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1UNCP REGULAR 2009 - II TEMA 1 / RAZ. MATEMÁTICO

INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTOLÓGICO (LÓGICA DE CLASES)

RAZ. MATEMÁTICO - TEMA 1

IDEAS FUERZA

m Recuerda, cuando un conjunto está vacío se pintacompletamente y si no está vacío se coloca una "x",que indica que en el hay elementos

UNI

I. LÓGICA DE CLASESEs la parte de la lógica que se encarga del estudio delas proposiciones categóricas.

A. Proposiciones categóricasEs una enunciado o proposición que afirma o niegaque un conjunto o clase está incluído en otro, totalo parcialmente. Las proposiciones categóricas típicasse caracterizan por tener en su estructura:a) Cuantificadorb) Sujetoc) Verbo copulativod) Predicado

Ejemplo:

{(c)(a) (b) (d)

Todos los hombres son mortales.123 14243 14243

Cuantificador: parte de la expresión que indicala cantidad lógica en una proposición. Según estoun cuantificador puede ser universal o particular(existencial). Según su calidad una proposicióncategórica puede ser afirmativa o negativa.

Ejemplos:

1. "Todos los perros son rabiosos"____________________________________

2. "Ningún niño es responsable"____________________________________

3. "Algunos estudiantes son mayores"____________________________________

4. "Algunos pobres no son locos"____________________________________

5. "Cada niño recibió un regalo"____________________________________

6. "Más de uno se quedó sin escuchar la clase"____________________________________

7. "Todas las gallinas tienen plumas"____________________________________

8. "Los hombres son celosos"____________________________________

9. "Por los menos un luchador es fuerte"____________________________________

10."No hay peces voladores"____________________________________

11."Dos gatos son chillones"____________________________________

12."No existe mujer paciente"____________________________________

En este capítulo estudiaremos la parte de la lógica que se encarga del estudio de las

proposiciones categóricas (es decir del estudio de la lógica de conjunto), muy

importante debido a su recurrencia en los exámenes de admisión de la Universidad

Nacional de Ingeniería.

Academias Exigimos más!Pamer INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO LÓGICO (LÓGICA DE CLASES)

2TEMA 1 / RAZ. MATEMÁTICO UNCP REGULAR 2009 - II

IDEAS FUERZA

m Al momento de negar una proposición categórica sedebe cambiar la cantidad y la calidad de dichaproposición.

IDEAS FUERZA

m El caso especial se reconoce cuando con uncuantificador universal la negación afecta al verbocopulativo, en este caso la negación afectará a todala proposición.

Representación gráfica de los cuantificadores

1. Conjunto Universal

2. Conjunto no vacío

3. Conjunto vacío

4. Conjunto indeterminado

Luego, grafiquemos a manera de ejemplo algunasproposiciones categóricas:

1. Universal afirmativa:Todos los limeños son peruanos.

2. Universal negativa:Ningún judío es alemán.

3. Particular afirmativa:Algunos políticos son honestos.

4. Particular negativa.Algunos mamíferos no son carnívoros.

Negación de proposiciones categóricas

La negación de una proposición categórica consiste,

básicamente, en cambiar la cantidad y la calidad deésta.

∼ (Universal afirmativa) = __________________

∼ (Universal negativa) = ___________________

∼ (Particular afirmativa) = __________________

∼ (Particular negativa) = ___________________

Caso especial

En una proposición categórica con un cuantificador

universal, si la negación se encuentra afectando alverbo copulativo, entonces la negación funciona

como si afectará a toda la proposición.

Nota:En una proposición categórica existe una diferencia

cuando la negación está antes del verbo copulativo

y cuando está después del verbo.



No (todos los poetas son sensi-bles) ≡ algunos poetas no son sensibles.

Nota: recuerda que primero se gráficalas proposiciones universales y luego lasparticulares.Graficando ambas premisas:

Nota: Recuerda que primero se graficalas proposiciones universales y luego lasparticulares.

Conclusión:∴ Algunos poetas no son artistas.

Respuesta: C) Algunos poetasno son artistas

Problema 2La negación de: "todos los rectángulosson paralelogramos"es:A) Todos los rectángulos son no

paralelogramos.

