Resistencia de Materiales Para Estudiantes de Ingenieria

7/26/2019 Resistencia de Materiales Para Estudiantes de Ingenieria

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JORGE EDU RDO S L Z R TRUJ ILLO

RESISTEN C IA DE M ATERIALES

BÁSIC A PARA ESTU DIAN TES

DE IN G EN IERÍA

U NIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE MANIZALES



I.S.B.N 978-958-8280-08-0

€ 2007 UNIVERSIDAD NACIONALDE COLOMBIA SEDE MANIZALES

AUTOR:

JORGE EDUARDO SALAZAR TRUJILLOIngeniero CivilProfesor AsociadoUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

REVISADO:

LUIS EDGAR MORENO MONTOYA

Ingeniero IndustrialEspecialista en Planeamiento EducativoProfesor AsociadoUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

JOSÉ OSCAR JARAMILLO JIMÉNEZ

Ingeniero CivilMagíster Ingeniería CivilEspecialista en Planeamiento EducativoProfesor AsociadoUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

IMPRESO:Centro de PublicacionesUniversidad Nacional de ColombiaSede Manizales

Marzo de 2007Primera edición



C O N TE N I D O

PRESENTACIÓN ..................................................................................................................7

CAPÍTULO 1INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES ..................................................9

1.1 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES ............................. 151.2 CONCEPTO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN ........................................................ 171.3 TIPOS DE ESFUERZOS ...................... ..................... ..................... ..................... ............ 18

1.3.1 Esfuerzos normales .................... ..................... ..................... ..................... ................ 181.3.2 Esfuerzo de aplastamiento o de apoyo .................... ..................... ..................... ......... 311.3.3 Deformaciones axiales ................... ..................... ..................... ..................... ............ 32

1.4 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ................... ...................... ..... 321.4.1 Relaciones esfuerzo-deformación ................... ..................... ..................... ................. 381.5 LEY DE HOOKE ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ... 39

1.5.1 Módulo de elasticidad, ductilidad, resistencia ................... ..................... ...................... 401.5.2 Módulos de elasticidad de algunos materiales.................. ...................... ..................... 41

1.6 ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD ................................................................................. 441.6.1 Factores de seguridad................................................................................................45

1.7 ESFUERZOS CORTANTES ..................... ..................... ..................... ..................... ........ 461.7.1 Deformaciones por corte .................... ..................... ..................... ..................... ........ 481.7.2 Ley de Hooke para corte...........................................................................................481.7.3 Módulo de corte de varios materiales........ ..................... ..................... ..................... .. 491.7.4 Esfuerzo cortante doble .................. ..................... ...................... ..................... ........... 49

1.7.5 Relación de Poisson...................................................................................................511.7.6 Relación entre el módulo de elasticidad y el módulo cortante ................... .................. 54

1.8 DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS CUYAS BARRAS ESTÁNSOMETIDAS A FUERZAS AXIALES ............................................................................. 54

1.9 ESFUERZOS TÉRMICOS .................... ..................... ..................... ..................... ............ 571.9.1 Coeficientes de dilatación térmica ................... ..................... ...................... ................ 58

1.10 INDETERMINACIÓN ESTÁTICA EN TENSIÓN Y COMPRESIÓN ......................... 591.11 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN AXIAL ...................................................................... 71

CAPÍTULO 2

ESFUERZOS BIAXIALES Y TRIAXIALES .................. ...................... ..................... ............ 75Esfuerzos en secciones inclinadas ................... ..................... ...................... ..................... ... 75Esfuerzos complementarios: .................... ..................... ..................... ..................... ............ 77

2.1 LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES .................................................... 79



2.1.1 Ley de Hooke para esfuerzos biaxiales ...................... ..................... ..................... ...... 802.1.2 Ley de Hooke para esfuerzos triaxiales ..................... ..................... ..................... ...... 81

2.2 ESFUERZOS PRINCIPALES, ESFUERZO PLANO Y CÍRCULO DE MOHR,ESFUERZOS Y PLANOS PRINCIPALES ....................................................................... 832.2.1 Construcción del círculo.................... ...................... ..................... ..................... ......... 87

CAPÍTULO 3ESFUERZOS PRODUCIDOS POR FLEXIÓN. VIGAS........ ...................... ..................... .... 101

Qué caracteriza una viga? ..................... ..................... ...................... ..................... ............. 101Cómo trabajan las vigas?................... ...................... ..................... ..................... ................. 102Los arcos y las cerchas ..................... ..................... ...................... ..................... ................. 102

3.1 ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS EN FLEXIÓN................... ..................... ... 1063.1.1 Flexión pura ................... ..................... ..................... ..................... ..................... ........ 1063.1.2 Cálculo de esfuerzos normales ................... ..................... ..................... ..................... . 108

3.2 FLEXIÓN TRANSVERSAL: ESFUERZOS CORTANTES PRODUCIDOSEN FLEXIÓN................... ...................... ..................... ..................... ..................... ............ 1213.2.1 Efecto de corte horizontal en vigas .................... ..................... ..................... .............. 121

3.3 VIGAS DE DOS MATERIALES .................... ...................... ..................... ..................... . 134

CAPÍTULO 4DEFORMACIONES EN VIGAS................... ..................... ..................... ..................... ......... 145

Tipos de deformaciones ..................... ..................... ..................... ...................... ................. 1474.1 MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN................... ..................... ..................... ...... 150

4.1.1 Funciones de singularidad ..................... ..................... ...................... ..................... ..... 1654.2 MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS (TEOREMAS DE MOHR) ................... ........ 1724.3 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA........................ ..................... ..................... ....... 1884.4 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ENERGÍA ................................................... 1974.5 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS .................... ..................... ............... 199

CAPÍTULO 5ESFUERZOS COMBINADOS ..................... ..................... ...................... ..................... ......... 207

Flexo-tensión y flexo-compresión ................... ..................... ..................... ..................... ..... 209Superposición de esfuerzos.......... ..................... ..................... ..................... ..................... ... 211

CAPÍTULO 6COLUMNAS ......................................................................................................................... 2276.1 FENÓMENO DEL PANDEO O INESTABILIDAD LATERAL ..................... ................ 227

6.2 CARGA CRÍTICA ................... ..................... ..................... ..................... ..................... .... 2326.3 TEORÍA DE EULER ................... ..................... ..................... ..................... ..................... 2336.3.1 Cálculo del valor de la carga crítica ................... ..................... ..................... .............. 233

6.4 DIFERENTES CONDICIONES DE APOYOS ............................................................... 2376.5 ESFUERZOS CRÍTICOS .................... ..................... ...................... ..................... ............. 240



6.6 CÓDIGOS ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ............... 243CAPÍTULO 7TORSIÓN ................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .. 249

Elementos estructurales sometidos a torsión ................... ..................... ..................... ......... 2497.1 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ELEMENTOS DE SECCIÓN CIRCULAR .. 2507.2 INDETERMINACIÓN ESTÁTICA.................. ..................... ...................... .................... 2617.3 TORSIÓN DE ELEMENTOS DE SECCIÓN RECTANGULAR ..................... ............... 263

7.3.1 Esfuerzos y deformaciones en elementos de sección rectangular a torsión ................. 2637.4 TORSIÓN DE SECCIONES ABIERTAS.................. ..................... ...................... ............ 2677.5 TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA ..................... ..................... .................. 269

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................... ..................... ..................... ..................... 273Referencias de tablas ..................... ...................... ..................... ..................... .................... 274Referencias fotográficas y de gráficos .................... ..................... ..................... ................. 274



7

P RESE N TA C I Ó N

El presente "Texto de Resistencia de Materiales básica para estudiantes de ingeniería" elaboradodurante el año sabático 2005-2006 tiene el objetivo de servir como ayuda didáctica a los estudiantes deingeniería en los primeros semestres de estudio del área de la ingeniería estructural.

Consciente de la existencia de un sinnúmero de textos de Resistencia de Materiales (ver referencias), que tratan el tema de manera exhaustiva he querido preparar una guía de apoyo paradichos textos que haga énfasis en aspectos como los siguientes:

Presentación gráfica de las situaciones en tres dimensiones de tal manera que desde el principiodel estudio de esta área los estudiantes tengan clara la ubicación de los elementos estructurales en unespacio tridimensional de tal forma que diferencien claramente aspectos como el eje longitudinal deuna viga, su sección transversal y el eje neutro de la misma entre otros. Para hacer énfasis en esto me

he basado en mi experiencia de casi 30 años como profesor de la asignatura, en los cuales he podidoobservar las dificultades que los estudiantes tienen al respecto.

Énfasis mediante gráficos y fotografías en el entendimiento del comportamiento mecánico de loselementos estructurales cuya comprensión considero previa a las formulaciones matemáticas ycomputacionales con los cuales se abordan estos problemas hoy en día. En mi experiencia docente hevisto cuan útiles son la ayudas gráficas y las simulaciones hechas con elementos como tizas, resortes,

plastilina o balso para explicar muchos conceptos y cómo los estudiantes han apreciado el empleo deestos recursos en las clases.

Con iguales propósitos didácticos, he procurado presentar la resolución de los diferentes problemas

de manera similar a como lo haría en el tablero del aula de clase, partiendo de la expresióncorrespondiente a la incógnita buscada en cada caso y a partir de la misma ir encontrando los diferentes parámetros necesarios para su cálculo.

De esta forma, el cálculo de cada uno de los parámetros mencionados, adquiere sentido para elestudiante quien lo verá como un paso necesario y útil en la solución del problema en cuestión.

He tratado asimismo de ilustrar con fotografías, las diferentes situaciones tratadas en los capítulosdel texto con fines similares a los ya expuestos.

Espero finalmente como lo manifesté al principio, que el texto sea motivador para los estudiantesque se inician en el estudio del área de la ingeniería estructural y agradezco a las directivas de laFacultad de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales quecon la aprobación del año sabático me hayan permitido hacerlo.



9

C A PÍT U LO

IN TRO D U C C IÓ N Y C O N C EPTO S

F U N D A M EN TA LES

En el curso de MECÁNICA se empezaron a estudiar los elementos estructurales y las estructurasdesde el punto de vista del EQUILIBRIO ESTÁTICO externo, es decir de la QUIETUD en quedeben estar para que cumplan su función. Se tenían por ejemplo las siguientes situaciones y se hacía unDIAGRAMA DE CUERPO LIBRE en el cual se ponían todas las fuerzas externas que actuabansobre el mismo y a continuación se aplicaban las ecuaciones de equilibrio con el fin de encontrar lasreacciones en los apoyos.



1 0

En los casos mostrados en la figura, las reacciones se calculan mediante la aplicación de lasecuaciones de equilibrio (suma de fuerzas igual a cero y suma de momentos igual a cero). Aunque elcálculo de las reacciones que garanticen el reposo es fundamental, éste es solo el primer paso en el

proceso de análisis y diseño que en cada situación llevará a la definición del tipo de material, de laforma y de las dimensiones que harán que las estructuras sean seguras y funcionales.

- Seguras quiere decir que no se rompan.

- Funcionales quiere decir que no se deformen excesivamente afectando el servicio que prestan.

Estas dos condiciones, RESISTENCIA y RIGIDEZ deberán asegurarse para que las estructurascumplan su fin.



1 1

Es claro que en las situaciones mostradas a continuación las estructuras pueden romperse odeformarse excesivamente.

Como puede verse, cualquiera de las dos situaciones (Deformación excesiva o Rotura) esinadmisible.

Por lo tanto, el ingeniero debe asegurar con una buena probabilidad de éxito que las estructurasque construya sean RÍGIDAS y RESISTENTES.

De esto trata la RESISTENCIA DE MATERIALES. Debemos ser capaces de garantizar quelas estructuras a construir no se deformen excesivamente y que no se fracturen.

Para hacerlo, es necesario que sepamos calcular las fuerzas internas que se producen en loselementos estructurales y que son en últimas las que producirán las deformaciones y la rotura.



1 2

En general podemos afirmar que una fuerza interna produce un esfuerzo actuante que trata deromper el elemento. Que se rompa depende del esfuerzo resistente que tenga el elemento el cualdependerá del material y de sus dimensiones transversales.

Análogamente, esas mismas fuerzas internas producirán deformaciones del elemento las cualesdependerán igualmente del material y de sus dimensiones.

La Resistencia de Materiales se ocupa del cálculo de los esfuerzos y deformaciones que se producirán debiendo garantizar el ingeniero que las deformaciones estén dentro de unos límites permisiblesy obviamente que no se produzcan roturas.

Los esfuerzos resistentes del material deben calcularse con el fin de poder compararlos con losesfuerzos actuantes. Estos esfuerzos dependen no solo de las dimensiones del elemento estructuralsino de la forma como estén aplicadas las cargas las cuales pueden producir esfuerzos normales ocortantes dependiendo de que las fuerzas o momentos actuantes sean axiales, transversales ocombinados.

Debe por tanto determinarse primero que todo si el elemento en estudio está sometido a fuerzas

axiales, transversales (en cuyo caso se producirá flexión), momentos torsionales (torsión) o unacombinación de algunos de ellos.



1 3

Veamos las siguientes situaciones:

CABLES DE ANCLAJE, PUENTE DE LA BAHÍA, SAN FRANCISCO, ESTADOS UNIDOS. 2005



1 4



1 5

Como se observa en las figuras anteriores, los elementos estructurales quedan sometidos adiferentes tipos de fuerzas (o solicitaciones) dependiendo tanto de las acciones que se apliquen comode la conformación de cada estructura y del punto de aplicación de las fuerzas.

En cada situación por tanto, el cálculo de los esfuerzos actuantes será distinto.

En consecuencia, estudiaremos los esfuerzos y deformaciones producidos en elementosestructurales en los siguientes casos:

- Axiales

- Biaxiales

- Triaxiales

- Flexión

- Combinados- Pandeo (caso particular de esfuerzo axial a compresión)

- Torsión

1.1 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Como en cualquier materia, en la resistencia de materiales se aceptan de entrada unas hipótesisiniciales que sin afectar en su esencia los resultados de los temas de estudio simplifiquen el análisis que,de otra manera, se haría demasiado dispendioso.

Estos principios básicos son:

€ Los materiales se consideran homogéneos: esto quiere decir que se hace caso omiso de lasvariaciones de composición que de punto a punto de los mismos tienen los materiales reales.



1 6

€ Los materiales se consideran contínuos: tampoco se tienen en cuenta en los análisis lasdiscontinuidades o poros que presentan los materiales. Piénsese en los casos de la madera ydel concreto.

€ Los materiales se consideran isótropos: significa que en los análisis generales no setienen en cuenta las diferencias de propiedades en distintas direcciones del material. Osea que se supone que sus propiedades son iguales en todas las direcciones. (iso: igual,

tropos: dirección).€ No se tienen en cuenta las fuerzas internas de tipo interátomico existentes en los materiales.

Solo se consideran las fuerzas causadas por la aplicación de fuerzas externas.

€ Principio de superposición: los efectos de un sistema de fuerzas sobre un elemento soniguales a la suma de los efectos individuales de cada una de las fuerzas. Es válido en el rangoelástico lineal como se verá posteriormente.

€ Principio de Saint Venant (científico francés): Cuando a un elemento estructural se le aplicauna fuerza los esfuerzos que esta causa en puntos suficientemente alejados de ella no dependende la forma concreta en que la carga es aplicada:

PRINCIPIO DE SAINT VENANT

Los esfuerzos internos en la sección A-A son iguales en los 3 casosindependientemente de la forma como se cuelgue la carga

A A A A A A



1 7

1.2 CONCEPTO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Tal como se dejó establecido en el curso de Mecánica, en el análisis estático externo inicial no haynecesidad de considerar las deformaciones de los elementos estructurales (los cuerpos puedenconsiderarse rígidos) ni el tipo de material del cual están hechos pues estos factores usualmente notienen incidencia en las reacciones generadas en los apoyos.

Si se tiene un objeto suspendido por un cable no habrá necesidad de considerar el alargamientodel cable para calcular su tensión. El diagrama de cuerpo libre del cable estará sometido a las mismasfuerzas considérese o no el alargamiento.

Veamos:

Como muestra el ejemplo, para hacer el análisis externo y calcular las reacciones no es necesarioconsiderar las deformaciones y el tipo de material.

Sin embargo para avanzar en el proceso de análisis y diseño con el objetivo de definir finalmentelas dimensiones y el tipo de material del cual deberán hacerse los elementos estructurales es necesarioconsiderar las deformaciones que tendrán los elementos y la resistencia de los diferentes tipos de materiales.

Se hace indispensable entonces proceder a considerar las características de:

RESISTENCIA (oposición a la rotura)

yRIGIDEZ (oposición a las deformaciones)

que tendrán los diferentes elementos estructurales.

Las fuerzas son las mismas (R y W), independientemente que seconsidere o no el alargamiento



1 8

En otros términos, antes de construir una estructura es necesario saber la resistencia que tendráy las deformaciones que sufrirá. Lo anterior es apenas obvio si consideramos que cualquier estructuradebe satisfacer unas exigencias mínimas de seguridad (resistencia) y de funcionalidad y estética(mínimas deformaciones).

Además cuando se presenten casos de indeterminación estática (que se estudiarán más adelante)se requiere contar con ecuaciones adicionales que usualmente surgen de la consideración de

deformaciones.

Por las consideraciones anteriores, se hace necesario estudiar tanto los esfuerzos como lasdeformaciones que sufrirán los elementos sometidos a fuerzas, según se vio al final del curso deMecánica.

1.3 TIPOS DE ESFUERZOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MANIZALES, CAMPUS LA NUBIA(Construcción de estructura metálica)

1.3.1 Esfuerzos normales

Cuando una fuerza P actúa a lo largo de una barra su efecto sobre la misma depende no solo delmaterial sino de la sección transversal que tenga la barra, de tal manera que a mayor sección mayor será la resistencia de la misma.

Se define entonces el esfuerzo axial o normal como la relación entre la fuerza aplicada y elárea de la sección sobre la cual actúa. O en otros términos como la carga que actúa por unidad de áreadel material.



1 9

Esfuerzo normal: A

P‚€

Siendo P: Fuerza axialA: Sección transversal

O a nivel diferencial:

dA

dP‚€

Unidades del esfuerzo normal:

Esfuerzo ƒ : 2 L

F

2cm

Kg

psiin

lb

:2 Pascalm

N

:2

MKS Inglés Sistema internacional



2 0

CABLES SOMETIDOS A TENSIÓN. PUENTE DE BROOKLYN, NUEVA YORK, 2005

HILOS DE UNA TELARAÑA SOMETIDOS A TENSIÓN



2 1

SECCIÓ N TRANSVERSAL DE UN O DE LOS CABLES PRINCIPALES DEL PUENTE GO LDEN GATEEN SAN FRANCISCO. NÓTESE EL GRAN DIÁMETRO (92.4CM) DE UNO DE LOS CABLES

PRINCIPALES CON LO CUAL SE GARANTIZA UN ÁREA SUFICIENTEMENTE GRANDE PARA DISMINUIREL ESFUERZO ACTUANTE Y AUMENTAR LA SEGURIDAD DEL PUENTE.

COLUMNA A COMPRESIÓN, CAMPUS LA NUBIA, UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MANIZALES



2 2

22 09.03.03.0 m

F

m

F

A

F BC BC

BC

BC

BC ‚„‚‚€

F F

F

BC

y

‚

‚… 0

Debemos calcular F

F F

F

AB

y

‚

‚… 0

PRO LEM

Sabiendo que el esfuerzo normal actuante en el tramo AB (cuya sección es de 40x40cm) es de48 KPa calcular el esfuerzo correspondiente en el tramo BC (cuya sección es de 30x30cm)

Debemos calcular por tanto el valor de F BC

Calculamos F:



2 3

Pero en el enunciado del problema se establece que: KPa AB 48‚€

Por tanto:22 16.04.04.0

48m

F

m

F

A

F KPa

AB

AB AB ‚

„‚‚‚€

KN mmKN mKPaF 68.716.0/4816.048 222 ‚„‚„‚

Al principio habíamos encontrado que F F BC ‚

Entonces: KN F BC 68.7‚

Y finalmente: KPam

KN

m

F BC BC 33.85

09.0

68.7

09.0 22 ‚‚‚€

PRO LEM

Se tiene un muro sometido a una carga de 13000 Kg por metro de longitud y soportado poruna cimentación de concreto la cual a la vez se apoya sobre el suelo. Calcular los esfuerzosactuantes en el muro, la cimentación y el suelo y compararlos con los esfuerzos admisibles delos tres elementos que son los siguientes:

MPa.KPam

N

m

cm

Kg

N .

cm

Kgcm / KgUROadmisibleM 923392010392

10

1

894040

24

2

24

22 ‚‚„‚„„‚‚ƒ

MPa.CONCRETO IMENTACION admisibleC 834‚ƒ †

MPa.KPaUELOadmisibleS 380380 ‚‚ƒ



2 4

Para simplificar el problema no consideremos los pesos propios del muro y del concreto.

Para el análisis consideremos un tramo de muro de un metro de longitud.

Calculemos los esfuerzos actuantes en los niveles a, b, c y d:

En el nivel a:

Como KPaUROadmisibleM 3920‚ƒ

Entonces:

UROadmisibleM MUROactuante ƒ‡ƒ †

El muro es seguro

KPaPaKg

N

m

Kg

m

Kg

A

F MUROactuanteaactuante 7.4247.424666

18.9

33.433333.01

1300022

‚‚„‚„

‚‚‚ †† € €



2 5

En el nivel b:

Como

KPa MPaCONCRETO IMENTACION admisibleC 4830483 ‚‚ƒ †

Entonces:

La cimentación es segura en el nivel b

En el nivel c:

Como

Entonces

La cimentación es segura en el nivel c

KPaPaKg

N

m

Kg

m

Kg

A

F CONCRETOactuantecactuante 8.254254800

18.9

260005.01

1300022

‚‚„‚„

‚‚‚ †† € €

KPaPaKg

N

m

Kg

m

Kg

A

F CONCRETOactuantebactuante 7.4247.424666

18.9

33.433333.01

1300022

‚‚„‚„

‚‚‚ †† € €

CONCRETO IMENTACION admisibleC CONCRETO N CIMENTACIOactuante ††† ƒ‡ƒ

KPa MPaCONCRETO IMENTACION admisibleC 4830483 ‚‚ƒ †

CONCRETO IMENTACION admisibleC CONCRETO N CIMENTACIOactuante ††† ƒ‡ƒ



2 6

En el nivel d:

Como

KPaUELOadmisibleS 380‚ƒ

Entonces

UELOadmisibleS SUELOactuante ƒ‡ƒ †

PRO LEM

Calcular el valor de la fuerza admisible que puede aplicarse a la estructura sabiendo que losesfuerzos admisibles del material son los siguientes:

2

1400 cm / Kg ENSION admisibleT ‚ƒ2800 cm / KgOMPRENSION admisibleC ‚ƒ

Las barras AC y BC tienen secciones transversales de 5x2 cm.

