, simulación y

manufactura permitió la ensamble y construcción de un

prototipo de brazo robot con servomotores Hitec controlado a

través de una tarjeta USB-HID servocontroladora de

secuencias programables con una interfaz gráfica mediante de

sliders y valores [22] [23].

El prototipo fue diseñado para cumplir con las dimensiones

del modelo matemático y calibrado de acuerdo al espacio

cinemático simulado.

Las pruebas de movimiento realzadas con el prototipo de

brazo robot coincidieron con las simulaciones en MATLAB y

el modelo matemático [14], como se describe en las pruebas

de control de las figuras 14 a la 17 con sus respectivos modelos

matemáticos y simulaciones en MATLAB.

El modelado matemático de fenómenos físicos y su

comprobación mediante simulaciones permite la construcción

y control de maquinaria industrial, así como la descripción de

fenómenos físicos de manera universal.

Se resalta la importancia y aplicación de la matemática

como lenguaje de descripción de la realidad para poder

construir modelos matemáticos que permiten dar pie a

esquemas, diseños y simulaciones previas a la construcción de

maquinaria ahorrando tiempos, movimientos y un gasto

innecesario de recursos y materia de manufactura.

Es importante utilizar servomotores digitales que permiten

360 grados de libertad para pruebas específicas [23]; así

mismo se puede jugar con diseños estilizados del manipulador

en Sintra mientras se mantengan las distancias en un punto de

referencia y se calibren los servomotores a las posiciones de

arranque como se realizó en el experimento.

El prototipo se puede llevar a un sistema de ensamblaje

industrial profesional con materiales metálicos y servomotores

de corriente alterna mediante tarjetas controladores con

interfaces convertidoras.

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enseñanza y aprendizaje 2016: Marcos Fajardo Rendón y Francisco

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https://www.iso.org/standard/55890.html




22

Subdominios y categorías del conocimiento

especializado que emergen en el futuro docente al

enseñar la construcción de círculos.

Marleny Hernández Escobar

Escuela Normal Superior de México



[email protected]

Resumen- El estudio analiza la práctica del futuro docente de

séptimo semestre de la Escuela Normal Superior de México al impartir clases de geometría con estudiantes de primer grado de secundaria, con la finalidad de identificar los subdominios del

conocimiento pedagógico de contenido del modelo del Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas [1] para generar explicaciones acerca de los procesos de apropiación

de los recursos empleados en el proceso enseñanza-aprendizaje, normados por el conocimiento matemático.

Esta investigación es un estudio de caso donde se indaga

mediante video grabaciones el conocimiento especializado de una futura profesora de secundaria que integra el uso de GeoGebra en el salón de clases para la enseñanza de la geometría, la

finalidad es investigar y categorizar de qué manera el uso del recurso computacional interviene en la comprensión de la construcción de círculos a partir de diferentes datos.

Palabras Calve- conocimiento especializado, construcción de

círculos, enseñanza, futuro docente.

Abstract- The study analyzes the practice of the future

seventh semester teacher of the Escuela Normal Superior de

México by teaching geometry classes with first graders of high

school, in order to identify the subdomains of pedagogical

knowledge of content in the Specialized Knowledge model of the

Professor of Mathematics [1] to generate explanations about the

processes of appropriation of the resources used in the teaching-

learning process, standardized by mathematical knowledge.

This research is a case study where video recordings

investigate the specialized knowledge of a future high school

teacher who integrates the use of GeoGebra in the classroom for

the teaching of geometry, the purpose is to investigate and

categorize how the use of computational resource is involved in

understanding of building circles from different data. Keywords- specialized knowledge, circle building, teaching,

future teacher.

Mathematical Subject Classification: 00A35

I. INTRODUCCIÓN

Para analizar la práctica del futuro profesor de matemáticas

fue necesario tener un marco fundamentado en un modelo

situado en el centro del conocimiento matemático que el

profesor debe enseñar y en la actividad matemática que ello

supone llevar a cabo, para ello fue adoptado el modelo

propuesto por [1] denominado Conocimiento Especializado

del Profesor de Matemáticas, este modelo consta de seis

subdominios [2]. Para el análisis solo se usan los que

corresponden al PCK (Pedagogical Content Knowledge) ya

que el futuro profesor debe conocer el contenido matemático

desde el punto de vista de un contenido a enseñar, desde el

punto de vista de un contenido a aprender y desde una visión

general de los estándares de aprendizaje que se pretenden

alcanzar considerando según [2] tres subdominios: a) el

Conocimiento de las características del aprendizaje, que se

interesa por el conocimiento relacionado con las

características de aprendizaje derivadas de su interacción con

el contenido matemático, b) el Conocimiento de la enseñanza

de la matemática, el cual incluye el conocimiento de recursos,

materiales, modos de presentar el contenido y el potencial que

puede tener para la instrucción, además de los ejemplos

adecuados para cada contenido y c) el Conocimiento de los

estándares de aprendizaje de las Matemáticas, ya que

considera el conocimiento que el futuro profesor tiene acerca

de lo que está estipulado que aprenda un estudiante de

secundaria y su nivel conceptual es decir el currículo

institucional.

En México la formación de los futuros profesores de

educación Básica es a través de las normales que son

instituciones Federales dependientes de la Secretaría de

Educación Pública (SEP) para el nivel de secundaria la

Escuela Normal Superior de México (ENSM), en sus

diferentes especialidades, para séptimo y octavo semestres

prepara al futuro profesor para llevar a cabo el trabajo docente

“en condiciones reales”, su permanencia en la escuela

secundaria (23 semanas) es durante todo el ciclo escolar [3],

por ello el interés del estudio fue indagar en la práctica de un

futuro docente de séptimo semestre el conocimiento

pedagógico de contenido, a través de las video grabaciones de

las clases impartidas a estudiantes de primero de secundaria

con el tema de círculo.

II. REFERENTE TEÓRICO

El Marco Teórico de esta investigación se basa en el

Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas, en

adelante MTSK (Mathematics Teacher’s Specialised

Knowledge) [2].

Partimos de la consideración de que en el conocimiento del

profesor para la enseñanza de la matemática más relativo al

propio contenido matemático, se pueden considerar dos

dominios principales: conocimiento del contenido (MK por

sus siglas en inglés) y conocimiento didáctico del contenido

(PCK). Nos interesa el carácter especializado del

conocimiento del profesor de matemáticas, entendiendo que

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/of

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/building

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/from

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/different

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/data

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/specialized

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/knowledge

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/circle

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/building

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/teaching

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/future

https://dictionary.cambridge.org/es/diccionario/ingles-espanol/teacher




23

no debe restringirse a un subdominio del conocimiento

matemático, sino a todos sus subdominios. En ese sentido,

asociamos la especificidad de dicho conocimiento a que se

refiere a la enseñanza de la matemática, lo que debe reflejarse

en el conocimiento del profesor en su conjunto.

La figura 1 representa el modelo del Conocimiento

Especializado del Profesor de Matemáticas [1], se quita la

parte central del modelo que corresponde a creencias por no

ser parte del presente estudio.

