7/24/2019 Respuesta Dinmica de Un Sistema de Retardo de Primer Orden

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Respuesta Dinmica de un sistema de retardo de primer orden

10.5 Sistemas de primer orden con constante de tiempo variable y Ganancia

En las secciones anteriores hemos supuesto que los coefcientes de la ecuacindi!erencial de primer orden "ver eq. #10.1$% eran constantes. Esto llev a la

conclusin de que la constante de tiempo de &anancia rp y el estado deequilibrio '( del proceso !uera constante. )ero esto no es cierto para un &rann*mero de componentes en un proceso qu+mico. ,omo cuestin de hecho( enuna !brica de productos qu+micos( tendremos ms a menudo se encuentranlos procesos con constantes de tiempo variables y &anancias que no. -eamosdos eemplos caracter+sticos.

11.1 /u es un sistema de se&undo orden2

3n sistema de se&undo orden es uno cuya salida( y #t$( se describe por lasolucin de una ecuacin di!erencial de se&undo orden. )or eemplo( lasi&uiente ecuacin describe un sistema lineal de se&undo orden4

ao 6 periodo natural de oscilacin del sistema

6 !actor de amorti&uamiento

'p estado estacionario( o esttica7 o simplemente &anancia del sistema

El si&nifcado !+sico de los parmetros ry #se aclarar en los pr8imos dossecciones( mientras que '( tiene el mismo si&nifcado que para los sistemas deprimer orden. Si eq. #11.9$ est en trminos de variables de desviacin( lascondiciones iniciales son cero y su trans!ormacin de :aplace se obtiene lasi&uiente !uncin de trans!erencia estndar para un sistema de se&undo orden7

11;

:os sistemas con dinmica de orden superior de se&undo o pueden sur&ir devarias situaciones !+sicas. Estos se pueden clasifcar en tres cate&or+as4 1.procesos multicapacidad7 procesos que consisten en dos o ms capacidades#sistemas de primer orden$ en serie( a travs del cual el material o la ener&+adebe pndice 11> al fnal de este cap+tulo. ;.

3n sistema de procesamiento con su controlador( puede e8hibir la dinmica dese&unda o de orden superior. En tales casos( el controlador que ha sidoinstalado en una unidad de procesamiento introduce dinmicas adicionalesque( cuando se combina con la dinmica de la unidad( dan lu&ar a se&undo o elcomportamiento de orden superior. 3n eemplo en la Seccin 11.5 demostrareste punto. :a &ran mayor+a de los sistemas de se&unda o de orden superior seencuentran en una planta qu+mica provienen de procesos multicapacidad o ele!ecto de los sistemas de control de procesos. En muy raras ocasiones nos

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encontraremos con la dinmica de los sistemas de orden superior de se&unda oinherentes apreciables.

11.9 Respuesta Dinmica de un sistema de se&undo orden

>ntes de proceder a e8aminar el ori&en !+sico de los sistemas de se&undo

orden y superior( vamos a anali?ar la respuesta dinmica de un sistema dese&undo orden a una entrada escaln unitario. Este anlisis nos proporcionartodas las caracter+sticas dinmicas !undamentales de un sistema de se&undoorden.

)ara un cambio escaln unitario en la entrada ! #t$( eq. 11; rendimientos

Los dos polos de la funcin transfet segundo orden estn dadas por las races del polinomio

caracterstico,Por lo tanto, eq.(11.4) se conviertey la forma de la respuestay (t)depender de la uicacin de los dos polos, p1 y p!en el plano comple"o (ver seccin #.4).$s podemos distiguis% tres casos&

Caso A: tenemos dos polos distintos y reales.

Caso B: Cuando,1,tenemos dosiguales / polos (multipolar).CasoC: Cuando,

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amplitud.'ste comportamiento oscilatorio %ace que una respuesta suamortiguado muy distinta detodas las anteriores.

. 'l comportamiento oscilatorio se %ace ms pronunciada con valores ms peque7os de el factor de

amortiguamiento, l.

8ay que destacar que casi todas las respuestas suamortiguado en una planta qumica son causadas

por la interaccin 9ft%e controladores con las unidades de proceso que controlan.Por lo tanto, es

un tipo de respuesta que vamos a encontrar muy a menudo, y es conveniente conocer ien con sucaractersticas.Caractersticas de una respuesta subamortiguado

:semos como referencia la respuesta suamortiguado muestra en la igura 11.!, morder a defme

los t+rminos empleados para descriir una respuesta suamortiguado.

1. Sobreimpulso:;'s larelacin $

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el -alordee,ms corto esel tiempo de suida (es decir, ms rpida ser la respuestadel sistema), pero al mismo tiempo, cuanto mayor sea el valor de la

reasamiento.

Observacin.'n los captulos siguientes (Parte @A), nuestro o"etivo durante el dise7o de un

controlador ser adecuada seleccin 9ft%e valores deey rcorrespondiente, de modo que elsoreimpulso es peque7o, el tiempo de suida resumen, el ndice de disminucin peque7a, y el

tiempo de respuesta corto.Jos daremos cuenta de que no ser posile lograr todos estos o"etivos

para los mismos valores de:yry que un compromiso aceptale dee ser definido.'l uen

entendimiento del comportamiento suamortiguado de un sistema de segundo orden le ayudar

enormemente en el dise7o de controladores eficientes.

