Ricardo Alonso Liarte IES Salvador Victoria

Proporciones notables en geometría

Ricardo Alonso Liarte

IES Salvador Victoria

TTM Zaragoza, mayo de 2015

Proporciones notables

en geometríaProporción

En Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto

de proporción es el segmento, dividiéndolo en dos partes. La proporción que

aparece es el resultado de dividir las longitudes de ambas.

Si construimos un rectángulo

en el que cada lado mida como

cada una de las partes en que

se divide el segmento,

tendremos entonces un

rectángulo con dicha proporción.




Dado un rectángulo de lados a y b, llamamos proporción ( o módulo) del

rectángulo al cociente entre el lado mayor y el lado menor.

En el caso de ser 1, estamos ante el cuadrado

),min(

),max(),(

ba

babap

1),( bap




Además

Es decir, la proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes.

0 ),(),( tbaptbtap



en geometríaCompás de proporciones

bq

a

p

b

a

q

p

Triángulos isósceles

semejantes



en geometríaTipos de proporciones

Hay dos tipos de proporción geométrica:

Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón

simple, expresable como dos múltiplos de una unidad ó módulo: 3/2, 5/3, 5/4



en geometría

Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón

inconmensurable.

Algunos ejemplos son los siguientes:

Tipos de proporciones

Proporción n

Proporción cordobesa

Proporciones metálicas



en geometríaProporción √n

Son fáciles de construir con regla y compás utilizando como base matemática

el teorema de Pitágoras



en geometríaProporción √n



en geometríaProporción raíz de 2

El caso más sencillo es el de raíz de 2, que representa la relación entre la

diagonal de un cuadrado y el lado del mismo.

1

12

…




¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?

x

1+x

1+x

1

1 2x

2x

xx44x2x42

)x2()x1()x1(

2

22

222

1.- Trazar BC=AB, perpendicular

2.- Buscar el punto E, EC=BC

3.- Hallar F: AE=AF




¿Cómo construir un rectángulo de estas proporciones?

1

12

x y

2

2

2

221

21

22)12(1

xy

x

La proporción es

22

2

22

1




COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL

12

2b b =




Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación

manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos

iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada.

Esto sucede también en cualquier rectángulo estático.




Sin embargo las dos mitades de un raíz de 2 tienen esta misma proporción.

a

1

a/22/a

1

1

a

12

a2

2a

2a2




La serie DIN-A ha normalizado los

formatos de papel a partir de un

rectángulo de un metro cuadrado de

superficie con sus lados en proporción

raíz de 2, que es el formato A0.

Dividiendo sucesivamente por la mitad

ese rectángulo se van obteniendo los

formatos A1, A2, A3, A4…

Imagen: Wikipedia




Para hallar las dimensiones hay que resolver:

ab

ba

2

1.

m189,122

2b

0,841m 2

1a

1a2

4

4

4

2




1

h

2

3h

4

3

4

11h2

Partiendo de un triángulo equilátero

1

3

1,7320508075…




3

1




¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?




¿Cómo construir un rectángulo de proporción raíz de 3?




Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los extremos de un segmento,

se traza la circunferencia que pasa por el otro extremo.




Vesica Piscis




Vesica Piscis. El rectángulo en el que se encuadra tiene proporción 3/2.

Se le llama también rectángulo egipcio




Vesica Piscis

Pantócrator de San Isidoro de León



en geometríaProporción cordobesa

Es la relación que existe entre el radio de la circunferencia circunscrita a

un octógono regular y el lado de éste.

Su valor es c = 1,306562964 …

Concretamente, su valor exacto es

'30º22cos.2

22

1




VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA

x

2

2

QCD y CPD son semejantes

OPC es isósceles

22

1

Lado

Radio

22x

22x

x2

21

2

x

2

1O




VALOR TRIGONOMÉTRICO DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA

x

2

2

1

El ángulo PCD mide 22º 30’

'30º22cos2

22

'30º22cos

x

1

Lado

Radio

'30º22cos2

2

x x

22

'30º22cos




CÓMO DIVIDIR UN SEGMENTO EN PROPORCIÓN CORDOBESA




CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO CORDOBÉS




Se llamó así al ser encontrado por primera vez en la geometría de la

Mezquita de Córdoba .

