Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales ...

Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones

lineales 2x2 a partir de la comprensión matemática y la

teoría apoe

Juan Pablo Osorio Pérez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de ciencias

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Medellín, Colombia

2021

Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones

lineales 2x2 a partir de la comprensión matemática y la

teoría APOE

Juan Pablo Osorio Pérez

Tesis de investigación presentada como requisito parcial para optar al título de: Magister en

Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora:

Luz Stella Mejía Aristizábal

Doctora en Educación

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de ciencias

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Medellín, Colombia

2021

Dedicatoria

A mi familia, esposa e hijo por su

acompañamiento, paciencia y apoyo

incondicional en cada uno de mis caminos.

IV Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la comprensión

matemática y la teoría apoe

Agradecimientos

A mi madre, Margot Alicia Pérez por heredarme el amor y compromiso hacia el estudio y

apoyarme durante toda mi carrera profesional y académica

A mi esposa, María Camila Rodríguez y mi hijo, Emanuel Osorio Rodríguez por su paciencia,

amor, comprensión y apoyo durante mi tiempo de estudio de la maestría.

A cada uno de mis compañeros del postgrado por los días en medio de risas e intercambio

de conocimientos.

A mi directora, Luz Stella Mejía por su apoyo, tiempo, paciencia y correcciones durante la

elaboración del trabajo de grado.

Muchas gracias a cada uno de ustedes.

V Resumen y abstract

Resumen

Este trabajo de grado tiene como propósito fortalecer la comprensión matemática de

los estudiantes, para ello se propone una estrategia didáctica que contribuya con el proceso

de enseñanza y aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir

del desarrollo de las estructuras mentales acción, proceso, objeto y esquema de la teoría

APOE de Dubinsky (1994). Para el diseño de dicha estrategia didáctica, fue necesario

realizar una investigación de corte cualitativo, en la que se utilizó como estrategia el análisis

documental, cuya intención fue indagar por estudios relacionados con la enseñanza de las

ecuaciones lineales y la teoría APOE. La revisión de las investigaciones posibilitó la reflexión,

análisis y síntesis sobre los resultados derivados de los diferentes trabajos. Finalmente, se

espera que la propuesta de intervención que se diseñó pueda aportar en la comprensión de

la temática mencionada y establezca una relación de esta con otras áreas del saber.

Palabras clave: Teoría APOE, sistemas de ecuaciones lineales 2x2, resolución de

problemas, estrategia didáctica.

Abstract

The purpose of the work reported on this paper is to strength the mathematical

understanding of students. According to this, it is proposed a didactic strategy that contribute

to the teaching and learning process of systems of linear equations with two unknowns by the

development of mental structures action, process, object and schema from the APOS theory

raised by Dubinsky (1994). To design the didactic strategy, it was necessary to carry out a

qualitative investigation through documentary analysis in order to research studies related

with linear equations and APOS theory. This bibliographic review enabled the reflection,

analysis and synthesis about the results derived from different works.

Ultimately, the designed intervention proposal aims to contribute to a better

understanding on the mentioned topic and incorporate it into different knowledge areas.

Keywords: APOE theory, 2x2 systems of linear equations, word problem solving,

didactic strategy.

VI Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la comprensión

matemática y la teoría apoe

Solving problems of systems of linear

equations 2x2 from mathematical understanding

and APOE theory

VII Contenido

Contenido

Agradecimientos .................................................................................................... IV

Resumen ................................................................................................................ V

Abstract .................................................................................................................. V

Lista de figuras ...................................................................................................... IX

Lista de tablas ........................................................................................................ X

Introducción .......................................................................................................... 11

CAPÍTULO I ......................................................................................................... 13

1. Planteamiento del problema .......................................................................... 13

1.1. Descripción del problema ........................................................................ 13

1.1.2. Formulación de la pregunta .............................................................. 14

1.1.3. Antecedentes .................................................................................... 15

1.2. Justificación ............................................................................................. 18

1.3. Objetivos ................................................................................................. 19

1.3.2. Objetivo general................................................................................ 20

1.3.3. Objetivos Específicos ....................................................................... 20

1.4. MARCO REFERENCIAL ......................................................................... 20

1.4.2. Referente teórico .............................................................................. 21

1.4.3. Referente disciplinar y/o conceptual ................................................. 24

1.4.4. Referente legal ................................................................................. 27

1.4.5. Referente espacial ............................................................................ 28

CAPITULO II. ....................................................................................................... 30

2. Diseño metodológico ..................................................................................... 30

2.1. Enfoque ................................................................................................... 30

2.2. Método .................................................................................................... 31

2.3. Instrumentos de recolección de información y análisis de información ... 32

2.4. Conformación del corpus ........................................................................ 34

2.5. Delimitación y alcance............................................................................. 36

CAPITULO III ....................................................................................................... 37

3. Revisión de literatura sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones

lineales y la teoría APOE ..................................................................................... 37

VIII Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la

comprensión matemática y la teoría apoe

3.1. Enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales ............................ 38

3.2. Implementación de la teoría APOE en los procesos de enseñanza y

aprendizaje del concepto matemático ........................................................... 41

CAPITULO IV ....................................................................................................... 49

4. Propuesta de Enseñanza sobre los Sistemas de Ecuaciones lineales .......... 49

4.1. Sesión N°1 .............................................................................................. 54

4.2. Sesión N°2 .............................................................................................. 58

4.3. Sesión N°3 .............................................................................................. 64

4.4. Sesión N°4 .............................................................................................. 70

4.5 Sesión N°5 .............................................................................................. 72

CAPÍTULO V ........................................................................................................ 75

5. Conclusiones y recomendaciones ................................................................. 75

5.1. Conclusiones ....................................................................................... 75

5.2 Recomendaciones ............................................................................... 77

Referencias .......................................................................................................... 79

ANEXOS .............................................................................................................. 84

A. Rastreo bibliográfico ................................................................................... 84

IX Contenido

Lista de figuras

Figura 1. Estructuras y mecanismos mentales para la construcción de contenido

matemático .................................................................................................................... 42

Figura 2. Función lineal ................................................................................................... 54

Figura 3. Gráfico en GeoGebra ....................................................................................... 55

Figura 4. Ecuación de la recta en GeoGebra ................................................................... 56

Figura 5. Estimación carne molida ................................................................................... 56

Figura 6. Ingresando a Moodle ........................................................................................ 58

Figura 7. Inicio del curso SEL2X2 ................................................................................... 59

Figura 8. Referentes temáticos del curso SEL2X2 .......................................................... 59

Figura 9. Historia y contextualización SEL2X2 ................................................................ 60

Figura 10. Conceptualización sobre SEL2X2 .................................................................. 61

Figura 11. Métodos de solución SEL2X2 ......................................................................... 61

Figura 12. Intersección entre rectas ................................................................................ 64

Figura 13. Intersección entre rectas N°2 ......................................................................... 71

Figura 14. Intersección entre rectas N°3 ......................................................................... 71

X Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la


Lista de tablas

Tabla 1. Normograma...................................................................................................... 26

Tabla 2. Esquema conceptual ............................................ ¡Error! Marcador no definido.

Tabla 3. Caracterización rastreo bibliográfico ..................... ¡Error! Marcador no definido.

Tabla 4. Objetivos de las intervenciones ......................................................................... 52

Tabla 5. Relaciones y funciones ...................................................................................... 54

11 Introducción

Introducción

La propuesta de este trabajo de grado pretende fortalecer la comprensión

matemática de los estudiantes de grado noveno, a partir de la resolución de

problemas relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas a través del diseño de una estrategia didáctica que promueva el

desarrollo de las estructuras mentales de acción, proceso, objeto y esquema

propuestas por Dubinsky (1994) en su teoría APOE.

Para la construcción de la investigación se utilizaron como base las teorías

propuestas por el modelo constructivista de Vygotsky (1978) citado por Delval

(2012, pp.3-4), Carretero (1997) y Piaget (1999), los cuales exponen que el

constructivismo es un modelo que procura la formación de sujetos diligentes,

capaces de tomar sus propias decisiones y formular juicios de valor, donde el

conocimiento es una construcción permanente del ser humano. Por ende, el

aprendizaje se orienta al proceso de adquisición de conocimientos antes que a los

resultados.

De igual forma, en modelo constructivista en el que se apoya la

investigación, estará complementado por la Teoría APOE de Dubinsky (1994), la

cual propone un desarrollo de la comprensión matemática a partir de cuatro

estructuras mentales, acción, proceso, objeto y esquema, de las cuales las

primeras tres representan un conjunto para alcanzar el esquema y al mismo tiempo,

las cuatro estructuras conforman un ciclo que permite la reflexión constante de un

concepto matemático y facilitan la entrada a un futuro concepto.

La construcción del trabajo se realizó a partir de un análisis monográfico

basado en un modelo de investigación documental que, según Gómez (2011)

permite un paradigma de carácter cualitativo en el cual se busca interpretar y

comprender la información recopilada más que analizarla y explicarla. El enfoque

cualitativo permite una mejor adecuación del contexto social cuando se trabaja con

personas, ya que se es posible concordar con rasgos comunes, pero no absolutos

y manejar diferentes variables comportamentales. Dicho análisis monográfico,

12 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la


permitió la realización de una estrategia didáctica que apunte a dar respuesta a la

pregunta de investigación planteada.

El presente trabajo está dividido en cinco capítulos, descritos así: a) Capitulo

I. Diseño teórico, en el cual se exponen las generalidades del proyecto,

planteamiento del problema con su respectiva descripción, justificación,

antecedentes, objetivos. Seguidamente, se encuentra el marco referencial,

apoyado en los referentes teóricos, disciplinar y conceptual, legal, y espacial. b)

Capitulo II. Diseño metodológico, en el cual se encuentra el enfoque y método de

la investigación apoyados en el análisis documental y monográfico a partir del

paradigma cualitativo. c) Capitulo III. Revisión de literatura del sistema de

ecuaciones lineales 2x2 y la teoría APOE, en el cual se realiza la búsqueda, lectura,

análisis, reflexión, interpretación y síntesis de la monografía. d) Capitulo IV.

Propuesta de enseñanza sobre los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, dividida

en cinco sesiones, cada una correspondiente a las estructuras mentales

propuestas en la teoría APOE. Y para finalizar, e) Capitulo V. Conclusiones y

recomendaciones, en el cual se realizan las observaciones y sugerencias más

pertinentes relacionadas con la construcción del trabajo de grado.

13 1. Planteamiento del problema

CAPÍTULO I

1. Planteamiento del problema

1.1. Descripción del problema

La necesidad de realizar una profundización en la enseñanza del

planteamiento de ecuaciones lineales con dos incógnitas, surge al evidenciar

primero, la mala comprensión que presentan las estudiantes de la educación

secundaria, cuando deben interpretar un problema o situación cotidiana y el

planteamiento matemático que deben dar a dichos problemas, y segundo, los

pasos que deben realizar para dar solución a las ecuaciones lineales propuestas

por los educandos. Es por ello que se propone abarcar el tema, “La enseñanza y

aprendizaje de los sistemas de ecuaciones 2x2 por medio de la resolución de

problemas y la teoría APOE para desarrollar una comprensión matemática en los

estudiantes de grado noveno.

Se evidencia que las estudiantes no realizan un adecuado análisis de los

problemas planteados y presentan grandes dificultades en el momento de convertir

el lenguaje convencional en un lenguaje matemático, no identifican ni definen

variables adecuadamente, presentan falencias en establecer relaciones de

igualdad o proporcionalidad, además, tienen grandes dificultades aplicando los

diferentes procesos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales (gráfico,

sustitución e igualación) y en el adecuado manejo de los algoritmos.

Seguramente, a los problemas anteriores hay que agregar las falencias y

vacíos conceptuales que traen las estudiantes de años pasados con respecto a

conceptos aritméticos y algebraicos, por ejemplo, no emplean apropiadamente las



propiedades de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) en el

conjunto de los números reales y las propiedades de igualdades.

Es por ello, que después de observar las falencias que poseen las

estudiantes de un colegio de la ciudad de Medellín en la comprensión de

problemas, su decodificación del lenguaje lógico-gramatical, el planteamiento de

un adecuado sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y su correcta

solución, se concluye fortalecer dichas falencias desde el grado noveno de la

básica secundaria, pues es en este grado donde dando cumplimiento a lo señalado

en el plan de área y más específicamente el plan del segundo periodo, se debe

trabajar función lineal y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, tema

de suma importancia que permite fortalecer los procesos de análisis, síntesis y

argumentación relacionados con problemas que involucran diversas áreas de

aprendizaje tales como las ciencias naturales, como mencionan Hoekenga, Carpi

& Egger (2013) los sistemas de ecuaciones lineales con frecuencia son utilizadas

para calcular tasas, como la velocidad de un objeto, reacciones químicas,

conversión de unidades de medida, entre otras.

1.1.2. Formulación de la pregunta

En concordancia con lo expuesto en el inciso anterior y con la intención de

renovar la labor docente en el aula de clase, es adecuado tener en cuenta la

importancia de la buena comprensión lectora que debe tener el estudiante al

analizar diferentes problemas matemáticos y lograr tener un buen manejo de la

decodificación lógico-lingüística, lo cual conlleva a la enunciación de la siguiente

pregunta: ¿Qué estrategia didáctica basada en la resolución de problemas,

contribuye a la enseñanza de los sistemas de ecuaciones 2x2 por medio de la

comprensión matemática y la teoría APOE en los estudiantes de grado noveno?


1.1.3. Antecedentes

El presente trabajo se sustentará y apoyará en investigaciones a fines ya

realizadas, en los últimos diez años, que sirvan como apoyo y referencia. Teniendo

en cuenta que existe una gran cantidad de trabajos relacionados con la temática a

investigar (ecuaciones lineales 2x2), se le da relevancia a aquellos que profundizan

en la resolución de problemas en contexto y que sus resultados permitan una visión

más amplia de lo que se pretende abordar en el presente trabajo.

Ochoviet, (2009), en su tesis de doctorado sobre el concepto de solución de

un sistema de ecuaciones 2x2, sugiere no restringir la enseñanza y ofrecer a los

estudiantes distintas tareas que les permitan enfrentar múltiples y diferentes

situaciones problemas que permitan abarcar otros tipos de pensamientos como,

citando a Sirpinska, “el sintético-geométrico, el analítico-aritmético y el analítico-

estructural”, lo cual permite a los estudiantes una comprensión más profunda de

los objetos matemáticos.

La participación activa de los estudiantes en su proceso de aprendizaje y su

motivación es primordial para lograr un entendimiento y disfrute de las

matemáticas, según Reaño, (2011) en su investigación sobre la enseñanza de

sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de situaciones

didácticas, ya que él mismo considera que los currículos escolares, incluso

universitarios, se limita al manejo de algoritmos o reglas de forma mecánica,

dejando de lado la oportunidad de ejercitar el lenguaje verbal y su tránsito hacía lo

algebraico y lo gráfico.

De acuerdo con Guerra (2012), las aplicaciones de sistemas lineales están

quedando reducidas al mero planteamiento de ejercicios que no permiten al

educando una interiorización de la temática, lo cual no genera relación

interdisciplinar o en algunas ocasiones las aplicaciones trabajadas son poco

llamativas, pues en la mayoría de los casos la enseñanza de este tópico no está

relacionada con situaciones contextualizadas. Es por ello que Guerra (2012), en su

trabajo sobre la enseñanza de sistemas de ecuaciones lineales, pretende presentar



diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales y proponer

varias situaciones problemas contextualizadas que brinden al estudiante

herramientas suficientes para la solución de dichos problemas.

