Resolución numérica del problema del flujo en un canal con escalón

utilizando OpenFOAM®.

Andrea Ceretani(1,3), Ma. Cristina Sanziel(3,4), Margarita Portapila(1,2)

(1) CIFASIS (Centro Internacional Franco Argentino de Ciencias de la Información y Sistemas). Bvd. 27 de Febrero 201

bis, Rosario, Argentina.

(2) CUHIRAM (Centro Rosario de Investigaciones Hidroambientales). Fac. Cs. Exactas, Ing. Y Agrimensura,

UNR.Riobamba 245 bis, Rosario, Argentina.

(3) Inst. de Matemática B. Levi, Fac. Cs. Exactas, Ing. y Agrimensura, UNR. Av. Pellegrini 250, Rosario, Argentina.

(4) CIUNR (Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Rosario).

E-mail: ceretani@cifasis-conicet.gov.ar

RESUMEN: En este trabajo se consideran dos problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales correspondientes al flujo en un canal bidimensional con escalón para 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800 y se los resuelve numéricamente mediante el Método de Volúmenes Finitos a través de OpenFOAM®. Uno corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad, y el otro, a un modelo de turbulencia de tipo LES basado en la hipótesis de Boussinesq. Se analizan las ubicaciones de las condiciones de flujo entrante y saliente, se comparan los resultados correspondientes al campo de velocidad con resultados publicados para el caso estacionario y se analiza la posibilidad de inferir un comportamiento asintóticamente estacionario del flujo a partir de los resultados numéricos obtenidos.

INTRODUCCIÓN La complejidad de las ecuaciones de Navier-Stokes hace que, en general, no se conozcan soluciones analíticas

para problemas con condiciones iniciales y de frontera asociados a ellas y a la ecuación de continuidad, o

condiciones bajo las cuales se pueda garantizar la existencia y unicidad global de solución, ni siquiera en un

sentido débil, tal como ocurre en el caso tridimensional (Berselli et. al., 2006). Cuando tales ecuaciones, tanto en

dos como en tres dimensiones, resultan de modelos físicos sobre la evolución del movimiento de fluidos

incompresibles, asumiendo el principio de determinismo de Newton (Lesieur, 1997), se supone la existencia y

unicidad de solución del problema matemático lo cual se vuelve un punto de partida para la resolución numérica

del mismo. Sin embargo, cuando el problema está asociado a un flujo turbulento, la inestabilidad que presenta

motiva el estudio de modelos de turbulencia factibles de ser resueltos numéricamente, puesto que, teniendo en

cuenta la teoría de Kolmogorov, ni siquiera es abordable el problema de resolver numéricamente una realización

de un flujo turbulento y obtener resultados precisos a un costo computacional aceptable (Pope, 2000).

Los modelos de turbulencia en base a la simulación de las grandes escalas de movimiento (large-eddy

simulation, LES) pretenden modelar el comportamiento de flujos turbulentos de manera precisa y ser factibles de

ser resueltos numéricamente de un modo eficiente. Estos modelos se basan en la idea de resolver el

comportamiento de las “grandes” escalas de movimiento del flujo y de modelar la evolución de las “pequeñas”

(Berselli et. al., 2006; Sagaut, 2006).

Por otro lado, la no linealidad, tanto de las ecuaciones de Navier-Stokes como de las ecuaciones que surgen de

modelos de turbulencia de tipo LES, dificulta el desarrollo de un método numérico eficiente.

No obstante estas dificultades, existen códigos que permiten resolver una amplia variedad de problemas de

dinámica de fluidos, entre los que se encuentra OpenFOAM®, el cual es libre y abierto. Esto motiva el interés de

realizar validaciones de los solvers de OpenFOAM® a partir de comparaciones con datos experimentales o con

resultados de otros métodos numéricos; así como también de avanzar en la comprensión de los desarrollos

teóricos en base a los cuales los solvers se desarrollan.

Flujos con separación y posterior re-unión (“reattachment”) de la capa límite son a menudo encontrados en

hidráulica. Uno de los más sencillos, puesto que se desarrolla en una geometría simple, pero que permite apreciar

las características del flujo que se presentan a causa de la separación y re-unión de la capa límite y de las zonas

de recirculación, es el flujo en un canal con escalón (backward-facing step flow problem, BFS). Este problema es

uno de los considerados para testear nuevos métodos numéricos, siendo los resultados experimentales publicados

en (Armaly et. al., 1983) frecuentemente considerados como caso de referencia (“benchmark”).

En este trabajo se considera un problema BFS bidimensional transitorio con 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800. Se lo describe

matemáticamente considerando, por un lado las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad, y por otro, las

ecuaciones que corresponden a un modelo de turbulencia de tipo LES basado en la hipótesis de Boussinesq, y se

lo resuelve numéricamente con el método de volúmenes finitos mediante OpenFOAM®. De esta manera, se

resuelve el BFS tanto con el espíritu de una simulación numérica directa, como a través de un modelo LES de

turbulencia. El objetivo es estudiar el funcionamiento de los solvers icoFoam y pisoFoam de OpenFOAM® para

el problema planteado y analizar si es posible inferir un comportamiento asintóticamente estacionario para el

flujo en el BFS con 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800, a partir de la solución numérica obtenida con cada uno. La implementación del

solver pisoFoam, el cual resuelve el modelo de turbulencia, sobre un problema que no corresponde a un flujo

turbulento, responde a la intención de evaluar su comportamiento sobre flujos menos caóticos y, de esta manera,

analizar si el modelo de turbulencia considerado satisface un requerimiento básico, a saber, una representación

adecuada de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes cuando se supone que la misma es suave (Berselli et.

al., 2006).

