Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Resumen Certamen 3 + Ejercicios - MAT024

Teorema de Stokes, Gauss y Ecuaciones Diferenciales Parciales

Fernando Iturbe Pemjean

Indice

1. Teorema de Stokes 21.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Teorema de Gauss 32.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Ecuaciones Diferenciales Parciales 43.1. Problema de Sturm-Lioville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Ecuacion de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3. Ecuacion de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.1. Unidimensional(Barra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Ejercicios 144.1. Teorema de Stokes y Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Ecuaciones diferenciales Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

1. Teorema de Stokes

Es la circulacion por la curva generada por S, (Mismo razonamiento que el Teorema de Green)~F d~r =

~F nds

1.1. Ejemplos

1. Sea el campo F (x, y, z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y2 = 9y z = 1. Calcular

F ~nd con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes.

Asuma que la curva con orientacion anti horaria cumple la hipotesis del Teorema de Stokes.DesarrolloSea F = ~G y para que ~n sea normal exterior tendra que ser ~n = (0, 0, 1), entonces:

F ~nd =

(3, 5, 2) (0, 0, 1) = 2

dydx

Lo cual es equivalente al area del borde de la superficie S, como es una circunferencia, vienedado por piR2, en este caso R = 3, entonces:

F ~nd = 18pi

2. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad:

~F ~dr = 2a(a+ b)

donde es la curva interseccion entre el cilindro x2 + y2 = a2 y el plano xa

+ zb

= 1 y~F = (y z, z x, x y)DesarrolloDespejamos z en la ecuacion del plano:

z = b bax

Parametrizamos:~r(r, ) = (rcos(), rsen(), b b

arcos())

Con lo cual nos queda el vector normal:

~n = (b

ar, 0, r)

Ahora ~F = (2,2,2), entonces: 2pi0

a0

~F ( bar, 0, r)dadr = 2pia(a+ b)

2

2. Teorema de Gauss

Usar si piden calcular:

La integral de superficie

El flujo en direccion de la normal exterior

Recordar que la superficie debe ser Cerrada, si no lo es, se debe encerrar. S

~F ~ds =

V (S)

~FdV

Importante

Para todo ~F se cumple que:

( ~F ) = 0

Lo cual nos sirve en algunos casos para mezclar estos dos teoremas y resolver de manera mas simplelos ejercicios.

2.1. Ejemplos

1. Sea C la curva de inteseccion del paraboloide hiperbolico z = y2x2 y el cilindro x2+y2 = 1que vista desde arriba esta orientada en sentido antihoraria.Sea ~F (x, y, z) = (ax33xz2, x2y+ by3, cz3) y S una supercicie cuya frontera es C. Encuentrelos valores de a, b, c para los cuales

S~F~nd es independiente de la seleccion de S.

DesarrolloPara que

F ~nd sea independiente de S, se debe cumplir que la divergencia es igual a

cero, es decir ~F , por lo tanto: ~F = 3ax2 3z2 + x2 + 3cz2 = 0

3ax2 + 3cz2 = x2 + 3z2Por lo tanto: a = 1

3, b = 0 y c = 1

2. Evalue la integral de superficie

S~F ~nd del campo vectorial ~F dado y la superficie

orientada S indicada.~F = xzi 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con orientacionhacia fuera.DesarrolloPor Teorema de Gauss sabemos que:

~F ~nd =

~FdVEntonces como es una esfera, utilizamos coordenadas cilndricas y queda:

~F ~nd = 20

2pi0

pi0

(Rcos() 2)R2sen()dddR = 64pi3

3

3. Ecuaciones Diferenciales Parciales

Auxx +Buxy + Cuyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0

= b2 4acSi > 0: Ecuacion Hiperbolica (Ecuacion de onda)

Si = 0: Ecuacion Parabolica (Ecuacion de calor)

Si < 0: Ecuacion Elptica (Ecuacion de Laplace)

3.1. Problema de Sturm-Lioville

y + y = 0

Si = 0 entonces y = 0, la solucion viene dada por:

y = C1 + C2x

Si < 0, entonces la solucion viene dada por:

y = C1senh(x) + C2cosh(

x)

Si > 0, la solucion viene dada por:

y = C1cos(x) + C2sen(

x)

4

3.2. Ecuacion de Onda

Son de la forma:a2uxx = utt

Cuando x [a, b], t > 0 se resuelve mediante separacion de variables.

