Sears Mecanica Calor y Sonido

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~ N D I C E GENERAL

Pág. ix

1-1. Fiiena. p&g. 3.-1-2. Unidades y 3.-1-3. El kilogramo.~4. 1-4. Representaci6n'p>ifica de las fiienns. Vectores. 5.-1-5. Componentes de .iin vector. 6.-1-6. Comoosición dc fiierzas. 9.-1-7. Comnosici6ii d e fuerzas mmliantc siis componenfcs rrctangiilares. 12.-1-8. Resultinte de iin sistema de fuerzas no conciirrentes. 13.-1-9. \'rctor diferencia. 14.-Problc~mas. 15.

CAP. '11.-ESTATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2-1. Introduccióii, pag. 16.-2-2. Primera ley d e Newton, 16.-2-3. Tercera ley dr Newton, 18.-2-4. Estriictiiras sencillas, 19.-2-9. Otros ejcniplos de eqiiilibrio, 21.-2-6. Rozamiento, 24.-2-7. Coeficiente de rozamienlo, 24. Problemas, 28.

3-1. Introdiicción. Unidades v patrones de longitiid, pdq. 32-3-2. hlomento de una fiierm, 33.-3-3: ~ ~ i i i l i b r i o de iin cuerpo sometido a rotaciiin, 35.- 3-4. Euuilibrio estable e inestable. 36.-3-5. Hesiiltante de iin conjunto de fuerzas' paralelas, 37.-3-6. Centró de gravedad. 39.-3-7. .Pares. 4-¡.-Pro- blcmas. 48.

CAP. 1V.-MOVIMIENTO RECTIL~NEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4-1. hlovimiento pdo. .M.+-E. Vector velocidad media y velocidad media sobre In tragectbria. 5 1 . 4 - 3 . \'elocidad instanthea, 56 .4 -4 . Aceleracien media. 58 .4 -5 . Aceleración instantfinw 5 9 - 4 6 . hlovimiento rcctilineo tiniformemente acelerado, 6 0 . 4 - 7 . %lo\-ihiento iiniforme, 63 .4 -8 . Caidi libre de los cuerpos, 6 3 . 4 - 9 . Movimiento con aceleración variable, 67.- 4-10. Metodos grAficos, 69 .4-11 . Componentes de la velocidad. Velocidad relativa, 70.-Problemas. 72.

V.-SEGUNDA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5-1. Introdiiccf6n, pág. 77.-5-2. Nasa, 77.-5-3. Segiinda ley de Newton, 78. 5-4. Sistemas de unidades, 81.-5-5. Peso y masa. 83.-5-6. Principio de DS.41em- bert. 90.-5-7. Densidad. 91.-5-8. Balanza de brazos iguales utilizada en anblisis, 92.-Problemas. 94.

- - - - - - - .. -. - -

6-1. Proyectiles, pdg. 100.-6-2. Movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente, 100.-6-3. Cuerpo lanzado formando un Bngiilo con la horizontal. 103. Problemas, 107.

7-1. Centro de masa. paig. 111.-7-2. Coordenadas del centro de masa, 112.- 4-3. Aceleración del centro de masa, 116.-7-4. Aceleración en una traslación piira, 121 .-Problemas. 124.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII1.-TRABAJO Y ENERG~A 129 S-l. Conser\.acidn de la energia pag. 129.-5-2. Trabajo; 131 .4 -3 . Energia y trabajo, 133.-8-4. ~n idades ' de enerpia. Dimensiones, 136 .4 -5 . Valores absolutos de las energias potencial y cinetica. 134.-8-6. Energia potencial de ' un resorte alargado 138.-S-;. Trabajo contra las fuerzas de rozamiento, 140. 5-8. Fiierzas conse;vativas y disipativas. 141 .4 -9 . Principio de los trabajos virtiiales, 145 .4-10 . Potencia, 146.-8-11. Potencia y velocidad. 147.-Pro- blemas. 148.

i XIV ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL xv i - .- .--

. . . . . . - - - . . .. . - . - CAP. 1 X . - ~ ~ P U L S I ~ N Y CAh'TiDAO DEMOVIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . 154' CALOR

9-1. Impulsi6n y cantidad d e movimiento, pan. 154.-9-2. Conse~aci6n de la ! caiilidnd de nio\-irnienlo, 157.19-3. Tcrcera lcv de Newton, 158.-94. Cho- CAP. XVII1.-TEMPERATURA. D I L A T A C I ~ K . . . . . . . . . . . . . . . . ' 3 6 7 qiir: cl6slicos e incl:isticos. Coeficiriite' de r6stitiición. 159.-9-5. P6ndiilo b;ilislico, 161.-94;. Srprindn Icv de h'ewton, 163.-9-7. blnsn y cncrgia. 164. 18-1. Tempenlura pág. 367.-18-2. Term6metror, 367.-18-R. I-Zscalas lernio- 9-S. I:irndariieiiloc dc In propiilsióii a cliorro, 167.-Problemns, 169. niétricas, 368.-1814. Otros metodos termométricos. 3i0.-18-5. Dilataci6n li-

.. ncil, 373.-18-6. Dilataciones superficjal y ciibica, 375.-18-7. Esfocrzos de ... origen térmico. 378.-Problcrnns, 379. CAP. X.->~OVI>IIEKTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10-1. Introdiirción. l)<ig. 174.-10-2. \'rlocidnd an~iilar. 175.-10-3. :\cclcra- cioii anpiil:~r. 176.-111-4. :\crlcrncion nngiil:ir coristniitr, 177.-10-3. La x.elci- cid:id v In ncrlcnicini~ niigi11:irrs conio \'rClOrCs. 179.-10-6. \7clocidad tangrn- ci;il. 1h.-10-7. Acelrncióil de iir i piilit0 eii el moriiiiicnto circiilnr, 1,92.-- 10-S. Fiicrzns cenlripetn y eentriliiCa. 189.-10-9. E l pernlle de las ciir\-:is, 191. 10-10. El pciidiilo cónico. 193.-10-11. bIovimieiito en iina circiinfrrrnciu vertical, 194.-10-12. Efecto de la rotacidn de la Tierra sobre rl peso, 198.-10-13. La ccntrituga, 200.-10-14. Trabajo y potenci:i cii el inoviniicaito circular. 200. Problemas. 201.

11 -1. Jloniento de inercia, prin. 207.-11-2. hlomriito de inercia. Caso general. 210.-11-3. Radio de.giro. 114.-11-4. Tcorcnia <lc Stciner, 215.-11-5. Piier- z:is qiic actúan sobre el eje, 216.-Problemas, 218.

(:.% 1,. S 1 1 . - R o ~ ~ c r ó x Y TRASLACI~N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 12-1. E C I I ~ C ~ O I I C S generales del iiiovirnicnto, j~iiq. 221.-12-2. Rod:idtir;i, 228. 12-3. Eje iiiulnntiiieo, 131.-12-4. Jlonirnlo cinctico c impulsihn angiilar. 234. 12-.-). I\rpr<'centnción rt.ctorial de iiiin mnpnitiid angiilnr, 237.-12-6. l>rcce- si¿)ii, 235.-12-7. 1 3 giroscopio, 240.-Problemns. 212.

c .\l.. X 11 1.-ELASTICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 13-l. Inlrodiiccion, pan. 250.-13-2. Esfiierzo. 250.-13-3. Deforniacion, 2.52. i:l--l . 3lodiilo el:istico, '33.-13-5. Coeficiciite <le Poissoii. 258.-13-6. Relncio- i i v \ ciitrc 1:is constantes cldsticas, 360.-13-5. Torsión. 2G1.-13-8. Flesión de iina vix:l. 263.-13-9. Constante recicpcradora, 264.-Problemas, 265.

11-1. Intro~liicci0n. p ~ í g . 269.-14-2. Fiiertas rpciipc~ndoras elbsticas. 269. 1 1-:i. I>~.liiiicioiirs, 2-0.-14-4. Eciincioiies del niovimieiito armSnico simple. il;i .--1-1-5. Relncionrs rnerpeticns en cl mox-iniiciito arm6nic.o. 279.-14-6. 1 ' ~ ~ i i ~ 1 1 i l i ~ -inilil<., ?SO.-74-7. Ciirrns dc Liu~ajoiis. ?S'>.-14-8. Jlovirnierito ?r- iii<biii<.o :linorligiin<lo. 283.-14-9. No\-imiriito nrin0iiico fortodo. I~csonniicia, :!Si.----1 1-lib. ,\lo\-iniiento nrinonico de rotacivn, 2S7.-14-11. Péiidiilo lisico, 28s.-14-12. Ccntro de oscil:icioii, 39.-14-13. Ceiilro de pcrciisioii. 291.- l'r~~I~l<~iii:is, 294. . -

( .A] - . S \ ' . - G R A V I T A C I ~ K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8 1 :,-l. 1.i.y <Ir Scxvton de la F~ \~ i t nc io i i iiiiivers?!, pcig. 29gy15-3. 31- .dc la- . - '1'lrrr:i; 1>Il!).:15-71. Ynriacioiies l e g, 300.-13-4. Campo gra\'it?torio, 302. I:..:). 1-:iiergia potencial grn~itatorin, 308.-18-6. Potcncinl gnvitolorio. 310. 1 :t.;. lloviriiiei~to planetario, 313.-Problemns, 314.

. - -

11; 1. 11iirodiicci6n. phg. 317.-16-2. Presión en un fliiido, 317.-16-3.blnnorn<.tro, : i " ~ - 11;-4. Priricipio <le ..\rr<~iiiiiirdes, 32'2-16-5. Estabilidad de iin barco, 323. 1 1 - 1,. l':ir:i<lojn Iiirlrosl81ica. 324.-16-7. Piicrzas conlra un dique. 33.3.-16-8. I I<II.:I <Ic Inc siipcr1icies. 32G.-16-9. Coelicicntc de lensidn siiperficinl. 378.- 1 1 , lo. :\iipiilo (Ir contticto, 332.-16-11. .4scciiso capilar eii iin tiibo. 332. 1 1 , 1:'. l:lr<a iiiClodo dc. csiiidi:ir 13 tensión Si~pcrlicial; 334.-16-13. Exceso de i n v , , I ~ ~ I I 1.11 I:i> liiirl)ii.in~. 336.-1G-14. Foriiinci6ii de golas. 33s.-16-1:i. Ten-. S i o ' i i \ ~.iivryi:i sii])crficialcs, 33s.-I'roblenins. 339.

. . . . . . . . . . . . . . . \ \' 1 ~ . - - ~ ~ ~ ~ ~ > ~ O D ~ X ~ ~ I ~ C A Y VISCOSIDAD

la 1: l . Ilv~iiiirn cstncionario, p<ig. 343.-17-2. Teorema de Rernoiilli, 344.- l . .:. ( , : I \II) <le i i i i tiiho, 3-16.-17-4. .\?licaciones del tcoreiiio de Beriioiilli, 347. 1 , . N \'iw<i.i(in~I, 351.-17-6. Le?. de Stokes, 35.5.-17-7. . \ I~\~imiento de flúi-

' 1) t l i t h i l . ~ i w ~ o ~ :i irarer (le tiibos, 357.-17-S.I)~dii~~ión dc la ley de Poisetiille, 358. I ' i < i l> l l . i i i i i . . . :i:>!I.

CAP. );Ir;.-CASTIDAD DE CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 2 19-1. El calor es una forma de la encrgia, p<iq. 382.-19-2. Caiitidnd de calor, 383.-19-3. Equivalente mednieo del calor, 3,U.-19-4. Capacidad calorífica. Calor espccilico, 385.-19-5. Calorimetria. 387.-19-6. Calor dc coinl)ustion, 389. 19-7 Energia interna. 390.-Problemas, 391.

CAP. XX.-PROPAQACI~N DEL CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 3 20-1. Conducci6n pág. 393.-20-2. Flujo de calor a traves de una pared compuesta, 393.-20->. Flujo calorifico a traves de la envoltiira de iin tubo cilindrico, 387.-20-4. Convccción, 397.-20-5. Radiación, 398.-2ít-6. Ley de Ste- fan, 400.-20-6. El emisor ideal, 401.-Problemas, 403.

21-1. Cami>ios de estado. p&. 406.-21-2. Trabajo realizado en iin cambio de roliimen. 409.-21-3. Efecto de las siistancias disueltas sobrc los plintos dr solidificacion y ebullicicin, 412.-21-4. hledida dc los calores de liision y vapo- . rizacion. 413.-Problemas, 413.

22-1. Ley de Rovle, pág. 416.-22-2. I.ey de Gay-Lussac, 418.-22-3. Eciiacion de estado de un gas perfecto, 420.-22-4. Energia interna de un gas, 423.- 22-5. Calores especilicox de un gas, 425.-22-6. Energía interna y calor. 429.- 22-7. blemas. Procesos 434. adiabfiticos, 430.-22-8. Compresibilidad de un gas, 433.-Pro-

- . ---. . -. ... - L..,

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23-1. Licuacibn de los gases, pág. 438.-23-2. Efecto de la presi6n sobre los puntos de ebullicidn \. solidificacion 442.-23-3. La ecuación de Claiisiiis-Cla- pevron. 444.-23-4. Humedad, 447.-23-5. La cámara de niebla de \17ilson, 449.-23-6. Superficies termodinAmicas, 450.-13-7. La eciiaci6n de estado de van der Waals, 451.-Problemas. 452.

24-1. Segundo principio de la termodinámica. pág. 455.-24-2. Motor de com- bustión interna 458.-24-3. hlotor Diesel, 459.-24-4. hfdquina de vapor, 460. 24-5. Ciclo de ~ a r n o t . 461.-24-6. MAoiiina friaorifica. 463.-247. Entropia, 464. 24-8. El principio de alimento de en'tropía, 468.-24-9. La escala absoliita de temperaturas Kelvin, 471.-Problemas, 472. . - . . . . . . . . . . . . . . - . . - - -~ .

. . . . . . . . . . . . . . . CAP. X X Y . - T E O R ~ A CIKS~TICA DE LOS GASES 474 25-1. Deduceidn de la ley de los gases perfectos, p6g. 474.-25-2. Calores especificos. 478.-25-3. híovimiento browniano 481.-25-4. Recorrido libre medio, 482.-ti-5. Viscosidad de un gas, 483:-25-6. Distribución de Max\vell- Boltzmann de las velocidades moleculares, 485.-Problemas, 487.

I !: SONIDO

26-1. introduccidn pdg. 491.-26-2. Ondas transversales en una cuerda, 491. 26-3. Series de ~ A r i e r . 497.-26-4. Ecuacidn de la onda, 498.-26-5. Ondas sonoras en un gas, 500.-26-6. Variaciones de presión en una onda sonora, 505. Problemas, 507.

! . . . . . CAP. XXVI1.-VIBRACIOKES DE CUERDAS Y DE COLUMNAS DE AIRE 510

27-1. Condiciones en los extremos de una cuerda, pág. 510.-27-2. Ondas estacionarias en una cuerda, 512.-27-3. Vibraci6n de una cuerda fija por ambos

r .

n 7 1 ~ N D I C E GENERAL 1 , 2

cslrcmoh, .5lj.-27-4. Vibraciones <Ic m<*ml)ranas y plnci.;, 518.-27-5. Ondas rslarjon:irios cn tina coliinina de aire, 518.-27-6. Piilsaciones. 520.-2i-7. Com- - - -- ~ -- - posici6ii de sotii<los, 5-2.-T'roblemns, 523.

(:AP. X);vIII.-ONDAS S O S O i 3 A S . EL O¡DO Y LA A U D I C ~ ~ N . . . . . . . . . 526 28-1. Iiitciisiila<l. j ~ t i g . ;'>C.-23-2. Si\-cbl de intensidad. El <Iecibel, 330.-2Y-3. l:] oiilo y In :iiiiliriún. :i:$ll.-2ii-2. Electo Uoppler, 537.-28-.>. Rcllcsión dc,!ns oii<l:ir soiiora~. ')39.-28-6. Aciislicn nrqiiilcctonicn. Ticm]>o de rcvcrbrracion, 541.-28-;. I~vlr;icri0n dis oii<lns sonoras. 543.-23-8. Interlereiicia de ondas soiior;i., J4.4.-28-9. I)ilr:icci6ii (le oiirlns sonorac. 54.5.-l'roblem;is, 546.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B I B L I O G R A F ~ A R E C O Z I E S I > A D A 549 T A ~ L A S D E LOGARITblOS DKCIXIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 RAZONES T R I G O N O > I ~ T R I C A S SATU1iALI:S . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S ~ S T E X ~ A P E R ~ ~ D I C O 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLA D E FACTOIIEC D E C O X \ ~ T . R S ~ ~ N 554 i

. . . . . . . SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS I M P A R E S DE F I N A L DE CAPITULO 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . ISDICE ALFABETICO DE A U T O R E S Y h l A T E R l h S 565

CAPITULO PRIRIEHO

COMPOSICIO~~~ DE VECTORES

1-1. Fuerza.-La iiircaiiica es la rania de la fisica y de la ingvnieri:~ que se ocupa de las relaciones mutuas entre fuerza, materia y niovi- iiiiento. Comenzaremos por el cstudio de las fiici.zas. El terinirio /uerzu se usa en mecanica refiriéndose a lo qiie en el lenguaje ordinario se conoce como fracción o rmpuje. Podemos ejerccr una fuerza sobre iin cuerpo inediante un esfuerzo muscular; un resorte tenso ejerce fuerzas sobre los cuerpos a los que esta sujeto; cl aire comprimido ejerce iina fuerza sobre las paredes del recipiente que lo contiene; una locoiiiolora ejfrcr iina fuerza sobre el tren que está anastrando.

E n todos estos ejeinplos, el cuerpo que cjvrcr la fuerza esta en contacto con el cuerpo sobre el cual se ejerce, y las fiierzas de csta clase recibe2 el nombre d e fuerzas de contacto. Existen fuerzas qiie actúan sin contacto, a traves del espacio vacío; se denominan fuerzas de acción a dislnncin. La fuerza d e atracción gravitatoria ejercida por la Tierra sobre iin cucrpo, llamada peso del cuerpo, es, por el momento, la mas importante de Estas.

I Las fuerzas clectricas y magnéticas son también fuerzas de acción a distancia, pero no nos ocuparemos de ellas por ahora.

Todas las fuerzas piieden clasificarse en una de las dos clases citadas, Iiecho que nos result&á posteriormente muy útil cuaiido tengamos que considerar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (leter~iiinado, purs sólo sera necesario observar qué cuerpos-están en contacto con í.1. Así, las únicas fuerzas que actúan sobre un cuerpo son las ejercidas por los cuerpos que están en contacto con-el, jiinto con la fuerza gravitatoria o peso del cuerpo.

- . - . - L a s fuerzas~que~actuansobre-un -cuerpo dado, ejercidas poratros ciwr--- pos, se consideran como fuerzas exteriores, mientras que las ejercidcs sobre una parte de un cuerpo por otras partes del mismo se denon~inari

l fuerzas interiores. 1-2. Unidades y patrones.-Los antiguos filósofos griegos liniilaron

i en gran parte sus ac t i~~ idades a especular acerca de la Katiiraleza, in- tentando armonizar el comportaniiento de los cuerpos con las doctrinas

I t.eológicas. Lo que se conoce con el noiiibre de método cientí/ico Iiizo su aparición en tiempos de Galileo Galilei (1364-1642). Los estudios (le

i Galileo sobre las leyes de caída libre de los cuerpos no intentaban expli- car por qué los cuerpos caen liacia la superficie terrestre, sino determinar

¡ czianlo recorren en un tiempo dado y con qué rapidez se miieven. La física

1 actual se ha denominado ciencia de la medida, y la importancia de los I ~onocimjentos cuantitativos ha sido puesta de manifiesto por lord Kel- I

6 COMPOSICION DE VHCTOHES (CAP. 1 -

iiiente la fuerza, puesto que no indicrtráia dirección en la cual está ac: tuando. Se puede escribir 610 Kg y 300 por encima de la horizontal, Iiacia la derechav, ó a10 I<g ~-~po, por debajo de la horizontal, hacia la derecha*, pero todas las aclaracionbs anteriores pueden darse iiiás brere- iiiente si adoptamos el convenio de representar una fuerza por una flecha. La longitud de la flecha, a una cierta escala elegida, indica el valor o iiiagnitud de la fuerza, y la dirección hacia la que apunta la flecha iiiues- tran la dirección y sentido de aquélla. Asi, la figura 1-2 (en la cual sr Iia elegido una escala aproximada de 3 mm = 1 Kg) es el diagraiiia correspondiente a la figura 1-1 (liay otras fuerzas que actúan sobre la caja, pero no están indicadas en la figura).

La fuerza no es ia única iiiagnitud fisica que requiere especificar la ilirecci6n. además del valor absoluto de la misma: p. ej., la velocidad de iin avión no está conipletamente determinada indicando que es de 300 Kiir por hora; necesitamos conocer tambien la dirección. Por el contrario, el roiicepto de densidad no tiene asociada dirección alguna.

.4quelIas magnitudes que, como la fuerza y la velocidad, lle'.an consigo :+iniias cualidades, valor absoluto y dirección, reciben el nombre de mag- niludes i~ecloriales. Otras que, conio la densidad, quedan determinadas iinicamente por su valor se denominan magnitudes escalarzs. Cualquier iiiagnitud vectorial puede representarse por una flecha, y esta flecha se designa con e1 nombre de uerlor (o bien, si es necesaria una denominación iiiás especifica, veclor luerza o veclor uelocidad). Por ahora sólo considera- renios los vectores fuerza, pero los conceptos expuestos al t ra tar de estos pueden aplicarse a cualquier magnitud vectorial.

1-5. Componentes de un vector.-Cuando una caja es arrastrada o ,..iiipujada sobre el suelo por una fuerza inclinada, como en la figura 1-1, vs evidente que la efectividad de la fuerza para mover la caja sobre el huelo depende de la dirección en la cual actúa aquélla. Todo el mundo sabe, por experiencia, que una fuerza dada es más efectiva para mover iina raja cuanto más se aproxima la dirección de la fuerza a la horizontal. Es también evidente que si la fuerza se aplica formando un.bngulo con la Iiorizontal, como-.en_la figura 1-1, p o d u c e ~ o t r o efecto, además del de - iiiover la cajahacia adelante. Esto es, la tracción de la fuerza tiende. en parte, a levantar la caja separáiidola-del suelo, ,y el empuje de la yarilla está en parte forzando la caja a apretarse contra el suelo. De este modo llegamos al concepto de componentes de una fuerza; esto es: valores efec- tivos de una fuerza, en direcciones distintas que la de la fuerza misma.

La coniponente de una fuerza en cualquier direccinn puede encon- i.r;rrse por un método gráfico. Supongamos que deseamos conocer que lucrza efectiva se consigue para deslizar la caja de la figura 1-1, si la fuerza :il;licada es una tracción de 10 Kg dirigida 300 por encima de la horizon- t.:iI. Representemos la fuerza dada por el vector O A en la figura 1-3, en sil propia dirección y a una escala conveniente. 'la recta O X es la direc- ci011 de la componente deseada. Desde el punto A se traza una perpen- rliaular a O X que la corta en el punto B. El vector O B , a la misma escala

ssc. 1-51 COMPUNEN't'ES DE UN VECt'd14 - i -. --

utilizada para el-vectur da<to,.representa la con~~-onentede OA en la di- rección de O X . Las iiiedidas efectuadasen el diagrama demuestran quc si OA representa una fiierza de 10 Kg, que forma un angulo de 300 poi- cncinia de la horizontal, sólo tiene un valor efectivo de unos 8,7 Kg para ~roducir moviiiiiento liacia adelante.

La coniponente O B puede calcularse taiiibién ioino sigue: Iiiiesto qiir OA E es un tiiAngiilo rectángulo, se deduce qiic

0Li = OA cos 300.

Las longitudes de O B y O A son ~~ro~~orcionales a los valores de las luerzas que representah. Por consiguiente, la coinponente deseada, OB. medida en kilogramos, es igual a la fuerza dada, OA, en kilo.gramos, inultiplicada por el coseno del Angulo foriiiado por OA y OB. El valni, cle O B es. por tanto,

O B (Kg) = 0.4 (Kg) >: cus 30" ' = 10 Kg r 0,860 = 8,613 l i s .

Este resultado coincide, tan bien cuiiiu cabria esperar, con el obtenido efectuando iiiedidas en el diagraiiia. 1.a superioridad del método trigono- inétrico es evidente, pues su exactitud no depende de la ciiidadnsa cons- trucción y iiiedida de un diagrama a escala.

l,n rrcla 0.i de la figura 1-3 sr tlrii~iiiitia eje S, '. el vsti~diu pt'eie- ,lente 1,uede ycneralizarsr drl siguicnlr iiiodo: si tina riierza F fornia 1111

Angiilii Ii con i.1 eje S (Fiy. 1-1), sil cuiiilioncnl~~ FF, sobre~liciio eje es:

F, = 1.' cus ti. Il-11

e\.i<lciitc qur si la fii,.i.zü F loriiia niigiilii rrclu coi1 el eje A , su ioiii1)onente sobre este rjr es iiiila (~iueslo qiie cos 900 = 0); y si I:I fuerza se sobre el rj<%, sii coiiil>iincntr igii:il ti la furr7.a iiiism:3 (puesto que cos Oo = 1).

cril1ll,oncn[e vertical (Ir iiiia fiierza iiicliiia4i;l puctli. ciicoiitirii-se

2 7z

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IP l o F

COMPOSICI~N DE VECTOHES [CAP. 1 lT* I SEC. 1-61 COMPOSICION DE FUERZAS 11

t 11- _ representa la resultante de las fuerzas d a d a s S u longitud, a lamisma es- - L b) METODO DEL TRIÁNGULO.-S~ dibüfa un vector con su origen eii

cala que la utilizada para las fuerzas dadas, determina la intensidad de la el extremo del otro, como indica la figura 1-11 (la construcción puede lq) resultante, y el ángulo 0, su dirección. - . - comenzarse por cualquier vector) y se completa el triángulo. El lado O(), ñi Puesto que la longitud PS u OQ representa 5 Kg, y la longitud O P que completa el triángulo, representa la resultante. La coii-iparacion de

representa 10 Kg, la intensidad.de la resiiltante puede calcularse mediante las figuras 1-10 y 1-11 demuestra que se obtiene el mismo resiiltado 1)oi. IF el triángulo rectángulo OPS. Así. ambos métodos.

ir t --

O S = ~ o P ~ + P s ~ = d 1 0 2 + 5 2 = 1 1 , 2 ~ ~ . o R - R Q - P - o-

El ángulo O puede calcularse tanibién por una de sus razones trigono- P Q P IP inétricas, seno, coseno o tangente. Así, (4 (b)

ln 5 Fic. 1-12.-E1 veclnr If c+ la resiiltnnte dc los 8.ectorer IJ \ (J.

sen O = - - - 0,447; iP 11,2

3.0 Caso especial: Las dos fuerzas se encuentran sobre la misma recta. 4 * cos 0 = - l o - - 0,893; Cuando ambas fuerzas se encuentran sobre la misina recta, el triángulo de

{f* 11,2 la Iigura 1-11 se reduce a un segmento rectilineo. Para poder ver todos 5 - los vectores fuerza, es costumbre desplazarlas ligerariiente, coino indica

\fih Lg 0 = - = 0,500. la figura 1-12. Tenemos entonces las figuras 1-12 (a) ó 1-12 (b), según 10 .

(4 que las dos fuerzas tengan el mismo u opuesto sentido. Solamente en

Utilizando cualquiera de estos valores, hallamos, mediante una tabla este caso la inténsidad de la resultante es igual a la suma (o diferencia) f 4 de funciones naturales, de las intensidades de las componentes.

riFa 0 = 26,50

Deducimos, piies, que una sola fuerza de 11,2 Kg, que forine un ángulo R' de 26 ,9 con la horizontal, producirá el mismo -efecto que las dos fuemas; (t.8 o sea, una horizontal de 10 Kg y una vertical de 5 Kg. Obsérvese que la

resultante no es la suma aritmética de 5 Kg y 10 Kg; esto es, las dos fuerzas no equivalen a una sola fuerza de 15 Kg.

1 ,a% o S,'

F16. 1-10.-31~todo del p;inilrlograrno FIG. 1-1 l.-.\letodo del - triAtigiilu- para rncontrnr la resultanle de dos 1,;iili eiicontriir la resultante de dos

\'ectorrs. vect ores.

2 . O Dos Ilicrzas que no forman angulo recto. a) METODO DEL PARALE- L.OGRA~IO.-Representemos, en la figura 1-10, por O P y OQ las fuerzas . ciiya resultariie se desea. Tracemos desde P una paralela a OQ, y desde Q una paralela a OP, que se cortan en S. El vector OS representa la resul- Lante R en mzgnitud y dirección. Por ser OPSQ un paralelogramo, este mbtodo se llama melodo del paralelogramo. La magnitud y dirección d e la -

icsiiltante puede encontrarse efectuando su medida, o calcularse mediante cl triángulo OPS con ayuda de fórmulas trigonométricas.

- FIG. 1-13.-hlhtodo del poligoiin.

4.0 Mas de dos fuerzas: Método del po1fgono.-Cuando han de coiiipu- nerse mas de dos fuerzas, se construye primero la resultante de dos cualesquiera de ellas; después se compone esta resultante con una tercera, y así sucesivamente. El problema esta representado en la figura 1-13, que

. se refiere a las cuatro fuerzas A, B, C y D, aplicadas simultáneamente eri el punto O. En la figura 1-13 (b ) , se han compuesto primero las fuerzas A y B por el método del triángulo, dando una resultante E, la fuerza E se compone después, por el mismo procedimiento, con C, dando una resultante F; finalmente, se componen F y D para obtener la resultante R. Evidentemente, no es necesario dibujar los vectores E y F; basta trazar

_ sucesivamente los vectores dados con el origen de cada uno en el extre-

- . . ino del precedente y completar el poligono por un vector~R, que una e l - . r origen del primero con el extremo del últinio. La resultante obtenida no depende del orden en el cual se dibujen los vectores, como indica la figura 1-13 (c). . .. . .

Se. ha supuesto, en la exposición anterior, que todas las fuerzas se enciientran en el mismo plano. Tales fuerzas se llainan coplanarias y, escepto en unos pocos ejemplos, solainente consideraremos problemas en los que intervienen fuerzas coplanarias. . .

1-7. Composicián de fuerzas mediante sus componentes rectangulares. Mientras que el método del poligono es satisfactorio para construir la resultante de un conjunto de fuerzas, presenta inconvenientes para el cálculo, a causa de que, en general, es necesario operar con triángiilos oblicuangu- los. Por consiguiente, el método usual para encontrar la resultante de cierto número de fuerzas se basa en descomponer primero todas ellas en sus componentes rectangulares, según un par d e ejes convenientes; segundo, encontrar la suma algébrica de todas las componentes, segun el eje X y segun el eje Y; y, tercero, componer dichas sumas para obtener la resultante final. Este procedimiento permite utilizar únicamente trián- gulos rectángulos, y recibe el nombre de método de la descomposición rectangular. Coino ejemplo, calculemos la resultante de las cuatro fuerzas de la figura 1-14, que son las mismas consideradas en la figura 1-13.

.. - . . - - - -. - FIG; 1-14. - - . -- . . . .. -. Las fuerzas es-tan representadas en la figura 1-14 (b) , descompuestas

en sus componentes rectangulares según los ejes X e Y. Las fuerzas de 23 I<g y 10 Kg se encuentran ya sobre los ejes, y no es necesario descom- ponerlas. Es costumbre considerar como positivas las componentes según el eje X dirigidas hacia la derecha, y negativas las dirigidas hacia la izquierda. .4nálogamente, se consideran positivas las coitiponentes segun el eje Y dirigidas hacia arriba, y negativas las dirigidas hacia abajo. No siempre se adopta este convenio de signos. En general, se eligen los sentidos positivo y negativo de modo que se eviten en lo posible los signos menos.

La componente según el eje X de la fwerza de 8 Kg .es + 8 cos 4-50 K g - 1 - - , 5.66 Kg, y su componente, según el eje Y, es + 8 sen 450 K g =

SEC. 1-81 RESULTANTE DE FUERZAS NO CONCURHEN7ES 13 - . - . . .- - - -

+ 5,66 Kg. La componen%e X de la fuerza de-20-Kg-es - 20 cos 600 Iig - - - 10 Kg; su componente Y vale + 20 sen 600 Kg = + 17.3 Kg. La suiiia algebrica de las coiiiponentes, según el eje X , es iina fuerza de (25 + 5,GG - 10) K g = + 20,66 Kg hacia la dereclia. La suiiia alg6- t brim de las coiii1)onentes según el eje Y es una fuerza de (l7,3 + 5,66 -- -- 10) I<g = + 12,96 Kg hacia arriba. La resultante es igual a la n i z

I

cuadrada de la sunia de los cuadrados de las coinponenlcs, según lo\ f ejes X e Y [Fig. 1-14 ( c ) ] . El ángulo que forma con el eje X qucda detcr- niinado por su tangente. Así:

P

f R = 4 20,662 + 12,962 = 24,4 Kg;

12,96 r tg 0 = - = 0,627;

20,66 P'

Aunque en la figura 1-14 aparecen tres diagrariias separados para niu- yor c!aridüd, en la practica se realiza la construcción sobre un niisino diagrama.

El símbolo ~ u r t ~ n i a t i c o para la suma algébrica de las coiiiponentcs, segun los ejcs X e Y, es XX, o CY. (C es la letra griega sigrna o S, qiir significa suma de). Por consiguiente, se puede escribir, en general,

1-8. Resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes.-La figura 1-15 representa una varilla sobre la que actúan tres fuerzas: Fl, f i , f i . Estas futrzas no estan aplicadas en el iiiisiiio punto, e incluso si se prolongan sus lineas dc acción, coino indican las lineas de trazos, no pasan las tres por un misnio punto. Sin embargo, las t r e s fuerzas tienen upa resultante, en elsent-i* de-que es posible encontrar una sola fuerza que produzca el mis1110 efecto que el producido .por la acción simultanea de las fiierzas dadas. Esta resultante se determina grafica- iiiente de la foriiia siguiente: se comienza con dos fuerzas, p. ej., Fi y F2, prolongando sus lineas de acción hasta su intersección (pun- FIG. 1-15.-El vector H cs 121 resiillnnle

<le Fi, 1%. FJ. to 2). Se trasladan FI y F 2 al pun- to x , 'y se determina su resultante, Rl, por cualquiera -de los inétodos conocidos (en la figura se ha utilizado el método del paralelogramo). A continuación se prolongan las lineas de acción de Rl y Fs hasta su

intcrsec~ioa (plinto y) y se llalla la -resultante, -R,-de -R1 y--Fs.-Final- iiiente, se prolonga la linea de acción de R hasta cortar a la varilla en el. punto c. Una única fue]-za, con la ~iiagnitud y dirección de R, aplicada en el punto z de la varilla, producirá el misino- efecto que el sistema dt. fiierzas dado.

1-9. Vector diferencia.-La resultante de dos vectores se llama tarii- bi6n occior slimn, y la operación de liallar l a resiillante se denomina s u m o de vcclores. En iiiuclios ejcniplos, conio cuando se calculan aceleraciones o velocidades relativas, es necesario restar iin vector cie otro o encontrar su vector difcrencia. Esto se efectúa coiiio sigiic: si A 3- B son los vectores representados en la figiira 1-16 (o), el vectoi diferencia, A - B, puedt- e\cribii.se A +- (- U); o sea, cs cl vector s i tmn dc los vectores A y - B. El i~cctnr opilcsin dc iin \lector dado tienc la iiiisiiiít longitiid qiie dicho vec- ioi.. y h('lll ido opii<.sto. 1

( a )

1'16. 1-16.-Dos iiiPIodos de Iialliir el vector diferencia A-B.

E1 iiidotlo 1);i1.;1 11a11ar el vector diferencia está representado en la ligilra 1-16. .-I y B son 10s vcctores dados; el vector B está dibujado d e . iiazos cii la 1igiii.a 1-16 ((1) y el -13, con línea llena. El vector suma de A y -B, es decir, cl vectoi diferencia A - B se lia deteriiiiiiado por la i-qln rli.1 ~~ai~alClogi.aiiio.

l'iivtic tüiiibiéii iitilizarse el iiit3odo del triángulo para liallar el vector. diicrcricici: se llevan los vectores A y B a un iiiisnio origen, como en la figiira 1-16 (1)). El ~ c c t o r ciiyo origen es el extremo de By su extremo - rl cxtrciiio de -4 representa e1 \.Gfif~difeGncia A - B. Para- compro- ha1.10 coinpárese la figura 1-16 (b) con el triángulo-rayado de l a - f i y - rn 1-16 ( (1): o véase, en la figura 1-16 (b), que el vector A puede consi- tlrraisc coino siiiiia cle B y de ( A - B); esto es:

-4 ' = R f (.A - B) (sunla vectorial). El vector difcrencia puede liallarse también por el método de la des-

c.oinl~osicióii rectangular. Cada vector .se descompone en suscomponen- i(.s i.c<iiii los rjes S e Y. La diferencia entre las coniponentes X es la (~ciiii1)oiicnle S del vector diferencia buscado; la diferencia entre las com- ~)oiic.iites 1' es la con~ponente 71' be diclio vector diferencia. .. .

1 121 dirrrrihri de 1111 veclor signilic:i-algiiiiaspeces la direcciori de la rcctr geometrim i ~ i ~ l v l i i i i d : ~ a lo largo dc In cual actúa el \-ector. Los veclores B y - 13 tienen lamisma dirección ?. .c ~li.iiiigiirii diciendo qiir tirnen senlidos opiiestos.

1-1. ¿En qué se basa la afiriiiaciDii d r que una fuerza es una inagnitud vectorial? 1-2. üiia caja es eiiipujada sobre el

i ,suelo, conio indica la figura 1-1, por uiia fuerza de -20 I<g, que forma un aiigulo (le 300 con la horizoiital. a) Ctilizaiido uiia escala de 5 min = 1 I ig , hállense las, coniponentes horizontal y vertical de la fuerza

T I por el metodo gráfico. b) Coinpru6beiise

1 los'resullados calculando las conipoiieiites. 1-3. a) ;Qué intensidad debe teiicr

tina fuerza, F, ejercida sobre un bloque, i . como indica la figura 1-S, para que la i i componente paralela al plano sea de l ( i ki-

1 logramos? b) ;Qué iiitciisidad tendrá la ! romponeiite F,? Póngase a= 200, 8 = :VIn.

= 600. Resuélvase grdliraniciite. Iia- t-irn(lo 2 min - 1 1<g.

. 1 4 I,us 1i.w fuerzas de la figura 1-15 actúan sobre un cuerpo materializado en

... - el crigcn. u) I-iállc.tise las compoiientes X . e Y de cada una cIc las tres fuerzas. Ila-

gase uso del metodo grhfico, utilizaiido '7--- -' -una escala adeccaaa.3].Mediante la des;

composición rectangular hitllese la resultante del sistema de fuerzas. c) Calcijlen-

. % e l a magnitud y'dirección de la cuarta Iuerza que debe añadirse para que la resultante- sea nula. Indiquese esta cuarta fiierza mediante un diagrama.

1-5. Dos hombres y un muchacho d r - sean arrastrar <<'cajón eii la direccióii señalada con X en la figura 1-18. Los dos Iioinlrres empujan con fuerzas Fl y 14.2.

cuyas direcciones S magnitudes estan iii- dicadas en la figura. Determliiense 1;) direccióii y inagnitud de la fuerza miniiiia que dehc ejercer -el muchacho.

1-6. o ) Hálleiisc graficaniente el ve<.- toi. suina .4 + U y el vector dilereiicia .-1 -- 1;. en In figuri 1-19. b ) hlediante rl iii6todo de la dcsconiposicii,ii rectangular. dcterrniiiense la inagiiitud y dirección de la rrsultaiite de los vectores A y U. 1-7. . Dos fuerzas, Fl y Fz, estaii apli-

cadas a uii punto. La magnitud de Fl es S Kg y su dirección forma 600 con rl eje X en el primer cuadrante. La magnitud. de F2 es 5 I<g y su dirección forma 530 con el eje X en 'el cuarto cuadrante. a) tCuáles son las coiiiponentes liorizontal y vertical de la fuerza resultante? b ) ~Cuitl es la magnitud de csta resultante? c) Mués- trese cii uii t l iagr~rna un método grAfico para drteiiiiiiinr 13 niagnitud y direccióii de la r e a ~ l t a i i l ~ . d) ¿.Cual es la magnitud del . ..... veclor dilerciiria, fi - 122?

1-8. ~ > o s - i ü e i . i . i s ; ~ F ~ ~ F2. actJan sobre un cuerpo de tal modo que su resultante, R. tiene magnitud Igual a la de I.'I y forma Angulo recto con ella. Sea Fi = = R = 10 Kg. Hállense la magnitud y dirección (relativa a Fl) de la segund:~ fuerza, Fz.

1-9. Hallese, mediaiite el iiiélodo dv .la descomposición rectaiigular; la resiil- tiirite del siguiente sistenia de fuerza': 40 Iig, verticalmente hacia abajo; 50 Kg. 530 por encima de la horizontal hacia la derecha; 30 Kg, tiorizontal y hacia la ir- quierda. Compruébese el resultado obtr- nido utilizaiido el metodo del pollgono. J

2-1. Introducción.-la iiiccáiiica se basa en tres leyes naturales, deducidas por 1)iiiiiei.a vrz, de un ii-ioclo pi.cciso, por sir Isaac Ne\vtori (1G.13-1727) y ])ubliwtlas cii l6SG cri siis I'hilosophiae Naiuralis Principitl ,lfalhanatica (Los fiindarnenlos rnalernulicos de la ciencia de la Nafuraleza). ; No debe creeisc, sin cnibargo, que la iiiecánica; como ciencia, coiiienzb j

con Newton. Bluclios le liabían precedido en estos estudios, siendo, qiiizú el nias deslacédo, Galileo, quien en sus trabajos sobre el ~n~oviiilicnto actm- lerado liahía establecido una giaii parte de los fiindariientos utilizados por iiervton p a a la fornid.a.ci0ii de sus tres leyes.

En este cal)ítulo sólo utilizareinos dos de las leyes de Newton: la pri- ineia y la tercera. La segunda ley de Ncu-ton sera estudiada en cl capitulo V.

2-2. Primera ley de Newton.-La 1)riiiiera ley de Newton establece que c~rando Iin cuerpo está en reposo, o moviéndose con velocidad constantt, sobre una trayectoria rcclilinca, la resultante de todas las. fuerzas ejercidas . sobre él es nula. Las distintas vigas, coluiiinas, tirantes, etc., que forman la estructura de un edificio o de un puente son cuerpos en reposo. Las fuerzas que se ejercen sobre ellos son sus 1)ropios pesos, las ejercidas por otras partes de la estructura y las debidas a cualquier carga que la estructura deba soportar. Pucsto que la resultante de todas estas fuerzas tiene que ser nula, si se conocen algunas de estas fuerzas pueden calcularse las restantes. Por aplicación sucesiva de la primera ley de Newton a los diferentes elementos de una estructura, el ingeniero puede calcular que fuerza lia de soportar cada parte y, por consiguiente, quC resistencia debe tener cada viga, columna o tirante. . - _ _ . .. - ... ~. En ~niÜ~chos-GGsI las fÜ'erzas sobre un eleiiiq~to de la estructuiii están distribuidas de modo que ha de tenerse tairibién presente el efecto f

de rotación o monlento de cada fuerza. No tendremos en cuenta esta complicación hasta el próximo capitulo, y en éste considerarenlos unicamente estructuras en las cuales todas las fuerzas pasan por un misriio punto. Asimismo limitaremos nuestro estudio al caso de. Tuerzas coplanarias.

Obsérvese que al enunciar la priiiiera iey de Newton se Iian heclio resaltar tres palabras: ala resultante de todas las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo,. Muchas de las dificultades encontradas al aplicar esta ley a problemas concretos se deben a errores cometidos al utilizar la fuerza re- sultanfe, o al incluir todas las fuerzas, o al emplear las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo. Además, puesto que en la segunda ley de Newton tanibiEn

SEC. 2-21 PRIMERA LEY DE NEWTON 17 -- - - - - - - - - - - - - se hace intervenir la resultante de todas las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo, es en extremo importante aprender a reconocer, tan pronto como sea posible, de un modo preciso cuáles son las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo determinado.

Si la resultante de todas las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo es nula. se dice que el cuerpo está en equilibrio. Asi sucede, p. ej., cuando el cuerpo se halla en reposo o moCiéndose en línea recta con velocidad constante. Ambos casos se agrupan bajo la denominación común de problemas dr esláfica. Como consecuencia de lo dicho en el capitulo precedente, las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo en equilibrio deben satisfacer las siguientes condiciones:

C X = O , Z Y = O .

Estas ecuaciones se denominan, a veces, primera condición de equi- l

librio. En la resolución de problemas de este tipo, es esencial dibujar un dia-

grama cuidadoso, en el cual cada fuerza ejercida sobre un cuerpo esti representada por una flecha. E l procedimiento a seguir consta de los siguientes pasos: primero, hacer un esquema esmerado del aparato o estructura; segundo, elegir el cuerpo que está en equilibrio y, en un esquema aparte, representar todas las fuerzas ejercidas sobre él, lo que se denomina aislar el cuerpo elegido; escribir sobre el diagrama, que sera bastante grande para evitar confusiones, los valores numéricos de todas las fuerzas dadas, ángulos y dimensiones, asignando letras a todas las magnitudes desconocidas. Cuando una estructura se compone de varias partes, debe T

construirse un diagrama separado pa- 4

ra cada una. Tercero, dibujar un par de ejes perpendiculares e indicar sobre cada diagrama de fuerzas las componentes rectangulares de las fuerzas in- ! t

clinadas, tachando ligeramente aque- . - - - iias fuefzas que han sido-p-descom-- 50 Kg

puestas. Cuarto, obtener las ecuaciones algébricas o trigonométricas necesarias, deduciéndolas de las condiciones

(4 (b ) + de que las sumas de las componentes W = SO Kg s e a n 10s ejes X e Y tienen que ser

F,G, -l.- Fueruis sobre un nulas. suspendido.

Para comenzar con un ejemplo sencillo, consideremos el bloque de 50 Kg de la figura 2-1 (a ) , pendientr de una cuerda vertical. Sobre el bloque actúan una fuerza de contacto. la fuerza de tracción ejercida hacia arriba por la cuerda, y también una fuerza de acción a distancia, la atracción gravitatoria de la tierra dirigida hacia abajo, o peso del bloque. La figura 2-1 ( b ) es el diagrama de fuerzas del bloque, qut: esta representado por el punto negro. Se ha desig-

- ~ - .. .- ~

n;idi por j - l a fiierza ejercida sobre PI b10quP pÓr la cuerda. y por W , l a iiierza EN\-itatnrin rjrrri<la sobre el bloque por la Tirrra, o peso del bloque.

Sr tiriir: y>- = '/' - \\':

7' - \\' = O: r 1 sra. 7' = \i' = 50 I i +

Esto es. iiiediaiite la priiiiera ley (l? Se\vLon, deducinios que la cuerda tira del bloque hacia arriba con iina fuerza igual a la atracción hacia abajo que la Tierra ejerre sobrc t'l.

2-3. Tercera ley de Newtan.-La tercera ley de Se.\vton establece que si un rcirrpo rjerre iinu luersa sobre otro, el segundo ejerce siempre .sobre. cl prirncro olra /uct-a de 10 misma inlcnsidod, pero de sentido opuesto. Est:is fuerzas se driioiiiiiiaii corrieiitciiieote acción y rearcion, por lo que 1:i tercera ley de Se\\.loii se piiede eiiunciar así: Brción y reacción son fuerzas igiiales y opiirslns.

Aclarareinos la tercera ley, coiisideraiido d e i i u o o las fiierzas de la figura 2-1. La fiierza T de dicha figura es una fuerza dirigida Iiacia arriba, vjercida sobrr el bloque por la cuerda. La reacciun a esta fuerza es otra igual dirigida liacia abajo, ejcrcida por el bloque sobre la cuerda, y est5 representada por T' en la figura 2-2, que es el diagrama de fuerzas d e la riierda. Las otras fiierzas que actuan sobre la cuerda son su propio peso m

y la fuerza P ejercida hacia arriba sobre ella, en su extremo superior. por el techo. Puesto que la ciierda esta en equilibrio:

Pero, dado que T' eii la figura 2-2 es la reacción a la fuerza T de la figura 2-1, su

intensidad,-ea virtud dela tercera -ley de-- Newton, es de 50 Kg. S i el peso de la cuerda es de 1 Kg. de la Ec. [2-21 resulta:

..

i P = 51 Kg,

sec. 2-41 - -- - EsTHucrtIH~s SENCILLAS -- 1 S

que puede despreciarse,-se deduce-de~ia Ec. [ 2 2 ] que P = T' = 50 Kg. ~

:

y puesto que P j, P' son iguales, es también P' = 50 Kg. La tracción : hacia abajo (P') sobre-el techo es, pues, igual a la tracción hacia abajo (T') sobre el extremo inferior de la cuerda; es decir, una cuerda sin peso puede transmitir uno fuerza de un &remo a otro sin modificarla.

. D e b e obsen-arse que aunque las fiierzas T T. : y II; de la figura 2-1 son iguales y directamente opuestas, cualquiera de ellas no es la reacción de la otra. La reacción a la fuerza T es, como hemos visto, la fuerza T' que el blo- I que ejerce sobre la cuerda. ¿Cual es. entonces,

a P. es la reacción a W? La fuerza W es la ejercida roawMn s P. en la rigurp 2-2. por la Tierra sobre el bloque. La reacción a IY tiene que ser igual y opuesta a la fuerza ejercida por la Tierra sobre el bloque; esto es: si la Tierra atrae al bloque con una fuerza de 50 Kg. el bloque también atrae a la Tierra con una fuerza de 50 Kg.

Un cuerpo, como la cuerda de la figura 2-2, sometido a tracciones eii sus extremos, se dice que esta en tension. La fuerza ejercida por (o sobre) la cuerda en cualquiera de sus extremos se llama también tensión de la cuerda. Por ahora consideraremos unicamente cuerdas sin peso, en las

TI se?,,

T, sen 300 - T' r

i 30. 60. 9 - T. Cos 300 T, cos 600

-.

. I y la tracción del techo sobre la cuerda es ,U de 51 Kg. zuales la tensión es la misma en ambos extremos; p. ej., si el peso de la

Finalmente, puesto que la cuerda tira cuerda en la figura 2-2 es nulo. P = T' = 50 Kg, y la tension en la cuer- l., = 50 Kg

del techo hacia abajo con una fuerza igual d a es 50 Kg (no 100 Kg).

,& a la que ejerce éste hacia arriba sobre la z e - 24. Estructuras sencillas.-La figura 2-4 (a) representa un bloque

cuerda (tercera ley), la fuerza ejercida hacia --.de . .~ 100 Kg suspendido de una cuerda vertical, la cual, a su vez, esta atada $49 abajo sobre. el techo es de 51 Kg. (P' en la a d o s cuerdas que forman angulos de 300 y 600 con la horizontal. Se coii-

2;L.-Fueruis sobre la euerdü ..,gderan despreciables los pesos de las cuerdas y se desea calcular la tensihri ! \m nc i. figura 2.1. ~8 fuem T es l a Fig. 2-3.) mwi6n a la tuerre T de la Si eS peso de la cuerda es tan pequeño

' -. de. ~ cada una de ellas. u.* f i R i i r n 2-1.

l.. 20 ESTATICA [CAP. 2

La tensión de la cuerda vertical es evidentemente de 100 Kg. Las . cuerdas inclinadas no están en contacto con el bloque y, por consiguiente, -

t - - -

no-pueden determinarse sus tensiones a partir de un diagrama de las fuerzas ejercidas sobre el bloque. Sin embargo, las tres cuerdas ejercen fuer-

I zas sobre el nudo que las une; por tanto, el nudo puede considerarse como I un pequeno cuerpo de peso despreciable que se halla en equilibrio bajo la I acción conjunta de las fuerzas ejercidas por las tres cuerdas. En general, 1 cualquier ejemplo en el que interviene un cierto número de fuerzas que ! tienen un punto común y que satisfacen a la condición de equilibrio, i I puede estudiarse considerando su punto de inierseccion como si fuera un

pequeño cuerpo en equilibrio. El diagrama de fuerzas del nudo está representado en la figura 2-4 (b) .

Aunque las tensiones TI y T2 no se conocen de antemano, debe inten- tarse dibujarlas aproximadamente a escala. Sabemos que sus componentes horizontales son iguales y opueitas, de modo que, evidentemente, TI tiene que ser mayor que T2. No ha de cometerse el error de dibujar los vectores Ti y T2 iguales en- longitud a las cuerdas que ejercen dichas fuerzas. Puede verse que la fuerza mayor es la. ejercida por la cuerda inás corta.

De las condiciones de equilibrio se deduce:

\t. ZY = Ti sen 600 + Tz sen 300 - 100 = 0; de donde !E

TI = 86,6 Kg, Tz = 50 Kg.

, El techo ejerce sobre las cuerdas, en sus extrémos superiores, fuerzas iguales y opuestas a TI y Tp, las cuales no aparecen en el diagrama, puesto

; i que no son fuerzas ejercidas sobre el cuerpo en cuestión. : I Un tipo corriente de estructura en el que intervienen compresiones,

/ f además dctensiones, es el representado en la figura 2-5 (a). El cuerpo sus- i. ! pendido puede ser un farol dealumbrado o un rótulo. Se desea calblar

L / la tensióndel cable soporte y la ~ ~ ~ r e s i ó n del puntal, cuando se conoce 1 . i el peso del cuerpo suspendido. 'i: l En el extremo libre del puntal concurren tres fuerzas, y, en conse- " 1 r . 3

cuencia, se ha trazado en la figura 2-5 ( b ) un diagrama de fuerzas para ; ! este punto. Las tres fuerzas son: la tracción dirigida hacia abajo del cable i vertical, el empuje dirigido hacia afuera del puntal y la tensión del cable

! inclinado (se desprecian los pesos del puntal y del cable). Cuando la fuerza ejercida por un cuerpo es un empuje en la dirección de su longitud, como en el caso del puntal de la figura 2-5, se dice que el cuerpo que lo ejerce

i se halla sometido a compresi8n. Es costumbre, en la práctica, dibujar

1 todos los vectores fuerza con sus orígenes en el punto considerado. Por i tanto, el vector C, que representa la fuerza ejercida por el puntal en su

. .

SEC. 2-51 - OTIIOS E.IEMi'LOS DE EQUILIBRIO 21 1

extremo libre, se dib-uja comosi fuera una-ti-acción. Para que exista equilibrio ha de verificarse:

El' = T sen 450 - 80 = 0; d e donde

I ' = 113Kg;- C = 83Kg.

E n virtud de la tercera ley de Newton, se deduce que el puntal ejerce un empuje sobre la pared, dirigido hacia la izquierda, igual y opuesto a C, y el cable inclinado tira de la pared hacia abajo y hacia la derecha con una fuerza igual y opuesta a T.

T----

T sen 450

- T cos 450

2-5. Otros ejemplos de equilibrio.-De acuerdo con la prime- ley de Newton, la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula si el cuerpo está en reposo o cuando se mueve en línea recta a velocidad cons-

+%P E n los ejemplos estudiados en la sección anterior se ha .conside-- - -

- ra el caso de Xüei;pCs en reposo. Citaremos ahora algunos ejemplos que se refieren a movimiento rectilíneo con velocidad constante.

Antes de Galileo y Newton, se creía que para mantener dicho movimiento era necesaria la existencia de una fuerza que actuase continuamente sobre el cuerpo móvil, y, sin duda, nuestra experiencia parece indicar que debe suceder así; p. ej., ha de ejercerse un empuje constante sobre un libro para moverlo a velocidad constante sobre el tablero de la mesa. Sin embargo, si las superficies del libro y del tablero se hacen cada vez mas lisas, esto es, si se reduce el rozamiento, la fuerza necesaria para mantener el movimiento se hace cada vez menor. De ello deducimos que si el rozamiento pudiera eliminarse, no se necesitaria en absoluto fuerza alguna para mzntener el libro en movimiento, una vez iniciado éste. Apla- zamos por ahora el problema de hallar las fuerzas que actúan hasta po-

. -

iier el cuerpo En-'movimiento, asi cómo l a consideracion de las fuerzas de rozamiento, y estudiaremos algunos ejemplos de movimiento rectilineo ron velocidad constante y en ausencia de rozamiento.

La figura 2-6 representa un bloque de peso UI, colocado sobre un plano inclinado sin rozamiento. ¿.Qué fuerza paralela al plano se requiere para iiiover el bloque hacia arriba con velocidad constante?

Fic. 2-6.-P. h' y w son las t u e n a s exteriores ejercidas sohrr el hloqite.

Se comienza por construir un diagrama de fuerzas, como el de la figura 2-6 (b), que representa todas las fuerzas ejercidas sobre el bloque. Estas fuerzas son, en primer lugar, el peso del bloque w que actúa verticalmente hacia abajo, aunque el bloque se encuentra sobre el plano inclinado; segundo, la fuerza P que se busca; tercero, la b e r z a N con la cual el plano empuja al bloque. Si no existe rozaniíento, el plano no ejerce fuerza tangencia1 alguna sobre el bloque, de modo que la fuerza N t i r e que ser perpendicular (normal) a la superficie del plano. Puei to que P y .W son perpendiculares, lo más sencillo será elegir los ejes X e Y paralelo y perpendicular, respectivamente, a la superficie del piano. Las fuerzas P y N se encuentran entonces sobre los ejes, y no es preciso descom- ponerlas- las companentes de w-son: w sen 8, sobree l plana y- dir' 'da Iiacia abajo, y w cos O, perpendicular al plano. Para que exista e q u i a o Iia de ser -

X X = P - w S e n í i = O ;

ES' = Al - w cos 0 = O.

Por tanto, si se conocen el peso y el ángulo de inclinación del plano, pucde calcularse la fuerza P mediante la primera ecuación, y el empuje del plano, mediante la segunda. Obsérvese que, puesto que el seno de un ingulo es inferior a la unidad, la fuerza P será siempre menor que el peso del cuerpo. La razón del peso, que es la fuerza que seria necesaria para levantar el cuerpo verticalmente, a la fuerza P, recibe el nombre (le uenlaja mecanica del plano inclinado.

1 SEC. 2-51 OTHOS EJEMPLOS VE EQUlLlBRlO 23 l. -.

: - - - &Cuales-sen las reacciones a las fuerzas P, N y w de la figura 2-6:' P es una fuerza ejercida sobre el bloque por la mano; la reacci6n a P es una fuerza igual y opuesta, ejercida sobre la mano por el bloque, y S<.

Fio. 2-7.-Lar luenar P. N ' , y u' son lar reacciones a las tuenas P. N y de la figura 2-6.

' designa por P' en la figura 2-7 (a). La fuerza N es la que ejerce el plano sobre el bloque. La reacción a N, designada por N' en la figura 2-7 (b). es igual y opuesta a N, y es ejercida por el bloque sobre el plano. La fuerza w es la fuerza gravitatoria ejercida sobre el bloque por la Tierra. La reacción a w es una fuerza igual y opuesta, ejercida sobre la Tierra por el bloque, que se ha designado por w' en la figura 2-7 (e) (evidentr-

1 mente no dibujada a escala). 1 N

La figura 2-8 es un ejemplo sencillo de un caso frecuente en muchos dispositivos mecAnicos; esto es, el movimiento de dos (o más) cuerpos ligados entre si de alguna manera. En este caso, los dos cuerpos están

.. . ligados por una cuerda flexible y sin peso, que pasa por una polea si11 rozamiento. Deseamos calcular el peso del bloque suspendido que bas- tará para arrastrar el bloque de 50 Kg hacia arriba sobre el plano, coi] velocidad constante, una vez iniciado el movimiento.

En todos los problemas de este tipo, que se refieren al movimiento dr más de un cuerpo, es esencial dibujar un diagrama para cada tino r l q .

- ' e1los:los dos diagramas de fuerzas estan indicados en las figuras 2-8 ( b i * .~~

: I ' &/: 20 ESTAT~CA . - ;.-. - .- F;;- L.,-.. >.--;--

28 " E ~ ~ T A ~ I ~ A ~CAP. 2 I. PROBLEMAS . .

29 ?':

- - - ; 1 . - . . . .- . ..

.y Hesolviendo este-sistema de ecuacione+, deducimos que-' - - -- ':f !C . p = t g e,.

'30'

Este resultado proporciona un metodo experimental sencillo para medir coeficieli- -k-~~Dp (a ) ( b )

tes dinámicos de rozanljento. El coeficiente estálico puede niedirse de un modo anh- 450 90' J . logo, aumentando lentamente g$.tngulo del. plano hasta que el bloque comience a

deslizar. Este Angulo es siempre mayor que nquel para rl cual rl bloque desliza a velo- . -

cidad constante. 500 KR

P R O B L E M A S . - IC)

2-1. Un bloque se encuentra en reposo es ejercida la reaccinn? I)c.sl)r6ciese la FIG. 2-16. FIG. 2-11. FIG. 2-18. FIG. 2-19. sobre una superficie horizontal. a ) ¿Que resistencia del aire. dos fuerzas actuan sobre el? b) bQu6 cuer-

Z4. Una f u e n a de 10 Kg, aplicada es la altura minima por encima de la viga pos ejercen cada una de estas fuerzas?

F = 10Kg borizorttabmnte a una cuerda que pasa a la cual ha de estar sujeto a la pared? c ) iCuAles son las reacciones a las mismas? por una. polea, está sujeta a un blo- b) ¿En cuantos kilogramos aumentarla 6) ¿Sobre qué cuerpo se ejerce cada reac-

e = 100 Kg . , 1 que de IW K g apoyado sobre el suelo, la tensi6n del cable si se sujetase 1 dm

ción y por que cuerpo es ejercida? según s e muestra en la figura 2-12. a) por debajo de dicho punto, permane- 2-2. Un bloque recibe un empuje para-

FIG. 2-12. cuales son la dirección y magnitud de la ciendo la viga horizontal? Despreciese lelo al tablero de una mesa y desliza sa- fuerza aesnltante que ejerce la cuerda so- el peso de la viga. licndo fuera del borde del mismo. a)- ¿Que 2-3. Un bloque esta en reposo sobre bre l a polea? b ) ¿Cuál es la magnitud de 2-9. Una carga de material de cons- fuerza o fuerzas son ejercid'as sobre 61 un plano inclinado. a ) Trácense en un la fuerza. q u e el bloque de 100 I<g ejerce truccion que pesa 300 Kg s e eleva des- mientras cae desde la mesa al suelo? diagrama todas las fuerzas que actúan sobre el suelo? c) ¿Y la de la fuerza que de el suelo, como indica la figura 2-16, b) ¿Cuál es la reacciitn a cada fuerza; esto sobre el bloque. b) ¿.Cuál es la reacci6n a e l suelo.ejeree sobre el bloque? d) ¿Cual y cuelga 20 m por debajo de la polea, es: sobre que cuerpo y por qu6 cuerpo cada una? es la fuerza d e gravitaci6n sobre el blo- a ) ¿Que fueiza horizontal P es necesaria

que d e 100 Kg? para desviarla una distancia horizontal

7 ,TrT d a pendido 2-5. d e la H&llese un figura peso la 2-13, de tensión 200 cuando Kg. en cada esta cuer- sus- de acercarla 6 m? 50 c) cm ¿Cuál una hacia será distancia el edificio? entonces horizontal b) la ¿Y tensión para de

2-6. Calcúlese l a tensión en el cable de la cuerda que soporta el peso? Se man- C

.. . 3 m y la .compresión en el puntal de la figu- tiene constante la longitud de la cuerda. ra 2-14. suponiendo que el peso suspen- 2-10. Hállese la tensión de lacuerdaA

W W I oK OK dido sea e n todos los casos de 1000 Kg. en la figura 2-17. Despreciese el peso

( 0 ) lb) ( 0 ) (bl Despréciese -el- peso del puntal. - del puntal. 2-7 a) ¿En cual de las partes de la 2-11. Calcúlese el mhximo peso que

figura 2-15 puede calcularse la tensión T, puede soportar la estructura de la figu- .. 90" - - - - - . - - -- v..y C '

, 5 . -. - -

- -- -sis610 citamente se -mnown- la s dadas? b) E n magnitudes cada caso en expfi=- que ra da 2-18, superior si la puede máxima resistir tensión es de que1a~cüer-- 1000 Kg,

60. * C . - la información dada sea insuficiente, dl- y la máxima compresi6n que puede re- -

gase q& otramagni tud bastaria conocer sistir el puntal, 2000 Kg. La cuerda U. U'

Para obtener l a solución. vertical es lo bastante fuerte para poder fc) '" Fro. 2-13. I C ~ FIO. 2-15. 2-8- E n a viga horizontal de 8 dm de resistir cualquier carga.

longitud se encuentra empotrada en una 2-12. a ) ¿Qué fuerza P , paralela a la P m d v e s i c a l por uno de sus extremos, superficie sin rozamiento de un plano . h p h k m y en el o t r o hay suspendido un peso de inclinado 300, será capaz de empujar un 500 Kg.. La viga está sostenjda en su ex- bloque de 20 Kg a velocidad constante tremo lisre por un cable tenso, sujeto sobre dicho plano? 6 ) ¿Qué fuerza hori- a un p u n t o d e la pared situado en la zontal lo empujará hacia arriba del plano

- misma vertical que el extremo empo- a velocidad constante? e ) ¿Que fuerza in-

da) ( b ) (c) (d) h d 0 ae 1a barra. a ) Si la tensi6n en este clinada un angulo de 20° respecto a la mi puede exceder de 1000 Kg, ¿cual horizontal producirá el mismo efecto?

RO. 2-14.

t.

t.. t.

t

t

euarri - es03 rn = d

Q E03 ri + e uas

so (eraua8 uy!saidaa ~6na 'rf ~eiuoz!roq szIanj eun sr!aasd as La;ua!uiczo~ ap o~!uigu!~> aiua!*!jaui la ii opua!s '[nluoz!n?q e[ alqos 00 OPBU!IJU!

oiii!l<l un ap a!~!padni el arqos m orad >Ir anbalq iin alu.elsuo3 pep!zo!a.t ir02 r!qnr macq e~ud anb aia~~s?nuraa (o 'ZZ-z

ir! sa olu~!iut?zO~ Jp oJ!ui?ii!p JlU>!3!1 .a03 la !E 'z¿-z e~nS!j e[ UJ eJ!!lu! Jr aulOn '[nliiozpoq E[ iioa $ ~["aue iin opeii!l.' -ti! ouclcl iin xqoi souta~Yo[!q osad ap anbo[q un qqni czed 'ouuld [ap a!a!jladnr el u02 n a[nYiiy un eui~oj anb 'd ezian) ny ~auai aqap pni!nJcur ?no? '12-2

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eir![> ~iiia!?!jao.i [asa [~na'? (q !jaluulsu~~ psp!~"{~.\ UOJ 'olwqw s!aaq pclndiua u1

.ous[d [e alaln~x<l sir~n~ ?nb'? (u :alUcl

-suoa pep!?ala~ u03 ñ sq!ue o!awq oueld oqa!p alqos 811 OZI ap anbolq un clndwa 'OOZ opau!liu! oueld un ap a!mjradnr .e( o eIa[ered '8~ 98 ap ezianj eun !S .o~-z

~3 anbolq jap osorl la sa [en31 (3 ',q X p. sanbolq sol srin anb ~p -lana el arqos up!rtial c.[ asalnale3 (q 'g h v azqos uanl3e anb sazranj SE! iianb -!pul anb (~[e~sa e eas anb oS!~ald sa "u) sopemdar s-eiuc~Se![, su[> asue.<n~lsiio3 (o 'alueasum pap!>op.% iio~ apiia!xa!> 3 anbolq 13 .a!~!jzadns F[ h anbalq epe9 wua oiua!uiezo ~p m!iugii!p aliia!mj -a03 P S'O opira!s '8'1 ocoun RPUJ uviail a a v :3 anbol<l.!e fcpranajod s-!u: k ~z-i&na!~ BI IIJ ~J!PU! a1 OUIOJ IOpZ3 -010~ iiyira 'ir h y 'sanbolq som '61-2

'als? aiatr!ur -1alap 'V R S se[ a;lita anb oiiir!ui [a sa E X v sa!J!j~arlns ser aziiia oloa!uiszai ap aiiiajs!jao~ [a !S (q 'V anbolq [a aqos uenl3e anb sczzanj se1 sepoi ap euie~8 -w!p un ase.i~rlsuo3 (D '(oz-z .Y!J) orre~d lap oi~e sgui olund [e epran3 eiin zod sla(ns gira eq~ue~d 81 .y Jrqon cXode as 'm osad ap i:?!qiiirrl 'R ei[~iicl<l e[ ss~l -ila!ui 'alica[puad ap *LE ap 'S O~BU![~U! oucld i111 aqos alurlsiiaJ pcp!>ala u03 VISap '(ti osar! ap 'F- anbolq iin '81-2

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.u1 jaiiieisuo= pep!aojan iio~ EUL~~E!~ la gl~.zoui as ap saralra ?nb wisd'? 'L:I sa nuultl la S aoborq la aqiia oltia!uii?rol ap OJ!UIBU!P 2105!5!1503 13 -8-z ims!j "1 ua E~!I>u! 3s unaas 'O~U~!~~~CZOI U!E

ealod itoanbad virn .ro<L ensd anb epjana eun alue!pam S?[ 01 ap OJIO e op!iin 6 opeu!pu! olieyd un arqoo opeXode visa 3x br'i?sad anb anbolq o" .LI-Z

e[ a[> 'el!, u!lsra>alr :=as'? (u :OS'" sa saiiolq~l SO[ .i cIe3 el alma olua!uiezor al> o~!uieil!p aiiia!>!iao> ja !S 'pn;!Suo[ JV ui b'z ap sar<olqei arqoi aiuelsrraa pnp -!>ora.\ uoa lez!pap elopu?!aeq '~~nl[o a(, u1 orr aoa!i anb uo!uic~ un ap asmjoq a!) ni1 J>I 000 esaú anb e!w eii.3 .SI-Z

j* sa opns [a A s[c~ c! JJIUJ O~~I~!CUCZOJ ap o~!uieii!p alua!J!, -aoJ IJ !S '~~iuoz!~oq olani un a~qos EOU

-alSal!.y ir, enad anb elea eitn alirelauua pep!3o[3n tiu? maserle e~sd z!Jcra>au sa '~elrior!ioq BI ap eur!=iia ~od e olnflug un aui.ro, anb '(1 czzanj $no? .pr-Z

. .. . . . . . . ~~ .- 't,?x '%!

*epe[JUol 10d S13111![1 ud asasaxira 'OZ'O sa sa!a!J~adni sop anua olva!urez -01 ap o>!urgu!p aiua!a!ja<n la !S 'leluoz -!loi! a!J!jIadns eun aiqos u01 1 ap oiad un 'Jliialruo~ peppola.\ c 'olua!ui!.ioui ila rau~litsui e~ed e!zcsaao leliioz!joq ei

-Jan$ E[ ap sciq!~ ila 2ole.r la 'sa olsa 'sspe~ -al101 rad req!l. iia 'san, e 'uesardsa ai OI~IJ!UISZOJ ap raiua!J!jJoz '07 '$1-z

¿OlllO!UICIO.I ap ezranl E[ erp!E.\ alrien~? 'D>I 01 ap 'a lali[oz!ioq ezianj e[ !S (;? ;OPF!J!II[ zw kun 'anbolq pp o~~~~!~u!~~OCU [a g.IpIIJ1UQIU anb eui!u!w ezJanj VI sa [gn3? (p Loitia!ui -!non ua anbolq jri 8.ipuod anb ciuy -!iu czJanj q ra [?n3'1 (3 janbolq [a a~qoi Y:[ S ap [ciuoz!~aq ezlanj rrun aa~ala as !S oaiia!mazb~ ap L.iJanj el gJao 1gn3? (q janbolq [a aiqos vp!~rab alua!urozoA ap szlanj E[ EJ [en?? (o '¿'o 'oiua!msz -01 ap oJ!mgri!t> aluJ!a!jaoJ [a .< 'b'o ra ap!jladnn e[ .< anbotq [a aliiia oiua!uicz

..-~xap o>!ipisa aiua!a!jaoa IX .[eluoz!,oq ai3!jlailnr eun arqai oso<l.ir ua eJluan>ua as Y>[ oz asad anb anbolq un .B~-z

joldiuala cpe~ ua aueld laa.iqos anbolil [a ~od ep!~rafa [euuou. =Jan1 el S? [en37 (y ('61-z 'S!&are?\)

3lOR1[ENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD - - .

. . . .

1 3-1. Introducción. Unidades y patrones de longitud.-Eii cl capitulo 11 sc iiitlicb qiic las fiic.rzns cliie actúaii sobre un clcnicrito de estruc-

1 tura estiiii fi'ccuciitciiieiitc distri1)iiidas de tal modo que ha de teiierse en 1 ! cuenta el efecto tlc rolación de la fuerza; p. ej., si el.pcso w en la figura 3-1

actuase solo, prodiicirin la rotaci8ii tlc la Harra, cii el sentido de las agujas de un reloj, alrededor clcl pivotc 0, pcro su efccto giratorio esta con-

! trarrestatlo por cl de In lcnsibn de la ciierda -413. Se enciientra qiic el efecto de rotación (Ic iiiin fuerza ali'cdc<loi' de iin eje tlependc de la distancia de la fuerza al cjc; j~or coiisigiiiciitc, es necesario definir e11 esta seccibn algunas dc las iiiiidndes tlc dis1:iricia o IoiigÍLiitl in5s frcciientemente iitilizadas.

- . - . . . . - - . - - Eii los siKtFi¡i;iCiic¡iiCu y inksla Gnidad'd~ioiYgiiu¿l es el nietro, y eii' -.

el sistema cgs, el ce111imc.lr.o (1 cm = 1/100 m). El 1n~11.o palrón cs iiiia 1,nrra de platino-iridio, cuya scccióxi transver-

sal ticiic [orina de X. 131 iiiclro t[iic(la defiiiido como la distancia entre dos finos tr;izos Lr:iiisvcrs:tlcs grabados solwe csl:i I~arra. 1)iirante muclios años sc utilizb cii los I<sL;i(los Ciiitlos, como patróii dc loiigilud. la yardn palrón, i7 cl 1)ic ( ~ i i i i ( l : i t l (Ir longiliid cii el sistciiia iriglCs) se dcfiiiía como la tercera ~):irlc tlc la dist;111ci;t ~>iiLrc dos trazos marcados en la yarda patrón; ~)cro, 1)ar:t e~il:tr 1:i iivccsitl:itl tlc iiiaiilciier (los patrones d c longitud, ciiando iiiio cs suficiciilc, la y:irtla tlc los l<statlos Li~iidos se define aliora por la relaci0ii . -

3600 1 = -- ir1 (esackinir r i le). 3937

SEC. 3-21 MOMENTO DE UNA FUERZA 33

. . - - De esto se--deduce que -

1 pie ( = 113 yarda) = 0,3048006 m. 30,48006 cm.

1 pulgada ( = 1/12 pie) = 2,5400 cm.

Una aproximación útil, con un error del 1 %, es

1 pie = 30 cm.

hlencionaremos aquí que, con objeto de asegurar un patrón de longitud de la mayor permanencia posible, se ha comparado cuidadosamente la lorigitud del metro patrón con la longitud de onda de un color particular de la luz emitida por el vapor de cadmio en una descarga eléctrica. En realidad, pues, la longitud de onda de esta luz es el verdadero patrón de longitud. La equivalencia precisa entre estas dos magnitudes es:

1 m = 1 553 164,13 longitudes de onda.

3-2. Momento de una fuerza.-Supongamos que una barra rígida uniforme sostenida en su punto medio por la arista sin rozamiento de ana cuchilla, como se indica en la figura 3-3, tiene un peso de 4 Kg suspendido de un punto situado 3 m a la izquierda de la arista de la cuchilla. Es evidente que este peso único producirá la rotación de la barra alrededor d e la arista, en sentido contrario al de las agujas de un reloj. Su- pongamos que queremos contrarrestar el efecto de rotación del peso de 4 Kg, colgando un peso de 3 Kg de algún punto situado a la derecha de la arista. Puede comprobarse que el peso de 3 Kg tiene que suspenderse a una distancia de la arista mayor que el peso de 4 Kg, y mediante este experimento veríamos que si se colgara exactamente a una distancia de 4 m, la barra quedaria equilibrada. El efecto de rotación de una fuerza alrededor de un eje depende, pues, de algo más que de la intensidad de

- la fuerza. Experimentos tales como el descrito indican que la efectividad de una fuerza para producir efectos de rotación alrededor de un eje queda determinada por el producto de la fuerza por la distancia del-eje a la - -- ünea de acción de la misma. Esta distancia recibe el nombre de brazo dr palanca o brazo de momento de la -

fuerza. Asi, el brazo de momento del peso de 3 Kg en la figura 3-3 es 4 m, y el del peso de 4 Kg, 3 m.

E l producto de una f u e r ~ a por su

de momento de la fuerza. Representa-

mg brazo de momento recibe el nombre 4 KP

Fie. 3-3.

remos el momento por la letra griega T (tau). Si las fuerzas se expresan en kilogramos y las distancias en metros, la unidad de momento es el kilogramo-metro. Un kilogramo-metro es el momento producido por una fuerza de un kilogramo a una distancia de un metro del eje. Asi, el momento debido a la fuerza de 3 Kg dc la figti- - --

34 MOMENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD (CAP. 3

a ra 3-3 es 3 x 4 = 12 Kg-m en el sentido de las agujas de un reloj, y el de la fuerza de 4 Kg es 12 Kg-m en sentido contrario al anterior. En ocasio- nes se usarán otras unidades, tales como gramo-centimetro, kilograrno- centímetro, etc. .. -

Aunque las unidades de fuerza en los sistemas mks y cgs no han sido descritas todavía, podemos citar aquí, como complemento, que la unidad cgs de momento cs la dina-centfmetro, y la unidad mks es el neaton-metro.

La figura 3-4 representa una barra que gira alrededor de un eje O perpendicular al plano de la figura. Los vectores P1, Pz, etc., indican varias direcciones, en las cuales puede ejercerse la fuerza P sobre la barra

b' en el punto. a. Resulta evidente - .. por experiencia que la fuerza

\ será mas efectiva para producir

\ \

rotaci6n alrededor del eje si sil \ dirección es la Pa. Sera menos

O FV=/,;~ efectiva y P4, y si su en dirección las direcciones es la de P,. 13 no se producirá rotación alrcb- . p.

P3 dedor del eje, aunque la distaii- / '. 1 cia Oa es la misma en todos lox './ ejemplos, debido a que Oa no 1,s

C el brazo de palanca para todas FIG. 3-4.-E1 momento de cada ftiem al- ]as fuenas. El brazo de mornen- rededor de un eje qiie pasa por O es el prw dueto de la fuerza por su brazo de palanca. to se define como la dislancia

desde e2 eje a la linea de accidn de (a fuerza. La linea de acción de una fuerza se obtiene prolongando el vector fuerza en ambas direcciones, y el brazo de momento es la distancia del eje a esta recta.

Asi, en la figura 3-4, la linea de acción de P4 se ha representado pro- longada hasta c, y el brazo de momento de P4-es la distancia Oc. La linea de acción de P2 se ha prolongado hasta el punto b, y Ob es el brazo de momento de Pz. Puesto que Pg es ~erpendicular a Oa, Oa es el brazo de m o m e a r d e Pt. La linea de acción d e P i pasa por 0 ; por consiguien te, la distancia desde O a la linea .de acción es cero, y el momento de Pi respecto a O es -también nulo. fl

4

O t* a. P, cos e

P, sen 0 + 3m

t I . I < , . 3-6.-El momento de la fu- Pa resPCc10 4 K~ n iin cJe que pasa por O es Oa X Pt sen 8. Fio. 3-6.

SEC. 3:3] EQUII.Ii3RIO DE 11s CUERPO SOMETIDO A ROTACIÓN 35

- En la figura 3-5 está-represenbdo otro punto de vista que puede adop-

tarse, y que es a veces más conveniente. La fuerza P2 se ha descompuesto en sus componentrs rectangulares, PZ sen 8 y P2 cos 8. Puesto que la línea de acción de P2 cos 8 pasa por 0, esta componente no tiene momento respecto a O. El brazo de palanca de la componente P2 sen 8 es la dis- " tancia Oa; por consiguiente, el momento de la fuerza Pe respecto a un eje que pasa por O es P2 sen 8 x Oa. Comparando la figura 3-5 con la fuerza P2 de la figura 3 4 , se llegara a la conclusión de que se obtiene el mismo resultado por ambos métodos, puesto que la distancia Ob en la figura 3-4 es igual a Oa sen 8.

3-3. Equilibrio de un cuerpo sometido a rotación.-Cuando un cierto riúmero de fuerzas coplanarias actúan sobre un cuerpo que puede girar alrededor de un eje, el momento resultante ejercido sobre el cuerpo es la suma algébrica ~ de los momentos debidos cada una de las fuerzas. Para formar esta suma algébrica se consideran positivos los momentos de un cierto sentido (p. ej., los del mismo sentid6 que el giro de las agujas d e un reloj); los de sentido opuesto son negativos. Si el momento resul- - tante es nulo, tenemos par2 el movimiento de rotación un enunciado análogo al de la primera ley de Newton; esto es, si el cuerpo está ya en movimiento d e rotación, continúa girando uniformemente; si esta en reposo, continúa en reposo. E n ambos casos el cuerpo tiene equilibradas sus rotaciones; por consiguiente, para el equilibrio completo de un cuerpo, incluyendo las rotaciones, deben satisfacerse las siguientes condiciones:

Estas ecuaciones constitdyen las tres condiciones de equilibrio. La segunda ecuación puede utilizarse para calcular la fuerza vertical

ejercida hacia arriba por el pivote sobre la barra de la figura 3-3. Si esta fuerza vertical está representada por P en la figura 3-6, y si el peso de la barfa es despreciable, se tiene:

.- . - . --- - - - - El' = o;-. . - . - - - P - 4 - 3 = 0 ;

P = 7-Kg. -

En la disposición particular indicada en las figuras 3-3 y 3-6, parece más natural calcular los momentos respecto a un eje que pase por el pivote O. Pero dado que la barra no gira, podíamos también haber establecido que no gira alrededor de un eje que pasa por su extremo derecho, o por su extremo izquierdo, o por un punto cualquiera. Puede esperarse entonces que los momentos, en el sentido de las agujas de un reloj y los de sentido contrario, de las fuerzas que actúan sobre la barra sean iguales, cualquiera que sea el punto en el cual consideremos situado el pivote.

- Para demostrar que, en efecto, sucede así, calculemos los momentos respectoa un eje que pasa por el punto en que se encuentra sujeto el peso

de 4 Kg. El mo-meiito-de la fuerza de 4 K g esahota nulo, puesto que su - brazo de palanca respecto al nuevo eje es nulo. El momento de la fuerza de 7 Kg es 7 x 3 = 21 Kg-m, en sentido contrario a l de las agujas de un reloj, y el momento de la fuerza de 3 K g es 3 x 7 = 21 Kg-m, en el sentido de las aguja> del reloj. Los momentos-soñ,-'por tanto, iguales y opuestos si consideramos que el eje pasa a través de este punto, y puede demostrarse que se obtendría el mismo resultado para cualquier otro punto. Como ejercici~, calcúlense los momentos de las fuerzas respecto a un eje situado 1 m a la izquieyda del punto O, y demuéstrese que ambos están en equilibrio.

FIG. 3-7.-(a) equilibrio estable; (b). inestable.

3-4 Equilibrio estable e inestable.-la parte superior de la figura 3-7 ( a ) representa una vista de una barra que descansa sobre una superficie horizontal lisa y que puede girar alrededor del extremo O. Se supone una fuerza F ejercida sobre el otro extremo de la barra, como se indica en la figura. La figura 3-7 (b ) rwresenta el mismo caso, excepto que la fuerza F tiene sentido opuesto. Tanto si la fuerza actúa hacia la derecha o liacia la izquierda, su .momento respecto al pivote es nulo y la barra esta en equilibrio. Sin embargo, los dos casos difieren en lo siguiente: si se da a la barra un pequeño d e ~ p l a z a ~ i e n t o angular,-como- se-indica en la parte inferior de cada figura, y la fuerza F permanece paralela a su dirección primitiva, actúa alrededor del eje un momento igual a F x Oa. Resulta evidenteen las -figuras que si-la fuerza-está dirigida hacia- la de-- recha, como en (a ) , el momento tiende a hacer que la barra recupere su posición inicial, mientras que si la fuerza estádirigida hacia la izquierda, como en (b), el efecto del momento aumenta mas todavía el desplazamiento. En el primer caso se dice que el equilibrio es estable, y en el segundo, inestable, y, en general, podemos decir:

Cuando u n cuerpo sometido a rotación está en equilibrio, éste es esiable si un pequeño desplazamiento origina u n momento que iiende a hacerle recuperar su posición de equilibrio, e inestable si un pequeño desplazamiento origina un momento que iiende a aumentar. dicho desplazamiento.

Si el momento sigue siendo nulo cuando el cuerpo se ha desplazado, el equilibrio es indiferente.

Un cono de revolución colocado sobre su base esta en equilibrio estable; apoyado sobre su vértice, su equilibrio es inestable; si descansa en

SEC. 3-51 RESULTANTE D E UN CONJUNTO D E FUERZAS PARALELAS . 37 - -

una generatriz- y sobre una superficie horizontal, está en equilibrio indiferente.

3-5. Resultante de un conjunto de fuerzas paralelas.-La resultante de dos (o más) fuerzas se ha definido como la fuerza única que, actuando sola, produce el mismo efecto que el de sus componentes cuando actúan simultáneamente. En el capítulo primero se han explicado los métodos de hallar la resultante de un cierto número de fuerzas concurrentes; pero si las fuerzas son paralelas, sus líneas de acción no se cortan y estos métodos no tienen aplica- ción.

La figura 3-8 remeseda una u

barra que gira alrededor de O y sobre la cual actúan las fuerzas para¡elas Fl y Fz, situadas a distancias xl y x2 de un eje que pasa R- F I + F 2

por 0- Se desea encontrar la Fic. 3-8.-La fuerza R es la resitltnnte dv resultante de Fl y Fz. Puesto las fuerzas paralelas FL y F,.

que ambas fuerzas tienen la misma dirección, la intensidad de su resultante R tiene que ser igual a su suma algebrica:

R = Fl + F2.

El efecto de Fi y F2 en este ejemplo es hacer girar la barra alrededor de O, y, puesto que la resultante ha de producir el mismo efecto que sus componentes, la línea de acción de aquella tiene que encontrarse en una posición tal que el momento de la resultante respecto a O sea iguil a la 'suma algébrica de los momentos de las componentes; esto es, la iínea de acción de la resultante R tiene que estar a una distancia x del eje, tal que

- Rz = Fixl + F s 2 ; o, puesto que R = FI -f F2;

- -. _ (5 -+ F2)s = F?XI + F s z ; - . .-

La expresión que da la posición de la línea de acción de R puede adoptar una forma algo distinta. Refiriéndonos a la figura 3-8, tenemos:

Desarrollando y reduciendo, se encuentra:

Fia = Fzb, - o bien:

- - - - - - -- --

t ) .*"-C. "

- %- Y, -

F Y *-A - - C 1

38 MOMENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD [CAP. 3 SEC. 3-61 CENTHO DE GRAVEDAD C__

39 -

- .- Esto es& linea de-acción de la resultante de dos fuerzas paralelas del -si el eje se toma pasar do por el punto P, -

F ' mismo sentido divide a la distancia entre las fuerzas en dos partes que son inversamente proporcionales a las intensidades de las-mismas.

r = ( + 2 ) x ( O ) + ( - 1 O ) x ( + 5 ) + ( + 3 ) x ( + Y )

fft Puesto que la distancia xl al gje n5 ap'arece.en la Ec. [3-31, la lí-nea de + 2 - 1 0 + 3

k l acción de la resultante es independiente del punto en el cual se encuentra sujeta la barra, incluso si no se encuentra fija a ninguno. Esto es, si su- = + 4,6 m,

i r primiéramos el pivote de la barra en la figura 3-8, el efecto combinado y la línea de acci6n esta 4,6 m a la derecha de P. lo cual equivale a 1,6 m a la derecha 1 de Fi y F2 originaria sobre la barra en conjunto un movimiento hacia de O. ' P * \ abajo, y, al mismo tiempo, una rotación en el sentido de las agujas de

un reloj. La fiierza única R, colocada en la posición x, produciria exacta- 3-6. Centro de gravedad.-El peso de un cuerpo se define como la 1 1, inente el mismo efecto. fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra sobre él. Ahora bien:

1 / b Este procedimiento ~ Ú e d e generalizarse evidentementé a un número ata atracción gravitatoria no es simplemente una fuerza ejercida sobre cualquiera de fuerzas paralelas. Las expresiones generales de la inten- el cuerpo como conjunto. Cada pequeño elemento del cuerpo es atraído

1 % sidad de la resultante y de la posición de su línea de acción se convierten en por la Tierra, y la fuerza llamada peso del cuerpo es, en realidad, la resultante de todas estas pequeñas fuerzas paralelas. Su intensidad y la posi- h R =ZF,

[3-41 ción de su iínea de acción pueden calcularse por los métodos explicados 1 I i r C F X en la sección precedente. La dirección de la fuerza gravitatoria sobre cada

1 x = - [3-51 . elemento de un cuerpo está dirigida verticalmente hacia abajo y, por tanto, I N I C F ' la dirección de la resultante es también vertical y dirigida hacia abajo,

1 1% independientemente de la orientación del cuerpo. Sin embargo, la linea siendo C F la suma algébrica de las intensidades de las fuerzas, y ZFx la de acción de la resultante ocupará una posición diferente respecto al

1 suma algébrica de los momentos. La posición de la línea de acción de la cuerpo cuando varíe la orientación de éste (véase la Fig. 3-10). resultante no depende de la posición del eje, el cual puede hacerse pasar

1 h No obstante, se encuentra que, sea cual fuere la orientación del cuer- por cualquier punto conveniente. Cuando se aplican estas ecuaciones, cual- po, existe siempre un punto fijo por el cual pasan todas estas lineas de

I 'f, quier criterio de signos que haya acción. Este punto recibe el nombre de centro de gravedad del cuerpo, y su 3 ~g sido adoptado para las fuerzas F y posición se indica en la figura 3-10 (d), en la cual se han dibujado las

1 L P _ ... las distancias x, ha de utilizarse

2F*l lineas de acción del peso en las tres orientaciones previas indicadas. El

6onsecuentemente. El signo algé- 1 I r i brico de cada producto Fx queda

1 .3 determinado por los signos de sus factores.

i 1 10 K g

dad EJEMPLO.-Determitiense y linea de acci6n de la la resultante intensi- - p q---b q& FIG. 3-9. - - de las tres fuerzas de la figura 3-9.

1 1 8 Tomaremos primero un eje que pase por e1 punto O, y c?onsideraremos como fuer-

/as positivas las dirigidas hacia amba, y como distancias positivas las que se encuen- w w

1 4, iran a la derecha de O. Entonces: la) * (b ) (c) (4

1 i ? R = C F = $ 2 - 1 0 + 3 = -5Kg; FIG. 3-10.- La llnea de acci6n del peso pasa por el centro de gravedad I ' i4.t XFz (+ 2 ) x (-3) + (-10) x (+2) + (+3) x (+6)

= --- = peso del cuerpo puede considerarse, pues, como una sola fuerza cuyo 1 i$ CF +2-10+3 punto de aplicación es el centro de gravedad, aunque en realidad el

1 a 3 - 8 punto de aplicación carece de importancia. Todo lo que se puede decir - = - 5 + 1,6 m es que la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad.

1 $1 El centro de gravedad de cualquier número de cuerpos que tienen ! las tres fuerzas son equivalentes a una fuerza dirigida hacia abajo de 5 Kg, cuya

1 g, SUS propios centros de gravedad en posiciones conocidas puede determi-

lirica de acción esta 1,6 m a la derecha de O. narse como sigue: el centro de gravedad de dos cuerpos cualesquiera se 1 ,,Y

40 MOMENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD [CAP. 3

A .- . . . . - - .

1 - halla sobre~la linea que une sus centros de gravedad; Esto esconsecuen- i cia inmediata del hecho de. que si los cuerpos se colocan con sus centros I de gravedad sobre una misma vertical como en la figura 3-1 1 (a), ambos I * . , . y ..%., -

. .

i n

pesos se encuentran sobre esta linea y, por consiguiente, su resultante está también sobre ella. La posición exacta del centro común de gravedad sobre esta linea puede determinarse colocando los cuerpos con la linea de sus centros horizontal, como indica la figura 3-11 (b ) , puesto que la linea de acción de sus pesos combinados es simplemente la de la resultante de dos fuerzas paralelas. La Ec. (3-31 nos dice entonces que el centro de gravedad de ambos se encuentra en la linea que une sus centros de gravedad y divide la distancia entre los mismos en dos partes inversa-

mente prcporcionales a sus dos pesos. - 16 ~g : . Ambos cuerpos pueden reemplazarse

por un solo cuerpo cuyo centro de gravedad este en ese punto, y cuyo peso sea igual a la suma de los pesos

C.Q. de los dos cuerpos. Este cuerpo ficticio c. , ¿ - * puede combinarse a continuación con

un tercero, y asi sucesivamente. - - --- . - - -. - . - -- .-

'- -Ej~mP~o:-DeterrniñZSe- la posici6n del -' 2 m . -m centro de gravedad de los tres pesos de la

a - - figura 3-12. 4 Kfi Kg E1 centro de gravedad de los dos pesos

'0 FIC. 3-12. $ d e 4 Kg se encuentra en a, punto medio del

I segmento que determinan; esto es, pueden

:li ,reemplazarse por uno solo de 8 Kg, situado en dicho punto a. Cuando este se combina

1 r; con el peso de 16 Kg, el centro de gravedad se halla en un punto situado 1 m por debajo del peso de 16 Kg. g el conjunto equivale a un solo peso de 24 Kg, colocado en 4 j dicho punto. I il .. .

i 1 Un método más general consiste en dibujar un par de ejes, X e Y; t 4, determinar la posición del centro de gravedad de cada peso por sus coor- f denadas x e y, e imaginar que la atracción gravitatoria es paralela primero ! al eje Y, y después, al eje X. En el primer caso, la abscisa de la línea de 1 i d..,

; t 4

9 1 - -- - - - -

:. .. . .. . . . . -. . ?,., . . . . =. --- - t :<*--.-.---y*:, , +." ...,, ..,,, > ,

1. . ..

. > . .. - : -- .. . . , . t

SS. 3-61 CENTRO DE GRAVEDAD 41 C

&ion del peso combinado, y, por consiguiente, la abscisa del centro de gravedad, es .

- W i X l + W 2 X 2 +... CWX ' x = -- -

W l + w2 + ... Cw ' 13-61

siendo 2 la abscisa del centro de gravedad, y si, zz, etc., las abscisas de los diversos pesos. Análogamente, la ordenada del centro de gravedad es

.. .

- Cwy y = -

Cw EJEMPLO.-H&~~~S~ la posición del centro de gravedad de los tres pesos de la

figura 3-12 por el metodo general expuesto anteriormente. Se dibujan dos ejes rectangulares convenientes, como los de la figura 3-13:

wi = 4 Kg, zi = 0, Y1 = O, wz = 4 Kg, 2 2 = 4 m, y2 = 0, wa = 16 Kg, za = 2 m. y3 = 3 m,

- Cwz (4 x O) $ (4 x 4) + (16 x 2) Z = -= = 2 m;

C w 4 + 4 + 1 6

cuyo resultado coincide con el obtenido anteriormente.

FIG. 3-14.-Determinacl6n de la posici6n I FIG. 3-13. del centro de gravedad de un objeto plano.

? Para .determinar el centro de gravedad de un cuerpo plano de forma

cualquiera, cabe imaginarlo dividido en elementos infinitesimales de peso dm, sustituyendo por integrales las sumas que figuran en las Ecs. [3-61 y [3-71; esto es:

r r t - J d w - J ydw x =- ; Y = r

42 MOMI:N'VS. CENTHO 1)E GHAVEDAD I<:AP. 3 SEC. 3-61 CENTRODEGRAVEDAD 43

El peso de un elemento de Volumen-puede expresarse como producto- de su peso por unidad de volumen, d peso específico, por su volumen d V . Si p representa el peso especifico, se tiene para la Ec. [3-81:

- J x p d v J x d ~ J y d v = --- - -- ; y = - * 13-91

lpdv J ~ Y Id\'

Si el espesor del cuerpo es uniforme, el volumen de cada elemento será igual a su área, dA, multiplicada por la altura i; es decir:

El calculo de las coordenadas de los centros de gravedad constituye un excelente ejercicio de integración. Puesto que tales calculos forman la base de muchos de los problemas propuestos en los cursos de cálculo integral 1, no nos ocuparemos aquí más de este asunto. Desde el punto de vista físico lo que importa es recordar que el peso de un cuerpo es la resultante de un sistema infinito de fuerzas infinitesimales, y que su línea de acción pasa siempre por el centro de gravedad, cualquiera que sea la posición del cuerpo.

En tanto que las expresiones de las coordenadas del centro de gra- veda6 son sencillas, el calculo efectivo de las integrales puede ser difícil, cuando no imposible, salvo en los casos en que la forma del cuerpo es muy sencilla.

La posición del centro de gravedad de un cuerpo de forma complicada se determina mejor experimentalmente,. basándose en el hecho de que un cuerpo pivotado sólo se encuentra en equilibrio estable cuando su centro de gravedad esth en la misma vertical que pasa por el pivote y debajo de el. Haciendo que un cuerpo pivote sucesivamente sobre dos-puntos, pueden determirFarse dos iectas en cuya intersección-debe encontrarse-er- centro de gravedad. La figura 3-14 aclara este método aplicado a un cuerpo plano de forma irregular.

EJEMPLO 1.4alciilese la tensión del cable de la figura 3-15, si el puntal pesa 40 Kg y su centro de gravedad se encuentra en su punto medio. Calcúlese también la fuerza ejercida sobre el puntal en su punto de apoyo contra la pared.

NOTA.-El dispositivo es el mismo de la figura 2-5, excepto que, en este caso, se tiene en cuenta el peso del puntal.

Consideremos el puntal aisladamente, e indiquemos todas las fuerzas ejercidas sobre 61, como se hace en la figura 3-15 (b). Se desconoce, en magnitud y dirección, la fuerza ejercida por la pared; pero, en lugar de considerar como desconocidos una fuerza y un hngulo, es mas sencillo suponer desconocidas las componenles vertical y

1 Vhse THOW: Cálculo infinitesimal y gcometrfa unalfliua. Aguilar. S. A de Ediciones. Mndrld, 1958.

. - - . - .- . . . . - horizontal dédicha %-, y iomponerlas dcspuds &a encontrar su.resultante. E n fa figura 3-15 ( b ) se designan dichas componentes con las letras H y V. Descomponga- mos tambikn del modo indicado la tensión T en dos componentes. De las tres condi- dones de equilibri o... se deduce:

C Y = T s e n 4 5 0 + V - 40 - 80 = 0; EX = H - T cos 450 = 0;

CT = (80 x 8) + (40 x 4) - (T sen 450 x 8) = 0,

donde los momentos se han calculado respecto a un eje que pasa por el punto O. La resolución del sistema de ecuaciones da: T = 141 Kg. V = 20 Kg, H = 100 Kg.

4

EJEMPLO 2.-En el capitulo 11 se estudiaron algunos ejemplos en los cuales se arrastraba un cuerpo sobre una superficie Bspera, considerando para mayor sencillez que todas las fuerzas se cortaban en su centro. Ahora estamos en condicio- - + 90 cm-90 cm neS de tener en cuenta las verdaderas I

h e a s de acci6n de las fuerzas que 1 P

-~ -- c.9. . . actúan - dichos casos,la-.figura -6. .. . . - - . . - . -+ -. . .. . .

representa una mesa arrastrada hacia la derecha, con velocidad constante, N, . por una fu- horizontal P. El centro N M* P N , de gravedad equidista de las patas de- - lanteras y traseras. N1 y N2 son las reacciones verticales y dirigidas hacia a m b a ejercidas sobre las patas, y yNi v

' 80 Kg Y pN2, las fuerzas de rozamiento. El coeficiente de rozamiento es 0.40. Se FIG. 3-16. desea encontrar las fuerzas P, Ni y No.

De las tres condiciones d e equilibrio se deduce:

44 MOMENTOS. CENTRO D E GRAVEDAD [CAP. 3

- donde los momentos se han calculado respecto a un eje que pasa por los puntos d e contacto de las patas delanteras y el suelo. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se encuentra:

Ni = 56 Kg. A\'% = 24 Kg, P = 32 Kg.

. - - . - E J ~ W L O 3.-La figura 3-17representaün-tipo-müi comente.de estructura den& minada cercha. 'Cada par pesa 30 IZg, y su centro de gravedad estgen su punto medio. Un peso de 20 Kg pende del centro de uno de los pares. Se desea conocer la fuerza vertical en el extremo inferior de cada uno de los pares, la tensi6n en el tirante, y la fuerza ejercida por cada par sobre el otro en el vdrtice (caballete) de la armadura. La cercha descansa sobre una superficie sin rozamiento, de forma que las fuerzas en los extremos inferiores de los pares son verticales.

Este problcma es analogo a los resueltos en el capftulo 11, donde se consideraba mAs de un cuerpo y se deseaban calcular las fuerzas ejercidas por una parte del sistema sobre otra. Lo mismo que allí, sólo puede obtenerse una soluci6n completa ais- lando cada parle del sistema.

El primer paso en la resoluci6n de problemas analogos a este, consiste de ordinario en considerar el sistema como un todo antes de aislar sus distintas partes. El diagrama de fuerzas para todo el sistema se muestra en la figura 3-17 (b ) . La tensibn en el tirante y las fuerzas en el caballete no aparecen en esta figura porque son fuerzas

SEC. 3-61 . - . - - - CENTRO DEGRAVEDAD 45

intmnas cuando fa estructura-se considera~como un todo. Tomemos~momentos respecto - a un eje que pasa por A. Se tiene:

CTA = O; . (50 x 0,9) + (30 x 2,7) - (Vz x 3.6) = O;

V2 = 35 Kg.

. . . A continuación se calcula la fuerza Vi, sea mediante la condici6n C Y = O, o bien, tomando momentos respecto a un eje que pase por B.

De CY = 0, resulta: .

VI + V2 - 50 - 30 = O;

Vi = 45 Kg.

De CsB = 0, obtiene:

(VI x 3,6) - (50 x 2,7) - (30 x 0 3 ) = 0; Vi = 45 Kg.

Aislemos ahora el par izquierdo de la cercha, según se indica en la figura 3-17 (c) . Supongamos que la fuerza que ejerce sobre 61 en el punto C el par de la derecha tiene por componentes H3 y V3.

Debemos llamar la atención sobre un punto importante: No es evidente si la componente horizontal H3 es hacia la derecha o hacia la izquierda, ni tampoco si la componente vertical 1'3 esta dirigida hacia arriba o hacia abajo. No obstante, no es necesario conocer de antemano el sentido de estas fuerzas. Se supone uno cualquiera de los dos posibles, y se resuelve el problema en esta hipdtesis. La magnitud correcta de la componente se obtiene con cualquiera de ambas hipótesis. Si el sentido supuesto era el correcto, el signo algebraico de la respuesta ser4 positivo; si es el contrario, el signo ser4 negativo.

Las condiciones de equilibrio conducen al sistema de ecuaciones:

donde los momentos están calculados respecto al punto C. - . . . LasJuerzas.en el par derecho de la cercha est4n indicadasenla-figura 3-17 (d ) .

Obsdrvese que las fuerzas ejercidas sobre este par en C son las reacciones a las fuerzas en el punto C de la figura 3-17 (e), y, por tanto, son iguales y opuestas a aqutllas. De las condiciones de equihbrio resulta:

De las Ecs. [3-ll] obtenemos:

Esto es, las fuerzas T y Va se supusieron con el sentido correcto, pero la Ha es una fuerza de 24 Kg, dirigida- hada la izquierda en la figura 3-17 (e). y hacia la derecha en la figu-

t-9

!f 'u,

46 MOMENTOS. CENTRO DE GRAVEDAD [CAP. 3

ra 3-17 (d). Conocemos ya todas las fuerzas y n o es precisa resolver el sistema 13-12); sin embargo, suele hacerse como comprobación de los cálculos. Se tiene:

- " EJEMPLO 4.-una escalera uniiorme de 6 -m. de longitud y 40 Kg de peso esta apo-

yada con:ra una pared vertical sin rozamiento, con su extremo inferior a 3,6 m del pie de la pared. Calcúlense las direcciones y magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre cada uno de los extremos de la escalera.

Por carecer de rozamiento la pared vertical, la fuerza ejercida por ella sobre la escalera no tiene componente vertical; por consiguiente, la fuerza sobre el .extremo

superior es horizontal, estando representada por H; en la figura. La fuerza sobre el

C ? extremo inferior es desconocida en dkpción y wgnitud; sean Hl y VI sus componentes horizontal y vertical. Se tiene: -'': &. - . ...a

*f i -. - - - - . - -. . - .. - .- . - -- LX = Hp - H1- O;

# 9 . ..

x Y = vi-40-0;

r 9 Cso = (H2 X 4,s) - (40 x 1,8) = O.

De la segunda ecuación, resulta: 1 09

V I = 40 Kg.

De la tercera:

40 x 1,s H2 = - = 15 Kg.

4.8

Y de la primera: Hi - 21t e. 15 Kg.

1 r i ~

1 C9

Y" - G . SS~G. 3-71 PARES 47 -

- - -- - I;aínerza resultante; R, ejercida sobre el pie de ia-escalera est4 indicada en la - -

'I_ figiica 3-17 A (b). Evidentemente:

R = 4 402 + 152 = 42,7 Kg;

Obs&vese atentamente que en ninguno de los extremos de la escalera'coincide la m c i ó n de la fuerza con la de la escalera. En el extremo superior la fuerza es hori- u>ntai; en el inferior la fuerza resultante forma un Angulo de 690 30' por encima d e La horizontal, mientras que el ángulo 9 de la escalera es sólo de 530.

En'h figura 3-17 A (e) las fuerzas que actúan sobre la escalera se han trasladado. corno en la figura 1-15, para determinar su resultante. El lector puede verificar f4cil- mente que las lineas de acción de las tres fuerzas pasan por un mismo punto y que su resultante es nula, según debe suceder para que haya equilibrio.

3-7. Pares.-Un caso importante, relacionado con las fuerzas paralelas, se presenta cuando un cuerpo esta sometido a dos fuerzas de igual intensidad, pero de sentido opuesto, y cuyas lineas de acción son paralelas. Tales fuerzas constituyen un par (Fig. 3-18). Si tratamos de determinar la resultante de estas fuerzas paralelas por los métodos utilizados en la seccí6n 3-3, encontramos: O-a

F* Puesto que la intensidad de la resul-

tante es nula, no hay ningiin punto en FIG. 3-18.--Las fuenas FI Y Ft. igua- :S, paralelas y de sentido opuesto, for-

el .cual pueda ser aplicada para que- man un par.

produzca el mismo efecto que las *

fuerzas dadas. Dicho de otro modo: es imposible producir con una sola .- --fuerza elmismo efecto que -con un par,-e'inversamente, no--hay-ninguna

fuerza que pueda ser sustituida por un par. El único efecto de un par es producir una rotacih, y un par puede equilibrarse Únicamente por otro par del mismo momento y sentido opuesto.

El momento de un par se calcula como sigue: Tomando momentos respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano del dibujo (Fig. 3-18), encontramos:

Pero, dado que Fi y Fz tienen la misma intensidad,

I /

1 + . CAPITULO IV

MOVIMIENTO RECTlLINEO

41. Movimiento.-Al comienzo del capitulo primero se dijo que la I 1 1 ) mecanica estudia las relaciones entre fuerza, materia y movimiento. En

1 l 1 los capítulos precedentes nos hemos ocupado de las fuerzas, y nos dispo- nemos ahora a estudiar los métodos gráficos y analíticos que describen

1 f i , el movimiento. Esta parte de la mecanica se denomina cinemática.

El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición. 1 c.., Reduciremos en este capítulo la discusión al movimiento a lo largo de

1 > . \ una Enea recta, o movimiento reetilineo. Con objeto de determinar la po- sición de un cuerpo móvil a lo largo de una recta, se elige como origen

1 \v.? sobre la misma algún punto de referencia fijo. La distancia del origen al cuerpo se denomina abscisa de éste. La abscisa se considera, ordinaria-

I 1 ' mente, como positiva cuando el

01 a - 6 cuerpo e s a a la derecha del on-

i ' X gen, y negativa cuando está a la izquierda.

Supongamos un cuerpo que en un cierto instante se encuentra en

FIG- &l.-El veetor d e s ~ l m l e n t o es2,. e1 punto a de la recta OX de la dirigido de a a b.

figura 4 1 , y en un instante posterior en el punto b. El origen está

en O, la abscisa del punto a es a, y la abscisa del punto b es z. El desplazamiento del cuerpo está definido por el vector dirigido de a a b, cuya magnitud es, evidentemente, x - a.' El desplazamiento es el mismo, cualquiera que sea el movimiento realizado por el cuerpo; p. ej., si el

_cuerpo se mueve desde .ahasta c y retrocede hasta b, su desplazamiento sigue estando definido por el vector dirigido de$ a b; esto es: el desplazamiento es siempre-el vector dirigido desde el punto inicial al final.

El espacio total recorrido por el cuerpo, o sea, la suma de los segmentos ac y cb, se llama longitud recorrida, y se considera un escalar, no un vector.

42. Vector velocidad media y velocidad media sobre la trayectoria. La velocidad media de un cuerpo móvil se define como la razón de su vector desplazamiento al intervalo de tiempo durante el cual se produce este desplazamiento:

desplazamiento (vector) Velocidad media (vector) = tiempo transcurrido (es&)

1 i.' La velocidad media es un vector, puesto que la razón de un vector

--- .- a un &calar es asimismo un-vector, y su dirección y sentido son-los del - v e r desplazamiento.

Sea &, el instante en el cual el cuerpo se encuentra en el punto a (Fig. 4 1 ) y t el instante en el que pasa por el punto b. El tiempo transcurrido es t-fo. y el valor del vector velocidad media es, por consiguiente.

- x - m u =-

f - k l [4-11

(El trazo colocado sobre el símbolo que representa una magnitud significa valor medio de la misma.)

Sí la posición final del cuerpo esta a la derecha de su posición inicial, el desplazamiento x - a es positivo, y si la posición final está a la iz-

- quierda de la inicial, el desplazamiento es negativo. El tiempo transcurrido, 1 - fo, es siempre positivo. Por tanto, el signo algébrico de la velocidad media es el rnismo que el del desplazamiento; una velocidad media positiva indica un desplazamiento hacia la derecha, y viceversa.

La velocidad media sobre la trayectoria de un cuerpo móvil se define por la razón de la longitud de la trayectoria recorrida al tiempo transcurrido:

Velocidad media sobre la trayectoria (escalar) =

- - longitud de la trayectoria (escalar) tiempo transcurrido (escalar)

La velocidad media sobre la trayectoria es la razón de un escalar a 'otro escalar, y, por tanto, es también un escalar. Puesto que la longitud de la trayectoria recorrida no puede expresarse por la diferencia entre las

. abscisas inicial y final, no puede escribirse para la velocidad media sobre la trayectoria una expresión análoga a la Ec. [41]. Excepto en casos especiales, el desplazamiento y la longitud de la trayectoria recorrida no tienen el mismo valor numérico. Por consiguiente, en general, la velocidad media sobre la trayectoria y el vector velocidad media difieren numénca-

-- --mente. s i n - e b o , los dos se han definido como cociente de una longitud a un tiempo, y se expresan, por tanto, en la misma unidad. I Todos los sistemas emplean como unidad de tiempo el segundo. Un segundo (en rigor, un segundo solar medio) se define como 1186400 del dia solar medio. Un día solar medio es el tiempo medio que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre su eje, con relación al Sol. La cifra 86400 proviene de dividir el dia en 24 horas y la hora en 3600 seg (24 x 3600 = = 86400). No hay ningún patrón material de tiempo que pueda coni- pararse a los patrones de longitud o fuerza, excepto si considera~rios dicho patrón formado por el Sol y la Tierra.

La unidad de velocidad en los sistemas tkcnico y mks es el metro poi segundo (mlseg), y en el sistema cgs, el centímetro por segundo (cmlseg).

. Frecuentemente se utilizan otras muchas unidades, tales como el kilóme- - tro por hora.

.- SEC- -1 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 57

La--Ec. [41-] puede escribirse en la forma -- . - / , ! - -- - L - Obsérvese que aunque el desplazamiento es infinitamente pequeño, el inte*do de tiempo por el cual tiene que dividirse para obtener la velocidad instantánea es también infinitamente pequeño. Por tanto, el cociente no es necesariamente una cantidad pequeña.

Con la notaci6n del cálculo diferencial, el desplazamiento ab se representa por Ax, y el intervalo de tiempo correspondiente por At. La velocidad media es entonces -

o sea, que el desplazamiento es igual al producto del vector velocidad media por el tiempo transcurrido.

Se acostumbra escribir -la Ec. [4-21 en la forma -

x = a + v (t - io): í4-31 --

v = Axl Af. i , 1 ,b i 1 Si el tiempo se cuenta partir del instante en que el cuerpo se encuen-

. 5 ii r tra en el punto a, se tiene lo = O, y. la Ec. 14-31 se convierte en El valor limite de la velocidad media, cuando Ax y Al son infinita-

- mente pequeños, es la velocidad instantánea u, y el valor límite de h / A f + es dz!dl. Por tanto, -

x = a + vt. A i; 1; 1,

k 1 Si el punto a esth en el origen, a = O, y la Ec. 14-41 se simplifica aun

- II mas, reduciéndose a . -

; ,' i , x = vt. 14-51

La Ec. [4-61 puede considerarse como definición de la velocidad ins; t an thea .

El cociente del incremento de una magnitud por el intervalo de tiempo durante el cual se ha producido este incremento es la variación media con e1 tiempo de dicha magnifud. El vector velocidad media es, por tanto, la variación media del desplazamiento o cambio de posición, y la velocidad instantánea es la derivada del desplazamiento respecto al tiempo.

Puesto que At (o di) es necesariamente una magnitud positiva, se de- - duce que u tiene el mismo signo algébrico que Ax (o &). Por tanto, si "&amos el convenio habitual de signos, una velocidad positiva indica : movimiento hacia la derecha, y viceversa.

EI~EMPLo.-U~ corredor sobre una pista, rectilfnea, pasa por un punto situado a 50 m de la linea de salida en el instante en que un cronómetro marca 12 seg, y pasa por el punto situado a 86 m de dicha lfnea cuando el mismo cron6metro marca 16 115 seg. ¿Cuál ha sido su velocidad media en metros por segundo?

Si -tomamos como origen la ifnea de salida: Q = 50 m, r = 86 m, lo = 12.6 segundos, 1 = 16,2 seg; por tanto,

4-3. Velocidad instantánea.-la velocidad de un cuerpo móvil en un cierto instante, o en algún punto de su trayectoria, se denomina velocidad ins!anfanea. La velocidad instantánea es un concepto que requiere una definición cuidadosa. La velocidad es la razón de un desplazamiento a un intervalo de tiempo, pero.un instante.no tiene duración y, en consecuencia, un cuerpo no puede realizar ningiin desplazamiento en un ins- -tante. Esta--dificultad lógica se puede salvar-del.modoisiguiente._

Los puntos designados por letras en la f i a r a 4-2 representan posiiio- nes sucesivas de un cuerpo que se mueve hacia la derecha, a lo largo del

eje X. Consideremos la velocidad O1 a b r - d 2 e - media del cuerpo, primero durante

l - el desplazamiento ae, y después

E~EMPLO.-La abscisa de un cuerpo móvil sobre el eje X viene dada por

en la cual z se mide en centfmetros y 1 en segundos. Calcúlese la velocidad media del cuerpo durante los intervalos de tiempo: a) de 2 a 2,l seg: b) de 2 a 2,001 seg; c) dc 2 a 2,00Q01 seg; d) ~cu4l es la velocidad instantanea precisamente a los 2 seg?

af El Liempo al comenzar el primer intervalo considerado es 10 = 2 seg. La abscisa -r -- Currespo~rdi~nte, a, es: - - - -- - -

zo = 10 x 22 = 40 m. f- - 2 Al taminar el primer intervalo, t = 2,l seg. y - -

Por tanto, x = 10 x (2,1)2 = 44,l cm. -

FIG. 42.-La velocidad instantanea es el durante los desplazamientos suCe-

Umite de la raz6n d c ~ desplazamiento al .sivos cada vez menores ad, ac y ab. tiempo transcurrido. Cuanto menor sea el desplazamien-

to, tanto menos difiere la velocidad media, durante dicho desplazamiento, de la velocidad instantánea correspondiente al punto a. La velocidad insíantánea en un punto puede definirse, por tanto, como la velocidad media duranie un desplazamienlo infinitamente pequeño que incluya al punto.

O) Cuando 1 = 2,001 seg,

z = 10 x (2,001)2 = 40,04001 cm;

- e) - Cuando l = 2.00001 .seg, . - . . . - i- -

z = 10 X (2,00001)2 = 40,000400001 cm;

d ) ~n virtud de la Ec. [4-61,

Y Para 1 = 2 seg,

Este ejemplo demuestra que la velocidad media se aproxima cada vez m& a le velocidad instantanea a medida que el intervalo de tiempo considerado se hace m h pequeño.

4-4. Acelaración media.-Excepto en casos especiales, la velocidad de un cuerpo móvil varia continuamente durante el movimiento. Cuando esto ocurre, se dice que el cuerpo se mueve con movimiento acelerado o que tiene aceleración.

La figura 4 3 representa un cuerpo que se mueve hacia la derecha sobre el eje X. Supongamos que por los métodos explicados anterior-

mente hemos encontrado que su 01 a b velocidad instantánea en el punto a

v. v tiene un valor vo, representado en la figura 4 3 por~el vector vo. AnA-

FXG. 4-3.-La aceleracidn media es la razdn del incremento de velocidad, al intervalo de Iogamentey la instantánea

tiempo transcurrido. en el punto b se ha encontrado que es v. La aceleración media durante

el intervalo en el cual el cuerpo se- traslada de a a b .se define por la razón del incremenfo de velocidad al inierualo de tiempo transcurrido:

---- - - -. ..- En el sistematécnico de unidades, en el cual la unidad develocidad es -

3 & metro por segundo, y la unidad de tiempo, el segundo, la unidad de ' aceleración es el metro por segundo, por segundo, o, abreviadamente, i mlseg2. La misma unid* se utiliza en el sistema rnks. En el sistema cgs : la unidad de aceleración es un centímetro por segundo, por segundo

.* . - (cmlse82).

. . De acuerdo con el convenio habitual de-signos, si u - u0 es una mag- ; nitud positiva, la aceleración es también positiva y dirigida hacia la - : - - . - . . - . derecha. (Véase problema 4-6.) Cuando disminuye el valor absoluto de

kt velocidad de un cuerpo, esto es, cuando el cuerpo se va retardando en 5 su movimiento, se dice que tiene una aceleración negati~a (deceleración)

o que el movimiento es decelerado. - ~e ""' EJEMPLO. La velocidad instantánea de un autombvil, 3 seg despues de su par-

5 c . tida, es 3 mlseg, y aumenta hasta 12 mlseg a los 6 segundos de iniciado el movimiento. HBllese la aceleracibn media. ... Se tiene: lo = 3 seg, uo = 3 mlseg, f = 6 seg, u = 12 mlseg. El incremento de velocidad es 12 - 3 = 9 mlseg, y el intervalo de tiempo transcurrido es 6 - 3 = 3 seg:

i .