Mirab de la mezquita de Córdoba




Arco de la Defensa, París Arco de la Victoria, Madrid



en geometríaProporción de plata

13

x

x

1

2

2

2

1x

1xx 22

El lado del rectángulo sombreado es

212

221x21

También en el octógono regular de lado 1



en geometríaProporción de plata

13

El número de plata es 21

1 1

1

x 21x

21x

xx21

1

x2

x

1

2

Por tanto el lado mayor del rectángulo es 21

Si se extrae un cuadrado de un rectángulo raíz de dos, queda un rectángulo de plata



en geometríaProporción áurea

BAC BC

AC

AC

AB

El todo es a la parte, como la parte al resto

Si el segmento AC=x y el BC=1, entonces AB=x+1

01x x 1x x 1

x

x

1x 22




01x x 1x x 1

x

x

1x 22

Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo: 2

51

Cuyo valor aproximado es 1,61803…




¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?

Buscando la proporción en un segmento dado





2

1

1

15

2

15

4

)15(2

15

2




Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.





12

5

2

1




Otra forma

de

construirlo

Papiroflexia

1

1

1

Proporción áurea

AD = x

01xx

1xx

1x

1

1

x

2

2

Los triángulos ABD y AFB son

isósceles y semejantes

Es la relación entre la diagonal y

el lado de un pentágono regular


Proporción áurea





1

1x 1

El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado

posible, el rectángulo que queda es semejante al inicial.

1x

1

1

x

01xx2




¿Cómo comprobar que un rectángulo es áureo?




Repitiendo el proceso de quitar un cuadrado…

Taza gigante

volante con

anexo inexplicable

de cinco

metros de

longitud.

(1944-1945)

Salvador Dalí

(1904-1989)




Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso:

11

23

5

8

13

21




11

23

5

8

13

21

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...




11

23

5

8

13

21

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

1 : 1 = 1

2 : 1 = 2

3 : 2 = 1´5

5 : 3 = 1´66666666

8 : 5 = 1´6

13 : 8 = 1´625

21 :13 = 1´6153846....

34 :21 = 1´6190476....

55 :34 = 1´6176471....

89 :55 = 1´6181818....




11

23

5

8

13

21

Podemos construir rectángulos cuyos lados sean términos

consecutivos de la sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

... 55

8955

34

3421

2113

13 88 5




Calculamos áreas :

1

23

13

21

1

5

8

1

23

13

21

12 +12+22+32+52=40 8 x 5= 40




Calculamos áreas :

1

23

13

21

1

5

8

1

23

13

21

12 +12+22+32+52+82=104 13 x 8 = 104




Calculamos áreas :

1

23

13

21

1

5

8

1

23

13

21

12 +12+22+32+52+82+132=273 21 x 13 = 273




Calculamos áreas :

1

23

13

21

1

5

8

1

23

13

21

12 +12+22+32+52+82+132+212=714 34 x 21 = 714




Generalizando

1

23

13

21

1

5

8

1

23

13

21

F12 +F2

2+F32+…+Fn

2=Fn+1 x Fn



en geometríaPara terminar

Un cortometraje inspirado en números, la geometría sagrada y la naturaleza.

Realizado por Cristóbal Vila.

De Etérea Estudios

Zaragoza

http://www.youtube.com/watch?v=ME-bLr7mGL4

Secuencia Fibonacci y Proporcion �urea. La Geometria Sagrada.mp4






en geometríaBibliografía

- FERNÁNDEZ I., REYES E. Geometría del hexágono y el octógono.

Proyecto Sur de ediciones. Granada, 2003

- VVAA. Papiroflexia y Matemáticas, Revista 1, nº 53. Editorial Grao, 2010

- VVAA. La proporción: arte y matemáticas. Biblioteca de UNO. Editorial

Grao, 2009

- SKINNER S. Geometría Sagrada. Gaia Ediciones. Madrid, 2007

-CORBALÁN F. La proporción áurea. Colección El mundo es matemática.

RBA editores, 2010

-Sobre el video:

http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm

http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm

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