Resumen de - Capítulo 2 - Enviado

7/25/2019 Resumen de - Captulo 2 - Enviado

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Ctedra:Dispositivos Electrnicos (1031)Captulo 2: Modelo de bandas de los slidos

CAPITULO 2: MODELO DE BANDA DE LOS SLIDOS

TEMA A- Caractert!ca El"ctr!ca del Etado S#l!do

Ligaduras atmicas

Un slido es un estado de la materia caracterizado por un ordenamientode tomos que tiende a ser peridico y reular! Esta estructura de cristalestiene que ver con el tipo de liadura atmica! I#$!ca %electro &ale$te o 'eteropolar(: "a ener#a t#pica del enlace es de

1 a 10 e$ y se rie por la ley de %oulomb! "os tomos tienden a perder oanar electrones para completar su &ltima orbita' quedando as# ionizadospositiva o neativamente!

Es posible ormar c&mulos de molculas atra#das entre si con tal que se

produzca un cierto ordenamiento espacial' esto se traduce en propiedadesmecnicas de railidad y una propiedad elctrica de poca conductividad'como la sal*

( 2+ NaCl

Co)ale$te u 'o*opolar +uerte: la ener#a t#pica del enlace es de 3 a 10e$ consiste en compartir electrones entre + o mas acomodos! Desde elpunto de vista de la mecnica ondulatoria' la comparticin de electronesentre tomos que orman el cristal consiste en compartir la uncin de ondadel &ltimo nivel' es decir' podr#amos ,ablar que alrededor de los tomos queconorman el enlace' e-iste una uncin de onda com&n!

En cualquier enlace menos el diamante' se presenta el mismo tipo deoranizacin aunque con menor reularidad espacial y sincronismo entemas elevada la temperatura! Ello implica menor dureza mecnica y menortransparencia' puede percibirse un aumento de la conductividad elctrica!.odemos describir el intercambio de electrones como un ir y venir entre lostomos con un movimiento cuasi determinista!

/i las propiedades elctricas dependen del rado de libertad de loselectrones' mayor sincronismo y orden espacial en el intercambio implicaramenor libertan de los electrones! .odemos decir que un enlace sincrnico yordenado esta conormado por pares ,uecoelectrn2 ms o menosestables!

Co)ale$te u 'o*opolar d",!l %e$lace *etl!co(: rano de ener#a entre1 y e$! "a comparticin de electrones es el mecanismo de enlace' pero conmuc,o menor cantidad de electrones por orbita! 4 causa de este enlace' sonmaleables mecnicamente' opacos y buenos conductores (aunque ,ayorden espacial mas o menos reular' no ,ay necesidad de sincron#a)! 4s# enlos enlaces metlicos prcticamente no podemos ,ablar de pares ,uecoelectrn2 y por el contrario debemos considerar a los electronesprcticamente libres (,ay mayor disponibilidad de luares2 que deelectrones que los ocupen)!

&a$ Der aal:5ano de ener#a entre 1 y 3 e' caracterizan bsicamente

al estado aseoso!

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Modelo energtico del cristal

"os materiales semiconductores deben pertenecer al rupo 6 de la tabla!"os materiales semiconductores se presentan en la naturaleza en estado slidoy conducen la electricidad de orma moderada!

En el caso del /% (semiconductor)' por ser tetravalente' necesita

conseuir 6 electrones' pero en luar de compartir 6 con otro tomo' solocomparte uno' de manera que necesita 6 tomos para estabilizarse!

/i la &nica ener#a que se ,alla aplicada anuestro sistema es la trmica' diremos que nuestrocristal est en equilibrio trmico!

%ando sumerimos al cristal en un ambientetrmico y este entrea ener#a' los electrones devalencia' al recibir ener#a pueden pasar a ocuparniveles de ener#a mas altos' que estaban vac#os a078!

En la 9ura se muestra el proceso de roturade una liadura covalente' en donde puede verseque el electrn que la ocupaba se libera del tomo:este electrn liberado por la ener#a trmica que adquiri se transorma en unelectrn libre y se ubica a un nivel de mayor ener#a!

;odos estos estados le dan posibilidad a ese electrn libre de moverse conabsoluta comodidad' cuando se ,alle sometido a aluna uerza que lo traslade'dando luar a una corriente elctrica' si no ,ay una uerza que lo obliue amoverse en una determinada direccin' se mover debido a la ener#a cinticaque posee en orma aleatoria' consecuentemente no podr sostener ninunacorriente!

o,r' los electrones tienen adentro del tomo ener#acintica potencial y total! .or intermedio del numero quntico principal ?n@podemos obtenemos alunos valores de ener#a' uno para cada valor de ?n@!Estos valores los denominamos niveles permitidos' siendo el resto' niveles deener#a pro,ibidos! Esos niveles de ener#a permitidos pueden ser ocupados porelectrones' los que adoptan la ener#a que le determina el nivel! Entre dosniveles permitidos ,abr una ran cantidad de niveles pro,ibidos' si el electrnse encuentra en un nivel determinado y ana la su9ciente ener#a como para

pasar a ocupar otro nivel permitido' lo ,ar y a,ora ese electrn tiene la ener#aque le marca el nuevo nivel!

