Desarrollo del modelo matemático:

Un enfoque natural para modelar la temperatura dentro de una construcción es el uso del análisis por comportamientos. Sea T (t ) la temperatura interior de dicha construcción en el instante t y veamos a la construcción como un único comportamiento. Entonces la razón de cambio en la temperatura queda determinada por todos los factores que generan o disipan el calor.

Suponemos que afectan 3 factores principales en la temperatura:

1. El primero el calor producido por las personas, luces y maquinas, estocausa una razón de incremento de la temperatura a la que llamaremosH (t ).

2. El segundo es el calentamiento (enfriamiento) producido por la calefacción (aire acondicionado), está razón de incremento o decremento en la temperatura será representada por U (t ).

3. El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior e interior: la Ley de Newton de Enfriamiento. Esta ley establece que hay una razón de cambio de la temperatura T (t) que es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior M (t ) y la temperatura interior T (t). Es decir la razón de cambio en la temperatura del edificio debido a M ( t ) es:

K [M (t )−T (t ) ]La constante K es una constante real que depende de las propiedades de la construcción (numero de puertas y ventanas, aislamiento, material, etc.); pero K no dependerá de M , T o t . Por lo tanto cuando la temperatura exterior es mayor que la temperatura interior, M ( t )−T (t )>0 y hay un incremento en la temperatura de la construcción debido a M ( t ). Por otro lado, cuando la temperatura exterior es menor que la temperatura interior, entonces M ( t )−T (t )<0 y la temperatura de la construcción disminuye.

En resumen vemos que:

dTd t

=K (M ( t )−T (t ))+H (t )+U ( t )

Como nuestra ecuación es lineal, la podremos resolver utilizando el método del factor integrante:

dTdt

( t )+P (t )T (t )=Q(t)

Dónde:

P (t )=K , Q ( t )=KM (t )+H ( t )+U (t)

Vemos el desarrollo del método de solución de la ecuación a continuación:

1. Primero encontramos nuestro factor integrante: e∫ P (t )=e∫ Kdt=eKt

2. Segundo multiplicamos toda la ecuación por nuestro factor integrante:

eKt dTdt

( t )+K eKt T (t )=eKtQ(t )

3. Simplificamos toda la ecuación diferencial con la derivada de un producto: ddt [eKtT (t ) ]=eKtQ (t )

4. Por último se integra ambos lados de la ecuación del paso 3 y encontramos nuestra solución despejando nuestro valor de la T (t ):

∫ eKtT (t )d=∫eKtQ(t)dt

eKt T ( t )=∫eKtQ(t)dt+C

T ( t )=e−Kt∫ eKtQ(t)dt+C

T ( t )=e−Kt {∫ eKt [KM ( t )+H ( t )+U (t)] dt+C }

Soluciones para nuestro modelo matemático:

A continuación desenvolveremos 3 casos para nuestro modelo matemático y observaremos paso por paso la solución de dichos casos:

1.- Supongamos que al final del día (en el instante t 0), cuando las personas salen de la fábrica, la temperatura exterior permanece constante e igual M 0, la razón de calentamiento adicional H dentro del edificio se anula y la razón de uso del calefactor o el aire acondicionado U también se anularía. Determinemos T ( t ), dada la condición inicial T (t 0 )=T0(esto refleja como la temperatura de la fábrica varia).

Con los datos que tenemos:

M=M 0 , H=0 ,U=0

Con esto nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

T (t )=e−Kt {∫ eKtK M 0dt+C}

La cual al resolverla nos quedara:

T (t )=e−Kt [ eKtM 0+C ]T ( t )=M o+C e

−Kt

Al hacer t 0=t y usar el valor inicial T 0 vemos que la constante C es (T ¿¿0−M 0)e−K t 0¿

por lo tanto:

T ( t )=M o+(T 0−M 0)e−K(t−t0)

Cuando M 0<T 0 la solución decrece de manera exponencial a partir de la temperatura inicial T 0 hasta la temperatura final M 0.

