SOLUCIONES NUMERICAS PARA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

A un cuerpo se la llama isotrópico, si la conductividad térmica en cada uno de sus

puntos es independiente de la dirección del flujo del calor a través del punto. En un

cuerpo isotrópico la temperatura u=u(x,y,z,t) se obtiene resolviendo la ecuación

diferencial parcial.

Donde k, c y p son funciones de (x, y, z) y representan, respectivamente, la

conductividad térmica, el calor especifico y la densidad del cuerpo en el punto (x,

y, z).

Cundo k, c y p son constantes, a esta ecuación se le denomina ecuación simple

tridimensional del calor, y se expresa como:

Si la frontera del cuerpo es relativamente simple, la solución de esta ecuación se

obtiene usando la serie de Fourier.

En la generalidad de las situaciones donde k, c y p no son constantes o cuando

la frontera es irregular, la solución de la ecuación diferencial parcial debe de

obtenerse mediante métodos de aproximación. En este capítulo ofreceremos una

introducción a este tipo de técnicas.

Las situaciones físicas que contiene más de una variable independiente se

expresan por medio de ecuaciones en las que intervienen derivadas parciales. En

este capítulo presentamos una breve introducción a algunos de los métodos

disponibles para aproximar la solución a las ecuaciones diferenciales parciales con

dos variables, mostrando como podemos aplicarlas a algunos problemas físicos

comunes. Limitamos nuestra exposición a este tipo de problemas, porque la

mayoría de las de las técnicas más avanzadas requieren un conocimiento del

análisis numérico más profundo de lo que suponemos en esta obra.

En la ecuación 12.1 consideraremos la ecuación diferencial parcial elíptica,

denominada ecuación de poisson:

En esta ecuación suponemos que la función F describe los datos del problema en

una región plana R cuya frontera denotamos con S. este tipo de ecuaciones

aparecen de manera natural en el estudio de diversos problemas físicos

dependientes del tiempo; por ejemplo, la distribución de calor para estado estable

en una región plana, la energía potencial de un punto en un plano sobre el que

operan fuerzas gravitacionales y los problemas del estado estable bidimencionales

que incluyen fluidos incomprensibles.

Para obtener una solución única a la ecuación de poisson, es necesario imponer

otras restricciones más a la solución. Por ejemplo, el estudio de la distribución de

calor para el estado estable en que una región plana requiere que F( x, y )≡0, lo

cual da por resultado una simplificación de las ecuaciones de poisson en

Que se conoce con el nombre de ecuaciones de Laplace. Si la temperatura dentro

de la región está determinada por su descripción en la frontera de la región, a las

restricciones seles llama condiciones de fronteras de Dirichlet .

Estas están dadas por

U ( x, y ) = g ( x, y ),

Para toda ( x ,y ) en S o sea la frontera de la región R. ( Véase la fig. 12.1 )

En la sección 12.2 consideraremos la solución numérica a un problema que

incluye una ecuación diferencial parcial parabólica de la forma

El problema físico considerado aquí se refiere al flujo de calor a lo largo de una

barra de longitud L ( Véase la fig. 12.2) , la cual suponemos tiene una temperatura

uniforme dentro de cada elemento transversal. Esta condición requiere que la

superficie lateral de la barra este perfectamente aislada. La constante α esta

determinada por las propiedades conductoras de calor material del que esta hecha

la barra y se supone que es independiente de su posición en la misma.

Uno de los conjuntos comunes de restricciones en el problema del flujo del calor

de este tipo consiste en especificar la distribución inicial de calor en la barra,

u ( x, 0 ) = F (x),

Y en describir el comportamiento de la barra. Por ejemplo, si mantenemos los

extremos de las temperaturas constantes U1 y U2, las condiciones de frontera la

forma

u( 0, t ) = U1 y u ( l, t ) = U2,

Y la distribución de calor en la barra se acerca a la distribución límite de la

temperatura

limt−∞u(x ,t ) =U1

En cambio, si aislamos la barra de modo que no fluya calor por sus extremos, las

condiciones de frontera serán

lo que resulta en una temperatura constante en la barra como caso limite.

La ecuación diferencial parcial parabólica también es importante en el estudio de

la difusión de los gases; de hecho en algunos círculos se les conoce con el

nombre de ecuaciones de difusión.

El problema que se estudió en la seccion12.3 es la ecuación de onda

unidimensional y constituyente un ejemplo de la ecuación diferencial parcial

hiperbólica.

Supóngase que alargamos una cuerda elástica de longitud L entre dos soportes

del mismo nivel horizontal (véase la fig. 12.3 ).

