Rm1 4° 1 b

01 02

Cuando ambas son desigualdades contrarias, el sentido de la desigualdad no se puede conocer previo a conocer el valor de cada

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO4to Secundaria

I. AdiciónA. Definición

Es la operación que a cada par ordenado de números llamados sumandos, le hace corresponden un tercer número al cual sele da el nombre de suma. La adición se denota simbólicamente por:

(a, b) S, sabiendo a + b = S

Ejemplo:(5, 7) 12

B. Propiedades1. Clausura: La suma de dos o más

números enteros resulta otro número entero.

Simbólicamente:

a, b Z (a + b) Z

2. Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma total.

Simbólicamente:

a, b Z (a + b) = b + a3. Asociativa: La suma de varios

números no varía si asocian dos o más sumandos en uno solo. Simbólicamente:

a, b, c Z (a + b) + c = a + (b + c)

4. Elemento Neutro: Es el cero, de tal modo que cualquier número sumado con él resulta el mismo número.

a + 0 = 0 + a = a

5. Uniformidad: Dadas varias igualdades, éstas se pueden sumar miembro a miembro resultando otra igualdad.

Ejemplo:

6. Monotonía: Hay varios casos:

Si: a = b c < d

a+c < b+d

Si: a b c > d a+c > b+d

Si: a = b c > d a+c > b+d

Si: a b c < d a+c < b+d

Si: a > b c < d a+c ? b+d

Si: a < b c > d a+c ? b+d

II. Sustracción:A. Definición:

Es la operación inversa a la adición que consiste en que dados dos números llamados “minuendo” y “sustraendo”, encontrar un tercer número llamado “diferencia”; tal que sumado con el sustraendo sea igual al minuendo.La sustracción se denota simbólicamente por:

(m, s) , sabiendo : m – s = d

Ejemplo: (7, 4) d 7 – 4 = 3.

B. Propiedades En la sustracción se cumplen las

propiedades siguientes:1. Clausura: la diferencia de 2

números enteros es otro entero.2. Ley del inverso aditivo: para todo

número “a” existe uno y sólo un número llamado “inverso aditivo de a” que se denota por (-a), tal que: a + (-a) = 0.

3. Uniformidad: dadas dos igualdades si se resta miembro a miembro, el resultado es otra igualdad.

Si: a = b y: c = d

Restando: a – c = b - d

4. Monotonía: Hay varios casos: Si: a = b

c < d a- c > b- d

Si: a > b c < d a- c > b - d5. En toda sustracción, la suma de los

tres elementos de ella es igual al doble del minuendo.

Si: M – S = D M S + DComo M = S + D y: M = M

2M = M + S + DEjemplo:

Si: 20 – 13 = 7 2(20) = 20 + 13 + 7

6. En todo número de 3 cifras . donde a > c, se cumple:

Si:

En el resultado, la cifra central y = 9.

Además: x + z = 0.

C. Complemento aritmético (CA)El complemento aritmético de un número positivo es lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior al mayor orden del número.Ejemplo:Hallar el CA de 35.

Cálculo del CA“Al número se le resta del número formado por la unidad seguida de tantos ceros como tenga el número”

Ejemplo:

S4RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

CUATRO I

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO4to Secundaria

CA(198) = 1000 – 198 = 802CA(7318) = 10000 – 7318 = 2682En general; si “N” tiene “m” cifras.

Nota:

Regla práctica:Para hallar el C.A. de un número a partir de su mayor orden, se restan las cifras de la base menos uno y la última cifra significativa de la base; si hay ceros al final, éstos permanecen en el CA.

Ejemplos:C.A. (10 2349 1) = 8976509

de 9 de 10 C.A. (50492 4 00)

de 9 de 10 Si “d” es diferente de cero:C.A.

C.A. ( ) =

de 7 de 8

III. Multiplicación:A. Definición:

Es la operación donde a cada par ordenado de números “a” y “b”, llamados factores, le hace

corresponder un tercer número “P” que es denominado producto.Simbólicamente se denota:

Ejemplos:

(7, 6) 42 7 x 6 = 42.B. Propiedades:

En la multiplicación se cumplen las propiedades siguientes:1. Clausura:

2. Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

3. Elemento neutro: Es el número “1”, tal que:

4. Monotonía: Hay varios casos: Si: a = b

c < d axc < bxd

Si: a > b c < d No se

puede determinar

anticipadamente axc ? bxd

5. Distributiva:

6. Asociativa:

IV.División:A. Definición:

Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades, dividendo y divisor, hallar una tercera llamada cociente que ponga de manifiesto las veces que el dividendo contiene al divisor.Simbólicamente:

(a, b) q, sabiendo: a b = q, b 0La división puede ser exacta (no deja residuo) o inexacta (deja residuo). (Se verá más adelante).

B. Propiedades:1. Distributiva:

2. Monotonía:Si: a = b

c < d

Si: a > b c = d

0

Si: a > b c > d

3. Elemento neutro: Es el “1”.

C. Clases de división:1. División exacta

El dividendo contiene al divisor un número entero de veces.

Donde: D: dividendod = divisorq = cociente

Ejemplo:

2. División inexacta o Euclidianaa) D. Inexacta por defecto:

Cuando el dividendo (D) contiene al divisor (d), “q” veces sobrando “r” unidades, donde r > 0.

Ejemplo:

Nota: se cumple: 0 < r < d.

b) D. Inexacta por excesoCuando el dividendo (D) contiene al divisor (d) una vez más de lo normal (q+1), apareciendo un residuo por exceso ( ) que se obtiene de:

ó


No se puede determinar el sentido de la desigualdad sin conocer


Ejemplo:

Nota: Se cumple: 0 < < d r + = d

Si se multiplica o divide el dividendo y divisor de una división entera por un mismo número, el cociente no varía, pero el residuo según el caso, queda multiplicado o dividido por dicho número.

V. Temas complementarios

A. Determinación apriori del número de cifras de un producto

Consideremos que:Si un número natural N tiene 2 cifras, puede ser 10, 11, 12, .., 99; luego:

10 N <

Si un número natural N tiene 3 cifras, puede ser 100, 101, 102, .., 999; luego:

N <

En general, si un número natural N tiene “m” cifras, se puede decir que:

N <

Luego:

Teorema:“La cantidad de cifras de un producto será como máximo la suma de las cifras de los factores y como mínimo

dicha suma menos la cantidad de factores disminuida en uno”.

Ejemplo:Si A y B son enteros de 15 y 12 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras puede tener:

a) A x B b)

Solución:

a)

Entre 26 y 27 cifras tiene el producto A x B.