Vemos que la temperatura T (t) satisface la ecuación:

dTdt

(t )=−KT (t )+KM ( t ) ,d (T−M 0 )

dt( t )=−K [T (t )−M 0 ]

Donde M 0 es una constante. En cualquier caso la constante de tiempo es1/K , lo que representara el tiempo que tarda la diferencia de temperaturas T−M 0 en cambiar de

T−M 0 a T−M 0

e. También decimos que 1/Kes la constante de tiempo para la fábrica

(sin calefacción y sin aire acondicionado). Un valor típico para la constante de tiempo del edificio será de 2 a 4 horas, pero esta constante puede ser menos si las ventanas están abiertas o si existe un ventilador.

2.-Supongamos que H es constante H 0; U=0 (no hay calefacción o enfriamiento) y la temperatura exterior está dada por M (t )=MO−B cos(wt¿)¿, donde B es una constante real positiva, MO es la temperatura exteriorpromedio y w=π /12 (onda senoidal de periodo de 24 horas con mínimo en t=0 (medianoche) y máximo en t=12 (mediodía)), calculemos la solución sabiendo que a media noche la temperatura es T 0(esto refleja como varia la temperatura en primavera u otoño cuando no hay calefacción ni aire acondicionado).

Con lo siguiente nuestra primera ecuación será afectada de la siguiente manera:

dTdt

( t )+P (t )T (t )=Q(t)

Dónde:

P (t )=K , Q ( t )=K (M 0−B coswt )+H 0

Al hacer B0=M 0+H 0/K , podemos escribir Q ( t ) como:

Q ( t )=K (M 0−B coswt )

Donde K B0 representa el valor promedio diario de Q ( t ): es decir,

K B0=124∫0

24

Q ( t )dt

Cuando la función de forzamiento Q(t ) se sustituye en la expresión para la temperatura en la ecuaciónT (t )=e−Kt∫ eKtQ(t)dt+C el resultado (después de integrar por partes) es:

T (t )=e−Kt [∫ eKt (K B0−KB coswt )dt+C ]Nos queda resolviendo todo de la siguiente manera:

T (t )=B0−BF (t )+Ce−Kt

Donde F (t) es:

F ( t )=coswt+( w

K)sinwt

1+( wK

)2

Elegimos la constante de modo que C es en medianoche (t=0), el valor de la temperatura T sea igual a cierta temperatura inicial T 0. Así:

C=T 0−B0+BF (0 )=T 0−B0+B

1+( wK

)2

Observando la ecuación de T ( t )=B0−BF ( t )+Ce−Kt vemos que C tiende a 0 de manera exponencial. Mientras que B0 es igual a M 0+H 0/K y representa la temperatura promedio diaria dentro de la fábrica (despreciando el termino exponencial). Cuando no hay una razón de calentamiento adicional de la fábrica (H 0=0), esta temperatura promedio es igual a la temperatura exterior promedio M 0. Y por último el término BF ( t ) representa la variación senoidal de la temperatura dentro de la fábrica correspondiente a la variación de la temperatura exterior. Como F (t) se puede escribir de la siguiente manera:

F ( t )=[1+(wK )

2]−1 /2

cos(wt−∅ )

Donde tan∅=w /K , la variación senoidal dentro de la fábrica se retrasa con respecto de la variación en el exterior por ∅ /w horas. Además de la magnitud de la variación

dentro de la fábrica es ligeramente menor, por un factor de [1+(wK )

2]−1 /2

, que la

variación en el exterior. La frecuencia angular de variación w es de 2π /24 radianes/hora (que es aproximadamente¼). Los valores usuales para la razón dimensional w /K están entre ½y 1. Para este rango, el retraso entre la temperatura interior y la exterior es aproximadamente de 1.8 a 3 horas y la magnitud de la variación interior estará entre el 89% y el 71% de la variación en el exterior.

