S4_8 Relacion Arboles-Arborescencias
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4.8 Relación entre árboles y árboles dirigidos con raíz Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Alberto Conejero y Cristina Jordán Depto. Matemática Aplicada E.T.S. Ingeniería Informática Universitat Politècnica de València
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4.8 Relación entre árboles y árboles dirigidos con raíz
Aplicaciones de la
Teoría de Grafos
a la vida real
Alberto Conejero y Cristina Jordán
Depto. Matemática Aplicada
E.T.S. Ingeniería Informática
Universitat Politècnica de València
Grafo subyacente
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Dado un grafo dirigido G, llamamos grafo subyacente de G, al grafo no dirigido
obtenido sustituyendo cada arco (u,v) por una arista (u,v).
En el caso de existir los arcos (u,v) y (v,u) ambos se sustituyen por una única
arista (u,v).
Notación. El grafo subyacente del grafo dirigido G se denota _
G
Ejemplo
v4 v5
v1
v2
v3
G
v4 v5
v1
v2
v3 _
G
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Sea G=(V,E) un árbol dirigido con raíz v0
1. Existe un camino y sólo uno desde v0 a cada uno de los demás vértices
Se verifica que:
Sea el grafo subyacente de G )E,V(G_
_
Propiedades
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Idea justificación
w
y
u
v
v0
x
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Sea G=(V,E) un árbol dirigido con raíz v0
1. Existe un camino y sólo uno desde v0 a cada uno de los demás vértices
Se verifica que:
Sea el grafo subyacente de G )E,V(G_
_
Propiedades
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
2. |E|=|V|-1
es acíclico _
G3.
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Sea G=(V,E) un árbol dirigido con raíz v0
Se verifica que:
Sea el grafo subyacente de G )E,V(G_
_
Propiedades
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
es acíclico _
G3.
Idea justificación
v4 v5
v2
_
G
v4 v5
v2
v4 v5
v2
v4 v5
v2
v5 raíz de G
de(v4) = 2 en G
Ningún vértice del ciclo
es raíz de G, luego
algún vértice tiene grado
de entrada 2 en G
(Reducción al absurdo)
Absurdo
a)
b)
Absurdo
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Sea G=(V,E) un árbol dirigido con raíz v0
1. Existe un camino y sólo uno desde v0 a cada uno de los demás vértices
Se verifica que:
Sea el grafo subyacente de G )E,V(G_
_
Propiedades
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
2. |E|=|V|-1
es acíclico _
G3.
es conexo _
G4.
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Sea G=(V,E) un árbol dirigido con raíz v0
Se verifica que:
Sea el grafo subyacente de G )E,V(G_
_
Propiedades
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
es conexo _
G4.
Idea justificación
u
v0
v u
v0
v
en G en _
G
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Sea G=(V,E) un árbol dirigido con raíz v0
1. Existe un camino y sólo uno desde v0 a cada uno de los demás vértices
Se verifica que:
Sea el grafo subyacente de G )E,V(G_
_
Propiedades
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
2. |E|=|V|-1
es acíclico _
G3.
es conexo _
G4.
es árbol _
G5.
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Ejemplo
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
v4
v5
v1 v2
v3
v8 v6
v4
v5
v1 v2
v3
v8 v6
G _
G
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
Aplicaciones
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Entre las aplicaciones podemos citar:
Notación polaca
Algoritmo de Huffman
4.8 Relación árboles-árboles dirigidos con raíz