KPaPaKg

N

m

Kg

m

Kg

A

F SUELOactuanted actuante 182182000

18.9

43.185717.01

1300022

‚‚„‚„

‚‚‚ †† € €

La cimentación también es segura a nivel del

suelo

La barra BC está a tensión y la barraAC a compresión. Por lo tanto

la condición que debe cumplirsees que el esfuerzo en BC

no sobrepase un valor de1400 Kg/cm2 y que el esfuerzo en AC

no sobrepase un valor de 800 Kg/cm2.

En otros términos:

Padmisible=?



2 7

21400 cm / Kg ENSION admisibleT actuanteBC ‚ƒˆƒ

2800 cm / KgOMPRENSION admisibleC actuanteAC ‚ƒˆƒ

Debemos por tanto calcular los esfuerzos actuantes en las 2 barras:

22 1025 cm

F

cm

F

A

F BC BC BC actuanteBC ‚

„‚‚€

22 1025 cm

F

cm

F

A

F AC AC AC actuanteAC ‚

„‚‚€

Calculemos FBC y FAC

‰‚‚ † 56.263

5.1tan 1•

… ‚ 0 yF … ‚ 0 xF

05626 ‚†‰ admisible BC P.SenF 056.26 ‚‰† CosF F BC AC

admisible BC P.F 242‚ admisibleadmisible AC P..CosP.F 0025626242 ‚‰‚

Por lo tanto:

22

140010

242cm / Kg

cm

P. ENSION admisibleT

admisibleactuanteBC ‚ƒ‚‚ƒ

KgPadmisible 6250‚

2

2

800

10

002cm / Kg

cm

P.OMPRESION admisibleC

admisibleactuanteAC ‚ƒ‚‚ƒ




2 8

Hemos encontrado 2 valores para la carga permisible: el de 6250 Kg garantiza que la barraBC no se romperá mientras que el de 4000 Kg garantiza que la barra AC no lo hará.

Como debemos asegurarnos de que ninguna de las 2 se rompa escogemos el valor menorque nos lo garantiza.

Por lo tanto:


Ninguna de las 2 barras se romperá

PRO LEM

Calcular los esfuerzos normales en el cable AB y en los 2 tramos de la barra CBD de la figura:

El cable tiene un diámetro de 1.5 cm y la barra tiene una sección de 2 x 5 cm

‰‚‚ † 87.363

25.2tan 1•

‰‚‰†‰‚ 13.5387.3690‚



2 9

Los esfuerzos pedidos serán iguales a:

cable

AB AB

A

F ‚€

barra

CBCB

A

F ‚€

barra

BD BD

A

F ‚€

222

77.14

)5.1(

4 cm

cm D

Acable

ƒ ƒ

‚‚

21025 cmcmcm Abarra ‚„‚

Debemos calcular las fuerzas FAB FCB y FBD

Diagrama de cuerpo libre:

… ‚ 0C M

0425.22 ‚„† ABF

KN F AB 5.4‚

… ‚ 0 yF

KN C y 4‚

… ‚ 0 xF

KN F C AB x 5.4‚‚

Esfuerzo en el cable AB:

MPam

KN

m

cm

cm

KN

A

F

cable

AB

AB 4.251054.2

10

77.1

5.4

2

4

2

24

2 ‚„‚„‚‚€



3 0

Cálculo de FCB y FBD

Esfuerzos en los tramos CB y BD

MPam

KN

m

cm

cm

KN

A

F

barra

CBCB 9.51059.0

10

10

90.52

42

24

2 ‚„‚„‚‚€

MPam

KN

m

cm

cm

KN

A

F

barra

CBCB 2.31032.0

10

10

20.32

42

24

2 ‚„‚„‚‚€



3 1

1.3.2 Esfuerzo de aplastamiento o de apoyo

Un caso particular de esfuerzo se presenta cuando hay un contacto entre dos superficies que se presionan entre si, como puede ser el caso de una arandela metálica y una superficie de madera.

En este caso puede presentarse un aplastamiento local de una de las superficies debido al esfuerzo

de compresión que se denomina "esfuerzo de aplastamiento".

Cuando este tipo de situaciones se presenta, será necesario calcular el esfuerzo permisible delmaterial mas susceptible de aplastarse, en este caso la madera para a partir del mismo calcular el áreade la arandela que garantice que no se producirá aplastamiento en la madera.

AL PRODUCIRSE LA FLEXIÓN SE GENERA UNA GRAN COMPRESIÓN DE LA ARANDELA SOBRE LA MADERAORIGINANDO EL APLASTAMIENTO QUE SE VE EN LA FOTO INFERIOR DERECHA. (Ensayo diseñado

por el profesor José Christian Chanchí, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales)



3 2

1.3.3 Deformaciones axiales

El alargamiento total que sufre la barra se representa con la letra griega (Deformación total)

Por tanto, la deformación unitaria será:l

„ … ‚

1.4 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

La resistencia de materiales diferencia claramente la parte teórica y la experimental:

€ En la parte teórica estudia mediante modelos matemáticos (ecuaciones) los esfuerzos ydeformaciones producidos en el interior de los elementos estructurales por las fuerzas aplicadas. Haceuso intensivo de los diagramas de cuerpo libre y de las ecuaciones de equilibrio, así como de lasrelaciones geométricas entre las dimensiones de los elementos y sus deformaciones tanto linealescomo angulares.

€

En la parte experimental ensaya en el laboratorio probetas de materiales sometiéndolas adiferentes tipos de cargas para calcular los esfuerzos resistentes de los materiales y adicionalmentemediante la medición de las deformaciones producidas busca encontrar relaciones entre estas y losesfuerzos aplicados con el fin de determinar lo que se conoce como las características acción-respuestade los materiales lo cual permitirá determinar parámetros como los módulos de elasticidad y de corte,



3 3

la relación de Poisson y la ductilidad de los materiales ensayados (posteriormente veremos el significadode cada uno de estos términos).

En las siguientes fotos se observan algunos ejemplos de probetas sometidas a ensayos en loslaboratorios de resistencia de materiales y estructuras de la Universidad Nacional de Colombia, SedeManizales.

ENSAYO DE COMPRESIÓN DE CONCRETO



3 4

PROBETAS METÁLICAS ENSAYADASA TENSIÓN

MADERA ENSAYADA A CORTE

PREPARACIÓN DE LAS VIGUETASA SER ENSAYADAS



3 5

FLEXIÓN DE VIGUETA DE CONCRETO SIMPLE

CORTE DOBLE EN COBRE



3 6

ENSAYO DE COMPRESIÓN EN BLOQ UES DE MORTERO

ENSAYO BRASILERO DEL CO NCRETO

ENSAYO DE COMPRESIÓN DE MADERA



3 7

LABORATORIO DE RESISTENCIA

DE MATERIALESUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA,SEDE MANIZALES

ENSAYO DE CO RTEDE TORNILLOS

(Diseño del profesor JoséChristian Chanchí,

Universidad Nacionalde Colombia,

Sede Manizales)



3 8

ENSAYO DE APLASTAMIENTO EN MADERA(Diseño del profesor José Christian Chanchí, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales)

ENSAYO DE MURO. Realizado por los estudiantes William Garzón et al y dirigido por el profesor José Christian Chanchíen la Universidad N acional de Colombia, Sede Manizales.

1.4.1 Relaciones esfuerzo-deformación

Se dice que el primero en estudiar sistemáticamente las propiedades de resistencia de un materialfue Leonardo Da Vinci a través de ensayos en los cuales suspendía piedras con un alambre a fin deevaluar su resistencia.



3 9

1.5 LEY DE HOOKE

Robert Hooke en su libro De potentia restitutiva (1679), estableció la famosa Ley que relacionafuerzas y deformaciones. Con un sencillo dispositivo en el cual aun plato se le van agregando pesos yse van midiendo las deformaciones producidas progresivamente en el resorte encontró unaproporcionalidad directa entre los pesos aplicados y las deformaciones.

A partir de un ensayo en el laboratorio puede graficarse la variación de la Fuerza vs la Deformación total:

Ley establecida originalmente por Hooke: „ k P ‚

Sin embargo, para estudiar las propiedades de un material, deben relacionarse cantidades unitarias(esfuerzoƒ y deformación unitaria Š) de tal manera que en la ley queden obviadas el área y la longitud

de la probeta ensayada.



4 0

Como se ve en la figura, a medida que aumenta el esfuerzo se incrementa la deformación unitariadel material que se está ensayando, pudiendo de esta forma obtenerse las propiedades mecánicas delos materiales a partir de esta Gráfica Esfuerzo-Deformación.

1.5.1 Módulo de elasticidad, ductilidad, resistencia

La pendiente inicial de la gráfica nos dice cómo varían las deformaciones unitarias al incrementarselos esfuerzos. Para varios materiales esta primera parte de la gráfica es lineal presentándose por tantouna relación directa entre Esfuerzo y Deformación.

Si escribimos la ecuación de la recta obtendremos la expresión actual de la Ley de Hooke:

… € E ‚

Siendo E, la pendiente de la recta. Este valor que es característico de cada material se conocecomo el módulo de elasticidad o módulo de Young del material y nos dice que tan rígido es unmaterial.

La rigidez, la resistencia y la ductilidad son propiedades mecánicas de los materiales:

- Rigidez: Capacidad de oponerse a las deformaciones

- Resistencia: Capacidad de oponerse a la rotura

- Ductilidad: Capacidad de deformarse antes de romperse.



4 1

A partir de la Ley de Hooke puede calcularse la deformación total que sufrirá un elementosometido a fuerza axial.

Según la Ley de Hooke:

… € E ‚

L E

A

P „ ‚

AE

PL‚„

Con esta expresión puede calcularse la deformación conociendo la carga P la longitud de la barraL, la sección transversal A y el módulo de elasticidad E (en la zona elástica).

1.5.2 Módulos de elasticidad de algunos materiales

Material GPa Kg/cm2 Lb/pulg2

Acero 200 2.1 x 106 30 x 106

Aluminio 70 0.7 x 106 10 x 106

Cobre 110 1.2 x 106 17 x 106

Concreto 17-31 0.18 x 106 - 0.32 x 106 2.5 x 106 - 4.5 x 106

Madera 11-14 0.11 x 106 - 0.14 x 106 1.6 x 106 - 2.0 x 106

ƒ

Š

R i g

i d e z

Ductilidad

R e s i s t e n c i a

zona elástica zona inelástica



4 2

PRO LEM

Calcular el alargamiento de cada cable y el desplazamiento vertical del punto C en el cual estáaplicada la carga.

Considerar que la barra ACB es rígida (no se flexiona).

Diámetro de los cables: 1.5cm

GPa E acero 200‚

Alargamiento de los cables

AE

LF

AE

LF BcableB

AcableA

„‚

„‚ „ „

2m L ‚

241077.14

)015.0(

4 mm D

A22

†„‚„

‚„

‚ ƒ ƒ

29 /10200200 m N GPa E „‚‚

Cálculo de FA y FB:

KN F

F

M

B

B

A

12

02035

0

‚

‚„†

‚…

KN F

F F

F

A

B A

y

8

020

0

‚

‚†‹

‚…



4 3

mm N m

m N

m N m

mKN cableA

42924

3

29241052.4

/102001077.1

2108

/102001077.1

28 †

†† „‚

„„„

„„‚

„„„

„‚„

m

m N m

m N

m N m

mKN cableB

42924

3

29241078.6

/102001077.1

21012

/102001077.1

212 †

†† „‚

„„„

„„‚

„„„

„‚„

Cálculo del desplazamiento vertical del punto C:

Por relación de triangulos:

Œ •35

bcableAcableB ‚†„ „ Œ • 4

4

1036.15

1026.23

5†

†

„‚„„

‚†

‚ cableAcableB3b

„ „

Finalmente

mc444 1088.51036.11052.4 ††† „‚„‹„‚†



4 4

1.6 ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD

Gráfica esfuerzo-deformación para el acero. A partir del ensayo a tensión de una probeta en ellaboratorio, se obtiene la siguiente gráfica esfuerzo-deformación:

Con base en la gráfica, pueden obtenerse los siguientes valores del esfuerzo normal:

LP: Esfuerzo en el límite de proporcionalidad. Hasta este punto la gráfica es lineal.

Proporcionalidad directa entre Esfuerzo y Deformación.

y : Esfuerzo de fluencia ( yield point ). A partir de este punto el material "fluye" produciéndoseun aumento de la deformación sin necesidad de aumentar el esfuerzo.

max: Después de la fluencia, al producirse un "endurecimiento por deformación" (la energía

aplicada calienta el material), el material adquiere capacidad de resistir mas esfuerzo produciéndose unaumento de la pendiente de la gráfica hasta alcanzar el esfuerzo máximo.

ROTURA NOMINAL: A partir del esfuerzo máximo alcanzado se produce un angostamiento de la

sección de la barra ensayada (Estricción) hasta que finalmente se produce la rotura. El rotura nominales igual a la carga de rotura dividida por el Area inicial de la probeta (sin tener en cuenta la estricción).

ROTURA REAL: Es igual a la carga de rotura dividida por el área final de la sección transversal

(calculada con el diámetro final de la probeta).



4 5

1.6.1 Factores de seguridad

La ingeniería no es una ciencia exacta. Tanto en el cálculo de las estructuras como en la previsiónde las cargas que actuarán sobre ellas, los ingenieros están expuestos a incertidumbres de distinto tipoque hacen que deban tomar previsiones que garanticen con una alta probabilidad que no se produciránfallas. Estas previsiones se denominan factores de seguridad.

Las incertidumbres que se presentan se deben a los siguientes factores:

€ Incertidumbre en las cargas a considerar: A pesar de todos los estudios estadísticos quese hagan para determinar las cargas máximas que actuarán sobre una estructura durante suvida útil, nunca será posible hacerlo con total exactitud. Pensemos en los casos de los camionessobre los puentes o en las cargas máximas producidas por sismos y entenderemos cuanincierta es la determinación de sus efectos máximos.

€ Incertidumbre en las propiedades mecánicas de los materiales: Se calculan a partir deanálisis estadísticos de los resultados de ensayos practicados a muestras de los materiales quese emplearán en la construcción de estructuras. Es obvio que los propios materiales con loscuales se construyen las estructuras no se ensayan para cada construcción. Por lo tanto en

este caso también se tienen aproximaciones derivadas de los métodos estadísticos empleadosy de los procedimientos de los ensayos de laboratorio utilizados.

€ Incertidumbre en las dimensiones de los elementos estructurales: Es muy difícilgarantizar que las dimensiones con que se construyen los elementos de una estructura seanexactamente iguales a los especificados en los planos arquitectónicos y estructurales. Debidoa las imprecisiones en los procesos constructivos se introducen incertidumbres que deben ser cubiertas por los factores de seguridad.

€ Incertidumbre en la precisión de los cálculos: En los métodos de cálculo de estructurase hacen suposiciones que simplifiquen el análisis y disminuyan los tiempos del análisis. Esto

obviamente tiene un costo en el sentido de que los modelos matemáticos empleados no siemprerepresentan de manera exacta la manera como se comportaré la estructura en la realidad.

Por la relación presentada la ingeniería emplea factores de seguridad. Hay varios enfoques paradefinir estos factores:

€ Esfuerzos admisibles: Se calcula dividiendo el esfuerzo que resiste el material por el factor de seguridad (mayor que 1), de tal manera que aunque uno "sabe" que el material tiene unaresistencia dada lo "pone a trabajar" a un esfuerzo menor (el esfuerzo admisible).

.S .F

MATERIALresistenteadmisible

ƒ‚ƒ

€ Métodos probabilísticos: la seguridad se relaciona con la probabilidad de falla de laestructura: mientras más baja sea esta probabilidad, mas alto será el factor de seguridad.



4 6

€ Diseño por estados límite: A través de los códigos de estructuras de los diferentes paísesse definen los aspectos de seguridad de las estructuras a diseñar. La idea consiste en considerar que como una estructura puede colapsar o puede deformarse excesivamente o tener grandesvibraciones, el diseñador debe considerar los límites para los cuales la estructura se haceinaceptable desde los tres puntos de vista y garantizar que esos límites no serán superados.

En los cursos de ingeniería estructural se estudiarán en detalle los métodos mencionados aquí

brevemente, cuando se estudia la Norma Sismorresistente Colombiana de 1998.

1.7 ESFUERZOS CORTANTES

No en todas las ocasiones los elementos estructurales son tensionados o comprimidos por las fuerzas externas que actúan sobre ellos. En muchas ocasiones un elemento está tratandode ser cortado.

En este caso, las dos platinas están intentando ser cortadas a lo largo del área transversal que lasune, la cual es paralela a la fuerza P que está siendo aplicada.

EDIFICIO REFORZADO CONTRA SISMOS. BERKELEY, CALIFORNIA 2005



4 7

DETALLE DE LA BASE DEL EDIFICIO DE LA FOTO ANTERIOR (LOS PERNOS ESTÁN SOMETIDOS A CORTE)

PERNO S SOMETIDOS A CORTE. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales, Campus La Nubia, 20 04

Se define el Esfuerzo cortante o de cizalladura como:

A

V ‚Ž

Las unidades son las mismas del esfuerzo normal:

A

P‚‡

cm

Kg2

:psiin

lb2

:Pascalm

N 2



4 8

1.7.1 Deformaciones por corte

Al producirse una distorsión como la que se ve en la figura, la deformación está dada por lavariación angular que sufre el elemento al ser deformado por el esfuerzo cortante.

En el rango elástico lineal del material se ha encontrado relación directa entre los esfuerzoscortantes y las deformaciones angulares sufridas por el elemento.

ˆ ‡ G‚

1.7.2 Ley de Hooke para corte

Siendo G el módulo cortante o de rigidez del material

V

V

V



4 9

1.7.3 Módulo de corte de varios materiales

1.7.4 Esfuerzo cortante doble

En este caso, el corte se resiste a través de 2 áreas.

Por lo tanto:

A

V

2‚Ž

Material GPa Kg/cm2 Lb/pulg2

Acero 77 0.77 x 106 11 x 106

Aluminio 28 0.28 x 106 4 x 106

Bronce 36-44 0.31 x 106 - 0.44 x 106 5.2 x 106 - 6.3 x 106

Cobre 40-47 0.41 x 106 - 0.48 x 106 5.8 x 106 - 6.8 x 106



5 0

PRO LEM

Calcular los esfuerzos normales en las barras AB y CB y los esfuerzos cortantes en lospasadores en A y C, cuyo diámetro es de 1.2 cm.

22 1682 cm

F

cm

F

A

F AB AB AB AB ‚

„‚‚€

22 1682 cm

F

cm

F

A

F CBCBCBCB ‚

„‚‚€

242.1

426.2222 22

cm

R R R

A

F A A

D

A A pasadorA ‚‚‚‚

ƒ ƒ ‡

242.1

413.1

22cm

R R R

A

F C C

D

C C pasadorC ‚‚‚‚

ƒ ƒ ‡

Debemos calcular FAB, FCB, RA y RC

Diagrama de cuerpo libre del punto B:

Corte doble Corte simple

KN F

SenF

F

CB

CB

y

34.13

0886.36

0

‚

‚†‰

‚…

67.10

086.3634.130

‚

‚†‚…

AB

AB

x

F

F Cos

F



5 1

Diagramas de cuerpo l ibre de las barras AB y CB:

Finalmente calculamos los esfuerzos pedidos:

MPam

N

mcm

cm N

cm

KN CB 3.81083.0

116

101034.13

16

34.132

722

243

2 ‚„‚

„

„„‚‚€

MPam

N

mcm

cm N

cm

KN AB 3.31033.0

116

101034.5

16 27

22

243

2267.10

‚„‚„

„„‚‚€

MPam

N

mcm

cm N pasadorC 5.1181085.11

113.1

101034.132

722

243

‚„‚„

„„‚‡

MPam

N

mcm

cm N pasadorA 2.471072.4

126.2101067.10

27

22243

‚„‚„

„„‚‡

1.7.5 Relación de Poisson

Cuando a un elemento se le produce un alargamiento en una dirección dada, automáticamente segenera un acortamiento en la dirección perpendicular o viceversa.

Deducida por el francés Simeon Denis Poisson (1781-1840) quien encontró que la relaciónentre la deformación unitaria transversal y la longitudinal era constante para cada material, denominándose

por tanto esta constante, Relación de Poisson (•).

son 2 barras, a cada una le toca la mi tad de la fuerza



5 2

El signo menos indica que a un alargamiento en un sentido corresponde un acortamiento en el otro

y viceversa.

Valores de la relación de Poisson para diferentes materiales

allongitudin

ltransversa

…

… ‰ †‚

Material Relación de Poisson ‚Corcho 0.0

Concreto 0.1 € 0.2

Acero 0.27 € 0.30

Caucho 0.47

5,00 ˆˆ



5 3

PRO LEM

Calcular la carga admisible que se puede aplicar a un cilindro de concreto de 8cm de diámetropara que no sufra una expansión lateral mayor de 0.002cm.

El módulo de elasticidad del concreto es de 20GPa y su relación de Poisson es igual a 0.15

Calculemos admisibleƒ

Según la ley de Hooke y y E … € ‚

Aplicando la relación de Poisson:

‰

…

… …

…

‰ x

y y

x

‚‚

admisible x

y E ƒ‚•

Š‚ƒ A E P x

admisible „•

Š‚

Ahora: 0002508

002.0.

cm

cm

Diámetro

x x ‚‚

„ …

Finalmente:

222

27.504

)8(

4 cm

cm D A ‚

„‚‚

ƒ ƒ

?P permisible‚Padmisible=?

AP

AP

admisibleadmisible

yadmisible

„ƒ‚

„ƒ‚

KN . N .cm

mcm.

.

.

m

N

cm

mcm.

.

.GPa A E P x

admisible 7616671675610

12750

150

0002501020

10

12750

150

00025020

24

22

29

24

22 ‚‚„„„„‚„„‚„

•

Š‚



5 4

1.7.6 Relación entre el módulo de elasticidad y el módulo cortante

A partir de un análisis que puede consultarse en alguno de los libros de resistencia de materialesmencionados en la bibliografía, se ha encontrado que:

Œ •‰ ‹‚

12

E G

Como 5.00 ˆˆ ‰ entonces E G E 5.033.0 ˆˆ

Las constantes E (módulo de elasticidad), G (módulo de corte) y • (relación de Poisson) sedenominan constantes elásticas de los materiales.

1.8 DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS CUYAS BARRAS ESTÁN SOMETIDAS A

FUERZAS AXIALES

Si se aplica la fuerza P a la estructura de la figura, calcular el desplazamiento tanto horizontalcomo vertical del punto C.

Primero que todo encontremos las fuerzas en las barras AC y BC:

Diagrama de cuerpo libre del punto C:

… ‚ 0 xF 0‚† • CosF P BC

• CosPF BC /‚ (Compresión)

… ‚ 0 yF 0‚† AC BC F CosF •

• CosF F BC AC ‚ (Tensión o tracción)



5 5

Esquem•ticamente sucede lo siguiente:

Debido a que en la realidad las deformaciones son muy peque‚as, los arcos se pueden considerar

perpendiculares a los radios de giro quedando el esquema de deformaciones o "diagrama de Williot"

como sigue:

La barra AC al quedar a tensiƒn se alarga y gira alrededor

de A. Por su parte la barra AC se acorta por quedar a

compresiƒn y gira alredeor de A.