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL BFS Las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad La evolución del flujo de un fluido Newtoniano e incompresible, con velocidad 𝒖𝒖 = (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) y presión 𝑃𝑃, en un

canal bidimensional con escalón queda representada por las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad:

𝜕𝜕𝒖𝒖𝜕𝜕𝜕𝜕

+ ∇ ∙ (𝒖𝒖𝒖𝒖) + ∇𝑝𝑝 − 𝜈𝜈∆𝒖𝒖 = 0 Ω × (𝜕𝜕0,𝑇𝑇) (1)

∇ ∙ 𝒖𝒖 = 0 Ω × (𝜕𝜕0,𝑇𝑇) (2) donde Ω = Ω𝑅𝑅 ∪ Ω𝑠𝑠 es un dominio bidimensional (Figura 1) definido por Ω𝑅𝑅 = [−𝐿𝐿1, 0) × [𝐻𝐻 − ℎ,𝐻𝐻] y

Ω𝑠𝑠 = [0, 𝐿𝐿2] × [0,𝐻𝐻] para 𝐿𝐿1, 𝐿𝐿2, 𝐻𝐻 y ℎ positivos con 0 < ℎ < 𝐻𝐻, (𝜕𝜕0,𝑇𝑇) representa a un intervalo temporal,

𝑝𝑝 = 𝑃𝑃/𝜌𝜌 es la presión cinemática del flujo, y 𝜌𝜌 y 𝜈𝜈 son parámetros positivos correspondientes a la densidad y a

la viscosidad cinemática del fluido, respectivamente; sujetas a

Figura 1: Dominio.

las condiciones de frontera: Sobre Γ𝑅𝑅 ≔ (−𝐿𝐿1,𝑦𝑦) ∈ ℝ2 / 𝐻𝐻 − ℎ < 𝑦𝑦 < ℎ:

𝑢𝑢|Γ𝑅𝑅 = −4ℎ2 𝑈𝑈 𝑦𝑦 −

2𝐻𝐻 − ℎ2

2

+ 𝑈𝑈; 𝑣𝑣|Γ𝑅𝑅 = 0; 𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝒏𝒏

|Γ𝑅𝑅 = 0 (3)

Sobre Γ𝑠𝑠 ≔ (𝐿𝐿2,𝑦𝑦) ∈ ℝ2 / 0 < 𝑦𝑦 < 𝐻𝐻:

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝒏𝒏

|Γ𝑠𝑠 = 0; 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝒏𝒏

|Γ𝑠𝑠 = 0; 𝑝𝑝|Γ𝑠𝑠 = 0 (4)

Sobre Γ𝑝𝑝 ≔ 𝜕𝜕Ω − (Γ𝑅𝑅 ∪ Γ𝑠𝑠):

𝑢𝑢|Γ𝑝𝑝 = 𝑣𝑣|Γ𝑝𝑝 = 0; 𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝒏𝒏

|Γ𝑝𝑝 = 0 (5)

donde 𝑈𝑈 > 0, Γ𝑝𝑝 representa a las paredes superior e inferior impermeables y Γ𝑅𝑅 y Γ𝑠𝑠 representan a la entrada y a

la salida del canal, respectivamente; y a las condiciones inciales:

𝑢𝑢|𝜕𝜕=𝜕𝜕0 = 𝑢𝑢0 𝑣𝑣|𝜕𝜕=𝜕𝜕0 = 𝑣𝑣0 𝑝𝑝|𝜕𝜕=𝜕𝜕0 = 𝑝𝑝0 (6)

siendo 𝑢𝑢0, 𝑣𝑣0 y 𝑝𝑝0 campos escalares.

El perfil parabólico de velocidad correspondiente a un flujo plano de Poiseuille completamente desarrollado

(Batchelor, 2000), junto con la condición de derivada normal exterior nula para la presión establecidos en la

entrada, implican que la presión asume un valor positivo sobre Γ𝑅𝑅 . Esto último, junto con la condición de presión

nula sobre Γ𝑠𝑠, implica que el movimiento del fluido es consecuencia de una diferencia de presión entre la entrada

y la salida del canal. Las condiciones de frontera impuestas para la velocidad en la salida, corresponden a las de

un flujo completamente desarrollado.

Para definir el número de Reynolds se consideran como velocidad característica a las dos terceras partes de la

velocidad máxima en la dirección del flujo en la entrada del canal, 𝑈𝑈, y como longitud característica al diámetro

hidráulico del canal de entrada, el cual, en este caso, coincide con dos veces la altura del mismo. De esta manera,

se obtiene 𝑅𝑅𝑅𝑅 = (2/3𝑈𝑈)(2ℎ)𝜈𝜈

.

2.2 Un modelo de turbulencia de tipo LES: el modelo de Smagorinsky con filtro top-hat y amortiguación hacia la pared En este trabajo, se considera al filtro top-hat para separar las escalas de movimiento y al modelo de Smagorinsky

con una amortiguación hacia la pared como modelo de clausura, según se explica a continuación.

La cantidad media asociada a una incógnita 𝜑𝜑 (𝑢𝑢, 𝑣𝑣 o 𝑝𝑝), 𝜑𝜑, en un punto (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ Ω, se define por:

𝜑𝜑(𝑥𝑥,𝑦𝑦; 𝜕𝜕) =1

4𝛿𝛿1(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝛿𝛿2(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝑔𝑔𝑥𝑥 − 𝑥𝑥′

2𝛿𝛿1(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑔𝑔 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦′

2𝛿𝛿2(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝜑𝜑(𝑥𝑥′ ,𝑦𝑦′ ; 𝜕𝜕)𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑦𝑦′

𝒞𝒞(𝑥𝑥 ,𝑦𝑦)

=1

4𝛿𝛿1(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝛿𝛿2(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝜑𝜑(𝑥𝑥′ ,𝑦𝑦′ ; 𝜕𝜕)𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑦𝑦′𝑦𝑦+𝛿𝛿2(𝑥𝑥 ,𝑦𝑦)

𝑦𝑦−𝛿𝛿2(𝑥𝑥 ,𝑦𝑦)

𝑥𝑥+𝛿𝛿1(𝑥𝑥 ,𝑦𝑦)

𝑥𝑥−𝛿𝛿1(𝑥𝑥 ,𝑦𝑦)

(7)

siendo 𝑔𝑔 el filtro top-hat, dado por:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 1 |𝑥𝑥| ≤12

0 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑜𝑜𝜕𝜕𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑜𝑜 ,

𝛿𝛿1 y 𝛿𝛿2 funciones suaves positivas en Ω y no negativas en Ω que representan a la longitud de corte (cut-off

length) en cada una de las direcciones del dominio, 𝒞𝒞(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = [𝑥𝑥−𝛿𝛿1(𝑥𝑥,𝑦𝑦), 𝑥𝑥 + 𝛿𝛿1(𝑥𝑥,𝑦𝑦)] × [𝑦𝑦−𝛿𝛿2(𝑥𝑥,𝑦𝑦),𝑦𝑦 +

𝛿𝛿2(𝑥𝑥,𝑦𝑦)] ⊂ Ω (Berselli et. al., 2006; Sagaut, 2006). Detalles sobre la implementación de este operador se dan en

la sección 4.