Arenas (2013), en su investigación sobre el uso de ecuaciones lineales en

situaciones cotidianas, plantea que las ecuaciones lineales tienen una estrecha

relación con otras áreas del conocimiento tales como física y química. Además,

infiere que los estudiantes deben relacionar los contenidos desarrollados en los

espacios escolares con su experiencia en su diario vivir, lo cual les permita

compartir y argumentar lo comprendido con las demás personas.

Por otro lado, Ariza & Rojas (2013), en su propuesta didáctica para la

enseñanza de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales,

consideran que una de los principales conflictos de los estudiantes en el instante

de enfrentarse a la solución de un problema es que no logran identificar el método

más sencillo que les permita solucionar un sistema de ecuaciones con dos

incógnitas. Además, como lo menciona Grupo Azarquiel (1993.p. 115), citado por

Ariza & Rojas (2013), “los estudiantes presentan dificultad al separar las

informaciones dependientes, o designar con distintas letras incógnitas diferentes”.

A esto, sumado el problema de que los alumnos poseen errores de cálculo, el cual

se debe en la mayoría de los casos a una mala conceptualización y mal manejo de

las ecuaciones de primer grado y sus relaciones con conceptos como incógnita,

variables, función, igualdades, entre otros.

Es por esto, que Ariza & Rojas (2013), decidieron trabajar con los

estudiantes la teoría de situaciones didácticas de Brousseau, ya que esta facilita la

cimentación de un conocimiento por medio del contexto, buscando la construcción

propia de cada educando.

Continuando con otras investigaciones relacionadas con sistemas de

ecuaciones y sus diversos problemas en la enseñanza, Mosquera (2014), en su

propuesta didáctica para la enseñanza de sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas utilizando el método “Flipped Classroom”, plantea que los docentes


deben aplicar nuevas estrategias de enseñanza, basadas en teorías de aprendizaje

que faciliten en los estudiantes la capacidad de análisis, selección y entendimiento

de la información que se adquiere de los medios que permitan motivar al alumno

con el fin de reducir efectos negativos en el proceso de enseñanza.

Bozzalla & García (2014), docentes de pregrado, evidencian que los

estudiantes que parten de la escuela media, presentan grandes inconvenientes en

el momento de solucionar sistemas de ecuaciones lineales, los cuales radican en

vacíos conceptuales tales como, el manejo de la aritmética, la conversión de

registro verbal al algebraico e inversamente, y la interpretación gráfica del sistema

presentado. Es por ello, que generan una secuencia didáctica basada en una

circulación constante entre registros verbales (RV), registros algebraicos (RA) y

registros gráficos (RG).

Dando continuidad al tema del manejo del lenguaje del educando y la

relación que el mismo da a su aprendizaje con otras áreas del conocimiento,

Martínez & Garnica (2015), proponen una estrategia de enseñanza de los sistemas

de ecuaciones lineales en un curso de laboratorio de física I, con el fin de promover

el estudio de conceptos matemáticos en otras disciplinas. Dicha estrategia se

realizó con la intención de promover en los estudiantes un razonamiento analítico

más que operativo, ya que se evidencia dificultad en los estudiantes de relacionar

situaciones problemas con el planteamiento de un adecuado sistema de

ecuaciones y su posterior solución.

Como ya se mencionó antes, los estudiantes presentan muchos

inconvenientes en la interpretación de problemas, ya que se les dificulta convertir

un texto o párrafo en una expresión algebraica, lo cual se percibe como una falencia

en los procesos de interpretación y de lectura de los educandos, pues no relacionan

signos y coeficientes con el contexto del problema. Todo lo anterior debido a

dificultades en conocimientos previos que no permiten el reconocimiento de

propiedades de términos algebraicos y operaciones básicas, según lo planteado

por Atehortúa, (2017), en su investigación basada en una propuesta metodológica

para la enseñanza de sistemas de ecuaciones mediante problemas contables.



Finalmente y dando continuidad a la misma línea de los autores citados,

Berdusco (2018), en concordancia con las investigaciones anteriores y apoyado en

la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau, considera de vital

importancia la realización de propuestas teóricas y metodológicas por parte del

docente que susciten la participación activa del estudiante en su proceso de

aprendizaje y la motivación por parte del maestro es indispensable para lograr un

disfrute y entendimiento de las matemáticas y sus múltiples aplicaciones.

1.2. Justificación

El actual trabajo de profundización está centrado en resolución de

problemas que permitan al estudiante el desarrollo de la comprensión matemática

por medio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, con la intensión

de reconocer la situación planteada, diferenciar características relevantes e

irrelevantes de la misma y dar solución al sistema con un adecuado manejo de la

situación y partiendo de sus conocimientos previos.

De acuerdo con Duarte & Castro (2015), la enseñanza debe estar mediada

por estrategias que permitan el desarrollo del pensamiento, lo cual permite al

estudiante fortalecer su capacidad de comprensión, además de la construcción y

apropiación conceptos y saberes previos, impulsar la atención, la observación, el

pensamiento crítico, entre otros elementos que permitan al estudiante comprender

los fenómenos matemáticos y desarrollarlos sin seguir un esquema especifico en

forma de recetario, mecanizado y con reglas, que sin importar el método a usar, se

genere conciencia y curiosidad por la situación analizada.

Por otra parte, Vygotsky (1978) y Piaget (1961) citados por Delval (2012, pp.

3-4), concluyen que el conocimiento es una cimentación mediada por componentes

sociales, lo cual implica que el conocimiento este en constante cambio. Por tal

motivo, con el presente trabajo se pretende favorecer las prácticas de enseñanza-


aprendizaje a través de una mirada constructivista apoyada en el aprendizaje por

medio de la resolución de problemas, dado que desde las propias experiencias de

aula, normalmente se trabajan los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 como una

guía con pasos a seguir, un orden, y no como una oportunidad de construcción de

aprendizaje para el estudiante, donde se tenga la oportunidad de desarrollar una

comprensión matemática donde se relacione lo concreto, lo conceptual y lo

simbólico.

Por lo tanto, es necesario convertir el aula de clase en un espacio educativo

de construcción del conocimiento y de desarrollo del pensamiento, es decir,

convertir la clase tradicional de matemáticas en un aula taller, una clase que

permita el debate, la argumentación, la discusión, la crítica y compartir posturas y

posiciones que conlleven a diferentes caminos y formas de solucionar sistemas de

ecuaciones lineales 2x2 mediado por situaciones problemas que conllevan al

desarrollo de capacidades cognitivas y a la relación de lo que se aprende con el

contexto. Por ello, la investigación se centrará en la introducción del tema de

sistemas de ecuaciones lineales a partir de resolución de problemas, es decir,

considerar necesario el estudio y comprensión de problemáticas para poder llegar

a la conceptualización tanto matemática como explicativa del problema.

En conclusión, se espera que las situaciones problemas trabajadas en la

investigación mejoren la comprensión y solución de sistemas de ecuaciones

lineales 2x2, y como sustenta Atehortúa (2017), generar un valor agregado a los

educadores y aumentar en los estudiantes el interés por el tema y por lo tanto en

la materia ya que se introducirán a la temática a través de sus diferentes

aplicaciones y no por medio de la mecanización, además, de que posibilita al

estudiante la construcción del propio conocimiento debido a su papel activo y

protagónico durante el proceso, haciendo a un lado la idea de estudiante receptor

de información e ideas impartidas por el docente.

1.3. Objetivos



1.3.2. Objetivo general

Analizar los aportes derivados de las investigaciones sobre la enseñanza y

el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y la teoría APOE, con miras

al diseño de una propuesta de enseñanza que permita el fortalecimiento de la

comprensión matemática en estudiantes del grado noveno.

1.3.3. Objetivos Específicos

➢ Identificar algunas estrategias didácticas reportadas en la literatura que

contribuyan con la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones

lineales 2x2 y la teoría APOE.

➢ Describir las posibilidades que ofrecen las diferentes investigaciones para el

diseño de una propuesta de enseñanza sobre los sistemas de ecuaciones

lineales. 2X2.

➢ Diseñar la estrategia didáctica para la enseñanza de ecuaciones lineales 2X2,

con miras al fortalecimiento de la comprensión matemática en estudiantes del

grado noveno.

1.4. MARCO REFERENCIAL


1.4.2. Referente teórico

Para la elaboración de la presente investigación, la cual tiene como eje

central la enseñanza y aprendizaje, se tomará como base el modelo constructivista,

el cual piensa al educando como un ser activo durante su proceso de aprendizaje,

lo cual lo hace el actor principal en la construcción de su conocimiento. Por tal

motivo, de acuerdo con Vygotsky (1978) citado por Delval (2012, pp.3-4), se hace

necesario que el aprendizaje este condicionado por la cultura y el contexto en el

que se desarrolla el estudiante, donde se posibilite una relación estrecha entre las

temáticas vistas en la escuela y las situaciones problemas que se presentan en los

diferentes espacios a los que se enfrenta el educando diariamente.

En relación con lo anterior, Piaget (1999), señala que todo lo que se le

enseña al niño, lo cohíbe de descubrirlo. El estudiante debe aprender a partir de

las situaciones presentadas por el medio en el que se desenvuelve, el conocimiento

no debe ser dado en forma de recetario y mecánica, por tanto, el aprendizaje es el

resultado de los procesos adaptativos del estudiante con el medio, la asimilación

de sus conocimientos y la modificación de estructuras cognitivas.

En la misma línea, Carretero (1997), argumenta que el constructivismo es

un modelo que procura la formación de sujetos diligentes, capaces de tomar sus

propias decisiones y formular juicios de valor, donde el conocimiento es una

construcción permanente del ser humano. Por ende, el aprendizaje se orienta al

proceso de adquisición de conocimientos antes que a los resultados.

Además, el Ministerio de Educación Nacional (1998), en los lineamientos

curriculares de matemáticas plantea:

El Constructivismo matemático es muy coherente con la Pedagogía

Activa y se apoya en la Psicología Genética; se interesa por las

condiciones en las cuales la mente realiza la construcción de los

conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en

estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene



consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la

generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el

maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante

necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede

reemplazar. (p. 11)

De acuerdo con lo anterior, se pretende una construcción del conocimiento

a partir de la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con

dos incógnitas por medio de situaciones problemas inéditas donde el estudiante

desarrolle una comprensión matemática, se enfrente a dichas situaciones haciendo

uso de sus conocimientos previos y propias experiencias que permitan

relacionarlas con el contexto y su cotidianidad e incluso con otras áreas del

conocimiento.

Pero, el aprendizaje del estudiante no es posible darse por sí solo y por

consiguiente se requiere de un apoyo teórico que lo sustente. Es por ello, que se

trabajará a partir de la teoría de comprensión matemática de Pirie y Kieren y la

teoría APOE de Dubinsky, ambas apoyadas en un modelo constructivista.

Pirie & Kieren (1989) citado por Meels (2003, p.13), definen la comprensión

matemática como algo estable pero que en ningún momento es lineal, no sigue

unas reglas u orden especifico necesariamente. Pero, la comprensión matemática

es recursiva y viene dada por niveles, donde cada nivel de comprensión esta

inmerso en los niveles siguientes.

La comprensión matemática de Pirie y Kieren está basada en un modelo de

crecimiento de siete niveles. Dichos niveles reciben el nombre de estratos, donde

el primer estrato es el de entendimiento primitivo, el cual es el punto de partida del

estudiante respecto al problema matemático al que se esté enfrentando y se refiere

al contenido central de la información dada según Meels (2003).

En el segundo nivel, de acuerdo con Meels (2003), llamado creación de

imagen, no necesariamente pictórica sino mental, el estudiante debe ser capaz de


plasmar algo, ya sea físico o mental, que le permita obtener una idea sobre un

concepto. Luego, está el estrato de comprensión de la imagen, consiste en la

articulación de varias imágenes abstraídas que permitan al estudiante reconocer

las propiedades tanto mentales como físicas de las imágenes matemáticas

abstraídas en el estrato anterior.

Meels (2003), menciona el cuarto estrato, llamado observación de la imagen,

como aquel donde el estudiante examina una imagen mental y es capaz de

determinar sus propiedades y al mismo tiempo establecer una conexión entre las

propiedades de las diferentes imágenes creadas.

El siguiente estrato, llamado formalización, según Meels (2003), permite al

estudiante producir definiciones matemáticas de acuerdo al tema trabajado, tales

definiciones no tienen que ser dadas necesariamente en un lenguaje matemático

formal, ya que la intención es que las definiciones concebidas por el educando

permitan desarrollar una comprensión en relación con lo trabajado, pero dicha

definición si debe respetar las reglas y propiedades matemáticas y ser equivalente

a una definición formal.

Luego, está el estrato de observación, en el cual el educando observa,

estructura y organizar sus procesos de pensamiento para luego llegar al estrato de

estructuración, en el cual la comprensión matemática pasa de un tema particular a

comprensiones más generales, de acuerdo a lo expuesto por Meels (2003).

Por otro lado, se encuentra la teoría de APOE de Dubinsky, compuesto de

cuatro elementos, acción, proceso, objeto y esquema, donde los primeros tres

permiten la construcción del último.

La acción, como punto de partida de la comprensión matemática, según

Asiala et al. (1996) citado por Meels (2003, p.19), identifica que la comprensión de

un concepto matemático surge a través de la manipulación de objetos físicos o

mentales primeramente construidos para establecer acciones. Luego, cuando la

acción es interiorizada por el estudiante se convierte en un proceso, el cual debe

ser descrito con propiedad y permite la construcción de procesos nuevos.



Seguidamente, cuando el estudiante transforma un proceso a partir de

acciones, está pasando a la consecución del objeto, y ya con éste, el cual contiene

los elementos anteriores, es posible crear un esquema. Finalmente, el esquema

son estructuras que permiten al estudiante comprender conceptos y resolver

situaciones problemas de matemáticas, de acuerdo con Meels (2003).

Ambas teorías, la de Pirie y Kieren y la de Dubinsky, según Meels (2003),

se basan en un modelo constructivista y concuerdan en que el estudiante es

constructor de su comprensión a partir de los elementos y situaciones dados por

los problemas matemáticos trabajados.

A manera de síntesis, la propuesta se fundamenta en un modelo pedagógico

constructivista apoyado en la comprensión matemática, ya que posibilita al

estudiante la construcción del conocimiento desde su propia experiencia y el

desarrollo de capacidades sociales, culturales, políticas y cognitivas.

1.4.3. Referente disciplinar y/o conceptual

La principal tarea de la enseñanza de la matemática debe ser el desarrollo

del pensamiento, el cual viene dividido en varios tipos según la temática tratada

dentro del área, ya sea numérico, variacional, métrico, espacial, algebraico o

aleatorio. Dicho desarrollo del pensamiento es posible por medio de la resolución

de problemas, pues este no solo implica que el estudiante afronte un problema e

intente solucionarlo a partir de sus saberes previos, sino que también sea capaz de

inventarlos. Contreras (1998), señala que la resolución de problemas permite al

sujeto que se enfrenta a un inconveniente la comprensión del mismo, y aunque en

un principio el estudiante no sea capaz de resolver el problema de forma adecuada,

su constante “entrenamiento” y orientación le dará con el tiempo las herramientas

adecuadas para la solución de las situaciones problemas planteadas.