Problema 1A partir de las siguientes premisas:- Todos los artistas son sensibles.- No es cierto que todos los poetas

sean sensibles.Se infiere validamente que:A) Todos los poetas son artistas.B) Ningún artista es poeta.C) Algunos poetas no son artistas.D) Todos los artistas son poetas.E) Algunos sensibles no son poetas.

Resolución:Ubicación de la incógnita:Se infiere validamente que

Análisis de los datos o gráficos:- Todos los artistas son sensibles.- No es cierto que todos los poetas

sean sensibles.

Operación del problema:Todos los artistas son sensibles.

No es cierto que todos los poetas seansensibles.

B) Todos los no rectángulos no sonparalelogramos.

C) Algunos rectángulos no sonparalelogramos.

D) Algunos rectángulos son para-lelogramos.

E) Todos los no rectángulos sonparalelogramos.

Resolución:Ubicación de la incógnita:La negación de

Análisis de los datos o gráficos:Todos los rectángulos son parale-logramos.

Operación del problema:- Todos los rectángulos son para-

lelogramos.- Reconocemos que está propo-

sición es universal afirmativa y almomento de negar debo cambiarla cantidad y calidad de dichaproposición.

¥ universal Afirmativa ≡ particularnegativa

Conclusión:∴ ¥(todos los rectángulos son

paralelogramos) ≡ Algunos rectán-gulos no son paralelogramos.

Respuesta: C) algunos rectángulosno son paralelogramos

Por ejemplo:

- Todos los debutantes son inexpertos14243→ Todos los debutantes son no expertos

Graficamente:

→ Todos los debutantes son inexpertos ≡ ningúndebutante es experto.

Halla la equivalencia de las siguientes proposiciones1. Todos los S son no P:

____________________________________

2. Ningún S es no P:

____________________________________

3. Algunos S son no P:

____________________________________

4. Algunos S no son no P:

____________________________________

5. Todos los niños son irresponsables:

____________________________________

6. Ningún juez es descortés:

____________________________________

7. Algunos futbolistas son inescrupulosos:

____________________________________

8. Algunos peces no son atípicos:

____________________________________



Problema 3Dadas las siguientes premisas:- Todos los que estudian arqui-

tectura saben dibujar.- Algunos estudiantes de arqui-

tectura hacen deporte.Se deduce que:A) Ninguno que estudie arquitectura

hace deporte.B) Todos los que hacen deporte

saben dibujar.C) Todos los que estudian arqui-

tectura no hacen deporte.D) Algunos que hacen deporte saben

dibujar.E) Ninguno que hace deporte estudia

arquitectura.

Resolución:

Ubicación de la incógnita

Se deduce que:

Análisis de los datos o gráficos:

Todos los que estudian arquitecturahacen deporte.Algunos estudiantes de arquitecturahacen deporte.

Operación del problema:De la primera premisa:

De la segunda premisa

Gráficando ambas premisas:

Conclusiones

∴ Algunos que hacen deportesaben dibujar.

Respuesta: D) Algunos que hacen

deporte saben dibujar.

1. Si sabemos que:"Todos los perros comen carne".entonces podemos concluir que:A) Algunos perros no comen carne.B) Ningún perro come carne.C) Algunos perros no son carnívoros.D) Ningún perro no come carne.E) No todos los gatos comen carne.

2. Si se afirma que:"Ningún político es honesto",entonces.A) Todo honesto no es político.B) Algún político es honesto.C) Es falso que algún político sea

honesto.D) Algún honesto es político.E) Es falso que todo político es

honesto.

3. Sostenemos que "Ningún ave esde sangre fría", de ahí que:A) Toda ave es de sangre no fría.B) Alguna ave es invertebrado.C) Toda ave es vivípara.D) Algún ave es de sangre fría.E) Algunas aves no son de sangre fría.

4. Si ningún lingüísta es matemático"concluimos que:A) Todo matemático es no lingüísta.B) Todo matemático es lingüísta.C) Algún lingüísta no es mate-

mático.D) Algún no l ingüísta no es

matemático.E) Ningún matemático es lingüísta.

5. Si sostenemos que:"Ninguna serpiente es venenosa yalgunos reptiles son venenosos".deducimos que:A) Los reptiles son venenosos.B) Todo reptil es serpiente.C) Ningún reptil es serpiente.D) Todo venenoso es reptil.E) Algunos reptiles no son venenosos.