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Dentro de un cristal' la ener#a de un estado la caracteriza un =ueo de 6n&meros qunticos ?n@' ?l@' ?m@ y ?s@' y se&n el principio de e-clusin de .auli' enel sistema no e-istirn + estados permitidos que tenan los mismos 6 n&merosqunticos!

4 medida que el electrn ana ener#a y tiene posibilidades de ale=arse

del n&cleo ,asta que el radio se ,ace in9nito!

/uponamos un cristal en el cual la separacin entre tomos la llamamos

0 : los estados de un tomo determinado se vern sometidos' no solo a laaccin del n&cleo del tomo al que perteneces' sino tambin al de los tomosque lo rodean!

;iene indicado en l#nea de trazos el pozo propio de potencial dentro delcual se ,allan obliados a permanecer los electrones pertenecientes a dic,ostomos' en l#nea llena se modi9ca el diarama de potencial por la accin de un

tomo vecino produciendo el ensanc,amiento! .ara un valor determinado de ?n@los diaramas de ener#a se conunden y el pozo desaparece' lo que permiteque ciertos niveles que antes estaban dentro del pozo propio' sean a,oracomunes a todos!

En el interior del cristal' un electrn encerrado dentro de un pozo depotencial no lo abandonara' pero podr desplazarse libremente dentro de el'con solo anar la ener#a que le permita llear a ocupar niveles que estn porencima de los valores m-imos de los diaramas de ener#a internos del cristal!

/uponamos que la 9ura corresponde al diarama de ener#as de uncristal de silicio' este tiene la siuiente estructura atmica* 21s 22s 62p 23s 23p

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El tomo tiende a completar su octaedro en orma 9cticia con 6 tomosvecinos compartiendo con cada no de ellos un electrn! /i cualquiera de los Aelectrones del &ltimo nivel ana la ener#a E' no escapa del cristal' pero siescapa del pozo de potencial del tomo al cual pertenec#a y pasa a ocuparestados de niveles vac#os comunes a todos tomos que le permiten moverse

libremente dentro del cristal!$emos como al pasar un electrn liado a un nivel cualquiera rompe una

liadura y de=a vacante un estado permitido que correspond#a a uno de loselectrones de valencia del tomo semiconductor' este estado puede ser llenadosi ,ay otro electrn que vaya a ocupar ese luar y los &nicos que lo pod#an,acer son los otros electrones liados' cuya ener#a trmica no les alcanza parasuperar la dierencia de ener#a E: dic,os electrones pueden pasar por eectot&nel2 a ocupar el luar que de=aron vacante los electrones que pasaron aocupar estados permitidos de otros niveles de conduccin!

Decimos que el tomo se ,a ionizado' pues la alta de un electrn

produce' desde el punto de vista microscpico' una alta de neutralidadelctrica! Desde el punto de vista macroscopio' el cristal siue siendo neutro'dado que el electrn siue dentro de l!

;odos los electrones que ,an quedado libres estn en condiciones demoverse dentro de los niveles de ener#a que ,emos llamado de conduccin2!

4l movimiento de los electrones libres' se le suma la posibilidad demovimientos de otros electrones que permaneces aun en sus liaduras' a dic,onivel lo llamaremos de valencia2!

Es undamental entender que solamente aparece la posibilidad demovimiento de un electrn liado cuando se rompe una liadura!

>andas de ener#a/uponamos un nivel en un tomo aislado' caracterizado por un valor de

nB+ en los C2 tomos sin interaccionar! "a sumatoria de las ener#as de estenivel en todos los tomos deb#a ser C2 veces la de un solo tomo! .or elprincipio de conservacin de la ener#a' cuando los C2 tomos ormen uncristal' o sea' se interaccionen uertemente entre si' la ener#a suma de los C2niveles en que se ,ab#an transormado los primitivos niveles de nB+ deber serla misma: lueo como no pueden ser todas iuales' la mitad tendr valores deener#a menores que lo del nivel oriinal y la otra mitad tendr valores deener#a superiores a dic,o valor!

