rigidez-Analisis Estructural
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ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA Fidel Copa P. 1 CAPITULO 2 2.0 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ESTRUCTURAL Una estructura puede subdividirse en elementos estructurales es decir, podemos desensamblarla y aislarla y por equilibrio estático podemos decir si una estructura se encuentra en equilibrio entonces cualquier parte de ella también lo esta. El método de rigidez esta basado en este principio básico por tanto un sistema estructural es el resultado de un proceso de ensamble de todos sus elementos estructurales los que a su vez están conectados en sus extremos por sus nudos y cuyos desplazamientos son compatibles. La matriz de rigidez de un miembro estructural no varía y es constante solo si la estructura tiene un comportamiento elástico, por ello se pueden encontrar todas las matrices de rigidez según los grados de libertad considerados en cualquier sistema de coordenadas globales y/o locales. 2.1 FUERZAS INTERNAS DE EXTREMO EN UNA ESTRUCTURA Si una estructura va a ser analizada por el método de rigidez, esta puede ser dividida en sub-estructuras mínimas, a las cuales denominaremos miembros estructurales. Por otro lado una estructura reticular puede estar compuesta por diversos tipos de miembros estructurales como son: vigas, columnas, muros de cortante, diagonales, etc., cuyos extremos están sujetos a fuerzas internas o esfuerzos ya que se ha dividido a la estructura en sub-estructuras, Entonces todos los miembros tienen fuerzas en sus extremos que son desconocidas pero estas pueden expresarse en función a su matriz de rigidez y de desplazamientos en sus grados de libertad (GDL). Entonces el equilibrio estático de la estructura nos proporciona un sistema de ecuaciones simultaneas cuyas incógnitas son los desplazamientos y al sumar las fuerzas de extremo estas se condensan al integrar todos los elementos de la estructura, debido a que estas son fuerzas internas en los nudos y que al establecer el equilibrio en todos los nudos la sumatoria debe ser igual a cero. Por otro lado los desplazamientos en los nudos rígidos son compatibles para todos los elementos que convergen al mismo nudo. Ensamblando la estructura miembro por miembro incluyendo los nudos encontramos la ecuación matricial de equilibrio y cuya matriz de rigidez de nudo de toda la estructura se extrae de los coeficientes del vector de desplazamientos y la matriz de carga se ensamblan rápidamente ya que las cargas son conocidas, En base a estas matrices se establece la ecuación de equilibrio de nudo total de la estructura, para posteriormente resolver el sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son los desplazamientos, una vez conocidos estos con ellos podemos encontrar para cada miembro estructural las fuerzas de extremo (ver Fig. 1 y 2). Fig. 1 Estructura ensamblada (completa) y codificada según sus miembros estructurales.
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Analisis Estructural
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ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 1
CAPITULO 2
2.0 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ESTRUCTURAL Una estructura puede subdividirse en elementos estructurales es decir, podemos desensamblarla y aislarla y por equilibrio
estático podemos decir si una estructura se encuentra en equilibrio entonces cualquier parte de ella también lo esta. El
método de rigidez esta basado en este principio básico por tanto un sistema estructural es el resultado de un proceso de
ensamble de todos sus elementos estructurales los que a su vez están conectados en sus extremos por sus nudos y cuyos
desplazamientos son compatibles. La matriz de rigidez de un miembro estructural no varía y es constante solo si la
estructura tiene un comportamiento elástico, por ello se pueden encontrar todas las matrices de rigidez según los grados
de libertad considerados en cualquier sistema de coordenadas globales y/o locales.