Se utiliza el MTSK como modelo teórico debido a que se

diferencia del conocimiento en pedagogía y psicología

general, del conocimiento especializado del profesor de otra

materia y del conocimiento especializado de otro profesional

de la matemática, siendo una herramienta metodológica que

admite analizar distintas prácticas del futuro profesor de

matemáticas, y permite interpretar su conocimiento

especializado a través de sus categorías.

El MTSK es un elemento que ayuda a organizar una

reflexión (colectiva o individual) sobre el conocimiento para

enseñar matemáticas haciendo uso de conocimientos prácticos

donde el futuro docente sea consciente de los conocimientos

que posee o que le faltan, a través de diseños de tareas con una

estructura específica y la ejecución de las mismas para formar

un entorno de aprendizaje con el análisis de sus errores, tiene

que ver con su actuar integrando las diferentes formas con las

que se interactúa de cara a la enseñanza.

En este estudio se pretende observar el Conocimiento

Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK) que posee

el futuro docente para la enseñanza de las matemáticas y de

qué forma éste conocimiento se modifica cuando se resuelven,

se diseñan y se aplican actividades con el uso de GeoGebra

que orientan la tarea educativa.

La estructura del modelo teórico del MTSK se desarrolla

con base en los dominios que se describen a continuación:

Dominio de Conocimiento Matemático (MK)

Dominio fundamental en el futuro profesor debido a que

es el conocimiento de la propia disciplina que se enseña,

considera tres subdominios que lo componen y le dan sentido:

Fig. 1. Subdominios del Conocimiento Especializado del Profesor de

Matemáticas

Subdominio de Conocimiento de los Temas Matemáticos

(KoT). Es un conocimiento profundo que consiste en conocer

los contenidos matemáticos que se enseñarán (conceptos,

procedimientos, hechos y reglas entre otros) y sus significados

de manera fundamentada. Subdominio de Conocimiento de la

Estructura Matemática (KSM). Este subdominio tiene sus

bases en lo descrito por [4] como Conocimiento del horizonte

matemático, este conocimiento de las matemáticas permitirá

al futuro profesor reflexionar sobre algún contenido para

trabajar la matemática desde un punto de vista integral y

estructurado para comprender y desarrollar conceptos

avanzados desde una perspectiva elemental y conceptos

elementales mediante una visión avanzada.

Subdominio de Conocimiento de la Práctica Matemática

(KPM). Este subdominio contempla cómo es construida la

matemática y destaca la importancia de que el docente

conozca las formas de proceder para llegar a resultados y

características de un trabajo matemático sabiendo cómo se

explora y cómo se genera conocimiento a través de establecer

relaciones, correspondencias, equivalencias.

Dominio de Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK)

Este conocimiento incluye los conocimientos que el

profesor tiene sobre los temas enseñados con regularidad, es

decir, todas las formas de representación (ilustraciones) y

formulación (ejemplos y explicaciones) que hagan que el

contenido sea comprensible para otros al considerar los

siguientes subdominios.

Subdominio de Conocimiento de las Características del

Aprendizaje (KFLM). Este conocimiento permitirá al futuro

profesor adquirir una mayor consciencia del ambiente escolar

en el que se desarrollan las prácticas docentes para poder

abordar los temas de una forma más personalizada y ajustada

a las necesidades de los alumnos de secundaria.

Subdominio de Conocimiento de la Enseñanza de la

Matemática (KMT). Este subdominio incluye el conocimiento

de recursos, materiales (dibujos, modelos manipulables,

diagramas, lenguajes hablados o símbolos escritos), modos de

presentar el contenido y el potencial que puede tener para la

instrucción de un concepto o procedimiento matemático.

Subdominio de Conocimiento de los Estándares de

Aprendizaje de las Matemáticas (KMLS). Aquí se considera

el conocimiento que el futuro profesor tiene acerca de lo que

está estipulado que aprenda un estudiante de secundaria y su

nivel conceptual, para poder dar una ubicación temporal y

contextual al contenido abordado.

El análisis del MTSK que posee el futuro profesor

permitirá saber dónde se está y hacia dónde se quieren orientar

los esfuerzos, de esta manera puede haber cambios

importantes en la forma de ver, entender y llevar a cabo la

enseñanza, debido a que es necesario pensar e investigar sobre

las características de la formación inicial del profesor, la

integración del conocimiento que el futuro docente requiere

para su labor docente y el conocimiento matemático, es

precisamente lo que conforma el conocimiento especializado.

III. METODOLOGÍA

El objetivo en el que se centra éste estudio es identificar

qué conocimiento respecto a los subdominios y categorías del

MTSK que emergen en las prácticas pedagógicas de una futura

profesora cuando enseña la construcción de círculos usando

Geogebra en el aula de matemáticas, es un estudio de caso




24

porque examina una situación única, sin intención de

generalizarla, de acuerdo con [5], los estudios de caso son

ejemplos (instance) específicos que frecuentemente están

diseñados para ilustrar un “principio más general” y con ellos

pueden investigar situaciones que informan acerca de “las

interacciones dinámicas y el desarrollo de eventos, relaciones

humanas y otros factores en un ejemplo único”, y hacer

“declaraciones teóricas […] [que] deben estar respaldadas con

evidencia”.

El foco de interés gira en torno a los recursos matemáticos

y didácticos que varios profesores ponen en juego para enseñar

a sus estudiantes la construcción de círculos a partir de

diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados,

etc.) o que cumplan condiciones dadas. Ubicado en el bloque

4 de primer año de secundaria en el eje forma espacio y

medida, efectuado en dos grupos durante 5 sesiones.

Analizamos las sesiones en las que la futura profesora usa

Geogebra en el laboratorio de cómputo. Para la recogida de

información la técnica privilegiada fue la observación no

participativa, en ese sentido, [6] argumenta que el investigador

registra lo que acontece a través de la observación con la

finalidad de ofrecer una “descripción […] incuestionable”

para, posteriormente, analizarla (cursivas en el original). Por

los argumentos antes mencionados, la observación se llevó

cabo mediante video-grabaciones (una cámara dirigida, hacia

lo que hizo y dijo el profesor), reforzadas con audio-

grabaciones y notas de campo.

El análisis que según [6] consiste en darle sentido a los

datos recopilados, dejando de lado nuestras impresiones,

estuvo centrado en las prácticas docentes de una futura

profesora de la Licenciatura de Educación Secundaria con

Especialidad en Matemáticas que cursaba el séptimo semestre

en la Escuela Normal Superior de México.

IV. RESULTADOS

Una vez analizadas en su conjunto las 5 sesiones de clase

del tema acerca de la construcción de círculos a partir de

diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados,

etc.) o que cumplieran condiciones dadas, pasamos a describir

los subdominios y categorías del Conocimiento Especializado

del Profesor de Matemáticas (MTSK) de los que se obtuvieron

evidencias. El subdominio de conocimiento que emergió más

es el Conocimiento de los Temas (KoT), en distintas

categorías. También hallamos indicios del conocimiento de la

Práctica Matemática (KPM), referente a formas de proceder

en el desarrollo del contenido, además del Conocimiento de la

Enseñanza de las Matemáticas (KMT), concerniente a

ejemplos para la enseñanza; y el Conocimiento de las

Características del Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM),

surgió referido siempre a la categoría fortalezas y dificultades

asociadas al aprendizaje, en relación con el tema en cuestión.