3.-En el apartado 2, supongamos que hay un termostato para controlar la temperatura del edificio en relación con la temperatura deseada T d. Si la temperatura real es menor que la temperatura deseada, el calefactor comienza a funcionar y en caso contrario se desconecta. Si la temperatura real es mayor que la temperatura deseada, el aire acondicionado comienza a enfriar y en caso contrario se desconecta (en la práctica, hay una cierta zona muerta alrededor de la temperatura deseada en donde la diferencia de temperaturas no es suficiente para activar el termostato, pero que ignoraremos en este caso). Si la cantidad de calentamiento o enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura; es decir,

U (t )=ku(T d−T (t )).

Donde kues la constante de proporcionalidad (positiva), nada más tendríamos que obtener T (t) .

Si el control proporcional U (t ) se sustituye directamente en la ecuación diferencial:

dTdt

=K [M ( t )−T (t ) ]+H ( t )+U (t )

Para la obtención de la temperatura en la fábrica obtendremos la siguiente ecuación:

dT (t)dt

=K [M (t )−T (t ) ]+H (t )+ku(T d−T ( t ))

Al comparar nuestra ecuación obtenida con dTdt

( t )+P (t )T (t )=Q(t) vemos que para

este ejemplo, la cantidad P es igual a K+K u mientras que la cantidad Q(t ) que representa a la función de forzamiento incluye a la temperatura deseada T d. Es decir:

P=K+KU, Q ( t )=KM (t )+H (t )+KuT D

Cuando la razón de calentamiento adicional es una constante H 0 y la temperatura exterior varia como una onda senoidal sobre un periodo de 24 horas de la misma forma que en la segunda aplicación, la función de forzamiento será:

Q ( t )=K (M 0−B coswt )+H 0+K uTD

La función Q(t ) tiene un término constante y un término coseno, como en la ecuación Q (t )=K (M 0−B coswt ). Esta equivalencia es más evidente al sustituir:

Q ( t )=K1 (B2−B1 coswt )

Dónde:

w=2π24

= π12 , B2=

KuT D+K M 0+H 0

K1,B1=

BKK1

, K1=K+K u.

Las expresiones para la ecuación P y la función de forzamiento Q(t ) de la ecuación Q (t )=K1 (B2−B1coswt ) son iguales a la expresión de la aplicación 2, excepto por las constantes K , B0 y B se sustituyen, respectivamente, por K 1, B2 y B1. Por lo tanto, la

solución de la ecuación diferencial:dT (t)dt

=K [M (t )−T (t ) ]+H (t )+ku(T d−T ( t ))

Será la misma solución que la solución de la temperatura de la aplicación 2, excepto que se modifican los 3 términos constantes. Así:

T ( t )=B2−B1 F1 ( t )+C e−K1 t

Dónde:

F1 ( t )=coswt+( w

K1)sin wt

1+( wK1

)2

La constante de tiempo en la ecuación:dT ( t )dt

=K [M ( t )−T ( t ) ]+H ( t )+k u (T d−T ( t ) )

Es 1/P=1/K 1, donde K1=K+K u. En este caso 1/K1 se conoce como la constante de tiempo con calefacción y aire acondicionado. Para un sistema típico de calefacción y aire acondicionado, Kues un poco menor que 2; para una construcción común, la constante K estar entre ½y ¼. Por lo tanto, la suma le da un valor de K1cercano a 2, y la constante de tiempo para el edificio con calefacción y aire acondicionado es cercana a ½ hora.

Al activar la calefacción o el aire acondicionado, se necesitan de 30 minutos para que el término exponencial de la ecuación T (t )=B2−B1 F1 (t )+C e−K1 t desaparezca.