Por lo tanto el punto C se desplaza a C„

P



5 6

Vista ampliada del Diagrama de Willot

Al aplicarse la carga P, la barra AC se estira una cantidad ’AC y gira mediante un arco. La barra

BC se comprime una cantidad ’BC y gira mediante otro arco. Al final de este proceso, el punto C seha movido a una nueva posición C'. Se trata ahora de calcular tanto el movimiento horizontal comovertical del punto C. Para hacerlo se aproximan los arcos a perpendiculares como se ve en la figura(aproximación válida por la pequeñez de las cantidades involucradas en el gráfico). En la gráfica, quese ve ampliada a continuación pueden determinarse mediante relaciones geométricas y trigonométricaslos dos desplazamientos mencionados del punto C.

Cálculo de los desplazamientos horizontal y vertical del punto C:

Observando los gráficos tenemos

AC C devertical „ † ‚ (alargamiento de la barra AC)

Œ • Š Š „ „ Š „ † tan/CosSen BC AC BC C dehorizontal ‹‹‚

Recordando que:

AE

LF

AE

LF AC AC AC

AC AC AC ‚‚ „ „



5 7

1.9 ESFUERZOS TÉRMICOS

Cuando un material se somete a un incremento de temperatura se produce una dilatación:

AL INCREMENTARSE LA TEMPERATURA SE PRODUCE UN A DILATACIÓN ’

Como se recordará, en los cursos de Física se ha estudiado que:

T L†• „ ‚

Siendo “” Coeficiente de dilatación térmicaT : Incremento de temperatura

Si al elemento se le impide la libre dilatación mediante una restricción como un empotramiento, elelemento quedará sometido a un esfuerzo al ser impedido el alargamiento por medio de los dosempotramientos.

AL MEDIRSE LA DILATACIÓN SE GENERAN ESFUERZOS DE CO MPRESIÓ N

La fuerza ejercida por el empotramiento se puede calcular quitándolo y dejando que se produzca la deformación y volviéndolo a poner de tal manera que obligue a la barra a recobrar sutamaño original.



5 8

Como en la realidad los empotramientos est•n impidiendo completamente la deformaciƒn debe

cumplirse que:

cargaaTemperatur „ „ ‚

E

L

AE

PLT L € †• ‚‚

Por lo tanto el esfuerzo generado por el cambio de temperatura es:

T E †• € ‚

Siendo “: Coeficiente de dilataciƒn t…rmica

T : Incremento de temperatura

E: Mƒdulo de elasticidad del material

1.9.1 Coeficientes de dilatación térmica

Se €quita• el empotramiento

permitiendo la deformaci‚n por temperatura

Se €pone• el empotramiento

restituyendo la barra a su posici‚noriginal

Material 10-6 / °C 10-6 / °F

Acero 14 8

Aluminio 23 13

Bronce 18 € 21 9.9 € 11.6

Cobre 16.6 € 17.6 9.2 € 9.8



5 9

PRO LEM

Calcular los esfuerzos inducidos en un riel de ferrocarril cuando la temperatura se incrementade 12 a 30 grados centígrados.

Coeficiente de dilatación térmica del acero: C ‰„‚ † /1014 6•

Como se vió, los esfuerzos inducidos por un incremento de temperatura son iguales a:

T E †• € ‚

Como: C ‰„‚ † /1014 6• 29 /10200200 m N GPa E „‚‚ C T ‰‚†‚ 181230†

Entonces, el esfuerzo debido al incremento de temperatura será:

2296 /5040000018/10200/1014 m N C m N C ‚‰„„„‰„‚ †€

MPa4.50‚€

1.10 INDETERMINACIÓN ESTÁTICA EN TENSIÓN Y COMPRESIÓN

Existen situaciones en las cuales por razones de seguridad es necesario colocar elementosestructurales adicionales que al tiempo que suministren más seguridad a la estructura (resistencia),disminuyan las deformaciones que se presentarán (al aumentar la rigidez)

Veamos:



6 0

En este caso, mediante la aplicación de las condiciones de equilibrio estático pueden encontrarselas reacciones Ax , Ay y la tensión en el cable TB.

… ‚ 0 xF … ‚ 0 yF … ‚ 0 M

3 ecuaciones de equilibrio

Ax , Ay , TB

3 incógnitas

Al existir un número igual de ecuaciones y de incógnitas se dice que el problema es Estáticamente

determinado.

Una vez calculadas las reacciones y la tensión en el cable pueden calcularse, por ejemplo, elesfuerzo cortante en el pasador del apoyo A y el esfuerzo normal en el cable B. Igualmente el alargamientodel cable ’B = TBL/AE.

Con los esfuerzos actuantes encontrados en el pasador y el cable y cable se tendrá una idea delos factores de seguridad con que trabajará la estructura (comparándolos con los esfuerzos admisiblesde los materiales a emplear).

El alargamiento calculado del cable se comparará con las deformaciones admisibles.

A partir del análisis anterior puede encontrarse la necesidad de colocar otro cable con el fin deincrementar la resistencia y la rigidez de la estructura.

Supongamos que se agrega un cable adicional en el punto D:

Evidentemente con el cable adicional en B se tendrá una estructura mas segura y mas rígida.

Sin embargo surge la siguiente situación:



6 1

… ‚ 0 xF … ‚ 0 yF … ‚ 0 M

3 ecuaciones de equilibrio

Ax , Ay , TB , TD

4 incógnitas

Es obvia la dificultad para calcular 4 incógnitas con las 3 ecuaciones disponibles. Esta situaciónconfigura lo que en mecánica estructural se conoce como un problema Estáticamente indeterminado.

La única posibilidad de resolverlo es a través de la obtención de una ecuación adicional.

Esta ecuación surge a partir del análisis de las deformaciones como se muestra enseguida:

Como se ve, la ecuación adicional se obtiene a partir de la semejanza de triángulos y se expresasegún la siguiente proporción:

d b

D B „ „ ‚

Como –—˜™š’B = TBL/AE y ’D = TDL/AE

d b

D B „ „ ‚

Por semejanza de triángulos



6 2

d

AE LT

b

AE LT D B //‚

y por tanto:d

T

b

T D B ‚

Esta es la cuarta ecuación que necesitamos para levantar la indeterminación estática.

PRO LEM

Calcular las tensiones en los cables BC y DE. Sección transversal: A Módulo de elasticidad: E

Considerar que la barra ABD es rígida (no se flexiona)

Diagrama de cuerpo libre de la barra ABD:

030300 ‚‰†‰†‚… CosT CosT AF DE BC x x

060030300 ‚†‰†‰‹‚… SenT SenT AF DE BC y y

06004303300 ‚„†‰‹‰‚

… SenT Sen3T M DE BC A

3 ecuaciones, 4 incógnitasEstáticamente Indeterminado



6 3

Por tanto, debemos encontrar una 4a ecuación mediante la compatibilidad de deformaciones.

Los dos cables se alargan, quedando la estructura deformada (ampliada) de la siguiente forma:

Por lo tanto:



6 4

Por semejanza de triángulos:

5

30/

3

30/ ‰‚

‰ SenSen DE BC „ „

Pero:

AE

T

AE

CosT

AE

LT BC BC BC BC BC

46.330/3 „‚

‰„‚

„‚„

AE

T

AE

CosT

AE

LT DE DE BC DE DE

77.530/5 „‚

‰„‚

„‚„

Por tanto:

5

30/

3

30/ 77.546.3 ‰‚

‰ „„ SenSen AE

T AE

T DE BC

‰

„‚

‰

„

305

7.5

303

46.3

Sen

T

Sen

T DE BC

Combinamos esta 4a ecuación con las 3 ecuaciones de equilibrio que teníamos y obtenemos lastensiones en los cables:

030300 ‚‰†‰†‚… CosT CosT AF DE BC x x

060030300 ‚†‰†‰†‚… SenT SenT AF DE BC y y

06005305300 ‚„†‰‹‰‚… SenT Sen3T M DE BC A N T BC 750‚

DE BC T T ‚ N T DE 750‚

4 ecuación queestábamos buscando

DE BC T T ‚



6 5

PRO LEM

Calcular las reacciones en A y B

Diagrama de cuerpo libre de toda la barra:

… ‚‹‚ 8000 B A x R RF 1 ecuación, 2 incógnitas

Estáticamente indeterminado

Debe obtenerse una ecuación basada en la compatibilidad de las deformaciones:

El alargamiento del tramo AC de la barra debe ser igual al acortamiento del tramo CB (porquela barra está empotrada en los extremos).

CB AC „ „ ‚



6 6

Pero: AE

F AC AC

4„‚„ y

AE

F CBCB

3„‚„

Siendo F AC

y F CB

las fuerzas internas en los respectivos tramos.

Por tanto: AE

F

AE

F CB AC 34 „‚„ Esta es la segunda ecuación.

Como está en función de AE

1(Flexibilidad) se conoce como el Método de la Flexibilidad o

de las fuerzas (porque las incógnitas son las fuerzas).

Calculemos F AC

y F CB

: Hacemos dos cortes en la barra, uno en el tramo AC y otro en el tramo CB:

… ‚‚ A AC x RF F 0

… †‚‚ ACB x RF F 8000

Reemplazando en 2:

Œ • 38004 „†‚„ A A R R

N R A 85.342‚



6 7

Y por tanto:

N R B 15.457‚

Resolver el mismo problema considerando las deformaciones como incógnitas: Método de laRigidez.

El análisis externo es igual:

Diagrama de cuerpo libre de toda la barra:

… ‚‹‚ 8000 B A x R RF 1 ecuación, 2 incógnitas


Análisis interno

Tomemos el desplazamiento del punto C como incógnita:

Como se puede ver: CB AC C „ „ „ ‚‚

Haciendo cortes nuevamente:



6 8

… ‚‚ A AC x RF F 0

AE

R A AC C

4„‚‚„ „ Por tanto

4

AE R C

A

„‚ „

… ‚‚ BCB x RF F 0

AE

R B

CBC

3„‚‚„ „ Por tanto 3

AE

R C

B

„

‚

„

Ahora como: 800‚‹ B A R R

80034

‚„

‹„ AE AE C C „ „

La ecuación está en función de las rigideces AE: Método de la Rigidez, y las incógnitas son losdesplazamientos

80012

7‚

AE C „

AE C

43.1371‚„

Y finalmente: 85.3423

43.1371

4 ‚

„‚

„‚

AE

AE AE R C

A

„

15.4573

43.1371

3 ‚

„‚

„‚

AE

AE AE R C

B

„

En los dos problemas anteriores al calcular las fuerzas internas ha sido necesario tener en cuentasi cada tramo en consideración estaba sometido a tensión o a compresión. Para evitar incurrir enerrores derivados de este hecho puede asumirse que todos los tramos estarán sometidos a tensióny por lo tanto sufrirán alargamientos. Al final el signo de las fuerzas halladas nos dirá cuálesestán efectivamente a tensión y cuáles a compresión.



6 9

PRO LEM

Calcular las reacciones en los empotramientos A y B:

Análisis externo:

… ‚‹‚ 120 B A x R RF 1 Ecuación, 2 Incógnitas


Debe obtenerse una ecuación basada en la compatibilidad de las deformaciones.

La deformación resultante de la barra es igual a cero pues los dos extremos son apoyos rígidos.Esto equivale a decir que la suma de las deformaciones internas de los diferentes tramos es igual

a cero.0‚‹‹‹ EB DE CD AC „ „ „ „

0‚‹‹‹ EB DE CD AC

„ „ „ „

02431‚

„‹

„‹

„‹

„

AE

F

AE

F

AE

F

AE

F EB DE CD AC



7 0

Análisis interno:

Reemplazando:

Œ • Œ • Œ •0

212422371‚

„†‹

„†‹

„†‹

„

AE

R

AE

R

AE

R

AE

R A A A A

Por tanto: KN R A 3.13‚

y: KN RKN R B B 3.13.1 ‚†‚ (flecha derecha)

Con estos valores pueden calcularse las fuerzas internas:

3.13‚‚ A AC RF

3.67 ‚†‚ ACD RF

7.822 †‚†‚ A DE RF 7.8‚ DE F (Compresión)

3.112 ‚†‚ A EB RF



7 1

1.11 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN AXIAL

Cuando una barra se somete a una fuerza axial gradualmente creciente, esta efectúa un trabajoal deformar la barra que se almacena en el interior de la misma como energía de deformación (pensemosen un trozo de caucho al ser estirado).

El trabajo externo realizado por la fuerza debe ser igual a la energía acumulada en el interior de la barra.

internaexterno U W ‚

Trabajo externo realizado por la carga P en un instante para producir un alargamiento d’ de la barra = P d’›

„ Pd dW ‚

œ œ‚‚ dAPd W „

W = Área bajo la curva



7 2

Área bajo la recta2

„ P

W = Energía interna = U = „ P2

1

Como AE

PL‚„

Entonces AE

LP

AE

PLPU PU

22

1

2

1 2

‚‚‚‚ „

O también: L

AE

L

AE

L

AE PU

22

1

2

1

2

1 22„ „

„ „

„ ‚‚‚‚

En resumen:

Energía interna de deformación L

AE

AE

LP

22

22„

‚



7 3

PRO BLEM S PRO PUESTOS

Calcular el esfuerzo normal en la barra BE que tiene una sección rectangular de 2 x 6 cm.

Calcular los esfuerzos en las barras AB, BC, KJ. Tienen una sección de 16 cm 2 cada una.

Calcular para los casos a) y b): B A BC AC ‡ ‡ € € ,,,



7 4



7 5

C A PÍTU LO

ESFU ERZO S BIAXIALES Y TRIAXIALES

MUSEO DE HISTORIA NATURAL, NUEVA YORK, 2005

Esfuerzos en secciones inclinadas

Hasta este punto sólo se han considerado los esfuerzos normales que actúan en secciones

transversales rectas

AP

rectaltransversasección €€



7 6

En este caso, como se ha visto, el esfuerzo normal ‚ƒ que actúa sobre la sección transversal es

igual al valor de la fuerza P dividido entre el área de la sección. Pero, qué esfuerzos se producen en una

sección inclinada un ángulo „…

Veamos:

Es de anotar que si las fuerzas axiales son de compresión sucede lo siguiente:

?

?

€

€

inclinadasección

inclinadasección

•

€



7 7

Retornando a la barra original consideremos el diagrama de cuerpo libre de su parte izquierda:

Y los esfuerzos en la sección inclinada serán:

En la sección inclinada por tanto se producen tanto esfuerzos normales ‚ como esfuerzos

cortantes †.

Esfuerzos complementarios

Son los que se producen en planos que forman ángulos rectos entre sí:

‚ ‚

‚ € ‚

2

/Cos

A

P

Cos A

PCos€€

„€„„€„„

€†„ 22

1Sen

A

PCosSen

A

P

Cos / A

PSen



7 8

Generalmente los esfuerzos complementarios se denominan como ‚' y †'

Entonces:

Consideración del ángulo

Como se vió, el ángulo se tomó en las deducciones en sentido contrario a las manecillas del

reloj a partir de la vertical hasta encontrar el plano inclinado en cuestión.

EL ÁNGULO SE MIDE SIEMPRE A PARTIR DE LA VERTICAL EN SENTIDO ANTI-HORARIO



7 9

Por tanto al aplicar las expresiones para calcular ‚ € ‚ 2

Cos A

P€ como „€†„ 2

2

1Sen

A

Plos

ángulos siempre deberán medirse de esa forma:

‡ ˆ ‚ ‚ € 22

90 Sen A

PCos

A

P€‰Š€‹

‡ ˆ „Œ€„‰Š„€†‹ 22

1902

2

1Sen

A

PSen

A

P

Relación entre un esfuerzo dado y su complementario:

Dado que:

‚ € ‚ 2

Cos A

P€ ‚ € 2

Sen A

P€‹

„€†„ 22

1Sen

A

P„€†‹ 2

2

1Sen

A

P

Entonces:

• • ‹Œ€

A

P€‹‰€ €

2.1 LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES

Hasta este punto nos hemos ocupado de esfuerzos axiales. Sin embargo en muchos casos un

elemento puede verse sometido simultáneamente a esfuerzos en dos (esfuerzos biaxiales) o en tres

direcciones (esfuerzos triaxiales).



8 0

2.1.1 Ley de Hooke para esfuerzos biaxiales

Recordemos que para esfuerzos axiales ƒ € E € Ley de Hooke

Por tanto:

E

€ ƒ €

Calculemos la deformación unitaria total en x producida por x€ y y€ :

Es de recordar que y€ produce un acortamiento en la dirección x que, según la relación de

Poisson se calcula como:

E

y y x

€ „ „ƒ ƒ Œ€Œ€

Ya que la relación de Poisson es en este caso:

y

x

ƒ

ƒ „ Œ€

Ahora:

Deformación unitaria en x = Deformación unitaria en x producida por x€ + Deformación unitaria

en x producida por y€ .

21 x x x ƒ ƒ ƒ Œ€

E E

y x x

€ „

€ ƒ Œ€

‡ ˆ y x x E

„€ € ƒ Œ€1



8 1

Análogamente:

‡ ˆ x y y E

„€ € ƒ Œ€1

‡ ˆ y x z E

‚‰‚•

Œ€Ž

En resumen:

Deformaciones unitarias

‡ ˆ y x x E

•‚Œ‚€Ž1

‡ ˆ x y y

E •‚Œ‚€Ž

1

‡ ˆ y x z E

€ € „

ƒ ‰Œ€

Y los esfuerzos se calculan según las siguientes expresiones (consultar su deducción en cualquiera

de los libros de la bibliografía).

Esfuerzos biaxiales

‡ ˆ y x x

E „ƒ ƒ

„ € ‰

Œ€

21

‡ ˆ x y y

E „ƒ ƒ

„ € ‰

Œ€

21

2.1.2 Ley de Hooke para esfuerzos triaxiales



8 2

Deformación unitaria total en x = Deformación en x producida por x€ + Deformación en x

producida por y€ + Deformación en x producida por z€

‡ ˆ z y x xTOTAL •ŽŒ‰•ŽŒ‰Ž€Ž

E E E z

y x xTOTAL

€ „

€

„ €

ƒ ŒŒ€

Factorizando:

‡ ˆ z y x

x E E

€ € „ €

ƒ ‰Œ€

Análogamente:

‡ ˆ x z y

y E E

€ € „ €

ƒ ‰Œ€

‡ ˆ y x z

z E E

€ € „ € ƒ ‰Œ€

A partir de estas expresiones obtenemos los esfuerzos así (consultar su deducción en cualquiera

de los libros de la bibliografía).

Esfuerzos triaxiales

‡ ˆ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ• E

z y x x ƒ ƒ „ ƒ „ „ „ € ‰‰ŒŒ‰€ 1211

‡ ˆ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ• E

z x y y ƒ ƒ „ ƒ „ „ „

€ ‰‰ŒŒ‰

€ 1211

‡ ˆ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ• E

y x z z ƒ ƒ „ ƒ „ „ „

€ ‰‰ŒŒ‰

€ 1211

Como se ve, para cada caso se trata de una sola ecuación que con las permutaciones adecuadas

se convierte en las demás.



8 3

2.2 ESFUERZOS PRINCIP ALES, ESFUERZO PLANO Y CÍRCUL O DE MOHR , ESFUERZOS Y PLANOS PRINCIP ALES

Tal como se vió en cursos previos, el ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918), dedujo un método

gráfico para calcular los momentos de inercia de áreas con respecto a ejes inclinados

De manera análoga el método puede emplearse para calcular los esfuerzos que ocurren en los planos inclinados, ya sea en elementos sometidos a esfuerzos biaxiales o planos y triaxiales.

ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZOS BIAXIALES

Círculo de Mohr para esfuerzos biaxiales y cortantes (Esfuerzo plano):

Veamos el siguiente elemento sometido a esfuerzos biaxiales de tensión x€ y y€ siendo y x € € ‘

y esfuerzos cortantes † en las caras horizontales y verticales.

(Por estar los esfuerzos contenidos en el plano xy este estado se denomina esfuerzo plano):

Se trata de calcular los esfuerzos normal y cortante (‚ y ’†) en un plano inclinado un ángulo“„respecto a la vertical según se muestra.



8 4

Si aislamos como cuerpo libre el prisma mostrado en la figura tendremos:

” €‹ 0 xF

0€‰Œ‰Œ ‚ ‚ € ‚ ‚ € ‚ ‚ • ‚ ‚ • • ‚ dASenCosdACosSendASenSendACosCosdA y x

„‚Œ„‚‰„†Œ„†€†„ 22

12

2

122SenSenSenCos y x

‡ ˆ „†‰„‚Œ‚€†„ 222

1CosSen y x

” €‹ 0 yF

0€ŒŒ‰Œ dASendACosdACosdASendA y x ‚ € ‚ € ‚ • ‚ • € ‚



8 5

Por tanto:

0€ŒŒ‰‰ ‚ ‚ € ‚ ‚ € ‚ ‚ • ‚ ‚ • € ‚ dASenSendACosCosdASenCosdACosSendA y x

0€‰‰ŒŒ€ ‚ ‚ € ‚ ‚ € ‚ ‚ • ‚ ‚ • € ‚ SenSenCosCosSenCosCosSen y x

‚ ‚ • ‚ € ‚ € € ‚ CosSenSenCos y x 222 Œ‰€

„†Œ„‰

‚‰„‰

‚€‚„ 22

21

2

21Sen

CosCos y x

‡ ˆ ‡ ˆ „†Œ„‚Œ‚‰‚‰‚€‚„ 222

1

2

1SenCos y x y x

En resumen:

‡ ˆ ‡ ˆ „†Œ„‚Œ‚‰‚‰‚€‚„ 222

1

2

1SenCos y x y x

‡ ˆ „†‰„‚Œ‚€†„ 222

1CosSen y x

Mohr encontró que estas dos ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo cuyo

parámetro es 2„.

Escribámoslas de la siguiente forma:

„†Œ„‰‚€‚„ 22 Sen BCos promedio

„†‰„€†„ 22 Cos BSen

O lo que es igual:

„†Œ„€‚Œ‚„

22 Sen BCos promedio

„†‰„€†„ 22 Cos BSen



8 6

Elevando ambas al cuadrado:

‡ ˆ ‡ ˆ2222‚ • ‚ € € ‚ Sen BCos promedio Œ€Œ

‡ ˆ2222‚ • ‚ • ‚ Cos BSen ‰€

Y desarrollando los cuadrados y sumando:

‡ ˆ 2222 †‰€†‰‚Œ‚ „„ B promedio

‡ ˆ ‡ ˆ• 22

2122 • € € • € € ‚ ‰Œ€‰Œ y x promedio

‡ ˆ ‡ ˆ• 22

2122 †‰‚Œ‚€†‰‚Œ‚ „„ y x promedio

Esta es la ecuación de una circunferencia de radio ‡ ˆ• 22

21 • € € ‰Œ€ y x R :

y cuyo centro está ubicado en el punto 0, promedio€



8 7

2.2.1 Construcción del círculo

Construir el Círculo de Mohr para el elemento de la figura sometido al estado de esfuerzos

mostrado.