Por el teorema: A x B = P

Entre 26 y 27 cifras tiene el producto A x B.

b) Si:

A x A x B x B x B x B = P (6 factores)

* *

tiene entre 73 y 78 cifras.

Por teorema:

tiene entre 73 y 78 cifras.

B. Determinar apriori el número de cifras enteros de un cociente

Teorema: El número de cifras enteras del cociente de 2 números, tiene como máximo número de cifras la diferencia de las cifras de los números, aumentado en uno y como mínimo sólo la diferencia.

Ejemplo:Si A tiene 8 cifras y B tiene 4 cifras.Luego:

Nota:Cuando el numerador y denominador tienen varios factores.

1° Se calcula la magnitud de cifras máxima y mínima, tanto del numerador como del denominador, mediante la regla del producto.

2° Para calcular el máximo del cociente, ser compara el máximo del numerador con el mínimo del denominador mediante la determinación del número de cifras de un cociente; análogamente, para calcular el mínimo de cifras del cociente, se hallará comparando el mínimo del numerador con el máximo del denominador mediante

la determinación de la cantidad de cifras de un cociente.

Ejemplo: Si A, B y C tienen 8, 5 y 4 cifras respectivamente.¿Cuántas cifras tiene?

?

Solución:En el numerador:

En el denominador

Para Q:

tiene entre 4 y 9

cifras.

PROBLEMAS RESUELTOS

01.Si: . Hallar a + b.

SoluciónOrdenando la adición verticalmente.



1°. Analizando en las unidades de millar, 1 + a = 4; a puede ser 2 ó 3. Si fuera “a” fuera 2, la operación quedaría.

2°. Analizando en las centenas:* + 6 = 12, porque en las unidades de millar 1 + 2 +........... = 4.* = 6.Con a = 2,*=6, la operación

quedaría:

De donde deducimos que: C= 3 y B= 5

3°. Por lo tanto: a+ b = 2 + 5 = 7Si “a” fuera 3, la operación

quedaría:

4°. Analizando en las centenas:

* + 6 = 3, no existe un valor para *

Por lo tanto:

02. Si a un número se la añade la suma de sus cifras se

obtiene 8799. ¿Cuál es la suma de las cifras de éste número?

Solución- Debido a que al suma es 8799,

se deduce que el número desconocido es de 4 cifras.

- Asumiendo que el número es:

- Del enunciado: - Descomponiendo

polinomicamente el número , se tiene:

1000a + 100b + 10c +d + (a + b + c + d) = 8799.1001a + 101b + 11c + 2d = 8799

- Deduciendo: a= 88008 + 101b + 11c + 2d = 8799101b + 1c + 2d = 791b = 7

707 + 11c + 2d = 79111c + 2d = 84c = 7

77 + 2d = 84 2d = 11 d= 11/2 (no cumple)

Entonces: c = 6 66 + 2d = 84

2d = 18 d = 9

Por lo tanto: a + b + c + d = 8+7+6+9=30

03. Hallar un número de 3 cifras, que sea igual a 16 veces la suma de sus cifras. Indiciar como respuesta la cantidad de valores que puede adoptar la cifra de las unidades.

SoluciónLa representante del número de tres cifras es: Del enunciado: = 16 (a+b+c)Descomponiendo polinomicamente el número ; se tiene:100a + 10b + c = 16a + 16b + 16c84a = 6b + 15c

Reduciendo: 28a = 2b + 5cMínimo valor de 2b + 5c = 0Máximo valor de 2b+5c = 2(9)+5(9)= 63Entonces a puede ser 1 ó 2.Si a = 1 28 = 2b + 5c

Luego c = { 2, 4}la cantidad de valor que puede asumir la cifra c es 2.

04. La suma de los tres términos de una sustracción es 32510; si el sustraendo es a la diferencia como 3 es a 2. Hallar el sustraendo.

SoluciónMinuendo: MSustraendo: SDiferencia: D

Del enunciado: M + S + D = 32510 (1)Por propiedad sabemos que: M + S + D = 2M (2)

Reenplazando 2 en 1 M + S + D = 32510 2M = 32510 M = 16 255, 5 + D = 16255

Además :

(3)

S + D = 16255 (4)

Desarrollando (3) y (4)Se tiene que: S = 9753

05. Hallar la suma de las cifras de C.A de un numeral de tres cifras, cuya suma de cifras es 23.

Solución:Sea el numeral: La suma de sus cifras: a + b + c = 23El complemento aritmético es:

La suma de las cifras de este C.A es (9 -a) + (9 -b) + (10 - c) = 28 - (a +b +c)

= 28 - 23= 5

06. En una sustracción el minuendo es , el sustraendo es y la diferencia es . Hallar a + d +c - b.

SoluciónOrdenando la sustracción verticalmente:

En las centenas, se deduce que: a > b

En las unidades: c = 8En las decenas: 10+ b-a = c = 8; a-

b = 2En las centenas: a-1-b =d

Concluimos que:a + c + d - b = a- b + c + d



= 2 + 8 + 1 = 1

07. Si:

Hallar: SoluciónOrdenamos verticalmente:

466546.

08.Hallar un numeral de 6 cifras que comienza en 1 tal que al trasladar esta cifra 1 a la derecha resulta el triple del numeral buscado.Solución:Sea el numeral de 6 cifras: Al trasladarlo a la derecha resulta:

Entonces: = = 3 x Ordenamos verticalmente la operación

x 3

Identificamos los valores de:a = ......................... b

= .........................c = ......................... d

= .........................e = .........................

Sugiero empiezan por 3 x a = ............. 1

El numeral buscado es 142 857

09. En el multiplicador de una multiplicación se toma un 6 como si fuera un 3 y el resultado es 10 830 unidades menor. Hallar el multiplicando.

Solución:Para que la diferencia sea 10 830 ó 1083 decenas, es lógico pensar que el error fue en las decenas y el cambio de un 3 por un 6 en decenas hace que el multiplicador disminuya en 30 unidades.Entonces:Resultado verdadero: m x n = pResultado alterado m x (n-30)p –10830

m x n – 30m = p – 10830 p – 30m = p –10830 30m = 10830

m = 361

El multiplicador es 361

10. Hallar (a + b) Si: al dividir entre da como cociente 22 y residuo 21.

Solución:De la propiedad: Dividendo = (divisor)(cociente) + residuo,establecemos que: = x 22 + 21; descomponiéndolo polinómicamente:

100a + 10b + 5 = 220b + 154 + 21 100a – 200b = 10b + 170

10(a – 2b) = b +17

termina en cero

* b + 7 = b = 3 a = 8

a + b = 11

11. Si al dividendo de una división le añadimos 1000 unidades, el cociente y el residuo aumentan en 4 y 8 unidades respectivamente. ¿Cuál es el valor del divisor?