2.1 FUERZAS INTERNAS DE EXTREMO EN UNA ESTRUCTURA Si una estructura va a ser analizada por el método de rigidez, esta puede ser dividida en sub-estructuras mínimas, a las
cuales denominaremos miembros estructurales. Por otro lado una estructura reticular puede estar compuesta por diversos
tipos de miembros estructurales como son: vigas, columnas, muros de cortante, diagonales, etc., cuyos extremos están
sujetos a fuerzas internas o esfuerzos ya que se ha dividido a la estructura en sub-estructuras, Entonces todos los
miembros tienen fuerzas en sus extremos que son desconocidas pero estas pueden expresarse en función a su matriz de
rigidez y de desplazamientos en sus grados de libertad (GDL). Entonces el equilibrio estático de la estructura nos
proporciona un sistema de ecuaciones simultaneas cuyas incógnitas son los desplazamientos y al sumar las fuerzas de
extremo estas se condensan al integrar todos los elementos de la estructura, debido a que estas son fuerzas internas en
los nudos y que al establecer el equilibrio en todos los nudos la sumatoria debe ser igual a cero. Por otro lado los
desplazamientos en los nudos rígidos son compatibles para todos los elementos que convergen al mismo nudo. Ensamblando
la estructura miembro por miembro incluyendo los nudos encontramos la ecuación matricial de equilibrio y cuya matriz de
rigidez de nudo de toda la estructura se extrae de los coeficientes del vector de desplazamientos y la matriz de carga se
ensamblan rápidamente ya que las cargas son conocidas, En base a estas matrices se establece la ecuación de equilibrio de
nudo total de la estructura, para posteriormente resolver el sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son los
desplazamientos, una vez conocidos estos con ellos podemos encontrar para cada miembro estructural las fuerzas de
extremo (ver Fig. 1 y 2).
Fig. 1 Estructura ensamblada (completa) y codificada según sus miembros estructurales.
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 2
Fig. 2 Estructura desensamblada del pórtico de la fig. 1.
2.2 FUERZAS RESTAURADORAS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
Estas fuerzas restauradoras o elásticas de un elemento estructural son dependientes de la rigidez y de los
desplazamientos elemento estructural del material, la geometría y las características geométricas de la sección
transversal de dichos elementos estructurales e originan debido a desplazamientos en sus extremos, es decir, los
desplazamientos (DxJ, DyJ, DJ), que se producen en los nudos inducen fuerzas restauradoras que dependen del
material y la geometría de los miembros estructurales. Se consideran tres grados de libertad por nudo, puesto que
un miembro I ésimo tiene dos nudos extremos J y K, por lo tanto tenemos seis grados de libertad por miembro, si
no por nudo, ya que se presentan casos en que varios miembros estructurales tienen nudos comunes. Las fuerzas
elásticas o restauradoras en un miembro estructural se infieren debido a los desplazamientos que sufren sus
extremos. Dichas fuerzas dependen de la rigidez y de los desplazamientos y éstas se calculan aplicando el
principio de la superposición. Las fuerzas restauradoras de extremo se pueden calcular para cada grado de
libertad, aplicando desplazamientos exclusivos para cada grado de libertad, tal como se ilustra en la fig. 3 y
posteriormente se calcula el efecto (o fuerzas) que producen en la dirección de los grados de libertad
considerados. Y finalmente el efecto total se calcula por la superposición de los seis desplazamientos.
Fig. 3 Desplazamientos sucesivos en cada grado de libertad de un miembro estructural en coordenadas
locales.
En un miembro estructural cualquiera se inducen fuerzas internas en sus nudos extremos debido a los
desplazamientos en dichos nudos. Estos esfuerzos en los extremos se denominan vector de fuerzas restauradoras
o elásticas de un miembro estructural con nudos rígidos, cuya estructura matemáticas:
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 3
fxj
fyj
fj
fxk
fyk
fk
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12EI
L3
6EI
L2
0
12EI
L3
6EI
L2
0
6EI
L2
4EI
L
0
6EI
L3
2EI
L
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12EI
L3
6EI
L3
0
12EI
L3
6EI
L3
0
6EI
L2
2EI
L
0
6EI
L3
4EI
L2
dxj
dyj
dj
dxk
dyk
dk
Esta relación matricial puede particionarse en sub-matrices, según sus nudos extremos: J y K. Donde el
guión superpuesto sobre los vectores de: desplazamientos, fuerzas elásticas y la matriz de rigidez, nos indica que
están en un sistema de coordenadas es locales. Y el primer sub-índice de las fuerzas o desplazamientos representa
la dirección, que puede ser: "x", "y", "". Y el segundo sub-índice se refiere al código del nudo. El vector de
fuerzas restauradoras expresado en sub-matrices es:
(2)
Donde:
{IfJ}, {IfK} = fuerzas internas en los extremos de las barras nudas: J o K en coordenadas locales.
{IdJ}, {IdK} = desplazamientos en los nudos J o K en coordenadas locales.
[Ib ] = sub-matriz de 3x3 de rigidez del miembro I-ésimo en coordenadas locales.