V. CONOCIMIENTO DE LOS TEMAS (KOT - KNOWLEDGE OF

TOPICS)

El conocimiento de los temas (KoT) tiene cierta

profundidad y se evidencia en sus categorías: procedimientos,

propiedades y sus fundamentos, fenomenología y aplicaciones.

El futuro profesor está al tanto de los procedimientos, conoce

cómo llevarlos a cabo, cuándo es conveniente utilizarlos, qué

restricciones tienen y establece con detalle los posibles

resultados o lo que se espera obtener, el análisis conjunto de

las sesiones de clase nos muestra que se trata de un

conocimiento razonado y sólido.

En cuanto a procedimientos, el futuro profesor evidencia su

conocimiento acerca de los círculos, así como de su

construcción a partir de diferentes datos como el radio, la

cuerda y tres puntos no alineados, define a la circunferencia

como una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un

punto interior llamado centro y al círculo como la superficie

plana limitada por la circunferencia. Además, el futuro

profesor indica que “el radio es la recta que une el centro con

un punto cualquiera de la circunferencia”, también identifica al

diámetro como la mayor de las cuerdas cuando menciona que

“el diámetro es la recta que une dos puntos de la circunferencia

y que la cuerda de la circunferencia es toda recta que une dos

puntos de la circunferencia” por otro lado alude que “el arco es

la porción de circunferencia limitada por dos puntos que son

llamados extremos del arco”.

El conocimiento del futuro profesor se manifiesta en el

momento en el que construye circunferencias a partir de un

punto dado e identifica porqué es una condición insuficiente

para realizar una sola circunferencia. Este conocimiento sobre

cómo llevar a cabo un procedimiento refleja algunas de sus

destrezas que ayuda a que el estudiante de secundaria se quede

con una imagen clara de estos procedimientos.

El conocimiento acerca de las propiedades y los

fundamentos se evidencia cuando el futuro profesor solicita a

los estudiantes que tracen una circunferencia que pase por el

punto P, después les pide que marquen el centro y que lo

denoten con la letra C, enseguida les indica que con otra

medida tracen otra circunferencia que pase por el punto P y que

denoten el centro con la letra Q, posteriormente les cuestiona

“cuántas circunferencias se pueden trazar que pasen por el

punto P”.

Notamos su conocimiento para la construcción de

circunferencias, fundamentado en sus propiedades, cuando de

forma grupal concluyen que “se pueden trazar diferentes

circunferencias a partir de un punto dado porque el centro y el

radio no tienen ninguna restricción”.

Dicha propiedad no es sólo expresada de manera verbal,

sino que el futuro profesor resalta algunas características

importantes para que los estudiantes observen que la distancia

del punto P a cada una los centros de las circunferencias no es

la misma porque las circunferencias que se trazaron fueron de

distintas medidas, la distancia del punto P a cada uno de los

centros es diferente.

Con los conocimientos de la actividad anterior el futuro

profesor indica a los estudiantes que el radio es un segmento

que une el centro con cualquier punto de la circunferencia y les

solicita que identifiquen si el segmento RS̅̅̅̅ es el radio de cada

circunferencia.

Fig. 2. Segmentos 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐶̅̅̅̅ y 𝐶𝑇̅̅̅̅ en el círculo.




25

Observamos el conocimiento fundamentado en propiedades

cuando los estudiantes indican que los segmentos 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ y 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ no son radios (figura 2) “porque el segmento une dos

puntos de la circunferencia y debe unir el centro con cualquier

punto de dicha circunferencia” además indican que el

segmento 𝐶𝑇̅̅̅̅ sí es radio “porque une el centro con cualquier

punto de la circunferencia” y concluyen “una de las

propiedades de la circunferencia es que se puede trazar un

número indefinido de radios y todos los radios son iguales”.

Su conocimiento sobre la fenomenología y aplicaciones del

contenido, se enmarca principalmente en la propia matemática,

así, el futuro profesor conoce que el arco es la porción de

circunferencia limitada por dos puntos que son llamados

extremos del arco, hace alusión a aplicaciones de este

contenido en la arquitectura, él menciona que “el arco de medio

punto se usó en la arquitectura romana y renacentista, el arco

ojival es característico del estilo gótico, desarrollado en Europa

durante la edad media y el arco de talón es utilizado en el arte

indio y bizantino” (figura 3), entrega de forma impresa las

imágenes correspondientes y durante las clases orienta a los

estudiantes para realizar los trazos respectivos.

Este conocimiento del futuro profesor sobre fenomenología

y aplicaciones dentro del contexto matemático lo evidencia a

lo largo del desarrollo de las clases, establece conexiones que

reflejan la utilidad de unos temas como es la construcción de

circunferencias (con centro y radio dados) para el trabajo con

otros dentro del mismo contenido por ejemplo los arcos.

Pensamos en estas conexiones como relaciones intra

conceptuales (que forman parte del KoT y se establecen en la

proximidad de un único concepto) debido a que son contenidos

muy cercanos que se complementan unos con otros.

VI. CONOCIMIENTO DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA (KPM -

KNOWLEDGE OF PRACTICES IN MATHEMATICS)

Encontramos indicios del conocimiento de la práctica

matemática del futuro profesor sobre formas de proceder en

matemáticas, que relacionamos con un conocimiento de cómo

se desarrollan las matemáticas, en este caso se trata de prácticas

que asociamos a la simplificación de los procedimientos, a

abarcar la exhaustividad de los casos y evitar errores.

Además, incluimos aquí el conocimiento del futuro

profesor sobre el papel de la notación matemática, debido a que

menciona algunas características del radio (son iguales, se une

el centro con cualquier punto del círculo) y del diámetro (es la

mayor de las cuerdas, une dos puntos de la circunferencia

pasando por el centro, es el doble del radio).

Encontramos también indicios de conocimiento de la

práctica en la justificación que hace para los alumnos sobre el

papel de la notación matemática, al advertir que los vértices se

denotan con letras mayúsculas.

El futuro profesor busca la precisión y promueve cierto

rigor en el uso de la notación matemática en sus clases.

Durante la clase el futuro profesor guía y cuestiona a sus

estudiantes, ejemplo de ello es el siguiente episodio de una

construcción realizada con GeoGebra:

Futuro profesor: Da clic en archivo, luego selecciona

la opción nuevo y quita los ejes. Traza un segmento AB.

Selecciona el icono de circunferencia y con la

herramienta (centro, punto) traza una circunferencia

seleccionando los dos puntos: A y luego B. ¿Qué

elemento de la circunferencia representa el segmento

AB?

Estudiantes: El radio de la circunferencia.