Ejercicio Desarrollado:Resolver:

uxx =1

a2utt

donde

u(0, t) = u(L, t) = 0

u(x, 0) = x(L x)ut(x, 0) = 0

Resolvemos mediante separacion de variables, sea:

u(x, t) = X TEntonces la ecuacion queda:

X T =XT

a2

Separando:X

X=

T

a2T

Igualamos lo anterior a un multiplicador X

X=

T

a2T=

Con lo cual nos quedan dos ecuaciones:

X + X = 0

yT + a2T = 0

Notamos que la podemos resolver mediante el Problema de Sturm-Lioville:Con = 0:En este caso la solucion tiene forma:

X(x) = C1 + C2x

Mediante las condiciones iniciales podemos ver que:

X(0) = X(L) = 0

Entonces:X(0) = C1 = 0

5

X(L) = C2L = 0

L no puede ser igual a cero, por lo tanto la unica opcion es que C2 = 0, con lo cual nos da lasolucion trivial X(x) = 0 que no nos sirve.Con < 0:En este caso la solucion tiene forma:

X(x) = C1senh(x) + C2cosh(

x)Mediante las condiciones iniciales:

X(0) = C2 = 0

X(L) = C1senh(x) = 0

Recordemos que senh(x) = 0 x = 0, por lo tanto no sera cero puesto que < 0,

entonces C1 = 0, con lo cual tambien da la solucion trivial que no nos sirve.Con > 0:En este caso la solucion tiene forma:

X(x) = Acos(x) +Bsen(

x)

Mediante las condiciones iniciales:X(0) = A = 0

X(L) = Bsen(L) = 0

Para que no nos de la solucion trivial sen(L) = 0, con lo cual para que sea cero se debe cumplir

que: L = npi

con n N, despejando , obtenemos los autovalores:

=n2pi2

L2

Entonces la auto funcion es:Xn = Bnsen(

npix

L)

Ahora bien para la segunda ecuacion la solucion viene dada por:

T = Kncos(at) +Dnsen(

at)

Como ya obtuvimos anteriormente, entonces:

T = Kncos(npiat

L) +Dnsen(

npiat

L)

Por lo tanto:

u(x, t) =1

Bnsen(npix

L)[Kncos(

npiat

L) +Dnsen(

npiat

L)]

Ahora utilizando la condicion inicial ut(x, 0) = 0, primero derivamos respecto a t u(x, t) y nos da:

ut(x, t) =1

Bnsen(npix

L)[Knsen(npiat

L)npia

L+Dncos(

npiat

L)npia

L] = 0

6

Y ahora:

ut(x, 0) =1

Bnsen(npix

L)[0 +Dn

npia

L] = 0

Notamos que Bnsen(npixL

) 6= 0, entonces Dn = 0. Entonces por ahora tenemos:

u(x, t) =1

Bnsen(npix

L)[Kncos(

npiat

L)]

Ahora con u(x, 0) = x(L x):

u(x, 0) =1

Bnsen(npix

L)[Kn] = x(L x)

Obtenemos el coeficiente Bn mediante:

Obtencion Coeficiente

Bn =2

L

L0

x(L x)sen(npixL

)dx =4L2

n3pi3(1 (1)n)

Notamos que si n es par Bn = 0 y si es impar Bn =8L2

n3pi3.

