EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar los extremos relativos de f si existe de las funciones de dos variables

a) 3 24 2 1f x, y x xy y

b) 2 22 2 2 3f x, y x xy y x

c) 2 25 4 16 10f x, y x xy y x

d) 2 26 10 4 4f x, y x xy y y

e) 2 22 3 4 12 13f x, y x y x y

f) 2 23 2 3 4 5f x, y x y x y

g) 3 2 2 23 3 3 1f x, y y yx y x

h) 3 3 3 12 20f x, y x y x y

i) 4 4 2 22 4 2f x, y x y x xy y

j) 1 64

f x, y xyx y

k) 2 2

4

1

xf x, y

x y

l) 2 23 4y y x xf x, y e

m) 3 3 6 27f x, y x y xy

n) 2 2 5f x, y x y

o) , ( ) ( )f x y sen x sen y

p) 2 23 2 6 8f x, y x y x y

q) 3 34 12 3f x, y x y x y

2. Hallar los extremos relativos de f si existe de las funciones de tres variables

a) 2 2 24f x, y,z x xy yz x y z

b) 3

2 233 3 3 5 2

3 2

xf x, y,z x y x z y z x

c) 2 2 23f x, y,z x xz y y yz z

d) 2 2 2 2f x, y,z x y z y xz

e) 4 2 2 2 1f x, y,z x x y y z xz

f) 2 2 2f x, y,z x x y y x z z

g) 3 3 3 2 2 23 3 3 6 6 6f x, y,z x y z x y y z z x x y z

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B. Resolver los siguientes problemas:

1) Hallar la distancia mínima del punto 1 2 3, , al plano 2 3 12x y z .

2) Encuentre el punto sobre el plano 2 1x y z más cercano al origen. [Sugerencia:

Considere el cuadrado de la distancia].

3) Determine las dimensiones de una caja rectangular con un volumen de 1pie3 que

tiene un área superficial mínima S .

4) Encuentre todos los puntos sobre la superficie 8xyz que son los más cercanos al

origen. Determine la distancia mínima.

5) Encuentre la distancia más corta entre las rectas cuyas ecuaciones parametricas son:

1

2

: , 4 2 , 1 .

: 3 2 , 6 2 , 8 2 .

L x t y t z t

L x s y s z s

6) Encuentre los puntos sobre el cono 2 2 2z x y más cercanos al punto 4 2 0( , , ).

7) Encuentre tres números positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es un máximo.

8) Hallar los puntos críticos de la función 3 2 12f x y x y x y ( , ) ( ) que satisfagan la

condición 0x y . .

9) En el plano OXY hallar el punto tal que la suma de los cuadrados de distancias que

miden entre las rectas 0 0 2 16 0x y x y , , y el punto buscado sea menor

posible.

10) Sean dados tres puntos 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3A x y z A x y z A x y z( , , ) , ( , , ) , ( , , ) . En el plano

OXY hallar el punto tal que la suma de los cuadrados de distancias que miden entre

todos los puntos dados buscado sea el menor posible.

11) ¿Para cuales valores de k está garantizado mediante el criterio de la segunda

derivada que 2 2( , )f x y x k xy y tendrá:

a) En (0,0) un punto silla?

b) En (0,0) un mínimo local?

c) ¿Qué ocurre en el caso en el cual el criterio de la segunda derivada no permite,

directamente, clasificar un punto crítico de f ?

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12) Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen.

El vértice opuesto está en el plano 6 4 3 24x y z como se muestra en la figura. Hallar

el volumen máximo de la caja.

13) Una compañía de teléfonos planea introducir nuevos tipos de sistemas de

comunicaciones. Se calcula que si el primer tipo de sistema se evalúa en x cientos de

dólares por sistema y el segundo tipo en y cientos de dólares por sistema,

aproximadamente 40 8 5x y consumidores comprarán el primer tipo y 50 9 7x y

comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del primer tipo es de $1000 por

sistema y el costo del segundo tipo es de $3000 por sistema ¿Qué precio debería fijar la

compañía de teléfonos a los sistemas para generar la máxima utilidad posible?

14) El material para las tapas superior e inferior de una caja rectangular cuesta $0,3 por

pie cuadrado, y para los lados $ 0,2 por pie cuadrado. ¿Cuál es la caja menos cara con un

volumen de 1 pie cúbico?

15) Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en

dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de

grabador de DVD se aproxima mediante el modelo

2 28 10 0 001 10000P x, y x y . x xy y

Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál

es la ganancia máxima?

16) Ingreso Máximo Una empresa fabrica dos tipos de zapatos tenis, tenis para correr y

tenis para baloncesto. El ingreso total de 1x unidades de tenis para correr y 2

x unidades

de tenis de baloncesto

2 2

1 2 1 2 1 25 8 2 42 102R x x x x x x ,

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donde 1x y 2

x están en miles de unidades. Hallar las 1 2x x, que maximizan el ingreso.

17) Un pedazo de latón de 24 pulgadas de ancho se dobla de manera tal que su sección

transversal es un trapezoide isósceles. Ver figura 1. Calcule x e de manera que el área

de la sección transversal sea un máximo. ¿Cuál es el área máxima?

18) El pentágono que muestra en la figura 2, formado por un triángulo isósceles

sobrepuesto sobre un rectángulo, tiene un perímetro fijo P . Calcule x , y y de manera

que el área del pentágono sea un máximo.

Figura 2

Figura 1