TEMA II: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON

COEFICIENTES VARIABLES. FUNCIONES ESPECIALES

Comenzaremos presentando un pequeno repaso sobre series de potencias.

Dada la serie de potenciasn=0

an(x x0)n, (0.1)

diremos que esta converge en un punto x si limm

mn=0

an(x x0)n existe. Es evidente que la serie(0.1) es convergente para x = x0.

La serie (0.1) se dice absolutamente convergente en un punto x, si la serien=0

|an(x x0)n|converge. Si la serie converge absolutamente en x tambien converge, pero el recproco no es necesa-

riamente cierto.

Para el estudio de la convergencia absoluta de series de potencias se usara cualquiera de los

criterios de series, siendo los mas utilizados el criterio del cociente y el de la raz.

Ejemplo:n=0

(1)n+1n(x 2)n.

Si la serie (0.1) converge en x = x1, entonces converge absolutamente para |x x0| < |x1 x0|;si diverge en x = x1, entonces diverge para |x x0| > |x1 x0|.

Existe un numero , llamado radio de convergencia, tal que la serie (0.1) converge para

|x x0| < y diverge para |x x0| > . Si la serie converge solo para x = x0 decimos que = 0 y siconverge para todo x decimos que es infinito.

Ejemplo:n=1

(x+ 1)n

n2n.

Sin=0

an(x x0)n converge a f(x) para |x x0| < , ( > 0), entonces es cierto lo siguiente:

an = f(n)(x0)n!

.

1

f(x) es continua y derivable para todos los ordenes en |x x0| < . Ademas

f (x) = a1 + 2a2(x x0) + ... + nan(x x0)n1 + ... =n=1

nan(x x0)n1,

f (x) =n=2

n(n 1)an(x x0)n2,

f (k)(x) =n=k

n(n 1)...(n k + 1)an(x x0)nk (k N),

siendo todas estas series convergentes para |x x0| < .

Sin=0

an(x x0)n yn=0

bn(x x0)n convergen a f(x) y g(x) respectivamente para |xx0| < ,( > 0), entonces lo siguiente es cierto para |x x0| < .

n=0

(an bn)(x x0)n = f(x) g(x).

[n=0

an(x x0)n] [n=0

bn(x x0)n] =n=0

cn(x x0)n = f(x) g(x) con cn = a0bn + a1bn1 +... + anb0.

Sin=0

an(x x0)n =n=0

bn(x x0)n para todo x, entonces an = bn, (n = 0, 1, 2, .....). En

particular, sin=0

an(x x0)n = 0, entonces an = 0, (n = 0, 1, 2, ...).

Ejemplos:

1.n=0

(x 3)n; = 1; intervalo de convergencia: 2 < x < 4. Funcion suma: f(x) = 14x .

2.n=0

2nxn; =12; intervalo de convergencia: 1

2< x 0. Desde elmomento que demostremos la existencia de y lo hallemos, habremos dado sentido al procedimiento

seguido.

Ejemplos:

1. y + y = 0; x0 = 0. Solucion: y(x) = C1 cos x+ C2sen x; =.

2. y xy = 0; x0 = 0; (Ecuacion de Airy).

Tomamos las soluciones

y1(x) = 1 +k=1

1km=1 (3m)(3m 1)

x3k ; y2(x) = x+k=1

1km=1 (3m)(3m+ 11)

x3k+1,

soluciones respectivas de los problemas de valores iniciales{y xy = 0y(0) = 1, y(0) = 0

{y xy = 0y(0) = 0, y(0) = 1,

Dado que

W (y1, y2)(0) =

y1(0) y2(0)y1(0) y2(0) =

1 00 1 = 1 6= 0,

y1 e y2 son linealmente independientes en un entorno de x = 0 y por tanto la solucion general

de la ecuacion de Airy es

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) C1, C2 R.

El radio de convergencia de las series que definen a y1 e y2 es infinito.

3

3. (x2 + 1)y + xy y = 0; x0 = 0. Solucion: y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), siendo y1(x) = x ey2(x) = 1 +

12x2 +

n=2

(1)n1 1 3 5 (2n 3)2nn!

x2n; = 1.

Nota: En general, en los ejercicios trabajaremos con x0 = 0. Cuando deseemos resolver las ecuaciones

en un entorno de un punto x0 6= 0, bastara con efectuar el cambio t = xx0, resolver en t = 0 y luegodeshacer el cambio.

1.1 Ecuacion de Legendre. Polinomios de Legendre

La ecuacion de Legendre es de la forma:

(1 x2)y 2xy + (+ 1)y = 0 ( R).