1. En el sistema de coordenadas ‚ ‚ • € , se ubican los puntos ( • € , x ) y ( • € Œ, y ). Se unen y se

determina el centro del círculo, C.

2. Se calcula la distancia

2

y xCD

€ € Œ€ y se calcula el radio del círculo

‡ ˆ• 22

21 • € € ‰Œ€ y x R (Pitágoras)



8 8

3. Se construye el círculo con centro en C y radio R y se determinan los valores de max€ , min€ ,

max• y 2„.

R prom ‰€€ € max

R prom Œ€€ € min

R€max•

2

2 y x

tan‚Œ‚

†€„

y el esfuerzo promedio:

‡ ˆ y x promedio

€ € € ‰€2

1



8 9

Finalmente se calculan los esfuerzos principales máximo y mínimo:



9 0

PRO BLEM

Construir el círculo de Mohr para el estado de esfuerzos mostrado y a partir del mismo calcularlos esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo

1. Se ubican os puntos (70,10) y (40, -10), se unen y se determina el centro del círculo C

2. Se calculan:

152

4070€

Œ€CD ‡ ˆ• 03.18104070 22

21 €‰Œ€ R y 55

2

4070€

‰€ prom€



9 1


max• y 2„.

Š –

—˜™

š Œ›

€

–

—

˜˜

™

š

Œ€

–

—

˜̃˜

™

š € ŒŒ

ŒŒ 69.33

4070

102tan

2tantan2 11

2

1

y x y x € €

• • ‚

€ €

Š€ 85.16‚

A partir del elemento original se gira un angulo „ en sentido horario



9 2

Cálculo de los planos en los cuales ocurre el esfuerzo cortante máximo:

Para pasar del plano de †œal de †max debemos girar un angulo 2ž en sentido anti horario enel círculo

Š€ŠŒŠ€ŒŠ€ 31.5669.33902902 ‚ …

Š€ 15.28…

En el elemento debemos girar un angulo ž en sentido antihorario

En internet se encuentran cientos de páginas dedicadas al cálculo del Círculo de Mohr. Una de las

mejores a mi juicio es www.mdsolids.com

Dicho programa fue ganador del Premier Award for Excellence in Engineering Education

Courseware en 1998 en Estados Unidos.

Recomiendo resolver con dicho programa los problemas aquí desarrollados, con fines comparativos.



9 3

PRO BLEM


1. Se ubican los puntos (400,-50) (nótese que †Ÿes negativo y (150,50) y se unen determinandoel centro del círculo C.

2. Se calculan:

1252

150400€

Œ€CD ‡ ˆ 6313450125 22

. R €‰€ y 2752

150400€

‰€ prom€



9 4


max• y 2„.

Š€ –

—˜™

š Œ›

€ –

—˜˜™

š

Œ€ ŒŒ 8.21

150400

502tan

2tan2 11

y x € €

• ‚

Š€ 9.10‚

A partir del elemento original se gira un ángulo „ en sentido antihorario y se hallan los esfuerzosprincipales:



9 5

Cálculo de los planos en los cuales ocurre el esfuerzo cortante máximo:

Š€ŠŒŠ€ŒŠ€ 2.688.21902902 ‚ …

Š€ 1.34…

A partir del elemento original se gira un ángulo ž en sentido horario:



9 6

PRO BLEM

Construir el círculo de Mohr para el estado de esfuerzos mostrado y a partir del mismo calcularlos esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo.

1. Se ubican los puntos (800,0) (nótese que † es cero) y (300,0) y se unen determinando elcentro del círculo C.

2. Se calcula:

2502

300800€

Œ€ R

5502

300800€

‰€ prom€


max• y 2„.



9 7

02 €‚

0€‚

No hay que girar ningún ángulo.Los esfuerzos principales coincidencon x€ y y€

4. Cálculo de max• 250max €€ R•

En el círculo: Š€ 902…

En el elemento: Š€ 45…

Debemos girar el elementooriginal un ángulo ž en sentidoantihorario



9 8

PRO BLEM


1. Se ubican los puntos (0,15) y (0,-15) y se unen determinando el centro del círculo C:

2. En este caso, como se ve, el centro del círculo coincide con el or igen de coordenadas. 15€ R

Se construye el círculo con centro en C y radio R y se determinan los valores de max€ , min€ ,

max• y 2„.

Planos donde ocurren los esfuerzosprincipales

902 €‚

45€‚



9 9

Planos donde ocurren los esfuerzos cortantes máximos



10 0


Construir el círculo de Morh para cada uno de los casos y a partir del mismo calcular losesfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo señalando el ángulo del plano respectivo.

Calcular los esfuerzos normal y cortante en el plano de la figura

Hallar el plano con su respectiva inclinación en el cual el esfuerzo normal es cero. Cuánto valeel esfuerzo cortante en dicho plano?



10 1

C A PÍTU LO 3

ESF U E RZO S PRO D U C ID O S PO R F LEXIÓ N VIG A S

CONSTRUCCIÓN DE ESTRUCTURA METÁLICA, NUEVA YORK, 2005

Las vigas son uno de los elementos estructurales mas comúnmente empleados en ingeniería.

Dos de las primeras labores que debió afrontar el hombre primitivo fueron las de cubrir espacios(para guarecerse) y salvar distancias (para cruzar una quebrada o un río).

Seguramente lo primero que empleó fueron troncos de árboles para cubrir ramadas y vadear quebradas.

Qué caracteriza una viga?

a) Geométricamente es un elemento estructural que tiene una de sus tres dimensiones muchomas larga que las otras dos.



10 2

b) Puede estar en voladizo o soportada por dos o mas apoyos y las fuerzas actúan perpendicularmente a su eje longitudinal.

Cómo trabajan las vigas?

Para entenderlo comparémoslas con otros conocidos elementos estructurales: arcos y cerchas

Los arcos y las cerchas

NUEVA YORK, 2005



10 3

Los arcos producen empujes horizontales en los apoyos.

Para contrarrestar este empuje producido sobre los muros, en las catedrales góticas se emplearonlos contrafuertes y los arbotantes.

Otra posibilidad para cubrir el espacio entre dos muros es utilizar dos barras articuladas según semuestra:

LAS BARRAS GENERAN EMPUJES VERTICALES Y HORIZO NTALES SOBRE LOS MUROS

Como se observa, esta conformación también produce empujes horizontales sobre los muros.Para evitarlo en la Edad Media se empezó a utilizar una barra adicional en la base (tensor) que impideque las barras se abran y generen empujes horizontales.

DESAPARECEN LOS EMPUJES HORIZONTALES SOBRE LOS MUROS

Esta estructura simple es considerada la precursora de las cerchas.



10 4

Recordemos que en el curso de mecánica se vió que una cercha trabajaba de la siguiente forma:

Las barras de la cuerda superior de la cercha quedan a TENSIÓN y las de la cuerda inferior aCOMPRESIÓN mientras que las diagonales quedan unas a TENSIÓN y otras a COMPRESIÓN.

La aleta superior de la viga en voladizo queda a TENSIÓN y la aleta inferior a COMPRESIÓNmientras que el alma absorbe las fuerzas internas de TENSIÓN y COMPRESIÓN que se generan.



10 5

UNIVERSIDAD NACIONAL, MANIZALES, CAMPUS LA NUBIA

Las aletas harían el trabajo equivalente al de las cuerdas inferior y superior: una a tensión y la otraa compresión.

El alma de la viga remplazaría las diagonales absorbiendo los efectos de corte.

En resumen: una viga bajo el efecto de fuerzas transversales queda sometida a dos efectos principales: FLEXIÓN y CORTE:

En las vigas la flexión está asociada a momentos flectores y a esfuerzos de tensión en la partesuperior de la viga y de compresión en la parte inferior.

El corte está asociado a esfuerzos cortantes

Estos esfuerzos normales € y cortantes ‚ deben ser calculados.



10 6

3.1 ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS EN FLEXIÓN

El primero en estudiar sistemáticamente los esfuerzos producidos en las vigas fue Galileo quienen su libro "Discursos y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias" publicado en1638 trató el tema de los esfuerzos en una viga en voladizo.

Antes de deducir las expresiones para los esfuerzos establezcamos unas hipótesis iniciales:

€ El material de la viga es homogéneo (el material es el mismo en todos los puntos)

€ Es continuo (no consideramos poros ni espacios vacíos)

€ Es isotrópico (propiedades iguales en todas direcciones)

€ Se comporta linealmente y cumple la Ley de Hooke: ( € • E ƒ )

€ Las secciones de la viga permanecen planas después de la flexión

3.1.1 Flexión pura

Los esfuerzos normales € en las vigas son producidos por los momentos flectores.

Por tanto, para calcularlos utilicemos una viga en voladizo sometida sólo a momento flector (flexión pura).

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE



10 7

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

Para el análisis separemos como cuerpo libre un tramo de viga de longitud dz :



10 8

3.1.2 Cálculo de esfuerzos normales

Si las fibras superiores están a tensión y las inferiores a compresión, debe haber una fibra intermediaque al estar en el punto de transición entre los dos estados de esfuerzos no quede sometida a ningúnesfuerzo: LA FIBRA NEUTRA.

Comportamiento de las fibras

Esfuerzo normal en la fibra 1: 1€ • E ƒ Ley de Hooke

‚ ƒ ‚

ƒ „ €

y

d

yd

L ƒƒƒ

1

11

‚ •

Eyƒ

La ecuación nos dice varias cosas:

€ El esfuerzo es directamente proporcional al módulo de elasticidad E

€ Mientras mas alejada esté la fibra de la fibra neutra, mayor será el esfuerzo (depende de ladistancia y

€ El esfuerzo es inversamente proporcional a la curvatura

La ecuación además nos muestra que el esfuerzo varía linealmente a través de la seccióntransversal.



10 9

VARIACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL A TRAVÉS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE LA VIGA

cuando )max(…ƒ y y

cuando 0ƒ y

cuando )max(†ƒ y y

Esta distribución de esfuerzos fue establecida por primera vez por Parent (1666-1716) y Coulomb(1736-1806).

Previamente Galileo (1564-1642)) había planteado que la distribución de esfuerzos era de la

siguiente forma:

Y mas tarde, J. Bernoulli (1654-1705) había propuesto la siguiente distribución:

compresiónmax

tensionmax

• •

•

• •

ƒ

ƒ

ƒ

0

‚ •

Ey

ƒ



11 0

Se ve pues, como transcurrieron mas de 100 años para llegar a conocer la distribución correctade los esfuerzos normales a través de la sección transversal de una viga.

La ecuación ‚

• Eyƒ es útil para conocer la variación del esfuerzo y para entender su relación

con E y con ‡ pero desde el punto de vista práctico no presta ninguna utilidad para calcular el esfuerzo puesto que no conocemos de antemano el radio de curvatura ‡ de la viga.

Por tanto, debemos encontrar una expresión que sea útil desde el punto de vista práctico:

dAdF

dA

dF

•

•

ƒ

ƒ



11 1

ˆ ƒ 0 x M ‰ ƒ…† 0dA y M •

‰ ƒ…† 0dAEy

y M ‚

‰ ƒ…† 02 dAEy M ‚

‰ ƒ…† 02

dAEy

M ‚

‰ ƒ…† 02dA yE

M ‚

Pero: ‰ ƒ x I dA y2 (Momento de inercia del área)

Por tanto: 0ƒ…† ‚

EI M

EI

M ƒ

‚

1Curvatura

Pero teníamos que: ‚ •

Ey

ƒ por tanto ‚

• 1ƒEy

EI

M

Ey ƒ

•

Finalmente:

I

My

ƒ• Fórmula de la flexión



11 2

Ubicación de EJE NEUTRO:

ˆ ƒ 0 zF ‰‰ ‰ ƒƒƒƒ 00 ydAE

dAEy

dA ‚ ‚

•

‰ ƒ 0 ydA

E

‚

0Š ‚

E Puesto que al estar flectada la viga ‹Š ‚

Por tanto, necesariamente ‰ ƒ 0 ydA

Esto significa que el centro de gravedad de la sección está sobre el eje neutro, ya que:

A y ydA ƒƒ‰ 0 y 0ƒ y

En conclusión

Esfuerzo normal producido por flexión I

Myƒ•

Ubicación de eje neutro: coincide con el centro de gravedad de la sección.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, CAMPUS LA NUBIA



11 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, 2004

Ubicación del eje neutro:

Como se demostró, coincide con el centro de gravedad de la sección transversal de la viga.

VIGAS SIMETRICAS

S M M

I MC

c I compresiónmáximotensiónmax ƒƒƒƒ• •

c

I S ƒ : Módulo de la sección

En vigas simétricas losesfuerzos máximos a

tensión y compresión soniguales

Viga H(columna)

Viga I



11 4

Para vigas con secciones asimétricas:

VIGAS ASIMÉTRICAS

PRO LEM

Conocidas las cargas y las propiedades geométricas de la viga, calcular los esfuerzos actuantesmáximos a tensión y a compresión

Esfuerzo normal actuante: I

Mcƒ•

Esfuerzo normal máximo: I

c M maxmax ƒ• Por simetría: COMPRESION TENSION maxmax • • ƒ

1

11 S

M I

Mc ƒƒ€

2

22 S

M

I

Mcƒƒ€

I Mc1

1 ƒ€

I

Mc22 ƒ€



11 5

Por lo tanto, los esfuerzos máximos son:

MPam

cm

cm

N

cm

cmcm N

I

c M COMPRESION TENSION 26.9

1

1093.925

4860

95000002

24

24max

maxmax ƒŒƒŒŒ

ƒƒƒ• •

Como se ve, los esfuerzos máximos en este caso ocurren en el empotramiento, punto en el cualse presenta el momento f lector máximo

PRO LEM

Conocidas las propiedades geométricas de la viga y los esfuerzos admisibles del material calcularlas cargas admisibles que pueden apl icarse a la misma.

Calcular la carga distribuida • que puede aplicarse a la viga de la figura sabiendo que losesfuerzos admisibles del material son:

2200 cm / KgENSION admisibleT ƒ€

280 cm / KgOMPRESION admisibleC ƒ€



11 6

La condición que debe cumplirse para garantizar la seguridad de la viga es que los esfuerzosactuantes máximos sean menores que los permisibles:

2200 cm / KgENSION admisibleT NSION actuanteTE max ƒ€Ž€

280 cm / KgOMPRESION admisibleC MPRESION actuanteCOmax ƒ€Ž€

Esto garantiza que la viga no falla ni a tensión ni a compresión.

Cálculo de los esfuerzos actuantes máximos:

I

c M NSION actuanteTE

1maxmax ƒ•

I

c M MPRESION actuanteCO

2maxmax ƒ•

8

2

max L

M …

ƒ (Viga simplemente apoyada sometida a carga distribuida)

Calculemos los valores de c1, c2 y del momento de inercia I:

Calculemos los valores de c1, c2 y del momento de inercia I:



11 7

• … … … 112508

3008

22max ƒŒƒƒ cm L M

• • 322 67353450176673578 cm... Ad I I B ƒŒ†ƒ†ƒ

Teníamos que:

2200 cm / KgENSION admisibleT NSION actuanteTE max ƒ€Ž€

280 cm / KgOMPRESION admisibleC MPRESION actuanteCOmax ƒ€Ž€

2 Ad I I B …ƒ

21

2211

A A

y A y A y

…

…ƒ

cm.c 5101 ƒ 55510162 ..c ƒ†ƒ

cm.c 5101 ƒ 55510162 ..c ƒ†ƒ

510522116

51352255116.

.. y ƒ

Œ…ŒŒŒ…ŒŒ

ƒ



11 8

200673534

51011250ƒ

Œ•

.

.11 985 •ƒƒ• cm / Kg.

80673534

5511250ƒ

Œ•

.

.22 574 •ƒƒ• cm / Kg.

Como resultado hemos obtenido dos posibles cargas a aplicar. Una que garantiza que la vigano fallará a tensión y otra que no fallará a compresión. Para que no fal le por ninguno de losdos conceptos, debe escogerse la menor de la dos.

Por tanto:

m / Kgcm / Kg.admisible 4575742 ƒƒ•ƒ•

PRO LEM

Calcular los esfuerzos normales máximos actuantes en la siguiente viga:

En general:

I

Mcƒ•

Hagamos el diagrama de momentos:

5.1927

05.730075.3400350

ƒ

ƒŒŒ†Œ†ƒˆ

B

B

A

R

R M



11 9

Cálculo del centro de gravedad y del momento de inercia:

Cálculo de los esfuerzos normales máximos en la viga:

En el punto de ocurrencia del momento máximo positivo

•

41.25.7225.177

35.722

5.177

3

5.722

5.7225.19275.7300400

0

ƒ…

Œƒ

†ƒ

ƒ†Œ…ƒ

ƒˆ

b

bb

R

F

A

y

cm A A A

y A y A y A y 88.5

424224

742742224

321

332211 ƒ……

Œ…Œ…Œƒ

……

……ƒ

4333

42

56163143

346

3143

96.188188.51085616

cm I

cm I

ƒŒ…Œ…Œƒ

ƒŒ†ƒ

cmKgmKg M ŒƒŒƒ… 8706161.870)max(



12 0

En el punto de ocurrencia del momento máximo negativo:

En resumen:

2)max(

2)max( /64.375

96.1881

12.887061/01.272

96.1881

88.587061cmKgcmKg C T ƒ

Œƒƒ

Œƒ • •

2)max(

2)max( /91.292

96.1881

88.593750/50.404

96.1881

12.893750cmKgcmKg C T ƒ

Œƒƒ

Œƒ • •



12 1

3.2 FLEXIÓN TRANSVERSAL : ESFUERZOS CORTANTES PRODUCIDOS EN FLEXIÓN

Al actuar una fuerza transversal sobre una viga, produce efectos de corte verticales, debidos a lafuerza cortante V que se genera a lo largo de la viga.

3.2.1 Efecto de corte horizontal en vigas

Además de los efectos de corte verticales también se presentan efectos en planos horizontales.Imaginemos la viga formada por una serie de capas horizontales.

Se puede observar el deslizamiento causado por la flexión.



12 2

Tal como se vió en capítulos anteriores la existencia de esfuerzos cortantes verticales exige lapresencia de esfuerzos cortantes horizontales con el fin de garantizar el equilibrio.

Por tanto, un elemento ubicado en el interior de la viga estará sometido a los esfuerzos cortantesque se observan a continuación.

Si consideramos el elemento mostrado como cuerpo libre no podremos obtener una ecuacuón para‘‚ debido a que se cancelará en cualquiera de las ecuaciones de equilibrio que establezcamos, ya

sea ˆ ˆˆ ƒƒƒ M óF F x y z 00,0



12 3

Por tanto, tomamos como cuerpo libre un elemento de viga situado de tal manera que su carasuperior coincida con la parte superior de la viga.



12 4

ˆ ‰ ‰ ƒ†…ƒ dAdAbdzF 1 z 00 2• • †

bdz

dAdA‰ ‰†ƒ

12 • • †

•

Ibdz

ydA M M

bdz

dA I

y M dA

I

y M ‰‰ ‰ †

ƒ†

ƒ12

12

†

Pero:

• dM M M ƒ† 12 12 M y M están separados una distancia dz

‰ ƒƒ Q A y ydA Momento estático del área. Recordar que:

A

ydA y ‰ƒ V

dz

dM ƒ

La derivada del momento flector es igual a la fuerza cortante.

Por lo tanto:

Ib

VQƒ†

Variación del esfuerzo cortante a través de una sección rectangular

Variación del esfuerzo cortante ‚ a través de una sección transversal rectangular de bxh:



12 5

En general:

Ib

VQƒ†

En una viga sometida a una fuerza cortante V tenemos:

V=V A yQ ƒ ’ “ ”

– — …ƒ

221 h y y ’

“ ”

– — †ƒ yhb A

2• •

22

24222 yb y yb

Qhhh †ƒ†…ƒ

12

3bh I I ƒƒ b=b

Por tanto:

3

24

12

24

2

3

26

2 bh

yV

b

yVb h

bh

h †ƒ

†ƒ†

Si2

h y ƒ

• 0

6

3

2

24

2

ƒ’ “ ”

– — †

ƒbh

V hh

†

Si2

h y ƒ

•

0

6

3

2

24

2

ƒ

’ “ ”

– — ††

ƒ bh

V hh

†

El esfuerzo cortante en los diferentes planos de la viga tendrá diferenres valores y su variaciónserá como se ve en las siguientes figuras.

Si y=0 A

V

bh

V

bh

Vh

2

3

3

3

4

63

2

ƒƒƒ†

3

24

26

bh

yV h †ƒ†



12 6

La curva de variación de la ecuación será:

3

24

26

bh

yV h †ƒ†

es parabólica y con los valores encontrados será la siguiente:

Como se ve, el esfuerzo cortante máximo se presenta a nivel del plano neutro de la viga.

PRO LEM

Calcular el esfuerzo cortante máximo que actúa en la siguiente viga:

Tal como se vio, el esfuerzo cortante máximo ocurre en el plano neutro de la viga en la seccióndonde la fuerza cortante es máxima.

En general: Ib

VQƒ†



12 7

Aplicando esta expresión para secciones rectangulares encontramos que: A

V maxmax 2

3ƒ†

21601610 cm A ƒŒƒ

Para calcular Vmax

hacemos el diagrama de fuerza cortante de la viga:

ˆ ƒ 0 A M Kg R

R

B

B

1800

0330005

ƒ

ƒŒ†

120018003000

0

ƒ†ƒ

ƒˆ A

y

R

F

KgV 900max ƒ Inmediatamente a la izquierda y a la derecha del apoyo B

Como: A

V maxmax 2

3ƒ† 22max 44.8

160

900

2

3

cm

Kg

cm

KgƒŒƒ†



12 8

00 ƒŒƒƒ y A yQa

El área de la sección arriba delpunto a es cero (no existe)

0151648

0900ƒ

ŒŒ

ƒa†

2/46.5151648

150900

1502155

cmKg

A yQ

d

d

ƒŒ

Œƒ

ƒŒŒƒƒ

†

PRO LEM

Suponiendo que la viga del problema anterior (en la cual la fuerza cortante máxima es igual a

900Kg) tiene la sección mostrada, dibujar el diagrama de variación del esfuerzo cortante ‚ através de la sección transversal.

Como vimos, la ecuación general del esfuerzo cortante en vigas es: Ib

VQƒ†

433

1648512216012

862

12

1215900 cm I KgV ƒ†ƒ

ŒŒ†

Œƒƒ

Los valores de Q y de b dependen del punto de la sección en el cual se calculen:



13 0

En 3 dimensiones, la variación de esfuerzos cortantes se ve así:

Como se observa, un altísimo porcentaje del esfuerzo cortante es soportado por el alma de laviga, mientras que las aletas como se ha visto soportan pr incipalmente esfuerzos normales detensión y compresión.

PRO LEM

La viga laminada de la figura está formada por las dos viguetas unidas por pegante. Si elesfuerzo cortante admisible del pegante es de 14 Kg/cm2, calcular el valor de la carga P admisibleque puede apl icarse en el extremo libre de la viga para que las 2 viguetas no se despeguen.