;enemos niveles distintos' separados entre si por una cantidad de ener#adierente de cero' no obstante' es tan alta la cantidad de niveles que coe-isten

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dentro de una banda que podemos decir que la separacin entre niveles es muypequea' tanto que podemos considerar una banda de ener#a prcticamentecontinua! En estas condiciones' un electrn que ocupa un estadocorrespondiente a un nivel dentro de la banda' podr ocupar cualquier otroanando o perdiendo #n9mas cantidades de ener#a!

En la siuiente 9ura se ,a modi9cado el diarama de ener#as para elsilicio! "os niveles 1 y + quedan idnticos mientras que el nivel 3 se ,aconvertido en banda! Esto es cierto debido a que por eecto t&nel los electronesliados pueden moverse entre liaduras como si dic,as barreras no e-istieran: aesta banda la llamaremos >anda de $alencia2!

"a raccin 66 sini9ca que por cada 6 estados permitidos' ,ay 6electrones que los ocupan' lo que quiere decir que esa banda est totalmentellena!

En el tomo individual' el &ltimo nivel cuenta con A estados de los cales seutilizaron 6 para construir la banda de valencia' los otros 6 quedaron sin ocupar'y pasan a ormar una banda vac#a que llamaremos banda de conduccin2! "araccin 06 quiere decir que esta vac#a de electrones pero que tiene 6 estadospermitidos!

Diaramas simpli9cados de bandas de ener#a*Entre Ec (piso de la banda de conduccin) yEv (tec,o de la banda de valencia) ,ay unabanda que llamaremos pro,ibida2 puestoque en ella no ,ay nin&n estado permitido!

4 078' todos los electrones estn ocupandosus liaduras de manera que la banda devalencia estar totalmente ocupada y la deconduccin totalmente vac#a!%ada electrn que pasa de una banda devalencia a la de conduccin produce un parelectrn,ueco2

EvEcEg =

Propiedades de los metales, semiconductores, y Aislantes

Diarama de la banda para dierentes materiales elctricos

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En los enlaces metlicos2 las distancias de interaccin son menores'debido a la necesidad que intervena en el enlace las subcapas enerticasmas internas! /i tomamos el cobre (%u) cuya estructura electrnica de la ultimaorbita es tan solo de + electrones en el nivel 6 y la acercamos a m&ltiplestomos entre si' tendera a producirse una ,ibridacin radual que siue la

siuiente orma*

%omo podemos ver' se orma una banda prcticamente continua queabarca para la distancia de equilibrio r0 dos niveles enerticos dierentes'producindose en consecuencia una ran cantidad de estados disponibles parapocos electrones de enlace!

Una pieza de metal puede ser representada' a los eectos de laconduccin elctrica' como una batea de potencial clsica cuya proundidad e

es la ener#a de e-traccin! Dentro de esta banda &nica de conduccin loselectrones se encuentran en un estado virtualmente aseoso (as deelectrones) ya que se encuentra en una concentracin con distancias deseparacin relativamente rande! En estas condiciones es muy simple producirla conduccin elctrica por la aplicacin de un campo elctrico!

En los enlaces covalentes uertes2 la ,ibridacin alcanza solo en los&ltimos subniveles presentan una ,ibridacin radual' se&n la distancia deenlace' como se aprecia en el siuiente ra9co!

En el estado de equilibrio (r0)' los materiales orecen + bandas de ener#aseparadas por un salto enertico (F4.) cuyo intervalo E depende de lostomos considerados!

$olviendo al F4.' esta tiene alrededor de 0!G e$ para el Fe' 1!1 e$ para el/i y 0!e$ para el % diamantizado! "os F4. ineriores a + e$ dan orien a los

materiales semiconductores y los superiores a H e$ dan orien a los aislantes!

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Conduccin en los metales segn la teora de Bandas Ley vectorial de !"m, resistividad,

movilidad

%onduccin elctrica de los metales"a abundancia de estados disponibles en un metal conductor' que se

mani9esta con una &nica banda' permite describir a la concentracin de

electrones como si ueran un as! "os electrones se encuentran casi en estadolibre y en consecuencia' son el ve,iculo normal de transporte de caras!

/uponiendo que el electrn es como una molcula de as' en eneraltiene desplazamiento medio nulo! %uando aplicamos un campo elctrico sedesarrolla una trayectoria media' pero que aun conserva ciertas caracter#sticasestocsticas! "a trayectoria media del electrn se desarrollara entre + c,oquescon otros electrones' c,oque que puede considerarse perectamente elstico'debido a que la velocidad inicial media del electrn es nula y la velocidad 9nalmedia viene dada por la aceleracin impresa por el campo elctrico!

Cotemos que en esta medida' despreciamos prcticamente cualquierinteraccin que e-ista entre los electrones no comprendidos en la uerza dec,oque' as# como tambin despreciamos la interaccin con la red cristalina!