La ecuación (2) en forma compacta, puede escribirse así:
{If} = [Ik] {Id} (3)
Donde:
{If} = vector de fuerzas elásticas en coordenadas locales del miembro i.
{Id} = vector de desplazamientos en coordenadas locales del miembro i.
[Ik] = matriz de rigidez en coordenadas locales del miembro i.
Fig. 4 Codificación de fuerzas y desplazamientos en coordenadas locales de un miembro estructural I-ésimo.
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 4
La matriz de rigidez de un miembro estructural I-ésimo en coordenadas locales expresada en sub-
matrices en función de los nudos conectivos J y K, es:
[IbJJ] [IbJK]
[Ik] = --------- ---------- (4)
[IbKJ] [IbKK]
2.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO ESTRUCTURAL EN COORDENADAS LOCALES CON TRES GRADOS DE LIBERTAD POR NUDO
La matriz de rigidez de un miembro en coordenadas locales, se obtiene, de la matriz coeficiente del
vector de desplazamientos, o en base a producir desplazamientos unitarios sucesivos exclusivamente para cada
grado de libertad, tal como se ilustra en la fig. 2. Para pórticos planos en el caso más general se consideran tres
grados de libertad por nudo, a saber: dos desplazamientos lineales en la dirección de los ejes x, y; y un
desplazamiento angular en la dirección .
2.3.1 Matriz de Rigidez de un miembro estructural, con los nudos extremos J y K rígidos: (Tipo de Miembro: MT=0)
K
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12EI
L3
6EI
L2
0
12EI
L3
6EI
L2
0
6EI
L2
4EI
L
0
6EI
L3
2EI
L
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12EI
L3
6EI
L3
0
12EI
L3
6EI
L3
0
6EI
L2
2EI
L
0
6EI
L3
4EI
L2
Esta matriz se ensambla para cada grado de libertad aplicando el principio de superposición se encuentra
el efecto total. Para una mejor ilustración se indican los grados de libertad en el encabezamiento de la matriz de
rigidez (ver Fig. 5).
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 5
Fig. 5 Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en sus extremos, para
un miembro con los nudos J y K rígidos.
2.3.2 Matriz de Rigidez para un miembro con articulación en el nudo J y rígido en el nudo K. La matriz de rigidez se obtiene por el principio de superposición cuya estructura matemática se muestra a continuación (Ver Fig. 6): (MT=1)
d
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3EI
L3
0
0
3EI
L3
3EI
L2
0
0
0
0
0
0
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3EI
L3
0
0
3EI
L3
3EI
L2
0
3EI
L2
0
0
3EI
L2
3EI
L
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 6
Fig. 6 Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en los extremos, para
un miembro con el nudo J articulado y el nudo K rígido.
2.3.3 Matriz de Rigidez para un miembro estructural, con el nudo J rígido y con articulación el nudo K articulado (Ver Fig. 7), (MT=2)
K
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3EI
L3
3EI
L2
0
3EI
L3
0
0
3EI
L2
3EI
L
0
3EI
L2
0
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3EI
L3
3EI
L2
0
3EI
L3
0
0
0
0
0
0
0
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 7
Fig. 7 Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en los extremos, para
un miembro con el nudo J rígido y con articulación en el nudo K.
2.3.4 Matriz de Rigidez de un miembro tipo armadura, (articulado en los nudos: J y K) aplicando el principio de superposición se obtiene la matriz de rigidez de miembro. Alternativamente también puede obtenerse haciendo EI=0, a la matriz de la ecuación (5), (MT=3):
K
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fig. 8 Desplazamientos unitarios en un miembro tipo armadura y el efecto que produce con los nudos: J y K articulados.
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 8
2.3.5 Matriz de Rigidez considerando la deformación por esfuerzo cortante. es decir, para los miembros tipo: muros de cortante. Esta matriz es usada para pórticos que
incluyen muros de cortante (Shear-Wall); y también viga de corte su estructura matemática en coordenadas
locales, es: (Ver Fig. 9, siendo el número de código MT=4)).
L
Fig. 9 Miembro estructural tipo muro de cortante o viga de corte.