La resolución de problemas, además, debe estar relacionada con la

cotidianidad y contexto del educando. D’Amore & Fandiño (2001), hablan de una

relación entre la matemática y la cotidianidad y suponen cinco consideraciones.

Entre las más importantes y acordes a la investigación en curso se encuentran,

primero, que debe existir una relación entre matemática, sociedad y cultura.

Segundo, relaciones entre las matemáticas cotidianas y aquellas que se imparten

en la escuela. Y tercero, una trascendencia del lenguaje en el aprendizaje. Con

respecto a la segunda consideración, el aprendizaje de las matemáticas debe tener

en cuenta la competencia cultural y se sugiere crear currículos que incluyan

instrumentos matemáticos que en realidad sean base reveladora de aprendizajes,

los cuales harán parte exclusiva de la cotidianidad.

La tercera consideración mencionada anteriormente y de acuerdo con

D’Amore & Fandiño (2001), es de suma importancia un manejo adecuado del

lenguaje especifico por parte del educando. La lógica es parte fundamental del

lenguaje y su funcionamiento, lo cual permita un aprendizaje conceptual.

De ahí la importancia de una estrategia de enseñanza de las matemáticas

que incluya situaciones problemas relacionadas con la cotidianidad y el contexto

del estudiante. Alsina, (2019) comparte la opinión de diferentes autores en cuanto

a los procesos de enseñanza-aprendizaje que involucran el contexto:

puede ser la vida cotidiana, cultural, científica, artificial, matemática, etc. Los

problemas del mundo real serán usados para desarrollar conceptos

matemáticos… luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de

formalizar y de generalizar… y volver a aplicar lo aprendido… y de reinventar

la matemática… (p. 3)

Para Fraudenthal, ¿Cómo crear contextos adecuados para poder enseñar

matematizando?... necesitamos problemas matemáticos que tengan un

contexto significativo para los estudiantes. (p. 3)

Para Mogens Niss, La competencia matemática es la habilidad de entender,

juzgar, hacer y usar matemáticas en una gran variedad de situaciones y



contextos en los cuales la matemática juega, o podría jugar un papel

importante. (p. 4)

Agregando a lo anterior, las situaciones problemas en contexto, de acuerdo

con lo propuesto en la investigación, deben estar relacionadas con la temática de

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas no solo en matemáticas, sino

también en otras áreas del saber.

La resolución de problemas por medio del planteamiento de sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas, supone que el sujeto debe emplear y

desarrollar un pensamiento variacional y dar un uso consiente de los sistemas

algebraicos y analíticos. El Ministerio de educación Nacional (1998), plantea que el

pensamiento variacional cumple un papel fundamental en la resolución de

problemas a través del uso de variaciones, cambios y modelaciones en situaciones

del contexto, las ciencias naturales y las ciencias sociales.

Las ecuaciones lineales cumplen un papel fundamental en el área de las

ciencias, ya que pueden ser usadas para describir comportamientos y procesos del

mundo físico. Es por ello que esta propuesta busca apoyarse en las situaciones

problemas desde diferentes áreas del conocimiento de las ciencias con la intensión

de fortalecer los diferentes procesos de enseñanza que impliquen el planteamiento

y solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

En la misma línea, la intención es mostrar la relación estrecha entre

situaciones problemas relacionadas con las ciencias exactas y los sistemas de

ecuaciones 2x2, y dar a conocer al estudiante la interdisciplinariedad del tema

tratado con otras áreas del saber y su aplicabilidad y que no solo vean dicha

temática como un derrotero de ejercicios y procedimientos algebraicos que deben

retener en su memoria.

Finalmente, para solucionar problemas que involucren diferentes situaciones

(matemáticas, físicas, químicas, biológicas, contables, etc.) por medio del

planteamiento de sistemas de ecuaciones, el MEN (2000), plantea que el


estudiante debe hacer uso del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos

y analíticos, ya que dicho pensamiento posibilita al sujeto reconocer, identificar,

modelar, simbolizar, representar, registrar y caracterizar variables en diferentes

contextos.

1.4.4. Referente legal

A continuación, se contienen las normas y documentos legales que

reglamentan el presente trabajo investigativo.

Tabla 1. Normograma

NORMATIVIDAD (Decreto – comunicado –

resolución – documento rector entre otros)

TEXTO DE LA NORMA (Fragmento literal o sintetizado)

CONTEXTO (Articulado al trabajo final)

Constitución política de Colombia Artículo 67. (p.11-12) (Asamblea Nacional Constituyente, 1991)

La educación es un derecho de la persona y un servicio público que tiene una función social; con ella se busca el acceso al conocimiento, a la ciencia, a la técnica, y a los demás bienes y valores de la cultura.

El Colegio Calasanz Femenino fomenta la construcción de sociedad humana y fraterna y forma para una vida útil en sociedad por medio de áreas fundamentales y optativas, proyectos de pastoral y acciones que forman para la investigación y la innovación.

Ley General de educación 115 de febrero 8 de 1994.

Artículo 22 (p. 7) Objetivos específicos de la

educación básica en el ciclo de secundaria.

(EL CONGRESO DE LA REPÚBLICA DE COLOMBIA,

1994)

c) El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico (…) la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la vida cotidiana.

La propuesta de trabajo pretende desarrollar en las estudiantes las capacidades necesarias que le permitan resolver problemas matemáticos relacionados con otras áreas del conocimiento y del contexto.

Estándares básicos de competencias en matemáticas. La formulación, tratamiento y

resolución de problemas. (p. 52) (Ministerio de Educación

Nacional, 2000b)

(…) las situaciones problema proporcionan el contexto (…) significativas para los alumnos. Estos problemas (…) convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad.

Con esta propuesta se pretende que el estudiante adopte un pensamiento crítico y que sea capaz de tomar decisiones acordes frente a las situaciones que se le presenten a nivel escolar, familiar y social.

Estándares básicos de competencias en matemáticas. El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos

(p. 66) (Ministerio de Educación

Nacional, 2000b)

Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas (…) la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.

Es de suma importancia desarrollar en el estudiante este tipo de pensamiento, ya que le permite construir conceptos y analizar variables de acuerdo a la experiencia que se presente en contexto.



Lineamientos curriculares. Matemáticas.

Referentes curriculares. Una nueva visión del conocimiento

matemático en la escuela (p. 14) (Ministerio de Educación

Nacional, 1998)

Privilegiar como contexto del hacer matemático escolar las situaciones problemáticas. (…) el uso comprensivo de la variable y sus diferentes significados, la interpretación y modelación de la igualdad y de la ecuación, las estructuras algebraicas como medio de representación y sus métodos como herramientas en la resolución de problemas (…)

Se pretende, a partir de problemas matemáticos relacionados con otras áreas del conocimiento, que el estudiante tenga la habilidad de identificar, modelar y representar variables y plantear sistemas de ecuaciones que conlleven a una posible solución del problema.

Elaboración propia (2021)

1.4.5. Referente espacial

El presente trabajo será desarrollado en el Colegio Calasanz Femenino

(CCF) de Medellín, una institución de carácter privado perteneciente al núcleo

educativo 929. El colegio está ubicado en la zona centro-occidental, en la comuna

número 11 Laureles-Estadio en el barrio Los Colores, exactamente en la Carrera

77b N°53ª-80, cerca de la Cuarta Brigada, la Universidad Salazar y Herrera y la

Universidad Luis Amigo. Brinda un servicio de formación en los niveles de

preescolar, Básica Primaria, Básica Secundaria y Media Académica. Es una

institución femenina, que atiende en promedio 600 estudiantes, en jornada de la

mañana. Un grupo de pre jardín, un grupo de jardín, dos grupos de transición, diez

grupos de primaria, seis grupos de la básica secundaria y cuatro grupos de la media

académica, para un total de 24 grupos.

En el CCF ingresan estudiantes de toda la ciudad y área metropolitana, en

su mayoría la comunidad vive en barrios de estrato medio alto ya que la gran

mayoría de sus estudiantes provienen de estratos cuatro y cinco. Las alumnas

hacen parte de familias funcionales y viven en muy buenas condiciones, sin

problemas de maltrato, alimentación y con lo necesario para desempeñarse bajo

buenos rendimientos académicos y de convivencia.

El Colegio Calasanz Femenino de Medellín, cimienta su currículo educativo

en la formación en piedad (formación en valores a inteligencia emocional) y letras


(formación académica, artística y cultural), además de involucrar métodos

investigativos en el aula.

Además, la institución, intenta a través de la educación, fortalecer al

educando en pro del progreso integral, por tal motivo se propone una oferta

pedagógica para la formación de sus estudiantes y familias, basada en el enfoque

desarrollista de Dewey y Piaget.

Con base en lo anterior, se puede concluir que las condiciones de la

institución y las estudiantes es favorable para desarrollar sin inconvenientes la

propuesta del presente trabajo y dar respuesta a la pregunta planteada y conseguir

los objetivos propuestos.



CAPITULO II.

2. Diseño metodológico

2.1. Enfoque

El diseño de la propuesta para la enseñanza y aprendizaje de los sistemas

de ecuaciones 2x2 por medio de la resolución de problemas que promuevan la

comprensión matemática y la teoría APOE, se inscribe en un paradigma cualitativo

en el cual, que según Gómez (2011), se busca interpretar y comprender la

información recopilada más que analizarla y explicarla. El enfoque cualitativo

permite una mejor adecuación del contexto social cuando se trabaja con personas,

ya que se es posible concordar con rasgos comunes, pero no absolutos y manejar

diferentes variables comportamentales.

De acuerdo con lo anterior, el enfoque cualitativo es el que mejor responde

a una investigación de tipo documental, ya que dicha investigación pretende que el

autor indague fuentes externas, las entienda y les de sentido, mostrando así

aspectos originales de su propio planteamiento de investigación. Gómez (2011)

plantea que el investigador debe buscar la manera de establecer un dialogo con

cada uno de los autores consultados, pero sin la intención de construir sus propios

marcos teóricos o dar explicaciones puntuales de una situación, sino por el

contrario, permitir una expresión propia de la realidad, con lógica y argumentos y

así construir nuevos conocimientos al respecto.

En conclusión, la intención de adoptar un enfoque cualitativo basado en la

investigación documental es con el fin de dar un carácter interpretativo y

comprensivo de la información consultada buscando captar lo que dicen

exhaustivamente los textos y generando un conocimiento de tipo interpretativo-

comprensivo.

31 2. Diseño metodológico

2.2. Método

La investigación documental según Morales (2003, p.3) citando a Alfonso

(1995), “la investigación documental es un procedimiento científico, un proceso

sistemático de indagación, recolección, organización, análisis e interpretación de

información o datos en torno a un determinado tema. Al igual que otros tipos de

investigación, éste es conducente a la construcción de conocimientos”.

De acuerdo con Morales (2003), la investigación documental se compone de

documentos que son el resultado de otras investigaciones y el conocimiento se

construye a partir de la lectura, análisis, interpretación, reflexión y síntesis de dichos

documentos. Es por ello que la lectura consciente del material bibliográfico

consultado es un instrumento fundamental de descubrimiento y aprendizaje

durante el desarrollo y construcción de la monografía.

Por otro lado, la lectura es otro pilar fundamental de la investigación

documental, ya que esta permite construir significados, reflexiones, observaciones,

vivencias, el producto de indagación, entre otras. Morales (2003).

Seguidamente, Morales (2003) propone una serie de pasos para el

desarrollo eficiente y obtener resultados exitosos durante la investigación

documental, entre los cuales se destacan: 1) la selección y delimitación del tema,

2) acopio de la información o fuentes de información, 3) organización de los datos

y elaboración de un esquema conceptual del tema, 4) análisis de los datos y

organización de la monografía, y 5) redacción de la monografía o informe de la

investigación y presentación final (oral y escrita).

En síntesis, para el desarrollo de la investigación documental, es de suma

importancia contar con un tema seleccionado y delimitado, plantear un marco de

referencia preliminar que posibilite la recolección de la información y su posterior

proceso de análisis y síntesis a través de la monografía o informe de la

investigación. Dicha monografía debe presentarse como un texto de información



expositiva y argumentativa con una estructura crítica y analítica de la información

recogida en las diferentes fuentes de información.

2.3. Instrumentos de recolección de información y

análisis de información

Para la recolección y análisis de la información, se tendrá como referente los

cinco pasos que propone Morales (2003) para obtener resultados exitosos durante

una investigación documental.

En un primer momento, se realiza la selección y delimitación del tema, que

para esté caso corresponde a la resolución de problemas de los sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de la teoría APOE de Dubinsky.

Seguidamente, se procede con el acopio de la información o fuentes de

información. Para ello, se indaga en diversas bases de datos (Dialnet, Google

académico, sistema de bibliotecas de la Universidad de Antioquia, base de datos

de la Universidad Nacional de Colombia, entre otras) teniendo en cuenta algunas

palabras claves como, resolución de problemas, sistemas de ecuaciones lineales,

y teoría APOE.

Del material consultado en base de datos, se tendrá en aquellos documentos

que correspondan a tesis de postgrado, artículos de investigación, ponencias

educativas, congresos de educación matemática. Además, se dará relevancia a

aquellos documentos con año de publicación más reciente, tomando como base un

intervalo de tiempo entre el año 2009 y el año 2019, sin ser este intervalo una

camisa de fuerza. Y como ultimo aspecto para el acopio se información, se tendrá

en cuenta tanto documentos nacionales como internacionales.

Como tercer momento, se realizará la organización de los datos y la

elaboración de una matriz conceptual del tema. Para ello, luego de haber

identificado los documentos más acordes del tema de investigación, se organizarán


en una matriz que permita recoger aspectos como: Año de publicación, tipo de

publicación, autores, titulo del documento, resumen, conclusión u opinión al

respecto y las referencias. Para más claridad, se adjunta dicha tabla.

Tabla 2: Esquema conceptual

Año: Carácter de la publicación:

Autores: Título:

Resumen:

Comentario:

Referencia:


Luego, se procederá a la redacción de la monografía o revisión de literatura

sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y la teoría APOE,

en la cual se pretende estructurar de forma analítica y critica la información

recogida en las distintas fuentes de información que se plasmaron en cada una de

las matrices conceptuales del tema.

Finalmente, y tomando como base el punto anterior, se procede con la

elaboración de la propuesta de intervención de enseñanza sobre los sistemas de

ecuaciones lineales, la cual contará con su respectivo nombre, justificación,

población a la que va dirigida, tópicos específicos a enseñar, las sesiones en las

que estará dividida la unidad, las cuales permitirán trabajar cada una de las

estructuras mentales de la teoría APOE y los objetivos correspondientes a cada

sesión.



2.4. Conformación del corpus

Para la selección del material bibliográfico y su posterior revisión, se tuvo en

cuenta que correspondieran a trabajos de maestría o artículos en educación o

enseñanza enfocados en la resolución de problemas a partir de los sistemas de

ecuaciones lineales y la implementación metodológica de la teoría APOE de

Dubinsky. Además, el material bibliográfico seleccionado corresponde a tesis de

maestría y artículos publicados en un intervalo de tiempo entre el 2003 y el 2019,

esto con la intención de tener material lo más actualizado y contemporáneo posible

que se relacione aún con las prácticas de enseñanza y aprendizaje de alguna rama

de las matemáticas.