Por lo tanto solamente tomamos los n impares, es decir de la forma 2k 1, con lo cual la solucionnos queda de la forma:

Resultado

u(x, t) =k=1

8L2

(2k 1)3pi3 sen((2k 1)pix

L)cos(

(2k 1)piatL

)

7

3.3. Ecuacion de Calor

3.3.1. Unidimensional(Barra)

a2uxx = ut

Ejercicio Desarrollado:Resolver:

uxx = a2ut

con las condiciones:

u(0, t) = u(L, t) = 0

u(x, 0) = 5sen(5pix

L)

Resolvemos mediante separacion de variables, sea:

u(x, y) = X T

Entonces la ecuacion queda:X T = a2XT

Separando:X

X=a2T

T

Igualamos lo anterior a un multiplicador X

X=a2T

T=

Con lo cual nos quedan dos ecuaciones:

X + X = 0

y

T +

a2T = 0

La primera notamos que se resuelve mediante el Problema de Sturm Lioville, de la misma maneraque en los ejercicios anteriores notamos que con = 0 < 0 no sirve.Con > 0:En este caso la solucion tiene forma:

X(x) = Acos(x) +Bsen(

x)

Mediante las condiciones iniciales:X(0) = A = 0

X(L) = Bsen(L) = 0

8

Para que no nos de la solucion trivial sen(L) = 0, con lo cual para que sea cero se debe cumplir

que: L = npi

con n N, despejando , obtenemos los autovalores:

=n2pi2

L2

Entonces la auto funcion es:Xn = Bnsen(

npix

L)

Ahora bien para la segunda ecuacion diferencial con solucion de la forma:

T = Keta2

Entonces, como ya obtuvimos el valor de :

Tn = Knen2pi2tL2a2

Por lo tanto:

u(x, t) =0

Bnsen(npix

L)e

n2pi2tL2a2

Ahora utilizando las condiciones iniciales:

u(x, 0) =0

Bnsen(npix

L) = 5sen(

5pix

L)

Con lo cual notamos que con n = 5 se tiene que Bn = 5 y para el resto Bn = 0, por lo tanto:

Resultado

u(x, t) = 5sen(5pix

L)e

n2pi2tL2a2

9

3.4. Ecuacion de Laplace

uxx + uyy = 0

Sector Circularr2urr + rur + u = 0

Ejercicio DesarrolladoResolver:

urr +1

rur +

1

r2u = 0

Si la temperatura en el borde interior es 0 y en el borde exterior es f() = 20+5sen(2)+ cos(4).Determine la temperatura del anillo si 1 r 4, 0 2pi.Notamos que la solucion debe ser de la forma u = R y del texto obtenemos que:

u(1, ) = 0

u(4, ) = 20 + 5sen(2) + cos(4)

u(r, 0) = u(r, 2pi)

Entonces si multiplicamos por r2la ecuacion queda como:

r2urr + rur + u = 0

Con lo anteriorr2R + rR +R = 0

Multiplicamos todo por 1R

r2RR

+rRR

+R

R= 0

Simplificando:r2R

R+rR

R=

Ahora utilizamos un multiplicador

r2R

R+rR

R=

=

Con lo cual nos quedan dos ecuaciones:

+ = 0

La cual se resuelve mediante el problema de Sturm Lioville, notamos que con las condicionesiniciales tenemos que (0) = (2pi), entonces:Con = 0:

= A +B

Utilizando las condiciones iniciales(0) = B

10

y(2pi) = A2pi +B

Entonces:B = A2pi +B

Por lo tanto A = 0 Con < 0 No sirve puesto que da la solucion trivial.Con > 0:La solucion viene dada por:

= Acos() +Bsen(

)

Utilizando las condiciones iniciales:

(0) = A

(2pi) = A+Bsen(2pi)

Entonces:Bsen(

2pi) = 0

Para que se cumpla: 2pi = npi;n N

Entonces:

=n2

4

Por lo tanto:

n = Ancos(n

2) +Bnsen(

n

2)

Y la segunda ecuacion que nos queda es:

r2R + rR R = 0La cual es una Ecuacion Diferencial Couchy-Euler, donde R = rp, entonces R = prp1 y R =p(p 1)rp2, reemplazando en la ecuacion:

rp(p(p 1) + p ) = 0Entonces:

p = , > 0

Por lo tanto la solucion viene dada por:

