Rm 2grado Sec

I.E.RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2º GRADO

5

PLANTEO DE ECUACIONES

SUCESIONES

Plantear y resolver situaciones problemáticas correctamente interpretando, simbolizando y transformando el lenguaje literal al lenguaje matemático y viceversa a través de planteo de ecuaciones

(Palabras) (Constantes y

Variables)

Plantear una ecuación es:

_______________________________

________________________________

________________________________

________________________________

FORMA VERBAL FORMA

SIMBÓLICA

La edad de Hugo

El doble de un número

El doble de un número,

aumentado en su mitad

El doble, de un número

aumentado en su mitad

El doble de un número,

aumentado en un medio

“N” veces tu edad

Tres números enteros

consecutivos

Tres números pares

consecutivos

Tres números impares

consecutivos

“A” es dos veces más

que “B”

¿Qué parte de A es B?

¿Cuántas veces es 20

mayor que 5 ?

El quíntuplo, de mi

dinero disminuido en su

mitad

TALLER Nº 01

1. El cuádruplo de un número aumentado en 16

es igual a 96. Dicho número es:

a) 40 b) 10 c) 20

d) 60 e) N.A.

2. El triple de un número aumentado en el

quíntuplo de dicho número es 2808. Luego el

número es:

a) 251 b) 821 c) 321

d) 351 e) N.A.

3. El número que excede a 84 tanto como es

excedido por 260 es:

a) 172 b) 160 c) 140

d) 136 e) 194

Aprendizaje esperado

¿QUE ES

PLANTEAR

UNA

ECUACIÓN?

FORMA

VERBAL

FORMA

MATEMÁTICA

PLANTEO


6

4. El dinero que tiene Fabricio, aumentado en

sus 7/12 es igual a 760. Lo que tenía Fabricio

es:

a) 200 b) 300 c) 380

d) 430 e) 480

5. El número que disminuido en sus 5/8 nos da

240 es:

a) 600 b) 530 c) 800

d) 640 e) 960

6. La suma de 5 números consecutivos es 60. El

mayor de estos números es :

a) 16 b) 10 c) 15

d) 12 e) 14

7. La suma de tres números pares consecutivos

es 60. El menor número es:

a) 18 b) 20 c) 16

d) 2 e) 14

8. Un niño tenía s/ 85 soles, si gastó el

cuádruplo de lo que no gastó. Lo que gastó es:

a) 34 soles b) 92 c) 96

d) 68 e) 74

9. Betty tiene el triple que Ana y Carmen s/. 6

más que Betty. Sí entre las tres tienen s/.

62. Luego la cantidad de soles que tiene

Carmen es:

a) 30 b) 8 c) 24

d) 36 e) 32

10. En un corral el número de gallos es el

cuádruplo del número de gallinas, si se venden

4 gallos y 4 gallinas, entonces el número de

gallos es 6 veces el número de gallinas. Las

aves que habían inicialmente son:

a) 33 b) 63 c) 40

d) 50 e) 95

11. En una caja registradora hay 2400, en

billetes de 10 soles y 100 soles. Si hay doble

número de las primeras que de las segundas.

los billetes de 10 soles son:

a) 20 b) 60 c) 30

d) 10 e) 40

12. Una yuca pesa 8 Kg. Más media yuca. Luego

yuca y media pesa :

a) 16 b) 32 c) 24

d) 48 e) 12

13. Entre cerdos y gallinas que tengo cuento 86

cabezas y 246 patas. Los cerdos son:

a) 25 b) 38 c) 37

d) 43 e) 54

14. Si ganara s/. 880 tendría 9 veces lo que me

quedaría si perdiera s/. 40. Lo que tengo es:

a) 120 b) 400 c) 260

d) 155 e) 180

15. Una madre tiene 40 años y su hijo 10. Los

años que deben transcurrir para que la edad

de la madre sea el triple del hijo son:

a) 5 b) 10 c) 20 d)12 e) 18

16. Me falta para tener 486 soles el doblé de lo

que me falta para tener 384 soles. Lo que

tengo es:

a) 300 b) 184 c) 292

d) 164 e) 196

17. César y Ana pesan juntos 125 Kg. La

diferencia entre 2 veces el peso de Ana y

tres veces el peso de César es 45Kg. Luego

los kilogramos que tiene César es:

a) 84 b) 41 c) 53

d) 49 e) 45

18. Andrea cortó una soga de 79m de largo en 2

partes, la parte mayor tiene 21 metros más

que la parte menor. La longitud de la parte

mayor es:

a) 29 b) 49 c) 59

d) 39 e) N.A.