4dmitiendo este tipo de movimiento' calculemos a,ora la aceleracin yvelocidad media desarrollada*

=

=

=

==

lme

e

med

emediolibremedmed

e

med

mede

tm

EQV

taV

m

Eqa

amEqeF

..

.

.

..

max

..max

/i 0. =mediV $elocidad inicial media2

fi

m

VVV

+= $elocidad

media

=

lme

e

mm tm

EQV .

2

.($elocidad Media Media)

Iue representa un corrimiento del electrn en el sentido opuesto al

campo elctrico aplicado' con lmet 2 como tiempo libre medio entre c,oques!

4,oramm

V puede ponerse en uncin de un parmetro que

denominaremos movilidad2*

EV emm .=

/iendo*

= lmee

e tm

Q.

2 (Movilidad)

"a movilidad representa la mayor o menor acilidad con que un electrn semueve dentro del metal! 4 mayor temperatura' aumenta la dispersin delmovimiento estocstico' por lo tanto aumenta la seccin e9caz el c,oque' yesto aumenta la probabilidad de c,oque' por lo tanto disminuye el tiempo libremedio entre c,oques! 4s# la movilidad debe decrecer con el aumento de latemperatura' cosa que relativamente ocurre en la prctica!

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Densidad de corriente%onsideremos un volumen elemental dentro del metal constituido por una

seccin de control s y el desplazamiento medio de los electrones l *

lsV = . s tVl mm = .

l stVV mm = ..

Este V es dinmico' de modo que la cantidad de electrones queatraviesa la seccin de control s es iual a la cantidad de electrones quee-iste en este volumen elemental! /i ?n@ es la concentracin dinmica deelectrones libres' es decir' la concentracin de portadores de cara' entonces*

stVnVnVN mm == .....

"a densidad de corriente' la calculamos en uncin de la caraincremental Q por unidad de tiempo y super9cie*

st

QLim

s

IJ

st

=

=

1.

00

( ) stEnqstVnqVNqQ emm === ........... ( ) mme VE= .

EEnqJ e .... == "ey .untual de J,m

Esta es la ley puntual de J,m' donde es la conductividad del material' lacual aumenta cuando la temperatura disminuye!

#escripcin elctrica del estado slido, necesidad de determinar la concentracin de portadores

Feneracin y recombinacin de portadores*Decimos que el cristal esta en condicin de equilibrio trmico cuando la

&nica orma de ener#a con la que se ,alla en contacto es con la trmica! "aener#a trmica es la responsable de la iotizacin de los tomos propios delsemiconductor' rompiendo liaduras!

4 este proceso de equilibrio trmico' se lo denomina eneracin trmica2

y ser' en este caso' uncin de la temperatura!%omo proceso complementario' tenemos a la recombinacin2! ;odoelectrn que ,a pasado a ocupar un estado permitido de la banda deconduccin' tiene mas ener#a que cuando se encontraba llenando una de lasliaduras covalentes del semiconductor: el sistema en consecuencia' no serestable y tiende a estabilizarse buscando la menor ener#a posible' la que tienecuando cada electrn ocupa una liadura! El proceso de reconstruccin de unaliadura' por perdida de ener#a de un electrn libre' da luar a la perdida de unelectrn libre y tambin de un ,ueco!

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)(TG Feneracin

( )TpnR ,, 00 5ecombinacin

Es cil entender que la recombinacin sea uncin de las concentracionesde dic,os portadores' ya que no podr#an encontrarse un electrn y un ,ueco' sialtase aluno de ellos' pero no es tan cil entender su dependencia con la

temperatura! Dic,a dependencia se e-plica por el ,ec,o de que los portadoresadquieren ener#a cintica ba=o la accin de la ener#a trmica! 4 medida que letemperatura aumenta' aumenta la ener#a cintica de las part#culas y enconsecuencia la probabilidad de encuentro!

"a eneracin da luar a la produccin de electrones y ,uecos' en ormacontinua' lo que ,ace que la concentracin de los mismos aumente! 4l ,aberelectrones y ,uecos y estar el sistema a ;78 ,abr recombinacin' de maneraque se vuelven a ormar una cantidad de pares electrn,ueco que tiende acompensar el proceso de ruptura! .or unidad de volumen y de tiempo sepierden F pares electrn ,ueco y se orman 5 de los mismos!

