UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE INGENIERÍA

POSTGRADO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

ANÁLISIS MULTIPARAMÉTRICO EN PROGRAMACIÓN ENTERA

RESPUESTAS TAREA 2

Ing. Alexánder Useche

Enero, 2013

1. Realice una revisión bibliográfica sobre artículos que

traten sobre el Análisis Multiparamétrico en Programación

Lineal y en Programación Entera. En cada caso elabore un

pequeño resumen.

Luego de una rauda revisión bibliográfica en cumplimiento de

lo solicitado, se pudo inferir que el antecedente del

análisis paramétrico en programación lineal, es el análisis

de sensibilidad. Este análisis contempla tres (3) casos: 1)

cambios en los coeficientes de la función objetivo, 2)

cambios en los lados derechos de las restricciones y 3)

cambios en los coeficientes de las restricciones (López

Casuso, 1993, pp. 107-121); cada uno de los casos mencionados

consiste en involucrar nuevos parámetros constantes al

problema de programación lineal, con el objeto de contrastar

el resultado de este nuevo caso con el original.

Posterior al análisis de sensibilidad surge el análisis

postoptimal, el cual responde a las inquietudes formuladas

sobre parámetros que se incorporan a un problema de

programación lineal ya resuelto, es decir, ¿qué ocurre en un

problema de de programación lineal que ya hemos resuelto si

realizamos un cambio en alguno de los elementos que lo

definen? (P.M. y Lahoz, 2009, p. 1) y estos elementos que la

definen son: la función objetivo, la matriz de restricciones

y el lado derecho, los cuales una vez más son mencionados

como los objetos de trabajo para este tipo de análisis.

P.M. y Lahoz (2009) igualmente manifiestan respecto a este

tipo de análisis:

En todos los modelos de programación lineal los

coeficientes de la función objetivo y las

restricciones se dan como datos de entrada o como

parámetros fijos del modelo. En los problemas

reales los valores de estos coeficientes no están,

en general, perfectamente fijados, debido a que la

mayoría de ellos dependen de parámetros no

controlables, por ejemplo, futuras demandas, coste

de materias primas, costo de energía, etc. y no

pueden ser predichas con exactitud antes de que el

problema sea resuelto. También puede suceder que

aunque conozcamos los parámetros exactamente

estemos interesados en estudiar cómo varía la

solución óptima si cambiamos algún parámetro

intencionadamente, a efectos de tratamiento, ambas

situaciones se resuelven de forma análoga… (p. 3).

En una rauda navegación por la red se encontró una variedad

de estudios los cuales presentaron una característica común

en los análisis multiparamétricos, los cuales se enfocan en

los elementos antes mencionados que definen los problemas de

programación lineal. En la VII jornada de aplicaciones

matemáticas llevada a cabo por FACES de la Universidad de

Carabobo, el profesor Alejandro Crema hizo una importante

declaración cuando dictó la conferencia Programación Entera

Multiparamétrica, tomada del periódico Tiempo Universitario y

reseñado por Leandro Rodríguez (2008):

…La necesidad del análisis multiparamétrico en la

programación matemática (cálculo de la solución

óptima de un problema como función de algunos de

los parámetros que lo definen) surge por la

incertidumbre que en muchas oportunidades tienen

los tomadores de decisiones sobre los datos que

intervienen en un problema. Este análisis pudiera

indicar cuáles datos es necesario disminuir la

incertidumbre debido a que su variación produce

cambios significativos en el valor de la solución

obtenida. En los últimos años hemos desarrollado

algoritmos para realizar un análisis

multiparamétricos completo (se encuentra una

solución óptima, si existe, para cada uno de los

posibles valores de los parámetros) en el caso de

la Programación Lineal Entera 0-1 (todas las

variables deben tomar como valor 0 ´o 1). Los

parámetros pueden afectar a la función objetivo y/o

a la matriz de restricciones y/o al vector del lado

derecho… (p. 9).

De manera que de acuerdo a lo anterior, se puede inferir que

la Programación Multiparamétrica Lineal o Entera tiene tres

objetos de estudio de acuerdo a lo manifestado por el

profesor Crema: función objetivo, matriz de restricciones y/o

vector del lado derecho; para ilustrar lo recientemente

manifestado, basta con echar un raudo vistazo a los

ejercicios de la tarea 1.