Debemos garantizar que el esfuerzo cortante máximo actuante no sobrepase el esfuerzo cortanteadmisible:

2max /14 cmKgadmisible ACTUANTE ƒŽ† †

Cálculo del ACTUANTE max†



13 1

Tal como se vió, cuando la sección es rectangular el esfuerzo cortante máximo actuante ocurreen el plano neutro y es igual a:

A

V ACTUANTE

maxmax

2

3ƒ†

En la grafica de la duerza cortante vemos que: PV ƒmax

Además: 21401410 cmcmcm A ƒŒƒ

2max1402

3

cm

P ACTUANTE Œƒ†

Por tanto: 22

/14

1402

3cmKg

cm

PƒŒ

KgPP admisible 67.1306ƒƒ



13 2

PRO LEM

Se construye una viga cajón con 4 tablones unidos por pernos como se ve en la figura. Si lafuerza cortante máxima que debe soportar la viga es de 3KN calcular el espaciamiento máximoe entre los pernos sabiendo que cada perno es capaz de soportar una fuerza de corte de 0.5KN

Por lo tanto debemos calcular la fuerza actuante en cada perno:

pernocadaresponder debecualla por vigalade ÁreaF GAactuanteVI RNOactuantePE Œƒ†

Ib

VQGAactuanteVI ƒ†

KN V 3ƒ (Fuerza cortante actuante en la viga)

Fuerza cortante que es capazde soportar cada perno

Para que los pernos no fal lendebe cumpl irse que

KN .F F ERNOadmisibleP RNOactuantePE 50ƒƒ



13 3

Área de la viga por la cual debe responder cada perno= Área de influencia de cada perno.

25224232224

3

/1007.1/10/101007.1/1007.1833.55929

15953m N mcmcm N cmKN

cmcm

cmKN GAactuanteVI ŒƒŒŒŒƒŒƒ

Œ

Œƒ †††



13 4

Área de influencia de cada perno = 0.04emáx

Recordemos que:

F GAactuanteVI RNOactuantePE Œƒ† Área de la viga por la cual debe responder cada perno

max RNOactuantePE e.m / N . N F 04010071500 25 ŒŒƒƒ

cmcmme 126.11116.0max ˜ƒƒ

3.3 VIGAS DE DOS MATERIALES

Como se dejó dicho al principio del curso, existen materiales que son muy resistentes a compresióny muy poco a tensión como el concreto. Dado que en una viga, como se ha visto hay zonas que quedansometidas a esfuerzos de compresión y otras a esfuerzos de tensión, aquellos materiales que como elconcreto son débiles a tensión deberán ser reforzados por materiales que resistan este tipo de esfuerzo,tales como el acero. Este es el principio del concreto reforzado. Se obtiene de esta forma una viga queresistirá adecuadamente tanto esfuerzos de tensión (de los cuales se encargará el acero) y de compresión

(de los cuales lo hará el concreto).

Supongamos una viga de un material que tiene un módulo de elasticidad E1 la cual va a ser

reforzada con un material que tiene un módulo de elasticidad mayor E2.



13 5

Se trata de que la adhesión entre los dos materiales sea tal, que al producirse la flexión no se produzca deslizamiento entre la viga y la platina de refuerzo (que trabajen monolíticamente).

Variación de esfuerzos y deformaciones en una viga de 2 materiales:



13 6

Los diagramas en dos dimensiones quedan:

En el punto de contacto B no debe haber deslizamiento entre los dos materiales puesto que justoeste es el fundamento del comportamiento estructural de la viga: que los dos materiales funcionen alunísono, vale decir que la viga trabaje monolíticamente.

Por tanto en ese punto de contacto B dos fibras de la viga que dan sometidas a FUERZASIGUALES (pero a ESFUERZOS DIFERENTES).

ˆ ƒƒ 20 F F F 1 x

Por tanto: 2211 A A • • ƒ

™ m a x ( - )

€ m a x m a t e r i a l 1

™ m a x ( + )

€ m a x m a t e r i a l 2



13 7

Siendo A1 y A2 las secciones equivalentes de los dos materiales a fin de que se cumpla el equilibriode fuerzas.

La relación entre los esfuerzos la obtenemos del hecho de que las deformaciones unitarias de losdos materiales son iguales en el punto de contacto.

21 B B € € ƒ

Como € • E ƒ EntoncesE

• € ƒ

Por lo tanto: 22

1

2

2

1

1 • • • •

E

E

E E 1 ƒƒ

22122

1 A AE

E • • ƒ

Y por último 22121 nA AE

E A ƒƒ

Quiere decir esta última expresión que el material 2 puede ser reemplazado por el 1 siempre ycuando su área se aumente n veces siendo n la relación entre los módulos de elasticidad de los dosmateriales. Al aplicarse este concepto se llega al método conocido como el de LA SECCIÓNTRANSFORMADA dado que toda la sección queda convertida o transformada en una sección ficticiade uno de los dos materiales. En ésta se procede a calcular los esfuerzos tal como se ha hecho en elcaso de secciones homogéneas, debiendo tener en cuenta al finalizar el análisis que el esfuerzoencontrado en la parte que ha sido transformada debe ser multiplicado nuevamente por n con el fin deobtener el esfuerzo que se va a producir en el material real.

Método de la sección transformada

12 E E š



13 8

PRO LEM

Calcular los esfuerzos máximos en la madera y el acero de la viga de la figura reforzada conuna platina.

GPaE GPaE maderaacero 10200 ƒƒ

KN RKN R

R R

F M

A B

A B

y A

2.18.1

8.13335

00

ƒƒ

†ƒŒƒ

ƒƒ ˆˆ

mKN M ŒƒŒƒŒƒ 6.328.132.1max



139

Método de la sección transformada. Transformemos la sección en madera:

2010

200ƒƒƒ

GPa

GPa

E

E nmadera

acero

Analicemos la viga como si fuera toda de madera:

Calculemos I ecc ,, 21

221

2211 67.4200400

12200400 c I A A y A y A y ƒƒ

…

Œ…Œƒ

…

…

ƒ

33.1767.4221 ƒ†ƒc



140

• 422 67.2292267.260027200 cm Ad I I D ƒ†ƒ†ƒ

433

272003

2010

3

2200cm I D ƒ

Œ…

Œƒ

Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:

KPa.m

cm

cm

N .

cm.

cm.cm N

I

c M maxreal ,madera)max( 62721

1016272

6722922

331710036002

24

24

1ƒŒƒ

ŒŒƒƒ€

†

KPa.m

cm

cm

N .

cm.

cm.cm N

I

c M max ficticio ,madera)max( 4733

103473

6722922

67410036002

24

24

2ƒŒƒ

ŒŒƒƒ€

…

Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero,debemos €devolvernos• por as‚ decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio por n para obtener el

esfuerzo real en el acero:

KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max( ƒŒƒŒƒ……

• •

En conclusiƒn hemos encontrado los siguientes esfuerzos m„ximos en la viga:



141

Variación de esfuerzos a través de la sección:

La viga entonces, absorberá los esfuerzos de la siguiente forma:

Como se ve, la platina de acero soporta la mayor parte de los esfuerzos de tensión.

La viga también puede analizarse transformando toda la sección en acero. Veámoslo acontinuación.

Resolución del problema transformando la viga en acero

Vamos a transformar toda la viga en acero. Por lo tanto:

05.020010 ƒƒ

GPaGPa

E E nacero

madera



142

Sección transformada en acero

Analicemos la sección transformada:

221

2211

67.41020

1210120

c A A

y A y A

y ƒƒ…

Œ…Œ

ƒ…

…

ƒ

33.1767.4221 ƒ†ƒc

Cálculo del momento de inercia:

• 13.114667.2301360 22

ƒ†ƒ†ƒ Ad I I D

1360

3

205.0

3

210 33

ƒŒ

…Œ

ƒ D I



143

Cálculo de los esfuerzos:

Esfuerzo máximo en la madera:

KPan ficticioaceroC realmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max( ƒŒƒŒƒ • •

En resumen:

Obviamente, los valores soniguales a los que obtuvimostransformando la sección enmadera

KPaPa ficticioaceroC 554921020.554913.1146

33.171003670 4,)max( ƒŒƒ

ŒŒƒ•

KPaParealaceroT 7.149531037.149313.1146

67.41003670 4,)max( ƒŒƒ

ŒŒƒ•

KParealmaderaC 6.2774,)max( ƒ•

KParealaceroT 7.14953,)max( ƒ•



144


Calcular los esfuerzos normales y cortantes máximos en las siguientes vigas



14 5

C A PÍTU LO

D EFO RM A C IO N ES EN VIG A S

NÓTENSE LAS DEFORMACIONES Y FISURAS EN LOS EXTREMOS DE LA VIGA

Tal como se ha dicho, un elemento estructural no sólo debe ser resistente a la rotura sino quedebe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condicionesmínimas, a saber:

€ Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podríanafectar su desempeño. (Por ejemplo el alineamiento y nivelación de equipos).

€ Que no se afecte la estética de la estructura con la aparición de grietas, producto de grandesdeformaciones.



14 6

NÓTESE AGRIETAMIENTO DE LA VIGA EN LA SECCIÓN DE MOMENTO NEGATIVO,POR FALTA DE REFUERZO

Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estáticamente indeterminadas es necesario

obtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar laindeterminación y así poder resolverlas.

De otra parte, en los próximos cursos de ingeniería estructural se requerirán los conocimientosrelativos a los métodos de cálculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructurasestaticamente indeterminadas (por ejemplo en el método conocido como pendiente- deflexión o slopedeflection).

Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigascuando están son sometidas a cargas.

Existen varios métodos para calcular las deformaciones en vigas:

€ Métodos matemáticos: Método de la doble integración o de la Ecuación de la elástica.

€ Métodos geométricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es elmétodo del Área de momentos o Teoremas de Mohr.

€ Métodos derivados de los anteriores: Método de la viga conjugada conocido en algunostextos como Método de los Pesos Elásticos.

€ Métodos energéticos: Basados en la conservación de la energía desarrollada por las fuerzasal deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).



14 7

Tipos de deformaciones



14 8



14 9

Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportados

por la viga).

Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la estética de las estructuras.



15 0

Deformaciones con concavidades contrarias.

4.1 MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

En la teoría de flexión se vió que:EI

M €

€

1

En matemáticas se tiene que:

• ‚

23

2

2

21

1

ƒ„

…

†‡

ˆ ‰

€

dx

dy

dx

yd

€



15 1

Por lo tanto:

• ‚ EI

M

dx

dy

dx

yd

€

ƒ„

…†‡

ˆ ‰23

2

2

21

pero 0Š‹ Œ

•Ž

dx

dy las pendientes en las vigas son muy peque€as

Con mayor raz•n: 02

Š‹ Œ

•Ž

dx

dy

En conclusi•n: "2

2

y EI

M

dx

yd €€ o lo que es lo mismo: M EIy €"

EI : Rigidez a la flexi•n

y€• : segunda derivada de la ecuaci•n de la viga deformada o el‚stica

M : Ecuaci•n del momento flector en el tramo de viga considerado

Si integramos esta ecuaci•n obtenemos la ecuaci•n de la pendiente yƒ:

‘ ‰€’ 1C Mdx y EI

Si integramos otra vez (doble integraci•n) obtenemos la ECUACI„N DE LA EL…STICA:

‘‘ ‰‰€ 21 C xC Mdx EIy ECUACI„N DE LA EL…STICA

Con estas ecuaci•n podemos calcular la pendiente yƒ o la deformacion y en cualquier punto de la viga.

Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependende los apoyos y las caracter†sticas de la viga y de las cargas como se ver‚ en los ejemplos.

M EIy €"



15 2

CONDICIONES INICIALES EN DIFERENTES TIPOS DE VIGAS



15 3

PRO BLEM

Calcular la deformación en el extremo libre B de la viga en voladizo:

Tal como se vió en el método de doble integración:

M EIy €"

Para poder integrar necesitamos la ecuación del momento flector M. Para encontrarla hacemosun corte a una distancia x del empotramiento A.

“ € 0 M 0€”‰ PxPL M

Ecuación del momento:

PLPx M ”€

Por lo tanto:

PLPxEIy ”€"

Integrando una vez:

1

2

2 C PLx

Px yEI ‰”€’

Integrando otra vez (doble integración):

21

23

26 C xC PLxPx

EIy ‰‰”€



15 4

Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos el

problema f€sico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se est•n impidiendo tantola deformaci‚n (y=0) como el giro (yƒ=0). Recordemos que un empotramiento por definici‚n esun apoyo que impide el giro.

Entonces:

Condiciones iniciales:

00

00

€’€

€€

y x

y x

00 €€ y x 21

23

26 C xC

PLxPxEIy ‰‰”€ por tanto: 02 €C

00 €’€ y x 1

2

2 C PLx

Px yEI ‰”€’ por tanto: 01 €C

Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:

Ecuaci‚n de la el•stica: ‹‹

Œ

•

ŽŽ

”€”€

26

1

26

2323 PLxPx

EI y

PLxPxEIy

Ecuaci‚n de la pendiente: ‹‹

Œ

•

ŽŽ

”€’”€’ PLx

Px

EI yPLx

Px yEI

2

1

2

22

C•lculo de la deformaci‚n en el extremo B:

• ‚ L B y€•

0 0 0

0 0 0 0



15 5

EI

PLPLPL

EI B 326

1 333

”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”€•

EI

PL B 3

3

”€•

Análisis de deformación

Vemos que mientras mayores sean P y L mayor será la deformación y que mientras mayor sea EI,será menor.

EI : Rigidez a la flexión. Para un material dado (E), la deformación depende del momento de lainercia.

Influencia del momento de inercia en la deformación

Influencia de la longitud de la viga L en la deformación

• ‚ L B y€•

‹‹ Œ •ŽŽ

”€

261

23

PLxPxEI

y

EI

PL B 3

3

”€•



15 6

Si duplicamos la longi tud de la viga tendremos:

| Al duplicar la longitud, ladeformación se hace 8 vecesmás grande

Cálculo de la pendiente de la viga en B:

Ecuación pendiente:

‹

‹

Œ

•

Ž

Ž

”€’ PLx

Px

EI

y

6

1 2

• ‚ L B y’€‚

|

EI

PLPL

PL

EI B 22

1 22

2

”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”€‚

EI

PL

B 3

3

”€•

• ‚EI

PL

EI

LP B 3

8

3

2 33

”€”€•



15 7

PRO BLEM

Calcular la deformación máxima en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deformaciónen el centro de la luz

3000500350 €€”€“ B B A R R M

“ €”€€ 2003005000 A y RF

En este caso la ecuación de momentos no es única para toda la viga: tiene una expresión distintaen cada uno de los 2 tramos. Veamos:

30 –– x x M 200€

53 –– x

Encontremos la ecuación de la elástica para cada tramo:

• ‚3500200 ””€ x x M

• ‚

• ‚

• ‚21

33

21

3

1

22

1

2

6

3500

6

200

6

200

2

3500

2

200

2

200

3500200"200"

5330

D x D x x

EIyC xC x

EIy

D x x

yEI C x

yEI

x xEIy xEIy

x x

‰‰”

”€‰‰€

‰”

”€’‰€’

””€€

––––

Tenemos 4 constantes.Necesitamos por tanto4 condiciones iniciales



15 8


02 €C

056

2500

6

52000 21

33

€‰‰

”

€ C D

211 55 D DC ‰€

11 DC €

De estas cuatro ecuaciones obtenemos:

70000 1122 ”€€€€ DC DC

CB AC

CB AC

y y x

y y x

’€’€

€€

3

3C es un punto común de lostramos AC y CB. Por tanto endicho punto las ordenadas y laspendientes de los 2 tramos soniguales

• ‚

• ‚

• ‚1

22

1

3

21

33

1

3

2133

1

3

2

3500

2

200

2

200

6

3500

6

200

6

200

63500

6200

6

20000

2

D x x

yEI C x

EIy y y3 x

D x D x x

EIyC xC x

EIy y y3 x

D x D x xEIy0 y5 x

C xC x

EIy y x

CB AC

CB AC

2

‰”

”€’€‰€’€’€

‰‰”

”€€‰‰€€€

‰‰””€€€

‰‰€€€



15 9

Deformaci‚n m•xima: Por observaci‚n vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem• esen dicho punto la tangente a la el•stica horizontal, es decir yƒ=0.

La ecuaci‚n de la pendiente para el tramo AC es:

1

2

2

200C

x yEI ‰€’

Por tanto:

7002

200

2

2000

2

1

2

”€‰€ xC

x

65.2€ x En este punto ocurre la deformaci‚n m•xima

• ‚EI EI

y 2.6568.1234

65.27006

65.22001 3

max ”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”

€€•

Pendientes en los apoyos A y B:

• ‚EI EI

C x

EI y 0 A

700700

2

02001

2

2001 2

1

2

”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”

€‹

‹

Œ

•

ŽŽ

‰€’€‚

• ‚• ‚ • ‚

EI EI D

x x

EI y 5 B

800700

2

35500

2

52001

2

3500

2

2001 22

1

22

”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”

””

€

‹‹

Œ

•

ŽŽ

‰

””€’€‚

Deformaci‚n en el centro de la viga:

• ‚ EI EI y 2.5centro

17.12295.27006

5.22001 3 ”€‹‹

Œ

•ŽŽ

”€€•

0 yen y €’€max•



16 0

En resumen:

PRO BLEM

Calcular la deformación máxima en la viga que tiene rigidez a la flexión EI:

“

“

€”€€

€€””€

1220338046000

338008400036000

A y

B B A

RF

R10R M



16 1

Ecuaciones del momento flector:

30 –– x x M 1220€

6 x3 –– • ‚3- x- x M 6001220€

106 –– x

• ‚ • ‚ • ‚2

66100036001220

”””””€

x x x x M

• ‚ • ‚2

6100036001220

2””””€

x x x M



16 2

Pero: M yEI €’’

30 –– x x 63 ––

xEIy 1220"€ • ‚36001220 - x- xEIy" €

C x

yEI 1

2

21220

‰€’ • ‚1

2

23600

21220

D x x

EIy2

‰”

”€

21

3

6

1220C xC

xEIy ‰‰€

• ‚21

33

6

3600

6

1220 D x D

x xEIy ‰‰

””€

C x

yEI 1

2

2

1220‰€’

• ‚ D

x x yEI 1

22

2

3600

2

1220‰

””€’

21

3

61220

C xC x

EIy ‰‰€ • ‚21

33

63600

61220

D x D x x

EIy ‰‰”

”€

106 –– x

• ‚ • ‚2

610006001220

2””€

x3- x- xEIy"

• ‚ • ‚1

322

6

61000

2

3600

2

1220E

x- x x yEI ‰

”””€’

• ‚ • ‚21

433

24

61000

6

3600

6

1220E xE

x- x xEIy ‰‰

”””€

• ‚ • ‚1

322

6

61000

2

3600

2

1220E

x x x yEI ‰

””

””€’

• ‚ • ‚21

433

24

61000

6

3600

6

1220E xE

x x xEIy ‰‰

””

””€



16 3


C xC x

EIy0 y0 x 21

3

6

1220‰‰€€€

0€

2C

• ‚ D x D

x xEIyC xC

xEIy y y3 x CD AC 21

33

21

3

6

3600

6

1220

6

1220‰‰

””€€‰‰€€€

211 33 D DC ‰€

• ‚ D

x x yEI C

x yEI y y x CD AC 1

22

1

2

2

3600

2

1220

2

12203 ‰

””€’€‰€’’€’€

1 DC 1 €

• ‚ • ‚ • ‚21

433

21

33

24

61000

6

3600

6

1220

6

3600

6

12206 E xE

x x xEIy D x D

x xEIy y y x DBCD ‰‰

””

””€€‰‰

””€€€

2121 66 E E D D ‰€‰

• ‚ • ‚ • ‚1

32222

6

61000

2

3600

2

1220

2

3600

2

12206 E

x x-

x yEI D

x x yEI y y x 1 DBCD ‰

””

”€’€‰

””€’’€’€

1E D1 €

• ‚ • ‚ • ‚ • ‚21

43321

43310

246101000

6310600

6101220

2461000

63600

6122010 E E 0E xE x x xEIy0 y x ‰‰””””€‰‰””””€€€

2110671583660 E E . ‰‰€



16 4

En últimas, tenemos: Resolviendo el sistema, las constantestienen los siguientes valores:

0€2C 0€2C

211 33 D DC ‰€ 02 € D

11 DC € 67.158361 €C

2121 66 E E D D ‰€‰ 022 €€ DE

11 E D € 67.158361 € D

211067.1583660 E E ‰‰€ 67.158361 ”€E

Cálculo de la deformación máxima

Por observación, vemos que estará ubicada en el tramo central de la viga. La condición es queall í la pendiente debe valer cero (tangente horizontal). Por tanto:


La ecuación de la pendiente para el tramo CD es:• ‚

1

22

2

3600

2

1220 D

x x yEI ‰

””€’

Por tanto:• ‚

67.158362

3600

2

12200

22

””

”€ x x

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

73.11

92.5

2

1

”€

€

x

x

La raíz 73.112 ”€ x solo tiene significado matemático. Para nosotros el valor que tiene significadofísico para la viga que estamos analizando es el de 92.51 € x . Chequeamos además que está

comprendido en el tramo 63 –– x .



16 5

Por lo tanto:

• ‚ ymaxima 92.5€• en la ecuación de y válida en dicho punto:

• ‚21

33

6

3600

6

1220 D x D

x xEIy ‰‰

””€

• ‚• ‚

EI EI

1 ymaxima

28.5405692.567.15836

6

392.5600

6

92.51220 33

92.5 ”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”

””

€€•

92528.54056

. xenEI maxima €”€•

4.1.1 FUNCIONES DE SINGULARIDAD

Observemos las ecuaciones del momento flector para la viga del problema anterior:

• ‚

• ‚ • ‚

2

6100036001220106

30

2”

”””€––

€––

€––

x x x M x

3- x600-1220x M 6 x3

1220x M x



16 6

Como se ve, cada ecuaci•n es igual a la anterior mas un t‡rmino, de tal manera que la ˆltima las‰contieneŠ a todas por as† decirlo, lo cual la convierte en la ecuaci•n representativa de la viga.

• ‚ • ‚

1062

6100036001220

2

––”

”””€ x x

x x M

• ‚ • ‚ • ‚

632

66100036001220

2

––”

””””€ x x

x x x M

• ‚ • ‚ • ‚

302

66100036001220

2

––”

””””€ x x

x x x M

Este hecho hace que podamos utilizar la ˆltima ecuaci•n como representativa de la viga con unacondici•n: que para cada tramo solo se incluyan los t‡rminos necesarios.