19. Cincuenta y seis galletas han de servir de

comida a diez animales; cada animal es un

perro y un gato, cada perro ha de obtener

seis galletas y cada gato cinco galletas. La

cantidad de perros que hay es

a) 4 b) 6 c) 5

d) 10 e) 12


7

COM PARACIÓN DE MAGNITUDES

Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando las diversas comparaciones de magnitudes proporcionales

MAGNITUD

“ES TODO QUE PUEDE SER MEDIDO

CON CIERTA EXACTITUD”

Ejemplo:

Tiempo, velocidad, peso, edad, etc.

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Dos o más magnitudes serán

proporcionales si son dependientes

entre ellos, es decir, si una de ellas

varía, la otra también varía.

CLASES DE MAGNITUDES

Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.)

Dos magnitudes “A” y “B” son

directamente proporcionales (D.P.),

cuando el cociente entre ellas es

constante.

Esto es cuando una de ellas se duplica,

triplica cuadruplica, etc. la otra se hace

el doble, triple, cuádruple, etc.,

respectivamente.

Es decir:

A D.P. B B

A= K (constante)

Se denota:

A D.P. B

A B

Ejemplo:

Pedro compra azúcar a S/. 2 Soles el

Kilogramo, entonces:

Si comprase:

2 Kg el costo sería S/. 4



A mayor peso (azúcar) mayor costo y

viceversa a menor peso menor costo.

NNoo ssoonn mmaaggnniittuuddeess:: eell ooddiioo,, eell

aammoorr,, llaa aalleeggrrííaa,, eettcc..,, ppoorrqquuéé

__________________________________

____________________________________________

____________________________________________

__

LLaa vvaarriiaacciióónn ddee llooss mmaaggnniittuuddeess

ppuueeddee sseerr ____________________________

______________________ oo __________________

____________________________________________

Se lee: “A” es directamente

proporcional a “B”.

(+) (+)



8

Gráficamente:

K..................2

4

4

8

10

20

Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.)

Dos magnitudes “A” y “B” son

inversamente proporcionales (I.P.), si el

producto de sus valores

correspondientes es constante.

Esto es cuando una de ellas se duplica,

triplica cuadruplica, etc. la otra se hace

la mitad, la tercera parte, la cuarta

parte, etc. respectivamente.

Es decir:

A I.P. B A x B = K (constante)

Se denota:

A I.P. B

A 1/ B

Ejemplo:

Manuel viaja todos los días de su casa

al trabajo; si lo hace.

SI viajase:

a 20 Km/h se tardaría 4 horas

a 40 Km/h se tardaría 2 horas

a 80 Km/h se tardaría 1 hora

a 160 Km/h se tardaría 0,5 hora

A mayor velocidad menor será el

tiempo de viaje y viceversa a menor

menor velocidad mayor será el tiempo

de viaje.

Gráficamente:

20 x 4 = 40 x 2 = 80 x 1 = 160 x 2

1 = ……… = K

2 4 10

4

8

20

Precio

Peso

Se lee: “A” es inversamente

proporcional a “B”.

(+) ()

LLaa ggrraaffiiccaa ddee ddooss mmaaggnniittuuddeess

iinnvveerrssaammeennttee pprrooppoorrcciioonnaalleess

ssiieemmpprree eess ____________________________

____________________________________________

KB

A

0,5

80

160

Velocidad (Km/h)

Tiempo (Horas)

40

20

1 2 4

A x B = K


9

TALLER Nº 02

1. Indicar en cada caso si son magnitudes

directamente o inversamente

proporcionales.

a) Velocidad ................................. Tiempo

b) Precio ....................................... Peso

c) Tiempo ...................................... Obra

2. Indicar en cada caso si son magnitudes

directamente o inversamente

proporcionales.

a) Obreros ................................... Tiempo

b) Obreros ................................... Obra

c) Obreros ................................... Dificultad

d) Eficacia .................................... Tiempo

3. A es directamente proporcional a B.

Complete el siguiente cuadro.

