Septiembre 2012VOLUMEN 1 • EDICION 01

Muestreo Reconstruccion y Control Digital

Rivero Juan C.I: 21.431.320Gonzales Massiel C.I: 23.365.033 Rosimar Díaz C.I: 21.129.797Jose ArteagaC.I: 15.176.866

CONTENIDO:• Teoría •Definición• Funciones Elementales•Propiedades• Teoremas• Tips para Solución de Ejercicios • Ejemplos

ControlDigital

CONTENIDO EDITORIAL

2 Contenido y Editorial

3 Muestreo

8 Reconstruccion

12 Control Digital

Facultad: Ingeniería

Carrera: Ingeniería Electronica

Cátedra: Teoria de Control II

Prof.: Ing. Barbara Vasquez

Elaborado y Diseñado Por:

Rivero Juan C.I: 21.431.320

Gonzales Massiel C.I: 23.365.033

Rosimar Díaz C.I: 21.129.797

Jose Arteaga C.I: 15.176.866

El control digital es una implementación de control empleando lógica programada.En nuestros tiempos el uso del computador digital como controlador de un sistema hace necesaria la determinación de los efectos de las operaciones de muestreo y reconstrucción sobre el contenido de la señal a muestrear.

En los últimos años los sistemas de control automático analógicos se han venido reemplazando por sistemas de control Digital. Esto gracias a los avances de la computación y de las nuevas tecnologías que están a nuestro alcance como son los microcontroladores, etc. Además los sistemas digitales dan una mayor flexibilidad pues permiten cambiar la estrategia de control con solo cambiar algunas instrucciones en el programa de control, controlar varios procesos en forma simultánea.

Guia Completa sobre

CONTROL DIGITAL

El muestreo está basado en el teorema de muestreo, que es la base de la representación discreta de una señal continua en banda limitada. Es útil en la digitalización de señales (y por consiguiente en las telecomunicaciones) y en la codificación del sonido en formato digital.Independientemente del uso final, el error total de las muestras será igual al error total del sistema de adquisición y conversión más los errores añadidos por el ordenador o cualquier sistema digital.Para dispositivos incrementales, tales como motores paso a paso y conmutadores, el error medio de los datos muestreados no es tan importante como para los dispositivos que requieren señales de control continuas

El muestreo digital es uno de los procesos involucrados en la digitalización de las señales periódicas. Consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de la señal analógica. El intervalo entre muestras debe ser constante. El ritmo de este muestreo, llamado frecuencia o tasa de muestreo determina el número de muestras que se toma en un intervalo de tiempo.

El proceso de muestreo no debe ser confundido con el de cuantificación. A diferencia de éste, el muestreo es un proceso que la teoría describe como reversible, esto es, es posible reconstruir la señal en modo exacto a partir de sus muestras siempre que la señal esté limitada en banda y la tasa de muestreo cumpla el criterio de Nyquist.

En toda digitalización, al proceso de muestreo le sigue el de cuantificación

En la figura 1a se muestra un ejemplo de señal analógica periódica y en la figura 1b un ejemplo de muestreo con impulsos de ancho despreciable.

Obsérvese que el valor de las muestras de la figura 1b no han sido aún cuantificadas, esto es, pueden tomar cualquier valor analógico y seguir sin error a la señal original.

En esta situación (previa a la cuantificación) este es un proceso reversible: se puede pasar de las muestras de la figura 1b a la señal de la figura 1a sin pérdida alguna en un ciclo que se puede repetir indefinidamente.

MUESTREO

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de W h i t t a k e r - N y q u i s t -K o t e l n i k o v - S h a n n o n , criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones.

Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949.El teorema trata del muestreo, que como antes mencionamos, no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido).

Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas.

MUESTREO MUESTREO

De la propiedad de la multiplicación del teorema de convolución, sabemos que

La transformada de Fourier de un impulso periódico tren p (t) es también un tren de impulsos periódica en el dominio de la frecuencia.

Si w s , definida como 2π/T, donde T es el

periodo de muestreo, es mayor que

2w 1 , o : w s > 2w 1 donde 2w 1 es

la componente de más alta fre-cuencia presente en la señal en tiempo continuo x(t), entonces la señal x(t) se puede recon-struir completamente a partir de la señal muestreada x*(t) el espectro en frecuencia de la señal muestreada, este se pro-duce en un número infinito de veces y se atenúa en un factor

1/T

Esto en si es el teorema de muestreo por impulsos.