4-5. Aceleraci6n instantánea.-la aceleración instantánea de un . cuerpo, esto es, la aceleración en un cierto instante o en un cierto punto

de su trayectoria, se define por el mismo procedimiento que la velocidad instantanea. Tomemos los puntos a y b de la figura 4 3 cada vez más próximos. Cuanto menor es la distancia entre ellos, tanto menos diferirA la aceleración media, calculada para esta distancia, de la aceleración ins- tantánea correspondiente al punto a. De acuerdo con esta, se define la

, aceleración instaniúnea en un punto como la aceleración media correspondiente a un desplazamiento infiniiamenle pequeño que contenga a dicho punfo. - Sea A v el incremento de velocidad durante un intervalo de tiempo Af. La aceleración media durante este tiempo es: ""* -

incremento de v e l o c i d a ~ y ~ c t o r ) _ . : . Aceleracibn- media (vedor) =- tiempo trsnscu~~do ~ c . , - - -- . . . a -Av/Afr- - -- - -. - .. . . . -

3 , .. ... i' - .-k,. iími&e de la aceleracibn media, cuando At y Av se hacen infinita- ; ,> (1 - u - Q , * L Q =- (4-71

mente pequeños, es la aceleración instantánea a, y el valor limite de b j A f es dvldt. Por consiguiente,

!I u f - i o 1: '

siendo 6 y i los instantes correspondientes a las velocidades u0 y v. Puesto que v y vo son vectores, la magnitud (u - vo) es su uecior diferencia, y ha de hdiarse por los métodos explicados en. la sección 1-8. Sin embargo, como en el movimiento rectilíneo ambos vectores están situados sobre la misma recta, el módulo del vector diferencia en este caso especial es igual a la diferencia de los módulos de ambos vectores. En el capitulo X consideraremos el caso mAs general en que v y 90 no tienen la misma di- rección.

Y* Puesto que u = dxldt,

, . Cualquiera de las dos Ecs. [M] o [49] puede considerarse comd de- finición de la aceleración instantánea.

Puesto que la aceleración es un incremento de velocidad dividido por- el intervalo de tiempo durante el cual tiene lugar dicho incremento. la aceleración media es la variación media de la velocidad, y la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecio al iiernpo. La aceleración instantánea desempeña un papel importante en las leyes de la mecanica, mientras que la aceleración media se utiliza me& frecuentemente. En consecuencia, cuando en lo sucesivo se emplee el término aceleración, se entenderá que nos referimos a la-aceleración insluntánea, a menos que se especifique otra cosa.

La definición de aceleración que acabamos de dar, se aplica al movimiento s9bre una trayectoria de forma cualquiera, recta o curva. Cuando un cuerpo se mueve sobre una trayectoria curva, la dirección de su velocidad cambia, y este cambio de dirección origina también una aceleración, según se explicara en el capitulo X.

4-6. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.-E1 movimien- to acelerado mas sencillo es el de aceleración constante, esto es, aquel en el cual la velocidad del móvil varia uniformemente durante el movimiento. Naturalmente, en el movimiento acelerado la velocidad no es constante, y el decir que la aceleración es constante significa sencillamente que la velocidad aumenta (o disminuye) la misma cantidad en cada unidad de tiempo.

Ahora bien: el valor medio de una magnitud que no varía es sencillamente el valor constante de dicha magnitud. Por tanto, en el movimiento de aceleración constante, la aceleración media Ü puede reemplazarse por ia aceleración constante a, y la Ec. [4-71 se convierte en

Despejando el valor de v en la Ec. [+lo], se obtiene:

Esta ecuación puede- interpretarse del modo siguiente: la magnitud a G el cambio de velocidad por unidad de-tiempq. La magnitud ( t - fo ) es la duración del intervalo de tiempo considerado. El producto del cambio de velocidad por unidad de tiempo, por la duración del intervalo, o sea, el producto a (i - b), es sencillamente el cambio total de velocidad. Cuando se añade a este cambio la velocidad inicial uo, la suma obtenida es la velocidad al final del intervalo.

Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que la velocidad es vo, se tiene lo = O, y - . -

Después de deducir la expresión de la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera, vamos a determinar ahora otra expmión que per-

- f - mit. halrar l a abscisa en función de tiempo. La Ec. [4-21 expiesa que el - -

I desplazamiento de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje X es: C -

x - xf, = u (1 - to), t t

siendo i la velocidad media. : Si-la velocidad del cuerpo aumenta en proporción constante, es decir, C

si su aceleración es constante, su velocidad media durante un intervalo i de tiempo cualquiera sera igual a la semisuma de las velocidades al co-

t mienzo y al final del intervalo. Esto es, C .. .

- v o + v C

r u=- . , . . . - ~. . . 2 i4-131 C

Obsérvese que la Ec. 14-13] no es cierta en general, excepto cuando C

la aceleración es constante. C Después de sustituir la expresión de v dada por la Ec. [4-111 en la

Ec. (4131, resulta: $ r

- u ~ + [ u ~ + a ( i - l o ) ] e U =

2 t

. - La inclusión de este valor de ü en la Ec. [4-21 da:

- m = uo(f - lo) + l12 a(t - [4-15 J t

Si tomamos como origen de tiempos el instante correspondiente a uo, será 6 = O, y

1 _.e- x - --= vol + 112 ai2 [4-161 4

b

-. --- - Finalmente, si h posición inidal del cuerpo -se encuentra en el ori- 4

gen, m = O, y J

Cuando se conocen la velocidad inicial u0 y la aceleración constante a, 4 la Ec. [412] da la velocidad en cualquier instante, y la Ec. [4-171 da la abscisa en función del tiempo. E s útil también disponer de una expresión

14

que nos dé la velocidad correspondiente a cualquier abscisa, lo cual se 1 consigue fácilmente despejando t en la Ec. (4121 y sustituyendo su valor en la Ec. [4-161. El resultado es:

4 r

1 62 1 % -- ' MOV~MIENTO RECTIL~NEO [CAP. 4 'r . , . SEC. 4-31 C A ~ I I A LIBRE I>E 1.0s <:UERPOS -. 63 I - lh -4 . :. - . - ....... vo2 - . . . . Si q =.O, esta liltima-se reduce-a - - - -- - - - P

- . 8 I Si v = vo para x = O, C3 = - y

8 h I 3- .- ..'

2

,I n 14-19] ! u2 = u20 + 2ax.

Las Ecs. [4-121, [417] y [4-191 son las formas usuales de las ecuaciones del movimiento con aceleración constante. Corresponden a los casos particulares en que za y fo son ambos nulos. Las formas generales son las Ecs. [411], [4-151 y [4-181. Las ecuaciones del movimiento rectiiíneo con aceleraci6n constante

pueden deducirse en forma- sencilla y elegante utilizando las definiciones infinitesimales de velocidad y aceleración. De la Ec. [4-81 resulta:

a = dvldt (a = constante)

donde Ci es una constante de integración. 'Si u = u0 para 1 =.O, se tiene: o o = o + C l y

v = uo + ai, que es la Ec. [412].

Pero -

v = &/dt; por consiguiente,

&Id! = v,, + ai; .

ldx = jr&i-+ latdl:

m:; - . z = v o i + 1 / 2 a P + CO- . . - Si z = O para 1 = O, Cz = O y

2ap, . ---- == ,,&+ y ' ' ... .,. . . . . . . . . . . . . . que es la Ec: [417]. .. -

-

Para deducir la Ec. (4-191 escribamos:

Del primero y ultimo términos resulta:

u2 - = az $ cs. 2

4 7 . Movimiento uniforme.-Otro caso especial interesante aparece cuando la aceleración es nula. Como la aceleración mide el cambio de la velocidad con el tiempo, si aquella es cero, la velocidad no variará, sino que-permanecerá constante. Por ello resultan sinónimas las expresiones oeimidad consfanfe y aceleración nula.

Puesto que las ecuaciones del movimiento con aceleración constante se deben verificar para cualquier valor de la aceleración, se han de cumplir en particular cuando ésta sea constantemente cero. De la Ec. 14-12] resulta, para a = 0.

u = uo.

Es decir, la velocidad es constante e igual a la velocidad inicial. De la Ec. [4-16) resulta, para n = 0,

x = xo + vf, y, si además Q = O,

4-8. Caída libre de los cuerpos.-El ejemplo mas sencillo de movimiento acelerado con aceleración aproximadamente constante lo cons-

. tituye un cuerpo que cae a tierra. Prescindiendo de la resistencia del aire. se encuentra que todos los cuerpos, independientemente de su tamaño o peso, caen con la misma aceleración en un mismo lugar de la superficie terrestre, y si la distancia recorrida no es demasiado grande, dicha acele- ración permanece constante durante la caida. El efecto de la resistencia d d aire se estudiará en el capitulo XVII, y la disminución de la acelera- cid: con la altura, en el capitulo XV. Por ahora no tendremos en cuenta ninguno de estos factores. Este movimiento idealizado se designa por

~ a f d d i b r e , aunque el térmirro se refieretanto a caida como a ascensión. La aceleración de un cuerpo en caida libre se denomina aceleración de-

bida a la gravedad, o aceleración de la gravedad, y se representa por la fetra g. En la superficie terrestre o cerca de ella es, aproximadamente, 9,8 mlseg2, 980 crnlsegz ó 32 pieslsegz. Más adelante daremos valores más precisos y estudiaremos las pequeñas variaciones que experimenta mn la latitud y con la altura.

. NoTA.-L~ magnitud g se denomina, a veces, simplemente gravedad o tuerza de gravedad, pero ambas expresiones son incorrectas. La gravedad es un fenómeno, y la fuerza de gravedad significa la fuerza con la cual fa Tierra atrae a un cuerpo, conocida también con el nombre de peso del

-.cuerpo. La letra g representa la aceleración producida por la fuerza resultante del fenómeno de la gravedad. - r*:

Es costumbre en el estudio del movimiento de caída libre de un cuerpo, cuando se utilizan las Ecs. 14-12], [4-171 y [4-191, reemplazar a por g

h.. .. Partida

1 - o 1 8-0 0-o . - - e.

1 - 4 seg 6- 78,4 m U - 39.2 m/seg Fio. 4 5 . .e.' -

. . . . . . . . . . - . .- - . . - . . -- . . . - - . .-

.'. - .+

.

FIG. 4-4.-Velocidades y posiciones de 1111 cuerpo que cae librernei~ie.

i . 1 . La figuraQ4-indica las velocidades y-posiciones de un cuerpo que cae j libremente partiendo del reposo (uo = O), durante los primeros segundos

de su caída. Se ha tomado como positivo el sentido hacia abajo para evitar los signos negativos.

E~EMPLO.-Para aclarar la aplicación de las ecuaciones del movimiento con ace- leración constante, estudiaremos con detalle el siguiente ejemplo. Se lanza una pelota hacia amba en direcci6n (aproximadamente) vertical, desde la cornisa de un edificio, con una velocidad inicial de 14,7 mlseg, de modo que salve justamente la carnisa en su bajada (Fig. 4-5). Hállense la mhxima altura alcanzada, el tiempo que tarda en alcanzar el punto m& alto, y la posici6n y velocidad de la pelota a los 2 seg y a los 5 seg despuds de lanzada. Desprdciese la resistencia del aire.

En los cursos elementales de ffsica este problema se resuelve, generalmente, calculando primero la altura maxima alcanzada y suponiendo despues que se deja caer la plata desde dicho punto. H a de seguirse este procedimiento, porque las ecuaciones del movimiento que se enseñan en dichos cursos no incluyen la velocidad inicial, sino que se escriben simplemente:

= gl; h = lh 912; 9 - 2 gh.

Las ecnaciones deducidas, que contienen la velocidad inicial, son m4s generales y evitan la necesidad de dividiir el problema en dos partes. Sin embargo, es importante observar qne ha de prestarse atención a los signos algdbricos de las distintas velocidades y aceleraciones. Tomemos como origen el punto en el que la pelota abandona la mano,

. - - y consideremos como positivo el sentido hacia arriba. En este caso la velocidad inl- dal, dirigida hacia arriba, es positiva, y

-.- Por el kntrario, la aceleraci6n esta dirigida hacia abajo, aunque la velocidad en el instante inicial estd dirigida hacia arriba; por tanto,

: .

- P a r a calcular la maxima altura alcanzada, podemos utilizar e1 hecho de que la i: velocidad en el punto m4s alto es nula. Por medio de D = g + gt se calcula el tiempo

. qngnec@tapa~a 4 9 . y a r el pupto m& alto, y-a partu de-@. .= yo2-+ 2gy. seguede . 1 .hallar su posición. Sustituyendo los datos, se obtiene: . . .

O = 14;7 + (- 9 3 ) 1;

t = 1,5 seg; 0 2 = (14,7)2 + 2 (- 9,s) y;

y = + 11,025 m. i

Es decir, la pelota se eleva 11,025 m por encima del origen, y alcanza el punto y considerar que el movimiento tiene lugar a lo largo del eje Y. Así, estas m&s alto en 1,5 seg.

C ecuaciones se convierten en 1

: La altura puede tambidn deducirse a partir de la ecuaci6n y = vol + - g12, sustl- 2

( i. ! tuyendo. en lugar de 1 el valor 1,5 seg, obtenido anteriormente: 1 : ! 1: i u = u0 + gt; . . .

.... . . 1 . . . R 1 y = 14,7 x 1,5 + - (- 9.8) (1,5)" + 11,025 m.

y = "01 + '12 gP; u2 = "O2 + 2gy. :1 .~ .Ji. 7 2 t

ti 1 !r' l .. 4 c=.ns. ,.-S ? t

Y . . . . . . . . -* - .. J. l - , ; ( ......... 1: / --.

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F'. ' 1 . . I

MOVIMIENTO RECTIL~NEO [ C M . 4 .&.. 4-91 MOVIMIEN1.0 CON ACELEHA<:ION VAH1ABI.E 6i . $. t-

--- - ~d~uleanm ia d t w a Y lavelocidad de la peloui 2seg d s p u h de-haber sido- 1 im&&es durante la demuestra que la velocZad aun¡enta-continua- 1 lanzada: m mente, o sea, que el movimiento es acelerado. Comparando los sucesivos

. .

En otras palabras, la pelota se encuentra 9,S.m por encima del punto de partida. y se mueve hacia abajo (o es negativa) con una velocidad de 4,9 mlseg.

A los 5 seg después de lanzada:

Esto es, k pelota esta ahora 49 m por debajo del punto de partida (y es iicgativo) y se mueve hacia abajo con una velocidad de 34,3 mlseg. Obs6rvese que y no representa el espacio total recomdo por la pelota, o sea, la longitud tle su trayectoria. sinv su distancia al origen, es decir, su desplazamiento.

La figura 4-6 es una fotografía, obtenida con iluminaciones sucesivas. de una pelota de golf que cae libremente. Esta fotografia se ha tomado con ayuda de la lámpara estroboscópica ultrarrapida ideada por el doctor Harold E. Edgerton, del Instituto Técnico de Massachusetts. El interc valo entre dos iluminslciones sucesivas puede regularse. a voluntad, y la duración de cada iluminación es tan corta (algunas millonésimas de segundo) que se obtiene una imagen nitida, aunque el cuerpo se mueva rápidamente. El obturador de la mhquina se deja abierto durante todo el movimiento, y cuando tiene lugar cada iluminación, la posición de la pelota en dicho instante se registra sobre la película fotografica.

Se han incluido en la fotografia un reloj y una escala. La manilla del reloj gira continuamente, y tarda.2 seg en dar una vuelta completa. Las divisiones pequeñas -sobre la- circunferencia corresponden cada una a 1/100 de segundo. Puesto Cpe en cada iluminación se fotografia la manilla del reloj, quedaregistrado auto-maticamente el intervalo de tiempo entre dos iluminaciones sucesivas. Las divisiones de la-escala están separadas t cm.

Las iluminaciones, igualmente espaciadas, dividen el movimiento en in- tervaios iguales de tiempo, At. Los desplazamientos correspondientes, Ax, se miden sobre la fotografia utilizando la escala. Es posible calcular la velocidad media &/Al entre dos iluminaciones sucesivas, y puesto que el' intervalo de tiempo Ai puede hacerse muy pequeño (del orden de algunas centésimas de segundo), estas velocidades medias coinciden con mucha aproximación con las velocidades instantáneas. Dado que los intervalos de tiempo son todos iguales, la velocidad de la pelota entre dos iluminaciones es directamente proporcional a la separación de sus correspondientes imágenes en la fotografía. Si la velocidad fuera constante, las imA- genes estarian igualmente espaciadas. La separación creciente de las

decpiazamientos de la pelota, puede la variación de velocidad

e el ,correspondiente intervalo de tiempo. Una medición cuidadosa,

-. d i i zada -preferentemente sobre- una ampliación de la fotografía, demos-

' - traria que la variación de velocidad es la misma en cada intervalo de tiem-

o, dicho de otro modo, que el movimiento tiene aceleración consiante.

. .. 4-9. Movimiento con aceleracibn . .

4rrble.-Si la aceleración no es constante, no son ya aplicables las Ecs. [4-101 a [4-191. Consideraremos dos casos: a) la aceleración es una función conocida del tiempo; b) la aceleración es una función dada de la abscisa.

a) Puesto que

(el símbolo f (i) representa cualquier función de i, tal como 212 6 log t), se tiene:

do = f(t)dt;

-- - Si se sabe calcular la integral, la

- Ec. 14-21] da la velocidad en función del tiempo. La constante Ci se determina si se conoce la velocidad en un

- instante cualquiera. Designemos por g(t) la expresión de la velocidad obtenida de la Ec. 14-211. Resulta así:

FIG. 4-6.-Foto~afia (retocada). obtenida con iluminaciones sucesivas. de una

pelota de goU que cae libremente.

-- - - -

1 .; j . . , , .. .,a.

- -- >".

-. ..

, 1 68 MOVIMIENTO RECTIL~NEO 69 !!: METODOS GRÁFICOS .m . ;:. l . .. .. 2 . . ~

La- constante C2 se caicula unavez conocida-la -abScisa correspondiknte , --1- :. - . - . . . - - .- 1:. I . La intx$jraciXn da p r h e r miembro da $12;-por tanto, !ii ; a un instante cualquiera. . .- , : - ifi j -- h) Puesto que. . . - @

--- -..: . du . . - = f (z)dx + Cl. <

a = - = f (x ) . i . 2

-.. df - < podríamos escribir:

. . . ~~ .~ . O . MBtodos gr8ificos.-Es a menudo conveniente representar me-

-. . . . -. du .= f(x)df; r. 'diante una gráfica la posición, velocidad y aceleración de un cuerpo en

f - movimiento rectilíneo. Dichas graficas son también útiles para compreri- : r der las. relaciones existentes entre estas magnitudes. La curva de la figu-

9 = Jf(z)df + c, . . - y

.% 4-7 (a) es una gráfica t-z del movimiento de un cuerpo que se desplaza . - (

1; que no %ulta adecuado, debido a que j l(z)df no puede calcularJe ti - a 10 l a g o del eje.X. La ordenada de la curva en cualquier instante repre- mta la abscisa z del cuerpo. En este ejemplo el cuerpo se encuentra en el

'! Como aparece. Sin embargo, se salva este inconveniente haciendo uso y

,, o- en el instante =,-O, y se mueve desde el origen hacia la derecha de la Ec. 14-20]: -. - .

. ... .hasta alcanzar el punto b de la gráfica, volviendo al origen en el punto d, i

du a = v - : para seguir hacia la izquierda del origen, dado que x es negativa pasado

tix -. ~ este punto. Pues si a = f(z),

I En el punto a de la curva la abscisa del cuerpo es xo y el tiempo corres-

dv = U - = /(x);

' pondiente fo. En el punto b la abscisa es z y el tiempo f. El desplazamiento & - en el intervalo comprendido entre fo y f está representado por el segmen-

:' to bc, cuya longitud es proporcional a x - xo = &. El intervalo de tiem- I

. po correspondiente está representado por el segmento ac, de longitud < proporcional a f - to = Af. La pendiente de la cuerda ab, o sea la tangente

J .. . . z

. . bc <

6 5 del bgu lo O, es tg 8 = -, y de lo dicho resulta que esta pendiente es ... , . . ac : ( :' - . pkporcional a

. . z-x+J & - t

- - -- - hi

- v; $ ! i f - i o i

t &$&. la pendienfe de la cuerda deterpinada por dos puntos de una gra-

1 ' fica espacio-tiempo es proporcional a la ~elocidad media en el infervalo t 1 , d t t comprendido entre ambos punfos. Si tanto x como f se dibujan a la misma

- - - . - - - - . . - -%%da, - lavelocidad- media será igual a 4a- tangente del hgulo 8; en ge- t

n e d , se usan diferentes escalas para x y t. 4 t : . La velocidad instantánea en cualquier punto de la curva es propor-

1: 1: : ' .:@anal al valor limite de la pendiente de la cuerda determinada por dicho t 6 1;. a . !

1-- - --.'.-punto y otro situado a una distancia infinitesimal del primero. Pero, , , O por definici6n, la pendiente de la cuerda determinada por dos puntos

t !.. ; " 2' 1. i -

bfimitamen~ próximos es la pendiente de la curva en cualquiera de ellos, t i! jl %; n.

o sea, la pendiente de la tangente a la curva, dzldf . Por tanto, la pendiente de la tangente en cualquier punto de una gráfica espacio-tiempo es propor-

( 1. !i: i< n, cianal a la velocidad instanfánea en dicho punto. Cuanto mas pendiente t

, sea la curva, mayor es la velocidad. En un punto tal como b, donde la tangente es horizontal, la velocidad es nula; en puntos situados a la

f

derecha de b la pendiente, y, por tanto, la velocidad es negativa, es decir, RG. 47.-Micas de ia abseisa. velocidad y acclwaci611 de un cuapo que se mueve

t sobre el eje X. - - :-. .el cuerpo se mueve hacia la izquierda.

> t

...-. -- .. . - -.>l. ..-- -.. . ---- -. .. . . . -- - . - . .

f i ii; l

-- ~

1 I 'Y

A

70 . . MOVIMIENTO RECTIL~NEO [CAP. 4.

Si se trazan tangentes a lacurva en varios puntos y se niden sus pen-- dientes, wmo en la figura 4-7 (b), se puede hallar la velocidad del cuerpo en estos puntos. Estas velocidades se llevan a una gráfica velocidad- tiempo, según se ha hecho en la figura 4 7 (c). La ordenada de esta curva en cualquier punto es proporcional a la pendienfe de la primera grgica en el punto correspondiente. Resulta evidente de la discusión anterior, que la pendienfe de la cuerda que une dos puntos de la gráfica uelocidad- tiempo es proporcional a la aceleración media entre dichos puntos, y que la pendiente de la tangente en cualquier punto lo es a la aceleracion insfuntúnea en dicho punto. -

Otra propiedad de la gráfica velocidad-tiempo está también señaIada en la figura 4 7 (c). La altura de la franja rayada es u y su anchura dl. El área de la franja es, por tanto, igual a udi que, por la definición v = = &/di. es igual a dx. En otras palabras, el área rayada representa el desplazamiento infinitesimal en el intervalo dt. El área total comprendida por la curva, el eje X y las ordenadas extremas en lo y f es la suma de las áreas de todas estas franjas, por lo que representa el desplazamiento total en el intervalo comprendido entre to y t.

Maternaticamente, esto equivale a escribir:

t

I = udt. Ir

Por consiguiente, el área determinada por una gráfica velocidad-tiempo - .. represen f a el desplazamiento. Finalmente, la aceleración instantánea se puede representar como

función del tiempo. La pendiente de esta curva, que es daldt = d%/df3, carece de significación física. Sin embargo, es evidente que el área comprendida por la curva, el eje X y las ordenadas correspondientes a to y i representa la variación de la velocidad en el intervalo t - io, ya que

4-11. Componenias de la .velocidad. Velocidad relativa.-La velocidad es iIna magnitud vectorial y, por tanto, hay que considerar en ella m& dulo, dirección y sentido. Así, pues, una .velocidad puede descomponerse en componentes; e inversamente, un cierto número de velocidades pueden componerse en una velocidad resultante. Como ejemplo del primer proceso, supongamos un barco que navega hacia el Este en una dirección que forma un ángulo de 300 con el Norte, y a la velocidad de 20 Km/h en agua en calma. Su velocidad puede representarse por una flecha, como la. de la figura 4-8, y se encuentra, por el procedimiento conocido, que la componente de la velocidad hacia el Este es de 10 Km/h, mientras que hacia el Norte es 17,3 Kmlh.

:g ,:dll] COMPONENTES DE L A VELOCIDAD 71 - %

-.- i - .,. La velocidad, como la posicidn, 5610 puede definirie Tespeh a a¡&. . - .. . : ,4 . . . m m a de referencia o conjunto de ejes, pudiendo estar los propios ejes : z .-

: en reposo o en movimiento. Ordinaria- . mente, las velocidades se definen res-

~ e c t o a ejes fijos a tierra, y se considera 20 K m l h t

*e están en reposo, aunque naturalmen- ; - . te, participan del movimiento de la Tie- r m a .través del espacio. En lo sucesi- 1 . -. vo, la expresión velocidad de un cuerpo : significará su velocidad respecto a tierra. 17.3 KmIh

. . La velocidad de un cuerpo respecto a otro, i - cuando el segundo está en movimiento :E . . ~ _. ..... ,: (respecto a tierra), es el uector diferencia I I - - de velocidades de los cuerpos (respecto a -1.

. . tierra). Concretamente, si designamos los 10 ~ m / b - E

- - .. .

I '* cuerpos por A y B, y sus velocidades - . i (respecto a tierra) por V A y V B , la veloci- L . ' dad de A respecto a B es

Frc. 48.-Descomposici6n de un vector velocidad en sus componentes.

U , , = U* - v g (vector diferencia), 14-23] . .

y la velocidad de . B respecto a A es: . . .

- . . ,- . - . . . U , , = U B - U A (vector diferencia). . . . , . - - . . . . .

. . , . . . , . &mp~o.-Un automóvil A, que recorre una carretera recta y horizontal a la velocidad de 30 Kmp. marcha por delante de otro autom6vil B, que lleva el mismo sentido y una velocidad de 20 Km/h. ¿Cuál .es la velocidad de A respecto a B, y la

r velocidad de B respecto a A? puesto que ambos vectores se encuentran sobre la misma recta, el m6dulo de su

vector diferencia es igual a su diferencia aritm6tica. La velocidad de A respecto a B es:

- y.el-eonductor del coche 3 ve al coche A avanzando delante de él a la velocidad-de 10 Km/h.

- - La velocidad de B respecto a d es:

va, - va - U* = 20 - 30 = - 10 Km/h,

Y el conductor del coche A (si mira hacia atrAs) ve al coche B alejarse detras de e! (DE* es negativo) a la velocidad de 10 Km/h.

La Ec. [4-231 puede escribirse asi:

V A = U B + U A B (vector suma).

2 , . Esto es, la velocidad del cuerpo A (respecto a tiem) es el vector - -- .suma de la velocidad de B (respecto a tierra) y de la velocidad de A res-

pecto a-B. Era-general; cuando un-cuerpo está-en movimiento respedo a otro, la velocidad del primero es el veclor suma de la velocidad del segundo y de la velocidad del primero respecto al segundo.

EJEMPLO l.-La brújula de un-liarco indica que está navegando hacia el-Norte, y la corredera señala que su velocidad rqpecto al agua es de 20 nudos l. Si existe una comente de 5 nudos hacia el Este, &cuál ser4 la ,velocidad del barco respecto a tierra?

La velocidad del agua ec de 5 nudos hacia el Este; la del barco respecto al agua, de 20 nudos hacia el Norte. La velocidad del. barco.serB eT vector suma de estas veloci-

dades, y de la construcción efectuada en la figura 4-9-=&nita ser 20,6 nudos, 140 NE. Ambas velocidades, 20 nudos y 5 nudos, pueden considerarse como las componentes iie la velocidad real de1 barco.

i f P R O B L E M A S .--'

1 1

1 j j

4-1. El record de las 2 millas en pista cubierta es 8 min 51 seg. &A quB veloci-

! ! ! dad media corresponde en: a) millas/seg?; 6) millaslh?; c) cmlseg?; d) pieslseg?

i 1 4-2. El cronometrador del ejemplo F dado en la sección 4-2 puede haber' co-

i / metido un error de 115 de segundo en cada

1 . lectura de su cronógrafo. a) LQUQ valores

; extremos puede haber tenido el intervalo de tiempo? b ) ~Cu4les. son las velocida-

! . des -correspondientes7 e) ¿Está justifica-

: = ' 1.: Un nudo es igual a una velocidad de 1

EJEMPLO 2. ¿En qu6 dirección debed el piloto fijar su rumbo para dirigirse hacia el Norte? &Cuál serIa entonces su velocidad respecto a tierra?

El rumbo marcado por el piloto es la dirección en que el barco se desplazaria realmente en aguas tranquilas. Es, por tanto, la dirección d e l a velocidad del barco relativa al agua. La velocidad resultante debe dirigirse h a d a el Norte. Dichas velocidades

do. conservar mas de dos cifras en la respuesta? d) ¿Es exacta la iiltima cifra?

' e) LA cuBnto puede ascender el error? 4-3. La ecuaci6n ael movimiento de

un cuerpo que se desplaza sobre una recta es z = 8t - ?12, donde E son centimetros y f segundos. a) Calcúlese la velocidad media del móvil en los intervalos de 1=0 a l = 1 s e g , y d e t = O a t =4seg. b)Há- llese l a expresión de la velocidad media para el intervalo 1, t + Al. E ) ~Cusll es

[ ..- están relacionadas tal como se indica en la figura 4-10, d e l a cual se deduce que el Bngulo 0 vale 14,50 NO, y que l a velocidad resultante es 19,4 miliaslh, hacia el Norte.

i t - - . __ - - - - - - - - -

milla por hora.

-.* j$ff$y?::.

y- --g - i 3 :$

- - - PROBLEMAS 73 i - ! < i . , . - - - . .. . . . _ .- .. ., =. ... "

-'= ' ' d vaiCulfrnite de esta expresión cuando Al - - -. -. . . - . . . . A -. .. , . ..,..... . .

~ .-de a cero? d) Hhllense el punto o . , . . pontos en que el cuerpo se encuentra en

.::. . .

repoco. e) ObtQngase la expresión general

, de la aceleraci6n. .. ., .:.S

. -- -A

:. - % ,

.:_ , _ ..- .,.-. . . Fic. 4-1 l.

. . , .. . .

:. 44. La m i c a de la figura 4-11 da la .>: . .... .. . .. , . . . . , .; velocidad de un móvil en función del

.-?ir. ,.. '-..'Y&mpo. .~ .~ . -:. . - .. .. , - . :a) ~ C u a l es la aceleración instantá- *, . .>,..r . -. . -.

:-.:.~..;:,nea.parat=3segf . ...., . . " I . . - - . .. . . ; ... .--:. b) . ¿Cuál es la aceieración,instantánea . , . . .. . .~ . . . . .

.r.f . . . .. : .parat=7seg? 2 < & , q j

. , ,. L

. -. . ,. 1.. e) - . ¿Cuál es la aceleracL6n instantánea -~

.. . . . . . . para t = l l seg? 3 -d/ l: :: ' .i,i":-3: d) &Que distancia iecorre el móvil en 4- . .::-:y.- , los primeros 5 seg? y r .Q { L -

. ,.. . . . . . . . > - ' - -:I:zr' &Qu6 distancia recorre el móvil du-

:: . . : . :-te los primeros 9 seg? )I r Z/&, 1-f . .. ~ . .: .- . f i _ ¿Que distancia recorre-el. cuerpoxn 1-

i~ .--. . ~ . . ~ -:;los primeros 13 seg? )( = -06 (+ . . .. . . -- , , . . . . - - . . .- ,;. .. ...., - .S..--

CS. Cada uno de los siguientes cam: : . *. bios de velocidad tiene lugar en un in-

.'- ; ::-'.--rpalo de 10 seg. tCu41 es el valor, signo - . - . - - dg6brico y sentido de la aceleración me-

dia en cada intervalo? - '1-5- a) Al comienzo del intervalo, un cuer- - .~

-: ' Po se mueve. hacia la derecha sobre el - . . . . .. .- eje X, a la velocidad de 150 cmlseg, y al . .

final del intervalo se mueve hacia la - . . . derecha a la velocidad de 600 cmlseg. -

- b) Al comienzo se mueve hacia la de- . - -a, a la velocidad de 600 cmlseg, y al . ,

-:i?;,*fh*se mueve hacia la derecha, a 150 - ~ . . -7: ~ ~5 l<;f-timetros por segundo.

. . --

c) Al comienzo se mueve hacia la k- i f

quierda, a 150 cmlseg, y al final se mueve hacia la izquierda, a 600 cmlseg. 1

d ) Al comienzo se mueve hacia la izquierda, a 600 cm/seg, y al final se mueve hacia la izquierda, a 150 cmlseg.

e) Al comienzo semueve hacia-la derecha. a 600 cmlseg, y al final se mueve hacia la izquierda, a 600 cmlseg.

f) Al comienzo se mueve hacia la izquierda, a 600 cmlseg, y al final se mueve hacia la derecha, a 600 cmlseg.

g) &En cu4l de los instantes anteriores tiene el cuerpo aceleración negativa? @ LOS fabricantes de un cierto tipo

de automóvil anuncian que se acelera en directa de 30 a 100 Km/h en 13 seg. o=/.?; Calcúlese la aceleración (en m/seg2) y la distancia que recorrerá el coche durante ,$r

,

este tiempo, suponiendo constante la ace- leración. 9 Un aeroplano despega de un campo cuya pista mide 360 m. Si parte del . .

reposo, se mueve con aceleracion constante y recorre la pista de despegue en 30 seg, ¿con. quB velocidad (en mlseg) levanta el vuelo?

4-8 Un tren del metropolitano arran- 3 ca 'en una estacidn y se acelera a razón y~ de 1,20 m/seg2 durante 10 seg. Marcha j:!, :=z durante 30 seg con velocidad constante, y se decelera a 2,40 m/seg2 hasta detenerse (-'a en la estación inmediata del trayecto ); = ,::r Calcúlese la distancia lotal cubierta. i .--

4-9. El tiempo de reaccidn del conductor .medio de automóvikes, aproximada- -. .

mente, 0,7 seg. (El tiempo de reacción es el intervalo que transcurre entre la percep- ci6n de una señal para parar y la aplica- ción de los frenos.) Si un automóvil puede experimentar una deceleración de 4,8 m por seg2, calcúlese la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez percibida la señal: a) cuando la velocidad es de 30 Kmlh; b) cuando es de 60 Km/h. $-3 Un coche de turismo y un ca- mión parten en el mismo instante, estando inicialmente el turismo cierta distancia por detras del camión. Este dltimo tiene una aceleración constante de 1,20 m/seg8, i

1 mientras el coche acelera 1,80 mlseg2. El

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flcai,-2,5-crn-- 18 cm. by Tráceme las 4-SO. Un río corre hacia el Noa-eon tangentes a esta curVá en los puntos .una velocidad de 3 Km/h. Un barquero 1 = 1 sep, t = 2 seg, t = 4 seg. Mldanse atraviesa la comente con una velocidad sus pendientes y detennlnense las veloci- relativa al agua de 4 K m p hacia el Este. dades instantsneas en estos puntos. -.a) ¿Cual es su velocidad respecto a tie- c) Halese por derivación la ecuaci6n rra? b) Si la anchura del río es de 1 Km, general de la velocidad. A partir de ella ?,cuantos metros quedará desplazado ha- calcúlense las velocidades para t = 1 seg, cia el Norte el barquero al alcanzar le 2 seg y 4 seg, y compárense con los va- orilla opuesta? c) LQUB tiempo tardará en lores obtenidos en b). d ) ConsMyase la cmzar el río? @ica velocidad-tiempo de este movi- 4-31. Las gotas de lluvia que caen miento, haciendo 2,5 cm = 1 seg, y verticalmente sobre el suelo marcan hue- 2,5 cm = 20 cmlseg. e) Trácense las tan- llas sobre las ventanillas de un tren, a y a gentes a esta curva en 1 = 1 seg, 2 seg velocidad es de 20 Km/b, inclinadas 30- y 4 seg. Midanse sus pendientes, deter- respecto a la vertical. a) ~Cuh l es la wm- minando las aceleraciones instantáneas ponente horizontal de la velocidad de correspondientes. f) Hallese por deriva- una gota respecto al suelo?, y ¿respecto ción la ecuación general de la aeeleraci6n. al tren? b) ¿Cuál es la velocidad de las calculando las aceleraciones para 1=1 seg, gotas respecto al suelo?, y ¿respecto al 2 seg y 4 seg. g) Constrilyase la grhfica tren? aceleraqión-tiempo, utilizando una escala 4-32. El piloto de un avi6n marca adecuada. sobre la brújula de a bordo rumbo Oeste,

4-29. Dos embarcaderos A y B están manteniendo una velocidad de 120 KmJh. separados por una distancia de una milla. Después de volar durante media hora se Dos hombres hacen el trayecto de ida y encuentra sobre la vertical de un pueblo vuelta desde A a B. El primero utiliza situado a 75 Km al Oeste y 20 Km al un bote de remos con el que consigue una Sur de su punto de partida. a) Calcúlese velocidad de 4 millasp, respecto al agua, la velocidad del viento en magnitud y mientras el otro va andando por la orilla dirección. b) Si la velocidad del viento con una velocidad de 4 millas/h. La velo- fuera de 60 K m p en direccibn Sur, cidad del agua es de 2 millas/h en la direc- rumbo debería fijar el piloto para diri- ci6n de A a B. ~ Q u d tiempos empleará girse hacia el Oeste? Tómese la misma cada hombre en cubrir su trayecto? velocidad respecto al aire de 120 Kmfh.

0 - .. - -

. - - - - - -. - - - - - - - . -

.. .. -." CAPITULO V

SEGUNDA LEY DE NEWTON

..e ., g. ..- .- . -; 5-1. kitroducci6n.-En los capítulos que preceden hemos conside- , .~. . rada separadamente los conceptos de fuerza y de aceleración. Hemos

en estática la primera ley de Newton, según la cual cuando la .~ - - ..- 5.. .fue= resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, también la acelera- . . . . . .. . .. . . . .

-.i ción del cuerpo es nula. El paso lógico inmediato es preguntar cómo se +-

: comporta un cuerpo cuando la fuerza resultante que actúa sobre él n o nula. La respuesta a esta cuestión está contenida en la segunda ley

de Newton, la cual afirma, en parte, que cuando la fuerza resultante no - . -%. . es nula, el cuerpo se mueve con movimiento acelerado. La aceleración, .l

i. . para una fuerza dada, depende de una propiedad del cuerpo denomina- :;- . da masa, y por ello antes de proceder a la discusión de la segunda ley . . .~.. ;. . ' de Newton, dedicaremos la sección próxima a establecer el concepto de -- ... . . - .

masa. :.

Se denomina d i n h i c a a la parte de la mednica que estudia conjunta- . ,... ..- -

<$;- - . .:. -mente d movimiento y las fuerzas que lo originan. En su sentido más . . ,.-,, - . , . amplio, la dinámica abarca casi toda la mecánica. La estática trata de los . . . . < ., .: casos especiales en los que la aceleración es nula, y la cinemática se ocupa f: únicamente del movimiento. ,. ... .

,- .. - 5-2. Masa.-La expresión masa se utiliza en mecanica al referirse a - la propiedad de la materia que, en el lenguaje corriente, se designa con -?.

.: - - . - la palabra inercia. Sabemos por experiencia que un objeto en reposo * . ..-

. . . -. . - - jam% comenzar4 a moverse por si mismo, sino que ser4 necesario que ?: .! - - - ,otro cuerpo ejerza sobre él una tracción o un empuje. En lenguaje más

.-..-; --.&ntifico:-es necesaria una fuerza para acelerar--un cuerpo; y decimos que - -.. X': . i:. , . . la .fuerza es necesaria a causa de que el cuerpo tiene inercia. , t.; . n Es también familiar el hecho de que para retardar el movimiento de

. i _ . . - --' - : un,.cuerpo o para detenerlo es necesaria una fuerza, y que cuando la tra- - . . . .

T i _ . , í . 1 -

- . _ :. yectoria de un cuerpo es rectilínea, es necesario ejercer una fuerza lateral .. . .. . . para desviarlo de ella. En estos ejemplos decimos también que la fuerza

- - .. - es necesaria a causa de que el cuerpo posee inercia. , . - . Se verá que los procesos anteriores (aceleración, .retardo o cambio de

1 - dirección) implican un cambio en el valor o en la direcci6n de la veloci- - dad del cuerpo. En otras palabras, en todos los casos el cuerpo es acele- lado. Podemos decir: la inercia es aquella propiedad de la materia por

. .. cuya causa es necesario ejercer una fuerza sobre un cuerpo para acelerarlo. .. ~

. . '.' ,* -,.~, . .. - Para asignar un valor numérico a la inercia de un cuerpo dado, elegi- . -. <.,.. ,...?j; -ios:mmo patrón algún cuerpo cuya inercia tomamos arbitrariamente

. . . .. . . - ""

78 SEGUNDA LEY DE NEWTON [CAP. 5

_ como..unidad, y expresamos la inemia de todos 10s d e m h cuerpos en - funci6n de este patr6n. La inercia de un cuerpo, establecida por este procedimiento cuantitativo, se llama masa. La masa es una medida cuanfi-.

.- . lativa de la inercia. La masa de un cuerpo es una propiedad..invariante del mismo, ind.6

pendiente de su velocidad (a velocidades muy grandes, pr6ximas a la de la luz, 10s efectos de relativi-

.. . .~- . ', . . ., . . - i i P . y.- : - - dad se traducen en un aumento apreciable de masa), de su ace- leraci6n, de su posici6n sobre la supe.ficie terretre 0 de su altura por encima de dicha su'perficie. En estos dos atimos aspecr tos difiere del peso del cuerpo, el cual varia con la posicibn y con la altura (vtkse Sec. 15-3).

El patr6n de masa en 10s sistemas mks y cgs es un cilindm '

de platino-iridio llamado kilograrno patrdn. El patrbn original se encuentra guardado en Sevres (Francis), y la mayoria de 10s restantes paises yoseen una o varias copias exactas del mismo. Estos patrones no son todos idCnticos en masa a1 patr6n

Ro. 5-1.-Kilogram0 ndm. 20. Patrdn na- C I O ~ de masa (EE UU.). original, pen, esto careci de im-

portancia, puesto que sus masas respemo al patr6n son exactamente conocidas.

La unidad de masa en el sistema mks es la masa del kilogramo patr6n. La unidad de masa en-el sistema cgs es 1/1000 de la masa del kilogramo 'patrbn, y se denomina gramo.

. . No- h a y patr6n d e masa en el sistentii t&cnico de h d a d e s . Esto es, 10s laboratorios nacionales no guardan en sus,archivos ninguna pieza cuya masa sea igual a la unidad de masa. de este sistema:El sistema tdo- nico estA basado en 10s patrones de iuerza, longitud y tiempo, y la unidad de masa queda definida en funci6n de estos patrones, como explicaremos en breve.

En el sistema de unidadn; ingles, la lihra se define como la fuerza que la atraccl6n gravitatorla de la tierra ejerce, a1 nivel del mar y 450 de latftud, sobre un cuerpo determinado, llamado libra potrdn. Para evitar la duplicidad innecesaria de rnantener dos patrones, el kilogramo patr6n y la libra patr6n, el atimo se define actualmente en fund6n del kilogramo patrbn; expresando que sn masa ea igual a 0,4535924277 Kg

5-3. Segunda ley de Newton.-Las observaciones descritas a1 comienzo de la secci6n anterior indican una relaci6n entre fuena, masa y

SEGUNDA LEY DE NEWTON 79

-q< . . -- . - - - . - .

--IZ. ~~. .- -- .raceleraci6n;- Para obtener la relacion'ci i~t i taf iv~ entre ellas, consider& :p .. z= . . mas la siguiente serie de experimentos (idealizados).

%.. 1.0 Un bloque de masa arbitraria se coloca sobre una superficie ho- $, . rizontal lisa, y se acelera sobre la superficie por una fuerza horizontal t . ejercida sobre 61 mediante una balanza de resorte. Para concretar, supon- = - . . ' ' gamos que la balanza se ha graduado en kilogramos como se describe en . . , - ia seccion 1-3. Con la balanza calibrada.pueden-ejercerse fuerzas de 1 Kg, -.- , 2 Kg. 3 Kg, etc., sobre el bloque, y medir con una escala y un cron6grafo .. . : las aceleraciones correspondientes. Los resultados de esta serie de experi-

, , --- . ...",? - . . -.

mentos indicaran que, con una masa constante., la aceleraci6n es directa- . . mente .proportional a la fuerza aceleradora, y tiene la misma direccion

-< y sentido que dicha fuerza: . .

. .. . . . - I ..- -. .- -. . ~ .

-, . . . . .- ~.. - , . L

. -~ I . . , .

.-% ~ . ~ . . a oc F (si m es constante).

.J ._,% 1.- -

15-1 I . .-"; 2.0

.- .. Para la segunda serie de experimentos, podemos partir del kilo'- ..+ gramo patr6n y preparar un cierto numero de copias del mismo, compro- .. : :' -. . .-.- - . bando la igualdad de sus masas a1 atestiguar que todas ellas adquieren

la misma aceleracidn cuando estAn i . sometidas a la misma fuerza. Combi- z. nando estas copias, podemos tener ! .. . masas de 2 Kg, 3 Kg, etc. B7+ m .. . ::. . . . Apliquemos ahora la misma fuena ;q . -7. -.- ..- (ima fuerza cualquiera) en experimen- -. . .... r - tps.sucesivos a masas de 1 Kg, 2 Kg, _ _ . .. -. .~

;. . . . 3 Kg, etc., y midamos las aceleracio- . . , -I: ' . nes. Esta serie'de experimentos con- :; ... duce al resultado de que, con una .:: - f u e m constante, la aceleraci6n es d nl

:- - - . .inversamente proportional a la masa: ( b ) : ..C-

1 - - - -m

6 1 ' -- - - a oc - (si F es constante). -1521- _ - _ - w.

g - Los resultados de ambas series de - m QI

i - - -experimentos pueden ahora expresarse + .. -, - (c) f -- por la relacidn unica

- i Esta dltima ecuaci6n se reduce eviden- [. .-:bmente a la Ec. [ 5 1 ] o a la Ec..[5-21 (dl -

- - cuando m o F son constantes. FIG. 5-2.-La aceleracidn de un cuerpo 3.0 Realicemos el pr6ximo expe- es proporcional a la furrza resultantr

. . ejercida sobre el mlsmo, y tiene la direr- "r::imenb haciendo actuar mas de una cidn ,. el sentido de ests resultante. .: ...- ~. . , . .. . ." . . . - . . - . - . . , , ,-.*?< ,L,-

-+- ..-e .du.-

80 SEGUNDA LEY -DE NEWTON [CAP. 5

fuerza sobre el cuerpo. Supongamos que hemos encontrado--gue-la f u e m FL actuando sola, produce una aceleracion a1 en la misma direccion que Fly como indica la figura 5-2 (a) . An&logamente, la fuerza F2 produce una aceleracibn 02, segun muestra la figura 5-2 (b); Si aplicamos ahora simult5neamente las fuerzas Fl y F2, figura 5 2 .(c), . encontramos que la aceleracibn a observada es la misma que corresponde a la suma geomb trica de las aceleraciones a1 y a2, y, ademas, que resultala .misma acele- raci6n si en lugar de aplicar Fl y F 2 simultaneamente, aplicamos una sola fuerza F igual a la suma geometrica de FI y F2, como indica la figura 5 2 (d) . -.: -. . .

~ s t b s experimentos demuestran, en primer lugar, que cuando se ejerce un cierto numero de fuerzas simulkineamente sobre un cuerpo, cada fuerza actlia con independencia de las otras y produce la misma aceleraci6n que si actuase sola, y en segundo lugar, que la aceleraci6n total es proporcional a la fuerza resultante, y tiene su misma direc- ci6n y sentido. Por consiguiente, la proporcionalidad representada por la Ec. [53] se verifica tanto para la fuerza resultante como 'para cada una de las componentes; esto es:

Fl F 2 F a x a , azoc- ; a = -

m r

m m

Las aceleraciones componentes producidas por las componentes de m a fuerza s e r h consideradas en el pr6ximo capitulo. Por ahora estudiaremos unicamente las fuenas y las aceleraciones resultantes.

La segunda ley de Newton es un enunciado formal de 10s resultados de experimentos tales como 10s que se acaban de describii. Si nos limitamos por ahora a las fuerzas y a las aceleraciones resultantes, podemos enunciar: La ac~leracidn de un cuerpo es proporcional a la fuerza resuliante ejercida sobre el cuerpe, in~ersamente proporcional a la masa del mismo, y fiene la misma direccidn y sentido que la fuerza resultante; esto es:

1-

a cc - , o bien F ma. ' - -. . - - . - .. .- - . . . - . - - - - m - - -.. - - - . ~ -

,-, La segunda forma es equivalenk a

- -

siendo k una constante de proporcionalidad. El valor de la constante de proporcionalidad depende de las unidades empleadas para medir la fuerza, la masa y la aceleracidn; p. ej., se encuentra experimentalmente que una fuena resultante de una libra comunica a una masa de un kilogram0 una aceleraci6n de 14,6 pies/seg2. Utilizando estas unidades,

F = 0,0685 ma (F en libras, m en Kg, a en pieslsegz).

SEC- 5-41 SlSTEMAS DE UNIDADES E: 81 Ir - <7 -

_ E s evidentemente inc6modo tener que recordar todos 10s ~ a l o r e s de k : que serian necesarios para tener en cuenta todas las combinaciones posi-

bles de unidades, pero puesto que el valor de k queda determinado sola- ' mente por las uaidades elegidas para F , m, y a, tpor que no elegir un : conjunto de unidades que dC para k un valor sencillo, facilmente recor-

dable? Lo mas simple es, naturalmente, hacer k = 1, y todos 10s llamados sisiemas de unidades meclnicas han sido establecidos teniendo en cuenta

-este requisite. Puede suceder, y de hecho sucede, que algunas de las unidades requeridas no Sean familiares, pero la ventaja de hacer k = 1 compensa ampliamente la desventaja de tener que definir nuevas unidades. g Si utilizamos un sistema de unidades en el cual k = 1, la Ec. (5-41 ..- - se reduce a

Esta ecuaci6n se considera de ordinario como la formulacion mate- mdtica de la segunda ley de Newton. Es probablemente la ecuaci6n mas importante de la mechica. Observese atentamente que se trata de una ecuaci6n ~ectorial; esto es, la aceleraci6n resultante a tiene la misma di- recci6n y sentido que la fuerza resultante F. La relacion alge'brica F = ma no constituye por si sola un enunciado completo de la ley.

De la Ec. [5-51 podemos deducir las condiciones fisicas que deben cumplirse para que un cuerpo posea un movimiento uniformemente acelerado; a saber: si a es constante, F ha de ser tambien constante. En otras palabras, el movimiento uniformemente acelerado es un movimiento que tiene lugar bajo la acci6n de una fuerza constante. Si la fuerza es variable, la aceleracion varia en proporci6n directa, puesto que la masa m es constante.

Resulta tambien evidente de la Ec. [ M I , que si la fuerza resultante que actua sobre un cuerpo es nula, la aceleracibn del cuerpo es tambien nula, y su velocidad constante. Por tanto, si el cuerpo esta en movimiento, - sigue moviendose sin que la velocidad cambie ni en magnitud ni en direc-

. cibn; si se encuentra en reposo, permanece en reposo (su velocidad es en- -- - I I_ .. tonces constante e igual a cero). Pero b t a s son, evidentemente, las condi-

- ciones a las cuales se aplicaba la primera ley de Newton, y vemos, por . tanto, que la primera ley es simplemente un caso especial de la segunda

cuando F y a son nulas. Por tanto, s610 hay dos leyes de Newton independientes: la segunda y la tercera.

- Con la notacion del cidculo diferencial, la segunda ley de Newton, para un movimiento que tiene lugar a lo largo del eje X, se escribe:

5-4. Sistemas de unidades.-Si adoptamos F = ma como expresion t de la segunda ley de Newton, se deduce que cuando m = 1 unidad de

. SEARS. I.--6 - i ". -

82 SEGUNDALEY DENEWTON [CAY. 5

masa y a = 1 unidad de aceleracion, F = 1 unidad de fuerza, En otras palabras, las unidades de fuerza, masa y aceleracio'n han de elegirse de mod0 que la unidad de fuerza comunique a la unidad de masa la unidad de aceleracidn. Evidentemente, no pueden elegirse tres unidades arbitrarias. Sin embargo, podemos elegir dos cualesquiera de ellas y utilizar La Ec. [5-51 para fijar el valor de la - tercera.

En el sistema de unidades metro-kilogramo-segundo, el kilogramo fija la unidad de masa, y el metro y el segundo juntos determinan la unidad de aceleracion. La unidad de fuerza en este sistema ha de tener un valor tal que comunique a la masa de un kilogramo una aceleracion de un metro por segundo, por segundo. Esta fuerza se denomina newton.

Un newton es la fuerza que comunica a la masa de un kilogramo una aceleracidn de un metro por segundo, por segundo.

En el sistema centimetro-gramo-segundo, la unidad de masa es el gramo, y la unidad de aceleracion, el centimetro por segundo, por segundo. La unidad de fuerza en este sistema ha de tener un valor tal que comunique a la masa de un gramo una aceleracion de un centimetro por segundo, por segundo. Esta fuerza se denomina dina.

Una dina es la fuerza que comunica a la masa de un gramo una acelera- eidn de un centimefro por segundo, por segundo.

Puesto que 1 Kg = 1000 g y 1 m = 100 cm, se deduce que 1 newton = 100 000 dinas = 105 dinas.

E n el sistema tecnico hemos definido como unidad de fuerza el kilogramo, y como unidad de aceleracion el metro por segundo, por segundo. Como en 10s demas sistemas, deseamos que la unidad de fuerza comunique a la unidad de masa una unidad de aceleracion. Esta unidad de masa ha de tener, por consig~ientef'un~valbr tal que cuando actlie sobre ella una fuerza de un kilogramo, adquiera una aceleracion de un metro por segundo, por segundo. Esta masa se denomina unidad itcnica de masa.

Una unidad iecnica de masa es la masa a la cual una fuerza de un kilogram~ comunica una aceleracidn de un metro por segundo, por segundo.

En el sistema de unidades inglesas, la unidad de masa es la masa que sometida a una fuerza de una libra adquiere una aceleracibn de un pie p r segundo, gor segnndo.- Esta-unidad- se denomina -slug. - - -- -

El newton, la dina, la unidad ttCcnica de masa-y el slug son unidades derivadas de las unidades fundamentales.

En resumen: cuando la segunda ley de Newton se escribe en la forma F = ma (con k = I), pueden usarse las siguientes combinaciones de unidades:

F (en newtons) = m (en Kg) x a (en m/seg2) F (en dinas) = m (en g ) x a (en cmlsegz) F (en Kg) = m (en unidades tecnicas) x a (en mlseg2) F (en libras) = m (en slugs) x a (en pieslsegz)

No existe acuerdo general sobre 10s papeles desempeiiados por el experimento y la definici6n en la segunda ley de Newton. La ley ha sido enunciada en esta misma secci6n deducidndola de observaciones experimentalcs. Si utilizamos la torma res-

PESO Y MASA s3

- -:^& ..-. -. 1 - . .. trf8;l1& F = ma, y convenimos en que se trata de una ley experinie"ta1, ello irnpllca cLDt h a ~ ~ realizad~ una serie de exper iment~~ en 10s cuales una fuerza F, actuando ..--. .

-=g-:.:- &re m a mass m, le comunicl una aceleraci6n a, y cuando se midieron F, rn y a (expre- . en las unidades de cualquier sistema), el valor num6ric.o de F resulto, en todos

la asos , igual a1 producto de 10s valores numericos de rn y a. . v. .." . . Cuando consideramos m4s detenidamente el mdtodo preciso utilizado para medir . .: . - magnitudes, descubrimos que nuestras definiciones de newton; dina y unidatl . , h i c a de masa estln basadas en el supuesto de que F es igual a1 producto de m por a. -* -.... - . .? so debe sorprendernos, por tanto, comprobar que la igualdad sigue cumpliendose en

. : . npuimentos posteriores. Esto es, si utilizamos la ecuacidn F = ma para definir F, ^ .mmo se hace en 10s sistemas mks y cgs, o la relaci6n equivalente m = Flu para defi- - -3-

nt rn, la ley se convierte simplemente en una definici6n de F o de-m y no es suscep- . , % , . - -.- . . . . . - . Ub]e de wmprobaci6n experimental. - I -. - . En un libro de este alcance no hay lugar para extenderse en una discusiln filod-

':I: - lien rnmp1et.a de esta cuesti6n. El lector interesado purde consultar algunas de ]as . =". :I .. . o b ~ relacionadas a1 final de la mednica. . . " .,.. . .. . . .. .. .=. ---: .> : . . - ~ . - .~ .:- ?r. . . . -.; >. . . &5. Peso y masa.-Todo cuerpo del Universo ejerce una fuerza dc . ,.

. abcci6n gravitatoria sobre cualquier otro cuerpo. La Tierra atrae a1 : . h r o y a1 lapiz que se encuentran gobre el pupitre; y cada uno de ellos - -&,me a1 otro; la Tierra atrae a la Luna; el Sol atrae a la Tierra y a otros

' planetas del sistema solar, asi como a las estrellas mas distantes; y cada - uno de estos cuerpos, a su vez, ejerce sobre el que lo atrae una fuerza

- -. ; igual y opuesta. .... . . . Este fenbmeno de atraccion universal gravitatoria sera considerado - . . con mhs detalle en el capitulo XV. Por ahora solo nos ocuparemos de un - "- . .

- . G - , -. * . - . . aspect0 de el, esto es, de la fuerza de atraccion gravitatoria existente en- la T i e m y 10s cuerpos situados sobre o cerca de su superficie. La - luerza de atraccidn graviialoria que la Tierra ejerce sobre un cuerpo se de-

. . y nornina peso del cuerpo. .. .

Asi, decir que un hombre pesa 80 Kg equivale a decir que es atraido poi la Tierra con una fuerza de.80 Kg. Puesto que el peso de un cuerpo es una fuerza, debe expresarse en unidades de fuerza, esto es, en kilogramos . .

;: - . o en- iibras en 10s sistemas ttCcnico e ingles, y en newtons o en dinas en 10s sistemas mks y cgs. . . La masa de. un cuerpo, .aunque no es 1o.mismo que el peso del cuerpo. L - - - - - . -

. b . .. ei directamente proportional a este, como demostraremos en breve. . . . Por consiguiente, el peso de un cuerpo de masa conocida puede deter- , ' . mharse por una proporcibn directa si se mide de una vez para siempre '

. -~ . - el peso de la unidad de masa; es decir, hay que medir la fuerza de atrac- -- . - . . - - - :. cion gravitatoria: en kilogramos para una masa de 1 u.t.m.; en libras para - una masa de 1 slug; en newtons para una masa de 1 Kg, y en dinas para ' . - una masa de 1 g. El mCtodo experimental consiste sencillamente en dejar . .. caer libremente una masa unidad; durante su caida la unica fuerza qur

actlia sobre ella es su propio peso, que deseamos calcular, y su acelera- ..ci6n,- que es la de un cuerpo en caida libre.

Consideremos una masa de un kilogramo cayendo libremente. Su . - ~aceleracion es la aceleracion de la gravedad, g rnlseg2, correspondiente al i-. -.---. Punto donde tiene lugar el experimento, que en numeros redondos es C . ~ _ 1:.z.~.~.. .- .-

84 SEGUNDA LEY DE NEWTON [CAP. 5 SEC 5-51 PESO Y MASA 85

9,8 m/seg2. Por definition, una unidad de fuerza (unnewton) imprime a llna masa de 1 Kg una aceleracion de 1 rnlsegz. Como el kilogramo que cae tiene una aceleracion g mlsegz, la fuerza aceleradora debe ser g veces mayor que la unidad de fuerza o g kilogramos. Con otras palabras, un kilograrno pesa g newtons, siendo g la aceleracion loc'al de la gravedad expresada en m/seg2. En numeros redondos un kilogram0 pesa, aproxima- darnenie, 9,s newions.

Si el cuerpo que cae es un slug, con una aceleracion de g pieslsegz, o sea, 32 pieslseg2, la fuerza aceleradora debe ser g libras, puesto que, por definicibn, una fuerza de una libra imprime a una masa de-un slug una aceleraci6n de so10 1 pielsegz. Por consiguiente, un slug pesa g libras, donde g es la aceleraci6n local .de la gravedad expresada en pies/segz. En nlimeros redondos, un slug pesa 32 libras, aproximadamente.

Por un razonamiento anlogo veriamos que un gramo pesa g dinas, siendo g el valor local de la aceleracion de la gravedad, expresado en cmlseg2. En numeros redondos, un gramopesa, aproximadamente, 980 dinas.

Todos 10s cuerpos, cualquiera que sea su masa, caen con la misma aceleracion si la experiencia se hace en el mismo punto de la superficie terrestre. Resulta de ello que l a fuerza aceleradora o peso de u s cuerpo es directamente proporcional a s u masa. Si no ocurriera asi-si, p. ej., el peso de una masa de 2 slugs fuera ligeramente mayor o menor que el doble del peso de una masa de 1 slug-, la aceleraci6n de una masa de 2 slugs en caida libre no seria igual a la de una masa de 1 slug. Por consiguiente, peso y masa son proporcionales, y como se conoce el peso de cada masa unidad puede hallarse el peso de cualquier cuerpo de masa conocida, y viceversa.

El razonamiento precedent% puede resumirse mucho con solo aplicar la segunda ley de Newton a un cuerpo de masa m en caida libre. La fuerza resultante sobre el cuerpo es su peso w, y su aceleracibn es g, con lo que la ecuacion F = ma se reduce a w = mg. Dicho de otra manera, el peso de un cuerpo, cuando se expresa en unidades de fuerza de cualquier sistema, es numericamente igual a su masa, expresada en unidades de masa de dicho sistema, multiplicada por el correspondiente valor de la acele- --- - - - raci6n de la gravedad:

W - w = m g ; m = - -

9 - 15-71

El lector sabe indudablemente que la fuerza de atracci6n gravitatoria erltre dos cuerpos disminuye cuando aumenta la distancia entre ellos. Por consiguiente, el peso de un cuerpo o fuerza de atracci6n gravitatoria ejercida entre el cuerpo y la Tierra no es una propiedad invariable del mismo, sino que disminuye cuando aumenta la altura del cuerpo, a causa del aumento de su distancia a1 centro de la Tierra. Puesto- que la masa de un cuerpo es una propiedad invariante del mismo, por completo independiente de su posici6n, se deduce de la Ec. [5-71 que la aceleraci6n de la gravedad varia en raz6n directa de la variation del peso. Esto es, la

raz6n de que g sea mas pequeiia-cuandoel-cuerpo esta mas alto es-que el- peso del cuerpo es menor y, por tanto, se acelera mis lentamente en cafda libre.

Una gran parte de la confusi6n existente entre 10s conceptos de peso y de masa , debe al hecho de que 10s terminos Irilogramo, gramo y libra se usan a menudo con significad~s diferentes a 10s que tienen en 10s sistemas mks, cgs o gravitatorio inglks. En el sistema absoluto de unidades anglosajon, la unidad de masa es la masa de una Libra patron, el mismo cuerpo cuyo peso es la unidad de fuerza del sistema graritatorio inglb. El nombre libra es el que se da a esta unidad de masa, de donde resulta que se aplica el mismo nombre para designar la unidad de fuerza de un sistema y la de masa del otro. Una confusi6n anAloga tiene lugar con la palabra kilogramo, que se aplica a la unidad de fuerza del sistema tdcnico y a la unidad de masa del sistema mks.

La unidad de fuerza en el sistema absoluto anglosaj6n B el poundal, definido como la f a e n a que comunica a una libra masa una aceleraci6n ae 1 piejseg2. Puesto que la l h masa ecruivale a 1/82 del slug, el poundal es 1/32 de una libra fuerza, o sea, aproximadamente, media onza. El sistema absoluto anglosaj6n se utiliza poco en 10s Esta- dos Unidos (salvo en ciertos textos) y no lo emplearemos en Bstel. Siempre que se use la palabra libra sera con referencia a una fuerza.

Existe otro sistema (incornpleto) de unidades en el que, a1 igual que en 10s siste- . mas tdcniw y gravitatorio ingles, la unidad de fuerza se define arbitrariamente, con ' preferencia a la de masa. Este sisterna adopta como unidad de fuerza el peso de

un gramo que se denomina gramo-fuerza y vale 980 dinas = 0,0022 lb. El grarno-tuerza se utiliza usualmente como unidad de fuerza en 10s textos elementales de fisica.

EJEMPLO 1.-La aceleraci6n de la gravedad en St. Michael (Alaska) es 32,221 . pieslseg'. E n la zona del canal de Panama es 32,094 pies/sege.

~ C u a es el peso en 1ibras;en cada uno de estos puntos, de un cuerpo cuya masa es exactamente 3 slugs?

Resp.: 96,663 lb; 96,282 lb.

EJEMPLO 2.-~CuAl es la masa, en unidades tdcnicas, de un hombre que pesa '80 Kg en nn lugar en que g = 9,s rnlsegz? cull seria su peso en un punto en el cual g.= 9,81 m/seg2?

- . . M p . : 8,163 unidades tdcnicas de masa: 80,079 Kg.

EJEMPLO 3.---Calculad westra propia masa en unidades tkcnicas. T6mese -- -g-= 9.31 mlseg2.- -- - - - - -

EJEHPLO 4.-~Cua es la masa de un cuerpo que, suspendido en-reposo de una - cuerda, produce una tensi6n en la misma de 108 dinas? 4Cu41 es el peso del cuerpo, - unidades cgs y mks? T6mese g = 980 cm/seg2.

Resp.: 1020 g. 108 dinas, 10 new.

EJEMPLO 5 . 4 5 4 g pesan una libra. Calculad vuestra propia masa en slugs y westro propio peso en libras.

EJEMPLC 6.-i,Cual es la masa, en gramos, de un cuerpo que pesa exactamente una dina en un punto en que g = 980 cm/seg2? LCUU es la masa, en kilogramos, de

1 Con excepcidn de 10s capltulos de Calor, donde, seg6n es practica usual, utlli7.remoS .-.._COmo unldad demasa la correspondiente a la libra patr6n.

SEGUNDA LEY .DE NEWTON SEC. 5-51 . PESO Y MASA

Rap.: 11980 g (aproximadamente 1 mg); 1/9,8 Kg (aproximadamente una d6cima de kilogram0 6 100 g); 1/32 slug. F = ma

T - 8000 = 81693 x 1 (En 10s siguientes ejemplos, el valor de g se tomarh-igual a . 9.8 m/seg2, T = 8816,3 Kg.

980 cm/seg2 6 32 pies/seg2, a menos que se diga otra cosa.)

El viajero estA representado esquemlticamenLe en la la segunda ley d e Newton, se deduce:

.

F = ma = 1,5 x 6 = 9 Ib.

fuenas es, por tanto, P - w = P - 80 Kg. Por tanto, EJEMPLO 8--~Qud fuerza es necesaria para comunicar a un bloque cuya masa :

cs 48 g una aceleraci6n de 6 crnlsegz? i F = ma , I 'p Puesto que se d a directamente la masa del bloque, i PIG. 5-4.-La luervl re- P - 80 = 8,163 x 1 sultanlc es T - w. , . i ;

I!-& P = 88,163 Kg. F = ma = 48 x 6 = ,288 dinas. I

i 1~ b De acuerdo con la tercera ley de Newton, el viajero ejerce una fuerza igual y opuesta

EJEMPLO 9.-Un bloque de 10 Kg permanece en reposo sobre una superficie hori- f sobre el piso del ascensor Por, ello, cuando el ascensor tiene una aceleraci6n ver- : I

1 1 f zontal. ~ Q u 6 f u e n a horizontal constante se requiere para comunicarle una velocidad tical hncia arriba de 1 m/seg2, un viajero que pese 80 Kg ejerce sobre el piso del ascen-

J j I , de 4 mlseg en 2 seg, partiendo del reposo, si la fuerza de rozamiento entre el bloque . sor una fuerza de 88,163 Kg. \ IVR y la superficie es constante e igual a 5 new? EJEMPLO 12 -El conductor de un autombvil, que lleva una velocidad de 72 Kmp

Puesto p e las fu-s son constantes, el bloque se mueve con acelerad6n constante :. , - . in una carretera horizontal, aplica 10s frenos y detiene el coche en un recorrido de

y como la velocidad aumenta desde cero a 4 mlseg en 2 seg, la aceleraci6n es 40 m. Si el peso del coche con su carga es de 800 Kg, y su aceleraci6n constante, calcdlese la fuerza de roza-

v - g 4 miento entre 10s neumhticos y la carretera. a = - - - 2 m/seg2.

N L 2 La masa del autom6vil es 81.63 unidades t6cnicas + de masa. Su aceleraci6n puede deducirsc?-de la ecua-

Representemos por P (Pig. 5-3) la i. ci6n

.. . fuerza hbrizontal requerida: La fuerza i : dL = u20 + 2 a ; . resultante F, ejercida sobre el bloque, ; 0 = (20)* + 2a (40); es: 10 K g . . - . . - . . . a.=-5m/segZ. . - .

~ -.--, = 5 . - - - - -. r- -. new *I W P f,,,,,

1 '. \ ‘ q

I -9

$,,,/,/ ,,,,, El valor de la fuerza de frenado P es, por consiguiente,

P = ma = 81,63 x (-5) = - 408,15 Kg. por la aceleraci611,

t no. 5-5.-~a f u e m rcs111-

\& . , t an te es P - ru. El signo menos significa que la ruerza esth dirigida w F = ma; , I hacia la izquierda, si el coche estaba inicialmentc mo-

,,'#% F ~ G . 5-3. P - 5 = 10 x 2 = 20 new; vikndose hacia la derecha. I P = 20 + 5 r . 2 5 GW.

(4 . . EJEMPLO 13.-icon qud aceleracidn deslizarh un bloque sobre un plano inclinado : . sin rozamiento, que forma un gngulo 0 con la horizontal? 1 CA EJEMPLO IO:-U~ ascensor que pesa 8 ton est6 sometido a una aceleraci6n diri- Las fuerzas que actdan sobre el bloque son: su peso y la fuerza normal ejercidn

gida hacia arriba, de 1 rnlsegz. Calcdlese la tensi6n del cable que lo sostiene. .. - por el plano (Fig. 5-6). No se dan como datos ni el peso ni la masa del bloque; por. I , ,t+t Representemos por T (Fig. 5-4) la tensi6n en kilogramos. La fuerza resultante ,.,:.:I, tanto, hemos de utilizar una para designar uno u otro. Designemos pOr u, el

, - .- .. . . I .i+ !i . :-. -.

1 . , . *,. . - . . .

Q 4

: <i

88 PESO Y MASA 89 i C SEGUNDA LEY DE NEWTON ,: li

I .' 1 ( - . . . . . . -.: ;i . ~- peso aa-cueFpo; Tfaceinos d o ~ ejk, uno p erecha. ~ i s i s t e m a de fuer- :I

: :I del plano y descompongamos w en sus co su P-0 de 16 Kg; b) la i r; II I: sobre el plano, las componentes se@n el eje Y e s t h en. equilibria, y N = w cos 8. la tensidn TB hacia la :i La h i c a fuerza que queda es, pues, w sen 9, que C

, f ;I es, por consiguiente, la fuerza resultante ejercida ::.,

~a cuerda A sirve simplemente para transmitir una fuerza de un bloque a otro, i! .sobre el blope. E n funci6n de su peso w, m u . 2 modo que ]as fuerzas designadas por TA constituyen una pareja de iuerzas de acci6n

G r

del Bkque es m = w/g. Portanto, . rea&6n, y son numdricamente iguales. Puesto. que las fuerzas verticales sobre cada @ ' bloque e s t b en equilibria, N1 = 8 Kg, y Nz = 16 Kg. Por tanto, la fuerza resultante

< / / F = ma; 5 . - ii &,re el bloque de 8 Kg. es TA, y la fuerza resultante sobre el bloque de 16 Kg es I; w *.- - La aceleraci6n de eada bloque es 0,5 mlseg2 (dato). Aplicando la segunda II .. 1, .w sen e"- - a; a- . -

9 . ~ c y a1 bloque de 8 Kg, tenemos: (r : I! .Lb . . - . . : , . .

a = g'sen 8. 8 11~:1 '. ! 3

xr TA = - x 0,5. 4 9 8

15-81 I t , / i . ,

r 11 Puesto que el peso no aparece en el resultado gi?:. ..~ ::,. :.F ... final, se deduce que cualquier bloque, independien- .x . ..: A~licando la segunda ley al bloque de 16 Kg, se obtiene: t

,&, y;.,:.. :-><,- temente de su peso, deslizarh sobre un plano inclina- 2 - .-..::. 16 t do liso, de pendiente 8, con una aceleraci6n g sen 6. - : . . . ~. . TB - TA = - x 0,5.

9,s [ 5-9 1

FIG. 5-6.-N y w son las fuerzas ejercidas sobre el bloque. La Los siguientes ejemplos aclaran algunos casos (

fuerza resultante es w sen 8. en 10s cuales interviene &Is de un cuerpo. Un = TA = 0,408 Kg, TB = 1,224 Kg. ejemplo analog0 a1 anterior ha sido estudiado ya ;i;

(.

1; en la seccidn 2-5. Destacaremos una vez. mas que, -'- Obshese atentamente que, aunque la mano ejerce una tracci6n de.1,224 Kg sobre en tales ejemplos, es necesario considerar separadamente cada parte del sistema, y . d sistema a travbs de la cuerda B, esta tracci6n no es transmitida como fuerza de

< representar en diagramas de fuerzas- distintos todas ]as fuei-zas ejercidas sobre la ,. K~ al bloque de 8 ~ g . E~ la cuerda A la que ejerce la tracci6n sobre el bloque ( parte del sistema que se considere. Este procedimiento afsla cada VeZ una parte del & de 8 ~ g , y la tensibn de ]a ,-uerda A es s6l0 0,408 Kg. sistema. El completo de fuenas que actda sobre la parte aislada constituye un g..:.. ,.- .: :..sf des-os finicamente la tensi6n de la cuerda B, puede considerarse el sistema (. sislema de fuenas. Es de la mayor importancia comprender este procedimiento de I:..-.. - -. - .. .~foimado por ambos bloques. La masa del conjunto es 2,448 unidades tkcnicas, y

. .... .. aislar u n a parte del objeto estudiado y reconocer el sistema de fuerzas que actda +... .-: h-fuerm res*nte ejercida sobre el conjunto es simplemente la tensi6n de la cuer- : t

sobre Q. % ' :-da B. Por consiguiente, 'i. - . , .. - . . . 4 . . TB = 2,448 X 0,5 = 1,224 Kg. 15-10]

c ' 3 . EJEMPLO 14.-Un bloque de 16'Kg y otro de 8 Kg (Fig; 5-7) se encuentran sobre 2 .:. 1. = - :..

una superficie horizontal, sin rozamiento, unidos por una cuerda A, y son arrastrados 2 .. . ...,.--.= '- . Snmando las Ecs. 15-81 y 15-91, se obtiene: ' (

sobre la superficie por una segunda cuerda B, adquiriendo una aceleracibn de 0,5 mlseg? Represdntese en un diagrama el sistema de fuerzas que actda 8 16

< < ' - . -. - ,.. . ., . . _ _ _- T B = (= + =) X 0.5 = 1.224 K 8 / bloque, y calcuese la tensi6n en-cada cuerda: r,. . . . -. .

. . C*

- . - N, - ' ---=.

4 - - , _ , .. . . ,i _ . . . . .

i I" : I . !,

16 K g . . I !! FIG. 5-7. . . ' < 1 .. . e.,; ., ;... . . . , ti 8 Kg

Aislemos cada-cuerpo como se indica por las lfneas de puntos, y dibujemos nn ;-:':.~-.- I f

t ; diagrama de fuerzas para cada uno. Representemos por 2'1 y TB las tensiones de las ;7-7ze,-i, .; 16 Kg (c) : :i . ' cuerdas A y B. El sistema de fuerzas que act6a sobre el bloqtxe de 8 Kg esth farma- :,.:& ;:.:::.'.' : 0. 21- . .. . . , j f

c .- , c

$8 do por: a) su peso de 8 Kg, dirigido veeicalmente hacia abajo; b) la reaccibn normal Nl f:=.-y:,?.y, .. , FIG. 5-8. i '., >*: ;. .. . . . < . - .. . . .*.. -- i f

ii ; I .v

-1; i p. .- -- . -- - -- ~ ~. -. - .-

; fa . -

DENSIDAD

1 Y g C~USO cuando el cuerpo esta acelerado. . a = 3,26 mlsegs; T = 5,32.Kg.

I . ." C- Coma mera tCcnica para la resolution de problemas no hay diferencia

I " I esencial entre 10s puntos de vista de Newton y de D'Alembert, pues am- . Obsbese atentamente que aunque la Tierra atrae al bloque suspendido con una . . .

i ' l 1 fuw= de 8 K*, esta tuwm no r trammite .I blowe de 18 Kg. La fuerza sobre ate i _ bm conducen a las mismas ecuaciones; sin embargo, para la clara cam-. " I' 'f' 1 6ltimo es la tensidn de la cuerda que 10s une, y 6 t a tiene que ser menor de 8 K ~ ; en prensi6n de 10s principios de la dinimica es preferible el mCtodo de Newton,

I case contrario, el bloque de 8 Kg no serla acelerado hacia abajo. por lo que en esta obra no utilizaremos las fuerzas ficticias de D'Alembert.

I

1

I 5-6. Principio de D'Membert.-La segunda ley de Newton . Para precisar las ideas es necesario decir que en el principio de D'Alembert hay algo c - ,(! I rn4s que la adici6n de una fuerza ficticia -ma a1 sistema real de fuerzas que actlian F = ma, :' sobm el cuerpo. Si el sistema de referencia del observador se mueve con la misma

puede escribirse: 1,:"i h. eceleraci6n que el cuerpo, Bste no tiene aceleracion respecto a aqudl, y el observador

I ,#? F - m a = O . [511] 2 (conociendo la segunda ley de Newton) razonarh, por tanto, ecomo la aceleraci6n del

, Cnerpo (scan 10s datos que Q tiene) es cero, la fuerza resultante sobre el cuerpo

I , ! ! \ D'Alembert observb que forma de la ecuaci6n podia inbrpre- - . Cnya resultante es F, actda sobre el cuerpo otra fuerza -ma para mantener el equi- - Lers tarnbidn nulav. De acuerdo con ello concluye que, eadem4s de las fuerzas reales

i'il tarse de la manera siguiente: Supongamos que ademas de ]as f u e m s 3 :: hbrio,. Para un estudio mhs profundo de las ecuaciones del movimiento en sistemas

? , - I reales ejemidas sob= Un cuerpo act[la tambi6n sobre B una fuerza fidicio, - - - !&-dos, el lector debe eansvltPr un libro especid de rnee8nica. -$ . ... 1 de igual magnitud pero de signo opuesto a1 producto. ma; en otras pala- : . ,

, I bras, una fuerza ficticia -ma. Esta fuerza se denomina a veaes fuerza de ;: .:' 5-7. ~insidad.-La densidad de una sustancia homogenea se define

1.11 hercia 0 reaccidn de inercia. Dado que F -represents la resultante de ]as - corn0 su mass por unidad de volumen. Por tanto, las densidades se expre- ' ' fuerzas reolcr exteriores, F - ma serA la resultante de todas las fueras , 1 'm en p m o s par centimetro dbico, kilogramor por metro clibico, 0 I

(. 9 . 1 incluida la fuerza ficticia -ma. La Ec. [5-111 expresa entonces que la fuer- - slugs par pie clibico. Representaremos la densidad por la letra griega p: I, I za resultante sobre el cuerpo es nula. Por consiguiente, el problema se :: . ...*

,, .\I reduce a uno de equilibria y puede resolverse por 10s m6todos de la esG- i: rn p =.-; rn = pV. I' tica.. Esto es, todo cuerpo, este o no acelerad& puede- cq.nsidera= .en ;:. . _- . . .. . -v -- -- . - - _ - . - . -

- - .- ' ' I - e q a r i o bajo el~-efeeto combinado de las fuerzai reales ejercidas so- C .. ti

.- ...

\ ( bre Cl y de una fuerza ficticia de magnitid iguil a ma, pero de sentido . - ..c- ~ a ' d e f i i c i 6 n anterior se 'refiere a la densidad media de un-cuerpo. I: I opuest6. Esto constituye el principio de D'Alembert. 2.. -.. Si.la densidad varia de un punto a otro, la densidad en un punto deter-

*- ( 4 I

m m ;.-:;:,muado se define considerando un pequeiio elemento de vdlumen dV, ; i I r, i p e comprenda a1 punto, y hallando el cociente de la masa del elemento.

;- dm, por su volumen dl7: / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ;~ : 4 P - m a

I F - m a - 0 dm

: ! p =-. I (4 dm = pdV.

(b) dV ' I

. ' a 1 FIG. 5-9.-((1) Punto de vista de Newton; ( b ) punto de vista de D'Aledrrt. t -'

.- La masa total del cuerpo estari expresada por . .

. ' Los puotos de vista d e Newton y de DyAlembert d ilustran en la .;;. : - , : . . .

) figura 59 , qUe representa un cuerpo de masa m, arrastrado hacia la de- + .L+---. r n = f d m = J p d v ,

, . . I - - . . - -. . ...

t,; :-, t :"-;., .; - . . I . . - . (

92 SESUNDA LEY -DE NEWTON IcAP. 5

donde 10s lirnitesde integraci6nhande elegirse de forma gue incluyan el volumen entero del cuerpo, siendo p una funci6n de las coordenadas de dV.

. . . . .

TABLA ~-~.-DENsIDADES Sustancia nc~lsidad (glcm')

Acero . . Alurninio Bronce . Cobre . . Hielo . . Hierro. . Oro . . . Plata . . Platino . Plomo . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Agua 1 ,OO . . . . . . . . . . . . . . . . Alcohol etllico :-. 0,81

I! 1 Benceno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giicerina 1,26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mercurio .13,6

En ingenieria y tambikn en el lenguaje ordinario, la palabra densidad

I se utiliza para designar el peso por unidad de volumen, siendo la unidad en el sistema tCcnico el kilogram0 por metro cubico. Esta magnitud puede

I distinguine de la definida anteriormente IhmAndola peso especijico; p. ej., el peso especifico del agua es 9800 newtons por metro cubico; su densidad : I

1 es 1000 Kg por metro cubico. En el sistema tCcnico, el peso especifico del 1000 agua es 1 WO Kg por metro cllbico y la densidad - unidades tCcnicas de di 1 9.8

1 masa por metro cubico. h

..&

La densidad relaliva de una sustancia es la raz6n de l a densidad de I t 1 esta sustancia a la del agua, y es, por tanto, un numero abstracto. La den- 1: - sidad relativa del plomo, p. ej, es 11,3 en cualquier sistema de unidades. 4[ 1 1000

- - 9,8 - 1150 uni- I En el sistema t6cnico;la-densidad del plomo ;s 11,3 x - - ?:

;;. - - 1 - - dades -t6cSs de masalms, y iu peso especffjco ks 11.3 x 1000 = 1 = 11 300 Kglm3. En el sistema cgs la densidad del agua es 1 glcms, y la 1 densidad del plomo es 11,3 glcma. En el sistema mks, la densidad del agua I es 1000 Kg/m3, y la densidad del plomo, 11 300 Kg/mS.

5-8. Balanza de brazos iguales utiiada en ank1isis.-La balanza I de brazos iguales para analisis es un instrumento corriente de laboratorio,

I I destinado a medir masas con p a n precisi6n. Aunque a1 utilizar la balanza

t' I se habla de pesar, y el conjunto de las masas patrones empleadas se deno- 1; 1 mina coleccion de pesas, lo que la balanza mide realmente son masas y I* 1 no pesos. I .

I La parte esencial de la balanza de brazos iguales utilizada en analisis I es una palanca ligera, rigida, sobre la cual e s t h montadas sblidamente I tres cuchillas de agata igualmente espaciadas, paralelas entre si y per-

BALANZA UTILIZADA E N ANALISIS 93

f :. . ;:; p&diculares a1 eje longitudinal- de la. palanca. El borde d e la-cuchilla - -

. E .. . . central descansa spbre un plano de Bgata perfectamente pulido, sostenido

. - % desde el fondo de la caja de la balanza. Los platillos de Csta cuelgan de * dos pequeiias placas identicas que descansan sobre 10s bordes de las cu- t , - -- chillas.situadas en 10s extrernos de la balanza. Una aguja o fie1 vertical,

!$ E fijo a la palanca, oscila frente a una escala.

-& - - -. . Los bordes de las cuchillas actuan practicamente como pivotes sin g- . . "".~zarniento . Puesto que 10s platillos pueden oscilar libremente alrededor

. . . de las cuchillas que 10s sostienen, el centro de gravedad de 10s platillos y i . de 10s pesos colocados sobre ellos se encuentra siempre en la misma ver-

. - tikl que pasa por el borde de las cuchillas. El centro de gravedad -de la . P .> 7

u palan& se encuentra en la misma vertical que pasa por el borde de la cu- ..v

p.. . .

. . . . I.. . . . - . . . . , . , . . %.Z : . . .......

+ . i t w . C ~. . . MV : Mg . . . .- ~ . ,.. . . . . . . . . -. .?; . . .:-. fa) ( b )

.- . . . . . .... *". .< ........... - . . F1~..3-10.-kialanza de brazos iguales usada en andlisis. - >

- . -. . . . . . . .- .<' ' . .

. . . . &Ua central cuando la palanca esta horizontal. La palanca o cruz de la .... I:. balanza es, por consiguiente, un cuerpo en equilibria bajo la acci6n de

'<I- ' - - . u n cierto numero de fuerzas paralelas. Para usar la balanza, se coloca un - cuerpo de masa desconocida, ml, en el platillo de la izquierda, y en el de la 3: . <,. .

-. derezha masas conocidas mz. Supongamos que mz sea ligeramente mayor . . . . . . que ml. Las fuerzas que acttian sobre la cruz de la balanza estPn repre- . . . "- - .._sentadas en la figura 5-10 (a). . Mg es el peso de la cruz7Puests'que-el : ,:momento de esta fuerza respecto a la cuchilla central es nulo, el momento E

: .?. -. resultante que actua sobre la cruz es ,& . , .- . . , .

. I' -. - . . . . . . . . . . . . . -- . . . (m2g) L - (mlg) L = (m2 - mi) gL, L . en el sentido de las agujas del reloj. Este momento no equilibrado obliga k - a la cruz a inclinarse como se indica en la figura 5-10 (b). Cuando esto su-

. .-cede, el momento actuante disminuye y se reduce a

F- -- -:,- - T (mz - ml)gL cos 8, - . . . . . ..

mientras que'al mismo tiempo aparece el momento recuperador hlIy 1 sen 8. . . . . . .

- zi -I.z- Sealcanzarh, finalmente, una posici6n de equilirio, en la cual estos dos i . ..... . . . .

CAPITULO V 1

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

6-1. Proyecti1es.-En este capitulo estudiaremos el nlovii~~iento de un proyectil, tal como una pelota de golf o de base-ball, una bomba abandonada desde un avibn, una bala d e rifle o una granada de caii6n. La curva descrita por el proyectil recibe el nombre de trayectoria. La resistencia del aire tiene una influencia importante sobre la forma de la trayectoria, lo que hace que el estudio completo del movimiento sea extremadamente complicado. En realidad, el objeto de la balistica exterior, que es la denominacion aplicada a1 cidculo de la trayectoria de las balas o granadas, constituye por si misma una ciencia. Sin embargo, en esta exposicibn despreciaremos 10s (importantes) efectos de la resistencia del aire y supondremos que el movimiento tiene lugar en el vacio.

El movimiento de un proyectil se estudia facilmente con ayuda de la segunda ley de Newton, expresada en forma de componentes. Como hemos visto en el capitulo anterior, puede considerarse que cada componente de la fuerza ejercida sobre el cuerpo produce su propia componente de aceleracibn. POI' tanto, si F, y Fy son las componentes, Segun 10s ejes X e Y , de una fuerza F ejercida sobre un cuerpo de masa m, la componente F, de la fuerza es igual a1 producto de la masa por la correspondiente componente de la aceleraciirn,- y,la componente F , sera igual a1 producto de la masa por la componente segiin el eje Y de la aceleracibn:

FZ = ma,; F, = ma,. - 16-1 I La fuena F es a menudo:fa resultante de un ciertopimero de fuerzas

aplicadas. En este caso, Ez' y F, tienen el mismo significado - - - que tenian 3 X yX.Y-eKel-capitulo 11. Por consigufente,-la Ez;-[6-1] se escribk en la forma

.. ~-

, . C X = ma,;. XY' = ma,. I6-21

Si la masa esta eil equilibrio, a, y a, son nulas; por tanto, en el caso de equilibrio,

SEC. 621 CUERPO LANZADO HOHIZONTALMENTE 101

una pista- horizontal 5 finalmente, abandona esta y se mueve como , ,_ m.proyectil. Despues de abandonar la pista horizontal, la unica fuerza -:i -

f - - - sue ac t~ i a sobre la pelota es su peso.

FZ = 0 = ma,; [6-3 I F,=mg=rna,. [6-4 1 I

.$ ...-?...-. , . r : : aceleracion horizontal, y l a corn- k; .-., .... . +.. \r ponente horizontal de la velocidad &:;-.I. ..- permanece constante e igual a la I Y" - --. - -r= .LC.. . velocidad sobre la porcibn horizon- $";:?:.tal de la pista. E&O queda com- FIG. 61.-~celerecibn constante durantc

el descenso por el plan0 inclinado, velocidad 1 .<,:probad0 por el hech9 de que la constante en el recorrido horizontal, y corn- E. .:':z:~ paraci6h horizontal de las ima- binacibn de velocldad constante y aceleracibn f constante despues de abandonar la pista. ; :..-:.;._genes se conserva constante en toda .. y-, ; , ra . trayectoria. Por otra parte, pues- 6 . .. .to que hay una fuerza vertical resultante, habra una aceleracion ver- p tical b -. ..

n la direccion de esta fuerza. La separacion vertical de las im8ge- &:.-..- nes aumentaran, por consiguiente, a lo largo de la trayectoria. g ,.;;',:.2.:,

, ... . . - .; ,,:...,. .: La.aceleracion vertical se deduce de la Ec. [6-41; a saber, a, = g. Esto g:-;:es, la aceleracidn vertical es la misma que la de un cuerpo que cae a lo

. .,,. .:.-,q.-..5.

t;::,,.Iargo de una recta vertical y no es afectada en absoluto por el hecho de .. .. P,- - :,:..;.que . ... :. tenga a1 mismo tiempo una componente horizontal de velocidad. F'~:z$?,L~ velocidad de avance del cuerpo no lo sortiene durante su caida.

, '.'..> . v... .. . -.. . -- .... --- Una demostracion interesante de este hecho nos la proporciona el $ , experiment0 indicado en la figu-

ra 6-2. Mediante una pistola -de resorte colocada en .la parte superior izquierda de la figura, se lanza horizontalmente una pelota. Cuan- do abandona el cafibn de la pistola, actua sobre un pequefio inte- rruptor que abre el circuit0 de un electroiman y deja caer lina segyn- da bola desde la parte superior derecha. Puede verse aue ambas bolas

g : .::;,.r C S = O ; X Y = O . .. - , / descienden exacta Aente. la misma

.z':. fie. 6-2.-La aceleracibn vertical es la mis- altura, que cuando ..la primera z . ma para ambos cuerpos.

t - .. F . " Esto es, la Ec. [6-21 comprende, como caso particular, la primera con-' r ~~

- . alcanza la trayectoria de la segun-

dicion de equilibrio. . . : ; ,t..,..

* . da, tiene lugar el choque en el aire. t

t. .-:.:

6-2. Movirniento de un cuerpo lanzado horizontalmente.-Ta figu- *. -:-' La figura 6-3 es un dibujo correspondiente a una parte de la trayec- t

ra 6-1 represents una fotopafia obtenida con iluminaciones rucesivas bz$:A-..bria de la figura 6-1. Los ejes X e. Y se han dibujado tomando corn0 de una bola que rueda hacia abajo sobre una pista inclinada, despu6s so- kzg$$o%?en el punto en que 1s bola abandona la pista y comienza su recorrido ; t

, ~ \ , . - . . i 5 4

P . . --

i t \ .... , wj- . ,i \ ~,..

'V 'I 'd

102 MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL [CAP. 6 . . SEC. :6-31 CUERPO LANZADO NO HORIZONTALMENTO 103 !r \ . ..

romo proyectil. Sea to = 0 en el origen, y t el tiempo que tarda la bola en alcanzar la posicibn indicada. La velocidad de la bola puede encon-

trarse calculando separadamente sus com-

0 S ponentes vertical y ho- -.... rizontal, y componiCn- - . . dolas poi el mCtodo

corriente de adicion de vectores. La compo-

. . .. . . . . . I nente horizontal de la,

velocidad se ha desig- , .... - . .. nado por v, en la figu-

. . , = ra' 6-3. Hemos vist.0 que la aceleraci6n ho-

.Y rizontal es nula, y que I:IG. 6-3.-Trayectoria de un cucrpo lanzado horizontalmente. .

la componente horizontal, v,, de la velocidad permanece cons-

tante durante el movimiento. Puesto que la iiceleraci6n vertical es y (tomando como positiva la direccion hacia abajo), la componente vertical de la velocidad, a1 cabo del tiempo I, sera:

(la velocidad vertical inicial es cero). ' .

La magnitud de la velocidad es, por tanto,

- . -. .- . Puesto que g y u,son constantes,Aa expresien encerrada dentro del - part5ntesis es tarnbi6n.constante, y la representarernos por k. Por consi-

- guiente, la ecuaci6n de la trayectoria adopta la forma

y = kx2, L . - r q& corresponde a una parabola. ' k. . . ~-

-... - ' E i m P L o - ~ a pelota de ~a.figura 6-3 abandona la pista con una velocidad D.

1 & 1-40 cmlseg. Calcblense su posicidn y su velocidad despu6s de lh seg. El desplazamiento horizontal es: .- . 0. :

- 1 z = v,l = 140 x - = 20 cm,

7

f - yd desplazamiento vertical, ?=

pelota estA, por consiguiente. 20 cm a la derecha del punto de partida y 10 crn &r debajo del misrno. 6

t~ La componente horizontal de la velocidad es: F &.

k u, = const. = 140 cmlseg.

?.

-. .....,.. . -. . ..- F ' . ' , $ ' ~ ~ c o m ~ o n e n t e vcrtical en dicho instante, .- ... .; _ - - A - -.

" - 1 , - gt = 980 x - = 140 cmlseg. 7

V = 2/- - La veloddad resultante es, par conriguiente, I y su direccion queda determinada por . -

*,.-

El vector velocidad, u, es tangentea la trayectoria;.<su direcci6n en cualquier instante es la direccibn en que semueve elproyectil en dicho-in?

.h*e... - - -- . .~ - - . .-

: .. El desplazamiento horizontal a1 cab0 del tiempo es: . . . . ' . ~. . . --: . . -

x = vzt, y el desplazamiento vertical,

y = l / 2 gp.

Puede hallarse la ecuaci6n de la trayectoria eliminando 1 entre las dos ecuaciones precedeates. De la primera se obtiene F = x2/uz2, e intro- tluciendo este valor en la segunda, resulta:

F :- . - .. . Y, P?Fto,qur

8.. ... .. .

Fi .. . ., . u, 140 i. . ~ .- , ..:. t g f j = - = - = I ,

. . . >,=. -. . . .+--.- . . -.-% 1 4 0 - - -_ _ _ - - - - . . _ _ - -

, -:-'':.. ladirecci6n de la velocidad forma un Bngulo de 450 por debajo de la horizontal. . . -

.. .,&s,*L..-;6-3. Cuerpo lanzado formando un ingulo con la horizontal.-En el general de movimiento de un proyectil, se comunica a1 cuerpo una

;- -. - velocidad inicial .que forma un cierto angulo 0 por encima (o por debajo)

1. - de la horizontal. La trayectoria representada en la figura 6-4 se ha to- .. . mado de una fotografia de iluminaciones sucesivas, a la cual se han aAa- f- .:L. dido 10s ejes X, Y, 10s vectores velocidad. Sea vo la velocidad inicial.

Sus componentes hGizonta1 y vertical son: t '* - . - -- . VO, = vo cos 0; 00, = vo sen 0.

r -.- (La &recci6n vertical se considera positiva hacia arriba.1 L- -" - 5 ,- X L Z L7

104 MOVIMIENTO DE UN PHOYECTIL [CAP. 6 f SEC. 6-31 CUERPO LANZADO NO HOHIZONTALMENTE 105

Como en el caso de la figura 62, la componente horizontal. de la-ve- - loddad permanede constante durant5 el movimiento. El movimiento en

sentido vertical tiene aceleraci6n

I . . Puesto que 2 sen 0 cos 0 = sen 2 8, la Ec. [6-111 pwede escribirse: z g - - - uo2 sen 2 0 R =

9 constante dirigida hatia abaki y equivale a1 de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial uo sen 0. A1 cab0 de un tiempo t despub de partir, la velocidad horizontal es:

-Par tanto, para un Angulo de elevacibn dado, el alcance horizontal a - proportional al cuadrado de la velocidad inicial. Puesto que el valor k maxim0 de sen 2 8 es la unidad, el alcance miximo horizontal, Rmrizr es u$/g. Per0 para sen 2 0 = 1, 2 8 = 900, y 8 = 450. Por consiguiente, el maxim0 alcance horizontal, no teniendo en cuenta la resistencia del aire, 1 -se obtiene cuando el Angulo de elevacibn es de 450.

h Desde el punto de vista artillero, lo que ordinariamente se desea conocer a el hgulo de elevacibn que ha de utilizarse para una velocidad inigal DO dada, con objeto de batir un objetivo cuya posici6n es conocida. 6 -- S el blanco y el calbn e s t b a la misma dtura, y el primero se encuentra a una distancia R, basta despejar 0 en la Ec. [6-121:

y la velocidad vertical, . -.

v,=voy-@=DO sen 0-gi. [MI

0 = arc sen - = 112 arc sen - (2 ) (R:= 1. El desplazamiento horizontal FIG. 6-4.-~ra~&toria de un cuerpo lanzado a: formando Itn Rngulo 8 con la horizontal.

' x=Dozi=(uo cos 0) f. [6-71 y el ve.rtica1,

y = D& - 1k.gF = (VO sen 8) i - 112 giz. 16-8 1

h .i,

[ Siempre que R sea inferior a1 alcance maxim~, esta ecuacibn tiene dos soluciones para valores de 8 comprendidos entre 0 0 y 900. Asi, si

- R = 240 m; g = 9,8 mlseg2, y g = 60 mlseg; " . La altura m h i m a , h, se alcanza en el instante en que se anula la

componente vertical de la velocidad. Haciendo n, = 0 en la Ec. [6-61. encontramos para dicho instante el valor

L P = arc sen 240 9'8

= arc sen 0,653 602 - -

= 400 46', o bien, 1800 - 400 46' = 1390 14': g sen 0 !=.-

9

Por consiguiente, de la Ec. [6-81 se deduce que la maxima altura es

L- . - . ~ u a l ~ u i e r a de estos Angulos da el mismo alcance. Naturalmente, el -tiempo de permanencia del proyectil en el aire y la altura m k i m a ' alcanzada son mavores para la

[ .<" .. . trayectaria que cbresponde a1 ::. . ': hgulo mayor. g- ..-; r? . : . ' . . La: figura 6-5 representa una

.-- . : fdtografia de Ires trayectorias;tb -

. F :,,::; ' madas sobre la misma placa, que ,: - - ..: ixrresponden a una pbota lanza- F '-:!.;::da por una pistola de resorte, oon &-.--: ,.. ,.--8ngulos de elevaci6n de 300, 4 5 0 -1;- g 600. Se veri que 10s alcances

-- .-A:: horizontales son (aproximadamen- fj : - . :r --,=zte) 10s mismos para 10s angulos Fi--_':-de 3 0 0 y 600, y que ambos son me-

El tiempo que tarda el cuerpo en yolver a sualtura inicial se deduce - d e la Ec. [6-81. haci&do y'='O. Esto da .

2 DO sen 8 ! =

9

Observese que eSte tiempo es justamente el doble del empleado por el cuerpo en alcanzar el punto mas alto.

El desplazamiento horizontal, cuando la bola vuelve a su altura inicial, se llama alcance horizonial. Sustituyendo en la Ec. [6-71 el valor del tiempo que tarda en alcanzar este punto, se encuentra: ' que cORespon- Flc. 6->.-El dngulo de ele\.aci6n de 45- da :-diente a 4 5 0 (la pistola de resorte - . el alcance horizontal m8ximo.

2 vo2 sen 8 cos 0 R =

9 [6-11 I

f: . .; -': -. _ . _r__.L . no comunica e x h m e n t e la mis- & . a ..... . -.. K.If<Fma * .d..- velocidad inicial a la bola cuando se modifica el angulo de elevaci6n). r'::?:?:. '

~ ...... ~.

i, i i

I i 1;. . .

: fi! ;!! 6" li.

-. . - 112 CENTHO DE MASA [CAP. 7 1 sx. 7-21 COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA 113

C - D e becho -ya hemos utilizado este co~cep to en el capitdo V, puesb-r--- Por ia s q ~ n d a ley de Newton se tiene: que en todos 10s ejemplos de aceleraci6n de un cuerpo por la acci6n de - - cualquier numero de fuerzas exteriores se ha supuesto im~licitamente t F - yl -.f'2 = 0. que las fuerzas pasaban todas por un mismo punto. em& ahora que este punto debe coincidir con el centro de masa del cuerpo. 1 El segundo miembm de esta ecuacion es cero a causa de habex su-

7-2. Coordenadas del c~ntro-de mass.-Resulta facil ver por que la i puesto nula h masa de la variHa.

varilla gira, a menos que reciba el golpe en el punto apropiado. Cada una C- - Si se las tres ecuaciones precedentes' obtiene: de las masas situadas en 10s extremos de la varilla se acelera por la accion de la fuerza ejercida por *ta sobre aqudllas. Por la tercera ley de Newton, I-- F + (I1 - f ' l ) + u 2 - 112) = (m1 + m2) a.

cada masa ejerce sobre la varina una fuerza igual y opupta a la que la varilla ejerce sobre ella. Si consideramos el punto de aplicaci6n de la fuerza exterior como un pivote, una de estas reacciones produce un momento de un cierto sentido sobre la varilla; la otra, un momento de sentido contrario. El centro de masa es aquel punto p'articular de aplicaci6n de la fuerza exterior para el cual dichos momentos son iguales y opuestos.

En primer lugar vamos a deducir una expresion de la abscisa del centro de masa de un sistema constituido por dos masas puntuales ml y rnz fijadas en 10s extremos de-na v e a - r i g i d a cuya masa es ,despreciabIe. - El sistema esth reprisentadv en la figura 7-2 (a). Se; desprecian las fuerzas de rozarniento y gravitatorias. La fuena exterior F esta aplicada en el centro de masa, cuya abscisa x nos proponemos calcular. Sean X I y x2 las abscisas de ml y m2, respectivamente. Zos diagramas de fuerzas de las masas ml y m2 e s a n indicados en la figura 7-2 (b), en la que 11 y f2 representan las fuerzas ejercidas sobre ml y m2 por la varilla. Por hipbtesis, la fuerza F actua en el centro de masa, de forma qde el sistema esti animado de un movimiento de traslacibn pura, y ambas masas tienen la misma aceleracion a. De la segunda ley de Newton resulta:

11 = mla; f2 = mea. -

El diagrama de fuerzas de la varilla estA representado en la figura 7-2(c), donde las fuerzas f'l y f'z son las reacciones a las f l y f2 de la figura 7-2 (b).

Ahora bien: por ser y las reacciones a las fuerzas fl y f2, resulta q e fl - rl = 0 y f 2 - y2 = 0; por consiguiente: . I F-- - --c .

F = (rnl + rnz) a, f -0 bien: F F

1.. : asi que la aceleracion del sistema es la misma que la de una masa puntud igual a la suma de las masas ml y me. El hecho de que las masas se en-

. cuentren separadas no influye en la aceleraci6n que les cornunica la 1; . - -hens exterior F. -. ~. .. t.: r- : - . -.-: -- :- - Consideremos ahora las consecuencias de haber exigido que la varilia -:-: no,. gire: el momento resultante sobre la varilla tiene que ser nulo, de

.donde si tomamos momentos respecto a un eje que pase por 0, se obtiene: t - - f. . y . : . . - !: . ;-. FX = ~ ' I X I + 1'2x2;

1:- o,'teniendo en cuenta que P i " .,

%.,

1 : . *: '.-- ..- i .; ' L i

. . . .,. f'l = fl = mla , y / I z = 12 =ma; - . . .. - _ ._ ,. . . . . .,,:

. -

i - . . . .- -_ I - . - . _ -

w , . ,.-. Fx = . . mlma + m2%a-= (mlxr.+.m2~j a. _ . -

Jhalmente, ya que, segun hemos visto, a = F/(rnl + m2), . . . . , . . _ . . . .

. .

7 L:.. . : i .'?'Esta :, r- es la expresi6n buscada para la coordenada X del centro de

i . masa del sistema. i . . . ,..~ :: . . .. - '- . . . . . Un mCtodo equivalente consiste en determinar la linea de acci6n de ~ ~ ~ ~ , , & .. - ~ . . .. .. fuerzas paralelas f'l y Y2 . La linea de acci6n de F debe coincidir con

. I .- *;y

, !P . . . . . '% .:

? ' I lllr I 1 . f l

114 CENTHO DE MASA 115 $1 , r , , l 1 COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

esta, incluso si la varilla se halla en equilibria derotacion; por consiguiente, el centro de masa se encuentra sobre la linea de acci6n de la resultante de las fuerzas de reaccion y 1'2.

Por razones de sencillez hemos aplicado la deduccion precedente a1 caso especial de dos masas puntuales situadas sobre el eje X. No es dificil probar que para cualquier numero.de masas puntuales ml, mz, etc., y coordenadas XI e yl, xp e y ~ . etc., las coordenadas Z e ij del centro de masa son:

- Cmx. - Xmy X = - y e -

zm ' Cm

Es inrnediata una nueva generalizaci6n de la Ec. 17-21 para inclujr cuerpos de tamaiio finito. Podemos imaginar dividido el cuerpo en elementos infinitesimales de masa dm, con lo que, si son x e y las coordenadas del elemento dm, resulta:

- j d m - Jydm .x =-- Y = - 17-3 I I& 1 dm

1 Los limites de integration han de ser tales que incluyan todo el cuerpo. Debe observarse que la Ec. [7-31 es de la misma forma que la Ec. 13-81

1 que da las coordenadas del centm de gravedad. E n efecto, si escribimos d m = dwlg, ambas ecuaciones son identicas y, por tanto, el centro de masa coincide con el centro de gravedadl. Sin embargo, es necesario subrayar que en las definiciones de ambos centros se utilizan conceptos esencialmente distintos. El centro de gravedad de un cuerpo es aquel punto por el que pasa la linea de accion de la fuerza gravitatoria resultante, al variar la orientation del cuerpo. El centro de masa es el punto por donde pasa la resultante de las fuerzas de reaceion (tales como f'l y ftz /en la Fig. 7-2) cuando se acelera un cuerpo. Si la aceleracion de la gravedad no fuera la misma (en magnitud y direction) en todos 10s puntos de un

.. -. cuerpo, o -si- la atraccion gravitatoria--desapareciera de nuestro -mundo, e l centro de gravedad perderia todo su significado:si bien subsistiria el concept0 de centro de masa (es decir, si conservaramos la inercia y elirni- naramos la gravitacibn). . . .

1 Se demuestra facilmente que la posicion del centro.de masa de un fuerpo o sistema de cuerpos es independiente del origen a1 que esten re- feridos Z e ij, asi como de la orientacion de 10s ejes X e Y. Daremos des- p u b un ejemplo de esto.

Si un cuerpo es simktrico, se ve sin dificultad que su centro de masa koincide con el de simetria. Esto es consecuencia del hecho de que al fomar como origen el centro de simetria, para cada dm correspondiente

1 Siempre que la nlaanitud y d i i i 6 n de la aceleracl6n de la gravedad sean las misrnas para todos 10s puntos del cuerpo, lo qlle se veriflca en todos 10s casos de inter& prhctico. I I

- valor posi6vo-de x, -exiite un am-igu5l que corresponde a un vaior - -quest0 de z; por tant?,

- lxdm = 0 y 2 = 0.

Por un razonamiento analogo, y = 0, lo que prueba que el centro de k mas. coincide con el centro de sirnetria. E - -

i- ----- EJEMPLO 2.-DemuBstrese que el centro de masa de una varilla homogknea de f.. . seoci6n constante coincide con el centro de la varilla.

-. - . ~ - . Puesto qus la varilla es simetrica respecto a su centro, el centro.de:masa est4 cn -. . ~- c z

.I-:.: - g t e punto. No obstante, vamos a demostrarlo como aplicacidn de la Ec. [7-31. Tome- k .,,:;T,mos como origen uno de 10s extremos de la varilla, y el eje X coincidiendo con Bsta

: .~:r..Wg. 7-4). Sean L la longitud de la varilla, A su secci6n y p su densidad, y conside- . . - remos un elemento de varilla de longitud dz, a una distancia z del origen. La masa dm

elemento serk ..... dm - PA&.

. . F...7:. . ,:.-..:. ... -=<::, . .; , -

2>2,::----. -

EJEMPU) 1.-Calcblense las coordenadas del centro de masa del sistema formatlo par las cuatro masas puntuales indicadas en la figura 7-3. El lado de cada cuadricula

.. epresenta 1 .cm. f ~ ' , . ~ ' ~ ,. Ernz mlz1+ m ~ z z + m s s +

I = -= Crn ml + me + m + m4

.. ... .. I.-::.' .. .. . ~

- - 10 + 10 + 20 + 30

10 (- 1) + 10 (1) + 20 (3) + 30 (2)

i. +:- F : .

= + 1,7 cm.

F - Cmy 10 (1) + 10 (3) + 20 (2) -+ 30 (0) fr y = -= Cm 10 + 10 + 2 0 + 30 E; = + 1,15 cm.

El centro de masa est4, pues, a 1,7 cm a la derecha del eje Y, y 1,15 cm por encima f;: -, del eje X. 6 :: :, - . %' .. --: Y

EF', . . * ... ..

*, , .",& -: . . =-;~ *. :-c. :-... :. .

-. , . .. - - . .. ,. . - - : "l-:,. . '

y . ' ... j . .~ .. .-. . . !:. y. , ~ . :...:.. . . . -, . *: . . s~ ~, . C . . : A-.-.. . k .: % . -..-

: ' . - : . . . . g. . :: 1,. :.,:.:.:::.' . - - ;

?-: -. ,yL- - -- .

.

.

10_g

. -

7

* P_.iii_T- * ----;- . - . FIG. 5-3 FIG. 7-4 i. . . . . -

I

10 g

-

-

1

c.m +

. . - -

20 Y A

Y

- 0 ,

- ,

dttt . " 1 n" I X

- - .

7

30 Q

X I--

, - + .d- - . - . -

. . - . - -

116 CENTRO DE MASA [CAP. 7

. : .Par- wnsigulente, . - . . .~ .- .. .. .. - ~ -

EJEMPLO 3.-40m0 ilustraci6n (no como demostracidn general) del hecho .de +e el centro de masa es independiente de l a 'elecci6n del sistema de coordenadas, volvamos a resolver el problema anterior tomando como origen un punto a u n a distancia b a- la izquierda de la varilla. El lector debe construirse su propio diagrams. Se tiene ahora:

2 2 b + L Y - PA&. ..

2 = =--

I I:'" p d d r z]:+L

(b + ,L)S - be L

I 1 8dm EJEMPLO 4.-Determinese el centro de masa del perfil en forma de L, representado en la figura 7-5.

1 c.v- Hemos considerado problemas &&logos - 1 I $ Iodm.-m

C a bste en relaci6n con 10s centros de gra- 1 7 . vedad (vbase phg. 51.). El perfii puede 0 7.1 @ 1 2d. dividirse en dos r&&ngulos, se@n se

X indica. El centro de masa de cada uno i I - I coincide con su propio centro; por ello, el

1 recthgulo (1) puede sustitukse por una j I FIG. 7-5. masa puntual de coordenadas 21 = 1,

1 y1=5- De forrna anAloga, el rectbgulo (2)' I se sustituye por otra masa puntual de coordenadas 22 = 7, y2 = 1. Las masas de 10s

dos trozos son proporcionales a sus Areas, suponiendo que el petill tenga seccibn y I densidad unifoimes. Si se suponen &as !.&ales a la unidad, ml = m2 = 20. Las coor-

- . 1 tlenadas del centro de masa del petid s e rh , por tanto, . . I ". . ,

_. _ . - - - - -- - . - -. . . - . - - . - - -. - - - mlzl+mscz 20 ( i j+20 (7 ) . ' . . z = - -

I 20 + 20 "71 dm;

ma+ m2 - rnlvl+ mu2 20 (5 ) + 20 (1 ) -

8 - - m l + mt-

- 20 + 20

= 3 dm.

1 E l centro de rnasa est4 rnarcado con el shbolo c. m., y se@n se ve es exterior I a1 perfil.

I 7-3. Aceleracidn del centro de masa.-Cuando la fuerza resultante aplicada a un cuerpo no pasa por su centro de masa, el movimiento es u n a combinacibn de rotaci6n y traslaci6n. No hemos establecido aun 10s fundamentos que nos permitan hacer un anidisis cornpleto de este tip0 de movimiento, pero hay un aspect0 del mismo que puede deducirse I

casos, la acelemibn del centro de masa es la -si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada linea de acci6n de la fuerza resultante pasase por

palabras, en cuanto se refiere a1 movimiento de cuerpo de forrna cualquiera, accionado por cual- "

--puier nlimero de fuerzar, puede sustituirse por una masa puntual iocali-

% a d s en dicho centro, y puede suponerse ademi. quc todas las fucrias en cuestion actuan en el mismo. Consideremos un ejemplo sencillo.

L . --.--La figura. 7-6 (a) muestra el mismo cuerpo de la figura 7-2, sobre el -gue ahora actua una fuerza que no pasa por el centro de masa. En la : figura 7-6 (b) estA representada una masa unica m = rn l + m z sobre la

'gue acttia la fuerza resultante exterior F. Su aceleraci6n a es: I t I I - -

F F F C I- - a = = -* P - -' - rnl 4- mt rn ' i .-- . E' o expresada mediante 'sus _c_omponen?s: - F-z--L-- - -

.,,, -: .,.,:,; .-.;.- ... - ,

. . . . -

~.~:--:Vamos F. ... . . - ~. a dembstiif ahora-que. &stas aceleraciones coinciden con las

componentes X e Y de la aceleracibn del centro de masa. Sean flz y flv I-- - - E.:EZen-.la figura 7-6 (c) las componentes de la fuerza ejercida sobre rnl por la -;: : :?arilla, y sean, aixilogamente, f i : y fzu las componentes de la f uerza ejer-

* .- .--. .- iZ., - . , - . u d a sobre rnz. La3 aceleraciones de ml y rnz no son ahora iguales, S F ~ ' + . __... ? .que .estAn dadas' par las ecuaciones ?,, ,.,2., , - .- ..>.. .

-CX = mag .CY =ma, 171

1 , ?. --.g, - - . ,

I '. 118 CENTRO DE MASA ACELERACION DEL CENTHO DE MASA 119

;'I

Las fuerzas Sobre la varilla esthn indicadas en la figura: son%enerdlizaciones- evidentes de la Ec. [6-2j, y su- significada- - - - - como hemos supuesto nula la masaae la varilla, ientemente aclarado por las fotografias .reproducidas en la

I a trayectoria del centro de masa del cuerpo (indicada por 10s FZ - fiz' - f2z8 = 0; Fy - fly' - 12,' = 0. s de la varilla) es, en todos 10s casos, una parabola; es decir,

del centro de masa coincide con el que seguirfa un cuerpo .1\1 sumar ordenadamente ambos sistemas de ecuaciones se dbtiene: h . . de pequefias dimensiones lanzado desde el origen con velocidad inicial

ho*ontal. . . .. ~~. FZ = mlalz, + mzazz; Fg.= ,rnl?lV i m2azv. ObsCrvese que las fuerzas infernas f l y f 2 de la figura 7-6 no aparecen

I Seglin hemos vista, las coordenadas F e ij del centro de masa son: en la Ec. [7-71. El movimiento del centro de masa .no es afectado por estas fuerzas interiores, aunque si lo es el movimiento de las distintas

i I - m l x ~ + ms2 - - mlyl -I- m2y2 Z = masas de un sistema. Una consecuencia de este hecho es que si. la fuer-

m1 + m2; Y - m~ + me ~a exterior que actda sobre un sistema de cuerpos es nula, tambien I

Si derivamos dos veces estas ecuaciones respecto al tiemPo aceleraci6n del centre de mass del sistema, YY PO^ tanto (genera- l como componentes de la aceleracibn del centro de masa: primera ley de Newton), el centro de masa permanece en

e mueve con movimiento rectilineo de velocidad constante. @: - mlalz + mza2,. @F - mlaly + m 2 ~ 2 ~ ' istema solar, aunque el Sol y 10s planetas ejercen fuerzas entre -- - az = -= j

se mueve siguiendo una trayectoria complicada, el centro i dF ml + mz ' dfz =

mi -I- me . . de masa del sistema en conjunto se mueve a t r avb del espacio con velo-

I : ,, Los numeradores de 10s seWndos miembros de ambas ecuaciones, en ,=idad constante y en linea recta (si se hace caso omiso de las pequefias

virtud de la Ec. [i-51, son, sencillamente, F, y F,; poi consiguiente: "

fuenas ejercidas sobre el sistema por las estrellas, la mhs pr6xima de las 1 - - F, cuales dista 4,3 afios luz del Sol).

I, a, = ; a,= ' Fv . EZ~EMPLO 1.-Sup6ngase que el perfil a que se hacia referencia en el ejemplo 4 ml+ me m l + mz'

o bien: st& apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y que sobre enas de 3 Kg y 4 Kg, constantes en magnitud y direcci6n, tal como se - F - F, t

( I ' I ,174 I a, = - a, =- figura 7-8. Supongarnos que el perfil tiene un espesor de 5 cm y que pesa m ' m Halese la posici6n de su centro de masa cuando han transcurrido 4 seg.

. .*

Cornparando con la Ec. [7-41 resulta que la aceleracion del centro de 98 El volumen del perfil es 2@ dm8; su pesq 98 Kg, y su masa, - = 1.0 a.t.m. Por

masa es la misma que resultaria para un punto de masa,m = ml + m2, - - [ 9.8 . L' ". tanto, ya que EX = 3 Kg y CY = 4 Kg:

. . sometido a la fuerza F. PueSto que F puede representar la resultante .. .. - CX 3 de cualquier nhmero de fuerzas exteriores, las Ecs. 17-61 equivalen a las a, -- = - = 0,3 m/segz; , ' siguientes: m 10

,. ..___ _ . .I r - . .- .. -- . -

- [7-71 a - - = - = 0,4 mlsegt; ---# ' - r n 10 -

4 3 K g . - ---

a = 2/ Z,2 + Si,2 = 0,5 mlsegt, t.. - . .

f - - formando un hngulo de 530 por encirna 1 d e l e j e X . k Otro procedimiento consiste t n corn- i poner primer0 las fuerzas de 3 Kg g 4 Kg r .-. en una sola fuerza de 5 Kg, que forrna

1

- - - . - . .

- - - - - - - - - ,' I

a ' I

I I I

.- un hgulo de 530 por encima del eje X. - : -, - Podemos escribir entoncec

/

- F 5 a = - = - = 0,5 mlsego. 4 Kg

4' Fw. 5-7.-La trayectoria del centro de masa es una panibole en coda uno de 10s casos.

F' -;! -.? ; -. I . . -. m 10

-.- . . . .-

-

;; - 120 CENTRO DE MASA - SEC. 7-41 ACELERACI~N EN UNA TRASLACION PURA !

121 i

. . . . . Par consiguiente, despues - de transcurridor 4 seg, e l centro de masa se. ha-desplp :: . pm que exista una tensi6n de esta-magnitudi debe tirarse hacia arriba de-10s zaao una distancia. - .-

- - - mos de 10s hilos con movjmiento acelerado. La aceleracidn depende de la componente s = 11, at2 = 112 x 0,5 x (4)s = 4 m, ; d e rotacidn del -movimiento, lo cual sera con~iderado m& adelante.

-. . a lo largo de una recta que forma un @ p l o de 530 con el eje X.