Más casos ilustrativos se pueden encontrar en la variedad de

investigaciones dentro del área cuya data no es reciente, lo

que lleva a concluir que el problema multiparamétrico

preocupa desde hace tiempo y ha permitido a múltiples

profesionales, contribuir en el desarrollo de algoritmos.

Otro caso ejemplar es reseñado en el siguiente resumen de una

tesis de grado realizado por Newman y Rivero (1998) para el

desarrollo de un algoritmo explícito para el problema

multiparamétrico relativo al vector del lado derecho:

El problema multiparamétrico relativo al lado

derecho de un Problema de Programación Lineal

Entera, consiste en resolver una familia de

problemas cuyos miembros se relacionan por tener

una función objetivo y una matriz de coeficientes

idénticos. Con el algoritmo original, decimos que

el problema multiparamétrico ha sido resuelto de

una manera implícita, mientras que con la nueva

alternativa sería resuelto de una forma explícita,

de modo que el objetivo de este trabajo es exponer

el tratamiento del problema resuelto explícitamente

(¶1).

Nótese que de acuerdo al resumen anterior, el autor realizó

un estudio multiparamétrico relativo al lado derecho para una

familia de problemas con función objetivo y matriz de

coeficientes idénticos, es decir, no trabajó con esas últimas

partes específicas. Otro caso lo podemos ilustrar con el

algoritmo de contracción explícito para el problema de

programación lineal entera multiparamétrico relativo al lado

derecho, desarrollado por García y Guzmán (1995) o el trabajo

del profesor Crema (1994) en su tesis doctoral: tópicos en

análisis de sensibilidad en problemas de programación lineal

entera, cuyo resumen es como a continuación se cita:

Se ha diseñado un algoritmo para resolver el

problema multiparamétrico continuo relativo al lado

derecho para problemas de PLE definido como una

familia de problemas PLE relacionados por tener la

misma función objetivo y matriz de restricciones.

Nuestro algoritmo trabaja seleccionando una

secuencia finita de problemas puntuales de PLEM

para obtener un análisis multiparamétrico completo.

Los problemas de la secuencia pueden ser resueltos

utilizando algoritmos disponibles comercialmente

(¶1).

Hasta ahora se han mencionado algunos trabajos cuyo objeto ha

sido el lado derecho de un PPLE o PPL; para ilustrar otros

casos se encontró el trabajo de Rodríguez (1999) el cual

consistió en la implantación y comparación de dos algoritmos

para el problema paramétrico relativo a la función objetivo

en problemas de PE-0-1.

Todos los casos mencionados (además de ser tutoriados en su

mayoría por el profesor Crema) son estudios que pueden ser

extensibles a aplicaciones prácticas y útiles para otras

disciplinas del conocimiento; tal es el caso del trabajo de

López y Barrios (2007) que consistió en la programación

lineal y análisis paramétrico en planificación forestal, el

cual explican en el siguiente resumen:

El proceso de planificación forestal muchas veces

llega a ser tan complejo, que requiere del uso de

herramientas que faciliten la toma de decisiones.

Dentro de este grupo de herramientas, se encuentra

la programación lineal. La solución de un problema

de programación lineal garantiza la asignación

optima de recursos entre un numero finito de

actividades. Un modelo de programación lineal se

usó para resolver un problema de planificación de

la cosecha forestal en el contexto de la

planificación forestal multipropósito, el cual

maximizó el valor presente neto del bosque a través

del horizonte de planificación. Usando análisis

paramétrico, se evaluó el efecto de la

incorporación en el modelo de restricciones

ambientales como la conservación de la vida

silvestre, el mantenimiento de un flujo de volumen

no decreciente y un inventario de madera en pie al

final del horizonte de planificación. (p. 124).