( ) ( )TpnRTG ,, 00=

/i el material uera intr#nseco BK ( ) ( )TpnRiTGi ii ,,=

Determinacin de la concentracin de portadores"a recombinacin depende de las concentraciones de portadores y de su

temperatura y que dic,as recombinaciones debern ser iuales para la mismatemperatura' tanto si el cristal es intr#nseco como e-tr#nseco! Es posible relacinlas concentraciones de portadores e-tr#nsecos n0 y p0 con la intr#nseca ni'conociendo la temperatura de la muestra!

/i admitimos que la recombinacin es un polinomio cuyas variables sonn0' p0y ;' el mismo podr#a ser desarrollado aplicando la ormula de Mac "aurin!

%omo queremos desarrollar la uncin se&n n0 y p0' como variablesconsideramos a la temperatura constante! Desarrollamos la serie*

( ) ( ) ( ) ....).(.).()(.,, 02

0000000 +++++= pnTepnTrpTcnTbTaTpnR

"a serie representa un ,ec,o #sico' como es la recombinacin y por endeno podr ser de ninuna manera diverente' puesto que la suma de todos sustrminos nos tendr que dar un el valor de la recombinacin total dentro delcristal' para las concentraciones n0y p0y la temperatura ;! un valor apro-imado

lo tendr#amos tomando la suma de alunos trminos e incluso considerandosolamente el primer termino dierente de cero en la serie!

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Co podr e-istir recombinacin si no e-isten portadores como es el casodel 1er trmino' o si contamos solamente con un tipo de portador! 5ecin el 6totrmino puede representar una recombinacin' puesto que incluye a los + tiposde portadores y suponiendo que los que siuen son despreciables' podemosdecir que apro-imadamente*

( ) 0000 .).(,, pnTrTpnR =/i desarrollamos en serie a la recombinacin intr#nseca*

( ) 2).(.).(,, iiiii nTrpnTrTpnR ==

r(;) es solamente uncin de la temperatura y no tiene porque ser dierentese&n que el semiconductor sea intr#nseco o e-tr#nseco' lueo en estascondiciones' la e-presin anterior queda*

)(. 2

00 Tnpn i=

Dic,a e-presin dice que el producto entre las concentraciones deelectrones y de ,uecos en un semiconductor e-tr#nseco en equilibrio trmico' esconstante e iual al cuadrado de la concentracin intr#nseca de portadores paraese material!

Es una consecuencia de que la recombinacin tiene que mantenerseconstante' puesto que si areamos por medio de impurezas un tipo deportador' al mantenerse el otro invariable' ,abr aumentado la cantidad totalde portadores: estos tienen en con=unto mayor probabilidad de encuentro entresi' por lo cual se incrementara la recombinacin sin que se incremente laeneracin trmica' la mayor recombinacin dar luar a la desaparicin encada caso de un electrn y un ,ueco' eso reduce ambos tipos de portadores,asta q la recombinacin y la eneracin se iualen!

TEMA B- Descripcin estadstica de la concentracin de portadores.

Conceptos sobre $unciones de distribucin %unciones de distribucin y de densidad de

distribucin

Lunciones de distribucin%orresponde estudiar a,ora la ubicacin de los electrones en las distintas

bandas permitidas! /e considerara al sistema en equilibrio trmico con unatemperatura constante ; 78' uniorme y adems que la &nica interaccin entreel medio ambiente y el sistema es la temperatura!

/i no e-isten restricciones qunticas' la ener#a de una part#cula es unauncin continua entre E y EdE' e-isten por lo tanto in9nitos valores deener#a! /i e-istiese una uncin que diese el numero de part#culas que e-istepara cada ener#a' esa seria una uncin distribucin! .ero eso sini9ca queentre E y EdE ,abr#a in9nitas part#culas' lo cual es absurdo!

.ero si podemos ,ablar de uncin de densidad de distribucin! Esta

uncin ( )Ef dar#a el numero de part#culas que e-isten en un intervalo unitario

de ener#a' en el entorno de la ener#a E! es evidente que ( ) dEfE . 2 seria el

numero de part#culas que e-istir#an en un intervalo dE de ener#a! "a interal

( )

E

E dEf0

. da el numero de electrones que poseen ener#as comprendidas entre 0

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y E' por otra parte ( ) NdEfE =

. ' donde C es el numero total de part#culas del

sistema!Determinaremos el estado dinmico de una part#cula mediante su

ubicacin en el espacio real ( )z! ,, y en el espacio de los momentos ( )pzpp! ,, !

"a uncin densidad de distribucin ser* ( )pzpp!z!f ,,,,, y determinara para cada=ueo de H coordenadas' el n&mero de part#culas que se encuentran en launidad de volumen del espacio real y en la unidad de volumen del espacio de

los momentos!El cero en el volumen del espacio

real ( )z! ,, es un punto arbitrariocualquiera' mientras que el cero en elespacio de los momentos' representapart#culas en reposo 0=== pzpp! quesini9ca 0=== vzvv! !