Al aplicar el operador de filtrado definido por (7) miembro a miembro de las ecuaciones de movimiento (1)-(2),

lo cual es la base para la derivación del modelo de turbulencia, se obtienen las ecuaciones “filtradas” de Navier-

Stokes y de continuidad:

𝜕𝜕𝒖𝒖𝜕𝜕𝜕𝜕

+ ∇ ∙ (𝒖𝒖𝒖𝒖) + ∇𝑝 − 𝜈𝜈∆𝒖𝒖 + ∇ ∙ 𝜏𝜏(𝒖𝒖,𝒖𝒖) + 𝓐𝓐(𝒖𝒖,𝑝𝑝) = 0 Ω × (𝜕𝜕0,𝑇𝑇) (8)

∇ ∙ 𝒖𝒖 + 𝓑𝓑(𝒖𝒖,𝑝𝑝) = 0 Ω × (𝜕𝜕0,𝑇𝑇)

(9)

donde 𝒖𝒖 = (𝑢𝑢 , 𝑣)𝜕𝜕 . Los términos 𝓐𝓐(𝒖𝒖,𝑝𝑝) y 𝓑𝓑(𝒖𝒖,𝑝𝑝) son los “errores de conmutatividad” que surgen como

consecuencia de que los operadores de filtrado y de derivación no conmuten (puesto que las funciones 𝛿𝛿1 y 𝛿𝛿2 no

son constantes), y 𝜏𝜏(𝒖𝒖,𝒖𝒖) = 𝑢𝑢𝑢𝑢𝜕𝜕 − 𝑢𝑢𝑢𝑢𝜕𝜕 es el tensor “sub-filtro”.

Para modelar al tensor 𝜏𝜏, se asume la hipótesis de Boussinesq y se utiliza el modelo de Smagorinsky con una

amortiguación del estilo van Driest, según el cual se establece (Berselli et. al., 2006):

∇ ∙ 𝜏𝜏(𝒖𝒖,𝒖𝒖) = −∇ ∙ 𝐶𝐶(𝑥𝑥,𝑦𝑦; 𝛿𝛿1, 𝛿𝛿2)2|∇𝑠𝑠𝒖𝒖|∇𝑠𝑠𝒖𝒖 + 𝜕𝜕é𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑜𝑜𝑐𝑐𝑑𝑑𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑝

(10)

donde ∇𝑠𝑠𝒖𝒖 = 12

(∇𝒖𝒖 + ∇𝒖𝒖𝜕𝜕) es la parte simétrica de ∇𝒖𝒖 y 𝐶𝐶(𝑥𝑥,𝑦𝑦; 𝛿𝛿1, 𝛿𝛿2) → 0 conforme (𝑥𝑥,𝑦𝑦) se acerca a las

paredes horizontales del canal. Detalles de la elección de 𝐶𝐶, se dan en la sección 4.

Finalmente, despreciando los errores de conmutatividad 𝓐𝓐 y 𝓑𝓑 en (8)-(9) y teniendo en cuenta (10), las

ecuaciones correspondientes al modelo de turbulencia son las siguientes:

𝜕𝜕𝒘𝒘𝜕𝜕𝜕𝜕

+ ∇ ∙ (𝒘𝒘𝒘𝒘) + ∇𝑞𝑞 − [2𝜈𝜈 + 𝐶𝐶2]|∇𝑠𝑠𝒘𝒘|∇𝑠𝑠𝒘𝒘 = 0 Ω × (𝜕𝜕0,𝑇𝑇) (11)

∇ ∙ 𝒘𝒘 = 0 Ω × (𝜕𝜕0,𝑇𝑇)

(12)

siendo 𝒘𝒘 = (𝑤𝑤𝑢𝑢 ,𝑤𝑤𝑣𝑣). Sobre estas ecuaciones, se establecen las mismas condiciones de frontera e iniciales

especificadas en (3)-(6). Vale la pena señalar que, mientras las condiciones iniciales y de frontera en la entrada

del canal son impuestas sobre el modelo de turbulencia, las demás condiciones surgen naturalmente para 𝒘𝒘 y 𝑞𝑞,

a partir de las suposiciones sobre las que se basa el modelo. Notar que 𝒖𝒖 y 𝑝, no necesariamente satisfacen (11)-

(12), por tal motivo, se adopta una notación diferenciada entre la solución de los problemas determinados por

(8)-(9) y (11)-(12).

MÉTODO NUMÉRICO Para aproximar numéricamente la solución de cada uno de los modelos expuestos en la sección anterior, se

utiliza el método de volúmenes finitos (Versteeg, et. al., 1995). Para ello se considera que el dominio Ω es

particionado en un número finito de volúmenes de control. A continuación, se explica la implementación del

método sobre la primera ecuación de momento en (1), lo cual resulta representativo de la implementación

general.

Integrando miembro a miembro dicha ecuación sobre un volumen de control 𝑉𝑉 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑥𝑥𝑐𝑐 ≤ 𝑥𝑥 ≤

𝑥𝑥𝑏𝑏 , 𝑦𝑦𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑦𝑦𝑏𝑏 , , se obtiene:

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑢𝑢𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝑣𝑣𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑦𝑦

𝑉𝑉

+𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝑥𝑥

− 𝜈𝜈 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕2𝑥𝑥

+𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕2𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑉𝑉 = 0

(13)

Para discretizar el término transitorio se utiliza un esquema de Euler implícito y se aproxima el integrando por su

valor en el centro de 𝑉𝑉, (𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝):

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑉𝑉~

𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝, 𝜕𝜕 + Δ𝜕𝜕 − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝, 𝜕𝜕)Δ𝜕𝜕

|𝑉𝑉|𝑉𝑉

(14)

Aplicando el Teorema de Green y teniendo en cuenta la ecuación de continuidad (2), la integral del término

convectivo puede expresarse como:

𝑢𝑢𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝑣𝑣𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑉𝑉~𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑟𝑟 ,𝑦𝑦𝑟𝑟), 𝜕𝜕 + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑢𝑢((𝑥𝑥𝑟𝑟 ,𝑦𝑦𝑟𝑟), 𝜕𝜕)

4

𝑟𝑟=1𝑉𝑉

(15)

considerando 𝜕𝜕𝑉𝑉 = ⋃ 𝐿𝐿𝑟𝑟4𝑟𝑟=1 , siendo, para cada 𝑟𝑟 = 1, . . , 4, 𝐿𝐿𝑟𝑟 un lado de la frontera de 𝑉𝑉, 𝑐𝑐𝑟𝑟 y 𝑏𝑏𝑟𝑟 constantes

asociadas a su parametrización y (𝑥𝑥𝑟𝑟 ,𝑦𝑦𝑟𝑟) su punto medio.