Entre el material seleccionado se cuenta con cinco artículos de índole

investigativo, entre los cuales cuatros corresponden a trabajos internacionales y

uno de aspecto nacional, de los cuales cuatro se enfocan en la construcción de

algún concepto matemático por medio de la teoría APOE y el articulo restante a la

enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales.

De igual forma, se cuenta con tres tesis de maestría, las cuales son de índole

nacional y todas correspondientes a la Maestría de enseñanza de las ciencias

exactas y naturales de la Universidad Nacional de Colombia. De ellas, dos tesis

corresponden a la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas y la tesis restante involucrada con la teoría APOE.

A continuación, se muestra la caracterización del rastreo bibliográfico.

Tabla 3: Caracterización rastreo bibliográfico

NOMBRE DOCUMENTO

AUTOR AÑO TIPO NACIONAL INTERNACIONAL

Construcción del concepto de función desde la Teoría APOE: La coordinación entre

Hellen Catherine Serrano Iglesias & Solange

2019 Ponencia, XV CIAEM, Conferencia interamericana de educación matemática.

X


representaciones como apoyo.

Roa Fuentes

APOE y la Generalización como Estrategia Cognitiva para el Aprendizaje en Técnicas de Conteo.

Isabel Maturana Peña, Marcela Parraguez González & Alejandro Nettle Valenzuela.

2015 Ponencia, XIV CIAEM, Conferencia interamericana de educación matemática.

X

La comprensión matemática desde la teoría “APOE”: el caso de la integral definida de Riemann.

Eliécer Aldana Bermúdez

2013 Ponencia, VII CIBEM, Congreso Iberoamericano de Educación Matemática.

X

La teoría APOE y su aplicación en la traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de primer orden.

José Luis Ramírez, Carmen Azcárate & Felipe Manya.

2004 Artículo de investigación.

X

Secuencia didáctica que le permite a los estudiantes de octavo y noveno interpretar y usar las nociones de conteo en la solución de problemas de combinación y permutación.

Diana Lucía Domínguez Patiño

2016 Tesis de maestría.

X

Las ecuaciones lineales, desde situaciones cotidianas.

Bibiana Sirley Arenas Suaza

2013 Tesis de maestría.

X

Propuesta didáctica para la enseñanza de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Aura Alejandra Ariza Daza & Jorge Alejandro Rojas Gómez

2013 Artículo de investigación

X

Propuesta metodológica para la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante problemas de aplicaciones contables.

Diana Patricia Atehortúa Bedoya

2017 Tesis de maestría

X




2.5. Delimitación y alcance

La presente profundización, pretende proponer una propuesta de enseñanza

sobre el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que permita al

estudiante profundizar en la comprensión de dicha temática y establecer una

relación con otras áreas del saber.

Dicha profundización, tendrá en cuenta cuatro categorías fundamentales a

considerar en el proceso de resolver problemas aplicados en diferentes contextos,

mencionados por el MEN (1998) en los lineamientos curriculares de matemáticas;

a) el dominio matemático, como los recursos que posee el estudiante y que utiliza

en problemas planteados, por medio de procedimientos, definiciones,

concepciones, hechos, entre otros; b) estrategias cognoscitivas, las cuales incluyen

métodos que permiten la descomposición del problema en casos más simples,

establecer diagramas, usar material tangible y tablas, facilitar la reconstrucción y

buscar patrones; c) estrategias metacognitivas, relacionadas con el monitoreo e

inspección con respecto a la clasificación y ejecución de recursos y habilidades,

planeación y evaluación; y d) sistemas de creencias, permiten determinar la forma

en que el estudiante se aproxima al problema, las técnicas implementadas, el

tiempo y esfuerzo dedicado.

37 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE

CAPITULO III

3. Revisión de literatura sobre la enseñanza de los

sistemas de ecuaciones lineales y la teoría APOE

El presente trabajo surge de la necesidad de profundizar en las formas de

enseñanza y aprendizaje del concepto matemático de sistemas de ecuaciones

lineales con dos incógnitas y sus diferentes métodos de solución a partir de la

resolución de problemas.

El docente investigador, a partir de su propia experiencia, ha evidenciado

como el proceso de enseñanza en matemáticas se ha convertido en una especie

de recetario que en la mayoría de los casos consiste, en un primer momento la

explicación teórica del concepto, luego se realiza la ejemplificación y la ejercitación,

y finalmente la aplicación del concepto. Considerando que, en la mayoría de los

casos, la ejercitación y aplicación del concepto es similar al ejemplo previamente

presentado, lo cual limita al estudiante a un pensamiento mecánico y donde un

ejercicio o problema matemático que se salga de dicho esquema se termina

convirtiendo en un dolor de cabeza tanto para el educando como para el docente.

Continuando con lo anteriormente mencionado, los estudiantes no hacen

una adecuada relación del concepto matemático cuando este debe ser aplicado en

otros niveles escolares y en otras ramas del saber. Y esto puede darse debido a

los procesos de aprendizaje del educado, el cual aprende un concepto matemático

de forma memorística o como si estuviera siguiendo un libro de recetas, donde se

acostumbra a solucionar problemas matemáticos similares donde se siguen los

mismos pasos, lo cual conlleva. Se evidencia, también, que los estudiantes quieren

llegar a una respuesta de manera inmediata en la resolución de problemas o que

sea dada por el profesor.



Es por ello, que se pretende realizar una revisión bibliográfica sobre la

enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de

dos vertientes. La primera, la resolución de problemas y su importancia en el

aprendizaje del concepto matemático a tratar; y segundo, las operaciones mentales

que debe desarrollar el educando para interiorizar de manera adecuada el

concepto, todo esto a partir de la teoría APOE de Dubinsky que propone que el

sujeto debe pasar por cuatro etapas o estructuras cognitivas en su proceso de

aprendizaje, la acción, el proceso, el objeto y el esquema.

A continuación, se presenta el producto de la revisión de literatura de

acuerdo con las categorías de búsqueda: enseñanza de los sistemas de

ecuaciones lineales e implementación de la teoría APOE en los procesos de

enseñanza y aprendizaje del concepto matemático.

3.1. Enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales

Arenas (2013), en su tesis de maestría “Las ecuaciones lineales, desde

situaciones cotidianas”, propone una experiencia que apoye el proceso de

enseñanza aprendizaje de estudiantes de grado noveno en la temática de sistemas

de ecuaciones lineales 2X2 y su transversalización con las demás ciencias del

conocimiento.

Se destaca el interés de la autora por trabajar los sistemas de ecuaciones

lineales 2x2 a partir de situaciones problemas relacionados con los contextos

sociales y culturales de los estudiantes. Además, de favorecer los procesos de

enseñanza aprendizaje por medio de la implementación de las TIC dando uso a

plataformas como Moodle y las diferentes herramientas educativas que esta trae

consigo.


Se considera que los contextos en que viven los estudiantes son de suma

importancia en el momento de realizar una intervención pedagógica, ya que a partir

de esas situaciones cotidianas es posible generar una estrategia de enseñanza

aprendizaje basada en la práctica que motive al educando. Se debe relacionar los

procesos de enseñanza y aprendizaje con el contexto social y cultural del

estudiante debido a que esto posibilita la relación del contenido con ambientes

fuera del aula

En la misma línea, se debe aprovechar el auge del desarrollo tecnológico y

las múltiples herramientas educativas que han surgido con estos, debido a que

estos favorecen la práctica docente y son de suma importancia para el diseño de

las actividades y los experimentos realizados.

De acuerdo con Arenas (2013), la vinculación de la enseñanza de los

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de la resolución

problemas sumando el apoyo de diferentes herramientas tecnológicas educativas,

favorecen el desarrollo de distintos procesos de pensamiento debido a que el

estudiante percibe los conceptos matemáticos de una manera diferente vinculando

los modos de pensamiento sintético-geométrico, analítico-aritmético, y analítico-

estructural.

Seguidamente Ariza & Rojas (2013), en su propuesta didáctica para la

enseñanza de los diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones

lineales, evidencian que las principales dificultades de los estudiantes en el

aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 es que no identifican el método

más pertinente a usar en la solución de un problema matemático dado, además,

no dominan el concepto de variable o incógnita y por lo tanto tienen inconvenientes

al designar con letras distintas a incógnitas diferentes. A lo cual los investigadores

concluyen que esto es debido a que no hay un adecuado manejo del concepto y

una correcta manipulación de ecuaciones lineales.

Es por ello que, para el diseño de la propuesta didáctica, Ariza & Rojas

(2013) plantean dos situaciones fundamentales de aprendizaje. La primera



situación tiene como objetivo lograr que los estudiantes identifiquen ecuaciones

lineales y comprendan los conceptos de función lineal y pendiente. En esta

situación se pretende que la comprensión de función lineal se dé a partir del manejo

de datos en tablas, diagramas en el plano cartesiano y su correspondiente

expresión algebraica.

La segunda situación tiene como objetivo impulsar en los estudiantes la

capacidad de comprender en qué situaciones de debe plantear un sistema de

ecuaciones lineales, reconocer los deferentes métodos de solución de dicho

sistema y usar el más pertinente o adecuado para dar solución al problema, Ariza

& Rojas (2013).

De acuerdo con los dos párrafos anteriores, se resalta la importancia que

dan los investigadores a la comprensión del concepto y al manejo adecuado de

conceptos previos como ecuación de primer grado y función lineal ya que, a partir

de allí, teniendo claridad de términos tales como variable o incógnita, variable

dependiente e independiente, pendiente; se facilitan los procesos de aprendizaje y

enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución.

Además, se destaca la necesidad de que el docente realice una reflexión

constante de su práctica, no solo al finalizar una clase, sino también antes y durante

la misma. En otras palabras, durante la fase preactiva, interactiva y postactiva.

De igual forma, Atehortúa (2017) en su tesis de maestría sobre la enseñanza

de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante resolución de

problemas, propone una metodología a través de una secuencia didáctica, ya que

esta permite que el estudiante logre las metas educativas propuestas por medio de

varios recursos y así garantizar la mejora sustancial del proceso de aprendizaje.

Además, se propone una secuencia didáctica que este compuesta por tres

experiencias especiales. La experiencia conceptual, en la cual se plantean

actividades que llevan al estudiante a realizar de deducción de los conceptos

matemáticos que se desean trabajar de tal forma que los mismos puedan ser


aplicados en ejercicios trabajados más adelante. La experiencia práctica, donde se

plantean actividades que tienen que ver con la aplicación de los conceptos en

situaciones problemas específicas. Y la experiencia de análisis, en la cual se

evalúan los conceptos presentados durante las guías, Atehortúa (2017).

Con respecto a esta propuesta de intervención, Atehortúa (2017) concluye

que trabajar los métodos de solución y la resolución de problemas en la enseñanza

de los sistemas de ecuaciones lineales, posibilita en los estudiantes desarrollar

habilidades que los acercan y los familiarizan con el concepto matemático, y

permite fortalecer los procesos de comunicación, razonamiento y resolución de

problemas.

3.2. Implementación de la teoría APOE en los procesos de

enseñanza y aprendizaje del concepto matemático

Serrano & Roa (2019), en la quinceava conferencia interamericana de

educación matemática, sustentan que el concepto matemático, particularmente el

de función, es complejo de asimilar para los estudiantes debido a que su proceso

de enseñanza y aprendizaje en la mayoría de los casos se realiza desde un énfasis

procedimental donde el educando se limita a solucionar problemas matemáticos de

forma estructural y mecánica y se deja de lado su análisis conceptual. Es por ello

que proponen una investigación apoyada en la Teoría APOE, ya que esta permite

realizar procesos de aprendizaje enfocados en la construcción de conceptos

matemáticos.

Arnon et al. (2014) citados por Serrano & Arroa (2019, p.3), definen la

estructura mental como aquella donde el individuo puede dar sentido a situaciones

matemáticas. Dicha estructura se construye en la mente del participante y tiene la

posibilidad de continuar desarrollándose para recibir el nombre de mecanismo

mental.



Las estructuras de la Teoría APOE están nombradas como: Acción,

Proceso, Objeto y Esquema. Y los mecanismos se definen como: interiorización,

encapsulación, coordinación, reversión, desencapsulación, tematización y

generalización.

Las relaciones entre dichas las estructuras y mecanismos son presentadas

a partir de un diagrama cíclico, de la siguiente forma:

Figura 1: Estructuras y mecanismos mentales para la construcción de

contenido matemático.

Fuente: tomado de Serrano & Roa (2010)

De acuerdo con lo anterior, Roa & Serrano (2019) basan su investigación en

el ciclo de la Teoría APOE, el cual involucra tres componentes: análisis teórico,

diseño e implementación de instrucción, y recolección y análisis de datos.


Enfocándose en la descomposición genética, la cual está determinada por la

experiencia de los individuos resolviendo situaciones problemas relacionadas con

un concepto determinado como parte de la enseñanza matemática.

La implementación de la Teoría APOE permite al estudiante interiorizar

conceptos matemáticos desde los mecanismos y estructuras planteadas por la

teoría, apoyándose principalmente en la descomposición genética la cual posibilita

la construcción de una secuencia de enseñanza o didáctica dividida en tres

momentos: el análisis teórico, donde se pretende realizar el estudio de un concepto

determinado a partir de diferentes referentes, libros de texto, investigaciones

realizadas al respecto y las propias experiencias; diseño e implementación de

modelos de enseñanza que busquen desarrollar la construcción de estructuras

mentales; y finalmente, la recolección y análisis de datos los cuales se hacer a

partir de los instrumentos implementación para llevar a cabo la validación de los

dos momentos anteriores.

Roa & Serrano (2019) concluyen que la descomposición genética puede ser

usada por cualquier estudiante con el que se pretenda llevar a cabo la enseñanza

de un concepto en particular. Además, la descomposición genética es una

herramienta que posibilita la elaboración e implementación de secuencias de

enseñanza y aprendizaje.

Del mismo modo, Maturana et al. (2015) consideran que la aplicación de una

propuesta metodológica apoyada en la Teoría APOE posibilita la comprensión

matemática del concepto.

Implementar la teoría APOE en los procesos de enseñanza y aprendizaje de

cualquier concepto matemático permite construir un modelo explicativo de los

procesos de generalización por medio de la descomposición genética, la cual

posibilita la generalización como proceso cognitivo de la matemática e interpretar

estrategias cognitivas en el aprendizaje de los procesos.



Así mismo, Aldana (2013) en su investigación acerca de la comprensión de

integral definida de Riemann apoyado en la Teoría APOE propone una

descomposición genética, y para ello utilizar un cuestionario, una entrevista y un

mapa conceptual que permita la triangulación de la información, para luego realizar

un análisis a partir de relaciones lógicas que se den entre elementos matemáticos

transmitidos en diferentes sistemas de representación.

Además, DeVries citado por Aldana (2013), sugiere clasifica el desarrollo de

un esquema de acuerdo con las características y cualidades de los estudiantes.

Los alumnos en el nivel intra-1, son aquellos que no son capaces de establecer

ningún tipo de relación entre los elementos matemáticos, recuerdan los elementos

de memoria, pero se les hace difícil establecer una relación con situaciones

problemas dadas. En el nivel intra, los estudiantes intentan hacer una conexión

lógica entre los elementos matemáticos y utilizarlos en la resolución de problemas,

presentando el inconveniente de que no sintetizan de forma adecuada dichos

elementos matemáticos. El nivel inter-1, es aquel donde el educando es capaz de

dar uso a la conjunción lógica de manera correcta entre los elementos matemáticos

de un sistema de representación, y recuerda algunos elementos gráficos,

algebraicos y/o analíticos, y además realiza una buena síntesis entre el sistema

gráfico y algebraico.