Esto se logra utilizando FUNCIONES DE SINGULARIDAD, que tienen una expresi•n distinta para cada tramo incluyendo los t‡rminos afectados por par‡ntesis solo cuando se necesiten.Matem‚ticamente esto se expresa escribiendo la ecuaci•n con par‡ntesis angulares los cuales s•lo seincluir‚n en la ecuaci•n cuando su valor sea positivo segˆn la siguiente convenci•n:

ECUACI„N REPRESENTATIVA DE LA VIGA:2

6100036001220

2”

”””€ x x x M

Condici•n para los par‡ntesis:• ‚

a xsia x

a xsia xa x

–€”

—”€”

0

Resolvamos el problema anterior utilizando funciones de singularidad:

Si le quitamos untérmino, se convierte enla segunda:

Si le quitamos otrotérmino, se convierte enla primera:



16 7

• ‚

• ‚ • ‚

2

6100036001220106

36001220

122030

2”

”””€––

€––

€––

x x x M x

x- x- M 6 x3

x M x

ECUACIÓN REPRESENTATIVA DE LA VIGA:2

6100036001220

2”

”””€ x x x M

Por lo tanto:

21

433

1

322

2

24

61000

6

3600

6

1220

6

61000

2

3600

2

1220

2

6100036001220

C xC x x x

EIy

C x x x

yEI

x x x yEI

‰‰”

””

”€

‰”

””

”€’

””””€’’

Como vemos, el problema se simplifica pues sólo tenemos 3 ecuaciones y 2 constantes: C1 y C2En consecuencia sólo necesitamos 2 condiciones iniciales.


024

61000

6

3600

6

12200 21

433

€‰‰”

””

”€€€ 2C C xC x x x

EIy0 y x

= 0 p u e s

x < 3

= 0 p u e s

x < 6



16 8

Cálculo de la deformación máxima en la viga:


La ecuación de la pendiente para el tramo CD es:

Por tanto:

• ‚92567.15836

2

3600

2

12200

22

. x x x

€””

”€

Por lo tanto: • ‚92.5 y‚maxima €

• ‚ • ‚ EI EI

y‚maxima 28.5405692.567.158366

392.56006

92.512201 3392.5 ”€

‹‹

Œ •

ŽŽ ”””€€

= ( x - 3 ) p

u e s x

> 3

C xC x x x

EIy0 y x 21

433

24

61000

6

3600

6

122010 ‰‰

””

””€€€

= ( x - 6 ) p

u e s x

> 6

• ‚ • ‚.-C C EIy 6715863010

24

6101000

6

310600

6

10122021

433

€‰‰”

””

”

€

= ( x - 3 ) p

u e s x

> 3

= 0 p u e s

x < 6

C x x x

y EI 1

322

6

61000

2

3600

2

1220‰

””

””€’

= ( 5

. 9 2 - 3 )

p u e s

x > 3

= 0 p u e s

x < 6

21

433

24

61000

6

3600

6

1220C xC

x x x EIy ‰‰

””

””€

= 0



16 9

5.92 xen EI

‚maxima €”€28.54056

Obviamente, el resultado es igual al obtenido sin emplear funciones de singularidad.

Caso especial

Cuando la carga distribuida no se extiende hasta el extremo derecho de la viga, se rompe lasecuencia entre las ecuaciones de los 2 últimos tramos de tal manera que la última ecuación no contienea la penúltima y por tanto no puede ser adoptada como ecuación representativa de la viga. Veamos lasituación y el artificio que se emplea para resolverla.

“

“

€”€€

€€”€

7.23.360

3.305.560

A y

B B A

R F

KN R10R M

x. M 72€



17 0

• ‚5.5672 ””€ x x. M

74 –– x

Como se ve, la tercera ecuación no se convierte en la segunda al quitarle el último término:

• ‚5.5672 ””€ x x. M

Para obligar a que esto ocurra se aplica el siguiente artificio que hace cambiar la forma de latercera ecuación de tal manera que ocurra lo requerido.

Se agregan simultáneamente las dos cargas distribuidas mostradas que al ser iguales de sentidocontrario se anulan no afectando por tanto ni las reacciones ni las fuerzas internas de la viga original.

• ‚2

4272

2””€

x x. M

107 –– x



17 1

La viga que estamos analizando queda por lo tanto así:

Tal como se expresó en la página anterior, las reacciones no cambian: KN R. R B A 3.372 €€

Los dos primeros cortes de la viga también quedan idénticos:

30 –– x

x. M 72€

74 –– x

• ‚2

4272

2””€

x x. M

En el tercer corte, cambia la expresión del momento adoptando la forma que necesitamos:

107 –– x

• ‚ • ‚2

72

2

4272

22 ”‰

””€

x x x. M



17 2

La adoptamos entonces como ecuación representativa de la viga, con los paréntesis angulares previamente definidos:

ECUACIÓN REPRESENTATIVA DE LA VIGA:2

72

2

4272

22”

‰”

”€ x x

x. M

Esta ecuación la igualamos a EIy•• :2

72

2

4272

22”

‰”

”€’’ x x

x. y EI

y resolvemos el problema utilizando funciones de singularidad con todas las ventajas que se hananotado.

4.2 MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS (TEOREMAS DE MOHR)

Como su nombre lo indica, el método utiliza los diagramas de momento flector de las vigasRecordemos los diagramas correspondientes a alguna vigas típicas:



17 3

En 2 dimensiones los diagramas se ven así:

El método se basa en 2 teoremas:

El primer teorema (de Mohr) relaciona el cambio de pendiente a lo largo de la viga con el área deldiagrama de momentos entre los puntos considerados.

El teorema dice que la diferencia de pendiente entre dos puntos (por ejemplo C y D) es igual alárea de momentos entre dichos puntos dividida por la rigidez a la flexión EI.



17 4

El teorema establece que:

El segundo teorema (de Mohr) establece que la distancia vertical desde un punto de la elásticahasta la tangente trazada por otro es igual al momento estático del área entre dichos puntos respecto al primero.

El teorema establece que:

A xC

D €ƒ

€” C D ‚ ‚

Ddesde Medida x :

Área del diagrama de M/EIentre los puntos C y D



17 5

Demostración del Primer Teorema de Mohr

El teorema dice que la diferencia de pendiente entre dos puntos (por ejemplo C y D) es igual alárea de momentos entre dichos puntos dividida por la rigidez a la flexión EI.

Diferencia de pendiente entre dos puntos separados ‚ d dx :

La pendiente ˜ en una viga por ser tan pequeña es igual a la derivada:

‚ €dx

dy Por tanto:2

2

dx

yd

dx

d €

‚ Pero:EI

M

dx

yd €

2

2

Por lo cual:EI

M

dx

d €

‚ y dAdx

EI

M d €€‚



17 6

‘ ‘‘ €€ D

C

D

C

D

C

x

x

x

x

x

x

dAdxEI

M d ‚ ÁreaC D €”‚ ‚

C D ‚ ‚ ” =

lo que se quería demostrar.

Demostración del Segundo Teorema de Mohr

El segundo teorema (de Mohr) establece que la distancia vertical desde un punto de la elásticahasta la tangente trazada por otro es igual al momento estático del área entre dichos puntos respecto al primero.

‚ ƒ xd d €

‘‘ ‘‘ €€€ D

C

D

C

D

C

D

C

x

x

x

x

x

x

x

x

xdAdxEI

M x xd d ‚ ƒ

Pero:C

D

D

C

x

x

d ƒƒ €‘ y A x xd D

C

x

x

€‘ ƒ puesto que

‘‘

€dA

xdA x

Por tanto: A xC

D €ƒ lo que se quería demostrar



17 7

Ddesde Medida x :

La utilidad de los 2 teoremas estriba en lo siguiente:

€ Primer teorema: Sirve para calcular la pendiente en cualquier punto de la viga cuando seconoce la pendiente en otro punto y el diagrama de momentos.

€ Segundo teorema: Conocido el valor de la distancia ™, mediante la aplicación de algunasrelaciones de tipo geométrico y trigonométrico pueden calcularse las deformaciones š en laviga.

El segundo teorema es especialmente útil para calcular deformaciones de vigas en voladizoaprovechando el hecho de que la tangente a la elástica en el empotramiento es horizontal como veremosen los ejemplos.

PRO BLEM

Calcular la deformación y la pendiente en el extremo libre del voladizo, B

El método es especialmente útil envigas en voladizo porque al ser latangente horizontal en el origen,

la deformación š es igual a ladistancia D



17 8

Para calcular la deformación aplicamos el segundo teorema: A x A

B €ƒ

Para calcular la pendiente en B aplicamos el primer teorema:

€€” A A B ‚ ‚ EI

PL

EI

PL L A

22

2

”€

€

0€ A‚

EI

PL B 2

02

”€”‚ EI

PL B 2

2

”€‚

En resumen:

EI

PL

EI

PL L A x

A B

323

2 32

”€‹‹

Œ

•

ŽŽ

”€€ƒ

EI

PL B 3

3

”€• 3

2 L x €

(En el empotramientono hay giro, portanto la tangente eshorizontal)

EI PL

B 22”€‚

EI

PL B 3

3

”€•



17 9

PRO BLEM

Calcular la deformación en B y la pendiente en C Rigidez a la flexión: EI

Cálculo de la deformación en B:

Con el fin de facilitar el cálculo de las áreas y los centros de gravedad aplicamos el PRINCIPIODE SUPERPOSICIÓN mediante el cual podemos decir que la viga original es igual a la suma delas dos siguientes vigas:

21 B B B • • • ‰€

5.21243

€‹ Œ

•Ž

‰€ x

2332

€€ x

EI EI A

32000

21000

31

”€‹ Œ

•Ž

”€

EI EI A

3900

3600

21

”€‹ Œ

•Ž

”€



18 0

EI

. B

673466”€š

Cálculo de la pendiente en C

• ‚EI EI

A x A

B B 3

5000

3

20005.21 ”€‹

Œ

•Ž

”€€€ ƒ• • ‚

EI EI A x

A B B

180090022 ”€‹

Œ

•Ž

”€€€ ƒ•

€€” A AC ‚ ‚ 1

EI EI A

32000

21000

31

”€‹ Œ

•Ž

”€

EI

1000”

EI C 3

20001 ”€‚

EI EI B1800

3

5000””€š

21 C C C ‚ ‚ ‚ ‰€



18 2

En la viga se observa que: B

C BC ƒ‚ • ‰€ 3

Por tanto debemos calcular ‚ B yƒC/B

Por tanto: EI EI

B B

A 5400

66

32400

”€

”

€€

ƒ

‚

Cálculo de ™C/B

B B

B A

‚

ƒ

‚ €€ 6tan

EI EI A

81006

270021

”€‹ Œ

•Ž

”€

463

2€€ x

EI

2700”

EI EI A x

B A

3240081004 ”€‹

Œ

•Ž

”€€ƒ



18 3

Finalmente, calculamos la deformación en C recordando que: B

C BC ƒ‚ • ‰€ 3

EI EI C 81005400

3 ‰‹ Œ

•Ž

€•

EI C 24300

€•

Resolver con fines comparativos el siguiente problema que ya fue solucionado con el método de

la doble integración:

• ‚EI

A EI 40502

32700

”€”

€

2332

€€ x

EI EI A x

BC

810040502 ”€‹

Œ

•Ž

”€€ƒ

Los valores de ˜B y ™C/B los tomamos positivos porque setrata de sumar dos distancias como se ve en la figura)

“

“

€”€€

€€”€

2003005000

300050030

A y

B B A

RF

R5R M



18 4

Según la convención que hemos manejado:EI A700

”€‚

Ahora: €€” A A B ‚ ‚

EI EI B

1500700€‹

Œ

•Ž

””‚

Cálculo de la deformación máxima

La clave es encontrar el punto D donde ocurre, en el cual la pendiente˜

D es cero (pendientehorizontal).

5

A B

A

ƒ‚ €

2211 A x A x A x

A B ‰€€ƒ

EI EI EI A B

35009003

600

3

4€‰€ƒ

EI A EI 600

2

2 600

1 €

€EI A EI 9002

3 60 0

2 €

€

3

42

3

21 €€ x

333

122 €‰€ x

EI EI

A700

5

3500

€€‚

EI EI EI A

1500600900€‰€

EI B800

€‚



18 5

Como:

Cálculo de la distancia x a la cual ocurre la deformación máxima

Primer teorema: A A D €”‚ ‚

EI

x x A EI

x

2

200

2

2200

2 €

€

(Distancia a la cual ocurre la deformación máxima)

• ‚ x M

R

x

A

200

200

€

€

65.2

100700

2

2007000

2

2

€

€

€‹

Œ

•Ž

””

x

x

EI

x

EI

A D Amax . ƒ”˜€š 652



18 6

La diferencia se debe a las aproximaciones

Otra forma

Aprovechándonos de que ya sabemos que en D la tangente es horizontal , tenemos:

88.03

65.21 €€ x

EI

265200

EI A EI 25.702

2

65.2 65.2200

€

€

EI EI

A x A

D

98.61725.70288.0 €€€ƒ

EI EI

98.61770065.2max ”‹

Œ

•Ž

€•

EI

02.1237max €•

65.23

2

EI

65.2200 EI EI

A x D

A

64.124025.70265.2

3

2€€€ƒ

EI 64.1240

max €•

EI A EI 25.702

2

65.2 65.2200

€

€

D Amax ƒ€š



18 7

PRO BLEM

Calcular la deformación máxima y la pendiente en los apoyos A y B de la viga:

Calculo de las pendientes:

EI

L

EI

M

8

2max „

€

Por simetría la deformaciónmáxima se presenta en el puntomedio de la viga C.

Por lo tanto:

D Aƒ• €max

A xC

A €ƒ

EI

L

EI

L LC

A384

5

2416

5 43„ „

ƒ €€

EI L

82„

EI L

3845 4

max„ • €

EI

L A 24

03„

‚ €”

A AC €”‚ ‚

EI

L A

24

3„

‚ ”€

EI

L B 24

3„

‚ €

16

5

28

5 L L x €€

EI

L

EI

L L A

24823

2 22„ „

€€



18 8

Por simetría: B A ‚ ‚ €

En resumen:

4.3 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

Se basa en las relaciones que existen entre la fuerza distribuida, la fuerza cortante y el momentoflector estudiadas en el curso de Mecánica y las existentes entre la curvatura, el momento flector, larigidez a la flexión, la pendiente, y la ecuación de la elástica estudiadas en este curso de Resistencia deMateriales.

Recordemos las relaciones estudiadas en mecánica entre , V y M:

„ ”€dx

dv

vdx

dM €

EI

L A 24

3„ ‚ ”€

EI

L

384

5 4

max„

• € EI

L B 24

3„ ‚ €



18 9

Y la relación estudiada en este curso:

EI

M

dx

yd €

2

2

Observando estas relaciones se ingenió un artificio mediante el cual se dibuja una viga imaginaria(VIGA CONJUGADA), apoyada y cargada de tal manera que satisfaciéndose estas relaciones secumplan las siguientes condiciones:

Deformación en la viga real y = Momento flector en la viga conjugada M

Pendiente en la viga real y' = Fuerza cortante en la viga conjugada

La idea es por tanto que una vez dibujada la VIGA CONJUGADA baste calcular en ella la fuerzacortante V y el momento flector M en cualquier punto cuyos valores corresponderán a los de la pendiente y la deformación de la viga real en los susodichos puntos.

Con el fin de dibujar la viga conjugada miremos primero que carga deberá aplicarse a la misma yluego que apoyos deberán ponérsele.

Antes de hacerlo, recordemos los tipos de apoyo mas comunes en las vigas y los valores de lafuerza cortante y del momento flector en los mismos.

TIPOS DE APOYOS EN VIGAS Y VALORES CORRESPONDIENTES DE PENDIENTE,DEFORMACIÓN, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN LOS MISMOS



19 0



19 1

TIPOS DE APOYOS EN VIGAS Y VALORES CORRESPONDIENTES DE PENDIENTE,DEFORMACIÓN, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN LOS MISMOS



19 2

De las relaciones mostradas se infiere que la relación entre los apoyos de la viga real y la viga



19 3

conjugada debe ser la siguiente:

Ejemplos de vigas conjugadas



19 4



19 5

PRO BLEM

Calcular la deformación y la pendiente en el extremo libre del voladizo, B

La viga conjugada es:

Por lo tanto:EI

PL

EI

PL B B 23

23

”€”€ ‚ •

En resumen:

conjugadaviga Brealviga B M ”””” €•

conjugadaviga Brealviga B V ”””” €‚

EI

PL LF EI

PL

R 22

2

€

€

3

2 L x €

Bconjugadaviga B M M €””

Bconjugadaviga B RV €””

EI

PL L

EI

PL

M

M

EI

PL R

F

B

B

B

y

33

2

2

0

2

0

32

2

€€

€

€

€

“

“

EI

PL B 3

3

”€•

EI

PL B 2

2

”€‚



19 6

PRO BLEM

Calcular la pendiente en B y la deformación en C

Dibujemos la viga conjugada:

Calculemos el momento en el empotramiento C en la viga conjugada:

›€

”€”€

€

œ€

€”

€

“

“

450

4501350900

0

1350

090096

0

A

A

y

B

B

A

R

R

F

N R

R

M

conjugadavigaC realvigaC M ”””” €•

C conjugadavigaC M C ntoempotramieelen Momento M €€””

EI F EI

2

8100

2

6 2700

1 €

€EI

F EI 4050

2

3 2700

2 €

€



19 7

4.4 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ENERGÍA

Como se dijo al principio del capítulo, aparte de los métodos matemáticos y geométricos estudiadosaquí, existen otros métodos que se estudiarán en detalle en el curso de Ingeniería Estructural I que se basan en el principio de conservación de la energía denominados por tanto, métodos de energía.

Recordemos lo visto en el primer capítulo según lo cual cuando se aplica una carga axial graduala una barra dicha carga efectúa un trabajo externo que debe ser igual al trabajo interno de deformación

que se acumula en el interior de la barra y que es el que permite que la barra recupere su forma inicialuna vez retirada la carga siempre que estemos en el rango elástico lineal.

En el capítulo mencionado veíamos que para la barra de la figura el trabajo externo realizado por la fuerza es igual a la energía acumulada en el interior de la barra.

internaexterno U W €

EI

R R

EI

- M B B A5400

068100

40 €€‰€“EI EI EI

M M C C

243002

40503

54000 €‰€€

“

EI RV Bconjugadaviga B B

5400€€€ ””‚

EI M M Bconjugadaviga B B

24300€€€ ””•

EI C 24300

€•



19 8

Recordemos además que el trabajo externo realizado por la fuerza es igual al área bajo lacurva P- š:

Área bajo la recta=2

• P

Y encontramos que para fuerzas axiales la energía interna de deformación es:

Energía interna de deformación = L

AE

AE

LP

22

22•

€

De manera similar en el caso de flexión se tiene que un momento M al producir un giro d ‚ en uncuerpo efectúa un trabajo que es igual a Md ‚ .

Por lo tanto el trabajo total será:

‘€ ‚

‚ 0 Md W

Y como el momento se aplica gradualmente, se tendrá que similarmente al caso axial en el cual

encontramos que 2

• P

W € , en esta situación:

2

‚ M W €



20 0

Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos • ‚max y … † max y la

deformación máxima max• .

Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisibles para que la vigasea segura y funcional como se ha visto.

Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos).

En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas:

a) Cambiar el material (por uno mas resistente o mas rígido según el caso).

b) Aumentar la sección transversal de la viga incrementando su resistencia y su rigidez, sincambiar el material.

Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones por problemasde disponibilidad de otros materiales o por requerimientos arquitectónicos que no hacen posible cambiar las dimensiones.

En estas condiciones la única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez serácolocar un apoyo adicional intermedio C.

Estáticamente indeterminada

†††

††

‡

ˆ

y

y

y

x

C B

A

A

M

F

F

A

y

x

†††

†

‡

ˆ

€

€

€

““

“

0

0

0

Ecuaciones deequilibrio: 3 Reacciones(incógnitas): 4



20 1

Al poner el apoyo en C se mejoran las condiciones de rigidez y resistencia de la viga:

Más RIGIDEZ (menos deformaciones) y más RESISTENCIA (más seguridad)

Lo que se gana en rigidez y en resistencia logicamente debe ‰pagarseŠ con la obtenci•n deecuaciones adicionales a partir de las deformaciones que levanten la indeterminaci•n.

El nuevo apoyo (que podemos llamar ‰redundanteŠ), garantiza adem‚s una seguridad extra a laviga puesto que provee a la viga con la posibilidad de mantenerse estable en caso de falla de uno de losapoyos.

Volvamos a considerar la viga original con solamente 2 apoyos:

Veamos que sucede si se produce una falla y desaparece el apoyo B:

Observemos que si el apoyo C est‚ presente, ‡ste ‰acude en auxilioŠ de la viga para garantizar su estabilidad. Puede ser que la viga sufra deformaciones y grietas excesivas pero el apoyo redundanteevita su colapso.

E s o b v i o q ue l a v i g a p i e r d e su e st ab i l i d ad



20 2

Esta es pues, otra de las ventajas de las vigas estáticamente indeterminadas: los apoyos redundantesgarantizan la estabilidad en caso de fallas.En general, mientras mas apoyos redundantes tenga una vigao una estructura, mas segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación y por consiguiente el análisis será mas largo, puesto que involucrará mas ecuaciones.

Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resulve la indeterminación:

Volvamos a la situación de indeterminación estática:

Estáticamente indeterminada

Para resolver el problema empleamos un artificio muy utilizado en ingeniería estructural : Quitamosel apoyo redundante y dejamos que la viga se deforme, luego lo volvemos a poner a actuar revirtiendola deformación que obviamente será igual a la primera. Para el análisis empleamos el principio desuperposición asi:

Como en la situación original hay un apoyo en C, allí la deformación será cero. Por este motivo:

No sobra terminar diciendo que šC1 y šC2 se obtienen con cualquiera de los métodos vistos paracalcular deformaciones: El de la doble integración, el del área de momentos o el de la viga conjugada.