MUESTREO

La frecuencia de muestreo de una señal en un segundo es conocida como razón de muestreo medida en Hertz (Hz). 1 Hz = 1/seg

La razón de muestreo determina el rango de frecuencias [ANCHO DE BANDA] de un sistema.

Como ejemplo de audio digital se usan las siguientes razones de muestreo:

24,000 = 24 kHz - 24,000 muestras por segundo. Una muestra cada 1/24,000 de segundo.

30,000 = 30 kHz - 30,000 muestras por segundo. Una muestra cada 1/30,000 de segundo.

44,100 = 44.1 kHz - 44,100 muestras por segundo. Una muestra cada 1/44,000 de segundo.

8,000 = 48 kHz - 48,000 muestras por segundo. Una muestra cada 1/48,000 de segundo.

Una señal de audio muestreada a 48 KHz tiene una mejor calidad [el doble], que una señal muestreada a 24 KHz. Pero, una señal muestreada a 48 KHz, ocuparía el doble del ancho de banda que la de 24 KHz. Por lo que si queremos mayor calidad, lo perdemos en ancho de banda.

Cuando bajan archivos en Inter-net MP3 por ejemplo, éstos tienen diferentes calidades, un archivo MP3 de mejor calidad, ocupará mayor espacio en disco.

Teorema del Muestreo

MUESTREO MUESTREO

MUESTREOEJERCICIO:Se desea leer con un ADC a 8 bits de resolución una señal análoga que varia de 0 a 1.5Vdc.Seleccione VREF+ y VREF- para el ADC.

SOLUCIÓN:

Se deben revisar los 2 valores extremos que podrá tener la señal análoga de entrada. Vmínimo seria de 0V y Vmáximo seria de 1.5v. VREF- debería ser conectado a GND y VREF+ debería conectarse a un voltaje de 1.5V, pero se recomienda por protección subir este vol-taje a 1.6Vdc.

Ahora si predecimos cual seria el valor binario que re-presentaría laseñal análoga cuando este en su máximo valor obten-dríamos: Doutput =((Vinput+ - VREF-)/(VREF+ - VREF-))(n^2-1) =((1.5V - 0)/(1.6-0))(255) = 239.0625 Doutput= 240 base 10. Pasado a binario obtendríamos: Doutput=1111|0000 base 2. Cuando se usan microcontroladores con ADC interno, es común usar VREF- de GND y VREF+ de 5V que es el mismo VCC, esto para evitar el uso de regu-ladores especiales solo para el ADC. Si intentamos convertir a digital la misma señal del ejer-cicio anterior con estos datos de VREF+ y VREF-,encontraríamos que: Doutput=((Vinput+ - VREF-)/(VREF+ - VREF-))(n^2-1) = ((1.5V - 0)/(5-0))(255)=76.5 Doutput = 78 base 10. Pasado a binario obtendríamos: Doutput=1001110 base 2. De este resultado podemos recalcar que al máximo voltaje en la señal de entrada, solo se usarían 7 bits para representar la señal, mientras que el ADC es de 8 bits, lo que se puede llamar perdida de resolución.

MUESTREO

Este proceso se conoce como MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS. Esta se presenta como un modelo matemático único, es ficticio (Ideal), no existe en el mundo real

El espectro en frecuencia de la señal muestreada, este se produce en un número infinito de veces y se atenúa en un factor 1/T

Espectro en Frecuencia

Si w s , definida como 2π/T, donde T es el periodode muestreo, es mayor que 2w 1 , o :w s > 2w 1Donde 2w 1 es la componente de más alta frecuencia presente en la señal en tiempo continuo x(t), entonces la señal x(t) se puede reconstruir completamente a partir de la señal muestreada x*(t)

Teorema de Muestreo

El espectro en frecuencia de la señal muestreada, este se produce en un número infinito de veces y se atenúa en un factor 1/T

En forma grafica

Si la señal en tiempo continuo x (t) se muestra mediante impulsos en forma periódica, la señal muestreada se puede representar de una forma matemática

Muestreo Mediante Impulsos

RECONSTRUCCION

Será que es la reproducción del espectro de x(t)múltiplemente desplazado y atenuado en 1/T

En efecto, el espectro de frecuencias de x*(t) será

El teorema del muestreo afirma que x(t)puede ser recon-struida a partir de sus muestras x*(t)si se cumple que

Como se hablo anteriormente para una adecuada recon-strucción de señal así mismo como para una adecuada rep-resentación digital de la mis-ma se debe tomar en cuenta la velocidad de muestreo y en

si el Teorema o Criterios de Nyquist.

