Derivadas (J. Aroca)                                                                                                                                                                                                                                              Página 1 de 5 

       

TASA DE VARIACIÓN: Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).  

 Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. 

y f a h f a  

TASA DE VARIACIÓN MEDIA 

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa pory

h

 ó 

y

x

, al cociente entre la tasa de variación 

y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:  

,

f a h f ayTVM a a h

h h

 

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h. 

f a h f am

h

 

ya que en el triángulo PQR resulta que: 

f a h f atg

h

 

 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. 

0 0

´ lim limh h

f a h f ayf a

h h

 

 Ejemplo: Calcular la derivada de la función f(x) = x

2 + 4x − 5 en x = 1. 

2 2 2

0 0 0 0

4 5 4 5´ lim lim lim lim

h h h h

x h x h x xf x h f xy xf x

h h h

22 4xh h x 4 5h 2x 4x 5

2

0 0

2 4lim lim 2 4 2 4 ´ 1 2 4 6h h

h

xh h hx h x f

h

 

 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 

  Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. 

 

0

lim ´h

ytg f a

h

 

  

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.    

= f ' atm tg  

    

Derivadas (J. Aroca)                                                                                                                                                                                                                                              Página 2 de 5 

       

INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA Velocidad media La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt). 

m

e t t e tev t

t t

 

  

VELOCIDAD INSTANTÁNEA La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.  

0 0

lim limt t

e t t e tev t

t t

  

 Ejemplo: 

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es  2e t 6t . Calcular: 

a) la velocidad media entre t = 1 y t = 4. La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4]. 

2 2

/4 1 6 4 6 1 96 6

30 3 3 3

m sm

e eev

t

 

a) La velocidad instantánea en t = 1. La velocidad instantánea es la derivada en t = 1. 

2 2 2

0 0 0

6 6 6´ ´ lim lim lim

3h h h

e t h e t t h t tv e

h

2 212 6th h t

/0

/

lim 12 12  

´ ´ 1 12 

m sh

m s

t h th

v e

 

 DERIVADAS LATERALES Derivada por la izquierda 

0 0

´ lim limh h

f a h f ayf a

h h

 

Derivada por la derecha 

0 0

´ lim limh h

f a h f ayf a

h h

 

 Una  función es derivable en un punto  si, y  sólo  si, es derivable por  la  izquierda y por  la derecha en dicho punto y  las derivadas laterales coinciden. Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.  El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.  DERIVADA DE LAS FUNCIONES A TROZOS  En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.    

Derivadas (J. Aroca)                                                                                                                                                                                                                                              Página 3 de 5 

       

Derivadas polinómicas: 

1

1

1

´ ´

´ ´

1 1 1´ ´

1

´

´

0

´

´

n n

m m m nn m n n n

n m n

mn

m nn

n n

y k u x y k u x

y u x y n u x u x

y x y x y x x yn n n x

y u x y

y k y

y x y n

xn u x

x

u

 

Derivadas logarítmicas y exponenciales: 

1

1´ ´

1´

´´

´ ´

´´ ´

´ ´

´

´

y ya

a

u x u x

x x x

u

x

x u x

x

y Ln u x y u xu x

Ln xy Log x a x Ln a Ln x y Ln a Ln x y y

Ln a x Ln a

u xy Log u x y

u x Ln a

y e y e u x

yy a Ln y Ln a Ln y x Ln a Ln a y Ln a y y Ln a a

y

y a y L

y Ln x yx

y e

x

e

a

y

n a u

 

Suma, diferencia, producto y cociente de funciones 

2

´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´´

y u x v x y u x v x

y u x v x y u x v x u x v x

u x u x v x u x v xy y

v x v x

 

Derivadas trigonométricas directas: 

2 2

2 2

2

2

2 22

2 2

´

1´ ´

´

´

´

´ 1

Cos x Cos x Sen x Sen xSen x C

y Sen x y Cos x

os x Sen xy tg x y y

Cos x Cos x Cos x

y y Sec xCos x

Cos x Sen xy y tg x

Co

y Sen u x y Cos u x

s x Cos x

 

 

1 2

2 2

1 2

2 2

´ 1 ´ ´1

1´ ´

´ ´

´ 1 ´ ´1

´

Cos x Cos xy Cosec x y Sen x y Sen x Cos x y y

Sen x Cos x

Cos xy y Cosec x Cotg x

Sen x Sen x

y Cosec u x y Cosec u x Cotg u x u x

Sen x Sen xy Sec x y Cos x y Cos x Sen x y y

Cos x Sen x

y

1´

´ ´

Sen xy Sec x tg x

Cos x Cos x

y Sec u x y Sec u x tg u x u x

 

Derivadas (J. Aroca)                                                                                                                                                                                                                                              Página 4 de 5 

       