A 16 32 8 20

B 4 12 36 20

4. A es directamente proporcional a B

complete el siguiente cuadro.

A 40 400 800 1600

B 5 10 20 125

5. Si: “P” y “Q” son inversamente

proporcional complete el siguiente

cuadro.

P 10 5 20 15

Q 6 30 2

6. Si: “M” y “N” son inversamente

proporcional completa el siguiente

cuadro:

M 4 250 100 150 200

N 250 10

7. Dadas las magnitudes velocidad de un

móvil y el tiempo que demora en recorrer

un mismo tramo.

Completa el cuadro:

Velocidad 20 40 60 10

Tiempo 12 60

8. Dados las magnitudes “números de sillas”

y tiempo de su fabricación, completa el

cuadro.

Obra 40 80 8

Tiempo 5 2 3 7

9. Si: “A” y “B” son magnitudes

proporcionales representadas en el

siguiente gráfico:

Calcular: “a + b”

a) 8 b) 10 c) 12

d) 14 e) 18

10. Si: “A” y “B” son magnitudes

proporcionales representadas en el

siguiente gráfico.

b 3 5 8

4

6

a


10

Calcular: “a - b”

a) 12 b) 18 c) 24

d) 37 e) 48

11. Si: A es I.P. a B y cuando A = 24; B = 8.

¿Cuánto valdrá A cuando B = 16?

a) 12 b) 18 c) 24

d) 48 e) 96

12. Si: A es D.P. a B y cuando A = 6; B = 4.

¿Cuánto valdrá A cuando B = 9?

a) 6 b) 9 c) 18

d) 24 e) 36

13. Si: 3

A es I.P. a B2 cuando A = 8; B = 2.

Calcular el valor de B cuando A = 1.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

14. Si: A es D.P. a B4 cuando A = 48; B = 2.

Calcular A cuando B = 3.

a) 243 b) 81 c) 27

d) 9 e) 3

15. “P” varía inversamente proporcional a “T”

cuando P = 125 entonces T = 48. Hallar

“T” cuando P = 300.

a) 5 b) 15 c) 20

d) 25 e) 50

16. El precio de un diamante es D.P. al

cuadrado de su peso. Si un diamante que

pesa 80 gramos cuesta $ 3 200. ¿Cuánto

valdrá otro diamante de 100 gramos de

peso?

a) $1 000 b) $ 2 000 c)$3 000

d) $ 4 000 e) $ 5 000

17. El precio de un diamante es proporcional a su

peso. Si un diamante de 4 quilates vale $ 1

280. El peso expresado en quilates de un

diamante que vale $ 3 840 es:

a) 3 b) 6 c) 9

d) 12 e) 15

18. Si: A es D.P. a B2 y cuando “A” es 16, B =

2. Calcular A cuando B = 8.

a) 256 b) 128 c) 32

d) 64 e) N.A.

19. Escribir correctamente las siguientes

relaciones:

a) A es I.P. a B2

b) A2 es D.P. a B

c) A2 es D.P.

d) A es D.P. a B e I.P. a C

e) A D.P. a M y N

f) M es I.P. a N2 y M D.P. a R

g) C2 I.P. A y a B

8 16 24

b

a

36

A

B

K


11

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

MAGNITUDES

Potenciar y desarrollar las habilidades y destreza operativas; así como las capacidades inductivas - deductivas en el estudiante como parte del desarrollo de un pensamiento lógico matemático capaz de resolver con éxito situaciones problemáticas que se presenten.

Veamos con un ejemplo

FABRICIO hizo 320 patadas en tan sólo 10

minutos ¡Lo máximo!

Entonces : ¿Cuántas patadas hizo en 1 minuto?

......................................... ¡Correcto!

lo determinamos así:

450

10 min

patadas

utos = 45

min

patadas

uto

ó 45 patadas en 1 minuto

Hemos reducido a la unidad.

Veamos con otro ejemplo

Bryan termina 1 torta en 20 minutos y Renzo

termina 1 torta (la misma) en 30 minutos

¿Cuánto consumirán en 1 minuto?