R = Cr +Dr

Como ya tenemos , reemplazando:

Rn = Cnrn2 +Dnr

n2

Para < 0 no nos sirve y ahora para = 0 nos queda la ecuacion:

r2R = rR

11

R

R= 1

r

Integrando:ln(R) = ln(r)

Aplicando exponencial:R = r1

Integrando nuevamente:

R0 = Fln(r) + E

Entonces u(r, ) viene dado por:

u(r, ) = oRo +1

nRn

Reemplazando:

u(r, ) = Fln(r) + E +1

Ancos(n

2) +Bnsen(

n

2) Cnr n2 +Dnrn2

Utilizamos la condicion de borde u(1, ):

u(1, ) = Fln(1) + E +1

Ancos(n

2) +Bnsen(

n

2)[Cn +Dn] = 0

Por lo tanto para que se cumpla la igualdad E = 0 Y Cn = Dn, con lo cual nos queda:

u(r, ) = Fln(r) +1

Ancos(n

2) +Bnsen(

n

2) [Cnr n2 Cnrn2 ]

Juntando las constantes, sea Kn = CnAn Hn = CnBn:

u(r, ) = Fln(r) +1

Kncos(n

2) +Hnsen(

n

2) [r n2 rn2 ]

Ahora utilizando u(4, ) = 20 + 5sen(2) + cos(4):

u(4, ) = Fln(4) +1

Kncos(n

2) +Hnsen(

n

2) [4n2 4n2 ] = 20 + 5sen(2) + cos(4)

De esto obtenemos que Fln(4) = 20, por lo tanto F = 20ln(4)

, ademas notamos que cuando n = 4K4 = 0 y:

H4(42 42) = 5 = H4 = 5

42 42

12

De la misma forma cuando n = 8 H8 = 0 y queda:

K8(44 44) = 1 = K8 = 1

44 44Para todo n distinto de 4 y 8 se cumple que Hn = 0 Kn = 0. Con lo cual:

Resultado

u(r, ) =20ln(r)

ln(4)+

5

42 42 sen(2)(r2 r2) + 1

44 44 cos(4)(r4 r4)

13

4. Ejercicios

4.1. Teorema de Stokes y Gauss

1. Sea el campo F (x, y, z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y2 = 9y z = 1. Calcular

F ~nd con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes.

Asuma que la curva con orientacion anti horaria cumple la hipotesis del teorema de Stokes.Respuesta: 18pi

2. Sea C la curva de interseccion del paraboloide hiperbolico z = y2x2 y el cilindro x2 + y2 =1 que vista desde arriba esta orientada en sentido antihoraria. Sea ~F (x, y, z) = (ax3 3xz2, x2y+ by3, cz3). Sea S una superficie cuya frontera es C. Encuentre los valores de a, b, c

para los cuales

S~F ~nd es independiente de la seleccion de S.

Respuesta: a = 13, b = 0yc = 1

3. Evalue la integral de superficie

S~F ~nd del campo vectorial ~F dado y la superficie

orientada S indicada.~F = xzi 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con orientacionhacia fuera.Respuesta: 64pi

3

4. Calcular el flujo del campo de vectores ~F , donde ~F (x, y, z) = (h(x),2cos(xy) + 2x +yz2, cos(xy) + y2z), si h es una funcion diferenciable en y a traves de la superficie S, quese obtiene uniendo el origen O por segmentos rectilneos con los puntos de la curva C, queresulta de la interseccion del paraboloide z = 4x2 + 9y2, con el plano z = 2y + 3 y conorientacion inducida por el vector (0,2, 1). Bosqueje la grafica de S.Respuesta: 28pi

27

5. Determinar una expresion para el flujo del campo F (x, y, z) = (1, z, 1 + 2y) a traves de laparte de la superficie S : x2 + y2 + (z 3)2 = 4, z 3, interior a D : x2 + y2 2x, z 0Respuesta:

~F ~nd = pi 2pi0

22cos()+33

cos() + zsen()dzd

6. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad:

~F ~dr = 2a(a+ b)

donde es la curva interseccion entre el cilindro x2 + y2 = a2 y el plano xa

+ zb

= 1 y~F = (y z, z x, x y)Respuesta:

~F ~dr = 2pia(a+ b)

7. Hallar el flujo de ~F (x, yz) = 2x2i + 3y2j + z2k a traves de toda la superficie del cuerpox2 + y2 z 2R2 x2 y2 en direccion de la normal exterior.