K
s1
0
0
s1
0
0
0
s2
s3
0
s2
s3
0
s3
s5
0
s3
s4
s1
0
0
s1
0
0
0
s2
s3
0
s2
s3
0
s3
s4
0
s3
s5
Donde los parámetros son:
AE 6EI (4+)EI s1 = ---- s3 = ---------- s5 = -----------
L (1+)L2 (1+)L 12EI (2-)EI 12EI s2 = ----------- s4 = ---------- = -------------
(1+)L3 (1+)L L2GARW
ARW = Abruta / Ff
E = Módulo de elasticidad del material.
G = E/(2(1+v) (Módulo de rigidez).
v = Relación de Poisson (v=1/6 para el concreto).
Ff = Factor de forma por corte que depende de la sección transversal.
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 9
2.3.6 Matriz de Rigidez con zonas rígidas considerando la deformación por esfuerzo: cortante, axial y flexión (este caso se presenta en los pórticos con muros de cortante y/o en vigas de
corte, ver Fig. 9) Código: Member Type: MT=5
bLaL cL
Fig. 10 Miembro estructural que esta compuesto por extremos rígidos y zonas flexibles.
Matriz de Rigidez de un elemento con deformación por cortante y extremos rígidos
KLw1
1 i
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12 EI
c3
L3
12d
L2
EI
c3
6
c2
L2
0
12
c3
L3
12b
L2
c3
6
c2
L2
0
12d
L2
EI
c3
6
c2
L2
12d
L2
EI
c3
6
c2
L2
d L 6d
L c2
4
c L
0
12d
L2
c3
6
c2
L2
12b
L2
c3
6
c2
L2
d L 6b
L c2
2
c L
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12
c3
L3
12d
L2
c3
6
c2
L2
0
12
c3
L3
12b
L2
c3
6
c2
L2
0
12b
L2
c3
6
c2
L2
12d
L2
c3
6
c2
L2
b L 6d
L c2
2
c L
0
12b
L2
c3
6
c2
L2
12b
L2
c3
6
c2
L2
b L 6b
L c2
4
c L
expresando en forma paramétrica para un elemento i-ésimo, se tiene
W1i
Arwi
E
ci
Li
W2
i
12 E Ii
1 i ci L
i 3
KLwi
W1i
0
0
W1i
0
0
0
W2i
W3i
0
W2i
W4i
0
W3i
W6i
0
W3i
W5i
W1i
0
0
W1i
0
0
0
W2i
W3i
0
W2i
W4i
0
W4i
W5i
0
W4i
W7i
W3i
E Ii
1 i Li
2
6
ci
2
12 di
ci
3
W4i
E Ii
1 i Li
2
6
ci
2
12 bi
ci
3
W5i
E Ii
1 i Li
2 i
ci
6 di
6 bi
ci
2
12 bi
di
ci
3
i
12 E Ii
G Arwi
Li
2
W6i
E Ii
1 i Li
4 i
ci
12 di
ci
2
12 di
2
ci
3
W7i
E Ii
1 i Li
4 i
ci
12 bi
ci
2
12 bi
2
ci
3
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 10
3. CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO
3.1 ESFUERZOS DE EXTREMO, CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO Y CARGAS NODALES
Todas las estructuras están conformadas por elementos o miembros o barras estructurales que en un caso
general pueden estar sometidas a cargas aplicadas en los nudos (denominadas carga nodal), y cargas que actúan
sobre los miembros denominados por el método de rigidez cargas equivalentes de extremo o de empotramiento
perfecto.
El método de la rigidez se basa en una formulación generalizada de la matriz de rigidez de miembro en
coordenadas globales para los desplazamientos en los nudos y en la dirección que sea posible describir su
deformación y ello se demuestra con el procedimiento de flexibilidades o por el método de energía de
deformación que nos sirve para cualquier tipo de cargas. Por ello este método trabaja con los desplazamientos que
sufren los nudos y que son consideradas como incógnitas llamados grados de libertad (GDL). Puesto que
debemos establecer el equilibrio en los nudos de la estructura, por ello las cargas que actúan sobre el miembro 2
de la Fig. 11 por ejemplo deben transformarse a cargas equivalentes de extremo.
Fig. 11 Cargas en un nudo sobre un miembro de una estructura.