Si la ponemos en movimiento de modo que vibre en un plano vertical, el

desplazamiento vertical u (x, t ) de un punto x en el tiempo t satisface la ecuación

diferencial parcial

Siempre y cuando se prescinda de los efectos de amortiguamiento y la amplitud

no sea demasiado grande. Para imponer restricciones a este problema,

supondremos que la posición y velocidad iniciales de la cuerda están dadas por

Figura 12.3

Y aplicaremos el hecho de que los extremos están fijos.

Esto significa que u ( 0, t ) = 0 y u ( l, t ) = .

Otros problemas físicos relacionados con la ecuación diferencial parcial

hiperbólica se presente en el estudio de vigas vibrantes con uno de los dos

extremos sujetos, y en la trasmisión donde parte de la corriente cae al suelo.

12.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELIPTICAS

La ecuación diferencial elíptica que estudiaremos en la ecuación de poisson,

En ( x , y ) ϵ R y

U ( x, y ) = g( x, y) para ( x , y ) ϵ S,

Donde

R = {( x , y ) \ a < x < b ,c < y < d }

Y S denota la frontera de R. Para este análisis suponemos que tanto F como g

son continuas en sus dominios y que se garantiza una solución única.

El método usado es una adaptación de la técnica de diferencias finitas para

problemas con valor de frontera, que se explicó en la sección 11.3. El primer paso

consiste en seleccionar los enteros n y m, y en definir los tamaños de paso h y k

mediante h = (b – a ) /n y k = ( d – c )/m. La división del intervalo

[ a, b ] en n partes iguales de ancho h del intervalo [ c, d ] en m parte iguales de

ancho k ( véase la fig. 12. 5 ) da como resultado en la cuadricula en el rectángulo

R al trazar líneas verticales y horizontales atreves de los puntos con coordenadas

( xi , yi ), donde

Xi = a + ih , para cada i = 0, 1, …., n ,

Y

Yj = c + jk, para cada j = 0 , 1 , . . . m .

Figura 12.4

La líneas x = xi y y = yj son líneas de cuadricula, y sus intersecciones son los

puntos de red de la cuadricula. En cada punto de red del interior de la cuadricula

( xj , yj ) con i = 1 , 2 , . . . . , n – 1 y con j = 1 , 2 , . . . ., m – 1 , utilizamos la serie

de taylor en la variable x alrededor de xi para generar la fórmula de las diferencias

centrales

Donde ξi ϵ ( xi-1 , xi+1 )

También usamos la serie de Taylor en la variable y alrededor de y j para generar la

formula de las diferencias centrales

Donde ηj ϵ ( yj-1 , yj+1 ).

El uso de estas formulas en la ecuación ( 12.1 ) nos permite expresar la ecuación

de poisson en los puntos ( xi , yj ) como

Para i = 1,2,...,n – 1 y j= 1,2, ……m – 1 y las condiciones de frontera como

En la forma de la ecuación de diferencias, esto da como resultado el método de

las diferencias centrales con un error local de truncamiento del orden O(h2+ k2):

Para toda i = 1,2,...,n – 1 y j= 1,2, ……m – 1 y

Donde wi,j aproxima u( xi ,yj).

La ecuación común en (12.4) contiene aproximaciones a u( x, y) en los puntos:

Al reproducir la parte de la cuadrícula donde estos puntos están situados (véase la

figura 12.5), se observa que cada ecuación contiene aproximaciones en una

región en forma de estrella alrededor de ( xi ,yj).

Figura 12.5

Si utilizamos la información de las condiciones de frontera (12.5) siempre que sea

conveniente en el sistema dado por (12.4), es decir, en todos los puntos ( x i ,yj)

adyacentes al punto de red de la frontera, tendremos un sistema lineal ( n – 1)( m

– 1) por ( n – 1)( m – 1) cuyas incógnitas son las aproximaciones w i,j a u( xi ,yj) en

el interior de los puntos de red.

El sistema lineal que contiene estas incógnitas se expresa más eficientemente en

cálculos matriciales, si se introduce un re marcaje de los puntos interiores de la

red. Un sistema de marcaje de estos puntos consiste en utilizar

Donde l = i + (m – 1 – j )(n – 1), para toda i = 1,2,…..., m – 1. Y así se marcan

consecutivamente los puntos de red de izquierda a derecha y de arriba abajo. Por

ejemplo, con n = 4 y m = 5 con el remarcaje se obtiene una cuadricula cuyos

puntos se muestran en la figura 12.6. Al marcar los puntos de este modo, se

garantiza que el sistema necesario para determinar w i,j sea una matriz de banda

con un ancho de banda máximo de 2n – 1.