Aplicación del modelo matemático:

Nuestra aplicación de nuestro modelo será como lo mostramos a continuación:

Suponemos que es un día normal dentro de la división de manufactura de la empresa Hidrostal que se encarga de producir turbo máquinas (bombas) mientras los trabajadores se encuentran trabajando el aire acondicionado maneja la temperatura del interior es aproximadamente 25°C . Al terminar el día laboral (12:00 p.m.) se apaga el aire acondicionado y el lugar permanece solo por todo el día. La temperatura exterior permanece constante en 32°C. Si la constante del tiempo de la edificación es

de 4 horas, ¿Cuál será la temperatura a las 2:00 p.m.? ¿Y a las 5:00 p.m.? ¿En qué momento la temperatura llegara a los 28°C?

Lo primero que haremos para resolver nuestro problema será establecer que la temperatura de la función T (t) cambia de acuerdo a La Ley de Enfriamiento de

Newton de nuestro modelodTdt

=K (M (t )−T (t ))+H (t )+U (t ). Acordaremos que

nuestra H (t )=U (t )=0, y fuera de la temperatura M ( t )=30° C, nuestra fórmula de solución general T ( t )=M ( t )+C e−Kt quedara de la siguiente manera:

T (t )=30° C+C e−Kt

Para encontrar nuestra condición inicial recurrimos a los datos que tenemos:

T (0 )=30 °C+Ce−K (0)=22 °C

22 °C=30 °C+C

C=−8 °C

Para esto ya nosotros tenemos nuestra constante de tiempo 1/K que es igual a 1/4, y la ecuación que describe la temperatura en el centro de trabajo será T (t )=30 ° C−8e−t /4.

Entonces resolvemos nuestras preguntas:

La temperatura en la fábrica a las 2:00 p.m.T (2 )=30° C−8e−(2 )/4

T (2 )=25.14775472° C La temperatura en el salón a las 5:00 p.m.

T (5 )=30 °C−8e−(5)/4

T (5 )=27.70796163° C

En qué momento llega la temperatura de la fábrica a los 28°C.Para encontrar en qué momento la temperatura llega a dicha temperatura se realiza lo siguiente:

T ( t )=30° C−8e−t /4=28 °CCon la ecuación planteada solo despejamos nuestro tiempo t y nos quedaría:

30−8e−t /4=28

−8e−t4 =28−30

e−t /4=2/8

ln (e−t4 )=ln .25

−t4

=−1.386294361

t=5.545177444Esto quiere decir que en 5.545177444 horas cambiara la temperatura a 25°C.

La ecuación de la grafica será T ( t )=30 °C−8e−t /4.

Se ve que nuestra ecuación presenta una función exponencial, por lo tanto la temperatura en la fábrica de 22°C va a ir en aumento hasta que logre llegar a la temperatura exterior que es de 30°C.

A continuación mostraremos los valores que colocamos en nuestra ecuación T (t )=30 ° C−8e−t /4.

TEMPERATURA

TIEMPO

22 022.94002478 0.523.76959374 124.50168577 1.525.14775472 225.71790857 2.526.22106758 326.66510384 3.527.05696447 427.40278026 4.527.70796163 527.97728323 5.5

28 5.54517744

28.21495872 628.4247066 6.5

28.60980845 728.77316027 7.528.91731773 829.04453625 8.5

29.1568062 929.25588409 9.529.34332001 10

Tabla 1. Incremento de T con respecto al tiempo

TIEMPO 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

30

35

TEMPERATURA

TEMPERATURA

Grafico 1. Temperatura en función del tiempo

Como podemos ver la temperatura va a ir en aumento hasta poder llegar a la temperatura exterior

Como nuestro modelo anterior no se ha podido desarrollar por las condiciones climáticas, las cuales afectaban a las condiciones iníciales que habíamos propuesto, plantearemos un nuevo modelo matemático utilizando la ley de newton como principal base pero está sometida a un aparato de calefacción.