Para la reconstrucción de la señal a partir de la señal muestreada hay una fre-cuencia de muestreo mínima ω1que debe satisfacer la op-

eración de muestreo.

EL Hold1 presenta, pues may-or retardo que el Hold0, y no mejora mucho más su carac-terística magnitud, por tanto, los circuitos Hold0 son los más empleados en la prácti-ca siempre que el T esté bien

elegido.

Según el Teorema de muestreo para la reconstruc-ción de la señal a partir de la señal muestreada hay una fre-cuencia de muestreo mínima

ω1que debe satisfacer la operación de muestreo

RECONSTRUCCION

Por lo tanto se puede decir:

RECONSTRUCCION

RECONSTRUCCION

CONTROL DIGITALEn la época previa al auge y de-sarrollo de la automatización in-dustrial, en el campo de la regu-lación y control eran los operarios los que, manualmente, realizaban las modificaciones que su expe-riencia y buen criterio aconseja-ban, para mantener la variable de salida controlada, para alcanzar los resultados finales deseados.

Hoy en día, en las aplicaciones in-dustriales, se utilizan los ordena-dores como elemento de control.

El regulador o controlador con-stituye el elemento básico de un sistema de control, ya que deter-mina su comportamiento, condi-cionando la acción de los actua-dores en función de la señal de error obtenida.

CONTROLADOR ANALÓGICO, DIGITAL, HÍBRIDO, EL ORDENADOR COMO ELEMENTO DE CONTROL.

El tipo de control puede ser de tres tipos: analógico, digital e hí-brido en función del tipo de la señal que use el detector de error, en caso de ser un sistema en bu-cle cerrado, o en el regulador en caso de ser un sistema en bucle abierto. Vamos a ver cada uno:

* Controles o computadoresanalógicos: Las variables estánrepresentadas por ecuacionescon cantidades físicas continuas.El proceso directo de la señalanalógica está ligado al uso deamplificadores operacionales ysus propiedades.

Controladores o computadoresanalógico-digitales: Son los de-nominados controladores híbri-dos, los controles de funciona-miento más sofisticados suelen ser de este tipo, ya que es prob-able que tengan que procesar di-versas señales de ambos tipos.

VENTAJAS DE CONTROLADORESDIGITALES ANTES A LOS ANALÓGICOS

Las ventajas más significativas delos controladores digitales ante a los analógicos son:

* Los controladores digitales pu-eden realizar cálculos muy com-plejos a una velocidad muy alta y con el grado de exactitud que se necesite, con un coste relativa-mente reducido, mientras que en los analógicos el coste aumenta rápidamente ante la complejidad de los cálculos si se requiere unaelevada exactitud y no es posible alcanzar la misma velocidad de resolución.

* Los controladores digitales son mucho más versátiles, simple-mente cambiando el programa de aplicación, se pueden modifi-car absolutamente las operacio-nes a realizar.

En la actualidad la función de controlador dentro de un sistema de control suele desempeñarla un ordenador, porque presenta una serie de ventajas como son:

*POTENCIALIDAD: Realización de ac-ciones de control de elevada comple-jidad

*CONTROL MULTIVARIABLE: Es capaz de controlar simultáneamente varios procesos o varias variables de un mis-mo proceso.

*FLEXIBILIDAD: Fácil cambio de es-trategias de control, modificando o sustituyendo el programa.

*PRECISIÓN: Es capaz de presentar un margen de precisión tan fino como senecesite.

*INMUNIDAD: Al actuar con señales digitales, éstas son inmunes al ruido y a las distorsiones, pudiendo regenerarse en caso de ser necesario.

*VERSATILIDAD: Además de la propia función de control puede desempeñar otras simultáneamente, estadísticas, informes, emisión de alarmas

Tiene no obstante un grave inconve-niente y es que un fallo en el sistema paraliza todo el proceso, así como el que para controlar sistemas sencillos se necesita elementos de software y hard-ware sofisticados.

Otra desventaja significativa, es que a día de hoy el precio de este tipo de controladores es bastante superior alos controladores continuos.

CONTROL DIGITAL

En el esquema se puede observar el principio de func-ionamiento de un control digital directo, en el la señal controlada es captada por un transductor, posterior-mente se adecúa (S/H) y se convierte de analógica en digital (en el A/D), ya que el computador trabaja con este tipo de señales.

Una vez procesada la señal por el computador se vuelve a transformar de digital en analógica (en el D/A), se amplifica (el el H), sifuese necesario y se ataca con ella a la planta o pro-ceso a controlar, para tratar de conseguir que la señal de salida adquiera el valor deseado.