A fin de obtener una aproximación de los valores de las funciones en (15) que involucre a los centros de los

volúmenes de control, para cada 𝑟𝑟 = 1, . . , 4 se hace una interpolación lineal entre los valores que las funciones

asumen en el centro de 𝑉𝑉 y en el centro del volumen de control 𝑉𝑉𝑟𝑟 que comparte con 𝑉𝑉 al lado 𝐿𝐿𝑟𝑟 . De este modo,

se obtiene:

𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝑣𝑣𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑉𝑉~

𝑉𝑉

𝛼𝛼 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝, 𝜕𝜕) + 𝛽𝛽 𝑣𝑣𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝, 𝜕𝜕)𝛼𝛼𝑟𝑟 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑟𝑟 ,𝑦𝑦𝑝𝑝𝑟𝑟, 𝜕𝜕 + 𝛽𝛽𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑝𝑝𝑟𝑟 ,𝑦𝑦𝑝𝑝𝑟𝑟, 𝜕𝜕4

𝑟𝑟=1

(16)

siendo 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑟𝑟 ,𝑦𝑦𝑝𝑝𝑟𝑟 el centro de 𝑉𝑉𝑟𝑟 , y 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝛼𝛼𝑟𝑟 y 𝛽𝛽𝑟𝑟 constantes surgidas de la interpolación lineal.

En forma análoga a lo hecho para la integral del término convectivo, se discretizan los restantes términos en la

ecuación (13).

Sobre el sistema de ecuaciones acoplado resultante se utiliza el algoritmo predictor-corrector PISO (pressure-

implicit with splitting of operators) (Issa, 1984) con dos pasos correctores. Finalmente, en cada paso temporal,

los sistemas de ecuaciones correspondientes al campo de velocidad se resuelven mediante el método del

gradiente conjugado precondicionado, utilizando un precondicionador diagonal simplificado basado en la

factorización incompleta de Cholesky; mientras que los asociados a la presión son resueltos mediante el método

del gradiente biconjugado precondicionado empleando un precondicionador diagonal simplificado basado en la

factorización incompleta LU (Chen, 2005).

IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA La implementación numérica del método descripto en la sección anterior, se realiza mediante OpenFOAM®. Se

emplean los solvers icoFoam, para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad, y pisoFoam para

resolver el modelo de turbulencia. De esta manera, mediante icoFoam, se simula directamente el BFS y a través

de pisoFoam, se lo resuelve mediante un modelo LES de turbulencia.

Las unidades de medida de las incógnitas y constantes involucradas en los modelos continuos, se resumen en la

Tabla 1.

[𝐿𝐿1], [𝐿𝐿2], [𝐻𝐻] y [ℎ] [𝜕𝜕0], [𝑇𝑇] [𝑈𝑈], [𝑢𝑢0], [𝑣𝑣0], [𝑢𝑢], [𝑣𝑣] [𝑝𝑝0], [𝑝𝑝] [𝜈𝜈] 𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑟𝑟/𝑠𝑠 𝑟𝑟2/𝑠𝑠2 𝑟𝑟2/𝑠𝑠

Tabla 1: Unidades de medida. Para la implementación numérica del modelo correspondiente a las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad,

(1)-(6), se consideran los valores de las constantes dados en la Tabla 2. Estas especificaciones se corresponden

con 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800, con un aspect ratio 𝐻𝐻𝐻𝐻−ℎ

igual a 2 y con las longitudes en (Erturk, 2009), trabajo con el cual se

comparan los resultados.

𝐿𝐿1 𝐿𝐿2 𝐻𝐻 ℎ 𝜕𝜕0 𝑇𝑇 𝑈𝑈 𝜈𝜈 20 300 2 1 0 800 0.6 10−3

Tabla 2: Especificaciones relativas al dominio, a la condición de frontera en la entrada del canal y al número de Reynolds.

El canal de entrada y la región rectangular determinada por el inicio del escalón y por 𝑥𝑥 = 100ℎ, se mallan de

manera uniforme con 500 × 50 y 2500 × 100 celdas respectivamente; mientras que para la región rectangular

determinada por 𝑥𝑥 = 100ℎ y 𝑥𝑥 = 300ℎ se utiliza una malla con 1250 × 100 celdas, uniforme en la dirección de

𝑦𝑦 y no uniforme en la dirección de 𝑥𝑥, siendo la no uniformidad establecida a partir de una progresión geométrica

donde la razón entre las longitudes en la dirección de 𝑥𝑥 de las celdas asociadas a la salida del canal y aquéllas en

donde comienza la progresión, sea igual a 10. De esta manera, se obtiene una malla con 400000 celdas,

caracterizada por un “estiramiento” de las longitudes de las celdas en la dirección de 𝑥𝑥, conforme éstas se

aproximan a la salida del canal y por ser una malla “fina” en la zona del escalón. Justificaciones sobre la

elección de mallas con estas características pueden encontrarse en (Yee, 1999; Erturk, 2005; Erturk, 2009).

Para la implementación numérica del modelo de turbulencia, (11)-(12), se consideran los valores de las

constantes dados en la Tabla 2 con 𝐿𝐿1 = 5 y 𝐿𝐿2 = 100. Sobre el nuevo dominio Ω′ se define una malla que

coincide con la malla establecida para Ω restringida a Ω′, con lo cual se obtiene una malla uniforme con 256.250

celdas. La elección de las nuevas dimensiones del dominio y las características de su mallado, encuentran su

fundamentación en el análisis de los resultados numéricos obtenidos para las ecuaciones de Navier-Stokes y de

continuidad que se presentan en la siguiente sección.

El intervalo temporal (0,𝑇𝑇) es particionado regularmente mediante un paso Δ𝜕𝜕 = 0.1.