Solución:De la propiedad:

D = (d)(c) + r ............................(1)

Establecemos que: D + 1000 = (d)(c+4) + (r+8)....

(2)

*Reemplazando (1) en (2)(d)(c) + r + 1000 = dc + 4d +

(r+8)

El divisor es 248

12. Una división se efectúa por defecto y por exceso, encontrándose que el resto por exceso, el cociente por defecto y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 8. Hallar el dividendo

Solución:Disponiendo los datos:

Por defecto: Por exceso:

La suma de residuos es igual al divisor, entonces:

n + (n+8) = n + 24 n = 16

De la división por defecto:D = 40 x 32 + 16 D = 1296

El dividendo es 1296

PRÁCTICA DE CLASE

01. En la sustracción: el sustraendo es un número de 3 cifras y el minuendo 3802. Si la diferencia es 62 unidades mayor que el quíntuplo del complemento aritmético del sustraendo. Hallar la diferencia.

02. Hallar la cifra de las decenas del resultado de sumar todos los números formados por ocho "nueves" y un "siete"

03. Hallar: a +b+c ; Si: + + = y d = c – b , e = 2b

04. Hallar la suma de todos los numerales capicúas de tres cifras menores que 900.

05. Si: .

Hallar (n-m)

06. ¿Cuál es el numeral cuyas 3 cifras suman 24 y que al invertir el orden de sus cifras disminuye en

.

07. Si a 23 le sumamos los 25 impares consecutivos. ¿En cuánto termina esta suma?.

08. Hallar + + . Si sabemos que:

09. Una persona nació en el año y en el año tiene (a+b)

años. ¿En qué año tendrá (axb) años?



10. La diferencia de dos números, de 3 cifras cada uno, es 40. Si la diferencia entre el C.A. de uno y la excedencia del otro, es 100. Indique la suma de las cifras del mayor de los números.

11. ¿Cuál es el mayor número que se puede aumentar al dividendo de una división cuyo divisor es 100, para que el cociente aumente en 20 unidades, si el residuo de la referida división es 15?

12. Al dividir un número entre 12 se obtiene un resido igual a 5. Si el número estuviera multiplicado por 20, el cociente sería igual a 248. Hallar el número.

13. ¿Cuál es el numeral de 4 cifras, que al ser multiplicado por 4, se invierte el orden de sus cifras?

14. Si se cumple que: . Hallar m +

c + d + u

15. Si se tiene que: . Hallar a + b

+ c.

16. Hallar la suma de las cifras del producto de: x 38. Si: Los productos parciales suman: 5467

17. El residuo por exceso de una división es 793, si el residuo por defecto es la tercera parte del residuo máximo. Hallar el residuo por defecto.

18. En una división el dividendo está comprendido entre 12000 y 13000, el divisor entre 650 y 700 y el residuo entre 120 y 150. hallar el

cociente sabiendo que es el mayor posible.

19. Al dividir dos números entre 15 se obtiene 13 y 3 como residuo. ¿Cuál es el residuo de la división entre 15 de la suma de los números?

20. ¿Cuál es el menor número que multiplicando por 21 da un producto cuyas cifras son todas cuatro?

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Hallar la Suma de las cuatro últimas cifras del resultado de sumar:

3535................5328................82

...........................

282

3

a) 9 b) 10 c) 8d) 5 e) 2

02. Hallar un número de cuatro cifras, sabiendo:1º Que la suma de sus cifras es 252º Que la cifra de los millares,

sumada con la cifra de las decenas es igual a la cifra de las unidades.

3º Que aumentan 8082 al invertir el orden de sus cifras.

a) 1897 b) 1589 c) 1789d) 1801 e) 1888

03. Al sumar 89 capicúas diferentes de 3 cifras 48753. hallar la suma de las cifras del capicúa no considerado.

a) 648 b) 741 c) 738d) 747 e) 701

04. Si: a + b + c = 13 y . Hallar a + b - a) 3 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

05. Si: a + b + c = 17Hallar:

a) 188 887 b) 177 778 c) 166 998d) 178 887 e) 179 997

06. Hallar la suma de todos los números de 3 cifras que se pueden formar con las cifras pares (Considerar cero como cifra par)

a) 50 400 b) 54 400 c) 58 300d) 57 150 e) 56 520

07. Hallar "a" si:Cº( ) + Cº ( ) + ... + Cº( ) = 396

a) 4 b) 5 c) 7d) 6 e) 2

08. Hallar , si CºA de =a+b+c+d

a) 9968 b) 9688 c) 9698d) 9981 e) 9786

09. Si al número abc, se le suma 6xy, el resultado es cba. Determinar "b", sabiendo que es la tercera parte de (a+c)a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

10. Al multiplicar por 65 un cierto número éste aumenta en 3 840. ¿Cuál es el número?

a) 64 b) 63 c) 70d) 60 e) 50

11. Se agrega al número 42 la suma de los 25 números impares consecutivos que le siguen. ¿En qué cifra termina el resultado?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

12. Hallar el menor número entero, tal que multiplicando por 33 dé como producto un número formado por sólo cifras 7. Dar como respuesta la suma de las cifras del número hallado.

a) 23 b) 25 c) 24d) 27 e) 22

13. Si al número 4626 se le suma 15 números pares consecutivos. ¿En qué cifra termina el resultado?

a) 5 b) 6 c) 0d) 4 e) 8

14. La diferencia de dos números positivos es 8 y al suma de ambos multiplicado por el menor de ellos es 384. ¿Cuál es el producto de ambos?a) 364 b) 384 c) 394d) 406 e) 416

15. El cociente de dos números es 19 y el resto de su divisor 537. ¿Cuál será el número mayor, sabiendo que su diferencia es 12 777?



a) 14 487 b) 13 127 c) 13 275d) 14 137 e) 13 457

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar: p + q + r. Si:

a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 4

02. Hallar: c + d + uSi:

a) 17 b) 18 c) 20d) 22 e) 15

03.Calcular "c" si:

(33 cifras ) a2ca2c ... a2ca2c +(32 cifras) a2ca ...

2ca2ca

......................