Otra aplicación la podemos referenciar en el trabajo de Mula,

Poler y García (2006) los cuales propusieron un modelo de

programación lineal paramétrica para la resolución del MRP

(Material Requirements Planning) con restricciones de

capacidad y que presentan en el siguiente resumen:

…se propone un enfoque de programación lineal

paramétrica para su aplicación a un problema MRP

con restricciones de capacidad e incertidumbre en

los datos de costes. El modelo propuesto considera

únicamente la posible ambigüedad en los

coeficientes de la función objetivo, mientras que

todas las restricciones se consideran

deterministas… (¶1)

Por último se mencionan los trabajos del profesor Quintero,

los cuales consistieron en el diseño e implementación de

algoritmos para el problema paramétrico de programación

lineal entera 0-1 relativo a la función objetivo y a la

matriz de restricciones (2000) y el diseño e implantación de

algoritmos para el problema multiparamétrico generalizado de

programación lineal entera 0-1 relativo a la función objetivo

(2008) y el trabajo de Gil (2009) el cual consistió en el

diseño e implantación de algoritmos para el problema

multiparamétrico direccional de programación lineal entera 0-

1.

De todo lo anterior se puede concluir, que en las distintas

investigaciones llevadas a cabo en análisis paramétricos y

multiparamétricos, han sido una oportunidad para el

desarrollo de algoritmos que permitan disminuir la

incertidumbre en los parámetros involucrados en cada una de

las partes que definen a un problema de programación lineal o

programación lineal entera, como son: la función objetivo, la

matriz de restricciones, el lado derecho y más recientemente

el problema multiparamétrico direccional.

2. Realice una revisión bibliográfica sobre CPLEX 12.2

elaborando un pequeño resumen de dicha herramienta para la

resolución de problemas de Programación Entera.

En la revisión bibliográfica solicitada -el cual una vez más

se realizó de manera rauda- se pudo recopilar algunas

características los cuales se mencionan a continuación:

a. Es un software desarrollado por IBM, para la

resolución de problemas de:

i. Programación lineal.

1.

mnnxm

n

T

RbRcRA

Rx

bAxtoSubject

xcMaximize

,,

:

:

(Lima, 2010, p.5)

ii. Programación lineal entera y entera-mixta.

1.

mknkxmnxm

k

n

TT

RbRdRcRBRA

Zy

Rx

bByAxtoSubject

ydxcMaximize

,,,,

:

:

(ídem, p. 6)

iii. Programación cuadrática.

1.

nxn

mnnxm

n

TT

RQ

RbRcRA

Rx

bAxtoSubject

QxxxcMaximize

,,

:

21:

(ídem, p. 7)

Observación: Si la matriz Q es positiva

simidefinida, entonces el problema de

programación cuadrática es convexo.

iv. Programación cuadrática entera mixta.

1.

nxn

mnnxm

jj

l

k

l

TT

RQ

RbRcRA

NjRx

NlZx

bAxtoSubject

QxxxcMaximize

,,

,

,

:

21:

(ídem, p. 8)

Observación: Si la matriz Q es positiva

simidefinida, entonces el problema de

programación cuadrática es convexo.

v. Programación cuadrática restringida.

1.

1

1

,,...1,

,,

...,,1,2

1

:

21:

miRB

RbRcRA

Rx

mibxaxBx

bAxtoSubject

QxxxcMaximize

nxm

i

mnnxm

n

ii

T

TT

(ídem, p. 9)

vi. Programación cuadrática entera mixta

restringida.

1.

1

1

,,...1,

,,

,

,

...,,1,2

1

:

21:

miRB

RbRcRA

NjRx

NlZx

mibxaxBx

bAxtoSubject

QxxxcMaximize

nxm

i

mnnxm

j

n

j

ll

ii

T

TT

y finalmente

(ídem, p. 10).

vii. Se emplea también para la resolución de

problemas MINLP (Mixed Integer NonLinear

Programs), es decir, programación no lineal

entera mixta. (ídem, p. 4)

b. Presenta librerías compatibles con lenguajes como C, C++, entre otros para la creación de códigos en

la resolución de problemas de la naturaleza

mencionada. (http://www-

01.ibm.com/software/integration/optimization/cplex-

optimizer/)

c. Se pueden construir algoritmos robustos para

problemas de alta exigencia, con un número muy

grande de variables y restricciones, por el orden

de los millones. (ídem)

d. Se puede disponer de una variedad de códigos

ejemplares, online en lenguaje C, C++, entre otros.