Los sistemas de ecuaciones son resueltos fijando las tolerancias que se establecen en un tutorial de pisoFoam

para un problema similar al BFS aquí considerado (caso “PitzDaily”, Programmer’s Guide. OpenFOAM, 2011):

10−6 para el campo de velocidad y 10−5 para la presión.

Los campos escalares discretos 𝑢𝑢0, 𝑣𝑣0 y 𝑝0 que determinan el estado inicial del flujo en Ω, se definen a partir de

sucesivas perturbaciones sobre el fluido en reposo (Apéndice A, con 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑇𝑇𝑢𝑢 = 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑇𝑇𝑣𝑣 = 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑇𝑇𝑝𝑝 = 10−2). Luego,

tales valores son mapeados desde la malla en Ω hacia la malla en Ω′ para obtener las condiciones iniciales de la

implementación numérica del modelo de turbulencia, utilizando la herramienta mapFields de OpenFOAM®.

Para implementar el operador de filtrado definido en (7), se consideran 𝛿𝛿1 = 𝛿𝛿2 = 𝛿𝛿2, siendo 𝛿𝛿 la raíz cuadrada

del área de cualquier volumen de control en la malla uniforme sobre Ω′. Puesto que sólo interesa filtrar

cantidades en los centros de los volúmenes de control, la implementación numérica de un “filtro con radio

constante 𝛿𝛿” es compatible con la definición dada en (7). De esta manera, se obtiene:

𝜑𝜑𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝 ; 𝜕𝜕 =1

|𝑉𝑉| 𝜑𝜑(𝑥𝑥′ ,𝑦𝑦′ ; 𝜕𝜕)𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑦𝑦′

𝑦𝑦𝑝𝑝+𝛿𝛿/2

𝑦𝑦𝑝𝑝−𝛿𝛿/2

𝑥𝑥𝑝𝑝+𝛿𝛿/2

𝑥𝑥𝑝𝑝−𝛿𝛿/2

para 𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝 centro del volumen de control 𝑉𝑉.

La amortiguación hacia la pared establecida por 𝐶𝐶 en (10), se define, en 𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝, como:

𝐶𝐶𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝 ; 𝛿𝛿 = 𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 𝜅𝜅𝑑𝑑𝐶𝐶𝛿𝛿

1 − 𝑅𝑅−𝑦𝑦𝑝𝑝+

𝐴𝐴 , 𝛿𝛿

donde 𝜅𝜅 = 0,41 es la constante de von Karman, 𝐶𝐶𝛿𝛿 = 0,158 y 𝐴𝐴 = 26 son valores establecidos por defecto en

OpenFOAM®, 𝑑𝑑 es la distancia de (𝑥𝑥𝑝𝑝 ,𝑦𝑦𝑝𝑝) a la pared horizontal más cercana y 𝑐𝑐 = 2𝑐𝑐𝑘𝑘2𝑐𝑐𝑘𝑘𝑐𝑐𝑅𝑅

, para los valores

𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0,094 y 𝑐𝑐𝑅𝑅 = 1,048 calculados por OpenFOAM®.

La evolución de la solución numérica, 𝜑𝜑 , correspondiente a una incógnita, 𝜑𝜑 = 𝑢𝑢, 𝑣𝑣,𝑝𝑝, es analizada a partir de la

evolución de los valores de 𝑅𝑅𝜑𝜑 y 𝑉𝑉𝜑𝜑 . La primera de estas cantidades, denominada “residuo inicial” en (User

Guide. OpenFOAM, 2011), corresponde a una cantidad calculada por OpenFOAM® en cada uno de los pasos

temporales y es a partir de la cual se determina si el algoritmo debe iterar sobre el sistema de ecuaciones lineales

para alcanzar una solución numérica que satisfaga la tolerancia establecida. Más precisamente, si el valor del 𝑅𝑅𝜑𝜑

está por debajo de la tolerancia establecida para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales en un

instante de tiempo 𝜕𝜕𝑟𝑟 , la solución 𝜑𝜑 en el instante 𝑟𝑟 será la misma que la obtenida en el instante (𝑟𝑟 − 1), de este

modo, los valores de los residuos iniciales están relacionados con la convergencia del algoritmo a un estado

estacionario. La segunda de estas cantidades hace referencia a la variación de 𝜑𝜑 entre iteraciones temporales

“sucesivas”, y se define a continuación. Llamando 𝒙𝒙𝑗𝑗 al centro de la j-ésima celda de la malla, 𝑗𝑗 = 1, . . ,400000;

y 𝜕𝜕𝑟𝑟 = 0.1𝑟𝑟 un punto en la partición del dominio temporal, 𝑟𝑟 = 1, . . ,10𝑇𝑇, se definen:

𝑉𝑉𝜑𝜑 ,𝑟𝑟𝑗𝑗 = |𝜑𝜑𝒙𝒙𝑗𝑗 ,𝜕𝜕 , 𝜕𝜕2(𝑟𝑟+1) − 𝜑𝜑(𝒙𝒙𝑗𝑗 ,𝜕𝜕 , 𝜕𝜕2𝑟𝑟) |

(17)

𝑉𝑉𝜑𝜑 ,𝑟𝑟 = max𝑉𝑉𝜑𝜑 ,𝑟𝑟𝑗𝑗 : 𝑗𝑗 = 1, . . ,400000 (18) para 𝑗𝑗 = 1, . . ,400000, 𝑟𝑟 = 0, . . ,𝑁𝑁/2 donde 𝑁𝑁 = 10𝑇𝑇.

Nótese que 𝑉𝑉𝜑𝜑 ,𝑟𝑟 hace referencia a la variación global entre las iteraciones correspondientes a 𝜕𝜕2𝑟𝑟 y 𝜕𝜕2(𝑟𝑟+1) para 𝜑𝜑 .

RESULTADOS NUMÉRICOS En esta sección se presentan resultados numéricos obtenidos con OpenFOAM® para el BFS con un 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800. Para las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad. Resultados con icoFoam Los resultados presentados en las Figuras 2 y 3,

permiten concluir que la solución numérica

obtenida es cuasi-estacionaria con tolerancia

10−4 (Apéndice A) y que los perfiles de

velocidad final asociados a ella, concuerdan con

los reportados para el caso estacionario en

(Erturk, 2009), para ubicaciones sobre el canal

que distan aguas abajo del escalón en 6, 14 y 30

veces la longitud del mismo.

