1

UNIDADE 2 POLÍGONOS

1. TRIÁNGULOS 2. CUADRILÁTEROS 3. POLÍGONOS 4. EQUIVALENCIAS

RESUMO

1. TRIÁNGULOS

Propiedades: A + B + C = 180º e a < (b + c) e a > (b - c)

CLASIFICACIÓN en función:

- dos seus lados: Equilátero, Isósceles e Escaleno

- dos seus ángulos: Rectángulo, Acutángulo e Obtusángulo

Puntos notables dun triángulo: INCENTRO; CIRCUNCENTRO; ORTOCENTRO; BARICENTRO e EXINCENTROS.

CONSTRUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Necesítanse tres datos (2 · n - 3) pero poden darse de xeito implícito nas características do triángulo.

1) Construcións básicas (casos DIRECTOS): Combinación dos elementos fundamentais (lados e ángulos)

2) Construcións menos inmediatas ("INDIRECTOS"): Interveñen:

a) Altura/s e/ou mediana/s e/ou bisectriz

b) Suma/diferenza de lados; perímetro (mediatriz).

c) Transformacións xeométricas: simetría, semellanza, etc.

Diferentes construcións: Triángulos rectángulo, isósceles e escaleno

2. CUADRILÁTEROS

Propiedades: A + B + C + D = 360º

CLASIFICACIÓN en función:

- dos seus ángulos. Dous tipos: INSCRIPTIBLES e NON INSCRIPTIBLES.

- dos seus lados: PARALELOGRAMOS (rombo, romboide, rectángulo e cadrado); TRAPECIO (que pode ser: isósceles, oblícuo ou escaleno) e TRAPEZOIDE.

2

CONSTRUCIÓNS DE CUADRILÁTEROS

Son necesarios cinco datos (2 · n - 3), pero tamén poden darse de xeito implícito. Casos:

1) Construcións básicas (casos DIRECTOS): Combinación dos elementos fundamentais (lados, diagonais, ángulos ou alturas).

2) Construcións menos inmediatas (casos "INDIRECTOS"): Interveñen:

a) Radio da circunferencia que o inscribe ou circunscribe.

b) Suma/diferenza dos lados; suma/diferenza de lado e diagonal (mediatriz); perímetro (mediatriz).

e) Transformacións xeométricas: simetría, translación, xiro, semellanza.

Diferentes construcións: Cadrado; Rectángulo; Rombo; Romboide; Trapecio; Trapezoide

3. POLÍGONOS

Elementos: LADOS, VÉRTICES, DIAGONAIS, ÁNGULO INTERNO, ÁNGULO EXTERNO e PERÍMETRO.

CLASIFICACIÓN segundo o número de lados:

triángulo / triágono; cuadrilátero / tetrágono; pentágono / tretágono; hexágono; heptágono; octógono; enneágono; decágono; undecágono; dodecágono; pentadecágono; Icoságono; polígono de n lados

Se un polígono é equilátero e equiángulo chámase POLÍGONO REGULAR. Elementos: CENTRO, APOTEMA, RADIO e ÁNGULO CENTRAL.

Conceptos: CONVICTO; CÓNCAVO; INSCRITO e CIRCUNSCRITO

CONSTRUCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

Trazado: a) Dado o lado ln e b) Dado o radio rn

CONSTRUCIÓNS EXACTAS

Polígonos regulares de 3 - 6 - 12 - 24 lados

Dado o RADIO: HEXÁGONO REGULAR; TRIÁNGULO EQUILÁTERO; DODECÁGONO REGULAR; POLÍGONO REGULAR de 24 lados

Dado o LADO. Casos particulares: TRIÁNGULO EQUILÁTERO; HEXÁGONO REGULAR; DODECÁGONO REGULAR:

Polígonos regulares de 4 - 8 - 16 lados

Dado o RADIO: CADRADO; OCTÓGONO REGULAR; POLÍGONO REGULAR de 16.

Dado o LADO. Casos particulares: CADRADO; OCTÓGONO REGULAR.

3

Polígonos regulares de 5 - 10 - 15 - 20 lados

Dado o RADIO: DECÁGONO REGULAR; PENTÁGONO REGULAR; PENTADECÁGONO REGULAR; ICOSÁGONO REGULAR.

Dado o LADO. Casos particulares: PENTÁGONO REGULAR; DECÁGONO REGULAR

CONSTRUCIÓNS APROXIMADAS

Polígonos regulares de 7 - 14 lados

Dado o RADIO ou o LADO: HEPTÁGONO REGULAR; POLÍGONO REGULAR de 14 lados

Polígonos regulares de 9 - 18 lados

Dado o RADIO: ENNEÁGONO REGULAR; POLÍGONO REGULAR de 18.

PROCEDEMENTO XENERAL para construír un polígono regular de N lados

Coñecida a circunferencia circunscrita

Coñecido o lado

POLÍGONOS REGULARES ESTRELADOS ou cóncavos

Constrúense partindo dun polígono regular convicto e cambiando a orde de unión dos seus vértices. O Paso do estrelado é número de vértices que se salta.

Estrelas: Pentágonal de paso 2; Heptágonal de pasos 2 e 3;

Octógonal de paso 3; Enneágonal de pasos 2 e 4;

Decagonal de paso 3; Undecágonal de pasos 2, 3, 4 e 5;

Dodecágonal de paso 5; Pentadecágonal de 2, 4 e 7 pasos.

CONSTRUCION dun polígono estrelado dado o LADO

4. EQUIVALENCIAS

As figuras equivalentes teñen formas diferentes pero teñen a mesma superficie.

A equivalencia en figuras planas é a igualdade de áreas.

Todos os triángulos que teñan a mesma base e altura serán equivalentes.

Un triángulo calquera sempre pode transformarse nun rectángulo de igual base e metade altura ou de base metade e igual altura.

Un rectángulo, de lados a e b, sempre pode transformarse nun cadrado de lado l, media xeométrica entre a e b.

Un cuadrilátero calquera sempre pode transformarse nun cadrado logo de descomposición daquel en dous triángulos.