8/12/2019 Resuelva Por Coeficientes Indeterminados y Coeficientes Constantes

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Resuelva4 3 2

4 3 2

d Q d Q d Q dQ8 32 64 64Q 0

dx dx dx dx

Solucin

La ecuacin caracterstica tiene races 2 i2 y 2 i2 : de aqu que 1 2 i2 y2 2 i2 son ambas races de multiplicidad dos. La solucin es:

2x 2x1 3 2 4

2x 2x1 2 3 4

y e c cos2x c sen2x xe c cos2x c sen2x

y c c x e cos2x c c x e sen2x

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y'''' 8y''' 32y'' 64y' 64y 0

Input:

y 4

x 8 y 3 x 32 y x 64 y x 64 y x 0

ODE classification:

higher-order linear ordinary differential equation

Alternate forms:

y 4

x 8 y 3 x 32 y x 64 y x 64 y x

y

4

x 64 y x 8 y 3

x 4 y x 8 y x y

4x 32 y x 64 y x 8 y 3 x 8 y x

Differential equation solution: Approximate form Step by step solution

y x c 12 x sin 2 x c 2 2 x x sin 2 x c 3 2 x cos 2 x c 4 2 x x cos 2 x

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Resuelva por coeficientes indeterminados y ' 5y (x 1)senx (x 1)cosx

Solucin

De la ecuacin diferencial homognea y ' 5y 0 , su ecuacin caracterstica es

5 0 , que tiene una nica raz 1 5 . La solucin es entonces5x

1y c e Ahora determinamos la forma de la solucin particular de

y ' 5y (x 1)senx (x 1)cosx

Primero consideramos lo siguiente

Si en cambio x n(x) e p (x)cos x es el producto de una funcin polinomial, unaexponencial y un trmino seno, o si x n(x) e p (x)sen x es el producto de unafuncin polinomial, una exponencial y un trmino de coseno, entonces se asume

x n x np n 1 0 n 1 0y e sen x A x ... A x A e cos x A x ... A x A Donde j A y jB j 0,1...,n son constantes que an se deben de determinar

Aqu (x) (x 1)senx (x 1)cosx , una solucin asumida para (x 1)senx

esta dada por la ecuacin siguiente con 0 : 1 0 1 0 A x A senx B x B cos x

Y una solucin asumida para x 1 cosx esta dada por:

1 0 1 2C x C senx D x D cos x

(Obsrvese que se ha usado C y D en la ltima expresin, pues las constantes A y B ya han sido usadas). Entonces tomamos

p 1 0 1 0 1 0 1 0y A x A senx B x B cos x C x C senx D x D cos x

Combinando trminos similares llegamos a

p 1 0 1 0y E x E senx F x F cos x

Como la solucin asumida, donde j j j j j jE A C y F B D ( j 0,1)

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Adems p 1 1 0 1 0 1y ' E F x F senx E x E E cos x

Sustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial y simplificando, obtenemos:

1 1 0 1 0 1 1 0 0 15E F xsenx 5E E F senx 5F E xcos x 5F E F cos x(1)xsenx ( 1)senx (1)xcos x (1)cosx

Igualando coeficientes de trminos similares tenemos

1 1

0 1 0

1 1

0 0 1

5E F 1

5E E F 1

E 5F 1

E 5F F 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos

1 0 1E 2 / 13,E 71/ 338,F 3 / 13 y 0F 69 / 338 . Entonces tenemosque

p2 71 3 69

y x senx x cos x13 338 13 338

Y la solucin general es:

5x1

2 71 3 69y c e x senx x cos x

13 338 13 338

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Plots of sample individual solutions:

x

y

y

y

y 0 1

y 0 0 y 0 0

y 3

0 0

x

y

y

y

y 0 0

y 0 1 y 0 0

y 3 0 0

x

y

y

y

y 0 0

y 0 0 y 0 1

y 3 0 0

x

y

y

y

y 0 0

y 0 0 y 0 0

y 3 0 1

Sample solution family:

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4x

60

40

20

20

40

60

80

y

sampling y 0 , y 0 , y 0 and y 3 0

y''''-8y'''+32y''-64y'+64y=0

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Solve the linear equation y x

x 5 y x sin x x 1 cos x :

Let x 5 x 5 x .Multiply both sides by x :

y x

x

5 x

5 y x 5 x

cos x x 1 sin x 5 x

Substitute 5 5 x x

5 x : y x

x

5 x

x 5 x y x

cos x x 1 sin x 5 x

Apply the reverse product rule g f

x f g

x

x f g to the left-hand side:

x

y x 5 x

cos x x 1 sin x 5 x

Integrate both sides with respect to x :

x y x

5 x x cos x x 1 sin x 5 x x

Evaluate the integrals:

y x 5 x

5 cos x 13 x 18 13 x 47 sin x 338 5 x c1, where c1 is an arbitrary constant.

Divide both sides by x 5 x :

y x 1

3385 cos x 13 x 18 13 x 47 sin x 338 c1 5 x

Simplify the arbitrary constants:

Answer:

y x 45 cos x

169

5

26 x cos x

47 sin x

338

1

26 x sin x c1 5 x