......................a2ca2

a .................40

a) 1 b) 8 c) 7d) 5 e) 4

04.La suma de los 3 términos de una resta es 6 veces el sustraendo. Si la diferencia es 34. Hallar el minuendo.

a) 63 b) 42 c) 48d) 51 e) 57

05. Se tiene 2 números A y B de 3 cifras cada uno. Si A es el doble del C.A. de b y B es vez y

media del C.A. de A . Hallar el C.A. de (A + B)

a) 1750 b) 8250 c) 1250b) 8750 e) 550

06. Si C.A.

Halar: (a + b + c)2

a) 36 b) 49 c) 21d) 12 e) 100

07. Si el complemento aritmético de:

Hallar a + b + c + d

a) 18 b) 19 c) 17d) 23 e) 15

08. Al multiplicar un número de 3 cifras por su complemento aritmético nos da como resultado el quíntuplo del número. hallar el número dando como respuesta la suma de sus cifras.

a) 20 b) 23 c) 24d) 27 e) 25

09. Cuál es el menor número por el cual es necesario multiplicar 7 para obtener otro formado por únicamente cifras 3. dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 25 b) 27 c) 29d) 28 e) 35

10. Hallar la suma de las cifras del producto en:

*1* x3*2*3*

3*2* *2*5 1*8*30

a) 2 b) 21 c) 20d) 24 e) 27



EJERCICIOS PROPUESTOS

01. En el cine una persona elige entrar a platea en vez de mezzanine ahorrando 50 soles. Si los precios de ambas localidades suman 950 soles. ¿Cuánto pagó ésta persona?

a) 500 b) 400 c) 550d) 450 e) N.A.

02. Entre Juan y Pedro tienen 1200 soles. Si Pedro tiene la tercera parte de Juan. ¿Cuánto tiene Juan?

a)S/. 3000 b) S/. 5000 c) S/. 600 d)S/. 8000 e) S/. 9000

03. La suma de 2 números es 11/10 y el menor es 1/10 menos que el mayor; entonces dichos números son:

a) 3/5 y 2/5 b) 1/4 y 4/5c) 1/10 y 9/10 d) 1/5 y 1/2e) N.A

04. Un campo de forma rectangular tiene 180 metros de perímetro, calcular su área (en m2) sabiendo que el largo excede al ancho en 18 metros.

a) 2000 b) 1494 c) 1499d) 1944 e) N.A.

05. El duplo de las horas que han transcurrido en un día es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir, ¿Qué hora es?

a) 1 pm. b) 2pm. c) 3pm.d) 4pm. e) 5pm.

06. ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de los que falta para acabarse?

a) 7hr. b) 8hr. c) 9hr.d) 6hr. e) 13hr.

07. A un matemático le preguntaron por la hora, el cuál contestó: “El tiempo transcurrido del día es igual a los 2/3 del tiempo por transcurrir del mismo día”. ¿Qué hora es?

a) 9 y 20 b) 8 y 45 c) 9 y 30d) 9 y 36 e) N.A.

08. En una fiesta asistieron 27 personas, la primera dama baila con 6 caballeros, la tercera dama baila con 8 caballeros y así sucesivamente hasta que la última dama baila con todos los caballeros. ¿Cuántas damas asistieron a dicha fiesta?

a) 12 b) 21 c) 11d) 15 e) N.A.

09. Un padre tuvo a su hijo a los 18 años. Si actualmente sus edad es el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la suma de ambas edades?.a) 78 b) 54 c) 60d) 65 e) 39

10. La suma de dos números es 74 y su cociente 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número menor?a) 9 b) 8 c) 5d) 7 e) 6

11. La suma de dos números es 37/30 y su diferencia 13/30. ¿Cuál será el número mayor?a) 5/6 b) 7/8 c) 5/7d) 7/9 e) N.A.

12. Si : + = 20 - = 10

Hallar : u/v

a) 1,25 b) 1,50 c) 1,80d) 2,60 e) 0,80

13. Un raro pez tiene 3 metros de longitud total y la cabeza mide 2 metros menos que el cuerpo. ¿cuánto miden, en ese orden, la cabeza y el cuerpo?

a) 1 y 2 m. b) 0,5 y 2,5 m.c) 0,25 y 2,75m. d) 0,75 y 2,25 m. e) 0,45 y 2,25m.

14. El cociente de dos números es 15 y su residuo 3. Si la suma de ellos es 211, entonces el mayor excede al cuadrado del menor en:

a) 77 b) 31 c) 45d) 29 e) 50

15. La suma de dos números es 191, si el mayor se divide por el menor, el cociente es 4 y el residuo 16, la diferencia de dichos números es:

a) 87 b) 131 c) 121d) 89 e) 125

16. Eduardo y Julio tienen juntos un capital de S/.180000, pero Eduardo tiene S/. 40 000 más que Julio. ¿Cuánto tiene Eduardo y cuánto Julio?

a) 100 000 y 80 000b) 120 000 y 60 000 c) 110 000 y 70 000d) 150 000 y 30 000e) 115 000 y 65 000

17. Dos pueblos A y B distan 180km. y están unidos por un río navegable. Cuando un barco va desde A hacia B a favor de la corriente demora 6hr. Cuando va desde B hacia A en sentido contrario a la corriente demora 10hrs. La velocidad del barco y de la corriente son:

a) 16 y 4 b) 18 y 5 c) 30 y 18 d) 24 y 6 e) 12 y 6

18. Cuáles son los números que sumados dan 36 y restados14?

a) 14 y 22 b) 12 y 24 c) 11 y 25 d) 10 y 26 e) 9 y 27

19. La suma de 2 números es 72 y su cociente es 5. ¿Cuál es el número menor?

a) 5 b) 10 c) 12d) 15 e) 18

20. Hallar el valor de : U + N + ISi :

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15


OPERACIONES


TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el valor de : P + C + R, Si :

a) 10 b) 11 c) 13d) 15 e) 16

02. Determinar el número de triángulos que se pueden formar al trazar una de las diagonales de un cuadrado de 20 x 20

............

1 X 1 2 X 2 3 X 3

a) 105 b) 210 c) 420d) 315 e) 620

03. La suma de los tres términos de una sustracción es 842. Hallar el triple del minuendo.

a) 1263 b) 1632 c) 1236d) 1326 e) 1362

04. Si : Determinar :

a) 202(9) b) 210(9) c) 220(9) d) 240(9) e) 200(9)

05. Si :

Hallar : L + K - M + N

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 16

06. Si : y además : m - p = 5calcular : a . c

a) 8 b) 9 c) 18d) 36 e) 12

07. A un número de 3 cifras se le suma otro número de 3 cifras que empieza en 6 y el resultado es un número que tiene las mismas cifras del número original pero dispuestos en orden inverso. Hallar el producto de las cifras del número original, si éstas suman 19.

a) 140 b) 142 c) 144d) 148 e) 150



EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Los 2/5 de una botella están con vino. Si la botella tiene una capacidad de litro y medio. ¿Cuántos libros de vino se tiene?

a) 3/5 b) 2/5 c) 1/5d) 3/7 e) N.A

02. Un quinto de los alumnos de una aula de 25 alumnos son mujeres. ¿Qué fracción de lo que no son mujeres son mujeres?

a) 1/ 2 b) 1/4 c) 1/5d) 2/ 5 e) N.A

03. Durante los 7/9 de un día se consumen los 14/27 de la carga de una batería. En cuánto tiempo se consume la mitad de la carga?