Dado que la linea de accidn de la fuerza resultante no pasa por el centro de masa el perfil ao se mueve con ifaslacidn pura; sin embargo, el centro de masa se desplaza sobre una recta con aceleraci6n constante, debido a que las fuerzas-son constantes en magnitud y diuecci6n.

E ~ ~ P L O 2.-Un m e t e (Fig. 7-9) Lleva enrollados dos hilos alrededor de su eje, y e e s t h atados a una barra horizontal fija. Al soltarlo, el carrete desciende y gira a1 mismo tiempo. Si la aceleracidn hacla abajo del carrete es de 16 pieslsegz, calcdlese la tensi6n en ambos hilos.

E l centro dr a 4 carrete se encuenpa en el punto medio de su eje, y las fuer- zes que ectdan sobre 61 son su peso mg y la tensidn T. Puesto que no hay componentes X, iiz = 0, y el carrete descendera verticalmente cuando se suelta. La fuerza

-- - resultante Y es:--

- mg - T = ma, = m x I€;

i 1 7-4. Aceleracien en una traslaci6n pura.-Vamos ahora a deducir 9 r las ecuaciones generales que se aplican a un cuerpo que se mueve con ace-

leraci6n de traslacion pura. Hemos visto que en estas circunstancias la - linea de acci6n de la fuerza resultante exterior pasa por el centro de

masa, por lo que resulta nulo el momento de la fuerza resultante respecto de cualquier eje que pase por aquel. Con mayor generalidad: si se traza por el centro de masa una recta paralela a la aceleracibn, el momen- to de la fuerza resultante respecto de cualquier eje que cork a dicha recta es nulo.

- ' Li figura 7-10 muestra, p. ej., un cuerpo que se mueve con aceleracion 3 -de traslaci6n pura. La fuerza resultante e s t i representada por F, y A-A es la recta trazada por el centro de masa paralelamente a la ace- leraci6n. Es evidente que el momento de la fuerza resultante respecto 1 pe cualguirr eje que corte a la recta *-A es nulo.

El sistema completo de ecuaciones que determina el movimiento del

/ cuerpo sers, por tanto, . . -

CX = ma,; C Y =ma,; XT =O. 17-81

que no puede igualarse a cero el momenta de cualquier eje arbitrario, s e n se hace en estatica, sino s610 eje corta a la recta trazada por el centro de masa paralelamente

. . A

. . T = l ~ s mg, 1 A

. :. --::, ..b. 7-10.-Si un cueipo se mueve con aceleraci6n de traslaci6n pura, la lhea de acci6n de la y la tensi6n resulta igud a la mitad del peso del carrete. (Estaes la tensidn combi- :;i.;~.-~.:-- ... resultante pasa por el centro de rnasa.

. .... nada en 10s dos hilos). r - . - 1 . . .

EJEMPLO 3.--~CuAl debe ser la tensidn en 10s hilos.del ejemplo precedente par:, &:..: ~: .::- ;:,.EJEMPLO 1.--Con ayuda de las ecuaciones precedentes se puede estudiar con que el centro de mesa del m e t e pemanezca en reposo? - - ..mayor detalle el sistema de fuerzas que actda sobre un cuerpo que se mueve con ace-

Ya qoe a, = 0, k.?i?:;leracldn . -.-. de traslacidn pura. En, el ejemplo 9 (pAg. 86), se supuso por razones dr Z Y - mg - T = 0; . .T -- mg. . - &~;- S3cUlez que las h e a s de acci6n de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo pasa- .*. : _._-..L .

. . . . . .

I 122 CENTRO DE MASA ACELEI~ACION EN UNA TRASLACION PUHA 1 23 I ' 11 +'I I

ban por su centro de masa. En realidad, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal, . _ como en el -so representado en la figura 5-2, e s t h distribuidas sobre l a superficie inferior del bloque. Vamos a simplificar a6n mas el problems, suponiendo que el bloque estA apoyado sobre dos aristas como muestra la figura 7-11, de forma que las fuerzas normal y de rozamiento actdan dnicamente sobre estas aristas.

El bloque de la figura 7-11 tiene 1,20 m de longitud y 0,6 m de altura, con su centro de masa coincidiendo con el centro geomBtrico. Su peso es de 200 Kg, y el coeficiente dinhmico de rozamiento entre el bloque y la superficie vale 0,20. ~ Q u t fuena P es necesaria para acelerar el bloque a raz6n de 1,20 mlsegl, y cuhles son las fuenas normales Nl y Nz? -

Z X = P - p N 1 - pNs = ma;; - Z Y = N 1 + N2 - m g = ma,.

La aceleraci6n es paralela al eje X; por tanto, es nulo el momento resultante respecto de todo eje perpendicular a1 plano de la figura y que pase por cualquier punto de nna recta horizontal trazada por el centro de masa. E n consecuencia:

Cr = 0,6 x N2 + 0.3 x P + 0,3 x pNi + 0,3 x &V2 - 0,6N1 = 0 - - . a , = 1.2 mlsegy-'a, = 0; p = 0,2; m = 20,4 u.t.m.

Resolviendo el sistema, resulta:

P = W 4 8 Kg; Nl = 110 Kg; = 90 K ~ . - .EJ-LO 2 . U n .autombvil pesa 2 4 0 0 I b i B d i S t a i c i i entre sui ej& es 10- pi&; y su centro de masa equidista de ambos ejes y se encuenfi-a 3 pies por endma del velo. Marcha a una veiocidad .de 60 millas por hora, detenidndose en 6 seg a1 actuar Ips frenos. Calcdense las fuerzas momales sobre l as ruedas delanteras y traseras durante el frenado.

Las fuerzas sobre el autom6vil e s t h representadas en la figura 7-12. Si el coche tiene frenos a las cuatro ruedas, las fuerzas de rozamiento actdan se@n se indica sobre las llantas de las cuatro ruedas. Obsdrvese, sin embargo, que salvo que el coche patine hasta detenerse cuando se aplican 10s frenos, estas fuerzas no son iguales a1 product0 del coeficiente dinhmico de rozamiento por la fuerza normal:

- C X = - frl - fre = ma,; - - .

C Y = N i + N z - r n g = r n a , = O ; ZT = 3 (frl + h) + 5N2 - 5h71 = .0.

. -i . (Se toman 10s momentos respecto de-un

, &*-. - eje que pasa por el centro de masa). - ast i tnyendo valores, resulta que 2 la acele-

rad6n del coche, a,, vale- 14 7 pieslseg2. Por tanto, 3 pies

b'l = 1530 Ib; N2 = 870 Ib.

5 decir, la fuerza normal en las rue- - delanteras es, en este ejemplo, casi . dos veces mayor que la correspondiente - p liii ruedas traseras, aunque por razo- ,'+- mes de simetria dichas fuerzas serhn

g g d e s si el coche estuviera en reposo o '- mod6ndose con velocidad constante. Este - ."

--decto es una de L a razones de utilizar _",,? a las cuatro ruedas. Puesto que

- - el rozamiento m W m o o fuena de fre- -do disponible en una meda es propor-

- cjonal a la fuerza normal, lap ruedas tra- sa-as son menos adecuadas para aplicar ?a fuena de frenado que lo son las delan-

- --. tuas, ya que la fuerza normal sobre las rnedas traseras disminuye tan pronto

-- -mmo se aplican 10s frenos. Utiliiando fre- . - niw a las cuatro ruedas, se consigue inde- - - ,. k - pendizar la maxima fuena de frenado ,,.,. dEFponible de la distribuclon de la carga, -- dado que Nl + Nz = w, cualquiera que -, sea la distribuci6n de aqudlla. ' - - El efecto de una fuerza normal incre-

t - -, mentada en las ruedas delanteras, y dis- c-"' +nida sobre las traseras se tradnce en --. , . m a compresi6n de las ballestas delanteras ,-,- y a1 mismo tiempo se produce una traccibn 1 de las traseras, todo lo c u d oblga al co-

g chcbc_ a hint-ar p l _ m ~ r m . Prpbabk-mente, el --.k <-.--.- - - k Zedor habrh observado este fen6meno. El iliagrama de fuerqs correspondiente i tu~ coche que esth acelerando se halla

en la figura 7-13 (a). Las --- - F e d a s traseras (si la tracci6n del motor

actaa sobre Bstas) presionan hacia atras sobre el firme de la carretera. La reac- t': -. d6n es una fuerza P hacla adelante que

f - - acelera el coche. Supongamos que la ace- k- h c i 6 n es de 8 pieslsegz; en este caso:

FIG: 7-12.-Fuenas sobre un autom6vtl durante el frenado.

FIG. 7-13.-Fuenas sobre un autom6vil que ests acelerando.

GEIQTRO DE MASA PROBLEMAS

La reqoluci6n de este sistema da . - . - - . . . . . . .

N1= 1020 lb; -.

Ns = 1380 lb. -..

Asf, la fuerza Ns queda i n d n e n t a d a respedo a su valor cuando elcoche esth en equilibrio, mientras NI resulfa disminulda. Como consecuencia,disminuye la ten- si6n sobre las ballestas delanteras y el coche se encabrita a1 acelerarse, otro fen6meno familiar a 10s automovilistas.

Para ver que la Unea de acc16n de la fuerza resultanspasa por el cen&o de masa, se ha determinado grhficamente en las figuras 7-13 (b) y (c) la resultante de las cuatro fuerzas que actdan sobre el wche. En la parte ( b ) se ha determinado ia resultante R1 de las fuerzas que actdan sobre las ruedas traseras. A continuacidn se han prolongado las lineas de accibn de esta fuerza y del peso del coche hasta su-punto de htersec- ei6n, trasladando 10s vectores a este punto y construyendo su resultante Rs. En la parte ( c ) se ha efectuado la composicidn de esta resultante con la fuena Nl, con el fin de determinar la resultante R del sistema completo de fuerzas, comprobiindose que la linea de acci6n de R pasa, en efecto, por el centro de masa.

7-1. rSi un plano que divide a un cuerpo pasa por su centro de masa, deja la misma cantidad de masa a un lado que a otro del planor. LSe verifica siempre esta proposici6n7 Justifiquese la respuesta.

7-2. Tres masas de 60 g cada una estan colocadas en 10s tres vertices de un triiingulo equiliitero de 20 cm de lado. Determlnese la posicidn de su centro de masa.

7-3. Se colocan masas de 10 g, 20 g, 30 g y 40 g en 10s vdrtices de un cuadrado de 20 am de lado. HBllense las coordenadas X e Y-de su centro de-masa

7-4. Se fijan dos masas ml y ma a 10s extremos de una varilla de masa despreciable, ejercikndose una fuena normal a la varilla de forma qne el sistema se

mpeva con traslacidn pura (Fig. 7-14). No se tiene en cuenta la acci6n d e la gm- vedad. a ) Triicese nn diagrama d e fuerzas para ambas masas y la varilla. b) De- dkcase una expmi6n que dd la acele- raci6n del sistema en fanci6n de F, ml y mr. c) Obtdngase otra expresi6n' para la distancia F, en funci6n de mr, m2, 21

Y 22. 7-5. Una varilla uniforme de 1 m de

longitud y de 100 g df masa, se carga con una masa de 20 g situada a 20 cm de uno de sus extremos, y con 'otra masa de 40 g a 40 cm del mismo extreme.-HA= llese la posicikn del centro de masa del sistema.

7-6. En nn extremo de una varilla se coloca una masa doble qne la de la varilla. LA qu6 fracci6n de su longitud a partir del extremo cargado deberii gol- pearse, si se desea que la varilla se mueva con traslaci6n pura, como en la figura 7-1 (c)?

7-7. La masa de la Luna es 1/80 de la de la Tierra. La distancia desde e)

centro de la Tierra a la Luna es 384 000 kildmetros, y el radio de la Tierra (aproximadamente). 6400 Km. LA qu6 distancia

.: g -; .. ... . . ---:::: . ~. . .. . a-trt- dela- .Tiem esta Situado el ;-.;;;-:;:~~ . .. de masa en torno a1 c u d giran la

merra y Ea Luna? . , . .A -.- .. 7-8. Una varilla flexible se curva en

@. ... ...-to m a de semiciwunferencia de radio R. . . : . m e s a la posici6n del centro de masa.

7-9. La densidad p de una varilla de

. - lcjr p = p0 + az. Calcdlese la posici6n

7-10. Dos pequeaos cuerpos de masas - - 100 g y 400 g, respectivamente, se hallan

f.; ..,- . . , ... . - . . , - rob~~ una superficie sin rozamiento, atra- - -- - y€ndose.con una fuena horizontal cons- &,, ,tante de 100 dinas. Inicialrnente e sun -

~'.':': nna distancia de 100 crn. ~D6nde y *ZL.Z . . - cniindo chocarAn? E . , 7-11. Un hombre que pesa 80 Kg se i? "....' thcuentra de pie en uno de 10s extremos L., ."1 , d e una planch'a de 3,6 m de longitud y

- - 1 6 Kg de peso. La plancha descansa sobre

.. . 7-12. Un bloque de mas; m d&ii;

.. . . ft .:;. ; rizontal sin rozamiento hacia otro bloque i.' ' " . de. masa 4m, que se encuentra inicial- [.. .-:,'. rnente en reposo. Los bloques chocan y ~.~'j,'_~'.:deslizan juntos. a ) dCu4l era la velocidad L..~:.:.'.;. r, _ : -,:: Be1 .centre de-masa del sisterna antes del k; .. . . cbopue? b) ~Cu41 es la velocidad del sis-

, :?'. tema despuds del impacto? --- .;;I_-- 7-13. - a ) Una bomba~quepesa4 R g s e :.-.,.-, en diiecci6n 'horizontal con una

Velocidad de 2,40 mlseg desde la cornisa de nn edificio de 120 m de altura. El

&-.+-- terreno que rodea a1 adificio es horizon- &

e: tal. LA qud distancia del pie del edificio $.- ehocarA la bomba contra el suelo? b) Una $: .I-- bomba iddntica se arroja en las Inismas

.:-:: ' . . andiciones, pero Qsta se rompe en dos b z o s antes de chocar -contra el suelo.

: Los dos trozos salen dkparados horizon- h'. -. "1.. F, - 2 - .--ente de forma que ambos llegan a1

&- -.:- welo a1 mismo tiempo. Uno de 10s trozos t-,-i:;y7 A . , .. -, . Pesa 1,5 Kg y cae a1 suelo justamente al a- - ;.;,; e:itL:GFf~it del edificio, en la vertical del punto

de lamiamiento. LA qud d i s 6 c i a 6&& earA contra el suelo el otro trozo cuyo peso es de 2,5 Kg?

7-14. Un mono se encuentra en reposo agarrado a una cuerda sin peso que pasa por una polea y-estd sujeta por su otrd extremo a un ramo de plhtanos (Fig. 7-15). '

Los pliitanos pesan exactamente igual que el mono, y la polea no tiene-rozaz miento. y es de peso despreciable. El mono comienza a trepar por la cuerda para llegar hasta 10s plhtanos. A medida que asciende, ~ q u d sucede con la distancia que le separa del ramo de pliitanos? ~Aumenta, dismtnuye o permanece invariable? ~ P o r quk?

7-16. Un cargamento de pelotas de base-ball se envla en mna nave interpla- netaria desde la Tierra a Marte. Durante la travesia se para el motor de propul- si6n de la nave. ~ Q u k puede hacerse pars cambiar el mmbo de dsta? ~ Q u d principio se aplica?

drado de su velocidad, se denomina su-mergia cinttica. Obs61-vese que no- demostramos que la energia cin6tica sea igual a 112 rn@, es; simplemcnte, una definici6n. El producto del peso de un cuerpo (mg) por su altura h respecto a un plano horizontal de referencia, se llama su energfa pofencial grauifaforia respecto a dkho. plano. Tambitin en este caso el hecho de que la energia potencial gravitatoria Sea mgh es s610 una definicibn.

La suma 112 mu2 + rngh (en este ejemplo particular) es la energia mecanica foial del cuerpo: el tCrmino 112 mu02 es su energia cinetica inicial.

D Utilizando estas definiciones, la Ec. 18-21 puede enunciarse asi: la energia meccinica iota1 de un cuerpo, en cualquier punto de su trayecioria, es constante e igual a su energia cindlica iniciat Por consiguiente, aunque la energia no es en ning6n sentido una sustancia material, el cuerpo se comporta como si se le diera una cantidad de energia a1 partir, en forma de energia cinetica,

vb y 61 distribuyese durante el movi- FIG. 8-2. miento esta cantidad en las dos for-

mas de energia, cinCtica y potencial. pero de tal mod0 que permanece constante la cantidad total.

La energia cinktica se representa a veces por el simbolo K, y la potencial, por la letra V.

La conservacibn de la energia no queda restringida a1 movimiento vertical. Consideremos un proyectil (=g. 8-2) a1 que se imparte una velocidad inicial vo de componentes vo, y vo,. En un punto de su trayectoria, a una altura h, se ten&&

..._ .. ,

&- : -.,. Multiplicand0 ambas ecuaciones por m/2, &mando y reagrupando tCr- .minos,-resu]ta: --- -- -- - - - - _ . - - ~ -~

. - - m(oZ2 + vy2) + mgh = l / 2 m(0oza + hv2) . -

Pero . .

vZ2 + VQ = V O ? ~ + ooya = vo2, y, por tanto,

mu2 + rngh = 112 mu02.

TambiCn aqui la suma de las energias cinetica y potencial se conserva constante e igual a la energia cinetica inicial.

Volveremos sobre este punto de las energias cinCtica y potencial en una secci6n posterior. Por ahora basta con lo dicho y vamos a considerar un contepto importante llamado -frabajo.

TRABAJO - 131

E.-; 1-;- 8-2. - Trabajo.-En la vida corriente; la-palabra irabajo se -ap l i e i- ... . . F - , . ...A . .

;, .:;. '.,= cualquier forma de actividad que requiera el ejercicio de un esfuerzo

~-g-.&-l~muscular o.intelectual; sin embargo, en fisica dicho tCrmino.se utiliza en nn sentido muy restringido. La figura 8-3 representa un cuerpo que se

$--~. - . mueve en direccion horizontal, que tomaremos como eje X. Sobre el . . ..

t cuerpo se ejerce una fuerza F que forma un angulo 8 con la direction del F'; - - aovimiento . El frabajo dW realizado por la fuerza F, mienlras el cuerpo & , .. - . . . ".: - se ha desplazado una dislancia dx, se define como igual a1 producfo del despla- - . ..g : . m i e n f o , por la cornponente de la fuerza en la direccion del movirnienfo: i... L. "L-'---z- < - -~ ~

*;- .-..: . ~

-. -.. ., ..*> ~ P

El trabajo W ejecutado en un des- J L ' +&+ - plazamiento finito, desde la abscisa .

- - . = f---p! xl a la x2, sera * -'-.

. .. FIG. 8-%-El tmbajo realizado por la luerza Fen un desplazamiento dz.es F cos 9 d z -- - . .. , . . ,

.'a? ... ?:-.:.z+:-::.T z. . : > . . . -......*.... . .

. .

..': .-.:.: .:,,.-.::+:En el caso mas general, tanto la direcci6n de la fuena como su mag- i- : ..: ... riitud varian durante el movimiento, y para calcular.la integral es precis0

: ..;-conocer F y 8 en funci6n de x. Cuando la fuerza permanece constante en I . . .

- . magnitud y direcci6n: - . ; - .. . . ..

j' ' . . . Si la fuerza es constante y tiene la direcci6n del movimiento, 8 = '0,

.% . - , - - ~ .- -. . -. - 1 ,y.--. - '. ..,.&>fJ - .- . . - - -. - - - L . e: .. . . . " - A . . . %.. - . W = F (a - XI). 18-61 b . , : : .:. ~ * , - t . .

r . : . - ,. ,. ,;;:..,,Es . .. ~ decir, en este caso especial, el trabajo realizado por la fuerza es . .. i-. .-..-.@a1 a1 producto de Csta por el desplazamiento. En 10s libros de fisica ele- 5-:--- . . ::.-mental s e define el trabajo como el product0 de la fuerza por la distan- -. - - . -- ----.-cia, . . . - .. . . lo que, como se ve, es equivalente a la Ec. 18-61. Es importante re- P. cordar, sin embargo, que la Ec. 18-41 constituye la definici6n general 2 . . - ~iz:del.trabajo . - . realizado por una fuerza; s610 si la fuerza es constante y su I-- : . . - - . . direcci6n 'coincide con la del desplazamiento, resulta cierto que ((el tra- , . .... -i .- ,. - .. .- --. bajo es igual a fuerza por distnncia,. - F -~ - ~. . ~' . El concept0 de trabajo es tan importante, que requiere alguna icla- !! ~* ;;..:..,.raci6n. -. .. mas. Se realiza trabajo unicamente cuando la fuerza ejircida'

Li.;;--sobre ,, . . . . . el cuerpo, mientras este se mueve, tiene com~onente .en la direcclon

, .-/

1 3 2 ' TRABAJO Y ENERG~A [CAP. 8 I 1 del- moGNento. &f,_se realiza trabajo cuando se levantaun.peso, o se- - -- I alarga un muelle, o se cornprime un gas.dentro de un cilindro. Por otra 1 parte, aunque se consideraria trabajo penoso sostener un gran peso con 1 10s brazos extendidos, no se habria efectuado ningun trabajo en sentido

tecntco, puesto que no ha habido movimlento. Si se pasea sobre un piso I horizontal transportando un peso, tampocwse realiza trabajo, puesto 1 que la fuerza (vertical) no tiene componente en la direcci6n del movi- _ ... - 1 rniento (horizontal). . . I Una locomotora r e a k a trabajo den t ras arrastra un tren en mo- 1 vimiento; pero si se apiican 10s frenos hasta impedir el movimiento, 1 entonces no se efectfia ningfin trabajo por grande que sea la fuerza que 1 ejerce la locomotora. El gas que se expande en 10s cilindros de un motor

de autom6vil realiza tpabajo presionando contra 10s pistones mbviles; I per0 si el movimiento d e btos se evita de a l g h modo, el gas no realiza I irabajo alguno, por grande que sea su presi6n. 1 En el sistema tdcnico, la unidad de fuerza es el kilogramo, y la unidad I de distancia, el metro. La unidad de trabajo en este sistema es, por consi- 1 guiente, el kilogrcimetro. Un kilogramefro puede definirse como el irabajo 1 realizado cuando se ejerce una juerza consfante de rzn kilogramo sobre un 1 cuerpo gue recorre una disfancia de un metro en la misma direccidn y senfido 1 que la fuerza 1.

En el sistema mks, la nnidad de trabajo es el newton-mefro. El lector I puede deducir la definici6n de newton-metro de la definicidn de ki- 1 logrhmetro dada anteriormente. En el sistema cgs, la unidad de trabajo es 1 la dina-cenlfmetro. Una dina-centimetro se llama ergio; un newton-metro 1 se denomina julio. En el sistema inglBs se utiliza el foot-pound, cuya dcfi- 1 nici6n se deduce inmediatamente (se ha alterado el orden de las pala- 1 bras para distinguir esta unidad de la unidad de momento, el pound-foot).

Puesto que 1 metro = 100 cm. y 1 newton 105 dinas, resulta que 1 1 newton-metro = 107 &as-ce$fmetro, c bien:

I 1 julio = 1 0 7 erg. '-

I Ta-diBn, de. las relaciones . entre . kilogram~- y newton, -se deduce: . I - I

1 Kgrn (kilogrdmetro) = 9,8 julios = 9,8'x 107 erg. 1 - 1 Anaogamente, de las relaciones entre el newton y la libra, y el metro I y el pie: I 1 julio = 0,7376 fooi-pound.

I 1 /&-pound = 1,356 julios.

1 ELTEMPM 1.-Una caja que pesa 100 Kg es arrastrada 6 m sobre un suelo horizontal, con velocldad constante, mediante una fuerza tambi6n constante. El coefi-

1 1 Con mayor generalidad, u. kilogrihetro de t n h j o es el trabajo realiGdo en cuales 2 2

pule~a ~kcunstnncias, siempre gUe:I F cos 0 dr = 1. r i F estB expresada en kllogramos y dz z1

pn metros..

a --+&+.:.dente --.- dinbico cte roozamfento entre la caja y el suelo es 0,3. ~ c u A I el trabijo re&

. % :i:-.;:lizado q r e s a d o en kilogrihnetros? . . --:

r . . .. - ' La fuerza necesaria para mantener el movimiento de la caja es 30 Kg. Puerto que : la distancia reconida en la direccl6n de la fuerza es 6 m, el trabajo reallzado es 180 I<grn. . .

* . .L .i_i.z r

.$: .:. ..;. -;;. ./= ' . . .- +....- ,. - .- . f . .. *.. -- - .~ .

. . . .. . . . .- *, , . . ,... , , .. .. . . . EJEMPLO 2.-~Qu6 trabajo serfa necesario para arrastriir la misma caja 6 m sobre . . .. . -. , . > . . -. -.- . -- . . . . . ,. . ; - .; :. . el suelo, medlante una cuerda atada a la caja, que formase un dngulo de 300 con la ;*- -::.;.I-.>.

._ .,,L;..horizontal? ,> . ,:.'.G."s; :. - . .,. .. ,,.,, , I. La fuerza no tiene, en este &so, la misma direcci6n del movimiento. El primer &. I . ..,:.,.paso -. ..>. es encontrar, mediante un diagrama de fuenas, como el de la figura 8-4 (b), cu&l

: ..>: . .. :.: :'- -,. .a el valor de la fuerza P requerida. Esta resulta ser 29,4 Kg; por consiguicnte: *L '.: ' .... . . ,, .-.. . . . ~, .

Tv = P cos 9 (20 - zl) = 29,4 x 0,866 x 6 = 152,7 Kgm. - . . ,. . - . . ..* . . _.=:_ . . . .. : ,

% : - ... .: ., &. . . , EJEMPLQ 3.-Una fuerza constante de 340 newtons, paralela a la superficie de un . , 2 . .

1''; l":!:. p~&o inclinado 370, empuja un bloque de 40 Kg una distancia de 20 m sobre dich~ _ . - .- . - - . ...

.:. . : . s upe r f i c i e (Fig. -8-5); lQu6 trabajo ' ha-realizado la- fuerza? -. -

. . -.. . i .1 .,;.:d_":,?. La fuerza es constante y tiene la misma diiecci6n que el desplazamiento; por & .? , :::,I. .,,? ." consiguiente: .

*. .. .-.-. a . . - . - - . . C.. . 7,,,.*. .:,.. . W = 340 x 20 = 6800 new-m = 6800 julios. ~ ...

.- .:>; -. . .. . .- ". - ~. ',-A 8-3. Energia y trabajo.-La figura 8-6 represents un zuerpo de .. . . , - . . - . . . * f - - - :..~':,masa -. . . m que es arrastrado sobre una superficie plana sin rozamiento, ?. - . :: . . 3'f- - .. . . inclinada un angulo p, por la acci6n de una fuerza constante F paralela

.,??. :.. ,- : ,~ , . - ;- . . . . . .. - . a1 plano. En el diagrama se han omitido el peso del cuerpo y la fuerza i- i . . . ' r .. normal ejercida sobre el por el plano, con el fin de evitar. confusiones. i~ . ~ , :::,El cuerpo pasa por un punto de altura hl con velocidad vl, y por un se- . - . ~ . i- y:;.".L.@ndo punto de altura hz con velocidad 02. Sean XI y zz las abscisas del k, -<::::.. cuerpo rnedidas paralelamente a1 plano. t. . ~-,;:? .*-- . . G~.dkr,;:c,..~ .El estudio previo de ejemplos an5logos ha demostrado que la fuerza c '.. ?: . . ,

--

134 ~FWBAJO Y ENERG~A ENERG~A Y TRABAJO 135 -

aceleradora resultante es F - rng .sen cp, de donde, en vifhtd de la-se- - gunda ley de Newton, resulta:

F - mg sen cp = ma; o sea: a = Flm - g sen tp.

Ademhs, puesto que la aceleraci6n es constante, . ...

uz2 = ui2 + 2a (x2 - XI), o sea:

ES& ecuaci6n puede escribirse tambikn en la forma:

: C / z m ~ 2 ~ . + mgX2 sen cp) - ('12 mule + mgx~ sen cp) = F (a - xl),

y; puesto que x2 sen cp = h2 y xl sen cp'= hl, se tiene, fhalrnente:

. >. .. .- &-----EL primer tkrmino es el incrementode energis ehetiea; elsegundo, el-

~. .. ,. . . . . ...-:,:=2. increment0 de energiapotencial, y la suma de ambos equivale a1 trabajo .;.=::: -- realizado sobre el cuerpo.

$ ' - Como caso particular, si la fuerza F tiene tal magnitud que contra- ' * .w- -.,?.I rresta exactamente la fuerza mg sen cp, la aceleracion es nula, y u2 = vl;

[F --.-.-. no hay increment0 de energia cinetica, y el trabajo realizado se traduce

r* ' i unicamente en un aumento de la energia potencial. Se obtiene .identic0 - :-.:,. resultado cuando se levanta un cuerpo desde una altura a otra, siguiendo

.ti::. . cualquier trayectoria sin .rozamiento. Si su velocidad tiene la -misma -z:?:i..;::.magnitud . .. , .. .- .. . - en 10s extremos de la trayectoria, .el trabajo realizado. a1 elevar

. . . -. .. . . el cuerpo es igual a1 increment0 de su energia potencial. ; . . Si el cuerpo se levanta de forma que no todas sus partes se eleven'.la

-8 distancia vertical, para calcular el incremento de energia potencial ~-+1C?"-debe .... . utilizarse la altura que se ha elevado su centro de gravedad.

3:. ., , ... ~, >'.. -,7: . Otro caso especial de la Ec. [8-81 resulta cuando el plano es horizontal . -- . . .. . . ;z .;:-r., y h2 = hl. Como no hay incremento de energia potencial y todo el trabajo . py .; -. . . . . . realizado sobre el cuerpo se utiliza para aumentar su energia cinetica: .i . . . .

Los tCrminos entre pardntesis en el primer miembro de la ecuaci6n son, respectivamente, las energias final e inicial del cuerpo; la diferencia representa, por tanto, el incremenlo de energia que ha experimentado el mismo. El segundo miembro de la ecuaci6n es el frabajo rializado por la fuerza F; por consiguiente, el trabajo ejecutado por la fuerza F es igual (en este caso) a1 incremento de energia del cuerpo sobre el que ha actuado

t l d la fuerza. Decimos aue el trabaio se hace sobre el cuerio por la fuerza F.

Aunque la energia del cuerpo resulta incrementada en este Dro- ceso,. no debe deducirse que s6 ha creado energia. El cuerpo (no re-

.- presentado - en-la--figura9 -que - ha ejercido la fuerza experimenta en cada caso una disminucidn de ener- Qia eauivalente a1 trabaio redizado

t - por ~ i , y, por tanto, i&al d incre-

FIG. 8-6.-El trabajo hecho psr la rueria F mento de energia del cuerpo sobre es igt~al a la suma de 10s incrclnmlos dc energias cinetica y potencial de la masa m. el que se ha ejercido la fuerza.

P'or tanto, hay tambidn conser- vaci6n de energia en este proceso cuando se consideran iodos 10s cuerpos que toman parte en el, y cualquier caso en el que se realice trabajo se reduce meramente a una transferencia de energia de un. cuerpo a otro.

La Ec. [8-71 se puede rcordenar en la forma:

P" P - i- -- --- En el caso general, cuando la fuerza forma un Angulo 0 con la superficie del p lan~ , : - , y la fuerza F, el Angulo 8 o ambos varian durante el movimiento, la fuerza acelera- -.

. dora en cualquier punto es F cos 8-rng sen p (ellector debehacersesu propio diagrama) y -.~ - -- - A .. *. .. . - ... .~ ..... - " - -.*.): C..~.b . - . .,- .. dv do ..- . .,*. -. "... - F c o s e - r n g s e n c p = r n a = m - = m u - ,g $j.,.L+7<- - ... -..*,,- dl dx -. . . . .. . . - ri. .,LrA,'.,.. ...-. -- .g .:$: ?.y ; :. 75, . . . I 2 . i . ~ ...-. ..

.;:,,:>;':>,' ., mvdo + mg sen cp dx = F cos 8 dx, .* :+:,*:.,j

~-:y;:.;:y puesto que sen cp dz = d k ,<,,;,,. ,..

g7. :->:.:.<: . . . . &? ,'Z; .- ........ . .- m o d ~ + rngdh = F cos 8 dx .,$. + ,?,* :.: .... - ..-.. ,.. ,a. '2 . i t . .., x;?;:. ;7.

~~ .% .... - . 2F;i:,7. ~ ..y.. ... . . J'2 m- + J:: mg& = J" F cos e dz;

k . : 2 1 . . *r&,. ? . . i 3 .i... . .. .% ;.,:;;;,: ....

, . -,̂ .; $- =-.., --- -.. _ _ - . (.2a-mvaB.y l/z IRDI~) -+ (mgh2 - . ~ g i , l ) -= 0 . e Is-101- e ..... ~c.::.. : i*-.,im,., .. .

precisa ser plana. Por consiguiente, en el caso especial en que ve = v1, cl trabajo reali- -* - - . .. . . . zado para elevar un cuerpo a lo largo de una curva arbitraria es igual a1 increment0 f:;$g$-'de <.,.A

energia potencial, lo que demuestra la proposici6n enunciada anteriormente. %- A::.>: Si hz = hl, se tiene: &. . , > .. . . . p "7'".7 p~.;:!;?: .. .

-?,?"' . . . -

.. - 1s-111

A-.- .. . .

..,..LA..

constituye una generaliiaci6n inmediata de la Ec. k8-91. . .

8-4. Unidades de energia. Dimensiones.-Las unidades de energia po- tencialy cinetica no se definieron en la secci6n 8-1, cuando se introdujeron por primera vez estas magnitudes. Vemos ahora, sin embargo, que por ser el incremento de energia igual a un trabajo, tanto las unidades de energia cinetica como potencial deben ser iguales a las de trabajo; esto es: liilogrametros, julios, ergios o fool-pounds..

La unidad de cualquier magnitud compuesta, tal como mgh 6 mfl se obtiene por combinacion de las unidades de sus factores. Asi, en el sistema mks, en que m esta en liilogramos,-g en mlsegz, h en metros y u en mlseg, la unidad de energia potencial sera:

- .

y la unidad de energia cinktica:

7 -. f .L --- -LO 1.-~Cusl ser& la energla dnhtica-de unautom6vil de 1470 Kg de peso, 5 -- --

- .. . ~ d o marcha a una velocidad de 30 mjseg? 1470

La masa- del autom6vil es - = 150 u.tm., y su energfa cindtica, 998

$ +.- - EC = 11% mDp = lh x 150 x (30)s = 67 500 Kgm. v - -

z - - EJEMPLO 2 . - a n electr6n de masa 9 x 10-rn g Bchoca contra el d todo de nn tub0 de rayos X con una velocidad de 6 x 100 cmlreg; ~ c u a serh su energia cinhlica? ,-- En untdades cgs:

giL - -: EC = I/% X 9 X 10-a x (6 x = 1.62 x 10-8 ergios.

EC = 11% x 9 x 10-81 x (6 x 107)e = 1,62 x 10-16 julios.

5 = "... S : . No hay contradicci6n en las respuestas, y a que 1 julio = 107 ergios. $ ;'.--?:. :

.,,- . - <.. I; - :&.;j; EJEWLO 3.-Nos referimos a1 Ejemplo 3 de la pPgina 133. Si el plano no tiene

I z, - .. Estas unidades son iguales, y para demostrar que a&as equiv&en. : -;-;:-:"Ommiento y el cuerpo parte del reposo, haUese, por consideraciones energbticas, su

/ ! ;-: ,veloddad despues de haber subido 20 m sobre el plano. r j 1 a un newton-metro, recordemos la segunda ley de Newtcn, F = ma, que

referida a unidades, se escribe: iZ , ,: -,;,:. E l trabajo hecho sobre el bloque es igual a la suma de 10s incrementos de sus ener- ;< -:[.'../ >,-@as cinktica y potencial. S e g b hemos calculado (vdase phg. 133) el trabajo realizado

!

1 1 Kg -m F. -. -- . :_Jy- ,!:er;de 6800 julios. El bloque sube 20 mfiobre el plano inclinado, es decir, 12 m verti- .- . i

1 newton = 1 - ~ ~ ~ ! ~ ~ a l m e n t e . El increment0 de energfa potencial es, por tanto, 40 x 9,8 x 12 = 4710 ju- i

I seg2 ' . , 1 . de donde: x . ,. ;:r;-Uos; y el increment0 de cn& cinbtica sera 6800 - 4710 - 2090 julios. Puesto que , .?

. - 8 . .. . . L. .-- :.. .. ,..la energla cinhtica inicial es nula, dsta es la energia cinhtica final, y Kg-m2

f -< $C.,, ,, -, f P I-= . .. ,.. -

.. 1 newton-m = 1 julio seg2 -. .-." ." -. - i 1 . " -.... -. 5. .:?.;.* -.:

lh x 40 x DS - 2090; - .-- .... . -- -. . v2 = 104,s;

?

1 Un razonamiento analog0 prueba que la unidad de energia en el sistema ... ,;;,;; J ... ;..: :.-. v = 10,2 mlseg. 4

inglCs es el foot-pound. En el sistema tbcnico: 3 r....+.T . . . I y . ..-. -- <. --"

E f. ",?.i%.:.:

.. . m n.t.m. rnz . , .&:<:.. 8-5. V d o m abeolutoe de las energias potencid y cin6tica.-la defi- - t 1 ... 1u.t.m. .. . x 1- x 1 m = 1 g.-?i<?;+6n de energia potencial gravitatoria, mgh, supone que la energia

seg= .. seg2 . F- - .-:.i. potencial es cero para h--=-O,-e. deck ccuando el-cuerpo se~.encuentra-en - . - - ' - - . - .. ,. . ... e - . . - , . . . - - - - . . . - . -.c: :. _ I

. .. En- el-sistema- cgs, .la %xiidad de kriergla-iii la dina,sm o ergio. $.%r:::!:d nivel de referencia. Para concretar supongamos que dicho plano coin- ,, .<,. .:\- C

I bbs&-v=e atentamenre que si se quiere calcular la energla hetiea j ,.$%:tide con el tablero de la mesa del laboratorio. Si el nivel.de referencia se j t de un cuerpo en newton-metros, b julios, a parti= de la expresidn llZ m f i , . , *;., tomara mhs bajo, p. ej., en el suelo, la energia potencial no seria nula

1 la masa debe expresarse en kilogramos. Para calcular la energia cinaica , $ sobre re el tablero de la mesa. Si se hubiese elegido en el techo, la ener@a 9

I en foot-pounds, la masa debe expresarse en slugs, etc. ; .. .-r potencial sobre la mesa seria negativa. Veremos que la energia potencial ;...L-.:.-gravitatoria de un cuerpo efi cualquier punto depende de la eleccion

Otro mktodo miis formal de manejar las unidades en las' ecuacioner fisicas es el f<:;i:+

t arbitraria del nivel de referencia y, por consiguiente, tiene ese grado I llamado andlisis dimensional. Como dimensiones fundamentales de todas las mag- B+=-,, de . ndeterminaci6n. Esta indeterminacion carece, no obstante, de im- f

I nitudes mechicas se eligen de ordinario masa, longitud y tiempo. La mass tiene di- g:- -- porta an cia puesto que en cualquier caso practice sblo se opera con dife- mension M; la longitud, dimensi6n L, y el tiempo, la dimensi6n T. La velocidad, ?.

@

: I cociente de lonatud por tiempo, tiene dimension LIT 6 LT-1. La accleracidn, cociente i. .rencias de energia potential, que son independientes del nivel de refe- de la velocidad por el tiempo, tiene dimensiones Ll-2. La fuerza, igual a1 product0 de $ -.-- rencia. De ordinario es aconsejable elegir este nivel por debajo del punto 8

I masa por aceleracidn, tiene dimensiones MLT-2. El trabajo, igual a1 producto 7 .-- -

de f u m a por longitud, tiene lss dimensiones ~ ~ 2 p 2 , tatas son tambib., evidi.- f ;$:i:..msS b a j o - o coincidiendo con 8--que figure en el probl-a concreto 1 0 -;$?:de que M trate, con el fin de evitar la aparicibn de energias negativa. :- temente. Ias dimensiones de las energfas potencial y cindtica. z.

I -

v Hay otro aspecto de la-energia potencial que merece subrayarse. Cuando-d@en coge u n peso del suelo y lo levanta por encima de su

I

cabeza, ha intercalado su cuerpo entre el peso y la Tierra, empujando, por , una parte, el peso con su mano, y por otra, empujando la Tierra con sus-

pies. El principio general parece enmascarado en este ejemplo vulgar, por la disparidad de masas de la Tierra y del cuerpo levantado. (El desplazamiento de la Tierra es muchisimo mAs pequeiio que el del cuerpo.) Ima- ginemos un Atlas de pie sobre un pequefio planetoide y Iwantando otro del mismo tamaiio que el primero. Podemos en este caso preguntar: &A cu&l de 10s dos cuerpos se ha suministrado energia potencial? Si 10s cuerpos son de igual tamafio, cada uno se mover& una misma distancia desde su posicion inicial, y el fen6meno se concibe mejor como una separacidn de los dos cuerpos que como una eleuacibn de uno de ellos. Se deduce de este experiment0 imaginario que la energia potencial no debe atribuirse a uno de 10s dos cuerpos, sino que mas bien representa una propiedad conjunta del sistema. La energia potencial de 10s dos planetoides es mayor cuando esGn separados que cuando se encuentran mas pr6ximos.

Resulta evidente que lo mismo ocurre cualquiera que sea la raz6n de las masas de 10s cuerpos, y, por consiguiente, es aplicable a nuestro primer ejemplo del hombre que levant. un peso. La energia potencial no es una propiedad del cuerpo s610, sino una propiedad conjunta del sistema cuerpo + Tierra. Aunque haya de tenerse en cuenta este aspecto de la energia potencial, no obstante, por comodidad, continuaremos hablando de Za energia poiencial del peso leuanlado como si estuviera ligada iinica-

' I niente a1 cuerp i Consideraciones andogas a las anteriores se aplican $ambiCn a la ener-

gia cinetica. Decimos que un objeto en reposo en el laboratorio carece de energia cinetica, puesto que su velocidad es nula. Pero aunque no tiene

1 velocidad relativa respecto a1 suelo, participa del movirniento de la Tierra alrededor de'su eje, del movirniento de la Tierra alrededor del Sol, y del movimiento de todo el sistema solar en conjunto a - t r a v h del espacio.

' I . 8-6. Energia potencial de un resorb a1argado.-La energia potencial 1 I gravitatoria --- es s610 una - de - las mdtiples - -. - formas de- energia potential._- I Otro -tipo, - h b i C n familiar,

es la en;r&a potencial de un --z - - I cuerpo elhstim que de alguna

(bl forrna ha sufrido una defor- . " maci6n.

FIG. 8-7. El tema de elasticidad sera estudiado con mas detalle en el capitulo XIII. Por ahora bastarP con anticipar que cuando la mayor parte de 10s cuerpos s6lidos son deformados, la fuerza necesaria para producir la deformation aumenta proporcionalmente a Csta, siempre que no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fuk una de las primeras estudiadas cuantitativa- mente, y el enunciado anterior, publicado por Robert Hooke en 1678, es conocido con el nombre de ley de Hooke.

-$:..v; - : . - .:. >--. . , ~..-- ,-- . - , .. . Para-cometar; consideremos un-resorte en h6lice sometido a una

.. ..z .,=. .,:; .- .- fuerza que tiende a alargarlo. La figura 8-7. (a) representa el resorte sin :.* - :. :-. --%<*;I--alargar. En la figura 8-7 (b), el resorte ha sido alargado una longitud x a* . I.,. ::: . sobre su longitud normal o longitud sin carga. La fuerza necesaria para ... % $: y;,:.-mantener este alargamiento es F. La ley de Hooke, expresada en ter- +- I : . -: . .. . minos matematicos, establece que

. . . .. - . . . . - ~~

. .. . -:-g.+, ., : . .).C..., . _.. _ . . I‘.. F o c x o F = k x , >L .- -- - 18-12] =.' -, k - I :-- -$endo k una constante- deproporcionalidad llamada coejiciente de tigidez, &,- .. . , .. . ..

..G::,f,sz.~ simplernente consfante del resorte, que puede definirse como la razdn de :la fuerza a1 alargamiento que produce sobre su longitud normal; es decir,

-,-:. -, - . -fuerza dividida por unidad de longitud. Se expresa en kilogramos/metro, ':'-+newtons]rnetro, dinaslcentimetro o libraslpie. kg&:.:-. . . . . --

.. .;.~'.- En la figura 8-8 (a), se representa un bloque de masa m apoyado *-? $:-$;v*,., '+ ..;...-.- sobre una superficie horizontal, sin rozamiento, y unido a un punto fijo . . ., . -. .. j. .;.:. m., :>&:G:.Y

-. -. por un resorte. Se supone s*; .=.- - 8, ;r ~ ; . . - aue el resorte tiene su 1 c-) *. I

~ ~- - -..

t_:. i..-tongitud natural, y la (a) C - z..p? ' .: .$.,.+ fuerza ejercida por el so- .F. - . . - .- ' - . .. . .. lire el bloque es nula. Su- P-.?=-~:::~pongamos que se imp+ (b) w -*:. , . L.-;-.x. , . .;>. . me instantkneamente al

FIG. 8-8. .. . como comienza a.moverse, el resorte se alarga y, cuandd la abscisa

.es x, la fuerza ejercida por Cste sobre el resorte es kx, en vir- de Hooke. La reacci6n a esta fuerza, o fuerza ejercida sobre *. --. -'. .

+--? - =:. el-bloque por el resorte, es -&x; por consiguiente, de la segunda ley de L." .: :,2.>:1_ Newton resulta:

~ . . . -*-.. .. . . , -. . 112 mu2 + 112 kx2 = 112 mu$.

.. - . ----. 18-1 31

. ". . >G,:i.Esta -...-- expresi6n debe compararse con la Ec. [8-21 (pag. 129). Observamos . . . ..--.. . . . --:A:-%: ---.. . que en este movimiento se conserva la suma mv2 + 1/2 kx2, que es ..... .. .- .;:::.:--1gual a la energia cinetica inicial, 112 rnuo2. Deducimos, por tanto, que . ., .--.. .- :..,....1/2 < .~ kx2 represents la energia potencial eladica del resorte estirado: Es .- ,,*: 2%--fAcil cornprobar, a partir de la definicion de k como-cociente de una fuerza -::;. :: por una longitud, que la unidad de energia potencial elastica coincide con . , .*?*-- ,..- .... :z$z-.la -de trabajo, en cualquier sistema de unidades. *,*.. . .

,140 TRABNO Y ENERG~A FUERWS CONSERVATIVAS Y DISIPATIVAS

- - Se deja comp ejercicio a1 lector demostrar que el-trabajo-zealizado - asi -que -la en@a m e c h k a .del bloque-no-se conserva, sino'que . .-

al-eiiirar un resorte desde una elongaci6n XI a otra x2, es,igual ai incre- minuye continuamente a1 aumentar x2, debido al t6rmino -fr ( a - x l ) . 3 mento de energfa potencial del resorte, hecho angogo a1 que tiens lugar cuando se levanta un peso: el trabajo realizado es igua1 a1 increment0 de energfa potencial del peso.

EJEMPLO.-Se precisa una fuerza de 3 Kg para alargar 15 cm el muelle de una mampara. ~ C u a es la energfa potencial del resorte si a1 abrirse la pnerta se alarga entoo y ccenergia convertida en calor)). 45 cm? Escribamos de nuevo la Ec. 18-14] en la forma . .

Puesto que una fuerza de 3 Kg.alarga el resorte 15 cm, la constante k serk

Por tanto, E P = lla x 20.x (0,45)3 = 2,025 Kgm. . . .

8-7. Trabajo contra las fuerzas de rozamiento.-Vamos a considerar aliora como las fuerzas de rozamiento, que hasta aqui hemos- despreciado, afectan a la energia mednica de un cuerpo en movimiento. A mod0 de rtido en calor. ilustracion volvamos a considerar el caso de un bloque arrastrado hacia 8-8. Fuerzas conservativas y disipativae.-Para levantar un cuerpo

arriba por 'la superficie de. un plano in- erticalmente, a velocidad constarfte, es necesario que alglin agente exter- clinado (Fig. 8-9). La fuerza exterior, F, realice trabajo, y hemos demostrado que este trabajo es igual a1 in- y la de rozamiento, fr, se suponen ambas ento de la energia potencial gravitatoria del cuerpo. Para deslizar un constantes. La fuerza resultante hacia con velocidad constante, sobre una superficie rugosa horizontal, f

sario tambien que un agente exterior realice trabajo, y puesto este caso no se modifican ni la energia potencial ni la cinetica, el

t

ajo se ha convertido en calor. ~ P o r quC se verifica que efectuhndose ' 5

Por integraci6n entre XI y x2 resulta:

( ' 12 mu? + mgh2) - (l/2 mv12 + mghl) = F (x2 - X I ) - fr (x2 - g) [8-141 - - El termino fr(z2 - X I ) representa el trabajo realizado contra la fuerza

- - .. - de .rozamiento, y vemos que el incremenbde. l a -energia -d,el- bloque no -- - es ignal a1 trabajo ejecutado por la fuerza F, sino.mnor en una cantidad igual precisamente a1 trabajo hecho- contra .la fuerza de rozamiento. Otro punto de vista consiste en denominar trabajo neio a1 representado fuerza y la distancia son las mismas, tanto en el ascenso como en el des- por el segundo miembro de la ecuacibn, el cual si que es igual a1 incre-. mento de energia del cuerpo. , el trabajo obtenido es igual a1 trabajo gastado inicialmente. En

palabras, el trabajo es recuperable, o si se quiere, ,el trabajo neto Si la fuerza F fuera nula y a1 cuerpo se le hubiese comunicado simple- t

mente una velocidad inicial v1 hacia arriba del plano, abandonhdolo cad0 en un. recorrido cerrado es nulo. sto contrasta Con el comportamiento de la fuerza de rozamiento.

f + a si mismo a continuacibn, la Ec. [8-141 se escribiria: Cuando deslizamos el cuerp.0 sobre la superficie rugosa, volviendo a la I

P I 2 mvz2 + mghz) = P I 2 mv12 + mghl) - fr ( z 2 - 21)- ici6n inicial, la fuerza de rozamiento cambia de sentido y, en lugar . . recuperar el trabajo gastado en el primer desplazamiento, tenemos @

El tCrmino mv12 + mghl es la- energia inicial del bloque, y el t6r- e realizar un nuevo trabajo en el recorfido inverso. El trabajo net0 en q mino 112 mu22 f mgh2 representa su energia en el punto mPs alto. Ve- recorrido cerrado no es nulo.

-

1 4 2 TRABAJO Y E N E R G ~ A . [CAP- 8 --

I

Esta diferenck entre las fuerzas gravitatoriasg las fueuas de roza- I miento es el criterio que determina si se produce o no un aumento de 1 energia potencial cuando se realiza trabajo. Si el trabajo puede recupe-

rarse, hay un aumento de energia potencial, y no lo hay en caso contrario. 1 Las fuerzas tales como las gravitatorias o la fuerza ejercida por un re-

sorte, en Ias cuales el trabajo es recuperable, se llaman fuerzas conserua- tivas, y aquellas otras fuerzas como la de rozamiento se denominan no

1 conseruafiuas o disipafivas. Unicamente cuando todas las fuzrzas son conservativas se conserva la energia mecanica de un sistema, y sdlo cuando

1 s e realiza trabajo contra fuerzas conservativas se produce un incremento 1 de energia potencial.

Pudiera objetarse que, puesto qu& el calor producido cuando existe 1 rozamiento es equivalente a la energia disipada, cabria utilizar este calor I para hacer funcionar un motor termico, y con el trabajo obtenido elevar I hn peso. Esta objeci6n sera completame-nte resuelta en un capitulo pos- 1 terior, al estudiar el segundo principio de la termodinwca. Por ahora

diremos simplemente que so10 una parte del calor puede transformarse 1 de nuevo en trabajo, y que nunca es posible recuperarlo en su totalidad.

Como resultado de la discusibn precedente, se puede escribir una expre- I si6n general para el incremento de la energia potencial. Supongamos un 1 cuerpo que se mueve desde un punto a hasta otro punto b sobre una

trayectoria d e forma arbitraria, como se muestra en la figura 8-10. Sea 1 F una fuerza conservativa que forma el ingulo 8 con el elemento ds de 1 la curva. El trabajo realizado contra la fuerza F, en la distancia ds, es

-F cos 8 ds, que es igual a1 incremento de energia potencial, dV; esto es: I

dV = - F c o s 8 ds [8-151 I

I . -

1 El t6rmino C b F cos 8 ds se denornina integral curuiffnea de F entre J a . - - - . - - . -

- IoBpuntoS Q y b. 1- - -- -

Los dos casos particulares de la energia po&Gial gravitatoria y-de 1 la energia potencial de un resorte estirado, pueden deducirse inmediata- I mente a partir de la Ec. [8-161; p. ej., si se levanta un cuerpo de masa m

desde una altura yl a otra yz, F = mg, 8 = 1800, cos 8 = -1, ds = dy, y I

I Vamos a considerar un nuevo ejernplo para poner de manifiesto otro 1 aspect0 interesante de las relaciones energia-trabajo. Supongamos el caso

1 2 Vease G. B. THOUS: Cdcelo infinitesimal y geomelrfa analltica. Sec. 14-14. Aguilar. Madrid, 1958.

FUERZAS CONSERVATIVAS Y DISIPATIVAS 143,

- - --especial en que tanto el desplazamimto cum0 la fuena se efectuan a lo

P :: largo del eje X. La Ec. 18-15] se transforma en

j..,._. . +. -

f :: Por tanto, la fuerza es igual y opuesta a la derivada del potencial respecto t7 ' -~" 'a - la - abscisa s. Si se construye una gr6fica de V como funci6n de s, el f !:-.....:--. ~?%5rmino . . dV/& represents la pendiente de la curva, o, como tambikn se

llama, el gradiente de energfa potencial. En consecuencia, podemos decir - - -..- - ,; . . . ,~ , .- , . .. . que la fuerza es igual a1 gradienfe de la energia ': "' ' -'poiencia1 cambiado de signo. Esta relaci6n entre

. k.i:.'".. f :::.la fuerza y la energia potencial resultars suma-

. 6.-,,-~mepte util mzis adelante cuando estudiemos las --=.fuerzas gravitatorias, elkctricas y magnkticas. .A ..:: .~." . En particular, si existe-al@n punto sobre

5, .-:' '. ,; eje en el que la fuerza es nula, un cuerpo F. -:::;:. situado en dicho punto estti en equilibrio. Pero .. $; . . - - . .,. . . -~i la fuerza se- anula, dV/dz = 8, que es la e g, .;+'.condici6n ;:. . necesaria para la existencia de un a

t - _ .% dificil probar que para la existencia .de equi- ;,~rnsximo o minim0 de la energia potencial. No

6.. ... FIG. 8-10. '. . . - e. ,. ;..3ibrio estable, la energia potencial debe ser F:- .-.--minima, y el equilibrio es inestable si corresponde a un m&o de la k;.z;energia potencial. Por bnto , , s i las fuerzas .que actuan sobre el cuerpo .E...L,-..son ..,'". . conservativas, estara en equilibric estable en todo punto donde su

-~.:energia potencial pase por un minimo, y en equilibrio inestable, donde :l... :.:iSu energia potencial sea m-a. Un ejemplo familiar, cuyo analisis se $; :..; .. : P:....? i . . .. deja a cargo del lector, es el de una varilla suspendida de un pivote.por $: :-:':U~O de sus extremes. , . . . . - .~.. .. :'.. . .I': +... .. ~ ... .... -.,. . Hay un punto en relaci6n con el trabajo y la energia potendal que es causa a ve-

. . . . . . . . . . :,~:::& . .. de cierto confusionismo. Supongamos un cuerpo que se levant3 verticalmente por la acci6n de una fuerza P, mayor en magnitud que el peso -del cuerpo. Si -son

h..,:. ':.q y os las veloddades hacia arriba en las alturas-hl y he, y se desprecia el rozamient0:- .. , f;?z :,,!LL:.~- - - ~ . . -

. . .-- .. - . ... . 6 .-. : ,. -. Trabajo = AEC + U P

Z"? -,----,=-- F-;- *---* Si llevamos al prfrner miembro 10s tdrminos correspondientes a la energia poten- g --- dd, l a ecuaci6n se escribe:

$;;;;;- P(ha - hi) - rng(h9 - hi) = 11s mv# - 11s rnq9 :. . , . .. . .- . .. .. . . , . . . . El tdrmino P(h2 - hl) es el trabajo realizado por la fuerza P, mientras que el 5. .z ::. I:-.---.- .. . -t&mIno -mg(hz - hl) es el product0 de la fuerza gravitatoria - mg, opuesta a la & y:f::direcci6n. del movimiento, por la distancia recorrida, h2 - hl; por tanto, puede des- f;~-;.y7~.-,Cribirse como el lrabajo efeetuado contra la fuerza -graoiiatoria, por lo que la tercera + i ~ ." ecuaci6n admite el siguiente enunciado: *El trabajo neio realizado sobre el cuerpo es . . t - igual a1 incremento de su energia cinhtica hnicamente?. & 3.;". ..;- ESt .,:!.- - ? e mismo proceso algebraico de transferirtCrminos de un miembro a otro en ;:..!: . - -,.,kt 7;',-. ecuaci6n trabajo-energla puede efectuarse con cualquier fuena conservativa; es E--~;.L E :.---

- - - .-.:;a:. ,.,. .- - . . = I - . .*-

*,. *---

. , ..cp* ,: - * 1 - . ..:. ' (

, -7.

1 . -. ,. . 1 44

. . I - /( 1 1 - -pu~lwo Y ENERG~A [CAP. 8 1 :<;sEc. 8-91 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 145

.. . . I ' I (

decir, podemos Devar todos 10s t6rminos dond? interviene la fuena a1 segundo mi- - - bro dela-ecua-66n y deslgnar su diferencia como un incremento en la energfa poten-

cial, o transferirlos al primer miembro cambidndolos de signo, y dedr que representan el trabajo realizado contra la fuena conservativa. Sin embargo, no es poslble hacer las dos cosas al mismo tiempo. Sf, cuando se eleva un cuerpo vertlcalmente, ponemos 10s tkrrninos mgh en el primer miembro de la ecuaci6n y consideramos p e se ha efectuado trabajo contra la fuerza de gravedad, no eS legitimo asignar a1 cuerpo una energia potencial gravitatoria. Por otra parte, si se llevan 10s tQmlno8 al segundo miembro y se considera quc representan un incremento en la energIa potencial, no debemos incluir en el t6~mino trabajo el realiiado contra las fuerzas gravltatodas. Puede adoptarse indiitintamente cualquiera de 10s dos puntos de vista; no obstante, el m4s wrriente es asociar una energfa potencial a una fuerza wnservatlva.

I 1 R E S U M E N I

Si representamos por Kl y Vl, respectivamente, las energias cinCtica y potencial iniciales de un cuerpo; por KZ y VZ, las energias a1 final de cierto proceso, y por H, la energia convertida en calor, se puede escnbir:

j I Trabajo realizado = (K2 - K ~ ) + (vz -- v1) + H.

j I s I Casos especiales. 1.0 Si el sistema carece de rozamienfo, entonces I H = 0, y todo el trabajo realizado se emplea en aurnentar las energias 1 1 cinCtica y potential.

' 1 2.0 Si no se realiza nin@n trabajo sobre el sistema, tenemos:

; I 0 = (K2 - KI) + (V2 - VI) + H, 1 o bien:

1 Esto es, la energia mecinica total de un sistema aislado a1 comenzar un proceso de naturaleza cualpuiefa es igual a la energia mecwca a1 final de

I - dicho pmceso, m b la energia meeanica convertida en calor. Esta ecuaci6n puede tambien escribiie: _ - -

- - _ _ _ _ _ _- - - - - . --

Esto es, en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema aislado, la perdida de energia potencial es igual a1 incremento de energia cindtica, mis el calor desprendido.

Una nueva agrupacibn de t6rminos da: ,. .

(Kz + V2) = (Kl + VI) - H .

Es decir, la energia -mecbica a1 terminar un proceso es menor que a1 co- I mienzo del rnismo, y la disminuci6n es igual a la energia convertida en calor.

L . 2- - --._L .- . , ;.:.:.- 3.0 Si el sistems carece de rozamiento y no se realiza ninglin trabajo

. . . .:, 4 f -.:.sobre 61, tenemos: g :<.:;.. 6 . .- . (Ki + Vi) = (K2 + V2). C

I ... Esto es, la energia mecanica total de un sistema aislado, sin rozamiento, : es constante.

t

-. -. La ultima ecuaci6n puede tambien escribirse: --- (1'1 - V2) = (K2 - Kl). t - , 0 sea, en cualquier proceso que tiene lugar en un sistema aislado, sin .-

I -- rozamiento, la perdida de energia potencial es igual a1 incremento de

-w .- energia cinktiea. \ -

f -. L

>PYI. -;...<.2 -'. .- .,. . . . .. ESEMPLO.-Un cuerpo desliza, sin rozamiento, partiendo del reposo, sobre una .- :y&pista formada por un cuadrante de circunferen- ':??cia' de radio R (Fig. 8-11).

-C". ..... . .~.. .,. Demuestrese que la magnitud de su velocidad . - - . ,?.-en el punto mas bajo es igual a la que adqui- -. .*. :-:;::-rMa en la calda libre desde una altura vcrtiyl R. .. ~ .-*,,,.

,,.<.. ,.. . La fuerza normal ejercida sohre el cuerpo por _:...-- :&la pista es constantemente perpendicular a1 mo- -;;..:yimiento, por lo que no se efcctda trabajo so- . ..*.

- - . .- : bre 'el cuerpo durante el descenso, y la energfa . .--- FIG. 8-11. :?.total .- permhew constante. En el punto inicial

.;!?.la . . . energfa cin6tica, es nula y la energia potencial ':-:,-.. ::$;;'is igual a mgR, si la horizontal de refcrencia es la del punto mas bajo. A1 final la >. energla erg la potencial es cero y la energla cinktica vale 112 mu2; por tanto:

I-.:-.. . . . ..?. .. .

. . : - 8-9. Principio de 10s t rabajos virtua1es.-El principio de 20s trabajos 1.1. :

.:$$virtuales constituye un poderoso recurso para la resoluci6n de 10s pro- ~:,bIemas de eskitica, pues de hecho

f I . *-. . .::l.equivale ,..., %. a las tres condiciones de ,.-. .$r+qdi.fia-. ... . - - . .. . .. ~

f,

- . . . .:::$::. . -\.. La f i g u c 8.12 represents una va- .>I:rilIa rigida (cuyo peso puede despre- , t r, 0 .~~~%ciarse) en equilibria bajo la acci6n A

b .-;A$, Ir

~ d e tres fuerzas F1, I;i y F3. Si supo- , . iiij.. .-.:.-nemos ..- .~ que se hace girar la varilla un : .%? ..- pequefio ingulo alrededor de un eje ,.-:-,~ __',que . pase por 0, 10s puntos a y b se

i.;:,

,-5.: .. . z . -desplazan las pequeiias distancias yl ,.$e gz, respectivamente. Se hace un tra-

' F, FIG. 8-12.

.:-?ibajo . . . - . . . . igual a Ful por la fuerza Fl, y se hace otro trabajo F2y2 confra la fuerza F2. La fuerza F3 no realiza

:.;::&:.-ningtin .L.mL. trabajo. Por. las condiciones de equilibria sabemos que Flzl = : -2?--- ,*.- Fm. y por semejanza de trihngulos yl/yz = a/xz, de donde resulta ..'. s. ',.

146 TRABAJO-Y ENERG~A [CAP. 8

-que Fwl = F2y2. Por consiguiente, el trabajo r e a l i d -per,la - f u e m Fl es igual a1 efectuado contra la fuerza Fz, por lo que el trabajo ndo es cero.

Por supuesto, no tiene lugar realmente el desplazamiento del sistema; es solo imaginado y computamos el trabajo net0 que se haria si aquel tuviese efectivamente lugar. Por ello, se denomina-d-qplazamienfo virfual: El principio de 10s trabajos virtuales es una generalizacibn de este sencillo ejemplo, y dice que cuando un sisfema se encuenfra en equilibrio, el trabajo efecluado en un desplazamienfo virtual es nulo.

En el ejemplo elegido las fuerzas eran conocidas de antemano, pero cuando este metodo se emplea como recurso en la resoluci6n de problemas, las fuerzas no se conocen, sino que se calculan utilizando dicho principio.

8-10. Potencia.-En la definition de trabajo no esM incluido el concepto de tiempo. El mismo trabajo es necesario para levantar un peso determinado a una altura dada, si el trabajo se realiza en un segundo, en una hora, o en un afio. Sin embargo, en muchos casos, es necesario considerar tanto el trabajo total realizado como su variacibn con el tiempo. La variacion con el tiempo del trabajo realizado por un agente que trabaja recibe el nombre de pofencia desarrollada por dicho agente.

Si en un intervalo de tiempo (fi - fl) se ha realizado un trabajo W, la potencia media P se define como

trabajo realizado - Potencia media =

intervalo de tiempo '

Si la variaci6n del trabajo con el tiemPo no es constante, la potencia en cualquier instante es la raz6n del trabajo realizado4al,intervalo de tiempo cuando ambos son infinitamente pequefios: . .

dW Potencia instanthea P = - . - -- - dt- - -. -. - -

, -. . - En el sistema Gcnico, en el cual la unidad de trabajo es el k i logrhe-

tro y la unidad de tiempo el segundo, l a unidad de potencia es el kilo- grametro por segundo. Un mdltiplo de ella es el caballo de vapor (CV), que equivale a 75 Kgmlseg.

En el sistema mks, la unidad de potencia es el julio por segundo, que se denomina uafio. Esta es una unidad demasiado pequeria, y la potencia se expresa con m4s frecuencia en kilouafios o Kw (1 Kw = 103 w = 103 julioslseg), o en megavafios (1 Mw = 1000 Kw = 106 w).

La unidad de potencia en el sistema cgs es el ergio por segundo, para el cual no se ha asignado nombre especial.

En el sistema inglb, en que el trabajo se mide en foot-pounds y el tiempo en segundos, la unidad de potencia es un foot-pound por segundo.

. . f - , :... . ... v- - SEC. 8-11]

.- W& 4 :7 POTENCIA Y VELOCIDAD

-. . .... 147 $1 ... . .

. 5 -; :-..:_Par ser esta unidad-demasiado pequefia, se emplea corrientemente una uni- f:-??I dad mayor: el caballo de vapor inglCs o horsepower (HP). 1 H P = 550 if.':::? - foot-poundlseg = 33000 loof-poundlmin. Esto es, un motor de 1 HP, tra-

t ' . . bajando a plena carga, proporciona 33000 foot-pound de trabajo cada minuto.

. . . - - 3;

Un concept0 equivwado supone que las denominaciones vafio y kilo- .. qaiio implican algo de origen ele'cfrico, lo cual no es cierto. Es verdad que -. .-. . . . . . . .

corrientemente la potencia electrica se expresa en vatios o en kilovatios, ; I.. pero la potencia consumida por una lampara de incandescencia pudiera - . - expresarse igualmente en caballos, o la potencia de un automovil en r ?''- i' . . . . - . -,. - . -. kilovatios. i. De las relaciones existentes entre kilogram0 y newton es ficil deducir

: que 1 CV = 75 Kgmlseg = 735 w = 0,735 Kw; y de las relaciones existen- F - ->:j"e'- tes entre newton, libra, metro y pie resulta: 1 HP = 746 w = 0,746 Kw, ! h= L zr.y-.. o sea, aproximadamente, 314 de kilovatio. ! , - ' , ' . '

i ..... Habiendo definido dos unidades de potencia, el caballo de vapor y I . el kilovatio, podemos utilizar a su vez 60s nuevas unidades de trabajo, el ! . . saballo-hora y el kilovalfo-hora (Kwh).

Un caballo-hora es el trabajo realizado en una hora por un molor que desarrolla una polencia consfante de un caballo.

Puesto que dicho motor proporciona un trabajo de 75 Kgrn cada se- --a- gundo, el trabajo proporcionado en una hora es 75 x 3600 = 270000 Kgm:

: - :- . . . . . . . . . . . f- . f :-T; ' ".&y' -- ,,

1 caballo de vapor-hora = 270000 Kgm. . . . ... .... . . . - . . . . ; I"-"...:..: Un kilovaiio-hora es el trabajo realizado en una hora por un mofor que t , ;,-.-.? 7:

. . . . . . - :. desarrolla una pofencia consfanfe de un kilouafio. ; . --... .. ....... . . . . . . . . . . . . . . . Puesto que dicho motor proporciona un trabajo de 1000 julios cada

segundo, eltrabajo proporcionado en una hora es 3600 x 1000=3600000 7 .

j ..:.- j d o s : I .-1-. . . 1 kilovatio-hora = 3,6 x 106 julios.

- i .;- ::,: . . . . : :

:. .-: . , . . ObsCrvese atentamente que el caballo-hora y el kilovatio-hora son

. . . . . . . I ~ d a d e s de-trabajo y no de potencia. . . - ........ . -. -

Una particularidad del trabajo o de la energia que debe hacerse resal- ... , . . . - ...--

i .;-??: es que, aunque se trata de magnitudes fisicas abstractas, tienen,. no ; G:;.. ..obstante, un valor monetario. Una fuerza de un kilogramo, o un metro r - por segundo de velocidad son.cosas que no pueden ser compradas y ven- , . -. . + ........ . didas como tales; pero un kilogrlmetro o un kilovatio-hora de energia son . .

. . magnitudes ofrecidas como mercancias a precios determinados. En for- --'- ma de energia electrica, el precio del kilovatio-hora varia segun la locali- . - , - .

I . 2.: .dad y la cantidad adquirida. ! . . 8-11. Potencia y ve1ocidad.-Supongamos que se ejerce una fuerza i . . . -:: - .constante, F, sobre un cuerpo, mientras el cuerpo realiza un desplaza- . . . . . . miento (x2 - xl) en la direccion de la fuerza. El trabajo realizado es:

-.- . .. .- - .. ~- ...... - -...-- ~ - - ~. . ~ ~ -

..- . .,

. .. 148 TRABAJO Y ENERG~A PROBLEMAS - . . . . .+ .~:. ,. - ... -- . .

y.la potencia media. desarrollada: . . . -

Pero 22 - es la velocidad media, u; por .consiguiente, i2 - 11 - .

- - . - P = Fu.

- -

Si el htervalo de tielnpo es infinitamente pequefio, la Ec. 18-17] se reduce a

dz P = F - , dl

o bien: P = Fv, [8-181

siendo P y v 10s valores instantineus. . .

E J E M P L O . - ~ ~ ~ locomotora que lleva una velocidad de 15 mlseg ejerce m a hac- ci6n de 10 000 Kg. ~ Q u d potencia desarrolla?

P = FD - 10 000 x 15 = 150 000 Kgrnlseg

150 000 31-

75 3 2000 cv. .

P R O B L E M A S . -

, - - 8-1. La locomotora de un styen .de

mercancias ejerce una fuerza constante de 5 ton sobre el tren mientras lo arrastra sobre una via horizontal a la velocidad de' 40 Km/h. ~Cuiintos kilogriimetros de tra-

_ -- hajo realiia lalocomotora en un recorrido - de 1 Km?

8-2. Un caballo remolca una barca a 10. largo de un canal; la cuerda de remol- que forma un iingulo de 100 con la trayectoria de la barca. Si la tensi6n de la cuerda es de 50 Kg, LcuAntos kilogriimetros de trabajo r e a l i i el caballo mientras la barca recorre una distancia de 30 m?

Fro. &IS.

8-3. Un bloque de 100 Kg es empu- jadb a n a distancia de 6 m sobre un piso horizontal, con velocidad constante, mediante una fuena que forma un iingulo de 300 con la horizontal, como indica la figura- 8-13. El-coeficiente de-rozamiento -

entre el b loque~r el piso es 0,30. ~ Q u l trabajo en kilopimetros se ha realizado?

8-4. La fuena en libras necesaria para alargar cierto resorte una distancia d e z pies a partir de su longitnd normal e s d dada por F = 102. a) ~ Q u 6 fuena serA necesaria para alargar el resorte 6 pulg? ~1 pie? ~2 pies? b) ~Cu4nto trabajo se requiere para .alargar el resorte 6 pulg? 11 pie? ~2 pies? 8-6. Un bloque de 20 K g es empujado

sobre una superficie horizontal por una fuena F que forma un b g u l o 0 con aquklla (Fig. 8-14). Durante el movi-

.'A - . - X ;-- =. -- -

- - - -- velociirad a e rlD-Km/K &uhntirs veces ;> -; - *: - ? - I@-& se hacc rnayor la energla cinCtica st se - -

i' duplica la velocidad del autorn6vil? 8-11. Un electrhn alcanza la pantalla

i, r - - de un t u b ~ de rayos cat6dicos con una - 5 FIO. 8-14. velocidad de 100 cmlseg. Calcdlcse su

energfa cinCtica en ergios y en julios. La . . . - . - . . . -- ..-.. .-. . .

miento, la fuena-aumenta de acuerdo del es go ... . v n la relaci6n F = 61, donde F esta en .. .. . . . ttewtons y t en metros. E l hrigulo varia - .. ~- .- . ' .. tambiCn segon la ley cos 0 = 0.70 - ,., . .~ - . . - . . . -

:. 0.02 x. ~CuAnto trabajo h a b d reali-- . . :: - - zhdo la fuerza mientras el cuerpo se ha . .. . ~ . --

.%,K.. -.-. . , . . desplazudo desde z = 10 m a z = 20 m?

n2‘. FIG. 8-15.

.-- . -.- - *=.s. x . i ; .

i. ic.- - -:. 8-6. 1-a fuerza de atncci6n gravitn-

5j-.:..e.-. loria e n t n dos puntuales m a 8-12. Una varilla de un metro cuya +_.+ . . .. ~ i: . -- . - esi4 dada por masa es de 300 g puede g i n r alrcdedor *< :.-.. f r - . ... Gmrn' de un eje colowho en utio de sus extre- , . -- . I : = -

1 2 ' mos, como indica In Iigum 8-15, y es 5. '.; ~ 2. >, .~ desviada un hngulo de 600. LCuAl es el 1.. .. . s i e n d ~ z la distancia que las separa, y incremetito de su energla poteiicinl? : G uua constat~te. Calc~ilese el trabajo 8-13. La escala de cierta balanza de - : ..: - - . . real zado al aumentar la distancia de resorte abarca de cero a 100 Kg y tie

. .. . a n b. , .. . -. . . ne una longitud de 20 cm. LCuAl sera la

,* ,, . - . . :,. --P-7. Un cuerpo es atraldo hacia el energia potencial del resorte cuando se <, .. - . . .. . - .. ... . . I. . . - - - - - - . oiigen con una fuena dada por P = haya alargado 20 cm? ~ 1 0 cm? LY cuatldo . - . - . . . ?> ..:**::.. ,. . . . . .:A,..,.-.. . E. - 618, donde F estA en libras y z en se cuelga del resorte un peso dc 25 Kg? . .. .*. . -

. -..-pits. ~ Q u 6 fuena se requlere para man- 8-14. Un .bloque que pesa 8 Kg es . k ..:i- -

'-*. . . . tet~er el cuerpo en el punto a, a 1 pie del empujado, mediante una fuerza Iiori- .. - .~ -= '>. .- : i .. - .. ,. ., .. rorigen? . LY en el punto b, a 2 pies del zontal de 4 I<g, sobre una superficie lisa, -. -

- origen? ~Cugnto trabajo se realiza a1 horizontal durante un tnyecto de G m. ,? . ... 1v .,..,.,. trasladar el cuerpo del punto a a1 b? El bloquc parte del reposo. a) ~Cuiirito z . ~. L.. . il:; ,:.;,--..- 8-8. Un bloque es empujado 1,20 m trabajo se ha realizado? L E ~ quC se ha @ -;=,, sobre una superficie horizontal, mediante convcrtldo este trabajo? b) Cornprukbese - ,. ... .. . : r. _ .una fuena tambiCn horizontal de 5 Kg. la respuesta culcula~ido la aceleraci6n dt l : * , .: -. . .. . ,:La fucrza opuesta de rozamiento es de bloque, su velocidad filial y su energla . ... f: ;?I._. 1::Kg. -d) iQuC trabajo ha-natizsdb et- -cinCtica. - - . - - . . - . ~. .

. - , . , . - . , . . 1.' - .. agente exterior que ejerce la fuena de 8-15. Supbngase, en el problema an- <i :. ;;-: 5 Kg? b) ~Cuiil es el trabajo ncfo hecho terior, que el-bloque t ime una velocidad -. - , . . -. ,, ,;., por .el bloque? . .- .. -

inicial de 3 mlseg, permaneciendo inva- u . . ..:.,.

. ~ - 8-9. Una bala de 2 g de masa es riables las otras magnitudes. a) ~Cuhnto

.... . . 1 disparada por un fusil cuyo cafi6n tlene trabajo se ha realizado? b) CompruCbese - . - - . 100 cm de longitud. La fuena que ace- calculando la velocidad final y el aumento i; : -;i'lera la bala mientras se encuentra en el de energla cinbtica.

i . . -.;. interior del cah6n esth dada por la ecua- 8-16. Un bloque de 8 Kg sc levanta

.- . . . - ci6n F = 12 x 1P - (6 x 10')1, en la verticalmente, con velocidad constante

- - . que F esta en, dinas y z en centlrnetros: .. de 3 m/seg, una altura de 6 m. ~Cuhnto . .

f.: - :..:; . . ... fhlcblese la velocidad de la bala a1 salir trabajo realiza la fuerza? &En qu6 se .-- ~ - -- . . - . . - -

. ~. del tusil. transforma este trabajo?

- . .. . . ... . 8-10. Calcdlese la^ energfa cinktica de 8-17. Un bloque de 25 Ib es empujndo l:ji un eutom6vll de 900 Kg que lleva una 100 p i e hacia arriba por la superficie de

... Z?:,z--. -.- ~ . . . ~ , . . .

.... .

TRABAJO Y ENERG~A

un plano inclmado 374 sobre4a--horizontal por una fuena constante F de 32,5 lb, que actda paralelamcnte d plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,25. a) &CuAnto trabajo realiza la fuerza F? b) Calc~ilese el incremento de energia cinQtica que experimenta el bloque. c) HAllese el increment0 de energia potencial del bloque. d) HA- llese el trabajo efectuado contra las fuerzas de rozamiento. &En qu8 se transforma Qste? e) lQuQ jmcde decirse acerca de la suma de b), c) y d)?

8-18. Un bloque de masa m desliza una distancia s hacia abajo por l a superficie de un plano inclinado un Angulo 0 con la horizontal. El coeficiente din& mico de rozamiento entre el bloque y el plano es y, y la velocidad del bloque en el extremo superior del plano es q. LCuAl es la expresi6n de su velocidad o2 en la parte mAs baja? (HAgase uso de consideraciones energdticas para deducir la respuesta). Dedlizcase de dicha expresidn el Angulo mfnimo de inclinacidn del plano para el c u d el bloque descenderia con velocidad constante.

8-19. E l martillo de un martinete pesa 1 ton y cae desde una altura de 3 m sobre un pilote a1 cual intseduce 8 cm. Calcf~lese, a partir de consideraciones energe'ticas, la fuerza ejercida sobre el

- 8-Zir -Un-bloque que pesa 2 Ib se comprime contra un resorte horizontal de masa despreciable, reduciendo su longitud en la cantidad 11 = 6 pulg. A1 soltar el bloque, Qste se desplaza una distancia re = 2 pies, sobre una mesa horizontal, antes da quedar en reposo. La.fuerza constante k es de 8 lblpie. (Fig. 8-1G.) &CuAl es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la mesa?

8-22. Un b l q u e de 10 g de masa desliza con velocidad r, sobre una superficie plana sin rozamiento h a s h chocar contra un resorte periectamente ebstico de masa despreciable. E l bloque queda en reposo despuks de haber comprimido 5 cm el resorte. La constante del resorte vale 1000 dinaslcm. a) iCuAl es la energia potencial del resorte cuando se halla comprimido? b) &Cull es la velocidad u del bloque inmediatamente antes del choque con el resortc? c) ~ Q u 8 trabajo realiza el bloque sobre el resorte?

8-23. Un bloque de 2 Kg se deja caer desde una altura d e 40 cm sobre un muelle cuya constante k es 1960 newtons por metro. Hgllese la longitud r n m a que sera comprimido el resorte.

pilote, suponiendo que es constante. FIG. &17. 8-20. E l muelle de una escopeta de - - -

resorte tiene un coeficiente de rigidez 8-24: . lJn bloque de 1 Kg de mass se de 0,5 Kg por centfmetro. Se le cornprime halla en reposo sobre una mesa, como 5 cm y se introducben-el-CaK6ri uria bala en 1% figura g ~ 7 , - - ~ - ~ d o u n i d ~ 6 aos de 10 g contra el muelle comprimido. soportes v e r t i a e s mediante dos resor- a) Calcdlese la velocidad maxima con tes Sl y Sa. El coeficiente de rozamiento que la bala abandona la boca del fusil, entre el bloque y la mesa es 0,2. Se sabe una vez soltado el resorte. b) Detennf- ademas que son necesarios 10 newtons nese la velocidad mAxima en el =so de para alargar 25 cm el resorte Sz, y 2,s que actde sobre la bala una fuena resis- newtons para alargar tambibn 25 cm tente de 1,125 Kg. el Ss.

Inicialmente el bloque se halla en su i posici6n de equiliirio entre 10s resortes

con su longitud'natural. A continuacidn es desplazado poco a poco 50 cm me-

pulg 0 I

r , - 2 pla- diante una fuerza horizontal F, wmpri- miendo uno de 10s resortes y estirando

Fra. 8-16. el otro. a)Xalcaese el trabajo total reali-

. ~ . ~- .- ;- '--& .. , . 3,

. . PROBLEMAS 151,

L~-;.:~G~ *do .par l a 3 uerza_F..durante _este pro- _ .+ , ~ , 7.7' , hi, ..-.r .,, ,- - - . ceso. . b) Si el bloque se suelta, lcuAl serA * -. - . . , , , . . . . . . . ;;..:..: .--.a velocidad cuando pase por la posicidn ,-- .i. . . . . de equilibrio? t S-25. Un proyectil de 8 Kg se dispara F%. 8-19.

- . -' m r un caii6n con una velocidad inicial t -

. ; ..; -.., - de 240 m/seg y bajo un Angulo de eleva- . . - , ci6n..de 450. Se pone .a.continuaci6n el . . ." A ..,. -.. - ~. -- . . . . . . . .. . .

. cafl6n vertical y se dispara otro proyectil i .~.; .. 9nAlogo con la misma velocidad inicial.

.. ., - --- .- ~ - . ~ . a) Hallense las maximas alturas alcan-

5 ;' zadas por 10s dos proyectiles. b) Demuds- .&.. >?. ..L..

: .. .- - . . 'trese que en ambos casos es la misma la - . . .energla total en el vQrtice de la trayec- . " <.#..:a".. - 9; .,,. :..,'.

._ . . . - ,~.7G;ir,::torla. . . c) Haciendo uso del principio de I . . . : . :.~. -'conservaci6n de la energla, hallese la Sn.:.-'*:;...-,~ .*" .:. . . . . . _ . ... altura que alcanzarla un proyectil an&-

. . s .- . -:. -logo a1 ser disparado con un Angulo de

-, . . , . . . . i.: . . _ . . : elevacidn de 300.

. -.. Fro. 8-18. - - - r " . : ,.. .~.. -. *.- ..;;. i.i-:1...:-:-.._-'8-26. . . . . . . . En la figura 8-18 sup6ngase T- .. - - - :;.-,:-que - . el resorte tiene una longitud natural . . . . ... . . . . . i .. . . de 1 pie y que su constante vale 1260 lb 4 . , .," ' : + 1.. . . . . - . por pie. El hombre que muestra la figura

- . &.-:-: _. . .,--pesa-200 -ib y acaba- de caer-sobre -el ~~

. ... .. -. -- . , . . .~ . resorte, comprimiQndolo 8 pulg (de forma - ., . . . . .. . . .

. . . . . . . .- , . -.-:':..-,gne estt a punto de ser lanzado hacia

---..=:-.-=.( . . ..~. arriba). a) ~ C u a l es la energia potencial ,w .-a,.. *. .:< +. .-l-_-_.. gravitatoria del hombre en dicho ins- -..-

~ . . . tante? (Sup6ngase que es cero cuando el -.I-- hombre apoya sus pies en el snelo, y .. - - - .. . - " . .",. . , > ..

. . -. - . .- . que no dobla las rodillas). b) ~ C u l n t a

. : - -. . :~:. .. . energla potencial almacena el resorte en . . -~

. . : . . ~ - - ' este instante? c) ~ Q u d altura sobre el I -. suelo alcanzarai el hombre? (ObsQrvese *,. :. ..;

no este atado a1 resorte). -. . . . . . .. . . .

- <. . 8-27. La figura 8-19 representa una

3,- G--rpista sin rozamiento en forma de un $: . =;,:,.-. -. . . ,,,,, - cuarto de circunferencia de 1,20 m de 1 ..,,:~:.. . . ' -. ,. . . . . . , ~ . - . , .. . . . . .

radio, que termina en un tramo horizontal sobre el que hay un resorte cuyo extremo libre coincide con el final de la pista circular. Una fuerza de 600 Kg comprimirfa este resorte 22,5 cm. Un objeto que pesa 6,25 Kg se deja caer con velocidad inicial nula desde el extremo superior de la pista, siendo detenido por la acci6n del muelle. a) ~ C u a l es la velocidad del objeto inmediatamente antes de chocar contra el resorte? b) ~CuAnto se habra comprimido el resorte a1 detenerse el objeto? c) Si se supone nula la energia potential inmediatamente antes que el objeto tropiece con el resorte, ~ c u a l sera la energia mecanica total del sistema si se sabe que el objeto ha comprimido el resorte 3 cm?

8-28. Un bloque de 5 Kg es lanzado sobre la superficie de un plano inclinado 370, con una velocidad inicial de 10 mjseg, observhndose que asciende 6 m sobre la superficie del plano, se detiene y retrocede hacia abajo. a) Calclilese la energla cine'tica inicial del bloque, y su energia potencial en el punto mas alto. b) HA- llese la fuerza de rozamiento que actha sobre el bloque. c) Calcdlese la velocidad que tiene el bloque a1 alcanzar el pie del plano en su retroceso. --- .~ .. . - .-

8-29. La pista representada en la figura 8-20 consta de un cuarto de circunferencia lisa y de un tramo recto ru- goso, unidos como se indica en la figura. El radio de la circunferencia es 1,20 m y la inclinaci6n del plano 370. Un bloque se abandona partiendo del reposo en el

punto mls alto de la pista circular. Esta dltima carece de rozamiento; mfentras que el coeficiente de rozamiento entre el

".: .. . .-bloque y el plano inclinado es 0,3. tQu6 parte de la energfa cin6tica que tiene e;.: bloque cuando estA en el punto~i i sk ia jo de la pista se disipa por rozamiento a1 ascender hacia arriba del plano?

8-30. Una varilla de 1 m de longitud y 100 g de masa, cuelga de uno de sus extremos. Se lleva a posicidn horizontal y se suelta de nuevo. Calcdlese su energia clnktica cuando pasa por la posici6n de equilibria.

8-31. Una pequeiia esfera de masa m est4 unida a un trozo de hilo sin peso, de 60 cm de longitud, de manera que constituye un pkndulo, que oscila des- vihndose un Angulo mAximo de 600 de la vertical. a) icon quk velocidad pasa la esfera por la vertical? b) iCuAl es la aceleracidn instantanea cuando el p6n- dulo forma su Angulo maxim0 con la vertical?

8-32. Un montacargas tiene un peso total de 1200 Kg. Parte del reposo en el primer piso y 5 seg mAs tarde pasa por el quinto piso, situado a 18 m del pri- mew, con una velocidad de 9 mlseg. HAllese el trabajo total efectuado sobre el montacargas durante el interval0 de 5 seg, y la potencia media desarrollada. Despr6ciese el rozamiento.

8-33. Calcdlese en caballos de vapor la potencia desarrollada por la locomo-

. tora del problema 8-1. 8-34. El martillo de un martinete

- para clavarpi lotei~~p~sa 500 K g y ha de ser elevado una distancia vertical de

- 1,s m en 3 seg. tCuAl es la potencia en caballos de vapor del motor empleado?

8-35. Un cafidn dispara un proyectil con un Angulo de elevaci6n de 370, se@n

muestra la figura 8-21. E l proyectil pasa por A; a 9000 Ih del emplazamiento del caiibn, y a1 mismo nivel que Qste, alcan- zando el blanco B, situado 300 m ppr

. :debaja' de A, a) Galchlese la velocidad . inicial del proyectil, despreciando la resistencia delkire. b) Si e! proyectil pesa 32 Kg,-6cuAl $s su energla cinztica cuando pasa por A? c) &CuAl es la energIa cinetica del proyectil al chocar con el blanco?

8-36. Un hombre situado en el punto m a s alto de una pendiente de 370 arroja una pelota horizontalmente, que choca . con el suelo 72 m mas abajo. a) Si se hubiera arrojado la pelota con la misma velocidad inicial, per0 formando un bngulo de 370 con el suelo horizontal, tqu4 distancia horizontal habria alcanzado? . (Desprkciese la resistencia del aire). b) Si la pelota pesa 250 g y estA en la mano de quien la lama durante 118 seg, ~ c u a l sera la potencia media desarrollada en el act0 de lanzarla?

8-37. Un cable remolcador de'esquia- dores tiene que actuar en una pendiente de 370. El cable ha de moverse a la velocidad de 8 K m p y transports simultaneamente 80 pasajeros, cada uno de 10s cuales pesa, por thrmino medio, 75 Kg. Calcdlese la potencia requerida para ac- cionarlo. *--.:'

8-38. a) Si l a energia cuesta a 1 pta el Kwh. ~ c u h t o cuesta un caballo de vapor hora? b) ~CuAntos kilogrAmetios ... . pueden adquirirse por 20 chtimos?

8-39. ~CuAnto cuesta hacer funcionar u n motor de 10 CV durante 8 horasa- 0,75 ptas el kilov@o-hora?

8+O. Una fuerza horizontal de 16 Ib actda sobre un cuerpo de masa 2 slugs inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. a) Calcd- lese la potencia instantanea desarrollada por la fuerza a1 terminar el primer segundo y al terminar el quinto-segundo. b) Calcdlese la potencia media desarrollada durante el primer segundo y durante 10s 5 primeros segundos. c) Expllquese por qud no es constante la potencia

-

841. Un autom6vil que pesa 1200 Kg esta provisto de un motor que desarrolla

PROBLEMAS 153 -- ..

i -ti-.' - onn potencia -eonstante d e 100 CV. El :;..:. : c-. a c h e parte del reposo y-todo el ttabajo

realizado por el motor se emplea en au-

$'?;.='- molpda a la misma velocidad?

. . -. . .- .. ;,>:::.: tieneunavelocidad mAxima delOOpies/seg ... x -.. , sobre terreno horizontal y cuando el mo-

. i ;- tor , desarrolla su potencia m&xima de g. :- :. Kp .. ~ . . ~Cua l serA la velocidad mhxima sobre una carretera que tenga una pendiente del 5 %? Supdnganse constantes

6-3:. todas las fuerzas de rozamiento. . . . .. . .. 8-44. La fuerza resistente contra el 1 c : ! arrastre de una rpnoa autom6vil es apro-,

---. -- @-,::.;.;: *.::?:. - * ,.'.,, - - . . .-. . &.-:-:;.. ,*.- .. . ., C .A*:,:"'-' . ). .: .:. r. ,zs;- -

xirnadamente proportional a lavelocidad de la canoa. Si un motor de 10 CV hace marchar una canoa a 16 Kmlh, LcuAntos caballos de vapor se necesitarAn para una velocidad de 32 Km/h?

8-45. C'tilicese el principio de 10s trabajos virtuales para calcular la tensibn de la cuerda A en la figura 8-22. (Ima- ginese que el extremo superior de la barra se traslada una pequeiia distancia hacia la derecha.)

I

I 9-1. Impulsi6n y cantidad de movimiento.-En el capitulo anterior se ha explicado como pueden-deducirse 10s conceptos de trabajo y ener-

I gia, a partir de la segunda ley de Newton. A continuacion veremos como se deducen dos conceptos analogos, impulsidn y cantidad de rnouimienio, a

It partir tambiCn de las leyes de Newton. Estos conceptos encuentran su apli- I caci6n mas frecuente a1 estudiar 10s problemas de choque entre dos cuerpos.

La figura 9-1 representa dos cuerpos que se aproximan ullo 3 otro moviendose sobre una superficie horizontal lisa, chocan y despuCs se separan. Las magnitudes que se refieren a1 segundo cuerpo se expresan con las mismas letras que las referentes a1 primero, pero con primas.

I "

01 . - ",

C-) D: - - 0; -

e

Los subindices 1 y 2 se refieren.a 10s galores de dichas mag~litudes antes y despuh del choque, respectivamente..

Puesto que el plano es horizontal y no hay rozamiento, las unicas fuerzas que intervienen son ks..que cada cuerpo ejerce sobre el otro du- r a n k el tiempo que 10s dos estan en contacto, y que designamos por F y F' en la figura 9-1 (b). De la tercexa ley de Newton se deduce que F y F' son d e igual magnitud y directamente opwtas; esto es: F = --F'. Las fuerzas F y F' var i a rh durante el choque y, naturalmate, las dos son nulas antes del mismo. - -

En el primer instante de contacto, ambas son pequefias; despub aumentan hasta un valor maximo, y q o r ultimo disminuyen y se anulan cuando 10s cuerpos se separan.

IMPULSI~N Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 155

.-.. Es dtil dar nornbres a las expresiopes mu y Fdf. El product0 de la masa por la velocidad de u n cuerpo se llama su cantidad de movimienio:

[ -;g Cantidad de movimiento = mu. - ",-

La integral de una fuerza durante el interva10 de tiempo en el cud actua se denomina impulsion de la fuerza, y se representa por J:

Impulsi6n de una fuerza = J = ..A . .

, . zi ; . La Ec. [9-11 puede enunciarse, por consiguiente, como sigue: El in- -72 crernenfo de la caniidad de mouimienfo de cualquier cuerpo es igual a la ..,:. I::: impulsidn de la fuerza ejercida sobre el mismo. Debe observarse atenta- '--:- mente la analogia de las Ecs. [9-11 y [8-111. La variacibn de la cantidad ::.':; d e movimiento esth relacionada con la integral respecto a1 iiempo de una ----. . . ,,..k. ::% fuerza, en igual forma que la variaci6n de la energia cinCtica se halla :J ' :=:. selacionada con la integral de la fuerza, respecto a1 espacio. ;**n

...-... : -.-. Si en algdn caso especial la fuerza es constante, puede sacarse Csta .... ~e- fuera del signo integral, con lo que . . ~. .. -- . Impulsibn de una fuerza constante = J = F df = F(b - f l ) [9-21

. --- I:: . . . . ....I. , . ..

. :_iF: ..-- La unidad de impulsi6n en el sistema t~cnico es el kilogramo-segundo; .. . i.E . .. en-el sistema mks, el newton-segundo; en el sistema cgs, la dina-segundo; -".b *y en el sistema inglb, la libra-segundo. Las unidades de cantidad de mo- li

la.c:. .. .,-, virniento- en !os mismos_-sistemas son: la unidad tCcnica de-masa-metro .-- - - - -~:::::.-- .~ .. por segundo, el kilogramo-metro por segundo, el gramo-centimetro por se- ??:$:. gundo y el slug-pie por segundo. . j $ ~ '

- : E s fAcil probar, por el metodo explicado en la secci6n 8-4, que la uni-

:5CIT"

..- dad de impulsi6n en cualquier sistema es equivalente a la unidad corres-

.- . --. pondiente de cantidad de movimiento; es decir:

1 En un ins take cualqkera mientras 10s cuerpos se hallan en contact0 Kg-m 1 new-seg = 1 -- slug-pie

[Fig. 9-1 (b ) ] , por la segunda ley de Newton, se tiene: Seg , 1 Ib-seg = 1 - , etc. seg

dv dv' F=m-; J " = m l - dl d f

Sea tl el instante en que 10s cuerpos hacen contacto por primera vez, \ y i2 aquel en que se separan; se tiene:

154

.,.- : . ~. - - : La cantidad de movimiento y la impulsi6n, a diferencia de la energia

.4+71 ,. y el trabajo, son magnitudes vectoriales. El vector cantidad de movi- - . -. . . . .. . : rniento de un cuerpo mbvil tiene la misma direction y sentido que su ve- *.,. :g< Eocidad; la direccibn del vector impulsi6h es la rnisma que la de la fuerza ~-r.

.& que produce la impulsi6n. ! .,. . , - .,

156 IMPULSI~N Y CANTIDAD DE- MOVIMIENTO [CAP. 9

- XJEMPLO 1.-Una pelota d e golf pesa 25 g; Su velocidad, inmediatamente des= pubs de haber sido lanzada, es de 60 mlseg. .LCUAI fu6 la impnlsi6n del golpe?

Puesto que la pelota esta inicialmente en reposo, el incremento de su cantidad de movirniento es igual a la cantidaa-de movimiento final, o bien:

0,025 - . . mug - mu1 = - x 60 = 0,153 unidades tdcnicas de masa-mlseg.

998

Por consiguiente, puesto que& impulsi6n y el incremento de la cantidad de movii miento son numdricamente iguales, la impnlsi6n del golpe es J = 0,153 Kg-seg.

Obsdrvese que la fuma del golpe no puede calcularse con 10s datos anteriores.

Cnalquier fuerza tal que Fdt = 0,153 Kg-seg, o cualquier fuerza constante que I:: - - a

actde durante un interval0 de tiempo tal que el product0 F (Q - 4) sea igual a 0,153 Kg-seg, comunicara a la pelota la misma velocidad.

dnicamente puede calcularse la fuerza conociendo la duracidn del golpe y suponiendo que aqudlla es constante. Un estudio de 10s lanzarnientos de una pelota de golf llevado a cabo por el doctor Edgerton, del M. I. T.*, con ayuda de un estrobos- copio de gran velocidad, demuestra que la pelota permanece en contacto con la cara del palo media milCsima de segundo (0,0005 seg) aproximadamente. Suponiendo la fuerza constante durante este tiempo, se tiene: - . .

J = F (Is - 11);

J 0,153 F=- =-- - 306 Kg.

tz - il - '. " ' 0,0005

La cifra anterior da la fuerza media, sea constante o no.

EJEMPLO 2.-Una pelota que pesa .l25 g es lanzada horizontalmente contra una pared vertical. Su velocidad antes de chocar' es de .70 mlseg, y rebota w n una veloddad de 15 mlseg. El tiempo de contacto con la pared ha sido 0,05 seg. Ca lc~ense la cantidad de movimiento de la pelota antes y despubs del choque, y la fuerza ejercida sobre ella por la pared, suponiendo dicha fuerta constante.

- 0.125 Cantidad de movimiento_aptes. del choque = mu1 = -

9.8 X 20 = 0,254.

. - - . - - . . - - - - - 0;125' - - -

Cantidad de movidento despu6s del choque - mug = - '9-8

X ( -15)~ . -0,1905. --

(Se considera positiva la direccidn hicial del movimiento.) El increment0 de la cantidad de movimiento es m q - mu1 = - 0,1905 - 0,2540 -

= - 0,4445 unidades tdcnicas de masa-mlseg. Por consiguiente, la irnpulsidn de la fuerza sobre la pelota -es J = - 0,4445 Kg-seg, g si la duraci6n del choque ha sido O,O5 seg y la fuerza es constante,

J - 0,4445 . P=-- -- 5 - 8,89 Kg.

t z - h 0,05

El signo menos signinca que la diiecci6n de la fuerza sobre la pelota es opuesta a sn velocidad inicial.

* Massachusetts Institute of Technology.

l;-!.2 - - - -9-2. - C O ~ S ~ N ~ C ~ ~ D de la contibadas rnovimiento.~~onsideremos d e . , . . . . . . .

a. - .:-.: ;. *.... ., nuevo la Ec. [9-I]: - . ... - -. . - . . - . .. . -~ * . . . . -. g ' .-,

*- ; . / - : : 3 ,-

Fdt; m ' ~ ' ~ - r n ' ~ ' ~ = a . ,, . $, lpl';.- '

.' Sabemos por la tercera ley d e Newton pue en todo instante, F = - F'; F :::: -. $ por consiguiente, 5 ;<:i- t .- :li-- I" Fdl = - l:: F'dt

11

-.,+:y, por tanto, E ,:;- L .,:!:: 7."- mu2 - m s = - (1n'vf2 - m ' ~ ' ~ ) , x, - . . .. o bien: * . . .;.. - . . g;;:L.-..' ; - .

<.-.. . . .---:: .-

mu1 + m'v'l = mvz + rn'uJz. - ... [g-31 : El primer miembro de la Ec. [9-31 es la cantidad de movimiento total

. , ,.>\.. . .?> $: w ..:.= .,; :. . del sistema antes del choque; el segundo es la cantidad de movimiento * ..;-- x -: ,.:. -

total despuCs del choque. Por consiguiente, hemos deducido el resultado i.-sy --extraordinariamente importante de que' la cantidad de mooimienlo total

-u - * &-ae 10s cuerpos que chocan no se allera por el choque. Este hecho constituye . ~.. ..

e.h-:. , ;._.-.el A prihcipio de conservaciin de la canlidad de movimienio, que es una de .$ -;;:las leyes mas importantes de la mecanica. g A' L .a.v ....,.

. ObsCrvese que no es precis0 conocer detalladamente como varian las

F-:c<:fuenas F y F'. Las impulsiones de las fuerzas son necesariamente iguales g:Fey~r. . g.,;!.xen magnitud y de sentidos opuestos, yipor tanto, producen cambios + -;3!::iguales y opuestos en las cantidades de movimiento. El incremento total

, . E:.g?- I ,de la cantidad de movimiento es, per consiguiente, nulo. , . .. . .*:. ,, : - - Un enunciado mas general del principio d e conservaci6n de la can-

g-:tidad de movimiento, que no queda restringido al choque entre dos :s =.YY? ::

total de un sisiema solo puede modificarse luerzas exferiores que actuen sobre el sisfema. Las fuerzas interio-

siendo iguales y opuestas y actuando durante el mismo tiempo, pro- variaciones iguales y opuestas de las cantidades de movimiento, anulan entre si. Por c o n S i g u i ~ n ~ , ~ l a caniidad de mouimiento fotal

sistema aislado es consfanfe en magniiud y direccidn. - , * .- .:<.+? . ~ .

, P .ip-;GLy! .. EJEMPLO 1.-Una bola de billar A (Fig. 9-2) que se mueve con una velocidad q &.-:Ggg.de 36 cmlseg, choca contra otra bola anhloga B, que se encuentra inicialmente en e; +.i- repaso. Despuds del choque, la bola A rebota con velocidad v~ de 15 cmlseg formando 7, - :. , :, . . . ;-, un Angulo de 370 con su direcci6n inicial. HAllese la magnitud y direccidn de la velo- 2. . .. t( ,-,,. cidad de B. .

I' I'.

La cantidad de movimiento E u n a magnitud vectorial que se conserva-en el cho- - que, por lo que tambitn deben conservarse sus wmponentes. Tomemos la direccibn de g wmo eje X, y sea m la masa de cada bola. La componente X de la cantidad de movimiento inicial del sistema vale m x 36 g-cmlseg, y la componente Y es nula. Despuds del choque, la componente X de la cantidad de movimiento de la bola A es m x V A x cos 37O = m X 12 g-Cmlseg. Por tanto, la componente X d e la cantidad de movirniento de la bola B sera m X 36 - m x 12 = m. x 24 = mug cos 0 g-cmlseg. Despuds del choque, la componente y de la cantidad de movimiento de la bola A es m x DA x sen 37O = m x 9 g-cmlseg, y la de la bola B sera, por tanto, -m x,9 = = m v ~ sen 0; por consiguiente,

mug sen 0 - m x 9 = - - . mvg cos 0 m X 24 ' t g 0 = -30,375, 0 = - 20.50. y V B = 25,6 cmlseg.

EJEMPLO 2.-El rifle Springfield pesa 9,69 lb y dispara una bala que,pesa 150 p a - nos (1 lb = 7000 granos), con una velocidad inicial de 2700 piesjseg. Calchlese la velocidad de retroceso del rifle si esth suspendido libremente.

La cantidad de movimiento del rifle y la bala antes de disparar es nula; por consiguiente, despuds del disparo, la cantidad de movimiento hacia adelante de la bala es numericamente igual a la cantidad de movimiento hacia atras del rine. La masa

9,69 150 del rifle es -

32 slugs, y la de la bala,

7000 x 32 slugs.

Por tanto,

(Se ha despreciado la cantidad de movimiento hacia adelante de 10s gases quemados por ser apenas apreciable.) - .

Es importante obsewar que las energias cintticas de la bala y del rifle no son iguales. La explicacidn es evidente cuando se considera que un cuerpo adquiere ener: gia cindtica cuando se ha realizado trabajo sobre Q, siendo el trabajo el producto de la fuena por la distancia recorrida. Mientras 10s gases estan impulsando la bala hacia addante y a1 rifle hacia a M s , aunque la fuerza sobre cada uno de ellos es la misma, la distancia recorrida por la bala- es relativamente grande (la longitud del caiibn), mientras qu-e la recorfida p+.;$l rifle, que-retrocede 1entamente.a-muche-menor. Por tanto, el trabajo realizado sobre la bala es mucho m a y q que el realizado sobre el rifle, y en consecuencia, su energia cinttica es tambiQn mayor. Sin embargo, la cantidad de movimiento, igual a1 producto de la fuerza por el tiempo, es l a misma para ambos, bala y rifle.

Refiridndonos a1 ejemplo del rifle Springfield, encontramos: -. .

1 EC,lnc = -MV = -

2 : ( 9z ) (5,9)' = 5,25 lb-pie.

9-8. Tercera ley de Newton.-El punto de vista adoptado en la discu- si6n anterior ha consistido en aceptar el tercer principio de Newton como

- - i i i ~ a t e ~ de 1s Naturaleza, 'y dedl;*r de ella e l -p r i i i e ip io -d~-do~~~5~6d g.::..--de la cantidad de movimientd. Sin embargo, hay-que invertir el razona- *. . . .F--<' :: .... .. . : . Gento si adoptamos el punto de vista de considerar todas las leyes de 0

:. - . Newton deducidas de.sxperimentos reales. Las cantidades de movimiento f-:; :- de 10s cuerpos que intervienen en un choque se pueden medir antes y *

---' despuk de ocurrir Cste, determinando mediante este experiment0 que la 2' :.: -g+_;:, cantidad de movimiento del sistema permanece constante. Seguidamente, utilizando la segunda ley de Newton, se deduce que para esto es nece-

- - sari0 que las fuerzas F y F', ejercidas por cada cuerpo sobre el otro,sean .. .

en todo instante igudes y opuestas. Resulta asi que la.,wnservaci6n. de .::,:: l a k t i d a d de movirniento, observada experiinentalmente, constituye la

; : 1.0- prueba empirica de la tercera ley de Niivton. . , h . .$.,J , +:.: . , Choques elbticos e inelkticos. Coeficiente ae restituci6n.-Aun-

.??. . , > - @e la cantidad de movimiento permanece constante cuando dos (o d s ) k- :.?i\;c.T#?: F... :.?.. .cuei-pos chocan, no se verifica necesariamente lo mismo para la energia . .. i - .

L ~ : 2 . . -cindtica. Si la energia cinetica se conserva constante, el choque se llama '5 -":'.'-: perfecfamente elastico. En oposici6n a esto, existe el caso en que 10s cuerpos [ 'jij;:''. prmanecen unidos despues de la colisi6n, como si fueran dos masas de Y barro. En este caso, el choque es perfectamenfe inelbstico. Segun las propie- 5' "; '.

?.-.. dades de 10s cuerpos que chocan, son posibles todos 10s casos intermedios, F:.. :. ; .,-; . :.. entre 10s choques perfectamente elasticos y 10s perfectamente inellsticos. ) :~ '.... -. . ,. - ;, - . ;::.,Los .. . . . , . . choques entrecuerpos de tamaiio finito tales como dos bolas de billar ". . .. .. - . f . $:q,i . . noson nun& completamete elhticos, y 10s h icos ejemplos de choques %. . -. -- ., .. . . . . .. -. - e-iT$tI$erfectamente b - .I.fb. . elhsticos son 10s que tienen lugar entre Atomos, moldculas ; :;?~j:-y>electryys. Aun ktos pueden no ser perfectamente ellsticos si las ener- :.ii:;,,j gias cinehcas de las particulas son suficientemente grandes. ; .. ... ;... . . . . . - .,,. . . . . . t--,-~.,:. A .. . E n el choque entre dos cuerpos perfectamente ellsticos, deben cum-

. plirse las dos condiciones: - . . .; . - . . . . . .. .,",. .. ,

1 1 ole . + . : m'vt12) 3 ($ m& + m'ut22) (conservaci6n de la enegia)

_ _ _ __ . . .. _ _ - - - . - - . .$ '. ~. .. - ~ - -

m'v'l)='(mq+m'v'2) (conservaci6n de la cantidad de movimiento). f -.'<c <..? >;,;; .< F. '. ,?,?, .:,:..

,,,..(Las primas y subindices tienen el mismo significado que en la figura 8-1.) + . . . . . . . . .r..Ubl.j'..i.. . . -~ - L%s dos ecuaciones anteriores pueden escribirse: - ... . .. --* - i

.k &<--~' -: .,,., .

m(u12 - 022) = m'(v122 - ~'12) -. .... - n Y ' , -- ,.. " ~ . > . .

;*a m(v1 - v2) = m'(ut2 - dl).

f -.. :-. . .. . .

f~ !..,.?. ~ . * , . .... Dividiendo la primera por la segunda, se obtiene: # . .: ';;: ... --. $' ,:;.<;- :-.- - -

D l + I12 = v'2 + dl, ";;.:,.. . ' ."..*. . ". , ; . .. ,.,, . . . ,LC . . o, fixialmente,

k.i: . . ? , ~ :

%... .?2:'L<&:, : ~ . .. :;:. 01 - utl = - (v2 - 0'2).

,>. . .

160 . .

IMPULSI~N Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO .-

Pero V I - v'l es la velocidad relativa antes del choque, y - la velocidad relativa despub del mismo. Por consiguiente, en un choque perfectamente elastic0 la velocidad relativa cambia de sentido, per0 conserva su magnitud.

El grado en el cual aos cuerpos que chocan se comportan como si el choque fuera perfectamente elbtico se expresa por su coeficienle de reslitucion, e, definido como el cociente, con signo negativo, de la velocidad relativa despuh del choque a la velocidad relativa antes del mismo:

. . , . . - . . , . . y:+.-ii SIX.. 9-51 PENDULO BAL~STICO 161

-:. .. : , :- Seglin.10 que acabamosde-demostrar;-el- coeficiente de restitiicicn e3 la 1. . . '- . - uuidad cuando 10s dos-cuerpos que chocan son perfectamente elasticos, y

' es nulo si son perfectamente inelasticos.' Estos son 10s dos casos extrernos y, en general, el -coeficiente de restitucibn tiene un valor comprendido

;; .-. entre cero y la unidad. 4

. Cuando se deja caer una pelota sobre un plano horizontal fijo, ha cho- ... . :: - cado en realidad con la Tierra. La masa de .esta es tan grande que su -- .- . . .I::. . . . velocidad no se ha modificado practicamente con el choque. Por consi- . . - . - guiente, en este caso especial, . .. . - ~. ...T

- U2 . . - , ,~

e = - - v 1

. - La velocidad relativa antes del choque es sencillamente la velocidad . - i adquirida a1 caer libremente desde una altura hl, o sea, .\/ 2gh1. Si, despues t . :-='I . . del choque, la pelota rebota hasta una altura hz, su velocidad relativa . --

I::-- . .- sera- -4 2gh2 (se considera como positivo el sentido dirigido hacia f -r?, abajo). Por consiguiente, el coeficiente de restitucion . es: ,. . -.,*

n procedimiento sencillo de calcularlo consiste en medir las dos altu- E l valor obtenido representa una propiedad conjunta de la' pelota

e la superficie. La figura 9-3 es una fotografia obtenida con iluminaciones sucesivas de

una pelota de golf qve se deja caer sobre una plancha de hierro y rebota en la misma. Las alturas hl y h2 pueden medirse en la fotografia, y las velocidades antes y despues del choque pueden determinarse midiendo la separacibn de las imagenes antes y despues del impacto. .*:

Se propone como ejercicio verificar mediante la fotografia que la . . . ;:+.;.'razon , .~ de las velocidades es igual ,":., . a la raiz cuadrada del xociente de- -':I-:- las alturas, y el c5lculo del coefi- -?Yciente .. ... . . -. + . . de restitucidn. . . . . ~.

. . , ..

'.: 9-5. Pindulo ba1istico.-Otro . .",% .: . - ejemplo del principio de conserva-

A-. ... .r: cibn de la cantidad de movimiento .-:_..nos - . .. lo proporciona el pdndulo ba- . . - - . . . :.--. , . .. listico, utilizado para medir la ve- .:;-. ~... . locidad de la bala de un rifle, como <:- se explica en la figura 9-4. Un blo- .. .

. ---+... .~ que de madera dekasa M esth sus- FIG. 9-4.-P&ndulo ~ t i c o . .:., ::

-.?>- pendido como se indica en la figura, .--:,::-. y la bala de masa m, cuya velocidad v se desea medir, se dispara horizon- -~:.?I<~ taimente contra el bloque, quedando empotrada en 61. Una ;vez que la , <-->,&

..- . - :..,~ - . -6. I.-11 -?.p;. ::.>y-.. - . :i*.:. . -.-.~

162 IMPULSION Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO [CAP. 9 [ - SEC. 9-61 SEGUNDA LEY DE NEWTON 163

bala se ha detenido dentro del bloque, el conjunto tiene una velocidad c o m ~ n V. En virtud del principio de conservacidn de la cantidad de movirniento,

mu = (M + m)V.

El bloque se desvia hasta que su centro de gravedad se ha elevado una altura h tal, que la energia potencial en el punto m i s alto es igual a la energia cinCtica en el mis bajo; esto es:

1 (M + m) gh = - ( M f m) Vz,

2 o bien:

Vz = 2gh.

La altura h es de ordinario pequeiia, y se calcula indirectarnente midiendo el desplazamiento horizontal x. De la figura 9-4 se deduce que si L es la Iongitud del pCndulo:

0 sea:

Si h es pequeiio comparado con x, puede despreciarse h2y queda h = x2/2L. Si en la prictica, la masa m de la bala es despreciable comparada con

la del pCndulo. Entonces,

I i; Esta cantidad de movimiento es igual a la inicial, mo, de la bala. Por consiguiente,

-x2 - Debe observarse que se trata de un choque inelhstico y que la energia de la bala

'5. %I.. antes del choque no es igual a la energia cindtica del pendulo despues del mismo. *-- La liltima, calculada anteriormente, es de 4,9 julios. La energla cindtica de la bala era: -.

1 1 - mfl = - x 0,02 x (350)s = 1220 julios. 2 2

Por tanto, s61o un 0,5 %, aproximadamente, de la energla cinetica de la bala se trans-

:* =+ **L. 9-6. Segunda ley de Newton.-Newton no enunci6 su segunda ley en (I la forrna que nosotros la hemos utilizado. Una traducci6n libre (10s P h - d . cipia de Newton fueron escritos en latin) es la siguiente:

nEl cambio de movimiento es proporcional a la fuerza aplicada, y - . tiene lugar en la direcci6n de la fuerza ... L a cantidad de movimiento - es proporcional a la vez a la masa y a la ve1ocidad.n

'L

a. De la definicidn de Newton de maui~iento, es evidente que atribuia a esta palabra el significado actual de cantidad de movimiento. Se deduce tambiCn claramente de sus escritos que la expresi6n cambio significa de- riuada y que fuerza aplicada se refiere a fuerza resultante. Por consiguien-

[ te, el enunciado de Newton utilizando la terminologia actual es: .2-

-- L . -.: #La derivada de la cantidad de movimiento es proporcional a la rnv = MV; V = 1/ 2gh = x d-; fuena resultante, y tiene la misrna direccidn que 6sta.a r 2." -

d G En lenguaje matemitico, esto equivale a u = - m d - (mu) o< F,

EJEMPLO.-Una bala de masa 20 g se dispara contra un pdndulo balIstico de i *,.," df rnasa 5 Kg. El centro de gravedad del pdndulo se eleva 10 cm despues del impacto. [ >$ bien: Caiclilese la velocidad inicial de la bala. .e. i ,: La energfa potencial del pendulo en el punto m&s alto de su oscilaci6n es: 5 -->-

d F = k -(mu). dt

I

Mgh = 5 x 9,8 x 0,lO = 4.9 julios. Si la -masa es constante, esta igualdad se reduce a

Esta energIa ei igual a la energia cinbtica en el punto mas bajo de la oscilacibn, y la velocidad en este punto sera, por tanto, . . dv . F = km- = k-ma,

d f - j

V = 1,4 mlseg. I

, . que es la forma que hemos utilizado, en la. cual k se ha1 hecho igual a 1, Por consigulente, la cantidad de movimiento del pbndulo a1 comienzo de su osci- eligiendo adecuadamente las unidades. . . . , .

laci6n es: Si bien la masa de un cuerpo puede considerarse d e ordinario cons- M V = 5 x 1,4.= 7 Kg-mlseg. tante, existe una comprobaci6n experimental completa de que, en rea-

I M P U L S I ~ N Y CANTIDAD D E MOVIMIENTO [CAP. 9 c I T SEC. 9-71 MASA Y E N E R G ~ A .

> . '. lidad, es funcibn de la velocidad del cuerpo, aumentando a1 crecer Csta de acuerdo con la relacidn

ObsCrvese que si la masa es constante, desaparece el liltimo sumando del segundo. miembro, y la ecuacidn, una vez integrada, se escribe:

K = 112 mu2.

'Por brevedad introducimos una nueva variable, definida por

D p = - C

19-71

- Resulta asi: u = cp; do = cdp,

en Ia que mo es la masa en reposo del cuerpo; c, la velocidad de la luz, y u, la velocidad del cuerpo.

Esta ecuacibn fuC predicha por Lorentz y Einstein basindose en razo- namientos tebricos sobre consideraciones relativistas, y ha sido compro- bada directamente mediante experimentos realizados con electrones y iones de gran velocidad. El aumento de masa no es apreciable hasta que la velocidad se aproxima a la de la luz y, por consiguiente, escapa de ordinario a la observacibn.

No obstante, si no se considera constante la masa de un cuerpo, tampoco se podr5 escribir F = ma, debiCndose utilizar en este caso la forma original de la ley de Newton.

Constituye un ejemplo notable del genio dc Newton haber considerado la cantidad de movimiento como magnitud mas fundamental que la masa, lo que significa un anticipo sorprendente de la teoria de la rela- tividad. t

9-7. Masa y energia.yVamos a deducii- la expresidn relativista para la energia cinCtica de un cuerpo en movimiento, tomando en considera- ci6n el aurnento de masa con la velocidad. No tendremos en cuenta nin- ghn cambio en la energia potencial asi como tampoco fuerza de roza-

\ . rniento alguna; de esta forma, la energia cinCtica del cuerpo es igual a1 trabajo realizado sobre 61, partiendo del reposo. La forma general de la segunda ley de Newton es:

1 : &;;-: y la Ec. [9-61 se convierte en . .,.. .:;*>-.

. I+'. . d K = mc2P.dp + c2pZ dm. :&: ,' : I ~..,,. . . .

[g-81

. A continuacidn expresemos m y dm en funcidn de P y de dp, mediante i. . -.:-- . . las ECS. [9-5) y [9-71: ., C

,... .., ....,!> . m = m o (1 - P2)-'"; i;;ij dm = mop (1 - p2)"11 dp.

~us t i tu iendo estos valores de m.y d e dm en la Ec. [9-81 y simplifi- ndo, resulta: . . . - .