Figura 2: Evolución de 𝑉𝑉𝜑𝜑 durante 800 segundos de simulación. 𝐿𝐿1 = 20, 𝐿𝐿2 = 300. Resultados de

icoFoam.

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟔𝟔

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟑𝟑𝟑𝟑

Figura 3: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal de entrada a partir del escalón. 𝑇𝑇 = 800. 𝐿𝐿1 = 20.

𝐿𝐿2 = 300.

En lo que respecta al método numérico, se

percibe una dificultad del algoritmo iterativo que

resuelve los sistemas de ecuaciones lineales,

para alcanzar la tolerancia establecida. En la

Figura 4, se observa que el residuo para 𝑢𝑢

alcanza la tolerancia pedida (10−6), pero que no

ocurre lo mismo para los residuos

correspondientes a 𝑣𝑣 y a 𝑝𝑝.

Especial énfasis se puso en este trabajo en la definición de las dimensiones del dominio numérico de modo de

obtener resultados aceptables al menor costo computacional. Al comienzo de este estudio, y siguiendo los

resultados de (Erturk, 2008), se planteó un dominio computacional correspondiente a 𝐿𝐿1 = 20 y 𝐿𝐿2 = 300. Los

resultados reportados en los párrafos anteriores de esta sección corresponden a este primer dominio. Sin

embargo, la definición del dominio establecida en (Erturk, 2008) se basa en el análisis de flujos con números de

Reynolds que abarcan un rango mayor (desde 100 hasta 3000) del que interesa en este trabajo. Para analizar las

dimensiones del dominio hasta ahora considerado, se graficaron perfiles de velocidad final en diferentes

ubicaciones del canal. En la Figura 5 se presentan perfiles de velocidad para secciones del canal aguas abajo del

escalón para valores de 𝑥𝑥/ℎ de 50, 100, 150, 200, 250 y 300. En la Figura 6 los perfiles de velocidad

graficados corresponden a posiciones aguas arriba del escalón cubriendo valores de 𝑥𝑥/ℎ −20, −15, −10, −5 y

0.

Figura 4: Evolución de 𝑅𝑅𝜑𝜑 durante 800 segundos

de simulación. 𝐿𝐿1 = 20, 𝐿𝐿2 = 300. Resultados de icoFoam.

Figura 5: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal. 𝑇𝑇 = 800.

𝐿𝐿1 = 20. 𝐿𝐿2 = 300. Resultados de icoFoam.

Figura 6: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal de entrada. 𝑇𝑇 = 800. 𝐿𝐿1 = 20. 𝐿𝐿2 =

300. Resultados con icoFoam. Del análisis de la Figura 5, donde se observa que los perfiles de velocidad se estabilizan a partir de 𝑥𝑥/ℎ = 100,

se decidió un nuevo valor de 𝐿𝐿2 = 100. De los perfiles graficados en la Figura 6 se decidió un nuevo valor de

𝐿𝐿1 = 5. De este modo, se planteó un nuevo dominio computacional donde simular el problema del BFS para

𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800. Además, la imposibilidad del algoritmo de alcanzar la tolerancia fijada para la resolución iterativa de

los sistemas de ecuaciones lineales (Figura 4), sugiere fijar tolerancias menos exigentes.

A partir de las observaciones anteriores, se consideró el problema definido por (1)-(6) con los valores de las

constantes dados en la Tabla 2 considerando 𝐿𝐿1 = 5 y 𝐿𝐿2 = 100. Para resolverlo numéricamente, se empleó el

mismo método explicado en la sección 3, con tolerancias 10−4 y 10−3 para resolver los sistemas de ecuaciones

lineales asociados al campo de velocidad y a la presión del fluido respectivamente. La malla en el nuevo

dominio Ω′ coincide con la malla definida para Ω restringida a Ω′, resultando ser una malla uniforme con

256.250 celdas. Los valores de los campos escalares discretos 𝑢𝑢0, 𝑣𝑣0 y 𝑝0 fueron mapeados desde sus valores en

la malla sobre Ω hacia la malla en Ω′ utilizando la herramienta mapFields de OpenFOAM®.

Nuevamente, fue posible obtener una solución

numérica cuasi-estacionaria con tolerancia 10−4

para el campo de velocidad (Figura 7), cuyos

perfiles para 𝑢𝑢 y 𝑣𝑣 en 𝑇𝑇 = 800 concuerdan con

los publicados en (Erturk, 2009) para el caso

estacionario (Figura 8), a un costo

computacional sustancialmente menor.

Figura 7: Evolución de 𝑉𝑉𝑢𝑢 y 𝑉𝑉𝑣𝑣 durante 800 segundos

de simulación. 𝐿𝐿1 = 5, 𝐿𝐿2 = 100. Resultados con icoFoam.

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟔𝟔

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟑𝟑𝟑𝟑

Figura 8: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal de entrada a partir del escalón. 𝑇𝑇 = 800. 𝐿𝐿1 = 5.

𝐿𝐿2 = 100. La pertinencia de ubicar la condición de flujo saliente a una distancia de 100 veces 𝐻𝐻 − ℎ a partir del escalón,

puede observarse en la Figura 9, donde se advierte que los perfiles de velocidad para 𝑥𝑥/ℎ = 100 son similares a

los obtenidos para el dominio Ω. Análogamente, los perfiles presentados en la Figura 10, validan la ubicación de

la condición de flujo entrante a 5 veces 𝐻𝐻 − ℎ aguas arribas de escalón.

Figura 9: Perfiles de velocidad en 𝑥𝑥/ℎ = 100. 𝑇𝑇 = 800. 𝐿𝐿1 = 5. 𝐿𝐿2 = 100.

Resultados de icoFoam

Figura 10: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal de

entrada. 𝑇𝑇 = 800. 𝐿𝐿1 = 5. 𝐿𝐿2 = 100. Resultados de icoFoam.

En la Figura 11 se muestran resultados para 𝑉𝑉𝑝𝑝 .