a) 1 día b) 1/3 día c) ¾ díad) 2/3 día e) N.A

04. De una cosecha de papas se vende la cuarta parte, luego se vende 1/3 del resto quedando por vender 24 toneladas. ¿De cuántas toneladas ha sido la cosecha?

a) 60 b) 48 c) 42d) 36 e) N.A

05. Una ama de casa gasta su dinero así: en carne la mitad de lo que tenía; en arroz la tercera parte de lo que quedaba y los 3/8 del resto

en frutas. Si al final le quedan s/. 50. ¿Cuánto tenía al inicio?

a) 120 b) 150 c) 180d) 240 e) N.A

06. Jaimito pierde 2/5 de sus bolitas luego regala 1/3 del resto, después vende 5/7 de los que le queda y guarda 48 bolitas. ¿Cuántas bolitas tenía al inicio?a) 420 b) 360 c) 320 d) 280 e) N.A

07. ¿Cuál es el volumen de un depósito que contiene agua hasta su mitad; si al extraérsele 80 litros , el nivel del líquido disminuye hasta la sexta parte?a) 600 lts b) 300 c) 240d) 180 e) N.A

08. Un pozo de agua se vacía en 3 horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora más 1 litro. ¿Cuántos litros tenía el pozo inicialmente?a) 6 lts b) 9 lts c) 12 ltsd) 14 lts e) N.a

09. Una señora va al mercado con 34000 soles. Si se sabe que ha gastado la tercera parte de los 2/5 de lo que no ha gastado. ¿ Cuánto gastó ? (en soles)

a) 30000 b) 2400 c)4000d) 26000 e) N.a.

10. Si a los 2/5 de una cantidad se le quita los 2/3 de los 3/7 de la misma cantidad se obtiene los 2/9 de los 4/5 de 909. Hallar la cantidad original.

a) 1638 b) 1234 c) 1414d) 1242 e) 1534

11. Si a los 5/11 de una cantidad se le suma los 3/2 de 1/2 de la misma cantidad, se obtiene los 7/22 de los 3/8 de 1484. Hallar la cantidad original.a) 147 b) 417 c) 741d) 714 e) 174

12. Repartir 7810 soles entre 4 personas de tal manera que la segunda recibe 2/5 de la primera, la tercera 3/7de la segunda y la cuarta 11/13 de lo que recibe la tercera. Entonces, entre la primera y la segunda tienen :

a) 4550 b) 6370 c) 6730d) 3360 e) 4320

13. Mario tiene 2/3 de lo que tiene Pedro. Juan tiene 3/5 de lo que tiene Mario y Armando sólo tiene 5/2 de lo que posee Juan. Entre todos tienen 4600 soles. Entonces, Juan tiene:

a) 900 b) 1200 c) 673d) 380 e) 600

14. Cuatro amigos “A”, “B”, “C” y “D” que tienen: 20, 18, 17 y 15 manzanas respectivamente. Invitan a “E” a consumir sus manzanas. Si los 5 consumen en partes iguales y al retirarse “E” deja en pago 28000 soles. ¿ Cuántos soles le corresponden a “A” ?

a) 12000 b) 8000 c) 6000d) 2000 e) N.a.

15. Tres amigos “A”, “B” y “C” que tienen 11, 9 y 7 panes respectivamente. Invitan a “D” a

consumir sus panes . Si los 4 consumen partes iguales y al retirarse “D” deja en pago 135 céntimos de soles. ¿ Cuántos céntimos de soles le corresponden a “B” ?

a) 30 b) 45 c) 35d) 15 e) 20

16. Un tejido al lavarse pierde 1/20 de su longitud y 1/16 de su anchura. Averiguar cuántos mts. de esta tela deben comprarse para obtener después de lavarla 136,80 m2. Si el ancho primitivo de la tela es de 6/5 de metro.a) 120 b) 128 c) 132d) 160 e) 146

17. Una tela al lavarse pierde 1/12 de su longitud y 1/6 de su anchura. Averiguar cuántos mts. de esta tela deben comprarse para obtener después de lavarla 5720 m2. Si el ancho primitivo de la tela es de 48 mts.

a) 136 b) 142 c) 148d) 156 e) 152

18. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en 4 hrs. y el segundo en 3 hrs. Suponiendo que cada cirio se quemó en forma constante. ¿Cuántas hrs después de haber encendido los cirios, la altura del primero es el doble de la del segundo ?

a) 1 3/4 b) 1 1/2 c) 2 2/5 d) 2 e) N.a.

19. Dos cirios de igual altura se encienden


FRACCIO


simultáneamente, el primero se consume en 8 hrs. y el segundo en 6 hrs. Suponiendo que cada cirio se consume en forma constante. ¿ Cuántas hrs. después de haber encendido los cirios, la altura del primero es el triple de la del segundo ?

a) 5 1/3 b) 5 c) 5 3/4 d) 4 5/6 e) N.a.

20. Un galgo persigue una liebre que le lleva 90 saltos de adelanto. Sabiendo que da 7 saltos mientras la liebre da 6 y que 3 saltos del galgo equivalen a 4 saltos de la liebre. Dígase después de cuántos saltos el galgo habrá alcanzado a la liebre ?

a) 180 b) 189 c) 198d) 150 e) 168

21. Un galgo persigue a un conejo que le lleva 30 saltos de ventaja. Sabiendo que el galgo da 6 saltos mientras el conejo da 4 y que 2 saltos del galgo equivalen a 3 saltos del conejo. ¿ Después de cuántos saltos que haya dado el conejo, será alcanzado por el galgo ?

a) 36 b) 32 c) 28 d) 24 e) N.a.

22. Si la cuarta parte del tiempo que ha pasado desde las 10 am. es igual a la mitad del tiempo que falta para las 4 p.m. ¿ Qué hora es ?

a) 12 m. b) 1 pm. c) 3 pm.d) 2 pm. e) 1.30 pm.

23. ¿Qué hora es cuando la mitad del tiempo transcurrido del día es igual a la sexta parte de lo que falta transcurrir ?

a) 6 am. b) 8 am. c) 10 am.d) 8.30 am e) 12 m.