Es evidente que todas laspart#culas de un sistema deben estar enal&n luar en el espacio y poseer al&n

momento: por lo tanto' como condicin de normalizacin' planteamos lasiuiente ecuacin*

( )

= Ndpzdpdp!dzdd!f pzpp!z! .....,,,,,

Donde C es el n&mero total de part#culas/i el material que se considera y dentro del cual estn las part#culas' es

uniorme' la distribucin en el espacio real no varia' por lo que la uncin

densidad de distribucin ser ( )pzpp!f ,, y la condicin de normalizacin*

( )

= Ndpzdpdp!f pzpp! ..,,

Comportamiento estadstico de las partculas &spacio de estado din'mico de las partculas,

comparacin entre partculas cl'sicas y (u'nticas )caso cl'sico*

Distribucin de Ma-Nell>oltzman (para part#culas que no interact&an)%omo introduccin al estudio de las unciones densidad de distribucin'

se considerara la distribucin de las molculas de un as ideal ba=o la accin dela ravedad y por su puesto de la temperatura!

De la 9ura puede escribirse*

d"gmnd#

d"gd#

...

..

=

=

Donde es la densidad' n el n&mero de molculas por cm3' m la masa' g laaceleracin de la ravedad y dZel rea unitaria! De la ecuacin eneral de losases se escribe*

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TRn

N#

n

NVm

TRVm#

..

..

0

0

=

=

=

T$nTN

Rn# ...

0

== (1): =

==

%

J!

N

R$

1038.1 23

0

constante de

>oltzman

Dierenciando (1) tomando ?n@ como variable' pues en equilibrio trmico es O!;una constante*

dnT$d# ..=iualando con* d"gmnd# ...=

d"gmndnT$ ..... =

"a ecuacin tiene su lica* para que la pastilla de as' de anc,o dP' semantena estable' las uerzas ravitatorias debido a la concentracin superior'deben iualar a las uerzas del propio as (e-pansin) contenido en dic,apastilla! De aqu# sure que las part#culas deben poseer una densidad de

distribucin determinada' donde dEpd"gm =.. BK )(.. "Ep"gm =

T$

d"gm

n

dn

.

..=

= d"T$gmdn

n.

...1

CT$

"gmnLn +=

.

..)(

T$

gm

e&n ..

.

= (+)

%omo "gm .. es la ener#a potencial de las molculas' que coincide con la

ener#a de la ubicacin en que se encuentran' puede escribirse* ( )"Ep"gm =..

( )

( )

T$

E

"

"

e&n ..

= (3)

.or e=emplo* en la imaen del principio' la concentracin en la base (zB0)la llamamos n0' entonces*

( )

( )

T$

E

"

"

enn .0.

= BK Estad#stica de Ma-Nell >oltzman!

( )T$

E

'(

E en

nf .

0

==

Luncin de densidad de distribucin de

M>

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Vm = Volumen Molar

R = con!an!e un"#eral $e lo %ae

&0= &umero $e '#o%a$ro

n = numero $e mol(cula )or cm3


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"a uncin (3) es una uncin densidad de distribucin! .ara normalizar laecuacin debe interarse entre 0 e intervalo donde deben encontrarse todaslas C molculas del sistema!

( )0

0

.

..

0

.

..

0

)(.

..

.

..... ee

gm

T$&

T$

gm

e&d"e&d"n

T$

"gm

T$

"gm

" =

==

Ngm

T$&d"n

" ==

.

...

0

)( BKT$

gmN&

.

..=

5eemplazando en (3)*

( )

( )

T$

E

"

"

eT$

gmNn ..

.

.. = (6)

Iue es la uncin densidad de distribucin para el sistema de C molculasque ,emos considerado a la temperatura ; y en equilibrio trmico!

"a ormula (6) puede eneralizarse*

( )$T

E

TN e&f

= .*()

Donde ?@ es la uncin densidad de distribucin para un sistema cualquiera de Cpart#culas' que estn en equilibrio trmico a la temperatura ; y que nointeraccionan entre si!

En muc,as oportunidades' electrones y ,uecos obedecen a la probabilidadde M>! Feneralmente lo ,acen cuando su concentracin es muy dbil y por lotanto' las restricciones qunticas de los principios de .auli y


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"a probabilidad de que una part#cula queesta en ?=@ para ,acer la transicin ,acia ?i@' lade9nimos ?Q=i@! "a probabilidad de una part#culaque esta en ?i@ para ,acer la transicin a ?=@ lode9nimos ?Qi=@!