El punto x = 0 es ordinario: y(x) =n=0

anxn; y(x) =

n=1

nanxn1; y(x) =

n=2

n(n 1)anxn2.Sustituyendo en la ecuacion llegamos a:

n=2

n(n 1)anxn2 n=2

n(n 1)anxn n=1

2nanxn +n=0

(+ 1)anxn = 0.

Igualando los coeficientes de las potencias del mismo orden:

x0 : 2a2 + (+ 1)a0 = 0x1 : 3 2a3 2a1 + (+ 1)a1 = 0x2 : 4 3a4 2 1a2 2 2a2 + (+ 1)a2 = 0x3 : 5 4a5 3 2a3 2 3a3 + (+ 1)a3 = 0.....

xk : (k + 2)(k + 1)ak+2 k(k 1)ak 2kak + (+ 1)ak = 0,de donde obtenemos los coeficientes ak:

a2 = (+ 1)2 a0

a3 =2 (+ 1)

3 2 a1 = (+ 2)( 1)

3 2 a1

a4 =6 (+ 1)

4 3 a2 = (+ 3)( 2)

4 3 a2 =(+ 3)( 2)(+ 1)

4 3 2 a0

a5 =12 (+ 1)

5 4 a3 = (+ 4)( 3)

5 4 a3 =(+ 4)( 3)(+ 2)( 1)

5 4 3 2 a1....

ak+2 =k(k 1) + 2k (+ 1)

(k + 2)(k + 1)ak = (+ k + 1)( k)(k + 2)(k + 1) ak.

4

De esta ultima expresion se deduce que los coeficientes de subndice par van a depender de a0 y los

de subndice impar de a1, quedando

a2m = (1)m (+ 2m 1)(+ 2m 3).....(+ 1)( 2)( 4)...( 2m+ 2)(2m)! a0

a2m+1 = (1)m (+ 2m)(+ 2m 2).....(+ 2)( 1)( 3)...( 2m+ 1)(2m+ 1)! a1,

y la solucion general de la ecuacion de Legendre viene expresada por y(x) = C1y1(x)+C2y2(x), donde

y1(x) = 1 (+ 1)2! x2 +

(+ 3)(+ 1)( 2)4!

x4 + ...

... + (1)m (+ 2m 1)(+ 2m 3).....(+ 1)( 2)( 4)...( 2m+ 2)(2m)!

x2m + ...

y2(x) = x (+ 2)( 1)3! x3 +

(+ 4)(+ 2)( 1)( 3)5!

x5 + ...

... + (1)m (+ 2m)(+ 2m 2).....(+ 2)( 1)( 3)...( 2m+ 1)(2m+ 1)!

x2m+1 + ...

son soluciones linealmente independientes en un entorno de x = 0.

Polinomios de Legendre

Para determinados valores de las series anteriores se truncan, dado que a partir de un termino

se hacen todos ceros, originandose soluciones polinomicas.

1. Si = 2m (m N)

(a) = 0 p0(x) = 1

(b) = 2 p2(x) = 1 3x2

(c) = 4 p4(x) = 1 10x2 + 353 x4.

2. Si = 2m+ 1 (m N)

(a) = 1 p1(x) = x

(b) = 3 p3(x) = x 53x3

(c) = 5 p5(x) = x 143 x3 +

215x5.

En realidad los polinomios de Legendre son multiplos escalares de los pn(x) y como tales son

tambien soluciones de la ecuacion de Legendre. La siguiente igualdad (conocida como formula de

Rodrgues) genera, para los distintos valores de n N, estos polinomios:

Pn(x) =1

2nn!dn

dxn

[(x2 1)n

]5

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 32x2 12 ,

P3(x) = 52x3 32x, P4(x) = 358 x4 154 x2 + 38 .

Propiedades de los polinomios de Legendre

Para todo n N:

Pn(1) = 1.

Pn(x) = (1)nPn(x).

11

xkPn(x)dx = 0 para todo k = 0, 1, 2, ..., n1. La demostracion de esta propiedad se basa entres cuestiones: sustituir Pn(x) por su expresion en la formula de Rodrgues, integrar por partes

k veces y tener en cuenta que en las sucesivas derivadas de (x2 1)n comparece el factor x2 1,que se anula en x = 1 y x = 1, en todos los sumandos.

11

xnPn(x)dx =2n+1(n!)2

(2n+ 1)!. En este caso la demostracion sera una continuacion de la del

apartado anterior, es decir, siguiendo el mismo proceso y teniendo en cuenta que k = n, obten-

dremos la integral22n

10(1 x2)ndx.

Efectuando el cambio x = sen t y aplicando reiteradamente el metodo de integracion por partes,

obtendremos el resultado deseado.