Paso seguido, en el nivel inter, Aldana (2013) identifica que los estudiantes

comprenden los elementos matemáticos necesarios y establece una relación de

conjunción lógica entre los elementos gráficos, algebraicos y analíticos. Además,

recuerdan los elementos necesarios en la resolución de un problema y en la

mayoría de los casos realizan una buena síntesis de los sistemas de

representación gráfico, algebraico y analítico.

Luego, en el nivel trans el individuo se caracteriza por usar diferentes

relaciones lógicas entre los elementos matemáticos de manera correcta, suele

recordar los elementos matemáticos necesarios para la resolución de problemas y


tiene una adecuada síntesis de los sistemas de representación gráfico, algebraico

y analítico.

continuamente, Aldana (2013) concluye que en el nivel INTRA se da un

intento de conjunción lógica entre los elementos del concepto, pero de manera

inconclusa, mientras que en los niveles INTER 1, INTER y TRANS aumentan las

relaciones lógicas de manera progresiva, aunque se evidencia dificultad para

coordinar los distintos sistemas de representación y establecer una síntesis entre

ellos.

Es bastante interesante la forma en que el Aldana (2013) divide por niveles

las actividades implementadas, ya que esto permite clasificar a los estudiantes de

acuerdo con la comprensión matemática que presentan del concepto matemático

y el tipo de descomposición genética que realizan de acuerdo con su nivel.

Continuando en la misma línea, Azcárate et al. (2004) estudian las falencias

que se presentan cuando se pide a un estudiante la formalización de la estructura

lógica de un enunciado dado en el lenguaje común. Ante lo cual se evidencia entre

las dificultades más comunes de los estudiantes que a) no diferencian entre una

proposición y un predicado, b) incluyen cuantificadores en el predicado, c) tienden

a usar predicados unarios en lugar de binarios, d) intercambian el orden de los

cuantificadores en enunciados don doble cuantificación, e) entre otros.

Para el análisis del problema planteado, Azcárate et al. (2004) proponen

usar un enfoque investigativo apoyado en la Teoría APOE, dentro de la cual se

debe considerar tres componentes:

➢ Análisis teórico inicial sobre el significado de comprender un concepto

y cómo dicha comprensión puede ser construida por el aprendiz.

➢ Lograr que los estudiantes elaboren las construcciones identificadas

en el análisis teórico.

➢ La obtención de datos a partir de la implementación de la propuesta

instruccional.



Azcárate et al. (2004) concluye que la Teoría APOE permite hacer un

análisis del proceso de traducción y la descomposición genética propuesta

evidencia las acciones mínimas que posibilitan un mejor aprendizaje y que se

reflejan en las estructuras mentales que se deben formar en un proceso instructivo.

Así mismo, Domínguez (2016) en su secuencia didáctica sobre la solución

de problemas matemáticos, pretende favorecer los mecanismos mentales que

contribuyen en la construcción de los conceptos de combinación y permutación

teniendo como fundamento la Teoría APOE.

Es por ello por lo que basado en la teoría APOE, Domínguez (2016) procura

realizar una descripción teórica del concepto la cual recibe el nombre de

descomposición genética (DG). Dicha DG permite constituir el concepto

matemático, orienta el orden del contenido a enseñar y el planteamiento de las

actividades que favorecen en la construcción de las estructuras mentales (acción,

proceso, objeto y esquema) que se buscan desarrollar en los estudiantes.

Además, Domínguez (2016) sustenta que la implementación de una prueba

diagnóstica es una herramienta pedagógica que tiene como objetivo ser el punto

de partida y de acuerdo con los resultados obtenidos ser el insumo para el

planteamiento de la descomposición genética y la estructuración del concepto a

trabajar. Una propuesta basada en la descomposición genética de la teoría APOE

es viable y de ella se pueden construir nuevas propuestas didácticas para la mejora

de la enseñanza y aprendizaje de conceptos matemáticos y ser implementada en

la institución educativa que se desee.

En concordancia con lo expuesto por los autores mencionados

anteriormente y como apoyo para la construcción de la secuencia didáctica que se

pretende, es de resaltar que lo expuesto por Aldana (2013) sirve como apoyo en la

investigación que se pretende acerca de la enseñanza de los sistemas de

ecuaciones lineales 2x2 ya que al trabajar la comprensión matemática desde la


teoría APOE, los niveles intra, inter y trans permitirán la construcción de actividades

de acuerdo con los objetivos propuestos y diferenciar la capacidad de análisis y

síntesis de la población en que se trabaja independiente del concepto tratado.

De igual forma, es de suma importancia la relación que se plantea entre

análisis teórico mencionado por algunos de los autores y la descomposición

genética de la teoría APOE, ya que la comprensión de un concepto matemático en

particular de debe realizar primero desde la indagación teórica del concepto que

dan diferentes autores, textos, libros guías y trabajos de investigación, y de acuerdo

con ello plantear el proceso más adecuado que se ajuste al proceso de aprendizaje

de los estudiantes.

Luego, la descomposición genética o análisis teórico del concepto que

realicen los estudiantes debe dar constancia de las estructuras mentales y de su

evolución según avancen en las etapas del proceso planteado en pro de la

construcción del concepto matemático tratado.

Finalmente, se resalta la importancia de repetir el proceso de enseñanza

propuesto las veces que sea necesario con el fin de obtener mejores resultados en

la intención de alcanzar ese esquema mental que posibilite la comprensión del

tema a tratar.

49 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE

CAPITULO IV

4. Propuesta de Enseñanza sobre los

Sistemas de Ecuaciones lineales

Nombre de la unidad didáctica: Sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas

Justificación

La secuencia didáctica es diseñada con la intención de apoyar y reforzar los

procesos de aprendizaje de los estudiantes de grado noveno en relación con el

tema de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y se enfoca en las construcciones

mentales: acción, proceso, objeto y esquema, de la Teoría APOE. En las

actividades de aprendizaje y la evaluación propuestas se utilizan algunos de los

diferentes métodos de solución de un sistema de ecuaciones (gráfico, sustitución,

igualación y reducción) como herramienta que potencie la comprensión matemática

del concepto mencionado, sin seguir procesos meramente mecánicos o

memorísticos. Es por ello por lo que la propuesta se centra en la indagación y

búsqueda de herramientas para los procesos de enseñanza de los métodos de

solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas como soporte para

el aprendizaje y comprensión del concepto matemático.

La propuesta teórica APOE, según Domínguez (2016), permite demarcar y

describir el camino hacia la edificación de un concepto matemático determinado en

la mente del estudiante. Dicha descripción teórica recibe el nombre

descomposición genética, la cual estructura el concepto matemático y orientar el

diseño de actividades que promueven el desarrollo de las estructuras mentales con

respecto al concepto matemático a potenciar.

Arrieta (2010), describe cada una de las estructuras mentales de la teoría

APOE de la siguiente manera:



• Una acción corresponde a una operación mental o física que al ser

repetida permite la transformación de un objeto mental o físico. Y a medida que

se va repitiendo la acción, esta se va interiorizando y deja de convertirse en un

proceso de influencias externas para convertirse en una construcción interna

llamada proceso. En el caso de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, el

estudiante desarrollará la acción del concepto cuando, por ejemplo, al resolver

un problema por el método que sea, lo hace siguiendo pasos similares a otros

problemas.

• Un proceso, complementa Arrieta (2010), es aquel donde el

estudiante reflexiona acerca de un determinado concepto y realiza

transformaciones mentales sin necesidad de actuar sobre él. Los procesos son

de carácter interno y son los estudiantes los que tienen el control y describen el

concepto sin necesidad de interactuar con él. Para el concepto particular de

sistemas de ecuaciones lineales, el proceso de evidencia cuando el estudiante

sea capaz de determinar el método más conveniente para solucionar el

problema dado reflexiona sobre dicho proceso y le asigna un significado a la

acción ejecutada.

• El objeto se da cuando el estudiante reflexiona acerca de las

operaciones aplicadas en cierto proceso y evidencia que las transformaciones

actúan sobre él, por tal motivo se dice que ha encapsulado dicho proceso como

un objeto cognitivo. En el caso particular de la propuesta, el estudiante tendrá

el mecanismo de objeto del concepto de sistema de ecuaciones lineales 2x2

cuando reconoce en una situación problema cada una de sus partes, el tipo de

sistema, sus variables y el método de solución más efectivo, estableciendo

relaciones entre cada uno de los fragmentos del procedimiento que permiten

hallar la solución del problema.

• Finalmente, el esquema consiste en la colección coherente de los

mecanismos anteriores, acción, proceso y objeto y sus relaciones con el

concepto matemático. Dicho esquema hace parte de un ciclo que está obligado

a evolucionar continua y dinámicamente. Además, el esquema permite la


conexión del individuo con otros esquemas concernientes a diversos conceptos

matemáticos.

Es por lo anterior que el esquema pretende contribuir a la construcción

de futuros conceptos matemáticos abordados y trabajados por el educando.

Solo a partir de la experiencia con otros esquemas en conceptos matemáticos

ya trabajados, el estudiante podrá interiorizar, relacionar y construir otros

esquemas.

Presentación de la unidad

La secuencia didáctica, cuenta con cinco sesiones y una evaluación. La

primera como una prueba diagnóstica que permita visualizar el dominio de los

conceptos previos de los estudiantes, necesarios para abordar el referente temático

de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas; la segunda sesión

enfocada en la conceptualización y ejercitación de los diferentes métodos de

solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas; y para las demás

sesiones, cada una de ellas se enfoca en una construcción mental de la teoría

APOE; en la sesión N°3 se trabaja la acción; en la cuarta sesión el proceso; la

quinta sesión el objeto y finalmente, la evaluación, donde el educando pueda crear

o formar una relación entre las estructuras de acción, proceso y objeto para llegar

finalmente a un marco coherente llamado esquema.

Población

La secuencia se propone para desarrollarla con estudiantes de grado

noveno en concordancia con los estándares básicos de competencias en

matemáticas establecidos por el Ministerio de Educación Nacional. Con el fin de

promover la comprensión matemática del concepto matemático de acuerdo con las

estructuras mentales de la teoría APOE y dar respuesta a ciertas falencias y

necesidades observadas en la práctica pedagógica en relación con la resolución

de problemas científicos que involucran el planteamiento de sistemas de

ecuaciones, su interpretación y su posterior solución.



Conceptos previos

Para el desarrollo de la guía, es necesario que los estudiantes tengan

algunas nociones o manejo de conceptos previos, tales como:

➢ Concepto de función

➢ Elementos de una función

➢ Representación de funciones

➢ Función lineal y función afín

➢ Pendiente de la recta

➢ Ecuación general de la recta

➢ Ecuaciones de primer grado

➢ Manejos básicos de la herramienta GeoGebra

Tópicos específicos por enseñar

Los tópicos por desarrollar en la presente guía son los aquellos necesarios

para alcanzar las metas y objetivos propuestos en el desarrollo del pensamiento

numérico y variacional según los estándares de competencias de matemáticas

establecidos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN). Ellos son:

➢ Sistemas de ecuaciones lineales

❖ Generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales

❖ Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

➢ Métodos de solución de sistemas de ecuaciones 2x2

❖ Resolución de sistemas por el método gráfico

❖ Resolución de sistemas por el método de sustitución

❖ Resolución de sistemas por el método de igualación

❖ Resolución de sistemas por el método de reducción o

eliminación

❖ Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones


Tareas u objetivos

Al finalizar el desarrollo y solución de la secuencia se pretende que los

estudiantes alcancen unos niveles de desempeño y unas evidencias de

aprendizaje de acuerdo con el saber, el saber hacer y el saber ser.

• Saber:

❖ Plantear y resolver problemas que conducen a sistemas de

ecuaciones 2x2

❖ Identifica diferentes métodos, relaciones entre propiedades y

gráficas para solucionar ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas

• Saber hacer:

❖ Resolver problemas que involucren el planteamiento y solución

de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

❖ Identificar situaciones donde dos variables se relacionan

linealmente.

• Saber ser:

❖ Comprende que el disenso y la discusión constructiva

contribuyen al progreso del grupo.

❖ Prevé las consecuencias que pueden tener las diversas

alternativas de acción propuestas frente a una decisión colectiva.

Presentación de los objetivos

Tabla 4: Objetivo de las intervenciones

Situación didáctica/ Construcciones

mentales

Objetivos

Sesión 1/Prueba diagnóstica Evidenciar dificultades y fortalezas de

los estudiantes, necesarias para el

manejo adecuado en un futuro proceso



de enseñanza y aprendizaje de los

sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

Sesión 2/Introducción Conceptualizar a los estudiantes sobre

los sistemas de ecuaciones lineales

2x2 y ejercitar sus posibles soluciones

a través de los métodos más comunes:

sustitución, igualación, reducción y

gráfico.

Sesión 3/Acción Resolver un sistema de ecuaciones

lineales 2x2 imitando los pasos de un

sistema similar de acuerdo con el

método de solución trabajado.

Sesión 4/Proceso Resolver un sistema de ecuaciones

lineales 2x2 usando el método de

solución que se considere pertinente.

Sesión 5/Objeto Plantear y solucionar sistemas de

ecuaciones lineales 2x2 a partir de la

información dada.


Diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje en relación con los

objetivos y contenidos.

4.1. Sesión N°1

Tiempo: 2 horas

Tema: Conceptos previos a los sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas


Objetivo: Evidenciar dificultades y fortalezas de los estudiantes, necesarias

para el manejo adecuado en un futuro proceso de enseñanza y aprendizaje de los

sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

Prueba diagnóstica

La presente prueba pretende evaluar los conceptos previos de los

estudiantes y dar a conocer al docente las falencias y habilidades con el fin de

implementar un plan de acción adecuado y pertinente según la descomposición

genética que se realice de acuerdo con la teoría APOE.

1. Determine el dominio, codominio y rango de las funciones dadas:

Tabla 5: Relaciones y funciones

Dominio: _____________

Codominio: ___________

Rango: ______________

Dominio: _____________

Codominio: ___________

Rango: ______________


2. Determine la pendiente, el intercepto con el eje y la ecuación explícita de la

recta de acuerdo con la siguiente gráfica.

Figura 2: Función lineal




3. Utilice GeoGebra para ubicar los puntos que indican. Luego, resuelve.

Figura 3: Gráfico en GeoGebra

Nota: Función lineal y afín. Fuente: tomado de Desafíos matemáticos 9 (2019)

Es posible determinar una función afín que pase por los puntos:

a) A y B

b) B y C

c) A y C


d) A y D

4. Utilice GeoGebra para ubicar otro punto de la línea recta, a partir de la

información. Luego resuelve.

Figura 4: Ecuación de la recta en GeoGebra

Nota: Ecuación de la recta. Fuente: tomado de Desafíos matemáticos 9 (2019)

➢ Use la herramienta Recta para trazar la línea recta en cada caso.

➢ Observe la ventana de la vista algebraica y encuentre la ecuación explícita

de cada recta.

Trece una recta que pase por los puntos (-8, -2) y (2, 4). Luego, determine

la ecuación explícita de la recta.