(ídem)

e. La herramienta ha evolucionado desde 1988 hasta

2010, presentando en cada año una innovación para

la resolución de los distintos problemas de

programación lineal, empezando desde los problemas

de programación lineal hasta la proposición de

heurísticas de mejoras y búsqueda dinámica

mejoradas. (ídem)

3. Realice un análisis multiparamétrico, usando el algoritmo visto en clase:

33,42,61

1,0,,

222

532

:..max,,

321

321

321

321

332211321

xxx

xxx

xxx

asxxxP

Al adecuar el problema planteado de acuerdo al algoritmo

expuesto en las láminas AMPE02 para la clase #2

correspondiente a la fecha del 02/11/2012 (Quintero, 2012,

pp. 19-29), se logra la siguiente secuencia:

33,42,61

,1,0,,

max

222

532

:..,,

321

321

332211

321

321

321

Rzxxx

xxxz

xxx

xxx

aszP

33,42,61

,1,0,,

222

532

:..,,

321

321

332211

321

321

321

Rzxxx

xxxz

xxx

xxx

aszP

Al resolver se obtiene:

)1,1,0(;53,2,1

,1,0,,

32

222

532

:..3,2,1

)7(

321

321

321

321

xPv

Rzxxx

xxxz

xxx

xxx

aszP

)1,0,1(;93,2,6

,1,0,,

326

222

532

:..3,2,6

)6(

321

321

321

321

xPv

Rzxxx

xxxz

xxx

xxx

aszP

)0,1,1(;103,4,6

,1,0,,

346

222

532

:..3,4,6

)5(

321

321

321

321

xPv

Rzxxx

xxxz

xxx

xxx

aszP

)1,1,0(;73,4,1

,1,0,,

34

222

532

:..3,4,1

)7(

321

321

321

321

xPv

Rzxxx

xxxz

xxx

xxx

aszP

Para cada uno de los casos se realizaron pruebas con todo el

espectro de valores para la variable x(i)

y para las distintas

combinaciones de los parámetros θ.

4. Construya un ejercicio min sum con tres variables cero-uno perturbando solo dos coeficientes de la función objetivo.

La cardinalidad de la solución multiparamétrica debe ser

de al menos 5.

De acuerdo a lo solicitado, se construyó el siguiente

ejercicio:

42,61,1,0,,

1

5332

:..4min

21321

321

321

32211

xxx

xxx

xxx

asxxxP

Al realizar el análisis multiparamétrico usando enumeración

exhaustiva, se tiene la siguiente tabla resultado:

x1 x2 x3 1x1 +2x2 4x3 2x1 +3x2 +3x3 ≤ 5 x1 + x2 - x3 ≤ 1

0 0 0 0 0 0

0 0 1 4 3 -1

0 1 0 2 3 1

0 1 1 2 + 4 6 0 (infactible)

1 0 0 1 2 1

1 0 1 1 + 4 5 0

1 1 0 1 + 2 5 2 (infactible)

1 1 1 1 + 2 + 4 8 1 (infactible)

De la tabla anterior se puede observar que las ocho (8)

posibilidades de valores del vector “x”, tres (3) son

INFACTIBLES, resultando entonces en cinco (5) valores

factibles los cuales se ajustan a la cardinalidad de la

solución multiparamétrica mínima solicitada. También se puede

observar que el ejercicio se construyó con las tres (3)

variables solicitadas, perturbando los coeficientes i tal que

i = 1, 2.

5. Construya un ejercicio min max con tres variables cero-uno perturbando solo dos coeficientes de la función objetivo.

La cardinalidad de la solución multiparamétrica debe ser

de al menos 3.

31,50,1,0,,

32

2

:..,,7maxmin

232321

321

321

323221

Bdxxx

xxx

xxx

asxBxdxP

Al realizar el análisis multiparamétrico usando enumeración

exhaustiva, se tiene la siguiente tabla resultado:

x1 x2 x3 x1 d2x2 B23x3 x1 + x2 - x3 ≤ 2 x1 + x2 + 2x3 ≥ 3

0 0 0 0 0 0 0 0 (infactible)

0 0 1 0 0 B23 1 2 (infactible)

0 1 0 0 d2 0 1 1 (infactible)

0 1 1 0 d2 B23 0 3

1 0 0 7 0 0 1 1 (infactible)

1 0 1 7 0 B23 0 3

1 1 0 7 d2 0 2 2 (infactible)

1 1 1 7 d2 B23 1 4

De la tabla anterior, se puede observar que las ocho (8)

posibilidades de valores del vector “x”, cinco (5) son

INFACTIBLES, resultando entonces en tres (3) valores

factibles los cuales se ajustan a la cardinalidad de la

solución multiparamétrica mínima solicitada. También se puede

observar que el ejercicio se construyó con las tres (3)

variables solicitadas, perturbando los coeficientes

correspondientes a las variables xi tal que i = 2, 3.