6. Si negamos que: "Ningún anfibio esartrópodo", entonces derivamos que:A) Algún anfibio es artrópodo.B) Algún anfibio no es artrópodo.C) Todo artrópodo es anfibio.D) Es falso que algun anfibio es

artrópodo.E) Es falso que algún artrópodo

es anfibio.

7. Ningún "M" es "N" y algún "N" es"R". entonces:A) Algún no "M" es "R".B) Algún "M" es "R".C) Todo "M" es "R".D) Algún no "M" es no "R"E) Ningún "R" es "M".

8. Si todos los físicos son científicos ytodos los científicos son racionales¿Cual de las afirmacionesnecesariamente es verdad?A) Todos los racionales son

científicos.B) Todos los científicos no son

racionales.C) Algunos f ís icos no son

racionales.D) Todos los físicos son racionales.

E) Algunos no físicos son noracionales.

9. "Todo estudiante es planificador ",se simboliza por:

A) EP = ∅ B) EP ≠ ∅C) EP = ∅ D) PE = ∅E) PE = ∅



10. "Ningun inhumano es pacifista, sepuede simbolizar por:A) PH ≠ ∅ B) PH = ∅C) HP = ∅ D) HP = ∅E) HP = ∅

11. Jorge negó que "varios alumnosdel Círculo no ingresaron a launiversidad"; luego dijo que:A) Algunos alumnos del Círculo no

ingresaron a la universidad.B) Todos los alumnos del Círculo

no ingresaron a la universidad.C) Muchos alumnos del Círculo

ingresaron.D) Ningún alumno del Círculo no

ingresó a la universidad.E) Todos los alumnos del Círculo

ingresaron a la universidad.

12. El gráfico:

Se interpreta como:A) Algún biólogo es botánico.B) Todo biólogo es botánico.C) Ningún biólogo es botánico.D) Algún botánico es biólogo.E) Todo botánico es biólogo.

13. El gráfico:

Sugiere la conclusión:A) Algún plástico es producto del

carbono.B) Todo carbono es el elemento

orgánico.C) Ningún plástico es producto del

carbono.D) Algún carbono es plástico

orgánico.E) Todo plástico es producido del

carbón.

14. Si "No existe analfabeto queescriban textos", podemos concluirque:A) Todo autor de texto es culto.B) Ciertos analfabetos son ricos.C) No es el caso que los analfabetos

escriban textos.D) No es posible que algunos

autores de tex to sonanalfabetos.

E) Ningún autor de texto esanalfabeto.

15. "Si todo profesor es hombre deacción y ningún pesimista esprofesor":A) Ningún pesimista es hombre de

acción.B) Todo profesor es pesimista.C) Todo hombre de acción es

profesor.D) Algún profesor es no pesimista.E) Ningún hombre de acción es

pesimista.

16. De las proposiciones: "Todo actomoral es necesario y algun actomoral es justo", inferimos que:A) Algo justo es necesario.B) Algo es justo y no es necesario.C) Todo lo justo no es necesario.D) Ninguna cosa necesaria es justo.E) Es falso que algún acto moral

es justo.

17. Al negar la conclusión de lassiguientes proposiciones:"Ningún animal piensa y algunosseres piensan".Se obtiene:A) Algunos seres no son animales.B) Hay personas que no piensan.C) Toda persona es racional.D) Algún animal piensa.E) Todo ser es animal.

18. A partir de las proposiciones: "Todoprofesor es trabajador y algúnprofesor no es honesto".Se concluye:A) Algun trabajador es honesto.B) Todo trabajador es honesto.

C) Todo honesto es trabajador.D) Ningún desonesto es

trabajador.E) Varios trabajadores no son

honestos.

19. De las premisas:Todos los tigres son carnívorosTodos los leones son carnívorosAlgunos felinos no son carnívorosSe infiere que:A) Los tigres no son leonesB) Algunos leones son felinosC) Algunos felinos son carnívorosD) Hay felinos que son vege-

tarianosE) Existen felinos que no son

tigres

20. Sara y Manuel comparten lassiguientes ideas:

"Todo esfuerzo es valorado" y"Algún esfuerzo es sacrificio", luegotendrán presente que:

A) Todo sacrificio es valorado.