Las fuerzas internas de extremo de los miembros en coordenadas locales {If}se calculan en base a su
matriz de rigidez [Ik] por el desplazamiento de los nudos extremos {Id} y agregando las cargas equivalentes de
extremo fijo todos en coordenadas locales {IfF}, se calculan en base a las cargas en coordenadas locales. Por tanto
el vector de fuerzas de extremo esta dado por: (Ver Fig.12).
{If} = [Ik] {Id} + {IfF} (11)
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 11
Xm
K
J
X
Ym
Y
Fig. 12 Cargas equivalentes de extremo fijo en un sistema de coordenadas locales.
Donde:
{IfF} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas locales del miembro I-ésimo.
X
J
Ym
Y
Xm
K
Fig. 13 Fuerzas de extremo y desplazamientos de un miembro en un sistema de coordenadas locales.
4. TRANSFORMACION DE COORDENADAS de FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS
Un miembro estructural puede estar orientado en cualquier dirección. Se sabe también que los vectores
de fuerzas y desplazamientos tienen los mismos cosenos directores. Por tanto basta con calcular los cosenos
directores del miembro geométricamente y mediante una transformación de coordenadas por rotación de dichas
coordenadas locales obtenemos sus componentes en un sistema de coordenadas globales. (Ver Fig. 14)
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 12
xm
fxkfy
k.C
os
fxk
.Se
n
fk
k
fxk.Cosfyk.Sen
fxj
fxj.Cos
j
fyj.
Co
s
fxj.
Se
n
Xf
i
fyk
Y
ym
fyj.Sen
fyj
X J X K
Y J
Y K
Fig. 14a Transformación de fuerzas de extremo de un sistema de coordenadas de locales a globales.
de la Fig. 14a en base a las coordenadas calculamos la longitud del miembro I-ésimo, por Pitágoras:
LI = (xK - xJ)2 + (yK - yJ)
2 (12)
y sus cosenos directores: xK - xJ cx = cos I = ---------- (13)
LI
yK - yJ cy = sen I = ---------- (14) LI
4.1 Transformación de coordenadas del vector de fuerzas de un nudo cualquiera.- De la Fig. 14 para
un nudo cualquiera se obtienen las relaciones de transformación de coordenadas de fuerzas en coordenadas
locales a globales de una barra (mediante el álgebra vectorial de estática se logra esta transformación):
Fx = fxcx - fycy + 0
Fy = fxcy + fycx + 0 (15)
F = 0 + 0 + f
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial, tenemos:
Fx cx -cy 0 fx
Fy = cy cx 0 fy (16)
F 0 0 1 f
y en forma compacta la fuerza en un nudo se expresa con la submatriz de 3x3:
{F} = [A]T {f} (17)
4.2 Transformación de coordenadas del vector de fuerzas de un miembro I-ésimo,
que tiene los nudos conectivos: J y K, este vector se forma completando un arreglo matricial quedando la
siguiente expresión:
{IFJ} [IA]T {IfJ} + [0] {IfK}
------- = ---------------------------------- (18)
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 13
{IFK} [0] {IfJ} + [IA]T {IfK}
Factorizando los vectores de fuerzas locales de los nudos J y K, se obtiene:
{IFJ} [IA]T [0] {IfJ}
= (19)
{IFK} [0] [IA]T {IfK}
Expresando en forma compacta:
{IF} = [IR]T {IfJ} (20)
en donde la matriz [IR], representa a la matriz de transformación de coordenadas, cuya matriz tiene la
propiedad de ser una matriz ortogonal, esto sucede cuando su determinante es igual a la unidad y también
cuando la inversa de dicha matriz es igual a su transpuesta, es decir:
[IR]T = [IR]-1 (21)
de ello, podemos encontrar la siguiente transformación coordenadas globales a locales:
{If} = [IR] {IF} (22)
Donde:
cx cy 0 0 0 0
-cy cx 0 0 0 0
[IR] = 0 0 1 0 0 0 (23)
0 0 0 cx cy 0
0 0 0 -cy cx 0
0 0 0 0 0 1
k
j
X
Y
ym
X J X K
Y J
YK
xm
Fk
Fy
K
Fy
J
FxK
FxJ
FJ
Dy
K
DxKD
Dy
J
DxJD
Fig. 14b Fuerzas de extremo y desplazamientos de nudo no dependen del miembro en un sistema de coordenadas globales.