2

2

2

2 22

2 2

2

´

1´ ´

´ ´ 1

´ 1 ´

Cos x Sen x Sen x Cos x Cos xy Cotg x y y

Sen x Sen x

y y Cosec xSen x

Sen x Cos xy y Cotg x

Sen x Sen x

y Cotg u x y Cotg u x u x

 

Derivadas trigonométricas inversas: 

2 2 2

2

2 2 2

2

1 1 1 1´ 1 ´ ´

1 1 1

1´ ´

1

1 1 1 1´ 1 ´ ´

1 1 1

1´ ´

1

´ 1

y Arcsen x Sen y x y Cos y y yCos y Sen y x x

y Arcsen u x y u xu x

y Arcos x Cos y x y Sen y y ySen y Cos y x x

y Arcsen u x y u xu x

y Arctg x tg y x y t

2

2 2 2

2

1 1 11 ´ ´

1 1 1

1´ ´

1

g y y ytg y x x

y Arctg u x y u xu x

 

2

2 2

22 2

2 2 2 2

2 2

2

1´ 1 ´ 1 ´ 1

1 11 1

´ ´ ´11 1 1 11

1´ ´

1

Sen yCos yy Arcocosec x Cosec y x y Cosec y Cotg y y y

Sen y Sen y

Sen y x xy y ySen y x x x x x

x x

y Arcocosec u x y u xu x u x

y Arcos

2

2 2

22 2

2 2 2 2

2 2

2

2

1´ 1 ´ 1 ´ 1

1 11 1

´ ´ ´11 1 1 11

1´ ´

1

´ 1

Cos ySen yec x Cosec y x y Sec y tg y y y

Cos y Cos y

Cos y x xy y yCos y x x x x x

x x

y Arcosec u x y u xu x u x

y Arcocotg x Cotg y x y Cotg

2 2 2

2

1 1 11 ´ ´

1 1 1

1´ ´

1

y y yCotg y x x

y Arcocotg u x y u xu x

 

 REGLA DE LA CADENA 

´ ´ ´g f x g f x f x

Ejemplo: 

2 2

2

1 1 2

1

´ ´ ´ ´ ´ 1 2Sen x Sen x

x

f x x

y e g x Sen x y h g f x y h g f x g f x f x y e Cos x x

h x e

DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA 

Si f y g son funciones inversas, es decirg f f g i . Entonces:    1

´´

g xf x

 

Ejemplo: Derivar, usando la derivada de la función inversa:  y arcsen x  

1

´

2 2´

1 1 1´

1 1

f x

g xg x f x

y arcsen x x Sen y yCos y Sen y x

Derivadas (J. Aroca)                                                                                                                                                                                                                                              Página 5 de 5 

       

 

OPERACIONES CON FUNCIONES 

;u u x v v x  

´ ´y k u y k u   ´ ´ ´y u v y u v  

´ ´ ´y u v y u v u v  2

´ ´´

u u v u vy y

v v

 

FUNCIONES POLINOMICAS 

    u u x  

y k   ´ 0y      ny x   1´ ny n x   ny u   1´ ´ny n u u  

y x  1

2y

x   y u  

1´

2y u

u  

n my x   n m n

my

n x

  n my u   ´

n m n

my u

n u

 

FUNCIONES LOGARITMICAS 

y Ln x  1

yx

  y Ln u  1

´y uu

 

ay Log x   1

yx Ln a

  ay Log u   1

´y uu Ln a

 

FUNCIONES EXPONENCIALES xy e   ´ xy e   uy e   ´uy e u  xy a   xy Ln a a   uy a   ´uy Ln a a u  

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 

y Sen x   ´y Cos x   y Sen u   ´ ´y Cos u u  

y Cos x   y Sen x   y Cos u   ´y Sen u u  

y tg x  

2

2

1´

´ 1

yCos x

y tg x

  y tg u  

2

2

´´

´ 1 ´

uy

Cos u

y tg u u

 

1

y Cosec xCos x

  ´y Cosec x Cotg x   y Cosec u   ´ ´y Cosec u Cotg u u

1

y Sec xCos x

  ´y Sec x tg x   y Sec u   ´y Sec u tg u u  

1

y Cotg xtg x

 

2

2

´

´ 1

y Cosec x

y Cotg x

  y Cotg x  

2

2

´ ´

´ 1 ´

y Cosec u u

y Cotg u u

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 

y Arcsen x  2

1´

1y

x

  y Arcsen u  

2

1´ ´

1y u

u

 

y Arcos x  2

1´

1y

x

  y Arcos u  

2

1´ ´

1y u

u

 

y Arctg x  2

1´

1y

x

  y Arctg u  

2

1´ ´

1y u

u

 

y Arcocosec x  2

1´

1y

x x

  y Arcocosec u  

2

1´ ´

1y u

u u

 

y Arcosec x  2

1´

1y

x x

  y Arcosec u  

2

1´ ´

1y u

u u

 

y Arcocotg x  2

1´

1y

x

  y Arcocotg u  

2

1´ ´

1y u

u