FIGURA 12.6

EJEMPLO 1

Considere el problema de determinar la distribución de calor en estado estable, en

una placa cuadrada metálica delgada, con las dimensiones 0.5 m por 0.5 m.

Conservamos dos fronteras adyacentes a 0°C , mientras el clos en las otras dos

fronteras aumente linealmente a 0°C en una esquina a 100°C en el sitio donde

ambos lados se encuentran. Si ponemos los lados con las condiciones de frontera

cero a lo largo de los ejes x y y, así el problema se expresaría así:

Para ( x, y ) en el conjunto R= { (x, y)|0 < x < 0.5, 0 < y < 0.5 }, con las condiciones

de frontera

Si n = m = 4, el problema tiene la cuadrícula que se muestra en la figura 12.7 y la

ecuación de diferencias (12.4) es:

Para toda i = 1,2,3 y j= 1,2,3

Expresar esto en función de los puntos de la cuadricula interior wi = u(Pi) implica

que las ecuaciones en los puntos Pi son:

Donde los lados derechos de las ecuaciones se obtienen de las condiciones de

frontera.

Las condiciones de frontera implican que el sistema lineal a este problema tiene

la forma

En la tabla 12.1 se muestran los valores de w1, w2….w9 obtenidos al aplicar a esta

matriz el métodos de Gauss- Seidel.

Las respuestas anteriores son exactas porque la verdadera solución u(x,y) =

400xy, tiene

Y, por tanto, el error de truncamiento es cero en todos los pasos.

El problema ya consideramos en el ejemplo 1 tiene el mismo tamaño de la red,

0.125, en cada eje y requiere resolver solo un sistema lineal de 9 X 9. Esto

simplifica la situación, sin que origine los problemas de calculo que surge cuando

el sistema es más grande. En el algoritmo 12.1 se emplea el método iterativo de

Gauss- Seidel para resolver el sistema lineal que se produce, y permite tamaños

de red desiguales en los ejes.

El metodo de diferencias regresivas incluye, en un paso tipico, los puntos de red

Y, en forma de rejilla o cuadricula, contiene aproximaciones en los puntos marcados con x en la figura 12.8.

Las condiciones iniciales y de frontera relacionadas con el problema suministran informacion en los puntos circulados de red; por ello la figura muestra que no es posible utilizar procedimientos explicitos para resolver la ecuacion 12.12. en el metodo de diferencias progresivas ( vease la fig. 12.9), se utilizaron las aproximaciones en

De modo que dispusimos de un metodo explicito para calcular las aproximaciones, que se tenia como base la informacion proveniente de las condiciones iniciales y de frontera.Si una vez mas denotamos con λ la cantidad α2(k/h2), el metodo de diferencias regresivas se convierte en

Para toda i= 1,2,….,m-1, y j=1,2,….. Aplicando el hecho de que w i,0= f (xi) para toda i=1,2,…. Este método de diferencias tiene la presentación matricial:

wi,0= f (xi) para toda i=1,2,…. dado que λ>0, la matriz A es definida positiva y estrictamente dominante en forma diagonal, ademas de ser tridiagonal. Para resolver este sistema, podemos emplear la factorizacion de Crout para sistemas lineales tridiagonales del algoritmo 6.7, o el algoritmo SOR 7.3. El algoritmo 12.2 resuelve 12.13 mediante la factorizacion de Crout, que es un metodo aceptable a menos que m sea grande. En este algoritmo suponemos, para propositos de detencion o paro, que se da una cota para t.

12.2 METODO DE DIFERENCIAS REGRESIVAS PARA LA ECUACION DE CALORPara aproximar la solución a la ecuacion diferencial parcial parabolica

Sujeta a las condiciones de frontera

Y a las condiciones iniciales

ENTRADA extremos/; tiempo maximo T; constante α; enteros m≥3, N≥1.SALIDA aproximaciones wij a u(xi,tj) para toda i= 1,…., m-1 y j=1,….,N.

EJEMPLO 2Utilizaremos el metodo de diferencias regresivas (algoritmo 12.2) con h=0.1 y con k=0.01 para aproximar la solución de la ecuacion de calor

Sujeta a las restricciones

Que se considero en el ejmplo I. Para demostrar la estabilidad incondicional de este metodo, volvemos a comparar wi,50 con u(xi,0.5), donde i=0,1,……,10.Los resultados que se dan en la tabla 12.4 deberian compararse con las columnas quinta y sexta de la tabla 12.3.