; ,'!$f: ? :' . ' . . . dK = moc2 (1 - p2)-"~ .p dp. ~ 4 ' 5 De donde

, ' . . i - siendo C una constante de integracidn. Pero para u = 0, la energia cinetica

Despub de multiplicar el segundo miembro por dslds, se obtiene: , ..:; <:'. ., ..%!I~,. LC... i por tanto: . D .i .- '

1 , . . , . .~ . .. .. . , . . , .., ,

I . , -~ . ,

. " . y la constante de integracidn resulta: -- It d - - u - (mu), ds

;., , . . . C = - m0c2. . . . . ! , .:.::, ', ..' .,.. . ; ;...: .

f .. .." . . , . 'En el'primer sumando del segundo miembro de la Ec. [9-91 se puede ,:...; sustituir' mo (1 - p2)-1/2 por m, con - lo .- que resulta finalmente: f

5 . .,.. II . - -.. t

y, por tanto, F ds = u d(mu) = v(m do + u dm) . .

Puesto que el trabajo Fds es igual a1 increment0 de energia cinCtica, dK, se puede escribir: - . . . . _ , . . I . , . , . . . . Esto es, la energia cinCtica &s igual al' aumento de masa respecto a f

i 1 . dK = mu do + ~2 dm. . . . , :. . . . 19-61 la masa en reposo, multiplicado por el cuadrado de la velocidad' de la 1112. f

168 IAIPULSION Y CANTIDAD DE MOVIMIESTO [CAP. 9

En principio, un motor de propulsi6n a chorro es sirnplemente una cimara de combustion en la cual se quema un combustible s6lido.o liquido, y que tiene una abertura para dirigir 10s productos gaseosos de la' combustibn en la direcci6n deseada. Para concretar, consideraren~os el ~novimiento de nn cohete. Inicialmente, la cantidad de movimiento del cohete es cero. Cuando se ha inflamado su carga de combustible, la corriente de gases expulsados adquiere una cantidad de movirniento hacia abajo, y dado que esta rnagnitud se conserva, el cohete adquirira una cantidad de movimiento del rnismo valor y de sentido opuesto. Descle el punto de vista de las fuerzas que entran en juego, 10s gases en la camara de combustibn empujan hacia abajo a 10s gases del chorro, y hacia arriba al cuerpo del cohete.

Sin embargo, no hemos de considerar sblo el comienzo del movimiento. A1 iniciar su vuelo, mientras el cohete se mueve lentamente, el motor es un dispositivo muy poco eficaz, pues prdcticaniente toda la energla en esta etapa se utiliza para comunicar energia cinetica a 10s gases de salida que se mueven a gran velocidad, y el cohete adquiere muy poca energia. Pero cuando el cohete gana velocidad, 10s gases de salida, que son espul- sados con cierta velocidad respeclo a1 cohele, se mueven cada vez rnas lentamente respecto a tierra. Cuando el cohcte ha adquirido una velocidad respecto a tierra igual a la velocidad con la cual 10s gases son expulsados de el, estos gases, a1 abandonar el cohete (o mejor, cuando el collete 10s abandona a ellos), no tienen velocidad respecto a tierra y, por consiguiente, su energia cinetica es nula. Por tanto, a esta velocidad, toda la energia desarrollada por el combustible se comunica a1 cohete. La energia que un cohete transporta en su carga de combuslible podrd, por consiguiente, utilizarse con mayor eficacia si se le da inicialmente un ernpujdn por alghn dispositivo auuiliar.

Debe observarse que un coliete no depende de la atmbsfera para conseguir su propulsi6n, y, en realidad, se moveria mejor en ausencia de aquella, a causa de que no existiria la resistencia del aire. Un helic6ptero es capaz de elevarse verticalmente s610 porque su hClice envia hacia abajo una corriente de aire. La fuerza ejercida sobre, el aire es igual a la derivada de la cantidad de movimiento de la corriente d e aire, y la reacci6n igual y contraria a esta fuerza sostiene a1 helicoptero. Sin embargo, el motor del cohete empuja hacia abajo a 10s propios productos de la combustibn, y su elevaci6n no depende de la presencia d e una atmosfera exterior.

Aunque no se han revelado 10s detalles de 10s progresos mas recientes en la propulsibn a chorro de aviones, puede verse sin dificultad por quC este tip0 de energia motora resulta especialrnente adecuado para vuelos estratosfiricos a ,gran velodidad. En la estratosfera, donde la densidad del aire es pequeiia, es dificil para una hClice ordinaria obtener la masa de aire necesaria para producir una cantidad de movimiento adecuada; per0 esto no es ninglin inconveniente para un motor de propulsibn a chorro, puesto que reacciona sobre sus propios gases de salida. AdemBs,

PROBLEMAS 169

1 rendimiento de la propulsion a chorro es maximo cuando la velocidad cia adelante del motor es suficientemente grande para que iguale a la locidad (relativa) de expulsibn de 10s gases de salida.

1 ', P R O B L E M A S

9-1. a ) i ~ u a l es la a n t i d a d de movimiento de un ca~nibn que pesa 10 ton, cuya velocidad es de 30 Km/h? i.4 qu6 velocidad tendrl otro camibn de 5 ton: b) la misrna cantidad de movimiento;

en segundos, S o existe roza- ~Qu.4 distancia recorred el seg? b) &Cull sera su veloci-

e 0,l m en un bloque tle madera que

i6n del choque. Comparese la res- a la pregunta d) con la cantidad vimiento inicial del proyectil.

Una pelota d e base-ball pesa a ) Si la velocidad de la pelota

y la impulsi6n del golpe. b) Si la pe-

recto y cl~oca contra otra mhquina a1 que se halla parada. La velocidad la primera es de 45 I<m/h. a) cull

la cantidad de movimienta del sistema

antes del choque? b ) &Cull es la velocidad de ambas mlquinas despuCs de su encuentro? c) ~ Q u 6 cantidad de energia cinCtica se piertle durante la colisibn?

9-6. Un camibn que pesa 3200 Kg marcha a la velocidad de 1,5 rnlseg, al- canzantlo la parte trasera de un coche que lleva una velocidad de 0,6 mlseg y marcha en la misma direccibn. a ) Si des- pu6s tlel choque el camibn tiene una velocidatl tle 0,9 m/seg y el autombvil, de 1,s m/seg (siguiendo ambos en la misma direccibn), jcull es el peso del autombvil? b) Calcdlese la energia cinetica total del sistema (camibn, ml s autombvil), antes y despu6s del choque.

9-7. Sobre una mesa sin rozamiento, un bloque de 3 Kg que se mueve hacia la derecha con velocidad de 4 mlseg choca contra otro bloquelde 8 I<g que se mucve hacia la izquierda con velocidad de 1,5 mlseg. a ) E n el caso de quedar ambos bloques unidos, &cull sera su velocidad final? b) Si 10s bloques realizan un choque perfectamente elhstico, &cull sera la velocidad final de cada uno? c) iQu6 cantidad cle energfa mecanica se convierte en calor en el choque a que se hace referencia en la parte a)?

9-8. a ) Dos bloques de masas 300 g y 200 g se mueven uno hacia el otro sobre una superficie horizontal sin rozamiento. con velocitlades de 50 cmlseg y de 100 cm por seguntlo, respectivamente. Calc~ilese la velocidad del centro de masa del sistema. b) Si 10s bloques permanecen unidos despuCs del choque, hlllese su velocidad final. c) Calctilese la energia cinetica del sistema antes del choque, con respecto a un origen que se desplaza con el centro de masa. d) Determinese !a perdida de energia cin6tica que tiene lugar durante el choque.

9-9. Calc6lese la fuerza media de re-

-

0

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Em

1 176 MOVI~I IENTO CIRCULAR [CAP. 10

Aunque ]as ecuaciones del movimiento angular toman su forma mas sencilla cuando las velocidades angulares se expresan en radianes por segundo, es m i s corriente en la tCcnica expresarlas en revoluciones poi segundo (rps) o en revoluciones por minuto (rpm). Puesto que 2it radianes equivalen a una revoluci6n completa, el numero de radianes por segundo es igual a 25~ veces el nhmero de revoluciones por segundo e igual a 2x160 veces el numero de revoluciones por minuto.

H a y dos metodos corrientes para medir velocidades angulares. En el primero, se aplica un.cue~~tarrevoluciones en el extrerno del arb01 de rotacibn, y se anota el nlimero de revoluciones efectuadas durante un intervalo de tiempo conocido. De este mod0 se miden directamente el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo, y su cociente da la velocidad angular media.

E l segundo mCtodo utiliza un tacbmetro (vCase Sec. 10-lo), el cual indica directamente la velocidad angular instantinea, si bien la mayor parte de 10s tac6metros estin calibradns en revoluciones por minuto, y no en radianes por segundo. El cuentakil6metros corriente de 10s autom6viles .es un tacometro cuyas lccturas son proporcionales a la velocidad angular instantinea del irbol motor a1 que es t i conectado. Puesto que la velocidad lineal del coche es propo.rciona1 a la velocidad angular del arb01 motor, puede calibrarst el tac6metro para indicar kil6nletros por hora en lugar d e revoluciones por minuto o radianes por segundo.

Cuando un cuerpo gira con velocidad angular consfanfe, su velocidad I angular instantinea es igual a su velocidad angular media, cualquiera que

sea la duracibn del intervalo considerado. Esta clase de movimiento es el que corresponde a1 rotor d e un motor sincrono. Si la velocidad angular es constante, podemos escribir:

0 - 00 o = --- t - t o '

siendo o la velocidad angular constante, y el intervalo de tiempo puede ser cualquiera. Por tanto,

0.- 00 = - io); y si lo y 00 son nulos,

0 = of.

La Ec. 110-11 es aniloga exactamente a la ecuaci6n

para un cuerpo que'se mueve con movimiento rectilineo uniforme. 10-3. Aceleracidn angular.-Cuando varia la velocidad angular de

un cuerpo en rotacibn, se dice que el cuerpo posee aceleraci6n angular. . Sea su velocidad angular instantinea en el instante lo, y w su velocidad

angular en el instante L La aceleracidn angular media, representada por

SEC. I M ] ACELERACIOS ASGULAR CONSTANTE 177 . I i (alfa), se define como la razdn de la variacidn de la velocidad angular a1

tiempo franscurrido: variaci6n de la velocidad angular Aceleracion angular media =

tiempo transcurrido

Si la velocidad angular se mide en radianes por segundo y el tiempo - en segundos, la aceleracion angular resulta en radianes por segundo, por

T segundo, o bien radlseg2. La aceleracidn angular insfanlanea, a, es la raz6n de la variacibn de la

- velocidad angular a1 intervalo de tiempo transcurrido cuando este es in- = finitamente pequeiio, o bien, es la derioada de la velocidad angular respecto - a1 tiempo:

d 0 - Ya que o = -, se puede escrihir tambikn: dt

,.. <

EJE%~PLO.-Durante intervalos de 2 seg tle duraci6n, se han realizado las siguientes lecturas en el tac6metro de un motor de aeroplano: Tiempo (seg) . . . . . . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 \.'elocidad angular (rpm) . . 1000 1000 1500 2000 2500 3000 3500 3800 4000 4000

Calc~ilese la accleraci6n angular media, en radiancs por segundo, por segundo, durante cada 2 scg de intervalo. iFu6 constante la aceleracicin angular tluranlc el intervalo total? &LO fu8 durante alguna parte del intcrvalo?

En el intervalo colnprenditlo entre 0 y 2 scg no hub0 carnbio de vclocidad angular. 7 Por consiguienlc, la aceleracion angular fue nula duranlc cste intcrvalo. En el inter- , valo comprendido cntre 2 y 4 seg la velocidad angular aunient6 tlesde 1000 a 1500 " revoluciones por minuto, o sea, de 105 a 157 ratl/scg. El aumento dc velocidad an- " ' gular Iu6, pol consiguienle, 157 - 105 = 52 md/seg, y puesto que el intcrvalo de

tiempa fuc dc 2 scg, la aceleraci6n angular media fur! 5212 = 26 rad/sega. .. Las demhs partes del ejemplo puede haccrlas el lector con10 ejercicio.

10-4. Aceleraci6n angular constante.-Cuando la velocidad angular de un cuerpo experimenta variaciones igi~ales durante intervalos de tiempo iguales, la aceleracion angular es constante. En estas circunstancias, las acel-eraciones angulares media e instantinea son iguales, cualquiera que sea la duracibn del intervalo de tiempo. Se puede, pues, escribir:

0

o = oo + a (t - fo), [lo41 donde a es la aceleraci6n angular instant5nea constante.

I 178 BlOVIMIENTO CIRCULAR [CAP. 10 SEC. 10-51 \TELOCIDAD Y ACELERACIOS COMO VECTORES 179 I \ I

La Ec. [10-51 tiene precisanlente la misma forma que la Ec. [4-121 correspo~~dicnte a1 movirniento rectilineo con aceleracibn constante, y se puede interpretar de forma analoga.

El desplazamiento angular de un cuerpo en rotacion, o el angulo girado por el cuerpo, correspolide a1 desplazamiento lineal de un cuerpo que se mueve sobre una recta. La expresion del desplazamiento angular puede obtenerse por medio de la velocidad angular media. Si la aceleracion angu!ar en constante, !a velocidad angular aumentara proporcionalmente a1 tienipo, y su valor medio durante un interval0 cualquiera s e r i igual a la semisr~ma (media aritmdtica) de sus valores en 10s extremos del intervalo; es decir:

- - wo + [wo + a (I - to)] 2

.-

oh ; y como, por definicion,

4 " - 8-80 0 = t - l o '

t m

. Por tanto, dw = adf

J

: y si a es constante, y w = oo para 1 = 0,

Por definicion de velocidad angular:

d0 (,) 5 -

d t En consecuencia:

d0 = wdf

= r (WO + 'Sf) d f + Cz, J

y si 8 = 0 para f = 0, [ I 0-61 !: 0 = w0f + 112 ~9.

t i '

La Ec. [10-91 puede obtenerse mediante la sustituci6n

a1 igualar 10s seguudos nliembros de las Ecs. [to-(i] y (10-71, resulta: de donde !f @

, ad0 = wdw

c rJ\ 0 - 00 = (1 - to) + a ( 1 - 10)z. r .- ~2 = 0 0 2 + 2x8.

: - 105. La velocidad y la aceleracidn a w l a r e s como vectores.-ES evi-

i dente la naturaleza vectorial de magnitudes tales como la fuerza y la [lo-81 Vector representatrvo de

, la velocidad angular 1

que tiene idCntica forma que la Ec. [4-171. La elimination de I entre las Ecs. [ l o - 5 ) y [lo-8) da:

Rot

[10-91 i 1 -

clue corresponde a la Ec. [4-191. 1 Las ecuaciorles del movi~niento angular con aceleracion consiante se h veloc~dad angular

deducen ficilmente por 10s ~~~Ctodos del c8lculo. De la definici6n de velo- (a) (6) (el

cidad angular sc tiem: ! FIG. 10-4.-La vdocidad angular puede reprcsentarse por un vector dirigldo a lo largo dcl eJe.

r i 1 --

- -

1 80 MOVIMIENTO CIRCUL.411 -. Ic,\P. 10

velocidad lineal, y parece natural representarlas v P o r vectores. Tambien es cierto, aunque no evidente, que la velocidad arA,gular la aceleracibn angular Jon magnitudes vectoriales, como la fv .erza y la velocidad lineal, y pusden representarse por flechas. El vecfGor que represents una velacidad angular (o una aeeleracibn) se d i h ~ ' , ~ . lo largo del eje de rotacibn; su longitud, a cierta seala elqida, repm ,,ta la magnitud de la velocidad

(O Imaginemos '.hora qlle el eje sea un tornillo con paso a derechas. convenio$ entido del vector es el correspondiente avarice del tornillo se Ie hace girar en el sentido de la velocidad

(O (vbse .F ig. 10-4). Cualquier magnitud asociada a un eje puede representarse pr Jr este procedimiento mediante un vector, 5' tratar ',el rnovimiento giroscbpico, harenlos uso dc tales ver:tores.

10-6' Ve'ocidad gencia1.-El desplazamiento, la velocidad y la ace- leraci6q angulares sor , caracteristicos del cuerpo en conjunto, y vamos a consid'erar desplazamiento, la velocidad y la aceler5eihn de uo punto' detemina'lo del cuerpo en rotacibn. En dicllo cuerpo, eada pllnto describe una cis rcunferencia cupo centro esta en el eje, y asi la circunferencia de la ',igura 10-5 (a) representa la Lrayectoria dc dicho punto. El

FIG. 10-%-El limite dcl cociente JzlAl er I:I vclocicl:kd tanyc~ici:~l inslantkaea.

desplazamienio del punto cuando se nlueve desde p hasta q, esta definido por el vector trazado de p a q, y la longilud de la frayectoria es la longitud del arco s. vex5 que estas definiciones son generalizaciones de las correspondientes a un cuerpo en inovimiento rectilineo, dadas cn la secci6n 4-2.

El oecfor velocidad medio del punto se define como la raz6n de su des- 'Iplazamiento a1 inten~alo de tiempo transcurrido entre p y q. La velocidad media sobre la frayedoria es la razbn del arco de trayectoria recorrido a1 interval0 transcurrido:

desplazamiento (vector) Velocidad media (vector) =

tiempo transcurrido (escalar) I Velocidad media sobre la trayectoria (escalar) =

- - longitud de la trayectoria (escalar) tiempo transcurrido (escalar)

La direccibn del vector velocidad media ek la misma que la del desplazarniento. Puesto que las longitudes del arm s y de la cuerda pq son diferentes, el vector velocidad media y la velocidad media sobre la trayectoria no son numericamente iguales en la figura 10-3 (a).

La oclocidad inslantdnea del punto, en p, se define como su- vector vclocitlntl media durante un desplazamiento infinitamente pequefio, que co~upreil(lc n p. La orlocidad inslanfcinea sobre la irayecioria es la velocidad mcdia sohre la trayecloria durante un desplazamiento infinitesimal. Pero ai cl tlesplazarnieni;~ es infinitamente pequeiio, como en la figura 10-5 (b ) , las longitutles del vector pq y del arc0 As se hacen prActicamente iguales. El vector velocidad instantinea y la velocidad instantanea sobre la trayectoria son, por consiguiente, nurnericamente iguales. En otras palabras, el rnddulo dcl vector velocitlatl i n s t a n k h a es igual a la velocidad instan- tBnca sohre la trayectoria.

Ida direction de un clesplazwn~iento infinitamente pequefio en el pun- to p cs la 1nisn;a que la tlireccio~: de la circunferencia en p, esto es, el tlesplazamiento t i ~ n e In direccibn de la tangente en p y es perpendicular al mdio Op. I,a velocidad instantanea en p es, por consiguiente, tangente a la circunierencia en p y se denomina, frecuentemente, velocidad tangencial, tlesignindose ],or v ~ ; es t i representada por el vector DT en la figGaa 10-5 (c).

Entre la vclocidad angular de un cuerpo en rotaci6n y la velocidad tangencial de cualquicr p i i t o tlel cuerpo e k e una relacibn importante y muy i~til. El angulo 1 0 , en la figura 10-5 (b), estB dado por

Dividiendo amhos miembros por At, se obtiene:

y en el limite, para 41 -+ 0; A0 1 hs

lim - = - lim- A!-o At K AL-4 Af

As v

Pero lirn es la velocidad angular iastantioea a, y lim - es la A1+0 At A h 0 At

magnitud (m6dulo) de la velocidad tangencial DT. Por consiguiente,

La velocidad tangencial de cualquier punto en el movimiento de rotacibn de un sblido es, por tanto, igual a1 pmducto de la velocidad angular del d i d o por la distancia del punto al eje.

Ir l 182 MOVIMIESTO CIRCULAR

. ' IFi [CAP. 10

I* La Ec. [lo-101 puede deducirse tarnbitin de la forma siguiente: por definition de medida de un angulo en radianes:

I nF: s = RO.

' 1C

I*-

If '

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'> t 4

( 4 4

(564 '

1 . 6 )

tb

6 v

Por tanto,

ds dO Pero - es la magnitud de la velocidad tangencial VT, y -

dl d l es la

velocidad angular w. Por consiguiente,

Si en la Ec. [IO-101 se rnide w en radianes por segundo, v~ m u l t a r i en metros (pies) por segundo cuando R se exprese en nletros (pies), y en centimetros por segundo cuando R se exprese en centimetroc.

J ~ E M P L O . - ~ ~ motor dc acroplano, con su helice, se coloca sobre cn b a ~ ~ c o de pruebas. Las palas de la helice tiencn. cada una, 1,8 m de longitud. a! Calcular la velocidad de 10s extreinos de las palss cuarido In htlice gira a 1200 ipz. b ) ~ C u g l cs la velocidad tangcncial de un punto de la paln situatlo a igual distancia del rjc y del extremo?

2x a) o = 1200 rpm = 1200 x - = 40;r radlscg;

60

10-7. Aceleraci6n de un punto en el movimiento circular.-La definicibn general de aceleracibn es corno derivada de la velocidad. Pero la velocidad es un vector en el que hay que considernr rnagnitud y dircccibn. La velocidad de u11 punto rnovil variarb, por consiguiente, tanto si cambia la magnitud como la direccion de su velocidad, o, por supuesto, si varian ambas simult~nearnente. Por consiguiente, un punto movil puede tener una aceleracioli producida, bien por un carnbio de magnitud o de direccibn de su velocidnd, o por ambas cosas a la vez.

La circunferencia de la figura 10-6 (a) representa la trayectoria de un

f punto de un cucrpo que gira alrcdcdor de un eje fijo que pasa por 0. Sea wo la velocidad angular del cuerpo cuando el punto se encuentra en p; la velocidad ta~gencial correspondiente es uo = Rw. Supongarnos que el cuerpo en rotacion tiene una aceieracion angular. Entonces, cuando el punto considerado llega a q, la velocidad angular habri aumentado hasta un valor mayor a, y la velocidad tangencial hasta un valor v = Ro (por brevedad se ha omitido el subindice T de la velocidad tangencial).

La aceleracion media entre 10s puntos p y q se define como la variacibn de velocidad dividida por el interval0 de tiempo transcurrido entre p y q. La variacibn de velocidad tiene que considerarse ahora como un vector variacibn, o sea, como el vector dijerencia entre u y uo. Este vector diferen-

1 SEC. 10-71 ACELERACION DE UN PUNTO EX EL XTOVIMIENTO CIRCULAR -- 183

. cia es Cl mismo un vector, y puede hallarse por cualquiera de 10s mktodos de sustraccibn de vectores explicados en la secci6n 1-9. E n la figura 10-6 (b), 10s vectores v y uo se han llevado paralelarnente a sus direcciones

FIG. 10-6.-El vector u - uo cs el vector vnrincidn dc la vclocidod.

en la figura 10-6 (a) , y la variaci6n de velocidad o vector diferencia v-vo se ha determinado por el metodo del triangulo. La acelcracion media es:

variacibn de velocidad (vector) . Aceleracion media (vector) = tiempo transcurrido (escalar) '

- v - uo (vector diferencia) n =

1 - lo

siendo to y f 10s tiempos corrcspondientes a 10s puntos p y q. La direccibn, de Ia aceleraci6n media es la misma que la del vector v - vo.

La aceleracidn inslanlrinea se encucntra suponiendo puntos cada vez mbs proximos corno en la figura ,lo-7 (a). Para mayor sencillez, consideremos en primer lugar un caso especial en el cual la velocidad angular o es constante. El valor num6rico de la velocidad tangencial resulta tambid11 constante aunque su direccibn cambia continuarnente. La variacibn de velocidad, v - vo o Av, se halla como en la iigura 10-7 (b) , en la cual 10s vectores vo y v tienen el misrno origen. Observese atentarnente que aunque el valor nurndrico de la velocidad es constante, y 10s vectores vo y u tienen la misma longitud, ha habido, sin embargo, una variacibn de velocidad a causa del carnbio de direccion del rnovimiento.

La aceleracion instantbnea en el punto p es el lirnite de la raz6n del vector variacibn de la velocidad a1 tiempo transcurrido:

181 MOVIMIESTO CIRCULAR [CAP. 10

Es util relacionar esta aceleraci6n con la velocidad angular del cuerpo en rotacibn. Puesto que el ingulo A8 en la figura 10-7 (b) es pequelio, su valor aprosimado en radianes es

I Au A8 = -, o sea, Av = vA0 (aproximadamente).

U

Dividiendo 10s dos miembros de esta ecuaci6n por el inten-a10 de tiempo At se obtiene:

Au A0 A1 - = u - (aproximadamente).

Ai [rr' r- Cuando Ai- t 0, la aproximacibn resulta exacta, y

Pero lim es la aceleraci6a instanthnea, y puesto que el Bngulo A0 al-u At

en la figura 10-7 (b) es igual a1 angulo A0 en la figura 10-7 (a) (sus lados A e son respectivamente perpendiculares), la cspresi6n lim - es la velo-

Al-0 Af cidad angular instantBnea w.

Por consiguiente, a = UW.

Esto es, el valor numeric0 de la aceleracibn del punto es igual a1 producto de sus vclocidades tangcncial y angular.

Como se ha indicado, la direcci6n de la aceleraci6n es la misma que la de la variacibn de velocidad Au. Cuando el lngulo A0 disminuye, 10s vectores v y uo tienden cada vez mas a coincidir y el Qngulo formado por su direccibn conifin y la del vector Au tiende a ser un gngulo recto: En el limite, el vector Au (o du) forma exactamente un angulo recto con el vector u. Por consiguiente, la aceleracion instantlnea es perpendicular a la velocidad tangencial y esti dirigida hacia el centro, o sea, a lo largo

SEC. 10-71 A C E L E R A C I ~ N D E UN PUNTO E N EL MOVIh.IIENT0 CIRCULAR 185

del radio. Por esta razbn se llama frecuentemente aceleracibn normal o radial y se designa por a ~ . La velocidad tangencial instantanea y la accleracion normal, en el instante en que el punto se encuentra en p, estan indicadns en la figura 10-7 (c) .

ObsCrvese que aunque el vector Av tiende a cero, el interval0 de tiempo por el cual ticne que dividirse para obtener la aceleracibn instanthnea tiende tambiCn a cero; cl cociente, a ~ , no es necesariamente una cantidad pequefia.

Finalmente, de la Ec. [lo-111 y de la relacion V T = Rw, obtenemos estas utiles relacioncs:

Dc su definicibn, variaci6n de velocidad dividida por tiempo transcurrido, se deduce que la aceleracibn normal se espresa en m/seg2, cm/seg2 o pieslsegz.

Consideremos a continuacion el caso mBs general, representado en la figura 10-8, en el cual el cuerpo en rotaci6n ticne una aceleracibn angular a. Ahora el valor numCrico de la velocidad angular no es constante y el

(b ) v

(a ) FIG. 10-8.--Componentcs tangencia1 y normal dc la acclemcion.

vector u es mayor que el vector uo, y tiene ademis direccibn distinta. La variacibn de velocidad, encontrada por el mCtodo corriente, es el vector Av en la figura 1043 (b). Este vector puede descomponerse en las componentes AvR y AVT. La componente AvT corresponde exactamente a1 vector Av de la figura 10-7 (b). La componente AvT es igual a la diferencia de longilud de 10s vectores v y vo. Esto es, esta componente representa el cambio de velocidad producido por un cambio del valor nurne'rico de la velocidad. tangencial, -rnientras que la componente AvR es la variaci6n originada por un cambio de direccidn.

Cuando A0 -t 0, las direcciones de u y uo se aproximan cada vez mas. El vector AuT coincide en el limite con la direccion de cualquiera de ellos y, por consiguiente, se encuentra sobre la tangente, y de ahi el subindice T. Los vectores AuT y AvR pueden considerarse como Ias componentes reclangulares de Av, descompuesto segun la tangente y el radio, en lugar de paralelamente a 10s ejes X e Y.

186 hIO\'IhfIESTO CIRCULAR rCZ\1$. 10

El limite dcl cocicnte del vector AVT a1 tiempo transcurrido es la ace- leraci6n langencial insianianea. Para espresarla adccuadamente, proceda- mos con10 sigue: representcnios por wo y w las velocidades angulares inicial y final en la figura 10-8 (a), correspondientes a las posiciones p y q. Las longitudes de 10s vectorcs uo y v son cntonces vo = Roo y v = Rw. Puesto qoc AvT es la diferencia de longitud de estos vectores,

Dividienclo el primcro y el ultimo mienibros por Ai, se obtiene, en el limite,

El primer micmbro es, por definition, la aceleracibn tangencial, y

lim Po es la aceleraci6n angular ins tantbea a. Por consiguientc, A 1 4 At

La relaci61i entre las aceleraciones angular y tangencial se puede obtener tambiCn derivando respecto a i la ecuacibn

Pero duT/di es la dcrivada dc. la velocidncl tangencial, cs decir, la ace- leraci6n tangencial, y dwldt es la accleraci6n angular. Por tnnto,

a~ = Ra.

Lo mismo que la aceIeraci6n normal, la aceleraci6n fangencial se ex- press en m/seg2, cmlseg2 o pies/seg2.

Las expresiones de las componcntes normal y tangencial de la acele-- racion de un punto en un m~\~irnicnto circular pueden combinarsc para obtener la aceleraci6n resultante a:

en la figura 10-9, en el cual la trayectoria forma un Bngulo 8 con la horizontal, la aceleraci6n puede descomponerse en una componente tangencial a~ = g sen 8 y una componente normal a~ = g cos 8.

Un arc0 suficientemente pequeiio de cualquier curva puede considerarse

I I

I I

I

FIG. 10-9.-La acelcmcl6n de In gmvecind. g, FIG. 10-10. ptletlc dcscornponersc cn unn cornponcnte

langenclal y ltna componentc nonnnl. ' I - como un arc0 circular, y el radio de esta circunferencia se llama radio

de curvaiura, p. Si es UT la velocidad del cuerpo en el punto p , se tiene: I RESUMEN

1.0 Cuando un punto se mueve dacribiendo una circunferencia, la longitud d e la trayectoria s, su velocidad tangencial V T y su aceleraci6n tangencial a~ estan ligadas a su desplazamiento angular 8, su velocidad angular w y su aceleraci6n angular a, por las ecuaciones:

s = Re; . .

i 7' UT = RIA; I L - aT = Ra. f .:.:

I 6 I I,!@ Los conceptos de aceleraci6n tangcncial y aceleracibn normal no que- , * 2.0 La aceleraci6n normal es la derivada de la velocidad. correspondan restringidos a1 movimiento sobre una circunferencia, sin0 que pueden , diente a un cambio de direcci6n de esta velocidad. Su direcci6n es la del I (m, aplicarse a1 movimiento a lo largo de una curva cualquiera. Consideremos, radio y el sentido hacia el centro, estando ligada a las velocidades an- por ejcmplo, la trayectoria parab6lica de un proyectil. En todos 10s pun- gular y tangencial por las relaciones: I r * tos de la trayectoria e! valor nun16rico de la aceleraci6n es g, y su direc-

I t*) ci6n es vertical y dirigida hacia abajo. En cualquier punto, tal como el p . ; a~ = = R02 = -- U T ~ I I R I

185 MOVIMIENTO CIRCULAR [CAP. 10

3.0 L a aceleracion tangencial es la derivada de la velocidad, correspondiente a un cambio en el valor numeric0 de esta velocidad. EstB ligada a la aceleracibn angular por la relacibn:

a~ = Ra.

E J E ~ ~ P L O . - ~ ~ disco de radio 10 cm parte del reposo y con~ienza a girar olre- dedor de un a e horizontal que pasa por su centro, con una aceleracidn :~ngular constante de 2 rad/seg2. Un punto p del borde del disco se cncuentra, nl iniciarst. el nio\.i- rniento, en la misma vertical del centro y cncima de dl. Calcillcsc nl cabo de 1 seg: a) la posici6n del punto; b ) su aceleraci6n normal; c) su aceleraciln tal~gsllcial; rl ) su aceleraci6n resultante.

1 1 a) O = o d + - - d 2 = - x 2 x 1 2 = 1 r a d .

2 2

Por consiguiente, el punto esth en la p0sicid.n que indica la figura 10-10.

b ) a~ = Ro2

La relaci6n entre 10s aspectos rectilineo y angular del movimiento circular esta explicada en la fotografia de iluminaciones sucesivas de la figura 10-11. Una cuerda de cuyo extremo pende un peso esta arrollada en la periferia de un disco circular cuyo eje horizontal esta sostenido sobre cojinetes de bolas. Se ha nlarcado un radio en el disco, el cual se encuentra en posicibn horizontal a1 iniciarse el movimiento. Cuando se abandona el disco a si mismo, el peso se mueve hacia abajo con una ace- leraci6n lineal constante, y el disco gira en sentido contrario a las agujas de un reloj, con aceleracibn angular constante. (La dinarnica del problema se estudiari en el Cap. XI.)

El Bngulo formado por dos posiciones sucesivas del radio, dividido por el intervalo de tiempo entre dos iluminaciones sucesivas, es igual a la

angular media durante dicho intervalo. Evidentemente, 10s Bn- g d o s se hacen progresivarnente mayores a medida que el movimiento c o n t i n u a r d ~ o s t r a n ~ < a velocidad angular va aumentando. Efec- tuando medidas cuidadosas puede dernostrarse que el aumento de velocidad entre cada dos iluminacione~onsecutivas es el mismo, o, en otras palabras, la aceleraci6n angular es

La distancia recorrida por el peso durante cualquier in- t e r v a l ~ de tiempo es la misma que de circunferencia

SEC. 10-81 FCVIlZAS CENTI{~PI:TA \. CT:N.SH~FUCA P.

189 -- -

descrito por cualquier punto del borde del disco en el mismo intervalo. La velocidad y aceleracibn del peso son,. por consi,ouiente, numtri- camente iguales a la ~e loc idad y aceleracion tangenciales d e un pun- to del borde del disco. E s evidente que el peso se mueve con velocidad creciente, y medidas cuidadosas efectuadas demuestran que el incremento de velocidad por unidad de tiempo es constante.

Puesto que el desplazamiento, velocidad y aceleracion angulares pueden deducirse de medidas efectuadas en el disco, y el desplazamiento, velocidad _v aceleracibn tangenciales, de medidas eiectuadas en el cuerpo que desciende, y se canoce el radio del disco, podemos comprobar las relaciones

10-8. Fuerzas centripeta y centrifuga.-Todo el mundo ha reaiizado alguna vez el esperimento de a tar una piedra o un peso a una cuerda, y dar vueltas haciendo que la piedra describa una circunferencia. hlientras la piedra da vueltas se nota que la mano esti sometida a una fuerza hacia afuera, e inversamente la mano tiene que ejercer una fuerza hacia adentro sobre la piedra.

Para reducir el problema a lo fundamental imaginemos una punta 0 clavada en una superficie horizontal sin rozamiento como la de la figura 10-12. Un cuerpo pequefic de mass m esta unido a la Punts Par ~ r c . 10-l1.-folognri:l dc iluminacioncs intermedio de una cuerda de ion- S C I C ~ ~ ~ V ~ S clue dcnrllcstrn I:I rclaciBn cntre

la nccl~ncibn tnngcncial y In aceleracibn gitud R, y se pone en rotaci6n alre- angular.

dedor de ella con u n a velocidad angular a, una velocidad tangencial v~ y una aceleracibn normal O R = = u#/R = 02R. D e acuerdo con la segunda ley de Newton, es necesario

190 MOVIMIESTO CIRCULAR [CAP. 10

ejercer una fuerza sobre el cuerpo para producir esta aceleraci6n normal, y la direccion de esta fuerza tiene que ser la misma que la direcci6n de la aceleracion, es decir, seglin el radio y hacia el centro de la circunferencia. Por ello se denornina fuerza central o centripela (la expresion centripefa significa literalmente ((buscando un centroo). Puesto que

F = ma. y a = vT2/R = u2R.

el valor numeric0 de la fuerza centripeta es

Esta fuerza dirigida hacia adentro la suministra la cuerdz. la cual es t i evidentemente en tension y, por consiguiente, ejerce sobre la punta del centro una fuerza hacia afuera, igual y opuesta a la centripeta, llamada fuerza cenlrlfuga (la expresion cenlrifuga significa literalmente cque huye

FIG. 10-13.-La fuena F es la Iuerza centripeta. La fuerza F', r&?cci6n a la lucm F. es la

lucm ce~~lrifuga.

del centroo). El diagrama de fuerzas esta representado en la f i g m 10-13, en la que F y F' son las fuerzas iguales y opuestas ejercidas por la cuerda sobre 10s cuerpos a 10s que se hallan atados sus extremes. La fuerza F es la centripeta, la fuerza F' es la centrifuga. Las fuerzas centripeta y centrifuga constituyen siernpre una pareja dc fuerzas de. accion y reaccion, siendo la prirnera la fuerza resultante hacia adentro ejercida sobre el cuerpo que gira, y la segunda, la reaccion a esta fuerza.

Desgraciadamente, existe mucha confusion en lo que respecta a las fuerzas centrifugas. Un error corriente es creer que la fuerza centrifuga es una fuerza dirigida hacia afuera ejercida sobre un cuerpo en rolacidn, y que le obliga a alejarse del cenlro. Es frecuente talnbiCn la idea de que las fuerzas centripeta y centrifuga son diferentes, en algo, de las tracciones o empujes ejercidos por cuerdas y rcsortes, y constituyen una tercera clase de fuerzas, ademas de las fuerzas de contact0 y de las fuerzas de acci6n a distancia; pero esto no es asi. Las fuerzas centripetas, corno otras fuerzas, son tracciones o empujes ejercidos por alglin cuerpo material sobre otro cuerpo material, y su denorninacibn de fuerzas ceniripelas se refiere i~nicamente a1 efecto que producen (un-cambio de direccion) y no a algo esencialmellte distinto en su naturaleza.

Si el cuerpo en rotacion no es lo suficientemerlte pequerio para consi-

I SEC. 10-91 - EL PERALTE DE LAS CURVAS . -- 191

derarlo punrual, el radio R en la Ec. [10-141 debe tomarse igual a1 radio de la c~rcunferencia en la que gira el centro de masa, y UT como la velo-

. cidad tangencial del centro de masa.

ia) \ ( b ) PIG. 10-14.-1s Iuena P es la luem centripeta. La h~crza ticticia de D'hlembert,

mur'/R, se llama a veccs luena centriluga. .., .. .. .~ A: - . El principio de D'Alembert (\.ease Sec. 5-6) puede aplicarse igual a un movimiento .::.: circular que a1 movimiento rectilineo. La figura 10-14 representa un cuerpo de ma-' ...- Ja rn que se mueve con velocidad tangencial u~ en una circunferencia de radio R y : centro 0. El punto de vista newtoniano [Fig. 10-14 (a)] consiste en suponer que la ?.:: ...., -. .- varilla ejerce una fuerza resultante hacia adentro sobre el cuerpo, que es igual a1 pro- ; .Cl I&, ducto de la masa por la aceleracion normal, mu$/R. Seg~in D'Alembert [Fig. 10-14 (6)], . <" .. ....,., +*..::. el cuerpo esth en equilibrio por la acci6n combinada de la fuerza I' y de la fuerza fic- '63. :' ;#.:.;,' ticia hacia afuera muTz/R. Cuando se utiliza el principio de D'Alembert, la fuerza ficti- .&::.cia exterior se denomina fuerza cenlri/uga. Probablernente, el uso de este tdrmino .'&? cenlrifuga para designar una fuerza ficlicia hacia afuera es la causa de la idea err6nea :'?(?' de que una fuerza real hacia afuera actira sobre todo cuerpo en movimiento circular.

10-9. El peralte de las curvas.-La figura 10-15 es una vista frontal del juego de ruedas de un coche de ferrocarril, de masa m, que se aproxima hacia el lector con la velocidad u, y describe una curva de radio R cuyo centro se encucntra a la derecha del dibujo. Para mantener el movimiento sobre una trayectoria curva, es necesario que se ejerza una fuerza centripeta, igual a mu2/R, sobre las ruedas. La direccion de esta fuerza es hacia el centro de la circunferencia, o sea, en este caso, hacia la derecha. La fuerza centripeta es ejercida por el carril exterior que empuja hacia la derecha contra la pestafia de la rueda exterior, y esta representada por P en la figura 10-15 (a);'Las'otras fuerzas ejercidas sobre el juego de ruedas son: su peso, mg, y la reaccion vertical, N, ejercida por 10s railes. Para mayor simplicidad se han representado como si actuasen en el centro de gravedad. (Veanse 10s problemas 10-31 y 10-32 para una solucibn mas detallada.) La fuerza resultante ejercida por 10s railes sobre el juego de ruedas esta representada por el vector de trazos.

Si ahora 10s railes, en lugar de encontrarse sobre un plano horizontal, estin peralfados, como en la figura 10-15 (b ) , de mod0 que su plano sea perpendicular a la fuerza que tienen que ejercer sobre el juego de ruedas, esta fuerza resulta normal a ellos, y no ,es necesaria lapresibn de 10s railes contra las pestarias de las ruedas para mantener el conjunto en movimiento de rotacibn. La componenfe vertical de la fuerza normal soporta ahora el peso del juego de ruedas y su, componente horizonlal nroporciona

192 MOVIMIENTO CInCULAR [CAP. 10

la fuerza cenlrfpefa. La resultante del sistema de todas las fuerzas es la misma, tanto en la figura 10-15 (a) como en la 10-15 (b) , esto es, la fuerza centripeta P.

Fuerza rcsultantc ejercida sobre cl JUegO de ruedas

en cstc punto 1 (a,

El Bngulo de inclinacibn o peralte 0 que la capa de balasto forma con la horizontal es igual a1 angulo 0 de la figura 10-15 (a). Por consiguiente,

Puede verse en esta ecuaci6n que la tangente del Angulo de peralte es proporcional a1 cuadrado de la velocidad, e inversamente proporcional a1 radio de la curva. Para un radio dado no hay ningun angulo que sea

I Fuerza I

* centripeta 7

I-'IG. IrJ-1G. FIG. 10-17.-k:l pendulo cbnico.

correcto para todas las velocidades. Por consiguiente, en 10s proyectos de carreteras y ferrocarriles, las curvas se peraltan para la velocidad media

SEC. 10-101 EL PENDULO COSICO 193

,+ . . de trdfico sobre ellas, por lo que resultaran demasiado peraltadas para 8,: velocidades inferiores a la media, y viceversa. . Las mismas consideraciones determinan el angulo correcto de incli- 2.. nacion de un avi6n que efectua un viraje. El angulo debe ser tal que la $:, resultante de la sustentaci6n y de la fuerza centripeta sea perpendicular .$.z7: a la superficie de las alas (Fig. 10-16). F,c ' ' 10-10. El p6nduIo c6nic.o.-La figura 10-17 representa un cuerpo pe- 3 '

-$:- quefio de masa m que se mueve describiendo una circunferencia horizon- 5: tal, con la velocidad angular constante o y en el extremo de una cuerda 5. ligera de longitud L. Prescindiremos del interval0 durante el cual el cuer-

po se pus0 en movirniento y consideraremos dnicamente la situacibn %. despuCs que la masa se ha puesto en movimiento con las caracteristicas .-,'. -:;, ..,- indicadas. Si 0 es el 5ngulo constante que la cuerda forma con la vertical, zg el radio R de la circunferencia descrita es: .. .. d ,.. .. :... . .. . . . ..~ <.. ,." , . . R = L sen 0.

.I::. ..>, Mientras el cuerpo gira describiendo su trayectoria, la cuerda describe

.:+. cc ", una superficie cbnica, y de ahi el nombre de pkndulo cdnico que se da al

.k::,,. dispositivo.

..%:-. Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo cuando se encuentra en la posi- g;,.: ci6n indicada son: su peso, mg, y la tensi6n T de la cuerda. Hay una gran &: .?',,. tentacibn a afiadir una fuerza cenlrffuga hacia afuera en el diagrama; :3:-: pero, como hemos visto, no pertenece a1 conjunto de fuerzas aplicadas a1 ::>, cuerpo. Sabemos ademas que la aceleracibn est5 dirigida hacia el centro :j.. de la circunferencia horizontal que describe. Por tanto, elijamos dos ejes, .: uno en esta direcci6n y otro perpendicular a ella, y descompongamos la .:.- . .. tensi6n T en dos componentes, segfin se indica. La fuerza resultante en 2.. ,, .,.. la direccibn del eje Y es T cos 8 - mg, y la fuerza resultante segun el '&,eje X es T sen 0. Entonces, de la segunda ley de Newton, #r,. ." ,

2Y = T cos 0 - mg = ma,;

XX = T sen 0 = ma,. I -

Pero a, = 0, puesto que la altura del cuerpo no varia;y a, = vZ/R = = o2R. Por consiguiente:

I I T cos 0 = mg; [lo-161

I T sen 0 = mo2R.

I ' Puesto que R = L sen 8,

I :a T sen 0 = mw2L sen 0;

I ' .t

194 MOVIMIENTO C I R C ~ L A R [cap. 10 SEC. 10-1 1 ] MOVIMIENTO EN UNA CIRCUNFERENCIA VERTICAL 195 f ' I

Cuando se sustituye este valor de T en la Ec. [lo-161, obtenemos:

mu% cos 0 = mg;

gsta es la relaci6n que ha de cumplirse elitrc la velocidad angular, la longitud de la cuerda y el ingulo 6. Por coilsiguiente, para una velo-

cidad angular dada y una cuerda de longitud dada, hay un Bngulo definido 6 que tiene que formar la cuerda con la vertical. Esta ecuacibn explica por quC la bola describe un circulo de radio mayor cuando su velocidad angular aunienta. En efecto, si w aumenta, cos 6 tiene que disminuir y el ingulo 0 auinenta, puesto que e! coseno de un angulo comprendido entre 0 y 900 disminuye cuando el angulo aumenta.

Una aplicaci6n tecnica litil de este efecto la constituye un tipo coniente de tacbmetro, representado en la figura 10-18. El Brbol S estd unido mediante una transmisi6n flexible a1 dis-

FIG 10-18.-Tlpo corriente de tnc6mc- positivo cuya velocidad angular se

tro.'(~cprodrreido w r cortesia de Piorleer desea medir. El eie uue sostiene 10s . . lnstrumerct Cnrnpany.) dos pesos mbviles w ;st& acoplado a1

eje S por una rueda dentada y un pi- iibn. Los dos pesos m6viles estan unidos por varillas a 10s collares F y C. El collar F esta fijo a1 eje, pero el collar C puede moverse librementc hacia arriba o hacia abajo. Ambos collares esGn obligados a mantenerse separados por la accion de un resorte en hClice.

Cuando el eje S gira, 10s pesos m6viles / , - %\, cornprimen el resorte en hClice hasta que se / alcanza una posici6n en la cual la fuerza /

ejercida por el resorte a t r a v b de las va- I

rilias suministiz !a fuerza centripeta ncce- I i \ p I saria. \

/ El movimiento del collar C se transmite \ d 1

por,el rodillo R y un sistema de palancas y -- - /

engranajes a la aguja indicadora sobre la ''3

graduaci6n del instrumento. mQ - 10-11. Movimiento en una circunferen-

FIG. 10-19.-IIovlmlento en una cia vertical.-ia figura 10-19 representa un clrcunferencia vertical. I FIG. 10-20.-Pologralias con llumlnacionw surcsiws de &Inn ltola rlne .rlr,a el rlzo. en rlna circunfcrencia vertical. 'I

t I

198 MOVIMIENTO CIRCULAR [CAP. 10 I I SEC. 10-121 EFECTO DE LA ROTACION D E LA TlERRA SOBRE EL PESO 199 I

entre el punto m4s alto y el m i s bajo es 2mgR, y tiene que ser igual a1 increment0 de energia cinetica. Por consiguiente:

Esto es, el cuerpo ha de tener a1 nienos esta velocidad en el punto m i s bajo de la cirarnferencia, si ha de llegar a1 punto mas alto sin que la cuerda deje de estar tensa.

Las fotografias con iluminaciones sucesivas de la fignr:~ 10-20 explican otro caso de movimiento en una circunferencia vertical: una pequefia bola riza el rizo en el interior de una pista circular vert.ica1. La fuerza normal hacia adentro ejercida sobre la bola por la pista re.emplaza a la tension T de la figura 10-19.

En la figura 10-20 (a), la pelota se abandona desde una altura tal, que su velocidad en la parte m i s alta de la pista es mayor que la velocidad critica, dgR. El1 la figura 10-20 (b), la pelota parte de una altura m i s baja y alcanza la parte mis alta del circulo con una vclocidad tal, que su propio peso es mayor que la fuerza centripeta necesaria. En otras palabras, la pista tcndria que hacer una traccion hacia arriba para mantener el movimiento circular. Pucsto que esto es imposible, !a pelota nbandona la pista y se mueve una corta dista~icia dcscribiendo una trayectoria parabblica, la cual pronto corta a la circunfcrencia, ! el resto del recorrido es completado satisfactoriarnente.

E n la figura 10-20 (c), el cornicnzo del movirnie.nto se efectua desde una altura todavia menor, y la pelota abandona la pista antes, resultando claramente evidente la trayectoria parabblica. 1711 la figlrra 10-20 (d), cuando la bola vuelve de nuevo a la pista, el rjngulo de choque es tan pr6ximo a 900, que salta varias veces y, finalrnente, rueda afuera.

10-12. Efecto de la rotaci6n de la Tierra sobre e l peso.-El peso de un cuerpo se define corno la fuerza de alraccion gravitatol-ia cntre el cuerpo y la Tierra, y hemos dicho que esia fuerza puede medirse susperldiendo el cuerpo de m a halanza de resorte. El ultimo enuncindo no es exactamente correcto, a menos que la operation de pesar se efectde en uno de 10s polos.

La figura 10-21 (a) es uria vista de la Tierra colocandonos sobre el polo Norte y mirando hacia abajo. E n la figura se, ve, ademis, un cuerpo (muy aumentado) suspendido de una balanza de resorte y colocado en el ecuador. Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo suspendido es t ln indicadas en la figura 10-21 (b), donde w es la verdadera fuerza d e atracci6n gravi-

j tatoria y P es la fuerza hacia arriba ejercida sobre el cuerpo por la balanza !- de resorte. E n virtud de la tercera ley de Newton, se ejerce sobre la ba-

lanza una fuerza igual y opuesta a P , y, por consiguiente, la balanza indica - una fuerza igual a P.

1 Si el cuerpo suspendido estuviese en equilibrio, las fuerzas w y P serian iguales, por la primera ley de Newton, y la balanza seiialaria el peso verdadero. E n realidad, el cuerpo, debido a la rotacibn de la Tierra, no

Trayectoria

Peso aparente

Peso verdadero i ( b ) "

FIG. 10-21 .-Peso vcrdadero y peso aparente.

e s t i en equilibrio, sino que tiene una aceleracibn normal dirigida hacia el I I

centro de la misma. Por consiguiente, la fuerza zu tiene que ser ligeramente mayor que la fuerza P para proporcionar la fuerza centripeta necesaria. Si R es el radio de la Tierra y w su velocidad angular:

o sea,

Si llamamos a la indicacion de la balanza peso aparenle, P, y a w peso I

verdadero del cuerpo, se vera que el peso aparente es algo menor que el i

peso verdadero. Los valores numkricos aproximados de R y w son: 1 i

R = 6400 K m = 6,4 x 108 m; I

200 MOVIMIENTO CIRCULAR [CAP. 10

Y, por tanto,

Los cllculos anteriores han sido efectuados para un cuerpo colocado en el ecuador. E n 10s puntos situados a1 norte o a1 sur del ecuador, 10s cuerpos describen circulos de radio menor y la diferencia entre el peso

verdadero y el aparente es tambien menor, lleglndose a hacer nula en 10s polos.

10-13. La centrifuga.-Una centrifuga ,o es un dispositivo para hacer girar a un objeto con una velocidad angular elevada. El gran aumento consiguiente de la aceleracion normal es equivalente a aumentar el valor de g, y algunos procesos, como 10s de se- dirnentaci611, que de otra forma solo ten- drian lugar lentamente, pueden ser acelera-

FIG. 10-22. dos en gran escala por este procedimiento. Centrifugas de velocidad muy alta, llamadas ullracentrifugas, se han hecho funcionar a

velocidades angulares de 180 000 rpm, y con pequeiias unidades experimentales se ha Ilegado a 1 300 000 rpm.

10-14. Trabajo y potencia en el movimiento circular.-Supongamos una fuerza F que actfia, como se indica en la figura 10-22, en la llanta de una rueda de radio R mientras la rueda gira un angulo infinitesimal d 0 radianes. Por deiinicion, el trabajo realizado es:

dl\' = Fds. Como ds = R d 0 , resulta:

d l Y = FRdB.

Pero F R es el momento 7, debido a la fuerza F , de mod0 que tenemos

como ecuacion correspondiente a la d W = F d z del movimiento lineal. El trabajo realizado en un desplazamiento angular finito desde a 02,

es: 01

w ~ d e . 01

Si el momento es constante, mientras el Bngulo varia una cantidad finita de 01 a 02,

W = ~ ( 0 2 - 01).

t PROBLEMAS 20 1

Esto es, el trabajo realizado por un momento constante es igual a1 t producto del momento por el desplazamiento angular.

Si T se expresa en kilogramos por metro, el trabajo vendri medido en 4 kilogrtimetros. Si r se expresa en newtons por metro o en dinas por centimetro, el trabajo vendra espresado, respectivamente, en julios o en ergios. En el sistema inglb, si F se expresa en libras-pies, el trabajo se expresa ; i en pies-libras. ! I . Q

Cuando se dividen 10s dos miembros de la Ec. 110-221 por dl, se obtiene:

d W Pero -

dl es la velocidad angular. Por consi- es la potencia, y - dl

guiente, . i

P = TW. [I 0-231

Esto es, la potencia instankinea desarrollada por un momento es igual (

a1 producto de dicho momento por la velocidad angular instantlnea. i

EJEMPLO.-El eje motor de un automovil gira a 3600 rpm y transmite una potencia de 80 CV desde el motor a las ruedas traseras. Calcillese el momento desarrollado por el motor. (

2x w = 3600 rpnl x - = 120x radlseg;

60 I (

I P R O B L E M A S

10-1. a) kQu6 Bngulo en radinues corresponde a un arc0 de 90 cm de longitud, situado sobre una circunferencia cuyo radio es 60 cni? b) iQuC Bngulo en radianes corresponde a uu arc0 de longitud 78,54 cm, situado sobre una circunferencia de dihrnetro 100 cm? &CuAl es el valor de este Bngulo en grados? c) El Bngulo comprenclido entre dos radios de una circunferencia es 0,60 rad. L ~ u ~ l ' e s la longitud del arc0 correspondiente en una circunferencia de radio 200 cm? L D ~ radio 200 pies?

10-2. Calclilese la velocidad angular, en radianes por segundo, del cigoeiial de

un autornbril cuyo motor gira a 3G00 revoluciones por minuto.

10-3. UII cilindro de 15 cm de dihmetro gira en uu torno a 750 rpm. a) ~ C u h l es la velocidad tangencial de la superficie ciel cilindro? b) La velocidad tangencial adecuada para trabajar el hierro funditlo es 60 cmlseg, aproxirnadamente. &A cubntas revoluciones por rninuto debe girar en un torno, una pieza de 5 crn de dihmetro?

10-4. U I ~ motor electric0 gira a 1800 revolucioncs por lninuto y tiene sobre su eje tres poleas, de diametros 5, 10 y 15 cm, respectivamer~te. Calcular la velo-

202 h1OVIMIENTO CIHCCLAR [CAP. 10

cidad lineal en la superficic de cada polea, en metros por segundo. Las poleas pueden conectarse ~nediante una correa de trans1nisi6n a un conjunto analog0 montado sobre otro eje; la de 5 cm a la de 15 cm, la de 10 crn a la de 10 cm y la de 15 cm a la de 5 cnl. Calcirlensc en revo- Iuciones por minuto Ins tres velocidades posibles de rotaci611 del ejc.

10-5. Una ruedx dc '30 cln dc diimetro parte del reposo y va a u ~ n e ~ ~ t a n d o su velacidad uniforrnemcnte hasta alcanzar una velocidad angular de 100 rat1 por segundo en 20 seg. Calctilese: a ) la acelenci6n angular; b) cl angulo giratlo en ese tiempo.

10-8. 1.a velocidatl angular dc un volante disminuye un i fo r~~ le~r~en te desde 1000 a 400 rpm. en 5 seg. Calcdlese: a) la aderaci6n angular; b) el nurnero de revoluciones efectuadas por el volante en el intervalo de 5 seg. c) ~Cuhntos segundos mas sedn necesarios para que el volante se detenga?

10-7. IJn volante necesita 3 scg para g i n r un Angulo de 234 rad. Su velocidad angular, a1 cabo de este tiernl~o, es 108 racl!seg. Cnlculese su aceleraci6n all- gular constante.

10-8. Un volante cuya acelcraciirn angular es constante c igual a 2 radIseg2, gira un Angulo de 100 rad en 5 seg. iCuan- to tiempo ha estado en movimienlo antes de comenzar el intervalo de 5 seg, si par- ti6 del reposo?

10-9 a ) DistIngasc claramente entre aceleracidn tangencial y normal. b) Un voIante gira con velocidatl angular constante. ~T iene un punto tle su borde ace- leraciin tangencial?; l y aceleraci6u normal? c ) Un volante girn con aceleraci6n angular constante. ~l ' iene un punto de su borde aceleraci6n tangencial?; ~y ace- leraci6n normal? LES constante el valor numerico de estas aceleraciones?

10-10. En el instante 1 = 0, un cuerpo .st mueve hacia el Este con la velocidad de 10 cmlseg. A1 cab0 de 2 seg se mueve en una direccibn que forma un Angulo de 250 con la direcci6n Este hacia el Norte y a la velocidad de 14 cmlseg.

Hhllese graficamente la variation de velocidad durante este tiempo, y su aceleracion media.

10-11. Una rueda de 30 pulg lie diA- metro gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular inicial de 2 rps. 1.a aceleraci6n es cle 3 rev(seg2. n) Calcd- lese la velocidad angular a1 cab0 de 6 seg. b) LQUC Angulo habra girado la rueda en este tiempo? c) LCUBI sera la velocidnd tnr~gcncial de un punto de la periferia de la rued:! en el instante 1 = 6 scg? d) ~Cua l es la aceleraci6n resultante tie un punto de la periferia para 1 = 6 seg?

10-12. Un punto del borde de una rucda de 16 cm de radio tiene una abscisa angular dada en funci6n del tiempo por 0 = 12 - 91 - 312 $- IS, donde 8 esta espresado en radianes y 1 en segundos, considerindose como positivo el sentido contrario a1 de las agujas del reloj. a ) Ha- llensc las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracion angulares del punto en funci611 del tiempo. b) para quC valor de 1 la aceleraci611 resultante tiene la direccibn del radio? ~ C u a l es el valor de esta aceleraci6n? c) L E ~ que instante es la nceleraci6n resultante tangente a la circunferencia? iC114l es el valor de esta acelcmcion?

10-13. Cna rueda gira alrededor de un cje fijo de tal forma que su velocitlad angular en el instante 1 viene dada por la relaci6n o = 2 + 612 donde t estA en segundos, y o, en radlseg. a ) iCual es la aceleraci6n angular de la rueda en 10s instantes 1 = 0 y 1 = 2 seg? b) ~ Q u d Angulo gira la rueda en el intervalo comprendido entre 1 = 0 y 1 = 2 seg?

10-14. El volante de un motor elkctrico tiene una aceleraci6n angular que varia linealmente con el tiempo, de acuerdo con la leg a = 101 radjsegz, hallandose en reposo en el instante t = 0. a ) HAllese en funci6n del tiempo la ex- presi6n de la velocidad angular. LCuAl es la velocidad angular para t = 2 seg? b) HAllese el tiempo empleado por el volante en efectuar su primera revolu- ci6n completa.

10-15. Un vehlculo se mueve con una

PROBLE

.. . ' velocidad constante de 27 m/seg sobre : I una pista circular cuya circunferencia

-* ...,. . :; -. tiene 1080 rn. Determlnese gdficamente i . la magnitud y direcci6n de la aceleracion 1;: del vehiculo en un intervalo de: a ) 8 seg;

:.)::. b) 4 seg; c ) 2 seg. d ) Comparese la respuesta a c ) con el valor y direcci6n de

.-. .~ -A- la aceleraci6n normal instantanea. -.-. . .- ., . . ., . . * ,.

10-16. Un cucrpo se mueve en el pla- i-.-. no X-Y segdn la ley w 7 +

1 x = R cos 01; g = R sen of,

. siendo z e y las coordenadas del cuerpo, t :

,. 1 el tiempo, y R y o constantes. a ) Eli- * -. ... .. . ., ,.> mInese 1 entre estas ecuaciones para hallar - L , 7 . .. la ecuaci6u de la curva descrita por el . . . :.; cuerpo. ~ C u a l es esta curva? b) Derlvense - .

- las ecuaciones dadas para encontrar las componentes segun 10s ejes X e Y de la

. velocidad del punto. Compbnganse estas . , ..?;: expresiones para obtener el valor y di- , .-. :$>;, recci6n de la velocidad resultante. c) De- 7.

..i",:,-:. rlvese de nuevo para obtener el valor y

. .L:, .. . ..2., :,axr direcci6n de la aceleraci6n resultante. .:><:i., - Este problema intlica otro metodo .."A

., . . .,,

para de'ducir las expresiones de la acele- .,". raci6n tangcncial y de la aceleraci6n nor-

mal. . , 10-17. Calclllese en revoluciones por .{ rninuto la vclocidad angular necesaria en

una ultracentrlfuga para que la acelcra- ..... . . ..I:. ci6n normal de un punto situado a 1 cm ., . te jel ejc sea igual a 300 000 g (es decir, c:. 300 000 veces la aceleracidn de la gra- ..! ... 1;: .:

.. . . . .. vedad). .,_> .: ;:: 10-18. El .piloto de un bon~bardero

:-jd: . en picado quc ha estado picando a la ve- ' locidad de 400 l im/h , termina el picado ..; cambiando su trayectoria para describir :, una circunferencia situada en un plano

vertical. a) LCUA~ es el radio minimo de ::: la circunferencia para que la aceleraci6n : ' en el punto mas bajo 110 exceda tle r7gr7 .. b) ~CuAnto pcsa aparentcmente el piloto .,.

en el punto mas bajo de la trayectoria, .. sl su peso normal es de 90 Kg? ... ' 10-19. Una h e d a parte del reposo y

se ncelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 900 rpm en 20 seg. a) CalcSllese la pos ic ih , a1 cab0 de 1 seg, de un punto que se encontraba

inicialmente en la parte mAs alta de la rueda. b) Calcdlese y represCntese en un diagrama el valor y la direcci6n de las componentes tangencial y normal de su aceleraci6n en este instante. La distancia del punto a1 aje es 15 cm.

10-20. a) Demuestrese que cuando un cuerpo par te del reposo p gira alrededor de un eje fijo con aceleraci6n angular constante, l a aceleraci6n normal de un punto del cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento angular. b) ~ Q u t Angulo habra girado el cuerpo cuando la aceleraci6n resultante forme un angulo de 600 con la acelcraci6n normal?

10-21. Una pequefia esfera de masa m I

estA sujeta a una cuerda sin peso de I

60 cm de longitud, dc forma que constituye un p61ldulo que oscila lorrnando un Angulo maxim0 con la vertical tle GOo. Calcdlense y representense en un dia- I !

grama la magnitud y direcci6n de la ace- leraci6n resultante de la esfera cuando el hngulo del hilo con la vertical es de: a ) 600; b) 37O.

1'0-22. Calcdlese la fuerza centripeta ejercida sobre un pasador de 125 g situado en la llanta del volante de un motor. El dihmetro del volante es 45 cm y gira: a ) a 2000 rpm: b) a 4000 rpm.

10-23. Un bloque de masa IT! descansa sobre una plataforma que gira con velocidad angular constante o Una cuerda flexible une este bloque con otro de masa m en la forma indicada en la figura 10-23. El coeficiente de rozamiento entre el primer bloque y la plataforma es p.. Calcdlense 10s valores rnhxirno y rnl- nimo del radio r para 10s cuales el primer bloque permanece en reposo respecto a la plataforma.

205 , 4

204 MOVI~IIEIVI'O CIRCULAR [CAP. 10 I - PROBLEhlAS

j i 4 10-24. Una piedra de masa 1 Kg,

unitla a una cuerda cuya mistencia a La rotura es de 500 newtons, gira en una circunfercncia horizontaL &Qu6 velocidacl debe llevar la piedra para que su velocidad angular sea la mficiente para provocar la rotura de l a cuerda?

10-25. Un ciclista y su lnaquina pe- snn, en conjunto, SO ICg. )- rizan el rizo en una pista circular de 2,1 m de radio. 1.a velocidad en el punto mas bajo es de 9,s $5 mlseg. a) Calcdlcse l a aceleracib~~ normal en el punto mas alto. Sup611gase que la bicicleta rueda sin pedalenr y sin ro7a1aiento. b) Representense en UII dia- grarlra todas las fuerzas que actdan sobre la bicicleta y el ciclista en el punto rnas alto, y calchlese la fuerza que ejerce la pista sobre la bicicleta. c) ;Con qu6 fuerza presiona la bicicleta contra la pista? d) &CuAl es la velocidad minima que debe tener la bicicleta en el punto mas alto para no despegnrse tle 13 pista?

10-26. Un pequefio cucrpo de ulasa in desliza sin rozamiento rizando el rizo en la pi st^ representada c11 la figura 10-24. Parte clel reposo en el punto A situatlo a una altura 3R. En el instante de :!I- canzar el punto 11 en el extremo de un diametro horizontal del ckculo, calcii- lense: n) su ;1celeraci6n normal; b) su aceleraci611 tangential; c) la acelerncidn resultante. RepresCnte~~se a escala aprorimada estas aceleracio~~es ell un diagrama. (\:base cl problems 12-17.)

10-27. Dcmutstrese que cua~ido un cuerpo ataclo a utla cuerda s e mueve en una circunferencia vertical, la te11si611 de la cuerda cuando el cucrpo se ellcuentra en el punto mas bajo excede a la tensi6n, cuando se halla en el punto mAs alto, en 6 wces el peso del cuerpo.

10-28. Un ciclista toma una curva a una velocidad de 3,6 mlseg, observando que debe inclinar la mhquina un Angulo de 530 sobre la horizontal para mantener el equilibrio sin patinar. El peso del ciclista y la mhquina es de 90 Kg y el centro de gravedad del wnjunto esth situado segdn se Indica en la iigura 10-25. a) MuBstrense en un diagrama todas las Iuerzas que acttian sobre la bicicleta y el ciclista. b) Calcdlese el radio de la curva. c) Hallese tambien 13 fuerza de rozamiento entre la pista y 10s neumhticos.

10-29. Un coche describe una cuwa de radio de curvatura R, siendo la distancia entre las ruedas b,'y la altura del centro de rnasa h. icon qu6 velocidad debe tomar la curva para que la fuerza vertical sobre las ruedas interiores sea nula?

10-30. Una curva de IS0 m de radio en una carretera horizontal tiene un peralte correct0 para una velocidad de 50 ICm/h. Si un autom6vil recorre esta curva a la velocidad de 100 ICm/h, ~ c u a l es el coeficiente mlnimo de rozamiento entre 10s ~ieumiticos y la carretera, para que el autom6vil no derrape? Supdngase que todas las fuerzas actdan en el centro de gravedad.

10-31. UII aeroplane vuela a la velocidad tle 120 rnillas por hora, describiendo una trayectoria circular de 5000 pies de radio. a) &CuAl es el Bngulo de inclina- ci6n del ala? 6) ~CuAles son la magnitud y tlirecci6n de la fuerza resultante que actlia sobre el aparato? c) ~ C u a l es la magnitud de la fuerza aerodingmica sobre el ala?

10-32. Una caja de 2,40 m de altura y 0,36 m2 de base pesa 250 I<g y tiene

su centro de gravedad coincidiendo con el centro geometrico. La caja estb apoyada por su base sobre el piso de url ca- midn. a) Indlquese en un diagrama todas las fuerzas que actdan sobre la caja cuando el cami6n describe una curva con velocidad constante. b) &Con qu8 velocidad maxima puede tomar el cami6n una curva de 19.20 m de radio sin que vuelque la caja? Supbngase una fuerza de rozarniento suficiente para que no haya deslizamiento. c) ~ C u a l es el valor mfnimo del coeficiente de rozamiento?

10-33. Un vel6dromo tiene 4 0 pies de dian~etro y la fuerza de rozamiento entre 10s neumhticos de una motocicleta y el piso es 0,4. a) Representense en un dingrama todas las fuerzas que actdan sobre la motocicleta cuando se mueve en una circunferencia horizontal sobre la pared vcrtical del vel6dromo. b) Calcd- lese la velecidad minima de la maquina. c) Si la motocicleta y el conductor pesan 320 Ib, hallense las fuerzas vertical y horizontal que actdan sobre la pista a dicha velocidad.

10-34. Se lanza un cuerpo con una velocidad inicial de 36 mlseg en una direccidn que forma 530 con la horizontal. Calcdlese el radio de curvatura de su trayectoria: a) en el punto mas alto; b) 4 seg despuCs de lanzado. Hagase u n dibujo a escala aprorimada.

Fro. 10-27. FIG. 10-28.

10-35 E n la montafia rusa represell- tada en la figura 10-27 un vehfculo que pesa 2 ton parte del punto S con velocidad nula y desciende hasta el punto A (100 pies por debajo de S) donde el radio de curvatura es de 50 pies, ascendierldo hasta I3 (50 pies por debajo de S) donde el radio de curvatura es de nuevo 50 pies. a) ~ Q u 6 fuerza ejerce sobre la pista a1 pasar por el punto A? b) i,Y en el pun- t o B? c) &Es adecuado el proyecto de la pista? (esta construida para soportar ulia fuerza de 20 ton).

10-38. Una pequefia esfera se encuentra sobre una pista c6ncava en forma d e una circunferencia vertical de 30 cm de radio, que gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular cons- :ante de 7 radlseg, por lo cual la esfera toma la posicidn indicada en la figu- r a 10-28. a) Trhcese un dihgrama para indicar la direccidn y magnitud de todas las fuerzas que actdan sobre la esfera. b) Calcdlese el Angulo 8.

10-37. EL bloque de 8 Ib represen- tad0 en l a figura 10-29 esth unido a una varilla vertical por medio de dos cuerdas. Cuando el sistema gira alrededor del eje de la varilla con velocidad angular de 4 radlseg, las cuerdas quedan tensadas. segdn se muestra en el diagrama. CalcS1- lese la tensi6n de: a) l a cuerda superlor; b) la cuerda inferior.

10-38. El mecanismo representado en la figura 10-30 gira alrededor del eje rer- tical con velocidad angular de 20 radlseg. La masa m de cada contrapeso es de

206 MOVIMIEKTO CIRCULAR [ c . ~ . 10

a 10 cm del eje. LP distancia entre ambos contrapesos es dc 20 cm; el eje tiene 45 cm de longitud y csta apoyado sobre cojinetes en sus extremos. a ) HAllense

m 13s fuerzas ejercidas por 10s cojinetes sobre el eje cuando el sistema gim a 900 rpm, y mubstrense en un diagrama las direccioncs de estas fuerzaj en el instante en que el sisterna se encuentra en la posici6n indicada en la f i ~ d r a . b ) El sistema queda equilibrado dinzrnicamente si se afiaden otros dos contnpesos de

Rc. 10-30.

500 g, siendo despreciables las masas de 10s restantes elementos del sistema. El colla~-ln C desliza sin rozamiento sobre el vhstago yerti-1. Calcdlese la fuerza que cornprime a1 resorte.

10-39. El peso aparente de un hombre en el Ecuador es de 90 I<g. &En cu8n- tos gratnos difiere de su peso vcrdadero?

10-40. Un avi6n vuela de Este a Oeste sobre el Ecuador paralelamente a la curvatura de la Tierra, con una velocidad de 250 Km con reIaci6n a la Tierra. Calcdlese la diferencia entre sus pesos aparente y verdadero; este liltimo es 16 000 I<g.

10-41. a) Calc~ilese el momento des- arrollndo por un motor de aeroplano cuya potencia es 2000 CV, n la velocidad an- gulnr de 2400 rpm. b) Si se conecta al eje motor un cilindro de 45 cm de dihmetro, y la potencia del motor sc utiliza para elevar un peso que cuelga de una cuerda arrollada a1 cilindro, &qu6 peso podra elevarse? c) con qu6 velocidad se ele- varB?

10-42. El sisterna representado en la figura 10-31 se dice que estB equilibrdo esldlicamenle, pero desequilibrado dind- micamenle. Cada contrapeso es de 4 Kg y el centro de gravcdad de cada uno esth

8 Kg cada' uno con sus centros de gra. vedad de 15 cm del eje. DIgase c6mo d e ben situarse estos contrapesos

19-43. Un motor de autom6vil desarrolla una potencia de 20 HP a 120G rpm sobre la transmisi6n de un mche. La raz6n de la velocidad del motor a la dcl eje motor es de 1 : 1 eti d i m l a y de 3 : 1 cn primera. La relacldn de velocidades entre el eje motor y el trasero es de 4 : 1. Las ruedas traseras tienen un diametro de 28 pulg. Si el rendimiento del motor es del 80 % a todas las velocidades, calclilense: a ) la potencia wmu- nicada a las ruedas traseras en directa y en primera; b) el momento que actda sobre dichas ruedas a ambas velocidades; c) la fuerza tangcncial ejercida por las ruedas traseras sobre el pavimento cuando el coche marcha en di-ecta y en primera.

?

i . MOMENTOS DE INERCIA . ,.

11-1. Momento de inertia.-En el capitulo precedente hemos estu- ::; diado el movimiento de rotacibn alrededor de un eje fijo, sin inquirir las

i + car~sas dcl mismo. Si volvemos a 10s principios fundamentales, el movi-

i ; miento de cada particula del cuerpo en rotacibn est i determinado por la j segunda ley de Newton. Esto es, la fuerza resultante ejercida sobre una

i . . particula cn cada instante es igual a la masa de la particula por su acele- . : , racibn, y tiene la misma direccibn que esta liltima. Resulta, sin embargo, . , . que es posible simplificar el problema si en lugar de considerar las acele-

raciones individuales de cada una de las particulas del cuerpo en rota- ::. cibn, consideramos la aceleracibn angular de Cste, que es la misma para :i todas las particulas, y en lugar de manejar las fuerzas sobre las particulas '.*. utilizarnos el momenlo resullante sobre el cuerpo en conjunto. Esto es, ?.!>. ,:.!.: buscarnos una relacibn entre el momento resultante y la aceleracibn an- ... ,

gular, aniloga a la segunda ley de . . ' . . Newton, que relaciona la fuerza resul- b

.:.- tante con la aceleracibn lineal. P Tomaremos como primer ejemplo el

: movimiento de una barra ligera y rigida que tiene una masa puntual m en - uno de sus extremos y est i pivotada 1 I

.. . .: en el otro de mod0 que puede girar al-

HZ m

R 4 -!$ rededor de un eje perpendicular a su ' j e F

*,.,. . :z:: longitud, como indica la figura 11-1. r - .

*. , .i: Se eiercc una fuerza exterior P sobre Fro. 11-1.

- la birra a la distancia R del eje, y se supone que P permanece en todo momento perpendicular a la barra cuando Csta gira. El sistema descansa sobre una superficie horizontal sin

-. rozamiento, de mod0 que las fuerzas gravitatorias quedan equilibradas por la reaccibn normal de la superficie.

La fuerza exterior P no es ejercida directamente sobre la masa m. El _ movimiento de esta masa se ciebe a ias iuerzas inieriores ejercidas sobre

ella por la barra a la cual est i unida. Las compiicaciones que se producen cuando en el problema se hacen intervenir las fuerzas interiores, pueden evitarse utilizando las relaciones entre trabajo y energia. Esto es, ,el trabajo realizado sobre el sistema por la fuerza exterior P es igual a1 aumento de energia cinetica de la masa m. (Se supone despreciabie la masa de la barra.)

Para mayor generalidad, consideremos que cl sistema estj. ya en rotacibn alrededor del eje con una velocidad angular w. En el pequefio in-

207

I 208 MOMENTOS DE ISERCIA [CAP. 11

tervalo de tiempo dt, la barra gira un angulo dB, y la velocidad angular aumenta en dw. El trabajo dlY realizado por la fuerza P en el desplazamiento angular es:

dlV = Pds = PRdO, [ll-11

1 o bien, puesto que PR es el momento respecto a1 eje,

La velocidad de la masa m, cuando la velocidad angular del sistema es a, esta dada por

u = rw, I y su energia cinCtica es:

Cuando la velocidad anzular aumenta en dw, el aumento de energia cinCtica es:

d(EC) = (rnr2) w dw.

Puesto que el trabajo realizado es igual a1 increment0 de energia ci- nCtica,

r: d\Y = d(EC); f' ~ d 6 = (mr2) o dw;

Ahora bien: hemos demostrado que la aceleracion angular, a, puede dw expresarse en la forma w - ; por consiguiente, do

Esta ecuaci6n es la relation que tratabamos de encontrar entre el momento resultante respecto a1 eje y la aceleracion angular. SI la. comparamos con la segunda ley d e Newton,

F = ma,

vemos que las dos tienen exactamente la misma forma. El momento resultante corresponde a la fuerza resultante, la aceleracion angular a la aceleraci6n lineal, y la magnitud (mrz), producto de la masa por el cuadrado de su distancia a1 eje, desempefia el mismo papel que la masa inerte en el movimiento rectilineo. Este producto se denomina momenlo de inercia de la masa respecto a1 eje (nombre sugerido, por primera' vez,

SEC. 11-11 XIOMEXTO DE INERCIA 209

por Euler en 1765) y se represents por la letra I. La Ec. [ll-31 puede escribirse entonces:

t11-41

Por consiguiente, la energia cinCtica del cuerpo puede expresarse tam& bien en funci6n del momento de inercia. De la Ec. (11-21 se deduce:

relaci6n completamente analoga a la 1

EC = mu2 del movin~iento rectilineo.

2

La generalizacidn del concept0 de momento de inercia a cualquier nG- mero de masas puntuales rigdamente unidas es evidente. Tenemos que multiplicar cada masa por el cuadrado de su distancia a1 eje, y sumar 10s productos. Esto es, para un cierto numero de masas puntuales rigidamente unidas,

[ll-61 - -

El momento de inercia de una masa puntual depende finicamente de la masa y de su distancia a1 eje, pero no de su posici6n angular. Asi, cualquiera de las disposiciones de la figura 11-2 tiene el mismo momento de inercia, mjr12 + m2r22.

m~ -.-B -

Eje

FIG. 11-2.-El n~omento de inercia en cada cnso es igual a rnlrxz -t- mzrzP.

De la definition de momento de inercia se deduce inmediatamente que en el sistema tecnico se expresarii en unidades tCcnicas de masa por metro, por metro; en el sistema mks, en kilogramos por metro, por metro; en el sistema cgs, en granlos por centimetro, por centimetro,, y en el SiStema inglCs, en slugs por pie, por pie. Una masa puntual de I Kg, situada a 1 m del eje, tiene un momento de inercia de 1 Kg-m2, y analogamente para 10s otros sistemas.

EJE~IPLO I.-UII pendulo simple est4 constituido por una pequefia de

plomo, de masa 100 g, sujeta a1 ertrelno de una cuerda de 1 m de longitud. L C U ~ ~ es su Inomento de illercia respecto a un eje que pasa por el extremo superior de la cuerda y es perpendicular a su longitud?

Considerelnos la esfera como una masa puntual. En unidades mks,

I = 0 , i o x (1)2 = 0,10 Kg-m2. En unidades cgs,

I = 100 x (loo)= = 108 g-cm2.

i .SEC. 11-21 hIOMENTO D E INERCIA. CASO GENERAL 21 1 210 MOMENTOS DE INERCIA [CAP. 11

t . donde 10s limites d ~ , integracibn han de elegirse de ta! forma que incluyan todo el cuerpo.

El increment0 de energia cinitica a consecuencia del trabajo efectuado es:

EJEXPLO 2.-Una barra de 1 m de longitud ticne ensartados tres bloques de 10 g como indica la figura 11-3. Calcdlese el momento de inercia del sistema: a) rcspeclo a un eje que pase por un extremo; b ) respecto a un eje que pase por su centro. Des- preciese el momento de inercia de la barra.

a) Si el eje pasa por un extremo,

1 por tanto, b) Si el eje pasa por el punto medio,

y puesto que d u d 0 d o d o dm

a d f d 0 dl d0 -.Ode' Este ejemplo aclara un hecho muy importante, a saber: que el mo-

mento de inercia de un cuerpo, a diferencia de la masa, no es una propiedad caracteristica del cuerpo, sino que 'depende de la posici6n 10 g 10 g del eje respecto a1 cual se calcula. =

Asi, en este ejemplo, el rnomento r50 C m 5 0 c m - *

de inercia del sistema respecto FIO. 11-3. a un eje que pasa por un extremo es 2,5 veces mayor que el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro.

11-2. Momento de inercia. Caso general.-Consideremos ahora un cuerpo de forma arbitraria (Fig. 11-4) que gira alrededor de un eje fijo, y sobre el que actda cierto ndmero de fuerzas exteriores PI, Pz, etcetera. El trabajo realizado por las fuerzas exteriores durante un pequeiio desplazamiento angular seri:

d W = P l R l d 0 + PzRzd0 +. . . = ( C P R ) d 0 = (CT) d6 .

I Por consiguieke, en el case general, el terrnino mr2 o la suma Xmr2 l e n e

sustituida por +dm, por lo que la definicibn general de momento de J inercia e.s 1

[11-81 !.

ES decir, el momer~to de inertia de un cuerpo respecfo de un eje se halla multiplicando cada elemento de masa del cuerpo por el cuadrado de SU disfancia a1 eje, y efecfuando la sums de esfos producfos para fodo el cuerpo.

La Ec. 111-71 se transforma en

C.c = Ia. [I 1-91

( r Evidentemente, si la aceIeraciOn angular es nula.

por lo que la tercera condicidn de equilibria, mencionada en el capitulo 1x5, Gene a ser un caso particular de la Ec. ill-91, cuando es nula la aceleracion angular.

EJEMPLO 1.-Calcdlese el momento de inercia de una varilla delgada, de sec- c16n constante, respecto de un eje que es perpendicular a la misma en uno de sus extremes.

1 Esto es, el trabajo es igual a1 product0 P, del momento exterior resultante, res-

FIO. 11-4. pecto a1 eje, por el desplazamiento angular.

La energia cinitica de una masa infinitesimal dm, situada a una distancia r del eje, es:

112 d m p 2 = 112 dm rZw2,

Eje dm

y la energia cinitica total del cuerpo:

212 MOMENTOS DE INERCIA [CAP. 11

Se tiene (Fig. 11-5):

Ahora bien: como la masa -11 de la varilla es igual a PAL,

EJEMPLO 2.-Hallese el momento de lnercia de un anlllo plano, respecto de un I eje perpendicular a1 mismo y que pasa por su centro (Fig. 11-6).

Todas las partes de la corona rayada en la figura 11-6 se encuentran a la ~nlsma distancia r del eje; por tanto,,el mornento de inercia de este elemento serk

Sf es 1 el grueso del disco y p su densidad,

dm = pdl' = p x 2xrdr x 1;

d l = 27;plSdr;

El momento de inercla se puede expresar en funci6n de la masa total M. El volumen del disco es xt(Rz2 - R12), y, por tanto,

.%I = xpl (Rz2 - R12).

! La Ec. [11-101 puede'escribirse en la forrna

I = I12 z p t (Rz2 - Rle) (R2' + R12), de donde

- I = 11, M (Rz2 + R?).

SEC. 11-21 MOMENTO DE K % ~ ~ ~ . CASO GENERAL 213 C c

Se propone como ejercicio a1 lector deduclr de esta expresi6n que el momento de i ( Inercia de un cilindro macizo, respecto d e un eje que pasa por su centro, es

t

y que el momento de inercia de un cilindro de pared delgada es

I = MR2. L

E n la figura 11-7 se reseilan 10s m o s m t o s de inercia de algunos cuerpos de forma ?

geomttrica sencilla. < EJEMPLO 3.-De una cuerda arrollada sobre la superficie de un volante de 60 cm

de 'radio pende un peso de 5 Kg (Fig. 11-8). El volante puede girar libremente alrededor de u n eje horizontal que pasa por su centro. Calculese su aceleraci6n angular y la tensi6n de la cuerda, suponiendo igual a 0,3 u.t.m.-mz el momento de inercia del volante.

I (a) Barra delgada ( b ) llnillo ciLIndrico (c) Cilindro madm

(4 Tubo cihdrico de pared delgada (c) Esfera mas vr P h I W - V P ~ ~

Fro. H-7.-Momentos de inercia de algunos cuerpos. I( ~ Los diagramas de fuerzas correspondientes al volante y a1 peso aislados se dan

en la figura 11-8 (b) y (c). Se han omitido las fuerzas en el centro del volante debido a que es nulo su momento respecto al eje. De la figura 11-8 (b) resulta:

I( 1 i I

- - . - I z ; :

0,6T = 0,3 a, ' ( y de la figura 11-8 (c):

F = ma; (

5 5 - T = - a . I

(

9 3

Por ser la accleraci6n lineal del peso i y a l a la aceleraci6n tangencial de la llanta

k I

dcl volante, se tiene: a = Rz = 0,6 a. I(

! 'P 214 MOMENTOS DE INERCIA [CAP. 11 I

Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, resulta:

a = 3,72 mlsegz;

a - 6,2 radlsegz;

T = 3,l Kg.

Se deja como ejcrcicio a1 lector probar que la perdida de energia potenclal del peso equivale a las energias cineticas combinadas del peso y del volante.

11-3. Radio de giro.-Cualquiera que sea la fornla de un cuerpo, siempre es posible encontrar una distancia a1 eje dado, a la cual pudiera concentrarse la masa del cuerpo sin modificar el momento de inercia del misrno respecto a dicho eje. Esta distancia se denomina radio de giro del cuerpo respecto a1 eje, y se representa por k.

Si la masa M del cuerpo estuviera concentrada realmente a esa distancia, el momento de inercia seria el de una masa puntual hi a la distancia k del eje, o sea Mk2. Puesto que cste product0 es igual a1 momento real de inercia, I, se tiene:

A4k2 = I ;

La Ec. [11-111 puede considerarse como la definicion del radio de giro.

EJEMPLO.-LCUPI es el radio de giro de una barra delgada de masa My longitud L ,

respecto a un eje perpendicular a su longitud y que pasa por su punto medio? a ) El momento de inercia respecto a un eje que pasa por un extremo es I = ~ / J A ~ L ? I

Por tanto, I

SEC. 11-41 TEOREMA DE STEINER 215

b) El momento de inercia respecto a un eje que pasa por su punto medio es 1

lo = - ML2; por consiguiente, 12

El radio de giro, como el momento de inercia,'depende de la posicidn del eje.

ObsCrvese atentamente que, en general, la masa de un cuerpo no puede considerarse concentrada en su baricentro a 10s efectos del C ~ C U ~ O

del momento de inercia; p. ej., cuando una barra gira alrededor de su punto medio, la distancia del eje a1 centro de masa es cero, mientras

v L

que el radio de giro es - 2 4 3 '

11-4. Teorema de Shiner.-Este teorema proporciona una utilisima relaci6n que permite calcular el momento de inercia de un cuerpo respect0 de un eje, cuando se conoce su momento de inercia respecto a otro eje paralelo a1 primero. El teorema dice que el momenio de inercia de u n cuerpo respecfo u cualquier eje es igual a su momenlo de inercia respecfo de u n eje paralelo que pase por el cen- fro de masa, aumeniando en el produclo de la masa del cuerpo por el cuadrndo de la disfancia que separa X ' a ambos eies. El teorema fuC deducido por primera vez por Lagrange en 1783.

En la figura 11-9 el punto P representa un punto, arbitrario del FIG. 11-9. cuerpo, y el eje X se ha tomado coincidiendo con la recta que une P con el centro de masa. E l momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masa y sea perpendicular a1 plano de la figura es:

r.

El momento de inercia respecto de un eje paralelo, trazado por P, es:

Ahora bien:

lo = Irzdrn.

r2 = R2 f a2 - 2 a R cos 0,

o, teniendo en cuenta que R cos 8 es la coordenada X d e la masa.dm:

216 MOMESTOS DE ISERCIA [CAP. 11

Si se sustituye esta expresibn de rQn la segunda integral, se obtiene:

F-dm + a2 dm - 2a d m . I I El primer sumando del segundo miembro es lo, y el segundo, Mas, siendo M = Idm, la masa total del cuerpo. El tercer sunrando es nulo, como

puede verse mediante la expresibn que da la abscisa del centro de rnasa:

En este caso el centro de masa coincide con el origen, de. forma que : = 0 y I d m = 0. Finalmente:

Elr~rr~~o.-Hallese mediante el teorema de Steiner el momento de inercia de una varilla delgada respecto de un eje que pasa por uno de sus extremos, sabiendo que el momento de inercia de la varilla respecto de un eje que pasa por su centro de masa

9

que es el mismo resultado obtenido en la pagina 212.

ii-5. F u e n a s que actiian sobre el eje.-Ademis de la ecuaci6n

CT = Ia, [ll-131

que expresa la relacibn entre el momenlo exterior resultante, el momento de inercia y la aceleraci6n angular de un cuerpo susceptible de girar alrededor de un eje fijo, se tienen tambiCn Ias ecuaciones

- - - F = ma o C X =ma,, CY = ma,, [ll-141

que relacionan la fuerza exterior resultante, la masa y la aceleracibn lineal del centro de masa del cuerpo. Para hacer un estudio completo de las fuerzas que actdan sobre un cuerpo en rotacibn alrededor de un eje fijo hay que utilizar las liltimas ecuaciones, ga que cualquier fuerza cuya linea de accibn corte. a1 eje tiene momento nulo respecto a Cste, y no aparece, por tanto, en la Ec. [ll-13111

En el caso especial en que el eje fijo contenga a1 centro de masa, la aceleracidn de este ultimo es nula, y la Ec. [ll-141 se reduce a

C X = Q CY=O.

SEC. 11-51 217 I FUERZAS QUE ACTCAN SOBRE EL EJE I c

En 10s restantes casos el centro de masa describe una trayectoria circular respecto a1 eje y tiene, en general, una aceleracibn cuya componente normal es o2F, y cuya componente tangencial es Fa, teniendo w y a el significado habitual, y siendo F: la distancia del centro d e masa a1 eje.

La figura 11-10 represents un cuerpo d e forma arbitraria que gira alrededor de un eje perpendicular a1 plano de l a figura. La trayectoria ?el centro de masa esta rcpresentada por el arco circular de trazos, y el eje X coincide con !a recta que une el centro de masa y el eje. Si la velocidad .y la aceleracion angulares tienen ambas el sentido de las agujas del relqj, las componentes normal y tangencial de la aceleracion del centro de masa tendran las direcciones indicadas. Por tanto,

y resulta, como sistema completo de ecuaciones del movimiento:

C-r = It(; - - C X = ma, = ma"; - - CY = ma, = mxr.

E ~ ~ r l p ~ o . - U n a varilla dclgada de masa m y longitud L puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus estremos. Parte del reposo en la posi- ci6n indicada en la figura 11-11 (a), en la que forma un angulo de 300 con la horizo~~tal. Calcdlense las componcntes horizontal y vertical de l a fuerza ejercida por el pivote sobre la varilla en el momento en que 6sta pasa por la posici6n horizontal.


L La perdida de energIa potential, r n g - , es igual a la energia cinktica gana-

da, 112 Zo2: 4

L El momento alrededor del eje, cuando la varilla estL horizontal, vale mg - , y de

l a relaci6n Br = la, resulta: 2

L 1 m g - = -

2 3 mL2a;

(Considbrese como positivo el sentido hacia abajo). Del diagrama de fuerzas representado en la figura 11-11 (b) se obtiene:

1 Ry = - rng.

4

Por consiguiente, RE es igual a 10s tres cuartos del peso rlc la vari!la y estL dirigida hacia la derecha, micntras que R, esM dlrigida hacia arriba y vale un cuarto del pcso.

P R O B L E M A S

11-1. Una varilla rfgida, de longitud L y masa despreciable, tiene una n~asa pnntual 2m en su centrn y otra masa rn

en nn extremo, pudiendo girar alrededor del otro exlremo 0 (vkase' Fig. -11-12). a) Hhllese .la distancia Z desde 0 al

centro de masa, en funci6n de L. h) HA- llese el momento de inercia I del sistema, respecto de un eje que pase por 0, en funci6n de m y de L. c) Calclilese el momento de inercia 10, respecto de UII

eje aue pase por el centro de masa, en funci6n de rn y L. d) HLllese el radio de giro respecto de un eje trazado por 0, en funci6n de L.

11-2. Calculese el momento de inercia de una barra de 4 cm de diAmetro y 2 m de longitud, cuyo peso es 8 Kg: u) respecto de un eje perpendicular a la vari- Ila en su punto mcdio; b) respecto de un

PROBLEM AS 219 -- ~ ~ ~ -

eje perpendicular a la varilla en uno de lado 2R, mientras que el cuerpo D tiene sus extremos; c) respecto de un eje Ion- i y a l e s dimensiones que el C, per0 es gitudinal trazado por el centro de la hueco (es decir, esth formado por cuatro varilla. varillas delgadas). Los cuatro cuerpos

11-3. A partir de la definici6n del girzn alrededor de ejes que pasan por el

momento de inercia, [ rzdm, calcSllese el J

momento de inercia de una varilla delgada homogknea respecto de un eje perpendicular a la misma y que pasa por un punto situado a un cuarto de su longitud a partir del centro. Dkse la respuesta en funci6n de la masa y de la longitud de la varilla.

114. Una varilla delgada tiene una densidad que varia proporcionalmente a la distancia a uno de sus extremos, siendo en uno de b t o s doble que en el otro. Por tanto, la densidad en el pun-

1: to z serL p = PO ( 1 +-). Calcdlese por

L integracidn la expresi6n del momento de inercia de la varilla respecto de un eje que pnsa por el extrerno de menor densidad y que es perpendicular a la longi- t ud de la varilla. Exprksese el resultado en funci6n de M, masa de la varilla, y de su Iongitud, L.

11-5. El radio interior de un cilindro hueco tiene 7,s cm, el exterior, 10 cm, y su longitud, 15 cm. tCufil es el radio

centro de masa de cada uno y son perpendiculares a su plano. a) ~ C u a l de 10s cuerpos tiene menor momento de inercia? lCuLl de ellos tiene momento de inercia mAximo? b) Calcdlese el momento de inercia del cuerpo D respecto a1 eje dado, suponiendo que su borde es muy delgado comparado con R. Obtkngase el resultado en funci6n de la masa total df y de R.

11-8. a) Calclilese por integraci6n el momento de inercia lo d e un cilindro hueco de masa M, radio interior Rl y exterior R2, respecto de u n eje longitudinal gue pasa por su centro. b) tCuLl es el momento de inercia del cilindro respecto de un eje que pasa po r 0, figura 11- 14, paralelamente a1 primero?

de giro respecto a su eje? ll-B. momento de inertia 11-9. De un disco circular de radlo R

de una esfera respecto de un eje tan- se corta otro disco de diametro R, como

gente a la misma. se lndica en la figura 11-15. Hhllese el momento de inercia de la porci6n restante del primer disco respecto de un eje trazado por 0 perpendicularmente a su plano, expresandolo en func16n de R y de M, masa ds la figura resultante.

A B C D

FIG. 11-13. ~'0 VD

11-7. Los cuatro cuerpos rqpresen- FIG. 11-16. tados en la figura 11-13 tienen todos la misma masa M. El cuerpo A es un cilin- 11-10. Calcdlese el momento de Iner- dro macizo de radio R; el 13, un cilindro cia respecto a1 eje 00' d e una lhmina hueco y delgado de radio R; el cuerpo C triangular delgada de denkidad unifor- es una lamina cuadrada y maciza de me, de altura a, base 6, y masa total m


(FIg. 11-16). Obthngase el resultado en funci6n de a, b y m.

11-11. Deddzcase por integraci6n una f6rmula que dC el momento de inercia d e un disco semicircular de masa bl y radio R, respecto de un eje normal a1 plano del disco, trazado por el punto 0 (figura 11-17). 11-12. Una meda de afilar de 15 cm

de dihmetro y que pesa 2 Kg, gira a 3600 rpm. a) iCuAl es su energla cinbtica? b) LDe qu6 altura tendrla que caer para adquirir la misma energia cin6tica? 11-13. El volante de un motor pesa

610 Ib y tiene un radio de giro de 4 pies. El motor desarrolla un momento constante de 1280 Ib-pie, y el volante parte del reposo. a). &CuAl es la aceleraci6n angular de volante? b) ,!,CuAl sera su velocidad angular despubs de efectuar cuatro revoluciones? c) tQu6 cantidad de trabajo realiza el motor en sus cuatro primeras revoluciones? 11-14. El volante de un motor de

explosi6n tiene que suministrar una energla de 30 Kgm mientras su velocidad disminuye de 600 a 580 rpm. ~ C u a l es el momento de inercia necesario? 11-15. Una piedra de. afilar tiene la

forma de un cilindro macizo de 80 Ib de peso y 2 pies de dikmetro. tQuC fuerza aplicada en Angulo recto a1 extremo de un manubrio de 9 pulg de longitud sera necesaria para comunicarle una velocidad angular de 120 rpm en 5 seg? 11-18. El volante de una taladradora

tiene un momento de inercia de 15 slug- pie2 y da 300 rpm. El volante suministra toda la energfa necesaria para una ope- raci6n rapida de taladrado. a) Calcdlese en rpm la velocidad del volante despuCs de una operaci6n instantanea de taladrado para la que se precisan 4500 Ib-pie

de trabajo. b) ~ C u 4 l deberft ser la potencia constante que debe suministrarse a1 volante para que Bste recupere su velocidad inicial en 5 seg? 11-17. Sobre una rueda plvotada se

ejerce un momento constante de 20 nea- tons-m durante un tiempo de 10 seg, con lo cual la velocidad angular de la rueda aumenta desde 0 a 100 rpm. Se suprime entonces el momento exterior, y a1 cabo de 100 seg el rozamiento de sus cojinetes hace parar la rueda. Calcdlese: a ) el momento de inercia de la rueda; b) el momento de rozamiento; c) el nlimero total de vueltas dado por la meda. 11-18. Un volante cuyo momento de

inercia es de 1,5 slug-pie2 gira a 1800 rpm. Sobre el volante se ejerce un momento resistente : = 0,18rclZ (donde s esth expresado en Ib-pie y 1 en segundos). a) tQu6 tiempo se requiere para detener el vo- lantel b) lQu6 n6mero de revoluciones efectuarh en dicho tiempo?

11-19. El dispositivo representado en la figura 11-18 estd formado por dos esferas macizas iguales de 10 cm de radio y 1000 g de masa, unidas por una varilla rlgida ligera. Sus centros distan 30 cm, y un eje vertical pasa por el centro de una de las esferas, perpendicularmente a la varilla. a) tCuB1 es su momento de inercia respecto de este eje vertical? b) Si se aplica a1 dispositivo, que se encuentra inicialmente en reposo, un momento de 9s 000 dinas-cm, ~ c u a l sera su velocidad angular despuks dc etectuar una revolucibn completa? 11-20. En la llanta de un volante de

60 cm de radio estA arrollada una cuer- . da sobre la que se ejerce una fuerza '

constante de 5 Kg, como indica la figu-

ra 11-19. a ) El volante esta montado sobre cojinetes sin rozamiento en un eje horizontal que pasa por su centro, y su momento de inercia es de 0,01 u.t.m.-ms. a) Calcdlese la aceleracidn angular del volante. b) Pru6bese que el trabajo realizado para desenrollar 6 m de cuerda equivale, aproximadamente, a1 incremento de energla cinhtica de la rueda. c) S1, como muestra la figura 11-19 (b), se cuelga un peso de 5 Kg de la cuerda, ~ c u h l sera su aceleraci6n angular? ~ P o r quC no es la misma que en el caso a)? 11-21. Un volante de 400 Kg de masa

y radio de giro 0,5 m es acelerado partiendo del reposo mediante un motor que desarrolla una potencia constante de 2 Kw. a) LQUC tiempo se requiere para alcanzar una velocidad angular de 600 rpm? b) ~Cuhntas revoluciones efectda el volante en este tiempo?

11-22. La maquina de Atwood representada en la figura 11-20 tiene una polea cillndrica maciza de masa igual a 0,2 u.t.m. Las masas ml y mz son de 0,25 u.t.m. y 0,15 u.t.m., respectivamente, y R vale 0,15 m. Calcdlense: a ) la aceleraci6n de la masa ml; b) la tensi6n en l a cuerda que une ambos pesos, y e) la tensi6n en la cuerda que soporta la polea.

11-23. Un cub0 de agua que pesa 32 I<g esth suspendido d e una cuerda arrollada alrededor de un torno que tiene la forma de un cilindro macizo de 30 cm de diametro y que pesa tambibn 32 Kg. E l cub0 se deja caer, partiendo del reposo, desde la boca de un pozo y desciende una altura de 20 m antes de llegar a1 zgua. a) ~ C u a l es la tensi6n de la cuerda nientras cae el cubo? b) con quC velocidad llega el cub0 a1 agua? c) ~CuAnto tarda en caer? Desprbciese el peso de la' cuerda. 11-24. Un bloque de 8 Kg se encuen-

tra en reposo sobre una superficie horizontal. Una cuerda a tada a1 bloque pasa por una polea, cuyo diametro tiene 15 cm, y en el otro estremo de l a cuerda cuelga ot ro bloque cuyo peso es tambiki~ de 8 Kg. Se abandona el sistema en reposo, y se obsenya que el bloque recorre 5 In en 2 seg. a ) ;cu&l es kl momento de inercia de la polea? lCuAl es la tensi611 en cada parte de la cuerda?

11-25. Los discos d y B de la figu- n 11-22 tienen 2 pies d e radio y pesan 61 lb, estando rlgidamente unidos a 10s extremos de un eje C que descansa en

IS1 222 hZOMENTOS DE INERCIA [C.~P. 11

posidon horizontal sobre cojinetes sin rozamiento (no representados). De dos cuerdas arrolladas sobre el borde de cada dism penden dos pesos de 20 Ib y 12 Ib, en la forma indicada, siendo despreciable el momento de inercia de C. El sistema parte del reposo. a) HAllese la velocidad lineal de cada peso despuBs que el de 20 lb ha descendido G pies. b) Calcdlese el momento ejercido por el eje C inmediatamente despuBs de iniciarse el movimiento. d) Dlgase si este momento aumenta, disminuye o permanece constante a1 proseguir el movimiento.

11-21?. Una varilla vertical de longitud L y masa M, pivotada a un eje que pasa por su extremo inferior, y es perpendicular a la misma, parte del reposo en una posici6n vertical. a) HAllese su relocidad angular a1 pasar por la posicion horizontal. b) Hlllese su acelera- ci6n angular en esta posici6n. c) Deter- minense las componentes horizontal y vertical de l a aceleraci6n de su centro de masa en la posici6n horizontal. d) Ob- tdnganse las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote sobre la varilla cuando Bsta se encuentra en posici6n horizontal. Repre- sentense estas fuerzas en un diagrama.

11-27. Una varilla rlgida ligera de 100 cm de longltud lleva en un extremo un pequeiio bloque de 50 g de masa. El otro extremo esta sujeto a un eje y la b a r n gira en un clrculo vertical. En

, cierto instante Bsta forma un 4ngulo de 530 can la vertical, y la velocidad tangencial del bloque es de 400 cm/seg. a) ~CuAles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad del bloque? b) LCuAl es el momento de inercia del sistema? c) iCudl es la aceleracidn normal del bloquel d) &CuAl es su aceleracl6n tangencial? e) LCuAl es la tens1611 o compresidn de la varilla?

11-28. Una rueda de radio 30 cm consta de un aro de 5 Kg y de un rayo que pesa otros 5 Kg (v6ase Fig. 11-23). a) tCu4l es el momento de inercia de la rueda respecto de un eje que pasa por su centro perpendicular~nente a l a misma? b) ~ C u h l es el centro de masa de la meda? c) Si se pivota la rueda en su centro y se abandona en una posici6n en que el ray0 es horizontal, cull ser l la velocidad angular de la misma a1 alcanzar dicho ray0 la posici6n vertical inferior? d) &Cull es la fuerza ejercida sobre el eje de la rueda cuando el ray0 esta horizontal. e) &CuAl es la fuerza sobre el eje cnando el ray0 estA en su posici6n mAs baja? f) (,Y culndo el ray0 forma un dngulo de 450 con la horizontal?

11-29. Un disco de masa ill y radio R gira alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro. En el borde del disco hay fijado un pequeiio cuerpo tambiCn de masa M. Si se abandona el disco partiendo del reposo, de forma que el pequefio cucrpo se encuentre en un extremo de un radio hor izo~~tal determinense. a) la velocidad angular cuando dicho cuerpo se encuentra en la posici6n m l s baja; b) l a fuerza que ejerce el eje sobre el disco en dicho instante.

11-30. Una barra de masa M y longltud L puede girar alrededor de su centro. hlediante una cuerda snjeta a1 extremo superior de la barra se ejerce una fuerza vertical constante F = Mg/2. El slstema parte del reposo y se abandona a sf mistno cuando la b r i m estA en pod- ci6n vertical (Fig. 11-24). a) HaUese la

velocidad lineal del extremo de la barra en el instante en que Bsta estA en posi- ci6n horizontal. b) &Culles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el pivote sobre la barra en dicho Instante?

11-31. Un disco macizo de masa A1 y radio R gira alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto A de su circunferencia (Fig. 11-25). Parte del reposo en el instante en que su centro se encuentra a igual altura que el punto A. a) cull es la aceleraci6n tangencial del punto B, diametralmente opuesto a1 A, inmediatamente despuhs de ponerse en movimiento el disco? b) LCuAl es la velocidad angular del disco a1 alcanzar Cste el punto m4s bajo de su oscilacibn?

11-32. Si el momento de inercia del cuerpo representado en la figura 7-9 respecto de un eje que pasa por su centro

es lo, y el radio del Arb01 central es r, calcdlese l a aceleraci6n hacia arriba que de te imprimirse a 10s extremos llbres de las cuerdas para que el centro de masa del sistema permanezca fijo.

11-33. Demubstrese q u e el momento de inercia de un .'cuerpo respecto de un eje es mlnimo cuando el eje pasa por su centro de masa.

11-34. Un bloque de masa rn = 5 Kg desliza por la superficie d e un plano inclinado 370, segdn se indica en la figura 11-26. E l coeficiente cinhtico de rozamiento es 0,25. Una cuerda unida a1 bloque pasa por la l lanta de un volante de eje 0. La masa del volante es Af = E 20 Kg, su radio exterior R = 0,2 m, y el radio de giro respecto a1 eje ko = = 0,l m. n) &Con quB aceleraci6n desciende el bloque por el plano? b) ~ C u 4 l es la tensidn en Irt cuerda?

12-1. Ecuaciones generales del movimiento.-Herllos demostrado en el capitulo VII que cuando actua sobre un cuerpo una fnerza exterior resultante F, la aceleraci6n de su centro de masa viene dada por la ecua- ci6n F = m& o bien, por el sistema de wuaciones:

- - CX = ma,; C Y = ma,. [12-11 .

TambiCn se ha visto en el capitulo XI que cuando un cuerpo gira alre- 'dedor de un eje fijo, su aceleraci6n angulzr estP dada por

donde C7 es el momento resultante respecto a1 eje dado, e I el momento de inercia con relaci6n a1 mismo eje.

Nos proponemos ahora obtener a partir de estas relaciones las ecuaciones generales del movirniento de un cuerpo rigido, tanto si existe eje fijo de rotaci6n como si no. Sobre el cuerpo puede actuar cualquier n~inlero de fuerzas exteriores, de direcciones arbitranas y aplicadv a puntos cualesquiera de aquel. Aunque limitaremos nuestro estudio d caso de fuerzas coplanarias, 10s principios utilizados t ie~en validez en cualquier caso. Por 10s mCtodos ya estudiados, el sistema de fuerzas =teriores puede reducirse a su resultante, y, una vez hecl~o esto, se comprueba que existen tres unicas posibilidades, esto es, el sistema dado se reduce: 1) a una sola fuerza cuya linea de accidn pasa por el centro de m u a ; 2) a un par, es decir, a dos fuerzas iguales y de sentido opuesto cnyas lineas de acci6n son paralelas; 3) a una fuerza dnica que no pasa por el centro de masa, lo que equivale a una combinaci6n de 10s casos 1) y 2).

El caso I), correspondiente a una sola fuerza cuya Knea de acci6n pasa por el centro de masa, fui estudiado en el capitdo VII, habiendo visto que el movimiento es acelerado de tnslacibn pura. Vamos a considerar ahora el caso 2), en el que el sistema de fuerzas exteriores se reduce a un par, y a continuacion demostraremos que el caso 3), esto es, una fuerza irnica que no pasa por el centro de masa, equix-ale a uria com- binaci6n de 10s casos 1) y 2).

La figura 12-1 ( a ) representa un cuerpo de forma m u l a r sobre el que actua un par formado por dos fuerzas ipales y o p u e a s , de magnitud P, cuyos puntos de aplicacibn son simPtricos respecto a1 centro de masa, y cuya distancia es I. E s evidente que TX y C Y son nulas, y, por tanto, en virtud de la Ec. [12-11 la aceleraci6n del centro de masa del so-

FIG. 12-1.-Electo de un par. . . . . '-- lido es tambiCn nula; por consiguiente, si eI cuerpo se encuentra inicial-

mente en reposo, su centro de masa permanece fijo. I El momento resultante -rO respecto de un eje que pasa por el centro ' f

I I I de masa sera P x - + P X - = P X I , y, par tanto, 1 2 2 L I XTO = P x I = I0 a.

Como el centro de masa permanece fijo, el movimiento tendra aceleracibn angular respecto de un eje que pasa por dicho centro, sin necesidad de que exisia u n eje ffsico que airaviese a1 cuerpo en esie punio.

En la figura 12-1 ( 6 ) el par se encuentra en posici6n exce'nlrica; EX y C Y siguen siendo nulas, y el centro de masa permanece en reposo. El momento respecto a1 centro de rnasa vale P x (I + x) - P x x=P x I , y, en consecuencia, la aceleracibn angular es la misma que en el caso anterior. La situaci6n del par respecto a1 centro de masa no hace variar la aceleraci6n angular, que finicamente depende del product0 P x 1. Por tanto, si sobre el cuerpo actda un par P' x l', segun se indica en la figura 12-1 (c), la aceleraci6n angular seguir5 siendo la misma que en 10s casos (a ) y ( b ) con tal que P' x 1' = P x I .

En resumen, podemos decir que el dnico efecto de un par es el de producir una aceleracibn angular respecto a un eje que pasa por el centro de masa. Como el par no produce aceIeraci6n del centro de masa, no es necesaria la existencia real de un eje para que se produzca la rotacidn del cuerpo.

Vamos a demostrar a continuacidn que cuando actua una sola fuerza cuya linea de acci6n no pasa por el centro de masa, esto equivale a una fuerza dnica cuya linea de acci6n pasa por el centro de masa, m8s un par. La fuerza F, en la figura 12-2, representa la rtsultante del sistema de fuerzas exteriores. Apliquemos al.centro de masa las fuerzas F' y F", cada una de magnitud igual a I;; aunque una del mismo sentido y la otra de sentido opuesto a aqu6lla. La resultante de F' y F" es nula, de mod0 que estas fuerzas no afectan a1 movirniento del cuerpo.

I SEC. 12-11 ECUACIONES GENERALES DEL nlOVIMIENT0 227

Las fuerzas F y F' constituyen un par de momento F x I. El sistema inicial de fuerzas se reduce, por tanto, a la fuerza F" (igual a F) aplicada en el centro de masa, y a1 par de momento F x I. Por consiguiente, el movimiento del cuerpo se descompone en 10s dos siguientes: Uno de ace- leraci6n lineal del centro de masa, originado por la fuerza F"; el otro corresponde a una aceleracion angular respecto a un eje que pasa por dicho centro, debido a1 par F F'.

I tiene igual velocidad lineal que el centro de masa, y energia cinCtica d e . rotaci6n respecto a un eje que pasa por el centro de masa:

EJEMPLO.-Se ejercc una fuerza horizontal P (Fig. 12-3) sobre una varilla de masa m y longitud L. a una distancia de uno de sus extremos igual a u n cuarto de la longitud d e la misma. La varilla descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Calclilensc la aceleracidn lineal inicial del centro de masa, la aceleraci6n angular respccto de un eje que pasa por dicho centro. y las aceleraciones linealcs de 10s extremos de la varilla.

t a r

FIG. 12-2.-Una fuerza cualquiera puede surtituirse por una fuerza igual que pasa por e centro de masa, m9s un par.

L a fuerza b ' e s igual a la fuerza resultante F, y el momento del par, F x I , equivale a1 momento de la fuerza resultante respecto de un eje que pasa por el centro de masa. Las ecuaciones del movimiento son, por tanto,

F = mZ, o C X = mZZ; C Y = ma, [I 2-31 Y

Cso = Ioa. [12-41

La aceleracidn lineal del ccntro de masa es la misma que si la fuerza P estuviese aplicada en aquel punto. Por tanto,

El momento resultante rcspecto a1 centro de masa vale F es la resultante del sistema de fuerzas dado; XX y C Y son sus componentes segcn 10s ejes X e Y, y &o es el momento del sistema de fuerzas dado respecto de un eje que pasa por el centro de masa.

Estos dos sfectos debidos a las fuerzas exteriores, traslaci6n y rotacion, pueden estudiarse independientemente. E s decir, el efecto de rotaci6n no es necesario tenerlo en cuenta, y se supone que cada punto del cuerpo tiene la misma aceleracibn lineal que el centro de masa. E n segundo lugar, se puede prescindir del efecto de traslaci6n y suponer que cada punto adquiere una aceleracibn angular respecto de un eje que pasa por el centro de masa.

Las fotografias de iluminaciones sucesivas reproducidas en la figura 7-1 aclaran 10s dos efectos que produce una iuerza exdntrica. E n (a) y (6) la varilla adquiere a la vez aceleracidn lineal y angular. En (c), la linea de accion de la fuerza pasa por el centro de masa, y todos 10s puntos adquieren solo aceleraci6n lineal. El movimiento en (a) y en (6) puede considerarse que es el de (c), a1 que se ha superpuesto un movimiento

L r o = P x -

4 '

2- y, puesto que el momento Be inercia respecto a1 centro es ... .

1 l o = - mL2,

12 la aceleracidn angular serL:

7 0 3 P a = - = - -

IQ L m

Las aceleraciones de 10s cxtremos y dcl centro de la varilla se indican en la figu- ' . ra 12-3 ( 6 ) . Cada. punto de la Varilla tiene una componente de. aceleraci6n lineal a

igual a la del centro dc masa. Ademas, cada punto posee una acelcraci6n tangencial dada por UP' = ra, donde a es la aceleracidn angular, y r, la distancia d e dicho punto a1 centro. La aceleracidn tangencial dcl centro a, por supucsto, cero, en tanto quc la de 10s extremos es:

- .

con aceleracion angular. La energia cinetica del cuerpo se puede considerar formada por dos

partes: energia cinitica de traslacih, en el supuesto de que cada punto

Por tanto, la 'aceleracidn resultante del pnntb p serl: ,

y la del punto q,

12-2. Rodadura.-El movimiento de un cuerpo a lo h g o de una superficie sobre la que rueda sin deslizar, nos va a perrnitir hacer algunas aplicaciones de las ecuaciones generales del movimiento. La condi- ci6n de que un cuerpo ruede sin deslizamiento impone una rzlacibn definida entre 10s valores lineales y angulares de su desplaz2mient0, velocidad y aceleracibn. Considerernos un cilindro de radio I! que rueda.

1;: FIG. 12-4.-Desplazamientos lineal y angular de un cuerpo que m a . I-

sin deslizamiento sobre un plano, se@n se muestra en la figma 12-4. El cilindro efectuara una revoluci6n completa en el tiempo en qae su centro avanza una distancia igual a la circunferencia del cilindro; esto es,

Si el cilindro rueda con velocidad angular constante cc, mientras su centro se desplaza con velocidad lineal constante v, y es t el tiempo que emplea en hacer una revoluci6n,

0 = o t = 2 ; ~ ; x = u I = ~ z R ,

v = Ro.

Si el cilindro parte del reposo con aceleracibn angular constante a, y ~ s u centro se mueve con aceleracion lineal a, se tendrk

a = Ra.

SEC. 12-21 R O D A D U R . ~ 229

Aunque deducidas para el caso especial de ser la velocidad y la aceleracibn constantes, las ecuaciones anteriores tienen validez general. Es decir, cuando un cuerpo rueda sin deslizar, las relaciones entre desplazamiento, velocidad y aceleracibn lineales del centro del cuerpo, y desplazamiento, velocidad y aceleracibn angulares respecto a1 centro, son de igual forma que las que ligan las magnitudes tangenciales y angulares en el caso de una rotaci6n alrededor de un eje fijo.

EJEA~PLO 1.-La figura 12-5 representa un ciiindro macizo de masa rn y radio R que es arrastrado sobre una superficie horizontal, sobre la que rueda sin deslizar, mediante una fuerza P aplicada a su centro. Catc~ilese l a aceleraci6n lineal de su cen- t r o de masa.

Es evidente que debe-existir el suficiente rozamiento entre el cilindro y la supcr- ( ficie para que aquCl pueda adquirir aceleraci6n sin que sc produzca deslizaniicnto. Si no hubiera rozamiento cntre ambas supcrficies, el cilindro simplementc deslizaria. ( Las fucrzas que actdan sobre el cilindro estAn indicadas en la figura 12-5 (b) . De las ecuaciones gcnerales del movimiento. rcsulta:

t

EX = P - fr = ma,;

EY = N - rng = ma, = 0;

Cso = Ir x R = 10%.

L a condici6n para que no cxista dcslizamiento da: I ( - az = Rx. 1 t

El momento de inercia de un cilindro macizo respecto de un eje que pasa por su ccntro de masa vale 112 mR2, por lo que dc las ccuaciones precedentes se deduce:

- 2 p 0, =--

3 rn !

c I

Esto es, la aceleraci6n es s610 10s 213 de la que seria de no existir rozamiento. EJEXIPLO 2.-Si la masa del cilindro cs 0,s u.t.m., su radio 0,15 m, y se aplica

una fuerza P de 2 Kg, hhllese la velocidad del punto p (Fig. 12-G), 3 scg dcspu6s dc iniciado el movimiento.

. .

. . .

. .. ...... .... . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . n+- .- - - . r - --

J.: .. .-

n Sustituyendo estos valores en las ecuacioncs deducidas en el ejemplo nn- terior, resul ta:

- a, = 12/3 mlseg2;

0 - - - 0 . a = lllle radlseg2;

FIG. 12-6.-La velocidad v del punto p es la fr = =I3 Kg. resultante de la velocidad de traslaci6n 8. y de In velocidod tangencial ur respccto a1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ u ~ i d ~ ~ 3 seg, la velokidad del centro de masa.

centro de masa scrk

- 17' \ u, = Ti,! = 5 mlseg,

y la velocidad angular, \\l\ ' . w = at = 33113 radlseg.

E l punto p, como cualquier otro punto dcl cilindro, tiene una componente de velocldad igual a a,. -Por otra parte, cada punto posee una velocidad tangencial debida a l a rotaci6n alrededor del centro dc masa rn6vil. Para cl punto p, la magnitud de la relocidad tangencial es:

UT = RO = 5 mlseg,

y estA dirigida verticalmente hacia 'abajo.

La velocidad resultante de p es, por tanto, 5 2/2m/scg y forma un Angulo de 450 por debajo de la horizontal.

EJE~IPLO 3.-Calclilese la acelcracidn del centro de masa de un cilindro macizo que rueda sin deslizar por la superficie de un plano inclinado un hngulo 8 sobre la horizontal (Fig. 12-7).

Comparando las figuras 12-5 y 12-7 se comprueba que la situaci6n en cste caso es esencialmente la misma que en el ejcmplo 1. La fuerza mg sen 8 corresponde a P, y mg cos 8 corrcsponde a mg. De las ecuaciones generales del movimiento resulta:

CX = mgsen 8 - fr = ma,;

CY = N - mgcos 0 =mE,;

fr x R = loci,

y ii, = RE.

Por ser

lo = 'I2 mR2;

a, = 213 g sen 8. FIG. 12-7.

Es dcrir, la acelcraci6n del centro de masa es s61o 10s dos tercios de la correspondiente a un cucrpo que desliza por un plano sin rozamicnto de la misma pendiente.