Supondremos que un día en una fábrica la calefacción maneja la temperatura interior del edificio en 20°C aproximadamente. A las 12:00 p.m. se apaga la calefacción y la fábrica permanece solo por todo el día. La temperatura exterior permanece constante en 14°C. Si la constante del tiempo de la fábrica es de 4 horas, ¿Cuál será la temperatura a las 2:00 p.m.? ¿Y a las 5:00 p.m.? ¿En qué momento la temperatura de la fábrica llegará a los 18°C?

Como nuestro modelo ha cambiado, nuestro desarrollo ha cambiado y es el siguiente:

dTdt

=K (T ( t )−M ( t ) )+H (t )−U (t )

Como el factor H ( t ) no va a ser tomado en cuenta se elimina y U (t ) negativa para el aire acondicionado lo indicamos, pero como el aire acondicionado se apaga y no se vuelve a utilizar se elimina.

Nuestra ecuación lineal nos queda de la siguiente manera:

dTdt

−KT (t )=−KM (t)

Y resolvemos nuestra ecuación diferencial por el método del factor integrante:

e∫ P (t )=e∫−K dt=e−Kt

e−Kt dTdt

( t )+K e−KtT (t )=−K e−KtM (t )

ddt [−e−Kt T (t ) ]=−K e−KtM ( t )

∫−e−KtT ( t )d=∫−K e−KtM (t )dt

−e−KtT ( t )=∫−Ke−KtM (t)dt

−T (t )=eKt∫−Ke−KtM (t )dt

−T (t )=eKt {e−ktM ( t )+C }T ( t )=M (t )−Ce−Kt

Ya establecida nuestra ecuación respecto a la temperatura, definiremos la constante

de tiempo que es de 4 horas (K=14) y nuestra temperatura en el exterior M (t )=14 °C

, y con dichos datos podremos encontrar nuestra condición inicial C.

T ( t )=M ( t )−Ce−K t

T ( t )=14 ° C−Ce−t /4

T (0 )=14 ° C−Ce−0 /4=20 °C−C=20 °C−14 °C

C=6

Ya con la condición inicial obtenida ya podemos responder nuestras preguntas:

¿Cuál será la temperatura a las 2:00 p.m.?T (2 )=14 °C−(−6e¿¿−2/4 )¿

T (2 )=17.63918396° C ¿Cuál será la temperatura a las 5:00 p.m.?

T (5 )=14 ° C−(−6 e−5 /4)T (5 )=15.71902878° C

¿En qué momento la temperatura llegará a los 18°C?

18 °C=14 ° C+6 e−t4

18−146

=e−t4

ln .666666667=ln e−t4

t=1.621860432

La ecuación a tomarse en cuenta es : T ( t )=14 ° C+6e−Kt.

Se puede observar que la ecuación presenta una función exponencial, por lo tanto la temperatura del edificio de 20°C va a ir en decreciendo hasta que logre llegar a la temperatura exterior que es de 14°C.

En la siguiente tabla se muestra como la ecuación obtiene valores respecto al tiempo en horas.

Tabla 2. Temperatura contra tiempo

Conclusiones.

Con el modelo matemático podremos describir el perfil de la temperatura dentro de una fábrica estableciendo las condiciones iniciales a analizar.

Las complicaciones que encontramos en la aplicación del modelo se presentaron, de una forma u otra, esto nos ha hecho entender que nuestro modelo podría aplicarse

Temperatura (°C)

Tiempo (hr)

20 019,2949814 0,518,6728047 118,1237357 1,5

18 1,6217,639184 2

17,2115686 2,516,8341993 316,5011721 3,516,2072766 415,9479148 4,515,7190288 515,5170376 5,515,338781 6

15,1814701 6,515,0426437 714,9201298 7,514,8120117 814,7165978 8,514,6323953 914,5580869 9,5

14,49251 10

solamente en condiciones extremadamente controladas, ya que la temperatura exterior al edificio no permanece de manera constante, varía demasiado, y por ello no se pudo obtener los resultados deseados.