Sistemas de ecuaciones linealescon un parámetro

Discute y resuelve:

3

4

2

1

7

3

2

z

z

z

z

y

y

y

y

kx

kx

x

x

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada según los valores de k

Discute y resuelve:

371

431

2112

1111

;

71

31

112

111

k

kA'

k

kA

Hallamos el determinante de A':

Solución: 3

4

2

1

7

3

2

z

z

z

z

y

y

y

y

kx

kx

x

x

281

321

303

)1(

2801

3201

3003

1111

371

431

2112

1111

14

13

12

k

k

k

k

k

kFF

FF

FF

Desarrollamos por la segunda columna

La matriz A tiene 3 columnas, por lo que rg(A) 3

Discute y resuelve:

Si k 19/5 | A'| 0 y rg(A') = 4

Solución: 3

4

2

1

7

3

2

z

z

z

z

y

y

y

y

kx

kx

x

x

83

24·3)·1(

283

324

300

)1(

281

321

303

)1('k

k

k

k

k

kA

)195(611430)3(2)4(8)3(' kkkkA

Si k 19/5, el sistema es incompatible

Las tres primeras filas son linealmente independientes

Discute y resuelve:

Si k = 19/5 | A'| = 0 y rg(A') 3

Solución: 3

4

2

1

7

3

2

z

z

z

z

y

y

y

y

kx

kx

x

x

Si k = 19/5, el sistema es compatible determinado

631

11)3(

315/19

003

111

315/19

112

11112 FF

rg(A) = rg(A') = 3

Resolvemos el sistema formado por las tres primeras ecuaciones por la regla de Cramer:

166

6164243

315/19

112

111

314

112

111

x

Discute y resuelve:

k = 19/5

Solución: 3

4

2

1

7

3

2

z

z

z

z

y

y

y

y

kx

kx

x

x

101

519

421

45/19

11)3(

61

345/19

300

111

61

6

345/19

122

111

y

F2 – 2·F1

Discute y resuelve:

k = 19/5

Solución: 3

4

2

1

7

3

2

z

z

z

z

y

y

y

y

kx

kx

x

x

101

)3(30

112

11

51

·61

5/115/19

012

011

61

6

415/19

212

111

z

C3 – C1

Si k = 19/5, el sistema es compatible determinado.La solución es x = 1, y = –1/10, z = 1/10

Podemos ver que también secumple la cuarta ecuación: 3

107138

107

101

519