11

[Pn(x)]2 dx =

22n+ 1

. En esta propiedad si desarrollamos uno de los Pn(x), tenemos en

cuenta la linealidad del operador integral respecto a la suma y las propiedades anteriores, es

facil concluir que el unico termino significativo en esta integral es el de orden n en Pn(x). Con

esto nuestra integral se reduce a 11

12nn!

(2n)!n!

xnPn(x)dx,

cuya resolucion da fin a la demostracion.

11

Pm(x)Pn(x)dx = 0 (n 6= m). Esta propiedad se conoce como la propiedad de ortogonali-dad.

Pn(x) tiene n ceros reales en el intervalo (1, 1).

6

(n+1)Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x)nPn1(x). Esta formula recurrente que relaciona polinomios dedistinto grado tiene mucha utilidad para el calculo de los polinomios de Legendre. Por ejemplo:

(4 + 1)P4+1(x) = (2 4 + 1)xP4(x) 4P3(x) P5(x) = 95xP4(x)45P3(x),

de donde se obtiene que P5(x) =638x5 67

4x3 +

26740

x.

1.2 Ecuacion de Hermite. Polinomios de Hermite

La ecuacion de Hermite toma la forma:

y 2xy + y = 0 ( R).

Nuevamente x = 0 es un punto ordinario, por lo que la busqueda de soluciones en un entorno de este

punto nos lleva a y(x) =n=0

anxn; y(x) =

n=1

nanxn1; y(x) =

n=2

n(n 1)anxn2.Llevando estos resultados a la ecuacion:

n=2

n(n 1)anxn2 n=1

2nanxn +n=0

anxn = 0,

e igualando coeficientes obtenemos

x0 : 2 1a2 + a0 = 0 a2 = 2 1a0

x1 : 3 2a3 2 1a1 + a1 = 0 a3 = ( 2)3 2 1 a1

x2 : 4 3a4 2 2a2 + a2 = 0 a4 = ( 4)4 3 a2

x3 : 5 4a5 2 3a3 + a3 = 0 a5 = ( 6)5 4 a3

.....

xk : (k + 2)(k + 1)ak+2 2kak + ak = 0 ak+2 = ( 2k)(k + 2)(k + 1)ak.

De esta ultima expresion se deduce que los coeficientes de subndice par van a depender de a0 y los

de subndice impar de a1, quedando

a2m = (1)m( 4)( 8).....( 4(m 1))(2m)! a0

a2m+1 = (1)m ( 2)( 6)( 10).....( 2(2m 1))(2m+ 1)! a1,

7

y la solucion general de la ecuacion de Hermite viene expresada por y(x) = C1y1(x) +C2y2(x), donde

y1(x) = 1 2!x2 +

( 4)4!

x4 ( 4)( 8)6!

x6 + ...

... + (1)m( 4)( 8)...( 4m+ 4)(2m)!

x2m + ...

y2(x) = x ( 2)3! x3 +

( 2)( 6)5!

x5 ( 2)( 6)( 10)7!

x7 + ...

... + (1)m ( 2)( 6)( 10)...( 4m+ 2)(2m+ 1)!

x2m+1 + ...

son soluciones linealmente independientes en un entorno de x = 0.

Polinomios de Hermite

Si tomamos = 2n, n = 0, 1, 2, 3, .....

1. n = 0 : h0(x) = 1; ( = 0)

2. n = 1 : h1(x) = x; ( = 2)

3. n = 2 : h2(x) = 1 2x2; ( = 4)

4. n = 3 : h3(x) = x 23x3; ( = 6)

5. n = 4 : h4(x) = 1 4x2 + 43x4; ( = 8).

En realidad los polinomios de Hermite vienen dados por la formula general

Hn(x)(1)nex2 dn

dxn

[ex

2]

H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 2,

H3(x) = 8x3 12x, H4(x) = 16x4 48x2 + 12, H5(x) = 32x5 160x3 + 120x.

Propiedades

ex2Hn(x)Hm(x)dx = 0 (n 6= m).

Hn+1(x) = 2xHn(x) 2nHn1(x).

ex2[Hn(x)]

2 dx = 2nn!pi.

8

2 Soluciones en series de potencias en puntos singulares

Resolvamos la ecuacion x2y 3xy + 4y = 0, en un entorno de x = 0, por el metodo aprendido, esdecir, busquemos soluciones de la forma y(x) =

n=0

anxn en un entorno de x = 0. y(x) =

n=1

nanxn1;

y(x) =n=2

n(n 1)anxn2. Igualando coeficientes:

x0 : 4a0 = 0 a0 = 0x1 : 3 1a1 + 4a1 = 0 a1 = 0x2 : 2 1a2 3 2a2 + 4a2 = 0 0 = 0.....

xk : k(k 1)ak 3kak + 4ak = 0 (k 2)2ak = 0 k = 2 o bien ak = 0.

