CAPTULO 3 RESPUESTA SINUSOIDAL DE ESTADO ESTABLE

En este tema se analiza el comportamiento de un circuito con excitacin sinusoidal en estado estable. Haciendo uso del anlisis previo del circuito RC se puede cambiar la fuente de CD por una de CA.

RCv

RCv

dtdv eCC

Si la seal de entrada es: = E es la magnitud de la seal sinusoidal. Se sugiere una solucin forzada igualmente sinusoidal de la

forma: = +

Derivando y sustituyendo en la ecuacin diferencial:

= cos sen cos sen + 1

( + ) =

Igualando coeficientes de los cosenos: + = 0 =

Para los senos: =

+ =

= () y en consecuencia = ()

= () () = () ( ) Usando identidades trigonomtricas:

= ()1 + ()( ) = () ( ), donde = atan .

() es la magnitud de la respuesta y - es su fase.

Podemos observar que la respuesta es una sinusoide de la misma frecuencia que la seal de entrada, pero de magnitud y fase diferentes. Este comportamiento nos permite representar las seales sinusoidales mediante nmeros complejos y resolver las ecuaciones diferenciales de los circuitos de una forma ms simple. Este mtodo permite representar los elementos de circuitos en el dominio de la frecuencia mediante fasores e impedancias; resolverlos y despus regresar al dominio del tiempo la solucin obtenida en la frecuencia. Se trata de transformar las seales y los elementos de un circuito con excitacin sinusoidal al dominio de la frecuencia, para facilitar su solucin y extender su comprensin. Nuevamente se resolver la ecuacin diferencial del circuito anterior, pero usando fasores e impedancias. Dado que un nmero complejo puede tener una representacin polar con magnitud y ngulo, esto nos permite relacionarlo con una seal sinusoidal de la siguiente forma:

= ( + ) = = () = = {cos( + ) + sen( + )} = sen( + )

Obsrvese que la expresin (fasor) tiene la informacin de la amplitud y la fase de la seal mientras que tiene la informacin de la frecuencia. En el caso del circuito RC, la fuente de voltaje tiene la siguiente representacin:

= = . Ntese que, en este caso, el ngulo de fase es cero. La solucin forzada igualmente se puede representar mediante un fasor:

= + = ( + ) = Planteado as el problema, la solucin se reduce a calcular la magnitud M y la fase de vf. Para hacer lo anterior se deriva la solucin propuesta:

= = {}

Esta representacin permite establecer la siguiente relacin:

La derivada, en el dominio de la frecuencia, se traduce en una multiplicacin por . Esto implica que las ecuaciones diferenciales en el dominio de t se transforman en ecuaciones algebraicas en el dominio de . La solucin propuesta y su derivada se sustituyen en la ecuacin diferencial:

+ 1 = 1

Es evidente que el factor se puede eliminar, es decir que podemos prescindir de la informacin de la frecuencia ya que esta no cambia, tal y como qued establecido en el anlisis efectuado anteriormente.

( + 1

) =

{1} Con lo cual se obtiene:

+ 1 =

( + 1) =

+ 1 en forma polar es 1 + () = 1 + (); donde = atan

por lo tanto

1 + () = 1 + ()() = (); () = 1

Igualando amplitud y fase:

1 + () = = 1 + ()

+ = 0 = Con lo que

= ( + ) = 1 + () ( )

El siguiente paso es modelar y resolver el circuito en el dominio de la frecuencia para evitar el planteamiento de ecuaciones diferenciales