A partir de la misma se puede concluir que, si

bien para el campo de velocidad se obtiene una

condición de cuasi-estacionariedad con igual

tolerancia sobre Ω′ y Ω (10−4), para la presión

sólo es posible alcanzar 10−1. Además, en la

misma se pone de manifiesto necesidad de

estudiar a la solución numérica de manera

global, es decir, teniendo en cuenta el

Figura 11: Evolución de 𝑉𝑉𝑝𝑝 durante 800 segundos

de simulación. 𝐿𝐿1 = 5, 𝐿𝐿2 = 100. Resultados con icoFoam.

comportamiento de la misma en cada uno de los puntos de la malla, en el momento de analizar sus variaciones

conforme transcurre el tiempo.

Para el modelo de Smagorinsky. Resultados con pisoFoam Cuando se implementa el modelo de

Smagorinsky sobre el dominio surgido de los

resultados numéricos presentados en 5.1, se

obtiene una solución cuasi-estacionaria con

tolerancia 10−4 para 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 y 𝑝𝑝 (Figura 12), a

diferencia de lo que ocurre con la

implementación del modelo de anterior, para el

cual esta tolerancia sólo es alcanzada para el

campo de velocidad (Figuras 9 y 14). Para la solución numérica obtenida, los perfiles de velocidad final

concuerdan con los reportados en (Erturk, 2009) para el caso estacionario, en ubicaciones sobre el canal que

distan aguas abajo del escalón en 6, 14 y 30 veces la longitud del mismo (Figura 13).

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟔𝟔

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙/𝒉𝒉 = 𝟑𝟑𝟑𝟑

Figura 13: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal de entrada a partir del escalón. 𝑇𝑇 = 800. 𝐿𝐿1 = 5.

𝐿𝐿2 = 100.

Figura 12: Evolución de 𝑉𝑉𝜑𝜑 durante 800 segundos

de simulación. 𝐿𝐿1 = 5, 𝐿𝐿2 = 100. Resultados con pisoFoam.

Figura 14: Evolución de 𝑅𝑅𝜑𝜑 durante 800 segundos

En la Figura 14 puede apreciarse que, también

en este caso, los residuos se mantienen por

encima de la tolerancia fijada (10−6 para 𝒘𝒘 y 10−5 para 𝑞𝑞). De la Figura 14, también puede apreciarse que los

valores de 𝑅𝑅𝜑𝜑 decaen conforme transcurre el tiempo, a diferencia de lo que ocurre cuando no se utiliza un

modelo de turbulencia sobre Ω′ (Figura 13).

CONCLUSIONES En este trabajo se simuló la evolución del flujo de un fluido Newtoniano e icompresible en un canal

bidimensional con escalón para 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 800. Se resolvieron numéricamente dos modelos matemáticos: las

ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad, y un modelo de turbulencia de tipo LES con filtro top-hat y clausura

de Smagorinsky con amortiguación hacia la pared, utilizando el método de volúmenes finitos mediante los

solvers icoFoam y pisoFoam de OpenFOAM®, respectivamente. En otras palabras, mediante icoFoam, se realizó

una simulación directa, mientras que con pisoFoam, se resolvió el problema a través de un modelo LES de

turbulencia.

Para cada uno de los modelos, se obtuvo una solución numérica cuyas variaciones entre iteraciones sucesivas no

superan el valor 10−4 a partir del tiempo medio de simulación, para un tiempo total de 800 segundos, y cuyo

campo de velocidad concuerda con los resultados publicados en (Erturk, 2009) para el problema estacionario. En

el caso de icoFoam, esto fue posible para condiciones de entrada y salida del flujo ubicadas de acuerdo a lo

establecido en (Erturk, 2009): a 20 veces la longitud del escalón aguas arriba del mismo, y 300 veces aguas

abajo, respectivamente; mientras que en el caso de pisoFoam, fue posible obtener resultados análogos en un

canal considerablemente más corto, más precisamente, para ubicaciones de las mencionadas condiciones a 5

veces la longitud del escalón aguas arriba del mismo, y 100 veces aguas abajo. Sobre este último dominio, los

resultados obtenidos con icoFoam sólo permiten alcanzar la mencionada tolerancia para el campo de velocidad,

no así para la presión.

A partir de los resultados numéricos obtenidos mediante la implementación de pisoFoam, es posible concluir que

el modelo de clausura considerado satisface un requerimiento básico establecido en (Berselli et. al., 2006) para el

mismo, referente a la adecuada predicción del campo de velocidad para flujos con comportamientos menos

caóticos que los turbulentos. Esto motiva la implementación de este modelo de turbulencia mediante pisoFoam,

sobre flujos bidimensionales con 𝑅𝑅𝑅𝑅 > 800 o flujos tridimensionales, en un canal con escalón.

Cabe señalar que el operador de filtrado definido en este trabajo, corresponde al que OpenFOAM® usa cuando se

trabaja con pisoFoam y se selecciona un modelo LES de tipo Smagorinsky. Para el problema considerado en este

trabajo, se obtuvieron resultados precisos con esta forma de filtrar, no obstante, la misma tiene algunas

desventajas (por ejemplo, el modelo resultante no tiene invarianza por rotaciones, puede resultar sensible a las

condiciones iniciales y de frontera, y la solución puede depender de la orientación de la malla (Berselli et. al.,

de simulación. 𝐿𝐿1 = 5, 𝐿𝐿2 = 100. Resultados con pisoFoam.

2006)) que pueden manifestarse en la simulación de problemas en geometrías más complejas o para flujos

turbulentos, casos en los que es preferible el uso de filtros suaves con propiedades específicas. Además, en

problemas como estos últimos, el hecho de despreciar los errores de conmutatividad en la derivación del modelo

de turbulencia, puede dificultar el alcance de resultados precisos, lo cual puede mitigarse utilizando adecuados

modelos de pared.

Finalmente, en lo que respecta al método numérico (el cual se corresponde con los empleados en algunos

tutoriales de OpenFOAM® para los solvers aquí utilizados), se percibe una dificultad del algoritmo iterativo que

resuelve los sistemas de ecuaciones lineales, para alcanzar la tolerancia establecida. Este hecho repercute en la

necesidad de que el mismo realice gran cantidad de iteraciones para resolver la presión del flujo, volviéndolo

costoso.

REFERENCIAS

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Sagaut, P., 2006. Large eddy simulation for incompressible flows. Springer, Germany.

Versteeg, H. K. y Malalasekera, W. 1995. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method. Longman Scientific & Technical, England.

