GEOMETRA ANALTICA Y
ALGEBRA
RECTAS EN EL ESPACIO
La importancia de las rectas se puede ver a travs de casos de estudio, como por ejemplo en la imagen se puede ver: una cmara, una lmina y un foco, y notar que se forma unas rectas en el espacio a travs de la proyeccin de la luz de la cmara hacia una lmina y sobre la esfera.
1. Cmo encontrar la ecuacin vectorial de dicha recta? 2. Qu tipos de ecuaciones posee una recta en el espacio?
OBSERVEMOS LA IMAGEN.
Distancia entre dos puntos en el espacio
Resolucin de ecuaciones lineales.
Producto escalar y vectorial de vectores.
Recordar
OBJETIVOS Al finalizar la clase el alumno ser capaz de:
1. Representar de manera vectorial, paramtrica y simtrica
una recta en el espacio.
2. Identificar cuando dos o ms rectas del espacio son
paralelas, perpendiculares, etc.
COORDENADAS EN EL ESPACIO DE
UN VECTOR
[OP] = x .
i + y .
j + z .
k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.
Vector de posicin de P
Origen de coordenadas
EJES COORDENADOS. PLANOS COORDENADOS
Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.
COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE
PQ =
OQ
OP
[PQ] =
OQ
OP = (b a, b' a' , b" a")
Los puntos P y Q determinan el vector fijo PQ
OP +
PQ =
OQ
Las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las
coordenadas del punto P de las correspondientes de Q.
u PQ
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO
m =
a +
AM =
a +
1
2 AB =
= a +
1
2 (b
a ) =
1
2 (a +
b )
DETERMINACIN DE UNA RECTA. ECUACIN VECTORIAL
Una recta viene determinada por un puntoy una direccin. La direccin est
marcada por un vector libre u llamado
vector director .
Un punto X est en la recta si y slo si PX
y u son proporcionales: [
PX] = t .
u
Si p es el vector de posicin de P,
x es
el vector de posicin de X, quedar:
x
p = t .
u es decir:
x =
p + t .
u
La expresin x =
p + t .
u con t R es la ecuacin vectorial de la recta que
pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.
DETERMINACIN DE UNA RECTA: ECUACIONES PARAMTRICAS
La recta que pasa por P de vector director
v (v1, v2, v3) se puede escribir as:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)
Al igualar coordenadas obtenemos:
Las ecuaciones paramtricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
por vector director v (v1, v2, v3) son
x = xo + t.v1y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
x = xo + t.v1y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMA
CONTINUA
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que
tiene por vector director v (v1, v2, v3) son:
x xov1
= y yo
v2 =
z zov3
Las ecuaciones paramtricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
por vector director v (v1, v2, v3) son
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la
recta que no dependen de ningn parmetro.
ECUACIONES DE LOS EJES EN FORMA:
VECTORIAL, PARAMTRICA Y CONTINUA
Vectorial Paramtrica Continua
Eje OX x = t i
x = t
y = 0
z = 0
x
1 =
y
0 =
z
0
Eje OY x = t j
x = 0
y = t
z = 0
x
0 =
y
1 =
z
0
Eje OZ x = t k
x = 0
y = 0
z = t
x
0 =
y
0 =
z
1
ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR
DOS PUNTOS
La recta r queda determinada por la siguiente
determinacin lineal: r(A, AB) r(B, AB) (a1, a2, a3)
(b1, b2, b3)
Por tanto la ecuacin de la recta ser: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1a1, b2a2, b3a3 )
EJEMPLO 1: Hallar las ecuaciones paramtricas y simtricas para la recta L que pasa por el punto P(1, -2, 4) y es paralela al vector = (2, 4, -4) v
EJEMPLO 2: Hallar la ecuacin vectorial, paramtricas y simtricas para la recta L que pasa por los puntos (-2, 1, 0) y (1, 3, 5).
EJEMPLO 3: Determinar tres vectores que sean paralelos a la recta: x = 4 + 9t, y = 14 + 5t, z = 1 3t
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Las rectas tienen todos sus puntos comunes
Rectas coincidentes
1. RECTAS PARALELAS:
Sean las rectas:
1 /r P P ta t R 1 /s P Q nb n R Se dice que son paralelas si sus vectores directores son paralelos
OBSERVACIN: Si dos rectas son paralelas, entonces estas son coincidentes o no se interceptan.
Las rectas no tienen puntos en comn
Rectas paralelas
EJEMPLO 4: Dadas las rectas:
1 (2; 1;2) (2;1; 3) /L P t t R 2 (0;2;3) ( 4; 2;6) /L P s s R 3 (6;1; 4) (6;3; 9) /L P r r R
Establecer si son paralelas o coincidentes.
2. RECTAS PERPENDICULARES:
Sean las rectas:
1 /r P P ta t R 1 /s P Q nb n R Se dice que son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
EJEMPLO 5: Dadas las rectas:
1 (0; 1;4) (5;1;3) /L P t t R 2 (0;2;3) ( 2;4;2) /L P s s R Establecer si son perpendiculares.
NGULO ENTRE DOS RECTAS
0 ;sS P tu t R
0 ;rR P tu t R
1 .cos.
s r
s r
u u
u u
EJEMPLO 6: Dadas las rectas:
Calcular la medida del ngulo entre ellas.
1 (1; 1;2) (2;0;3) /L P t t R 2 (0;2;1) (4; 2;1) /L P s s R
AUTOEVALUACIN
1. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto medio de A= (1,4,6) y B=(-1,7,6) y es paralelo al vector (-2, 5, 8).
2. Hallar la ecuacin paramtrica de la recta L, que pasa por (3,4,5) y es paralela al producto vectorial de A= (1, 3, -5) y B=(-3,1, 4).
1
1 2
: 2 4 ,
4 4
x t
L y t
z t
3. Diga si las siguientes rectas se cortan, si es as, en que punto.
2: 4
2=
4 +
8=
2 1
2
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