➢

5. Un supermercado ofrece dos tipos de carne molida: light con 4% de materia

grasa por libra y sabrosa con 10% de materia grasa por libra, pero desea ofrecer

una tercera opción a sus clientes.

Figura 5: Estimación carne molida

Nota: Situación problema. Fuente: tomado de Desafíos matemáticos 9 (2019)



Determine la ecuación que permite conocer la cantidad de libras que se debe

mezclar de cada clase de carne, si la tercera opción de carne molida debe tener

6% de materia grasa por libra.

6. La siguiente gráfica representa el movimiento de un objeto entre 0 y 10 minutos.

a) Escriba las ecuaciones de cada una de las rectas que describen el

movimiento del objeto.

b) ¿En qué sector el objeto recorrió más km en menos tiempo?

c) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total el objeto?

4.2. Sesión N°2

Tiempo: 5 horas de clase

Tema: Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y sus

diferentes métodos de solución.

Objetivo: Conceptualizar a los estudiantes sobre los sistemas de

ecuaciones lineales 2x2 y ejercitar sus posibles soluciones a través de los métodos

más comunes: sustitución, igualación, reducción y gráfico.

Para está sesión, los estudiantes van a explorar e interactuar con un curso

de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 creado en la plataforma Moodle

(http://maescentics1.medellin.unal.edu.co/juosoriop). Allí deben reconocer las

diferentes herramientas y beneficios que proporciona dicha plataforma virtual.

La intención es que cada estudiante tenga un usuario y una contraseña que

le permita interactuar de forma independiente con la plataforma y dar solución a

cada una de las actividades propuestas. Además, esto le permite al docente

realizar una valoración cuantitativa del desempeño de los estudiantes. Aunque la


plataforma está configurada para que los educandos puedan ingresar como

invitados sin necesidad de un usuario y una contraseña.

Figura 6: Ingresando a Moodle

Nota: Entrada al curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en Moodle

(2021)

Por otro lado, se debe aclarar que la mayoría de los videos y los enlaces

usados en la plataforma, no son una construcción propia, sino que fueron

adaptaciones de diferentes herramientas encontradas en la web que proporcionen

a los estudiantes la facilidad de acercarse y comprender el concepto matemático a

trabajar.

Al ingresar a la plataforma, el estudiante se encontrará con un mensaje de

bienvenida, una breve introducción donde se menciona el contenido del curso de

sistemas de ecuaciones lineales 2x2 (SEL2x2), una carpeta con material de apoyo

para el curso como, teoría, ejemplos y ejercicios complementarios. Además, de un

glosario que contiene conceptos claves de los SEL2x2 con sus respectivas

ilustraciones.



Figura 7: Inicio del curso de SEL2x2

Nota: Bandeja principal del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso

en Moodle (2021)

Luego, el educando se encontrará con los capítulos o referentes temáticos

a desarrollar en el curso y lo que contiene cada referente.

Figura 8: Referentes temáticos del curso SEL2x2


Nota: Contenido del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en

Moodle (2021)

En el referente de historia y contextualización, el estudiante tendrá la

oportunidad de realizar en un primer momento una prueba diagnóstica en la que

se pretende evaluar los conocimientos de este con respecto a la función lineal.

Luego, se encuentra un libro llamado “contexto histórico e introducción a los

SEL2x2” el cual está dividido en dos capítulos, 1) Las ecuaciones lineales en la

historia de las matemáticas y, 2) Situación de aprendizaje acerca de los SEL2x2.

Finalmente, el estudiante hallará un enlace sobre la historia de las ecuaciones

lineales con la intención de profundizar en lo trabajado durante el presente

referente temático.

Figura 9: Historia y contextualización de los SEL2x2



Nota: Primera unidad del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en

Moodle (2021)

Paso seguido, se encuentra el referente temático nombrado “Sistemas de

ecuaciones lineales” en donde el educando tendrá la oportunidad de visualizar los

conceptos claves para tener en cuenta en el tema tratado a partir de un mapa

conceptual. Más adelante, se encuentra un video interactivo el cual tiene como

intención que el estudiante a partir de una representación realizada por el mismo

docente explicando en qué consisten los sistemas de ecuaciones lineales, vaya

respondiendo a ciertas preguntas que se van haciendo en el transcurso del video.

Finalmente, habrá una prueba de selección múltiple que le permitirá al estudiante

evaluar su propio aprendizaje acerca del tema tratado.

Figura 10: Contextualización sobre SEL2x2


Nota: Segunda unidad del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en

Moodle (2021)

Para concluir, se encuentran cada uno de los métodos de solución de los

SEL2x2 propuestos para abordar en la presente unidad didáctica. Cada método de

solución trae consigo una breve explicación de este con su respectivo ejemplo, el

cual se da a través de un video; una prueba interactiva corta y una guía de

ejercitación.

Figura 11: Métodos de solución de los SEL2x2



Nota: Unidad tres, cuatro, cinco y seis del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración

propia del curso en Moodle (2021)

4.3. Sesión N°3

Tiempo: 1 hora

Tema: Solución de sistemas de ecuaciones 2x2

Objetivo: Resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 imitando los

pasos de un sistema similar de acuerdo con el método de solución trabajado.

En esta sesión, se pretende que el estudiante desarrolle la estructura de

acción propuesta por Dubinsky en la teoría APOE. Dicha acción consiste en la

transformación de un objeto vista por el sujeto como algo externa y que conlleva a

una reacción detallada de pasos a seguir. Breindenbach citado por Barbosa (2003),

define la acción como aquella operación repetible, física o mental que convierte

objetos como números, conjuntos, figuras geométricas, etc. para obtener nuevos

objetos.

Es por ello, que se propondrá al estudiante dar solución a cuatro ejercicios.

Cada ejercicio propuesto será solucionado con un método de solución determinado

y teniendo como referencia un ejemplo dado, pero se contará con el apoyo de un

ejemplo.


Actividad

Del punto 1 al 4, resolver según el método de solución pedido y teniendo como

base el ejemplo dado:

1. Ejemplo: La oferta y la demanda de un producto se modelan mediante

funciones en términos de la cantidad de elementos producidos 𝑥. En punto de

equilibrio, en economía, se define como el valor en el que la demanda y la oferta

con iguales. Si la oferta y la demanda de cierto producto se pueden representar

por las ecuaciones que definen el siguiente sistema de ecuaciones:

{2𝑦 − 6𝑥 = 4 → 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎

2𝑦 − 4𝑥 = 12 → 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎

Determine su punto de equilibrio.

Solución:

La ecuación de oferta y demanda representan rectas en el plano, por lo cual se

grafican ambas y se observa su punto de corte. Para este caso, se usará la

herramienta educativa GeoGebra, la cual arroja lo siguiente:



Figura 12: Intersección entre rectas

Elaboración propia en GeoGebra (2021)

De acuerdo con la intersección de las rectas en el plano, es posible evidenciar que

el punto de corte es P (4, 14), lo cual representa el punto de equilibrio económico

y la solución de sistema. Para dicho caso se puede afirmar que las ecuaciones de

oferta y demanda alcanzan su punto de equilibrio cuando se han producido cuatro

unidades del producto.

Ejercicio propuesto: A partir del ejemplo anterior, determine el punto de equilibrio

si las ecuaciones de oferta y demanda definen el siguiente sistema de ecuaciones:

{𝑥 + 3𝑦 = 6 → 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎

2𝑥 − 6𝑦 = 0 → 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎

2. Ejemplo: Determine el punto de intersección de las ecuaciones 3𝑦 + 2𝑦 = 3 y

−𝑥 + 5𝑦 = 16, usando el método de igualación.

Calcular el punto de intersección equivale a encontrar la solución del sistema

de ecuaciones:

{3𝑦 + 2𝑥 = 3

−𝑥 + 5𝑦 = 16


Solución:

Primero, se debe despejar una de las variables en las dos ecuaciones. Para

este caso, se despejará la x.

𝑥 =3

2(1 − 𝑦) 𝑥 = 5𝑦 − 16

Segundo, se igualan las expresiones obtenidas y se obtiene la ecuación

3

2(1 − 𝑦) = 5𝑦 − 16

Dicha ecuación está en términos de la variable 𝑦. Luego se despeja dicha

variable y se obtiene que

3

2−

3

2𝑦 = 5𝑦 − 16

𝑆𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

3

2+ 16 = 5𝑦 +

3

2𝑦

35

2=

13

2𝑦

𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦

∴ 𝑦 =35

13

Finalmente, para calcular el valor de 𝑥 se despeja el valor obtenido

anteriormente en cualquiera de las dos ecuaciones

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒

𝑥 =3

2(1 − 𝑦)

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑥 =3

2(1 −

35

13)

𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

∴ 𝑥 = −33

13

Por lo tanto, se puede concluir que el punto de intersección de las ecuaciones

dadas es 𝑃 (−33

13,

35

13).



Ejercicio propuesto: Determine el punto de intersección de las ecuaciones

7𝑥 + 4𝑦 = 13 y 5𝑥 − 2𝑦 = 19, usando el método de igualación.

3. Ejemplo: Use el método de sustitución para determinar la solución al siguiente

sistema de ecuaciones

{𝑥 − 10𝑦 = −492𝑥 + 3𝑦 = 247

Primero, se escoge una de las dos ecuaciones y se despeja una de las

variables. En este caso, se despejará 𝑥 de la primera ecuación

𝑥 − 10𝑦 = −49

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥

𝑥 = 10𝑦 − 49 → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3

Segundo, se sustituye la variable 𝑥 en la segunda ecuación usando la igualdad

obtenida en el paso anterior

2(10𝑦 − 49) + 3𝑦 = 247

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑

20𝑦 − 98 + 3𝑦 = 247


23𝑦 = 345

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦

∴ 𝑦 =345

23= 15

Paso seguido, para determinar el valor de 𝑥, se reemplaza el valor obtenido en

la ecuación 3

𝑥 = 10(15) − 49

𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒

∴ 𝑥 = 101

Finalmente, se concluye que la solución del sistema es 𝑥 = 101 y 𝑦 = 15.

Ejercicio propuesto: use el método de sustitución parra calcular la solución de

los siguientes sistemas de ecuaciones

a) {2𝑥 − 4𝑦 = 62𝑦 − 𝑥 = −3


b) {5𝑥 − 3𝑦 = −18

2𝑥 + 𝑦 = −5

4. Ejemplo: Use el método de eliminación para calcular la solución del sistema de

ecuaciones dado.

{𝑥 + 4𝑦 = 3𝑦 − 5𝑥 = 8

Primero, se multiplica la segunda ecuación por -4 para obtener el siguiente

sistema de ecuaciones

{𝑥 + 4𝑦 = 3

(−4)(𝑦 − 5𝑥) = (−4)8→ {

2𝑥 + 4𝑦 = 3−4𝑦 + 20𝑥 = −32

Luego, se suman las dos ecuaciones del nuevo sistema

2𝑥 + 4𝑦 = 3 +

20𝑥 − 4𝑦 = −32

22𝑥 + 0 = −29

𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎

𝑥 = −29

22

Por último, se reemplaza el valor de la variable 𝑥 en una de las ecuaciones

iniciales y se obtiene el valor de 𝑦

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛

−29

22+ 4𝑦 = 3


4𝑦 =95

22

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦

𝑦 =95

88

Por lo tanto, la solución del sistema dado es 𝑥 = −29

22 y 𝑦 =

95

88

Ejercicio propuesto: Use el método de eliminación o reducción para hallar la

solución de los sistemas de ecuaciones dados

a) {−4𝑥 + 5𝑦 = 9𝑥 + 7𝑦 = −4



b) {11𝑥 − 6𝑦 = −14𝑥 + 7𝑦 = −2

4.4. Sesión N°4

Tiempo: 1 hora


Objetivo: Resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 usando el método

de solución que se considere pertinente.

En esta sesión, se pretende que el estudiante reflexione sobre sus acciones

antes de solucionar un problema matemático sin contar con el apoyo de ayudas o

estímulos externos, llegando a interiorizar la acción como un proceso. Para este

caso particular, el educando debe ser capaz de solucionar un sistema de

ecuaciones lineales 2x2 sin imitar necesariamente el método usado en un problema

similar. Además, es capaz de describir los pasos necesarios para solucionar un

sistema sin necesidad de llevar a cabo su plan.

Es por ello, que en esta sesión se propondrá al estudiante un conjunto de

problemas matemáticos que permitan reflexionar acerca de las partes de un

sistema, su significado, las posibles formas y métodos de solucionar un sistema,

su conjunto solución, entre otros.

Actividad

1. Use el método de solución deseado para calcular los valores de las variables

del sistema dado. Luego, responda las preguntas de acuerdo con la solución

encontrada.

{2𝑥 − 4𝑦 = 82𝑦 − 𝑥 = −4

a) ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?


b) Plantee una situación problema relacionada con el sistema de ecuaciones

dado y soluciónela usando un método diferente.

2. Revise el procedimiento que se realizó para resolver el sistema de ecuaciones,

explique dónde está el error y corríjalo.

{

10𝑥 − 8𝑦 = −14

2𝑥 −6

5𝑦 = −4

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑥 =−7 + 4𝑦

5

𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑥 = −2 +3

5𝑦

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑦

−7 + 4𝑦

5= −2 +

3

5𝑦

−35 + 20𝑦 = −2 +3

5𝑦

−25 = −5𝑦

5 = 𝑦

𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥

𝑥 =−7 + 4(5)

5

𝑥 =13

5

∴ 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 (13

5, 5)

3. Plantee un sistema de ecuaciones que modele el problema y resuelva.

Mario vende chocolates y galletas dulces en su tienda. Cada chocolate cuesta

500$ y cada galleta 750$. El miércoles vendió 210 productos entre chocolates

y galletas. Al abrir la tienda tenía en la caja registradora 40.000$ y finalizando

la jornada tenía 58.000$. ¿Cuántos chocolates y cuántas galletas se vendieron

el martes?



4.5 Sesión N°5

Tiempo: 1 hora


Objetivo: Plantear y solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir

de la información dada.

Cuando el estudiante reflexiona acerca de las acciones realizadas en un

proceso especifico adquiere una conciencia y percibe las transformaciones que

pueden actuar sobre él y se siente capaz para construirlas. Y cuando se presenta

dicha construcción o reconstrucción sobre un proceso, se dice que encapsulo aquel

proceso como un objeto cognitivo.

Por lo anterior, en la presente sesión se pretende proponer al estudiante

ciertos ejercicios y problemas matemáticos que permitan realizar acciones y

procesos a partir de la reconstrucción de estos. Y más que solucionar un sistema

de ecuaciones lineales dado, el objetivo es que el estudiante plantee el sistema a

partir de los datos que se dan y luego los solucione.

Actividad

1. A partir de las rectas que se muestran, plantee el sistema de ecuaciones que

estas representan y calcule el conjunto solución.

a) Una de las rectas pasa por el origen y por el punto (5, -2)


Figura 13: Intersección entre rectas N°2


b) Una de las rectas corta el eje y en 2 y su pendiente es 3/7

Figura 14: Intersección entre rectas N°3


2. María resuelve un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución, en

el primer paso obtiene la ecuación 𝑦 = −1

2𝑥 −

3

2, al sustituirla en la segunda

ecuación del sistema y despejar obtiene que 𝑥 = 1.

a) ¿Cuál es la segunda ecuación del sistema que debe solucionar María?



b) ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?

c) ¿El conjunto solución corresponde a un sistema consistente, inconsistente

o indeterminado?

d) ¿Es posible plantear otros sistemas de ecuaciones con los valores obtenidos

de las variables? Plantee por lo menos otros tres sistemas.