24. Gasté los 2/3 de los 3/5 de los 5/8 de mi dinero y aún me quedan los 3/4 de los 2/3 de los 2/7 de S/. 4 200. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/. 300 b) S/. 400 c) S/. 500d) S/. 600 e) S/. 800

25. Al retirarse 14 personas de una reunión, se observa que ésta queda disminuida a 2/9 del total. ¿Cuántas personas quedaron?

a) 2 b) 4 c) 7d) 6 e) 3

26. Un comerciante vende los 4/5 de una pieza de tela a un cliente y al sexta parte de lo que le queda a otro cliente, sobrándole aún 20 cm. ¿Cuántos metros tenía inicialmente?a) 60 b) 80 c) 120d) 150 e) 240

27. Gasté los 5/6 de mi dinero, pero si hubiera gastado los 5/6 de lo que gasté, tendría entonces S/. 5/6 más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo?

a) S/. 6 /5 b) S/. 5/6 c) S/. 6d) S/. 1/5 e) S/. 5

28. Patty tiene cierto número de gallinas, al ser víctima de un robo, pierde 2/9 del total

menos 5 gallinas. Al comprar 37 gallinas se percata que el número inicial de gallinas queda incrementado en 1/6. ¿Cuántas gallinas le robaron?

a) 12 b) 15 c) 16d) 19 e) 21

29. Se vende un televisor al contado, con los 2/3 del importe se compra una plancha y con los 3/7 del resto un juguete; lo que queda se deposita en el Banco.¿Cuánto se depositó en el Banco, si la plancha y con los 3/7 del resto un juguete; lo que queda se deposita en el Banco.¿Cuánto se depositó en el Banco, si la plancha y el juguete juntos costaron 765 soles?

a) 150 soles b) 160 soles c) 180 solesd) 185 soles e) 196 soles

30. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre 3 depósitos, en partes iguales, el primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros.

a) 1/3 b) 2/5 c) 27/20d) 11/15 e) 1/4

Tanto por ciento

Se llama tanto por ciento, al número de unidades que se considera de cada 100.

El porcentaje se puede calcular aplicando una regla de tres simple y directa o aplicando una fórmula que se deduce del siguiente problema general.Hallar el n% de S.

100 -------------- nS ----------------- x

X = n / 100 x S.El % es un quebrado cuyo denominador

es 100. Así , para calcular el 12% de 800.

= 12/ 100 x 800= 96El porcentaje como fracción:

* El 15% de N = 15/100 x N = 1/20 N* El 20% de N = 20 /100 x N =1/ 5 N

NOTA:Por ser el tanto por ciento una fracción, sus propiedades serán las mismas de las fracciones.Operaciones Básicas:Siempre cumplen que:1. N = 100% N2. a% N b % N = (a b)% N3. a% del b % del c % de N es:

4. a % del b % de N es:

Ejemplo:20% del 40% de N es:


PORCENTAJES


PROBLEMAS RESUELTOS01. Hallar el 10% de 240. Solución:

Una cantidad cuando no sufre ninguna variación esta representada por su 100%, según el ejercicio.

240 es el 100%, entonces: x es el 10%

x = (240 .10%)/100% x = 24

02. Hallar el 12% de 50. Solución:

50 ……… 100%x ……… 12%

x = (50.12%) /100% x = 6 03. Hallar el 16 2/3% de 42. Solución:

42 ……….. 100%x ……….. 16 2/3 %x = ( 42 . 50/3 %)/100%x = 7

04. Qué porcentaje es 75 de 1250?.Solución:1250 es su 100%; 75 será su X%.1250 ……… 100%

75 ……… X X = (75 . 100%)/1250 = 6%.

05. Qué porcentaje de 512 es 0,64?. Solución;

512 ……… 100% 0,64 ………..X.

X = (0,64 . 100%)/512 X = 1/8

06. Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos de 800, es 2400?.

Solución: 2400 ……… 100% ½ .3/4. 800 ………

X.

X = (1/2. ¾ . 100%)/2400 = 25%.

07. De qué número es 208 el 4% más?

Solución:Al número que se busca se le representa por su 100%. Como 208 es el 4% más que el número que se busca. Entonces 208 será el 100% + 4% = 104% del número que se busca. Luego:

104% …………… 208100% …………… X

X = (100%)(208)/104% = 200.

08. De qué número es 918 el 12 ½% más?

Solución:112,5% ……………918100% …………… X

X = (100%)(918)/112,5 = 816.

09. De qué número es 276 el 8% menos?

Solución:Al número que se busca se le representa por su 100%. Como 276

es el 8% menos que el número que se busca. Luego:

92% …….......... 276100% …......…… X

X = (100%)(276)/92% = 300.

10. De qué número es 514,71 el ¼% menos?

Solución:

99,75% ….....…....... 514,71 100% ………........ X

X = (100%)(514,71)/99,75% = 516

11. De un terreno de 50 hectáreas; se vende el 16% y se arrienda el 14%. Cuántas hectáreas quedan?

Solución;

Según el enunciado del problema; se tiene: lo que se vende y se arrienda es el: 16% + 14% = 30% lo que es el 100% . 30% = 70%. Luego:

100% ………. 50 Ha. 70% ………. X HaX = (70%) (50 Ha)/100 = 35 Ha.

12. Si Manuel gasta el 8

1/7% de su dinero y se queda con S/. 6430. El dinero que tenía al comienzo es:Solución:Según el enunciado del problema, se tiene: Al dinero de Manuel se le representa por su 100%. Al gastar 81/7% de su dinero, se queda con: 99 7/7% - 81/7% =91 6/7%.Luego:

91 6/7% ……… S/.6430100% ……… X

X =(6430)( 100%)/ 91 6/7% =S/. 7000PRACTICA DE CLASE


02. De qué número es 315 el 12 ½% más?.03. De que número es 792 el 5 3/5% más?04. De qué número es 336 el 4% menos?05. De qué número es 399 el ¼% menos?06. De qué número es 425 el 16 2/3% menos?07. Si Diego tuviera un 8% más de la

edad que tiene, su edad sería 27 años. Cuál es su edad actual?

08. Si Carlos tuviera el 20% más de la edad que tiene tendría 36 años. Cuántos años tiene actualmente?

09. Si yo tuviera el 40% más del dinero que tengo, tendría S/. 140. Si del dinero que tengo gasto el 65%. Cuánto me sobraría?

10. Si de las computadoras que tuve, hubiera vendido 10% menos; me sobrarían 360 computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?