Respuesta: piR4

14

8. Hallar la integral de superficie

S~F ~nd donde ~F (x, y, z) = (x, y, z), S es la caja sin tapa

formada por los planos x = 1, x = 3, y = 2, y = 3, z = 1,1 z 2 (la tapa noconsiderada es la que esta sobre el plano z = 2) , y la normal considerada es la que apuntahacia el exterior de la caja.Respuesta: 40

9. Hallar el trabajo del campo vectorial:

~F = (y

(x 1)2 + y2 ,1 x

(x 1)2 + y2 , z x+ y)

Sobre la curva C interseccion de la superficie S1 y S2 definidas como:

S1 : |x|+ |y| = aS2 : z + x = 4a; a > 1

10. Sea S una superficie cerrada orientable la cual se puede considerar compuesta como S =S1 S2 S3 donde las superficies S1 Y S2 esta descritas de la forma

S1 : x+ z = 9

S2 : z + x2 = 4x

con (x, y) D = (x, y) R2/x2 + y2 4(x+ y) y en la que S3 permite cerrar S.a) Verificar que existen constantes a y b de modo que

S3

~F + aC1

~F ~dr + b

C2

~F ~dr = 0

donde C1 y C2 son fronteras de S1 Y S2 orientadas positivamente.Respuesta Para que se cumpla la igualdad bajo cualquier F a = 1 y b = 1.

b) Determine el flujo del rotacional de F a traves de S3 respecto a n exterior ~F = (4y, 2x, z)Respuesta

S3

~F = 2pi0

20

2rdrd 2pi0

20

2rdrd = 0

11. Considere a F = (x + yz, xy, xy + z + 1) un campo vecorial definido sobre todo R3. Sea Sla superficie dada por:

S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1, x zSea G(x, y, z) = F . Determine el flujo de los campos F y G sobre la superficie S.RespuestaPara F

S

F dS = piPara G

S

G dS = pi2

15

12. Determine el flujo del campo vectorial

~F (x, y, z) = (ey, zx4x2 + y2 + z2

,xy

4x2 + y2 + z2)

a traves de la superficie S descrita por x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1 con a, b, c > 0; la cual esta orientada

respecto a la normal unitaria exterior.Respuesta

S

~F ~nsd = 0

13. Determinar el flujo del rotacional del campo vectorial ~F (x, y, z) = (x26x+y, 2x+y2.zx)a traves de la superficie S definida como:

S = {(x, y, z) R3/x2 + y2 = 6x, (x 3)2 + y2 9 z 6 x}

Respuesta S

F~nd = 0

16

4.2. Ecuaciones diferenciales Parciales

1. Resolver

uxx = a2ut

u(0, t) = u(L, t) = 0

u(x, 0) = 5sen(5pix

L)

0 x L

Respuesta:

u(x, t) = 5sen(5pix

L)e25pi2a2L2

t

2. Resolver

uxx = a2ut

u(0, t) = ux(L, t) = 0

u(x, 0) = x

0 x L

Respuesta:

u(x, t) =1

(1)n+18L((2n 1)2pi2)

sen(2n 1)pix2L

e(2n1)2pi2t

4L2a2

3. Resolveruxx = ut + 4 + cos(pix)

Con

ux(0, t) = 0

ux(1, t) = 4

u(x, 0) = 2x2 + 3 + cos(2pix)

