Resolución de Triángulos oblicuángulos

INDICERESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS________________________________________________II

1.LEY DE LOS SENOS:_______________________________________________________________________II2. LEY DE COSENOS________________________________________________________________________III3. EJERCICIOS RESUELTOS:___________________________________________________________________III4. EJERCICIOS PROPUESTOS:__________________________________________________________________VI

I

Resolución de Triángulos oblicuángulos

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSUn triángulo es oblicuángulo si no es recto ninguno de sus ángulos,En la resolución de triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

1.Ley de los Senos:La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

Teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

Resolución de triángulos por la ley de los Senos

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver un triángulo por la ley de los senos:

- Se debe conocer dos lados y un ángulo.

II

Resolución de Triángulos oblicuángulos

- O también se puede conocer dos ángulos y un lado

2. Ley de Cosenos

La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura obtenemos tres ecuaciones:

b2=a2+c2−2ac cos (β)

a2=b2+c2−2bc cos (α)

Basándonos en esta formulas se puede llegar a lo siguiente:

Υ=cos−1( a2+b2−c2

2ab)

Para aplicar en la resolución de triángulos la ley del coseno se puede conocer:

- Los 3 lados - Dos lados y el ángulo comprendido.

3. Ejercicios Resueltos:

- Determine cuál es el valor del otro lado dado que

Considerando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ángulo,

tenemos:

III

Resolución de Triángulos oblicuángulos

- Considerando la misma figura pero ahora los siguiente

datos determine el valor del ángulo.

Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:

Sustituyendo los valores dados tenemos:

- Dos boyas están apartadas por una distancia de 64.2 m, y un bote está a 74.1 m de

la más cercana. El Angulo que forma las dos visuales del bote a las boyas es de

27 ° 18'

¿Qué distancia hay del bote a la boya más alejada?

IV

Resolución de Triángulos oblicuángulos

C = 64.2m A B C a b c

a =74.1m

- C = 27 ° 18'

64.24sen27 ° 18 '

= 74.1senA

A=sin−1( 74.1 sen27 ° 18 '64.24

)

A=32.07 °

B=180−32.07 °−27.18 '

B=120.63 °

64.24sen27 ° 18 '

= bsen120.63 °

b= 64.24sen27 ° 18 '

∗sen120.63 °

b=120.52m

V

Resolución de Triángulos oblicuángulos

4. Ejercicios Propuestos:

- Dados a = 119, b = 97, A = 50°. Encuentre B, C, c.

- Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140.5 m y 170.6 m, y el ángulo opuesto al primero es de 40° .Hallar la longitud de una cerca que le rodea completamente.

- las diagonales de un paralelogramo son 10 y 12 y forman un ángulo de 49 ° 19 '. Hállense los lados.

- Utilizando la ley de cosenos determine el valor deseado.

VI