GEOMETRA ANALTICA Y

ALGEBRA

RECTAS EN EL ESPACIO

La importancia de las rectas se puede ver a travs de casos de estudio, como por ejemplo en la imagen se puede ver: una cmara, una lmina y un foco, y notar que se forma unas rectas en el espacio a travs de la proyeccin de la luz de la cmara hacia una lmina y sobre la esfera.

1. Cmo encontrar la ecuacin vectorial de dicha recta? 2. Qu tipos de ecuaciones posee una recta en el espacio?

OBSERVEMOS LA IMAGEN.

Distancia entre dos puntos en el espacio

Resolucin de ecuaciones lineales.

Producto escalar y vectorial de vectores.

Recordar

OBJETIVOS Al finalizar la clase el alumno ser capaz de:

1. Representar de manera vectorial, paramtrica y simtrica

una recta en el espacio.

2. Identificar cuando dos o ms rectas del espacio son

paralelas, perpendiculares, etc.

COORDENADAS EN EL ESPACIO DE

UN VECTOR

[OP] = x .

i + y .

j + z .

k

(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Vector de posicin de P

Origen de coordenadas

EJES COORDENADOS. PLANOS COORDENADOS

Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE

PQ =

OQ

OP

[PQ] =

OQ

OP = (b a, b' a' , b" a")

Los puntos P y Q determinan el vector fijo PQ

OP +

PQ =

OQ

Las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las

coordenadas del punto P de las correspondientes de Q.

u PQ

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN

SEGMENTO

m =

a +

AM =

a +

1

2 AB =

= a +

1

2 (b

a ) =

1

2 (a +

b )

DETERMINACIN DE UNA RECTA. ECUACIN VECTORIAL

Una recta viene determinada por un puntoy una direccin. La direccin est

marcada por un vector libre u llamado

vector director .

Un punto X est en la recta si y slo si PX

y u son proporcionales: [

PX] = t .

u

Si p es el vector de posicin de P,

x es

el vector de posicin de X, quedar:

x

p = t .

u es decir:

x =

p + t .

u

La expresin x =

p + t .

u con t R es la ecuacin vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.

DETERMINACIN DE UNA RECTA: ECUACIONES PARAMTRICAS

La recta que pasa por P de vector director

v (v1, v2, v3) se puede escribir as:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)

Al igualar coordenadas obtenemos:

Las ecuaciones paramtricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

x = xo + t.v1y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMA

CONTINUA

Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que

tiene por vector director v (v1, v2, v3) son:

x xov1

= y yo

v2 =

z zov3

Las ecuaciones paramtricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la

recta que no dependen de ningn parmetro.

ECUACIONES DE LOS EJES EN FORMA:

VECTORIAL, PARAMTRICA Y CONTINUA

Vectorial Paramtrica Continua

Eje OX x = t i

x = t

y = 0

z = 0

x

1 =

y

0 =

z

0

Eje OY x = t j

x = 0

y = t

z = 0

x

0 =

y

1 =

z

0

Eje OZ x = t k

x = 0

y = 0

z = t

x

0 =

y

0 =

z

1

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR

DOS PUNTOS

La recta r queda determinada por la siguiente

determinacin lineal: r(A, AB) r(B, AB) (a1, a2, a3)

(b1, b2, b3)

Por tanto la ecuacin de la recta ser: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1a1, b2a2, b3a3 )

EJEMPLO 1: Hallar las ecuaciones paramtricas y simtricas para la recta L que pasa por el punto P(1, -2, 4) y es paralela al vector = (2, 4, -4) v

EJEMPLO 2: Hallar la ecuacin vectorial, paramtricas y simtricas para la recta L que pasa por los puntos (-2, 1, 0) y (1, 3, 5).

EJEMPLO 3: Determinar tres vectores que sean paralelos a la recta: x = 4 + 9t, y = 14 + 5t, z = 1 3t

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Las rectas tienen todos sus puntos comunes

Rectas coincidentes

1. RECTAS PARALELAS:

Sean las rectas:

1 /r P P ta t R 1 /s P Q nb n R Se dice que son paralelas si sus vectores directores son paralelos

OBSERVACIN: Si dos rectas son paralelas, entonces estas son coincidentes o no se interceptan.

Las rectas no tienen puntos en comn

Rectas paralelas

EJEMPLO 4: Dadas las rectas:

1 (2; 1;2) (2;1; 3) /L P t t R 2 (0;2;3) ( 4; 2;6) /L P s s R 3 (6;1; 4) (6;3; 9) /L P r r R

Establecer si son paralelas o coincidentes.

2. RECTAS PERPENDICULARES:

Sean las rectas:

1 /r P P ta t R 1 /s P Q nb n R Se dice que son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

EJEMPLO 5: Dadas las rectas:

1 (0; 1;4) (5;1;3) /L P t t R 2 (0;2;3) ( 2;4;2) /L P s s R Establecer si son perpendiculares.

NGULO ENTRE DOS RECTAS

0 ;sS P tu t R

0 ;rR P tu t R

1 .cos.

s r

s r

u u

u u

EJEMPLO 6: Dadas las rectas:

Calcular la medida del ngulo entre ellas.

1 (1; 1;2) (2;0;3) /L P t t R 2 (0;2;1) (4; 2;1) /L P s s R

AUTOEVALUACIN

1. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto medio de A= (1,4,6) y B=(-1,7,6) y es paralelo al vector (-2, 5, 8).

2. Hallar la ecuacin paramtrica de la recta L, que pasa por (3,4,5) y es paralela al producto vectorial de A= (1, 3, -5) y B=(-3,1, 4).

1

1 2

: 2 4 ,

4 4

x t

L y t

z t

3. Diga si las siguientes rectas se cortan, si es as, en que punto.

2: 4

2=

4 +

8=

2 1

2