Respuesta:

u(x, t) = 2x2 + 3 +cos(pix)epi

2t

pi2+ cos(2pix)e4pi

2t

4. Sea

urr +1

rur +

1

r2u = 0

Si la temperatura en el borde interior es 0 y en el borde exterior es f() = 20 + 5sen(2) +cos(4). Determinar la temperatura del anillo si 1 r 4, 0 2pi.Respuesta:

u(r, ) =20

ln(4)ln(r) +

5

42 42 sen(2)(r2 r2) + 1

44 44 cos(4)(r4 r4)

17

5. Resolver

uxx =1

a2utt

Con

u(0, t) = u(L, t) = 0

u(x, 0) = x(L x)ut(x,0) = 0

0 x L

Respuesta:

u(x, t) =1

8L2(2k 1)3pi3 sen(

(2k 1)pixL

)cos((2k 1)piat

L)

6. Resolveruxx + uyy = 0

Con

u(0, y) = u(L, y) = 0

u(x, 0) = 2x(x L)u(x,M) = 0

0 x L

Respuesta:

u(x, y) =1

4L3sen( (2k1)pix2

)senh( (yM)(2k1)pi2

)

senh(M(2k1)piL

)(2k 1)3pi3

7. Resolver la ecuacion de calor unidimensional

ut = uxx

con

u(x, 0) = ex2

x t > 0

Respuesta

u(x, t) =1

1 + 4te

x2

1+4t

8. Resuelva usando el cambio u(x, t) = eAx+Btv(x, t)

ut = uxx 2ux

18

Sujeto a

u(x, 0) = 3ex(x 1)u(0, t) = u(1, t) = 0

0 < x < 1

t > 0

Respuesta

u(x, t) = ext1

6npi

sen(npix)en2pi2t

9. Resolverut + sen(t)u = 8tuxx

con

u(x, 0) = sen2(4x)

x Rt > 0

Respuesta

u(x, t) =ecos(t)1

2[1 e256t2cos(8x)]

10. Resolver el problema de Sturm Lioville

y = y

y(0) + y(1) = 0

y(0) = 0

Respuesta

yn = kncos(2n 1pi

2)

11. Resolver la ecuacionut = uxx u

con

u(x, 0) = 1

ux(0, t) = u(pi, t) = 0

0 x pit 0

Respuesta

u(x, t) =4

pi

n=0

(1)n2n+ 1

cos(2n+ 1

2x)e(1+(

12+n)2)t

19

12. Resolverutt = 25uxx + cos(x)

con

u(0, t) = u(pi, t) = 125

u(x, 0) =cos(x)25

+sen(2x)

ut(x, 0) = sen(x)

0 < x < pi

t > 0

Respuesta

u(x, t) =cos(x)

25+ sen(2x)cos(10t) +

1

5sen(x)sen(5t)

13. Considere la siguiente EDP

utt t4uxx = 2tut

a) Encontrar la solucion general

b) Encontrar la solucion particular que cumpla con

u(0, t) =t6

9ux(0, t) = 1

RespuestaSolucion General:

u(x, t) = p(x t3

3) + q(x+

t3

3)

Solucion Particular:

u(x, t) = x2 +t6

9

14. Determinar la temperatura en estado estacionario de un sector circular de radio 1 y angulopi4, si la temperatura en el borde horizontal es de 10oC y en el otro borde la razon de cambio

respecto al angulo en cada punto es igual a menos la temperatura en esos puntos. Ademasen el disco es igual a 10oC.Respuesta

u(r, ) =1

[20pi

(pi + 4)B2nsen(Bn)Bncos(Bn)]r 4Bnpi sen(4Bn

pi) +

40

pi + 4+ 10

15. Resolver el siguiente problemau

t

2u

x2= sen(x)

20

con

0 < x < pi

t > 0

u(0, t) = 2

u(pi, t) = 6

u(x, 0) =4

pix+ 2 + sen(x) + sen(5x)

