Resumen Variable Compleja

Felipe Orellana Castillo

14 de enero de 2009

1. El plano complejo

Forma Cartesiana z = a+ ib |z| = R =√x2 + y2

x = R cos θ y = R sin θ

Forma Polar z = Reiθ θ = R arctan yx (argumento de z)

Multiplicacion de Complejos (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

Complejo Conjugado z = a− ib

• z1 + z2 = z1 + z2

• eiθ = cos θ + i sin θ |z|2 = z · z• |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

Inverso de un Complejo z−1 =a

a2 + b2− i b

a2 + b2=

1z · z

z

Formula de Moivre (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ

zn = |z|neiθn

2. Continuidad y Derivacion

Continuidad: Diremos que f es contınua en zo ∈ Ω si para todasucesion (zn)n≥1 ∈ Ω tal que zn −→ zo =⇒ lım

z→zo

f (zn) = f (zo)

Derivabilidad: Sea f : Ω ⊆ C → C es derivable en zo ∈ Ω ssi esFrechet-derivable en (xo, yo) y ademas se satisfacen las condiciones deCauchy-Riemman∂u∂x (xo, yo) = ∂v

∂y (xo, yo) ∂u∂y (xo, yo) = − ∂v

∂x (xo, yo)

en tal caso

1

f ′ (zo) = ∂u∂x (xo, yo) + i ∂v∂x (xo, yo)

• Si f es derivable ∀zo ∈ Ω diremos que f es holomorfa en Ω

• Si f es holomorfa en Ω abierto y conexo. Si f ′ ≡ 0 en Ω entoncesf es constante en Ω

• Sean F,G ∈ H (Ω) dos primitivas de una funcion f : Ω ⊆ C→ C,donde Ω es un abierto conexo. Entonces ∃C ∈ C tal que ∀z ∈Ω, F (z) = G (z) + C

3. Funciones en Serie de Potencias

Serie de Potencias Sea (ck)k≥1 ⊆ C sucesion de complejos, a ∈ Cun punto dado. Sea z ∈ C Se define la Serie de Potencias

SN (z) =N∑k=0

ck (z − a)k

Donde SN (z) converge si |z − a| < R con R radio de convergenciade la serie.

3.1. Ejemplos de funciones en serie de potencias

Exponencial exp (z) =∞∑k=0

zk

k!exp (x+ iy) = ex (cos y + i sin y)

Logaritmo log (z) = ln|z|+ i arg z

Coseno cos (z) = 1− z2

2! + z4

4! −z6

6! + · · · = exp (iz) + exp (−iz)2

Seno sin (z) = z − z3

3! + z5

5! −z7

7! + · · · = exp (iz)− exp (−iz)2i

las funciones exp, cos y sin son holomorfas en C y log es holomorfa enC\R

4. Integral en el Plano Complejo

Integral Compleja Sea f : Ω ⊆ C→ C, contınua en Ω ⊆ C. Dado uncamino Γ ⊆ Ω parametrizado por γ : [a, b] → Ω, definimos la integracompleja de f sobre Γ mediante

∫Γf (z) dz :=

∫ b

af (γ (t)) γ (t) dt =

∫Γ

(u−v

)· d~r + i

∫Γ

(vu

)· d~r

2

ademas la integral cumple propiedades como:

1. ∀f ∈ C (Ω)∣∣∣∣∫

Γf (z) dz

∣∣∣∣ ≤ L (Γ) supz∈Γ|f (z) |

con L (Γ) =∫ b

a|γ (t) |dt es la longitud del camino Γ.

2. Si f ∈ C (Ω) admite primitiva, i.e. ∃F ∈ H (Ω) tal que F ′ (z) =f (z) , entonces ∫

Γf (z) dz = F (γ (b))− F (γ (a))

(no importa de la trayectoria recorrida).

3. Si Γ es un camino cerrado en C y zo /∈ Γ entonces∮Γ

(z − zo)k dz = 0 ∀k 6= −1.

Indicatriz Sea zo /∈ Γ con Γ un camino cerrado, se define la indicatrizde Γ en zo como:

IndΓ (zo) =1

2πi

∮Γ

dz

z − zo=θ (b)− θ (a)

2π

Teorema de Cauchy-Goursat Si f es una funcion holomorfa en unabierto simplemente conexo Ω entonces∮

Γf (z) dz = 0 ∀ camino Γ cerrado, regular p.t ⊂ Ω

ademas algunos resultados de este teorema son:

1.∫γf (z) dz =

∫δf (z) dz γ y δ tienen la misma orientacion

2. se asegura la existencia de la antiderivada

Formulas de la Integral de Cauchy

1. Para funciones: Sea f holomorfa en D, D s.c y zo ∈ D. Si γ escualquier c.s.s.r.p.t cerrada en D y zo ∈ Int (γ) entonces

f (zo) =1

2πi

∫γ

f (z)z − zo

dz

2. Derivadas de Orden Superior: Sea f holomorfa en D, D s.cy zo ∈ D. Entonces f tiene derivadas de todo orden en zo y secumple

3

f (n) (zo) =n!

