Resumen geometría en el espacio
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Cristina Quintana 2 Bach. CT curso 2010/2011
Vectores en el espacioDef: Un vector es un segmento orientado. Est formado por mdulo (longitud del segmento), direccin y sentido. Combinacin lineal: Diremos que un vector v es combinacin lineal de un conjunto de vectores , donde son si se puede escribir de la forma:
escalares.
es linealmente Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de vectores dependiente si al menos uno de ellos se puede poner como combinacin lineal del resto.
Base: Un conjunto de vectores
es una base si cumple que:
a) es un conjunto linealmente independiente b) Cualquier vector en el espacio se puede poner como combinacin lineal de B. y resulta que v se puede poner de la forma: Entonces, si tenemos una base concluimos que las coordenadas de v en la base B con los escalares
Punto medio de un segmentoDados dos puntos en el espacio A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), el punto medio del segmento AB es M=
Puntos alineadosTres puntos en el espacio A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) y C(c1, c2, c3), estn alineados si los vectores que definen y , son proporcionales.
Producto escalarSi u y v son dos vectores, definimos el producto escalar como:
El resultado es un nmero real.
Despejando la ecuacin anterior tenemos que el ngulo que forman dos vectores es:
Mdulo de un vector: es la raz cuadrada positiva de cada una de sus componentes elevadas al cuadrado. Ej.-
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Si u y v s n dos vectores e producto vectorial de u y v es otro vector perpendicular al plano que forman los dos primeros y que sigue la regla de la mano derec a. Se denota como:x
Interpretacin geomtrica: El mdulo del producto vectorial de dos vectores es igual al rea del paralelogramo que tiene a estos vectores por lados. Matriz asociada al producto vectorial:
Definimos el producto mixto como un nmero, que se designa por [ siguiente modo: ( x )
Interpretacin geomtrica: El valor absoluto del producto mixto de tres vectores u, v y w es igual al volumen del paraleleppedo que tiene por aristas los tres vectores u, v, w.
Coordenadas de: Vector definido por dos puntos: las coordenadas del vector , de origen el punto
. y de extremo el punto , son: Punto medio de un segmento: las coordenadas del punto medio del segmento vienen dadas por la semisuma de las coordenadas de los extremos.
Vectorial: necesitamos un punto y el vector director. Llamando a la recta, P al punto y v al vector tenemos que:
Paramtrica: necesitamos lo mismo que para la vectorial. Si el punto es vector es , la recta viene determinada por:
Ecuaci
d la r c a:
Pr duc
ix
Pr duc
v c ri l
Cris ina Quintana 2 Bac
CT curs 2010 2011
] y se obtiene del
, y el
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Continua: necesitamos lo mismo que para la vectorial. Si el punto es es , la recta viene determinada por:
, y el vector
Implcita:
Ecuaciones del plano:Vectorial: igual que la de una recta pero con un vector director ms. Nos quedara:
Paramtrica: lo mismo que para una recta pero con otro vector director, llammosle . Sera as:
y Implcita: definida por un punto y dos vectores directores , si planteamos el determinante de la siguiente matriz e igualamos a cero lo obtenemos:
Normal: necesitamos un vector normal
y un punto
del plano.
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Posiciones relati as entre elementos Recta-plano:Pasamos la ecuacin de la recta a forma implcita, formamos un sistema con la ecuacin de la recta y la ecuacin del plano y estudiamos el rango de la matriz asociada, obteniendo los siguientes casos: Secantes: Rango (M) = 3 Paralelos: Rango (M) = 2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 2
Recta contenida en el plano: Rango (M) = 2
Plano-Plano:Basta con formar el sistema de ecuaciones con los planos en forma implcita. Estudiando los rangos obtendremos las diferentes posiciones relativas: r(M)=2=r(M ) -> planos secantes r(M)=1 planos paralelos r(M)=1=r(M ) -> planos coincidentes
Tres planos:Formamos el sistema de ecuaciones con los tres planos en forma implcita. Estudiando el rango de las matrices asociadas tendremos que: Si r(M)=3=r(M ) -> los planos forman un triedro. Si r(M)=2 dos casos: o hay dos planos paralelos y otro los corta (2 ecuaciones son proporcionales) o los planos forman un prisma. r(M)=2=r(M ) -> dos casos: dos planos coincidentes y otro los corta segn una recta (dos planos tienen las mismas ecuaciones) o los tres planos se cortan en una recta. r(M)=1 dos casos: dos planos coincidentes y otro paralelo a ellos o los tres planos son paralelos. r(M)=1=r(M ) -> los tres planos son coincidentes.