EJE~IPLO 4.-Se llega a1 misn~o rcsultado por aplicaci6n de consideraciones energbticas. A1 rodar el cilindro por el plano no se rcaliza ninglin trabzjo ni tampoco se desarrolla calor. (Aunque eds te una fucrza de rozamiento, no hay deslizamiento a lo largo de la superficie.) Por consi y iente , la energfa cinhtica del cilindro a1 pie del plano, si aquhl ha partido del reposo, equivalc a la phrdida cie encrgia potencial debida a1

SEC. 12-31 EJE INST.CYT.~SEO 23 1

descenso. La energia cinCtica se cornpone en este caso de dos partes: energla cinhtica de traslaci6n, 112 m 9 , y energia cinbtica de rotaci6n alrededor del centro de masa. '12 Iow2.

A1 efectuar un recorrido z a lo largo del plano (Fig. 12-8), el centro d e gravedad desciende verticalmente la distancia h = z sen 0. La p6rdida de energia potencial es, por tanto, mgz sen 8. La energfa cinftica en el pie del plano es 112 mb2 + '12 loo2; por consiguiente,

mgx sen 8 = 112 mi2 + lad, n y puesto que 10 = 112 mR2 y a2 = V2/R2,

5 2 mgz sen 8 = 112 mi? + x 1l2mR% -

R2 = 314 mi2;

9 = 413 gx sen 8. [12-5) Sea a, la aceleraci6n lineal del centro de masa. De las ecuaciones del movimiento con aceleraci6n constante resulta:

52 = 2if,z [12-61

D e las Ecs. 112-51 y (12-61 se obtiene: i - ii a, = 213 g sen 0,

~ I que coincide con el resultado obtenido previamente.

! 12-3. Eje instantine0.-El punto de vista adoptado en 10s razona- mientos anteriores ha consistido en considerar el movimiento general de un cuerpo descompuesto en dos: una traslaci6n del sblido en conjunto, y una rotacion alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. Es posible tambibn considerar cualquier tip0 de movimiento como una SU-

cesi6n de roiaciones puras, per0 respecto a un eje que, en general, no pasa por el centro de masa, y que incluso puede ser exterior a1 cuerpo. Dicho

; eje se denomina eje inslanfcineo de rolacion. Para ver c6mo se determina la posici6n del eje instanthneo, conside-

remos en primer lugar el caso de un cilindro que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro 0 [Fig. 12-9 (a ) ] . Las velocidades de 10s puntos P, Q y R pueden hallarse trazando 10s radios r ~ , r~ y r3 que van desde 0 a P , Q y R, y construyendo 10s vectores velocidades up, U Q y U R perpendiculares a dicl~os radios, y de longitudes u p = orl, U Q = or2 y Ur: = 0r3,

Reciprocamente, dadas las velocidades de dos puntos cualesquiefz, ' como 10s P y Q, queda determinada la posicihn del eje sin m5s que trazar

por P y Q las rectas perpendiculares a estas velocidades y hallar su inter- seccibn. El m6dulo de la velocidad angular se puede hallar conocida la magnitud de la velocidad de cualquier punto, a d e m b de su distancia a1 eje. Asi, si se conocen u p y rr,

u P 0z.- [12-71

r1

(0 ) (b) Ic)

a ) Velocidades de varios puntos de un cuerpo que g in alredcdor rie un eje fijo: &%?;,"ides de distintos puntos de un cuerpo que rueda; (e) El eje instanthe" pasa por

el punto P.

Consideremos ahora un cilindro que rueda sin deslizar sohre un plano, como en la figura 12-9 (b) y (c). La velocidad del centro de masa es 110. En la figura 12-9 ( 6 ) se han determinado las velocidades de 10s puntos I>. Q y R por el mCtodo representado en la figura 12-6; esto es, hallando la resultante de la velocidad vo y de la velocidad tangencial UT respecto de un eje que pasa por el centro de masa. ObsCrvese que la velocidad del pun- to P es nula.

Para evitar confusiones se muestran de nuevo en la figura 12-9 ( r ) las 1:' mismas velocidades. Si hacemos uso del mCtodo descrito para determinar r el eje de un cuerpo en rotacibn; es decir, si se trazan por 10s puntos 0,

Q y R rectas perpendiculares a las velocidades de estos puntos, se comprueba que todas estas rectas pasan por el punto P; dicho de otra manera,

. el movimiento del cilindro, en cualquier instante, es el mismo que si estuviera girando alrededor de un eje trazado por P normalmente a1 plano del dibujo. Este es el eje instanfcineo, que difiere de un eje fijo, o de un eje trazado por el centro de masa en movimiento, en que 10s puntos del cuerpo que se encuentran sobre el eje inslantaneo estan continuamente variando. Asi, en la figura 12-10, donde la recta a-a' es la recta de contacto entre el cilindro y la superficie en el instante considerado, todos 10s puntos de esta recta a-a' se encuentran sobre el eje instant5neo en dicl~o instante. Un momento despub hara contact0 con la superficie la recta b-b', y en este instante todos 10s puntos de esta recta estan tambiCn sobre el eje instant8neo. En un instante posterior seran 10s puntos de c-c' 10s que estdn sobre el eje instantaneo, y asi sucesivamente.

Vamos a ver ahora que la velocidad angular ( y la aceleracibn angular) respecto a1 eje instantaneo son las mismas que respecto a un eje mbvil trazado por el centro de masa. Ya se dijo anteriormente, en relacibn con el movimiento de rotacibn alrededor de un eje fijo, que para hallar la velocidad angular basta conocer la velocidad lineal de 'un punto cualquiera, ademas de su distancia a1 eje. En la figura 12-9 (c) sabemos que la velocidad vo del centro de mnsa, para un cuerpo que ruede sin deslizar, es:

FIG. 12-10.--Cuando un euerpo rueda, el eje instantheo pasa por distintos puntos de su superficie.

i' donde ro es el radio exterior del cilindro. La distancia' del centro de masa a1 eje instantaneo trazado por P es r ~ . Si a' representa la velocidad angular respecto a P, se tiene:

o sea, que la velocidad angular respecto a1 eje instantaneo es igual que respecto a un eje m6vil trazado por el centro de masa. Por coincidir las velocidades angulares, las aceleraciones angulares (derivadas respecto a1 tiempo de las primeras) serdn tambiCn iguales.

D.ado que el movimiento del cuerpo en un instante cualquiera es una rotacibn pura alrededor del eje instantheo, se deduce que el momento resultante respeclo a1 eje instanldneo es igual a1 product0 de la aceleraci6n angular por el momento de inercia respeclo a1 eje instantaneo. Por consiguiente, en lugar de las tres ecuaciones [12-31 [12-41, se puede expresar el movimiento por la ecuaci6n dnica

EJEMPLO.-Calcdlese la aceleraci6n de un cilindro macizo que rueda por la superficie de un plano inclinado. Considbrese el movimiento como una rotaci6n pura alrededor de u n eje instantaneo. Se hace referencia a la figura 12-7.

' I I ,

T E I = Isr a,

en la que el subindice EI significa que -;. y el momento de inercia est6n calculados respecto a1 eje instantineo y no con relacibn a un eje que pasa por el centro de masa. Este resultado sirnplifica la resoluci6n de muchos problemas.

La energia cinktica puede considerarse tarnbiCn como debida unica-

{

(

( mente a la rotacibn alrededor del eje instantheo, y asi, en lugar de escribir !'

EC = 112 muo2 + 11-2 I w 2 , 1 I'

se tiene la ecuacibn EC = 112 Iar a2. [I 2-81

I' i

El momento respecto a1 eje instantlneo es:

r = mgR sen 0.

El momento de inereia respecto de este eje vale

Por tanto, de T = Ia, resulta:

2 g sen'0 a=--

3 R

La aceleraci6n del centro de masa se considera ahora como una aceleraci6n tangen- cia1 respecto del eje inslantA~leo; es decir:

- a = Ra,

- a = 213 g sen 0,

lo que concuerda con el resultado obtenido en la plgina 230. Se propone como ejcrcicio a1 lector demostrar que se obtiene la misma expresibn a partir de consideraciones energdticas, considcrando la energia cinitica total como debida a la rotaci6n alrededor del eje instantlneo.

12-4. Momento cin6tico e impulsi6n angular.-La figura 12-11 (a) representa un pequeiio cuerpo de masa m que se mueve en el plano del dibujo con. velocidad u y cantidad de movimiento mu. Definimos su momento cinttico respecto a un eje 0, perpendicular a1 plano de la figura, como el product0 de su cantidad de movimiento por el segment0 de perpendicular comprendido entre el eje y la direccion del inovimiento. Esto es,

momento cinCtico = mvr.

Puede verse que el momento cinCtico se define d e mod0 analogo a1 momento de una fuerza, y por ello se denomina tambien momenfo de la canlidad de mouimienlo.

L a figura 12-11 ( b ) representa un cuerpo de tamario finito, que gira en el plano de la misma alrededor de un eje que pasa por 0. La velocidad v de un pequeiio elemento del cuerpo esta relacionada con la velocidad angular del mismo por la formula u = or . E! momento cinetico Cel elemento es, por tanto, vrdm = wrzdm, y el momento cinetico total del

1:lc.. 12-11.-2lomento ein6tico. (hlomcnto dc la cantidad de movimiento.)

SEC. 12-41 MOMENTO C I N ~ T I C O E I ~ ~ P C L S I O N AKGULAR 235

cuerpo sera Jorzdrn = o J r2drn. Pem J r a m es el momento de inercia

del cuerpo respecto a1 eje de rotaci6ni P o r tanto, el momento cinktico resulta igual a lo. E n esta forma resulta completamente analogo a la cantidad de movimiento mu.

La forma general d e la segunda ley de Newton (vCase Sec. 9-7) es: la fuerza resultante es igual a la derivada de l a cantidad de mouimiento. La ley analoga a Csta para el movimiento angular sera: el momenio resultanle es igual a la derivada del momento cineiico. Con m b precision, el momento resultante respecto de un eje cualquiera es igual a la derivada del momento cinetico calculado respecto a dicho eje:

Si el momento de inercia es constante, esta ecuaci6n se reduce a I

d como ocurria con la ecuaci6n F = - (mu) , que se reduce a F = m a , si

dt i I

la masa es constante. La Ec. 112-91 puede escribirse

7 d f = d ( I w ) , 112-101 i

de donde t

J b T d t = - i I w ) ~ . [12-111

La integral de un moinento a lo largo del interval0 de tiempo correspondiente se denomina impulsidn angular del momento. (Comparese con la definicibn de impulsion de una fuerza, Sec. 9-2.) Utilizando esta defi- nici6n podemos enunciar la Ec. 112-111 en la forma siguiente: la impul - sidn angular respecio a cualquier eje es igual a la derivada del momento cinttico respecio a dicho eje. Si el momento c i n ~ t i c o se representa por u n simbolo unico G, las Ecs. 112-101 y 112-111 se escriben:

De la Ec. 112-131 se deduce inmediatamente que s i el momento exterior resullante que aclua sobre un sisiema es nulo, el momenfo cinttico del sistema permanece conslanie, y, por tanto, cualquier acci6n reciproca entre las partes de un sistema no hace variar su momento cin6tico total. Es to constituye el principio de conservacidn del momento cinttico, que, junto con 10s principios de conservaci6n de la cantidad de. movimiento y d e la energia, es una d e las leyes fisicas fundamentales.

EJE~CPLO 1.-Una varilla de masa m y longitud L descansa sobre u r e superficie horizontal sin rozamiento, estando pivotada por uno de sus extremos. (321cdlese la impulsion de la fuerza ejercida por la varilln sobre el pbote cuando se imprime a Bsta un impulso J, perpendicular a la misma, en el otro ertremo (Fig. -12-12).

Si es J' el impulso desconocido en el pirote, como la impulsi6n equivale a la variacibn de la cantidad de movimiento, se tiene:

siendo 5 la velocidad lineal adquirida por el centro dr masa. Tambien, pnesto que la impulsibn mgular es igual a iL ~ar iaci6n del momelto cinetico

J .

[ JL = lo,

donde I e.z el momento de i o s c i a de la varilla respecto de un eje que pasa por

Pivote- el pirote, J- a, la velocidad a-rmlar ad- -,!,-I quirida.

Pero FIG. 12-12. 1 L

I = - m L 2 y i i = o , ; . : - 3 2

6 -. i i 7- o sea

Si se sustituye este valor de rnF en la primera ec.iacibn, resulta:

Por tanto, el impulso ejercido sobre la var i la en el pivote es la mitad del impulso debido al golpe.

Observese que el impulso J' s610 actlia dur.lnte el breve interval0 de tiempo que dura el golpe dado a la varilla. Las fuerzas en el pivote, una uez que la variIk comienza a girar, se pueden hallar por 10s metodos expuestos en la seccidn 11-5.

EJEMPLO 2.-Un hombre que se encuentra de pie en el centro de una plataforma giratoria, tiene sus brazos extendidos horizontalmonte, con un peso de 5 Kg en cada mano. Se le pone en rotaci6n alrededor de un eje vertical con una velocidad angular de una w e l t a cada 2 seg. Calcdlese su nueva velocidad angular si deja caer sus manos a ambos lados del cuerpo. El momento de inercia del hombre puede suponerse constante e igual a O,lj unidades tecnicas de masa-m2. La distancia primitiva de 10s pesos al eje es 90 cm, y su distancia final, 1 5 c n . '

Si es despreciable el rozamiento de la plataforma giratoria, no se ejerce ninglin momento exterior respecto a un.eje vertical, y el mornento cinetico con relaci6n a dicho eje se collserva constante. Esto es,

donde I y o son el momento de inercia y la velocidad angular finales, e l o y oo, 10s valores lniciales de estas magnitudes.

I = I (hombre) + I (pesos); If (0,15)2 = 0,623 unidades Skcnicas de masa-m2;

(:8) (0,0)2 = 1,426 unidades t6;nicas de maw-m2; 10 = 0,6 + 2 -

Esto es, la velocidad anellar se h a hecho mils del doble. Este experiment0 puede realizarse fhcilrnente utiliiando un taburete dc piano como plataforma giratoria. Los resultados son muy sorprendentes.

Go = = 3 x 5 = 15 unidades t ecn icv d e rnasa-m2/seg.

12-5. Representacibn vectorial de una rn-itud angular.-En la seccidn 10-5 se aludi6 brevemente a que cualquier magnitud ligada a un f eje, tal como la velocidad an- / gular, la aceleracidn angular, etcktera, podia representarse 1

r ( p! por un vector que tuviera la

misma direcci6n que aquC1. ') El sentido de este vector se

t

considera ordinariamente co- I(

mo el sentido en que avanza- G. ria un tornillo, de rosca a derechas, colocado a. lo largo del 4 eje, si se le hiciese girar en el sentido de rotaci6n que co- / - rres~onde a la magnitud an- ,,. 12-13.-E1 ~ ~ t o r AC es la variacidn del mo- gular que se quiere represen- mento cinitico producida por el par P-P'.

tar. Evidentemente, por este

t I b I

procedimiento pueden representarse mediante vectores, el momento, el momento cin6tico y la impulsi6n angular.

E J E M P L O . - ~ ~ par formado por dos fuerzas P y P, d e 2 Kg cada una, se aplica durante 2 seg a un disco de radio 60 cm y de momento d e inercia igual a 3 unidades tecnicas de masa-mz, que puede girar alrededor a e u i ~ eje que pasa por sU centro, como indica la iigura 12-13. La velocidad angular inicial del disco es 5 radlseg. Re- presentense en un diagrama vectorial el momento, el momento cinetico inicial y el m0- mento cinetico final.

E n virtud de lo dicho anteriormente, 10s vectores que reprcsentan el momento T

I debido a1 par, y el momento cinitico inicial Go, e s t k dirigidos como sc indica en la figura 12-13. El valor numdrico del momento cinCtico inicial es:

i i

f l l Si escribimos la Ec. 112-121 en la forma

T A ~ = AG, se tiene:

AG = 2 x 0,6 x 2 = 2,4 u.t.m.-m2/seg.

Este increment0 se ha representado en la figura 12-13 por el vector AG. El momento cinetico final, G, es el vector suma geombtrica de Go y AG. Puesto

que arnbos esthn en la misma direccibn, el vector suma es simplemente la suma arit- mbtica. Esto es,

1 , unidades tkcnicas de masa-m2 G = Go + AG = 17.4

I seg

12-6. Precesi6n.-El disco representado en la figura 12-14 gira alrededor de un eje que coincide con el eje X, y sobre el cual se aplica un par

formado por las fuerzas P y P'. Se desea encontrar eI movimiento resultante que efectlia el disco. El problema se resolver5 por el mismo .procedimiento usado en el ejemplo precedente. E l momento cinC- tic0 inicial esta representado por el vector GO. E l efecto de las fuerzas P y P' es producir un momento 7 respecto a1 eje Z, perpendicular a1 plano XY en el cual actuan las fuerzas. En e! inten-a10 de tiempo Af, la variaci6n del momento cinCtico producido por este par es ~ 4 f , y esta va- riaci6n esta representada

FIG. 12-14.-El vector AG es la variaci6n del mo- en 1, figura por el vector mento cinetico producida por el par P-P'. Com-

pztrese con la tigura 12-13. AG. El momento cinCtico final es el vector resultante de

Go y AG y esta representado por el vector G. Se ve:a que e! caso es cornpletamente anhlogo al de la figura 12-13,

siendo la imica diferencia que en el primero la direction del vector momento aplicado es la misma que la del vector momento cinetico inicial; es decir, que 10s vectores Go y AG se encuentran sobre la misma recta, mientras que en el segundo caso el vector moinento es perpendicular a1 vector momento cinCtico inicial, y, por consiguiente, Go y AG son per-

, er. el pendiculares entre si. El nuevo momento cinetico, G, se encontrar' plano horizontal (X-Z), pero desplazado del momento cinCtico inicial un Bngulo AO.

Finalmente, puesto que un vector momento cinCtico en una direccibn dada representa una rotaci6n en un plano perpendicular a dicha direcci6n,

se deduce que el plano del disco debe haber girado tambiCn un Bngulo AO. Esto es, el vector G tiene que encontrarse a lo largo del nuevo eje de rota- ci6n. Esto conduce a1 resultado inesperado de que el par de fuerzas P y P' en lugar de obligar a la parte posterior del eje a levantarse y a la parte anterior a descender, como se verificaria si el disco no estuviese girando, obliga a la parte posterior del eje a moverse hacia la izquierda, y a la parte anterior hacia la derecha, perpendicularmente a las direcciones en que actuan las fuerzas P y P .

Si suponemos que las fuerzas P y P' siguen el movimiento del eje cuando gira en el plano X-Z, el eje y el disco giraran alrededor del eje vertical Y, con una velocidad angular uniforme; p. ej., R. Esta clase de movimiento se denomina precesidn, y !3 es la velocidad de precesibn.

Los efectos de precesi6n tienen una influencia importante en la manio- bra de un aeroplano. Supongarnos que el disco de la figura 12-14 representa el motor y la hClice de un aeroplano que se mueve a lo largo del eje X, hacia el lector. Si el piloto desea virar hacia la izquierda, o sea cambiar la direcci6n del eje de ro- taci6n de Go a G, 10s cojinetes del motor y de la helice tienen que ejercer un par sobre el eje, equi-

; valente a1 producido por P y P E n virtud de la i. tercera ley de Newton, el eje ejercera un par sobre

10s cojinetes que tiende a elevar el morro del avi6n : y bajar la cola, efecto que ha de ser contrarresta-

do por 10s timones de profundidad. Es fBcil ver

j y z Go - G

que un viraje hacia la derecha producirB u n efec- t o opuesto, y que un cambio de la altura de vuelo, FIG. 12-15. para subir o para bajar, tender5 a hacer virar el avi6n hacia la izquierda o hacia la derecha.

La figura 12-15 es una proyeccion horizontal del d~agrama de vectores de la figura 12-14. Este diagrama no es rigurosamente correcto. E n el primer instante, cuando P y P' empiezsn a actuar, las direcciones del momento y de la variaci6n del momento cinCtico producida por 61 se encuentran sobre el eje Z, como se indica. Pero esta variaci6n del momento cinCtico produce inmediatamente una desviacibn del eje hacia la direccibn de G, y si las fuerzas se mueven con el eje, la direccibn del momento se desvia tambien. Mientras el eje se ha movido hacia la direcci6n de G, el momento es perpendicular a esta nueva direcci6n; por consiguiente, ha de considerarse que la figura 12-15 corresponde solamente a un interval0

, de tiempo infinii;amente pequeiio, durante ei cual ei eje se desvia de su posicion inicial un Bngulo muy pequefio A8. Si el Bngulo es pequeiio, la longitud de G es practicamente la misma que la de Go, y el efecto hnico del cambio es alterar ligeramente la direcci6n de Go. En otras palabras, el par P-P' cambia la direccibn del momento cinCtico, pero no su magnitud (este hecho es completamente analog0 a1 efecto producido por la fuerza centripeta en el movimiento circular; produce un cambio en la direcci6n de la velocidad tangencial, pero no en su magnitud).

Si el Bngulo A8 de la figura 12-15 es pequefio, su valor en radianes es, muy aproximadamente,

AG 7 A f he=-=- G G

(Puesto que Go y G son numericamente iguales, representaremos por G el valor numeric0 de cualquiera de ellos.)

La velocidad de precesibn, Q, es:

A8 7. Q = - = - 3

At G o bien

7 = SLG.

Finalmente, reemplazando G por Iw, obtenemos:

En esta ecuaci6n, T es el momento necesario para producir una velocidad de precesi6n SL en un sistema en rotacion de momento cinCt.ico Iw. Tanto Q como w se expresaran en radlseg, y .i. e I en unidades adecuadas.

La Ec. [12-141 puede ayudar a aclarar, en parte, las propiedades esta- bilizadoras del giroscopio. Escrita en la forma S1 = 7/10, se ve que para

, un momento dado, T, la velocidad de precesibn, l2 sera pequeiia si el producto lo es grande, y este producto puede evidentemente hacerse grande, aun utilizando un giroscopio de masa y dimensioncs ptqueiias, haciendolo girar a una velocidad angular elevada w. Por consiguiente, para un par cuyo momento sea perpendicular a1 eje de rotacibn, el giroscopio se cornporta como un cuerpo de gran inercia.

EJEIIPLO.-El momento de inercia del motor y hdlice de un aeroplano es 2 unidades tCcnicas de masa-m2 y el motor gira a 2000 rpm. Calclilese cl mornento que obliga al aeroplano a levantar c! morro cuando vuela dcscribiendo una circunfcrencia de 300 rn de radio a la velocidad de 360 Km/h = 100 mlseg.

La velocidad tangcncial es 100 mlscg, y puesto que R = 300 m,

El momento cinCtico es

. . = 418.88 unidades tkcnicas de masa-m2lseg.

Por consiguiente, el momento es

s = Ion = 139.6 Kg-m,

12-7. El giroscopio.-El giroscopio proporciona otra comprobaci6n mls del movimiento de precesi6fi. Ademas de ser un juguete inkresante

: y enigmatico, el giroscopio encuentra importantes aplicaciones tecnicas

1 SEC. 12-71 EL GIROSCOPIO 241

en el compls giroscbpico, horizoate artificial, indicador de viraje y estabilizador de barcos.

El montaje usual de uh giroscopio empleado como juguete es el representado en la figura 12-16. Las fuerzas que actuan sobre el giroscopio

- son su peso, w, y la reacci6n vertical y dirigida hacia arriba del pivote, P. Si estas fuerzas son iguales constituyen un par, y puesto que el efecto de un par es el mismo independientemente de donde estC aplicado, la disposici6n de fuerzas de la figura 12-16 es completamente equivalente a la de la f i e - ra 12-14. El giroscopio no caerci en estas condiciones porque la fuerza resultante vertical que actda sobre 61 es nula.

El momento ~roducido Dor dicho D a r es wl. Por consigdente, la veiocidad de ire- Frc. 12-16.-Las fue-s P Y w.

iguales. panlelas y de sentidos cesi6n es: opuestos, constituyen un par. wl a=- [12-151 f Iw

Si el giroscopio se mantiene con su eje de rotaci6n en reposo, es decir, sosteniendo el extremo libre con el dedo, la ~eaccibn vertical P dirigida ? hacia arriba y la reacci6n tambiCn hacia a m b a ejercida por el dedo son,. r cada una de ellas, iguales a w/2. Si se quita el dedo ripidamente, las fuerzas ejercidas sobre el giroscopio no constituyen un par, puesto que la fuerza hacia abajo es w, mientras que la reaccion vertical es s610 w/2. En consecuencia, el centro de gravedad del giroscopio comienza a descender, y en el mismo instante se inicia el movimiento de precesi6n, pero con velo-

!(

1 I(

cidad de precesi6n mas pequeiia que la dada por la Ec. [12-151, puesto que el par resultante es menor. El efecto del movimiento del giroscopio es tal que el valor de P aumenta hasta un valor superior a w. Esto obliga a1 eje a levantarse de nuevo, despuCs de lo cual el movimiento se repite

i: por si mismo. El movimiento resultante es una precesi6n combinada con una oscilaci6n hacia arriba y hacia abajo del eje de rotacion. Este movi-

II miento se denomina nufacidn, y su estudio completo es demasiado largo para ser realizado en este lugar.

I

Si se desea lanzar el giroscopio de mod0 que a1 abandonarlo conserve hnicamente un movimiento de precesi6n, es necesario dar a1 extremo libre

I 4

un impulso en la direccibn en la cual efectuarQ despuCs el movimiento de precesibn. El efecto de esta fuerza horizontal obliga a1 extremo pivo-

C tado a ejercer una presi6n sobre el pivote, lo cual (aumenta la fuerza P. 1 En el instante en que P ha aumentado hasta hacerse igual a w, la velocidad de precesi6n del giroscopio habri alcanzado su valor adecuado. El 4 extremo libre puede entonces ser abandonado y el movimiento conti- nuara.

'1

El estabilizador girosc6pic0, utilizado para disminuir el balance0 de 10s

figura 12-21. Los coeficlentes cinktico y esthtico de rozamiento son ambos i y a - les a 0,25. a) Calcdlese la aceleraci6n del centro de masa. b) ~ Q u b distancia recorre dicho punto durante una revoluci6n? 12-8. Demukstrese que la expresi6n

general de la aceleraci6n de un cuerpo sim6trico de secci6n circular que rueda hacia abajo por un plano inclinado, es

- --

12-12. Una rueda cilfndriea maciza de 5 Kg de poso y de 30 cm de radio rueda por un plano inclinado; como muestra la figura 12-22. La rueda arrastra mediante una cuerda unida a su centro un bloque de 5 Kg. E l coeficiente cinbtico de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,5. a ) &uPl es la aceleracion del sistema? b) LY la tensi6n en la cuerda?

donde R es el radio exterior del cuerpo y X.0 el radio de giro respecto de un eje que pasa por su centro de masa. .12-9. Un cilindro macizo rueda sin

deslizar por la superficie de un plano inclinado 370 sobre la horizontal. a ) LCuAl es el coeficiente mfnimo de rozamiento entre el cilindro y la superficie para que no haya deslizamiento? b) Si el cilindro parte del reposo, ~cuhnto dcbe rodar hacia abajo del plano para adquirir una velocidad de 280 cmjseg? 12-10. Un cilindro macizo se halla

colocado en el extremo de un plano inclinado, obsewdndose que es necesario levantar el plano un Angulo 0 para que el cilindro comience a deslizar. Si se le hace rodar hacia abajo del plano, se comprueba que cp es el hngulo mdximo de pendiente para el cual rueda sin deslizar. Calclilese la raz6n de tg cp a tg 0. ,2-11. Un bloque que partc del reposo

desliza por la superficie de-un plano inclinado. Un cilindro macizo rueda la misma distancia, sin deslizar, por un plano inclinado anhlogo. a) Hillcse la raz6n de la velocidad del bloque a la del centro de masa del cilindro en el momento de llegar ambos a1 pie de 10s respectivos planos. b) ~ C u a l cs el cociente de las energias cineticas finale5 de ambos s6lidos?

12-13. Una esfera parte del reposo en el extremo de un plano inclinado 370 (Fig. 12-23) y rueda sobre 61 y a lo largo de una superficie horizontal sin que haya deslizamiento. a) ~ Q u d fuenas actlian sobre la esfera mientras rueda sobre el tramo horizontal? b) ~Cudntos s?gundos despu6s de iniciarse el movimiento alcanza el suelo? c) ~ C u d l es la distancia R? 12-14. Un cilindro macizo, un cilin-

dro bueco de paredes delgadas y una esfera, se colocan a tales distancias del borde inferior de un plano inclinado que 10s tres cuerpos llegan a bste simultaneamente. Hdllense sus distancias relativas iniciales a1 pie del plano. 12-15. Un vag6n de mercancias car-

gad0 con tuberia de hierro se descarga haciendo rodar 10s tubos desde la plataforma a1 suelo a lo largo de dos gulas, de 24 nl de longitud, estando la plataforma a una altura de 3 m sobre 10s extremos inferiores de las guias. La distancia entre dos trozos cualesquiera de tuberla no puede ser inferior a 6 m. Si el vag6n contiene 200 tubos, Len qu8 tiempo minimo puede efectuarse la descarga? 12-16. Una esfcra de 7 Kg, que rueda

inicialmente sobre una superficie horizontal con una velocidad de traslacidn de 4,s mjseg, alcanza un plano inclina-

PROBLEMAS 245

do 370 sobre el que sigue rodando sin velocidad lineal en el extremo de la deslizar. a) ~ C u h t o rodard hacia arriba pista? b) Calclilense las energias cinb- sobre el plano? 6) ~ Q u d tiempo perma- ticas de rutacidn y de traslacidn en necera sobre 611 dicho instante. c) Determinese la altu-

ra hl.

12-17. Una pequeiia esfera de masa m y radio r se abandona a si misma en el punto A del dispositivo de rizar el rizo, esquematizado en la figura 12-24. E l radio del lazo es R + r, de forma que el centro de la esfera describe una circunferencia de radio R. La esfera rueda sin deslizar. Calculense las componentes normal y tangencial de la aceleraci6n del centro de la esfera cuando pasa por el punto C, a igual altura que el centro del lazo. (Vdase el problema 10-26.) 12-18. &CuAl es la altura minima a

que debe soltarse la esfera del enunciado anterior para qlle permanezca en contacto con la pista circular en el punto mas alto del Iazo?

12-19. Una esfera de 1 cm de radio y 100 g de masa se abandona a sf misma en un punto de altura hl sobre el extremo inferior de una pista cuwada, en la forma que indica la figura 12-25. Rueda sin deslizar y abandona la pista con un b g u l o de 370 siguiendo una trayectoria parab6lica en la que alcanza una altura maxima h2 de 20,4 cm. a ) &uAl es su

12-20. U n cilindro uniforme de 45 cm de radio y qoe pesa 4 Kg parte del reposo en el extremo de una pista semicircular de 1,20 m d e radio excavada en un bloque que pesa 18 Kg. E l bloque descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y el cilin6i-u meda sin deslizar (v6ase Fig. 12-2dj. a ) ~ Q u d distancia se habrh desplazado el blopue cuando el cilindro alcanza el fondo de la pista? b) LA qu6 velocidad se mueve el bloque en dicho instante? 12-21. U n a esfera maciza de radio r

se encuentra en el punto mds alto de otra esfera fija mayor, de radio p, sobre la que m e d a sin .deslizar. Sl la esfera pequefia pa r t e del reposo en el punto mds alto, calculense: a) la velocidad del centro de la esfera cuando se encuentra a una distzncia h por debajo del punto de part id^; b) su velocidad angular en esta posici6n. c) para qud valor de h abandon& la pequefia esfera la superficie de la mayor? 12-22. L n m e t e consta de dos dis-

cos de 1 Kg de masa y de 10 cm de radio cada uno, nnidos por un cilindro macizo de 4 cm d e radio y 1 Kg de mzsz. E l carrete m e d a sin deslizar sobre una mesa horizontal. U n a cuerda est4 arrollada a1 cilindro c e ~ t r a l y uno de sus extremos pende y a t i v i e s a una ranura practicada en la mesa. Se aplica a la cuerda una fuerza constante P hacia abajo de 5 newtons, mantenibndose vertical la cuerda durante el movimiento del carrete. a) Hd- llese la ae leraci6n lineal del centro de masa del carrete. b) Calcdlense las componentes horizontal y vertical de la

fuerza ejerclda por el tablero de la mesa sobre el carrete.

12-23. Un yo-yo consta de dos discos planos de masa 100 g y radio 10 cm, separados por un pequefio vastago de 50 g de masa y 2 cm de radio, seglin se indica en la figura 12-27. Se arrolla un hilo alrededor del eje y, manteniendo fijo el ertremo superior de dste, se abandona el sistema partiendo del reposo. a) Calcdlense la aceleraci6n lineal del centro de masa y la aceleraci6n angular del sistema. b) JCUAI es la energia cind- jica del sistema despuCs de efectuar un descenso de 40 cm? c) LCuAl es la velocidad del centro de masa en el instante en que el disco ha efectuado una revo- luci6n completa?

12-24. Si el coeficiente cinetico de rozamiento entre la superficie y el cilindro representados en la figura 12-5 e$ p, LcuAl es la aceleraci6n maxima que puede tener el centro de masa sin que el cilindro llegue a deslizar? Si la fuerza aplicada P en dicho ejemplo es de 4 png, ~ q u 6 desplazamiento efectuarh el centro de masa mientras el cilindro realiza una revolu- e16n completa en torno a su eje?

12-25. Un bloque de 8 lb desllza sobre el tablero horizontal de una mesa, como muestra la figura 12-28. El coeficiente cindtico de rozamiento entre 21 bloque y Ja mesa es 0.25. Una cuerda unida a1 bloque pasa por una pequefia polea sin rozamiento y se arrolla sobre un cilindro

macizo de 8 Ib de peso y 2 pies de radio. Se abandona a sl mismo el cilindro, des: arroll4ndose la cuerda a medida que cae. Calcfilense la aceleraci6n del bloque y la tensi6n de la cuerda.

12-26. Un disco macbcr de masa rn y radio H tiene un pequc5o contrapeso de masa m (igual a la dr i disco) fijado cerca de su borde, segdn ffioestra la figura 12-29. a) Calclilese la aceleraci6n lineal inicial del centro del disco, cuando se abandona a si mismo 3artiendo del reposo con el contrapeso n la altura de su centro. Se supone que el disco rueda sin deslizar. b) Calcdlense las fueizas horizontal y vertical que ejerce la supel.- ficie sobre el disco en el instante inmediatamente posterior a1 de abandonarlo.

12-27. Un hombre e s t i sentado sobrc un taburete de piano sosteziendo un par. de pesas de gimnasia a uca distancia de 90 cm del eje de rotaci6o de la silla. Se le comunica una velocidad angular de 2 rad/seg, despuds de lo cuai acerca las dos pesas hasta que est4n a up2 distancia de 30 cm del eje. El momento de inercia del hombre resprcto a1 eje de rotaci6n es 0,5 unidades tdcnicas de mua-m2 y puede considerarse constante. Las pesas tienen cada ulra 8 Kg y pueden tratarse como masas puntuales. Se desprecia el rozamiento. a) ~CUAI es el mornento cindtico inicial del sistema: b) ~ C u i l es la velocidad angular del sisterr.8 despuCs que las dos pesas se han acercado a1 eje? c) Calclilese la energfa cinCtica del sistema, antes y despues de acercar las peszs. Hhllese su 'diferenck, si la hay.

PROBL

12-28. Un bloque de masa 50 g esta atado a una cuerda que pasa por un orificio practicado en una superficie horizontal sin rozamiento, como la de la figura 12-30. El bloque estA girando inicialmente a una distancia de 20 cm del orificio con una velocidad angular de 3 radlseg. Se tira entonces de la cuerda hacia abajo, acortando el radio de la circunferencia descrita por el bloque hasta 10 cm. El bloque puede considerarse como una masa puntual. a) LCual es la nueva velocidad angular? b) Calclilese la variaci6n de energia cindtica del bloque.

12-29. Una barra uniforme de masa 30 g y 20 cm de longitud gira en un plano horizontal alrededor de un eje vertical que pasa por su punto medio. Dos pequeiios cuerpos, cada uno de 10s cuales tiene una masa de 20 g, esthn ensartados de mod0 que pueden deslizar a lo largo de la barra. Inicialmente estAn sujetos por fiadores en posiciones situadas a una distancia de 5 cm a ambos lados del punto medio. Sin otros cambios en el sistema, se sueltan 10s fiadores cuando el conjunto gira a 15 rpm, y las masas deslizan hacia afuera a lo largo de la barra y salen por 10s extremos. a) ~ C u a l es la velocidad angular del sistema en el instante en que las masas pequefias al- canzan 10s extremos de la barra? b) 6CuAl es la velocidad angular de la barra despubs de ser abandonada por las masas?

12-30. Una plataforma gira alrededor de un eje vertical, dando una vuelta cada 10 seg. El momento de inercia de la plataforma respecto a dicho eje es 100 unidades Gcnicas de masa-m*. Un hombre que pesa 80 Kg, y que se encuentra inicialmente de pie en el centro de la plataforma, camina a lo largo de un radio. lCuAl es la velocidad angular de l a plataforma cuando el hombre es t l a 1.8 m del centro?

12-31. Un hombre que pesa SO Kg est4 de pie en el borde de una plataforma de radio 3 m y momento de inercia 300 unidades tdcnicas de masa-m2, montada sobre un Arbol vertical sin rozamiento q u e pasa por su centro. Todo el sistema esta inicialmente en reposo. El hombre camina a lo largo del borde exterior de l a plataforma con una relocidad de 60 cm/seg respecto a tierra. a) con qu6 velocidad angular y en qub direcci6n girarh l a plataforrna? b) lQu6 angulo habrA girado cuando el hombre alcance su posiciirn inicial sobre la plataforma? c) ~ Q u d ingulo habra girado cuando alcance su posici6n inicial respecto a tierra?

12-32. Los discos d y S estan mon- tados sobre un eje SS y pueden conectarse o desconectarse mediante el embrague C, seglin muestra la figura 12-31. El momento de inercia del primer disco es la mitad que el de B. Se imprime a A una velocidad angular oo con el embrague desconectado. S e suprime el momento acelerador de A y se acopla a1 disco B mediante el embrague. Bs despreciable el rozamiento en 10s cojinetes, obsewandose que se desarrollarl 400 I<gm de calor en el embrague a1 hacer la co- nexi6n. Calclilese la energfa cindtica ini- cia1 del disco A.

12-33. El recthngulo ABCD de la figura 12-32 representa la planta de una plataforma de madera que descansa sobre la superficie sin rozamiento de c n lago helado. Dos cafiones, E y F, fijos a la plataforma y apuntados en direcciones opuestas, disparan simulthneamente dos proyectiles de mnsa rn = 5 slugs con

velocidades iniciales V de 800 pieslseg. El momento d e inercia de la plataforma y de 10s cafiones, respecto de un eje trazado perpendicularmente a1 diagrama por el centro de masa, es de 8000 slug-pie2. a) tCuAl es la velocidad lineal del centro de masa de la plataforma despu6s de haber disp-do las piezas? b) (,Y su velocidad angular?

12-34. Un tabl6n, de 32 Kg y de 3 m de longitud, descansa sobre una super- i ide horizontal sin rozamiento. Se aplican fuerzas i-ales y opuestas de 10 Kg cada una durante 0,5 seg, segdn muestra la figura 12-33. Describase el movimiento

6' S : del tabl6n despuds de haber dejado de actuar las fuerzas mencionadas. 12-35. Una rarilla delgada de masa

100 g y de 120 cm de longitud se golpea con una impulsi6n de 1000 dinas-seg. El golpe se da en uno de 10s extremos y en direcci6n noimal a la varilla. a) Si la varilla se enmentra pivotada en su centro, calcdlense la magnitud y direcci6n de la impulsi6n que ejerce el pivote sobre la misma, y l a energia cinttica adquirida por la varilla. b) cull habrfa sido la energfa cinttica de la' varilla si no hubiera estado pirotada, en igualdad de las restantes condiciones? c ) ~ Q u 6 explica- ci6n tiene el hecho de que siendo la misma la impulsi6n en ambos casos el trabajo realizado es diferente? 12-36. Una \-arilla uniforme de masa

. hI y longitud L es t l apoyada sobre una mesa sin rozamiento, aplichndose una impulsidn J en Ia forma indicada en la figura 12-34. a) ~ C u a l es la velocidad horizontal inicizl del extremo inferior de la varilla con relaci6n a la mesa? 6) ~ Q u 6 desplazamiento horizontal experimentarh

i su centro de masa durante el tiempo em-

pleado en efectuar una revolucid=. completa? 12-37. Una varilla uniforme d e 1M) cm

de longitud y 400 g de masa pende de un pivote por su extremo superior. Un proyectil de masa 2 g disparado horizontalmente con velocidad i n i d de 30 000 cm/seg atraviesa el extreiao inferior de la varilla y sale de ella om una velocidad de 10000 cm/seg. a) ,Cad es la impulsi6n de la fuerza ejercids y r la varilla sobre el droyectil durante e! tiempo que emplea en atravesarla? b) ~ C u h l es su velocidad angular inmediabmente despuks de ser atravesada por el proyectil?

12-38. El estabilizador giroscopico de un barco pesa 50 ton, su radio de giro es 1,s m, y gira alrededor de un el? rer- tical con una velocidad angular de 900 rpm. a) ~ C u l n t o tiempo se r e q u i e ~ para comunicarle dicha velocidad, pz4Liendo del reposo suministrlndole una potencia constante de 100 CV? b) Cdedese el momento enderezador ejercido sobre el barco en kilogramos por metro, cnando se obliga a1 eje a tomar un movimiento de precesidn en el plano verticzl que v a de proa a popa, de velocidad ic/seg. 12-39. La masa del rotor de ul? @os-

copio de juguete es 150 g, y su momento de inercia respecto a su eje es 150C ,r-cm2.

PROBLEMAS 249

La masa del bastidor es de 30 g. El giroscopio esth sostenido por un solo pivote, como indica la figura 12;35, con su centro de gravedad distante 4 cm horizontalmente del pivote, y posee un movimiento de precesi6n en un plano horizontal con una velocidad de 1 vuelta cada 6 seg. a) Calcdlese la reacci6n vertical ejercida por el pivote, b) Calcdlese la velocidad angular con la cual estA girando el rotor alrededor de su eje, expresada en rqvoluciones por minuto.

c) Cbpiese el diagrama, y represdntense mediante ~ e c t o r e s la velocidad angular del rotor _r la velocidad angular de pre- cesi6n. 12-40. Si el saliente que descansa so-

bre el p i r o t e en la figura 12-35 se pro- longase b c i a la izquierda, La q u t distancia hoe-zontal del pivote deberia suspenderse u. cuerpo de 200 g para producir una velocfdad angular de precesi6n de 1 vuelta P= 10 seg, en direcci6n opuesta a la de h figura?

CAP~TULO XIII

ELASTICIDAD

13-1. Introducci6n.-En 10s capitulos anteriores hemos esplicado 10s principios por 10s cuales el ingeniero puede calcular las fuerzzs tensoras o compresoras que actuan sobre las diversas partes de una estructura. Sin embargo, no es suficiente conocer quC fuerza ejercera cada parte de una estructura; es necesario saber t'ambiCn qu6 diametro tiene que tener un cable o una columna para resistir esta fuerza, y cuinto se deformara la estmctura bajo la acci6n de la carga. El objeto de la elasticidad es estudiar c6mo se deforman 10s materiales tales como madera, acero, hormi- g6n, etc., por la acci6n de las fuerzas aplicadas sobre ellos. En 10s estudios de ingenieria esta parte de la mecanica se denomina resisfenciad~maferiala.

Todas las sustancias reales se deforrnan bajo la accion de una fuerza. Algunos materiales recobran su forma original cuando se suprime la fuerza, mientras otros permanecen mas o menos deformados. Un material perfeciamenfe elasfico es aquel que recobra exactamente su forma original cuando se suprimen las fuerzas deformadoras; mientras que un material perfectamente plcisfico es aquel que no la recupera en absoluto. Muchas sustancias son casi perfectamente elasticas hasta una cierta deformaci6n maxima, pero no recobran con~pletamcnte su forma si la deformaci6r. pasa de este limite, que se conoce con el nombre de llmife elisfico.

A1 estudiar las propiedades elasticas de 10s materiales, se introducen dos conceptos llamados esfuerzo y deformacidn. Estos tCrminos se utilizan frecuentemente en la vida ordinaria, pero como otras expresiones, tales

como fuerza y trabajo, tienen en fisica un significado muy res-

F- @ i F tringido. 13-2. Esfuerzo.-La figu- F-G@. ra sometida 13-1 (a) en representa sus extremos una a barra dos

tracciones iguales y opuestas, de magnitud F. L a barra esfa en Fw equilibria bajo la acci6n de estas

(c) fuerzas, y, por tanto, toda parte FIG. 13-1.-Esluerzo de trscei6n. de la misma esta tambien en equi-

librio. Imaginemos que cortamos la barra por la secci6n punteada, y consideremos la parte situada a la izquierda del corte [Fig. 13-1 ( b ) ] . Puesto que esta parte estaba en equilibrio antes de efectuar el corte. la ~orc i6n de la barra situada a Ia derecha

. A

' f ' de la secci6n tenia que ejercer una fuerza sobre ella, igual a F, y dirigida I

SEC. 13-21 ESFUERZO 25 1 .-

hacia la derecha. Si el corte no se encuentrg demasiado pr6ximo a1 extremo de la barra, esta fuerza se distribuira uniformemente sobre toda la secci6n transversal, segun se indica mediante l a s pequeiias flechas.

Representemos por A el area de la seccibn transversal de la barra. L a raz6n de la fuerza distribuida, a1 area de la secri6n transversal, se denomina esfuerzo, y se dice que la barra esta sometida a esfuerzo (en este caso particular, esfuerzo de fraccidn). Puesto que el cox-te puede hacerse en cualquier parte de la barra, toda ella esth sometida a esfuerzo.

El esfuerzo es una fuerza por unidad de superficie, y las unidades en 10s distintos sistemas son: Kglmz, newtons m'. dinaslcm2 y libras/pie2.

Algunos textos de ingenieria utilizan la expresi6n esfuerzo para la fuerza fofal F que actua en toda la seccion. y la expresi6n esfuerzo uni- ' tario para la fuerza por unidad de Area.

Es evidente que la parte de barra representada en la figura 13-1 (b) tiene ella misma que ejercer una fuerza hacia l a izquierda, sobre la por- ci6n situada a la derecha. Esta fuerza, representada en la figura 13-1 (c), es la reacci6n a la fuerza distribuida en 13-1 it,), y, por consiguiente, es igual en magnitud a F. Se considera que el cc.zcepto de esfuerzo se reficre a ambas fuerzas distribuidas. Si, p. ej., la fuerza F es de 500 K g y i la superficie A tiene 5 em9 el esfuerzo en la seccibn es 500/5=100 Kg/cm2. No podemos decir, sin embargo, en quC sentido actua el esfuerzo; la parte

I de barra situada a la izquierda de la secci6n esM sometida a una fuerza ' hacia la derecha, mientras que la situada a la derecha se halla sometida a una fuerza hacia la p P

izquierda. ( a )

Si un cuerpo, tal como una columna, e s t i sometido a corn- F /

2 - - - - - F presion, se producen fenomenos ( b ) ~4 . , analogos en cualquier seccidn FIG. 13-?.-~sruerzo de compresl6n. transversal, salvo s u e se trata de una fuerza de empuje, en lugar de una traccibn, ejercida sobre la secci6n. L a pa r te del cuerpo situada a cada lado de la seccidn ejerce un empuje sobre la 'otra parte, segdn indica la figura 13-2. El esfuerzo se define del mismo modo. como razdn de la fuerza, y se denomina esfuerzo de compresidn.

En la figura 13-3 se representa un tercer t ipo de esfuerzo. La cara inferior del bloque estd sometida a una tracciCn hacia la. izquierda y la

Fro. 18-3.-Esfuerzo cortantk

~2 cd a 5

5

Ea

c, .-

.- so ;

3.3

4 8 2 cd 0

5 3 a2

a *

c .i7 1 2

$06

sa

w

C C

2 2.2 au-

E-

2 ~

22

2i.d

2 $ C

m

sobrepase el limite elistico se encuentra experimentalmente que esta razbn es constante y caracteristica del material dado. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proportional a la deformacibn, o es una funcion lineal de ella (si no se sobrepasa el limite elastico). Esta reladon lineal entre esfuerzo y deformacion unitaria constituye la ley de Hmke.

Consideremos en primer lugar esfuerzos y deformaciones unitarias longitudinales (es decir, de traccibn o compresion). La experisncia demuestra que, con un material dado, un esfuerzo longitudinal produce una deformacibn unitaria de igual magnitud, sea el esfuerzo de compresion o de traccion. Por consiguiente, la raz6n del esfuerzo de traccitn a la deformation unitaria por tensibn es igual a la razbn del esfuerzo de compresion a la deformacicin unitaria por compresibn. Esta razor, se denomina mddulo de Young del material, y se designa por la letra Y:

esfuerzo de tens1611 - esfuerzo de compresi6n Y = -

deformaci6n unitaria por te~lsibn deformaci6n unitaria por conpresibn

o bien:

Puesto que una deformacibn unitaria es un n6mero abstracto, las unidades empleadas para expresar el mbdulo de Young son las mismas que - las del esfuerzo, esto es, fuerza por unidad de Area. Los valores tabulados se expresan generalmente en dinaslcrn2 o en I<g/mm2 (lb/pul@). En la tabla 13-1 figuran algunos valores tipicos.

Constantes eldslicas (Valores representativos)

f J,

La raz6n de un esfuerzo cortante a la correspondiente deformaci6n I I ~ G unitaria se denomina mddulo de rigidez o m6dulo de torsibn de un ma-

t * terial, y se designa por M:

M6dulo de Young hl6dulo de rlglda h16du10 de 'Om- presbilidad

MATERIAL

dlnaslcm* Kglmm' dlnas/cma Kglmml dinaslcrn' Kglmml

Acero . . . . . 19-21x1011 19-21 x10s 8 x 1 0 1 8x103 1 6 x 1 0 c 16x10s

esfuerzo cortante M =

deformacion unitaria por cizalladura

Aluminio . . . Bronce . . . . Cobre . . . . . Hierro forjado . Hierro fundido . Piomo . . . .

(Para el significado de cp, Ax y 10 nos referimos a la figura 13-6.) El mbdulo de rigidez de un material se expresa tambi6n en fuerza por unidad de area. Para la mayor parte de 10s materiales oscila entre u n medio y un tercio del modulo de Young.

El modulo que relaciona el aumento de presion hidrostitica con la disminucion correspondiente de volumen se denomina mddulo de compresibilidad, y se designa por B:

Se incluye el signo Inenos en la definicibn de B, debido a que un aumento de presion produce siempre una disminucion de volumen. Esto es, si Ap es positivo, AV es negativo. Incluyendo el signo tnenos en la definicion del m6dulo de compresibilidad, Cste se transforma en una cantidad positiva.

El valor reciproco del mbdulo de compresibilidad se denomina coeficiente de cornpresibifidad, k. Las tablas de constantes fisicas dan frecuentemente el coeficiente de compresibilidad en lugar del modulo de compresibilidad. En virtud de su definici~jn,

7 9

10-12 18-20 8-10 1,5

La raz6n A V / V o es la variacibn unitaria de volumen. Por consiguiente, el coeficiente de compresibilidad de una sustancia puede definirse como la variation unitaria de volumen por unidad de increment0 de presion.

Segdn se deciuce de la Ec. [13-31, las unidades de modulo de compresibilidad son las mismas que las de una presion, y seglin la Ec. [13-41 Ins unidades de un coeficiente de compresibilidad son inversas de las de una presi6n. TratAndose de compresibilidades las tablas expresan frecuentemente la presi6n en atmbsferas..(l atm6sfera = 1,033 Kg/cm2.) Las unidades correspondientes para expresar 10s doeficientes de compresibilidad son, por consiguiente, atmdsferas reciprocas, o sea atm-1; p. ej., decir que la compresibilidad del agua (vCase tabla 13-2) es 50 x 10" atm-1, o sea, 50 x 10-6 por atmbsfera, expresa que el volumen disminuye en 50 millo- nCsirnas del volumen primitivo por cada atmbsfera en que aumente la presi6n.

7 9

10-12 18-20 6-1 0 1.5

2,4 3,5 4

0,5 I

2,4 3,5 4

0,s

7 7 6,1 6 1

12 12 15 15 9,6 * 9,7 0,8 : 0.8

256 ELASTICIDAD [ce. 13

TABLA 11-2

Compresibilidad de 10s liquidos

Coeficiente de L~QUIDO compresibilidad

(atm-1)

Agua . . . . . . . . . . . 50 x 1 0 4 . . . . . . . Alcohol etllico 112

Glicerina . . . . . . . . . 22 hlercurio . . . . . . . . . 3,8 Sulfuro de carbon0 . . . . . 66

En tkrminos e s t r i c t ~ ~ , un m6dulo elhstico, queda definido como la raz6n ds un cambia infinitesimal del esfueno a la variaci6n correspondiente de la delormaci6n. Asf, si la fuerza que alarga una barra se aumenta de F a F + dF, produciend.:, un increment0 de longitud de 1 a 1 + dl, el m6dulo de Young se define como

Analogamente, el m6dulo de rigidez es:

El m6dulo de compresibilidad se transforma en

y el coeficiente de compresibilidad, en

Mas adelante tendremos que utilizar estas formas generales en relaci6n cox la compresibilidad de gases y la propagaci6n de las ondas sonoras.

Cuando una barra methlica se somete a un esfuerzo de tracci6n creciente, se encuentra experimentalmente que la deformaci6n uni'mia varia seglin indica la figura 13-7. La primera parte de la curva, desde 0 hasta A, es una recta. Esto es, en esta regi6n existe una relaci6n h e a l entre esfuerzo y deformaci6n unitaria, y el material obedece a la ley de Hooke. Si el esfuerzo no excede del valor correspondiente a1 punto A, la probeta recobra su longitud inicial cuando se suprime aquC1. En otras

I palabras, la porci6n de curva desde 0 hasta A corresponde a la r Q 6 n de elasticidad perfecta.

Si el esfuerzo se aumenta hasta el valor correspondiente a1 punto B y despuCs se suprime, la probeta no re~obra su longitud original, sino que conserva una deformacidn permanenle. El punto A corresponde a1 limife

SEC. 13-41 ~ I ~ D U L O E L ~ T I C O 257

eldsfico del material. Los materiales reales pueden presentar algunas pequeiias irregularidades en este punto (que se omiten por raz6n de sencillez). Finalmente, cuarido el esfuerzo aurnenta lo suficiente, la probe@ se rompe en el punto C.

10'

1 0'

10' perior)

0

Defonnacibn (Curva inferior)

EJEMPLO 1.-En un experiment0 para medir el m6dulo de Young, una carga de 454 Kg colgando de un alambre de acero de 2,4 m de longitud y 15 mm2 de secci6n produjo un alargamiento del alambre de 3 mm respecto a su longitud sin carga. lCuAl es el esfuerzo, la deformacl6n unitaria y el valor del m6dulo de Young para el accro de que esta hecha la barra?

F 454 - 30.26 Kg/mm2. Esfuerzo = - = - - A 15

A1 0,3 Deformaci6n unitaria = - - - = 0,00125.

10 - 240

Esfuerzo 30,26 Y = --- - - 24,2 x lo3 Kg/mm2.

Deformaci6n unitaria 0,00125

E J E ~ ~ P L O 2.-Una lamina cuadrada de bronce, de 60 cm de lado y 5 cm de espesor esta fija rigidamente a1 suelo por uno de sus bordes, como indica l a figura 13-8. Una banda plana S esta soldada a su borde superior. ~ Q u k fuerza es necesaria ejercer para desplazar el borde superior una distancia de 0,25 m m hacia la derechal; El m6- dulo de rigidez de este bronce es 3,5 x 103 Kg/mm2.

La fuerza F se aplica mediante la banda sobre una superficie de 600 X 5 '= 3000 milfmetros cuadrados. Por consiguiente,

Esfuerzo cortante = F/3000 Kg/mm2.

258 ELASTICIDAD [CAP. 13

0,25 Deformacicin unitaria por cizalladura Az/lo = -

600 = 0,000417.

esfuerzo hI6dulo de rigidez M =

deformaci6n unitaria "

F = 4378 Kg.

BMPLO 3.-El volumen de aceite contcnido en cierta prensa hidriulica ex de 135 1. Calclilese la disminucidn de volumen del aceite cuando se somete a una presi6n de 145 Kglcmz. El coeficiente de compresibilidad del aceite es 20 x 10-6 por atm6sfera.

El volumen disminuye 20 partes por mill6n cuando la presi6n aumenta en uua atmbsfera. Puesto que 145 Kg/cm2 = 140 atm, la disminuci6n de volumen es 140 x

x 20 = 2800 partes por mill6n. Siendo el volu- , s ,p men inicial 133 1, la disminuci6n real es r I

0 bien, en virtud de la Ec. [13-51,

AV = - kVoAp = - 20 x 104 x RG. 13-8. x 135 X 140 = - 0,378 1.

13-5. Coeficiente de Poisson.-Cuando una varilla o barra se somete a tension, no solo se alarga en direction de la fuerza aplicada, sino que sus dirnensiones transversales disminuyen. Por el contrario, sometida a compresibn, dichas dimensiones aumentan. Se origina asi una deformacion transversal, ademas de la deformaci6n longitudinal. Este efecto se muestra muy exagerado en la figura 13-9. Si wo representa una de las dimensiones inicials normales a1 esfuerzo, y Aw la variaci6n de esta dimensihn, la deformaci6n unitaria transversal sera Awlwo. (El cociente azterior es el mismo para todas las dimensions transversales, salvo en las sustancias anisotropas tales como ciertos cristales que tienen distintas propiedades en las diferentes direcciones.)

La razon de la deformaci6n unitaria transversal a la longitudinal se denomina coeficiente de Poisson ' ~ q y se representa por la letra a:

-?--------

Awlwo {ry@ A- w.--- 0 = - --- r/---- ---

Alllo w PIG. 13-9.-Un esfuerzo longitudinal origins

Se introduce el signo menos debido deformaciones longit~tdinal y trsversxl. a que a un aumento de la longitud corresponde siempre una disminucibn de las dimensiones transversales, y reciprocamente. Por consiguiente, si A1 es positivo. A w es negativo

SEC. 13-51 COEFICIENTE DE POISSOS 259 I y a sed positivo. Su orden de magnitud para la mayor parte de 10s me- I tales es, aproximadamente? 0,3.

La figura 13-10 representa un bloque con la forma de un parale- I

lepipedo recto rectangular (ortoedro), cuyas dimensiones naturales son a, bo, CQ. Supongamos que se ejercen esfuerzos de compresion FIA. segtin se indica, sobre las caras inferior y superior, que originan una disminuci6n Aa de la dimensibn original a. Por definici6n de m6dulo de Young,

Y = FI A - Aa/ao '

y, por ranto,

El signo menos es debido a que Aa es una cantidad negativa. Apli- cando la definition de coeficiente de Poisson, las deformaciones unitarias seg~in las otras dos dimensiones del bloque serhn:

h

Ab a Aa bo a A Y '

Las cantidades Ab y Ac son positivas, esto es, las dimensiones transversales aumentan.

El volumen V del bloque sometido a tales esfuerzos serA:

V = (a + Aa) (60 + Ab) (a + Ac)

+ (a0 Ab Ac + bo Ac Aa + co Aa Ab)

+ (Aa Ab Ac).

Puesto que Aa, Ab y Ac son pequefios, pueden despreciarse 10s ~ O S a t i - mos parkntesis. El volumen Yo es igual a a b o ~ , de forma que la varia- ci6n de volumen, AV = V - Vo, sera:

AV = (abo Ac + boco Aa 4- coao Ab). I

Dividiendo el primer miembro por Vo, y el segundo por aobo~, se obtiene:


y de las Ey. 113-101, [13-111 y [13-121 resulta:

A V Aa aAa aAa -- VO a0 a0 a0 '

Resulta, pues, que Ia disminuci6n relativa de volumen es igual a (1 - 20) veces la variacibn unitaria de longitud. Se determina experimentalmente que el coeficiente de Poisson .es siempre inferior a de donde resulta que (1 - 20) es una cantidad positiva. En nuestro ejemplo Aalao es negativo, de forma que AV/Vo tambiCn es negativo. Dicho de otra manera, cuando se somete un cuerpo a un esfuerzo de compresion, su volumen disminuye; la disminucion que experimenta en longitud compensa ampliamente el increment0 de las dimensiones normales a1 esfuerzo. Si el cuerpo de la figura 13-10 se hubiera sometido a un esfuerzo de traction, Aa/ao seria positivo, y el volumen habria aumentado.

'13-6. Relaciones entre las constantes elisticas.-Se 'ha visto en la secci6n precedente que cuando un bloque se somete a un esfuerzo de compresi6n, la variacion relativa de ,su volumen es:

; ,-. Mediante la Ec. [13-101, esta relacion puede escribirse en la forma

Supongamos ahora que el mismo esfuerzo de compresi6n FIA act~ia sobre 10s restantes pares de caras del bloque de la figura 13-10, de forma que el bloque est6 sometido a un esfuerzo FIA, hacia el interior, sobre sus seis caras. De otra manera, sobre el bloque se ejerce una presion hidrostatica uniforme Ap = FIA. El esfuerzo sobre cada par de caras opuestas.origina la rnisma variacion relativa de volumen que sobre el primer par, de mod0 que el cambio total de volumen es tres veces mayor que el debido a un esfuerzo de compresibn 6nic0, es decir:

A V -- F - - 3 (1 -20)- 3.0 A Y '

0, como F A = AP,

.De la definition de modulo de compresibilidad B dada por la Ec. [13-31,

SEC. 13-71 T O R S I ~ N 26 1

De esta ultima ecuacion, combinada con la Ec. [13-151, resulta:

Si se aplica un razonamiento antilogo a un bloque sometido a esfuerzo de compresibn sobre un par de caras opuestas, y, simultaneamente, a un esfuerzo de tracci6n sobre otro par de caras, se demuestra uue

donde M es el mbdulo de rigidez. Por tanto, de las cuatro constantes eldsticas Y, B, M y a, so10 dos son independientes. Conocidas dos cualesquiera de ellas, pueden calcularse las restantes.

La proposicibn anterior unicamente es v5lida para materiales homo- gCneos e isotropos. Las propiedades elasticas de ias sustancias cristaiinas (es decir, no isotropas) son, en general, diferentes en las distintas direcciones, y el estudio he sus p&piedades elasticas resulta mucho mas cornplicado.

13-7. Torsi6n.-Si se ejercen pares iguales y opuestos en 10s extremos de una barra o eje, como muestra la figura 13-1 1 (a) , l a piezaexperi- menta una torsion, segdn se indica. La linea A B se desplaza a la posicidn A'B'. Se dice que la barra se halla sometida a forsidn. Se produce esta situation en todo eje que transmite potencia; p. ej., el drbol de propulsion de un autombvil. El motor produce el par en uno de 10s extremos, y la resistencia de la carga, en el otro.

Consideremos la delgada capa exterior de un eje sometido a torsion, e imaginemos que se separa del resto del eje, cortandola a lo largo de la recta A B y extendikndola segun se indica en la figura 13-11 ( b ) . Su forma inicial sera la del rectangulo AABB; despuCs de la torsi611 adoptara la forma A'A'B'B' y estarh, por tanto, sometida a un esfuerzo cortante. De la misma manera, las sucesivas capas en que puede imaginarse dividido el cilindro se encuentran en igual situation, por lo que la torsibn y la cizalladura son tipos equivalentes de deformation.

El par necesario para hacer girar uno de 10s extremos de un eje, un cierto ingulo con respecto a1 otro, se obtiene dividiendo el eje en capas delgadas como se explic6 antes, calculando el par correspondiente a cada una de ellas, y efectuando la suma para obtener el momento resultante. Se obtiene asi:

donde r es el momento en kilogramos-metro debido a1 par existente en cualquiera de 10s extremos del eje; M es el m6dulo de rigidez del material de que estd construido expresado en Kglmz; P, el radio del cilindro en

FIG. 13-11.-Deformaci6n por toni6n.

t metros; 0 el Anelo, en radianes, que gira uno de 10s extremos respecto , - a1 otro, y L la longitud del eje, en metros.

Para deducir la Ec. [13-191 consideremos el eje de longitud L y radio R representado en la figura 13-12. E n (a) se representa antes de ser sometido a esfuerzo, y en (b), sometido a torsidn. La cara superior ha girado un Bngulo 0 con relacidn a la inferior, y las pequefias flechas indican las fuerzas de torsidn distribuldas sobre la cara superior. Fuerzas anhlogas, per0 de sentido opuesto, estln distribufdas en el eatremo inferior. Aparece rayada una delgada capa de radio r y espcsor dr. El borde superior de esta capa estA desplazado una distancia r e con respecto a1 inferior, lo que corresponde a AA' en la figura 13-11 o a Ax en la figura 13-6. La deformacidn de esta capa sera, por tanto, r0 lL . Sea dF la suma de las fuerzas tangenciales que actuan en el borde superior de la capa. El Area de este borde es Ilxrdr, y el esfuerzo sera, por tanto. dF12;rrdr. Por consiguiente, por definici6n de mbdulo de rigidez:

o bien:

El momento debido a esta fuerza es

g el par de torsidn en toda la barra se obticne integrando desde r = 0 a r = R:

de donde resulta la Ec. 113-191.

SEC. 13-81 F L E X I ~ N DE UNA VIGA 263

13-8. Fleli6n de una viga.-Por viga se entiende de ordinario una porcion horizontal de una estructura, que soporta cargas transversales La viga puede estar apoyada en sus extremos, como en la figura 13-13 (a), o solamente en uno, como en la figura 13-13 (b). Estc \iltimo tipo se denomina minsula o voladizo.

Cuando se somete a una carga w, como en las figuras 13-14 o 13-15, la viga se deforma de la manera indicada, aunque la flexibn est5, por supuesto, muy exagerada. En uno y otro caso la fibra media de la viga conserva su longitud 1. Si la viga estA apoyada en ambos extremos, la parte situada por encima de la fibra media se aco r t . y est4 sometida a compresi6n, mientras que la situada por debajo se alarga y est6 sometida a traccibn. Para una mCnsula sucede exactamente lo contrario, pues la porci6n superior se halla sometida a traccibn, y la inferior, a compresibn. En ambos casos, el esfuerzo longitudinal es nulo en la fibra media y aumenta a1 separarse de h t a .

1 r-

Fra. 13-13 .4~) Viga apoyada en sus extremos; (b) U6nsuln.

Si imaginamos efectuado un corte transversal por el centro de una viga apoyada en sus extremos, la distribucibn de esfuerzos se produce s e g h se indica en la figura 13-14 (b). Los esfuenos de compresibn y tensi6n C y T constituyen un par cuyo sentido coincide con el de las

1 Este estudio es s610 aproxirnadamente correcto. Un &IJ co~lple to de In flexidn de una viga re sale de 10s llnes de esta obra.

264 ELASTICIDAD [CAP. 13 PROBLEMAS 265

K L 3 1 . mente proportional a la fuerza tensora, siempre que no se sobrepase

el limite el4stico. Esto es, se cumple una ecuacibn d e la forma F = kz. como si se tratase ~inicam'ente de una deformation longitudinal, aunque

(a) ;/ a

la constante de proporcionalidad k no pueda expresarse de forma sen- i . cilla en funci6n de 10s m6dulos elasticos.

cq :HT- La constante k, o raz6n d e la fuerza a1 alargamiento, se denomina (b) consfante recuperadora o coejiciente de rigidez del resorte, y se expresa en

?' kilogramos por metro, newtons por metro, dinas por centimetro o libras por pie. NumCricamente es igual a la fuerza necesaria para producir un

FIG. 13-14.-Esfuerzos en una viga FIG. 13-13.-Esf11er.~os en I viga alargamiento unitari0. simplemente apoyada. en voladizo.

agujas de un reloj. Por tanto, dado que la viga se encut ~ t r a en equilibrio, debe existir un par igual y de signo opuesto. Este par lo origina la fuerza hacia arriba P2 junto con la fuerza dirigida hacia abajo en' la seccion, ejercida por la porcibn de viga situada a la izquierda del corte. Es decir, en la secci6n existe un esfuerzo cortante, ademgs de 10s esfuerzos longitudinales, de magnitud tal que la juerza cortante sea igual a Pe. La figura 13-14 aclara de forma intuitiva por quC una viga en I es una pieza tan rigida en relacibn con su peso, debido a que la mayor cantidad de material se concentra en las superficies superior e inferior donde 10s

1. - esfuerzos de tensibn y compresibn son m4ximos.

Si se efectua un corte en una viga en voladizo en el punto donde est4 ,- empotrada en la pared, como en la figura 13-15, se verh que actuan

en esta seccibn esfuerzos de tension, compresi6n y de cizalladura. E n realidad, la figura 13-15 es la misma figura 13-14 girada 1800.

13-9. Constante recuperadora.-Los distintos modulos elasticos son magnitudes que describen las propiedades elasticas de un material particular, pero no indican directamente cudnto se deforman una barrz, cable o resorte dados construidos del material considerado bajo la accion de una wrgn dada. Si resolvemos la Ec. [13-11 respecto a F, se obtiene:

o bien, si se reemplaza YAIlo por una sola constante k, y se sustituge el alargamiento Al por z:

F = k ~ . [13-201

E n otras palabras, el alargamiento de un cuerpo sometido a tensibn, por encima de la longitud correspondiente a1 cuerpo descargado, es directamente proporcional a la fuerza deformadora. La ley de Hooke se enunci6 primeramente en esta forma, en lugar de expresarla en funcibn de esfuerzo y deformacibn unitaria.

Cuando alargamos un resorte helicoidal,. la deformacibn real del alambre es un alargamiento, una flexi6n y una torsibn, y, no obstante, es cierto tambiCn que el alargamiento del resorte, en conjunto, es directa-

P R O B L E M A S

13-1. Un alambre de acero de 3 m del m6dulo de Young. c) ~ C u a l es el

I;' de longitud y 63 mm2 de secci6n se alarga esfuerzo en el limite elhstico? I 3 mm cuando se somete a una tensi6n 13-4. Un alarnbre de acero posse las

de 1260 Kg. ~ C u h l es el m6dulo de Young siguientes caracteristicas: de este acero?

13-2. El limite elastico del cable de un ascensor es 2,s x 102 I<g/mmz. Calce- lese la maxima aceleraci6n hacia arriba que puede imprimirse a un ascensor de 1000 I<g sujeto mediante un cable de sec- ci6n igual a 90 mm2, suponiendo que el esfucrzo no debe exceder a la cuarta parte del Hmite elastico.

13-3. Un alambre de acero de 3,G m de largo y 0,9 mm de diimetro fu6 sometido a 10s ensayos indicados a conti-

I

nuaci6n. Se le aplic6 inicialmente una carga de 2 Kg para mantenerlo tirante. Se ley6 sobre una escala la posici6n del extremo inferior del alambre.

Cnrgns Lecturas adicionales en la escala

(Kg) (nlm)

a) Constrdyase una grafica con estos valores, poniendo en abscisas 10s incrementos de longitud y en ordenadas las cargas adicionales. 6) Calchlese el valor

longitud = 10 pies secci6n = 0,Ot pulg2. mbdulo de Young = 30 x loe Ib/pulgz coeficiente de rigidez = 10 x 106 Ib

por'pulgada cuadrada limite elastic0 = 60 000 lb/pulgz carga de ruptura = 120 000 Ib/pulga

El alambre estA sujeto por su extremo superior y cuelga vcrticalmente. a) LQUB carga maxima puede soportar sin sobre- pasar el limite elhstico? b) ~ C u h n t o se alargara el alambre sometido a esta carga? c) ~ C u a l es la carga maxima que puede soportar? 13-5. Una varilla d e cobre de 00 cm

de longitud y d e 3,20 cm2 de secci6n esta sujeta por sus extremos a otra varilla de acero de longitud L y de secci6n G,40 cn12. Esta doble varilla se somete a tracciones iguales y opuestas de 3000 I<g de magnitud en sus extremos. a) Hbllese la longitud L d e la varilla d e acero suponiendo que 10s alargamientos de ambas varillas son iguales. b) ~ C u h l es el esfuerzo en cada varilla? c) &Y la defor- macl6n?

13-6. Un alambre de cobre de 8 m de longitud y un alambre de acero de 4 m de longitud, cada uno con una sec- ci6n transversal d e 62,5 mme, se sujetan por 10s extremos y se someten a una

I ( I 266 ELASTICIDAD [CAP. I3

1 1 ' PROBLENAS i -- 267

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tensi6n de 50 Kg. a) LCuAl es la variaci6n de longitud de cada alambre? b) ~ C u h l es la energfa potencial elhstica del sistema?

13-7. Un peso de 16 Kg, sujeto a1 extremo de un alambre de acero cuya longitud normal es de 60 cm, da vueltas describiendo una circunferencia vertical con una velocidad angular en el punto inferior de la circunferencia de 2 rps. La secci6n transversal del alambre es 6,25 mm2. Calclilese el alargamiento del alambre cuando el peso se encuentra en el punto mas bajo de la trayectoria.

13-8. Una varilla de 105 cm de lon- $tad y d t peso despreciable esth sujeta por sns dos extremos a dos alambres A y B de igual longitud. La secci6n de A es 1 mmq y la de B, 2 mma. Los m6dulos .de Young de A y B son, respectivamente, 21 x 108 Kg/mmz y 14 x 103 Kg/mma. t E n q k C punto de la barra debe suspenderse un peso w para que produzca: a) iguales esfuerzos de tensi6n en A que en B, 6) iguales delormaciones? 13-9. Una barra de longitud .L, sec-

ci6n .A y m6dulo de Young Y se halla sometida a una tensi6n F. Represen- tense por S y P el esfuerzo y la delor- macidn, respectivamente. Deddzcase la expresi6n quz da en funci6n de S y P Is energla potencial elAstics por unidad de volumen de la barra.

13-10. Una barra de 8 Kg, cuya sec- c16n es un cuadrado de 50 mm de Iado, y que tiene 30 cm de longitud, se mueve sobre una superficie horizontal llsa por In acci6n de una fuerza nplicada unilor- memente sobre uno de sus extremos. E l l)loque adquiere una aceleraci6n cons- tnr~te de 2,4 m/seg2. tCuAl es el esfuerzo

en una secci6n transversal del bIoque normal a su longitud? a) LEn un punto situado a 25 mm del extremo posterior de la barra? b) 1Y en el centro de la misma?

13-12. Dos bandas metalicas se mantienen unidas mediante cuatm remaches

'

que tienen cada uno un di5metro de 6 mm. 1CuAl es la tensi6n mLxima que puede ejercerse por la banda remachada, si el esfuerzo cortante sobre 10s remaches no ha de exceder de 7,2 Kglmmz? Sup6n- gase que cada remache soporta nna cuarta parte de la carga.

IS-12. La wmpresibilidad del sodio se mide obswando el desplazamie~~to del h b o l o de la figura 13-4 b) a1 aplicar una fuerza. El sodio esta sumergido en aceite que llena el cilindro por debajo del Cmbolo. Supdngase que el Cmbolo y las paredes del cilindro son perfectamente rigidos, que no hay rozamiento ni p6r- dida de aceite. Calcdlese la compresibilidad del sodio en funci6n de la fuerza aplicada F, del desplazamiento del Cmbolo I, del Area de este ~i l t imo A, del volumen inicial de aceite Vo, del volumen lnicial del sodio uo y de la compresibilidad del aceite ko.

13-13. Calcdlese el peso especifico del agua del Oc6ano a una profundidad en que la presi6n es 4700 Ib/pien. El peso especifico en la superficie es 64 lb/pies.

13-14. a) Calclilese el coeficiente de compresibilidad del acero, en atm6sferas recfprocas, compar&ndolo con el del agua. b) ~Cudl de las dos sustancias se puede wmprimir mas fAcilmente?

13-15. Una barra de longitud I. an- c h u n w y espesor 1, se somete a una de- formaci6n unitaria por tensi6n de 0,001. El coeficiente de Poissor. e: 0,30. HA- llese el aumento o disminuci6n relativos de la secci6n de la barra, y la variaci6n relativa del Area de una cara de superficie inicial wf.

13-18. Un poste de acero de 15 cm de didmetro y 3 m de longitud se coloca verticalmente y debe soportar una carga de 10 000 Kg. a) tCu&l es el esfuerzo en el poste? b) LY la deformaci6n unitaria?

c) tQuC disminucidn de longitud experimenta l d) tCuAl es la variaci6n de seccidn que tiene lugar?

13-17. Un bloque cdblco de acero tiene 10 cm de lado. Calcdlese la varia- ci6n relativa que experimenta la longitud de cada arista: a) si se somete a un esfuerzo dc compresion de 7 x 10s Kg/cmz mediante fuerzas aplicadas a un par de caras opuestas; b) si el bloque e s t l some- . tido a una presi6n hidrostatica de 7 x x 10s Kg/cm2.

13-18. Un cub0 de acero dc 5 cm de arista se halla sometido a 4 fuerzas cortantes de 1200 Kg cada una, segdn indica la figura 13-17. Calcaese la defor- maci6n por cizalladura.

Fro. 13-18.

13-19. Un cub0 de arista L estd sometido a 4 fuerzas iguales, F, dos de 1as cuales son tensoras y las otras dos compresoras. (Se supone que las fuerzas se hallan uniformemente distribuidas sobre las cuatro caras, aunque por sencillez estdn representadas como fuerzas dnicas en la figura 13-18. a) Calcdlese la varia- ci6n relativa de longitud de las aristas del cubo paralelas a cada uno de 10s tres ejes coordenados X, Y, Z. Ddse la respuesta en funci6n de F, L, Y (m6dulo d e Young) y a (coeficientc de Poisson). b) Calcdlese la variaci6n rclativa de vo- lumon que experimenta el cubo.

13-20. Se aplican fuerzas de compre- si6n a dos caras opuestas de un bloque rectangular de volumen V = abc. L a disminucidn relati\-a de la longitud del bloque es 0,001, y la disminuci6n relativa de volumen O,OCG5. Calcdlcse el coeficiente de Poisson del material de que esta hecho el cubo.

13-21. En la fi,wa 13-19, A y B son dos bloques de acero cuya secci6n es 0,s pulg2. Las caras inferiores de -4 y B estdn soldadas a una plataforma fija CD, y la cara superior de A lo estA a una pieza EFG, en forma de L, que puede deslizar sin rozamiento sobre la cara superior de B. Se ejerce en G una trac- ci6n horizontal de 1200 Ib. Se desprecia el peso de EFG. a) Calcdlense 10s esfuerzos cortantes en A y en B. b) Hdllese el esfuerzo longitudinal en A, y digase si se trata de una tensi6n o de una compresion. c) Calcdlese el esfuerzo longitudinal en B. LES de tracci6n o de compresibn?

13-22. Una barra de secci6n -4 esta somctida en sus estremos a fuerzas de tracci6n 3, iguaies y opuestas. Conside- rese un plano que corta a la barra formando un Angulo 6 con un plano perpendicular a su longitud (Fig. 13-20). a) ~ C u h l es el esfuerzo de tensidn (normal) en este plano, en funcion de F, -4 y 81 b) ~ C u a l es el esfuerzo cortante (tangencial) en el plano, en tuncidn de F, A y 67 c) para qud valor de 8 es miuimo el esfuerzo de


tensidn? d ) &Para qu6 valor de 8 lo es el esfuerzo cortante?

13-23. Calcdlese en newtons-metros el par necesario para conseguir un dngulo de torsi6n de l o en un cilindro hueco de radio interior 2 cm y de 1 m m de espesor. La longitud del cilindro es 1 m y el m6- duIo de rigidez 6 x 1O11 dh~as/cmt.

13-24. Una barra de acero de 1 m de longitud y 0,20 cm de radio esth fija rigidamente por uno de sus extremos (figura 13-21). Un disco de 20 cm de radio estfi unido a1 otro extremo, que puede girar libremente. Al suspender un peso 6 '

-- de 500 g de una cuerda arrollada a1 disco, se observa que la carga desciende 10 cm. a) &Cuhl es el m6dulo de rigidez del material de que estd hecha la barra? b) ~cuA.1 es la disminucidn de energfa potencial de la carga? c) ~ C u h l es la energla potencial elhstica de la barra sometida a torsi6n?

13-25. Un tubo cil indric~ de pared

delgada, de radio medlo 10 cm y de 0,05 centlmetros d e espesor, se funde para . - . . formar una barra maciza de la misma longitud. E n cada uno de 10s casos, la 1

barra se somete a torsi611 aplichndole un par T que produce una deformacidn tal : que T = k0. Hhllese el cociente de 10s 1 1

valores de k correspondientes a 10s dos - c

casos. . -

13-26. Un alambre de acero de 1,s m de longitud y 2,5 mm de didmetro, es estirado mediante una fuerza de 500 Kg y a continuacidn sometido a torsidn aplichndole u n par de 17 Kg-cm. Calcd- lese la energia potencial eldstica del alambre deformado.

13-27. El k b o l de propulsi6n de un autom6vil gira a 3000 rpm y transmite 10 HP desde el motor a las ruedas traseras. a) &Cuhl es el par que actSla sobre el eje? b) ~ Q u d angulo girarh uno de sus extremos respecto a1 otro si el eje t iene 1 pulg de radio, 5 pies de longitud y u n mddulo de rigidez de 123 x 106 lb/pi@?

13-28. Un eje hueco de 3 pies de longitud y radios 1,5 y 2 pulg se utiliia para t ransmit i potencia de un motor de 8 HP a un tambor de 2 pies de radio. (hrddulo de rigidez = 11 x 106 Ib/pulgZ.) Un cable arrollado al tambor sostiene un montacargas. ~ Q u d Bngulo se tuerce el eje cuando se tira hacia arriba del montacar- I gas con velocidad constante de 2 pies/seg? I .-

14-1. 1ntroduccibn.-En 10s capftulos V y VI se ha estudiado con detalle el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza constante. El movimiento, en este caso, es uniformemente acelerado, habikndose deducido f6rmulas para calcular la velocidad y posicion del cuerpo en cada instante, y para determinar su velocidad en cualquier posici6n. En el presente capitulo vamos a estudiar el movimiento de un cuerpo cuando la fuerza resultante que actha sobre 61 no es constante, sin0 que varia durante el movirniento. Naturalmente, una fuerza puede variar de infinitas maneras y, por consiguiente, no pueden darse expresiones generales para el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza variable, except0 que la aceleracibn en cualquier instante es igual a la fuena en dicho instante, dividida por la masa del cuerpo. Hay, sin embargo, un mod0 particular de variacibn que se presenta en la prictica con mucha frecuencia, por lo que merece la pena deducir fbrmulas para este caso especial. La fuerza a que nos referimos es la fuerza ellstica recuperadora que se origina siempre que se deforma un cuerpo; abandonado en estado de deformacibn, se observa que el cuerpo efectfia vibraciones alrededor de su posici6n de equilibrio.

Ejemplos de esta clase de movimiento son la ~ ib rac ibn hacia arriba y hacia abajo, originada cuando se tira hacia abajo de un cuerpo suspendido de un resorte y se abandona a si mismo; las vibraciones de las cuerdas y'columnas de aire de 10s instrumentos musicales; la vibraci6n de un puente o de un edificio a1 recibir sdbitamente una carga, y la oscilaci6n del balancln de un reloj de bolsillo o del pCndulo de un reloj de pared. Ademls, muchos movimientos alternativos, tales como el de la cruceta de una mlquina de vapor o el del piston de un motor de autom6vi1, aunque no son exactamente de este tipo, se aproximan mucho a 61.

Debido a que las ecuaciones del movimiento contienen senos o cosenos, y que las expresiones donde figuran estas funciones se denominan armdnicas, este tipo de movimiento vibratorio se Llama movimienlo armdnico.

14-2. Fuerzas recuperadoras e1Qsticas.-Se ha indicado en el capitulo XII'I que cuando se obliga a un cuerpo a cambiar de forma, la fuerza deformadora es proporcional a la deformaci611, siempre que no se sobrepase el limite de elasticidad. La variacibn puede consistir: en un aumento de longitud, como en el caso de una banda de goma o de un resorte helicoidal; en una disminuci6n de longitud; en una flexibn si se trata de un resorte plano; en la torsi6n de una barra alrededor d e su eje, o puede

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8 1.9

f 4

I 'I

I rt

4

'I)

14

4

1

1.4

270 MOVIMIENTO ARS~OKICO [CQ. 14

alin manifestarse de muchas otras formas. La expresibn fuerza defor- rnadora se interprets en un sentido amplio, y puede referirse a una fuerza, a un par, a una presibn o a cualquiera otra causa capaz de prcducir la defomaci6n. Si restringimos nuestro estudio a1 caso de una tracci6n o de un empuje, en cuyo caso la deformaci6n es simplemente el desplazamiento del punto de aplicaci6n de la fuerza, la fuerza y el desplazamiento estan relacionados por la ley de Hooke:

siendo k una constante de proporcionafidad llamada constante elastics, y x, el desplazamiento contado a partir de la posici6n de equilibrio.

En esta ecuacibn, F representa la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo elzistico para producir el desplazamiento x. Veremos que es preferible considerar la reacci6n a esta fuerza, esto es, la fuerza efectuada en sentido contrario por el cuerpo deformado. Esta fuerza se denomina fuerza recuperadora, y estzi dada por

14-3. Definiciones.-Para fijar las ideas, supongamos que se sujeta verticalmente en un tornillo de baeco una Izimina de acero, tal como

un trozo de cinta de sierra que Ueva sol- * A + dado en su extremo superior una pequeiia

\ 1:. masa, conforme indica la figura 14-1. Su- pondremos que la lzimina es lo suficientemente larga y el desplazamiento lo bastante pequeiio para que el movimiento pueda considerarse en esencia como rectilineo. Supo- nemos ademzis despreciable la masa de la 16mina.

Si separamos el extremo superior del resorte hacia la derecha una distancia A, como indica la figura 14-1, y lo abandons-

RG. I+l.->Iod.Irnlento bajo la mOS en e ~ t a posicion, la masa soldada queda acc16n de - rue- recuperadora sometida a una fuerza recuperadora ejercida elistiea.

por el resorte de acero y dirigida hacia la posici6n de equilibrio 0. En consecuencia,

adquiere una aceleracibn en la direcci6n de esta fuerza, y se mueve hacia el centro con velocidad creciente. La aceleracibn no es consianie, puesto que la fuerza aceleradora va disminuyendo a medida que el cuerpo se aproxima a1 centro.

Cuando el cuerpo alcanza la posicibn de equilibrio, la fuerza recuperadora se anula; pero, a causa de la velocidad adquirida, el cuerpo sobrepasa la posici6n de equilibrio y continda su movimiento hacia la izquierda. Tan pronto como ha pasado la posici6n de equilibrio, entra en juego de nuevo la fuerza recuperadora, dirigida ahora hacia la derecha, y, por consiguiente, el cuerpo va perdiendo veiocidad con una acelera-

SEC. 14-41 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO A R M ~ N I C O SIMPLE - 27 1

ci6n negativa cuyo valor absoluto aumenta a1 aumentar la distancia del cuerpo a 0. Como consecuencia llegara a detenersz en alglin punto situado a la izquierda de 0, y repetirzi su movimiento en sentido opuesto.

Tanto la teoria como la experiencia demuestran que el movimiento tiene un alcance f A a cada lado de la posici6n de equilibrio, y que cada movimiento de vaivdn tiene lugar en el mismo tiempo'. Si no hubiera pCrdida de energia por rozamiento el movimiento continuaria indefinidamente una vez iniciado. - Este tip0 de mo\-imiento, bajo la acci6n de una fuerza recuperadora elastics y en ausencia de todo rozamiento, se denomina movimiento armbnico simple >- se designa abreviadamente por el anagrama M.A.S.

Cualquier clase de movimiento que se repita en intervalos de tiempo iguales se denomina periddico, y si el movimiento se efectua hacia adelante y hacia atrzis sobre la misma trayectoria, se denomina oscilaforio.

La oscilacidn o vibracidn compleia es el movimiento efectuado hasta volver a1 punto de partida, es decir, de a a b y volver a a, o bien, de 0 a b a 0 a a y volver a 0.

El periodo del movimiento, que se designa por T, es el tiempo empleado en realizar una vibration completa.

La lrecuencia, 1, es el ndmero de vibraciones completas realizadas en la unidad de tiempo. Evidentemente, la frecuencia es el valor reciproco del periodo, o sea:

1 T = - I

La elongacidn, x, en un instante dado es la distancia a la posicibn de equilibrio o centro de la trayectoria, en dicho instante.

La amplitud, A, es la elongaci6n mixima. La distancia entre las posiciones extremas es, por tanto, 2A.

14-4. Ecuaciones del movimiento arm6nico simple.-Se trata de encontrar expresiones para la elongacibn, velocidad y aceleracibn de un cuerpo que se mueve con movimiento arm6nico simple, lo mismo que se han deducido para un cuerpo que se mueve con aceleraci6n constante. Debe subrayarse que las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado no pueden zplicarse en este caso, puesto que la aceleracibn varia constantemente.

La figura 14-2 representa el cuerpo vibrante de lz figura 14-1 en el instante en que la elongacibn es x. La unica fuerza que actua sobre 61 es Za fuerza recuperadora elzistica, -kx, y de ia segunda Iey cie Newton se deduce:

F = - kx = ma, o bien:

siendo m la masa del cuerpo.

272 MOVIMIENTO A R M ~ N I C O [CAP. 14

Posici6n de equilibrio

Amplitud Amplitud

FIG. 14-2. FIG. 14-3.-Abscisa de un cuerpo en M.X.S.

Puesto que tanto k como rn son constantes, tambiCn lo es la raz6n k/m y, por consiguiente! la aceleraci6n es directamente proporcional a la elongaci6n y, teniendo en cuenta el signo menos, de sentido contrario a b ta . E s decir, cuando el cuerpo se encuentra a la derecha de la posici6n de equilibrio, su aceleraci6n es hacia la izquierda e inversamente. Otro mod0 de enunciar lo mismo es decir que la aceleraci6n es t i siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria. Ccn ayuda del dlculo integral, la ecuaci6n anterior permite obtener las expresiones de la elongaci6n y de la velocidad. No obstante, haremos uso en primer lugar de un m6- todo geomCtrico sencillo para deducir dichas ecuaciones.

Consideremos el tip0 de movimiento determinado de la forma si- ! guiente: sea Q, figura 143, un punto que se mueve en una circunferen- - cia de radio A, con velocidad angular constante de w radlseg, y P la

proyecci6n ortogonal de Q sobre el diimetro horizontal. Cuando el punto Q gira, el P se desplaza hacia adelante y hacia at&

sobre una recta horizontal, manteniendose siempre directamente por debajo (o por encirna) de Q. Vamos a demostrar que el movimiento del punto P es el mismo que el de un cuerpo sobre el que actda una fuerza recuperadora elistica, en ausencia de rozamiento.

La elongaci6n de P en cualquier instante t es la distancia O P o x, y si 0 representa el Bngulo que forma OQ con el diametro horizontal,

z = A cos 0.

El dngulo 0 se denomina cingulo de fase o, sencillamente, fase del movimiento.

Si el punto Q se encuentra en el extremo de la derecha del diimetro en el instante f = 0, el Qngulo 0 puede escribirse:

Por tanto,

!

e = of.

x = A cos w f .

Ahora bien: w, velocidad de Q en radianes por segundo, esti relacionada con f , ndmero de vueltas de Q por segundo, por la igualdad.

SEC. 14-41 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO A R M ~ K I C O SIMPLE 273

ya que una revoIuci6n completa equivale a 27;. radianes. Ademis, el. punto P efectua una vibraci6n completa por cada re\-oluci6n de Q. Por consiguiente, f puede interpretarse tambiCn como el nlimero de vibraciones por segundo, o sea la frecuencia de la vibraci6n del punto P. Sustituyendo w por. 2nf, tie tiene:

x = A cos 2xfl m La Ec. [14-21 da la elongaci6n del punto P en cualquier instante I des- puCs de iniciado el movirniento, y corresponde, por tanto, a la ecuaci6n

para un cuerpo que se mueve con movimiento uniformemente acelerado. I j ( La velocidad instantinea de P

puede hallarse con ayuda de la fi- rr , < gura 14-4. La velocidad tangencial del punto Q es: ,

I r

Por ser P en todo instante la proyecci6n ortogonal de Q, su velocidad coincide con la componente X de la velocidad de Q. De la figura 14-4 se deduce: v

FIG. 14-4.-La ~elocidad en un 3f.A.S. u = VT sen O = - 2xfA sen 0, 14

U = - 2nfA sen 2x11 - El signo menos se debe a que la velocidad estA dirigida constantemente t hacia la izquierda. Cuando Q se halla por debajo del diametro horizontal, la velocidad de P est6 dirigida hacia la derecha, pero por ser sen 0 ne-

t !

gativo en tales puntos, se precisa anteponer tambien el signo menos. I , La Ec. [14-31 da la velocidad del punto P en cualquier instante, y corresponde a la ecuaci6n

f ' u = uo + al

I '! I

I del movimiento uniformemente acelerado.

Puesto que sen 0 = 41 -cos20 y cos 8 = x/A, la Ec. 114-31 puede escribirse:

. -n 274 MOVIMIENTO A R M ~ N I C O [CAP. 14

t l i

f fv [14-41 1 'h

Es necesario el simbolo -J= debido a que para una elongaci6n dada x r or el punto puede estarse moviendo hacia la derecha o hacia la izquierda.

: ?t La Ec. [14-4] da la velocidad de P para cualquier desplazarniento dado. Corresponde, por tanto, a la ecuacidn

f 9 del movimiento con aceleracibn constante.

f I,? Finalmente, puede hallarse la aceleraci6n del punto P utilizando de

( 4 nuevo el hecho de que P est i siempre directamente por debajo o por encima de Q, por lo que su aceleracion es igual a la componente X de la

f ?\ aceleracibn de este dltimo punto. Como el punto Q se mueve en una trayectoria circular con velocidad angular constante w, tiene en cada

f ? instante una aceleracibn radial dada por la igualdad

De la figura 14-5 resulta que la componente X de esta aceleraci6n es: I: . a = - 4x212 A COS 2 ~ i f a

a = a~ cos 0, o bien:

[14-51

Ph y como A cos 2x11 = x,

lih FIG. 14-5.-La aceleracidn en un mo-

m vimiento armdnico simple. [I4-GI

C h Se introduce el signo menos debido a que la aceleracibn es t i dirigida

I;\ hacia la izquierda. Cuando Q se encuentra a la izquierda del centro, la aceleracion de P esta dirigida hacia la derecha, pero tambiCn en este

rm caso es necesario el signo menos porque para dichos puntos cos 0 es negativo. Las Ecs. [14-51 y [ld-6! dan la aceleraci6n de P en cualquier ins-

IT*> tante y para cualquier desplazamiento. En el movimiento uniformemente

I" acelerado no existen ecuaciones analogas, salvo la sencilla espresi6n

pa? a = constante. 1. ( i* La Ec. [I461 dice que la aceleracibn del punto P, moviPndose de ?a

06 manera dicha, es proportional y de sentido opuesto a la elongacibn x. Ahora bien: Csta es justamente la condicidn que debe cumplir un

(9 cuerpo que se mueve bajo la acci6n de una fuerza recuperadora elastica

SEC. 14-41 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO A R M ~ S I C O SIMPLE 2'75

(Ec. [14-I]). Se concluye, por tanto, que las Ecs. [ I421 a [14-61 describen por cornpleto el movimiento de un cuerpo accionado por una fuerza de este tipo, y son las ecuaciones que nos proponiamos deducir.

Pars que el movimiento del punto P coincida en todos 10s aspectos con el de un cuerpo en vibracibn, el radio A de la circunferencia de referencia debe ser igual a la amplitud A de la vibracion, y la frecuencia de la revolucion de Q debe coincidir con la frecuencia de la vibraci6n. El valor adecuado de esta ultima puede determinarse combinando la Ec. [141],

k (1 = - - x ,

m

que da la aceleraci6n del cuerpo en vibracion para cualquier desplazamiento. con la Ec. [14-61.

que da la aceleracibn del punto P para una abscisa. dada. Como estas aceleraciones deben ser iguales,

\

k - = 4,912, rn

y, por tanto,

La Ec. [ l l i ] puede utilizarse para calcular la frecuencia de vibracibn de un cuerpo de masa dada que vibra sometido a la acci6n de una fuerza recuperadora elastica de magnitud constante.

Como el periodo es el valor reciproco de la frecuencia, la Ec. [14-71 se escribe tambiCn en la forma

A1 utilizar las Ecs. [14-71 o 114-81, in debe expresarse en u.t.m. (slugs), kilogramos o gramos, y k en Kg/m (lblpie), nen-tonsln~ o dinaslcm. La frecuencia, 1, vendra expresada en vibraciones por segundo, y el periodo, T , 1 en segundos por vibracibn.

Una conclusi6n un tanto inesperada que se deduce de estas ecuaciones e.s que el periodo no depende de la amplitud, sino solo de la masa y de la fuerza constante.

Las ecuaciones del moviniiento arm6nico simple pueden deducirse

tambiCn por 10s mCtodos del dlculo integral de la forma siguiente. La Ec. [14-11 se escribiria, con notaci6n diferencial:

Esto es, x es una funci6n de f tal que su segunda derivada respecto a f es igual a z multiplicada por una constante negativa. Esta circunstancia sugiere que x es una funci6n trigonomitrica de f. Ensayemos, por ejemplo, x = A cos o f ; resulta:

dx - = - wA sen of di

Por consiguiente, la ecuaci6n diferencial se satisface para w2 = klm, o bien o = d&= 2x1, que coincide con la Ec. [14-71.

La constante A puede tomar cualquier valor, por lo que a la ecuaci6n diferencial se refiere. Evidentemente, debe coincidir con la amplitud del movimiento para satisfacer la condici6n inicial de que x sea igual a la amplitud del movimiento en el instante f = 0.

La Ec. [14-101 coincide con la Ec. [14-31, y la Ec. [14-111 es idCntica a las Ecs. [14-51 y [14-61.

Es conveniente para comprender mejor el movimiento arm6nico representar la elongaci6n, velocidad y aceleraci6n del cuerpo p3r medio de graficas en funcion del tiempo, corno se hace en la figura 14-6, las cuales pueden considerarse corno representaciones graficas de las ecuaciones [14-21, [14-31 y [14-51. ObsCrvese que la velocidad es maxima cuando la elongacibn es nula, esto es, en el centro; mientras que la velocidad es nula cuando la elongaci6n es maxima. Por otra parte, la acelera- ci6n es nula en el centro, y maxima en 10s estremos de la trayectoria.

La figura 14-7 es una fotografia con iluminaciones sucesivas del movimiento de una masa suspendida de un resorte helicoidal y puesta en vi- braci6n vertical. La camara ha girado alrededor de un eje vertical mientras se tomaban las fotografias para que cada imagen estuviera separada lateralmente de la precedente. En efecto, esto introduce una escala horizontal de tiempos y el cuerpo traza su propia grafica de elongaciones correspondiente a la figura 14-6.

Comparando la separaci6n vertical de las sucesivas im4genes, se ve que la velocidad es maxima en el centro de la trayectoria y minima en 10s extremos, mientras que la aceleraci6n es maxima en 10s extremos y nula en el centro.

Si el cuerpo no estA en- el extremo de la trayectoria para f = 0, hay que genera- lizar las ecuaciones del movimiento. La figura 14-8 reprcsenta la circunferencia de

SEC. 14-41 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO A R M ~ N I C O SIMPLE 277

referencia de una vlbracl6n arm6nica con el punto de referencia formando un Angu- . lo 80 para 1 = 0 . Transcurrido el tiempo t, dicho punto ha avanzado un.4ngulo wf 6 2xf1, y su eIongaci6n angular es

e = eo + = zXft + 00. La abscisa de su proyecci6n sobre el

eje X es, por consiguiente,.

x = A cos e = A cos (241 + 00). El tlrmino O0 corresponde a la abscisa

inicial xo de la Ec. [4-161 y se denomina I

fuse inicial. La velocidad estA dada por

a = -'2xfA sen (2x11 + 8o),

y la aceleraci6n es t

a = - 4~2fZA COS ( 2 ~ 1 ~ + e,). En el caso especial en que 00 = n/2,

es decir, cuando la posicidn inicial coincide con el centro de l a trayectoria:

s = d c o s ( 2 ~ f f + x / 2 ) . = A s e n 2 x f t ; a u = 2xfA cos 2xfl; .

a = - 47c2/2A sen 2xfl.

y las ecuaciones son las misrnas que st el r

movimiento tuviese su orlgen en el extre- (el mo de la trayectoria, salvo que 10s senos y cosenos aparecen intercarnbiados.

EJEJIPLO 1.-Una cinta plana de acero estL montada corno indica la flgu- ra 14-1. Aplicando una balanza de resorte FIG. 14-€i.--Grbficas de la clongacibn, velo-

cidad y aceleraci6n. a1 extrcmo de la cinta y tirando lateralmente, se encuentra que una fuerza de 500 g produce una separaci6n de 15 cm. Se suelda un cuprpo de 2 Kg a1 extreme de la cinta, se le separa una distancia de 20 cm, y se 'abandona a si mis*~.

a ) Calcdlese la constante de rigidez del resorte. Una fuerza de 0,5 Kg produce una elongacidn de 0.15 m. Por tnnto,

= 2x1/T = 2 n ~ = 7 4: seg = 0.49 rc seg.

c) Calcdlese la velocidad milxima alcanzada por el cuerpo vibrante. La maxima velocidad corresponde a1 centro, donde la elongaci6n cs cero. Se tiene:

n .= * 2x1 d A 2 - 22, y, cuando r = 0; urn, = & 2~1-4.

278 MOVIMIENTO A R M ~ N I C O 'I [CAP. 14

R

b

II

'I)

I 11,

I 11

; , 1 ) .

,I

I

111

I1

1 1 f - - = - -

T 0 , 4 k vibraciones por seg:

A = 20 cm = 012 m: por tanto,

d ) Calcdlese la aceleraci6n maxima. La aceleraci6n mhxima corresponde a 10s extremos de la trayectoria donde z = &A.

Por tanto,

e) HBllense la velocidad y la aceleraci6n cuando el cuerpo se encuentra a igud! distancia del punto medio y de la posici6n inicial.

En este punto, x =. A/2 = 0,I m;

SEC. 1&5] RELACIOSES ENERGETICAS EN EL MOVIXIIOYO A R > I ~ N I C O 279

f ) ~ C u h n t o tiempo necesita el cuerpo para recorrer la mitad de la distancia comprendida entre la posicidn inicial y el centro?

ObsBrvese que el movimiento no tiene velocidad ni acele-aci6n constantes. El metodo mls sencillo para resolver un problema donde intersenga el tiempo necesario para moverse de un lugar a otro, en el caso del movimiento a-m6nic0, es utilizar la circunferencia que nos ha servido de referencia. Mientras el coerpo efectha el reco- m d o indicado en el problema, el punto que se mueve sobre h circunferencia ha girado un angulo de 600 (F;lg. 14-g), y puesto que este punto se mueve con velocidad angular constante y da una vuelta completa en 0 . 4 9 ~ seg (en est? ejemplo particular).

:. el tiempo que tarda en girar 600 es 116 x 0,491~ = 0,08:: seg. . .. El tiempo puede calcularse tambien directamente mediante Ia ecuacidn

x = A cos 2xjt;

cos 11 = 112;

1 rr 41 = arc cos - = -

2 P

E n consecuencia,

1 4 5 . Relaciones energeticas en el movimiento arm6nico.-Si 10s efectos de rozamiento son despreciables, la energia me&nica total de un sistema masa-resorte en vibraci6n se conserva constante, y, una vez iniciado, el rnovimiento continlia indefinidamente. Puesto que la elon- gaci6n y velocidad del cuerpo vibrante cambian constantemente, tam- biCn varian las energias cinMica y potencial, pero la suma conserva su valor en cada instante. I

Se ha visto en el capitulo VIII que la energia potencial de un resorte estirado es

EP = k~2.

La energia cinCtica vale E C = 112 mv2,

y puesto que v = 2 x f 1 / ~ 2 - x 2

Y

la energia cinCtica puede escribirse:

Por tanto, la energia total ser8:

que es constante e igual a la energia potencial en cada estremo de la trayectoria. Esta ecuaci6n puede interpretarse en el sentido de que mediante el desplazamiento de una distancia A, el sistema recibe inicialmente una cantidad de energia potencial 112 kA2, y que a partir de este instante la energia total conserva dicho valor inicial.

Se propone como ejercicio a1 lector la demosfraci6n de que la energia total es tambiCn igual a la energia cinCtica del cuerpo que vibra cuando pasa por su position de equilibrio.

r 14-6. PCndulo simple.-El pCndulo simple consiste en una masa de pequeiias dimensiones suspendida de un hilo inextensible y sin peso. Cuando se desvia hacia un lado de su posicibn de equilibrio y se abandona a si misma, la lenteja del pCndulo oscila alrededor de esta posici6n con un movimiento que es a la vez periodic0 y oscilatorio. Tratemos de averiguar si el movimiento es armbnico simple.

La condicibn necesaria para que un cuerpo realice un movimiento arm6nico es que se lialle sometido a una fuerza recuperadora, F, directamente proporcional a la elongacibn, x, y de sentido opuesto. Naturalmente, la trayectoria de la lenteja del pCndulo no es una recta, sino un arc0 de circunferencia de radio L, siendo L la longitud de la cuerda soporte. La elongaci6n se refiere a distancias medidas a lo largo de este arco (vCase Fig. 14-10). Por tanto, si F = - kx el movimiento sera arm6nico simple, o bien, puesto que x = LO, la condicibn puede escribirse F = - kL6.

La figura 14-10 representa las fuerzas "10 que se ejercen sobre la masa del pCndulo

I : , ~ . 1.+10.-~1 pendulo simple. en el instante en que su elongacibn es z.

ELijamos dos ejes, uno en la direccibn de la tangente y otro en la di- recci6n del radio, y descompongamos el peso en sus componentes seglin estos ejes. La fuerza rec'uperadora F es:

F = - my sen 0. [ l 41 21

Por tanto, la fuerza recuperadora no es proporcional a 8, sino a sen 8, y, en consecuencia, el movimiento no es arm6nico simple. Sin embargo, s i el cingulo 6 es pequeiio, sen 0 es aproximadamente igual a 8 y la Ec. 1.14-121 s'e convierte e.n

o bien:

La fuerza recuperadora es entonces, para pequefios desplazamienfos, proporcional a la elongacion, y la fracci6n mglL representa la constante k. Por tanto, el pei-iodo de un pCndulo simple cuando su amplitud es pequefia estA dado por -

o sea

~ Q u C se entiende por pequeria amplitud? Puede demostrarse que la ecuaci6n general del periodo de una oscilaci6n, para la elongaci6n angular maxima a, es:

El periodo puede calcularse con toda la aproximacibn que se desee tomando suficiente ntimero de tCrminos de la serie. Cuando a = 150 (a cada lado de la posici6n central), el periodo verdadero diiiere del calculado por la f6rmula aproximada de la Ec. [14-131 en menos de un medio por ciento.

La utilidad del pCndulo para regular el tiempo est6 basada en el hecho de que el periodo es practicamente independiente de la amplitud. Asi, cuando se acaba la cuerda de un reloj y, por tanto, la amplitud de la oscilacibn se hace ligeranlente menor, el reloj indicar8 todavia un tiempo aproximadamente exacto.

El pCndulo simple es, tambiCn, un dispositivo precis0 y adecuado para medir la aceleraci6n de la gravedad, g, sin-acudir a la caida libre de un cuerpo, puesto que L y T pueden medirse f6cilment& E n el campo

I 'B\

282 3fOVIMIENTO ARMONICO [CAP. 14 .-- SEC. 14-81 MOVIMIENTO A R M ~ N I C O AMORTIGUADO

8 11 , - 283

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de la geofisica se utilizan otros pCndulos mi s complicados. Los ya- cimientos de minerales o petrbleo, si sus dehsidades difieren de la de 10s materiales que 10s rodean, afectan a1 valor local de g, y las medidas precisas de esta magnitud en h regi6n explorada proporcionan con frecuencia una informacibn valiosa respecto a la naturaleza de 10s dep6sitos del subsuelo.

La figura 14-11 es una fotografia con iluminaciones sucesivas de la oscilaci6n de un pCndulo simple. El movimiento es evidentemente del tipo de 10s movimientos vibra- torios arm6nicos con velocidad m C xima en el centro y ace!eraci6n mhxima en 10s extremos de la os- cilaci6n.

14-7. Curvas de Lissajous.-La trayectoria seguida por un punto que simultineamente realiza un movimiento arm6nico simple en dos direcciones ortogonales se denomina

FIG. 14-11.-Oscilaci6n scncilln de un p8n- du10 simple. curua de ~issajous. Conocidas la arn-

plitud y frecuencia de cada vibra- ci6n componente, y la relaci6n de

fases entre ellas, puede determinarse la figura resultante por el mCtodo indicado en la figura 14-12. El segmento A B representa una de las vibraciones componentes, y el segmento CD representa la otra vibraci6n. La figura est4 dibujada para el caso especial en que las vibraciones componentes tienen frecuencias y amplitudes iguales, siendo la diferencia de fase 450 o 744 radianes. A1 comienzo, el punto de referencia se encuentra en la posici6n 0 en cada circulo. Los sucesivos puntos de ia curva de Lissajous se obtienen proyectando horizontal y verticalmente 10s puntos de las circunferencias de referencia. El movimiento resultante en este caso es eliptico y el eje mayor de la elipse forma un inguio de 450 con cada una de las vibraciones componentes. Se obtienen otras curvas si se cambian las relaciones de frecuencia y fase, como se ve en la figura 14-13.

Las curvas de Lissajous constituyen un mCtodo muy dtil para com- parar dos frecuencias, p. ej., a1 calibrar un oscilador elkctrico. Se aplica la frecuencia conocida a un par de placas de un oscil6grafo de rayos catbdicos, y la frecuencia desconocida a1 otro par. Si las frecuencias son exactamente iguales, la curva obtenida seri una de las representadas

j . en la parte (a) de la figura 1413. Si las frecuencias son casi (pero no exactamente) idCnticas, la curva va , variando lentamente a travCs de

I I la secuencia indicada. Si una de las . frecuencias es doble que la otra, se B

forma una de las curvas mostradas , en (b) , y asi sucesivamente. \ I /

. 14-8. Movimiento arm6nico C D : amortiguado.-En la discusibn pre- / ; \ , cedeklte no se ha tenido en cuenta el 4

3 efecto del rozamiento* y las ecua- FIG. 14-12.-Jlel0d0 para.construir Ins 1 : ciones del movimiento predicen, se- c w a s de I-ircajous.

1,'; gun cabia esperar, una vibraci6n . que continuarg indefinidamente con la misma amplitud. E n realidad, un .

/ peso sujeto a un resorte o un pendulo no oscilan indefinidamente, sino I

que a consecuencia del rozamiento su amplitud disminuye poco a poco,

i deteniendose finalmente el movimiento. Se dice que b t e esti amorti- :: guado por el rozamiento y recibe el nombre de movimienlo armdnico .: ; amoriiguado. . - > .., En la mayoria de 10s casos de interes prhctico, la fuerza de roza- .I . I miento se debe a la resistencia del aire y a1 rozamiento interno del re- ':i sorte, siendo, por tanto, de tipo viscoso. Dicho de otra manera, la fuerza : de rozamiento no es constante, sin0 proporcional a la velocidad y de : sentido opuesto a Csta. En consecuencia, debemos afiadir a la fuerza ' recuperadora elhstica, una fuerza de rozamiento proporcional a la velo-

i I cidad, per0 de signo opuesto; es decir: i I

I .: Fuerza resultante = - kx - pu = ma,

I ̂

o con la notacibn del cilculo diferencial: 1

284 MOVIMIENTO A R M ~ N I C O [CAP. 14 SEC. 14-91 MOVIMIEXTO A R M ~ N I C O FOIIZADO. HESONANCIA 285

Si el amortiguamiento no es muy grande, la soluci6n de esta ecua- ci6n es:

L- = r; A cos (25; I ' f + p). [14-141

- ,=1fk. r = 1 ~ ~ cos cp = - 1'

25; m ' 25; m 4m2; fo

Si el coeficiente de rozamiento p es nulo, se tendr5:

y la Ec. [14-141 se reduce a la del mo\~imiento arm6nico simple. Cuando hay rozamiento, dkminuye la frecuencia, o aumenta la duraci6n del periodo, segun muestra la presencia del tCrmino --p2/4m2.

El tCrmino entre corchetes de la Ec. [14-141 puede considerarse igual a la amplitud de la vibracibn, y como el factor exponencial disminuye constantemente con el tiempo, el movimiento se va amortiguando. El logaritmo neperiano del cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas se denomina decrement0 logaritmico del movimiento.

p2 k Si el rozamiento es tal que - > -, el radical se hace imaginario

4m2 m y el movimiento deja de ser oscilatorio. La pelota o el pCndulo, si se hacen oscilar, vuelven lentamente hasta detenerse en su posicion de equilibrio. Se dice que el movimiento es sobreamorfiguado. Para la fuerza de rozamiento particular que establece la separa'ci6n entre ambos tipos de movimiento, es decir, cuando

el movimiento deja de ser oscilatorio. El valor del amortiguamiento que separa ambos casos se llama amortiguamiento critico.

La figura 14-14 representa una sucesi6n de fotografias con iluminaciones sucesivas del movimiento de un sistema peso-resorte; el amortiguamiento aumenta de una a otra figura. La figura 14-14 ( e ) corresponde a1 caso de amortiguamiento critico, y la figura 14-14 (1), a1 de sobreamortiguamiento.

14-9.. Movimiento srrn6nico forzado. Resonancia.-El tipo de movimiento estudiado en las secciones precedentes es el que resulta cuando un sistema peso-resorte se desplaza de su posici6n de equilibrio y se abandona a si mismo. Otro caso interesante aparece cuando se somete un sistema de este tip0 a una sucesi6n de impulsos peri6dicos. Una su- cesi6n de impulsos relativamente pequeiios, cuando estan adecuadamente espaciados, dan lugar a una vibraci6n de amplitud bastante

SEC. 15-21 XIASA DE LA TIERRA - - 299

I hilo refleja sobre una escala un haz luminoso. Para utilizar la balanza, se disponen dos grandes esferas de masa M, corrientemente de plomo, en las posiciones indicadas. Las I-

15-1. Ley de Newton de la gravitacihn universal.--Durante el estudio d e la mecinica hemos encontrado continuanlente fuerzas debidas a la atraccion gravitatoria entre la Tierra y 10s cuerpos de su superficie; fuerzas que hemos llamado pesos de 10s cuerpos. Deseamos estitdiar ahora estos fen6menos de gravitacibn con un poco m i s de detalle.

La ley de la gravitaci6n universal fue descubierta por sir Isaac Sewton, y publicada por primera vez por 61 en el aiio 1686. Puede enunciarse de este modo:

Toda parficrlla de maieria del Universo afrae a cualquier oira parficula con u n a fuerza direcfamenle proporcional ul produclo de las musas de ambas particulas e inuersamente proporcional a1 cuadrado de la dislancia que las

mm' F oc- r2

i - La proporci6n anterior puede convertirse en ecuacibn multiplicando I

por una constante y (gamma), llamada consfanfe de gravifacidn:

KO parece muy seguro que Newton Ilegase a deducir esta ley a partir d e especulaciones concernientes a la caida a tierra de una manzana. Los primeros trabajos que dio a conocer para justificar su ley se refieren a1 movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

El valor numeric0 de la constante y depende de las unidades que se utilicen para medir fuerzas, masas y distancias. Su valor puede obtenerse experimentalmente, midiendo la fuerza de atraccibn gravitatoria entre dos cuerpos de masas conocidas, rn y m', siiuados a distancia conocida. Para 10s cucrpos de tamafio moderado, la fuerza es exiremadamente pequeiia, pero puede medirse sin mucha dificultad medianie la balanza de Cavendish, que es una modificacion hecha para este fin por sir Henry Cavendish, en 1798, de una balanza similar inventada por Coulomb para estudiar las fuerzas de atracciones y repulsiones, elkctricas.

La balanza de Cavendish se compone de dos esferas de masa m (figura 15-I), ordinariamente de oro. o piatino, montadas en 10s estremos de una barra llorizontal ligera, suspendida por su centro de un hi10 vertical fino; un hilo de cuarzo, por ejemplo. Un pequedo espejo fijo a1

fuerzas de atraccion gravitatoria entre las esferas grandes y las pe- querias originan un par que hace girar un cierto angulo a1 hilo y a1 espejo, moviendose, por tanto, el haz luminoso sobre la escala.

Utilizando Un hilo mUy fino, la FIG. 15-l.-~~incipio,de la hlanza de desviacion del haz luminoso llega a Cnvend~sh. ser suficientemente grande para que las fuerzas de gravitaci6n puedan medirse con gran precisi6n. El valor numeric0 de la constante de gravitacion, determinado por este procedimiento, resulta ser:

y = 6,670 x 10-8 dinas-cm2ig2, o bien:

6,670 x 10-11 new-m2/Kg2.

E ~ ~ h r ~ ~ o . - C a l c u l a r la fuerza de atraccijn gravitatoria entrC la esfera grande y la pequeila de una belanza de Cavendish, si m = 1 g, Af = 500 g, r = 5 crn. (Vere- mos mas adclante que las dos esferas se atraen una a otra como si la mzsa de cada una estuviera concentrada en su centro.)

o, aprosimadamente, una millonbsima de dina.

15-2. Masa de la Tierra.-Puesto que la constante y d e la ecuacion [15-11 puede determinarst mediante mediciones efectuadas en el laboratorio, es posible calcular asi la masa de la Tierra. De las medidas efectuadas en la caida libre d e 10s cuerpos, sabemos que la Tierra atrae a una masa d e un gramo situada en su superficie con una fuerza d e (aprosimadamente) 980 dinas. La distancia entre 10s centros de las masas es el radio de la Tierra, 6380 Km, o bien, 6,38 x 108 cm. Por consiguiente,

donde I\T es la masa d e la Tierra. De aqui,

Resulta un tanto absurd0 hablar del peso de la Tierra: en el sentido que henlos dado a este concepto, pero si utilizamos las relaciones esis-

tentes en la superficie terrestre entre el gramo .mass. y el kilo,gramo, dicho peso es 5,98 x 1024 Kg.

El volumen de la Tierra es

La masa dividida por el volumen se conoce con el nombre de densidad, siendo su valor para el agua 1 g/cm3. La densidad de la Tierra es

Gsta es considerablemente mayor que la densidad media de las sustancias prdximas a la superficie terrestre, de mod0 que el interior de la Tierra ha de tener muchamayor densidad.

15-3. Variaciones de ccgn.-La aceleracidn de la gravedad, g, es la aceleracidn comunicada a un cuerpo por su propio peso. Pero su peso puede escribirse

mM W = y-

R2 '

siendo m la masa del cuerpo; h1, la masa de la Tierra, y R, la distancia a1 centro de la misma. Entonces, puesto que w = mg,

Dado que y y M son constantes, la aceleracidn de la gravedad disminuye a1 aumentar la distancia a1 centro de la Tierra. En otras palabras, la aceleracidn debe ser menor a1 aumentar la altura. Esto es lo que demuestran 10s datos de la tabla siguiente.

Al t ura - 9 - B LUGAR -

rn cmpegr pies/sega

Cambridge, Mass. . . . . 14 980,398 32,1652 \Yorcester,Mass . . . . . 170 980,324 32,1628 ;\ladrid . . . . . . . . 655 979,981 32,1516 Denver,Col. . . . . . 1638 979,609 32,1393

. La Tierra no es una "esfera perfecta, sino un esferoide, ligeramente aplastado en 10s polos. Por tanto, la distancia desde el nivel del mar a1

SEC. 15-31 VARIACIONES DE +GD 30 1

centro de la Tierra disminuye Ligeramente cuando marcharnos desde el ecuador hacia 10s polos, y g a1 nivel del mar debe crecer a1 aumentar la latitud norte o sur. Esto demuestran 10s datos de la tabla 15-2 .1

LUGAR

I Zona del Canal 90 00' . . . 170 581 Jamaica . . . . . . . .