††

†††

‡

ˆ

y

y

y

x

C

B

A

A

M

F

F

A

y

x

††

††

‡

ˆ

€

€

€

“““

0

0

0

Ecuaciones de

equilibrio: 3

Reacciones

(incógnitas): 4

Esta es la ecuación que levantala indeterminación y nos

permite resolver el problema21 C C • • €

Se quita el apoyo redundante Cpermit iendo que la viga sedeforme por efecto de las doscargas una cantidad igual a šC1

Se restituye el apoyo C (o loque es lo mismo, la reacciónCy) y se deja que produzca ladeformacion contraria šC2



20 3

PRO BLEM

Calcular las reacciones en los apoyos y hacer los diagramas de fuerza cortante y momentoflector de la viga

Debemos obtener una ecuación adicional basada en la compatibilidad de deformaciones: como enB hay un apoyo,entonces la deformación allí es igual a cero

0€ B•

Aplicando el principio de superposición y considerando la reacción en B como redundante, tenemos:

2 ecuaciones ESTÁTICAMENTE

3 incógnitas INDETERMINADOƒƒƒƒ

„

…

€‰€

€”‰€

“

“

- R RF

R M M

B AY

B A A

0150

05.11550

25.434

32 €‰€ x

EI A EI 5.22

3

3 5.22

”€”

€

A x A

B B €€ ƒ• 1

EI EI B

625.955.2225.41 ”€‹

Œ

•Ž

”€•

310

532

€€ x

EI A EI

R B

5.122

5 5

€

€

A x A

B B €€ƒ• 2

EI

R

EI

R B B B

666.415.123

102 €‹

Œ

•Ž

€•



20 4

Como:EI

R

EI

. B B B1 B

666.41625910 2 €€€ • • •

Por tanto:

mKN M KN RKN R A A B €”€€”€€ 5.112.255.1158.1220.21520.2

Con estos valores, construimos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:

Resolver el problema utilizando el método de la doble integración:

Esta es la 3a

ecuación que levantala indeterminación

• ‚

56.2

8.124.382.2

2.2

3

8.12

€

”€

”€

a

aa

aa

02.2240.4

40.4

2

2.244.088.4

88.42

8.1256.25.11)max(

€”€

€

”€

€

‰”€‰

B

C

M

M

M



20 5

Como la carga no llega hasta el extremo derecho de la viga empleamos el artificio ya visto cuandoestudiamos funciones de singularidad:

Ecuación representativa de la viga:2

35

2

522 ”

‰””€ x x

M x R M A A

Aplicamos el método de la doble integración:

2

35

2

522 ”

‰””€€’’ x x

M x R M yEI A A

1

332

635

65

2 C

x x x M

x R yEI A

A ‰”

‰””€’

21

4423

24

35

24

5

26 C xC

x x x M x REIy A A ‰‰

”‰””€


00 00€€’€

€€€

1

2C 0 y xC 0 y x

2 ecuaciones ESTÁTICAMENTE

3 incógnitas INDETERMINADOƒƒƒƒ

„

…

€‰€

€”‰€

“

“

- R RF

R M M

B AY

B A A

0150

05.11550

53 –– x



20 6

Ahora obtenemos la tercera ecuación que levanta la indeterminación:

875.1265.12833.20

24

25

24

55

2

5

6

55

4423

””€

‰

‰

”

€€€

A A

A A

M R0

M R00 y x

Con esta y con las condiciones de equilibrio obtenemos la siguiente solución del sistema:

2.2

7.12

0.11

€

€

€

B

A

A

R

R

M

las cuales son sensiblemente las mismas obtenidas por superposición


Calcular las deformaciones solicitadas en cada caso. En todos los problemas utilizar rigidez a laflexión EI.

?? €€ BC • ‚ MÉTODO DEL ÁREA DE MO MENTOS

?? €€ DC • ‚ MÉTOD O DE LA VIGA CON JUGADA

?? €€ DC • ‚ MÉTODO DE LA DOBLE IN TEGRACIÓ N



20 7

C A PÍTU LO

ESFU E RZO S C O M BIN A D O S

METRO DE MIAMI (ESTADOS UNIDOS) 2005

Hasta ahora se han estudiado elementos estructurales sometidos a un solo tipo de esfuerzo:axiales, cortantes, o producidos por fuerzas transversales (flexión).

Recordemos:

€ Cuando un elemento está sometido solamente a FUERZAS AXIALES (a lo largo de su ejelongitudinal) en su sección transversal se producen esfuerzos normales.

A

P€€

Es el caso de las siguientes situaciones:



20 8

Elementos estructurales sometidos a fuerzas axiales

€ Hemos visto también el caso de elementos sometidos únicamente a FUERZASTRANSVERSALES (perpendiculares a su eje longitudinal), caso en el cual quedan sometidosa FLEXIÓN y cuyas secciones transversales quedan sujetas a esfuerzos normales.

I

M C €€

Recordemos algunos casos:



20 9

Elementos estructurales sometidos a fuerzas transversales

Flexo-tensión y flexo-compresión

Sin embargo, en las situaciones mas generales en las estructuras los miembros quedan sometidos

SIMULTÁNEAMENTE a fuerzas AXIALES y TRANSVERSALES debido tanto a la forma deaplicación de las cargas como a la manera como se construyen dichas estructuras.

Veamos los siguientes casos:



21 0

CONSTRUCCIÓN METÁLICA, NUEVA YORK, 2005



21 1

Superposición de esfuerzos

Al poner los cables inclinados para levantar la viga, se generan componentes horizontales de latensión que generan esfuerzos axiales y componentes verticales que generan flexión.

Aplicando el principio de superposición, el efecto total es igual a la suma de los efectos de lasfuerzas axiales mas el efecto de las transversales:

Al aplicar al carga excéntricamente también se generan esfuerzos combinados.

La fuerza puede trasladarse al

centro agregando el momentoque produce



21 2

Por superposición, el efecto final es igual a la suma de los individuales:

Por superposición:



21 3

De la misma forma que hemos aplicado el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN a las fuerzas, podemos hacerlo a los esfuerzos producidos (siempre que se encuentren dentro del rango elásticolineal, como es el caso de este curso).



21 4

CONSTRUCCIÓN METÁLICA EN NUEVA YORK (EE.UU.) 2005

Recordemos que en general los esfuerzos normales producidos por fuerzas axiales son:

A

P•€€

Mientras que los esfuerzos normales producidos en flexión son:

I

M C •€€

Por lo tanto, cuando se hace la superposición de esfuerzos el esfuerzo resultante en general será:

I

M

A

P C ••€€

Veamos el siguiente ejemplo:



21 5

Esfuerzos axiales producidos en la sección B (empotramiento):

Esfuerzos producidos por flexión en la sección B (empotramiento):

Ahora superponemos los esfuerzos para obtener el esfuerzo resultante en la sección estudiada:

A

PSen• € ‚€

I

M C ƒ€€

I

M C ƒ€€

A

PSen• € ‚€

A

PSen• € ‚€

I

M C ‚€€

A

PSen• € ‚€

I

M C ‚€€



21 6

Esfuerzo resultante en la sección B:

PRO BLEM

Calcular los esfuerzos normales en los puntos a, b y d

Trasladamos la fuerza agregando el momento correspondiente:

A

PSen

I

M C •

€ ‚ƒ€

I

M

A

PSen C ‚‚€

•

€

El eje neutro se desplaza hacia arriba



21 7

Esfuerzo normal en el punto A:

KPaKPaKPaaTOTAL 67.2167225033.83 ‚€‚ƒ€€

KPam

KN AP z 33.83

3.02.05 2

€

„

ƒ€€€ KPa I

M C a 2250

00045.015.075.6 ‚€„‚€€€

mc 15.02

3.0€€

43

00045.012

3.02.0m I €

„€



21 8

Esfuerzo normal en el punto b :

KPaKPaKPabTOTAL 33.2333225033.83 €ƒƒ€€

Esfuerzo normal en el punto d:

KPam

KN

A

Pb 33.83

3.02.0

52 €

„

€€€

KPa I

M C b 2250

00045.015.075.6

€„

ƒ€€€

mc 15.02

3.0€€

4300045.0

123.02.0

m I €„

€



21 9

KPaKPadTOTAL 33.83033.83 €ƒƒ€€

En el problema anterior vemos que la distribución de esfuerzos por flexión es idéntica para lostres puntos a, b y d. Esto sucede porque el momento de 6.75 KNxm es constante a lo largo de toda la barra. Veamos que sucede cuando esto no es así en el siguiente problema.

PRO BLEM

Calcular los esfuerzos en los puntos d y e

mc 15.02

3.0€€

43

00045.012

3.02.0m I €

„

€

KPam

KN

A

Pd 33.83

3.02.0

52 €

„

ƒ€€€

mc 15.02

3.0€€

43

00045.012

3.02.0m I €

„€

000045.0

075.6€

„ƒ€€

I

M C d €



22 0

Separemos los efectos axiales y de flexión:

Esfuerzo en el punto d:

KPaKPaKPadTOTAL 17.107210017.72 ‚€‚‚€€

KPam

KN

A

Pd 12.72

3.02.033.4

‚€„

‚€€€

KPa I

M C d 1000

00045.015.03

‚€„

‚€€€



22 1

Esfuerzo en el punto e:

KPaKPaKPaeTOTAL 50.159467.166617.72 ƒ€ƒ‚€€

KPam

KN APe 12.723.02.0 33.4 ‚€

„‚€€€

KPa I

M C d 66.1666

00045.0

15.05ƒ€

„ƒ€€€



22 2

PRO BLEM

Calcular los esfuerzos en los puntos a, b, d y e de la columna de la figura:

Trasladamos la fuerza al eje de la columna, agregando los momentos correspondientes:



22 3



22 5

Esfuerzos debidos al momento de 5KNxm en los puntos a, b, d y e:

Finalmente calculamos por superposición los esfuerzos normales totales en los puntos a, b, d y e:

KPaa 64.194538.266696.296222.2222 ‚€‚ƒ€€

KPab 56.785138.266696.296222.2222 ‚€‚‚€€

KPad 12.340738.266696.296222.2222 €ƒƒ€€

KPae 8.251838.266696.296222.2222 ‚€ƒ‚€€

KPam

mmKN

I

M C ba 38.2666

10344.2

125.0544 ‚€

„

„„‚€‚€€

‚€ €

KPam

mmKN

I

M C ed 38.2666

10344.2

125.0544 €

„

„„€€€

‚€ €



22 6


Calcular el Esfuerzo Normal en el punto b Calcular el Esfuerzo Normal en el punto E

Calcular el Esfuerzo Normal en el punto n

Calcular el Esfuerzo Normal en el punto m y n



22 7

C APÍTULO

C O LU M N A S

PUENTE PEATONAL, BOGOTÁ, 2005

6.1 FENÓMENO DEL PANDEO O INESTABILIDAD LATERAL

En este capítulo vamos a estudiar un concepto que nada tiene que ver con el enfoque con el cualse ha examinado la resistencia de los elementos estructurales hasta ahora.

Veamos:

En los anteriores capítulos se han calculado los ESFUERZOS ACTUANTES en los elementoscon el fin de compararlos con los ESFUERZOS ADMISIBLES debiendo garantizar que los primerossean menores que los segundos para preservar la seguridad de las estructuras.

O sea: ADMISIBLE ACTUANTE € € €



22 8

La fallaseguramentese producirácuandolos esfuerzosactuantessuperen losesfuerzosresistentes delmaterial

A medida que se incrementa la longitudde las barras empieza a aumentar laposibilidad de que falle por inestabilidadlateral o pandeo sin importar qué tan

resistente sea el materialAl seguir

incrementando lalongitud la barra

llega a hacerse tanesbelta que fallapor pandeo sin

importar quétan resistente sea

Sin embargo cuando los elementos sometidos a compresión tienen ciertas característicasgeométricas y de rigidez pueden fallar de una manera que nada tiene que ver con su resistencia.

Por muy resistentes que sean, pueden llegar a fallar por un fenómeno que no hemos analizadohasta el momento: la INESTABILIDAD

Veamos:

Inestabilidad de elementos sometidos a compresión

Examinemos la forma en que fallan las barras de la figura sometidas a compresión, manteniendosu sección transversal constante y variando su longitud:

Entre la inestabilidad y la estabilidad existe un punto que se llama equilibrio crítico en el cual lainestabilidad está a punto de producirse en el caso de que se presente un pequeño desplazamiento oincremento de la carga.

Recordemos un ejemplo clásico de los cursos de Física que nos aclara los conceptos de estabilidade inestabilidad:



22 9

Con una barra articulada sostenida por un tornillo tambi€n puede ilustrarse el concepto de estabilidad,

inestabilidad y equilibrio neutro.

ESTABLE : Si se desv•a un poco de su posici‚nƒ

ESTABLE

Ante un pequeño despla-zamiento horizontal segeneran fuerzas restaura-doras que devuelven elcilindro a su posición deequilibrio inicial.

NEUTRO

Ante un pequeño des-plazamiento el cilindropuede permanecer enequilibrio en cualquierposición sobre el plano

INESTABLE

Ante un pequeño despla-zamiento horizontal se generanfuerzas desestabilizadoras quealejan el cilindro cada vez masde su posición de equilibrioinicial



23 0

ƒ..se generan fuerzas que restauran el equilibrio

NEUTRO : Si se desv•a un poco de su posici‚nƒ



23 1

ƒ...permanece en la nueva posici‚n, cualquiera que ella sea

INESTABLE: Al desviarse un poco de su posici‚n de equilibrioƒ



23 2

...se generan fuerzas desestabilizadoras que la alejan cada vez mas de su posición de equilibrio inicial.

Volvamos a nuestro problema de la barra pandeada:

Al incrementar gradualmente la carga, llega un momento en que la barra queda en equilibriocrítico: si se retira la carga, vuelve a su posición original. Si se incrementa, se produce la inestabilidady por consiguiente la falla.

Al valor de la carga en ese punto se le denomina: CARGA CRÍTICA.

6.2 CARGA CRÍTICA

Vuelve a su estado indeformado(siempre que esté en el rango elástico) Está en equilibrio crítico Se vuelve inestable y falla



23 3

6.3 TEORÍA DE EULER

6.3.1 Cálculo del valor de la carga crítica

La carga crítica fue calculada por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), por lo cual escomún denominarla como la Carga Crítica de Euler.

Cálculo de la carga crítica de Euler

Busquemos la ecuación de la elástica para obtener de la misma el valor de la carga crítica

Según lo visto en el método de la doble integración: M y EI •‚‚

Calculemos el momento flector haciendo un corte a una distancia z desde el origen:

Por tanto:

ƒ • 0 M

0•„ yP M critica

0•„•‚‚

…•‚‚

…•

yP y EI

yP y EI

yP M

critica

critica

critica

Ecuación diferencialde segundo orden



23 4

Para poder calcular P crítica debe resolverse la ecuación: 0•„‚‚ y P y EI critica

Por tanto: 0•„‚‚ y EI

P y critica

Como se ha visto en los cursos de matemáticas la ecuación es de la forma:

02 •„‚‚ y y • siendo EI

P € critica•2

La solución de la ecuación es: z BSen z ACos y • • „•

Las constantes A y B deben determinarse a partir de las condiciones iniciales que en

este caso son:

†‡

ˆ

•

•

†‡

ˆ

•

•

0

0

0

y

L z

y

z

Si y

z †‡

ˆ

•

•

0

0 por tanto: 0 A A BSen ACos ••„• 000

Si †‡

ˆ

•

•

0 y

L z por tanto: L BSen0 • •

Posibilidades: Que: B = 0 en este caso la solución de la ecuación sería: y = 0 lo cual es absurdo pues implicaría que la barra está recta (no pandeada) lo cual no es nuestro caso.

Por tanto, si 0‰ B necesariamente 0 LSen ••

En conclusión: ECUACIÓN DE LA BARRA PANDEADA 0 LSen:Y z BSen y •• • •



23 5

En la página anterior concluimos que: z BSen y • • y que 0 LSen ••

Recordemos que: EI

P critica2 •• Por tanto, para poder calcular critica P debemos hallar Š

Sabemos que: 0 LSen ••

En el círculo trigonométrico vemos que:

Por lo cual: ‹•• € , , , , ,nn L 43210‚ •

EI

P

L

• n€ critica••

2

222

Y obtenemos el valor de critica P :

2

22

L

EI • n P critica •

z BSen y • • ECUACIÓN DE LABARRA PANDEADA

(tiene forma sinusoidal)



23 6

La pregunta ahora es: qué valor de n adoptamos como ingenieros?

Es claro que matemáticamente n puede tener cualquier valor entero entre cero e infinito. Sinembargo como ingenieros debemos hacer el siguiente análisis teniendo en cuenta el problema fisicoque estamos estudiando (una barra sometida a una fuerza de compresión y a punto de fallar por pandeo):

Si adoptamos el valor n = 0 tendríamos que 0•criticaP (esto equivaldría a aceptar que aninguna barra o columna se le pueden aplicar cargas lo cual es absurdo).

Si adoptamos un valor mayor que 1 cada vez tendríamos un valor mas grande de la carga afectandoel factor de seguridad de la columna, y además en últimas, cuál valor adoptaríamos: 5??? 123456???

Por lo anterior, desde el punto de vista práctico, además de otras razones matemáticas que veremosa continuación, el valor adoptado para n es 1.

Las razones matemáticas tienen que ver con el hecho de que los diferentes valores que puedeadoptar n representan el número de ondas que tendría la curva. No olvidemos que es una sinusoide.

Desde el punto de vista físico nuestra barra se rompería al formar la primera onda sin alcanzar obviamentelas ulteriores.

En conclusión:

2

2

L

EI Pcritica

‚

• Carga crítica de Euler

Si observamos la expresión notamos algo que decíamos al principio de este capítulo:

La carga crítica NO DEPENDE de la RESISTENCIA del material dada por su esfuerzoresistente R€ , lo cual es completamente nuevo para nosotros.

De qué depende, entonces, la carga crítica?

La columna falla antes dealcanzar estos modos

(Estos valores de n solo tienensignificado matemático, no físico,

en nuestro caso)



23 7

1) Es directamente proporcional a la rigidez de la columna EI

E: Módulo de elasticidad del material

I : Momento de inercia de la sección transversal con relación al eje alrededor del cual se

produce el pandeo. En este caso, será el momento de inercia mínimo min I

2) La carga crítica es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de la columna 2 L locual por lo demás es obvio: mientras mas larga sea, mas fácil se pandeará. (Mas adelante veremos queno depende exactamente de la longitud de la columna sino de su esbeltez que de todas formas estárelacionada con la primera).

Del análisis anterior, concluimos finalmente que la carga crítica de Euler es:

2min

2

L

EI Pcritica

‚

•

Hasta este punto hemos analizado la barra considerándola biarticulada. Sin embargo, existenotras posibilidades de conectar las barras en sus extremos. Veámoslas y establezcamos cómo influyenen el valor de la carga crítica.

6.4 DIFERENTES CONDICIONES DE APOYOS

Influencia del tipo de apoyo en el pandeo y en el valor de la carga crítica.

El pandeo se produce alrededor del ejecuyo momento de inercia es mínimo

No alrededor del eje cuyo momento

de inercia es máximo



23 8

Tipos de apoyos que puede tener una columna en sus extremos

Recordando que las articulaciones permiten el giro y los empotramientos lo restringen la elástica para cada uno de los casos tiene la siguiente forma.

ecritica

L EI P

2min

2‚ •

e L : longitud efectiva

Si se aplican a cada caso las condiciones iniciales y se deduce el valor de la cargacrítica tal como se hizo en el caso de la columna biarticulada se encuentran losvalores de semiondas que se muestran en cada caso. Estas semiondas constituyenlo que se conoce como longitud efectiva que para cada uno de los casos es 1L, 0.7L,0.5L y 2L. (La deducciónpara cada situación puede consultarse en algunos de lostextos clásicos de Resistencia de Materiales, por ejemplo en ............)

En consecuencia, para calcular la carga crít ica deberá tenerse en cuenta la longitudefectiva en cada caso, que tendrá los valores señalados en la gráfica.



23 9

Teniendo en cuenta la longitud efectiva en cada caso, los valores de la carga crítica serán:

Con una barra de balso puede simularse fácilmente el comportamiento de las columnas condiferentes tipos de apoyos:

2min

2

L

EI Pcritica

‚

•Œ • 2

min2

2min

2

27.0 L

EI

L

EI Pcritica

‚ ‚

•• Œ • 2min

2

2min

2

45.0 L

EI

L

EI Pcritica

‚ ‚

••Œ • 2

min2

2min

2

25.02 L

EI

L

EI Pcritica

‚ ‚

••

La carga crítica másgrande es la mas

segura

La carga crítica máspequeña es la mas

peligrosa



24 0

6.5 ESFUERZOS CRÍTICOS

Después de conocer la carga crítica ya estamos en condiciones de calcular el esfuerzo normal

que producirá crit € .

Tal como se estudió al principio del curso el esfuerzo normal es igual al valor de la fuerza axial

dividido entre el área de la sección transversal de la barra.

A

Pcriticacritico •€

Pero:Œ •2

min2

e

critica L

EI P

‚

•

Por tanto:Œ • A L

EI

e

critico 2min

2‚

€ •

Recordemos, del curso de mecánica que el radio de giro del área es: A

I r •

Por tanto:Œ •

Œ • A L

r E

e

critico 2

2min

2‚

€ •

Y finalmenteŒ •2

2

minr

Lcritico

e

E ‚

€ •

kL Le • longitud efectiva

A

I r minmin •

Se comprueba una vez mas que el esfuerzo crítico no depende del esfuerzoresistente del material sino de su rigidez (E) y del cuadrado de un parámetro

denominado esbeltez que es igual aminr

Le

†

†††

‡

ˆ

•

2

5.0

7.0

1

k Dependiendo de los apoyosen los extremos



24 1

Gran esbeltezBajo esfuerzo críticoAlta posibilidad de pandeo

Baja esbeltezAlto esfuerzo crítico

Nula posibilidad de pandeo

Œ • Pa

r

Lrocriticoace

e2

92

min

10200ŽŽ• ‚

€

VALO RES EXTREMOS TEÓRICOS

Hipérbola de Euler

Como se ve, para un material dado con módulo de elasticidad E, el esfuerzo crítico depende de larelación de esbeltez de la columna.

Miremos la variación del Esfuerzo Crítico con la esbeltez. Variación del esfuerzo crítico con laesbeltez para un material como el acero con un módulo de elasticidad E.

Œ •2

2

minr

Lcritico

e

E ‚

€ • Esfuerzo crítico

Para el acero: GPa E 200• Por tanto:Œ •

Pa

r

Lrocriticoace

e2

92

min

10200ŽŽ• ‚

€

Hagamos la gráfica de esta ecuación

Lo pr imero que observamos es que es asintótica a los ejes ortogonales

Lo segundo, que mientras más esbelta la columna, menor el esfuerzocrítico (más peligro de pandeo)

‘’’“

”

mi n

e

r

L



24 2

Rango de validez de la hipérbola de Euler:

Límites de validez de la hipérbola

Por tanto, la ecuación de la hipérbola es válida en el siguiente rango:

La teoría de Euler y el esfuerzo crítico se handeducido a partir de la ecuación de la elástica

M y EL •‚‚ que a su vez se dedujo a partir de

la Ley de Hooke ƒ € E • .

Esto deberá tenerse en cuenta para definir elrango de validez de la ecuación del esfuerzocrítico.

Por la izquierda : El esfuerzo enel límite de proporcionalidad

Por la derecha: Por seguridadse recomienda una relaciónde esbeltez máxima de 200

Œ • Pa

r

Lrocriticoace

e2

92

min

10200ŽŽ• ‚

€

‘’’“

”

min

e

r

L

‘’’“

”

min

e

r

L

‘’’“

”

min

e

r

L



24 3

6.6 CÓDIGOS

Cada país define sus propios códigos para el cálculo de estructuras. En Colombia se han establecidolas Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismorresistente (NSR-98) mediante la Ley 400de 1997 y el Decreto 33 de 1998.

Específicamente el Título F Estructuras Metálicas establece losiguiente con referencia al cálculo de elementos de acero a compresión:

F.4.4-columnas y otros miembros a compresión

ESFUERZOS ADMISIBLES. Para miembros a compresión cargados axialmente, cuya seccióntransversal cumpla los requisitos de la tabla F.4-1, cuando la relación de esbeltez efectiva mayor (Kl/r) de cualquier segmento sin arriostramiento sea menor que Cc se tomará como valor del esfuerzoadmisible sobre la sección total.