Por lo tanto, ak = 0 para todo k 6= 2, de donde la unica solucion que se obtiene es y1(x) = a2x2.Es evidente que en este caso el metodo no nos permite hallar la solucion general, pues no podemos

encontrar otra solucion linealmente independiente con y1(x). Dos cuestiones que hemos de resolver

son: a que es debido el fracaso en la aplicacion del metodo y como haremos para calcular la solucion

que nos falta.

La respuesta a la primera cuestion es que x = 0 no es un punto ordinario de la ecuacion

planteada, ya que P (x) = x2 y P (0) = 0.

En cuanto a la segunda cuestion, ocurre que y2(x) = x2 lnx es solucion para x > 0 de la ecuacion

y es linealmente independiente con y1(x):

y2(x) = 2x lnx+ x, y2(x) = 3 + 2 lnx

x2y2(x) 3xy2(x) + 4y2(x) = 0,

W (y1, y2) =

x2 x2 lnx2x 2x lnx+ x = x3 6= 0(x 6= 0).

En realidad no podemos dar soluciones como funciones continuas o derivables en x = 0, lo unico que

logramos es dar comportamientos de las soluciones al aproximarse a x = 0. En este caso las dos

soluciones son acotadas al acercarnos al origen: limx0 y1(x) = limx0 y2(x) = 0.

El ejemplo anterior nos induce a buscar otro metodo de resolucion cuando buscamos soluciones

desarrolladas alrededor de puntos no regulares.

Definicion 2.1 Dada la ecuacion P (x)y(x)+Q(x)y(x)+R(x)y(x) = 0, diremos que x0 es un punto

singular de esta ecuacion si P (x0) = 0. En caso de que (xx0)Q(x)P (x)

y (xx0)2R(x)P (x)

sean analticas

9

en x0, es decir que admitan desarrollo en serie de potencias de x x0, diremos que x0 es un puntosingular regular. En caso contrario x0 se dira singular irregular.

Ejemplos:

1. (1 x2)y 2xy + (+ 1)y = 0 ( R). Los puntos x = 1 y x = 1 son puntos singularesregulares.

2. (x24)2y+(x2)y+y = 0. El punto x = 2 es un punto singular regular, x = 2 es un puntosingular irregular.

Pasaremos a continuacion a estudiar soluciones alrededor de x = x0, punto singular regular.

2.1 La ecuacion de Euler

Uno de los ejemplos mas sencillos de ecuacion diferencial que posee un punto singular regular es la

ecuacion de Euler

x2y(x) + axy(x) + by(x) = 0 (a, b R). (2.4)

Nota: En realidad la ecuacion puede ser escrita como (x xo)2y(x) + a(x x0)y(x) + by(x) = 0,pero haciendo el cambio X = x x0, obtenemos la ecuacion (2.4).

Si buscamos soluciones de la forma y(x) = xr (x > 0), y(x) = rxr1, y(x) = r(r 1)xr2:

r(r 1)xr + arxr + bxr = 0 [r(r 1) + ar + b]xr = 0.

Luego hemos de exigir que p(r) = r(r 1) + ar + b = 0 (ecuacion indicial).

si p(r) tiene dos races reales distintas r1 6= r2, entonces y1(x) = xr1 e y2(x) = xr2 son solucioneslinealmente independientes.

Si p(r) tiene una raz doble r = r1, las soluciones que se obtiene son de la forma y1(x) = xr1 ey2(x) = xr1 lnx.

si p(r) tiene races complejas r1 = + i y r2 = i, entonces y1(x) = x cos( lnx) ey2(x) = xsen( lnx) son soluciones linealmente independientes.

En caso de ser x < 0 buscamos soluciones de la forma y(x) = (x)r. Resumiendo, se puede enunciarla siguiente proposicion:

10

Proposicion 1 La ecuacion de Euler de segundo orden x2y + axy + by = 0, donde a y b son

constantes reales, admite la siguiente familia de soluciones fundamentales en cualquier intervalo que

no contenga a x = 0;

1. r1 6= r2 con r1, r2 R: y1(x) = |x|r1; y2(x) = |x|r2.

2. r1 = r2: y1(x) = |x|r1; y2(x) = |x|r1 ln |x|.

3. r1 = + i y r2 = i: y1(x) = |x| cos( ln |x|); y2(x) = |x|sen( ln |x|).

Demostracion:

En realidad, la justificacion es muy sencilla si se tiene en cuenta que aplicando el cambio de variable

x = et en la ecuacion de Euler obtenemos la ecuacion de coeficientes constantes y+(a1)y+by = 0.