%onsiderando un n&mero ?M@su9cientemente rande del sistema' podemosevaluar' mediante la estad#stica de M> laprobabilidad de ocupacin de los estados ?i@ y ?=@independientemente*

( )

( )

)(

.

.

.

.

a

e&n

e&n

T$

E)

E)

T$

Ei

Ei

=

=

El n&mero de part#culas que estando en un estado ,aan la transicin de?i@ a ?=@ o viceversa*

)(

..

..

.

.

b

e&*)in

e&*i)n

T$

E)

i)

T$

Ei

)i

=

=

.ero como el con=unto de sistemas estn en equilibrio trmico' el numerode part#culas que sube de ?i@ a ?=@ debe de ser iual al numero de part#culasba=an de ?=@ a ?i@! /er as#*

i))i nn =

T$

Ei

T$

E)

e&*i)e&*)i .. ....

=

( )

T$

EiE)

e*i)

*)i.

= (1)

Distribucin de LermiDirac/uponamos nuevamente un con=unto ormado por un n&mero muy

rande de sistemas! Dentro de cada sistema ,ay un estado ?=@ y un estado ?i@!/ean ?E=@ y ?Ei@ las ener#as de ambos estados y ?Qi=@ y ?Q=i@ las probabilidadesde transicin de un estado a otro!

/ea la uncin que de9ne el rado de vacancia o de ocupacin de cadaestado (probabilidad de ocupacin de los estados dinmicos de un sistemaquntico! /e&n sea su ener#a): si todos los estados ?=@ de los ?M@ sistemas delcon=unto estn vacantes' ser* ?=B0@!

/e&n el principio de e-clusin de .auli' para que ,aya transicin' tieneque e-istir una part#cula en el 1er estado' el seundo estado tiene que estar

vac#o!

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El n&mero de part#culas que se encuentran en el estado ?i@ es ?M!9@! Elnumero de estados vacantes en ?i@ es ?M(19)@! El numero de estados ?=@ocupados es ?M!=@ el de vacantes ?M(1=)@!

;endremos el n&mero real de part#culas que' en la unidad de tiempo y porunidad de volumen' pasan del estado ?i@ al estado ?=@! Este numero es* ?M!9(1

=)!Qi=@! /e obtiene el numero de part#culas que pasan del estado ?=@ al ?i@ en launidad de tiempo y volumen con* ?M!=!(19)!Q=i@!

R como el con=unto de sistemas se encuentra en equilibrio trmico*

)1(.

)1(

).1.(.).1.(.

f)

f)

*i)

*)i

fi

fi

*)ifif)(*i)f)fi(

=

=

Usando la (1)*

( )( )

( )T$

Ei

T$

E)

T$

EiE)

e

e

f)

f)e

f)

f)

fi

fi

.

.. .

)1(

.

)1()1(

=

=

( ) ( )

..)1(

.)1(

.. cteef)

f)e

fi

fiT$

E)

T$

Ei

=

=

%omo ?i@ y ?=@ son estados enricos' la e-presin vale para todos losestados de los sistemas en equilibrio! "a &nica alternativa de iualdad entre susmiembros es que a su vez sean iuales a una constate*

( )

Cef)

f)T$

E)

=

..)1(

(+) donde % es una constate

( ))1(. . f)Cef) T$

E)

=

Despe=ando = de (+)*

( ) ( )T$

E)

T$

E)

eC

Ce

Cf)

.. 1

1

1

+

=

+

=

De9nimos una nueva constate* E' tal que*( )

T$

Ef

eC .= y( )T$

Ef

eC

.1

= se obtiene*

( )

T$

EfE)

e

f)

.1

1

+

= Distribucin de LermiDirac

.ropiedades de la uncin de LermiDirac' nivel de Lermi"a constante E se denomina nivel de Lermi' es propia de cada materia!

%omo podemos observar' la uncin de LermiDirac' es muy distinta a la uncinde Ma-Nell>oltzman' aunque sin embaro' si la ener#a de las part#culas EEKK O!; convere a la uncin de M>!

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( )

)()(

)( .

EFEF

eEF

'(+F

T$

EfE

+F %ondicin de %oncentraciones leves

Jbservando esta ra9ca inmediatamente puede de9nirse el nivel de Lermide + ormas*

a) De9nicin probabil#stica* es el nivel deener#a para un material dado' para elcual la posibilidad de ocupacin vale 0!

b)De9nicin #sica* en un cierto material que

se encuentra a 078' el nivel de Lermies el estado m-imo de ener#a que

puede ocupar un electrn!Cotemos que la seunda de9nicin implica que para 078 todos los niveles

enerticos ineriores a E estn ocupados' mientras que los superiores estnvac#os! 4s# el nivel de Lermi es una medida de ener#a2 de la densidad de unmaterial!