El metodo de diferencias regresivas no plantea los problemas de estabilidad del metodo de diferencias progresivas. Esto lo comprobamos al analizar los valores caracteristicos de la matriz A. en el metodo de diferencias regresivas (vease el ejercicio 8), los valores caracteristicos son

Y como l>0, tendremos mi>1 para toda i=1,2,…..,m-1. Esto implica que existe A-1 porque cero no es un valor caracteristicos de A. un error e (0) en los datos iniciales genera un error (A-1)ne(0) en el n-ésimo paso. Y como los valores caracteristicos de

A-1 son los reciprocos de los valores caracteristicos de A, el radio espectral de A-1 esta acotado superiormente por 1 y el metodo estable, independientemente de la eleccion de λ= α2(k/h2). En la terminologia usada en el capitulo 5, llamamos incondicionalmente estable al metodo de diferencias regresivas. El error local de truncamiento de esta técnica es el del orden de O(k+h2), siempre y cuando la solución de la ecuacion diferencial satisfaga las condiciones normales de diferenciabilidad. En este caso, el metodo converge a la solución de la ecuacion diferencial parcial con la misma rapidez.La debilidad del tema de diferencias regresivas radica en el hecho de que el error local de truncamiento tiene en parte con orden O(k), la cual requiere hacer mucho mas pequeños los intervalos de tiempo que los de espacio. Sin duda convendria contar con un procedimiento cuyo error local de truncamiento fuese de O(k2 +h2). El primer paso en esta dirección consiste en emplear una acuacion de diferencias qu tenga un error de O(k 2) para ul(x,t) en vez de las que hemos usado antes, cuyo error fue de O(k). Esto podemos hacerlo utilizando la serie de Taylor en t para la función u(x,t) en el punto (x i, tj) y evaluando despues en (xi, tj-

1) para obtener la formula de las diferencias centrales

Donde µj=Є(tj-1, tj+1). El metodo de diferencias que resulta al sustituir esto y el cociente comun de diferencias para d2u/ dx2, ecuacion 12.8, en la ecuacion diferencial, recibe el nombre de metodo de Richardson y esta dado por

El metodo Richardson tiene un error local de truncamiento de orden O(k2+h2), pero lamentablemente también presenta serios problemas de estabilidad (vease el ejercicio 6).Un metodo mas prometedor se deriva al promediar el metodo de diferencias progresivas en el j-ésimo paso en t,

Que tiene el error local del truncamiento

Y el metodo de diferencias regresivas en el (j+1)-ésimo paso en t,

Que tiene un error local de truncamiento

Si suponemos que

Entonces el metodo de diferencias promediadas,Tiene un error local de truncamiento de orden O(k2+h2), siempre y cuando se cumplan las condiciones normales de diferenciabilidad. A esto se le llama metodo de Crank-Nicolson y esta representaod en la forma metricialDonde

Y las matrices A y B están dadas por:

Como A es no singular, porque es una matriz definida positiva, estrictamente dominante en forma diagonal y tridiagonal. Podemos usar la factorizacion de Crout para un sistema lineal tridiagonal del algoritmo 6.7 o el algoritmo SOR 7.3 para obtener w(j+1) a partir de w(j) para toda j=0,1,2,……El algoritmo l12.3 incorpora la factorizacion de Crout en el metodo de Crank –Nicolson. Al igual que en el caso del algoritmo 12.2, si queremos determinar un procedimiento de paro o detencion debe especificarse una longitud finita para el intervalo de tiempo.

12.3 METODO DE CRANK-NICOLSONPara aproximar la solución de la ecuacion diferencial parcial parabolica

Sujeta a las condiciones de frontera

Y a las condiciones iniciales

ENTRADA extremo; tiempo maximo T; constante α; enteros m≥3, N≥1SALIDA aproximaciones wij a u(xi, tj) para toda i=1,….,m-1 y toda j=1,……,N.

En [IK, pp.508-512] podra encontrar la comprobacion de que el metodo de Crank-Nicolson es incondicionalmente estable y tiene el orden de convergencia O(k2+h2)

EJEMPLO 3

Utilizaremos el metodo de Crank- Nicolson para aproximar la solucon al problema de los ejemplos 1 y 2, que consiste en la ecuacion

Sujeta a las condiciones

Y

Las opciones m= 10, h=0.1, N=50, k=0.01 y λ=1 se usan en el algoritmo 12.3, como se hizo en los ejemplos anteriores. Los resultados de la tabla 12.5 indican el aumento de exactitud del metodo Crank-Nicolson respecto al de diferencias regresivas, o sea la mejor de las tecnicas explicadas con anterioridad.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 12.2

Aproxime la solución a las siguientes ecuaciones diferenciales parciales usando el algoritmo de diferencias regresivas.

2 Repita el ejercicio 1 usando el algoritmo de Crank- Nicolson3 Use el metodode diferencias progresivas para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales parciales parabolicas