CAPITULO 3

TRACCION Y COMPRESION

Introducción

Un elemento está sometido a tracción o compresión cuando al realizar uncorte por cualquier sección recta no aparecen momentos internos, tampocofuerzas de corte y solo se verifica una fuerza normal N en el centro degravedad de la sección, es decir, en todas las secciones rectas del elemento seanulan el tensión cortante y los momentos torsor y flector. Dependiendo si lacarga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la carga será de tracción ocompresión.

Tracción

Ejemplos de elementos sometidos a tracción compresión son: Los cables metálicos, los arriostres, los elementos de las vigas armadas y elementos de las estructuras metálicas.

CABLES QUE SUJETAN BARRAS

ESTRUCTURA METALICA

Para la validez de las ecuaciones y resultados de este capítulo se asume la veracidad de las siguientes condiciones:

1.- Se cumple la hipótesis de Bernoulli (Conservación de las secciones planas)

2.- Los elementos tienen secciones transversales uniformes

3.- Los materiales son homogéneos

4.- Las cargas están aplicadas en los centros de gravedad de la sección

5.- Los miembros sometidos a compresión no son tan esbeltos y no hay pandeo.

Tracción Compresión Monoaxial

a) Tensiones

Considérese una barra prismática sometida a Tracción-Compresión.

Tensiones en Tracción y Compresión

Realizando un corte en la barra por la sección recta transversal A, se observa que:

𝜎𝑁 =𝑃

𝐴; 𝜏𝑁 = 0

La hipótesis de Bernoulli comprueba experimentalmente observando, que en una barra sin carga en la que se trazaron líneas rectas paralelas y perpendiculares a su eje longitudinal, con carga las líneas paralelas al eje longitudinal se alargan por igual (La deformación longitudinal es constante).

Hipótesis de Bernoulli

En virtud a ello y según la ley de Hooke:

휀𝑥 =𝜎𝑥𝐸= 𝑐𝑡𝑒 → 𝜎𝑥 = 휀𝑥𝐸 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝜎𝑥 =

𝐹

𝐴= 𝑐𝑡𝑒

Para una pieza de sección variable las tensiones varían inversamente proporcionalmente a la magnitud del área.

Al mantenerse las líneas trazadas en paralelo y perpendiculares, no se producen deformaciones angulares. Por lo tanto:

𝛾 =𝜏

𝐺= 0

Si en lugar de cortar la barra por la sección recta transversal A, se la corta por una sección inclinada B en un ángulo α

Tensiones en una sección inclinada

Por equilibrio, la fuerza externa P genera una fuerza interna de igual magnitud, sin embargo esta ya no es perpendicular a la sección y se la puede descomponer en una componente N perpendicular a la sección que producirá tensiones normales σ y en otra componente Q tangencial a la sección que producirá tensiones cortantes Ʈ.

Se tiene:

𝜎𝛼 =𝑁

𝐴𝛼=𝑃 cos𝛼

𝐴cos𝛼

=𝑃 𝑐𝑜𝑠2𝛼

𝐴=𝑃

2𝐴1 + cos 2𝛼

cos 2𝛼 =𝜎𝛼 −

𝑃2𝐴

𝑃2𝐴

𝜏𝛼 =𝑄

𝐴𝛼=𝑃 sin 𝛼

𝐴cos𝛼

=𝑃 sin 𝛼 cos𝛼

𝐴=𝑃

2𝐴sin 2𝛼

sin 2𝛼 =𝜏𝛼𝑃2𝐴

(cos 2𝛼)2 + (sin 2𝛼)2= 1

𝜎𝛼 −𝑃2𝐴

𝑃2𝐴

2

+𝜏𝛼𝑃2𝐴

2

= 1

𝜎𝛼 −𝑃

2𝐴

2

+ 𝜏𝛼2 =

𝑃

2𝐴

2

Tensiones en una Sección Normal – Circulo de Mohr

b) Tensiones Principales

Se llaman tensiones principales a las tensiones máximas.

Para α = 0; 𝜎𝑁 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑃

𝐴𝜏𝑚𝑖𝑛 = 0

Para α = 45; 𝜎𝑁 = 𝜎45 =𝑃

2𝐴𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑃

2𝐴

Estos resultados indican que una barra sometida a carga axial de tracción ycompresión presenta los esfuerzos normales máximos en una sección transversal a lacarga α = 0 y los esfuerzos cortantes máximos en una sección a α = 45º. Para evitar lafalla, ambos esfuerzos máximos no deben exceder de los límites de fluenciaslongitudinales y transversales respectivamente

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑃

𝐴< 𝑆𝑦

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑃

2𝐴< 𝑆𝑦

′

c) Deformaciones

Una pieza recta de sección constante y longitud l cargada en sus extremos por una fuerza de tracción (compresión) sufre una deformación δL

Deformación de una sección constante

𝜎𝑥 =𝑃

𝐴= 𝐸휀𝑥

휀𝑥 =𝛿𝑥𝐿

Entonces:

𝛿𝑥 =𝑃𝐿

𝐸𝐴

Válido para piezas con sección constante. Para piezas con sección variable se aplica la anterior ecuación a un elemento diferencial “dx” donde el área se puede considerar constante.

Barra de sección variable

𝛿 =

0

𝑙𝑃𝑑𝑥

𝐸𝐴

d) Cargas, Tensiones y Deformaciones debido al peso propio

En objetos de gran altura como por ejemplo edificios, torres y otros, el peso propio es una carga que tiene mucha importancia y debe ser tomada en cuenta. El peso es una carga variable ya que a analizando una sección horizontal a una altura “y”, esta soporta el peso de la porción del objeto que se encuentra encima de ella.

El peso de un elemento diferencial “dy” en la que el área de su sección puede tomarse constante es

𝑑𝑊 = 𝛾𝐴 𝑦 𝑑𝑦

El peso de la porción del cuerpo sobre una altura “y” es

𝑊 𝑦 =

𝑦

ℎ

𝛾𝐴 𝑦 𝑑𝑦

Un error común es tomar el límite inferior como cero, ya que en este caso el peso calculado es el de toda la pieza. Entonces se enfatiza en que el límite inferior de la integral es “y”.

La tensión en una sección a una altura “y” es:

𝜎 𝑦 =𝑊(𝑦)

𝐴(𝑦)= 𝑦ℎ𝛾𝐴 𝑦 𝑑𝑦

𝐴(𝑦)

La deformación longitudinal debido al peso propio se halla con

𝛿 = 0

ℎ𝑃𝑑𝑦

𝐸𝐴=

0

ℎ 𝑦ℎ𝛾𝐴 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝐸𝐴

Diagramas de Fuerzas Normales:

Se denominan diagramas de fuerzas normales a los diagramas que dan las fuerzas normales N en cada sección de una barra.

Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el acortamiento de la barra mostrada, si y E =2.5 x 105 MPa y A = 2 cm2

Solución

𝐹 = −𝑃1 + 𝑃2−𝑃3; 𝐹 = −𝑃1 + 𝑃2; 𝐹 = −𝑃1

Diagrama de esfuerzos

• Deformación