Procesos multicapacidad como de segundo orden Sistemas,uando el material o la ener&+a

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:a !uncin &lobal de trans!erencia entre la entrada e8terna( ! #t$ e 9 #t$ es:a ecuacin #11.1$ indica muy claramente que la respuesta &eneral delsistema es de se&undo orden. De eq. #11.1F$ tambin cuenta de que los dospolos de la !uncin de trans!erencia &lobal son reales y distintas4Si )A y el tiempo de constantes )9 son i&uales( tenemos dos polos i&uales. )orlo tanto( las capacidades noninteraetin& siempre resultan en un sistema de

se&undo orden sobreamorti&uado o critieally amorti&uado y nunca en unsistema subamorti&uado. :a respuesta de las dos capacidades no interact*an aun cambio de unidad en la entrada ser dada por la ec. #11.B$ para el casosobreamorti&uado( o eq. #11.F$ para el amorti&uado cr+ticamente. En lu&ar dela ecuacin. #11.B$( podemos utili?ar el si&uiente !ormulario equivalente para larespuesta4,ontinuaAnteractuar capacidadescon el fn de anali?ar las caracter+sticas de un sistema de este tipo( vamos autili?ar el sistema de dos capacidades 9 de la f&ura 11.=b.he balances demasa rendimientonos damos cuenta de que las ecuaciones. #H 1. H =a$ y #11.9=b$ deben ser

resueltos simultneamente. Esta es la caracter+stica distintiva de lascapacidades de interaccin e indica el e!ecto mutuo de las doscapacidades. :os equivalentes en estado estacionario de las ecuaciones. #tanques.:as ecuaciones #l1.9Ba$ y #11.9Bb$ indican que las respuestas de ambostanques si&uen la dinmica de se&undo orden. ,omparar eq. #11.9Bb.$ )ara lostanques que interact*an con eq.#11.99$( que corresponde noninterractin&tanques que interact*an. Ios damos cuenta de que slo diferen m elcoefciente de sm el denominador por el trmino( > AR9 J Este trmino puedeser considerado como el !actor de interaccin e indica el &rado de interaccinentre los dos tanques. ,uanto mayor sea el valor de > AR9( cuanto mayor sea lainteraccin entre los dos tanques.

)or lo tanto( )A y )9 son polos distintos y reales. En consecuencia( la respuestade las capacidades de interaccin es a. K Sobreamorti&uado maneras. . 9. Dadoque la respuesta est sobreamorti&uado con postes de )A y )9 &rven poreq. #11.9F$( entonces la ecuacin. #11.9Bb$ se puede escribir como si&ue4)or lo tanto( )A y )9 son polos distintos y reales. En consecuencia( la respuestade las capacidades de interaccin siempre est sobreamorti&uado. l. 9. Dadoque la respuesta est sobreamorti&uado con postes de )A y )9 dada por laecuacin. #11.9F$( entonces la ecuacin. #11.9Bb$ se puede escribir comosi&ue4donde :A 6 Cl K )A y la ecuacin :9 6 C1 K p9 #1l.9$ implica que dos capacidadesque interact*an se pueden ver como las capacidades que no interact*an( perocon constantes de tiempo efcaces modifcados. >s+( mientras que inicialmente

los dos tanques que interact*an ten+an constantes de tiempo efcaces :pl y:)9( cuando son vistos como que no interact*an( tienen di!erentes constantesde tiempo :A y :9. ;. Supon&amos que los dos t; @alta>s+ vemos que el e!ecto de la interaccin es para cambiar la relacin de lasconstantes de tiempo efcaces para los dos depsitos #es decir( un tanque sevuelve ms rpido en su respuesta y el otro ms lento$. )uesto que larespuesta &lobal de h9 Lt$ se ve a!ectada por ambos tanques( el tanque ms

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lenta se convierte en el control y la respuesta &lobal se hace ms lenta debidoa la interaccin. )or lo tanto( la capacidad de interaccin son ms lentos que elnoninteractin&11.= intr+nsecamente )rocesos de se&undo orden

al proceso puede e8hibir un comportamiento subamorti&uado y enconsecuencia no puede ser descompuesto en dos sistemas de primer orden en

serie #interactin o noninteractin&$ con si&nifcado !+sico como los sistemas quehemos e8aminado en se&undos anteriores. Se producen ms bien rara ve? enun proceso qu+mico( y que estn asociados con el movimiento de las masas del+quidos o la traduccin mecnica de partes slidas( que posee4 #1$ la inercia ala resistencia de movimiento al movimiento( y #;$ la capacitancia paraalmacenar ener&+a mechanicaA.Dado que la resistencia y la capacitancia son caracter+sticos de los sistemas deprimer orden( lle&amos a la conclusin de que los sistemas de se&undo ordeninherentemente se caracteri?an por la inercia al movimiento.El se&undo trmino de la he lado ri&h a mano da el arro? a la se&undacomportamiento orden del sistema.De se&undo orden Sistemas causada por la presencia de controladores

:a presencia de un sistema de control en un proceso qu+mico puede cambiar elorden o el proceso y producir un comportamiento dinmico que el proceso nopuede e8hibir sin el controlador.