OBSERVA

Bryan : min20

torta1 =

201 torta en 1 min.

Renzo : min30

torta1 =

301 torta en 1 min.

JUNTOS : 201 torta +

301 torta =

605 en 1 min.

= 121 en 1 min.

Ahora:

¿Qué tiempo tardarán en consumir toda la

torta juntos

ANALIZAMOS JUNTOS

Si, 201 de la torta se consume en 1 min. toda

la torta se consumirá en .................................

minutos.

Si, 301 de la torta se consume en 1 min. toda la

torta se consumirá en .................................

minutos.

Entonces, solo se

invierte!

Esto quiere decir que

Bryan y Renzo tardan

en consumir

........................ minutos.

TALLER Nº 03

1. José demora 10 segundos en tomarse un vaso de agua. En un segundo tomó:

a) 41 b)

21 c)

51

d) 101 e)

201

¡SE INVIERTE!



12

2. Una señora demora 20 min, en lustrar el piso de su sala. En 1min lustró:

a) 51 b)

101 c)

201

d) 151 e)

21

3. Un caño llena un depósito en 7 min. La parte

del depósito que llena en 1 min es:

a) 21 b)

31 c)

51

d) 61 e)

71

4. Un obrero demora 8 días en abrir una zanja.

La parte de la zanja que abrió en 2 días es:

a) 21 b)

41 c)

81

d) 161 e)

51

5. Antonio demora 4 min. en resolver un

problema. En dos minutos resolvió :

a) 21 b)

31 c)

41

d) 51 e)

61

6. Una secretaria demora 24 min. en escribir

una página. La parte de la página que escribió en 2 min es:

a) 41 b)

61 c)

121

d) 81 e)

101

7. Un cocinera demora 26 min. en preparar

cierta comida. En 2minutos prepara:

a) 21 b)

131 c)

261

d) 41 e)

51

8. Mediante un cierto mecanismo, una piscina

puede ser vaciada en 20 horas. La parte de la piscina que se vacía en una hora es:

a) 31 b)

61 c)

101

d) 201 e)

301

9. En 1 min. un caño llenó 1/20 de un depósito.

Luego todo el depósito se llenará en:

a) 20’ b) 15’ c) 10’

d) 12’ e) 8’

10. Eduardo pintó 1/4 de casa en un día. El

tiempo qué pintará toda la casa es:

a) 10 días b) 8 c) 5

d) 4 e) 2

11. Un albañil construye 1/15 de un edificio en

un día. El tiempo en que construirá todo un

edificio es:

a) 10 días b) 15días c) 20 días

d) días 5 e) días 30

12. Un caño “A” llena un depósito en 3 min. y

otro caño “B” llenaría el depósito en 6 min.

Los dos caños en 1 minuto la parte que

llenarían es:

a) 21 b)

31 c)

41

d) 61 e)

81

13. Un depósito se vacía mediante cierto

dispositivo en 2 horas, mediante otro

dispositivo en 4 horas. La parte que

vaciarán los dos dispositivos

simultáneamente en 1 hora es:

a) 21 b)

31 c)

41

d) 34 e)

43

14. De los tres caños que fluyen a un estanque uno

de ellos lo puede llenar solo en 2 horas, otro en

3 horas y el otro en 4 horas. Abriendo los tres

caños a la vez. El tiempo que se llenará todo el

estanque es:

a) 1h b) 135 c)

137

d) 1312 e)

1315


13

PROBLEMAS SOBRE TANTO POR CUANTO

MAGNITUDES

El TANTO POR CIENTO

Plantear y resolver situaciones problemáticas sobre tanto por cuanto y variaciones porcentuales usando definiciones y técnicas operativas apropiadas.

Es la centésima parte tomada de una cantidad

Ejemplo:

20% x 15 = 100

20 x 15

20 centésimos tomados de 15.

40% x 20 = 100

40 x 70

40 centésimos tomados de 70.

NOMENCLATURA

PP%% NN == RR

P = Porcentaje

N = Número

R = Resultado

CASOS BÁSICOS

I. Cuando me dan el porcentaje y el número

y me piden el resultado.

PP%% NN == xx

Ejemplo:

Hallar el 20% de 300.