LISTA DE REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. García, Carlos y Guzmán, Norma (1995). Algoritmo de

contracción explícito para el problema de programación

lineal entera multiparamétrico relativo al lado derecho.

Tesis de grado no publicada, UCV, Caracas, Distrito

Capital, Venezuela.

2. Gil, Fidias (2009). Diseño e implantación de algoritmos para el problema multiparamétrico direccional de

programación lineal entera 0-1. Tesis de grado no

publicada, UCV, Caracas, Distrito Capital, Venezuela.

3. IBM(2010). IBM ILOG CPLEX Optimizer. Disponible en:

http://www-

01.ibm.com/software/integration/optimization/cplex-

optimizer/. Consultado en Enero de 2013.

4. Lima, Ricardo (2010). IBM ILOG CPLEX What is inside the box?.EWO Seminar (seminario), Carnegie Mellon

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5. López, Ana y Barrios Alonso (2007). Programación Lineal y Análisis Paramétrico en Planificación Forestal. En:

Revista TUMBAGA – Número 2. Disponible en:

http://revistas.ut.edu.co/index.php/TUMBAGAV/article/dow

nload/334/292. Consultado en Diciembre de 2012.

6. López Casuso, Rafael (1993). Programación Lineal y

Decisiones Económicas, Caracas-Venezuela: Exlibris, 3ª

edición.

7. Mula, Josefa; Poler, Raúl y García, José. Un modelo de programación lineal paramétrica para la resolución del

MRP con restricciones de capacidad. Trabajo financiado,

Universidad Politécnica de Valencia, Valencia, España.

8. Newman, Simón y Rivero, Dulce (1998). Algoritmo

explícito para el problema multiparamétrico relativo al

vector del lado derecho. Tesis de grado no publicada

(mimeografiada), UCV, Caracas, Distrito Capital,

Venezuela.

9. P.M. Mateo y Lahoz David (2009). Programación Lineal

III. Análisis Postoptimal, Zaragoza-España: ficheros.

Disponible en: http://ocw.unizar.es/ocw/ensenanzas-

tecnicas/modelos-de-investigacion-

operativa/ficheros/OCWSensiPara.pdf. Consultado en Enero

de 2013.

10. Quintero, José (2000). Diseño e implementación de

algoritmos para el problema paramétrico de programación

lineal entera 0-1 relativo a la función objetivo y a la

matriz de restricciones. Tesis de Postgrado no

publicado, UCV, Caracas, Distrito Capital, Venezuela.

11. Quintero, José (2008). Diseño e implantación de

algoritmos para el problema multiparamétrico

generalizado de programación lineal entera 0-1 relativo

a la función objetivo. Tesis de Postgrado no publicado,

UCV, Caracas, Distrito Capital, Venezuela.

12. Quintero, José (2012). Problema multiparamétrico

generalizado de programación lineal entera 0-1 relativo

a la función objetivo. Guía de estudio para el curso de

AMPE, UCV, Caracas, Distrito Capital, Venezuela.

Disponible en: http://www.joseluisquintero.com/.

Consultado en Diciembre de 2012.

13. Rodríguez, Adriana (1999). Implantación y

comparación de dos algoritmos para el problema

paramétrico relativo a la función objetivo en problemas

de PE-0-1. Tesis de grado no publicada, UCV, Caracas,

Distrito Capital, Venezuela.

14. Rodríguez, Leandro (2008). VII JORNADAS DE

APLICACIONES MATEMÁTICAS REALIZÓ FACYT. En: Tiempo

Universitario – Número 590. Disponible en:

http://www.tiempo.uc.edu.ve/tu590/paginas/9.htm.

Consultado en Enero de 2013.