Resumen Geom Anal Tica Prof. Calagua

d =d(P1,P2)=

URP - PEB Resumen Nº 09

GEOMETRÍA ANALÍTICA

1 PLANO CARTESIANO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4.1. TEOREMA 1 (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Teorema 1. Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y

P2 está dada por:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

Teorema 2. Sean A(x1,y1) y B(x2, y2) dos

puntos en el plano. Si P(x, y) divide al

segmento en la razón r = >0, entonces

.

CONSECUENCIAS

1) Punto medio de un segmento

Si M(x, y) es el punto medio del segmento de extremos A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces

2) Baricentro de un triángulo

Si A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) son los vértices de un triángulo, el baricentro G(x,y) del

triángulo ABC es

2 LA RECTA

PENDIENTE DE UNA RECTA

Si es el ángulo de inclinación formado por la parte positiva del eje x y la recta L de manera que

, la pendiente de la recta L se define como

m = tg

Si L es una recta no paralela al eje “y” y P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos distintos

sobre ella, entonces m será

Prof. Víctor Calagua Porras Pág. 1

tg =


(1)

Por triángulos semejantes se puede mostrar fácilmente que si P’1 (x’1, y’1) y P’2 ( x2’, y2’) son otros

2 puntos también distintos sobre L, entonces:

o sea que, para una recta dada, el número m definido por la ecuación (1) es independiente de la

selección P1 y P2, y por consiguiente, dicha ecuación asocia a cada recta no paralela al eje “y”

un solo número m que recibe el nombre de pendiente de la recta.

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo cuya medida es , considerada en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj,

desde la recta L1, de pendiente m1, a la recta L2 de pendiente m2, se puede obtener a partir de la

expresión:

m1m2 1

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Teorema 3. Dadas dos rectas no verticales L1 y L2, de pendientes m1 y m2 respectivamente.

ECUACIONES DE LA RECTA

Teorema 4. La recta que pasa por el punto dado P1 (x1 , y1) y tiene la pendiente dada m tiene por

ecuación

Teorema 5. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación


L1 L2 m1 . m2 = 1

L1 // L2 m1 = m2

y = mx + b

y y1 = m(x x1)

2

y

x

L1

O

L2

1


Teorema 6. La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) tiene por ecuación

Teorema 7. La recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0, b) con a 0 y b 0,

respectivamente, tiene por ecuación

Forma general de la ecuación de una recta.

La forma general de la ecuación de una recta es Ax + By + C = 0

en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Teorema 8. Dadas la recta L: Ax + By + C = 0 y P(x1, y1) un punto exterior a L. La distancia d

del punto P(x1, y1) a la recta L, está dada por:

ÁREA DE UN TRIÁNGULOTeorema 9. Si P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3) son los vértices de un triángulo, su área está dado

por

Forma practica

Considerando los puntos P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3) en el sentido contrario al giro de las agujas

del reloj, tenemos en forma practica el área


xO

P(x, y)

y

C(h, k)

r


Área = , donde

3 LA CIRCUNFERENCIA

Definición. Sea C un punto de R² y r número real positivo; se llama circunferencia al conjunto de

puntos P tales que d(P, C) = r.

ECUACIÓN ORDINARIA La circunferencia de centro C(h, k) y radio r, tiene por ecuación

C:

ECUACIÓN CANÓNICA La circunferencia de centro en el origen y radio r>0, tiene por ecuación

ECUACIÓN GENERAL

C: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

C:

Existe circunferencia, si D² + E² 4F > 0

C

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

Teorema 10. La ecuación de la recta tangente a la circunferencia C:(x h)² +(y k)² = r², que pasa

por el punto P(x1, y1) C es

Donde es pendiente de LT

CONDICIÓN DE TANGENCIA

Teorema 11. La ecuación de la circunferencia C y una recta tangente LT a C forman un sistema de ecuaciones


( x h )² + ( y k)² = r²

x² + y² = r²

LT: y y1 = mT (x x1)

xO

P(x1, y1)

y

C

LT

C(h, k)


que lleva a la ecuación cuadrática . Se cumple que

=b² 4ac = 0 (condición de tangencia)