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Recta-recta:Pasamos las ecuaciones de las rectas a forma implcita y estudiamos el rango de la matriz asociada, obteniendo los siguientes casos: Coincidentes: Rango (M) = 2 Secantes: Rango (M) = 3 Paralelas: Rango (M) = 2 Rango (M*) =2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 4
Rectas que se cruzan: Rango (M) = 3
Angulo entre dos rectasEl ngulo que forman dos rectas, r y s, es el menor ngulo que se puede formar entre sus vectores directores y . Se calcula como:
ngulo entre recta y planoEl ngulo que forma una recta r y un plano es el complementario del menos ngulo formado por el vector director de la recta y el vector normal al plano . Se calcula como:
ngulo entre dos planosEl ngulo que forman dos planos, 1 y 2, es el menor ngulo que se forma entre sus respectivos vectores normales, 1 y 2. Se calcula como:
ngulo entre dos ectores
Proyeccin ortogonal de un punto P sobre una recta rLa proyeccin es otro punto Q que pertenece a la recta, y tal que el vector al vector director de la recta. es perpendicular
Proyeccin ortogonal de un punto P sobre un planoLa proyeccin es un punto Q que pertenece al plano, y tal que el vector plano. es perpendicular al
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Proyeccin ortogonal de una recta r sobre un planoLa proyeccin es una recta s que est contenida en el plano, y tal que el plano a las dos rectas es perpendicular al plano . que contiene
Simtrico de un punto P respecto de otro punto QEl simtrico de P respecto del punto Q es un punto P tal que el punto Q es el punto medio del segmento PP .
Simtrico de un punto P respecto de una rec ta rEl simtrico de P respecto de la recta r es un punto P tal que la recta r pasa por el punto medio del segmento PP , y el vector es perpendicular a la recta r.
Simtrico de un punto P respecto de un planoEL simtrico es otro punto P tal que el plano pasa por el punto medio del segmento PP y el vector es perpendicular al plano .
Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos punto A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) en el espacio es el mdulo del vector que tiene por extremos dichos puntos. d(A,B) = | d(A,B) = |( =
Distancia de un punto a una rectaEs igual a la distancia entre el punto y su proyeccin ortogonal sobre la recta.
Distancia de un punto P a un planoEs la distancia entre el punto P y su proyeccin sobre el plano . Conocida la ecuacin del plano : Ax+By+Cz+D = 0, la distancia de un punto P(x1, y1, z1) al plano se puede calcular mediante la expresin: d(P, ) =
Distancia entre dos planosSi los planos son coincidentes o se cortan, la distancia es cero. Si los planos son paralelos, la distancia entre ambos es igual a la distancia entre cualquier punto P de uno de los planos al otro.
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Distancia entre una recta y un planoSi la recta y el plano tienen algn punto en comn, la distancia es cero. Si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ambos es igual a la distancia entre cualquier punto P de la recta al plano .
Distancia entre dos rectasSi las rectas son secantes o coincidentes, la distancia entre ambas rectas es cero. Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia entre cualquier punto de una a la otra. Si las rectas se cruzan, la distancia entre ellas es igual a la distancia de una al plano paralelo a ella que contiene a la otra. d(r,s) = siendo el vector director de la recta r, A un punto de la recta r,
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el vector director de la recta s y B un punto de la recta s.
rea de un paralelogramoEl rea de un paralelogramo ABCD es el mdulo del producto vectorial de los vectores y
rea =
rea de un tringuloSe calcula con la frmula: rea =
Ecuacin de la esferaLa ecuacin de la esfera de centro C(a,b,c) y radio r es:
Considerando general de la esfera:
,
,
y
, obtenemos la ecuacin
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Posiciones relati as de una recta y una esferaSecante: d(C,r)< r Tangente: d(C,r)= r Exterior: d(C,r)> r! !
Posiciones relati as de un plano y una esferaSecante: d(C,r)< r Tangente: d(C,r)= r Exterior: d(C,r)> r
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