Una ultima observacin que se deduce directamente de la comparacin de laLM>y LLDes que si los electrones se encuentran en un metal con concentracionesdiluidas' resulta apropiado tratarlos como un as de electrones' tambin implicaesto que el nivel de Lermi se encuentra al menos en el piso de la banda deconduccin de dic,os materiales conductores' de modo que los electrones atemperatura ambiente cumplen que EE KK O!;!

Computo generaliado de densidad de portadores -ntegracin apro.imada mediante Ma./ell+

Boltman, condicin para su aplicacin

Distribucin de Estados

/e re9ere a como los estados estn repartidos en un cierto intervalo deener#a' mientras que en los sistemas clsicos ,ay una distribucin continua deestados' en los sistemas qunticos ,ay una distribucin discreta de estos!

En la #sica clsica' un estado queda de9nido para un instante determinadopor una posicin y sus velocidades' considerando un espacio tridimensional' setendrn entonces 3 coordenadas de posicin y 3 coordenadas de velocidad!Cotemos que el sistema tiene H rados de libertad y adems puede ocuparabsolutamente todos los puntos de ese espacio! Un sistema quntico en cambio'tiene 6 rados de libertad' que son dados por los 6 n&meros qunticos!

.ara pasar de un sistema clsico a uno quntico ,acen alta + restricciones*una de estas es el principio de e-clusin de .auli' ya considerado en la uncin de

LermiDirac' y la restriccin altante es el principio de incertidumbre de


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%onsideremos el espacio de estados dividido en + sistemas de coordenadassimultaneas' una de posicin y otra de impulso! 4mbos sistemas estn vinculadosentre si' mediante la restriccin del principio de incertidumbre!

Esto quiere decir que localizar la part#cula en cierta posicin espacial'implica una cierta incertidumbre en su localizacin en el espacio de momentos!Esta propiedad es la que nos permite computar en cierto volumen de ener#a lacantidad de estados!

/uponamos que de9nimos un cierto v m#nimo en el espacio #sico'

entonces el $min en el espacio de momentos ser*m"n

3

m"nv

,vp

= ! .ero ,ay que

considerar que el principio de e-clusin de .auli permite ,asta + part#culas con elmismo con=unto de coordenadas espaciales y de momento (con spin distinto)!

"ueo elm"n

3

m"n .21+v

,pv

= ! 4,ora podemos calcular el numero de estados en un

intervalo de espacio y de momentos* dpzdpdp!dVp ..= tan pequeo comoqueramos' pero siempre mayor que el $min!

m"n

3

m"n .2

1

..

+

V

,

dpzdpdp!

pv

dVpdN

=

=

Entonces podemos calcular la concentracin de estados*

dpzdpdp!,V

dNd- ...

2

3m"n

=

=

Cumero de estados dentro del volumen del espacio de los momentos por cm3 decristal!

%omputo del numero de ermiones en un intervalo de ener#aDada la densidad n(E) de part#culas' si conocemos la distribucin de estados

por estados de ener#a (/(E)) y su probabilidad de ocupacin (L(E))' se tendr paracada estado de ener#a E*

)()()( . EEE -Fn =

/i n(E) se trata de ermiones' L(E) deber ser la uncin de LD y /(E) deberesponder a los estados que cumplen con el principio de incertidumbre' as#*

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Relac",n $e

ncer!"$um.re

//////////

.

.

.

,zpz

,p

,!p!


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)()(

)()()(

.

.

EE+F

EE+FE

d-Fn

d-Fdn

=

=

/ustituyendo*

+

=T$

EfE

e

dpzdpdp!

,n

.

3

1

..2 (3)


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electrones de un mental! De esta orma la uncin de LD se reduce a la uncin deM> ya que EE KK O!;! /i esto ocurre' la interal se puede reducir a*

=max

m"n

max

m"n

max

m"n

.2.2.23

.......2

222V!

V!

V

V

Vz

Vz

$Tm

#z

$Tm

#

$Tm

#!

$T

Ef

d#zd#d#!eeee,

n

Iue en de9nitiva podemos escribir como*

=max

m"n

max

m"n

max

m"n

.2.2.23

.......2

222V!

V!

V

V

Vz

Vz

$Tm

#z

$Tm

#

$Tm

#!

$T

Ef

d#zed#ed#!ee,

n

Cotemos que esta rmula de clculo clsico' coincide con la que se ,ubiera

esperado desde la teor#a cintica de ases' con la e-cepcin del actor T$Ef

e,

.3.

2que

es la densidad m-ima de estados disponibles por intervalo de ener#a!

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Resumen de - Capítulo 2 - Enviado

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