2πi

∫γ

f (z)(z − zo)n+1dz γ ⊂ D y zo ∈ Int (γ)

Series de Taylor Si f es holomorfa en zo =⇒ f es analıtica en zo,i.e. ∃ r > 0 y an sucesion compleja tal que:

f (z) =∑n≤0

an (z − zo)n z ∈ D (zo, r) an =f (n) (zo)

n!

• Consecuencia Importante Si f es contınua en D y holomorfaen D − z1, z2, · · · , zk, entonces f es holomorfa en D y f tienederivada de todo orden en D.

Series de Laurent Sea f holomorfa en el anilloA (zo, r1, r2) = z : r1 < |z − zo| < r2.Entonces, ∀z ∈ A se cumple que:

f (z) =infty∑−infty

an (z − zo)n , an =1

2πi

∫γ

f (w)(w − zo)n+1dw

n = 0,±1,±2, · · ·

y γ es cualquier cırculo de centro zo y radio ρ, r1 < ρ < r2

4.1. Ceros, Polos y Singularidades Escenciales

Ceros: Un punto zo es un cero de orden m de una funcion holomorfaf si

f (zo) = f ′ (zo) = f ′′ (zo) = · · · = f (m−1) (zo) = 0 y

f (m) (zo) 6= 0

Si m = 1, zo es un cero simple

Singularidades y Polos

• Un punto zo es una singularidad aislada de f si f es homolorfaen d− zo, con D vecindad de zo• Una singularidad aislada zo de f es reparable si ∃g holomorfa

en zo y g (z) = f (z), para z ∈ D − zo (i.e. ∃ lımzo

f)

• zo es un polo de orden m de f ssi ∃ g y h holomorfas en zo talque g (z) 6= 0, zo es un cero de orden m de h y f (z) = g(z)

h(z)

4

Propiedades

1. zo es un polo de orden m de f ssi lım (z − zo)k f (z) no existe parak = 1, 2. · · · ,m− 1 y lım (z − zo)m f (z) existe y es 6= 0

2. Sea f holomorfa y zo una singularidad aislada de f , y sea∞∑−∞

an (z − zo)n,

la Serie de Laurent de f en el anillo A (zo, O, r). Entonces:

a) zo es singularidad reparable de f ssi an = 0, n < 0, i.e.,la serie no tiene potencias negativas de (z − zo).

b) zo es polo de orden m en f ssi a−m 6= 0, para n < −m.c) zo es una singularidad escencial de f ssi an 6= 0 para in-

finitos valores de n = −1,−2, · · · , i.e. la serie tiene infinitaspotencias negativas de (z − zo).

zo es un cero de orden m de f si existe g holomorfa en zo tal quef (z) = (z − zo)m g (z), y g (zo) 6= 0.

zo es un polo de orden p de f si existe h holomorfa en zo tal quef (z) = (z − zo)−p h (z), y h (zo) 6= 0.

5. Teorema de los Residuos e Integrales Reales

Residuos: Sea zo una singularidad aislada de f holomorfa en D, y sea∞∑−∞

an (z − zo)n, la Serie de Laurent de f . el coeficiente a−1 se llama

residuo de f en zo, i.e.

Res (f, zo) = a−1 =1

2πi

∫γf (z) dz

con γ ⊂ D una c.s.s.r.p.t.c que encierra a zoPropiedad si zo es un polo de orden p en f holomorfa en D − zo,entonces el residuo de f en zo es

Res (f, zo) =1

(p− 1)!lımzo

dp−1

dzp−1[(z − zo)p f (z)]

Teorema de los Residuos: Sea f holomorfa en D−z1, z2, · · · , zk,i.e. z1, z2, · · · , zk son singularidades de f , (D s.c) Si γ ⊂ D es unac.s.s.r.p.t.c que encierra a los puntos zk, entonces:

∫γf (z) dz = 2πi

k∑j=1

Res (f, zj)

5

5.1. Integrales Reales

Caso I integrales de funciones racionales del tipo∫ 2π

0R (sin θ, cos θ) dθ

se pueden desarrollar como:∫γf (z) dz = 2πi

∑zk∈I(γ)

Res (f, zk)

con γ : |z| = 1 y I (γ) el a’rea que encierra la curva γ

Caso II integrales de la forma∫ ∞−∞

f (x) dx =∫ ∞−∞

p (x)q (x)

las cuales

convergen cuando q (x) 6= 0 ∀x y grad (q) ≥ grad (p) + 2. Ademas quep y q no tienen factores comunes (los ceros de q son los polos de f)

1o se despejan las raices de q (x) y sus correspondientesmultiplicidades∫ ∞

−∞f (x) dx = 2πi

∑I(zk)>0

Res (f, zk)

Caso III integrales de la forma∫ ∞−∞

p (x)q (x)

cos (αx) dx∫ ∞−∞

p (x)q (x)

sin (αx) dx

que convergen para q (x) 6= 0 ∀x y grad (q) ≥ grad (p) + 1

1. se define f (z) = p(z)q(z) y se considera la integral∫

γf (z) eiαzdz

2. se procede como el caso 2 y se obtiene∫ ∞−∞

f (x) dx = 2πi∑

I(zk)>0

Res(f (z) eiαz, zk

)= a+ ib

3. luego∫ ∞−∞

p (x)q (x)

cos (αx) dx = a

∫ ∞−∞

p (x)q (x)

sin (αx) dx = b

6