. . . . . Bermudas . f 32021'

. . . . . . Cambridge 420 23' Valor normal . . . . . 450

. . . . . Groenlandia 700 27' - I

Los depbsitos, en ciertos lugares, de minerales, petroleo u otras sustancias cuya densidad es mayor o menor que la densidad media de la Tierra produciran variaciones locales de g si comparamos puntos de la misma latitud y altura. Inversamente, del conocimiento de estas vdria- ciones pueden deducirse consecuencias en cuanto a la presencia de d e p b sitos de minerales o petrdleo debajo de la superficie terrestre. De aqui que la medida precisa de g sea uno de 10s metodos de exploracibn geofisica. Tales medidas se efectlian con un pCndulo de nonstruccidn especial.

A causa de la disminucidn de g con la altura, es s610 aproximada- ~nente cierto que 10s cuerpos caen hacia la Tierra con aceleracidn constante: En realidad, la aceleracidn al~menta continuamente cuando el cuerpo se aproxima a la Tierra, si despreciamos la resistencia del aire. Sin embargo, en la rnayor parte de 10s problemas pueden despreciarse estas variaciones.

EJE~~PLO.-LA qu8 alLura sobre la superficie d e la Tierra la disminuci6n de g equivale a1 0 , l % de su valor en la superficie?

En cualquier problema de este tipo, donde se da el valor de u n pequeAo cambio porcelltual de una magnitud y se pide la correspondiente variaci6n d e otra, es con- venicnte utilizar 10s n~ctodos tlel calculo infinitesimal.

De la Ec. [15-21 resulta: Y A ~ g =- R2 '

y por diferel1ciaci6n se obtiene:

donde R hay que interpretarlo no ~~ecesariamente como el radio d e la Ticrra, sin0

1 La varlacidn de g con la Iatitud se debc tamhien en parte a1 ~ ~ ~ o v i r n i e n t o de rotaci6n de la Tiern. V k s e secci6n 10-12.

I ,P colno una distancia a1 ccntro de la misma. Si se divide la segunda igualaa'. por la primera sc obtienc:

'r h d9 -- d R - - 2 -

ITb 9 R

PI Aunque la relacidn vlterior s61o se verifica exactamcnte en cl caso en g e dg y d R sean iniinitGsimos, tambien puede aceptarse colno igualdad apro?timzf.- si dg

l r t y d R son pequeiios en relzcidn con g y R, que es lo que sucede en este caso. Podelnos, por tanto, considerar TAe dg rcprescnta una variaci6n pcqucfia pcro de g,

.f r a1 aulnentar la distancin a1 centro dB la Tirrra en dR. El cocicnte d ~ / g r e p ~ s e n t a la

l, t variaci6n {milaria, iguz? a1 0,l %, o sea 0,001, o preferiblemcnte - 0,001. y8 que g disminuye. Por consiguiente,

h d R - 0,001 = - 2 - : R

t f + 0.001 x R

,'I rr d R = 2

= 0,0005 x 6380 = 3,2 ICm.

, t El movimiento dc u z cuerpo que cae desde una grall altura, en cuyo casc z : puedc

, ( 5 drspreciarse la variacioz de g, se estudiarh en la scccidn 15-6.

En la secci6n 1-3 se definio la unidad de fuerza con10 la fuerza de atraccion gravitatoria ejercida sobre el kilogramo patr6n a1 nivel del tnar y 450 de latitud. Pa ra precisar esta definicion convenimos en q u e el .kilogram0 fuerza sea igual a1 peso del kilogramo patr6n en cudquier punto donde la aceleracron de la gravedad ralga 980,665 cmlseg" valor que a veces se denomina aceleracion normal de la gravedad. Esto equivale a definir el kilogramo fuerza como aquella fuerza que comunicz zi kilo-

gramo patron una acelerz-ibn de

@ -B 980,665 cmlseg2. Esta defici-: L I O ~ ' resulta asi independiente 6 5 cual-

(a) quier fen6meno gravitatorio, por lo que deja de tener significado el adjetivo grauilaforio.

0 ,b,

e 15-4. Campo gravitatori0.-El . ,

concepto de campo de fuerzas resulta sunlamente litil cuando hay que

FIG. 15-.).-El cuerpo -4 crea un campo ocuparse de cualquier tip0 cis iuerza gravllatorio en el ?unlo P. de acci6n a distancia; es deck, una

fuerza debida a causas grzx-itato- rias, electricas o magneticas. Aunque el concepto se utiliza principdmente en electricidad y magnetismo, son aplicables las mismas ideas y tPrminos a 10s campos gravitatorios, de 10s que nos proponemos hacer ur. breve estudio.

Sabenlos por datos experimentales que una fuerza de atraccitr. gravitatoria [ F en la Fig. 15-2 (a)] se ejerce sobre el cuerpo B por el -4, aunque anlbos cuerpos se hallen en el vacio, y sin conexi6n de n i n s i n tipo. La causa de esta ley de la Naturaleza nos es completamente desconocida.

SEC. 15-41 CAlIPO GRAVITATORIO 303

Podemos imaginar el fen6meno en la forma siguiente: supongamos que desaparece el cuerpo B, como en la figura 15-2 ( b ) , en la q u e P dcsigna el punto que antes ocupaba B; cabe imaginar que la presencia del cuerpo A modifica la situacion en el punto P de tal forma que si se coloca un cuerpo en P, queda inmediatamente afectado, siendo atraido hacia A. Ya que la fuerza ejercida sobre B hacia A existe, cualquiera q u e sea el lugar ocupado por B, todo el espacio que rodea a A estii afectado en dicha forma, y decirllos que existe un campb grauilaforio en todos 10s puntos del espacio que rodea a1 cuerpo A.

Se dice que exisie un campo grauilaforio er! rm punfo cuando sobre crtalquier cuerpo colocado en dicho punio se manifiesla una luerza debida a causas grauifatorias.

A1 utilizar el concepto de campo adoptamos el punto d e vista d e que la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo est6 ejercida por el campo gravi- laforio en el que est6 situado el cuerpo; en lugar de por el cuerpo (o cuerpos) que crean el campo. Asi, en la figura 15-2, se dir5 q u e el cuerpo A produce u origina un campo gravitatorio en €1 punto P, y que a1 situar en P un cuerpo B, dicho campo gravitatorio ejerce una fuerza sobre el. Por supuesto, B produce su propio campo gravitatorio, y a1 colocar B en P, el cuerpo A experimenta una fuerza dirigida hacia B y debida a1 campo originado por este liltimo cuerpo.

Se define la inlensidad del campo gravitatorio en un punto por el cociente de la fuerza ejercida por el campo a la masa del cuerpo sobre el que se ejerce dicha fuerza. Por tanto, la intensidad del campo puede decirse que es la fuerza por unidad de masa, y su magnitud y direcci6n en cualquier punto se determinan esperimentalmente sin m8s que colocar un cuerpo (Ilarnado cuerpo de prueba) en dicho punto, midiendo la fuerza ejercida sobre el y dividikndola por la masa del cuerpo d e prueba.

En la figura 15-2 puede considerarse que el cuerpo B de masa nl'

es el cuerpo.de prueba. Si el carnpo ejerce una fuerza F sobre cste cuerpo, la intensidad del campo gravitatorio en P, que d.esigngremos por G, es:

Fuerza sobre la masa m' en P a Intensidad del campo gravitatorio en P = m ' I

Fuerza sobre ~ n ' G = [ I 5-31

m '

La intensidad del canlpo gravitatorio se espresa en kilogramos por unidad tecnica de masa, dinas por gramo, newtons por kilogram0 o libras por slug; p. ej., en la superficie de la Tierra el campo gravitatorio terrestrd ejerce una fuerza de 9,8 newtons sobre una masa de 1 Kg, o bien una fuerza de 32,2 lihras sobre una masa de I sldg. P o r consiguiente, la intensidad del camp0 gravitatorio terrestre en la superficie d e la Tierra es 9,8 newions/Kg o 32,2 lb/slug.

Si el campo gravitatorio en un punto est6 orlginado por una masa

puntual linica, tal como el cuerpo A de la figura 15-2, la fuerza ejercida sobre el cuerpo B puede calcularse mediante la ley de la gravitacibn:

donde m es la masa del cuerpo A, y m', la masa del cuerpo B. Por tanto, ya que G = Flrn',

I Puesto que la intensidad del campo es fuerza por unidad de masa, tiene una direcci6n determinada (la direcci6n de la fuerza ejercida sobre el cuerpo de prueba) y, por tanto, es una magnitud vectorial. Si varios cuerpos contribuyen a1 campo gravitatorio originado en un punto, el campo resultante se obtiene por el mCtodo corriente de adicibn de vectores:

m G = yC - (suma geometrica).

r2 [l5-51

Cualquiera de las Ecs. [15-31 o [15-51 puede considerarse como defi-

~7 nici6n de G. Debe observarse atentamente que m' en la Ec. [15-31 re-

,- presenta la masa de un cuerpo de prueba situado en el punto P, mientras que 10s simbolos rn de la Ec. [15-51 son las masas de cuerpos colocados en puntos distintos del P, que ejercen fuerzas sobre el cuerpo de prueba de masa m' situado en P.

EJE~IPLO 1.-Calc6lense la magnitud y direcci6n del canlpo gravitatorio en 10s puntos P y Q de la figura 15-3, originado por las masas ml y m2.

La intensidad del carnpo en el punto P, debido 6nicarnente a ml, es

SEC. 15-41 CAMPO GRAVITATORIO 305

E l campo debido a m2 es:

Yl772 G2 = ----: = 144

- 16y dinaslg. r22 9 -

Su direcci6n es hacia m2. Por tanto, el campo resultante G p en P es 1 6 ~ - 9y = 7y dinaslg, d i r i g e o hacia

' mz. La intensidad tn Q del campo debido a ml es: I dirigido hacia ml.

El campo debido a m2 es: 144

G ' 2 = ~ 7 - 9y dinaslg,

dirigido hacia m2. E l campo resultante Go es el vector suma de G'I y G'2, y aplicando 105 metodos

conocidos resulta que su valor es:

y forma un Angulo de 240 con la recta que une Q y ma. EJEMPLO 2.-~Qu6 fuerza gravitatoria actuarh sobrc un cuerpo de 2 0 g en 10s

puntos P y Q? La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad dc

masa. Por tanto, el cuerpo de 20 g situado en P experimentarh una fuerza d e 20 X

/i X 7y = 140y dinas hacia me, y en el punto Q la fuerza sera de 20 X 9,8+ = 1 9 7 ~ dinas en la direcci6n de GQ.

I! En la exposici6n que precede se na supuesto tjcitamente q3e las masas de 10s cuerpos considerados estaban concentradas en un punto. Vamos a estudiar brevemente el campo originado por una disiiljuci6n de masa.

ds

FIG. 15-4.421 vector dG es la intensidad en el punto P del carnpo gra~- i ta tO~O debido a1 elemento ds.

La figura 15-4 representa un anillo de secciin despreciable y de radio a. En el punto P del eje, un pequeiio elemento del anillo, de longitud ds y

SEARS. I.-20 I .,

SEC. 15-41 CAMP0 GRAVITATORIO 307

masa dm, origina un campo de intensidad dG en la direcci6n indicada, siendo

ra 15-4. Por la Ec. [15-61 conocemos la intensidad en P del canlpo de- bid0 a un anillo, d e forma que por integraci6n puede obtenerse In ex- presi6n del campo resultante en. P. Sin entrar en detalles resulta quc si P es ezlerior a la esfera, la intensidad del campo es:

Este campo puede descomponerse en las componentes dGz y dG,. A cada elemento del anillo, tal como ds, le corresponde otro elemento diametralmente opuesto ds', que origina un campo en P, cuya componente Y es igual ?- opuesta a dGy , pero cuya componente X es igual y del mismo sentido que dG,. Las componentes Y de todos 10s elementos del anillo se compensan, por tanto, entre si y el campo resultante en P es la suma aritmktica o integral de todas las componentes X.

La magnitud de dGz es:

donde M es la masa de la membrana, y x, la distancia de P a su centro, en tanto que si P es interior G = 0. En otrns palabras, una n1en:brana delgada, esfirica ?- homogknea, atrae a 10s cuerpos extcriores c ~ : n o si toda su masa estu.i-iera concentrada en el centro de la esfera, mientras que no ejerce fuerza alguna sobre 10s cuerpos interiores a aquella.

El \echo de ser n&o el camp0 en 10s puntos interiores puede verse tambi in por el siguiente y sencillo ~azonarniento. Sea P en la figura 15-6 un punto irlterio: a una delgada ~nembrana e s f rica de materia, y consideremos dos pe~:efios conos de vkr- tice en P que cleterr-inan en aqudla Ins areas dAl y dA2. El sngulo sGlido dQ e: el mismo en arnbos cozos y, por tanto, las areas dAl y dA2 son proporcionales a 10s cuadredos dc las distancias rl y rz , y las masas de dichos clemcntos son proporcionales a sus Areas. Los ca~npos gravitatorios en P, debidos a estos elernentos, se anulan, por tanto, ez?re si por resultar las niasns r~roporcionalrs a 10s cuadrados . de.rl y r2, y sus cam: r s gravitatorios son PIG. 15-6. invcrsamente proporcionalcs a estoa cun- drados. La mcmbra:?~ conipleta puede imaginarse subdividida de cste modo, ?? tlondc resulta que 10s campcs internos sc co~llpensan entre si.

Si el anillo es honogCneo, la masa de un elemento es proporcional a su longitud, de mod0 que si es m la masa del anillo,

d m d s -=- m , 6 d m = - ds. m 2xa 2xa

Por consiguiente,

Es inmediata :r: generalizaci61-1 a una esfera maciza. La figi:ra 15-7 representa una secci6n de la esfera. Puesto que cads capn en que puede dividirse la esfera act6a respecto a 10s puntos esteriores como si toda su masa cstuviese concentrada en su centro, igual sucede para la esfera en conjunto. Esto justifica la construcci6n de la figura 15-2, etc.. donde las distancias esistentes entre 10s cuerpos esfkricos son las clis'ancias entre sus centros.

En 10s puntoc interiores, tales como el P de la figura 15-7, 12s capas exleriores a P no c3ntril)uyen a1 campo, que se reduce scncillan7.c::tc, a1 creado por una scperficie esf@rica dc radio r. Si es In In masa de esta esfera mencr,

(Puede prescindirse del subindice, ya que Gy = 0.) Si b = 0, G = 0; es decir, el

campo gravitatorio de un anillo es nulo en el centro del. anillo, segun cabia esperar.

Consideremos ahora una delgada membrana esfCrica homogenea de radio R (Fig. 15-5). L a membrana puede considerarse subdividida en estrechas zonas del mod0 indicado, cads una de las cuales

FIG. 15-5. corresponde a1 anillo de la figu-

Si la esfera es homogenea, la masa de esta illtima esfera g~lerda la misnla proportion con la de la esfera total que la csistente entre SuS respectivos volumenes. Si representarnos por M la masa de todz la esfera, se tiene:

FIG. 15-7.-Intensidad del G3mpo gravitario de una esfera.

Por tanto,

En la superficie de la esfera mayor, para la que r = R,

Y~M GR=- R2

Por consiguiente,

El campo en 10s puntos interiores de una esfera homogCnea es, pues, nulo en el centro, aum'entando linealmente con la distancia a1 alejarse de aquC1. En el exterior de la esfera es inversamente proportional a1 cuadrado de la distancia a1 centro. En la parte superior de la figura 15-17 se da la grafica de G.

15-5. Energia potencial gravitatoria.-Se ha visto en el capitulo VII I que si se eleva un cuerpo desde una altura a otra, el incremento de su energia potencial es igual a1 trabajo efectuado a1 elevarlo. Hemos considerado s610 casos en que la variaci6n de altura era tan pequeiia en

SEC. 15-51 ENERG~A POTENCIAL GRAVITATORIA 309

relacion con el radio de la Tierra, que el peso del cuerpo permanecia prdcticamente constante. Sin embargo, en 21 caso general, cuando dos cuerpos se separan venciendo la fuerza de atraccion gravitatoria esls- tente entre ellos, hay que tener en cuenta la variaci6n de la F, = -.-+- Y mm' sm: = - . = E' fuerza (queesinversamentepro- O--- - -- r' porcional a1 cuadrado de la dis- m tancia) a1 calcular el trabajo 1 efectuado y laenergiapotencial.

r-,

La figura 15-8 muestra dos FIG. 15-8.

masasm y m', separadas por una distancia r. Supongamos la masa m fija en el origcn. La magnitud de la

ymrn' fuerza.atractiva ejercida por rn sobre rn' es - , que por estar dirigida r2 yrnm'

hacia la izquierda podemos escribirla en la forma FI = - - . La r2

fuerza exterior F2, que debe ejercerse sohre rn' para separarla de m, es yrnm'

F2= - PI=- El trabajo fealizado por esta fuerza a1 desplazar r2

m' desde la distancia rl a la r2 es:

Puesto que el trabajo es igual a1 incremento de la energia potencial,

donde EP,, y EP,, son las energias potenciales correspondientes a las distancias rl y r2.

En 10s trabajos tCcnicos conviene tomar como plano de referencia para la energia potencial gravitatoria el nivel del mar o el punto mas bajo considerado en cada problema particular. Sin embargo, en la teoria general de la gravitation resulta m8s sencillo frccuentemente trasladar el nivel de referencia a1 infinito; es decir, la energia potencial gravitatoria de un cuerpo se toma igual a cero cuando se supone infinitamente alejado de 10s demas cuerpos. Si, de acuerdo con esto, se hace rl igual a infinito en la Ec. [15-71 y EP,, = 0, resulta:

EPr, - 0 = yrnm' - - - (: r:)

y como r2 representa cualquier distancia, podemos prescindir del subindice y escribir

yrnrn' EPr= -- [15-81

r

Esta cltima es la expresibn de la energia potencial de una masa m' situada a una distancia r de otra masa m*. El signo negativo de la energia potencia1 significa sencillamente que dicha energia es menor para una distancia f inih r que lo es para una distancia infinita.

EJE~IPLO.-LCU~I es la energia potencial gravitatoria de una masa d e 100 g situada a1 nivel del mar, si el plano de referencia se considera en el irdiiiLo?

Si es ?lf la masa c'e la Tierra, R su radio, y m, la masa de un cuerpo situado en su superficie, la Ec. j15-81 se reduce a

y?ll YM Hemos visto que g = - , de formaque- = Rg, y

R? R

15-6. Potencial gravitatori0.-La intensidad del campo grax-itatorio en un punto se define como la fuerza gravitatoria por unidad de mssa, ejercida sobre un cuerpo de prueba en aquel punto. Es conveniente definir una magnitud analogz, la cnergin polencial por unidad de masa, denominada pofencial gravilalorio, y que se representa por el simbolo V. Si designamos por rn' la masa de un cuerpo de prueba colocado en el punto P de un campo gravitatorio, se tendra:

Energia potencial de la masa m' en P Potencial gravitatorio en P = -

m '

Es evidente que el potencial gravitatorio se espresarh en kilogrb- metros por unidad tCcnica de masa, julios por kilogramo, ergios por gramo o libras-pie por slug. Si se conoce el potencial en un punto, la Ec. [lz-91 permite calcular la energiapotencial de una masa situada en dicho punto."

Por ser la energia una magnitud escalar, tambiCn lo es el potencial, a diferencia de la intensidad de un campo gravitatorio, que es un vector. Si cierto numero de cuerpos contribuyen a1 potencial eE un punto, el potencial comtinado equivale a la suma arifmilica de 10s potenciales debidos a cad2 zno de !ns cuerpos.

Puesto que la energia potencial de una masa puntual m', situada a una distancia r de otra.masa puntual m, es:

mm' I E P = -y-

r '

* Como va sc ha evplicado anteriormente, la energla potcncinl es una propledad del sislema y no debe asignarse a ninguna de lcs masas por separado. No obstante, a cdrnodo hablar de la energia pclcncial dc. la rnasa m'.

SEC. 15-61 POTESCIAL GRAVITATORIO 31 1

el potencial a una distancia r de una masa puntual m sera:

y el potencial debido a varias masas puntuales,

Tanto la Ec. [15-91 como la Ec. [ 5-11] pueden considerarse como definicibn del potencial gravitatorio e n un punto. cornpatense con las correspondientes definiciones de la intensidad de un campo gravitatorio.

La diferencia de pofencial entre dos puntos cualesquiera de un campo gravitatorio se define como el potencial en un punto, menos el potencial en el otro; equivale numericamente a1 trabaj'o necesario para desplazar la unidad de masa desde un punto a1 otro siguiendo una trayectoria cualquiera. Por consiguiente, el trabajo necesario para llevar una masa m de un punto a otro es igual a m veces la diferencia de potencial existente entre ambos puntos.

EJE~IPLO 1.-Calcdlese el potencial gravitatorio en 10s puntos P y Q de la figura 15-3.

El potencial en el punto P, debido a la masa ml, es:

El potencial debido a rn2 es:

E l potcncial combinado V p serA:

E l potencial en el punto Q, debido a la masa ml, cs:

El potencial debido a mz es:

Finalmente, el potencial combinado V Q sera:

EJEMPLO ~.-LQuB trabajo se requlere para desplazar una masa d c 20 g dcstle el punto P a1 p m t o Q?

La diferencia de potencial gravitatorio entre 10s puntos es:

e s t e es cl incremcnto de energla potencial de una unidad de masa cuando se desplaza dcsdc P hasta Q, o sca, el trabajo rcquerido para mover la unidad de masa dc P a Q. El trabajo necesario para mover una masa de 20 g serii, en consecuencia,

Trabajo = 20 x 18y = 360y ergios,

y el trabajo es el mismo cualquiera que sea la trayectoria elegida entre P y Q.

El movimiento de un cuerpo en un campo gravitatorio, cuando la intensidad no es la misma en todos 10s puntos, es preferible estudiarlo con ayuda del concept0 de potencial gravitatorio o energia potencial. Si se desprecian las fuerzas de rozamiento, la relaci6n fundamental se reduce a1 principio de conservaci6n de la energia:

EP + E C = constante,

EP1 + EC1= EPz + EC2,

donde 10s subindices 1 y 2 se refieren- a dos puntos de la trayectoria del cuerpo. , .

I-. Si limitamos nuestro estudio a1 del movimiento de una masa m en ei - campo gravitatorio creado por una sola masa puntual fija, 'o por una

esfera homogCnea de masa M, se tiene:

siendo r la distancia de la masa m a1 centro de la masa 114. Por tanto,

EJEMPLO 1.-&Con qu6 velocidad debe proyectarse un cuerpo verticalmente hacia arriba desdc la superficie de la Tierra para que alcance una altura igual a1 radio de Csta? Se desprecia la resistencia dcl aire.

En este caso, rl = R, rz = 2R, y cuando el cuerpo llega esactamente a dicho punto, vz = 0. Por tanto,

Con ayuda de la Ec. [15-21 puede calcularse cdmodamente este resultado:

SEC. 15-71 MOVIMIENTO PLAXETARIO 313 , t

C siendo g la aceleraci6n de la gravedad en la superficie terrestre. Combinando I= ecua- I ciones anteriores, se tiene:

at : EJE~IPLO 2.-~Qu6 velocidad inicial de proyecci6n es neeesaria para que eI cuerpo t escape a1 campo gravitatorio terrestre?

' f

15-7. Movimiento p1anetario.-En primera aproximacibn 10s plane- 1 tas se mueven alrededor del Sol siguiendo 6rbitas circulares cuyo ccntro est6 en aquC1. Como la masa del Sol es mucho mayor que la de cualquier I i planeta, puede suponerse que el primer0 se encuentra en reposo. La 1 (: fuerza gravitatoria existente entre el Sol y el planeta procura la fuerza centripeta precisa para mantener el movimiento circular. En la figura 15-9, M es la masa del Sol, y m, la de un planeta que se mueve en

i t r:

una circunferencia de radio r con velocidad angular w. La fuerza gravitatoria F es:

I - mM I c; <

p ' = y 7 -

y, por tanto,

\ I

ymM = mw2j-, /

r2 o bien:

'4

,2 - YM , [15-121 FIG. 15-9.-La fuerza ds atrarcidn, grari- Y

r3 tatoria proporciona la fuena centnpeta. Y

La velocidad angular resulta asi independiente de la masa del planeta, siendo funcibn hicamente de la masa del Sol y del radio d e la 6rbita planetaria. Con otras palabras, un planeta de cualquier masa situado a la misma distancia del Sol a que est5 la Tierra, daria una yuelta alrededor del Sol en igual tiempo que lo hace la Tierra.

Puesto que se conoce la constante gravitatoria, y, la Ec. [I5121 permite calcular la masa del Sol utilizando 10s datos relatives a uno cualquiera de 10s planetas. El hecho de que se obtenga la misma masa solar utilizando 10s valores de o y r para cualquier planeta, proporciona una justificacibn de la ley de la gravitation universal. VCase el problema 15-16.

Tanto la figura 15-9 como la Ec. [15-121 se aplican tambiCn a u n

311 GRAVITACI~N [CAP. 15

planeta y a uno de sus satClites, como la Tierra y la Luna, o Jhpiter y una de sus lunas. Por tanto, se puede calcular la masa de cualquier planeta cuando se conocen la velocidad angular y la distancia a1 mismo

I de uno de sus satelites.

P R O B L E M A S

15-1. La masa de la Luna es aproximadamente 6,7 x 1022 Iis ?- su distancia a la Tierra es de unas 23'2 000 millas. a) iCual es la fuerza de atraccidn gravitatoria entre la Tier?, y la Luna, en toneladas? b) Si hubiera cue mantener la Luna en su drbita meaiante un cable de acero que sustituyese a la fuerza gravitatoria, iqua dipmetro habria de tener aqudl si su resistencia no puede exceder de 60 000 lb/pulg?

15-2. En un esperimer.:~ en el que se utiliza la balanza de Cz~endish para medir la constante gravitatoria y, se comprueba que una esfera de SO3 g de masa atrae a otra de 4 g con una fuerza de 13 x 10-6 dinas, cuando la distancia entre sus centros es de 4 cm. La aceleracidn de la gravedad en la superficie terrestre vale 9SO cm/seg2 y el radio de la Tierra 6100 Iim. Calcdlese a pr-t ir de cstos datos la masa dE la Tierrr?.

IC. c 3

MOO g

A E r n 6 m

15-3. Dos esferas iguales, cada una de 6400 g de masa, estan fijas en 10s puntos A y B (Fig. 15-10). a) Calclilense la magnitud y direccidn de ia aceleracidn inicial de una nlasa de 10 5 abandonada en reposo en el punto P, ?- sobre la que actlian linicamente las fuerzas de atraccidn gravitatorias de las esieras A y B. b) NAllese la velocidad de la esfera de 10 g cuando se ha desplazado 6 cni. 15-4. a) gCuAl es la mzgnitud de la

fuerza ejercida por las masas representadas en la figura 15-11 sobre otra masa de 10 g situadz en el orisen? b) iCuAl

es el potencial gravitatorio debido a M I y Adz en el origen? c) LS en el punto A? d) ~ Q u e trabajo se requiere para trasladar una masa de 10 g desde el punto A hasta el origen?

15-5. Una esfera maciza y una membrana esfBrica delgada estAn situadas se- g i~n se indica en la figura 15-12. La esfera tiene 2 cm de radio y 3600 g de mzsa. El radio de la membrana es 5 cm y su masa 25 Kg. Calcdlense el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en 10s puntos A y B. EsprBsense 10s resultados en funcidn de la constante gravitatoria, -(.

FIL 15-13.

15-6. Todos 10s cuerpos representados en las partes (a) y (b) de la figura 15-13 tienen la misma masa m y se hallan separados uno de otro por una distancia a, segiln se indica. a) Calc6lese el potencial gravitatorio y la intensidad del campo gravitatorio en un punto a z centimetros a la derecha del cuerpo 1 en el sistema

PROBLEMAS 315

(a). b) Repitanse 10s mismos cAlculos para el sistema ( b ) , en un punto equidistante de 10s cuerpos 1 y 2 y situado en la linea de sus centros: 15-7. En n6meros redondos la dis-

tancia de la Tierra a la Luna es 400 000 kilbmetros, la de la Tierra a1 Sol 150 millones de kil6metros, la masa de la Tierra 6 x loz7 g y la masa del Sol 2 x 1033 g. ~ C u a l es la razdn aprosimada entre la atraccidn gravitatoria del Sol sobre la Luna y la que ejerce la Tierra sobre aquhlla?

15-8. 'Una masa puntual m se aban-' dona en reposo a una distancia 3R del centro de una esfera hueca de pared - delgada, de radio R y masa M. La esfera esta inmdvil y la linica fuerza que actlia sobre la masa m es la atraccidn gravitatoria debida a la esfera, en ia cual se ha practicado un pequeao orificio que atraviesa la masa puntual, en la forma indicada en la figura 15-14. a) ~ C u h l es la aceleraci6n inicial de la masa m? b) &CuAl es su velocidad en el i ~ s t a n t e que alcanza el orificio practicado en la superficie esfdrica? c) iCuAl sera su velocidad pasar por el centro de la esfera? Ddnse las respuestas en funcidn de la constante gravitztoria y. 15-9. L2 masa de l a Luna es aproxi-

madamente 6,7 x 1022 K g y su radio 16 x 105 rn. a) Calcfilese 12 velocidad con que debe proyectarse un objeto verticalmente desde la superficie lunar para que alcance una altura igual a1 radio de la Luna. b) ~ Q u d distancia recorrerA un cuerpo en un segundo, en caida libre hacia la Luna, si se abandona en un punto prdximo a la superficie de aqudlla? c) Si un hombre es capaz de elevar su centro de gravedad 1,20 m verticalmente

en un salto realizado en l a superfidr de la Tierra, Lqu6 altura alcanzarla so3l-e la superficie lunar, si aplicase el mismo im- pulse? d) ~ C u a l sera el perlodo de oxi la- cidn, en la superficie lunar, de un pendulo cuyo period0 en l a Tierra es de 1 seg? 15-10. con qu6 velocidad deb= ?ro-

yectarse verticalmente hacia a m i s s un cuerpo desde la superficie terrestre ?ara que alcance una altura de 600 ZXm? ~ Q u d error relativo se cometera S suponer g constante e igual a1 valor que tiene en la superficie terrestre? 15-11. 2Qud velocidad adquiriri un

cuerpo en caida libre desde una a1tc-a h en la superficie terrestre? Desprdciess el rozamiento, dando la respuesta e n funcidn de la aceleracidn g en la superficie de la Tierra: y del radio de Bsta, 3. Se supone que h es lo suficientemente p ~ m d e para que deba tenerse en cuenta la \-a-ia- ci6n de la gravedad con la altitud. 15-12. a) Calcdlese la variacidn rela-

tiva que experimenta el perlodo de un pdndulo cuando se traslada desde el nivel del mar a una altura de 18 Km. (Scsti- tdyanse 10s incrementos finitos po r l i fe- renclales). b) Si un reloj de pdndulcb se- Aala hora exacta al nivel del mar, LC-an- tos segundos adelantarh o retrasar2 por dia a una altura de 18 Km? 15-13. LA qu8 distancia del c tx t ro

de la Tierra y exteriormente a ectz la intensidad del campo gravitatorio terrestre es igual a su valor en un punto interior a l a Tierra y equidistante del centro y de l a superficie?

15-14. a) Si se pudiera perfor= un tdnel que atravesase la Tierra por su centro, &qud tipo de movimiento rsali- zaria un cuerpo abandonado en m a de

las bocas del tdnel? Despreciese el roza- del eje de un arco delgado de masa m miento. b ) ~ Q u 6 tiempo emplearia el y radio R, a una distancia z del centro cuerpo en ir de un extremo a otro del del mismo es tunel? c) ~ C u a l s e r k su velocidad en el I: centro de la Tierra? G = ym

15-15. E n la figura 15-15 ABCD es (z2 +- R2)'lz

un cuadrado de 10 crn de lado. Se coloca una masa de 100 g en d y otra de 50 g en C. a ) LCual es la fuerza de atracci6n entre ambas masas? b) LCual es la magnitud de la intensidad del campo gravitatorio en D? Indiquese su direction

.aproximada en un diagrama. c) L Q U ~ energla potencial tendria una masa de 10 g situada en el punto B? d) Si la masa de 10 g se lanza desde el punto B con una velocidad inicial de 6 cm/seg y de tal forma que alcance el punto D, jcuAl seria su velocidad a1 llegar a este? Dense las respuestas en funci6n de y.

15-16. Calcdlese la masa del Sol sabiendo que la 6rbita terrestre (supuesta circular) tiene un radio de 150 millones de kil6metros y que el tiempo empleado en una revoluci6n es de 365 dias.

15-17. Uno de 10s satelites de Jupiter realiza su revoluci6n completa e n 1,5 x x 104 seg; la 6rbita puede considerarse circular de radio 9,2 x 107 m. Calcdlese la masa de Jupiter y comparese con la de la Tierra.

15-18. LQUC peso tendrA en Jdpiter un hombre que en la Tierra pesa 80 Kg?

15-19. Calctilese la intensidad del campo gravitatorio creado por una varilla delgada y uniforme de longitud L y masa M en un punto P situado sobre el eje longitudinal de la varilla, a una distancia A de uno de sus ertremos.

15-20. a) DemuBstrese que la intensidad del campo gravitatorio en un punto

6) LA qu6 distancia del centro del arco sera maxima la intensidad del campo?

15-21. La intensidad del campo graritatorio en un punto situado en el eje de un arco circular es la calculada en el problema 15-20. a ) DemuBstrese que en ausencia de cualquier otro campo gravitatorio salvo el debido a1 arco, si se coloca una pequeiia masa m' sobre el eje del mismo a una distancia z, despreciable respecto a R, el movimiento resultante de m' sera armdnico simple. b) Deduzcase una expresion para la frecuencia de las oscilaciones.

15-22. Una varilla delgada de masa m se dobla en forma de semicirculo de radio R (Fig. 15-16). a) LCud es el poten- cia1 gravitatorio en el punto P? b) LCuAl es la magnitud de la intensidad del campo gravitatorio dG en P, debido a1 elemento dm? Indlquese el vector dG en un diagrama. c) iCuAles son las componentes X e Y del vector dG? d ) HAllese la intensidad resultante del campo gravitatorio en P.

HIDROSTATICA Y TENSION SUPERFICIAL

16-1. Introducci6n.-El tCrmino hidrosiaiica se aplica a1 estudio de 10s fluidos en reposo, y la palabra hidrodincimica a1 estudio de 10s fluidos en movimiento. La parte especial de la hidrodinamica que se ocupa del movimiento de 10s gases, y del aire en particular, se denomina aero- dincimica.

Un fluid0 es una sustancia que puede fluir. Por consiguiente, la deno- minaci6n de fluidos incluye tanto a 10s liquidos como a 10s gases, pero mientras que un liquido, si bien adopta la forma de la vasija que lo contiene, tiene un volumen definido, un gas, por el contrario, llena completamente el volumen de cualquier recipiente que lo contenga, por grande que sea este. Los liquidos y 10s gases se diferencian notablemente en sus coeficientes de compresibilidad; y asi, mientras que un liquido es pricticamente incompresible, un gas puede ser facilmente comprimido. En el estudio que vamos a hacer puede despreciarse la pequeiia varia- ci6n de volumen que experimenta un liquido por la acci6n de una presi6n.

Los fl6idos difieren tambiCn unos de otros por su viscosidad, tCrmino que hace referencia cualitativa a la facilidad con que pueden fluir. La viscosidad de un gas es extremadamente pequefia. Liquidos tales como el agua, el petr6leo y el alcohol poseen viscosidades mucho menores que las de la glicerina, las melazas o el aceite pesado. Una sustancia como la pez se encuentra en el limite de separacion entre liquido y solido. Uha masa de pez se rompe con un golpe como un s6lid0, pero si C O ~ O -

camos un trozo sobre una superficie horizontal, se extenderh a1 cab0 del tiempo formando una capa delgada; puede considerarse, por tanto, como un liquido de gran viscosidad. Por ahora, supondremos que 10s liquidos son no viscosos e incompresibles.

16-2. Presi6n en un flGido.-Un fluido (liquido o gas) encerraG0 en un recipiente ejerce fuerzas contra las paredes del mismo, y en w t u d de la tercera ley de Newton, las paredes ejercen fuerzas directamente opuestas sobre el fluido encerrado. El valor de la presidn en u n punto se define como la raz6n de la fuerza d F ejercida sobre una pequefia superficie d A que comprenda a este punto, a1 Brea d d :

La presion se expresa en Kg/m2, newlm2, dinaslcmz o libras/pie2 en 10s sistemas de unidades que empleamos.

Si un fli~ido se encuentra en reposo, la fuerza ejercida por 61 contra cualquier elemento de superficie de la pared es perpendicular a dicha superficie, y la fuerza ejercida por la pared sobre el fluido es tambibn normal a la pared. Esto resulta evidente cuando comprobamos que un fli~ido no puede soportar permanentemente esfuerzos cortantes. Cualquier fuerza tangencial ejercida sobre el fluido por las paredes constituiria un esfuerzo cortante y produciria un deslizalniento del fluido paralelo a la pared. Si el liquido esta en reposo no hay tal desplazamiento; por consiguiente,no hay fuerza tangencial, y la fuerza es normal a la superficie en cualqoier punto.

Lo mismo se cumple para cualquier area que consideremos dentro del fluido. Un pequefio cub0 de fli~ido, que tenga una orientaci6n cualquiera, estfi sujeto a fuerzas dirigidas hacia adentro y perpenciicularcs a sus caras. Inversamente, en cada cara del cubo el fluid0 interior ejerce una fuerza perpendicular a la cara sobre el fluid0 que lo rodea. Dentro del fluido esiste, por consipiente, un estado de tension, analog0 a1 del esfuerzo longitudinal que se produce en una barra sometida a compresibn, con la diferencia inlportante de que las fuerzas en cualquier plano imaginado en el fluido, sea cual fuere la orientaci6n de aquC1, son perpendiculares a 61. Esto es lo que se quiere decir cuando se afirma q u e ela p r e s i 6 ~ en un fluido actda en todas direccionesn. La presibn no es una

magnitud vectorial y no puede asig- d j - pdrdz nQrsele una direccibn, pero la fuerza 1 d7 ejercida por el fl6ido en una cara

del jr sobre el fluido en la otra cara, forma un ingulo recto con el p l a n ~ , cualquiera que sea la orientaci6n de Cste.

9 Es un llecho conocido que la presi6n atmosfkrica disminuye a1 + aumentar la altura, y que la pre-

~ ~ d r d y d z si6n en un lago o en el oceano FIG. 16-1.-~ucrzas sobre un clcmento de aumenta a1 crecer Ia profundidad.

fldido. Vamos a tleducir a continuaci6n la relaci6n existente entre !a pre-

sion y la altura en un fluido. Un pequelio cub0 de flliido (Fig. 16-1) se encuentra en equilibrio bajo la accibn de las fuerzas dirigidas hacia su interior ejercidas sobre sus caras por el fl6ido que lo rodea, y por su peso. Las fuerzas horizontales ejercidas sobre caras opuestas son evidentemente iguales y opuestas, per0 la fuerza hacia arriba que actlia sobre la cara inferior del cub0 debe exceder a la fuerza ejercida sohre su cara superior, lo suficiente para equilibrar el peso del fluido contenido en el cubo. Representarnos por p y p + dp las presiones sobre las caras superior e inferior, y Sean dx, dy y dz las dimensiones del cubo. La densidad del flliido la representaremos par p. De las condiciones de equilibrio podemos escribir:

( p + d p ) d z d z = pdxdz + pgdxdydz, espresibn que, una vez desarrollada y simplificada, se reduce a

d~ = ~ 9 d ~ 7 [ I 6-21 que es la ecuaci6n general que relaciona la variaci6n d e presi6n con la altura. (La coordenada y se considera positiva cuando se mide hacia abajo.) ObsCrvese que el producto pg es el peso por unidad d e volumen del flbido, o sea, su peso especifico.

Vamos a aplicar esta ecuacibn para caIcular la presi6n en un punto situado por debajo de la superficie de un liquido en una vasija abierta (Fig. 16-2). Si el liquido es incompresible, su densidad, p, es una constante independiente d e p e y, y l a ecuacion puede integrarse inmediatamente, resultando --. Y --

P = pgy f C,

en la que C es una constante de integraci6n. Si representamos por po la presi6n en l a superfi-

cie del liquido, donde y = 0, entonces po = C y FIG. 16-2.

P = PO -I- PgY- [16-31

Esto es, la presi6n p a una profundidad y por debajo de la superficie d e un liquido es igual a la presion po en l a superficie, m6s el producto del peso especifico por la profundidad. ObsQvese que la forma del recipiente no afecta a la presibn, p que la presi6n es la misma en todos 10s puntos situados a la misma profundidad. Se deduce de la Ec. [l6-31 que si la presi6n po aumenta d e algtin modo, p. ej., ajustando un pistbn sobre la parte superior y cjerciendo una presi6n hacia abajo sobre el, la presi6n p, a determinada profundidad, aumenta exactamente en la misma cantidad. Este hecho fue enunciado por el cientifico frances Blas Pascal (1623-1662), en 1633, y se conoce.con el nombre de principio de Pascal, que se enuncia frecuentemente asi: ((La presi6n aplicada a u n flliido encerrado se transmite sin disminuci6n a cada punto del f l s d o y de las paredes del recipiente.0 Vemos ahora que no se t r a t a d e un principio independiente, sino d e una consecuencia necesaria d e las !eyes d e la mecanica.

Hagamos aplicaci6n de la Ec. [16-21 a la atmosfera terrestre. Resulta m8s c6modo medir y hacia arriba a partir d e la superficie terrestre, con lo cual la Ec. [16-21 s e escribe;

d p = -pgdy.

Un gas no es un! flliido incompresible, sin0 que su densidad varia con la presibn y la temperatura, de acuerdo con la ecuaci6n de 10s gases (vCase Sec. 22-3):

PM p = - RT '

donde p es la presion, 34 el peso molecular, T la temperatura absoluta, y R, una constante universal. Por tanto, para un gas:

Si suponemos que la temperatura de la atmbsfera es independiente de la altura (lo que no es una hipdtesis correcta), se tendri:

Si PO representa la presi6n atmosf8ica en la superficie de la Tierra, MSY

en la cual y = 0, se tiene In po = C y In p/po = - -- , o bien: RT

Esta relacibn se llama a veces ecuacidn barome'lrica. 16-3. Mantimetro.-El tipo m i s sencillo de manometro es el tub0

g. abierto representado en la figura 16-3. Se trata de un tub0 en forma ; de U que contiene un liquido; uno de 10s extremos del tub0 se encuentra

a la presihn p que se desea medir, mientras que el otro extremo es t i en comunicacidn con la atm6sfera. El punto m i s bajo de la U puede suponerse que corresponde a1 fondo de cada una de las columnas del tubo. L a presibn debida a la columna de la izquierda es

mientras que la debida a la columna de la derecha es

(p es la densidad del liquido del manbmetro). Puesto que estas dos pre- s h e s se refieren a1 mismo punto, son iguales; por tanto,

P + pgx = Po + pg(x + h),

P I 4

i La diferencia de alturas entre las columnas liquidas es, por consiguiente,, proporcional a la diferencia entre la presion p y la presibn atmosfCrica po. Esta

t I diferencia, p - po, se denomina presidn rnanomilrica,

I mientras que la presi6n p es la presidn absolula. I El - bardmetro de mercurio es sencillamente un

FIG. 16-3.-Tubo ma- nometrlco tub0 en U con una rama cerrada en !a que se ha

hecho el vacio, d e mod0 que la presihn en la parte mAs elevada de esta rama es cero (Fig. 16-4). Es facil demostrar que

siendo po la presi6n atmosfkrica, y h, la diferencia de altura entl-c 10s niveles de las columnas de mercurio en las dos ramas del barbmetro. Puesto que la presibn es proporcional a la altura h, es costumbre expresar la presion

- atmosfkrica (y las otras presiones tambiCn) en cenlimeiros de mercurio. ObsCrvese, sin embargo, que un cenlfmelro de mercurio no es una unidad de presion. (La presidn es la razbn de una fuerza a una superficie.)

E J E > ~ P L O . - ~ ~ C ~ ~ ~ S ~ la presi6n atmosfBrica correspondiente a un dia en que la altura barometrica es de 76,O cm.

La altura de la columna de mercurio depende de s y de g, lo mismo que la presi6n atmosferica. Por tanto, han de conocerse la densidad del mercurio y la aceleraci6n local de la gravedad. La densidad varla con la temperatura, y g con la latitud y la ele- vaci6n sobre el n i ~ e l del mar. Todos 10s barbmetros de precisi6n esthn provistos de un term6metro y ae una tabla. en la cual se encuentran las correcciones debidas a la temperatura y a la altura. Si suponemos g = 9SO cmlseg2 y p = 13,6 g/cm3,

.. (Aproximadamente un mi11611 de dinas por centirnetro cuadrado.) En rlnidades anglosajonas:

76 cni = 30 pulg = 2,s pies; pg = 850 lblpies; po = 2120 Ib/piez = 1-1, i Ib/pulg2.

La presidn atmosfCrica puede expresarse tambien en Kglcrn2. AsI, en el ejemplo anterior.

pu = 76 x 13,6 = 1033 glcmz = 1,033 Kglcrn?

Una presion de 1,013 x 106 dinaslcm* o de 1,033 I<g/cm3, se denomina una almdsfera. Una presi6n de un millon de dinas por centimetro cuadrado se denomina uri bar, P = 0 y una presi6n mil veces menor es un milibar. Eviden- temente, 1 bar = 1000 milibares. Las presiones at- mosfCricas son del orden de 1000 niilibares, siendo esta unidad la adoptada internacionalmente para la medida de presiones atmosfCricas.

Los ingenieros de sonido han adoptado con poco acierto la expresibn bar para designar una presi6n de 1 dina/cme, y esto puede ocasionar alguna con-

7 fusihn, si bien en cada caso inmediatamente se ad- vierte la unidad a que se hace referencia.

El manbmetro de Bourdon es un tip0 de man6- metro miis adecuado para muchos fines que el ma-

i nbmetro de liquido. Consiste en un tub0 aplastado de

FIG- 16-4.-Hnr6- latbn, cerrado por un extremo y dohlado en forma de metro.

I \ 322 H I D R O S ~ T I C A Y T E N S I ~ N SGPERFICIAL [CAP. 16 SEC. 16-51 ESTABILIDAD D E UN BARCO

'TI! 1 323

circunferencia. El extremo cerrado del tub0 es t l unido por medio de un pifion y una cremallera a una aguja que se mueve sobre una escala. El extremo abierto se halla conectado a1 aparato dentro del cual se quiere medir la presi6n. Cuando se ejerce pi*esion dentro del tub0 aplastado, &te se endereza ligeramente, como se estira una manguera doblada de goma cuando se hack entrar agua en su interior. El movimiento resul- t a n k del estremo cerrado del tubo se transmite a la aguja indicadora.

16-4. Principio de Arquimedes.-Es un hecho experimental conocido que un cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluid0 es empujado hacia arriba por 61. Como ocurre con el principio de Pascal, la explicacibn de este fenomeno se deduce directamente de las leyes de la mecanica y no depende de ninguna propiedad especial del fluido. La figura 16-5 representa un cuerpo que tiene forma de cilindro recto, de altura h y seccion A, sumergido en un fluido de densidad p. Las fuerzas horizontales ejercidas sobre el cilindro por el fluido dan evidentemente una resultante

nula, y no han sido indicadas. Sobre la cara su-

I p * , perior del cilindro, el liquid0 ejerce una fuerza hacia abajo, Fl, dada por

I

siendo x la profundidad de la cara superior del cilindro. Anilogamente,

F2 = p2A = [PO + pg(x + h)lA.

La fuerza resultante hacia arriba, o empuje, es

F2 - Fl = pgh.4.

Frr.. 16-5.-El empuje es Pero hA es el volumen del cuerpo, y pg es el igual a1 peso del Iltiido peso por unidad de volumen del fluido. Por consi-

!* % desplazado. huieite, oahA es el Deso de un volumen de fldido . - " . , ., igual a1 volumen del cuerpo o, con10 suele decirse, el ((peso del iluido des-

14 \ plazado,. Por tanto:

Un cuerpo sumergido en u n flfiido es ernpujado hacia arriba con u n a juerza igual a1 peso del jlriido desplazado.

Este es el principio de Arquirnedes. Aunque se ha deducido para el caso especial de un cilindro recto, puede dernostrarse que se cumple independientemente de la forma del cuerpo. Scgirn la leyenda, Arquirnedes (287-212 a. de J. C.) descuhrio este principio a1 tratar de resolver el problema de determinar si una corona del Rey Heran era o no de oro puro.

Si el cuerpo no eski totalmente sumergido en el fluido, el empuje es igual a1 peso de un volumen de fluid0 igual a1 volumen de la porci6n sumergida del cuerpo. Si un cuerpo puede desplazar un peso de fluido

igual a1 suyo antes de estar completamente sumergido, flotara, _v en caso contrario se hundira en el fluido.

Cuando se efectlian pesadas con una balanza sensible de anllisis, h a de hacerse una correccion debida a1 empuje del aire si la densidad del cuerpo que se pesa es muy diferente de la de las pesas patrones, que son ordinariamente de laton; p. ej., supongarnos un bloque. de mader, de densidad 0,4 g/cm3 equilibrado en una balanza de brazos iguales por pesas de laton de 20 g, y densidad 8,O glcm3.

El peso aparente de cada cuerpo es l a diferencia entre su peso x-er- dadero y el empuje ejercido por el aire. Si p,, pb y pa son las densidsdes de la madera, laton y aire, y V, y Vb son 10s volumenes de la ma-pra y el laton, 10s pesos aparentes son iguales, y se tiene:

La masa verdadera de la madera es pwV,, y la masa verdadera de ios patrones es pbVb. Por consiguiente,

Masa verdadera = p,V, = pbVb + p,(Vw - Va)

= masas patrones + p,(V, - Vb).

En el caso especial citado, I 20

VW = - 0,4 = 50 cm3 (muy aproximadamente);

Por consiguiente, I

hlasa verdadera = 20,062 g. I Si las medidas se hacen con la precision de un miligramo, es e v i d m t e

que la correcci6n de 62 mg es de la mayor importancia. 16-5. Estabilidad de un barco.-El principio de Arquirnedes dz el

valor del empuje, pero no su linea de acci6n. Puede demostrarse que pasa por e! centro de gravedad del fluido desplazado. Esto tiene una gran

I importancia en relacion con el problema de la estabilidad de un cu?rpo flotante, tal como un barco. La figura 16-6 representa una seccion del casco de un buque cuando navega normal y cuando esta cscorado. El

i I

c en- peso w y el empuje B originan un par de sentido ta1 que tiende ,- derezar el barco.

I El punto a, en el cual la linea de acci6n del empuje c o d a a la linea' 1-Y,

I se denomina melacenfro, y la distancia ca es la dislancia metace'ntrica. I Cuanto mayor es la distancia metacentrica, tanto mayor es la estrbili- i

I .

dad, pues el par enderezador es el mismo que si el barco estuviera suspendido de un eje que pasase por eI metacentro.

Si la linea de accibn

Y r de B corta a YY en un

I punto situado por debajo del centro de gra-

d vedad, el barco queda inestable y volcari.

16-6. Paradoja hi- drostiitica.-Si se establece comunicacion entre un cierto n h e r o de vasijas de diferentes formas, seglin indica la figura 16-7, se observa que un liquido vertido

I:I&. 16-6.-F11eru\ sobre un barco. El ponto u ez el meta- en ellas alcanza el mis- centro.

mo nivel en todas. An- tes que 10s principios de

la hidrostatica fueran correctamente interpretados, esto parecia un fen& meno enigmatic0 y se le llamo paradoja hidrostatica. Parecia, por ejemplo,

I : a primera vista que el vaso C debia ejercer una mayor presi6n en su r . base que el vaso B, y, por consiguiente, que el liquido debia estar obli-

#ado. a pasar de C a B. Sin embargo, si tenemos en cuenta la Ec. [16-31, que establece que la

presi6n depende linicamente de la profundidad por debajo de la superficie del liquido, y que no depende en absoluto de la forma de la vasija que lo contiene, resulta que, por ser la profundidad del liquido la misma en todos 10s vasos, la presi6n en la base de cada uno es la misma y, por tanto, el sistema esta en equilibrio.

Para comprender mejor el fen6meno podemos dar una explicaci6n mas clctallada. Consideremos la vasija de la figura 16-8. Las fuerzas ejer-

1 2 1 ~ . 16-7.-El liquid0 alcanza el mlsmo ni- PIG. 16-8. vel en todas las vasijas.

cidas contra el liquido por las paredes estan representadas por flechas, siendo la fuerza en cada punto .perpendicular a la pared del recipiente.

, Las fuerzas en Ias paredes inclinadas pueden descomponerse en sus componentes vertical y horizontal. El peso del liquido correspondiente a

t SEC. 16-71 FUERZAS CONTRA UN DIQUE 325

.c . . ! I . .. .. las partes seialadas con A es sostenido por las componentes verticales .' . A,.. de estas fuerzas. Por tanto, la presi6n sobre el fondo de la vasija es de- . ~

;i bida unicamente a1 peso Be1 liquido contenido en la columna cilindrica B. +: ., ; - 2 . Consideraciones analogas son aplicables a cualquier recipiente, sea cual - .

I '$. fuere su forma.

f 16-7. F u e m contra un dique.-El agua alcanza una altura h en la

pared vertical de un dique (Fig. 16-9), y ejerce una determinada fuena . resultante que tiende a deslizarlo a lo largo de su base, y un cierto mo-

I t i - mento que tiende a volcar el diquealrededor del punto 0. Se desea calcular

- la fuerza horizontal y su momento. . .

C i

PIG. 16-9.-Fuerzas sobre un dique.

La figura 16-9 (b) representa la cara del dique que se encuentra frente a la masa de agua. La presi6h a una profundidad y es:

(NO es necesario tener en cuenta la presion atmosferica, puesto quc actua tambien contra la otra cara del dique). La fuerza contra la franja rayada es:

dF = pdA = pgy x L d y ; . . y la fuerza total,

El momerito de la fuerza d F respecto a un eje que pasa por 0 es:

El momento total respecto a 0 es:

19 326 HIDROST~TICA Y TENSION SUPERFICIAL [CAP. 16 SEC. 16-81 F ~ S I C A DE LAS SUPERFICIES 327 -- -

lrn Si es H la altura por encima de 0, a la cual hubiera tenido que actuar

I * \ la fuerza total F para producir el mismo momento, se tiene: '-

Por consiguiente, la linea de acci6n de la resultante se encuentra a 1,'3 de la altura por encima de 0, o sea a 213 de profundidad por debajo de la superficie.

16-8. Fisica de las superficies.-Un liquido que fluye lentamente del extremo de un cuentagotas o de una bureta, no sale en forma de una corriente continua, sino como una sucesi6n de gotas. Una aguja colocada con cuidado sobre la superficie del agua produce una pequeiia depresion en la misma y queda flolando. Cuando un tub0 de vidrio limpio' de pequeiio diimetro se introduce en agua, Csta se eleva en el tubo; a1 liacer la misma experiencia con mercurio, el liquido forma una de- presi6n. Todos estos fendmenos y muchos otros de naturaleza analoga, estan asociados con la existencia de una superficie limite entre un liquido y cualquier otra -sustancia. El estudio de 10s fen6menos superficiales es un tema de creciente inter& en multiples ramas de la ciencia pura y aplicada.

Para comprender el origen de estos efectos de superficie es necesario algun conocimiento acerca de 10s tamaiios y distancias relativas de las moleculas de un liquido, asi como de las fuerzas existentes entre las mismas. Sin embargo, el desarrollo hist6rico ha seguido el camino opues- to, por lo que una gran parte de nuestro conocimiento actual acerca de las molCculas se ha obtenido del estudio de 10s fenbmenos que estamos considerando. En primer lugar, por razones experimentales de origen muy diverso, que serAn en parte descritas en el capitulo XXIV, sabemos que las dimensiones de las moleculas son del orden de 2 a 3 x 10-8 cm. Sabemos tambien que una molCcula gramo de cualqnier sustancia contiene, aproximadamente, 6 x 1023 molCculas, y que en condiciones normales, una molCcula gramo de un gas ocupa 22,4 litros, o sea 22 400 cm3. El volumen por molicula en un gas en condiciones normales es, por ianto, .22 400 : 6 x iOz = 37 x 10-2' cm3, aproximadamente. Podemos imasinar un gas subdividido en minuscules cubos de este volumen con, por termino medio, una molecula en el centro de cadaeubo. L a distancia media entre las molCculas sera 'asi igual a la arista de uno de estos cubos; es decir, v 3 7 x 10-21 = 3,4 x 10-7. cm, que es unas diez veces el tamafio de la molCcula.

Calculemos ahora la distancia kntre las moleculas de un liquido. Una molCcula gramo de agua en el e'stado liquido ocupa un volumen de 18 cm3. El volumen por molecula es 18 : 6 x 1023 = 30 x 10-24 cm3,y la distancia media intermolecular es -$6l x 10-24 = 3 x 10-6 cm, aproxi-

madamente, que viene a ser el tamaiio de las propias molCculas; es decir,' que las molCculas de un liquido se encuentran practicamente en contacto unas con otras.

lQuC podemos ahora decir de las fuerzas que actdan entre las molCcu- las? Hasta el presente nuestros conocimientos acerca de estas fuerzas no son suficientes para dar una interpretacibn completamente satisfactoria de 10s fen6menos superficiales en funci6n de aquellas, y aunque pueden darse explicaciones plausibles de 10s hechos experimentales,-se aconseja a1 lector cierta reserva a1 aceptarlos. Naturalmente, existe una fuerza de atraccion gravitatoria entre cada par de mol6culas, la cual resulta despreciable comparada con las fuerzas que estamos ahora considerando. Las fuerzas que mantienen unidas entre si las moleculas de UP liquido (o de un solido) son, a1 menos en parte, de origen electric0 y no siguen la conocida ley de pro- c porcionalidad inversa a1 cuadrado de la distancia. Si la separacidn de ; las molCculas es grande, como sucede en un gas, la fuerza es atrac- -0

tiva y de magnitud muy pequeiia. Esta fuerza atractiva aumenta a1 " comprimir el gas, con lo que sus 2 moleculas se aproximan. Del hecho d e ser necesarias enormes presiones $ para comprimir un liquido, es decir, % para reducir el espaciamiento nor- 4 ma1 de las molCculas en estado liquido, deducimos que cuando estos b espaciamientos son s610 ligeramente 2

Separaci6n

inferiores a las dimensiones de una Frc. 16-lo.-~uerza intermolecular en fun-

mol6cula, la fuerza es repulsiva y ci6n de la separacidn.

relativamente grande. La variacidn de la fuerza con la separaci6n debe ser an5loga a la representada en la figura 16-10. Para grandes separaciones, la fuerza es atractiva y extraordinariamente pequeiia. La fuerza atractiva aumenta a1 principio a1 disminuir la separacibn, despuCs se anula y se convierte en una fuerza repulsiva en cuanto la separacidn es inferior a ro.

Ur, par de molCculas estara en equilibrio cuancio la distancia enire sus centros sea igual a1 ro de la figura 16-10. Si se separan ligeramente, la fuerza existente entre ellas es atractiva y tenderan a aproximarse. Si se aprqximan a una distancia inferior a ro, la fuerza se hace repulsiva y las mol6culas tenderan a separarse. Si se las separa o se las acerca, dejhndolas despuCs abandonadas a si mismas, oscilarQn en torno a su distancia de equilibrio ro. Desde un punto de vista energetico, la separacidn ro para la cual la fuerza se anula, corresporlde a la energia potencial minima, lo que, seglin hemos visto en el capitulo VIII , corresponde a una posicidn de equilibrio.

llientras que el comportamiento de dos molCculas es facil de repre-

sentar intuitivamente, no lo es la descripci6n de lo que sucede cuando coexisten grandes nfimeros de molCculas, como las contenidas en un liquido. La naturaleza general del problema, a1 menos por lo que se refiere a1 interior del liquido, no difiere mucho, sin embargo, del caso de dos molCculas. Naturalmente, sabemos que debido a su energia tCrmica (energia calorifica), las molCculas de un liquido es t in en movimiento continuo, y las imaginamos en vibracibn en torno a cierta posicion de equilibrio. La situation en las proximidades de la superficie de un liquido (es decir, a unos pocos diametros moleculares de la superficie) es bastante diferente. Supongamos una molCcula que se encuentra en la superficie liquida moviendose hacia el esterior. La no esistencia de molCculas exteriores que la repelan le permite efectuar un desplazamieilto mucho mayor que el que seria posible en el interior del liquido antes de quedar en reposo y ser acelerada hacia el interior por las molCculas que han quedado detras. En realidad sucede que si dispone de la suficiente energia cinetica puede escapar de la masa liquida, proceso que se denomina evaporacidn. Sin embargo, ahora nos interesa considerar aquellas molCculas que no consiguen escapar y que forman la capa exterior de la masa liquida. Estas estan continuamente realizando e~cursiones a distancias ligeramente mayores que la correspondiente a la separaci6n normal, para regresar de nuevo. En otras palabras, la mayoria de su tiempo transcurre ,*..

11 en una regibn en la que experimentan una fuerza atractiva hacia adentro.

- La circunstancia de que 10s entornos de estas molCculas situadas en la propia supcrficie o en sus proximidades difieran de 10s correspondientes a molCculas situadas en cl interior, da lugar a 10s efectos de superficie que estamos considerando.

16-9. Coeficiente de tensibn superficial.-Abandonando la descrip- cibn molccular de un liquido y de su superficie, traslademos nuestra atencibn a 10s hechos experimentales del problema. La mayoria de 10s fenbmenos asociados con la fisica de las superficies pueden describirse con ayuda de una sola propiedad medible de una superficie; es decir, a1 modificar la forma de un liquido de mnnera que se incremente el Qrea de su superficie, se requiere una cantidad definida de trabajo por unidad de Area para originar la nueva supcrficie. Este trabajo puede recuperarse cuando el 6rea disminuye, de mod0 que, aparentemente, la superficie es capaz de almacenar energia potencial.

Las consideraciones energkticas permiten dar una explicaci6n sencilla del hecho de que una gota libre de liquido adopte la forma esferica. He- mos visto cn el capitulo VIII que un sistema se encuentra en equilibrio estable cuando su energia potencial es minima. El estado de equilibrio de un liquido es, pues, aquel en que su superficie adopta el valor minimo compatible con otras restricciones. Por consiguiente, una gota libre de liquido toma la forma esfCrica por ser esta la superficie de area minima para un volulnen dado.

El trabajo que dcbe liacersc para incrementar la siiperficie d e un liquido ~-esulta proporcional a este incremento, y la constante de pro-

porcionalidad, o trabajo por unidad d e Area, se denomina coeficiente de fensidn superficial del liquido, y se representa por el simbolo y. El trabajo dW necesario para aumentar el area de una superficie liquida en la cantidad d A es, por tanto,

La tension superficial puede espresarse en cualquier unidad de energia por unidad de area, siendo la mas corriente 1 erglcm2 o 1 dina-cmlcm2, que evidentemente equivale a 1 dinalcm. Mas adelante explicaremos la raz6n de la denominacibn tensidn superficial. En la tabla 16-1 se dan algunos valores representativos.

TABLA 16-1.-Tension superficial (Liquidos frente a1 aire)

Sustancia y (dinaslcm) ! i I

Agua . . . . . . . . . . . . . . . . 72,8 ;Ucohol etilico . . . . . . . . . . . . 22,3 Benceno . . . . . . . . . . . . . . . 28,9 Slercurio . . . . . . . . . . . . . . . 465 Tetracloruro de carbon0 . . . . . . . . 26,8

Otra propiedad de una superficie liquida que resulta util para com- 14 prender muchos fen6menos superficiales es que en una superficie curva la presi6n sobre la cara convexa es inferior a la existente en la cara c6n- 4 cava. La magnitud de esta diferencia d e presiones en una superficie t cur-va puede deducirse facilmente a partir de la necesidad de realizar trabajo para originar nueva superficie.

Consideremos el experiment0 representado en la figura 16-11, en el que un tub0 cilindrico de pequeiio diametro interior (del orden de 1 mm) se sumerge en la superficie de un liquido contenido en una vasija de

I: dimensiones mayores, insuflando una pequeila burbuja de aire en su extremo inferior. A1 elevarse la presibn p en el tubo, aumenta el tamaiio

1: 7 / / / / ' 1 t

de la burbuja, incrementandose tam- , /

biCn el area de su superficie. Esto no / / / I

significa que la superficie ya existente - E l

I

/

se dilate en el sentido de lo que sucede / /

,' /

con un bal6n de caucho cuando se in- / /

traduce mayor cantidad de aire en su / / /

interior. L a separaci6n de las molCcu- /

las superficiales permanece constante a1 crecer el area, y las molkculas quel

1 se encontraban en el interior del liqui- - do pasan a la capa superficial con el

i fin de mantener constante en Csta el espaciamiento intermolecula~. FIG. 16-11.-Burbuja de aire formada cn

el extremo de un tubo. i

330 HIDROST~TICA Y TENSION SUPERFICIAL [CAP. 16 . -

Una burbuja de aire formada en el extremo de un tub0 como el de l a figura 16-11 sufre una serie de transformaciones complejas de forma antes de hacerse inestable y romperse fuera del tubo. Sin embargo, en el instante mismo en que se hace inestable, su forma se aproxima mucho a la de un hemisferio de radio R igual a1 radio del tubo. El Area de uri

La presi6n po sobre la cara convexa de una superficie esfCrica difiere, por tanto, de la presifin p sobre la cara c6ncava en la cantidad 2 y l R

La diferencia de presi6n a travCs de una superficie cilindrica se obtiene en forma analoga. Supongamos que la figura 16-11 representa dos placas de vidrio sumergidas en un liquido; la semicircunferencia corresponde a Ia secci6n recta de una burbuja de aire semicilindrica. (Se des precian 10s efectos en 10s extremos.) El Brea de media superficie cilindrica de radio R y generatriz L es:

hemisferio es A = 2xR2,

y si el radio de la burbuja experimenta un incremento igual a dR, el incremento de superficie ser8:

dA = 4xRdR. El insremento de area a1 incrementar R en dR sera: El trabajo necesario para crear esta superficie es, de acuerdo con la

Ec. [16-71, dW = 4xyRdR. [16-8] 4 jc- Pared Liquido

y el trabajo realizado para origi- (a)

nar la nueva superficie es:

dW = xyLdR. \ \ e

El trabajo que se precisa para incrementar la superficie de la burbuja puede expresarse tambien en funci6n de las presiones existentes en sus caras cbncava y convesa, y a1 igualar dichas expresiones del trabajo se deduce la diferencia de presi6n existente entre ambas caras de la superficie. Sea p la presi6n del aire en el interior del tub0 de la figura 16-11, que es la existente sobre la cara c6ncava de la superficie; la presi6n que a c t ~ a sobre la cara convexa es sencillamente la presi6n atmosfCrica po, puesto que la burbuja es tan pequeiia que puede despreciarse el incremento de presi6n hidrostAtica debido a la profundidad por debajo de la superficie del liquido que la rodea. Consideremos una pequeiia por- ci6n, de Area dS, de la superficie semiesfkrica. La fuerza neta que a c t ~ a sobre ella es

@ - P O W ,

El trabajo efectuado por las fuerzas de presi6n vale:

dW = @ - po)xRLdR. -- Por consiguiente,

y en el proceso de aumentar el tamafio de la burbuja esta porcion se desplaza radialmente una distancia dR. El trabajo realizado sera igual a1 product0 de la fuerza por el desplazamiento, es decir:

La diferencia de presiones es, por (4 tanto. la mitad de la existente a

Si se integra esta espresi6n sobre todos 10s elementos de superficie dS, se encuentra que el trabajo total realizado por ias fuerzas de presibn es:

travks de una superficie esfirica FIG. 16-12.-La superficie del liquid0 es

del mismo radio. perpendiczlzr a lz cuera resultante.

Por tanto, en virtud de la Ec. [16-81, L a espresi6n que da la diferencia de presi6n a traves de una superficie arbitm- ria se deduce por el mismo metodo utilizado en el caso de una esfera y de un cilindro. Cualquier pequeiia porci6n de superficie alabeada puede adnptarse a ulla superfici? con diferentes radios de curvatura en dos direcciones ortogonales entre sf. Si estos radios, llamados radios principales de curvatura, se designan por R1 Y Re, la exp* si6n general de la diferencia de presiones es:

I-. (

332 HIDROSTATICA Y TENSION SUPERFICIAL [cap. 16

Las relaciones deducidas para la esfera y el cilindro son casos particulares de la ecuacidn anterior. Todos 10s radios de curvatura de una superficie esf6rica son iguales al radio de la esfera, R. Si RI = Re = R, de la Ec. 116-111 se deduce:

Uno de 10s radios de curvatura de un cilindro es infinito, y el otro, igual a1 radio del cilindro. Por consiguiente, en el caso del cilindro:

16-10. Angulo de contact.0.-Consideramos ahora las molCculas de un liquido pr6ximas a las paredes de la vasija que lo contiene o en la proximidad de un cuerpo sumergido en el mismo. Sobre estas molCculas actcan fuerzas de cohesidn ejercidas por otras molCculas del liquido, y fuerzas deadherencia debidas a las moldculas de la pared. La figura 16-12(a) representa un liquido en contacto con una pared. El punto negro representa una molCcula de la capa superficial; el vector f, es la fuerza de adherencia entre ella y la pared, y el vector f , la fuerza de cohesi6n existente entre la mol6cula y el liquido. La resultante de estas fuerzas se determina por el metodo usual de composici6n de vectores.

P: ;.$ Si las fuerzas de adherencia y cohesi6n tienen las magnitudes'relativas , indicadas en la figura 16-12 (b), la fuerza resultante f tendri la direcci6n

representada, y corno un liquido s610 puede estar en equilibrio cuando en todo punto de su superficie la fuerza ejercida es normal a aquella, la tangente a la superficie en el punto de contacto tiene que ser ortogonal a la fuerza resultante f.' El angulo 0 se denomina cingulo de conlaclo.

Si las fuerzas de adherencia y cohesi6n tienen las magnitudes relativas indicadas en la figura 16-12 (c), la superficie liquida sera convexa y el Angulo de contacto mayor que 900. En general, si la adherencia es mayor que la cohesibn, el ingulo de contacto es pequeiio, mientras que si sucede lo contrario, dicho angulo es grande. El angulo de contacto entre

. . agua pura y vidrio limpio es casi nulo; entre agua y plata es, aproximadamente, de 900, y entre mercurio y vidrio es de unos 1400. Sin embargo, pequelias cantidades de impurezas pueden producir grandes variaciones en 10s valores dichos.

Cuando es pequefio el Angulo de contacto entre un liquido y una superficie, se dice que el liquido moja a la superficie. Si el angulo es grande

, aqu6l no moja a la superficie. Asi, el agua moja a1 vidrio limpio, mientras que el mercurio no lo moja. Se puede ver, sin embargo, que es posible cualquier angulo de contacto, no existiendo una distinci6n precisa entre mojar y no mojar.

16-11. Ascenso capilar en un tubo.-Uno de 10s efectos superficiales mas familiares es la elevaci6n de un liquido en un tub0 abierto de pe-

t queiio diametro. En realidad, el termino capilaridad, muy utilizado para describir todos estos efectos superficiales, debe su origen a que tales

SEC. 16-1 l ] ASCEXSO CAPILAH EN UN TUBO 333

FIG. 16-13.-Elex-ocion dr un liquldo en un tubo capilor.

tubos se denominan capilares, es decir, sernejnnfes a cabellos. Puede considerarse que el proceso tiene lugar en dos etapas.

Supongamos primer0 que el nivel del liquido en el tub0 no asciende, corno en la figura 16-13 (a). Las fuerzas de cohesicin y adherencia obligan a la superficie liquida interior a1 tub0 a adoptar la forlna indicada. Esta superficie curva se denomina menisco. Puesto que el tub0 esta abierto a la atmbsfera, la presi6n del aire sobre la cara superior del menisco es la presi6n atmosfbrica, po. La diferencia de presi6n existente a travCs de toda superficie cunra significa que la presi6n inmediatamente por debajo del menisco es inferior a la atmosferica, y, por tanto, menor que la presi6n que existe en 10s puntos inmediatamente por debajo cle la superficie plana del liquido que lo rodea. E n consecuencia, el sistema no est5 en equilibrio, y el exceso de presi6n del liquido inmediato obliga a que este ascienda por el tubo. Esta explicaci6n del ascenso capilar resulta mas satisfactoria que la de suponer que el liquido experimenta un iirdn hacia arriba del tubo, aunque veremos en la seccibrl 16-12 el partido que puede sacarse de este ultimo punto de vista.

La elevacibn del liquido en el tubo continuar8 hasta que la presi6n en el punto P de la figura 16-13 (b ) se iguale a la existente a esta misma altura en el liquido restante, que no es otra que la presi6n atmosferica Po. La altura h alcanzada por el liquido se calcula de la forma siguiente: En una primera aproximacibn, bastante aceptable, el menisco puede considerarse corno una porci6n de superficie esferica. De acuerdo con el diagrama, el radio R de esta esfera es

I' R = cos 0 '

siendo r el.radio del tubo, y 0, el angulo de contacto. La presi6n p' in- rnediatamente por debajo del menisco es, en virtud de la Ec. [16-91 (recuerdese que la presi6n sobre la cara c6ncava del menisco es ahora po),

C 5 f I''

P

P 9

r.ul

'( 4

v +

*f +Y

fi-

e

I t '

pl9

If 9

k4

F* .

y puesto que 10s subindices s e refieren a dos puntos cualesquiera situados - a lo largo del tubo, podemos escribir:

1 p + - pv2 + pgh = constante.

2 [I 7-51

Tanto la Ec. [ I 7 4 1 corno la Ec. [17-51 pueden considerarse como expresibn maternatica del teorema de Bernoulli.

Obsenese atentamente que p es la presibn absolula (no rnanombtrica) y ha de expresarse en kilograrnos por metro cuadrado, newtons por metro cuadrado, dinas por centirnetro cuadrado o libras por pic cuadrado. La dcnsidad p tiene que expresarse en unidadcs tbcnicas de rnasa por metro cubico, kilograrnos por metro c~ibico, grarnos por centimetro cubic0 o slugs por pie cubico.

17-3. Gasto de un tubo.-La figum 17-3 representa el extremo abier- t o d e un tub0 de section transversal A, dcl cual estA saliendo un liquido con una velocidad u. La cantidad de liquido que sale en el tiempo t es la contenida en un cilindro de seccibn A, que se prolonga dentro del tub0 una longitud vl. E n otras palabras, cada punto dcl liquido quc se encuentra en este instante en la seccibn puntcada habrh alcanzado, a1 cab0 del tiernpo 1, justamente el extremo del tubo, y todo el liquido situado eritre dicha seccion y el extremo del tub0 habra salido en el tiernpo citado. Por consiguiente, en el interval0 de tiempo t ha salido un volumen de liquido igual a Aul, y el gasfo, Q, es:

Q se expresa en m3/seg, cmslseg o pies3/seg, si se han utilizado las unidades adecuadas para A y u.

Xi un liquido incompresible llena cornpletarnente el tub0 en todo= 10s puntos, debe pasar el mismo vo-

6 I - lumen dc liquido por cada sec-

-7--* cibn transversal, en Iln tiempo

I-O'J \ dado, que el que sale por cl extrerno del tubo. Si no fucsc asi, el volurnen de liquido entre la

FIG. 17-3.--~asto do ULI tuba. \ seccibn transversal y el cxtremo aumentaria o disminuiria. Por

consiguiente, si A1 y ul, figura 17-3, son el Qrea y la velocidad en cualquier otro punto del tubo,

Q = AD = Alur = constante. [17-71

Esta es la llamada ecuacidn de continuidad, cuya consecuencia es que la velocidad es mhxima en 10s puntos en que la seccibn transversal es minima, y viceversa.

SEC. 17-41 APLICXCIONES DEL TEOREMA 111: Uk;ItNOULLI 31;

17-4. Aplicaciones del teorema de Bernoulli.--a) Las ecuaciones d e la 'hidrosthtica son casos especiales del teorema de Bernoulli, cuando la velocidad es nula en todos 10s puntos; p. ej., la variacibn de presion con la profundidad en un liquido incompresible puede encontrarse aplicando el teorema d e Bernoulli a 10s puntos 1 y 2 de la figura. 174 . Tenemos pl = po (atmosfCrica), ul = va = 0. Conternos las alturas a partir del plano horizontal correspondiente a1 punto 2. Entonces T

h2 = 0; hl = h, Y

PO + pgh = p2, o bien

P2 = Po + pgh,

que es la misma Ec. [16-31. b) Teorema de Torricel1i.-La figura 17-5 FIG. 17-4.

representa un liquido que sale por un orificio practicado en un deposito, a una profundidad h por debajo de la superficie del liquido en el depbsito. Tbrnese un punto 1 en la supcrficie y un punto 2 en el orificio. L a presion en ambos puntos es la presion atmosfl- rica, po, puesto que e s t in en comunicacion con la atmosfera. Tomemos como plano d e referencia el plano horizontal que pasa por el punto 2.

Si el orificio es pequeiio, el nivel del

HT liquido en el deposit0 descendera lentamente. Por consiguiente, vl es pequeiia y la supondremos igual a cero. Entonces

11 - 2% o bien v22 = 29h. [I 7-81

FIG. 17-5.-La velocidad d e salida Este es el teorema de Torricelli. Ob- es v = d 2gh. slrvese que la velocidad de salida es 12

rnisma que adquiriria un cuerpo que ca- yese libremente, partiendo del reposo, desde una altura h.

Si A es el Area d e la abertura, el gasto Q es:

A causa dq4a convergencia de las lineas d e corriente, cuando se a p r o i - man a1 orificio, la seccion transversal de la corriente continua disminuyendo durante un pequeiio recorrido fuera del depbsito, y, por tanto , en la Ec. [17-91 debe utilizarse el hrea de seccion minima llamada seccidn contrafda (uena confracfa). Para una abertura circular de bordes finos,

el area de la secci6n contraida es aproximadamente el 65 0/:, del Area del orificio.

c) Confador de Venfuri.-Est6 representado en la figura 17-6, y consiste en un estrechamiento producido en un tub0 y proyectado de forma que mediante una disminucibn gradual de la seccibn en la entrada y un aumento tambidn gradual en la salida, se evite la produccibn de

remolinos y quede asegurado un rdgimen estacionario. El teorema de Bernoulli, aplicado a la parte ancha y a1 estrechamiento del tubo, nos da:

P, A, p, A , (el tCrmino que contiene h

FIG. li-6.4ontador dc Venturi. desaparece si el tub0 es. horizontal).

Puesto que uz es mayor que s, se deduce que pa es menor que pl. Esto es, la presi6n en el estrechamiento es menor que en el resto del tubo. La diferencia de presiones puede medirse disponiendo lateralmente tubos verticales como indica la figura. Si h es la diferencia de alturas del liquid0 en 10s tubos, r\.

P1 - Pz = pgh.

El gasto, Q, se obtiene combinando el teorema de Bernoulli con la ecuacibn de continuidad. El resultado es:

Por consiguiente, si puede medirse la diferencia de presiones p l - pz, y se conocen las Areas A l ' y At, es posible calcular el gasto.

La disnlinuci6n de presibn en un estrechamiento encuentra muchas aplicaciones tCcnicas. El vapor de gasolina penetra en la tuberia de as- piracion de un motor de explosion par la baja presi6n producida en un tub0 de Venturi a1 cual estA conectado el carburador. La trompa de vacio es un tub0 de Venturi a travds del cual se obliga a pasar el agua, y el aire penetra en la regi6n contraida, que es donde el agua tiene menor presi6n. La bomba de inyecci6n usada por las locomotoras de vapor para hacer penetrar el agua desde el tdnder se basa en el mismo principio.

d) Tubo de Pitof.-En la figura 17-7 se ha representado un tub0 de Pitot tal como se dispondria para medir la velocidad de un gas en un tubo. Un tubo manomCtrico abierto se conecta, como indica la figura, a1 tub0 dentro del cual circula el gas. La presi6n en la rama izquierda del manbmetro, cuya abertura es paralela a la direccibn del movimiento del gas, es igual a la presi6n de la corriente gaseosa. La presibn en la

rania drrechn, cuya abcrtrlra cs pcrl)c~~dic~rlar a la corricntr. 1)ucde calcr~lnrse nplicantlo cl tcorema dc 13ernoulli a los pt111tos n y h. Scn U la vclocitl:~tl tlc In corricntc. p la dcnsitl;ltl tlcl gas, y pa In prcsi61i a en el ~ I I I I L O n. N;~lur:rlinc~~lc, la +- vclocidntl c ~ i r1 punlo b cs 11ula. EII tor~ces

1 p* = pa -1- -- pu?.

2

I'uesto clue pb (?s niayor (IUC

pa, desplnzn el liquitlo cor~lo dcl sr nianb~iictro inclica cn se la 3' I:IG. 17-7.-T'111)0 (I(! t ' i lol.

figura. Si po c!s In tlrnsid:~d tlcl liquido dcl rn:l1161i1c*lro. y h, 1:1 tlifcsrcllcia dc alturas tlrl liquitlo ell sus rnliias, tcr~c:~llos:

Ijina con 1:i a ~ ~ l r r i o r , rcsull:~:

ri-tlrtlor dr 1111 c h j v vcrtic.;~l. ,\ C:IIIS:I

tlrl r o z : ~ ~ ~ ~ i c l l l o c ~ i L r ~ I:I ~ ~ c l o l : ~ y cl :lire clue In rotlc:~, la prlol:~ c11 SII

roLnci011 :lrr;~sLr:l IIII:I c:11):1 tli~lg:~tl:~ di! :iirc~.

!,:I figura 17-8 (6) r o ~ ) ~ ' r s c ' ~ ~ I i ~ IIII:I prlol:~ cluic- l :~ c.11 I I I I : I t .o~.~.it~r~lr ( I t -

:lire qtrcb sc 11111cvi~ tlc tlc-r.rc.l1;1 :I iz- .",

q~~icrtl :~. It1 I I I I ) \ , ~ I I I I ~ * I I I ~ t i c b I:I t . 0 -

n-ic.111~ tic ai1.c a1 I)as:Il. ;~l~.c~dc*tlr)r t i t .

1;1 ~)c.lol:r cbs <,I I I I ~ S I I I ~ c111c si csL:~ csL11vict.a ~~lovii.l~tlosc c ~ r 1.1 :livr t.11

@- c:~lrlin. tlc izcluic-rtl:~ :I tlc~rc~li:i. Si 1;) pclotn sc 11111c~vc tlr ixcluicbrtl:~ a drrccha y gira :II I I I ~ S I I I O Lir1111)o. I:I

(4 vrlocitl:~tl rcbal tical :~irc. cn cl~:lltluicr pullto cs la rrs11lL:lntc tic ]:IS vvloci-

FIG. 17-8.--Trr1ycelor1n cllrvo dc una peloln cn rol11cl611. dadcs tlel ~ n i s ~ n o 1111nt0 i 3~ i (0) y (b).

I ./,-. -~ . . ... . - ~ .. .

'(I

B E n la parte superior del diagrama ambas velocidades tienen sentidos opuestos, mientras que en la parte inferior tienen el rnismo sentido.

, I L a parte superior del diagrama es una region de pequeiia \-elocidad y , , ' alta presion, mientras la parte inferior es una region de mayor velocidad

y menor presion. Hay, por consiguiente, u n exceso de presion que obliga ii a la pelota, cuando se mueve de

izquierda a derecha y'gira a1 m i s ~ rno tiempo, a desviarse de su trayectoria rectilinea, como se indica en la figura 17-8 (c).

f) Suslenlacidn del ala de un auion.-La figura 17-9 es la fotografia de un movimiento currentilineo de fluido alrededor de una secci6n que tiene la forma de un < . perfil de ala de avi6n bajo tres dn- gulos de ataque distintos. El apa-

. raio se cornpone de dos laminas de .: .' - ' vidrio paralelas separadas 1 mm, i - ' --dl--. aproximadamente. E l perfil, cuyo

espesor es igual a la separacidn de , I, --,,--__+_. ,- las lLrninas, esth sujeto entre ellas,

y corrientes alternadas de agua clam y tinta fluyen por gravedad

I( + r entre las laminas pasando por la seccion. Las fotoe-rafias se han ei-

a-

rado 9 0 0 para provducir el efecto de una corriente horizontal de aire que pasa por el ala de un avi6n. Debido a que el movimie~ito del agua es relativamente lento, el modelo de flujo no es idCntico a1 del aire que se mueve a gran ve- Iocidad sobre un ala verdadera.

Consideremos la prirnera foto- ( c i s a i i a , que corresponde a un ala

en vuelo horizontal. Se verL que FIG. 17-9.-l.ineas de corriente rtlrederior tie hay una perturbaci6n relativa- tm perlii.

mente pequefia del flujo por deba- . jo del ala, pero a causa de la forma

del perfil hay un acercamiento acusado de las lineas de corriente por encima de 61 corno si el fluido pasase por el estrechamiento de un tub0 de Venturi. Por consiguiente, la region situada por e n c h a del ala es de mayor velocidad y menor presibn, mientras que la situada por debajo tiene aproximadamente la presi6n atmosferica. Esta diferencia de presiones entre las superficies superior e inferior del ala origina la sustentation d e la misma.

SEC. 17-31 VISCOSI DAI> . 35 1 . . . -_ --._- - --

I: Esiste la impresi6n err6nea de que el movirniento del fluido alre- . . dedor del ala ocasiona una fraccidn hacia arriba de la superficie superior

del ala; pero, naturalmente, esto no puede suceder. El aire ejerce presion contra todas las porciones de la superficie, pero la disminucibn, por

I : debajo de la atmosfkrica, de la presi6n contra la cara superior, excede ordinariamente a1 increment0 por encima de la atmosfbrica, de la presion ' ejercida contra la cara inferior.

La segunda y la tercera fotografias indican c6m0, a1 aumentar el . angulo de ataque, las lineas de corriente que pasan por encirna del ala

tienen que cambiar fuerternente su direccion para seguir el contorno de la superficie del a l a _v unirse suavemente con las lineas de corriente que pasan por la cara inferior. Nientras que el agua, que se mueve lenta-

I ; mente en la figura 17-9, mantiene la forma de sus lineas de corriente

1 , aun para angulos de ataque grandes (segun puede verse en la tercera fotografia), es mucllo mas dificil que el aire, que pasa a gran velocidad sobre el ala del aeroplano, pueda Ilacerlo. E n consecuencia, si el angulo d e ataque es dernasiado grande, el flujo de lineas de corriente en la region situada sobre la parte posterior del ala se interrumpe, origiririndose un

. sistema colnplicado de torbellinos

.. denorninado furbulencia. E n tal caso no es aplicable el teorema de Ber- noulli, y la presi6n por encima del ala se eIeva, con lo cuaI la susten- taci6n del ala disminuye, y el avion enfra en pe'rdida.

17-5. Viscosidad.-La viscosidad puede imaginarse como el rozamiento interno de un fluido. A causa de la viscosidad es nece-

i sario ejcrcer una fuerza para obligar a una capa liquida a deslizar sobre

I otra, o para obligar a una superficic a deslizar sobre otra cuando hay una capa de liquido entre ambas. Tanto 10s liquidos como 10s gases presentan viscosidad, aunque 10s liquidos son mucho mas viscosos - que 10s gases. A1 deducir Ias ecuaciones fundamentales que corres- 3 on den a1 movimiento de un fl~iido

FIG. 17-10.-Tipo de viscosimetro. 'iscoso~ se vera que el ~ r o b l e m a es ( ~ ~ p r o ~ ~ u c i ~ o corlpsia dc Ctnlrat muy analog0 a1 que se refiere a1 Scienlific CO.)

esfuerzo cortante y deformation unitaria por cizalladura de un solido. (VCanse Secs. 13-2 y 13-3.)

L a figura 17-10 represents un tip0 de aparato para medir la viscosidad de un liquido. Un cilindro estL apoyado sobre cojinetes, que tienen

351 H I D R O D I S ~ \ I I C A Y VISCOSIDAD [CAP. 17

(lpp = 10-6 poise). La tabla 17-1 da 10s valores de algunos coeficienpes de viscosidad tipicos.

El coeficiente de viscosidad varia mucho con la temperatura, aumentando p a n 10s gases y disminuyendo para 10s liquidos cuando la temperatura se eleva.

T-ARLA 17-1

Viscosidades de liquidos y gases (1 cp = 10-2 poise, lup = 10-6 poise)

Aceite de miquinas: Denso. . . . . . . . I 15 Ligcro . . . . . .

Agua . . . . . . . . 20,10 Alcohol etilico . . . . 20

. . . . . . Jfercurio . . . . . . . 20

CASES t ("CJ 7; (111)) -. -

I I Aire . . . . . . . . . 20 A r g B n . . . . . . . . . 23 I3icisido de carbon0 . . . 20 Helio . . . . : . . . . 23 Il it lrcigeno. . . . . . . 20 hlcrcurio (vapor) . . . . 380 Xe6n . . . . . . . . . 15 Kitr6geno . . . . . . . 23 O x i g e n o . . . . . . . . 15

TAI3I..A 17-2

Variacidn de la viscosidad con la temperatura Agua

t ( 0 C ) . . . . . . . . 2,s 1 S,1 1.1.3 20,3 26,3 .- -- --

q (cp) . . . . . . 4220 1 2518 I 1 3 7 I 510 1 494

! Accite ligero tle rn5quir1as

SEC. 17-61 - LEY D E STOKES 355

Para hacer una aplicacidn de la Ec. [17-101 volvamos a considcrar el aparato descrito en la pdgina 351 y veamos c6mo puede medirse la viscosidad con su ayuda. Sea h la profundidad del liquido situado entre 10s cilindros; R1, el radio del cilindro interior, y Rs, el del cilindro exterior. La fuerza F es tangente a la superficie del primer cilindro y estd distribuida sobre toda su drea:

Esta fuerza origina un momento

y, por tanto F,-L

R1 La velocidad u y la velocidad angular w est5n relacionadas por la igualdad

El espesor de la capa. de liquido es R2 - R1; por tanto, en virtud de la Ec. [17-101,

lo que permite calcular la viscosidad, ya que todas las magnitudes que figuran en el segundo miembro son directamente medibles.

Un metodo tCcnico corriente de medir la viscosidad consiste en utilizar un uiscoslmelro, aparato constituido por una pequeiia vasija en cuyo fondo existe un orificio de dimensiones determinadas. Se vierte en la vasija un volumen dado de liquido, y se mide el tiempo empleado en pasar por el orificio. A partir de estos datos se calcula la viscosidad mediante una fdrmula empirica (vease problema 17-25).

Los coeficientes de viscosidad de 10s aceites lubricantes se expresan, de ordinario, en unidades arbitrarias. En Estados Unidos se utiliza el nlirnero SAE (escala establecida por la Socieiy of Automoliue Engineers) . Un aceite cuyo n6mero SAE es 10 tiene una viscosidad, a 133O F, ccm- prendida entre unos 160 y 220 cp; la viscosidad de 20 SAE est5 comprendida entre 230 y 300 cp, y la de 30 SAE, entre 360 y 430 cp.

17-6. ,Ley de Stokes.-Cuando un fiuido viscoso se mueve airededor de una esfera con movimiento estacionario, o cuando una esfera se dcs- plaza en el interior de un fluido viscoso en reposo, se ejerce una fuerza resistente sobre la esfera. (Naturalmente, sucede lo mismo sobre un cuerpo de forrna cualquiera, pero la fuerza s610 puede calcularse f5cil- mente en el caso de que aquel tenga forma esfkrica.) Un anhlisis que excede a 10s limites de este libro demuestra que la fuerza resistente esth dada por

F = Gxqru,

siendo q el coeficiente d e viscosidad; r, el radio de la esfera, y u, su velocidad respecto a1 fluido. Es ta relaci6n fuC deducida por primera vez por sir George Stokes en 1845 y se denomina ley de Stokes. Vamos a interpretarla brevemente aplichndola a1 caso de una esfera que cae dentro d e un fluido viscoso.

Si la esfera se abandona partiendo del reposo (v = 0), la resistencia debida a la fuerza de viscosidad es nula a1 principio. Las otras fuerzas que actuan sobre la esfera son su peso y el empuje del fluido. Si p es la densidad de la esfera y po la densidad del fldido,

4 4 peso = mg = - sir3pg; empuje = - srr3pog. 3 3

Puesto que la fuerza resultante sobre la esfera es igual a1 product0 de la masa por su aceleracibn, la aceleracion inicial es:

Como resultado de esta aceleracibn, la esfera adquiere una velocidad dirigida hacia abajo y, por consiguiente, esperimenta una resistencia que.puede calcularse por la ley d e Stokes. Puesto que la velocidad aumen-

. ta, la resistencia sumenta tambiCn en proporci6n directa, y se alcanzarh 1:. con el tiempo una velocidad t a l que la fuerza dirigida hacia abajo y la :' resistencia sean iguales. Entonces deja de aumentar la velocidad y la

esfera se mueve con velocidad constante, llamada velocidad lfmife. Esta velocidad puede calcularse escribiendo que la fuerza dirigida hacia abajo es igual a la resistencia:

I

4 - xr! (3 - po) g = 6xr,rv, 3

o bien

L a relaci6n anterior se cumple siempre que la velocidad no sea tan grande que se origine un r6gimen turbulento. Cuando esto ocurre, la resistencia es mucho mayor que la dada por la formula de Stokes.

E ~ ~ ~ ~ ~ o . - C a l c d l e s e la velocidad lirnite de una bola de acero de un rodarniento que tiene 2 rnm de radio, y cae dentro de un dep6sito de glicerina.

pacero= 8 glcm3 (apr0x.h Pgl icer ins= 1 3 glcms (aprox.1, -qglieerios= S,3 poise (apros.)

Esta velocidad se alcanza a una distancia lnuy pr6nirna a1 punto de partida. El I csperirnento anterior se ernplea para medir coeficientes de viscosidad.

17-7. Movimiento de flliidos viscosos a travks de tubas.-Dada la nil- turaleza general de 10s efcctos dc viscosidad, results evidente que I;\ velocidad cle un flirido viscoso q i ~ c pasa a traves de 'un t u b o no es I;I niisnia en todos 10s puntos tle una secci6n transversal. Las paredes dt,l tub0 ejercen una fuerza resistente sobre la capa mas externa de fluido, que a su vez actua sobre la capa inn~crliala y asi sucesivaniente. ( :OIIIO

consecuencia d e esto, la velocidacl es mfixima en el centro tlcl tub0 y disminuye hasta scr nula en las paretles. 131 flujo'rcsulta ani~logo a1 clc cierto n ~ i ~ n e r o dc tubos r~nidos telescopican1ente clue tlesliccn uno dentro dcl otro.

. .. ! . . I k . 15-1P.-Dislrih1tciOn Ir:~ns\.ersnl tle vrlocitlacles en un 111bo circ1ll:lr.

Si la scccion del tubo es circular, la distribuci6n de velocidades rcb- sulta parabolica, segun indican las fleclias de la figura 17-12. Un grupo de particulas que en cicrto instante se encuentrcn en el plano tranh- versa1 aa, ocuparan sucesivamenle las posiciones iridicadas por Ins curva4 de trazos situaclas a la dcrccha tle aa. Puetle tlcmostrarse quc la ecuacibn de estas curvas es:

siendo v I:I vclocitlatl corresl)ontlientc a1 radio I.; pl y pz, las presioncs en 10s es t r c~nos tlcl t r~ho; I,, su longitud, y R, su radio.

El cn~~t ln l rlc snlitla cs:

rclaci6n conocitla con cl nonil~rc dc icy d e Poisellille. I<sl.:l illtima c.r- presa quc la vclocidad de flujo cle un licluitlo ~ i s c o s o a trnv6s CIC un t ~ l l ) ~ es directariicntc proporcibnal a la difcrcncia clc presibn entre 10s e ~ t r c - lnos del tubo, asi como a la cuarta potencia tlel rntlio tlel 1nis1110, siell(lo in\~crsamcnlr ~)roporcional a1 coeficiente tle viscositlad tlcl fluido. 1.a viscosirlad tie 10s gases convicne expresarla miclientlo su velocidad tlc f l i~ jo a travds tle un tabo capilar y calculantlo -q a partir cle la Ec. [17-1:31.

.-

17-8. Deduccibn de la ley de Poiseui1Ie.-Para deducir la ley %e Poiseuille consideremos una porcidn d e tub0 de radio R y longitud L, a t r a v k del cual fluye un liquid0 d e coeficiente de viscosidad r ) [figura 17-13 (a)]. Sean pl y pz las presiones en 10s estremos del tubo. Un pequeiio cilindro de radio r se hnlla en equilibrio (movibndose con velo-

Por ser v = 0 para r = R, resulta:

y, por tanto,

que es la ecuacidn de una parhbola. Para hallar el caudal Q, consideremos el elemento de pared infini-

tesimal representado en la figura 17-13 (6). El caudal dQ, que corresponde a este elemento, es: i

cidad constante) accionado por la fuerza debida a la diferencia de presi6n entre sus estremos, menos la fuerza retardadora de viscosidad que actlia en su superficie exterior 1. La primera de dichas fuerzas vale: que expresa la ley de Poiseuille. : I

@1 - p" 73-2.

La fuerza de viscosidad, en virtud de la Ec. [17-111, es: P R O B L E M A S I

17-1. Se practica un orificio circular paredes son verticales (Fig. 17-14). Se i de 2,5 cm de dihnletro en la pared lateral practica un orificio en una de las parcdes de un gran dep6sit0, y a una altura de a una profundidad h por dcbajo de la

i 6 m por debajo del nivel del agua en el superficie del agua. a) ih qui. tlistancia R mismo. Calclilese: a) la velocidad de sali- del pie de la pared alcanzarh el suelo el

I da; b ) el gasto. DesprCciese la contraccidn chorro de ague que sale por el orificio?

1

de las lineas d e corriente despuCs dc salir b ) &.A qu8 altura por encima del for~do del orificio. del dcp6sito puede practicarse un scgun-

do orificio para que el chorro que sale por 61 tenga el mismo alcance quc el an- J,i-,h., terior? c) I-IPllese el valor de h para el cual R es mhsimo. 17-3. Un dep6sito de grall base se

llena con agua hasta alcanzar 30 cm de - altura. Un orificio de 6,25 cn12 de secci6n - A- practicado en el fondo permitc el desagile

, . en chorro corllrnuo del dep6sito. a) con I----8- qu6 caudal fluye el agua del depbsito,

FIG. 17-14 espresado en litroslseg? Despreciese la convergencia de las llneas de corriente. b ) LA qu6 distancia por debajo del tondo

17-2. El agua alcanza una altura H del dep6sito la secci6n de la vena lfquida en un dep6sito grande, abierto, cuyas es la mitad del Area del orificio? i 1

en la cual se introduce el signo menos debido a que v disminuye a1 aumcn- tar r. Igualando ambas fuerzas, se obtiene:

La integraci6n dc esta ecuaci6n diferencial da:

1 Esta deduccibn no es rigl~rosnrnente corrccta, porque llabria que considerar un tubo de Ili~ido de pared dclgatln, pcro colid~~ce nl resultado dcscado.

' C.4PiTULO S V I I I

TEMPERATURA - DILATACION

18-1. Temperatura.-La t c ~ n l ) ~ ' n t ~ ~ r n tlc 1111 c11c1.1)o cs unn ~ncclida I

de su cstatlo relativo de calor o frio. Cunntlo tocanlos 1111 cucrpo, nucstro sentido clcl tacto 110s pcrmitc 11nccr ulla csti~llnciOn aprosi~iiada tie su tempcrntura, de nor lo nnfilogo a co~no la scnsacibn tle csfuc.rzo muscular nos pcrrnitc aprcciar aproxi~nntl:rn~rrIlc cl v:~lor tlc una fucrza. Sir1 embargo, cs e~ic lcnte quc nucstro scntitlo tlc.1 tact0 cs tlc~nasintlo- lioiilado I cn su alcalice y no lo suficiei~lemcr~te j)~.cciso para scr ulilizable en 10s

I

trabajos tecniros o cirntiiicos. Para In nicdida tlc 1:1 t c ~ n l ~ c r n t ~ r r a tcncnlos i que l~ace r uso clc algr~na propietlnd fisica ~nct l i l~ l r , q r ~ c vnrie con aqublla, 10 mi sn~o que para. In ~nctlitla tlc una ftrcbrza r~liliznn~os nlguna proliic- dad de un cucrpo quc varic con 1;1 fucrz:~, como, 1). cj., In Iongilutl tle un resorte cn cspiral. C ~ ~ a i q u i c r i ~ ~ s t r u ~ ~ ~ r ~ ~ t o ulilizndo para In nlctlitla de la tempcratura se denotnina 1crn1dmclr.o.

18-2. Term6metros.-~\lg~;1ins tlc las ~)l'ol)i~!tlatlcs fisicas quc varian con la tempcrntura son In longitud de una bnrrn, rl volun~cn dc u n li- q u i d ~ , la rcsislcncia clCctrica de un alnnibre, o cl I'

color dcl filaniento dc una Iinipnrn, y, cn cfcr.10, toclos cstos fen0rnenos son utilizatlos en la COIISLI.IIC- cion de distintos tipos tic tcrn~bmctros. 0 I

Consideremos en primcr 111gnr cl tcr~~icirnclro co- rricnte tie liquido cncerrndo en rccil) ic~~lc tlc vitl~in. Este instrurncnto, rcprcscntatlo ~ I I In figr~rfi 18-1, consistc en un dep6sit.o de vidrio tlc parcdcs tlclga- B

i das A , que se prolongn por su parle sul)crior cn rln capilar tle vitlrio 13. U n liqliitlo, tal cotno n~ercurio o alcohol colorcatlo, llena ~ ~ a r c i : ~ l ~ i ~ c ~ ~ l c el ilcpbsito y el tubo. El cslrcmo supcrior tlrl tubo est;i ccn-ntlo, y en mucl~os casos se Ila cstrnitlo cl :lire tlcl cspncio

. . . I

s ituado por cncinin dcl liquitlo. Uun cscnla grnbatla . . - A . - en el tubo B, o montnda tlclris drl mislno, pcrn~i lc - . . .

! detcrminar la posicibn dcl limite supcrior dc la co-

F I G . IS-1 .-l'rrm6nic.- lumna de liquido en el capilar. Cuando aumcnta 13 tro CIC l icl~lit~o cn rc-

I temperatura del termbmctro, crcccn 10s vollimencs CiI ' iCnL" ' l c "idriO-

del liquido, y dcl dcpbsito y capilar. Si antbos sc dilataran lo mismo, la position dcl lit~uido cn cl capilar no camljiaria, pero, en realidad, el ,liquido se clilata nl5s que cl dcp6sit0, y, por tan- to, el nivel del liquido se cleva en el capilar a1 au~ncn ta r la teniperatura, y desciende cuando la temperatura disn~inuye. Estc instrunlen-

367

SEC. 19-21 --

CAWIDAD DE CALOH 383

19-1. El calor es una forma de la energia.-Se creia antes que el calor era un flf~itlo in\.isil)le e impondel-ablc llamndo caldrico, quc se pro- ducia cuantlo unn sustancia sc q i~c~na l )a , ? que podia transn~itirse por conducci6n d;. 1111 C L I C ~ P O a otro. El nbandono de la teorin del calhrico forma parte d ~ 1 avance general de la fisica darante 10s siglos X V I I I y XIS. Los dos cientiiicos a quiencs principalmente se deben 10s puntos de vista que sostenerntx hoy fueron el condc Rumfor(l (1753-181-1, nacido en IVoburn, 3Ia.;~aclluse!.ts) y sir James Prescott Joulc.

Rumford f2.i co~nisioi~ntlo por cl gobicrno tle Baviera para dirigir el talatlrado de Ills cailoncs. Para evitar el calentamiento escesivo, el taladro del ca1i611 se ~ ~ a n t c n i a lleno de agua, y corno esta hervia durante el proceso del t a l adndo , el dcphsito tcnia que rellenarse continuarnente. Se admitia que para liervir cl agua I~abia que suministrarle calorico, y la produccibn continua de calbrico se csplicaba por la hip6tesis de q u e cuando la rnateria se dividia finamente (corno succdia en el proceso del taladratlo) disnlinuia su capacidatl para rctener el calorico, el cual, des- prcndido de forma, hacia hervir el agua.

Rumford oSscrv6, sin embargo, que el agua de rcfrigeracibn conti- nuaba hir\.iendo cunndo la I~errarnienta se ponia tan roma que no cor- taba. Esto es. la herrnniicnta roma constituia toda\rin aparcntemente un deposit0 i rz i t ingr~iblc de calorico mienfras se realizara frabajo para liacer girar la herranzienla.

Allora bien: uno de 10s hechos que justifican nuestra aceptacion d e muclias icleas ahstrnctas en fisica es que obcdezcan a un pri~rcipio d e conseruaci6n. E n este caso sc estaba en presencia de un proccso en el cual habia dos nlaznitudes que no obedecian al principio de conservacion. Ida cncrgia mccanica no se conservaba, puesto quc se gastaba continuamente trabajo, y el calbrico no se conservaba, puesto que se creaba continua- n~cnte. Aunqcz Rumford no exprcso sus ideas exactarnente de este n~odo, vi6 la oportunidad de eliminar simult8neamente dos casos d e no conservaciin y, a1 misn~o tiempo, de ampliar el principio de conscr- vnci6n de la energia tal como era entonces entenclido, y aseguro que lo que se l ~ a b i a interpretado anteriormente como una entidad clistinta, eslo cs, el calrjrico, era en realidad simplemente energia en otra forma. ICI proceso no era la dcsaparicibn continua d e una cosa y la aparicihn tlc otra, sino, sencillamente, la transforrnaci6n de la energia d e una for~nn cn otra. Como diriamos hoy, la energia mec6nica se transformaba

382

~. .

continuamente en calor, y el proceso constituia un ejemplo del principio d e conservacion de la energia.

Rumford realiz6 algunas medidas de las cantidades d e trabajo efcc- tuadas y del agua de refrigeration que se evaporaba, per0 sus experien- cias no fueron d e gran precision. Cuando Joule, en el intervalo de 1843 a 1878, demostro que cada vez que una cantidad dada d e energia mecanica se transformaba en calor; se obtenia siempre la misrna cantidad d e Cste, quedo definitivamente establecida la equivalencia del calor y el trabajo como dos formas de la energia.

Hay, naturalmente, procesos para cuya interpretacitn es entera- mente satisfactoria la teoria del calorico. Cuando el calor pasa por con- dvccion d e un cuerpo a otro, o cuando en un calorimetro se mezclan sustancias a temperaturas diferentes, el calor se conserva, y para tales procesos la teoria del cal6rico es pcrfectamente adecuada.

19-2. Cantidad de ca1or.-El calor, con10 la energia mecinica, es una cosa intangible, y una unidad de calor no es algo que pueda conservarse en un laboratorio de medidas. La cantidad tle calor que intciviene en un proceso se mide por algun cambio que acompafia a este proceso: y una unidad de calor se define corno el calor necesario para producir alguna transformacion tip0 convenitla. Citarernos tres de estas unidades, la caloria-kilogramo, la caloria-gramo y la unidad tdrmica britanica (Btu).

La caloria-l<ilogramo es la cantidad de calor que 11a d e suministmrse a un kilogram0 d e agua para elevar su tempcratura en u n grado centigrado.

L a caloria-gramo es la cantidad de calor q u e ha dc suministrarse a un grarno de agua para elevar su temperatura en un grad0 centigrado.

L a B t u es la cantidad de calor que ha d e surninistrarse a una libra de agua para elevar su ternperatura en un grado Fahrenheit.

Evidcntemente, 1 caloria-kilogram0 = 1000 calorias-grarno. Puesto que 454 g = 1 libra, y l o F = 5/00 C, la B tu puede definirse

como la cantidad d e calor que ha de suministrarse a 454 g (0,454 Kg) de agua para elevar su temperatura en 5/90 C, y equivale a 454 x 519 = 252 calorias-gramo, o sea, 0,252 Kcal. Por consiguiente,

. - 1 Btu = 252 cal = 0,252 G a l .

L a caloria-grarno se usa en fisica y quimica mucho mas quc la caloria- Itilogramo, y de a l ~ o r a en adelante, a menos que se diga otra cosa, utilizaremos la espresibn caloria para referirnos finicamente a la caloria- gramo.

Las unidades de calor que acabamos de definir varian un poco con la temperatura inicial dcl agua, es decir, si la elevaci6n d e temperatura es de 00 a lo , 470 a 480, etc. Se conviene, generalmente, en utilizar el intervalo d e temperatura entre 14,50 C a 15,50 C, y en las unidades inglesas el intervalo de temperatura entre 630 F a 640 F. Para la mayor parte d e 10s fines, la diferencia es lo bastante pequeiia para que pueda despreciarse;

Es cscncial que la tlislinci6n cntre canlidad de calor y f~mperaluru se intcrprcle con todn claritlnd. Gencralmcnte, estas expresiones suelel~ confundirsc en la vidn ordinaria. Supongamos dos rccipicntes, uno de 10s cualcs conticne una pequcila y el otro una gran carititlad de agua; si Iqs rolocnmos sobre mechcros tlc gas itlhlticos y 10s calcntamos durantc el mismo tienlpo es evidente quc, transcurrido Cste, la tempcratirra de la pequcfia cantidad de agua se Ilabri clcv:~do n15s que la dc la grande. En este ejcniplo se Ila suminislrndo la misma cantitlad dc calor a catla recipiente dc agua, pcro cl i~lcrcnlc~lto tlc t c n ~ p ~ m t u r a no cs c1 inismo en 10s dos casos.

Por o t ~ a parte, suponganlos qllc ambos rccipicntcs sc clicucntran I inicialmente n la temperaturn tlc 200 C, y que se calientan hasta 900 C.

Es evidente que llay quc sun~iilistrar mis cnlor a1 rccipicntc clue contenga m5s caritidad de agua. La variacihn de tcmpcratura es la misma para anibos, pcro Ins cn~~titlatlcs tle calor suministradas son mily distintas.

13cprcscntarc1nos la cantidad de calor por la letra Q. 19-3. Equivalente mecinico del ca1or.-La cncrgia en forma me-

canica sc midc en kilogrlimctros, crgios, julios o lil~ras-pie; la cncrgia en forma cnlorifica se mitle en calorias o en Utu. Puccle ellconlrarsc la rela- ci611 de luagnitud entre las rlnidades calortficas y las unidades mcccinicas

'

mecliante una cspcricncia en la cual una cantidad medida de energia K1 mecinicn sc transforma cn una cantidad determinada de calor. Las primeras cxperiencias precisas fueron rcnli~adas por Joule, utilizando un aparato en el cual unas pesas quc cncll hncen girar un conjunto de paletas denlro de un recipiente que conliene agua. La e~iergia trans- formacla se niitlio en unidades mechicas, conociendo el peso de 10s cuerpos y su descenso, y en unidatles de calor, a partir de la masa de

/' agua y de su elevation dc temperatura. En niCtoclos mas rec~entes y precisos, la energia elCctrica se convierte en calor cn una resistencia sumergida en agua. Los luejores resultados obtenidos dan:

4,186 julios = 1 cal 4186 julios = 1 Iical .127,1 Iigni = 1 lical '778 Ib-pie = 1 Btu.

lxsto es, 42'7,l I<gm de trabajo mecAnico elevarBn la tcmperatura de 1 I<g de agua en 10 C cuando se convierten en calor.

Estas rclaciones se expresan frecuentemente diciendo que el equi- ualenle nicccinico del calor cs 4,186 julios/cal, o bicn 427,l IigmlIical. Este modo de exprcsion procedc del tiempo cn que sc cstablecio la equivalencia entrc la energia mecjnica y el cnlor.

El valor esacto tlel cquivalcnte mccanico del calor depende tlcl inter\.alo cle tern-

i peraturns utilizatlo para tlefinir la caloria o la Btu. Para evit:~r esta confusi6n, una comisidn illternacional convino en defirlir exnclamertlc la caloria-liilogran~o como

1

SEC. 19-41 CXPACIDAD ~ : A L O H ~ F I C A . CALOH ESPEC~FICO 385

11860 liw-h. Entonces, por definicibn, 1 cal = 4,18605 julios, y 1 Btu = 778,26 libras-pie. De esto se deduce qu: 1 Btu = 251,996 cal.

19-4. Capacidad calorifica. Calor especifico.-Las sustancias difieren entre si en la cantidad de calor necesaria para producir una elevaci6n determinada de temperatura sobre una masa dada. Supongamos que se suministra a un cuerpo una cantidad de calor Q, que produce una elevacion At de su temperatura. La raz6n de la cantidad de calor suministrada a1 correspondiente increment0 de temperatura se denomina capacidad calori fica del cuerpo:

Q Capacidad calorifica = - [19-11 4f

Las capacidades calorificas se expresan ordinariamente en calorias por grado centigrado, o en Btu por grado Fahrenheit. Si hacemos A1 = 1 en la Ec. [19-11, vemos que la capacidad calorifica de un cuerpo es numericamente igual a la cantidad de calor que hay que suministrarle para incrementar su temperatura en un grado.

Para obtener una cifra que sea caracteristica de la sustancia de que esta hecho el cuerpo, se define la capacidad calorifica especifica, o abreviadamente calor especifico, de una sustancia como la capacidad calorilica' por unidad de masa de un cuerpo formado por dicha sustancia. Repre-

'sentaremos el calor especifico por la letra c:

capacidad calorifica Q/At C = =-- Q [I 9-21

masa m rn At

El calor especifico se expresa en calorias por gramo-grado centigrado, o en Btu por libra-grado Fahrenheit.

El calor especifico de una sustancia es numericamente igual a la cantidad de calor que hay que suministrar a la unidad de masa de dicha sustancia para incrementar su temperatura en un grado. En la tabla 19-1 se dan 10s calores especificos de algunas sustancias corrientes. Las unidades son cal/g OC.

De la Ec. [19-21 se deduce que el calor que ha de suministrarse a un cuerpo de masa m, cuyo calor especifico es c, para aumentar su temperatura en At, es:

Q = mcAl = mc(fa - [I). [ I 9-31

El calor especifico de una sustancia se define como la razbn de su capa~idad calorifica especifica a la capacidad calorifica especifica del agua. Con referencia a las unidades de calor definidas en la seccibn 19-4, se comprueba que la capacidad calorifica especifica del agua es 1 cal/g O C

o 1 ,Btu/lb OF. Por tanto; el calor especifico de una sustancia es numericamente igual a su capacidad calorifica especifica, per0 de su defi- nici6n como cociente resulta que es un ndmero abstract0 (sin dimensiones). p ej., la capacidad calorifica especifica del cobre es 0,093 calfg oC, mien-

::SG CANTIDAD DE CALOH [CAP. 19 SEC. 19-51 (:,\~o~<~>il:,r~{i A -. - - .- - - - - . - - - 387 - - - - - - - - -

t,ras que su calor especifico es 0,093. Esta distincii* entre ambbs conceptos no se respeta siempre, y el tCrmino calor especlfico se utiliza a veces para designar la magnitud definida como capacidad calorifica especifica.

TABL.4 19-1

SUSTASCIA Calor Interralo de especifico temperatura

Alurninio . . . I 0,217 17-100 O C

Cobre . . . . . 0,093 15-100 Hielo . . . . . 0,55 -10-0 Hierro . . . . 0,113 18-100 Lat6n . . . . . 0,094 15-100 hIercurio . . . 0,033 0-1 00 Plata . . . . . 0,056 15-100 Plomo . . . . . 0,031 20-100 \-idrio . . . . . 0,199 20-100

Puesto que el calor especifico es un nLimero sin dimensiones, su valor resulta independiente del sistema d e unidades adoptado, y como las capacidades calorificas especificas y 10s calores especificos son numkrica- mente iguales, se deduce que tambien las primeras son las mismas en todos 10s sistemas. Con referencia a1 ejemplo anterior, la capacidad calorifica especifica del cobre es tambibn 0,093 Btu/lboF.

E s facil comprobar a partir de las definiciones anteriores que la capacidad calorifica de un cuerpo es igual a1 product0 d e su masa por su capacidad calorifica especifica.

Rigurosamente hablando, la Ec. [19-21 define el calor especifico rnedio correspondiente a1 intervalo de temperatura At. Se encuentra, sin embargo, que la cantidad de calor necesaria para elevar la teniperatura de una sustancia en un intervalo pequefio varia con la posici6n de este intervalo en la escala de temperaturas. E l calor especifico uerdadero de una sustancia a cualquier temperatura se define mediante la Ec. [19-21 considerando una elevaci6n d e temperatura infinitesimal dl, y llamando dQ a la cantidad d e calor necesaria para producir aquClla. Se tiene:

.1 dQ Calor especifico verdadero c = - - ; dQ = mcdi; m dt

f a

Q = m 1 cdl. f1

E n general, c es funci6n de la temperatura y ha de conocerse previamente esta funci6n para poder realiear la integracibn anterior.

A las temperaturas ordinarias, y en intervalos no demasiado amplios, 10s calores especificos pueden considerarse constantes. A temperaturas muy bajas, prdximas a1 cero absoluto, todos 10s calores especificos disminuyen, y para ciertas sustancias se aproximan a cero.

Debemos subrayar q i ~ c el significado de la palabra cnpncidad en la exprrsi6n cnpacidad cnlorilica no es el mismo que tiene cuantlo se habla de la capacidad de un vaso. El vaso puedc contener una cierta cantidad d e agua y no-mas, mientras qtie el calor puede ser suminislrado a un cuerpo indefinidamente, lo qile origina, por supuesto, un increnlcnto correspondiente de su temperatura.

Para nluchos fines, especialrnente trathndose de gases, es m;is convc- niente espresar el calor especifico tomando como unidad de masa el itomo-gramo, y no cl gramo. Ilulong y Peti t observaron por vez primera, en 1819, que 10s calores especificos de 10s metales, espresados de estc modo, eran todos iguales con ~nuclia aprosimaci611 a G cal/,ito~no-grarnn- O C . Este i-esultado se conoce con el no~nbre tle ley de Drrlonq y Petit.

19-5. Calorimstria-El t6rniino calorimetria sc reficre a la medida de la cantidad d e calor. l)escribircrnos tlos tipos de calorirnetros: el calorirnelro de ngcm y el cnlorirneiro de /lujo conlincto.

El calorimetro dc agua, cn su forma m5s scncilla, consiste cn una vasija nietAlica .-I, tie paretlcs tlclgatlas (Pig. 19-I), cuya capacidad es aprosimadamente de 2 litros, y cuya superficie csterior e s t i niquelacla con cl fin de ritlucir la pbrtlitla de calor por ra- rliacion (\-Case Cap. FS). La vasija contiene una cantidatl conoc~tln de agua y esta pro- visla tlc una 1:lpn n t r:~\.i.s de la cual pasa un lerrn6nielr0, I:. I.,as pcirtlitlas de calor se rctlucen a un 111ini111o rotleando la vasija C

con Llna c~lvcl tura C impermeable a1 calor. Si leernos el ter1n6rnctro antes y despuis cIue ulia ca~ltidatl (. tlesconocida de calor FIG. 19-1.-Cnlorilnctro clc ngira.

se haya introducido en el calorimetro, pucde tleterminarse Q a part ir de la ele\laci6n d e temperatura producida.

El calorimetro d e agua puede eniplearse para medir cl calor especifico, del siguiente modo: una muestra de la sustancia cuyo calor esl)ccifico se desea determinar, sc calienta en una estufa o en un baiio tlc yajior a una temperatura conocida, 1,. Sea m, la masa de la muestra, y c, su calor especifico.

Se agita el agua del calorimetro y se mide su ten1peratu1.a. Se introduce entonces riil~idaniente la muc.stra en el calorimetro, y se ag i t :~ tie nuevo el agua volviendo a nicdir la tenipcralura. Scan 11 y 12 las tenl- peraturas inicial y final del agua; In,", la masa de Csta; ~i,,, la masa dcl calorimetro, y c,, su calor cspecifico.

- Si no hay pbrdidas de calor durante el esperi~nento, el calor cctli(ln par la muestra a1 enfriarse de Is a ha de ser igual al calor galindo por el agua y el vaso calorimCtrico. Por consiguientc,

388 CANTIDAD DE C A L O I ~ [CAP. 19

y puede calcularse c,, puesto que se conocen 10s otros tCrminos d e la ecuaci6n.

El efecto de la capacidad calorifica, m,cc, del calorimetro, es evidentemente equivalente a considerar incrementada la masa de agua en una cantidad m,cc, y suponer un calorimetro de capacidad calorifica cero. El product0 mccc se denomina equiualenfe en agua del calorimetro.