Futuro profesor: Sobre la circunferencia traza un

punto C, luego con la herramienta segmento une el

centro denotado como A de la circunferencia con el

punto C. ¿Qué elemento del círculo representa el

segmento AC?

Estudiantes: También es radio de la circunferencia.

Futuro profesor: Selecciona la flecha blanca que se

encuentra en la parte superior izquierda, localiza el

punto C y muévelo. ¿Qué sucede con este radio?

Estudiantes: Se mueve alrededor del círculo, no se

mueve el centro.

Futuro profesor: ¿La medida del radio cambia de

tamaño o permanece igual?

Estudiantes: Permanece igual, nunca cambiará

porque los radios de toda circunferencia son iguales.

Futuro profesor: Realiza una conclusión incluyendo la

definición y propiedades que aprendiste acerca del

radio.

Estudiantes: Es el segmento que une el centro con

cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios

son iguales en una misma circunferencia.

VII. CONOCIMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

(KMT - KNOWLEDGE OF MATHEMATICS TEACHING)

Observamos que el futuro profesor utiliza una variabilidad

de ejemplos para la enseñanza, el conocimiento de la

enseñanza de las matemáticas (KMT) le permite trabajar con

diferentes ejercicios relacionados con un mismo tema, de los

que destaca sus características particulares a través de ejemplos

impresos en hojas de trabajo y normalmente no sólo emplea

uno, sino que, cuando aborda cada tema incluido en el

contenido a través del cual hemos analizado su conocimiento,

utiliza tres o cuatro ejemplos con diferentes características.

Fig. 3. Aplicaciones del tema de arco.




26

VIII. CONOCIMIENTO DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL

APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS (KFLM - KNOWLEDGE OF

FEATURES OF LEARNING MATHEMATICS)

En casi todas las sesiones de clase el futuro profesor muestra

conocimiento sobre los principales errores y dificultades de los

estudiantes con relación al contenido, lo cual se enmarca en la

categoría fortalezas y dificultades asociadas al aprendizaje. El

futuro profesor procura advertir a los estudiantes qué errores

no deben cometer. Este conocimiento está relacionado con su

conocimiento de procedimientos y otros aspectos del KoT que

muestran cierta profundidad; como cuando hace énfasis en la

importancia de tener en cuenta que todos los radios en un

mismo círculo son iguales.

Así, como parte de su conocimiento sobre fortalezas y

dificultades asociadas al aprendizaje, relacionadas con la

construcción de la circunferencia que pasa por tres puntos

dados [7], el futuro profesor identifica como una dificultad

para el estudiante de secundaria reconocer el punto de

intersección de las mediatrices como el centro de la

circunferencia; además, percibe como fortalezas los

conocimientos que se utilizaron en las actividades anteriores

relacionados a que los segmentos 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ son cuerdas y

que la distancia 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es la misma, porque

corresponden a radios de la misma circunferencia.

IX. CONCLUSIONES

Vemos el uso de hojas de trabajo, material concreto (episodio

anterior), el juego de geometría y el software GeoGebra como

apoyo para impartir las clases de geometría (Figura 1), se

observa parte del Conocimiento de la enseñanza de la

matemática (KMT - Knowledge of Mathematics Teaching) ya

que se incluyen recursos que apoyan la forma de presentar los

contenidos, mostrando el potencial que puede tener el

conocimiento por parte del futuro docente de dichos recursos

para la instrucción.

Sobre el conocimiento de las características del aprendizaje

matemático (KFLM - Knowledge of Features of Learning

Mathematics), observamos que el futuro docente revisa el

trabajo de sus estudiantes constantemente para identificar

dudas o confusiones, además considera las ideas de los

estudiantes como apoyo para las actividades que realiza en el

pizarrón y aclara las dudas que se presentan en el transcurso de

la clase, también muestra una organización en sus clases y un

uso correcto de recursos. El conocimiento perteneciente a los

subdominios del KMT y el KFLM fue detectado al reflexionar,

no sobre la construcción en sí, sino sobre la acción del profesor

de usar el juego de geometría, el software y las hojas de trabajo

para ayudar a los alumnos a seguir sus razonamientos.

Desde la perspectiva que aporta este modelo, y teniendo en

cuenta las ideas vertidas en [1] sobre los distintos subdominios,

los resultados parciales muestran distintas dimensiones,

aunque desde esta perspectiva, todo el conocimiento que se

puso en juego durante las clases fue especializado, por ser

propio de su futura profesión.

La necesidad de conocimiento en estos subdominios para

el uso de Geogebra parece claro (conocimiento de la propia

herramienta como recurso de enseñanza y el aprendizaje ligado

a ella, y el conocimiento del contenido ligado a cómo se

expresa y trabaja matemáticamente la herramienta).

El conocimiento especializado emergió al reflexionar, no

sobre la construcción en sí, sino sobre la acción del futuro

profesor al usar instrumentos geométricos además de usar

software GeoGebra para ayudar a los alumnos a seguir sus

razonamientos.

Consideramos que el conocimiento que se mostró fue en

relación con las explicaciones acerca de la construcción de la

mediatriz como la recta perpendicular a un segmento que pasa

por su punto medio, con base en las ideas vertidas por [1] sobre

los distintos subdominios, todo el conocimiento que se puso en

juego durante las clases fue especializado, por ser propio de su

futura profesión.

El conocimiento matemático es el que subyace en la base

del conocimiento especializado del futuro profesor. La relación

entre el conocimiento de las características del aprendizaje

(KFLM) y el conocimiento de la enseñanza de las matemáticas

(KMT) es tan cercana que la distinción entre los conocimientos

que pertenecen a uno y otro subdominio podría parecer

complicada o innecesaria, sin embargo, los resultados ésta

estudio nos han permitido valorar la potencialidad que tiene

realizar esta distinción, en tanto que permite interpretar y

comprender más profundamente la naturaleza del

conocimiento del futuro docente desde dos perspectivas o

formas de conocer el contenido matemático, como contenido a

aprender y como un contenido a enseñar.

Las conclusiones sobre la caracterización del KMT

permitieron profundizar más sobre esta relación.

El contexto de diseño, justificación y discusión de

actividades para el aula es un entorno propicio para la

exploración del KFLM, puesto que el futuro profesor requiere

de utilizar el KFLM para diseñar tareas y anticipar posibles

procesos de los resolutores, además de que la discusión con sus

tutores, la reflexión entre pares y la necesidad de una

comunicación escrita propia del entorno virtual demandan del

futuro profesor argumentaciones que justifiquen el diseño y la

toma de decisiones sobre éste.

No es indispensable que el futuro profesor centre su

atención en los estudiantes como actores principales del

proceso de aprendizaje para obtener evidencias de este

conocimiento, éstas son también reconocibles en reflexiones

sobre la construcción del diseño y las características

específicas del contenido a abordar.

Cuando el futuro profesor está consciente de su

conocimiento especializado puede adquirir un bagaje de

conocimiento sobre estudios científicos y evidencias empíricas

que le proporcionen información sobre fortalezas y debilidades

asociadas al aprendizaje, las formas más comunes de

interacción con el contenido, así como los intereses y

expectativas que existen sobre un contenido, además, por

supuesto, de poder reconocer teorías de aprendizaje que le

permitan observar distintas formas de comprender un

contenido y construir una idea propia acerca del proceso de

aprendizaje.