Lo visto se generaliza a la ecuacion de Euler de orden n

xny(n)(x) + a1xn1y(n1)(x) + .... + an1xy(x) + any(x) = 0.

La ecuacion indicial es:

p(r) = r(r 1)...(r n+ 1) + a1r(r 1)...(r n+ 2) + ... + an1r + an = 0.

Por tanto, un sistema fundamental de soluciones viene dado por

|x|r1 , |x|r1 ln |x|, |x|r1 ln2 |x|, .... |x|r1 lnm11 |x|

|x|r2 , |x|r2 ln |x|, |x|r2 ln2 |x|, .... |x|r2 lnm21 |x|. . . . .. . . . .

|x|rs , |x|rs ln |x|, |x|rs ln2 |x|, .... |x|rs lnms1 |x|donde r1, r2, ..., rs son las races, con ordenes de multiplicidad m1,m2, ...,ms respectivamente, de la

ecuacion indicial.

Ejercicios:

x2y + 3xy 8y = 0. Solucion: y(x) = C1x4 + C2x2.

x2y + 3xy + 2y = 0. Solucion: y(x) = |x|1[C1 cos(ln |x|) + C2sen(ln |x|)].

x2y 5xy + 9y = 0. Solucion: y(x) = |x|3[C1 + C2 ln |x|].

x3y + 2x2y xy + y = 0 (x > 0). Solucion: y(x) = C1x+ C2x lnx+ C3x1.

11

2.2 Caso general de ecuacion con puntos singulares regulares

Dada la ecuacion

y(x) + P (x)y(x) +Q(x)y(x) = 0, (2.5)

que posee un punto singular regular en x = x0, tratamos de buscar soluciones de la forma

y(x) =n=0

an(x x0)n+r = (x x0)rn=0

an(x x0)n (r R).

Si x = x0 es un punto singular regular, tenemos asegurada la existencia de al menos una solucion con

tal expresion que convergera al menos en x0 < x < x0 +R.

Por comodidad supondremos que el punto singular regular esta en x0 = 0 (en caso contrario

haremos X = x x0). Esto quiere decir que xP (x) y x2Q(x) son analticas en x = 0

xP (x) =n=0

pnxn P (x) =

n=0

pnxn1

x2Q(x) =n=0

qnxn Q(x) =

n=0

qnxn2.

Hemos de averiguar la condicion que debe verificar r para que y(x) =n=0

anxn+r sea solucion de la

ecuacion (2.5). y(x) =n=0

(n+ r)anxn+r1; y(x) =n=0

(n+ r)(n+ r 1)anxn+r2. Sustituyendoen la ecuacion:

0 = y + P (x)y +Q(x)y =n=0

(n+ r)(n+ r 1)anxn+r2+

+

( n=0

pnxn1

)( n=0

(n+ r)anxn+r1)+

( n=0

qnxn2

)( n=0

anxn+r

)=

= [r(r 1)a0 + p0ra0 + q0a0]xr2 + [(r + 1)ra1 + p0(r + 1)a1 + p1ra0 + q0a1 + q1a0]xr1 + .....Del primer sumando obtenemos la relacion [r(r 1)a0 + p0ra0 + q0a0] = 0. Si tomamos a0 6= 0, setendra r(r 1) + p0r + q0 = 0.

Definicion 2.2 Si x0 es un punto singular regular de la ecuacion y + P (x)y +Q(x)y = 0, entonces

se define la ecuacion indicial de este punto por r(r 1)+ p0r+ q0 = 0, donde p0 y q0 son los primerosterminos del desarrollo en serie de (xx0)P (x) y (xx0)2Q(x) respectivamente, y se pueden calcularcomo

p0 = limxx0

(x x0)P (x) q0 = limxx0

(x x0)2Q(x).

Las races de la ecuacion indicial se llaman races indiciales o exponentes de la singularidad x0.

12

Despues de obtener estas races indiciales procedemos, para calcular los coeficientes an, de igual

forma que con los puntos ordinarios. No obstante podemos encontrarnos problemas cuando las races

sean iguales o cuando su diferencia sea un numero entero. Esto nos lleva a enunciar el siguiente

teorema conocido como teorema de Frobenius.

Teorema 2.1 Sea x0 un punto singular regular de la ecuacion y + P (x)y +Q(x)y = 0 y sean r1 y

r2 las races de la ecuacion indicial asociada, con r1 r2.

1. Si r1 r2 no es un numero entero, entonces existen dos soluciones linealmente independientesde la forma

y1(x) =n=0

an(x x0)n+r1 (a0 6= 0)

y2(x) =n=0

bn(x x0)n+r2 (b0 6= 0).