3. Dado el sistema de ecuaciones

{−6𝑥 + 3𝑦 = 𝑎12𝑥 − 6𝑦 = 18

a) ¿Cuál es el valor que debe tener a para que el sistema sea consistente?

b) ¿Cuál es el valor que debe tener a para que el sistema sea inconsistente?

c) ¿Cuál es el valor que debe tener a para que el sistema sea indeterminado?

4. Si la ecuación que permite encontrar el valor de x es equivalente a 14𝑥 + 16 =

2𝑥 − 8. ¿Es posible plantear el valor de 𝑦 del sistema de ecuaciones? Plantee

por lo menos tres sistemas de ecuaciones que sean consecuentes con el

conjunto solución.

5. Si se sabe que la solución de un sistema es 𝑥 = 2 + 3𝑡, 𝑦 = 5 + 2𝑡. ¿Podrías

encontrar un sistema con esa solución?

75 5. Conclusiones y recomendaciones

CAPÍTULO V

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1. Conclusiones

Durante la elaboración del presente trabajo, fue posible la deconstrucción de

la práctica docente en matemáticas, específicamente en la enseñanza de los

sistemas de ecuaciones lineales 2x2 en el grado noveno. Dicha deconstrucción

permitió trazar unos objetivos específicos que buscarán mejorar los procesos de

enseñanza a partir de la construcción de una secuencia didáctica enfocada en la

resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la

comprensión matemática y la teoría APOE.

Para la construcción o proposición de la estrategia didáctica se realizó en un

primer momento, un análisis documental de trabajos de investigación relacionados

con el concepto matemático a trabajar y la teoría EPOE a implementar. A partir del

análisis documental, fue posible indagar y diseñar una secuencia didáctica que

involucre la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con

dos incógnitas a partir del desarrollo de las estructuras mentales propuestas en la

teoría APOE de Dubinsky.

La revisión de literatura permitió profundizar en este caso, los procesos de

enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

desde diferentes aspectos como los tipos de solución, consistente, inconsistente o

indeterminado; los métodos de solución, que metodológicamente fueron trabajados

el método gráfico, de igualación, de sustitución y de eliminación o reducción; estos

métodos trabajados a partir de la resolución de problemas y buscando la

construcción de las estructuras mentales acción, proceso, objeto y esquema que

desarrolla el estudiante a partir de la implementación de la teoría APOE de



Dubinsky. Todo esto dirigido hacia la pregunta “¿Qué estrategia didáctica basada

en la resolución de problemas, contribuye a la enseñanza de los sistemas de

ecuaciones 2x2 por medio de la comprensión matemática y la teoría APOE en los

estudiantes de grado noveno?”.

Y aunque la no fue posible implementar la estrategia didáctica planteada en

la propuesta de intervención, es válido afirmar que esta busca contribuir de forma

positiva en el proceso de enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones

lineales con dos incógnitas debido a que plantea en un primer momento la

aplicación de una prueba diagnóstica, la cual tiene como objetivo evidenciar

fortalezas y debilidades de los estudiantes en relación con los saberes previos que

se deben tener en cuenta para el desarrollo e implementación de los procesos de

enseñanza del concepto matemático de sistemas de ecuaciones lineales 2x2; y

seguidamente se desarrollan las sesiones en los cuales se busca involucrar al

estudiante en el tema matemático especifico a tratar y cómo este se puede ir

desarrollando y potenciando la comprensión matemática a partir de la metodología

propuesta por la teoría APOE de Dubinsky.

En el aspecto personal y profesional, la construcción de una secuencia

didáctica basada en la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por

medio de la teoría APOE, aportó una reflexión de mi práctica docente y una

descomposición genética del concepto de enseñanza y aprendizaje matemático,

ya que permitió reevaluar las diferentes formas y métodos de mi actuar en el aula

de clase y transfórmalos en un proceso cíclico de actividades y discusiones que

permita en los estudiantes un desarrollo de las estructuras mentales propuestas

por Dubinsky en su teoría para alcanzar la comprensión matemática del concepto.

Finalmente, es importante resaltar la infinidad de trabajos de investigación

que se encuentran sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con

dos incógnitas a través de la resolución de problemas, pero el poco material que

relaciona el concepto matemático mencionado con la comprensión matemática

propuesta por la teoría APOE de Dubinsky.

77 5. Conclusiones y recomendaciones

5.2 Recomendaciones

Aunque la situación actual de salud pública que se vive a nivel mundial no

permitió realizar la implementación de la secuencia didáctica, se sugieren las

siguientes recomendaciones en caso de una posible y futura implementación.

De acuerdo con lo sugerido por Dubinsky en su teoría APOE, realizar la

descomposición genética del concepto matemático a través de una prueba

diagnóstica y a partir de esta, modificar y planear cada una de las estrategias de

enseñanza y aprendizaje que tengan como objetivo el desarrollo de las

estructuras mentales de acción, proceso, objeto y esquema, recordando que la

estructura final comprende las tres anteriores y que el desarrollo de la misma

termina siendo un proceso cíclico que además permite ser la descomposición

genética de entrada para futuros conceptos matemáticos a tratar.

Pensarse la implementación de las actividades de forma que se posibilite

el trabajo colaborativo guiado por el profesor, promoción de la reflexión y de las

estructuras mentales deseadas, uso de las TIC, discusión en clase con el profesor

a través de una reflexión conjunta y formal, y la asignación de tareas por medio

de ejercicios y problemas de manera individual o en equipo.

Como posible evaluación que permita evidenciar el aprendizaje de los

estudiantes con respecto al concepto matemático trabajado, se podría

implementar una estrategia donde ellos mismos diseñen problemas matemáticos

que involucren situaciones problemas relacionados con otras ramas del saber,

como matemática financiera, física, química, entre otras.

Finalmente, se dejan a disposición del lector investigador algunas

preguntas que sirvan como orientación o camino para la implementación de la

secuencia didáctica planteada en la propuesta de intervención: 1) ¿Cuál es la

influencia en los procesos de enseñanza y aprendizaje que se genera a partir de

la implementación de la estrategia didáctica propuesta?, 2) ¿Qué tipo de



actividades se podrían implementar como complemento a las ya propuestas en la

estrategia de intervención?, y 3) Teniendo en cuenta la situación de pandemia que

se vive actualmente o alguna que se pueda generar en el futuro, ¿de qué forma

implementar la estrategia didáctica propuesta teniendo como base la educación

virtual?, ¿qué tipo de herramientas o recursos virtuales educativos implementar

que sea posible y garantice la comprensión matemática a partir de la Teoría

APOE?

79 Referencias

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desde la Teoría APOE: La coordinación entre representaciones como apoyo.

XV Conferencia Interamericana de educación matemática CIAEM.

Conferencia llevada a cabo en Medellín, Colombia.

Valenzuela, J & Flores, M. (2012). Fundamentos de investigación educativa,

volumen 2



ANEXOS

A. Rastreo bibliográfico

1. Año: 2019

Carácter de la publicación: XV

CIAEM, Conferencia interamericana de

educación matemática.

Autores: Hellen Catherine Serrano

Iglesias & Solange Roa Fuentes

Título: Construcción del concepto de

función desde la Teoría APOE: La

coordinación entre representaciones

como apoyo.

Resumen: En el documento expuesto, las autoras pretenden mostrar avances

de una propuesta de investigación basada en la construcción del concepto de

función apoyada en los elementos que componen la Teoría APOE.

En un primer momento, las autoras sustentan que el concepto de función es

complejo de asimilar para los estudiantes debido a que su proceso de enseñanza

y aprendizaje en la mayoría de los casos se realiza desde un énfasis

procedimental. Es por ello que la investigación está apoyada en la Teoría APOE,

ya que esta permite realizar procesos de aprendizaje enfocados en la

construcción de conceptos matemáticos.

Seguidamente, se realiza una exposición de los elementos de la Teoría APOE

los cuales están divididos en estructuras y mecanismos mentales.

85 Anexos

Las autoras, citando a Arnon et al. (2014), definen la estructura mental como

aquella donde el individuo puede dar sentido a situaciones matemáticas. Dicha

estructura se construye en la mente del participante y tiene la posibilidad de

continuar desarrollándose para recibir el nombre de mecanismo mental.

Las estructuras de la Teoría, están nombradas como: Acción, Proceso, Objeto y

Esquema. Y los mecanismos se definen como: interiorización, encapsulación,

coordinación, reversión, desencapsulación, tematización y generalización.

Las relaciones entre las estructuras y mecanismos son presentadas a partir de

un diagrama cíclico, de la siguiente forma:

De acuerdo a lo anterior, las autoras basan su investigación en el ciclo de la

Teoría APOE, el cual involucra tres componentes: análisis teórico, diseño e

implementación de instrucción, y recolección y análisis de datos. Enfocándose

en la descomposición genética, la cual está determinada por la experiencia de

los individuos resolviendo situaciones problemas relacionadas con un concepto

determinado como parte de la enseñanza matemática.

Finalmente, las autoras concluyen que la descomposición genética puede ser

usada por cualquier estudiante con el que se pretenda llevar a cabo la enseñanza

de un concepto en particular. Además, la descomposición genética es una

herramienta que posibilita la elaboración e implementación de secuencias de

enseñanza y aprendizaje.



Comentario: Se resalta la implementación de la Teoría APOE y como esta

permite al estudiante interiorizar conceptos matemáticos desde los mecanismos

y estructuras planteadas por la teoría, apoyándose principalmente en la

descomposición genética la cual posibilita la construcción de una secuencia de

enseñanza o didáctica dividida en tres momentos: el análisis teórico, donde se

pretende realizar el estudio de un concepto determinado a partir de diferentes

referentes, libros de texto, investigaciones realizadas al respecto y las propias

experiencias; diseño e implementación de modelos de enseñanza que busquen

desarrollar la construcción de estructuras mentales; y finalmente, la recolección

y análisis de datos los cuales se hacer a partir de los instrumentos

implementación para llevar a cabo la validación de los dos momentos anteriores.

Referencia: Serrano, H., & Roa, S. (mayo de 2019). Construcción del concepto

de función desde la Teoría APOE: La coordinación entre representaciones como

apoyo. XV Conferencia Interamericana de educación matemática CIAEM.

Conferencia llevada a cabo en Medellín, Colombia.

2. Año: 2015

Carácter de la publicación: XIV

CIAEM, Conferencia interamericana de

educación matemática.

Autores: Isabel Maturana Peña,

Marcela Parraguez González &

Alejandro Nettle Valenzuela.

Título: APOE y la Generalización como

Estrategia Cognitiva para el

Aprendizaje en Técnicas de Conteo.

87 Anexos

Resumen: La propuesta expuesta por lo autores consiste en la aplicación de

una propuesta metodológica apoyada en la Teoría APOE que posibilite la

comprensión matemática en técnicas de conteo.

La propuesta consiste en una descomposición genética para interpretar

estrategias cognitivas en el aprendizaje de los procesos de la Teoría APOE, a

partir de tres situaciones de conteo por medio de configuraciones figurales.

La experiencia se realizó como un estudio de casos y se aplicó en estudiantes

de primer semestre de la carrera en pedagogía y licenciatura en matemáticas en

dos universidades de Chile, donde a cada uno se le aplicó el ciclo de

investigación de la teoría APOE, el cual forma: a) un análisis teórico, conocido

como descomposición genética; b) un diseño, basado en la descomposición

genética teórica y la aplicación de instrumentos; y c) un análisis y verificación de

datos.

Las actividades realizadas con cada uno de los casos de estudio consistían en

el manejo del GeoPlano y la construcción de polígonos, con la intención de contar

los puntos que hacían parte del contorno de la figura, los puntos de su interior y

analizar de cuántas formas era posible construir un polígono pedido. Además, se

pretendía que los estudiantes infirieran o llegaran a la fórmula de Pick para el

cálculo del área de un polígono (lo cual no fue posible).

Otra de las actividades consistía en posicionar una ficha sobre una circunferencia

dada y analizar de cuantas maneras posibles podía ubicarse la ficha sobre la

circunferencia, de lo cual se evidenció que la descomposición genética a la que

se llegó no posibilitó la construcción mental de un esquema, como último objeto

de la teoría APOE.

Finalmente, los autores concluyen que el implemento de la experiencia permite

construir un modelo explicativo de los procesos de generalización para el proceso

de aprendizaje de las técnicas de conteo por medio de la descomposición



genética, la cual posibilita la generalización como proceso cognitivo de la

matemática.

Comentario: Se resalta la experiencia propuesta por los autores, ya que es

bastante clara la intención de indagar el proceso cognitivo matemático por medio

de los procesos de enseñanza aprendizaje de las técnicas de conteo, a partir de

la descomposición genética mencionada en la Teoría APOE.

Las tres sesiones propuestas para el trabajo sobre técnicas de conteo

implementadas en los estudiantes de licenciatura de ambas universidades son

de gran interés para introducirlos en el tema, pero también se evidencia lo

complicado que es que los estudiantes hagan de esas acciones, un proceso y de

estos un esquema, lo cual era lo pretendido por los autores.

Referencia: Maturana, I., Parraguez, M. & Nettle, A. (mayo de 2015). APOE y la

Generalización como Estrategia Cognitiva para el Aprendizaje en Técnicas de

Conteo. XIV Conferencia Interamericana de educación matemática CIAEM.

Conferencia llevada a cabo en Chiapas, México.

3. Año: 2013

Carácter de la publicación: VII

CIBEM, Congreso Iberoamericano de

Educación Matemática.

Autores: Eliécer Aldana Bermúdez

Título: La comprensión matemática

desde la teoría “APOE”: el caso de la

integral definida de Riemann.

Resumen: El autor, realiza una investigación acerca de la comprensión de

integral definida de Riemann apoyado en la Teoría APOE. Para dicha

89 Anexos

investigación, al autor realiza un estudio de libros de texto e identifica los

conceptos que intervienen en una integral definida: el área como aproximación,

el área como límite de una suma, propiedades de la integral definida y los

teoremas fundamentales y del valor medio.

Con la identificación de las partes que componen el concepto de integral, el autor

propone una descomposición genética, y para ello utiliza un cuestionario, una

entrevista y un mapa conceptual que permitan la triangulación de la información,

y el análisis se realizó a partir de relaciones lógicas que se dan entre elementos

matemáticos transmitidos en diferentes sistemas de representación.

Además, apoyado en DeVries (2001), el autor clasifica el desarrollo de un

esquema como: Intra, donde se identifican aspectos individuales aislados; inter,

se realiza una construcción de relaciones; y trans, se da la construcción del

esquema completo.

En el análisis y resultados, el autor identifica que los alumnos en el nivel intra-1,

son aquellos que no son capaces de establecer ningún tipo de relación entre los

elementos matemáticos, recuerdan los elementos de memoria, pero se les hace

difícil establecer una relación con situaciones problemas dadas.

En el nivel intra, el autor se percata que los estudiantes intentan hacer una

conexión lógica entre los elementos matemáticos y utilizarlos en la resolución de

problemas, presentando el inconveniente de que no sintetizan de forma

adecuada dichos elementos matemáticos.