4.3 Transformación de coordenadas del vector de desplazamientos
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 14
para un miembro I-ésimo, análogamente al procedimiento descrito en la sección 4.1.2, se obtiene:
{ID} = [IR]T {Id} (24)
Despejando tenemos:
{Id} = [IR] {ID} (25)
4.4 Transformación de coordenadas locales del vector de fuerzas de empotramiento perfecto
a
un sistema de coordenadas globales de un miembro I-ésimo:
{IFF} = [IR]T {If
F} (26)
Donde:
{IfF} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas locales.
{IFF} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas globales.
4.5 Transformación del sistema de coordenadas locales del vector de fuerzas elásticas del miembro I-ésimo a
coordenadas globales. Sabemos que el vector de fuerzas restauradoras en coordenadas locales se encuentra con la
expresión matricial (ecs-1 y 4):
{If} = [Ik] {Id} (4)
Reemplazando el vector de fuerzas restauradoras a un sistema de coordenadas globales, se tiene
{IF} = [IR]T {If} = [IR]T [Ik] {Id} (27)
transformando el vector de desplazamientos a un sistema de coordenadas globales, la ecuación (27)
anterior, queda:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} = [IR]T [Ik] [IR] {ID} (28)
de donde la matriz coeficiente del vector {ID} es la matriz de rigidez del miembro I-ésimo en
coordenadas globales, esto es:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR] (29)
4.6 Transformación de coordenadas del vector de fuerzas de extremo de un miembro I en coordenadas locales a un sistema de coordenadas globales, la (ec-11) se encuentra con la siguiente expresión:
{If} = [Ik] {Id} + [IfF] (11)
transformando el sistema de coordenadas de este vector de fuerzas a un sistema de coordenadas globales,
reemplazando en la ec-11 en la ec-20 se tiene:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} + {IfF} (30)
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 15
efectuando el producto matricial, obtenemos:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} + [IR]T {IfF} (31)
Reemplazando por: {Id} = [IR] [ID] en la ecuación anterior, haciendo un arreglo, se tiene:
{IF} = ( [IR] T [Ik] [IR] ) {ID} + [IR]
T {If
F} (32)
en donde la matriz coeficiente del vector de desplazamiento {ID} representa a la matriz de rigidez de un
miembro en coordenadas globales, esto es:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR] (29)
y el vector de cargas de extremo equivalente en coordenadas globales es:
[IFF] = [IR]T [If
F]
de ello la ecuación (32) puede ser expresada así:
{IF} = [IK] {ID} + [IFF] (32)
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 16
4.7 Aplicación de la transformación.
Ejemplo 1. Encontrar la matriz de rigidez de una columna para un sistema de coordenadas globales,
sabemos que la dirección de una columna es = 90°; y la matriz de rigidez en coordenadas globales se encuentra
con la transformación:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR]
Y la matriz de rigidez de un miembro estructural en coordenadas locales puede expresarse, así:
a1 0 0 -a1 0 0
0 a2 a3 0 -a2 a3
[IR] = 0 a3 2a4 0 -a3 a4
-a1 0 0 a1 0 0
0 -a2 -a3 0 a2 -a3
0 a3 a4 0 -a3 2a4
donde:
a1 = AE/L, a2 = 12EI/L3 a3 = 6EI/L2 a4 = 2EI/L
Y la matriz de transformación dada en la ecuación (23), para: =90° tenemos que, cx=0, cy=1, será,
reemplazando, se obtiene:
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
[IR] = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Efectuando el triple producto matricial, obtenemos la matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales:
a2 0 -a3 -a2 0 -a3
0 a1 0 0 -a1 0
[IK] = [IR]T [IK] [IR] = -a3 0 2a4 a3 0 a4
-a2 0 a3 a2 0 a3
0 -a1 0 0 a1 0
-a3 0 a4 a3 0 2a4
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
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5. EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURA
5.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE NUDOS DE LA ESTRUCTURA
Una estructura plana de “NJ” nudos que está en equilibrio estático, tiene tres ecuaciones de equilibrio por
nudo, por lo tanto tenemos: 3 NJ ecuaciones de equilibrio de la estructura. Y en cada miembro estructural actúan
seis fuerzas, tres por cada nudo. La magnitud de dichas fuerzas depende de las rigideces de los miembros
estructurales, de las cargas en los nudos y de las cargas equivalentes de extremo fijo. En consecuencia, puesto
que la estructura está en equilibrio, la suma de las fuerzas en un nudo debe ser igual a cero.