2. Si r1 = r2, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma

y1(x) =n=0

an(x x0)n+r1 (a0 6= 0)

y2(x) = y1(x) ln |x x0|+n=1

bn(x x0)n+r1 .

3. Si r1 r2 es un numero entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independi-entes de la forma

y1(x) =n=0

an(x x0)n+r1 (a0 6= 0)

y2(x) = Cy1(x) ln |x x0|+n=0

bn(x x0)n+r2 (b0 6= 0),

donde C es constante, y puede valer cero.

Ejemplos:

(x + 2)x2y xy + (1 + x)y = 0. x = 0 es un punto singular regular. r1 = 1 y r2 = 12 son lasraces indiciales con r1 r2 = 12.

y1(x) =n=0

anxn+1 = x 1

3x2 +

110x3 1

30x4 +

130 36x

5 + ... (a0 = 1)

y2(x) =n=0

bnxn+ 1

2 = x12 3

4x32 +

732x52 19 7

4 15 32x72 + ... (b0 = 1).

Solucion general: y(x) = C1y1(x) + C2y2(x).

13

x2y xy + (1 x)y = 0. x = 0 es un punto singular regular. r1 = 1 raz doble de la ecuacionindicial.

y1(x) =n=0

anxn+1 =

n=0

1(n!)2

xn+1 (a0 = 1)

y2(x) = y1(x) lnx+n=1

bnxn+1 = y1(x) lnx+

12x2 1

8x3 7

24 9x4 ... (b1 = 12).

Solucion general: y(x) = C1y1(x) + C2y2(x).

xy + 4y xy = 0. x = 0 punto singular regular. r1 = 0 y r2 = 3 races indiciales, conr1 r2 = 3 N.

y1(x) =n=0

anxn+0 = 1 +

n=1

12nn![5 7 (2n+ 3)]x

2n (a0 = 1)

y2(x) = Cy1(x) lnx+n=0

bnxn3 = x3 1

2x1 1

8x 1

144x3 + ... (b0 = 1, b3 = 0, C = 0).

Solucion general: y(x) = C1y1(x) + C2y2(x).

2.3 La ecuacion de Laguerre. Polinomios de Laguerre

La ecuacion de Laguerre es:

xy(x) + (1 x)y(x) + y(x) = 0 ( R).

x = 0 es un punto singular regular, cuya ecuacion indicial es r(r 1) + p0r + q0 = 0, donde

p0 = limx0x

1 xx

= 1 ; q0 = limx0x

2

x= 0.

r(r 1) + r = 0 r2 = 0 r1 = r2 = 0

y1(x) =n=0

anxn, y2(x) = y1(x) lnx+

n=1

bnxn.

Calculemos y1(x) =n=0

anxn; y1(x) =

n=1

nanxn1, y1(x) =

n=2

n(n 1)anxn2. Sustituyendo en laecuacion:

n=2

n(n 1)anxn1 +n=1

nanxn1

n=1

nanxn +

n=0

anxn = 0.

14

Al igualar coeficientes obtenemos:

x0 : a1 + a0 = 0 a1 = a0

x1 : 2.1a2 + 2a2 a1 + a1 = 0 a2 = ( 1)4 a0

x2 : 3.2a3 + 3a3 2a2 + a2 = 0 a3 = ( 1)( 2)4.9 a0.....

xk : (k + 1)kak+1 + (k + 1)ak+1 kak + ak = 0 ak+1 = (1)k ( 1)...( k)[(k + 1)!]2 a0.

Si tomamos a0 = 1:

y1(x) = 1 +n=1

(1)n( 1)....( n+ 1)(n!)2

xn.

No calcularemos y2(x), pero hacemos notar que existen soluciones polinomicas para la ecuacion de

Laguerre. Si tomamos = n, n = 0, 1, 2, 3, .....

1. n = 0 l0(x) = 1

2. n = 1 l1(x) = 1 x

3. n = 2 l2(x) = 1 2x+ 12x2

4. n = 3 l3(x) = 1 3x+ 32x2 1

6x3.

Llamamos polinomios de Laguerre a unos multiplos escalares de los ln(x), que vienen dados por

la formula

Ln(x) = exdn

dxn(xnex

),

L0(x) = 1, L1(x) = 1 x, L2(x) = x2 4x+ 2.

Propiedades:

0

exLm(x)Ln(x)dx = 0 (n 6= m).

0

ex[Ln(x)]2dx = n!.

Ln+1(x) = (2n+ 1 x)Ln(x) n2Ln1(x).