11. El 12% de 40 es el 15% de N entonces. ¿Cuánto vale N?a) 40 b) 20 c) 26d) 38 e) 25

12. El 20% de 150 es el 12% de N entonces. ¿Cuánto vale N?



a) 280 b) 240 c) 260d) 230 e) 250

13. ¿Qué porcentaje del doble del 50% de un número es el 40% del 70% del mismo número?.a) 2% b) 10% c) 28%d) 24% e) 15%

14. ¿Qué porcentaje del triple de 24% de un número es el 6% del 80% del mismo número?.a) 20/3% b) 24% c) 20%d) 34/3% e) 25/2%

15. ¿Qué porcentaje del 15% de la mitad del 60% de un número es el doble del 5% del 90% de la quinta parte del mismo número?.a) 85% b) 96% c) 200%d) 80% e) 120%

16. En una reunión el 60% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.a) 20% b) 30% c) 25%d) 15% e) 10%

17. De 700 espectadores de un cine, 196 son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de varones en el cine?

a) 25% b) 72% c) 45%d) 10% e) 42%

18. Si el 150% de A es igual al 30% de B y, el 20% menos de B es igual al 20% más que C. ¿Qué porcentaje de A es el 60% de C?

a) 45% b) 60% c) 20%

d) 40% e) 50%

19. En un salón de clases el número de hombres equivale al 60% del total. Si se retiran el 50% de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son mujeres?a) 24% b) 23% c) 12%d) 16,2% e) 23,8%

20. En un salón de clases el número de hombres equivale al 50% del total. Si se retiran el 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del resto son hombres?

a) 24% b) 23% c) 12%d) 16,2% e) 23,8%

PROBLEMAS PROPUESTOS


a) 100 b) 200 c) 250 d) 300 e) 350

02. De qué número es 157,50 el 12 ½% más?.

a) 120 b) 140 c) 160d) 180 e) 200

03. De que número es 264 el 5 3/5% más?

a) 150 b) 200 c) 230d) 250 e) 270


a) 175 b) 180 c) 185d) 190 e) 195

05. De qué número es 798 el ¼% menos?

a) 600 b) 700 c) 800 d) 400 e) 500

06. De qué número es 850 el 16 2/3% menos?.

a) 860 b) 930 c) 980d) 1000 e) 1020

07. Si Luis tuviera un 8% más de la edad que tiene, su edad sería 54 años. Cuál es su edad actual?a) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 50

08. Si Pedro tuviera el 20% más de la edad que tiene tendría 72 años. Cuántos años tiene actualmente?

a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70

09. Si yo tuviera el 40% más del dinero que tengo, tendría S/. 280. Si del dinero que tengo gasto el 40%. Cuánto me sobraría?

a) 120 b) 130 c) 140d) 125 e) 135

10. Si de las manzanas que tuve, hubiera comido el 10% menos; me sobrarían 360 manzanas. Cuántas manzanas tuve?

a) 300 b) 400 c) 450d) 500 e) 600


a) 40 b) 42 c) 36

d) 38 e) 45


a) 80 b) 40 c) 60d) 30 e) 50

13. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número?.a) 2% b) 10% c) 20%d) 24% e) 15%

14. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de 40% de un número es el 50% del 40% de los 2/5 del mismo número?.a) 12% b) 14% c) 20%d) 34% e) 5%

15. ¿Qué porcentaje de la mitad del 60% de un número es el 15% del 85% de la quinta parte del mismo número?.a) 8,5% b) 9,6% c) 60%d) 8% e) 85%

16. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.a) 20% b) 30% c) 25%d) 15% e) 10%

17. De 350 espectadores de un cine, 98 son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de varones en el cine?

a) 25% b) 72% c) 45%S4RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."


d) 10% e) 42%

18. En un cubo. ¿Qué porcentaje del área total es el área de una cara?

a) 11 1/6 b) 13 1/4 c) 14 1/4d) 16 2/3 e) N.A.

19. Si el 120% de A es igual al 80% de B y, el 25% menos de B es igual al 60% más que C. ¿Qué porcentaje de A es el 64% de C?

a) 45% b) 60% c) 20%d) 40% e) 50%

20. En un salón de clases el número de hombres equivale al 80% del total. Si se retiran el 20% de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son mujeres?

a) 24% b) 23% c) 12%d) 16,2% e) 23,8%

TAREA DOMICILIARIA


02. De qué número es 500 el 25% más?.



05. De qué número es 420 el 16% menos?.

06. Si Julio tuviera un 10% más de la edad que tiene, su edad sería 20 años. Cuál es su edad actual?

08. Si Carlos tuviera el 20% menos de la edad que tiene tendría 40 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

09. Si yo tuviera el 50% más del dinero que tengo, tendría S/. 600. Si del dinero que tengo gasto el 60%. ¿Cuánto me sobraría?

10. Si de los televisores que tuve, hubiera vendido 30% menos; me sobrarían 140 computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?



INTRODUCCIÓNEn relación con el estudio de la matemática en nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios: unos dicen, por ejemplo sólo las personas de gran talento pueden dedicarse a la matemática, mientras que otros afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" capaz de permitir recordar fórmulas y saber cómo y cuándo aplicarlas..Las expresiones: "soy incapaz para la matemática", "no he nacido para los números". "me falta memoria para aprender todas las fórmulas", etc, etc, son un producto amargo de tipo de enseñanza memorística y mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia, debido a la falta de un sistema educativo adecuado, objetivo y verdaderamente científico capaz de satisfacer las expectativas de la gran mayoría de estudiantes y no sólo de un sector, cuyo beneficio obedece a intereses egoístas.En consecuencia, nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos con ello, en esta parte del curso, desarrollando la parte inductiva – deductiva de nuestro razonamiento para lograr, de esta manera, un mayor grado de abstracción.Quizá en algunas ocasiones, durante la búsqueda de la solución, de una interrogante relacionada con nuestra vida diaria o al intentar resolver problemas netamente matemáticos,

nos hayamos encontrado un tanto desorientados sobre cómo afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y surgieron las eternas preguntas. "¿Por donde empezar?, ¿Qué estrategia platear y seguir? Parte de culpa de esta dicha situación la tiene el hecho de no tener en claro los conceptos de razonamiento, pensamiento creativo, lógica deductiva, lógica inductiva , etc.El objetivo entonces del presente capítulo será estudiar los diversos conceptos y aplicarlos manejando criterios adecuados, desarrollando, además ejemplo necesarios para un mejor desenvolvimiento dentro del curso de razonamiento matemático y actividades en general.Recomendación final: Nunca olvides que el primer paso es comprender el problema, una vez logrado esto debe dar el siguiente paso:; idear cómo afrontarlo: cada problema debe ser un reto, para ello debe leer atentamente la parte teórica y rescatar las mayores observaciones de cada ejemplo. "Después de haber resuelto un problema, debes valorar más el proceso inductivo – deductivo y no tanto la respuesta, ello te permitirá salir airoso en cada problema siguiente?