Con estas ecuaciones de nudo se ensambla la matriz de rigidez del nudo total y los coeficientes en sub-
matrices del vector de desplazamientos se suman.
Sea S un nudo S-ésimo cualquiera, al ser aislado de la estructura dicho nudo también debe estar en
equilibrio, es decir, la resultante de la sumatoria de las fuerzas totales que llegan a este nudo; transmitidas por los
extremos de los miembros en sentido contrario más las cargas nodales debe ser igual a cero.
Fig. 15 Equilibrio de la estructura se da en todos sus nudos.
El vector de fuerzas de extremo de un miembro en coordenadas globales, expresado en sub-matrices, es:
{IFJ} [IBJJ] [IBJK] {DJ} {IFF
J}
------- = ---------------- ------- + ------- (33)
{IFJ} [IBKJ] [IBKK] {DK} {IFF
K}
Es importante notar que el desplazamiento de los nudos no depende del sub índice I que representa el
código de miembro debido a ello se ha obviado este sub índice puesto que puede existir varios miembros con un
mismo nudo en común. Luego efectuando el producto matricial en sub-matrices de la ecuación (33) se obtienen
los vectores de fuerzas de extremo en los nudos J y K:
{IFJ} = [IBJJ] {DJ} + [IBJK] {DK} + {IFF
J} (34)
{IFK} = [IBKJ] {DJ} + [IBKK] {DK} + {IFF
K} (35)
Con estos vectores de fuerzas de extremo por nudo se establecen las ecuaciones de equilibrio de un nudo
cualquiera enésimo, es decir: (n = J ó K)
NB NB
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Fidel Copa P. 18
- {IFn} + {FNn} = {0} (36)
n=1 n=1
donde:
{FNn} = Vector fuerzas del nudo enésimo (3x1).
{IFJ}, {IFK} = Vectores de fuerzas de extremos de los nudos: J y K, del miembro I-ésimo. (3x1)
NB = Número de miembros conectivos al nudo enésimo.
Con la ecuación (34), se ensambla la matriz de rigidez de nudo total [K] separando los coeficientes de
rigidez, cargas y desplazamientos mediante un arreglo matricial, se obtiene la ecuación matricial de equilibrio de
nudo:
-[K] {D} - {FF} + {FN} = {0} (37)
donde:
[K] = matriz de rigidez de total de la estructura.
{D} = vector de desplazamientos en los GDL.
{FF} = vector de cargas equivalentes de extremo fijo de toda la estructura.
{FN} = vector de fuerzas nodal.
La ecuación matricial de equilibrio de nudo total, puede particionarse en función de los grados de
libertad. Ya que los vectores de desplazamientos en los GDL son desconocidos y sabemos que los
desplazamientos de los nudos restringidos son nulos. Por ello, planteamos las ecuaciones de equilibrio en sub-
matrices en función de los desplazamientos según los GDL y los grados restringidos, así:
[KUU] [KUR] {DU} {FFU} {FN
U} {0}
- ----------------- ------- - ------- + -------- = ----- (38)
[KRU] [KRR] {DR} {FFR} {FN
R} {0}
donde:
{DU} = vector de desplazamientos de los nudos libres.
{DR} = vector de desplazamientos de los nudos restringidos.
{FFU} = vector de fuerzas de empotramientos de los nudos libres.
{FFR} = vector de fuerzas de empotramientos de los nudos restringidos.
{FNU} = vector de cargas en los nudos libres.
{FNR} = vector de cargas en los nudos restringidos o vector de reacciones.
Los grados restringidos con subíndice “u” son desplazamientos conocidos, es decir, son nulos,
reemplazando {DR} = {0} efectuando el producto en sub matrices:
- [KUU] {DU} - {FFU} + {FN
U} = {0} (39)
- [KRU] {DU} - {FFR} + {FN
R} = {0} (40)
de la ecuación (39) despejamos el vector de desplazamientos de nudos libres:
{DU} = [KUU]-1 (-{FFU} + {FN
U} ) (41)
y el vector de reacciones o de fuerzas restringidas se encuentra con la ecuación (40):
{FNR} = [KRU] {DU} + {FF
R} (42)