15

2.4 Ecuacion de Bessel. Funciones de Bessel

La ecuacion de Bessel de orden viene dada por

x2y(x) + xy(x) + (x2 2)y(x) = 0 ( 0).

x = 0 es un punto singular regular cuya ecuacion indicial sera

p0 = limx0x

x

x2= 1 q0 = lim

x0x2x

2 2x2

= 2

r(r 1) + p0r + q0 = 0 r2 2 = 0 r1 = , r2 = .

Hallemos la solucion asociada a r1 = :

y1(x) =n=0

anxn+ , y1(x) =

n=0

(n+ )anxn+1, y1(x) =n=0

(n+ )(n+ 1)anxn+2.

Sustituimos:

n=0

(n+ )(n+ 1)anxn+ +n=0

(n+ )anxn+ +n=0

anxn++2

n=0

2anxn+ = 0,

y al igualar coeficientes llegamos a:

x : ( 1)a0 + a0 2a0 = 0 0 = 0

x+1 : (1 + )a1 + (1 + )a1 2a1 = 0 a1 = 0

x+2 : ( + 2)( + 1)a2 + ( + 2)a2 + a0 2a2 = 0 a2 = 12(2 + 2)a0

x+3 : ( + 3)( + 2)a3 + ( + 3)a3 + a1 2a3 = 0 a3 = 13(3 + 2)a1 = 0

.....

x+k : ( + k)( + k 1)ak + ( + k)ak + ak2 2ak = 0 ak = 1k(k + 2)

ak2.

Haciendo uso de esta ultima expresion concluimos que

a2n = (1)n a022nn!(1+)(2+)....(n+) , a2n+1 = 0.

Nota: para todo x R se define la funcion gamma como

(x) =

0

tx1etdt (x > 0)

limn

n!nx1

x(x+ 1)....(x+ n 1) (x 0).

16

Una propiedad basica de esta funcion es que (x+1) = x(x). En particular, si x = n, (n) = (n1)!.Por otro lado ocurre que (n) para n = 0,1,2,3, ....

Si en la expresion de los coeficientes a2n tomamos a0 =1

2(1 + ), obtenemos

a2n =(1)n

22n+n!(1 + )(2 + )....(n+ )(1 + )=

(1)n22n+n!(n+ + 1)

,

y la solucion buscada queda como

y1(x) = J(x) =n=0

(1)nn!(n+ + 1)

(x

2

)2n+.

La funcion J(x) se denomina funcion de Bessel de primera especie y orden .

Para r2 = obtenemos, con un proceso analogo, la funcion

y2(x) = J(x) =n=0

(1)nn!(n + 1)

(x

2

)2n,

donde en caso de que N, asumimos que 1(n + 1) = 0 para n = 0, 1, 2, 3, ..., 1, por lo que

el sumatorio empezara en n = .

Ahora hay que estudiar el comportamiento de estas funciones segun el valor de (aplicar el

teorema de Frobenius y alguna otra consideracion).

1. > 0, r1 r2 = 2 (R N). J(x) y J(x) son funciones linealmente independientes. Lasolucion general de la ecuacion de Bessel sera

y(x) = C1J(x) + C2J(x) (C1, C2 R).

2. > 0, (R N), r1 r2 = 2 N. La aplicacion del teorema de Frobenius nos llevara a labusqueda de una segunda solucion del tipo y2(x) = CJ(x) lnx +

n=0

bnxn , pero ocurre que

en este caso J(x) sigue siendo linealmente independiente con J(x). La solucion general de la

ecuacion de Bessel sera

y(x) = C1J(x) + C2J(x) (C1, C2 R).

Por tanto si (RN), J(x) y J(x) constituyen un sistema fundamental de soluciones parala ecuacion de Bessel. En caso de que = n N

Jn(x) =k=n

(1)kk!(k n+ 1)

(x

2

)2kn,

17

y haciendo el cambio m = k n en el sumatorio, tenemos

Jn(x) =m=0

(1)m+n(m+ n)!(m+ 1)

(x

2

)2m+n= (1)n

m=0

(1)mm!(m+ n+ 1)

(x

2

)2m+n= (1)nJn(x),

con lo que Jn(x) y Jn(x) son linealmente dependientes. En este caso habra de buscarse una segunda

solucion linealmente independiente con Jn(x) o con Jn(x). Para todo (R N) se puede definiruna nueva solucion como

Y(x) =cos(pi)J(x) J(x)

sen(pi).

La funcion Y(x) se conoce como funcion de Bessel de segunda especie y orden o funcion

de Neumannn, y es linealmente independiente con J(x).

Esta definicion de la funcion Y(x) falla en el caso de que = n N, ya que sen(npi) = 0. Sinembargo, como cos(npi)Jn(x) Jn(x) = 0 para todo n N, ocurre que lim

nY(x) =00, y usando la

regla de LHopital se puede comprobar que dicho lmite existe, por lo que definimos

Yn(x) = limnY(x) ( (R N)) (n N).