QUÉ ES ESTRATEGIA?Analiza atentamente las siguientes

situaciones

En la primera de ellas una pelota ha caído por un estrecho orificio, no tan profundo, pero no al alcance de los brazos de Cinthia; él no dispone de palos ni varas para extraerla. Renzo, que estaba sacando agua, observa la escena y se pregunta: ¿Qué hará ella para sacar la pelota?. En el siguiente caso Carlos está frente a un problema que se ve muy laborioso: ¿Cómo resolverlo?. En ambos casos será necesario pensar detenidamente sobre la situación y elaborar un plan que les permita conseguir sus objetivos; dicho plan recibe el nombre de estrategia.La palabra estrategia proviene del riesgo "strategia" (generalato, aptitudes de general), que en el contexto de nuestro interés se entiende como el plan o técnica para dirigir un asunto o para conseguir un objetivo.En la primera situación, una posibilidad sería buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el hueco lo cual no está mal, pero sería muy trabajoso y mostraría que no pensamos mucho sobre el asunto y estamos procediendo de manera mecánica. Otra posibilidad sería echar abundante agua por el orificio, la pelota flotaría y podremos sacarla, lo cual sería una solución más razonada, ¿no crees?Para resolver la segunda situación, deberemos aplicar la inducción y para ello hay que tener una idea de lo que

es razonamiento inductivo – deductivo, nociones que estudiaremos más delante.¿QUÉ ES INDUCCIÓN?La palabra inducción proviene del latín "Inductio". ("in": en y "ducere": conducir); que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general; así, la inducción desempeña un gran papel en las ciencias experimentales. Mas adelante podremos apreciar la forma de aplicar este modo de razonar en la resolución de problemas matemáticos.¿QUÉ ES DEDUCCIÓN?La deducción es la acción de deducir, también es la conclusión que se obtiene de un proceso deductivo. La palabra deducir , proviene del latín "deducere" que significa sacas consecuencias. En el presente estudio veremos como a partir de casos generales llegamos a establecer cuestiones particulares que nos interesan para la resolución de problemasPodemos decir, figurativamente, que la inducción y la deducción son las dos cara de una misma moneda, estableciéndose como herramientas poderosas que han permitido el avance de la ciencia en general. ¿Cómo hizo Arquímedes para determinar, según él, el valor aproximado del número y el cálculo de áreas re regiones sumamente complicadas para su época? ¿Cómo llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes? ¿De qué manera Galileo procedió a establecer la

relación: ? ¿Sospechas como

llegó Newton a dar la ley de la gravitación universal a partir de hechos


METODO INDUCTIVO -


comunes contemplados por todos nosotros, pero que él supo observar atentamente para enunciar tan importante teoría? y ¿Lobatcheysky, para crear una geometría euclideana? y ¿Einstein, con su teoría de la relatividad? ... En fin, gran parte de lo establecido hasta ahora por la ciencia se ha hecho en base a la experimentación, a la aplicación de la inducción, y deducción, y al proceso de ensayo – error con el estudio y el análisis de todas las consecuencias que se derivan de ellos, los cuales ha permitido el avance de la ciencia en todos los campos.MÉTODOS RAZONATIVOS: Lógica Inductiva y Lógica Deductiva

Al igual que Daniel, muchos estudiantes al empezar la resolución de un problema siempre se preguntan: ¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por donde empiezo la resolución del problema?, ¿será éste el camino adecuado para su resolución?; indudablemente que para el ejemplo anterior, el contar uno por uno los palitos de fósforos del castillo no sería una resolución adecuada ya que sería muy tedioso y agotados realizar dicha operación. Siempre que se busca la solución de un problema, debemos buscar los caminos más cortos para llegar a ella, debemos analizar nuestros

datos e incógnitas y al relacionarlos debemos encontrar una "estrategia" de cómo afrontar el problema, "ser creativos y analistas", para buscar esa relación de datos e incógnitas. Justamente, a partir de estas ideas ("tener estrategia", "ser creativo y analista") surgen dos herramientas importantes que nos permiten afrontar un problema ¿la lógica inductiva y la lógica deductivaLas lógicas inductiva y deductiva representan la base del razonamiento matemático, pilares sobre los cuales se constituye esta hermosa disciplina, en base a la observación y al análisis.

LÓGICA INDUCTIVA (Inducción):Es un modo de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conduce la descubrimiento de las leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras.

Así:

El método del razonamiento inductivo es un métodos especial de demostración matemática que permite, en base a observaciones particulares, juzgar las regularidades generales correspondientesEjemplo:

LÓGICA DEDUCTIVA (Deducción)Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular.Así:

Ejemplo

Observación: En es parte se debe recordar

las principales conclusiones básicas, ya aprendidas con anterioridad (criterios, generales de la adición, sustracción, multiplicación, división, etc.), las cuales ayudarán a verificar los casos particulares

La deducción e inducción están íntimamente relacionadas. Generalmente, la deducción es el

complemento de la inducción, y viceversa.

PRACTICA DE CLASE01. Al simplificar:

Resuelta:

a) b) c)

d) e) N.A.

02. El resultante de simplificar la sgte. Expresión:

, es:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

03. Hallar la fracción decimal equivalente a:

a)0,54 b) 2 c) 1,83d) 3,17 e) N.A

04. El resultado de R, donde:



,es

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. Al efectuar:

;

resulta:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

06. Al efectuar:

, se

obtiene

a) 6 b) -36 c)

d) e)

07. Si la semisuma de dos números enteros distintos se multiplican por la semidiferencia de ellos, al dividir el producto obtenido por la diferencia de los cuadrados de estos números, resulta:

a) b) c)

d) 0,25 e)

08. El inverso multiplicativo de:

, es:

a) b) c)

d) e)

09. Hallar el valor de “” en:

a) 1 b) 2 c) 5d) 7 e) 9

10. Efectúa y da como respuesta la suma de cifras del resultado:

a) 12 b) 13 c) 18d) 23 e) 227

11. Calcula: a + b, si:

a) 12 b) 7 c) 11d) 19 e) 13

12. Si:

Calcula:

a) 91 b) 90 c) 96d) 100 e) 20

13. Simplifica:

a) 1 b) c) 3

d) 2 e) N.A.

14. Calcula el valor de “I”, en:

a) 3 b) 9 c) 27d) 35 e) 81

15. Simplifica:

a) 8 b) 1458 c) 81d) 27 e) 16

TAREA DOMICILIARIA

01. Halla:

Si:

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

02 Hallar el valor de:

a) 7 b) 0,7 c) 70d) 7000 e) 700

03. Halla el resultado de:

a) b) 0,1 c) 0,01

d) 0,9 e) 1

04. Calcula: M = a + b + c

Si:

a) 11 b) 20 c) 15d) 18 e) N.A

05. Calcula la suma de la cifras del resultado de A+D

D = 999 x 1000 x 1001

a) 42 b) 55 c) 49d) 41 e) 57

06. Calcula el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


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