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APÉNDICE A: DEFINICIÓN DE LAS CONDICIONES INICIALES

Caso continuo Los campos escalares 𝑢𝑢0, 𝑣𝑣0, y 𝑝𝑝0, que determinan el estado inicial del flujo se definen a partir de sucesivas perturbaciones sobre el fluido en reposo. En este trabajo, se han definido como los correspondientes a la solución estacionaria del último de un conjunto de problemas 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟=1

9 definidos como (3)-(8) donde los valores de las constantes involucradas en cada uno se resumen en la siguiente tabla:

𝐿𝐿1 𝐿𝐿2 𝐻𝐻 ℎ 𝜕𝜕0 𝑇𝑇 𝑈𝑈 𝜈𝜈 20 300 2 1 0 𝑇𝑇𝑟𝑟 𝑈𝑈𝑟𝑟 10−3

Tabla A1: Especificaciones relativas al dominio, a la condición de frontera en la entrada del canal y al número de Reynolds para 𝑷𝑷𝒊𝒊, 𝒊𝒊 = 𝟐𝟐, . . ,𝟗𝟗.

siendo, en cada caso, la velocidad máxima del flujo en la entrada del canal, 𝑈𝑈𝑟𝑟 , elegida de manera tal que el número de Reynolds 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑟𝑟 correspondiente a 𝑃𝑃𝑟𝑟 sea el especificado en la Tabla A2; donde la condición inicial para 𝑃𝑃1 es el reposo, i.e., 𝑢𝑢0 ≡ 𝑣𝑣0 ≡ 𝑝𝑝0 ≡ 0 y la condición inicial para cada 𝑃𝑃𝑟𝑟 corresponde a la solución estacionaria de 𝑃𝑃𝑟𝑟−1, 𝑟𝑟 = 2, . . ,9.

𝑅𝑅𝑅𝑅1 𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝑅𝑅𝑅𝑅3 𝑅𝑅𝑅𝑅4 𝑅𝑅𝑅𝑅5 𝑅𝑅𝑅𝑅6 𝑅𝑅𝑅𝑅7 𝑅𝑅𝑅𝑅8 𝑅𝑅𝑅𝑅9 10 50 100 200 300 400 500 600 700

Tabla A2: Número de Reynolds, 𝑹𝑹𝑹𝑹𝒊𝒊, para 𝑷𝑷𝒊𝒊, 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, . . ,𝟗𝟗.

Caso discreto La definición de los campos escalares discretos 𝑢𝑢0, 𝑣𝑣0 y 𝑝0 es idéntica a la del caso continuo si se reemplaza la condición de estacionariedad para una función incógnita 𝜑𝜑 por la siguiente condición de cuasi-estacionariedad para su solución numérica asociada 𝜑𝜑:

∃ 𝑟𝑟0 ∈ 0,𝑇𝑇2 :𝑉𝑉𝜑𝜑 ,𝑟𝑟 < 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑇𝑇𝜑𝜑 ∀ 𝑟𝑟: 𝑟𝑟0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑁𝑁/2

Siendo 𝜑𝜑 igual a 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 o 𝑝𝑝, T el instante final de simulación del problema considerado, 𝑉𝑉𝜑𝜑 la cantidad definida en (21) y 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑇𝑇𝜑𝜑 una tolerancia fijada. La pertinencia de generar las condiciones iniciales de cada problema mediante el solver icoFoam de OpenFOAM® se justifica en el Apéndice B. APÉNDICE B: VALIDACIÓN PRELIMINAR DEL SOLVER ICOFOAM Dado que el solver icoFoam de OpenFOAM® es empleado para establecer las condiciones iniciales del problema discreto asociado a (3)-(8) (Cf. Apéndice A), se realizó una validación preliminar del mismo. Al tal efecto, se simularon problemas del canal con escalón para la relación 𝐻𝐻

𝐻𝐻−ℎ= 1.94, considerando 𝐻𝐻 = 2 y

ℎ = 1.03, con el objetivo de comparar los resultados numéricos con los resultados numéricos y experimentales publicados en (Armaly et. al., 1983). La malla sobre este nuevo dominio se definió en forma análoga a la malla descripta en la sección 4, con lo que se obtuvo una malla con 400000 celdas. El intervalo temporal fue particionado empleando un paso Δt = 0.1. Se consideraron los problemas correspondientes a los números de Reynolds de los flujos estudiados en (Armaly et. al., 1983) que pertenecen al rango de interés en este trabajo, 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 100 y 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 389. Las condiciones iniciales para estos problemas se definieron según lo establecido en el Apéndice A, considerando como primer y último problemas a los correspondientes a 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 100 y 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 389 respectivamente.

En cada caso se obtuvo una solución cuasi-estacionaria (Apéndice A) con tolerancia 10−3, tal como puede apreciarse en la Figura B1, considerando 𝑇𝑇 = 160 y 𝑇𝑇 = 400 para los casos asociados a 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 100 y a 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 389 respectivamente.

Figura B1: Evolución de 𝑽𝑽𝒖𝒖, 𝑽𝑽𝒗𝒗 y 𝑽𝑽𝒑𝒑.

Adimensionalizando a las longitudes en la dirección de y por el alto del canal, a las longitudes en la dirección de 𝑥𝑥 por la altura del escalón y a la componente de la velocidad en la dirección de 𝑥𝑥, 𝑢𝑢, por la velocidad máxima en la entrada del canal en cada caso; es posible comparar los resultados obtenidos con OpenFOAM® con los resultados experimentales y con los resultados numéricos correspondientes al caso estacionario publicados en (Armaly et. al., 1983). En las Figuras B2 y B3 se muestra la buena concordancia entre estos resultados.

Figura B2: Perfiles de velocidad para ubicaciones que distan del escalón en 𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟏𝟏 y 𝟑𝟑𝟑𝟑 veces 𝑯𝑯− 𝒉𝒉. 𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑. Arriba: Armaly el al. (círculos: resultados experimentales - línea: resultados numéricos). Abajo: Resultados obtenidos con icoFoam de OpenFOAM®.

Figura B3: Perfiles de velocidad para ubicaciones que distan del escalón en 𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟏𝟏 y 𝟑𝟑𝟑𝟑 veces 𝑯𝑯− 𝒉𝒉. 𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟗𝟗. Arriba: Armaly el al. (círculos: resultados experimentales - línea: resultados numéricos). Abajo: Resultados obtenidos con icoFoam de OpenFOAM®.