Œ •

Œ • Œ •3

3

2

2

8

/

8

/3

3

5

2

/1

cc

yc

a

C

r kl

C

r kl

F C

r kl

F

…„

–

—

††‡

ˆ…

•

en donde:

yc F E C /2 2‚ •

Cuando la relación (Kl/r ) de estos miembros excede el valor de Cc se tomará como esfuerzoadmisible sobre la sección total.

Œ •2

2

/23

12

r kl

E F a

‚

•



24 4

PRO BLEM

Aplicando la NSR-98 resolver el siguiente problema:

Calcular la carga axial permisible Pperm para la columna de la figura correspondiente a lassiguientes longitudes de la columna: a) 2m b) 2.5m c) 3.5m

La columna es un tubo de acero empotrado en la base con las dimensiones mostradas.

Las características del acero son: MPaF GPa E y 250200 ••

Calculemos primero el radio de giro de la sección. En este caso el radio de giro es igual conrespecto a cualquier diámetro por lo que no tiene sentido hablar de radio de giro mínimo.

Calculemos Cc (recordemos que es una relación de esbeltez):

66.12510250/102002/2 6922 •ŽŽŽ•• PaPaC F E C c yc ‚ ‚

Este valor deberemos compararlo con la esbeltez de la columna en cada caso para calcular loscorrespondientes esfuerzos permisibles.

cmcm

cmr

D D A

D D I

A

I r

ext

ext

96.498.43

06.1083

98.434

13

4

15

44

06.108364

13

64

15

6464

2

4

222int

2

444int

4

••

•Ž

…Ž

•…•

•Ž

…Ž

•…•

•

‚ ‚ ‚ ‚

‚ ‚ ‚ ‚



24 5

Anal icemos los tres casos:

a) L= 2m Œ • ?/ •r kl

2•k (empotrada y libre)

cml 200•

cmr 96.4•

Œ • 32.40/ •r kl como cC .r kl ˜• ‘’

“ ” 6480

Entonces según la NSR-98

Œ •

MPa

MPa

F a 02.13278.1

25094.0

66.1258

32.40

66.1258

32.403

3

5

25066.1252

32.401

3

3

2

2

•Ž

•

Ž…

Ž

Ž„

–

—

††‡

ˆ

Ž…

•

b) L= 2.5m Œ • ?/ •r kl como Œ • 66.12581.100/ •˜• cC r kl

2•k

cml 250•

cmr 96.4•

Œ • 81.100/ •r kl

Entonces según la NSR-98

Œ •

MPa MPa

F a 16.8890.1

25067.0

66.1258

81.100

66.1258

81.1003

3

5

25066.1252

81.100

1

3

3

2

2

•Ž

•

Ž…

Ž

Ž„

–

—

††‡

ˆ

Ž…•

Vemos que los FACTORES DE SEGURIDAD son mayores que en el caso anterior puesto que lacolumna es mas larga y la posibilidad de pandeo es mayor

c) L= 3.5m Œ • ?/ •r kl como Œ • 66.12513.141/ •™• cC r kl

2•k

cml 350•

cmr 96.4•

Œ • 13.141/ •r kl

F.S.

F.S.

Œ •

Œ • Œ •3

2

2

2

8

/

8

/3

3

5

2/1

cc

y

ca

C

r kl

C

r kl

F C

r kl

F

…„

–—

††‡ˆ …

•

Œ •

Œ • Œ •3

3

2

2

8

/8

/335

2

/1

cc

y

ca

C

r kl

C

r kl

F C

r kl

F

…„

–

—

††‡

ˆ…

•



24 6

Entonces según la NSR-98Œ •2

2

/23

12

r kl

E F a

‚

•

Œ • Œ • MPa

MPa MPaF a 62.51

13.14192.1

10200

13.14123

10200122

32

2

32

•ŽŽ

•ŽŽ

• ‚ ‚

Cálculo de las cargas admisibles:

Recordemos que en general: A

P•€ en ese caso:

A

PF admisible

a • AF P aadmisible Ž•

a) L= 2m KN MN cm

mcm MPa AF P aadmisible 58058.0

10

198.4302.132

24

22 ••ŽŽ•Ž•

b) L= 2.5m KN MN cm


10

198.4316.88

24

22 ••ŽŽ•Ž•

c) L= 3.5m KN MN cm


10

198.4362.51

24

22 ••ŽŽ•Ž•

Observemos que mientras mas esbelta es la columna, menor será la carga que puede aplicarse



24 7

Miremos de donde han salido las expresiones empleadas en la NSR-98:

De dónde provienen las expresiones de la NSR-98

Cy es una relación de esbeltez: Veamos cómo se obtiene:

Por seguridad, y teniendo en cuenta esfuerzos residuales que quedan en el acero en el procesode fabricación se establece que:

22 y y

critico

F ••

€

€

Por tanto:

Œ •22

2r

kL

y E F ‚

• y y

y

C F

E

r

kl•

š•

‘’“

” 22

Factor de seguridad

(Valor máximo que puede alcanzar el esfuerzocrítico aplicando la hipérbola de Euler)

Œ •2

2

/23

12

r kl

E F aadmisible

‚

€ ••

Œ •

Œ • Œ •3

2

2

2

8

/8

/335

2

/1

cc

y

ca

C

r kl

C

r kl

F C

r kl

F

…„

–

—

††‡

ˆ…

•

Factor de seguridad

23

12



24 8

PRO BLEM PRO PUESTO

Calcular la carga admisible para cada una de las columnas mostradas sabiendo que todasestán construidas con un perfi l de acero cuya referencia es W 10 x 60 (sección de patin ancho),que tiene las siguientes características:

Datos tomados de MECÁNICA DE MATERIALES (Gere y Timoshenko) México, International Thomson editores1998, página 875

Peso

por pie

Área AlturaEspesor

del

alma

Ancho

patín

Espesor

patín

l s r l s r

Lb pulg2 pulg pulg pulg pulg pulg4 pulg3 pulg pulg4 pulg3 pulg

60 17.6 10.22 0.420 10.080 0.680 341 66.7 4.39 116 23.0 2.57

EJE 1-1 EJE 2-2

220000lg pu

lb yF •



24 9

C A PÍTU LO

TO RS I Ó N

METRO DE MIAMI, ESTADOS UNIDOS 2005

Elementos estructurales sometidos a torsión

Existe la tendencia a pensar que los elementos estructurales sometidos a torsi€n son de incumbencia

exclusiva de los ingenieros mec•nicos (ejes de motores, pi‚onesƒ)

Sin embargo en las estructuras es bastante com„n que por la forma de aplicaci€n de las cargas o

por la forma misma de la estructura (asimetr…as) se presenten este tipo de efectos en los elementos

estructurales.

Veamos algunas situaciones:



25 0

7.1 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ELEMENTOS DE SECCIÓN CIRCULAR

Al aplicarse un momento torsor T (alrededor del eje longitudinal), una sección del elemento

gira con respecto a la otra e internamente se produce un efecto de deslizamiento o corte entre dos

secciones adyacentes.

La torsión, por tanto, produce esfuerzos cortantes • y deformaciones angulares ‚ƒ Veamos:



25 1

Esfuerzo cortante • y ángulo de giro ‚ en elementos estructurales de sección circular.

Esfuerzo cortante • en secciones transversales rectas del elemento.



25 2

Recordemos que ante la presencia de esfuerzos cortantes verticales, se generan automáticamente

esfuerzos cortantes verticales iguales.

Por tanto:

Ley de Hooke para corte: maxG€• „ G: módulo cortante

€ rd dz € „max

dz

rd €

€ „max

Análogamente:dz d € € • „



25 3

Calculemos • a una distancia … del centro de la sección transversal:

Pero:dz

d GG € •

‚ ƒ „„

Reemplazando: dAdz

d GdM † †„ € •

•

0„‡ˆ † dAdz

d GT € •

•

†„ dAdz

d GT

2 •

€

Recordando que: J dA „†2 • (Momento polar de inercia de la sección)

Por lo cual:GJ

T

dz

d „

€

GJ

T GG • ‚ ƒ „„

Finalmente: J

T • ƒ „ T: momento torsor

326464

444 D D D

I I J y x

„ „ „ „‡„‡„

† †

†

‰

„

„„

„‡ˆ

„

dAdM

dAdF dM

dM T

M

•ƒ

•ƒ •

0

00

…: radio en el punto considerado

J: momento polar de inercia



25 4

Variación de :

Como se infiere de la expresión, • depende del radio …

max

0

ƒ ƒ •

ƒ •

„„„

„„

J

Tr r Si

0Si

La variación es lineal

Angulo de giro:

Angulo de giro ‚ entre dos secciones del elemento estructural



25 5

Anteriormente se tenía que:

GJ

T

dz

d „

€

Por lo cual:

dzGJ T d „€

†† „ L

dzGJ

T d

00

€ €

GJ

TL„€

T: momento torsor que actua en el tramo LG: módulo cortante del material

J: momento polar de inercia de la sección transversal

GJ: rigidez al corte (mientras más grande sea más difícil será torsionar el elemento)

TIZA FALLADA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE TORSIÓN



25 7

Construyamos el círculo de Mohr para el elemento mostrado:

La rotura se produce por tensión a lo largode un plano a 45°



25 8

PRO LEM

Calcular el diámetro que debe tener el eje de la figura sabiendo que el ángulo de torsión entresus extremos no debe ser mayor que 4°y el esfuerzo cortante admisible del material es de60 MPa.

El material tiene un módulo cortante G de 11 GPa

Deben cumplirse 2 condiciones:

- Que el ángulo de torsión no sobrepase un valor de 4°- Que el esfuerzo actuante no sobrepase un valor de 60 MPa

Es decir: Ž 4€

MPa60Žƒ

Primera condición: GJ

TL

„„ 4€ 44

2

944

321011

21600

3211

21600

1804m

D

m

N

mm N

m D

GPa

mm N rad

„ „

„

ŒŒ

ŒŒ

„Œ

ŒŒ

„Œ

14

91.8081.0

10114

1803221600 Dcmm D „„„

ŒŒŒŒ

ŒŒŒ„

„ „

Este diámetro garantiza que el ángulo no excederá un valor de 4°

Segunda condición:342

161600

32

2

D

m N

D

DT

J

Tr

m

N 106060MPa 6

„ „ ƒ

ŒŒ„„„Œ„„



25 9

Dcmm D 23

61.5051.0

1060

161600„„„

ŒŒ

Œ„

„

Este diámetro garantiza que el esfuerzo cortante no excederá un valor de 60 MPa.

Como deben garantizarse las 2 condiciones debe escogerse el diámetro mayor.

Por lo tanto: 8.1cm Dnecesario „

PRO LEM

Calcular los momentos torsores internos en los tramos AB, BC y CD del elemento estructural

Diagrama de cuerpo libre de todo el

elemento

‰ „ M z 0

0600400300 „ˆ‡ˆ A

T

500„ AT

Para calcular los momentos en cada tramo hacemos cortes por cada uno de ellos así:

z 5.10

‰ Œ„„ m N T M AB z 5000



26 0

3.5 z1.5

T M BC z 2003005000 „ˆ„„‰

6.5 z3.5

6004003005000 „‡ˆ„„‰ CD z T M

Una vez calculados los momentos torsores se puede proceder al cálculo de los esfuerzos cortantesmáximos en cada tramo.

Supongamos que el diámetro del elemento estructural es de 10 cm.

Esfuerzos cortantes máximos en cada tramo

Recordemos que: J

Tr „maxƒ siendo:

32

D J

4„ „

Š ‹0.05mr m

32

0.10m J „Œ„„ ˆ 46

4

1082.9„

Entonces los esfuerzos cortantes máximos en cada sección serán:

MPam

mm N AB 55.2

1082.9

05.050046 „

Œ

ŒŒ„

ˆƒ



26 1

MPam

mm N BC 02.1

1082.9

05.020046 „

Œ

ŒŒ„

ˆƒ

MPam

mm N CD 05.3

1082.9

05.060046 „

Œ

ŒŒ„

ˆƒ

Como se observa, el esfuerzo cortante máximo ocurre en el tramo CD. Su valor será el quedefinirá el diseño del elemento: Deberá escogerse un material con un esfuerzo resistente mayorque 3.05MPa de tal manera que se tenga un factor de seguridad adecuado.

7.2 INDETERMINACIÓN ESTÁTICA

Dependiendo de la forma en que estén apoyados, los elementos estructurales sometidos a torsión

también pueden quedar en situación estaticamente indeterminada. El caso mas común se presenta

cuando el elemento está bi-empotrado.

Como en las situaciones anteriores de indeterminación necesitamos una ecuación adicional (obtenida

de la compatibilidad de deformaciones).

En este caso la ecuación se establece al observar que en los empotramientos A y B no hay giro,

o en otras palabras que la sección.

Estáticamente indeterminada25

01540T0 A

„‡

„‡ˆ‡„‰ B A

B z

T T

T M 1 ecuación2 incógnitas



26 2

B no gira con relación a la sección A.

Esto podemos expresarlo diciendo que la suma (algebraica) de los giros de las secciones AC, CD

y DB es igual a cero.

DBCD AC 0„‡‡ … … … Ecuación de compatibilidad de deformaciones

Recordemos que en general:GJ

TL„…

Por lo tanto:GJ

LT

GJ

LT

GJ

LT B D DBCDCD AC AC 0„‡‡ 0„‡‡ B D DBCDCD AC AC LT LT LT

02.12 „‡‡ DBCD AC T T 1.5T

TAC, TCD y TDB son los momentos torsores internos en las secciones

AC, CD y DB. Para calcularlos debemos hacer cortes por dichas secciones:

Reemplazando tenemos: Š ‹ Š ‹ 0252.14025.1 „ˆ‡ˆ‡ A A A T T T

110„ A4.7T

6.14.23254.23 „ˆ„Œ„ B A T mKN T

Con estos valores podemos calcular finalmente los momentos torsores internos en las 3 secciones:

4.23„ AC T 6.16404.23 ˆ„ˆ„CDT 6.1254.23 ˆ„ˆ„ DBT



26 3

Conocidos estos valores, el problema está resuelto y se pueden calcular los esfuerzos cortantes

y los giros de las diferentes secciones si conocemos el diámetro y el módulo cortante G del material

7.3 TORSIÓN DE ELEMENT OS DE SECCIÓN RECTANGULAR

En este caso se presenta un fenómeno que complica el análisis: las secciones transversales delelemento al ser torsionado no permanecen planas sino que se alabean.

El análisis del fenómeno se hace normalmente en los cursos de Teoría de la Elasticidad utilizando

la analogía de la membrana.

En este texto introductorio presentamos las expresiones obtenidas en dicho análisis para el esfuerzo

cortante máximo y la deformación angular producida en torsión.

7.3.1 Esfuerzos y deformaciones en elementos de sección rectangular a

torsión



26 4

El esfuerzo cortante máximo ocurre en el punto medio del lado mas largo:

21

maxhbc

T „ƒ

El ángulo de torsión entre dos secciones separadas una longitud L es:

Ghbc

TL3

2„…

C1

y C2

son constantes que dependen de la relaciónb

hsegún la siguiente tabla:

Tomada de €Mec•nica de materiales‚ de Ferdinand P. Beer y E. Rusell Johnston McGraw Hill Latinoamericana, 1982

PRO LEM

Calcular el esfuerzo cortante m•ximo producido en la siguiente viga sometida a los 2 momentostorsores mostrados.

b

h1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0

C1 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.291 0.312 0.333

C2 0.1406 0.1661 0.1958 0.229 0.249 0.263 0.281 0.291 0.312 0.333



26 5

Según lo visto, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en el tramo en el cual el momento torsorsea máximo.

21

maxhbc

T „ƒ

bh30cmhcmb 5.1

203020 „„„„„ por lo tanto: 231.0„1c

Calculemos el momento torsor máximo en la viga.

Hagamos cortes para detectar el tramo del momento torsor máximo.

20 z

40

040

0

„

„ˆ

„‰

AB

AB

Z

T

T

M

mKN T

T

M

A

A

Z

Œ„

„‡ˆ

„‰

40

03070

0



26 6

z 5.32

Por lo tanto: m KN T T AB Œ„„ 40max

Finalmente, calculamos el valor del esfuerzo cortante máximo.

Š ‹221

maxmax

20.030.0231.0

40

mm

m KN

hbc

T

Œ

Œ„„ƒ

KPa KN / m• 14430144302

max „„

El esfuerzo cortante máximo ocurre en el tramo AB en el punto medio del lado mas largo de laviga:

30

04070

0

„

„‡ˆ

„‰

BC

BC

z

T

T

M



26 7

7.4 TORSIÓN DE SECCIONES ABIERT AS

En general puede decirse que las secciones abiertas (ángulos, secciones U) son muy ineficientes

para resistir efectos de torsión por cuanto se pierde la continuidad en la transmisión de los esfuerzos

cortantes producidos.

Aplicando los mismos procedimientos utilizados para calcular los esfuerzos en seccionesrectangulares (analogía de la membrana) se ha encontrado que en este caso puede aplicarse la misma

expresion que la utilizada para secciones rectangulares.

Debido a que la relación entre h y b en estos casos será muy grande, el valor de c1

en estos casos

se hace iguales a 0.333.

Las dimensiones de h y b se calculan como se ilustra en la figura:

TORSIÓN DE SECCIONES ABIERTAS



26 8

PRO LEM

Calcular el esfuerzo cortante máximo en el elemento angular de la figura sometido a un momentotorsor de 1500 Kgxcm

Según lo visto, en este caso se puede aplicar la misma expresión usada en el caso de seccionesrectangulares con los valores de c1, h y b que se muestran a continuación:

Por lo tanto:2

2221

max /14.103.257.033.0

1500cmKg

cmcm

cmKg

hbc

T „

ŒŒ

Œ„„ƒ

Es de anotar que en un análisis mas preciso que el que se hace en este texto, deberán tenerseen cuenta las concentraciones de esfuerzos que se producen por los cambios bruscos de direccióninducidos por el doblado de la lámina al hacer el ángulo.

cmb

cmh

c

hbc

T

3.257.0818

7.0

33.01

21

max

„ˆ‡„

„

„

„ƒ



26 9

7.5 TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGAD A

Se aceptan las siguientes hipótesis:

€ El tubo es cilíndrico: su sección no varía a lo largo del tubo.

€ La sección transversal del tubo es cerrada.

€ El espesor de la pared es pequeño en comparación con las dimensiones transversales del

tubo.

€ El tubo está sometido solamente a momentos torsores en sus extremos.

Veamos:

Tubo de pared delgada sometido a momentos torsores T en sus extremos

Sección transversal sometida aesfuerzos cortantes •

t t Aq ƒ ƒ ƒ „ŒŒ„„ 1

La fuerza por unidad de longi tud del tubo es: t ƒ (se conoce como flujo de cortante q)

t q ƒ „



27 0

Establezcamos el equilibrio alrededor de un punto O en el interior del tubo a partir del cualtomamos un radio de curvatura r del tubo en dicho punto:

En resumen:2At

T „ƒ

A : Área encerrada por el perímetro medio de la sección:

qdstdsdAdF „Œ„Œ„ ƒ ƒ

‰ „ 00 M

rdF T † „ˆ 0

rqdsT † „ˆ 0

2dArds „

02Aq-T „Œ

2At 2AqT Œ„Œ„ ƒ

2At

T

„ƒ

2

rdsdA „

rds2dA „



27 1

PRO LEM

Calcular el esfuerzo cortante máximo que se produce en el tubo de la figura cuando se sometea dos momentos torsores de 180 Kgxm en sus extremos

Según se vió: At

T

2„ƒ mKgT Œ„180 mcmt 012.02.1 „„

Calculemos A (área encerrada por el perímetro medio de la sección):

24

24

222 1044.33

10

144.3344.338.88.3 m

cm

mcmcm A ˆŒ„Œ„„Œ„

Reemplazando: 22497.2242822

012.01044.332

180

m

Kg

mm

mKg„

ŒŒŒ

Œ„

ˆƒ

228.224

cm

Kg„ƒ

cm8.32

2.1

2

2.15 ˆˆˆ

cm8.82

2.1

2

2.110 ˆˆˆ



27 3

REFEREN C IAS B IBLIO G RÁF IC AS

BEDFORD, Liechti. 2002. Mecánica de materiales.Colombia. Pearson educación de Colombia. 1ª edición.

BEER Ferdinand P., JOHNSTON E. Rusell and DEWOLF John T. 2004. Mecánica de materiales.

México. McGraw Hill Interamericana. 3ª edición.

CRAIG Roy R., Jr. 2000. Mechanics of materials. Estados Unidos. 2a edición.

FITZGERALD Robert W. 1984. Mecánica de materiales. México. Fondo educativo interamericano.

1ª edición.

GERE Y TIMOSHENKO. 1998. Mecánica de materiales. México. International Thomson Editores.

Cuarta edición.

GORDON J. E. 1978. Structures or why things don't fall down. United States of America. Da Capo

press Inc. A Da Capo paperback.

GORDON J. E. 1994. Structures et matériaux. L'explication mecanique des formes. Paris. Pour la

science.

GOVINDJEE Sanjay (Compilator). 2005. Engineering mechanics, Strength of materials. United

States of America. Pearson Prentice Hall. 1a edición.

HIBBELER R.C.1998. Mecánica de materiales. México. Prentice Hall hispanoamericana S.A.

3ª edición,

LEVY Matthys and SALVADORI Mario. 1994. Why buildings fall down. New York London. W.

W.Norton y Company. Norton paperback.

MOTT Robert L. 1996. Resistencia de materiales aplicada. México. Prentice hall hispanoamericana

S.A. 3ª edición.

NARAYANAN R.S. and BEEBY A.W. 2001. Introduction to Design for Civil Engineers. London

and New York. SPON PRESS. Taylor and Francis group.

NASH William A. 1973. Resistencia de materiales. Teoría y 430 problemas resueltos. Colombia.

McGraw Hill.



27 4

Normas colombianas de diseño y construcción sismorresistente. NSR-98. Ley 400 1997, decreto ley

33 de 1998, AIS, Tomo 3, Bogotá, febrero de 1998.

POPOV Egor P. 1982. Mecánica de materiales. México. Editorial Limusa. Primera edición.

PYTEL Andrew, SINGER Ferdinand. 1994. Resistencia de materiales. Introducción a la mecánica

de sólidos. México. Oxford University Press. 4ª edición.

SEWARD Derek. 2003. Understanding structures. Análisis, Materials, Design. China. Palgrave

Macmillan. 3ª edición.

SHANLEY F.R. 1971. Mecánica de materiales.Colombia. McGraw-Hill de México. Traducido de la

primera edición del inglés.

STIOPIN P.A. 1979. Resistencia de materiales. Moscú. Editorial MIR. Tercera edición.

REFERENCIAS DE LAS TABLAS

Los datos de las tablas presentadas en las páginas 41, 49, 52, 58 y 248 son tomados del libro

Mecánica de materiales. Gere y Timoshenko. International Thomson Editores.1988

REFERENCIAS FOTOGRÁFICAS Y DE GRÁFICOS

A menos que se indique lo contrario, las fotos y los gráficos que ilustran el presente texto son

del autor.

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