24-10-2015

¡Revista Educativa!

Estructuras Discretas Y Grafos

Paola De Sousa 26.425.162Hector Cisneros 16.269.922Gregory Guaregua 20.107.196Maria Salazar 21.312.575Willians Guzman 21.260.378

Sucesiones Matemáticas

¡Conoce los tipos de Sucesiones!

Técnicas de Conteo

Teorema Del Binomio

Binomio de Newton

¿Cómo calcular un factorial?

¡¡Aprend

Ejemplos:

(1, 2, 3.)= Es una sucesión Finita porque termina en 3.

(1, 2, 3, 4, 5, 6…)= Es una Sucesión Infinita por los puntos suspensivos (…).

¡¡Aprend

Sucesiones

Sucesiones: ¿Qué Son?

Es un conjunto de cosas una detrás de otra, en un cierto orden, Mayormente las sucesiones son de números para llevar un mayor orden, también puede tener relación con los números.

Las Sucesiones pueden tomar valores en cualquier conjunto, las sucesiones son reales, es decir, números reales. Como cualquier función las sucesiones pueden ser representadas mediante una expresión, un algoritmo, una lista o una gráfica.

Características de las Sucesiones:

Las Sucesiones pueden ser Finitas o Infinitas:

Sucesiones Finitas: Es, si la Sucesión termina.

Sucesiones Infinitas: Es, si la sucesión Continua sin parar

Ejemplo En Orden:

El orden debe ser de 10 a 1 de mayor a menor =

(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1).

Ejemplo La Regla:

La Sucesión (3, 5, 7, 9, 11…), inicia en 3 y va luego en dos en dos.

Ejemplo La Función Seria 2n+1:

- 2n+1- 2(1)+1= 3- 2(2)+1=5- 2(3)+1=7- 2(4)+1=9

LA NOTACION SE DENOMINA DE LA SIGUIENTE FORMA:

En Orden: En este caso es donde se pone las condiciones y le da el orden de cómo quiere que se desenvuelva la sucesión.

La Regla: Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

La Función seria 2n+1, donde n toma una sucesión de valores generando una secuencia.

Notación: Esta característica nos permite identificar y pronunciar una función o sucesión con un mejor orden, donde X es el término y n es el orden del término.

Ejemplo de notación:

Al hablar de un término en específico se expresaría de la siguiente forma: el sexto

termino x6.

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Tipos de sucesiones

Una sucesión numérica

Se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico.

Sucesiones monótonas

Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente

Sucesión creciente

Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su predecesor, , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...

Para reales:

Si se impone, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

¿SABIAS QUE?

Si multiplicamos

111111111 x 111111111 el resultado es: 12345678987654321.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

· Si es estrictamente decreciente.

· Si entonces la sucesión es decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, .. Utilizada por las series llamadas series alternadas.

Sucesiones Acotadas

Se pueden dar tres formas de sucesión acotada:

Una sucesión {an} estará acotada superiormente en el caso que exista un número real M que limite de la siguiente forma la secuencia: {an} ≤ M.

Por otro lado, la sucesión estará acotada inferiormente cuando un número real N la límite de la forma contraria a la anterior: {an} ≥ N.

· Finalmente, en caso de que se den ambas opciones {an} será una sucesión acotada.

TIPOS DE SUCESIONES

TIPOS DE SUCESIONES

Sucesiones Convergentes

Una sucesión, converge a o tiene por límite (cuando ), y se escribe,

Cuando,

Sucesiones aritméticas

La diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplo

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n-2

Desarrollo

X1 = 3(1)-2= 1

X2 = 3(2)-2= 4

X3 = 3(3)-2= 7

X4 = 3(4)-2= 10

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25....

TIPOS DE SUCESIONESSucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

X1 = 21

X2 = 22

x3 = 23

x4 = 24

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Sucesiones especiales

• Números triangulares

Pero es más fácil usar la regla

xn = n(n+1)/2 Fórmula

x1 = 1(1+1)/2= 1

x2 = 2(2+1)/2= 3

x3 = 3(3+1)/2= 6

x4 = 4(4+1)/2= 10

x5 = 5(5+1)/2= 15

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

TIPOS DE SUCESIONES

• Números cuadrados

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es xn = n2

X1 = 12

X2 = 22

X3 = 32

X4 = 42

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

• Números cúbicos

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es xn = n3

X1 = 13

X2 = 23

X3 = 33

X4 = 43

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,…

TÉCNICAS DE CONTEO Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes. Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes, y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r-acciones se pueden realizar de n1n2...nr maneras diferentes.

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos destaca el método del diagrama de árbol.

Principios del Conteo

• SUMA O ADICCION

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n1 o n2 pueden realizarse alternativamente de n1 + n2 maneras diferentes.

• Multiplicativo

Es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfi ca que permite enumerar

todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o

Independientes. El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la

primera acción a efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras

diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se

dibujan otros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que

se desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse

esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza la primera. Y así,

sucesivamente.

Permutación:

Se la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo

hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos

seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los

arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza

para contar el número total de permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Combinación:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

n C r = n! r! (n – r)!

Combinaciones con Repetición:

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. Si se repiten los elementos.

Factorial:

Un factorial se designa con un número natural positivo seguido por un signo de exclamación (es decir 8!). El valor de un factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el número del factorial. 8!

Ordenación:

Se llaman ordenaciones de n objetos de orden r a las diferentes maneras de escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las ordenaciones es distinta de las demás, si difiere en alguno de sus objetos o en el orden de ellos. Notación:

Teorema del Binomio

Los números combinatorios también reciben el nombre de coeficientes binomiales, en virtud de que sus valores corresponden a los coeficientes del desarrollo de un binomio

Binomio de Newton

Esta fórmula nos permite desarrollar el binomio de Newton.

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

EJERCICIO 4

EJERCICIO 5

EJERCICIO 6

EJERCICIO 7

EJERCICIO 8

EJERCICIO 9

EJERCICIO 10