Respuesta

u(x, t) = sen(5x)e25t + sen(x) +4

pix+ 2

16. Resolver el Problemautt + ut + u = 9uxx

Con

0 < x < 6

t > 0

u(0, t) = u(6, t) = 0

u(x, 0) = 24pisen(

pix

6) +

12

pisen(

pix

3)

ut(x, 0) = x

Respuesta

u(x, t) = et2 [

24

picos(

3 + pi2t

2)sen(

pix

6) +

12

picos(

3 + 4pi2t

2)sen(

pix

3)]

+n=3

et2

24(1)n+1npi

3 + n2pi2sen(

3 + n2pi2t

2)sen(

npix

6)

17. Determine una solucion acotada para el problema:Hallar u = u(r, ) tal que:

r2urr + rur + u + 2 = u+ 2

u(r, 0) = 0

u(r, pi) = 2pi

ur(1, ) = 4cos(2pi)

1 < r

18. Determine la solucion u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial

uxx + u = ut + (4 + 2x2)et

u(pi, t) = u(pi, t)ux(pi, t) = ux(pi, t) 4piet

ut(x, 0) = 3cos(2x) + 8sen(3x) 1 x2pi < x < pi

t > 0

Sugerencia: Considerar u(x, t) = v(x, t) + (x)g(t) con (x) = ax2 + bx + c para a, b, cconstantes y g(t) una funcion adecuada que debe ser determinada.Respuesta

u(x, t) = (x2 + 1)et e8tsen(3x) e3tcos(2x)19. Determinar la solucion general u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial

utt + 2xut + uxt = 2xex2

sujeto a las condiciones u(x, 0) = x2ex2

y ut(x, 0) = 2x2(1 ex2)

Respuesta

u(x, t) = (x t)x2ex2 (x t)ex2+(xt)2 + x t2

20. Resolver la ecuacionut uxx = x

Con las condiciones

ux(0, t) = u(pi, t) = 0

u(x, 0) = xpi3 x3

60 < x < pi

t > 0

Respuesta

u(x, t) =pi3 x3

6+

4

pi

n=1

[1

2n 1pi(1)n 2

(2n 1)2 e( 2n1

2)2tcos(

2n 12

x)]

21. Resuelva la siguiente ecuacion diferencial paracial

utt uxx = 0Con las condiciones

u(0, t) = u(pi, t) = 0

u(x, 0) = 5sen(3x)

ut(x, 0) = 4sen(9x)

0 < x < pi

t > 0

22

22. Determinar la solucion u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial

ut + 9u = (1 + 2t)uxx + x

u(pi, t) = u(pi, t) 2pi9

ux(pi, t) = ux(pi, t)ut(x, 0) = 4sen(3x) + 8cos(6x)

pi < x < pit > 0

Considere u(x, t) = v(x, t) + (x) con (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.Respuesta

u(x, t) =x

9 2

9e9(t+t

2)9tsen(3x) 845e36(t+t

2)9t

23. Sea f() una funcion continua en todo R y a > 0, encuentre una solucion acotada para elproblema:

r2urr + rur + u = 2 + u

u(r, 0) = 0

u(r, 1) = 2e

ur(a, ) = f()

a < r < +0 < < 1

Respuesta

u(r, ) = 2e 20

2a

1+(

(2n1)pi2

)2+11 + ( (2n1)pi

2)2

(

10

f()sen(2n 1pi

2)d)

r1+(

(2n1)pi2

)2+1sen((2n 1)pi

2)

24. Determine la solucion general u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial

uxx + 4ux + 4ut = utt + 4(x t)e2(xt)

Respuesta

u(x, t) =1

2(x+ t)(x t)2e2(xt) + F (x+ t)e2(xt) +G(x+ t)

23

25. Resolver

utt = 25uxx + cos(x)

u(0, t) =1

25

u(pi, t) = 125

u(x, 0) =cos(x)

25+ sen(2x)

ut(x, 0) = sen(x)

0 < x < pi

t > 0

Respuesta

u(x, t) =sen(x)sen(5t)

2+ cos(10t)sen(2x) +

cos(x)

25

24

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