REFERENCIAS

[1] Carrillo, J.; Climent, N.; Montes, M.; Contreras, L.C.; Flores-

Medrano, E.; Escudero-Ávila, D.; Vasco, D.; Rojas, N.; Flores, P.;

Aguilar-González, A.; Ribeiro, M.; Muñoz-Catalán, M.C.: The

Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK) model.

Research in Mathematics Education (2018).

[2] Carrillo, J.; Montes, M. A.; Contreras, L. C.; Climent, N.: Les connaissances du professeur dans une perspective basée sur leur

spécialisation: MTSK. Annales de didactique et de sciences

cognitives, 22, 185-205 (2017).

[3] Secretaría de Educación Pública- Subsecretaría de Educación

Básica y Normal. Lineamientos para la organización del trabajo




27

académico durante séptimo y octavo semestres. Licenciatura en

Educación Secundaria.SEP (2004).

[4] Ball, D. L.; Thames, M. H.; Phelps, G.: Content knowledge for

teaching: What makes it special?. Journal of Teacher Education,

59 (5), 389-407 (2008).

[5] Cohen, L.; Manion, L.; Morrison, K.: Research methods in

education. Routledge Falmer (2004).

[6] Stake, R. E.: Investigación con estudio de casos [estudios de caso].

Morata (1999).

[7] Legendre, A. M: Éléments de Géométrie. Paris, Firmin-Didot

(1794).


ISSN 2683-264X. http://joom.org.mx


28

Una visión de la currícula en Matemáticas

Isaac Villavicencio Gómez Escuela Normal Superior de México, Manuel Salazar 201 Colonia Ex-hacienda del Rosario, Azcapotzalco,


[email protected]

Resumen- La nueva visión de la currícula en matemáticas es la integración de mejoras a los planes y programas de estudio en

un futuro próximo, para de integrar acorde a los cambios sociales, elementos de la matemática con base en elementos de estudio y avances conocidos.La finalidad, es que el docente y

alumno aprendan que hay cambios en la matemática y que es relevante prepararse desde la educación básica al nivel superior, para que un alumno lleve bases de conocimiento

matemático en que comprenden la relevancia de los temas de clase.Mediante la clasificación de temas se da una aproximación inicial mediante el se propone una visión de la currícula

renovada que incida en que se apliquen cambios acordes al contexto social y debidamente fundamentados. La parte actitudinal es sustantiva que se impregne en las clases de los

docentes de educación básica a un modo conceptual o reflexivo en la educación media superior y a un tono mayor en lo conceptual y aplicativo según corresponda el tema.

Palabras Clave- currículm, planeación, programas de

estudio, escuelas normales. Abstract- The new vision of the curriculum in mathematics is

the integration of improvements to the plans and programs of

study in the near future to integrate according to social changes, elements of mathematics based on known elements of study and progress.The aim is that teachers and students learn that there

are changes in mathematics and is relevant prepared from basic education to higher level, for a student to take mathematical knowledge bases they understand the importance of class

issues.Through four classifications of subjects an overview by which it is generated a vision of the renewed curriculum that affects chord changes apply to social and duly substantiated

given context. The Attitudinal substantive part is that pervade in classes of teachers of basic education to a conceptual or reflective mode in upper secondary education and a major key

in the conceptual and applicative as appropriate theme.

Key Words- curriculum, planning, study programs,

normales schools.

Mathematical Subject Classification: 97B50.

I. INTRODUCCIÓN

El currículum hoy en día muestra la trayectoria que una

persona ha tenido en el tramo educativo como en el laboral,

tenemos en boga el modelo educativo por competencias

profesionales, la cual hoy articula conocimientos globales,

conocimientos profesionales y experiencias laborales, como

el identificar la experiencia, entonces lo anterior combina

elementos que permite identificar las necesidades hacia las

cuales se orientará la formación profesional.

El currículo es un elemento de mucho valor donde se

plasma la enseñanza, cuándo enseñar, cómo enseñar, cuándo

y cómo evaluar. Integro la siguiente frase como contexto. -

“…la evaluación se orienta a derivar aprendizajes del

desarrollo del curriculum, sirviendo para mejorar el curso,

para decidir qué materiales de instrucción y qué métodos son

satisfactorios y cuándo es necesario cambiar.” [1]

La visión de la currícula en matemáticas es comprender la

importancia de revisar y mejorar los planes y programas de

estudio actuales de educación, con los nuevos temas a

integrar, entonces se presentan 4 clasificaciones que explican

cambios de impacto que se observan en los temas de

matemáticas. Se integra además aspectos importantes que se

deben mantener presentes al elaborar una curricula, ya que la

evaluación en lo interno y externo es vital dentro de la

propuesta a realizar, así como alinear de forma fundamentada

el contenido a los aspectos de psicopedagogía, política y

economía, sociología y epistemología.

II. DESARROLLO

El currículo son el conjunto de criterios, planes de estudio,

programas, metodologías, y procesos que contribuyen a la

formación integral y a la construcción de la identidad cultural

nacional, regional y local, incluyendo también los recursos

humanos, académicos y físicos para poner en práctica las

políticas y llevar a cabo un proyecto educativo institucional.

[2]

El currículo incluye los recursos humanos, académicos y

físicos, para poner en práctica las políticas y llevar a cabo un

proyecto educativo institucional. Los alcances son la

formación integral y a la construcción de la identidad cultural

nacional, regional y local. Y se utiliza en la escuela que

pertenece a una región.

En las escuelas se tiene una cultura, la cual va formando el

currículo del alumno, que va a transmite de múltiples formas;

lo cual es un hecho sustantivo a la Escuela. Los contenidos y

culturas son parte de un estricta condición lógica en la

enseñanza y el currículum es la estructuración de esa cultura

bajo claves psicopedagógicas.

El currículum viene a ser una pasarela entre la cultura y la

sociedad, digamos del exterior de la escuela con la escuela, en

la cultura de las personas con la sociedad, ante el posible

conocer.

Si el contenido cultural es la condición lógica de la

enseñanza, se va a dirigir a condiciones reales de la

enseñanza. Visto desde la trascendencia por su potencia

cognitiva y su complejidad inevitable, implica en cierta forma

algunos enfoques y tratamientos muy diversos y ser un

terreno conflictivo y polémico, pero se requiere la

sensibilidad y conocimiento psicopedagógico para superar las

barreras a presentarse. [3]

Por lo tanto por la parte psicopedagógica y hoy

concretamente en la mayoría de las escuelas mediante las

competencias, ya que si pasamos a las competencias laborales

allí se aprende pero bajo el mismo enfoque de competencias

como primera instancia.