Realmente, el calorimetro durante el experimento ganar8 (o perderg) calor procedente del medio que lo rodea, a menos que se tomen precau-

I ciones especiales. Un procedimiento d e reducir al miliimo esta transmi- sibn de calor es comenzar con el calorimetro algo mAs frio que el medio que lo rodea y acabar cuando su temperatura excede de la de dicho medio en una cantidad igual a la diferencia inicial. Entonces el calor ganado durante la primera parte del experimento compensa el calor cedido durante la segunda. Otro metodo (llamado de enuolfura adiabalica) es calentar la envoltura por una bobina de calefaccibn elCctrica, de mod0 que su temperatura se eleve en la misma proporcibn que lo hace el calorimetro. Si ambas temperaturas son constantemente iguales, no habrh ganancia n i perdida de calor.

Entrada Salida

I I Voltimetro

FIG. 19-2.--Cnlorimetro de flujo continuo.

Se observari que este mCtodo de medida de calores especificos da tinicamente el calor especifico medio correspondiente a1 interval0 de temperaturas entre 1, y 12. Son necesarios aparatos m8s complicados para medir el verdadero calor especifico a una temperatura cualquiera.

El calorirnetro de jlujo conlinuo, utilizado para determinar el equivalente mec8nico del calor, e s t i representado en la figura 19-2. Una corriente continua de agua entra en el aparato por A, fluye a trav6s del tub0 B, rodeando la resistencia de alambre C, y sale por D. Los

termbmetros TI y T2 indican las temperaturas l I y f2 a la entrada y a la salida, y la potencia elCctrica gastada se mide con el amperimetro y el voltimetro.

Para usar el calorimktro se hace que el agua comience a fluir y se establece la corriente. Se leen 10s termometros T I y T2 a intervalos de un niinuto, p. ej., anotando sus temperaturas. DespuCs de transcurrido un tiempo suficiente, las temperaturas de ambos term6metros se hacen constantes, siendo, naturalmente, la temperatura 12 a la salida, m6s alta que la temperatura l I a la entrada. ~ u a n d o se ha alcanzado este estado estacionario el aparato no absorbe calor, puesto que su temperatura permanece constante, y el calor es transportado a1 exterior, por la corriente de agua, en la misma proporcibn en que lo produce la resistencia de calefaccion.

Si se mide la cantidad de agua que pasa a traves del calorimetro en cierto tiempo, generalmente recogiendo el agua en una vasija aforada colocada debajo del tub0 de salida, se puede calcular la cantidad de calor .producida a partir de la elevacibn de temperatura de esta masa de agua. El suministro de energia durante dicho tiempo se calcula a partir de las lecturas del ampcrimetro y del voltimetro.

Una modificacibn del calorimetro de flujo continuo se utiliza para medir el calor de combustibn de un gas, calentando la corriente de agua con una llama de gas en lugar de utilizar un calentador elCctrico.

19-6. Cslor de combusti6n.-El calor de co~nbustibn d e una sustancia es la cantidad de calor liberada por unidad de masa, o por unidad de volumcn, cuando la sustancia se duema por completo. Los calores de combustibn de 10s combustibles s6lidos y liquidos se expresan ordinaria-

..mente en cal/g o en Btullibra. El calor de con~bustibn de 10s gases se expresa comunmente en Kcal/m3 o en Btulpies. En la tabla 19-2 se dan 10s valores de 10s calores de combustibn para algunas sustancias.

TABLA 19-2

Calores de cornbusfidn Gas de hulla. . . . . . . . . . 5600 I<cal/m3 Gas natural . . . . . . . . . . 9300-23300 l<cal/ms Carb6n . . . . . . . . . . . . 6000-7700 I<cal/I<g Alcohol etIlico . . . . . . . . . 7700 lical/l<g Fuel-oil . . . . . . . . . . . . 11000 I<cal!l<g

Los calores de combustibn de 10s combustibles sblidos y liquidos se miden con una bornba calorimtlrica. Se introduce una masa conocida del combustible en una fuerte bomba at: acero que se llcna con oxigeno a presibn para asegurar la combustibn completa. Se introduce la bomba en un calorirnetro de agua y se enciende el copbustible enviando una corriente.el6ctrica instantgnea a travbs de un ,alambre fino que sirve para iniciar la combustibn. Midiendo la elevaci6n de temperatura, y conocidos la masa de agua y el equivalente en agua del calorimetro y de la bomba, puede c.alcularsc el calor de combustibn.

:!!lo CANTIDAD DE CALOR [CAP. 19

1<1 calor de combusti611 de 10s combustibles gaseosos se mide corriente- .. . 111c:11te con un tipo de calorimetro de flujo continuo, representado en la fi211ra 19-3.

19-7. Energia interns.-Podemos calentar un cuerpo, bien ponikn- .. ,

dolo en contact0 con otro segundo cuerpo de tempe- ,

; ratura mas elevada, o realizando trabajo mecanico

Entrada sobre 61; p. ej., el aire de una bomba de bicicleta se -

calienta cuando empuja- mos el piston hacia abajo, aunque tambien podria ca- ... lentarse colocAndolo en un horno.

Si nos dieran una mues- . t ra de este aire caliente, seria imposible deducir, mediante un ensayo cualquiera, si habia sido calen- tad0 por compresi6n o por .. . , ,

flujo calorifico procedente i ' d e un cuerpo mas caliente.

Frc. 19-3.4alorimetro de flujo continuo utilizado para E S ~ O plantea la cuestion de tnedir el calor de combusti611 de un combustible gaseoso. si justificado hablar

del calor de un cuerpo, puesto que el estado presente del cuerpo puede haberse alcanzado surni- riistrandole calor o haciendo u n trabajo sobre 61. Demostraremos en el capitulo XXII que el termino adecuado es el de eneryia inferno, y que la expresi6n energia calorifica de u n cuerpo carece de sentido preciso. t I

Desde el punto de vista atbmico, la energia interna de un cuerpo es Ia suma total de las energias cinkticas y potenciales de sus itornos, inde; pendientemente de cualquier energia cinktica o potencial del cuerpo en conjunto. Hasta el presente no se conoce suficientemente la estructura at6mica de la materia con10 para poder espresar totalrnente la energia interna bashdose en un modelo atbmico, per0 en el capitulo XXV, en relaci6n con el modelo at6mico de un gas, diremos algo mhs acerca de este problema. En primera aproximacion, la energia interna de un gas a baja presion puede identificarse con la suma de las energias cinkticas de sus atomos.

Aun cuando 10s detalles de la teoria at6mica de la materia no estan completamente aclarados, tenemos evidencia esacta de que las energias I de 10s atomos y sus velocidades, sea el cuerpo sblido, liquid0 o gaseoso, aumentan a1 aumentar la temperatura. No obstante, deberia evitarse ritilizar enunciados tales como te l calor de un cuerpo es la energia cinC- tica de sus atornos)).

PROB 19-1. icuhntos metros cubicos de gas

tle hulla deben quemarse para elevar la temperatura de 200 1 de agua desde 100 C a 70° C, suponiendo una perdida de calor del 25 % ? 19-2. Un cierto motor Diesel con-

sume 20 Ib de combustible por hora. El calor de con1busti6n del aceite es 20 000 Btujlb. Si el rendimiento del motor es del 30 yo: a) jcuhntas Btufh se -convierten en tiabajo mecanico?; h)

~cuhn tas Btu se disipan?; c) i q u t potencia desarrolla el. motor? 19-3. Cn autom6vil que pesa 1000 l i g

marcha a una velocidad de 30 m/seg. ~Cuhntas Iical se desarrollan en 10s frcnos 21 detener el coche?

,'.r 19-41 La potencia elfrtrica absorbidn por un cierto motor eltctrico es @,SO I<w, y la potencia mechnica producida es 0 3 4 CV. a) iCuhl es el rendimiento del motor? b ) iCuantas Kcal se producen en el motor en una hora de trabajo? 19-5. 400 g de agua esthn contenitlos

en una \-asija de cobre de rnasa 200 g. El agua se calienta por un dispositivo de rozamiento que- consume energia mechnica, !. se observa quc la temperatura dcl sistema se eleva a raz6n de 30 C por minuto. S o se tendrSn ell cuenta las pdrdidas de calor al mcdio arnbiente. ~ Q u Q potencia en vatios sc consume dentro,d_e! agua? br 19-6.) ~ C U ~ I I ~ O ticmpo podria hacerse funcionar un motor de 2000 CV, accionado con la energia liberada por 1 I<ni3 de agua del octano, cuando la temperatura del agua desciende l o C, si todo este calor se convirtiese en energia mechnica? POT quQ no se utiliza este enorme dep6- silo de energia? 19-7. Una bala de plomo de masa 5 g,

que se mueve con una energia cinetica de 12,6 julios, choca contra el blanco y queda en reposo. ~ C u h l seria la elevacicin de temperatura de la bala, si no hubiera pCrdidas por el calor que pasa a l medio?

19-8. Calcdlense mediante la tabla 19-1 las capacidades calorificas de un htomo-

L E M A S

gram0 de XI, Cu, Pb, H g y -Ag, y com- phrense 10s resultados con 10s valores p r e s o s por la ley de. Dulong y Petit.

CompArense las capacidades ca- loriiicns de uolilrnenes iguales de a y a , cobre y plomo. 19-10. Una vasija de aluminio de

500 g de masa contiene 117,5 g de agua a In temperatura de 200 C . Se introduce un bloque de hierro de 200 g a 760 C. a) Cal- clilese la temperatura final suponiendo que no hay pdrdida de calor al medio. b) ~ C u h l es el equivalente de agua del calorimetro? )I 19-11, Un trozo de hierro que pesa 30 Ib se saca. de un horno de recocido y se templa introducitndolo en un de- p6sito que corltiene 100 libras de aceite a una temperatura de 720 I.'. La tempcratura del aceite llegrr a 1160 F. El calor especifico del aceite es 0,45 B tu por libra-OF. DesprCciese la capacidad calorilica del dep6sito y las ptrdidas de calor al medio ambiente. Calcdlese In tcrnperatura dcl horno de recocido. $ 19-12. UII trozo de fundici6n de 50 I<g sc saca de un horlio de recocitlo clonde la temperatura es de 3S0° C y se su merge en un tanque que contiene 400 I<g de aceite a la tcmperatura de 2GoC. La temperatura iinal resultsntc es dc 380 C, y el calor especflico del aceite 0,5. iCuPl es el calor especifico de la funtlici611? Desprdciese la capacidad calorifica dcl tanque y Ias perdidas tle calor. 19-13. La capacidad calorifica espe-

cifica c de una sustancia esth dada pol la ecuaci6n emplrica c = a + b12, en la que a y b son constantes, y I representa la temperatura centigrada. a) Calculese la cantidad de calor requerida para elevar la ternperatura de una masa m de sustancia desde 00 C hasta lo C. b) iCuPl es el calor especifico medio de la sustancia en el interval0 de temperaturas comprendido entre 00 C y to C'? c) Corn- phrese t s te con el verdadero calor espc- clfico que corresponde a la temperaturn media entre 00 C y 10 C.

I j

1 392 CANTIDAD DE CALOIt [CAP. 19 ~- I POI~-14. A temperaturas muy bajas, en L'h9-l~. Un cilindm de acero de seccidn

la proximidad del cero absoluto, el calor 90 cm2, contiene 10,8 1 de glicerina. El especifico de 10s sdlidos es t i dado por la cilindro esth provisto de u n Bmbolo per- ecuacidn de Debye, fectamente ajustado que soporta una car-

c = kT3 ga d e 2800 Kg. Se calienta el cilindro desde 150 C hasta 700 C. Despreciando

siendo T la temperatura absoluta o tem- la dilatacidn experimentada por el cilin- peratura Kelvin, y k, una constante, dis- dro, calc6lese: a) el aumento de volumen I t inta para cada sustancia. a) Calcblese de la glicerina; b) el trabajo mechnico el calor necesario para elevar la tempe- realizado por el liquid0 contra la fuerza ratura de una masa rn de un sdlido desde de 2 800 Kg; c) la cantidad de calor sumi-

1 , 00 K hasta 100 K. b) Determinar el calor nistrada a la glicerina (calor especlfico especifico medio en el interval0 de :em- de la glicerina = 0,57); d) la variacibn de peraturas comprendido entre 00 K y energia interna de la glicerina (es decir, 100 K. c) CalcSllese el verdadero calor el equivalente mechnico del calor aiiadi- especific~ a l a temperatura de 100 K. do, disminuldo en el trabajo realizado).

PROPAGACI~N DEL CALOR

20-1. Conducci6n.-Si un extremo de una barra metilica se coloca en una llama mientras el otro se sostiene con la mano, se observar5 que esta parte de la barra se va calelitando cada vez mAs, au~!que no estA en contacto con l a 1Iama. Decimos que el calor alcanza el extremo frio de la barra por conduccidn a lo largo-o a travCs de la sustancia que la forma. Las molCculas del extremo caliente aumentan la violencia de su vibracibn cuando crece la ternperatura de dicho extremo. Entonces, cuando chocan con sus vecinas que se mueven m5s lentamente, parte de su energia cinCtica es compartida con ellas, las wales, a su vez, la transmiten a las que se encuentran m8s alejadas de la llama. Por consiguiente, la energia de la agitacion tCrmica se transmite a lo largo de la barra de una molCcula a otra, si bien cada una de ellas permanece en su ~osici6n inicial.

Es bien sabido que 10s rnetales son buenos conductores de la electricidad y asimismo buenos conductores del calor. La aptitud de 10s metales para conducir la corriente elCctrica se debe a qui en su interior hay electrones libres, esto es, electrones que se han desprendido de 10s atornos de donde procedian. Los ekectrones libres tambiCn toman parte en la propagacion del calor J- son causa de que 10s metales Sean tan buenos conductores del calor, pues, lo mismo que las molCculas participan en el proceso de transmitir la energia tirmica de las partes mas calientes a las m i s frias del metal.

La conducci6n del calor puede tener lugar unicamente cuando las distintas partes del cuerpo se encuentran a temperaturas diferentes, y la direccibn del flujo calorifico es siempre de 10s puntos de mayor a 10s de menor temperatura. -4 veces la definicibn de igualdad o desigualdad de temperaturas se basa en el fen6meno del flujo calorifico; esto es, si el calor pasa de un cuerpo a otro cuando ambos se hallan en contacto, la temperatura del primero es, por dcfinicion, mayor que la del segundo, y si no hay paso de calor del uno a1 otro sus ternperaturas son iguales.

La figura. 20-1 representa una limina d e secci6n transversal A y espesor L. Hagamos que toda la cara izquierda de la lamina se mantenga a la temperatura i2, y toda la cara derecha a una tempcratura inferior 21.

El calor pasa entonces a trav6s de la limina de izquierda a derecha. DespuCs de haber mantenido las caras de la 16mina durante tiempo

suficiente a las temperaturas fl y fz, se comprueba que la ternperatura en 10s puntos interiores de la limina disminuye uniformemente con la distancia, desde la cara caliente a la fria. Sin embargo, en cada punto

:{!I! . -

PHOPAGACIOS DEL CALOR (c.4~. 20 . -

Iwr1ll;Luece constante la temperatura en todo momento. Se dice que la I;i~nina se encuentra en.un eslado eslacionario. (Los problemas planteados (:nand0 el estado no es estacionario exigen metodos matematicns que cl~~:clan fuera del alcance de este libro.)

Experimentalmente se encuentra que la cantidad de calor que atraviesa la lamina por unidad de iiempo, en el estado estacionario, es directamente proporcional a la superficie A y a la diferencia de temperaturas (t2 - f l ) , e inversamente proporcional a1 espesor L. Repre- -

e la sentando por H la cantidad de calor corriente calorifica que pasa a traves de la lamina par

unidad de tiempo, se tiene: 12

H o c A (12 - 11)

k -1 L FIG. 20-1.--Conduction del calor a travPs

de una Iiminn. Esta proporcion puede convertirse en igualdad, multiplicando por una cpnstante K, cuyo valor nume-

r i c ~ depende de la sustancia que forma la lamina. La cantidad K se denomina coeficiente de conduclibilidad tirmica, o simplcmente conductibilidad termica de la sustancia:

La Ec. [20-11 puede utilizarse tamhien para calcular la cantidad de calor que pasa, por unidad de tiempo, a lo largo de una barra cuyas paredes laterales esten aisladas ter- micamente, tal como la representada en la figura 20-2, en la cual las letras tienen el mismo signifi- cad0 que en la figura 20-1. .

En determinadas circunstancias, bien a causa de que las condiciones no correspondan a un estado estacionario o por raz6n de la forma del conductor, la tempcratura de FIG. ~O-~.-COIICIOCC~~~ del calor a 10 largo un cuerpo a travks del cual est5 de una barra.

pasando calor no disminuye uniformemente en la direcci6n en la que esta fluyendo el calor, como ocurria en la lamina de la figura 20-1. Entonces podemos considerar una lamina

muy delgada, de espesor dx, entre cuyas caras hay una diferencia de temperatura dl , y la Ec. [20-11 se convierte en . I

Se ha introducido el signo menos, debido a que si la temperatura aumenta d e izquierda a derecha, la direcci6n d e la corriente calorifica es de derecha a izquierda. L a Ec. [20-21 es la ecuaci6n general de la conduction del calor. L a razon dlldx se denomina gradienie de iernpera- lura. La Ec. [20-11 se refiere evidentemente a un casp especial para el que el gradiente de temperatura es constante e igual a (i2 - f l ) / L . '

La unidad cgs de flujo calorifico por unidad de tiempo, o corriente calorifica, es una caloria por segundo. Las temperaturas se expresan en grados centigrados, y las unidades de medida de A y L son obvias. La conductibilidad termica de 10s materiales aislantes comerciales, tales como el corcho o el amianto, se expresan. generalmente en un sistema I mixto. En cualquier sistema de unidades, H y K son numCricamente iguales siempre que A sea igual a la unidad de superficie, 12 - 11 valga -"

un grado >- L sea la unidad de longitud. Asi, en el sistema cgs, la conductibilidad tCrmica de un material es numericamente igual a1 numero i de calorias que pasan en un segundo a travCs de una lamina de 1 cm , dc espesor y 1 cm2 de superficie, cuando la diferencia de temperatura : i entre las dos caras es de l o C. En Estados Unidos, y para fines comer- i I ciales, la conductibilidad termica de una sustancia es numericamente 1, igual a1 numero de Btu que pasan durante una hora a traves de una ;$

i: lamina de 1 pulg de espesor y 1 pie2 de superficie, cuando la diferencia id de tenlperatura entre las caras de la lamina es de lo F. 2

E n virtud de la Ec. [20-11 resulta evidente que cuanto mayor sea la conductibilidad termica K, tanto mayor sera la cantidad de calor que pase por unidad de tiempo, si 10s demis factores permanecen constantes. Una sustancia para la cual K es grande es un bueri conductor, mientras que si K es pequeiio, el material es ma1 conductor, es decir, buen aislador. No h a y ninguna sustancia que sea conduclor perfeclo (I< = a) 0

aislador perjeclo (I< = 0). Sin embargo, la tabla k? -.c

20-1, en la que figuran algunos valores tipicos :- r.:

de la conductibilidad termica, demuestra que .E 10s metales forman un grupo con mucha mayor . . 8 .

2.; conductividad termica que 10s no metales. r;

20-2. Flujo de eaIor a trav6s de una pared tl 8 compuesta.-La figura 20-3 representa una pared cornpuesia, formada por dps materiales de

:. :, i'

diferente espesor y de distintas conductividades .., C 1 ,:

termicas. El flujo de calor a travCs.de la sec- -'!

ij ci61-r 1 es KIA (12 - iz) $J

1

H = [20-31 FIG. 20-3.-Fluj0 de calm a tra- . .t L1 v8s dc una pared compuesta. 1. $4 I'

,: . 1)

396 PROPAGACION DEL CALOR [CAP. 20

TABLA 20-1 I

Conduclibilidades ttrmicas -

SUSTANCIAS K K

(cal-cmlseg-cmPoC) Btu-pulglh-pietoF

. . . . . . . . . . . . I Acero 0,12

. . . . . . . Aluminio 0,49

. . . . . . . Cobre 0,92

hfetales. Lat6n 0,26 Mercurio . . . . . 0,020 Plata . . . . . . . . 0,97 Plomo . . . . . . 0,083

Amianto . . . . . 0,0001 0,s Corcho . . . . . . 0,0001 0 3 Pieltro . . . . . . 0,0001 0,3

Vari0ss6- H i e l o . . . . . . . 0,004 12 lidos . . Hornlie611 . . . . . 0,002 6

(yalores ' Ladrillo aislante . . 0,00035 1 tipicos.) Ladrillo refractario . 0,0025 8

Ladrillo rojo . . . . 0,0015 4 hiadera. . . . . . 0,0003-0,0001 9-3 Vidrio . . . . . . 0,002 6

. . . . . . . . . . . . . .

-4ire 0,000057 Arg6n 0,000039

Gases . . Helio . . . . . . . 0,00034 Hidr6geno . . . . 0,00033 Oxigeno . . . . . 0,000056

H = K2A (f, - fl) L2

En estado estacionario ambas corrientes deben ser iguales. ( ~ P o r que?) Por tanto,

A ( f - t ) K2A (f, - il) - L1 L2

Despejando 1, y sustituyendo su valor en la Ec. [20-31 o en la Ec. [20-41, resulta:

En general, para cualquier ndmero de secciones en serie!

20-3. Flujo calorific0 a travks de la envoltura de un tub0 cilindrico. La figura 20-4 representa una secci6n transversal de la envoltura cilindrica aisladora que rodea a un tub0 de vapor. Los radios interior y exterior de la cubierta aisladora son a y b, respecti\-amente; fa y lb son las temperaturas en las superficies interior y exterior, y K es su conductibilidad tCrmica. Consideremos la delgada capa cilindrica rayada en la figura. En virtud de la Ec. [20-21, la corriente calorifica a traves de la capa es:

dl Ii = - 2xLKr - dr ,

siendo L la longitud de la misma. (iDeberia escribirse d H en lugar de H?) Esta ecuaci6n puede integrarse para expresar la cantidad de calor I

que pasa por unidad de tiempo en funcion de las temperaturas inte- 1 t rior y exterior: 1

[ c I

2n LI< (f, - fb) H =

In bi a FIG. 2 0 - 4 . 4 o n d u c c i 6 n c~lorilicd radial

en un cilindro.

Ons~nv~cr6w.--En esta ecuaci6n no puede utilizarse un sistema mist0 de unida- I* " des; p. ej., K ha de representar el ndrnero de calorias que pasan por unidad de tiempo

a travks de una lhrnina de 1 cm2 de superficie y 1 crn de espesor, cuanclo se establece entre sus caras una diferencia de temperatura de l o C.

20-4. Convecci6n.-El tCrmino conveccidn se aplica a la propagaci6n del calor de un lugar a otro por un movimiento real de la sustancia caliente. Son ejemplos de esto la estufa de aire caliente y el sistema de calefaccibn por a g a caliente. Si la sustancia caliente es obligada a t

I moverse por un ventilador o una bomba, el proceso se denoniina de & conveccidn forzada; si la sustancia se mueve a causa de diferencias de I densidad se denomina conveccidn nafural o libre. Para comprender esto hltimo, consideremos un tub0 en U, como el representado en la figura 20-5.

f t I

En (a), el agua esta a la misma temperatura en ambas ramas del tub0 en U, y por consiguiente alcanza el mismo nivel en cada una.

1 I

En (b), se ha calentado la rama derecha del tub0 en U. El agua en ,I

esta rama se dilata y, por consiguiente, siendo menor su densidad, se I

I (

por cada centimetra cuadrado de superficie. A la temperatura de 5000 C (7730 K) emite aprosimadamente 0,54 w por centimetro cuadrado, y a 10000 C (12730 K) irradia alrededor de 4 w/cm2. Esta cantidad es 130veces mayor que la emitida a la temperatura de 1000 C.

Para cada una de estas temperaturas la energia radiante emitida es una mezcla de ondas de distintas longitudes de onda. A la temperatura de 3000 C la rnls intensa de estas ondas tiene una longitud de 5 x 10-4 cm, aproximadamente; para longitudes de onda mayores o menores que este valor, la intensidad disminuye como indica la curva de la figura 20-6. La distribuci6n correspondiente de la energia a temperaturas mas elevadas esta indicada tambiCn en la figura. El Qrea comprendida entre cada

I curva y el eje horizontal representa la cantidad total de energia radiada por unidad de tiempo, a dicha temperatura. E s evidente que esta cantidad de energia radiada por segundo aumenta rlpidamente con la temperatura, y tambien que la longitud de onda correspondiente a la onda rnls intensa se desplaza hacia la izquierda, o sea, hacia las longitudes de onda nlas cortas, a1 elevarse la temperatura.

A una temperatura de 3000 C, toda la energia radiante emitida por un cuerpo es transportada prkticamente por ondas de mayor longitud que la correspondiente a la luz roja. Tales ondas se denominan infrarrojas, por corresponder a frecuencias inferiores a1 rojo. A la temperatura de 8000 C un cuerpo emite suficiente energia visible para ser luminoso, y parece rojo. Pero la mayor parte de la energia emitida coysponde to-

f" davia, con mucho, a las ondas infrarrojas. A 30000 C , que es, aproximadamente, la temperatura del filament0 de una lampara incandescente, la energia radiante contiene bastantes ondas de longitud de onda ml s corta, de forma que el cuerpo parece casi blanco.

20-6. Ley de Stefan.-John Tyndall (1820-1893) realiz6 deterniina- ciones experimentales .de la cantidad de energia radiada por unidad de tiempo, desde la superficie de un cuerpo, y sobre la base de sus resultados; Josef Stefan (1835-1893) dedujo, en 18'19, que .la cantidad de energia emitida por unidad de tiempo podia expresarse por la relaci6n

que es la ley de Slefan. W es la cantidad de energia radiante emitida por segundo y por unidad de superficie, y se expresa en ergios por segundo por centimetro cuadrado, en el sistema cgs, y en watios por metro cuadrado en el sistema mks. La constante a tiene un valor numeric0 de 5,6699 x 10-5 en unidades cgs y 5,6699 x 10-8 en unidades mks. T es la temperatura Kelvin de la superficie, y e, una cantidad denominada poder eniisivo de la misma. El poder emisivo tiene un valor comprendido entre cero y la unidad, dependiendo de la naturaleza de la superficie; p. ej., el poder emisivo del cobre es 0,3 (en rigor, el poder emisivo varia algo con la temperatura para la misma superficie). En general, el poder emisivo es mayor para las superficies Asperas que para las bien p111i-

1 mcntaclas.

SEC. 20-71 EL EMISOH IDEAL 401

Pudiera plantearse la pregunta siguiente: ~ P o r quC, si las superficies de todos 10s cuerpos estdn emitiendo continuamente energia radiante. cada cuerpo no irradia toda su energia interna y se enfria hasta la temperatura del cero absoluto (a la cual es W = 0, en virtud de la Ec. [20-7])? La respuesta es que sucederia asi, si no se les suministrase energia por algfin procedimiento. En el - de un calentador eldctrico o del filaniento de una lampara de incandescencia, se suministra energia elictrica para com- pensar la energia radizda. E n efecto, tan pronto como se interrumpe este suministro de energia, a3os cuerpos se enfrian muy riipidamente hasta la temperatura ambiente- La razon por la cual no contindan enfriandose mas es que 10s cuerpos que 10s rodean (paredes y otros objetos de la habitaci6n) tambiCn irradian, y parte de esta energia radiante es inter- ceptada, absorbida y com-ertida en calor. Lo ~nismo les sucede a todos 10s objetos de la habitacion, cada uno de 10s cuales estQ absorbienclo y emitiendo simultaneamente energia radiarrte. Si un objeto cualquiera tiene temperatura superior a la del medio ambiente, la energia emitida por unidad de tiempo rxcederl a la absorbida, tambien por unidad de tiempo; habra, por taniu, una pCrdida de energia y el cuerpo se enfriarQ, a menos que se caliente por algun otro procedimiento. Si un cuerpo est l a temperatura inferior a la de 10s que lo rodean, la cantidad de energia absorbida por unidad de tiempo sera mayor que la cantidad emitida en igual tiempo y su temperatura se elevarl. Cuando el cuerpo est5 a la misma temperatura que el medio ambiente, las cantidades, que pierde y gana por unidad de tiempo, se igualan; no hay ganancia o perdida de energia y, por consiguiente, no varia su temperatura.

Si un cuerpo pequsrio, de poder emisivo e, esta completamente rodeado por paredes a u r 2 temperatura T, la cantidad de energia radiante absorbida por unidad ae superficie del cuerpo y por unidad de tiempo es:

Por consiguiente, para este cuerpo a la temperatura TI, rodeado de paredes a la temperatura T2, la cantidad neia de energia perdida o ga- nada por unidad de superficie y unidad de tiempo a causa de la radia- ci6n es:

lIvneta = earl4 - ecrT24 = e ~ ( T ~ 4 - T24). 120-81

20-7. El emisor ideal.-Imaginemos que las paredes de la envoltura, en la figura 20-7, se mantienen a la temperatura T2 y que introducimos sucesivamente cierto numero de cuerpos distintos, que tengan diferentes poderes emisix-os, dcntro de la envoltura. Indepcndiel~tementc de la temperatura que tul-ieran cuando fueron introclucicl~~, se encontrari quc, a1 cab0 de cierto tiempo, cncla uno adquiere la ~~~~~~~~~~~~a 1.2 (lc las paredcs, aun cunndo dent ro tlc la caviclad se 1111bicra hccllo cl .vnclo. Si 10s cucrpos son pccl~~cilos co~~il):~~,:~tlos con cl Lnninilo tic In rn!ritl:~d, 1:1

clltl~.gin rntlinl~tc. tlc I:I\ l,:~rotl,-.; 1Io:(:1 :r In sl~l)ol.licio tlc c:rtl:~ ~ I I O I . ~ ) O (.I)

. . la misma cantidad por unidad de tiempo. De esta energia una parte se refleja y la restante es absorbida. E n ausencia de cualquier otro proceso, la energia absorbida elevarh la temperatura del cuerpo absorbente, per0 puesto que se observa que la temperatura no experimenta ninglin cambio, todo cuerpo debe emilir energia radiante en la misma proporci6n que la absorbe. Por consiguiente, un buen receptor es tambiCn un buen emisor, y un ma1 receptor es a1 mismo tiempo un ma1 emisor. Pero dado que cada cuerpo tiene que absorber o reflejar la energia radiante que llega a 61, resulta que un ma1 receptor tiene que ser un buen reflector. Por consiguiente, un buen rellector es un ma1 emisor.

Esta es la razon para platear las paredes de 10s termos. Un termo es un recipiente de dobles paredes de vidrio, entre las cuales se ha hecho el vacio, de mod0 que se elimina practicamente la propagaci6n del calor

por conducci6n y convecci6n. Para reducir la energia emitida hasta el valor minimo posible, se recubren las paredes con i:na capa de plata que es muy reflectan- te y, por consiguiente, muy ma1 emisor.

Puesto que un buen receptor es un buen emisor, el mejor emisor sera aquel cuya superficie sea el mejor receptor. Pero ninguna superficie puede absorber mas energia radiante que la que llega a ella. Una superficie que absorba toda la energia que llega a ella sera tambiCn la mejor

FIG. 20-7.-~lcanzado cl equilibria superficie emisora posible. Tal superficie tkrrnico, la cantidad de energia ra- d i an t~ emitida scgundo es iglla~ no reflejara energia radiante y, par con- a la canlidad dc energfa siguiente, parecera negra (siempre que en igual ticrnpo; por tanto, un buen

receptor es un buen emisor. su temperatura no sea tan alta que re- sulte luminosa). Se denomina superficie

negra ideal, y'al cuerpo que tiene esta superficie se le llama cuerpo negro ideal, radiador ideal, o, simplemente, cuerpo negro.

No existe ninguna s-uperficie real que sea una superficie negra ideal, siendo la m9s aproximada la superficie del negro de humo, .que solo refleja aproximadamente el 1 % de la energia que recibe. Las condiciones del cuerpo negro pueden satisfacerse con mucha aproximaci6n practicando una pequeiia abertura en la pared de un recipiente cerrado. La energia raciianie que'entra por la aberturia es en parte absorbida por las paredes interiores. De la parte reflejada, s610 una pequeiia frac- ci6n escapa a traves de la abertura, siendo el resto absorbido finalmente por las paredes. Por consiguiente, la abertura se comporta como un receptor ideal. I

Inversamente, la energia radiante emitida por las paredes o por cualquier cuerpo colocado dentro de la cavidad, y que escapa a traves de la abertura, si las paredes se encuentran a temperatura uniforme, sera de la misma naturaleza que la emitida por un radiador ideal. Este

PROBLEMAS 403

hecho es de importancia cuando se usa un pir6metro 6ptico como el descrito en la secci6n 18-4. Las indicaciones de este instrumento 6nica- mente son correctas cuando dirigimos el aparato sobre un cuerpo negro. Si se utiliza para medir la temperatura de un lingote de hierro a1 aire libre sus indicaciones serln demasiado bajas, puesto que el hierro es peor emisor que el cuerpo negro. Sin embargo, si el pir6metro se dirige sobre el hierro cuando se encuentra todavia en el horno, donde esth rodeado por paredes a la misma temperatura, se cumplen crlas condiciones del cuerpo negroo y las indicaciones son correctas. La deficiencia del hierro para emitir con la misma efectividad que el cuerpo negro se compensa por la energia radiante que refleja.

El poder emisivo e de una superficie negra ideal es igual a la unidad. Para todas las superficies reales es una fracci6n menor que la unidad.

P R O B L E M A S

20-1. Una lamina de un aislador termico tiene 100 cm2 de secci6n transversal y 2 cm de espesor. Su conductibilidad t6rmica es 2 x 10-4 cal/seg-cm-oC. Si la diferencia de temperaturas entre las caras opuestas es 1000 C, ~ c u a n t a s calorias pa- saran a trav6s de la lamina en un dia?

20-2. Una larga varilla, aislada para evitar las pdrdidas de calor, tiene uno de sus extremos sumergids en agua hirviendo (a la presion atmosfbrica) y cl otro en una mezcla de agua y hielo. La varilla consta de 100 cm de cobre (con un extremo en el vapor) y de una longitud L2 de acero (con un extrcmo en el hielo). Los dos trozos tienen la misma secci6n, 5 cmz. L a temperatura de la uni6n cobre-acero es de 600C una x7ez establecido el estado estacionario. a) ~ C u a n t a s calorias por segundo pasan del baiio de vapor a l a mezcla de agua y hielo? 6 ) ~ C u a l es el valor en centimetros a e Lz?

20-3. Una barra de 2 m de longitud esta formada por un ndcleo macizo de acero de l . c m de diametro, rodeado de una envoltura de cobre cuyo dismetro exterior es de 2 cm. La superficie exterior de la barra est& aislada tbrmicamente; uno de sus extremos se mantiene a lOOoC, y el otro a 00 C. a) Calcular la corriente calorlfica total en la barra. b) ~ Q u 6 frac-

ci6n es transportada por cada sustancia? 20-4. E l calor fluye radial~nente hacia

afuera a travCs de u n aislador cilindrico de radio exterior Rz quc rodea a un tub0 de vapor, de radio exterior R1. La temperatura de la superficie interior dcl aislador es t l i y la de la superficie exterior es (2. LA q u i distancia radial del centlo del tub0 es la temperatura justamente la media aritmetica de tl y fz?

20-5. Una barra se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de OoC. Uno de 10s extremos se mantiene a esta temperatura y el otro se pone en contact0 con un baiio de vapor a 100° C. La superficie de la barra esta aislnda de forma que el calor s610 puede fluir longitudinalmente a lo largo de la misma. La secci6n de la barra es de 2 cm2; su longitud, 100 cm; su conductividad calorifica, 0,8 cal-cm/seg-cm2-oC; su dcnsidad, 10 g/cm\ y su capacidad calorifica especifica, 0,10 cal/g-oC. Se considera un elemento cillndrico de 1 cm d e longitud. a) Si el gradiente de temperatura en uno de sus extremos es d e 2000 C/cm, ~ c u a n - tas calorias pasan por segundo por dicho extremo? b) Si la temperatura media dcl elemento crecc a raz6n de 50 C/seg, tcual es el gradiente de temperatura en el otro extremo del mismo?

20-6. Una esfera. d e cobre de 4700 g

de masa y 5 cm de radio esth recubierta con una capa aislante d e 5 em de espesor (radio exterior = 10 cm). La conductividad calorlfica de la cubierta es de 0,002 cal-cm/seg-cm2-oC, y la superficie exterior se mantiene a una temperatura de 200 C. El calor especifico del cobre es 0,003. a ) Si el metal esth a la temperatura de 1000 C, ~cuAl es el flujo calorlfico a travCs de la cubierta aislante? b) ~ Q u B tiempo aprosimado t a r d a d el cobre en enfriarse desde 1000 C hasta 900 C? 20-7. a ) tQu6 diferencia de altura esis-

te entre las columnas del tub0 en U de la figura 20-5, si el liquid0 es agua y en una de las ramas est5 a 40 C, mientras que en la otra se encuentra a SOa C? 6) ~ Q u 6 diferencia de presiones existe en el forldo de dos columnas de agua cada una de 10 m, si la temperatura de una es 40 C, y la de la otra, SO0 C? 20-8. Las paredes d e un horno son

de ladrillos refractarios de 6 pulg de espesor. La conductividad calorifica de este material es tal que en 1 h fluyen 3,G Btu por una secci6n de 1 pie* y de 1 pulg de espesor, cuando la diferencia de ternperaturas entre las caras es de lo F. La temperatura de l a pared interior es 10000 F, y la de l a exterior, 1000 F. a) ~ Q u k espesor de ladrillo aislante, de conductividad calorifica la tercera parte de la del ladrillo refractario, debe colo- carse exteriormente para reducir las p6r- didas de calor a1 50 0,/, de su valor primitivo? b) ~Cuicntas Btu fluyen en I h a travks de cada pie2 de la pared aislante? c) ~ C u h l es la ternperatura de la superficie de separaci6n entre 10s ladrillos refractarios y 10s aislantes? Sup6ngase que las ternperaturas interior y exterior no experimentan alteracidn a1 afiadir la capa de ladrillo aislante. 20-9. Con tres varillas soldadas de

cobre, l a t h y acero se forma un perfil en Y. La secci6n de cada varilla es de 2 cln2. E l extremo de la de cobre se mantiene a 1000 C y 10s de las varillas de lat6n y acero a 00 C. Sup6ngase que no hay pCrdida de calor a travds de la superficie de las varillas, cuyas longitudes

son: la de cobrc, 46 cm; la de l a t h , 13 cm, y la de acero, 12 cm. a) ~ C u h l es la temperatura de la uni6n? b) ~ C u a l es la corriente de calor en la varilla de cobre? 20-10. Un dep6sito de 5000' cm2 de

superficie de pared y 2 cm de espesor esth lleno de agua y se halla provisto de un agitador. La superficie exterior de la pared se mantiene a una temperatura constante de 00 C, y la conductividad calorlfica de Bsta es 0,000478 cal-cm/seg-cm2-oC, pu- diBndose despreciar el efecto de aristas y vkrtices. La potencia necesaria para mantener el agitador a una velocidad angular de 1800 rpm es de 100 w. LCuAl sera la ternperatura del agua en el de- p6sito cuando se haya alcanzado el es- tad0 estacionario? Sup6ngose que el agitador mantiene uniforme la temperatura de toda la masa de agua. 20-11. Una barra de cobre de 20 cm

de longitud y 2 em2 de s cci6n esth ro- deada por una cubierta a is la~ \ tq de 0,4 cm de espesor y rle un material cuyo coeficiente de conductividad calorifica es de 0,01 callseg-cm-oC. Un extremo de la barra se mantiene a 00 C, y el olro, a lOU0 C. Supbngase lineal el gradie~rte de temperatura a lo largo de la barra. a ) Dedlizcase una expresi6n que dB la pCrdida de calor por segundo a travCs de un elemento de la cubierta de longitud dx a una distancia x del extremo que se encuentra a temperatura mAs baja. b) IntCgrese la exprcsi6n obtenida y dedlizcase la pCrdida total de calor por segundo a travds de la cubierta. 20-12. Una caja clibica de 2 pies de

arista esth construida con una chapa aislante de conductibilidacl tCrmica 0,4 Btu-pulg/h-pie?-OF y de 0,5 pulg de grueso. En el interior de la caja esth montado un calentador elBctrico que desarrolla 600 w. I-IBllese la diferencia de tempcra- turas entre las superficies interior y esterior do la pared de la caja despu6s de haberse alcanzado el estado estacionario. 20-13. La cond~lctibiliclad tdrmica de

todas Ias sustancias varia algo con la temperatura. Supongamos que la con-

PROBLEMAS 405

ductibilidad t6rrnica de una aerta sus- de una lhrnina plana de esta sustancia, tancia esth dada por la ecuacidn de area -4 y espcsor L, cuando las tem-

peraturas centigradas d e sus caras opues- K = Ko(l + 4; las so11 lI _v 12. b) Calclilese la temperatura

donde a es una constante, y t, k tem- en el plano medio comprendido entre las p e n t u r a centigrada. a) Dedfizczsc la ecua- caras cle la IArnina, si G = iOOO C, 11 = cicn de la corriente calorifica a tra\l6s = 00 C, a = 0,0'2 (oC)-l.

SEC. 21-11 CAMBIOS DE ESTADO 407

CAPfTULO XXI

CAMBIOS DE ESTADO

21-1. Cambios de estado.-Se sabe que la materia puede existir en estado s6lid0, liquido o gaseoso. Asi, la sustancia quimica H20 existe en eslado sdlido (hielo), en esludo liquido (agua) y en estado gaseoso (vapor).

Siempre que no se descompongan a elevadas temperaturas, todas las sustancias pueden existir en cualquiera de 10s tres estados cuando se encuentran en condiciones adecuadas de presi6n y temperatura. Los cambios de un estado a otro van acompaiiados de absorci6n o desprendi- miento de calor y, ordinariamente, de cambios de volumen.

Como ejemplo, supongamos que se toma hielo de una refrigeradora dentro de la cual la temperatura es de -250 C, se tritura rapidamente, se coloca en un recipiente y se introduce un term6metro dentro de esta masa de hielo. Imaginemos que se rodea el recipiente con una espiral de calefacci6n que le surninistra calor en proporci6n constante y supongamos que el hielo no recibe calor por otro procedimiento. Se observarh que la temperatura del hielo aumenta continuamente como indica la porci6n de la grafica (Fig. 21-1) comprendida entre a y b, o sea hasta

que la temperatura ha 125 liegado a 0 0 t . ~ a n pron-

to como se ha alcanzado 100 - esta temperatura, se ob-

servard la yresencia de agua liquida en el recipiente. En otras palabras, el hielo comienza a

. . fundirse. La fusibn es un cambio de eslado de s61i- do a liquido. Sin embar- ' go, el term6metro no in-

Tiempo dicara aumenfo de tem- - 25 FIG. 21-1 .-La temperatura pcrmanece constante durante

peratura, y aunque se todo cambio de estado. suministre calor en la

misma proporcibn que anteriormente, la temperatura permanecera a 00 C hasta que todo el hielo se haya fundido (punto c, Fig. 21-1). (La mezcla de hielo y de agua ha de mantenerse en agitacibn constante, pues en otro caso la temperatura de la parte del agua pr6xima a1 elemento de calefacci6n se elevard por eucima de 00 C.)

Tan pronto como se haya fundido la liltima porci6n de hielo, la temperatura comienza a elevarse de nuevo en proporci6n constante, desde c

hasta d (Fig. 21-I), aunque mas despacio que de a a b, por ser el calor j especifico del agua mayor que el del hielo. Cuando se haya alcanzado la

/ 1 temperatura de 1000 C (punto d), comenzarAn a escapar de la superficie liquida burbujas de vapor (agua gaseosa o vapor de agua), o sea el agua

I j i comienza a hervir. La temperatura permanece constante a 1000 C hasta I ; que toda el agua ha desaparecido. Ha tenido lugar otro carnbio de estado, ' f pasando el agua del estado liquido a1 gaseoso.

Si se hubiese recogido todo el vapor de agua y no se le hubiese per- ' mitido difundirse (se hubiera necesitado un gran recipiente), el proceso - de calentamiento podria continuarse de e a f , y el gas hubiera recibido

el nombre de vapor sobrecalentado. Aunque en el proceso anteriormente descrito hemos tomado como - ejemplo el agua, se obtendria tambien para otras muchas sustancias el

mismo tipo de grAfica representada en la figura 21-1. Naturalmente, algunas sustancias se descomponen antes de alcanzar el punto de fusion o el de ebullicibn, y otras, tales como el vidrio o la pez, no cambian de estado a una temperatura definida, siendo en realidad liquidos sobrefundidos de viscosidad muy elevada.

f La temperatura a la cual funden 10s solidos cristalinos cuando se les suministra calor a la presi6n atmosferica se denomina punlo normal de fusidn, y la temperatura a la cual hierven 10s liquidos cuando se les pm-

. porciona calor a la presibn atmosfkrica se denornina punto normal de ebulli- : cidn. La cantidad de calor por unidad de masa que ha de suministrarse

a una sustancia en su punto de fusi6n para convertirla completamente en liquido a la misma temperatura se denomina calor de fusion de la sustancia. La cantidad de calor por unidad de masa, que ha de suministrarse a una sustancia en su punto de ebullici6n para convertirla completamente en gas a la misma temperatura, se denomina calor de vapori- zacidn de la sustancia. Los calores de fusi6n y \-aporizaci6n se expresan

r, en calorias por gramo, o en Btu por libra. Asi, el calor de fusi6n del hielo ^ es, aproximadamente, 80 cal/g, o 144 Btuflb. E l calor de vaporizaci6n

del agua (a 1000 C ) es 539 cal/g, o 970 Btu/lb. En la tabla 20-1 se han '

indicado algunos calores de fusi6n y vaporizaci6n. Cuando se sustrae calor a un gas, su temperatura desciende, y, a la

misma temperatura de ebullicibn, vuelve a1 estado liquido, o sea se condensa. A1 hacerlo, devuelve a1 medio que lo rodea una cantidad de calor igual a la requerida para producir la evaporaci6n. El calor devuelto

- por unidad de masa se denomina calor de condensacidn y es igual a1 calor de vaporizaci6n. Anhlogamente, un liquido vuelve a1 estado s6lid0, o se solidifica, cuando se enfria hasta la temperatura de fusibn, y cede el llamado calor de solidificacidn, exactamente igual a1 calor de fusi6n.

I Asl, el punto de fusion y el punto de solidificaci6n corresponden a la misma temperatura, como asimismo el punto de ebullition y el punto de condensaci6n.

El que una sustancia, que se encuentra en su punto de fusi6n, este solidificandose o fundikndose depende de que se le estC sustrayendo 0

. ,

P

00. q 9 5: 0- 0- m-

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f' fh 2 1 10 CAhIBIOS DE ESTADO [CAP. 21

Iln ejercido una cierta fuerza, F, contra la superficie-hferior del Cmbolo, y Cste se ha desplazado una distancia s. La cantidad de trabajo, W, seri, por tanto,

IV = F x s,

y como este trabajo sblo puede proceder de la cantidad mL de calor surninistrado, resulta evidente que no todo el calor ha sido absorbido por el vapor. El trabajo W se denornina lrabajo ezterno o parte externa del calor de vaporization. El resto del calor se dice que ha incrementado la energia interna de la sustancia. Representaremos por la letra U la energia interna de un cuerpo. Si Uv es la energia interna del vapor, y UL, la del liquido, el incremento de energia interna sera Uv - UL.

Estableciendo el balance de energia, podemos escribir:

i $1 Es decir, el calor suministrado es igual a1 increment0 de energia interna, m5s el trabajo exterior.

I rh El trabajo W puede expresarse de forma mhs adecuada. Sea A la superficie del Cmbolo; la fuerza aplicada seri: i h

(f) F = PA, y el +bajo realizado es:

\\h I;: W = Fs = PAS.

1 4 i ' Pero As es el increment0 de volumen, que puede escribirse Vv - VL, siendo VV el volumen del vapor, y VL el del liquido; por tanto,

ffQ

fl? w = p(Vv - VL),

y la Ec. [21-21 se escribe: ff!

mL = (Uv - UL) j p (Vv - VL). 121-31 P' Debe prestarse suma atenci6n a las unidades cuando' se utiliza esta

ecuacion. Consideremos primer0 el tCrmino p(Vv - VL). .En el sistema tCcnico, p debe expresarse en Kg/mZ, y V, en m3. Entonces, dado que m

este tirmino esti en ltilogrametros. (ObsCn7ese que las presiones mano- mitricas suelen darse en Kg/cm2, por lo que habra que reducirlas a Kglmz.) En el sistema inglCs, p hay que expresarla en lb/pie2, y V, en p1es3. Como 10s calores de vaporizaci6n se expresan en Btullb, m L hay que convertirlo en Ib-pies (o TV en Btu) antes de utilizar la Ec. [21-31.

En el sistema cgs, en el que p est5 en dinaslcm2 (1 atm = 1,013 x 106 dinaslcmz = 1,033 Kglcrn2 = 14,7 Ib/pulgz) y V en cm3, el trabajo ven-

dinas . . x cm3 = dinas-cm o ergios. cm2

I

SEC. 21-21 ,TRABAJO R E ~ L I Z A D O EN UN CAMBIO DE VOLUMEN 41 1 I .- i

E J E ~ ~ P L O . - ~ ~ pamo de agua (1 cm3) se transforma en 1671 cm3 de vapor cuando hierve a la presi6n de 1 atm. E l calor de vaporizaci6n correspondienre a esta presi6n es 539 cal/g. Calcdlese el trabajo exterior y el incremento de energia interna

Trabajo externo = p (1-v - VL) = 1,013 x 106 (1671 - 1) = 1,695 x 109 ergios = 169,s julios = 41 cal.

De la Ec. [21-21: CT - U L = ~ L - I f = 539 - 41

= 498 col.

Por consiguiente, el trabajo externo o parte externa del calor de vaporizaci6n equivale a 41 cal, y el incremento de energia interna o parte interna del calor de vapo- rizacidn es 498 cal.

Si bien la expresion del trabajo externo p(Vv - VJ,) se ha deducido para el caso especial de ebullition a presi6n constante, puede utilizarse 1 para cualquier proceso en el que una sustancia se expande desde un volumen V1 hasta otro V2, bajo una presion constante p. En general,

W = p (V2 - V1) @ constante). [21-41

Si la presion varia durante la expansibn, cl trabajo realizado para conseguir un pequeiio aumento de vcllumen dV es: f'.

dW = pdV, [21-51

y si el volumen pasa de V1 a VZ, v:

W = 1 pdV. [21-61 VI

Naturalmente, para poder efectuar la integraci6n debe conocerse p en funci6n de V. Obsiwese que si p es constante, la integral se reduce a p(V2 - VI), que c ~ n c i d e con l a Ec. [21-41.

El trabajo realizado en una expansibn esta representado graficamente por el drea P i comprendida por la cun-a p = =f(V) y las dos ordenadas correspondientes a VI y V?. Esto es lo que expresa la Ec. [21-61, y resulta ' evidente el hecho de que tal grafica representa ! V, presi6n multiplicada por vo- I

lumen, que tiene las dirnensiones de un trabajo. VCase

(4 (b)

la figura 21-3. FIG. 21-3.-El Area por debajo de una curva en el plano p-V representa el trabajo externo.

! 412 - CAMBIOS DE ESTADO [CAP. 21

Si durante un proceso cualquiera aumenta el volumen de una sustancia, como sucede en la figura 21-3, se hace trabajo por la sustancja. Si el volumen disminuye, el trabajo se hace sobre la sustancia. La Ec. [21-61 se aplica a uno y otro caso. Si V2 es inferior a Vl, lo que tiene lugar en un proceso de compresi6n7 W lleva signo menos; es decir, que si 'IY es positivo, el trabajo se realiza por la sustancia; si es negativo, el trabajo se hace sobre la sustancia.

21-3. Efecto de las sustancias disueltas sobre 10s puntos de soli- dificaci6n y ebullici6n.-El punto de solidification d e un liquido desciende cuando se disuelve alguna sustancia en dl. L n ejemplo corrien-te es el empleo de anficongelantes para hacer descender el punto de solidi-

I ficaci6n del agua en el dispositivo de refrjgeracion de un motor de autom6vil.

El punto de solidificaci6n de una disoluci6n saturada de sal comun en agua es, aproximadamente, -200 C. Para comprender por quC una nlezcla de hielo y sal puede usarse como mezcla refrigerante, utilizaremos la definicibn de punto de solidificaci6n como la i~nic:! temperatura a la cual el liquido y el s6lido pueden coexistir en equilibrio. Cuando una disol~~cidn concentrada de sal se enfria, se solidifica a -200 C, y se forman cristales de hielo (H20 pura) clue se separan de la disoluci6n. E n ot;?s palabras, 10s cristales de hielo y una disoluci6n de sal so10 pueden estar en equilibrio

i- a -200 C, justamente como 16s cristales de hielo y el agua pura- i~nica- t?: I-.

mente pileden coexistir a 00 C. Cuando se mezcla hielo a 00 C con una disoluci6n dc sal a 200 C, parte

del hielo se funde, extrayendo su calor de fusion de la disolucibn hnsta que la temperatura clesciende a 00 C. Pero, puesto que el hielo _v la diso- luci6n no puedcn permanecer en equilibrio a 00 C, el hielo continua fun- diCndose. El calor es ahora cedido tanto por el hielo como por la di- soluci6n, y ambos se enfrian hasta que se alcanza ia temperatura de equilibrio de -200 C. Si no se suministra calor del esterior, la xnezcla i

I + permanece invariable a esta temperatura. Si la mezcla se pone en contact0 I

con un cuerpo caliente (p. ej., una crema que se desea helar y que est6 I I .

a 200 C), el calor pasa de esta crema a la disolucion refrigerante, fundiendo m6s hielo, pero sin producir ningun aumento de temperatura mientras exista hielo. El calor ceclido por la crema hace que descienda su temperatura hasta su punto de solidificaci6n (que serh por debajo de 00 C, puesto que ella misma es tarnhien una disolucion), y si continua cediendo calor a la mezcla de hielo y sal, se solidifica.

El punto de ebullici6n de un liquido tambiCn es afectado por las sustancias disueltas, pero puede ser aumentado o disminuido. Asi, el punto de ebullici6n de una disoluci6n de agua y alcohol es injerior a1 del agua pura, mientras que el punto de ebullici6n de una disoluci6n de sal en , agua es mas elevado que el del agua pura. I

Ambos puntos, el de solidificaci6n y el de ebullici6n7 resultan afec- ! tados por la presi6n exterior. De este fen6meno volveremos a ocuparnos ! en el capitulo XXIII.

PRORLEMAS 413

21-4. Medida de 10s calores de fusi6n y vaporizaci6n.-Para medir 10s calores de fusibn y vaporizaci6n se utiliza el mCtodo d e las mezclas; p. ej., el calor de fusi6n del hielo puede determinarse dejando caer una cantidad determinada de hielo a O O C dentro de u n calorimetro que contiene una cantidad tambiCn conocida de agua, y observando la tem- peratuia de esta ultima antes J- despuCs d e aiiadir el hielo. Sea rnh la masa de hielo a 00 C dejada caer dentro del calorimetro que contiene una masa m, de agua, disminuyendo la temperatura del agua desde fl

hasta 12. Supongamos que todo el hie10 se funde, y despreciemos la capacidad calorifica del calorimetro. Entonces, si L representa el calor de fusi6n del hielo, el hielo absorbe una cantidad de calor mhL durante la fusion (convirtiCndose en agua a 00 C) y una cantidad mas de calor mhf2 para calentarse hasta la temperatura final f2. E l . agua del ca1ol.i- metro cede una cantidad de calor mm (fl - iz). Por consiguiente,

de modo que puede calcularse L si se conocen las otras magnitudes que figuran en la ecuaci6n.

E l calor de condensaci6n (= calor de vaporizaci6n) del vapor pnede medirse de forma analoga, haciendo que el vapor pase, desde el recipiente en que se produce la ebullici6n, a condensarse dentro del calorimetro. Ordinariamente la condensaci6n tiene lugar en un serpentin sumergido en el calorimetro, d e mod0 que la canticlad d e vapor condensado puede determinarse pesando el serpentin antes y despues del esperimento. Tenemos:

Calor cedido por el vapor que se condensa = msL. Calor cedido por el vapor condensado

(agua a 1000 C) a1 enfriarse hasta tz = ms(lOO - 12). Calor absorbido por el calori~netro = m,v(tz - 11).

El calor de vaporizacibn puede calcularse igualando el calor perdido a1 ganado.

P R O B L E M A S

21-1. Un vaso abierto contiene 5l:pr! g de hielo a -20oC. Puede desprecizrse la capacidad calorifica del recipiente. Se suministra calor al vaso en proporci611 constante de 1000 cal/min durante 100 min. Constrdyase una curva poniendo el tiempo transcurrido en abscisas y la temperatura en ordenadas. 21-2. Un vaso cuya capacidad caiori-

fica cs desprecinble conticne 500 g agua a la temperatura de 800 C. ~ C u i n t o s p a - mos de hielo a la temperatura de -200 C

deben echarse a1 agua para que la telnperatura final del sistema sea de 50° C?

21-3. U n calori~netro de cobre, dc lnasa 100 g, contiene 150 g de ngua y 8 g de hielo en equilibrio termico a la presi6n atmosferica. Se dejan caer dentro del calorinletro 100 g de plomo a la temperatura d e 2000 C. Calculese l a temperatura final si no h a habido perdidas de calor a1 medio arnbicnte. 21-4. Dentro .de un calorflnetro que

contienc 1000 g de agua a 20° C se intro-

414 C.L\IBIOS DE ESTADO [CAP. 21

ducen 500 g de hielo a -160 C. E l vaso calorimdtrico es de cobre, y su masa es 278 g. Calcdlese la temperatura final del sistema, suponiendo que no haya perdidas.

X 21-5. Un calorimetro contiene 500 g dc agua y 300 g de hielo, estando el conjunto a la temperatura de 00 C. Se toma un bloque de metal de 1000 g de masa, de un horno cuya temperatura es 2400 C, echindolo rapidamente en el calorimetro, lo que produce la fusi6n de todo el hielo. ~ C u a l seria la telnperatura final del sis- tcma si la nlasa del bloque hubiese siao el doble? Desprecicnse las pbrdidas d e calor del calorimetro, asi como su capacidad calorifica.

)C 21-6. UII tub0 une un recipiente en el que estA hirviendo agua a la presion a:mosft!rica con un calorimetro. La mas3 del calorimetro es 150 g, su equivalente en agua 15 g y contiene inicialmente 340 g de agua a 150 C. El vapor se condensa en el calorimetro hasta que su

I;- temperatura sube a 710 C, despuds de lo cual la masa del calorirnetro y su contenido resulta ser 525 g. Calcdlese con estos datos el calor de vaporization del agua.

$ 21-7. Un calorimetro dc cobre, con un equiralente en agua de 30 g, contiene 50 g de hiclo. El sistema se encuentra inicialmente a 00 C. Sc introducen en el mismo 12 g de vapor a 1000 C y a 1 at111 de presibn. ~ C u a l es la temperatura final de la rasija y de su contenido?

21-8. Una vasija dc paredes termica- rnente aisladas contiene 2100 g de agua y 200 g de hiclo, a la temperatura dc 00 C. Se introduce en el agua el extremo de un tub0 procedente de una caldera en la que hierve agua a la presidn atmosfkrica. iCuAntos gramos de vapor deben con- dcnsarse para elevar la temperatura del sistema hasta 200 C? Despreciese la capacidad calorifica de la vasija.

21-9. Un bloquc dc hierro de 2 Kg se saca de un hurnn donde su temperatura era 6500 C, y se coloca sobre un gran bloque de hielo a 00 C. Suponiendo que tudo el cnlor cedido por el hierro se

utiiice para fundir hielo, lcuanto hielo se fundirh?

21-10. Una barra d e cobre de 6 cm2 de secci6n y 15 cm de longitud se coloca con un extremo en un baiio de vapor y con el otro en una mezcla de agua y hielo, ambos a la presi6n atmosferica. Las caras de la barra estan aisladas t6r- micamente. Despues de conseguido el es- tad0 estacionario: a) ;qu6 cantidad de hielo se lunde en 2 min'?; b) lqud cantidad de vapor se condensa en el mismo tiempo?

21-11. Una caldera cuyo fondo es de acero de 1,5 crn de espesor estit puesta sobre una estufa. E l Area del fondo de la caldera es de 1500 cm?, p el agua que contiene esta a 1000 C, evaporlndose 750 g cada 5 min. Hallese la temperatura de la superficie interior de la caldera, en contact0 con la estufa.

21-12. Una nevera cuya pared tiene una supcrficie de 2 m2 y 5 cm de espesor esta construlda con material aislante de una conductividad tdrrnica de 10-4 call seg-cm-OC. La temperatura exterior es de 200 C y el interior de la nerera se mantiene con hielo a P C . El hiclo fundido sale de la nevera a una temperatura de 150 C. Si el hielo cuesta 1 pta. por kilogramo, jcuitl sera el gasto de la nevera por hora?

21-13. En un sistema domCstico de calefaccidn por agua caliente, el agua llega a 10s radiadores a la temperatura de 600 C y sale a 380C. Se desea reemplazar el sistema de calefacci6n por otro de vapor en el cual el vapor a la presibn atmosfbrica se condcnsa en 10s radiadores, saliendo de Bstos a 820 C. ;Cuintos kilogramos de vapor suministraran el mismo calor que suministraba 1 Kg de agua caliente en la primera instalacidn?

21-14. Un dep6sito termico, que almacena el calor del sol, tiene una capacidad de 4 millones de Btu. Comparense las ncicesidades de espacio para este al- macensn,ianto en las hip6tesis: cl) q-e el calor se conserva en agua caliente desde una temperatura minima d e 800 F 2 una mitxirna de 1200 F; 5) que el calor se

CAPITULO XXII

PROPIEDADES DE LOS GASES LOS GASES PERFECTOS

22-1. Ley de Boy1e.-Este capitulo y el siguiente estdn dedicados a1 estudio de las propiedades de 10s gases, y a la exposicion de algunos principios importantes cuya aclaracion queda facilitada con ayuda de un gas. Sabemos que 10s 8tomos de un gas se encuentran mucho mds separados que 10s d e un liquid0 o 10s de un solido; por consiguiente, las fuerzas interatomicas existentes tienen menor importancia y el corn- portamiento de un gas estd gobernado por leyes mas sencillas que las correspondientes a liquidos y solidos. Aplazaremos el estudio del modelo atomic0 de un gas hasta el capitulo XXV, y por ahora nos'limitaremos a considerar algunas magnitudes directamente medibles. ',.

En 1660, Robert Boyle daba cuenta de uno de 10s primeros esperimentos cuantitativos que se refieren a1 comportamiento de 10s gases. Encontro que si se mantiene constante la temperatura de una masa

5' determinada de gas mientras su volumen varia entre limites amplios,. C- -. la presion ejercida por el gas varia tambiCn, d e tal mod0 que el pro-

ducto de la presion por el volumen permanece (aproximadamente) constante. En simbolos matemdticos,

p V = constante. Temperatura constante, y 1 I

[22- 1 ] masa constante

Esta relacion constituye la ley de Boyle @ representa la presion absolula).

Si 10s subindices 1 y 2 se refieren a dos estados diferentes del gas a la misma t.emperatura, la ley de Boyle puede tambiCn escribirse:

Los estados 1 y 2 es t ln '' li = p2 vz { a la n~isma temperatura [22-21

El product0 PI-, aunque permanece aprosimadamente constante a una temperatura dada, \-aria algo con la presi6n. Por ello es conveniente postular una sustancia imaginaria llamada gas perjeclo, la cual, por deli- nicidn, cunlple exactamente la ley de Boyle a todas las presiones. Los gases reales a bajas presiones se coinportan con mucha aprosimaci6n como gases perfectos.

La relacion entre la presion y el volumen de un gas perfecto a temperatura constante st5 representada por las cun-as de la figura 22-1, en las cuales se ha puesto V en abscisas, y p, en ordenadas. Se suele

I decir que Cstas definen un plano p-V. Las curvas son hiperbolas equilri- 416

SEC. 22-11 L E Y DE BOYLE 417 I

ma temperatura en todo ~i. Tal conl- FIG. 22-1.-E1 producto de la presinn por

pfesion lenta hate pasar a1 gas por una ,I ,.oII,,,~ de un gar; pei-tecto (a ternpera- serie d e estados, cada uno de 10s cuales turn constante) es constante.

teras cuyas asintotas son 10s ejes p y 1'. Cada curva corresponde a una temperatura distinta; esto es, que si bien pV = consfanfe a u n a cierta temperatura, la constante es mayor a1 elevarse la temperatura.

Es necesario subrayar que para poder hablar d e la femperatura y de la-presidn de un gas (o de cualquier otro cuerpo) es necesario que todas sus partes estCn a la misma temperatura o presion. Cuando la presi6n y temperatura son las mismas en todo el gas, se dice que est8 en equilibrio. Por ejemplo, un gas contenido en un depdsito calentado directamente por la llama de un mechero en uno de sus lados no est6 en equilibrio, y carece de sentido hablar de la femperatura del gas. Unicamente cuando el gas se ha abandonado a si mismo durante tiernpo suficiente para que su temperatura sea la misma en todos sus puntos, podemos asignar a1 gas una temperatura.

Cada una de las curvas de la figura 22-1 puede considerarse que representa una fransformacidn experi-

es muy aproximadamente un estado de equilibrio, y se denomina transformacion reversible. A menos que se diga otra cosa, supondremos en lo siicesivo que todas las transformaciones se verifican de este modo; esto es, que en cada e tapa d e la trans- formation el gas se encuentra pricticamente en estado de equilibrio.

Cualquier transformaci6n en la cual la temperatura permanece constante se denomina isolerma, y las curvas de la fi'gura 22-1 son las curvas isotermas, o simplemente las isolerrnas d e un gas ideal.

Es evidente que se hace trahajo por un gas en una expansion isoterma, mientras que es necesario hacer trabajo sobre un gas para corn- primirlo. El trabajo realizado puede calcularse mediante la ecuaci6n

r Vr

mentada por el gas; p. ej., la transfor- P maci6n en ~ i r t u d de la cual el gas es comprimido desde un volumen dado hasta un volumen menor en una bomba de bicicleta. hlds adelante demostraremos que a1 objeto de mantener la temperatura constante en una compre- si6n de este tip0 seria necesario qui- tar calor a1 gas, y, por consiguiente, el proceso tendria que realizarse lentamente ~ a r a mantener siempre la mi+

Escribamos la ley de Boyle en la forma

I' Y

118 PROPIEDADES DE LOS GASES [CAP. 22 . ~~ -

I>c donde

y corno C es igual a1 product0 constante pV en todas las etapas del proccso, se puede escribir:

V2 vz I\' = ply1 In- = p2V2 In-. v1 v1 A su vez, por ser

vz Pl

FIG. 22-2.-Trabajo realizado en la expansi6n isoterma de un gas

P1 W = plV1 In-, etc. perfecto. Pz

Graficamente, el trabajo realizado en una expansi6n isoterma esth representado por el Qrea situada por debajo de una curva isoterma en el plano p-V, que aparece rayada en la figura 22-2. Si el proceso es una expansibn, como ocurre en la figura, el cociente V2/Vl > 1; su logaritmo es positivo, y, por ello, tambiin lo es W. Si el proceso es una compresibn, la razbn V2/Vl es inferior a la unidad, y su logaritmo, negativo. Por consiguiente, cuando se hace trabajo sobre un cuerpo W es negativo.

Las unidades de W son identicas a las del producto pV, puesto que el logaritmo es un ntimero sin dimensiones. ~ i - ~ se mide en dinaslcmz y V en cm3, W vendri expresado en dinas-cm, es decir, ergios. En el sistema mks, W viene medido en julios. Si p se expresa en lb/piez y V en pied, W vendri dado en lb-pies.

22-2. Ley de Gay-Lussac.-El primer enunciado precis0 de la ley que relaciona las variaciones de volumen de un gas con las variaciones .de su temperatura fuC publicado por Joseph Louis Gay-Lussac, en 1802. Anteriormente habian sido llevados a cab0 trabajos sobre la materia por otros muchos investigadores, entre ellos Jacques A. C. Charles, cuyo nombre va asociado con frecuencia a1 de Gay-Lussac en relacibn con esta ley.

Gay-Lussac midi6 lo que llamariamos ahora el coeficipnte de dilatacidn de cierto numero de gases distintos, y a1 parecer fuC el primer0 en reconocer que, a1 efectuar tales medidas con 10s gases, es esencial mantener constante la presibn. Si no se hace esto, las vnriaciones de volumen debidas a 10s cambios de presibn no permitirin conocer las

SEC. 22-21 LEY DE GAY-LUSSAC 419

variaciones de volumen debidas unicamente a 10s czmbios de temperatura.

La magnitud medida'era, por consiguiente, el coeficiente de dilatacibn chbica a presidn consfanfe. Los resultados experimentales pueden espresarse por la siguiente relacibn:

siendo Vo el volumen a una temperatura de referencia to, y V, el volumen a la temperatura t. El coeficiente P es el coeficiente de dilatacibn cubica, expresado en grados reciprocos. Su valor numeric0 depende del valor del grado (es decir, centigrado o Fahrenheit) y del a temperatura de referencia, lo. Si, como es el caso corriente, se toma como temperatura de referencia la de 00 C, la Ec. [22-31 se convierte en

v = Vo(1 + Pot). [22-41

El simbolo Po indica que la temperatura de referencia es la de 00 C. El primer punto de interds es que el volumen es funcibn lineal de la

temperatura. El segundo, aun m6s sorprendente, es que el coeficiente de dilatacibn, Po, tiene, aproximadamente, el mismo valor para todos 10s gases (comparese esto con el hecho de que 10s coeficientes de dilataci6n de 10s s6lidos y 10s liquidos difieren mucho de unas sustancias a otras). Midiendo Po para un cierto ndmero de gases en series de medidas efec- v tuadas a diferentes presiones, se encontr6 que cuanto m5s baja es la presion, con tanto mayor aproximacibn coinciden 10s valores de Po para 10s distintos gases. Extrapolando / dichas series de me'didas hasta la Yo presi6n cero, se obtiene el siguiente valor, comun a. todos 10s gases:

0

I 1 PC

Po=0,003660 por grado centigrado. FIG. 22-3.-A presi6n constante, el volumen de un gas perfecto es funcidn lineal de su

De acuerdo con esto, ampliamos temperatura.

nuestra definicibn de gas perfecto, y establecemos que, ademas de obedecer la ley de Boyle a todas las presiones, debe cumplir la ley de Gay-Lussac, con un coeficiente Po = 0,003660 por grado centigrado.

El valor 0,003660 es aproximadamente igual a 11273, y 10s hechos experimentales anteriores se enuncian, con frecuencia, diciendo: el VOIU- men de una masa fija de cualquier gas a presibn constante aumenta en 11273 de su valor a 00 C por cada grad0 centigrado que se incremente la temperatura.

La relacibn lineal entre voltimenes y temperaturas, a presi6n constante, esth representada en la figura 22-3.

420 PROPIEDADES DE LOS GASES [CAP. 22

22-3. Ecuaci6n de esfado de un gas perfecto.-Podemos combinar las leyes de Boyle y Gay-Lussac para obtener una sola ecuacion que relacione la presion, el volumen y la temperatura de un gas perfecto. El

razonamiento se comprenderi mejor P con ayuda de un diagrama en el plano

p-V. Las coordenadas del punto 1 en la figura 22-4 representan la presion y el volumen de una cierta masa de un gas perfecto a la presi6n po = 1 atm y temperatura fo = 00 C. El pun- to 2 es otro punto cualquiera en el

I a cuaI la presidn es p, el volumen V y I la temperatura f O C. Consideremos una I I I Y transformacidn, representada por las Vo V i '3 lineas de trazo grueso, en la cual el

FIG. 22-4. gas se expande primer0 desde su estado inicial a otro estado (punto 3) a la

misma presidn, per0 a la temperatura 1, y despues se comprime isotermi- camente hasta el punto 2.

Puesto que 10s puntos 1 y 3 estin a la misma presidn, se deduce, de la ley de Gay-Lussac:

Dado que 10s puntos 3 )r 2 estzin a la misma temperatura, se deduce, de la ley de Bogle:

p v = p0v3. [22-61

Cuando el valor de VY3 deducido de la Ec. [22-51 se sustituye en [22-61, se obtiene:

pT7 = poVo(1 + Pol), que puede escribirse:

La expresibn poVoPo se calcula del mod0 siguiente: la presidn po es 1 atm = 1,013 x 106 dinas/cn12. La temperatura es to = 00 C, y el volumen Vo es, por consiguiente, el volumen ocupado por el gas a 1 atm y 00 C (cccondiciones normalese). Es sabido que, en condiciones normales, una molkcula-gramo de cualquier gas ocupa un volumen de 22,415 1, o sea 22 415 cn13 (aprosimadamente, 22 400 cm3). Por consiguiente, si la masa del gas contiene n molCculas-gramo, su volumen sera Vo = = n x 22,4 1 = n x 22 400 cm3. Por tanto, en unidades cgs:

SEC. 22-31 E C U A C I ~ N DE ESTADO DE UN GAS PERFECTO - 42 1

y en un sistema mixto en el cual la unidad de presi6n sea 1 atm, y la de volumen, el litro:

Los coeficientes 8,31 x 107 6 0,08207 son iguales para todos 10s gases; I su valor numeric0 queda determinado par las unidades elegidas. Ambos se representan por la letra R, llamada consfante universal de 10s gases perfeclos:

i R = 8,31 x 107 erglmol-OC = 0,08207 litros-atmlmol-OC [22-81 1

' 1 Consideremos ahora la expresidn encerrada entre parentesis en la

I 1 Ec. [22-71, ( l + $ ) . Puesto que Po son grados centigrados recipfocos, i

; 1/po sera grades centigrados y representa una temperatura. La adici6n de esta temperatura a la temperatura centigrada 1 es equivalente a expre-

. sar las temperaturas en una nueva escala cuyo punto cero esta l / P o grados : por debajo del cero centigrade, per0 en la cual el interval0 unidad de

- 1 temperatura es el mismo que en la escala centigrada. Las temperaturas 1 correspondientes a esta escala se denominan temperaturas cenllgradas 4 absolulas o temperaturas Kelvin, y se representan por la letra T:

i 4

La Ec. [22-71 puede escribirse ahora:

pV = nRT E 3 [22-101

( en la cual, si p esth en atmosferas, V en litros, n en moles-gramo y T en grados Kelvin, sera R = 0,08207 litro-atmlmol-OK; mientras que si p est5 eil dinaslcmz, V en cm3, n en moles-gramo y T en grados Kelvin, resulta para R el valor 8,31 x 107 erg/mol-OK. La Ec. (22-101 se conoce con el nomhre de ecuacidn de esfado de 10s gases perfeclos.

ObsCrvese que en la discusi6n anterior nada excluye la existencia d- temperaturas mas bajas que el cero de la escala Kelvin. De la Ec. 122-101 resulta que el volumen de un gas perfecto mantenido a presion constante se anularia a la temperatura correspondiente a1 cero de la escala Kelvin, o bien la presion de un gas perfecto mantenido a volumen constante se haria cero a dicha temperatura. Estas consecuencias, de por si, no implican que no pudieran alcanzarse temperaturas miis bajas. La verdadera significaci6n de que el cero absolute pueda considerarse como el limite inferior de las temperaturas obtenibles, s610 puede aclararse por razona- mientos basados en el segundo principio de la termodingmica. En la secci6n 24-9 nos ocuparemos brevemente de este punto, y daremos otra definition de la escala Kelvin de temperatura.

422 P R O P I E D - ~ E S DE LOS GASES [CAP. 22 . -

El n6mero de moles n en una masa de gas es igual a la masa m del gas dividida m

por sa peso molecular. Si representarnos este dltimo por A f , se tiene n = - . Por M

consiguiente, podemos escribir: R

pF = m- T. A f

Por definici6n, la densidad del gas, p, es

y las formas posibles de la ecuaci6n [22-101 son:

Se ve que la densidad de un gas depende de la presi6n y de la temperatura tanto como de su masa molecular. Por consiguiente, a1 disponer en tablas Ins densidades de 10s gases dehen especificarse la temperatura y la presi6n. E n la tabla 22-1 se dan las tlensidades de algunos gases.

El volumen por unidad de mas; de una sustancia se denomina su Dolumen especlfico, y se representa por el sfrnbolo D:

v

El volumen, cspecIfico es. sencillamente, el valor reciproco de la densidad, m/Y; por tanto, otra forma de la Ec. [22-101 serA:

El volurnen especlfico molar se define como el volumen por mol, J'ln. Tambien se representa por la letra v, por lo que la Ec. (22-101 puede escribirse en funci6n de 61:

p~ = RT. [22-121

(No merece la pena intentar aprender de memoria estas varias formas de la ecua- ci6n de 10s gases perfectos, pues es suficiente recordar la Ec. [22-101.)

TABLA 22-1

Densidades de 10s gases (Gramos por centimetro ciibico a 1 atm y Oo C)

Aire . . . . . . . . . . . . . . . 1.2929 X 10-2 At~hidrido carb6nico . . . . . . . . 1,9769 Arg6n . . . . . . . . . . . . . . 1,7832 Hclio . . . . . . . . . . . . . . 0.1785 Hidr6gcno . . . . . . . . . . . . 0,0899 Nitr6geno . . . . . . . . . . . . 1,2506 Oslgeno . . . . . . . . . . . . . 1.4290

Puede obtenerse una forma mis conocida de la ecuaci6n de 10s gases perfectos escribiendo la Ec. [22-101 en la forma

I

SEC. 22-41 E N E R G ~ A INTERNA DE UN GAS 423 I

I Si a una masa determinada de gas se le hace experimentar una trans-

formacibn cualquiera, el segundo miembro de la Ec. [22-131 tendri el mismo valor en todas. las etapas del proceso. Por consiguiente,. si 10s subindices 1 y 2 se refieren a dos estados cualesquiera,

EJEMPLO 1.-~Cuhntos kilogramos de 0 2 esthn contenidos en un dep6sito cuyo volumen es 54 litros cuando la presi6n manometrica es 145 Kg/cmZ y la temperatura 27O C? Sup6ngase que se cumplen las leyes de 10s gases perfectos.

145 Pabs = - 1,033

+ 1 = 141 atm;

Por conslguiente, ! !

p V 141 x 54 n = - = RT 0,082 x 300

= 334 mol = 334 x 32 = 10688 g = 10,668 Kg.

EJEMPLO 2.-~Qu6 volumen ocuparfa este gas si se le permitiera dilatarse hasta la presi6n atmosfkrica, a la temperatura de 500 C?

Puesto que se t ra ta siempre de una masa fija de gas, podemos escribir:

PIVI pzva -- - -: PI Tz 141 323 * ,

v z = vl--= 54 x - x - - TI 1 3bO

- 8198 litros. pz 2.1

22-4. Energia interna de un gas.-Como parte de su programa de medir el equivalente mecinico del calor, Joule se propuso probar que en cualesquiera circunstancias en que la energia mecinica se transforma en calor, una cantidad dada de energia mecfinica se convierte en la misma cantidad de calor independientemenfe del mecanismo mediante el cual se realice la fransformacidn. Un proceso que da lugar a .la production de

-calor mediante el suministro de energia mecinica es, p. ej., el de compresion de un gas, donde, como es sabido, la temperatura del gas aumenta a menos que se extraiga calor. Si el gas es t i contenido en un cilindro sumergido en un baAo de agua, puede medirse el calor desarrollado, y puesto que se conoce el trabajo realizado, resulta posible calcular el equivalente mecanico del calor, con tal que todo el trabajo se convierta en esta forma de energia, y no en ninguna otra. Este fuC el mCtodo utilizado por Joule,en el curso de sus experimentos.

Se concibe, s i n embargo, que parte del trabajo realizado a1 comprimir un gas s'irva para aumentar la energia interna del gas y no apa- rezca, por tanto, en forma de calor. Es necesario, pues, un estudio separado para determinar la forma en que la energia interna de un gas depende de su temperatura y de su volumen. Esto fuC realizado por Joule en un experiment0 clisico que lleva su nombre.

424 PROFIEDADES DE LOS GASES [CAP. 22

Formulemos el principio de conservacibn d e l a energia en la forma siguiente: en la pigina 410 hemos utilizado, en relaci6n con 10s calores de transformacion, la relacion siguiente:

que expresa el liecho de que el calor de transformacion, mL, se debe en parte a un incremento de !a energia interna, C-r - UL, y en parte, a1 Lrabajo mecinico, W, reaiizado durante el carnbio de estado. El mismo pyincipio de conservaci6n %e aplica a todo proceso en que se suministra calor a un sistema; este calor, bien da lugar a un incremento de la energia interna, o bien a cierto b b a j o realizado por el sktema. Por tanto, si se representa por Q el calor suministrado en un proceso cualquiera, se puede escribir:

[ 2 2 1 51

o, si se trata de un proceso infinitesimal,

'\

dQ =dU f dl%' I \ [22-161 (Q, U y W deben medirse en las mismas unidades).

Esta relacibn, que expiesa el principio de conservaci6n de la energia, y que incluye a1 calor como una forma de esta, se denomina primer principio de la termodinamica.

Consideremos de nuevo el experimento de Joule, representado esquematicamente en la figura 22-5. Se in- FM-1 . . . . . . ... troduce gas a presion en la vasija 1, y se

..:. ::.:.:... : .,.. vacia la vasija 2, ~ermi t iendo que el sis-

. . . . . . , . , ... . .. . . . tema adquiera una temperatura unifor- :..:..:.;:..:.;.. :: .':..: : .... . . . .. me. A continuacibn. se abre la llave que

2 separa ambos depbi tos , pasando gas del

1 FIG. 22-5.-Enpansi6n libre de un primer0 a1 segundo hasta igualarse las en un dep6sito donde se ha efectuzdo presiones en ambos. E l gas restante en la

un vacio previo. vasija 1 se enfria por expansion, mientras que el que fluye e n la vasija 2 aumenta

su temperatura. Si ambas 1-asijas se encuentran. sumergidas en un depbsito de agua mantenida en constante agitacibn, se observa que no se produce ningdn carnbio neto de la temperatura del agua; es decir, que el enfrianliento de una parte del sisttma compensa el calentamiento de la otra.

Puesto que la temperatura del agua no experirnenta camhio alguno, no ha pasado a ella ningim calor; esto es, no se h a suministrado calor a1 gas, y Q = 0. Ademas, e l trabajo esterno realizado por el gas es tambien nulo. A primera vista esto resulta sorprendente, puesto que el volumen del gas ha aumentado, y el gas contenido en la vasija 1 efectlia trabajo sobre el gas que pasa a la ~ a s i j a 2. Sin embargo, dicho trabajo se realiza por una parte del gas sobre otra parte del mismo, es decir, es una trans-

SEC. 22-51 CALOIIES ESPEC~FICOS D E UN GAS 425

ferencia de energia dentro del propio gas y no representa t rabajo realizado por el gas en su conjunto sobre el exterior. Por tanto, W = 0, Y, en virtud del primer principio,

0 = Uz - U1 + 0, o bien, U2 = UI.

Esto es, la energia interna del gas es la misma tanto si ocupa u n ~ 0 1 ~ - men grande como si este es pequeiio, mientras no varte su femperalura, lo cual se expresa de ordinario en la forma:

La energin interna de un gas es funcidn unicamenfe de su temperatura, y no depende de su volumen.

Experimentos mas precisos realizados en aiios recientes han probado que 10s gases reales experimentan un pequeiio descenso de temperatura en este proceso de la expansi6n de Joule. Generalizando nuestra defini- ci6n de gas perfecto, diremos que para dichos gases es nula la rariacibn de temperatura en la expansion de Joule, y que la energia interna de un gas perfecto s610 depende de su temperatura.

Joule dedujo del resultado de este experimento que podia aceptarse la hipotesis de que todo el trabajo realizado a1 comprimir isolirmica- menfe un gas se convierte en calor. Naturalmente, definicion, esto es estrictamente cierto para un gas perfecto.

22-5. Calores especificos de un gas.-La capacidad calorifica especifica de una sustancia quedo definida en el capitulo XIX mediante la relacion

dQ c =- mdT

En el caso de 10s gases, resulta mris conveniente utilizar el calor especifico molar, que es igual, numiricamente, a1 calor necesario para aumentar en un grado la temperatura de un mol. El calor especifico molar se representa por el simbolo C, y por definicion es:

donde n representa el ntimero de moles. Apliquemos esta relacibn a1 proceso d e elevar la temperatura de un

gas. Supongamos que se tienen dos cilindros [Fig. 22-6 (a ) y (c)] que contienen masas iguales de un gas perfecto en identicas condiciones iniciales de presibn, volumen y temperatura. Se mantiene constante el volumen del cilindro (a), mientras que el segundo cilindro v a provisto de un Cmbolo que permite expandirse el gas a presi6n constante. Su- pongamos que se suministra suficiente calor a cads uno d e 10s cilindros para aumentar su temperatura en la misma cantidad; e n virtud del primer principio:

dQ" = dU, + dW,;

dQp = d U p + dWp, [22-171

A: ! ( ; PROPIEDADES DE LOS GASES [CAP. 22 < 1

1 % ~ . 22-6.-Para calentar un gas a presion constante es necesario realizar trabajo externo- - por consiguiente. C , > C..

donde 10s subindices p y n se refieren a 10s procesos realizados a presi6n constante y a volumen constante, respectivamente.

En cada cilindro se dedica la rnisma cantidad de calor a aumentar la energia interna, ya que, por definicibn, la energia interna de un gas perfecto s610 depende de su temperatura, y en cada cilindro tiene lugar la misma elevaci6n de temperatura; por tanto,

Sin embargo, el trabajo mecanico realizado no es el mismo en ambos cilindros: es nulo en aquel donde el volumen permanece constante, e igual a pdV en el que se mantiene a presi6n constante; es decir,

Las Ecs. 122-171 se escriben, por tanto, en la forma

lr~rgo el calor que debe surninistrarse en el proceso a presi6n constante, durante el cual se expande el gas 3- realiza trabajo, es mayor que el suministrado en el proceso a volumen constante, en el que no se realiza trabajo alguno.

De la ecuacibn de 10s gases perfectos, para un proceso a presibn constante, se tiene:

pdV = n R d T . I'or tanto,

dQ, = dU + n R d T .

I:innlmente, en virtud de la definici6n de calor especifico molar,

SEC. 22-51 CALORES ESPEC~FICOS DE UN GAS 427

d U n R d T d Q , - - + - cp =-- ndT ndT n d T

Esto es, el calor especifico molar de un gas perfecto, a presi6n constante, excede a su calor especifico, a volumen constante, en la constante R de 10s gases. Naturalmente, R debe expresarse en las mismas unidades que C, y C,; Cstas son de ordinario cal/moI O C ; puesto que R = 8,31 julios/mol O C y 4,19 julios = 1 cal,

o sea, aproximadamente, 2 cal/mol O C .

La Ec. 122-201 es s610 rigurosamente cierta para un gas perfecto, per0 resulta muy aproximada para 10s gases reales.

Debe seiialarse que existen otras muchas formas de calentar u n gas aparte de las correspondientes a volumen o presion constantes. Por ejemplo, en la figura 22-6 puede desplazarse el Bmbolo hacia arriba o hacia abajo mientras se suministra calor a1 gas, de forma que varien la temperatura, el volumen y la presi6n durante dicho proceso. Para cada forma de hacer variar el volumen, es distinto el trabajo externo, y, par tanto, es diferente el calor especlfico. Ya que existen infinitas formas de variar el volumen, un gas tiene un nbmero infinito de calores especificos: todos 10s nb- rneros del interval0 (- oo, + m). Sin embargo, como la mayoria de 10s procesos I' reales tienen lugar bien en una vasija cerrada (volumen constante) o en una vasija abierta a la atrn6sfera (presi6n constante), C, y C p son 10s calores especificos mas utilizados.

Los s6lidos y liquidos tambiCn se dilatan cuando se calientan si se. les permite hacerlo, y, por consiguiente, realizan trabajo; per0 10s coeficientes de dilatacibn cubica de s6lidos y liquidos son mucho menores que 10s de 10s gases, y el trabajo exterior es pequeiio. La energia interna de un s6lido o de un liquido depende de su volumen tanto como de su temperatura, lo cual debe tenerse en tuenta a1 calcular la diferencia entre 10s calores especificos de s6lidos o liquidos. Ta~nbiCn en este caso es C, > Cv, pero la diferencia es pequeiia y no puede expresarse de mod0 tan sencillo como para un gas. A causa de 10s grandes esfuerzos origi- nados cuando se calientan 10s s6lidos o 10s liquidos y no se les permite dilatarse, la mayor parte de 10s procesos de calentamiento en que toman parte tienen lugar a presi6n constante, y, por consiguiente, la magnitud que se mide de ordinario en el caso de sblidos y liquidos es Cp.

Parte de la definici6n de un gas perfecto se refiere a que su energia interna es funci6n dnicamente de su temperatura. La forma precisa de la funci6n esta dada por la Ec. [22-181; es decir: ,

d U = nCvdT, a [22-181 o, si se trata de un proceso finito,

U2 - U1 = nC"(T2 - TI). 122-21 ] -

428 PROPIEDADES DE LOS GASES [CAP. 32

TABLA 22-1

Calores especfficos de algunos gases a la tempera! u r a ambienfe

GAS I Cl ( d i g .C) C. (ralirnol 0C) I He . . . . . 1,23 5,OO 1,660 A . . . . . . 0,1253 5,Ol 1,668 H z . . . . . . 2,389 6,778 ! 1,110 N z . . . . . . 0,2177 6,95 1 1,101 0 2 . . . . . . 0,2175 6,9S 1,101 Aire . . . . . 0,210 6,06 1 1,10 COe . . . . . 0.1 9S9 8,76 1,301 N H 3 . . . . . 0,5232 8,90 1 1,310 Hz0 . . . . . 0,465 8,37 1 1,27

A1 igual que en todas las restantes formas de energia, s610 se tienen en cuenta o se miden diferencias de energia interna.

\

La Ec. [22-211 significa que la variacion de energia interna de n moles de un gas perfecto en cualquier proceso equivale a1 product0 del nlirnero de moles por la temperatura y por el calor especifico molar a volumen conslanle, incluso aunque el proceso no se verifique a volumen constante. Todo esto resulta confuso y precisa de alguna aclaracion. 1:~ -~ Supongarnos que desearnos hallar la variacion de energia interna de un gas perfecto que es llevado a lo largo de la linea 1-2 desde el estado

representado por el punto 1 en la figu- \ j ra 22-7 a1 representado por el punto 2, proceso en el que ni el volumen, ni la presion, ni la temperatura permanecen constantes. Si se llevara el gas desde el misrno estado inicial (1) a1 mismo estado \ final (2) por cualquier otro proceso (tal como 1-3-2), su estado final no se dis-

4 t inpir ia del que se obtiene en el pro- 1 ceso 1-2. Por tanto, el cambio de energia

TI interna entre 10s estados 1 y 2 es el mis- v mo para todos 10s procesos que pasen de

FIG. 22 -7 . -~a variaci6n dc energia uno a otro de estos puntos. Ahora bien: interna es la misrna para todas las trayectorias clue unan 10s dos puntos cualquiera que sea la position de 10s Pun-

finales dados. tos 1 y 2 en el plano p-IT, es siempre posible ir desde un punto a1 otro siguiendo

una trayectoria tal como 1a:l-3-2, que equivale a un proceso a volumen constante combinado con un proceso isotermico.

Evidentemente, la variaci6n de energia interna a lo largo de la trayectoria 1-3 es:

U3 - Lrl = RCV (T2 - TI),

ya que esta parte de la trayectoria se realiza a volurnen constante. La

SEC. 22-61 E N E R G ~ A I N T E H N A Y CALOR 429

variaci6n de energia interna a lo largo de la trayectoria 3-2 es cero, ya que tiene lugar a temperatura constante; es decir:

U3 = U2. Por tanto,

Uz - UI = nCv (Tz - TI),

y como esta diferencia es la misma para todas las trayectorias que unan 1 y 2, tambiCn se verifica para el proceso 1-2.

22-6. Energia interna y ca1or.-En la seccibn precedente hemos justificado la aplicacion de la Ec. [22-211 a cualquier proceso mediante el argument0 de que el estado final del gas, si se llega a 61 por cualquier trayectoria que una 10s puntos 1 y 2 de la figura 22-7, no se distingue del estado alcanzado cuando se pasa de 1 a 2 por medio de cualquier otra trayectoria. Dicho de otra manera, hemos recurrido linicamente a la intuicion para concluir que la variaci6n de energia interna entre 10s dos estados es independiente de la trayectoria seguida. Sin embargo, la fisica es una ciencia experimental, como asimismo lo es la ley de con- servaci6n de la energia. Veamos cuales son 10s hechos esperimentales expresados por el primer principio de la termodinimica (Ec. [22-13]), que podemos escribir en la forma

Esta ecuaci6n difiere de otras muchas relaciones fisicas en que no describe una igualdad que se verifica entre dos magnitudes medibles. Esto es, en tanto que el calor Q suministrado a un sistema puede medirse mediante un calorimetro, y el trabajo TV realizado por el sistema puede declucirse a partir de mediciones mecanicas, n o se dispone de ningzin instrumenlo para medir la energia inlerna. La Ec. [22-151 n o implica que si medimos las magnitudes Q, 117, Uz y U1 deba verificarse la rela- ii6n dicha.

El verdadcro significado del primer principio es que si medimos Q y IY para cualquier numero de trayectorias que unan 10s dos mismos puntos extremos, encontraremos que, si bien el calor aiiadido puedc variar de una trayectoria a otra, colno asimismo puede hacerlo el trabajo realizado, la esperiencia nos dice que la diferencia Q - W es la misma, cualquiera que sea la trayectoria elegida. Por tanto, esta dife- rcncia deline la variacibn de energia interna Uz - U1. 3Iientras que la Ec. [22-151es una ley experimental, la parte cle ella que se apoya en la experiencia no es que Q - \Y = U2 - U1 (lo cual es cierto por definicion), sin0 que Q - TV conserva el misrno valor para todas las trayectorias que unan 10s mismos extremos.

, . Resulta asi que si se asigna un valor arbitrario a la energia interna t

correspondiente a un estado de referencia dado, su valor para cualquier otro estado queda univocamente definido, debido a que Q - IV es la t misma para todos 10s procesos que hagan pasar de uno a otro estado. i (

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=: 3

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3s

i i i SEc- 22-81

COXIPRESIBILIDAD DE UN GAS 433 432 PROPIED.-\DES DE LOS GASES [CAP. 22

= log 1 , l + 1,4 log 15

= 0,0114 + 1,6465 = 1,6879;

pa = 48,7 Kg/cm2.

menes iniciales y finales. Si se conocen las temperaturas inicial y final, i . 1 4 se puede utilizar la Ec. [22-281 y escribir: it

L a temperatura puede deducirse de cualquiera de las Ecs. [22-3-61 6 122-271, o clr la ley de 10s gases perfectos. Asf, por la Ec. [22-261:

EJEMPLO.-Calclilese el trabajo realizado en la carrera de compresi6n del motor Diesel descrito en el ejemplo anterior. Sea 1000 cm3 el volumen inicial.

De la Ec. [22-291 resulta:

p2V2 - plvl W =

I - Y

log T~ = log T1 + (I - 1) log ($) = log 289 + (1,4 - I ) log 15

= 2,4609 + 0,4704 = 2,9313;

Tz = 8530 C absolutos = 5800 C. \

Las presiones deben espresarse en kilogramos por metro cuadrado, y 10s voldme- nes, en metros cubicos.

0 tambibn:

El trabajo resulta negativo debido a que, seglin el convenio de signos adoptado, [ W es negativo cuanclo el trabajo se hace sobre el tistenla. 487 x 1 - 8530 C abs. = 289 X - - 11 x 1 5 I * 22-8. Compresibilidad de un gas.-Se ha definido la compresibilidad i

de una sustancia (pag. 255) como la disminucibn relativa de volunlen '- i I

por aumento unitario de presi6n:

-.

El trabajo realizado por un gas perfecto en una expansibn adiabatica se calcula en la forma siguiente: por la Ec. [22-221 se tiene:

I Resulta evidente, sin embargo, que si tiene lugar alguna variacib~ de . temperatura mientras se aumenta la presibn, el volumen variar6 s61o

debido a esta causa. En otras palabras, la compresibilidad de una sus- : tancia, como el calor especifico, puede tomar cualquier valor, que depen-

de de las condiciones existentes durante el proceso de compresibn. La compresibilidad isoferma y la adiabcilica son las mAs utilizadas, y pueden deducirse facilmente para un gas perfecto.

Si la temperatura es constante, de la ecuaci6n de Boyle resulta:

Por consiguiente, el trabajo puede calcularse a partir de cualquiera de

estas dos integrales. Consideremos en primer lugar pdT7. Puesto que I p Vy = plVly = pzV2Y = constante = C, se puede escribir:

- 1 -- [C'1721-~ - cv11-y].

l - y

I-Iagamos C = p2Vzy en el minuendo y C = plVly en el sustraentlo; resulta asi-

Esta re~acibn expresa el trabajo en fuoci6n de las presiones y volti-

I SEARS. 1.-28

m m * * Ir)

rr)

@q f*

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a 4 9 0

'n '?%

431 PROPIEDADES DE LOS G.-\SES - ~ C A P . 22 . ..

y la compresibilidad isoterma, k,,, es igual a1 valor reciproco d e la presibn. Si el proceso cs adiabitico,

La compresibilidad adiabi t ica es tambien inversamente proporcional a la presion, pero es menor que la compresibilidad isoterma, ya que y > 1.

Por tanto, un gas se comprime con mayor facilidad a baja presi6n que a presibn elevada, lo cual explica en parte la utilizacibn d e cubiertas neumhticas en lugar de macizas en 1as ruedas de 10s vehicdos autom6- viles. El aire de un neumatico es como un resorte sobre el que actlia una fuerza constante; a1 principio cede facilmente, pero esea facilidad disminuye a1 comprimirlo. No existe ninguna combinacibn de resortes que se comporte de este modo; la constante de un resorte es indepen-

t - diente de la carsa.

Veremos en un capitulo posterior por que debe utilizarse la compresibilidad adiabitica para calcular la velocidad de las ondas sonoras.

P R O B L E M A S

22-1. En dep6sito contiene 40 litros de nitr6geno a una presi6n absoluta de 1,5 Kg/cm" a una temperatura de 50 C. tCu3 sera la presi6n si se aumenta el volnmen hasta 400 l i t r o ~ y se eleva la temperatura hasta 2250 C? 22-2. Un litro d e helio, a la presi6n

de 2 atm y a la temperatura de 270 C, se calirnta hasta que la presi6n y el volumen se dupliquen, a ) (,CuAl es la temperatura final? b) ~Cudntos gramos de helio hay? 22-3. E n frasco de 2 litros de volu-

men, provisto de una llave, contiene oxigeno a 3000 K y a la presi6n atmosfirica. Se calienta el sistema hasta la tempera- t u n de 4000 K, con la llave abierta a la atm6sfera. A continuaci6n se cierra la Ilave y se enfria el frasco hasta su temperatura inicial. a) &CuAl es la presi6n final del osigeno en el frasco? b) ~Cuhn-

tos gramos de oxigeno quedan en su interior? 22-4. En el fondo de un lago, que

tiene una profundidad de 20,4 m, se forma una burbuja de aire de 1 cm de ' radio. La burbuja asciende desde el fondo (temperatura 40 C) hasta la superficie (temperatura 270 C). Si se desprecia la tensi6n superficial, ~ c u a l sera el radio de la burbuja a1 llegar a la superficie: a) si la burbuja estA constanternente a la temperatura del liquid0 que la rodea; b) si no hay transferencia de calor entre la burbuja g el agua? 22-5. El submarino Squalus se hundi6

en un punto en donde la profundidad era 77- m. La temperatura en la superficie era 270 C, y en el fondo, 70 C.La densidad del agua del mar es 1,081. a) Si una campana de buzo que tiene forma de cilindro de revoluci6n de 2,4 m de altura,

PROBLEJIAS 435

abierto por el fondo y cerrado por su parte superior, se hace descender a dicha profundidad, ~ q u 6 altura alcanzara el agua dentro de ella cuando llegue a1 fondo? b) LA qud presi6n manomktrica ha de comprimirse el aire sunlinistrado a la campana cuando se encuentre en el fondo, para expulsar completamente el agua de ella? 22-6. El cilindro de una bomba que

cornprime aire a la presi6n atmosfirica dentro de un deposit0 de grandes dimensiones y cuya presi6n manornktrica es 60 lb/pulg2, tiene una iongitud de 10 pulg. a ) (,En qu6 punto de la carrera del dmbo- lo comenzarh a entrar aire en el depdsito? Sup6ngase que la compresi6n es adiabhtica. b) Si el aire entra en la bomba a la temperatura de 270 C, ~ c u a l sera la temperatura del aire comprimido? 22-7. Un tub0 capilar de 1 rn de lon-

gitud y diametro interior 1 mm esta cerrado en su extremo superior, mientras el inferior se encuentra justamente sumergido en la superficie llquida de un gran depdsito lleno de agua. a ) LCuAl es la altura del menisco en el tubo? b) ~4 qud distancia de la superficie debe estar el extremo sumergido para que el nivel. del agua sea el mismo en el interior y en el exterior del tubo? 22-8. a ) Deddzcase a partir de la ecua-

ci6n de estado la expresi6n de la densidad de un gas perfecto en funci6n de la presihn, temperatura y constantes apropiadas. b) Teniendo en cuenta las fuerzas que actlian sobre un volumen infinitesimal de aire, de altura dh, deddzcase una eeuacibn, en funci6n de la densidad, de la variaci611 rclativa de la presibn con la altura en In atm6sfera terrestre. c) Combinense a~nbos resultados y obtbngase por intcgraci6n la ecua- ci6n que expresa la variaci6n de presi6n con la altitud. Sup6ngase que la temperatura y la intensidad de la gravcdad son independientes de la altura. 22-9. 2 moles de oxigeno se encuen-

tran inicialmente a la temperatura de 27O C y ocupan un volumen de 20 litros. Se expande el gas primero a presi6n cons-

tante has ta duplicar su volumen, y despuds adiabaticamente hasta recobrar la temperatura inicial. a ) ~Cufil es el incremento to ta l de su energia interna expresado en calorias? b) (,Cut11 es, en calorias, el calor total suministrado? c) (,CuPl es, en julios, el trabajo total realizado por el gas? d) (,Cull es su volumen final? 22-10. Deddzcanse las Bcs. [22-261 y

[22-271 a partir de la Ec. [22-251. 22-11. Para accionar un motor de aire

se utiliza aire a la presi6n manomitrica de 21 I<g/cm2, que sale del motor a la presidn rna~lomktrica de 1,055 Kg/cm2. (,Cull h a de ser la temperatura del aire cornprimido para que no pueda existir posibilidad de formaci6n de escarcha en el tub0 de escape del motor? Sup6ngase que la espansi6n es adiabhtica. OBSER- V.*CI~N: Frecuente~nente se forma escarcha en el tub0 de escape de un motor accionado por aire. Es to ocurre cuando el aire hdmedo se enfria por debajo de 00 C durante la expansibn que tiene lugar en el motor. 22-12. E n cierto proceso se sumi-

nistran a un sistema 500 cal de calor y a1 misrno tiempo se realizan sobre el mismo 100 julios de trabajo mechnico. ~ Q u i increment0 experimenta su energfa interna?

22-13. E l cilindro representado en la figura 22-9 tierle un volumen total de 4 litros y contiene 0,2 moles de un gas perfecto a l a temperatura de 3000 I<, siendo y = l , 5 para este gas. El cilindro se halla aislado thrmicamente del exterior y esth provisto de u n Bmbolo perfectamente ajustado y sin rozamiento. Inicial- mente el gas ocupa un volurnen de s610 1 litro, hallandose vacio el resto del volumen del cilindro. Se permite la espansi6n

436 --- I'ROBLEhIhS PROPIEDADES DE LOS GASES [UP. 22 / . -. - - - . . 437 - i

del fldido hasta ocupar todo el volumen del cilindro. a ) Si la expansi6n se realiza elevando lentamente el Bmbolo, calcdlense la temperatura y presi6n finales, y M- Uense el trabajo realizado, el calor absorbido y la variaci6n de energia interna. b) Si la expansidn tiene lugar manteniendo el Cmbolo en su posici6n inicial y abriendo una pequefia vhlrula, calcdlense la temperatura y presi6n finales, asf como el trabajo efectuado, el calor absorbido y l a variacidn de energfa interna una vez alcanzado el equilibrio. 22-14. a ) ~ P o r qu6 se verifica que

dU = n C J T en un proceso a volumen constante mientras que d U # n C p d T s i el proceso se realiza presi6n constante? b) ~ P o r quB es dU = nC,dT para un gas perfecto, independientemente de que el proceso sea adiabhtico, isotermo, a volumen constante, a presidn constante, etc.? 22-15. E n cierto proceso se su-

ministran a un sistema 50 000 cal y, simultlneamente, el sistema se expande

I venciendo una presi6n exterior constante r

de 7,2 Kg/cm2. La energfa interna del sistema es la misma a1 comienzo que 21

final del proceso. Calcdlese el incremento de volumen del sistema. 22-18. Un niol de un gas perfecto a

270 C se introduce en una vasija cerrada mediarite un embolo que mantiene la presidn atmosferica sobre el gas. Este se calienta hasta que su temperatura se eleva a 1270 C. a) TrAcese un diagrama p-V para este proceso. b) LQUB cantidad de trabajo meclilico se realiza durante

calor suministrado g la variaci6n de su energfa interna.

22-18. E n un motor tBrmico 0, l mol de un gas perfecto efectda el ciclo indi- cad0 en el diagrama p - V de la figura 22-11. El proceso 1-2 se realiza a volumen constante; el 2-3 es\adiabitico, y el 3-1 tiene lugar a l a presidn constante de 1 atm. Para este a s y = 5/3, a ) h l - llense la presi6n y el volumen en 10s puntos 1, 2 y 3; b) calcdlese el trabajo net0 realizado por el gas durante el ciclo. 22-19. La figura 12-12 muestra tres

procesos realizados p o r u n gas perfecto. L a temperatura en e l punto a es de GOO0 I<; la presidn, 16 a tm, y el volumen, 1 litro. En el punto b el volumen es de

litros. Uno de 10s procesos ab o ac es isotzrmo, y el otro, adiabltico. La raz6n d i 10s calores especfficos del gas vale l,50. a) ~ C u a l d e 10s procesos nb o ac es isotermo y cual adinbltico? LEn qu6 se basa la respuesta? b) Calcdlese la presi6n en los puntos b y c. c) Hillense las temperaturas en b _v c. d ) Obtkngase el volumen en el punto c.

el mismo? c) sobr re qu6 se efectda este trabajo? d ) ~Cuh l es la variaciln de ener-

16 atLlkc @a interna esperimentada por el gas? e) ~ C u i n t o calor se ha suministrado a1 mismo? 1) ~ Q u i cantidad de trabajo me- p - ? -, ---- : dn ico se habrfa realizado sl la presidn

11 4I v

exterior hubiera sido de 0,5 a tm en lugar de la atmosferica? FIG. 12-11.

22-17. 2 moles de un gas perfecto para el cual C, = 3 cal/mol-oC efectdan el 22-20. Un cilindro que contiene 10 g ciclo abc de la figura 22-10. El proceso bc de gas se comprime desde u n volumen es una compresion isoterma. Calcdlese el de 500 cmS a otro de lClO cm3. Durante el

i trahajo realizado por el gas en cada una proceso se extraen del gas 100 cal, y al de Ins etapas del ciclo. Hillese tambidn el final del mismo se observa que la tem-

peratura dcl fldido ha aumentado en 50 C. Calcdlese el calor cspecflico del gas en este proceso particular. ,

22-21. ~ C u a l es la compresibilidad isoterma de 1 mol de helio a 7-000 C en un cilindro cuyo volu~nen es de 1 litro? ConsidCrese el helio como un gas perfecto.

I 22-22. UII dkcimo de mol de un gas I perfecto se encuentn en la parte inferior de un cilindro por debajo de un embolo de superficie f?O cm2, segun muestra la figura 22-13. El calor especifico del gas a volumen constante es de 5 ca1,'mol-oC. El Bmbolo tiene masa despreciable, pero soporta un peso cuya masa es de 100 Kg. La regidn situada por encima del Bmbolo

, . se halla vacia. La temperatura inicial del , ~

gas es de O" C y el Bnibolo se cncuentra inicialmente a una altura h &el fondo del cilindro. Si se calienta el gas hasta

elevar el peso una a l tura de 1 0 cm, a ) hillese la altura inicial I?; b) calcdlcse la tempcratura final; c ) esprksese en calorias el incremento d e la energia in- terlla del gas; d ) jcuantas calorias de calor se han sun~inistrado a1 gas:'

22-23. UII gran dcp6sito de agua lleva adosada una manguera en la forma indicada en la figura 22-11. El dep6sito se encuei~tra cerrado por arriba y contiene aire compri~nido ent re la superficie liquida y la tapa. Cna~ ido la altura del agua 112 es de 10 pies, l a {)resitin niallo- mhtrica pl es de I5 Ib/pulg?. Sup6ngase que el aire situado por encilna tic la superficie del agua se espande isot6rmi- camente y tomese como peso espccifico del agua 61 lb/pie\ a) ~ C O I I que velocidad fluye el agua de la manguera cunndo hz = 10 pies? b) iCuAl es la velocitlad si h2 se reduce a 8 pies?

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440 GASES RELUES [CAP. 23

no hay ninguna etapa en el proceso de compresibn en la cual la sustancia se separe en dos partes distintas, una de las cuales sea gas, JT la otra, liquido. La temperatura T , se denomina temperatura crifica, J- resulta ahora evidente por quC ha de enfriarse ur. gas previamente hasta su temperatura critica antes que pueda ser licuado por compresion.

Es costumbre llamar vapor a un gas que se encuentra por debajo de su temperatura critica, aunque no es necesaria una distincion *urosa. En la tabla 23-1 se indican las temperaturas criticas de 10s gases mhs corrientes.

La linea de puntos de la figura 23-2 divide el piano p-V en tres regiones. Para todos 10s valores de p, V y T situados por debajo de dicha curva, la sustancia se encuentra parte en estado liquido y parte en estado de vapor. A la derecha de la curva es un vapor o un gas, y a la izquierda de la misma, un liquido.

Examinando la figum 23-2 se observa que a una temperaturacual- quiera dada, por debajo de la temperatura critica, hay uns presi6n (y sblo una) para la cual la sustancia puede existir en estado liquido, en estado de vapor o en ambos estados simulthneamente. Esta es la presi6n corrcspondiente a la parte horizontal de la curva isoterma que representa dicha tempentura particular. Si la presibn es algo superior que la correspondiente a dicha porcion horizontal, la sustancia unicamente puede estar en estado li-

FIG. 23-2.-Isotermas de un gas real. quido, y si la presion es algo mhs baja, so10 puede estar en estado de vapor. ~recisamente a esta presi6n

pueden coexistir juntos liquido y vapor, y se denomina presidn de uapor a la temperatura considerada. Un vapor cuya temperatura y presi6n son las que cofresponden a la porcion horizontal de cualquiera de las curvas de la figura 23-2 se denomina uapor safuranle. Un vapor saturante puede definirse tambiCn como aquel vapor que esti en equilibrio con s n iiquido.

De cada una de las partes rectas de las grhficas representadas en la figura 23-2 se puede tomar la presidn de vapor y su temperatura correspondiente. Llevando estos valores a una grifica como la de la &ura,23-3, se obtiene la curva de presiones de uapor de la sustancia. Todas las curvas de presiones de vapor Son andogas a la de la figura 23-3, creciendo con

SEC. 23-11 LICL-.ICION D E LOS GASES 44 1

TABLA 23-1

Temperafuras, presiones y volrimenes crificos

1- ! ! Xgua . . . . . . . :

Amoniaco . . . . . I Anhidrido carbonic0 .I Anhidrido sulfuroso .) Argon . . . . . . . : Helio . . . . . . .: Hidr6geno . . . . . , Oxigeno . . . . . . ;

Temperatun critica (0'2)

- --

Presi6n critica (atln)

Trolurnen cri t ico (cm3/g)

I una pendiente cada vez mayor y terminando cn el punto critico. En

/ la tabla 23-2 se dan algunos ralores de las presiones de vapor del agua. En la tabla 23-1 puede verse que las tcmpcraturas criticas del an-

j ': I Ndrido carboni:~, amoniaco y anhidrido ' f

sulfuroso son superiores a la temperatura P ambiente. Por consiguiente, estos gases pue- ( t

: sin den enfriamiento ser licuados previo, a la temperatura sin mbs que ambiente aumen- 5 h/;jrT LiquidO i I tar la presion. Sin embargo, en el caso del 2 ; '3 oxigeno, nitrogen0 o hidrbgeno hay que so- a + Vapor meterlos a un enfriamiento previo por de- 5 bajo de la temperatura arnbiente antes " 2 Vaporl

I' i 1 que puedan ser licuados. Describlremos bre-

vemente el procedimiento Linde para ob- I Tc " I

1 - , tener aire liquido (o bien osigeno o nitro- Prc. 23-3.-Prcsi6n de en ' I 1 tI , geno liquidos), representado esquematica- funcl6n de la temperatura.

mente en la figura 23-4. !I 1 El compresor A mantiene una circulaci6n continua de aire indicada

por las flechas. En B, el aire abandona el compresor a presi6n y temperaturas elevadas y penetra en el serpentin C, en el cual es enfriado

\ rt

por aire o agua, escapando a presi6n todavia elevada por el pequetio orificio o tobera D, en el cual tiene lugar un fcn6meno denominado

rl

proceso de esfrangulacidn. Si el aire fuera un gas perfecto, no se produciria (1 variaci6n de temperatura como consecuencia del proceso de estrangula- cibn, pero 10s gases reales esperirnentan notables carnbios de tempera- d l tura en dicl~o proceso, y si a1 principio no est5n demasiado calientes, 1 f se enfrian a1 pasar por el orificio. La prsi6n en E y F se mantiene baja por la accion de la bomba, J- el aire enfriado pasa por E y F para repetir tl el ciclo. El aire enfriado en E, circulando alrededor del aire que entra por D, lo enfria mAs y, por consiguiente, Cste alcanza una temperatura ,1

, I 12 . -

GASES REALES [CAP. 23

;~irn illis baja a1 salir por D, hasta que, finalmente, la temperatura des- c,icntle suficientemente para que una parte del aire se licue y abandone I:i tobera. El aire liquido se recoge en G, de donde puede extraerse.

23-2. Efecto de Ia presibn sobre 10s puntos de ebullicidn y solidifica- ci6n.-El agua contenida en una vasija y expuesta a1 aire en una habi- Lncibn se evaporara, a cualquier temperatura, con tal que haya posibilidad de que el vapor se difunda o de que pueda eliminarse de algdn rnodo de la superficie del agua. Si se aumenta la temperatura del agua Iiasta 1000 C (a la presion atmosferica normal), la naturaleza del proceso de evaporation se modifica completamente. El vapor se forma no s610 cn la superficie liquida, sino en todo el volumen del liquido, que se agita violentamente por las burbujas de vapor que se producen en el y se

FIG. 234.-Diagrama esquehtico del procedimiento Linde para oblener aire liquido.

rornpen en la superficie. tQuC diferencia existe entre este violento fen6- meno de ebullicidn y la evaporaci6n lenta que tiene lugar a temperaturas inferiores a1 punto de ebullicibn?

Recordaremos que cada liquido tiene una cierta presidn de vapor que depende de la temperatura del liquido. Si, manteniendo constante la temperatura, intentarnos aumentar la presi6n por encima de la presi6n de vapor, el vapor se condensa inmediatamente. El agua en un recipiente abierto estl sometida a la presi6n'atmosferica, y supongamos que la ternperatura del agua sea 800 C. Su presi6n de vapor, a esa temperatura, dada por la tabla 23-2, es 355 mm de mercurio, o sea 0,4828 Kg/cm*

SEC. 23-21 LA PRESION Y LOS PUNTOS CR~TICOS 44 3

TABLA 23-2

Presidn de vapor del agua (absoluia)

j i

;

hes i6n de vapor K"C)

mm de t ( O F )

mercurio Kg/crna

0 4,58 0,0062 32 5 6,51 0,0088 4 1 10 8.94 0,0121 50 15 12,67 0,0172 59 20 17,5 0,0238 68 40 55,l 0,0749 104 60 149 0,2026 140 80 355 0,4828 176 100 760 1,033 212 120 1490 2,026 248 140 2710 3,685 284 160 4630 6,296 320 180 7510 10,213 356 200 11 650 15,844 392 220 17390 23,650 428

f * Por consiguiente, si tuviera ocasi6n de fonnarse dentro del liquido una 1 5 i pequeiia burbuja de vapor, estaria sometida a una presi6n de 760 rnm (1,033 KglcmZ) y seria inmediatamente aplastada por la acci6n de la

I

presi611, condensandose. Supongamos ahora que la temperatura del liquido se aumenta hasta

1000 C. A esta temperatura la presi6n de vapor es 760 mm, o sea 1,033 Kglcm" y, por tanto, pueden formarse burbujas de vapor a esta tem-

: peratura, y si la temperatura se elevase, aunque ligeramente, por encima 4 de 1000 C, toda la masa de agua se transformaria en vapor s i se le pu- .r- diera surninisfrar su calor de uaporizacidn. Lo que realmente sucede es .I' i que el agua se convierte en vapor a1 mismo ritmo que se le suministra

calor. Mientras quede a1 estado liquido alguna cantidad de agua, la tem- ,

1 peratura no se eleva por encima de 1000 C y todo el calor suministrado

1 . se utiliaa para producir el cambio de rsfodo, en lugar de hacer aurnenlar s u temperatura.

Si se aumenta riipidamente la presi6n exterior por encima de 1,033 Kg i por cm2, la ebullici6n cesa inmediatamente, puesto que la presi6n es su-

" perior a la presi6n de vapor del agua a 1000 C. Suponiendo que se siga , suministrando todavia calor a1 agua, su temperatura aumentari hasta

que la presi6n de vapor iguale a la presi6n aplicada cuando comience de . nuevo la ebullicibn.

Es evidente que bajo la acci6n de una presi6n exterior menor que la I, atmosfkrica, la ebullici6n tendra lugar a una temperatura inferior a 1000 C. De la tabla 23-2 se deduce que si la presi6n se reduce a 23,s g/cmz, el agua hierve a la temperatura ambiente (200 C ) .

t

444 GASES REALES [CAP. 23

El punlo de ebullicidn de un liquido es la femperafura a la cual la presidn de su vapor es igual a la presidn ezlerior. Los puntos de solidificaci6n, como 10s de ebullicibn, varian con la pre-

si6n exterior. El punto de solidificaci6n de una sustancia como el agua, que se dilata a1 solidificarse, desciende a1 aumentar la presibn, verifidn-

dose lo contrario en aquellas sus- P

4 tancias que se contraen a1 solidificarse. La variaci6n del punto de solidificacibn es mucho menor que la del punto de ebullicibn, y asi ur, increment0 de presi6n de una atmbsfera hace descender el punto de solidificacicin del agua en O,CX>70 C, aproximadamente.

El descenso del punto de solidificacibn del agua (o del punto de fusi6n del hielo) puede demostrarse * pasando un alambre\fino sobre un

FIG. 23-5.-Diagrama presi6n-temperat-. bloque de hielo y suspendiendo un peso de algunos kilogramos de cada

uno de 10s extremos del alambre. La elevada presibn existente justa- -. mente por debajo del alambre hace disminuir el punlo de fusidn (no la i\ lemperatura) por debajo de 00 C. Por tanto, si el hielo se encue-ltra a 00, r estA a una temperatura superior a su punto de fusi6n y, en consecuencia,

funde. El agua asi formada es expulsada de la parte inferior del alambre, disminuye la presi6n a que esta sometida e inmediatamente se so- P lidifica. De este mod0 el alambre .t, I P113-33

cr ' ,da se hunde cada vez m6s en el blo- ,? ------- ----- 9

que, hasta que finalmente lo atraviesa cortAndolo, per0 dejando un bloque sblido de hielo tras el. El fen6meno se conoce con el nolnbre de rehielo.