El nivel inter-1, es aquel donde el educando es capaz de dar uso a la conjunción

lógica de manera correcta entre los elementos matemáticos de un sistema de

representación, y recuerda algunos elementos gráficos, algebraicos y/o

analíticos, y además realiza una buena síntesis entre el sistema gráfico y

algebraico.



Paso seguido, en el nivel inter, el autor identifica que los estudiantes comprenden

los elementos matemáticos necesarios y establece una relación de conjunción

lógica entre los elementos gráficos, algebraicos y analíticos. Además, recuerdan

los elementos necesarios en la resolución de un problema y en la mayoría de los

casos realizan una buena síntesis de los sistemas de representación gráfico,

algebraico y analítico.

Luego, en el nivel trans el individuo se caracteriza por usar diferentes relaciones

lógicas entre los elementos matemáticos de manera correcta, suele recordar los

elementos matemáticos necesarios para la resolución de problemas y tiene una

adecuada síntesis de los sistemas de representación gráfico, algebraico y

analítico.

Finalmente, el autor concluye que en el nivel INTRA se da un intento de

conjunción lógica entre los elementos del concepto, pero de manera inconclusa,

mientras que en los niveles INTER 1, INTER y TRANS aumentan las relaciones

lógicas de manera progresiva, aunque se evidencia dificultad para coordinar los

distintos sistemas de representación y establecer una síntesis entre ellos.

Comentario: Es bastante interesante la forma en que el autor divide por niveles

las actividades implementadas, ya que esto permite clasificar a los estudiantes

de acuerdo con la comprensión matemática que presentan del concepto de

integral definida y el tipo de descomposición genética que realizan de acuerdo

con su nivel.

Lo anterior puede servir como apoyo a otros docentes investigadores que deseen

trabajar la comprensión matemática desde la teoría APOE, ya que los niveles

intra, inter y trans permitirán la construcción de actividades de acuerdo a los

objetivos propuestos y diferenciar la capacidad de análisis y síntesis de la

población en que se trabaja independiente del concepto tratado.

91 Anexos

Referencia: Aldana, E. (septiembre de 2013). La comprensión matemática

desde la teoría “APOE”: el caso de la integral definida de Riemann. VII Congreso

Iberoamericano de Educación Matemática. Conferencia llevada a cabo en

Montevideo, Uruguay.

4. Año: 2004 Carácter de la publicación: Artículo

de investigación.

Autores: José Luis Ramírez, Carmen

Azcárate & Felip Manya.

Título: La teoría APOE y su aplicación

en la traducción de enunciados del

lenguaje natural al lenguaje de la lógica

de primer orden.

Resumen: El trabajo presentado esta centrado en estudiantes en los primeros

cursos de lógica de las carreras de informática o sistemas computacionales. Y la

intención de los autores es estudiar las falencias que se presentan cuando se

pide a un estudiante la formalización de la estructura lógica de un enunciado

dado en el lenguaje común.

Los educadores evidenciaron las dificultades de los estudiantes de dos grupos

diferentes a partir de la aplicación de cuestionarios, y entre las dificultades más

comunes se encuentra: a) no diferencian entre una proposición y un predicado,

b) incluyen cuantificadores en el predicado, c) tienden a usar predicados unarios

en lugar de binarios, d) intercambian el orden de los cuantificadores en

enunciados don doble cuantificación, e) entre otros.

Para el análisis del problema planteado, los investigadores usarán un enfoque

investigativo apoyado en la Teoría APOE, dentro de la cual consideran tres

componentes:



➢ Análisis teórico inicial sobre el significado de comprender un concepto y cómo

dicha comprensión puede ser construida por el aprendiz.

➢ Lograr que los estudiantes elaboren las construcciones identificadas en el

análisis teórico.

➢ La obtención de datos a partir de la implementación de la propuesta

instruccional.

Además, los tres componentes son un ciclo que si es necesario se debe repetir

hasta obtener unos resultados estables.

De acuerdo con la teoría APOE el resultado del análisis teórico es lo que se

denomina la “descomposición genética”, lo cual es el primer paso para alcanzar

la comprensión del concepto que se pretende enseñar. En el caso particular de

los autores, se realizará una descomposición genética del concepto de

traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la lógica.

Para facilitar el estudio, los autores proponen descomponer la traducción de

enunciados en tres etapas: a) Enunciado -> Representación, b) Análisis

sintáctico y c) Representación -> Análisis.

Finalmente, los investigadores concluyen que la Teoría APOE permite hacer un

análisis del proceso de traducción y la descomposición genética propuesta

evidencia las acciones mínimas que posibilitan un mejor aprendizaje y que se

reflejan en las estructuras mentales que se deben formar en un proceso

instructivo.

Comentario: Es de suma importancia la relación que se plantea entre análisis

teórico mencionado por los autores y la descomposición genética de la teoría

APOE, ya que de acuerdo con lo planteado en la investigación, la comprensión

de un concepto matemático en particular de debe realizar primero desde la

indagación teórica del concepto que dan diferentes autores, textos, libros guías

93 Anexos

y trabajos de investigación, y de acuerdo con ello plantear el proceso más

adecuado que se ajuste al proceso de aprendizaje de los estudiantes.

Luego, la descomposición genética o análisis teórico del concepto que realicen

los estudiantes debe dar constancia de las estructuras mentales y de su

evolución según avancen en las etapas del proceso planteado en pro de la

construcción del concepto matemático tratado.

Por otro lado, se resalta la importancia de repetir el proceso de enseñanza

propuesto las veces que sea necesario con el fin de obtener mejores resultados

en la intención de alcanzar ese esquema mental que posibilite la comprensión

del tema a tratar.

Referencia: Ramírez, J., Azcárate, C. & Manya, F. (2004). La teoría APOE y su

aplicación en la traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la

lógica de primer orden. Acta Latinoamericana de matemática educativa. (17),

313-318.

5. Año: 2016 Carácter de la publicación: Tesis de

maestría.

Autores: Diana Lucía Domínguez

Patiño

Título: Secuencia didáctica que le

permite a los estudiantes de octavo y

noveno interpretar y usar las nociones

de conteo en la solución de problemas

de combinación y permutación.

Resumen: La propuesta presentada pretende favorecer los mecanismos

mentales que contribuyen en la construcción de los conceptos de combinación y

permutación teniendo como fundamento la Teoría APOE.



Basado en la teoría APOE, se procura realizar una descripción teórica del

concepto la cual recibe el nombre de descomposición genética (DG). Dicha DG

permite constituir el concepto matemático, orienta el orden del contenido a

enseñar y el planteamiento de las actividades que favorecen en la construcción

de las estructuras mentales (acción, proceso, objeto y esquema) que se buscan

desarrollar en los estudiantes.

Para la implementación de la propuesta de investigación, se presenta un ciclo

compuesto de tres componentes: análisis teórico, diseño e implementación de

enseñanza y observación, análisis y verificación de datos. Para ello, se diseña

una secuencia didáctica que cuenta los siguientes momentos: prueba

diagnóstica, planeación, ejecución y socialización.

La prueba diagnóstica es una herramienta pedagógica que tiene como objetivo

ser el punto de partida y de acuerdo con los resultados obtenidos ser el insumo

para el planteamiento de la descomposición genética y la estructuración del

concepto a trabajar.

Para la propuesta de la secuencia didáctica, se realizarán tres de ellas, donde

cada una comprende un objetivo, una situación fundamental, una intención y

cuatro guías. La guía N°1 tiene como objetivo trabajar el proceso de acción y se

desarrollará de manera individual. Las guías 2, 3 y 4 se enfocarán en las

situaciones de proceso, objeto y esquema respectivamente y serán propuestas

para un trabajo en parejas.

La investigación se realizó en estudiantes de grado noveno, ya que de acuerdo

con Piaget en esa edad entre los 14 y 17 años los estudiantes se encuentran en

la etapa de operaciones formales, lo cual posibilita la adquisición de la capacidad

de utilizar procesos sistemáticos que permiten establecer las posibles

permutaciones, variaciones y combinaciones de cierto conjunto de elementos.

95 Anexos

Finalmente, luego de la aplicación de la secuencia didáctica, la autora concluye

que una propuesta basada en la descomposición genética de la teoría APOE es

viable y de ella se pueden construir nuevas propuestas didácticas para la mejora

de la enseñanza y aprendizaje de conceptos matemáticos y ser implementada

en la institución educativa que se desee.

Comentario: En concordancia con lo expuesto en el trabajo de investigación

abordado, es de gran valor la estrategia que se implementa en la secuencia

didáctica en especial las guías didácticas desarrolladas, ya que es bastante

practico enfocar cada guía a cada uno de los elementos de la teoría APOE y

permite particularizar cada una de las actividades allí propuestas, analizarlas y

lograr las conclusiones y recomendaciones pertinentes de acuerdo con su

desarrollo.

Referencia: Domínguez, D. (2016). Secuencia didáctica que le permite a los

estudiantes de octavo y noveno interpretar y usar las nociones de conteo en la

solución de problemas de combinación y permutación (Tesis de maestría).

Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia.

SEL2X2


maestría.

Autores: Bibiana Sirley Arenas Suaza. Título: Las ecuaciones lineales, desde

situaciones cotidianas.

Resumen: Arenas (2013), en su tesis de maestría “Las ecuaciones lineales,

desde situaciones cotidianas”, propone una experiencia que apoye el proceso de

enseñanza aprendizaje de estudiantes de grado noveno en la temática de



sistemas de ecuaciones lineales 2X2 y su transversalización con las demás

ciencias del conocimiento.

La metodología propuesta consiste en tener en cuenta los contextos en que viven

los estudiantes y a partir de esas situaciones cotidianas generar una estrategia

de enseñanza aprendizaje basada en la práctica. Dicha metodología está dividida

en cinco fases: 1) caracterización y selección de la información, 2) diseño e

implementación, 3) aplicación, 4) análisis de resultados y 5) conclusiones.

Para el diseño de las actividades y los experimentos realizados, se dio uso a

herramientas y recursos tecnológicos, para lo cual se realizó la intervención a

través de la plataforma virtual Moodle.

La autora trabajó con dos grupos, uno control y otro experimental. Ante lo cual

concluyó luego de realizar las intervenciones propuesta que, se evidencian

mejores resultados cuando se utilizan softwares educativos, animaciones,

simulaciones, entre otras herramientas.

En el grupo experimental, se favoreció el desarrollo de distintos procesos de

pensamiento debido a que el estudiante percibe los conceptos matemáticos de

una manera diferente vinculando los modos de pensamiento sintético-

geométrico, analítico-aritmético, y analítico-estructural.

Comentario: Se destaca el interés de la autora por trabajar los sistemas de

ecuaciones lineales 2x2 a partir de situaciones problemas relacionados con los

contextos sociales y culturales de los estudiantes. Además, de favorecer los

procesos de enseñanza aprendizaje por medio de la implementación de las TIC

dando uso a plataformas como Moodle y las diferentes herramientas educativas

que esta trae consigo.

Referencia:

97 Anexos

7. Año: 2013 Carácter de la publicación: Artículo

de investigación

Autores: Aura Alejandra Ariza Daza &

Jorge Alejandro Rojas Gómez

Título: Propuesta didáctica para la

enseñanza de los métodos para

resolver un sistema de ecuaciones

lineales

Resumen: En la propuesta didáctica se pretende mostrar la relevancia de la

enseñanza de los diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones

lineales. Para ello, los autores se basan en la metodología de la teoría de las

situaciones didácticas de Brousseau.

Ariza & Rojas (2013), evidencian que las principales dificultades de los

estudiantes en el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 es que no

identifican el método más pertinente a usar en la solución de un problema

matemático dado, además, no dominan el concepto de variable o incógnita y por

lo tanto tienen inconvenientes al designar con letras distintas a incógnitas

diferentes.

Con respecto a lo anterior, los investigadores concluyen que esto es debido a

que no hay un adecuado manejo del concepto y una correcta manipulación de

ecuaciones lineales.

Para el diseño de la propuesta didáctica, Ariza & Rojas (2013) plantean dos

situaciones fundamentales de aprendizaje. La primera situación tiene como

objetivo lograr que los estudiantes identifiquen ecuaciones lineales y

comprendan los conceptos de función lineal y pendiente. En esta situación se

pretende que la comprensión de función lineal se dé a partir del manejo de datos

en tablas, diagramas en el plano cartesiano y su correspondiente expresión

algebraica.



La segunda situación tiene como objetivo impulsar en los estudiantes la

capacidad de comprender en qué situaciones de debe plantear un sistema de

ecuaciones lineales, reconocer los deferentes métodos de solución de dicho

sistema y usar el más pertinente o adecuado para dar solución al problema.

Entre los logros y dificultades que se evidenciaron durante y luego de la

implementación de las situaciones de aprendizaje se observa que los estudiantes

quieren llegar a una respuesta de manera inmediata o que sea dada por el

profesor. Además, varios de los estudiantes intentan establecer una sola

ecuación lineal cuando el problema requiere de dos o más ecuaciones para poder

construir el sistema.

Se destaca que algunos estudiantes indagan en diferentes fuentes educativas

sobre la solución de un sistema de ecuaciones lineales, identificando el método

de igualación y sustitución.

Comentario: Se resalta la importancia que dan los investigadores a la

comprensión del concepto y al manejo adecuado de conceptos previos como

ecuación de primer grado y función lineal ya que, a partir de allí, teniendo claridad

de términos tales como variable o incógnita, variable dependiente e

independiente, pendiente; se facilitan los procesos de aprendizaje y enseñanza

de los sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución.

Por otro lado, y de acuerdo con Ariza & Rojas (2013), es necesario que el docente

realice una reflexión constante de su práctica, no solo al finalizar una clase, sino

también antes y durante la misma. En otras palabras, durante la fase preactiva,

interactiva y postactiva.

Referencia:

99 Anexos


maestría

Autores: Diana Patricia Atehortúa

Bedoya

Título: Propuesta metodológica para la

enseñanza de los sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas

mediante problemas de aplicaciones

contables.

Resumen: De igual forma, Atehortúa (2017) en su tesis de maestría sobre la

enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante

resolución de problemas, propone una metodología a través de una secuencia

didáctica, ya que esta permite que el estudiante logre las metas educativas

propuestas por medio de varios recursos y así garantizar la mejora sustancial del

proceso de aprendizaje.

Además, se propone una secuencia didáctica que este compuesta por tres

experiencias especiales. La experiencia conceptual, en la cual se plantean

actividades que llevan al estudiante a realizar de deducción de los conceptos

matemáticos que se desean trabajar de tal forma que los mismos puedan ser

aplicados en ejercicios trabajados más adelante. La experiencia práctica, donde

se plantean actividades que tienen que ver con la aplicación de los conceptos en

situaciones problemas específicas. Y la experiencia de análisis, en la cual se

evalúan los conceptos presentados durante las guías, Atehortúa (2017).

Comentario: Con respecto a esta propuesta de intervención, se resalta que

trabajar los métodos de solución y la resolución de problemas en la enseñanza

de los sistemas de ecuaciones lineales, posibilita en los estudiantes desarrollar

habilidades que los acercan y los familiarizan con el concepto matemático, y

permite fortalecer los procesos de comunicación, razonamiento y resolución de

problemas.



Referencia: Atehortúa, D. (2017). Propuesta metodológica para la enseñanza de

los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante problemas de

aplicaciones contables (Tesis de maestría). Universidad Nacional de Colombia,

Medellín.

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