El currículo representa de manera explícita e implícita se

conjugan una serie de concepciones ideológicas,




29

socioantropológicas, epistemológicas, pedagógicas y

psicológicas, y que tiene una orientación pedagógica,

considera desde la fundamentación a la operación para

ponerlo en práctica, y basada en la estructura académica,

administrativa, legal y económica, lo cual lo lleva a una

formalización y oficialización. Las partes que ayudan a la

formación del currículo es el Plan de estudios dicho por

Casarini.- “El plan de estudios y los programas son

documentos guías que prescriben las finalidades, contenidos

y acciones que son necesarios para llevar a cabo por parte

del maestro y sus alumnos para desarrollar un currículum”

[4]

Los planes de estudio pueden estar organizados por

asignaturas, áreas de conocimiento o módulos, se tiene la

relación con el alumno y el conocimiento, y vinculación a la

sociedad, enseñanza aprendizaje y práctica profesional. Por

otra parte los Programas de estudio. - organizan y planifican

la conformación de estudio de una materia o asignatura, área

o módulo; de tal que es la herramienta fundamental de trabajo

de los profesores.

Con base en lo manejado por Frida Diáz Barriga, aporta lo

siguiente. - “Johnson considera que el currículo es algo más

que el conjunto de las experiencias de aprendizaje, se refiere

al aprendizaje terminal del alumno como resultado de la

enseñanza. Para esta autora, el currículo especifica los

resultados que se desean obtener del aprendizaje, los cuales

deben estar estructurados previamente; de esa manera hace

referencia a los fines como resultado del aprendizaje y

sostiene que el currículo no establece los medios –es decir,

las actividades y los materiales- sino los fines.” [5] Y se

agrega que el currículo se componente de cuatro elementos:

objetivos curriculares, plan de estudios, cartas descriptivas, y

sistema de evaluación.

Mediante un conjunto de puntos clasificados se coloca en

contexto la necesidad de un conocimiento matemático que se

utiliza en diferentes ramas de la ciencia. Se revisa para

comprender la importancia e impacto de renovar las

matemáticas ante el cambio social, en los casos de resolver

problemáticas, como de la formación de los alumnos para que

logren las competencias que la sociedad actual demanda.

Fomentar mediante la presente propuesta una visión

renovada para integrar mejoras en el currículo de la

matemática, es un punto de apoyo para que exista innovación,

desarrollo y crecimiento social de los docentes y discentes.

Es prioritario enseñar a un alumno una matemática de

forma significativa, concreta y puntual para resolver

problemas actuales, y ante todo mantener en la pasarela los

casos de investigación que ayuden al desarrollo de la ciencia

y resolución de asuntos matemáticos.

Todos en lo general brindamos aportes importantes que

colocan una dificultad, o dan solución a un problema. El

alumno debe ante todo contar con capacidades, logradas, que

motiven y fundamenten, la atención que tenemos a los

procesos de interés. Iniciemos la revisión de la clasificación

de temas.

1.- Tema de álgebra y geometría

Existen hoy métodos algebraicos un poco avanzados

como es el álgebra de Kolyvagin-Flach y la teoría de

Iwasawa, que es parte primordial de la resolución de la

ecuación de más de dos grados que planteó Fermat como

irresoluble.

Existe además el tema de los fractales que explica

comportamiento en imágenes que obedecen a patrones. Y en

su entorno hay diversas teorías que dan soluciones a

problemas matemáticos.

Existen un conjunto de figuras en las cuales se hacen

aproximaciones de espacios. Y es donde la geometría no

encuentra cómo brindar una solución pertinente. El manejo de

figuras geometrías que no tiene una forma ordenada y

congruente en su estructura vuelve un tanto complicado

establecer su manejo. Y existen hoy diversidad de figuras

diversas por lo que para su analisis se requiere del uso y

aplicaciones de diversas técnicas matemáticas que permitan

tener un resultado aproximado al esperado.

2.- Tema de enfoque de sistemas para el análisis de

problemas irresolubles.

Las ciencias como la física hoy en día están proponiendo

opciones de soluciones mediante un enfoque de sistemas, en

que hay subsistemas y así otros subsistemas. Esto deriva de la

complejidad por ejemplo:

Un enfoque de sistemas implica que los subsistemas se

caracterizan por un padre e hijo, y guardan ciertas

características particulares.

Dentro de otras ramas de las ciencias, como la educación,

también un enfoque de sistemas está permeando la educación

del futuro, en que se rompa la forma actual de educar, y se integren formas basadas en el enfoque de sistemas, que

faciliten al alumno un aprendizaje.

Se muestra en contexto a la física cuántica, que mediante

otro enfoque, pretende y da solución a procesos más

avanzados de análisis.

Manejo de anillos o grupos importantes de elementos nos

lleva a un álgebra superior abstracta, ya que reclasificamos y

aplicamos patrones de la matemática pero ya con temas un

tanto de corte abstracto. Esto implica reconocer el enfoque de

sistemas y agrupaciones de elementos u objetos, para facilitar

análisis grupal.

3.- Tema de solución a problemas con tendencias a

soluciones no lineales y cálculos exhaustivos mediante

otros métodos.

Hoy existen procesos que no mantienen un

comportamiento o patrón principal, e incluso puede ser un

proceso de n variables e interacciones, para conocer un

resultado que marque pauta hacia escenarios futuros de

acción.

El enfoque de los sistemas, y la investigación de

operaciones, aportan elementos de apoyo para solucionar

problemas particulares, en el caso de la Investigación de

Operaciones es por medio de temas de tipo no lineal.

Si se optimiza al maximizar o minimizar, entonces la

investigación de operaciones con los métodos simplex y

derivados otorga un apoyo importante. En el caso de

ecuaciones de más dimensiones se vuelve complejo el

entendimiento y en cierta manera la aplicación al mundo real,

lo cual complica el entendimiento o bien la solución a un

problema. Sin embargo con el avance en la resolución de

ecuaciones como lo es el Teorema de Fermat, se vislumbra

que ahora no basta un conocimiento sustantivo que traemos,

ya que debe ser integral y focalizado para dar una visión de

que diversos elementos coadyuvan en la solución de un tema

matemático.

La mecánica cuántica contiene dentro de sí un conjunto de

valores de corte matemático, y que hoy dentro del medio de la

computación hace necesario el entendimiento del tema como

un punto a futuro para el uso de las computadoras a una




30

velocidad mayor a la que hasta el momento se conoce. Por lo

tanto el sentido lógico y la resolución a modelos matemáticos

son necesarios para los futuros profesionistas al tema de las

tecnologías de la información y la comunicación.

4.- Los Sistemas Complejos

Los sistemas complejos [6] se refieren a diversas

interacciones entre componentes físico o bien lógico, los

cuales tienen comportamientos o funcionalidades, que suelen

ser necesarios que sean explicados o relacionados a proceso

de frontera entre ciencias y disciplinas.

Generalmente la complejidad implica conocer a nivel

micro, macro o por interacciones. Dentro del cual es

importante saber el medio en el que están para conocer qué

factores afectan los procesos o comportamientos.

Los sistemas complejos tienen injerencia en la

computación, la física, la biología, economía y sociología.