Los resultados expuestos nos permiten resumir la obtencion de la solucion general de la ecuacion

de Bessel tal y como sigue:

J(x) =n=0

(1)nn!(n+ + 1)

(x

2

)2n+

Y(x) =

cos(pi)J(x) J(x)sen(pi)

( (R N))

limn

cos(pi)J(x) J(x)sen(pi)

( = n N, (R N)).

La solucion general sera

y(x) = C1J(x) + C2Y(x).

Propiedades:

J(0) = 0 ( > 0)

J+1(x) = 2xJ(x) J1(x)

J+1(x) = J1(x) 2J (x)

ddx

[xJ(x)] = xJ1(x)

18

ddx

[xJ(x)] = xJ+1(x)

J 12(x) =

2xpi

sen x.

2.5 La ecuacion Hipergeometrica de Gauss. Funcion hipergeometrica

Puntos singulares en el infinito

En ocasiones puede interesarnos estudiar las soluciones de la ecuacion

a0(x)y(x) + a1(x)y(x) + a2(x)y(x) = 0 (2.6)

para valores grandes de |x|. Una tecnica habitual para ello consiste en hacer el cambio de variable x = 1t

y estudiar las soluciones y(t) en t = 0. Haciendo calculos y(x) = t2y(t), y(x) = t4y(t) + 2t3y(t)y llevado esto a la ecuacion (2.6), obtenemos

t4a0(1t)y(t) + [2t3a0(

1t) t2a1(1

t)]y(t) + a2(

1t)y(t) = 0, (2.7)

t4A0(t)y(t) + [2t3A0(t) t2A1(t)]y(t) +A2(t)y(t) = 0. (2.8)

Si y = f(x) es solucion de (2.6), y = f(1t) es solucion de (2.8). Diremos que el infinito es un punto

singular regular de (2.6) si el origen es un punto singular regular de (2.8).

La ecuacion hipergeometrica

La ecuacion hipergeometrica es:

(x x2)y(x) + [ (+ + 1)x]y(x) y(x) = 0, (2.9)

siendo , y constantes reales.

Esta ecuacion posee tres puntos singulares x = 0, x = 1 y x =. Es facil comprobar que x = 0y x = 1 son puntos singulares regulares. Nosotros comprobaremos que x = tambien es regular.Haciendo el cambio x =

1t, la ecuacion (2.9) se transforma en

t2(t 1)y(t) + [+ 1 + (2 )t]ty(t) y(t) = 0,

en la que se puede comprobar que t = 0 es un punto singular regular, lo que implica que x = es unpunto singular regular de la ecuacion (2.9).

Estudiemos las soluciones de la ecuacion (2.9).

19

x = 0,p0 = lim

x0x (+ + 1)x

x x2 = q0 = limx0x2 x x2 = 0

la ecuacion indicial sera r2 r + r = 0 cuyas races son r1 = 0 y r2 = 1 .Para r1 = 0 obtenemos la solucion

y1(x) =n=0

()n()nn!()n

xn = 2F1(, ; ;x)

donde ()k = (+ 1).....(+ k 1) = (+ k)() y 6= 0,1,2,3, ....La funcion 2F1 se denomina funcion hipergeometrica de Gauss.

Si r1r2 = 1 no es un numero entero, lo que es equivalente a que no sea entero, entonces lasegunda solucion tendra la forma y2(x) = x1

n=0

bnxn, pero es mas comodo realizar el cambio

y = x1Y . Obteniendose la ecuacion

(x x2)Y + [2 (+ 2 + 3)x]Y ( + 1)( + 1)Y = 0

siendo la solucion Y (x) = 2F1(a, b; c;x), dondec = 2 a+ b+ 1 = + 2 + 3ab = ( + 1)( + 1)

c = 2 a = + 1b = + 1.

Por tanto,

y2(x) = x1 2F1( + 1, + 1; 2 ;x).

La solucion general sera:

y(x) = C1 2F1(, ; ;x) + C2x1 2F1( + 1, + 1; 2 ;x) (|x| < 1).

x = 1, realizamos el cambio x = 1 t y estudiamos en t = 0

(1 t)ty(t) + [+ + 1 (+ + 1)t]y(t) y(t) = 0

y1(t) = 2F1(a, b; c; t), y2(t) = t1c 2F1(a c+ 1, b c+ 1; 2 c; t).

donde c = + + 1a+ b+ 1 = + + 1ab =

c = + + 1a = b = .

Por tanto, finalmente:

y1(x) = 2F1(, ;++1; 1x), y2(x) = (1x) 2F1(, ; +1; 1x).

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