B) Algún sacrificio es valorado.

C) Ningún sacrificio es no valorado.

D) No es bueno sacrificarse paraser valorado.

E) Todos debemos sacrificarnospara ser valorados.

21. Indicar la negación de laproposición: "Todos los queestudian triunfan".A) Todos triunfan y no estudian.B) Algunos estudian y triunfan.C) Algunos estudian y no triunfan.D) Ninguno que estudia triunfa.E) Todos triunfan y no estudian.

22. La conclusión correcta de:- Ningún parlamentario es

rebelde.- Todos los jóvenes son

rebeldes; es:A) Todos los jóvenes son

parlamentarios.B) Ningún joven es parlamentario.C) Algunos jóvenes son

parlamentarios.D) Algunos jóvenes no son

parlamentarios.E) Ningún parlamentario no es

rebelde.



1. ¿Qué es una proposición categórica?

________________________________________

2. ¿Cuál es la estructura de una proposición categórica?

________________________________________

3. ¿Cuántos son los cuantificadores universales?

________________________________________

4. ¿Cuál es el cuantificador particular?

________________________________________

5. ¿Cómo se debe negar una proposición categórica?

________________________________________

6. ¿Cuál es la estructura del caso especial?________________________________________

7. ¿Cómo se representa un conjunto vacío?________________________________________

8. ¿Cómo se representa un conjunto no vacío?________________________________________

9. ¿Qué sucede si la negación afecta al predicado?________________________________________

10. ¿Qué sucede si la negación afecta al sujeto?________________________________________

23. Si:- Todos los pilotos vuelan

aviones.- Ninguno que toma vuela

aviones.A) Algunos que vuelan aviones

toman.B) Algunos pilotos no vuelan

aviones.C) Algunos que vuelan aviones

son pilotos.D) Ninguno que toma es piloto.E) Ningún piloto vuela aviones.

24. Se t iene las s iguientesafirmaciones:- Ninguno de los ingenieros son

inteligentes.- Algunos arequipeños son

inteligentes.¿Qué se puede concluir?A) Todos los arequipeños son

inteligentes.B) Algunos arequipeños no son

ingenieros.C) Ningún arequipeño es

inteligente.D) Jorge es arequipeño, entonces

es inteligente.E) José es ingeniero, entonces es

arequipeño.

25. ¿Cuál es la negación de: "Todoestudiante hábil entiende rápido"?

A) Ningún estudiante hábi lentiende rápido.

B) Algunos estudiantes hábiles noentienden rápido.

C) Todo estudiante no hábil noentiende rápido.

D) Algunos estudiantes no hábilesno entienden rápido.

E) Todo estudiante hábil entiendelento.

26. Dada las siguientes afirmaciones:- Si ningún A es B.- Algunos C son de B.Entonces la condición lógica es:A) Ningún A es C.B) Algunos A no son C.C) Algunos B son A.D) Agunos C no son A.E) Algunos C no son A ni B.

27. De la negación de: "Algunas líneasno son curvas". Se concluye:A) Algunas curvas no son lineales.B) Toda curva no es línea.C) Algunas líneas son curvas.D) Algunas no líneas son curvas.E) Toda línea es curva.

28. El enunciado: "Todos losrománticos son soñadores". Escierto, ¿cuál de las siguientesafirmaciones es verdadero?

A) Todos los soñadores sonrománticos.

B) Si A es romántico, es soñador.C) Si A es soñador, es romántico.D) Si A es románt ico, no es

soñador.E) Si A no es soñador, es

romántico.

29. Sabiendo que: "Algunos gatos soninmortales". Se puede inferir que:A) Algunos gatos no son

inmortales.B) Todos los gatos son inmortales.C) Algunos gatos no son mortales.D) Ningún gato es mortal.E) Ningún gato es inmortal.

30. Sabiendo que:- Ninguna rel igiosa es

imprudente.- Algunas maestras son

imprudentes.Podemos concluir:A) Algunas maestras son

religiosas.B) Algunas maestras no son

religiosas.C) Algunas maestras no son

imprudentes.D) Ninguna religiosa es maestra.E) Todas las maestras son

imprudentes.

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