Cuando hay comportamientos particulares pueden

apegarse a modelos matemáticos y técnicas de tipo de grafos,

redes, control, simulaciones, minería de datos por mencionar

algunos casos conocidos. Lo relevante en muchos casos es un

modelo matemático y su comportamiento en el ambiente de

interés, representarlo por formas matemáticas nos permite

comunicarnos y medir lo que se realiza.

En el caso del cómputo es necesario saber que vienen

cambios en la rapidez de respuesta al manejar la información

ante el modelo de la teoría cuántica. Muchas formas de

avance se dan con un enfoque diferente de atender un

conjunto de peticiones y concurrencias. Entonces enseñar a

pensar de forma lógica y con modelos matemáticos en las

diferentes áreas de apoyo que forma la matemática.

5.-Relación de la clasificación al proceso de enseñanza

aprendizaje.

El primer paso es que el docente cuente con la visión e

importancia de mejorar la forma y temas de enseñar a un

alumno, entonces implica materiales que ante el cierre de la

clase otorguen la actitud de la nueva visión curricular de un

tema a trabajar.

El profesor desplegará diversas formas de integrar

materiales como técnicas de desarrollo que den un

aprendizaje al alumno, posteriormente el alumno recibirá la

estrategia planeada, y así es como lograremos el proceso de

cambio. El alumno deberá tener la visión, y un dominio de los

temas sustantivos a su nivel educativo.

Los academicos que desarrollen e integren mejoras en el

currículo, deberán fundamentar la relación en alguna de las

cuatro clasificaciones expresadas que de forma inicial

plantemos. Sobre todo alinear la formación de la currícula a

los puntos en que se basa todo currículo en la parte

psicopedagogía, política y económica, sociológica, y la

evaluación. Además debemos justificar en la currícula

matemática el apoyo en las Tecnologías de la información y

comunicación, y alineadado a los temas de las diferentes

ramas matemáticas, justificando a cada rubro como base y

fundamento el sostén de la propuesta curricular.

6.-Psicopedagógica

Utilizar tendencias del tipo estructuralista y de

competencias. En las cuales se tiene la posibilidad de utilizar

el aprendizaje significativo, el modelo de aprendizaje basado

en resolución de problemas, de zonas de desarrollo próximo,

o bien otros aspectos esperados relacionados que faciliten el

entender de la matemática.

7.-Epistemológica

La epistemología como parte de la filosofía que estudia

los principios, fundamentos, extensión y métodos del

conocimiento humano, incluye en la matemática un conjunto

de elementos actuales en las metodologías de desarrollo de

sistemas, rumbo a la certificación de los medios utilizados, o

cual garantiza calidad, estándares y medidas cuantificables

que otorgan credibilidad, seguridad, control y seguimiento de

las prácticas instauradas.

8.-Política y económica

Dentro de la parte política, acorde al modelo que un

gobierno establece, se requiere de medidas que logren que los

medios tecnológicos no sean una dificultad que complique la

instauración del modelo deseado, a la par mantener si es el

caso la posibilidad de libertad de expresión y alcance de los

medios tecnológicos, de forma regulada sin minar intereses de

la sociedad ni de la clase política.

En la parte económica, es necesario que se logren mayores

ganancias de las organizaciones ante los bienes o servicios

que se otorguen a la sociedad, ya que la tecnología pone en la

pasarela social a sus empresas e instituciones públicas y

privadas, de tal forma que al realizarlo con mejores prácticas,

control seguimiento, manteniendo eficiencia y eficacia, es

como se logra organizaciones con ventajas competitivas que

favorecen una sociedad madura, y con formas pertinentes que

favorezcan la economía, incluso como área generar medios de

regulación.

9.-Sociológica

La finalidad de la educación es mantener un orden de

interacción social de las personas. De tal manera que los

avances tecnológicos están acercando comunidades

internacionales, y personas con intereses iguales, así como

colocar mediante la sociedad del conocimiento más

información al alcance de la sociedad que logre que las

personas hagan uso de la matemática, en un sentido

autorregulado, y que mediante las medidas que realizará un

profesionista dedicado a la matemática, ayude a que esa

interacción con personas y medios tecnológicos sea pertinente

y acorde a formas esperadas en que no se dañe en ningún

sentido, una convivencia o manejo de los medios.

Se considera que la matemática facilita y mejora la vida

en las sociedades, pero ahora será superada porque el

especialista de la matemática otorgaría mayor confianza en

los recursos desplegados en las organizaciones.

10.-Evaluación

Es la forma en que se verificará el aprendizaje esperado

del alumno. En primera instancia se plantea el manejo de

competencias dentro de las matemáticas, se visualiza en una

universidad pública o privada.

También es manejable en un modelo de universidad

técnica o bien autónoma. Se considera en un sentido a escuela

universitaria privada por lo tanto sería un modelo educativo

basado en competencias, que es la tendencia actual en la

educación en la nación y a nivel global.

Por lo tanto la evaluación toma en consideración las

prácticas de evaluación acordes a competencias mediante el

uso de rúbricas, listas de cotejo, andamios y otros mecanismo

relacionados.

11.-En el mediano plazo en la educación básica.

Dentro de la parte política y económica integro los

actuales cambios que se consideró en educación básica y que




31

no se pueden dejar de lado ya que es necesario entender el

impacto

Actualmente puede consultarse en el portal de gob.mx, en

la Secretaria de Educación Pública un cambio a la educación

en el programa de estudios, se realiza la propuesta para la

consulta de acciones de mejora, para que se instaure el

modelo en los próximos años, como se muestra en la figura 1.

El modelo educativo se basa en la escuela al centro, el

planteamiento curricular con humanismo y valores, considera

a la sociedad del conocimiento, y las oportunidades de las

ciencias de educación, contenidos educativos y ambientes de

aprendizaje.

Además toma en consideración a la formación y

desarrollo profesional docente tal es con la Reforma del

servicio profesional docente.

El modelo considera la inclusión y equidad, y la

gobernanza del sistema educativo mediante el conjunto de

instituciones y leyes que lo sustentan. [7] En el currículum de educación básica se consideraron en lo

general rasgos que son

1. Se comunica con confianza y eficiencia.

2. Desarrolla el pensamiento crítico y resuelve problemas

con creatividad.

3. Tiene iniciativa y favorece la colaboración.

4. Muestra responsabilidad por su cuerpo y por el

ambiente.

5. Posee autoconocimiento y regula sus emociones.

6. Sabe acerca de los fenómenos del mundo natural y

social.

7. Aprecia la belleza, el arte y la cultura.

8. Cultiva su formación ética y respeta la legalidad.

9. Emplea habilidades digitales de manera pertinente.

Existen 14 principios pedagógicos, y se toma en cuenta la

evaluación como parte de la planeación, pues ambas son dos

caras de la misma moneda. El ambiente de aprendizaje es un

conjunto de factores que favorecen o dificultan la interacción

social en un espacio físico o virtual determinado.