_______________________________

_______________________________

II. Cuando se da el porcentaje el resultado y

se pide el número.

PP%% xx == RR

Ejemplo:

El 20% de qué número es 30.

____________________________

III. Cuando se da el número y el resultado y

se pide el porcentaje.

xx%% NN == RR

Ejemplo:

¿Qué porcentaje de 300 es 60?

____________________________

____________________________

OPERACIONES CON PORCENTAJES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Solo se puede sumar o restar porcentajes,

siempre y cuando los números sean iguales.

Ejemplo:

10%A + 70%A = 80%A

100%B – 40%B = 60%B

28%C + C = __________

M – 30%M = __________



14

AUMENTOS SUCESIVOS

Ejemplo: 1

A qué único aumento equivalen dos

sucesivos del 10% y 20%.

RReessoolluucciióónn

A que único aumento equivalen dos

sucesivos del 20% y 20%.


DESCUENTOS SUCESIVOS

Ejemplo: 1

A que único descuento equivalen dos

descuentos sucesivos del 20% más 20%.


A qué único descuento equivalen dos

descuentos sucesivos del 30% y 40%.


TALLER Nº 4

1. Un comerciante compró una bicicleta a S/. 120

soles y la vendió ganando el 20% del costo.

Luego la vendió en:

a) S/. 125 b) S/. 144 c)S/. 175

d) S/. 180 e) S/. 212

2. Es la respuesta correcta a la pregunta:


a) 10% b) 7% c) 4%

d) 3% e) 5%



a) 15% b) 10% c) 50%

d) 20% e) 30%


¿Qué porcentaje de 0,36 es 0,0072?

a) 3% b) 5% c) 2%

d) 8% e) 10%


¿Qué porcentaje es 13 de 52?

a) 10% b) 20% c) 25%

d) 30% e) 35%

6. De 200 melones, 80 resultaron en mal

estado. El porcentaje de los 200 que

están buenos para la venta es:

a) 20% b) 30% c) 60%

d) 10% e) 15%


15

7. Si Manuel tuviera el 25% más de la

edad que tiene, tendría 65 años. Luego

los años que tuvo hace 4 años es:

a) 50 b) 52 c) 48

d) 28 e) 45

8. Jaime reparte su fortuna de la

siguiente manera: a Rosa le da el 28%

de la fortuna, a María el 32% y a Fidel

los 160 soles restantes. La fortuna fue

de:

a) S/. 380 b) S/. 800 c)S/. 200

d) S/. 500 e) S/. 400

9. Al comprar una grabadora en la tienda

de mi amigo me hace un descuento del

15% costándome así 170 Soles. Luego lo

que le costaría a otra persona que no

es su amigo sería:

a) S/. 200 b) S/. 400 c)S/. 250

d) S/. 280 e) S/. 300

10. De 460 frutas, 115 son papayas. El

porcentaje de las frutas que no son

papayas es :

a) 20% b) 45% c) 75%

d) 80% e) 70%

11. El 15% de 60% de 1 200 es:

a) 9 b) 128 c) 108

d) 205 e) 36

12. El 20% del 30% del 60% de 9 000 es:

a) 400 b) 9 c) 324

d) 415 e) 36

13. El 80% de 75% de 100% de 30 es:

a) 27 b) 15 c) 18

d) 45 e) 72

14. El 50% del 20% del 100% de 30 es:

a) 40 b) 50 c) 60

d) 70 e) 80

15. El 200% de 2% del 4% de 180 000 es:

a) 20 b) 250 c) 288

d) 40 e) 80

16. Dos descuentos sucesivos del 20% y

40% equivalen a un descuento único de:

a) 60% b) 52% c) 48%

d) 50% e) 30%

17. Dos aumentos sucesivos del 10% y el

20% equivalen a un único aumento de:

a) 30% b) 31% c) 32%

d) 33% e) 34%

18. Si el dinero que tengo aumenta en 20%

y luego gasto el 20% del nuevo monto.