4. LA PARÁBOLA

Definición. Sean D una recta y F un punto fijo en

el plano con F D. Una parábola P con foco F y

directriz D es el conjunto de puntos P del plano que

equidistan de D y F. Es decir

P = { PR² / d(P, D) = d( P; F) }

Elementos de la parábola

F : foco

D : directriz

E : eje focal

V : vértice

: cuerda

: cuerda focal

: lado recto

: radio focal

ECUACIONES Teorema 18. La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje, el eje X es

En donde el foco es el punto F(p, 0) y la ecuación de la directriz es D: x = p.

i) Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha

ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el eje de una parábola coincide con el eje “Y” y el vértice esta en el origen, su ecuación es


x = - p

O F(p,0)

D

X

YP(x,y)N

y² = 4px

y = - p

O

F(0,p)

D

X

Y

P(x,y)

N

x² = 4py


En donde el foco es el punto F(0, p) y la ecuación de la directriz es D: y = p.

i) Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.

ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.

Teorema 19. La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma

siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

i) Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha

ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la

forma

i) Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.

ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.


Teorema 20. La ecuación de la parábola P y una recta tangente LT a P forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática . Se cumple que


Teorema 21. La tangente a la parábola y² = 4px en cualquier punto P1(x1, y1) de la curva tiene

por ecuación

Teorema 22. La tangente de pendiente m a la parábola y² = 4px tiene por ecuación

PARABOLA DE EJE INCLINADO

Dada la directriz

D: Ax +By + C = 0

La ecuación de la parábola es


(y k)² = 4p (x h)

( x h )² = 4p( y k )

y1y = 2p( x + x1 )

y = mx + , m 0


P: d(P, D) = d( P; F)

P: =

5. LA ELIPSE

Definición. Es el conjunto de puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre constante, mayor que la distancia entre los puntos fijos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Si d(F’, F) = 2c,

P elipse E d(P,F’) + d(P, F) = 2a

donde 2a es una constante con a > c

Elementos de la elipse

l : eje focal (recta que pasa por los focos F’ y F)

V’ y V : vértices (puntos de intersección de la elipse y el eje focal)

: eje mayorC : centro (punto medio del segmento que une

los focos)

l’ : eje normal (recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal)

A’ y A : puntos de intersección de la elipse y el eje normal.

: eje menor

: Cuerda (segmento que une dos puntos de la elipse).

: Cuerda focal (cuerda que pasa por uno de los focos).

: Lado recto (cuerda focal perpendicular al eje focal).

La elipse tiene dos lados rectos.

Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor. a, b y c están

ligados por la relación a² = b² + c².

D y D’ : directrices

Distancia de la directriz al centro de E

d(D’,C) = d(D,C) =



La longitud de cada lado recto es .

La excentricidad está dada por e = .

ECUACIONES

Teorema 12. La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal al eje X, distancia focal

igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c) y (0, c), la ecuación de la elipse es:

Teorema 13. La ecuación de la elipse de centro el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje x, está

dada por la segunda forma ordinaria

Si eje focal es paralelo al eje “Y”, su ecuación está dada por la segunda forma ordinaria

Teorema 14. Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la

ecuación

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa

ningún lugar geométrico real.


Teorema 15. La ecuación de la elipse E y una recta tangente LT a E forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática . Se cumple que




Teorema 16. La ecuación de la recta tangente a la elipse E : en el punto

E es LT : .

Teorema 17. La tangente de pendiente m a la elipse E: , tiene por ecuación y =

mx

ELIPSE DE EJE INCLINADO

La ecuación de la elipse es

E: d(P,F’) + d(P,F) = 2a

E: + =2a

6. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Teorema 23. Dada la ecuación general de segundo grado

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Sea el discriminante: = B2 – 4AC, entonces

Si < 0, la ecuación representa una ELIPSE

Si = 0, la ecuación representa una PARABOLA

Si > 0, la ecuación representa una HIPÉRBOLA


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