Los contenidos se basan en cuatro consignas que se

distinguen al estilo de la siguiente frase, “Esta selección

tiene en cuenta las propuestas derivadas de la

investigación educativa más pertinente, actualizada y

basada en el conocimiento de la escuela, en los estudios

acerca de cómo aprenden los niños y los adolescentes y

sobre los materiales que resultan útiles para estudiar.”

[8]

También consideran que el ejercicio para balancear la

cantidad de temas que es posible cubrir adecuadamente en el

tiempo lectivo es una tarea crítica del desarrollo curricular.

Los aprendizajes que se logran de forma significativa

permiten movilizar prácticas hacia nuevas tareas y contextos.

Y los 3 componentes curriculares, con base en las ideas

desarrolladas en los apartados anteriores, la Propuesta

curricular plantea la organización de los contenidos

programáticos en tres componentes:

1) Aprendizajes clave, 2) Desarrollo personal y social, 3)

Autonomía curricular. Y existen 3 componentes claves, en

que versa el nuevo currículum que se analiza, aprendizajes

clave, desarrollo personal y social y autonomía curricular.

Fig. 1. Aprendizajes clave. Fuente: www.gob.mx/sep

Lo anterior expresado es un puente pertinente al cual se

alinean las formas de educación de la matemática, sin

embargo es necesario revisar la propuesta concreta del

currículo para adaptar la estrategia que mantenga el aporte

comentado de una matemática renovada.

Sí en el caso de la educación básica se mantiene el cambio

propuesto por la SEP, resta aplicar con las mejores formas la

enseñanza de los temas, pero ahora con una visión de inicio

rumbo a un cambio a cada nivel educativo.

III. CONCLUSIONES

El currículo contiene: las competencias básicas,

conocimientos, habilidades y aptitudes, que se logran

mediante la implementación del plan y programa de estudios

basados en de objetivos, contenidos, criterios metodológicos

y de evaluación que los estudiantes deben alcanzar en un

determinado nivel educativo, mediante formas

epistemológicas, psicológicas, pedagógicas y sociológicas.

Cuando somos hacedores de los planes y programas que

guían y evalúan a los alumnos es vital que lo que se enseñe y

el curriculo como tal responda a preguntas tales como. - ¿qué

enseñar?, ¿cómo enseñar?, ¿cuándo enseñar? y ¿qué, ¿cómo y

cuándo evaluar?

Toda curricula debe contener a una cultura maker

colabora con el equilibrio entre economía, desarrollo social y

conservación del ambiente al revalorar la producción y el

consumo local. David Cuartielles [9] lo explica:

“Para mí, la cultura maker es poder crear, no

necesariamente máquinas, sino procesos y herramientas a

nivel de fabricación personal para hacer trabajos a

escala local; es el proceso de aprendizaje de hacer algo y

compartirlo con otra gente”.

El fin es lograr un conocimiento que genere ejercicios más

relevantes de democratización tecnológica, de herramientas y

formas de creación. Y que nos lleve a una nueva ecología del

aprendizaje [9], en que se respondan los parámetros en la

escolarización universal y la acción educativa distribuida e

interconectada, en que se dé importancia a las trayectorias

personales de aprendizaje como acceso al conocimiento de la

sociedad de la información.

Algo que debemos considerar en el currículo es la toma de

conciencia de las limitaciones de la educación escolar para

evitar que las desigualdades económicas se transformen en




32

desigualdades educativas, repudio al sistema educativo de no

preparar al alumno para su inserción en el mundo laboral, las

acusaciones de ineficacia y de baja calidad.

Hoy ante la representación de 4 casos es que logramos

clarificar una visión de otorgar una enseñanza matemática a

los alumnos con bases firmes, que facilite posteriores temas

de corte matemático para que el profesionista resuelva

problemáticas sustantivas.

Es necesario dar la visión a los docentes para que

comprendan el alcance de la matemática básica, con el fin de

que el alumno cuente con la actitud, visión, conocimiento y

habilidad matemática, ya que, al enfrentar escenarios de tipo

medio superior, superior y de investigación, mantenga un

pensar que coadyuve en su desarrollo, y por consiguiente el

de la sociedad.

Si el alumno se motiva a que la base educativa de la

matemática en los primeros años de estudio otorga en primera

instancia elementos de valor que fomenten el aprendizaje del

alumno. Es necesario reforzar la formación del alumno e

integrar cambios a la currícula matemática, para preparar a

los futuros profesionistas y que así resuelvan situaciones

futuras en los niveles educativos de educación media superior

y superior. Los puntos de apoyo para forjar la visión se han

comentado y viene a ser un primer análisis para trabajar en

los cambios que permitan contar con la curricula pertinente en

materia de matemáticas.

Las reformas educativas en México son dinámicas en los

últimos 15 años, de tal forma que han tocado a la educación

básica, bachillerato, en este caso es fundamental que la

estrategia de enseñanza aprendizaje mejore por parte del

docente y se prepare para comprender la relevancia de una

visión matemática actual que considera los cambios en la

curricula.

Los especialistas en materia de curricula, tiene un trabajo

importante a considerar e insertar elementos de valor que

consideren en la matemática puntos de apoyo hoy planteados

con la difusión de la visión para concretizarlo al currículo

interno y externo.

Un asunto pendiente es la educación superior, pero se

trabaja en la instauración de reformas y nuevas políticas al

respecto. Y otro aspecto que no denota las reformas de

manera más concreta, directa y pública es la evaluación

curricular en la parte externa y un punto de oportunidad es

que se transparente más el trabajo de evaluación externa, para

comprender y reconocer la importancia de un hecho como tal.

Finalmente es necesario distinguir que la visión de la

currícula en matemáticas debe tenerse presente para mejorar

el trabajo realizado, es imperativo, ya que un factor en contra

es el tiempo, de no integrarlo se afecta a las generaciones de

profesionistas y no se cumple en parte los fines que persigue

la formación matemática. Es un momento pertinente para

establecer mejoras y dar más elementos y capacidades a los

alumnos en la sociedad actual.

REFERENCIAS

[1] Ríos C., P. (2008). Evaluación en tiempos de cambio. Universidad Pedagógica Experimental Libertador; Instituto Pedagógico de Caracas,

Venezuela.

[2] Gimeno S, J. ¿Qué significa el currículum? [3] Ministerio de Educación nacional. (2016) Diccionario educativo.

República de Colombia.

[4] Casarini R., M. (2016) Teoría y diseño curricular. La evaluación y el currículo.

[5] Díaz Barriga, F.; Lule, M.; Pacheco, D., Saad, E., Rojas, S. Metodología

de diseño curricular para educación superior. Trillas, México, 2005, pp.

17‐20

[6] Sánchez A. (n.d.) Sistemas Complejos y Aplicaciones. Universidad Carlos III, Universidad de Zaragoza e instituto Madrileño de Estudios

Avanzados IMDEA Matemáticas.

[7] SEP (2016) El modelo educativo 2016. Recuperado el 22/08/2016 de: [8] SEP (2016) Propuesta curricular para la educación obligatoria 2016. Pág.

53

[9] Coll, C. (2013) El currículo escolar en el marco de la nueva ecología del aprendizaje.

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