Si al inicio tenía 200 Soles, lo que perdí

es:

a) S/. 15 b) S/. 30 c) S/. 6

d) S/. 8 e) S/. 12

19. Si gano 40% del dinero que tengo y

luego gasto el 20%. Si al inicio tenía

400 Soles lo que gano al final es:

a) 20 b) 45 c) 24

d) 48 e) 72

20. En una reunión el 40% de las personas

son hombres; si hay 180 mujeres, los

hombres son :

a) 150 b) 100 c) 250

d) 50 e) 25

21. El 22% de 75% de 32% de 11

250 es:

a) 6/5 b) 4/3 c) 2/9

d) 3/11 e) 8/11


16

APTITUD GEOMÉTRICA: (ÁREAS Y REGIONES)

Potenciar y desarrollar las habilidades y destreza operativas; así como las capacidades inductivas en el estudiante como parte del desarrollo de un pensamiento lógico matemático capaz de resolver con éxito situaciones problemáticas relacionadas con elementos geométricos que se presenten

FÓRMULAS PRINCIPALES

Área de un Cuadrado

S = L2

S = 2

D2

Área de un Rectángulo

S = bh

Área de un Triángulo

S = 2

h.b

Área de una región triangular

Equilátera.

S = 4

3L2

S = 3

3h2

Área de una región trapezoidal

S = h2

bB

Área de una región romboidal

S = 2

dxD

Área de un Círculo

S = r2

Área de un Sector Circular

S = º360

ºr2


L

L L

L

b

h

L

h

b

h

L L

D

h

b

B

D

d

r

r

r


17

TALLER Nº 5

1. El perímetro de la figura expresado en

metros es:

a) 24

b) 52

c) 48

d) 34

e) 36

2. Si los triángulos ABC, DEF y PQR son

equiláteros. Además el lado del triángulo ABC

es 8, entonces la suma de los perímetros de

los triángulos ABC, DEF y PQR es:

a) 36

b) 56

c) 42

d) 40

e) 64

3. En un tablero de ajedrez de lado 8. Luego el

perímetro de todos los casilleros negros es:

a) 96 b) 32 c) 64

d) 114 e) 128

4. El perímetro de la siguiente figura expresado

en metros es:

a) 15

b) 16

c) 30

d) 32

e) 36

5. El perímetro de la siguiente figura expresado

en metros es:

a) 20

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

6. El perímetro de la región sombreada

expresado en metros lineales es:

a) 33

b) 50

c) 52

d) 53

e) 54

7. El valor de “X” es:

a) 30°

b) 45°

c) 120°

d) 60°

e) 150°

8. El valor de “” es:

a) 10°

b) 15°

c) 20°

d) 12°

e) 18°

9. En la figura, el valor de “x” es:

a) 40° c) 60° e) 80°

b) 50º d) 70º

3

2

2

4

2 2

2

2

10 3

2

4

D

B C

A

E

F

P

Q R

100°

120°

50°

30°

x

60°

50°

40°

x

12

5 16

60°


18

10. En la figura, el valor de “x” es:

a) 30°

b) 50°

c) 60°

d) 70°

e) 80°

11. El valor de “x” es:

a) 30°

b) 35°

c) 40°

d) 36°

e) 25°

12. El valor de “X” en la figura es:

a) 30°

b) 45°

c) 36°

d) 32°

e) 40°

13. si área del rectángulo es 168 m2, entonces el

perímetro de la región sombreada expresada

en metros lineales es:

a) 17

b) 21

c) 27

d) 28

e) N.A.

14. De la figura mostrada. El valor de “x” es:

a) 40º

b) 30º

c) 50º

d) 60º

e) 90º

15. El perímetro de la siguiente figura es:

a) 120 m

b) 220 m

c) 240 m

d) 260 m

e) Faltan Datos

16. En la figura existen 3 rectángulos iguales,

El extremo de uno coincide con el centro del

otro. Luego el perímetro de la figura

expresado en metros lineales es:

a) 30 c) 32 e) 36

b) 28 d) 34

17. Dados los cuadrados A, B y C. El perímetro

de la figura que forman expresado en

metros lineales es:

a) 52 c) 54 e) 58

b) 50 d) 56

18. El perímetro de la siguiente figura es:

a) 13m c) 64m e) 66m

b) 26m d) 56m

x 20°

20°

10°

x

x

x

6

2

10 A

B

C

2

10m

120m

50º

40º 30º xº

5 9

5m.

24m

.

12m

.

10m

.


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