23-3. La ecuacidn de Clausius- C1apeyron.-Se puede considerar 1 I i que la curva de presibn de vapor de 1 ! la figura 23-3 representa la presi6n -i8.ii0 -56,6O 20" 31' t0C y temperatura a las cuales tiene lugar el cambia de estado de liquido FIG. 23-6.-Diagrams pre~i6n-temperatura de

CO, (a escala no unilorme). a vapor, o bien la presi6n y tempe- ratuia para las qu-e ambos estados pueden permanecer en equilibrio entre si. Existen curvas andogas que representan la presidn y temperatura a las cuales sblido y liquido pueden estar en equilibrio, y para las cuales solido y vapor pueden estar tambiCn

! en equilibrio. Estas curvas estan representadas en la figura 23-5 y tienen

SEC. 23-31 LA ECUACIOS DE CLAUSIUS-CLAPEYHON 445 1 * un punto cornfin, llamado punto triple, en el cual las tres fases pueden \U existir simultaneamente.

Las tres curvas de la figura 23-5 dividen el plano p-T en tres regiones. I,#

En cualquier punto (es decir, para cualquier par de vaIores de p y T) J h a d o dentro de una de estas regiones, la sustancia s610 puede existir en un estado: s6lid0, liquid0 o vapor. A lo largo de cada linea, pueden Y coexistir dos estados simultaneos, mientras que dnicamente en el punto triple pueden coexistir 10s tres estados.

Por ejemplo, la temperatura del CO2 que corresponde a1 punto triple i u

es -56,60 C, y la presi6n correspondiente a dicho punto es 5,11 atm. De la figura 23-6 (a escala no uniforme) resulta evidente que a la presi6n

I(

atmosferica s610 puede existir COz d estado s6lido o de vapor. Por con- 4 siguiente, el COz s6lido (hielo seco) se transforma directamente en CO2 a1 estado de vapor, sin pasar por el estado liquido. Esta transici6n di- p recta de sblido a vapor se denomina sublimacidn. El CO2 liquido so10 puede existir a presiones superiores a 5,11 atm. Las botellas de acero en las

11 I

cuales se aImacena corrientemente el COz contienen liquid0 y vapor. 1 La presibn en estas botellas es la presi6n de vapor del C02 a la temperatura de la botella. Si la temperatura es de 200 C, la presion de vapor

4 es aproximadamente 56 atm, o sea 58,4 Kglcm2. (

La curva que separa las regiones de liquido y vapor es la curva de presi6n de vapor o del punto de ebullici6n; la que separa las regiones de t solido y liquido es la curva del punto de solidificacibn, y la que separa las regiones de solido y vapor es la curva del punto de sublimacibn.

t No damos las ecuaciones de estas curvas que son algo complicadas. t Existe, sin embargo, una relacion relativamente sencilla, denominada ecuaci6n de Clausius-Clapeyron, que Ja la pendiente de cada una de estas curvas en cualquier punto. Dicha ecuacibn es: 1

en la que dp/dT es la pendiente de la curva; T, la temperatura Kelvin; L, cl calor de transformacibn correspondiente a dicha curva (es decir, calor de vaporizacibn, calor de fusi6n o calor de sublimacibn), y v, 9 - u1,

la variaci6n de volumen especifico que tiene lugar en el correspondiente cambia de estado (v7apor- Uliquidor Ul iquldo- Usalldo, 0 vv8p0r- v ~ 6 1 i d ~ ) .

Del examen de la ecuaci6n de Clausius-Clapeyron pueden deducirse algunas conclusiones interesantes. En el punto critico son iguales 10s volumenes de una unidad de masa de vapor y de liquido, y v, - uz = 0. A esta temperatura la pendiente de la curva de presi6n de vapor se conserva finita 'y, en consecuencia, es nulo el calor de vaporizacibn en el punto critico. Cctbia esperar este resultado si se tiene en cuenta que, en el punto critico, son identicas las propiedades del liquido y del vapor. Resulta, pues, que el calor de vaporizaci6n de un liquido no es cons-

446 GASES REALES [CAP. 23

tante, sino que disminuye a1 aumentar la temperatura, y se anula en el punto critico. (VCase Fig. 23-7.)

Mientras que la mayor parte de las sustancias aumentan de volumen

Temperatura (OF)

I I 1

(1 100 200 300 400

Temperatura (OC)

FIG. 23-7.--Calor de raporizacidn del agua en funcidn de la ternperatura. El calor de vapori- zaci6n es nulo en la temperatura critica de 3740 C = 7050 F.

a1 pasar del estado s6lido a1 liquido, hay algunas para las cuales sucede lo contrario. El agua es una de estas 6ltimas. A1 aplicar la ecuaci6n de

Clausius-Clapeyron a1 punto de fu- P si6n del hielo resulta que el tkrmino

225 Punto critico d p / d T es negativo, puesto que L y T ion positivos, per0 u,,,, - vhiolo

- es negativo. La curva del punto de congelaci6n del agua tiene, por tan- to, pendiente negativa (Fig. 23-8) o, con otras palabras, un aumento

4.5 mm ---- de presi6n produce un descenso del punto de solidificacion. Este fenomeno ha sido mencionado ante- - riormente a1 tratar del rehielo.

0" 0,00980 101)" 374' t°C EJE>IPLO.-A la presi6n de 760 mm

PIG. 23-8.-Diagrama presidn-ternperatura de H20 (a escala no uniforrne). de mercurio, el agua hierve a la tempera-

tura de 1000 C. El calor de vaporizaci6n del agua a esta ternperatura es de 539 callg, y el volumen de un gramo de vapor saturado es de 1671 cm3. Calc6lese la temperatura de ebullicibn del agua a l a pre- si6n de 770 mm de mercurio.

SEC. 23-41 HUMEDAD 1,17 I - - ..- - .- I I

Utilicernos unidades cgs; se tiene: I 1 y como 01 (igual a 1 cm3lg) es despreciablc: I

d p 226 x 108 -- dT - 373 x 1671

= 3,61 x 104 dinaslcln2 por oC.

E s decir, a 1000 C la presi6n de vapor del agua aunlenta en la proporci6n de 3,61 x X 104 dinaslcm? por cada grado centigrado que se incremente la temperatura. Si se supone constant^ este incremento para un pequeiio interval0 de temperatura, se puede sustituir dp!dT por AplAT, y se tiene:

I . Pero Ap = 770 - 760 = 10 mm de mercurio = 1,33 x 104 dinas!cm2; por con- 1

I : i ,33 x 104 siguiente, AT = 3,61 x 104 = 0;37o C,

y la ternperatura de ebullition pedida es:

El punto de ebullici6n observado es 100,3SOC. I 23-4. Humedad.-El aire atmosfQico es una mezcla de gases, com-

puesta aproximadamente por 80 % de nitrbgeno, 18 % de oxigeno y pequeiias cantidades de anhidrido carbonico, vapor de agua y otros gases. La masa de vapor de agua que hay por unidad de volumen se llama

- humedad absolula. La presion total ejercida por la atmosfera es la suma de las presiones ejercidas por sus componentes gaseosos. Estas presiones

.i se denominan presiones parciales de 10s componentes. Se encuentra que 7 la presi6n parcial de cada uno de 10s componentes de una mezcla es

(aproximadamente) la misma presi6n real que tendria dicho componente, si ocupase 61 solo el mismo volumen que ocupa la mezcla; este hecho constituye la ley de Dalton. Resulta, pues, que cada uno de 10s

I gases de una mezcla actua con independencia de 10s demas. La presi6n parcial del vapor de agua en la atmosfera es ordinariamente de algunos milimetros de mercurio.

I i

Resulta evidente que la presi6n parcial del vapor de agua a cualquier

1 temperatura de la atm6sfera nunca puede ser mayor que la presion del

I vapor de agua a dicha temperatura particular. En la tabla 23-2 se vp que la presihn parcial del vapor de agua a 100 C no escede de 5,94 mm, y a 150 C no puede exceder de 12,67 mm. Si la concentration del vapor

! de agua o humedad absoluta es tal que la presion parcial iguala a la presion de vapor, se dice que el vapor est5 saturado. Si la presi6n parcial es inferior a la presi6n de vapor, el vapor se llama n o saturado. La raz6n

i - de la presi6n parcial a la presi6n de vapor, a la misma temperatura, se

448 GASES P.E.UES [CAP. 23

denomina humedud reluliua, y se espresa comunmente en tanto por ciento:

presibn parcial del vapor d e agua Humedad relativa ( % ) = I 0 0 x

p&6n de vapor a la misma temperatura'

La humedad relativa es 100 % si el vapor est5 saturado, y cero si no hay en absoluto vapor de agua p m n t e .

EJEMPLO.-La presi6n parcial del vapor de agua en la atm6sfera es 10 mnl, y la temperatura, 200C. Calcular la hurnedaCrelativa.

La presion de vapor segi~n la tabla 1S2 es 17,5 rnm a 200 C. Por consipiente,

10 humedad rclativa = - x 100 = 57 %.

17,s

Puesto que el vapor de agua de la atmbsfera est5 saturado cuando su presi6n parcial es igual a la presibn de-vapor a la temperatura del aire, puede conseguirse la saturacibn a-mentando el contenido de vapor de agua o haciendo descender la temp2ratura; p. ej., sea 10 mm la presibn . - parcial del vapor de agua cuando la temperatura del aire es 203 6, como en el ejemplo anterior; la saturacion o humedad relativa 1 0 0 0,/, puede alcanzarse: bien introduciendo bastante 'vapor de agua (manteniendo

1 ::: ': constante la temperatura) para aumentar la presibn parcial hasta 17,5 mm, iL o haciendo descender la temperatura hasta 11,40 C, a la cual, la presi6n

de vapor es 10 mm, como se deduce por interpolaci6n en la tabla 23-2. Si se lliciese descender la t e n ~ p e n t u r a por debajo de 11,40 C, la presibn

de vapor seria inferior a 1 0 mm. La presibn parcial seria entonces superior a la presibn de vapor y se condensaria este en cantidad suficienie para que la presibn de vapor se redujese a la presi6n parcial correspondiente a la temperatura inferior. Este es e! proceso que provoca la forrnaci6n de nubes, niebla y lluvia. El fenbmeno tiene lugar tambien con frecuencia durante la noche, cuando la superficie de la tierra se enfria por radiacibn. L a humedad condensada se denomina rocfo. Si la presidn de vapor es tan baja que la temperatura debe descender por debajo de 00 C antes de producir la saturaci6n, el vapor se condensa formando cristales de hielo en forma de escarcha.

La temperatura a la cual el vapor de agua, contenido en una porcion dada de aire, se convierte en vapor saturado se denomina punfo de rocio. La medida de la temperatura -del punto de rocio proporciona el metodo mbs exacto para determinar Ia humedad relativa. El mCtodo empleado consiste en-enfriar un recipiente metblico que tiene una superficie brillante y pulida, y observar su temperatura cuando la superficie se

I empatia &n'la humedad condensada. Supongamos que por este procedimiento hemos encontrado que el punto de rocio es 100 C, cuando Ia temperatura del aire es 200C. Entonces sabemos que el vapor d e agua de la atmbsfera estA saturado a 100 C; por consiguiente, su presibn parcial, segun la tabla 23-2, es 8,94 mm, maI a la presi6n de vapor a 100 C.

La presibn necesaria para la saturacibn a 200 C es 1 7 , 5 rnrn. Por consiguiente, la humedad relativa ser5:

rnover la aguja sobre una escala. 23-5. La cdmara de niebla de

Wilson.-La cjmara cle niehla de IYilson es una parte sumamente util tlc 1111 dispositivo para obtener informacibn accrca de las particulns c+lcn~cntalrbs como clectroncs o parliculas alfa. En principio (Fig. 23-9) consta dc una cnvoltura cilinclricn con paredes, A , y cubierta, 13. dc. vitlrio provista dc un Pmbalo mbvil, C. El espacio contiene aire. vapor de agua y rxccso suficicntc dc rsta ultima con el fin dc qlle el vapor se cncuentre saturado (cn

Un mCtodo mbs sencillo, pero menos preciso para determinar la humedad relativa, utiliza un psicrdmefro. Se colocan dos termbmetros, uno a1 lado del otro, manteniendo humedo el depdsito de uno de ellos por medio de una mecha sumergida en agua. Cuanto mbs baja sea la humcdad relativa, tanto mris rripidamente tendrA lugar la evaporacion en el dep6- sito hbmedo y tanto niAs baja sera su temperatura por debajo de la del termbrnetro que mantiene su de-

. pbsito seco. La humedad relativa B que corresponde a 10s valores de

iugar de agua sc utilizan a veces otros liquidos, como alcohol). A1 ha-

FIG. 29-10.-Tray~rtorins clr p;~rlici~lns nlfn en ua:l c:\mnra tle \Vilson. cer descender subitamente el Cmbolo

seans. I.-29

4 t 4

t

t f

las temperaturas de ambos term& -* metros de clepbsitos hiimedo y seco % A i

puede encontrarse en tablas ade- -* t

1 . cuadas. LUZ i El higrdmelro de cubello utiliza

a el hecho de que el cabello humano ' absorbe des~rende humedad del ',J-g.-C&mara de niebla dc \\'ilson.

aire en una cantidad que varia con la humedad relativa, y modifica liseramente su longitud seglin sea el con- ' t tenido en agna. Varias hebras de cabello estAn arrolladas alrededor de un pequeiio eje a1 cual esta unida una aguja indicadora. E l cabello se rnantienc tenso mcdiante un pequeiio resorte, y sus variaciones de lon-

gitud obligan a girar a1 eje y hacen I

4 t

C f I

.1.-10 - --

G.4SES REALES [CAP. 23

I I I I : I cortn distancia, el enfriamiento adiabatic0 resultante disminuye la It.1111)(~ratura por debajo de la correspondiente a1 punto de rocio. Si el :tir.c sc cncuentra en absoluto limpio, el vapor enfrjado no se condensa i ~ ~ n l c t l i a t a ~ ~ ~ e n t e ; pero se ha observado que basta la presencia de algunos iolrcs para que actuen, como ni~cleos activos sobre 10s que se forman :totitas de agua. Por tanto, si hay presentes iones antes de tener lugar I:L cspan"si6n, su existencia sc pone d e manifiesto por la aparici6n de lina l)cyi~efia gota inmediatamente desputis de la expansion.

Los electrones, protones y partic.ulas alfa pueden morerse varios ccnt.imetros en el aire, pero cr~ando chocan o pasan por las proximida- c1c.s de n~oleculas de aire arrancan uno o nlas de sus electrones, dejando Iras de si una ristra de iones. Por tanto, si pasa una de estas particulas I,or In cimara de niebla inmediatamente antes de tener lugar la expansibn, una fila de gotitas sefialara la trayectoria de la particula despues de liaber ocurrido aqutlla. Para fotografiar estas trayectorias se pro- yccta a travCs de la camara un haz luminoso, intenso, y se dispone una n15quina fotografica por encima de ella.

La figura 23-10 reproduce una fotografia, realizada de la forma descrita, de las trayectorias producidas por particulas alfa procedentes de una muestra de material radiactivo contenido. en la camara. (Las particulas alfa son nucleos de helio doblemente ionizado.)

23-6. Superficies termodinimicas.-La ecuacion de estado de una sustancia es una relacion entre las variables p, V y T. Si estas mag-

nitudes se llevan sobre tres 'ejes coordenados. perpendiculares entre si, la ecuaci6n de estado define una superficie en el espacio p-V-T. To- dos 10s estados posibles de la sustancia es t in representados por puntos de esta superficie, y todos 10s procesos que la sustancia puede

P experimentar estAn representados por curvas de esta superficie. E n las transformaciones isotermas la representacibn es una' linea de la superficie tal que en todos sus puntos T es constante, o en otras palabras, es la intersection de la su-

1 7 , ~ . ?R-ll.-Superlicie p - ~ - ~ de ,,,, gas perficie con un-plano perpendicular perfecto. a1 eje de temperaturas. Analoga-

mente, las transformaciones a pre- si6n constante o a volumen constante vienen representadas por las cur- \.:IS tle intersecci611 de la superficie con planos perpendiculares a 10s ejcs t lc 1vcsi6n o volumen, respectivamente. ?'a1 superficie se denomina sn- ~bc'rricie termodin6mica, aunqnc se utilicen otras variables distintas cle I ) , V y T.

SEC. 23-71 LA ECCAC~ON D E ESI'ADO DE VAN DER WAALS - 45 1

La figura 23-11 representa la mas sencilla de todas las superficies p-V-T, o sea la correspondiente a un gas perfecto. Se han representado

I algunas isotermas por lineas gruesas. Cuando esta superficie s e mjra en una direcci6n perpendicular a1 plano p-V, las isotermas aparecen c o w en la figura 22-1.

La figura 23-12 es una fotografia de la superficie p-V-T d e una sus- , tancia real a escala no uniforme. Cuando se mira en direccibn perpen-

dicular a1 Diano D-V. las . . 8 ,

isotermas aparecen como en la figura 23-2. Se vera que la region comprendida por debajo de la curva en forma de lengua de la figura 23-2 es en realidad una superficie reglada, cu- y a pendiente disminuye a partir del plano d e esta figura. Cuando el modelo se mira normalmente a1 plano p-T, dicha superficie reglada aparece como una iinea, que es una d e las curvas limites de las figuras 23-5 6 23-8. E l punfo triple no e s realmente un punto, sino una linea, Dues-

/ t o que si bien la presi6n I y la tefiperatura fijas FIG. 23-12.-Superficie p-V-T de ,ma sustnncia real

(escala no unilorme). : en cada punto, el rolumen I . no lo es. Esto es, el vo-

lumen depende de las masas relativas de sustancia que e s t ln en cada estado. Si, p. ej., la sustancia estB principalmente a1 estado de vapor,

; con solamente una pequeiia cantidad de s6lido y liquid0 presentes, el yolumen sera grande.

L a superficie no se ha construido a escala a causa de 10s grandes cam- I bios de volumen que se producen en 10s cambios de estado. i 23-7. La ecuacibn de estado de van der Waais.-Se han realizado : muchas tentativas para encontrar una ecuacion que represente un gas I real, en la forma que la relacion pv = RT representa un gas perfecto.

Vamos a considerar so10 una, propuesta por primera vez por J. D. van der Waals en 1873. El razonamiento de van der Waals se basa en que debido a1 volumen pequefio, pero finito, ocupado por las molCculas de un gas, el edpacio de que disponen para realizar sus movimientos es inferior

I

I a1 volumen real de la vasija, por lo que u debe disminuirse en cierta cantidad. TambiCn, a causa d e las fuerzas atractivas esistentes ent re 1as molCculas, el t t rmino que expresa la presi6n debe exceder a la presi6n

!

452 CASES RE;\LES - [CAP. 23

efectivamente medida. Esta correccion de la presion tendr5 que ser mayor cuanto rnenor sea el volumen, y a que en este caso las nlol6culas se hallarQn m5s prbximas, resultando que es inversamente proportional al cuadrado del volumen especifico. Por consiguiente, la ecuacibn de van der Waals es:

siendo a y b constantes a determinar para cada gas particular. Para grandes volhmenes especificos, el termino alu2 resulta muy psquefio y b es despreciable respecto a u. Por tanto, para grandes volumenes especificos (bajas presiones), la ecuacion, como debia ocurrir, se reduce a la de un gas perfecto. La ecuacion d e van def Waals se a jus ta mejor a las propiedades observadas de 10s gases reales que la ecuacion d e 10s gases perfectos, aunque s610 debe considerarse como una segunda aproxi- macidn a la verdadera ecuacion de estado.

P R O B L E M A S

23-1. Diblijense dos griiicas para u n gas real, una que represente la presi6n en lunci6n del volumen, y la otra, la presi6n en funci6n de la temperatura. Indiquese en cada una de ellas la region en que la sustancia esiste en iorma de: a) gas o vapor; b) liquido; c) s6lido. Se- Rhlense tambiCn el punto triple y el punto critico. 23-2. Un cilindro provisto tie un

6mbolo m6vil contiene vapor de agua a 1000 C y a una presi6n de 355 mm de mercurio. Se estrae conlinuamentc calor dcl cilindro y de su contenido, mantc- niendo constante la prcsi611, hasta quc la ternperatura desciendc a - 100 C. TrA- cese una grBfica que nluestre la relaci6n aprosimada existente entre la temperatura y el volumen. SefiAlensc sobrc la curva 10s valorcs numiricos de la tcmperatura en 10s puntos de discontinuitlad. 23-3. Utilicense 10s datos de la tabla

23-2 para construir dos griiicas de la presion del vapor del agua en funcion de la tcmperatura centlgrada. La prirnera grhfica dehe cuhrir el interval0 de tern- pcraturas desdc 00 C a 200 C, y la segunda, el conlprendido entre 00 C y 2000 C.

T6mense 2,5 ' cm horizontalmente iguala 50 C en la prirnera grhfica, y a 500 C, e n la segunda. HAgase verticalmente 2,5 cm equivalentes a 5 mm de Hg en la primera grifica, y a 3,s Kg/cm2 en l a segunda. Dedlizcanse d e las grificas: a) el punto de cbullici6n del agua a la presi6n de 10 mm de mercurio; b) la presi6n, en I<g/cmZ, para la cual el punto d e ebullici6n del agua cs l i JO C. 23-4. A partir de 10s da to s dados en

l a tabla 23-3 constriiyase u n a gr5.fica.de la presi6n de vapor del agua e n el intcrvalo de ternperaturas comprendido entrc 600 C y 1400 C, o utillcese l a segunda grAfica dcl problema 22-3. TrAcese la tangente a la curva en el pun to corrcspondiente a la t e r n p e r a t m d e lOOOC, y hAllese su pendiente. Czlculesc el volumen de 1 g de vapor de agua a 1000 C \- 1 atnl de presi6n, suponiendo que sc c.omporta como un gas perfecto. A continuacion, y mediante l a ecuaci6n de Clausius-Clapeyron, calclilese el calor de vaporieaci6n del agua a lCICI9 C, compa- randolo con el valor medido d e 539 cal/g. PrCstese atenci6n a las nnidades utilizadas.

23-5. ;Quf prcsi6n se ncccsita para hacer tlcsce~itlcr cl punto tlc congclaciSn tlcl a g w a -10 C? L3 dcnsidntl del biclo es 0,92 g/cr~P. (Sustit~iyansc 10s incrementos finitos por difcrencialcs.) 23-6. La prcsi611 del punto triple dcl

agua es tle 4,s mm de ~ncrcurio. ;QuS tcrnpcratura corresponde al punto triple? E l punto tlc iusicin dcl liiclo a la prrsiGx atn~osfCrica es 00 C, y su dcnxit1;ltll l'.!12 pra1nos/crn3. 23-7. Sc obscrva quc en la c u ~ n b r c ue

uua colina el agua liicrvc a 0 7 , O O C. ;Cuii sera la prcsi611 atnlosiCrica cn clicho pull- to? DCse la respucsta cn ccnti~nctros tie rnercurio. Higasc IISO tle los datos dcl ejernplo de In sccci611 23-3, suslitu>-cnci; 10s incre~nentos iinilos por tliicrcnci:ilci. 23-8. Sc conoccn 10s tlalas siguier?:?;

para una sustancia:

Calci~lcse a partir dc cllos el calor d e vaporizaci61i dc la sustancia bajo unn presi6n (absolula) de 100 Ibjpulg'. EI valor mcdio cs SS3 Rtu/lb. 23-9. Demu6strese qne si se dcsprecia

el volu~nen especiiico dcl liqoido respccto al del vapor, y sc suponc que el vapor se comporta como un gas pcrfccto. l a ecuacion de Clausius-Clapeyron puedc escribirse:

prcsioll absoluln (lbipi~lp?) --

90 100 101

dl) pdlL -=- dl' RT2 '

dondc X i es cl peso molecular. 23-10. Un bar6mctro consla dc u n

tub0 dc 90 cm de longitud y dc 1,5 cm? cle sccci6n. El mcrcurio alcanza en el tub0 una altura dc 75 cnl, sicndo la tclnperatura dc la habitaci6n dc 270 C. Sc introduce una pcqucfia caritidad d e

punto dc cb~lllicion

(OF)

317,27 318,OO 318,71

1iitr6gcno en cl cspacio vacio situado por cncima tlcl niercurio, y la co lu~~ i l i a dcs- ciendc liasta una al tura de 70 cnl. ;Cuin- 10s gmmos dc rncrcurio se ha11 introtlu- cido? 23-11. 1.a presi6n tlc vapor dcl di6sido

cle azufre [SO?) a 27aC cs -I,OS n t~r i , y In dc~lsidad dcl lit~uitlo SO2 a estas tcnl- pcmturn y ])rcsicin cs dc 0,733 gy'c1n3. Un cilintlro, 1)rovisto clc U I I Cnll)o!o 1,cl.-

fcctamcnlc ajustado, conlic~ic 1 rnol de SO2 a 1 a t n ~ tlc prcsibn y a 270 C. El i.mbolo sc hacc dcsccndrl- leritnnicntc. cn cl cilintlro 111ic11tras sc ~iiniiticnc C O I I S -

t;lntc la tc~n])cratura. Suptingasc tluc c I va1)or sc coluporta c o n ~ o un gas pcriccto. o) i(:u81 cs el volu~ncn inicinl dcl sis- tcn~a:' b ) ;I-1asl:r qub valor debe rctlo- cirw C I Y D ~ U I I I C ~ ~ nntcs quc sc inicic la contlrnsncili~i? (.) Unn vcz ~.cducitlo cl volu~ncn a 1 O l I O cm3, jcuiiitos grarnos tlc SO2 sc hi111 C O I ~ ~ C I ~ S ~ ~ O ' ?

23-12. 1-0s pcqucfios ci l i~~tlros tle COX ulilizntlos Inra liinchar 10s chnlccos salvn- vidas de 10s aviadores ticncn 1111 volu~ncn dc 10 cm3 y contienen 7,s g de CO?. 1.a prcsicin de vapor dcl COz a G i o l : es dc ? % , I Ib,'pulg'; cl vo lu l l ic~~ cslw- cifico tic1 vapor de COe salurndo es dc 0,0055S 1113,'lig. y la densitlarl tlcl (:Oc liquido es -19,l.l ll)/pic3. a) ;\ la Icln- pcratura tlc 6 5 0 F, i.t[u6 fraccid~l tlcl volumen de u ~ i o de cstos cilintlros cstli ocu- patla por el vapor, y cuAl ])or cl lic~uidol b ) Si sc aume11la la tcmpcmtura, ; ~ U I I I C I I -

t a r h o t l isnii~~uiri el volulncn de la lasc liqnida? c) h l pincliar el cilindro, ~ q u 6 volurnen dc CO? sc libcrari, a la tctii- peratura de G j o F y prcsicin a tn~os i i r ic ;~? 23-13. cr) iCulil es In I I ~ I L I I C ~ ~ ~ TCI:I-

tivn del aire un tlia cn que la tcmpcratura cs de GSu I: y el punto cle rocio es .l1° 1::' b) iCu i l es la presion parcia1 del vapor de agua contenido en in at~ncisicra? c ) tCui l cs la hullletlad absolula, cspresada cn g/ln3'? 23-14. (1) iCi161 cs 13 tcni[)cmtura dcl

punto tle rocio ull dia cn quc In tempcrntura tlel aire cs tlc 300 C y su hu~nctlncl ~.clat iva dcl t i0 ?;? b) ~Culi l scrA la 1111-

rncrlad absoluta, en g/ni3?

Y0111nien cspccifico (piclilb)

' Liq. sat. / rap . u t .

0,01773 0,01774 0,01775

.I,-174 -1.432 . l .X\I

1;) 1 GASES RE.~LES [CAP. 23 . .

23-15. La telnperatura de una habi- la habitacibn, ~ C U A I I ~ O S gmmos dc agua L:iciGn cs de 400 C. Utla vasija se enfria se cvaporarAn'? ~:radualrnente afiadiendo agua frfa. A 23-17. En UII sistelna de acondicio- 100 C la vasija desprende nubes de vapor. ~ i a~n ien to de aire es lleccsario elcvar la i,Cugl es la humedad relatira dcl aire de hulnedad relatira de 3 mS de aire por I:> hnbitacibn? scgundo desde 30% n 65 %. La teni- 23-16. Una vasija con agua se coloca peratura del aire es dc 200 C. ~Cuiintos

cn una habitacibn cerrada cuyo volu- kilogramos de vapor de agun se precisan

CAPfTULO XXIV

Inen es de GO rn3 y se encuentra a una POI. hora? tcmperatura de 2 7 O C. a) iCuAl sera la 23-18. Hagase uso de la tabla 23-2 lrumedad absoluta, en g/m3, una vez al- y de la figura 23-7 para hallar el calor cnnzzdo el equilibrio? b) Si sc cleva a de ~;1porizaci61i de agua que hierve a 13

rontinuaci6n en lo C la temperatura de presibu absoluta dc 16 l<g/clnz.

.

I

24-1. Segundo principio de la termodin5mica.-El rasgo caracteris- i tic0 de una sociedad industrial es su capacidad de utilizar, para fines .' acertados o desacertados, fuentes de energia distintas de 10s m6sculos del

'\ hombre o de 10s anirnales. Excepto en el caso de la energia hidriiulica, .a cuya potencia meclnica es directamente utilizable, la mayor parte de las provisiones de energia estan constituidas por combustibles tales

8 como el carbbn o el petrbleo, en 10s cuales la energia se encuentra alma- f cenada en forma de energia interna. El proceso de cornbusti6n libera : la energia interna - la convierte en calor. E n esta forma, la energ@

puede utilizarse para calentar habitaciones, cocinar o mantener un horno a elevada temperatura, con objeto de efectuar otros procesos fisicos o 1 . quimicos. Pero para mover una miiquina o propulsar un vehiculo o un . .

'z ., . , proyectil, ha de transformarse el calor en energia mecanica, y uno de h .:: 10s problemas del ingeniero es llevar a cabo esta conversibn con el m5xi- . mo rendimiento posible.

J ; S610 esiste un tip0 de proceso en el cual la energia intema puede con- , . vertirse directamente en energia mecanica, y es el que tiene lugar cuando

1 : las sustancias quimicas pueden cornbinarse en una celula electrolitica. Todos 10s demiis mCtodos implicall un paso intermedio de transformacion

1 i de la energia quirnica en energia calorifica. Las transformaciones pueden representarse esquematicamente por:

Energia quimica -+ Energia caloiifica + Energia mecanica.

La transformacibn representada por:

Energia quinlica +. Energia calorkica

i :. presenta pocas dificultades. El ejemplo m5s conocido es, naturalmente, - la combustibn del carbbn, el petrbleo o el gas. El prol>len~a entonces

3 - . . se reduce a:

. , . . Energia calorifica -+ E n e r ~ i a meciinica.

,;

j . ' Es evidente, en primer lugar, que esta transformacibn requiere siem-

j !"

I pre la utilizacibn de alglin tip0 de molor, tal como una nliiquina de vapor, . un motor de gasolina o un motor Diesel. 1

i 1. A primera vista, el problema no parece dificil; pvesto que sabemos ! .. . .

clue 1 I(cal = 427,1 Kgm, parece que cada kilocaloria de energia calori- i fica deberia suministrarnos 427,l I<gh de energia mechica. Un l<ilogra- I .- 1 . rno de carbbn, p. ej., produce cuando se quema alrededor de 7000 Kcal, ! -- y cabria esperar que proporcionara 7000 x 427,l ICgm de trabajo mec5- i 455 1 . -

: . ~ . v . . . . ..̂ &

__. _~ - ---- . i' .. .. .. . . - . .- ..

nico. Sin embargo, las miquinas de vapor no suministran en la prlctica mas de un 5 % a un 30 %, aproximadamente, de este valor. i E n qud se ha convertido el 70 % 6 95 % restante?

Las pCrdidas debidas a 10s gases d e combustion y a 10s rozamientos no constituyen mas que una pequefia parte, y la mayor pCrdida se debe a1 calor expelido por el escape. KO ha podido construirse ningun motor tCrmico que no arroje a1 exterior por el escape una fraccibn relativamente grande del calor suministrado, y puede asegurarse que no se construira jamas ninguno. La imposibilidad de donstruir un motor que, sin ningun otro cambio ostensible, transforme infegramenfe una cantidad dada. de calor en trabajo mecanico es una ley fundamental de la Naturaleza, conocida con el nombre d e segundo principio de la iermodi- ncimica. Se recordari que el primer principio es un enuncipdo de la ley de conservation de la energia, e impone simplemente la restricci6n de quc ;lo se pueden obtener mas de 427,l Kgm de trabajo mec5nico por cada kilocaloria de calor; pero no restringe en si mismo la fra'yibn de una cantidad dada de calor que un motor pueda convertir en energia mecinica. E l segundo principio es mhs restrictivo que el primero, y establece que no es posible una transformacidn de un 100 %, cualquiera que sea la clase del motor. Naturalmente, para la fracci6n de calor surninistrado que el motor convierie en trabajo, se curnple el principio de equivalencia expr2sado por el primer principio. I

6' Sadi Carnot, joven ingeniero franc&, fuC quien primer0 abordb el r ' probfema del rendimiento d e un motor tCrmico desde un punto de vista

verdaderamente fundamental. Antes d e 10s trabajos de Carnot, en 1824, 10s perfeccionamientos de las maquinas de vapor se habian efectuado basanclose en un mejor proyecto mecanico, y si se consiguieron mejoras fundamentales fuC debido a la casualidad o a la inspiration, pero no estuvieron dirigidas por el conocinliento de 10s principios fundamentales. La contribucion de Carnot fuC leorica, pero ha tenido m8s influencia en el desarrollo de la sociedad industrial del siglo XIX que el trabajo de cualquiera de 10s hombres prcicficos que le habian precedido,en este campo.

E n resumen, lo que hizo Carnot f u l prescindir de 10s detalles de fun- cionamiento, y enfocar su atenci6n sobre 10s hechos verdaderamente importantes. Estos son, en primer lugar, que se suministra energia al motor, en forma de calor, a una temperatura relativamente elevada. Segundo, que el calor realiza trabajo mecsnico. Tercero, que el motor cede calor a temperatura inferior. E n tiempos de Carnot se admitia todavia la teoria del calorico, que consideraba el calor como un flliido ic . -uctible, y Carnot imaginaba el flujo calorifico que pasaba por el utor, anilogo a1 paso del agua a t r a v b de una rueda hidriulica o turbina, desde cierta altura a otra inferior. Durante un intervalo de tiempo cualquiera, entra y sale igual cantidad de agua en la turbina, pero durante el paso se ha obtenido del agua cierta cantidad de energia mecsnica. Carnot creia que, en un motor tCrmico, tenia lugar un

-1 ,g proceso anhlogo; del calor se sacaba energia mecinica, pero la canti-

, dad de calor cedida por el motor en un intervalo cualquiera d e tiempo . era igual a la syministrada a1 mismo. Actualmente sabemos que esta

j idea no es exacta, y que el calor cedido por el motor es inferior a1 suministrado, en una c?ntidad que es, precisamente, la convertida en trabajo ? mecdnico. A pesar de su concepto errdneo acerca de la naturalem del i

1 calor, Carnot obtuvo en realidad la expresion correcta del rendimiento mlximo de cualquier motor termico que opera entre dos temperaturas dadas.

; Puesto que es unicamente calor y trabajo lo que fundamentalmente % ataiie a un motor tkrmico, consideremos, para mayor sencillez, un motor

. que trabaje segun un ciclo cerrado. Esto es, la sustancia que se expande

1; contra el piston es llevada peribdicamente a . su estado inicial, d e mod0 f . que, en cualquier ciclo, la variacidn de energia inlerna de esta sustancia . es nula. El tip0 de miquina d e vapor con condensador opera realmente ! d e este modo; el vapor del escape se con- : clensa y es obligado a entrar en la caldera Foco calorific0 a la

,j d e forma que la sustancia que realiza el temperatura T, 4 ciclo (en este caso, el agua) se utiliza una 1': : y otra vez. Segdn esto,. erta sustancia . . .

r :. .. ' sirve simplemente, para transmitir ,calor. Q2

F:, d e un cuerpo a otro, y, en virtud de sus - . i :. : cambios de volumen, convertir una parte . .

F - ' del calor en trabajo mecbnico. + L . .

, . Las transforrnaciones de energia en :' un motor tirmico estan representadas i esquerndticamente de un mod0 conven-

cional por el diagrama de la figura 24-1. , l :

1 QI

; E l motor se ha representado por un circu- Foco calorifico a Ia I

F~.,:! . . lo. E l calor Q2 suministrado a1 motor es ... temperatura T,

.. '. . . .,

. . , . proportional a la secci6n d d tub0 de en- F~G. 21-l.-Dingr:tma escluemQticode 5 ' : . . trada colocado en la parte' superior del un motor terrnico.

: diagrama. La secci6n del tub0 d e salida . . . i. : en la parte inferior es proporcional a la parte de calor, Q1, expulsada

y> por el escape. El tub0 de la derecha represents el calor neto suminis- ? trado a1 motor y que este convierte en trabajo mec5nic0, W. Puesto

que la sustancia que experimenta el ciclo vuelve periodicamente a su ;:: es1;ado inicial, y la variaci6n d e energia interna en un numero cualquiera 1: d e ciclos es nula, se deduce, en t i r t u d del primer principio de la termo- . .. . ,.I ._ , . . dinbmica, que

. . Q2 = Ql + 1v; , . . . . . W = Qz - QI,

Esto es, el trabajo mecanico realizado es igual a la diferencia entre el 1 calor suministrado a1 motor y el cedido por 61. (Por convenio, W, Q2

y Q1 se consideran todos positivos.)

.l.',S SEGUSDO PRISCIPIO DE L.% T E R ~ I O D I N Z ~ ~ ~ I C A [CAP. 24 - .-

El rcndimienlo E del motor es la raz6n del trabajo realizado a1 calor :I hsorbido. Por consiguiente.

Trabajo realizado W E = - . --

Calor absorbido Qz'

E = Q - Qi

Q2

Seglin este diagrama, el motor de rendimiento optimo es aquel para cl cual.el tubo de la derecha que representa el trabajo obtenido es lo m5s ancho posible, mientras que el tub0 de escape es lo m i s estrecho posible, para un tub0 de entrada o cantidad de calor snministrada pre- fijados.

Consideraremos ahora,.sin entrar en detalles de construcci6n, el motor d e combustion interna, el motor Diesel y la maquina de vapor.

24-2. Motor de combusti6n interns.-El motor corriente d e combustion interna es del tipo de cuatro tiempos, llamado asi porque en cada ciclo se verifican cuatro procesos. Partiendo del instante en que el piston se encuentra en la parte superior de su carrera, se introduce en el cilindro, durante la carrera d e admision, una mezcla explosiva de vapor d e gasolina y aire, permaneciendo abierta la valvula de admisi6n y cerrada la de escape. Esta es la carrera de admisidn. A1 final de ella la vhl- vula d e admisi6n se cierra, y el pist6n se eleva, realizindose una cornpresion, aprosimadamente adiabatica, de la mezcla de gasolina y aire. Esta es la carrera de compresidn. En el extremo de esta carrera o cerca

de el una chispa inflama la mezcla de

P vapor de gasolina y aire, cuya combustibn se produce muy rapidamente. La pre- + , si6n y la ternperatura aurnentan, aproximadamente, a volumen constante.

El piston es empujado entonces hacia abajo, a1 expandirse de un mod0 aproximadamente adiabitico 10s gases resultantes de la combusti6n. Esta es la carrera

QI de Irabajo, a1 terminar la cual se abre la

I ;% ralvula de escape. La presi6n dentro del

I cilindro disminuye rapidamente hasta la

1 presi6n atmosferica, y a1 elevarse el pis-

1'2 VI , " tbn obliga a salir a 10s gases que que- I'IG. 2-4-2.-Diagrama p-V corrcspon-

dan, durante la carrera de escape. Se cierra diente nl ciclo O ~ O . ahora la v6lvula de escape, se abre la de

admisi6n y se repite el ciclo. Para fines de calculo, el ciclo de un motor de combusti6n puede

c~lslituirse aproximadamente por el ciclo del molor de aire calienle o ciclo Oflo, representado en la figura 24-2.

SEC. 2-1-31 - .\10'1'01< DIESEI. - . I .-) ! ,

- ~

Partiendo del punto cr, el aire a la presion atmosf6rica es cornprimitlo adiabiticamente en un cilindro hasta el punto h, clespuCs calentatlo a volumen constante hasta el punto c, a continuation >e le permite espan- dirse adiabiticamente hasta el punto d, y, p o r iiltimo, se enfria a volumen constante hasta el punto a , rrpiti6ndose el ciclo. La linea ab corresponcle a la carrera de compresion; bc, a la de explosi6n; cd, a la carrera de trabajo, y da, a la de escape. E n la figura 21-2. V1 y V2 representan, respectivamente, 10s volumenes mis imo y lilininio q u e ocupa el aire en el cilinclro. La raz6n V1/V2 se denomina razdn de compresidn, y es aproximadamente 7 para un motor de combusti6n interna.

El trabajo realizado viene representaclo. en la figora 21-2, por el area rayada encerrada por el contorno abcd. El calor se suministra a volumen constante a lo largo cle la linea bc. El calor se cede a lo largo de da. Durante 10s procesos atliabBticos ab y cd no hay cambios de calor con el exterior.

El calor suministrado y el trabajo realizado pueden calcularse en funci6n de la razon de compresion, suponiendo que el aire se cornporta como un gas perfecto. El resultado es:

Rendimiento (%) = 100

Para una razon d e compresi611 7 y un valor de y = l,4, el rendimiento es 54 %, aprosimadamente. Puede verse que el rendimiento es tanto mayor cuanto ~ n a s elevada es la razon tle coinpresio~i; pero en 10s motores reales la razon de compresi6n no puecle esccder de 7, pues, en otro caso, se producen fenonlenos de encendido prernaturo y golpeteo. Los efectos de rozamiento,.turbule~icia, pCrdidas de calor por las paredes del cilindro, etc., no se ha11 tenido en cuenta, jr todo ello retluce el rendimiento de un motor real por debajo de la cifra dacla anteriormente.

24-3. Motor Diesel.--En el ciclo Diesel, penetfa aire en el cilindro d u r a ~ t e la carrera d e admision y se comprinle adiabaticamente durante la compresion hasta una temperatura sificientemente alta para que el aceite conlbustible inyectado a1 finalizar esta carrera arda en el cilindro sin necesidad de ser inflamado por uria chispa. La combustion no es t an rapida como en el motor de gasolina, y la primera parte d e la carrera de expansion se ver i f~ca a presi6n casi constante. El resto de la carrera es una expansion adial~atica. A esta sigue la carrera de escape que corn- pleta el ciclo.

El ciclo te6rico Diesel de aire es t i representado en la figura 34-3. Partiendo del punto a, el airc es comprimido adiabhticamente hasta el punto b, despuks calentado a pre'si6n constante hasta el punto c, a continuacibn se le deja expandir adiabhticamente hasta el punto d , y, por ultimo, se enfria R volimen constante hasta el punto a.

Puesto que no hay combustible en el cilindro de un motor Diesel durante la carrera d e compresion, no puede producirse el encendido

premature, y la razvn tle compresi6n V1/\'? puede ser niucho mayor que en el motor de combusti6n interiia. Es tipico el valor 15. La razbn de c.rpansidn Iy1/V3 s~lele scr alrcdcdor de 5. Utilizando estos valores, y toniando y = 1,1, el rendimiento de un ciclo Diesel es 56 %, aprosi- madamentc. Por consiguiente, se obtienen rendimientos algo mayores que utilizando el ciclo Otto. Lo mismo que antes, el rendiniiento efcctivo de 1111 motor Diesel real es inferior a1 valor dado anteriormente.

24-4. Mkquina de vapor.-El tipo de maquina de vapor con conden- saclor realiza .la siguiente serie tle operaciones. El agua se convirrte en vapor en la caldcra, y el vapor asi formado es sobrecalentado por encima de la tcnipcratura de la caldera. Es te vapor sobrecalentado cs adniitido en cl cilindro, donde se espande contra el piston manteniendo la comunicaci6n con la caldera tlurante la primera parte dy la carrcra dc trabajo, que ticne lugar, por consiguicntc, a presion constante. Se cierra entotices la valvula de acl~nision y el vapor se espande adiabfiticamente durante el rcsto de la carrera d e trabajo. E l enfriamiento adiabatic0 ocasiona In contlcnsacibn de algo de vapor, y la mezcla de vapor 3. gotitas de agua (llaniatla vapor hcimcdo) cs obligada a salir del cilinclro en la carrera de vuelta, penetrando en el condensatlor, donde el vapor restante se condensa y transforma en agua. E l agua es forzada a penetrar

.A en la caldera por la bomba de alimentacibn, y el ciclo se repite.

1:rr.. 2d-3.-I)ia~ram:1 p-V de 1111 ciclo 1)iccrl.

La figura 21-4 represents un ciclo idealizado (Ila~nado ciclo de Rnnliine) que sc aproxirna al ciclo rcal de una nxiquina de vapor. Se inicia el ciclo con agua liquida a baja presibn y temperatura (punto a), qiie se comprime adiab5ticamente hasta el punto b, a la presibn dc la caldera. DespuCls es calentada, a presi6n constante, h a s h su punto de ebullition (linea be) convertida en vapor (linca cd) y sobrecalentada (linea de) ; a continuacibn se espancle adiabaticanlente (Iinea el), y, por fin, se enfria y condensa (a lo largo de f a ) hasta su estado inicial.

El rendimiento dc este ciclo pucde determinarse, cdmo se hizo cn 10s ejemplos previos, calculando las cantidades de calor tomadas y cedi-

SEC. 24-51 CICLO D E CARNOT

i 36 1

I 1 das a 10 Iargo de las lineas be y fa. Suponiendo que la temperatura de la caldera sea 2140 C (que corresponde a una presion de 21,l I<g/cm2), una sobrecalefaccibn de 340 C por encima de esta temperatura (2480 C) y una temperatura de condensaci6n de 390 C, el rendimiento de un ciclo

. de Ranltine es 32 %, aproximadamente. Los rendimientos reales de las i

i; miquinas de vapor son, como puede preverse, considerablemente inferiores.

Rendimiento (%) = 100 T2 - TI , 7-2

i 24-5. Ciclo de Carnot.-Aunque el rendirniento varia d e uno a otro,

! ninguno d e 10s motores termicos que hemos descrito tiene un rendimiento del 100 % Queda pendiente la cuestion de averiguar cual es

i el rendimiento mQximo obtenible, dados un foco calorifico a cierta tem- t j -

peratura, y un dep6sito a temperatu- - ra m5s baja, para la refrigeration de 10s

productos de escape. Se denomina molor

f

I

t

4

Por ejemplo, un motor de Carnot que trabaje entre las temperaturas de

de Carnot a un motor ideal, imaginado por Carnot, que tiene, segirn puede de-

I mostrarse, el zendimiento maxim0 entre 10s que funcionan en las condiciones citadas. El ciclo de Carnot, representado en la

j figura 24-5, difiere de 10s ciclos de Otto y i de Diesel en que e s t l limitado por dos j isotermas y dos adiabaticas. De esta for-

j ma, todo el calor suministrado a1 motor

1

1

I 'l

t

1

5220I< y 3120K tendrh u~ rendimiento del 41 %, coniparado con el , , rendiniiento del 32 % para un ciclo de Rankine que funcionc entre las

mismas temperaturas. Demostraremos en la secci6n 24-8 que ningbn motor que trabaje 1 '

entre estas temperaturas puede tener un rendimiento mayor que el del ( motor .de Carnot, y que todos 10s motores de Carnot, ya hagan uso o

' 1 no de un gas perfecto, tienen el mismo rendimiento cuando trabajarl , entre las mismas, dos temperaturas. La Ec. [24-11 determina las condiciones que debe satisfacer un motor

i I

real, ta l como una mfiquina d e vapor, para aproximarse lo mas posible , 1 a1 rendimiento mix imo obtenible. Estas condiciones se reducen a que

I f I

tiene la misma temperatura elevada, y ir

todo el calor cedido es expulsado a la mis- FIG- 24-5.--Cic10 de t

ma temperatura baja (compArese con las I f - Figs. 24-2 y 24-3, en las cuales la temperatura es diferente en todos 10s puntos de las lineas bc y da.) Si se somete un gas perfecto a un ciclo de Carnot, no es dificil probar que el rendimiento est6 dado por:

I

1:) Iv~n l )c~~a tu ra de entrada T2 sea lo rn5s alta y la temperatura de es- ( :11r 7', lo mas baja posible.

/,:I temperatura d e escape no puede ser inferior a la temperatura r ~ ~ i l ~ i l n a disponible para refrigerar el tubo de escape, que de ordinario

I:! tcmperatura de la atm6sfera o la del agua de u n rio accesible a la 111\1:1lnci6n. El unico recurso consiste en elevar la temperatura d e la c :~l(lrr:~, T2. Puesto que, segun se muestra en la figura 23-3, la presi6n ( 1 1 , vapor de todos 10s liquidos crece rapidamente a1 aumentar la tem- ] ~ ~ r : ~ t l ~ r a , la resistencia mecanica de la caldera pone un limite a dicha (.lr.vaci6n. Otra posibilidad estriba en utilizar, en lugar de agua, algdn olro liquido con una presi6n de vapor inferior. A este respecto se han 1(.:111zatlo esperimentos satisfactorios con vapor de mercurio para sus- 111u1r el vapor de agua. -4 2na temperatura de la caldera de 2000 C, 1r:lra la cual la presion en una caldera de vapor de agua seria 16 I(glmm2, v r r una caldera de mercurio se reduce a 0,025 Kglmrnp.

1 3 rendimiento de un motor de Carnot que utilice un gas perfecto se calcula en I:I forn~a siguiente: el trabajo efectuado en las cuatro fases del ciclo es:

1 1 . ~ ~ = nC, (Tz - TI);

\. c.1 trabajo realizado en el ciclo cornpleto sera la suma de estos cuatro tbrminos, lo ; I ~ l e es igual a la energia litil, \I., suministrada por el motor: por tanto,

La energia absorbida es igual a1 calor Qp suministrado a lo largo de la trayectoria crb, o sea: . .

vb Gasto = Qq.= n RT2 In -

v a

1-0s puntos a y d estzin sobre la misma adiabzitica, como les sucedc a 10s b y c. I'or consiguiente, en virtud de la Ec. [22-261:

T ~ V , , Y - ~ = TI Vcy-I;

T ~ Y ~ Y - I = T ~ V ~ Y - I ,

1.3 rendimiento del ciclo es el cociente de la energia litil a la absorbida: dividicndo p !.l~nplilicando se obtiene:

Tz - TI Rendinliento = ---

T2 . .

24-6. MBquina frigorifica.-Una ~niiquina frigorifica puede considerarse como un motor temiico que funciona en sentido inverso. Esto cs, un motor tCrmico toma calor de un foco a tetnperatura elevada, convierte una parte del calor en trabajo mechnico y redc la tliferencia en forma de calor por el escape a un foco a telnpcratura m(is brrja. Una ~naqu ina frigorifica toma calor a baja femperafura, el compresor suminis lra tm- hajo mecanico, y la suma se espulsa a1 exterior cn forma tle calor a temperatura m a s alfa.

El diagrama de una maquina frigorifica esta rcp~.cscntado en la figura 24-6. E n una miqu ina frigorifica clomi.stica, rrl)resenta el calor estmido de la maqoina frigorifica por 10s serpentines refrigerantes situados en su in-

Q2 = 11' + (3, terior; LV, el trabajo realizado por el motor, y Q*. el calor cedido a 10s serpentines refrigerantes esteriores y eliminado por circu- lacion de agua o de aire. Dcl primer principio sr deduce:

Q2 = Ql - \\!.

f Esto es. la circulation de aire o de agua f ha de absorber el calor e.rlraido de la ma- $ --

quina frigorifica y el calor equivalente a1 trabajo realizado por el motor.

Desde el punto de vista economico. el Prc. ,4-G.-, )ingram:l eb(l tie,,, 5- mejor ciclo de refrigeration es el que elimina tico cle unn m:i(roina friaoriricn. la mayor cantidad de calor Q1 de la maquina, con el gasto lninimo de trabajo mecanico \V. Por consiguiente, defi- ninlos la eliciencia (mBs bien que el rendi~niento) de una maquina frigo-

t rifica como la razon Q1:'\i7, y puesto que IV = Q2 - QI,

Eficiencia = Q1

Q:! - Qi

El fundamento de u n ciclo corriente de rcfrigcracion est5 representado esquematicamente en la figura 24-7. El compresor A proporciona a 10s serpentines B gas (SO?, SH3, etc.) a alta temperatura y presi6n. El calor cs climinado dcl gas en B, por agua o aire rcfrigcrantc, ocasionando una condensacihn del gas a liquido, todavia 2 al ta prcsion. El liquido pasa a travCs de la valvula d e cstrangulacion o espansi6n C, saliendo en forma de una niezcla de liquido y vapor a temperatura mas baja. En 10s ser- pent ine~ D, se suministra calor que convierte el liquid0 restante en vapor que penetra en el cornprcsor ;l para repetir el ciclo. En una niaquina frigorifica domCstica, 10s serl~cntines D est6n colocados cn el compar- tinliento del hielo, donde enfrinn dircctamcnte la miiquina frigorifica. En una instalaci6n refrigcradora industrial, estos serpentines estan ge-

l , ncralmente sumergidos en un tanque con salmuera, enfriando la sal- I 1 I

46-1 SECUNDO I'I~INCIPIO DE LA TERI)IODINAHI(:A [CAP. 24 ---

mucra, que es t r a~~spor t ada despub, por medio d e bombas, a 10s depar- tamcntos de rcfrigeracibn.

La figltra 21-8 cs un esquema simplificado del llamado frigorifico de gas. E n cl gcnerador sc calienta, nlediante un pequeiio mechcro d e gas, una disolucidn acuosa de amoniaco que se desprende de la disolucion, y el vapor de a~noniaco asciende por un tubo elevador, llevando consigo

algo de agua, de.1 mismo mod0 que se eleva el agua por el tubo central de un percolador d e cafe. Esta agua se recoge en el scpa- rador desde el cual desciende hasta un aparato de absorcibn, rnientras el vaDon de amoniaco sube hasta el cindknsador. .\qui el anloniaco se licua v su calor de condensaci6n es eliminado Dor el aire aue circula alrede-

Gas a alta presi6n

Liquido a alta presidn

dor de las aletas de refrigera- ci6n. El amoniaco liquido pasa entonces a1 evaporador, si tuado

Liquido a baja presidn en la unidad refrigerante d c la Gas a baja presi6n n~dquina, y a1 evaporarse absor-

be calor dcl media que lo rodea. FIG. 2-~-i.-l:unt1nnlrnto d c ~ ciclo mcc;inico de El vapor dc amoniaco continila

rcfrigrraci6n. hasta el aparato de absorcibn 1. . donde se disuelve en el ag-ua clue

procede del separaclor. La tlisoluci6n acuosa de amoniaco pasa entonces a1 generador, complct8ndose el ciclo.

El aparato de absorcion y el evaporador contienen tainbiCn hidrogeno que se lnantiene en circulacidn por un proceso d e convection, originado por el liecho de que la mczcla de amoniaco e liidr6gcno que pasa por el tubo situado mris a la izquierda cn la figura cs mds dcnsa que el hidrogeno puro que circula por cl tubo quc sale por la partc supcrior del apara to de al~sorcion. Esta corriente dc hidrogeno, quc eritra por la parte supr- rior del cvnporador, arrastra el vapor de arnoninco fuera del cvnporatlor \r facilitn la rripida evaporation. I'uesto quc cl a~noniaco cs muclio 1116s iricilniente solul)le en agua que el hidr6gcn0, la mayor parte tlcl aiiio- niaco se disuclve cn cl agua quc gotea hacia abajo a travi's del aparato

, tle absorci611, micntras quc el liitlr6gcno pasa l~acia arriba. E s ncccsario cli~ninar calor del apnmto tlc al~sorciAn igual quc tlrl

conclcnsndor, porque al tlisolvcrsc cl amoniaco en agua tlcsprcntie calor. Esto sc consigoc ~ncdiantc el circuito ausilinr formatlo por un serpentin qne rotlcn cl apnrnto de absorcihn y por u n rcfrigcratlor tlc aletas.

24-7. Entropia.-KO cxistc. en totla la fisica un conccpto ~nAs tlificil de co~nprendcr qu6 cl de entropia, que cs tamhien uno de 10s m5s funda-

E l primer principio de la termodingrnica es la ley de la energia, y el segundo d e ellos es la ley de la entropia. Todo proceso que tiene lugar en la Naturaleza, ya sea mecdnico, elCctrico, quimico o biolbgico, debe ajustarse a estas dos leyes.

E n relacion con algunas de las ecuaciones de la termodinamica se

Aparato de absorci6n

Tubo elevador L

- Vapr de amoniaco = Agua

= Hidr6geno = Amoniaco diruallo

FIG. 24-8.-Esquema sirnplificado de un Irigorilico de gas. (Por corlesia de Serwl-Eleclroluz.)

h a dicho: ((La experiencia demuestra q u e es mucho m i s facil uliliz!~l- (ciertas) formulas que c0mprenderlas.n IdCnticas palabras pucden : ~ l ) l i - carse a1 concept0 de entropia: resulta m l s dificil comprenderlo '111''

aplicarlo. E n un libro de este tono no h a y lugar para una espo"ic.i(lll

a fondo de la entropia y del segundo principio de la termodinimica. Por ello nos limitaremos a da r la definici6n de entropia, calculando sus variaciones en unos cuantos ejemplos, y enunciando algunas de sus propiedades.

Recordemos que en la secci6n 22-6 hemos insistido en que a1 llevar un sistema de un estado a otro, la experiencia nos dice que la diferencia entre el calor suministrado y el trabajo realizado por el sistema, Q - TI-, conserva el mismo valor, cualquiera que sea la trayectoria. El hecho de que esta diferencia tenga siempre el mismo valor hace posible la introducci6n del concept0 de energia interna, cuya variacion esta definida y medida por la magnitud Q - TY.

La entropia, o mejor un cambio de entropia, puede definirse de manera analoga. Consideremos dos estados de un sistema y un nlimero cualquiera de trayectorias reversibles (cuasi esiziticas) que establezcan su conesi6n. (La restricci6n a trayectorias reversibles no es precis0 hacerla en relacion con las variaciones de energia interna.) En tanto que el calor su~ninistrado a1 sistema es distinto a lo largo de las diferentes trayectorias, se determina experimentalmente que si el calor suministrado en cada punto de la trayectoria se divide por la temperatura absoluta del sistema en dicho punto y se suman 10s cocientes para toda la trayectoria, esta suma tiene el mismo valor para todas las trayectorias (reversibles) que unan 10s mismos extremos. En simbolos matematicos:

constante para todas las trayectorias rever- s i b l e ~ comprendidas entre 10s estados 1 y 2.

Resulta, por tanto, posible (si es o no util no podemos decirlo ahora)' introducir una funci6n cuya diferencia entre 10s estados 1 y 2 quede definida por la integral anterior. Puede asignarse un valor arbitrario a e t a funci6n en cierto estado de referencia tipo, con lo que su valor en cualquier otro estado sera una cantidad definida. Dicha funci6n se denomina entropia del sistema, y se representa por la letra S. Tenemos, por tanto:

S2 - S1 = -(a lo largo de una tragectoria reversible). [21-21 I: 5 Si la variacion es infinitesimal,

E n virtud de su definici6n, las unidades de la entropia ser6n calorias por grado Kelvin, BtuloF abs., o cualquier unidad aniloga.

La Ec. [24-2) puede considerarse como el segundo principio de la tcrmodinimica, asi como la Ec. [22-151 espresa el primer principio.

EJEMPLO 1.-1 I<g de hielo a 0 OC se funde para convertirse en agua a 00 C. Calcli- lrse su rariaci6n de entropfa.

SEC. 24-71 ENTROP~A 467

Puesto que la temperatura permanece constante con el valor 273O K, puede sacarse T fuera del signo inteagal, y se tiene:

Pero Q es sencillarnente el calor total que debe suministrarse para fundir el hielo. o sea 80000 cal; por c o n ~ i ~ i e n t e :

y el increment0 de entropia del sistema es 293 cal/oI<. E n cualquier proceso isolermo reversible, la variaci6n de entropia equivale a1 calor suministrado dividido por la temperatura absoluta.

E J E ~ ~ P L O 2.-1 Kg de ag-ua que se encuentra a 0 OC se calienta hasta 100O.C. Calca- lese la variaci6n de entropla.

La temperatura no es constante, por lo que -es necesario expresar dQ y T en funcibn de una sola variable para poder efectuar la irltegraci6n. Esto se consigue fhcilmente si se tiene en cuenta que

dQ = rncdT. Por consiguiente:

EJEMPLO 3.-A1 efectuar la expansion adiabdtica y reversible d e un gas, L C U ~ ~

es la variaci6n de entropfa? En un proceso adiabatic0 no hay suministro ni cesion de calor al o por el sistema;

por tanto, Q = 0, y no hay variaci6n de entropia. Resulta que en todo proceso adia- b a t i c ~ reversible no hay variacidn de entropla, por lo que puede denominarse ism- lrdpico.

EJEJIPLO 4.-A un gas real (no pkrfecto) se le hace esperimentar un ciclo de Carnot. 6Cu61 es el rcndimiento del ciclo?

Cuando un sistema efectlia un ciclo cerrado, su cambio de entropia es nulo, ya que alcanza finalmente su estado inicial. Por consiguiente, en cualquier ciclo cerrado

. -

S ~ - S I = O Y, en particular. para el ciclo de Carnot =O. El ciclo d e Carnot esta

limitado por dos isotermas y dos adiabaticas. Sean TI y T2 las temperaturas de las isotermas; Qz, el calor suministrado a la temperatura m9s alta, Tz, y Q1, el cnlor desprendido a la temperatura inferior, TI. Por el ejemplo 3 sabemos que la variacibn de entropia a lo largo de las adiablticas es cero, y en el ejemplo 1 hemos vista que el cambio de cn t ro~fa a lo largo de las isotermas es:

Qz Q1

I Tz 7.1

Puesto que la variacidn d e entropfa en el ciclo rompleto es nula, results:

o bien

TEOR~A CINETICA DE LOS GASES

25-1. Deduccibn de in ley de 10s gases perfectos.-La teoria cinetica tie 10s gases, que se eocuentra lo suficientemente bien establecida como para no considerarln ya una leoria, es una rania del estudio de la natura- lezn nlolecular de la matelia en general. La teoria cinetica se propone cs1)licar las propiedades ubservadas en 10s gases sobre la base de las ]eyes de la niecrinica y tle algunas hipotesis adicionales referentes a la naturaleza de un gas. Supondremos que el gas no es un fluido continuo, sin0 un numero enorme de particulas diminutas que llaniaremos mo- li.culas. Estas se suponen separadas por grandes distancias en relaci6n con sus propias dimensiones; se iniagina tarnbi@n que se encuentran en un estado continuo tle niovimiento caotico, y que no ejercen fuerzas cntre si salvo en 10s choques. Se supone ademas que tanto 10s choques de las moleculas entre si como con las paredes del recipiente son perfecta~nente elasticos.

Para adquirir ilna idea del enorme nrin1e1.o de rnolCculas presentes en un centimetro cubico de gas en co~ldiciones ordinarias, recordemos en lxi~ller lugar, que un peso molecular granio de cualquier gas ocupa un yolumen (le 22 -100 cni3 en condiciones normales dt: presibn y temperatura, y, en segundo lugar, que el ntimero de moleculas de un mol (nii- lnero de .lvogadro) es 6,02 x 1023. El numero de moleculas por centimetro cubico en condiciones normales sera, por tanto,

X urla temperatura dada, el ntimero de molCculas por unidad de volu- Inen es directan~ente proporcional a la presibn, lo cual puede demostrarse en la fornia siguiente: Sea .V el ntimero total de molCculas contenidas en una muestra de gas, y A, el numero de Xvogadro; el ndmero de moles de 12 n~l!estra sera:

ili n =-

A

1% virtud de la ley de 10s gases se tiene:

nRT iV RT p=v=-- V A

I < I cocicnte iV/V es el ntimero de moleculas por unidad de voiumen, y 474

I< y A son constantes. Por Lanto, a te~nperatura constante, N/V resulta proporcional a p.

Las bombas de vacio n ~ a s perfectas que pucderl coristruirse son capaces de reducir la presibn I~asta cerca de una diczmilesin~a de mili- metro de mercurio, o sea 10-7 atm, aproximadamente. -4 esta presibn

! todavia hay 10-7 x 2,68 x 1019, es decir, unos 3 billooes de mol~culas por centimetro cubico (3000000000000).

Para obtener la masa de un solo atomo (o ~nolecula) se divide el peso atbmico (o molecular) gramo por el numero de Avogadro; p. ej., la niasa de un atomo de hidrogeno aldrnico es

A partir de este valor se deduce inniediatamente que la masa de una molecula de hidrogeno es:

mientras que la nlasa de una mol6cula de osigeno vale:

y asi sucesivamente. En un gas real, no todas las ~noleculas tienerl la misrna velocidad;

unas son mas veloces y otras mas lentas que el promedio. Como primera aproximaci6n, sin embargo, poden~os suponer quc todas las nlolCculas tienen la ~nisma velocidad, que representarc~l~os por c. Xsimismo, c r ~ iln gas real, las direcciones y seritidos de las vclocidades de sus moleculas se encuentran distribuidos al azar. Para simplificar supondremos que una tercera pwte de las mol6culas se mueven paralelan~ente al eje S; que otro tercio lo hacen paralelamente a1 eje Y, y la tercera parte k' restante, en direcci6n a1 eje 2. Finalmente, ignoraremos cualquier efecto de choque entre las molCcu- las, lo que equivale a considerarlas como puntos geometricos materiales, de masa rn.

Imaginenlos que el gas se halla . contenido en una vasija cubica con aristas de longitud L paralelas a 10s ejes, segiin se indica en la figura 25-1. Sea N el nfimero total de . .

-\ molCculas, dc forma que - de ellas /

3 z - se mueven hacia adelante y hacia a t r i s en direcci6n del eje X, con ve-

1 476 TEOII~A CINETICA DE LOS GASES [CAP. 25 - --- -. - I

locidad c. Cuando una l~~olecula choca con la cara abcd, su velocidad cambia de +c a -c; por tanto, su cantidad de movimiento varia de +mc a -mc, por lo que la variaci6n total de la cantidad d e movimiento es 2 mc, que es igual a la impulsion d e la fuerza ejercida por la molCcula sobre la cara abcd. La presion observada del gas sobre esta cara resulta del efecto combinado de todas estas pequefias fuerzas impulsivas.

No tenemos medio de precisar el tiempo que dura el contact0 d e una nlolecula con la pared, y, por consiguiente, no podemos calcular la fuerza de un choque determinado. Sin embargo, el tiempo transcurrido entre

. dos choques consecutivos de una molCcula cualquiera con la cara abcd es el enlplea'do por ella para ir hasta la cara opuesta y retroceder de nuevo, o sea, para recorrer una distancia 2L. Este tiempo es 1 '

1 La cantidad de movimiento de cada n T molecula cambia de signo una vez

1 durante cada interval0 de tiemPo%; por tanto, dado que I C

1 impulsi6n = fuerza media x tiernpo = variaci6n de la cantidad 1 I,;., de movimiento I ' -

1 8--

I 2L ' Fuerza media x - = 2mc;

I C

I rn cz Fuerza media = - (una molCcula),

I L

~Iult iplica~ldo por iV/3, n6nlcro de nlolCculas que chocan con la cara abed, resulta:

.\' mc2 Fuerza media = --;- - (todas las mol~culas que chocan con la cara abcd).

3 L

La presi6n media ejercida contra esta cara ser4:

Fuerza media Presi6n media =

Superficie

iV mc? 1 P = 3 7 F

Ahora bien: conlo L3 cs el volumen, V, de la vasija,

. iV mc2 p =-- 3 V '

SEC. 25-11 D E D U C C I ~ N DE LA LEY DE LOS GASES I?EI<FECTOS - - -177

-

sc o b t i e ~ ~ e la ley de 10s gases perfectos:

Esta tiltinla etapa es altamente signiiicativa, procurindonos por primera vez el cslabon que enlaza el concept0 cle temperatura con 10s conceptos de la meclnica. Escribamos de nue\-o'la Ec. [25-21 en la forma siguiente.: Puesto que el n6mero de moles, n. es igual a1 d e mol~culas, N, dividido por el nilmrro de r2v6gadro, ,-I, resulta:

La raz6n RIA. aparece con tanta frecuencia en la tcoria cinktica de 10s gases que es conveniente representarla por una soIa letra k. En unidades cgs,

Puesto que es el cociente de dos constantes universales, k es asimisnlo una constante universal, denolninada consfante molecular de 10s gases o consfante de Bolfzrnan (1844-1906). E n funcion d e la constante de Boltz- man, la Ec. 125-31 se escribe;

1 Pero-rnc2 es la energia cinCtica de traslaci6n de una mol6cula, y,

2 por tanto, la lernperafura Icelvin de u n 9a.s es proportional a la cnergfa cintlica de lraslacidn de fodas las molCculas que lo consfilrryen.

Nos es 'ahora posible calcular la velocidad con que s e desplazan las molBculas de un gas. La Ec. [25-41 puede escrihirse en una de las siguientes formas:

478 T E O R ~ A CIXETICA DE LOS GASES [CAP. 25

De la Ec. [25-51 se deduce que, a una misma temperatura, Ias energias cineticas de todas las clases d e molCculas son iguales, y de la Ec. [25-61 resulta que las velocidades de dos especies diferentes, a la misma temperatura, son inversamente proporcionales a las raices cuadradas de sus masas.

-4 la temperatura de 270 C, 6 3000 K, se obtiene:

Una molCcula de hidr6geno que se desplazase con esta velocidad daria la ruelta a la Tierra en unas seis horas.

25-2. Calores especificos.--Yamos a ver a continuacion como pueden calcularse 10s calores especificos de un gas perfecto basandose en la teoria cinetica. Obseniese que mientras 10s principios termodinamicos, segun - se explico en la seccion 22-5, prueban que la diferencia entre 10s calores especificos de un gas perfecto, a presibn y a volunlen constantes. es igual a la constante R de 10s gases, la termodinamica por si sola no permite obtener informaci6n alguna acerca de la magnitud absoluta de uno u otro de dichos calores especificos.

Hemos visto por la Ec. [22-181 que el calor especifico molar a volumen constante es igual a1 incremento relativo de la energia interna por mol, por incremento unitario de la temperatura:

Resulta de esto que si logramos deducir una espresion para la energia interna de un gas en funci6n de su temperatura, bastara calcular su derivada para obtener el calor especifico a volurnen constante.

La energia interna de una molkcula gaseosa se compone de su energia cinitica de traslaci6n, mis la energia cinCtica de rotacion, J- m l s la energia correspondiente a las vibraciones de 10s atomos que la integran. Estas distintas formas de energia se hallan asociadas con 10s llamados grados de liberfad que puede tener una molCcula; es decir, para determinar el movimiento de traslacion del centro de masa de una molCcula, es necesario dar las componentes de la velocidad seghn tres ejes ortogonales entre si, y de acuerdo con esto podemos decir que la molCcula posee lres grados de libertad de traslacidn. El movimiento de rotacion queda tlcterminado dando las componentes de la velocidad angular respecto a tres ejes, de donde resulta que son posibles ires grados de libertad de r,olacidn. Pueden existir ademas grados de libertad de vibraci6n.

Ida energia total de la molCcula es t l distribuida de alghn mod0 entre tlicllos grados de libertad, y la hipotesis m8s sencilla que cabe hacer es t111c In energia se halla distribuida por igual entre 10s distintos grados de

libertad. Esta hipotesis s e denomina principio de equipariicion de la energta.

Hemos obtenido ya una expresion para la energia asociada con el movimiento de traslacion d e la molCcula. De la Ec. [22-51 resulta que la energja cinetica de traslaci6n es

1 - 3 = - kll'.

2 2

Puesto que existen tres grados de libertad de traslacion, la energia cinCtica que corresponde a cada uno es

Finalmente, si f representa el nfimero total de grados de libertad, y si todos cornparten 12 energia por igual, la encrgia t9tal de la molCcula

I sera:

I

La energia de N molCculas o energia interna I / sera, por tanto: I Puesto que k = Rl.4 y .Y!A = n, la expresi6n anterior puede e.s-

cribirse:

f L; = - nRT. 2

Tenemos asi expresada la energia interna en funcion de la temperatura, por lo que resulta posible calcular C,::

De la relacion C, = 17, - R resulta que

y, finalmente,

480 T E O R ~ A CINETICA DE LOS GASES [CAP. 25

Asi, pues, con ayuda del modelo cinetico de un gas perfecto y la hip6tesis de equiparticion se pueden expresar Cp, Cv y y en funcibn del numero de grados de libertad.

~Cbmo concuerdan estas predicciones con 10s resultados de la experiencia? En la tabla 25-1 se dan algunos datos; 10s dos primeros gases, argon y helio, son monoaldmicos, por lo que cabe esperar de ellos un , comportamiento analogo a1 de masas puntuales, con tres grados de libertad de traslaci6n y ninguno de rotaci6n o de vibracibn. Si hacemos 1 = 3 en las Ecs. [2,5-71 y [25-91, resulta:

pudiendo comprobar que estas cifras concuerdan bastante bien con 10s valores observados.

TABLA 25-1

Calores especfficos de algunos gases

C. Y :

A 3,03 1,668 He 3,02 1,660

0,155 4,99 1,401 N2 4,95 1,404 He 4,80 1,410 Aire 1 0,171 ' 1 4,96 1.40 CO 0,169 4,96 1,404 COz i 0,153 1 6.77 1,304 SO:! 1 0,117 7,72 1,29

c . H , ~ ~ 1 0.412 1 30.9 1,08

Los tres gases siguientes son diatbmicos, por lo que es de esperar que posean seis grados de libertad: tres de traslacibn y otros tres de rotaci6n. Sin embargo, haciendo f = 6, la concordancia no es satisfactoria; pero si hacemos f = 5, resulta:

5 C,, = - R = 4,95 cal/mol OC;

2

~ o ' r tanto, estas molCculas se comportan aparentemente como si su energia estuviese compartida entre cinco grados de libertad. La expli- cation se relaciona con el hecho de que el momento de inercia de una

SEC. 25-31 MOVIMIENTO BRO'AXI.4Y0 481 *.

molCcula diatbmica respecto de un eje coincidente con la recta que une ainbos atomos es, mucho menor que respecto de ejes normales a esta direccibn, y s610 dos de 10s grados de Libertad de rotaci6n parecen com- partir la energia.

Cuanto mas compleja es la moldcula hay que esperar un mayor nlimero de grados de libertad, y, en virtud de las Ecs. [25-71 y [25-91, mayor sers su c.alor especifico, en tanto que la razon de sus calores especificos tender6 a la unidad. La tabla 25-1 muestra que esta es precisamente la tendencia general. Sin embargo, mientias 10s ejemplos citados prueban que hay parte de verdad, a1 menos, en esta sencilla teoria de 10s calores especificos, en realidad no resulta muy satisfactoria, primero por la necesidad de admitir un numero no entero de grados de libertad para conseguir concordancia en muchos casos, y tambien debido a que 10s calores especificos observados muestran una dependencia con la temperatura que no predice la teoria. El principio de equipartici61-1 no resulta suficiente, y es necesario recurrir a conceptos de la teoria de 10s cuantos para poder dar una explicacibn satisiactoria de 10s calores especificos de 10s gases.

25-3. Movimiento brownian0.-Los atomos y molCculas son demasiado pequeiios para permitir la obsen-aci6n directa de su movimiento tCrmico. Una evidencia indirecta de la existencia de este movimiento puede obtenerse de multiples formas, aunque quiz& la m6s convincente es la relacionada con el movimienlo Erowniano. En 1827, un bot6nico inglCs; Brown, a1 examinar con el microscopio una suspensi6n acuosa de diminutas esporas inanimadas, observ6 que Cstas participaban de un estado continuo de movimiento ca6tico. Observ6 tambiCn que las suspensiones coioidales de sustancias inor,oinicas muestran el mismo tipo de movimiento, que asimismo puede observarse en las pequeiias particulas (tales como las del humo) del aire.

Las dimensiones de las particulas en una suspensi6n coloidal son del orden de 10-4 cm; o sea, unas 10 000 veces mayores que un Btomo, pero 10 suficientemente pequeiias para que 10s numeros de jtomos que las golpean en sentidos opuestos no se equilibren siempre exactamente. El resultado de todo ello es que las particulas estan moviCndose constantemente en direcciones a1 azar y pueden considerarse como grandes molCculas que comparten Ia energia tCrmica de 10s itomos circundantes.

El fisicoquimico franccs Jean Perrin realizo un estudio muy cornpleto del movimiento browniano en suspensiones coloidales. P U ~ O demostrar que las particulas coloidales obedecen al principio de equiparticion y que el numero de particulas por unidad de volumen varia con la altura, de igual forma que ocurre en Ia atm6sfera terrestre con el n6mero de particulas gaseosas por unidad de volumen. El resultado de sus rnediciones condujo por primera vez a una determinaci6n razonable- mente exacta del nGmero de Avogadro; el resultado encontrado por Perrin es:

A = 6,85 x lo* Atornos por mol. \ I

SEARS. I.-31

482 T E O R ~ A CINETICA DE LOS GASES [CAP. 25

25-4. Recorrido libre media.-Las molCculas reales no son puntos geomCtricos, y, por tanto, tienen lugar choques entre ellas cuando se hallan en movimiento. La distancia recorrida por una molCcula entre dos choques consecutivos con otras molCculas se denomina recorrido.libre,

y la distancia media entre dos cho- 0 ques es el' recorrido libre medio. En

0 0 la figura 25-2 se han dibujado algunos recorridos libres. Una mo-

o+;

licula determinada, simbolizada por el circulito negro, choca con

0 O otras molCculas representadas por las pequefias circunferencias. El

0 recorrido libre medio de una mo- ltcula puede calcularse en la forma siguiente: supongamos que las moleculas son esferas de diimetro o. - Tendr i l u ~ a r un choaue cuando 10s - . . - -. . .

FIG. 5-?.-El recorrido libre medio es la O - ~ -

distuncia media rccorrida entre dos choqucs. centres de dOs molCculas se separados por una distancia a, se- g i n se mue-stra en la figura 25-3 (a).

Tendria lugar el mismo nlimero de choques de una molCcula cualquiera si su diametro se hiciese igual a 20 (o su radio igual a a ) y todas las demds molCculas se redujesen a puntos geometricos, como se indica en la figura 25-3 (b). A medida que esta unica molCcula de difimetro 20 se desplaza en el seno del gas, barre en un tiempo 1 un cilindro de sec- ci6n recta xo2 y cuya altura es la distancia recorrida en el tiempo 1, o sea, ct. (El cilindro no es recto, sin0 anilogo a una larga tuberia con una unibn en cada choque). En el instante I la mol6cula considerada choca con cualquier otra molCcula cuyo centro sea interior a este volumen. Por tanto, si hay n molCculas por unidad de volumen, el numero de ellas contenidas en el cilindro, o sea, el numero de choques producidos en el tiempo 1, es:

nno2ct. .

El nlimero de choques por unidad de tiempo o frecuencia de 10s mis- IIIOS, Z, seri:

Z = 7tnc2c.

+-#--I

Choque real

I--v-4

SEC. %-51 VISCOSIDAD D E UN GAS 4S3 ~ Veremos en la proxima seccion como pueden medirse 10s diimetros

/ moleculares, 10s cuales son aproximadamente iguales para todos lor j gases, oscilando entre 2 x 10-8 cm y 3 x 10-8 cm. i En la seccibn 25-1 vimos que en condiciones normales esisten en

un gas unas 3 x 1019 molCculas/cm~, y que sus velocidades son del orden / j de 105 cm/seg. Por consipiente, en nllrneros redondos, la freeuencia de ' + colisibn en un gas en condiciones normales es: 1 ?

= 4 x lo9 6 ;-I000 millones de choques por segundo!

El recorrido libre medio, L, es la distancia media 'entre dos choques, : o sea, la distancia total recorrida por unidad de tiempo (=c) dividida i por el nllmero de choques por unidad de tiempo; por tanto, 1

j C C : Id = - = -.

Z nno2c'

t 1 , Sustituyendo 10s valores numericos utilizados anteriormente, se ob-

tiene:

Esta distancia es ligeramente menor que la longitud de onda de la en el espectro visible.

1; 25-5. Viscosidad de un gas.-La teoria cin6tica proporciona una explicacibn verdaderamente sencilla de la viscosidad de un gas. La figu-

it- ra 25-4, que corresponde a la figu- 1 % ra 17-11, represents una lamina I - I - F

movil separada de una lamina in-

1 ' ' , . ferior fija por una capa de gas I=--v de espesor d, la cual es arras- d - trada hacia la derecha con veloci-

7-" dad V mediante una fuerza F. Las I - Y

moleculas del gas, ademis de sus i ... . ve'ocidades t'rmicas* PO- FIG. 2j-.g.-Flujo viscose entre una lamina

. seen una tom~onente de velocidad inferior fija y otra lamina m6vil. - . igual a V en la lamina superior, que disniinuye uniformemente hasta anularse en la lamina inferior. La velocidad u correspondiente a cualquicr altura y por encima de la lamina inferior se deduce mediante la proporcibn

i 481 'I .EOH~A CINETICA DE LOS GASES [CAP. 25 --

Puesto que el gas es viscoso, se ejerce una fuerza cortante sobre el gas situado por debajo de cualquier lamina horizontal por el gas que se halla por encima. La explicacibn de esta fuerza es que la cantidad de movimiento se transmite a traves de cualquiera de estas laminas por medio de las rnolkculas que la atraviesan, debido a que las que proceden de la parte superior, donde la velocidad de progresibn es mayor, tienen una cantidad de niovimiento superior a las que la cruzan procedentes de la parte de abajo, donde la velocidad es inferior.

Por tbrmino mcdio, cada molCcula que atraviesa una lamina horizontal procedente de la parte superior efectua su ultimo choque 7ntes de atravesarla a una altura sobre la lamina igual a un recorrido libre medio.

I Su velocidad hacia adelante a1 atravesarla es igual a la velocidad correspondiente del gas a la altura de este ultimo choque. Si es y la altura de cierto plano de referencia en el gas, la velocidad hacia adelante correspondiente a la altura L por encima de aquCl es:

y cada molCcula que lo cruza procedente de la parte superior, a t r a ~ i e s a el plan0 con una cantidad de movimiento dada por

Supongamos que la tercera parte de las mo1Cculas se mueven en la direccibn del eje Y, de las cuales la mitad lo hacen hacia arriba y la otra mitad hacia abajo, y sea c su velocidad tCrmica. El ndmero de las que atraviesan un Area A en el tiempo f, procedentes de la parte de arriba, es el numero de las que se mueven hacia abajo contenidas en un cilindro de base A y altura ct. Si el numero total de molCculas por unidad de volumen es n, el ndmero de las que la atraviesan en el tiempo i, procedentes de 13 parte superior, es:

1 -n x A x c t ,

6

y la cantidad de movimiento transportada a travCs de esta area en el sentido dicho es

i y + L v . - nActm - d [25-111

6

Analogamente, la cantidad de movimiento transportada a travCs del area por las mol6culas que se mueven de abajo arriba sera:

.. 1 6 y - L ~ . - nActm -

d [a5121

El incremento de la cantidad de movimienio del gas situado por debajo del Brea, que se produce por esta causa, es l a diferencia entre las expresiones [25-111 y [25-121; o sea:

! El incremento de la cantidad de m o ~ u e n t o por unidad de fiempo, que podemos igualar a la fuerza media, s:

i

Pero, en virtud de'la definici6n de coeficiente d e viscosidad, Ec. [17-101, I AV

F = q d

Por tanto, 1

q =-nrncL, 3

y si se combina este resultado con la Ec. libre medio, L, se obtiene:

[23-101, que da el recorrido

1 nmc rnc q = 3 x 3 = s

rnc P2 = -

3x1 I . . f' La Ec. 25-13 permite calcular 10s didmetros moleculares ya que las res-

1 tantes magnitudes que en ella intervienen, m, c y q pueden calcularse o I 1' medirse.

25-6. Distribuci6n de Maxwell-Boltzmann de las velocidades mo- I(

1ecuIares.-Como consecuencia de sus choques mutuos, las rno1Cculas de un gas no conservan por largo tiempo cualquier distriBuci6n sencilla '4 de velocidades, tal como la que hernos supuesto hasta aqui, o sea, que f la tercera parte de las molCculas se mueva en direccibn de cada eje coor- denado. Los choques intermoleculares dan Iugar a que ciertas moleculas I t

adquieran mayores velocidades, en tanto c p e otras son detenidas practicamente. Mientras que una sola molCcula no puede retener cualquier ' t velocidad dada durante un tiempo aprecizble, cabe esperar que en un f instante dado haya el mismo numero de molCculas moviCndose con una velocidad determinada, y esto es en realidad lo que sucede. La ecuacibn l C

que da el ndmero relativo de molCculas q u e poseen una velocidad dada, la obtuvo por primera vez James Clerk hlaxwell (1831-1879) en 1860. Pos-

I4 I

teriormente, Boltzmann establecib las bases tebricas de dicha relaci6n. /I

IH I 1 'it&

I

-G36 T E O R ~ A C I N ~ C I C A DE LOS GASES [CAP. 25 PROBLEhlAS (\I$

487 I I

1 q La distribuci6n de itlaxwell-Boltzmann de las velocidades moleculares esta representada por la curva de la figura 25-5. El Qrea d e una pe-

\* A X7 8 , - u v

quefia franja d e anchura Ac y altura - representa el 116n1ero d e mo- m Ac

lCci11as que se nlue\-en con la velocidad c. E n rigor, dicha Brea representa I \rt el nlirnero de molCculas (AN) que se mueven con velocidades compren-

144P didas entre c y c $ Ac. L a ordenada de la curva es A K / l c , y la

ci+$ anchura de la franja es igual a Ac;

19 por tanto, su Brea sera:

A N - x AC = A S .

Ac

De la figura se deduce que hay P-c--I i-- muy pocas mo1Cculas moviCndose

A c con velocidades bajas, con10 asi- , . . - , . s ~ , , ~ , , , . I ~ I nlisrno s610 unas pocas tienen velo-

111;lan tlc las \.clocitl;itlcr ~nolcc~~l:ircs. cidadeS altas. La rnayoria de el]as se agrupan en torno a1 m&.;imo de

la curva que correspontie a la uelocidad mas probable. Existen mas mo- 1Pculas que sc mueven con esta velocidad que con cualquier otra. Debido a la for~ua asimet~.ico de la curva, la velocidad media es ligeramente superior a la velocidad mas probable. La raiz cuadrada del promedio de 10s ci~adraclos de las ~elocidadcs o uelocidad cuadraficu media, es ligeramente nlayor que cualquiera de las otras dos.

La ecuaci6n de la fu~lcion de distribucion de ~Iaxwell-Boltznia~in es:

?$ en la qoe ;I es ona constante de proporcionalidacl; E, la base de 10s loga- r i t~nos natnrales; m, la masa atomica; k, la constante de Boltzmann,

r t l ) )I T, la t e ~ l ~ p e r a t u r a Kelvin.

P R O B L E M A S

25-1. ~ C u h l sera la longitud en centimetros de la arista de un cub0 que contenga exactamente un mill6n de mo- lCculas de un gas en condiciones normales? 25-2. LA qu6 temperatura la veloci-

dad de una molCcula de oxigeno es igual a la de una de hidr6geno a la temperatura de 270 C? 25-3. La velocidad del sonido en el

aire a 270 C es, aproximadamente, 330 m por segundo. Compirese Csta con la ve- -

locidad de una molecula de nitr6geno a la misma temperatura. 25-4. a) LCual es, en ergios, la energia

cinktica de traslaci6n de una molecula de oxlgeno a 270 C? b) Si una molecula de oxigeno tiene 5 grados de libertad, tcual es su energia cinetica total a esta temperatura? c) ~CUAI es, en julios, la energia interna de 1 mol de oxigeno a dicha temperatura? 25-5. a) ~ H a s t a qu6 Iimite de presi6n

tlebe vaciarse on frasco que cot!tieltr oxigetio para que el recorrido libre n~cdio de las 1itol6culas gaseosas que conticne sea de 20 cni? La te~nperatura c b

570 C. b) ~CUAI es la frecuencia de lob choques? Sup61lgase un diametro molecular igual a 3 x 10-8 ctn. 25-6. La viscosidad del oxlgetto a la

temperatura de 150C es 196 pp. Calcd- lese el diametro efectivo de una molCcula de oxigeno. 25-7. Pruebese que de acuerdo con

la teoria cinbtica de la viscosidad, esta debe aumentar para UII gas a1 elevarse la temperatura. Si se nlantiene constante la temperatura, ~ c 6 m o variarA la viscosidad con la presibn, de acuerdo con la teoria? 25-8. A partir de la expresi6n que da

la energia cinCtica media de un gas mo- noatdmico en funci6n de la temperatura, hallese el valor numerico de C,, calor

especifico molar a presi6n constante, de un gas monoat6mico.

25-9. a) HAllese la velocidad de una mol6cula de aire a la presi6n atmosferica p a la temperatura de 00 C. b) Calcdlese el nlimero de impactos moleculares por segundo sobre 1 cm2 de pared de la rasija, en las condiciones dichas. 25-10. LA quC temperatura la velo-

cidad media de las mol6culas de hidrd- geno es igual a la velocidad necesaria para escapar del campo gravitatorio terrestre? (Esta es la velocidad con que debe proyectarse una particula hacia arriba, desde la superficie terrestre, para alcanzar una distancia infinita).

25-11. L I ~ gas 111onoat6mico itleal se rspande desde el punto 1 a1 p u ~ t t o '1 tlr la figura 25-6, rle tal forma que ell cada etapa del proceso se verifica la relaci6n p = k V , siendo k una constante. u ) HA- llese el trabajo realizado por el gas. b) Calclilese la temperatura I<elvin correspondiente a l punto 2. c) Hallese el calor suministrado a1 gas en es te proceso, expresado en calorias. (Observese que el proceso no es isoterrno, ni iso- b a r i c ~ , ni adiabatico). 25-12. a) iCuAl seria el rendimicnto

del motor al que se hace referencia en el problema 21-7, si se utilizase un gas diat6mico en lugar d e uno nionoatd- mico? ~ D e b e usarse para obtener el rendimiento mis imo un gas diatomic0 o uno monoat6mico en: b) el ciclo Otto; c ) el ciclo de Carnot?

MOVIMIENTO ONDULATORIO I I

26-1. Introducci6n.-La acustica es la ralna de la fisica y de la tCcnica que se ocupa de la produccion y propagacibn del sonido, de la naturaleza del proceso de audicion, de 10s instrumentos y aparatos para la medida, registro y reproduccion del sonido, y del proyecto de salas de audicion que reunan cualidades acusticas favorables. Las bases teorica y matematica de la acustica quedaron establecidas por Hermann Helm- holtz (1821-1894), y sus trabajos fueron continuados por lord Rayleigh (1842-1919). En realidad, y except0 por lo que se refiere a1 desarrollo. de nuevos aparatos y mCtodos de medida, nuestros conocimientos ba- j sicos de la acdstica han variado poco con posterioridad a 10s trabajos de 10s fisicos citados.

El tCrmino sonido se utiliza en un sentido subjetivo para designar ; I la sensacion producida en la conciencia de un observador a1 ser estimuladas las terminaciones de su nen-io auditivo, pero tambiCn se Lisa en un sentido objetivo con referencia a las ondas producidas por compresion del aire, capaces de estimular el nervio auditivo. Las ondas que se propagan en solidos y liquidos tambiCn se denominan ondas s0noras cuando se hallan dentro del interval0 de frecuencias audibles. I 1

Las ondas sonoras de la atmosfera se originan siempre por el ~liovi- miento vibratorio de algun cuerpo en contact0 con el aire; p. ej., la caja de armonia de un piano o el diafragma de un tambor o de un altavoz. En 10s instrumentos de viento el cuerpo vibrante es una colurnna de aire. Hemos estudiado ya con algun detalle un tip0 de rnovimiento vibratorio, esto es, el movimiento armbnico de un pCndulo o de un peso suspendido de un resorte. Las vibraciones de las cuerdas, columnas de aire y diafragmas son analogas, si bien plantean problemas mas complejos, que incluyen tanto 10s conceptos de movimiento ondulatorio como el de vibracion. .Vamos a comenzar por el analisis del movimiento ondulatorio en una cuerda tensa, en razon de su relativa sencillez, aunque tambiCn debido a que las cuerdas forman parte de multiples instrumentos mu- . ~

sicales. 26-2. Ondas transversales en una cuerda.-Inlaginelnos una cuerda

perfectamente flexible sometida a una tension T y forzada a desplazarse de izquierda a derecha con velocidad V por el interior de un tubo de vidrio sin rozamiento y de forma arbitraria, tal como se representa en la figura 26-1 (a). En la parte (b) del diagrama est5 dibujada una pequeiia porcibn, de longitud As, de la cuerda. Si Csta es suficientemente corta, puede considerarse como un arco circular de radio R. Como la pared interior del tub0 se supone sin rozamiento, las unicas fuerzas que

492 MOVIMIENTO ONDULATORIO [CAP. 26

actlian sobre el elemento considerado son: la fuerza normal -Y, ejercida por el tubo, y la tension T en cada extremo del elemento. Supondremos despreciable la distorsi6n de la cuerda, de forma que no afecte a la tension.

La fuerza resultante F sobre el elemento se determina en la forma indicada en la parte (c) de la figura, en la que f represents la resultante de las dos fuerzas de tensi6n. Se puede ver que F = f - JV.

El sector rayado en la parte (b) del diagrama s, apmximaddmente, un triangulo rectilineo semejante a1 trihngulo rayado de la parte (c); por consiguiente,

f As -- -- a T R '

T' de donde

r - El elemento de cuerda se mueve en una circunferencia de radio R, con velocidad V y aceleraci6n nor-

J (.I

ma1 V2/R. Sea p la masa por unidad de longitud de la cuerda, por lo

FIG. 26-1.-Fuerzas que actlian sobre un que ]a masa del elemento pAs. elemento de cuerda flexible, obllgado a pasar a traves de un tub0 sin rozamiento. Si igualamos la fuerza resultante

- queactlia sobre el elemento a1 producto de su. masa por la aceleraci6n normal, resulta:

Se ve por la Ec. [26-11 que la fuerza N es nula si la cuerda se desplaza a travCs del tub0 con velocidad tal que

Por tanto, si la cuerda se mueve con una velocidad igual a la raiz cuadrada del cociente de la tensi6n por la masa por unidad de longitud, el tubo no ejerce fuerza alguna sobre la cuerda, y, en consecuencia,

SEC. 26-21 OXD.IS TRASSVERSALES EX ~>-.i CUERDA 493

puede prescindirse del mismo. La porcibn de cuerda conservara su forma indefinidamente mientras esta se mantenga en movimiento hacia la izquierda.

El estudio precedente nos conduciria a1 mismo resultado si la cuerda estuviese sujeta por ambos extremos, mientrrs se desplaza el tubo a lo largo de ella con velocidad V = Puede prescindirse del tub0 una vez iniciado el movimiento, y la forma co-municada por el a la cuerda continuarh desplazandose hacia la derecha cox la misma velocidad. La perturbacibn se denomina onda transversal. >- !a velocidad V, velocidad de propngacidn .

La tension T en la Ec. [26-21 puede esprrtsarse en kilogramos (libras) newtons o dinas, y F, en unidades tecnicas de rnasa por metro (slugs por pie) kilogramos por metro o gramos por centimetro. Las correspondientes unidades de V seran mlseg (pies/se,o), mlseg o cmlseg.

ObsCrvese atentamente que si 10s extremos de la cuerda estan fijos, no son las particulas de la misma las que -Fe desplazan, sino sencillamente la forma de la perturbacibn. Cualqui5r punto de la cuerda sr. eleva o desciende a1 pasar por 61 la perturbacibn, para volver despues a su posici6n de equilibrio.

La expresi6n matematica general para una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda, 1 se deduce de la forma siguiente: X Consideremos un par de ejes ortogonales con el eje X a lo largo de la I posici6n de equilibrio de la cuerda; en un instante dado, para el cual hacemos f = 0, la forma de la cuerda esta representada por la ecuaci6n

y = j ( z ) ( 1 = 0 ) .

[VCase la Fig. 26-2 (a)]. En un instante posterior t [Fig. 26-2 (b)], la

I -Yl+- Q X x ' -

onda ha avanzado, sin alterar su E-

f o r m a y una distancia "' Constru~a- 26-3--En el tiempo t la onda avsnza mos un nuevo eje I", como en la una distancia V1.

figura 26-2 (b), desplazado tambiin una distancia Vt hacia la derecha. Sea x' la abscisa de un punto referida a1 nuevo origen. La ecuacidn de la cuerda en el instante t, en funcion de x', seri, evidentemente, la misma que la correspondiente a1 instante f = 0, en funcibn de x; es decir: I

y = f(xl) (f = I). >

Del diagrama se deduce que x' = x - V1, por lo que la ecuacion en el instante t es

1r4 ' .l!M \I OVIXIIESTO ONDULATORIO [CAP. 26 / SEC. 26-21 ONDAS TRASSVERS.UES EN UNA CUERDA 495 i

!:lo. '26-3.-Imagen de una onda sinusoidal (IIIV sc. propnjia hecia la derecha, a inter-

valos de '!s de periodo.

y = f (X - Vt). [26-31

La Ec. [26-31 representa, por tan- to, una onda transversal que se propaga hacia la derecha con velocidad V, siendo y = f(x) la forma correspondiente a1 instante f = 0. Si la onda se propagase hacia la izquierda, su ecua- ci6n seria

lj = f (z + Vt).

Por supuesto, la forrna particular de la funcibn f(5) est6 determinada por la forma inicial dada a la cuerda. Ve- remos despuCs algunos ejemplos concretos.

Supongamos ahora que uno de 10s e.xtremos de una cuerda tensa se hace vibrar peribdicamente en sentido transversal, con rnovirniento arrn6- nico simple de amplitud Y, frecuencia f y periodo T = 1/f. De mornento supondrernos que la cuerda tiene suficiente longitud para poder despreciar 10s efectos en el extrerno alejado. En lugar de la onda dnica considerado en la discusion precedente, un fren conlinuo de ondas transversales sinusoidales se propaga a lo largo de la cuerda. La forrna de una porcion de cuerda prbxirna a1 extrerno, a intemalos de 118 de periodo, esta representada en la figura 26-3 para un tiempo total de un periodo. Se supone que la cuerda ha estado vibrando durante suficiente tiempo para que su forrna sea sinusoidal a una distancia infin~ta del extrerno perturbado. Se deduce de la figura que la forrna de la onda avanza constantemente hacia la derecha, en tanto que cualquier punto de la cuerda (vCase el circulito negro) oscila con movirniento arrnonico simple en torno a su posicibn de equilibrioT

La distancia entre dos rn6xirnos sucesivos (o entre dos puntos cuales-

: quiera consecutivos que se encuentren en la misma fase) es la longilrrd de onda de la onda, y se representa por A. Puesto que la forma de la onda, que se propaga con velocidad constante V, avanza una distancia de una

I longitud de onda en el interval0 de tiempo de un periodo, resulta que

[26-4 I A = VT, )i = Vlf , V = f h

Esto es, la velocidad de propagacibn es igual a1 product0 de la frecuencia por la longitud de onda.

Nos proponernos ahora ottener la ecuacion de este tren de ondas sinusoidales. Si hacernos f = 0 en el instante en que la cuerda tiene la forma representada en la figura 26-3 (c), f(z) en el instante I = 0 sera:

2ir y = Y sen-x,

A

y, por tanto, en virtud de la Ec. [26-31, la ecuacibn de la onda es:

2; y = Y sen - (z - 1:f). 126-51 >.

Si hacernos f = 0 cuando la cuerda tiene la forma de la figura 26-3 (a), f (x) en el instante f = 0 sera:

2x y = Y cos-x,

A y la ecuacibn de la onda es:

2; y = Y cos - (X - 1'1). [26-61

A

Si se hace I = 0 en un instante arbitrario, la ecuacion se escribe:

2x y = Y cos-(z - v t -so).

A

Puesto que se puede.hacer t = 0 en cualquier instante que nos con- venga, por razones de sencillez utilizarernos la Ec. [26-61 para representar la onda.

Si un tren de ondas sinusoidales se esta propagando hacia la izquierda, su ecuacibn sera, evidentemente:

2;;. y = Y cos- (x + Vi). [26-71

A

, Se propone corno ejercicio la dernos&acibn de que la Ec. [26-61 es equivalente a

y = Y C O S ~ X ( - -- ;).= Y COS 2zf 1 - - = Y COS 2:ft - - " Y ( 2m) A

,196 .-

MOVIMIENTO OXDULATORIO [CAP. 26

Quizi la mejor forma de convencerse de que las Ecs. [26-5J o [26-61 representan realmente una onda sinusoidal (o cosenoidal) qu,e se propaga hacia la derecha, consiste en trazar una grdfica de la ecuacion para unos cuantos valores de 1. VCase problema 26-1.

En cualquiera de las ecuaciones precedentes y representa k elongacion transversal (a partir de su posici6n de equilibrio) de un punto de la cuerda situado a la distancia : del origen, y en el instante 1. Debe recordarse (vease pAg. 27.7) que la expresibn general del desplazaoliento de una particula que vibra en la direcci6n del eje S con mo\-imienlo arrnonico simple es

x = A cos (2x11 + 0o), I.

dor~de x es el desplazamiento; A, la amplitud, y 00, el Angulo de fase ini- cia1 o correccidn de fase. Para una vibracibn en la direccibn del eje Y, de amplitud Y , la ecuaci6n anterior se escribe:

y = Y cos (2zff + 00).

Si se compara con la ultima de las ecuaciones [26-81, se ccx~prueba 2;rx

que son exactamente de la misma forma. El tdrmino - - h

corresponde

a la correccion de fase, 00. Por consiguiente, todos 10s puntos de l a cuerda vibran con movimiento arm6nico simple de las mismas frecuencia y

I.-' amplitud; pero a medida que se avanza a lo largo de la cuerda a partir del punto x = 0, 10s sucesivos puntos se encuentran cada vez mAs des- fasados con cl punto situado en el origen, ya que 00 es proporcional a x.

E s importante distinguir entre el movimiento de la forrna de la onda, que avanza a lo largo de la cuerda con velocidad constante I-, ?- el rno- viniiento de las parliculas de la cuerda, que es arm6nico simple 5. transversal a la misma. La velocidad transversal de una particula de 13. cuerda es la derivada del desplazamiento transversal de la particuiz, o sea, dyldl. La aceleracibn transversal es duldf o d2yldt. Asi, para m a onda que se propaga transversalrnente, representada por la segunda de las expresiones [26-81, la velocidad transversal v, en el instante t, de una particula de abscisa 2, es:

dy d 0 = - = - [ IT cos 2 4 t - $11 dl df

= - 2x1 Y sen 2x1 t - - ( 3 La aceleracidn transversal, a, es:

SEC. 26-31 SERIES DE FOURIER -- 497

26-3. Series de Fourier.-En general, si u n a onda es originada por una perturbacidn de cualquier tipo, no nece-wiamente sinusoidal, su ecuacion es:

Y = /(x f Vf),

correspondiendo el signo mAs a una onda que se propaga hacia la izquierda, y el menos, si lo hace ha- (a, cia la derecha. La forrna particular de la funci6n depende de la naturaleza de la perturbacibn (es decir, de la forma de la onda). La Ec.[26-61 es

I

un caso especial en el que la funcion es el seno (o coseno) del product0 de una constante por (a: + Vt). El interCs especial, sin embargo, de la Ec. 126-61 estriba en que cualquier funcidn periddica (esto es, una fun- ci6n que se reproduce a si misma a intervalos de tiempo iguales) puede expresarse como suma de un cierfo ntimero de funciones frigonomtfricas, senos o cosenos. Esta propiedad fuC . descubierta por el rnatematico fran- cCs Joseph Fourier en el aAo 1807, y se denomina feorema de Fourier. Por consiguiente, so10 precisamos hacer el desarrollo matematico para un problema de ondas sinusoidales. Si se conoce la ecuaci6n de la funcion peribdica arbitraria, pueden (c)

calcularse las ondas sinusoidales que la integran. Si no se conoce la ecuacion, pero se dispone de una grafica de la funcion, pueden determinarse las ondas componentes mediante un instrumento llamado analizador ar- 26-4.4(1i vna onda rectangular; ( b ) 10s mdnico. La serie de senos o cosenos tres pr imers t+-minos de su dcsarrol1° dc

cuya surna es igual a la funci6n dads Fourier; (c) s.- de estos tres Primcros ter-

minos. se llama serie o desarrollo de Fourier.

Como ejemplo de una serie de Fourier, considerernos la forrna de onda rectan,cu!ar representada el1 la figura 26-4. El desarrollo de Fourier de esta onda es:

1 1 y = A sen x + - A sen 32 + 7 -4 sen 5s + ...

3 5

Se comprueba en la figura que la suma de 10s tres primeros tCrminos de la serie proporciona una aproximacibn aceptable de la onda de perfil rectangular.

26-4. Ecuaci6n de la onda..-Va~ncs ahora a deducir la ecuaci6n difercricial de una onda que se propaga en una cuerda. Supongarnos que el eje .X de la figura 26-5 coincide cori la posicion de equilibrio de la cucrda, y que la curva reprcscnta su forma perturbada. Se supone que el desplazamiento real es muy pcquefio (como sucede en realidad con la cuerda de un instrumcnto musical) aunque aparece exagerado en la figl~ra para mayor claridad.

Flc,26d.-F11rrzas que acluan sobre un elemento de cuerda cn In quc hay unn onda transversal.

Consideremos de nucvo un elemento de longitud As, y descompongamos I R tcnsi6n en catla extremo en sus componentes X e Y . Se tiene:

C S = 7' cos 02 - T cos 8,; C Y = T sen 02 - T ser! el.

1'1 tlesarrollo en srrie del coseno cs:

02' 04 cos 8 = 1 --.+ - .

21 41 -"'

y coino por hip*tesis 8, y 82 son rirlg~~los pequctios, se pueden desprcciar 10s ICrminos cn 02, 81, ctc.; por lanto,

cos o2 - cos o1 = 1 - 1 = 0,

y C X vale cero. C Y puede escribirse:

CY = T (sen O2 - sen €I1) = T 3 (sen O).= TA (tg O),

ya que para Qngulos pequeiios sen 8 es aproxirnadamente igual a tg 8. Finalmente, puesto que t g 0 = dyjdx,

C Y = TA (dyjdx),

donde A (dyldx) representa la diferencia de pendientes en 10s extremos del elemento.

Aplicando ahora la segunda ley de Sewton, igualemos la fuerza resultante Y que actua sobre el elemento, a1 product0 de su masa por la componente de su aceleracion en direccion del eje Y. Sea p la masa por unidad de longitud, y sustituyamos la verdadera longitud As por su proyecci6n sobre el eje X, Ax. Se tiene:

En el limite, cuando Ax-, 0, las aproximaciones resultan exactas, Y

o, finalrnente,

1-a Ec. [26-91 es In ecuacidn difrrencial del movimiento ondulalorio, para ei caso especial cie ondas unidirnensionales. (Las ondulaciones super- ficialcs en ttn liquido o las ondas en una nlembrana tensa son ondas bidi- n~cnsionales; las ondas ;onoras o luminosas que se propagan en todas las direcciones son tridimensionales.) 1-amos a den~ostrar que la ecuacion diferencial quc acabamos cle ded'ucir se satisface si y es cualquier -- funcion de ( x f V t ) , donde V = XI Ti?. Ida demostracion consiste sen- . ..

d2y dzy cillamente en hacer y = /(x 3 \'I), calcuIar - y-, y susti tuir en la dt2 dx2

ecuaci6n diferencial.

502 SIOYIJIIENTO ONDULATORIO [CAP. 2'6

por y, y el de la derecha, por y + Ay. Sea p la presi6n manomktrica en la cara de la izquierda, y p + Ap, en la de la derecha. Si el elemento es de pequeiia longitud, Ap es despreciable, y puede admitirse que p es la presion manometrica a que se encuentra sometido el elemento en conjunto. La presi6n absolufa sobre el elemento (manornCtrica, m i s atmosfkrica), sera po + p, y las presiones absolutas en sus caras, po + p y Po + p + AP.

Si la seccion recta del tub0 es A, la fuerza que actua sobre la cara derecha del elemento se r l -@o + p + Ap)A, y la existente sobre la

cara izquierda, (po + p)A. La fuer-

I--r--I I- za neta recuperadora es, por tanto, - ApA. Sea po la densidad del gas correspondiente a su presion de equilibrio, po; la masa del elemen- , \ I \ to valdra, pues, poAAx. E n virtud de la segunda ley de Ne\vton, po-

F = ma;

d2y. - ApA = poA AX - d12'

FIG. 26-7.-Elemento de gas en un tub0 en el que se propaga una onda longitudinal: (a) posicien de equilibrio; ( b ) posici6n des-

plazada.

y en el Limite, cuando Ax tiende a cero:

SEC. 26-51 ONDAS SONOR.+S EX UN GAS I --

503

/ y en el limite:

I Si re deriva esta ultima ecuacion respecto a :r, resulta: !

I C ~ P Llevando esta espresion de- a la Ec. [26-101, se obtiene: dx I

, 1 :&zY d2y=---. dl" ko ds'

Puede verse que, salvo un factor constante, esta ecuacion tiene la ' misma forma que la Ec. [26-91, correspondiente a las oncias trans\-ersales en una cuerda. Deducimos, por tanto. quc las onclns tie compresion en un gas se propagan con una velocidad

Puesto que el modulo de compresibilidad B es el valor reciproco dc la compresibilidad k, la Ec. [26-131 puede escribirse tambien:

El volumen del elemento en su posici6n de equilibrio es AAx. En su posici6n desplazada (vease Fig. 26-7), la abscisa d e su cara derecha es z. + AX + y + Ay, y la de su cara izquierda, x + y. La longitud del elemento desplazado se r i (x + AX + y 4- AY) - (.z: + y) = Ax + Ay, y su volunlen, A ( A r $ Ay). La variacibn de Volumen es, por tanto, A(Az $ by) - A Ax = AAy. En virtud de la definicibn general de compresibilidad k (\.Case pig. 235):

1 variaci6:: de vo!umen k = - X

volumen inicial variaci6n d e presi6n

p = --L k Ax'

I Aunque han sido deducidas para ondas que se propagan en un gas, I las Ecs. [26-131 y [26-141 se aplican tambiCn a las ondas de comprcsion en un liquido, pero no a las ondas superficiales. Un razonamiento analogo (que omitimos) prueba que las ondas d e compresion en una varilla se propagan con velocidad

I - donde Y es el m6dulo de Young.

I

Es un hecho conocido que la cornpresion de un gas origina una ele- vaci6n de su temperatura (y viceversa). salvo que el calor de compresion se elinline de a l g h modo. A medida que una onda de compresi6n Se propaga a traves de un gas, las regiones comprirnidas en un instante dado se encuentran Iigeramente m l s caIientes, mientras que 10s enrare-

I I I

cirnientos estln algo m i s frios. Sin embargo, las distalicias entre las '

compresiones y 10s enrareci~nientos son t a n grandes y se suceden tan rlpidamente 10s cambios de temperatura que, de liecho, no tiene Iugar I I

504 MOVIMIENTO ONDULATORIO [CAP. 26

ningun intercambio de calor entre las partes mis calientes y m6s frias de la onda. Por tanto, las compresiones son adiab~iicas en lugar de isotermas, por lo que en la ecuacibn de la onda debe utilizarse la compresibilidad adiabitica.

Hemos vista (vhse pig. 434) que la compresibilidad adiabgtica de un gas es

don& p es la presibn y y = C,]C* En consecuencia, 14 Ec. [26-131 se escribe: \

\ .

126-163 PO

siendo po la presion de equilibrio absolufa, que puede expresarse en I(gln-12 (lb/pie2), newtonslm2 o dinaslcm2. La densidad po se da en utrnlm3 (slugs/pie3), Kglm3 o glcrn3 (y es un nlimero sin dimensiones). Las uni- 1 !: dades correspondientes de la velocidad son mlseg (pieslseg) y cmlseg.

1 :, En virtud de la ecuacion de 10s gases perfectos, se tiene: 1

I .

1 *' donde M es el peso molecular. Por tanto, otra forma de la Ec. (26-161 sera:

1 y, coma para un gas dado y, R y M son constantes, deducimos que la

1 velocidad de propagation es proporcional a la raiz cuadrada de la tem-

I peratura absoluta. Apliquemos la Ec. [26-171 para calcular la velocidad de las ondas

1 sonoras en el aire. El peso molecular medio del aire es 29, y = 1,40 y 1 R = 8,3 x 107 ergioslmol. Supongarnos T = 3000K. Sustituyendo se

tiene: 1,40 x 8,3 x 107 x 300

. ..

29

I I valor que concuerda bastante bien con la velocidad nledida a esta tem-

I peratura. I El oido es sensible a un intervalo de frecuencias sonoras compren-

1 dido entre 20 y 20 000 ciclos/seg. De la relacion V = jh se deduce que 1 . el interval0 de longitudes de onda correspondientes se extiende desde

SEC. 26-61 VARIACIONES D E P R E S I ~ N E N UNA ONDA-SONORA - 505

17 m, para la nota de 20 ciclos, hasta 17 mm, que corresponde a 20 000 ciclos/seg.

26-6. Variaciones de presidn en una onda sonoral--El tCcnico de sonido prefiere manejar las variaciones de presibn de una onda sonora que

,los desplazamientos reales de las particulas de aire. La relacibn entre presibn y desplazamiento se obtiene derivando la Ec. [26-61 respecto de x, y combin6ndola con la Ec. [26-111; se tiene:

2x y = .Y cos- (x - Vf);

A [26-61

dy -- 2xY . 2x dx A

sen - (x - Vt). A

Por tanto, en virtud de la Ec. 126-111:

2zY 2x p = - k h

sen - (x - Vf). A

Puesto que V = , la igualdad anterior se puede escribir:

F: p = -- 2x [2'?~r '1 sen (z -- vr).

Debe recordarse que p representa la presibn manometrica, es decir, el aumento o disminucibn de presion por encima o por debajo de la atmos- fCrica. La expresibn entre corcl~etes representa la presibn manometrica maxima, o arnplitud de presidn. Si se designa b t a por P, se tiene:

2x p = P sen- (x - Vl),

h 126-1 81

donde , 2xpo V2 p = -

A Y. [26-191

La Ec. [26-191 relaciona las amplitudes de presibn y la elongacibn, por lo que una onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o como una onda de presibn. Si la prinera se expresa mediante una funcion coseno, la liltima sera una funci6n seno, y reciprocamente. Por tanto, la onda de desplazamiento est6 desfasada 900 respecto a la onda de presi6n. En otras palabras, en u n punto donde la elongacibn es maxima o minima, es nulo el exceso de prcsi6n; cuando la elongacibn cs nula, el aumento o disminucibn de presibn es m6ximo.

Las medidas realizadas con las ondas sonoras prueban que las variaciones miximas de presibn, P, en 10s sonidos mis altos que puede tolerar

el oido son de un orden de magnitud de 280 dinaslcm' por encimz o por debajo de la presib~i atmosfdricn, cuyo valor es, aproximadamente, 1 000 000 dinaslcm'; la elongaci6n maxima correspondiente, Y, puede calcularse mecliante la Ec. [26-191. Para A = 35 cm, que corresponde a una frecuencia de unos 1000 cicloslseg, se tiene:

h P y = - -

2;rpo\.'"

= 1,07 x 10-3 cm, o sea, aproximadanlente, 10-hcm.

Par tanto, aun en 10s sonidos mas altos, las amplitudes de la elonga- ci6n son nluy pequefias.

Las variaciones maximas de presi6n para el sonido de 1000 ciclos . mks &biz que puecle pcrcibirse, son solo de unas 0,0002 dinaslcn~? La elongaci6n correspondiente es, aproximadanlente. 10-9 c n ~ . Como tCr- mino de comparacion, la longitud de onda de la luz amarilla es j x 10-5 cm, y el diametro de un atomo es de unos 10-8 cm. Puede apreciarse asi que el oido es un organo evtraordinariamente sensible.

Para simplificar, no hemos tenido en cuenta en la discusion precedente la naturaleza molecular de un gas, que hemos considerado como si fuera un flcido continuo. Saben~os, sin embargo, que un gas se compone de molfculas en morimiento cabtico, siendo 10s espacios exiatentes entre ellas muy grandes comparados con sus diimetros. Las vibraciones que constituyen una onda sonora estan superpuestas a1 movimiento cadtico de origen termico. Por ello, en la figura 26-7, p. ej., en la que se muestra un volumen elemental de gas en sus posiciones de equilibrio y desplazada, hay que tener en cuenta que ]as distintas molecuias no ocupan las mismas posiciones dentro del elenlento en ambos diagramas. Durante el desplazamie~lto algunas molkculas habran atravesado las fronteras del elemento, y sus huecos 10s habran ocupado otras molCculas - - - - procedentes de 10s elementos pr6ximos.

Puesto que las nloleculas de un gas no estan en contacto, un impulso comunicado a una molecula no puede transmitirse a otra hasia que 12 p-imera ha recorrido la distancia que las separa y clloca con la segunda. Par ello es de prever una estrecha correlacion entre ias reloci- dades moleculares y la velocidad del sonido, y, en particular, czbe esperar que la velocidad del sonido no exceda a la velocidad molecular.

La teoria cinCtica d a como velocidad media de una molkcula (\.ease

, mientras que de /a Ec. [26-171 re deduce piig. 477), c = -- 3.1

t111cla velocidad d e una onda sonora es l7 =

Ec. [26-171 se ha deducido sin referencia alguna a1 modelo molecular, prueba que la velocidad de una onda sonora y la velocidad media molecular est6n intimamente relacionadas. Puesto que y no excede nunca a 1,66, la velocidad del sonido en un gas es siempre inferior a la velocidad molecular; no obstante, las dos son del mismo orden de magnitud.

Otro dato numCrico interesante es el recorrido libre medio de una mol6cuIa gaseosa que, a la presi6n atmosfkrica, es de unos 10-5 cm. La amplitud de una onda sonora dkbil puede alcanzar hasta una diezmile- sima de este valor. Un elemento de gas a traves del cual se propaga una onda sonora puede compararse a un enjambrs de mosquitos. El enjam- bre en su conjunto oscila ligeramente, mientras 4ue cada uno de 10s insectos se. mueve aparentemente a1 azar dentro del mismo.

P R O B L E M A S

26-1. Una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda tensa esta representada por la ecuaci6n

Sea Y = 24 mm, A = 48 mm y \' = = 6 mmlseg. a) Calc6lese para' el ins- t an t e 1 = 0 la elongacidn y, a i n t e r~a los de 6 mm de x (es decir, para x = 0, x = 6 mm, z = 12 mm, etc.) desde x = 0 a x = 96 mm. RepresBntesen 10s resultados en una grifica, que da r i la forma de la cuerda en el instante 1 = 0. b) Repitanse 10s cilculos, para 10s mis- rnos valores de x en 10s instantes 1 = 1 seg, 1 = 2 seg, 1 = 3 seg y 1 = 4 seg. h . 1 ~ 6 ~ - trese en la misma grifica la forma de la cuerda en cada uno de estos instantes. &En quB direccidn se propaga la onda? 26-2. Dernuestrese que las tres ecua-

ciones [26-81 son formas equivalentes de la Ec. (26-61. 26-3. La serie de Fourier correspon-

diente a una onda en dienle de sierra es:

A y = A sen 3: - - sell 21

2

A A + - sen 3x -- - sen 41: + . . . 3 4

Representense 10s primeros cuatro terminos de la serie y calcdlese gr4ficamente su sunla. T h e s e como escala en el eje X x radianes = 25 mm y higase A = 50 mm. 26-4. La ecuacidn de una onda sinu-

soidal que se propaga en una cuerda tensa es

Pruebese que esta funcibn es una solu- ci6n de la ecuacidn diferencial [26-91, obteniendo dZyldl2 y d2yldxZ y sustituyendo directamente en la Ec. 126-9). 26-5. La ecuacibn de una onda trans-

versal es:

donde x e y es t in en centimetros, y 1, en segundos. ~ C u i l e s son la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagacidn de la onda? 26-6. La ecuacidn de uua onda trans-

versal que se propaga en una cuerda es:

y = 2 cos [x(0,5x - 200 l)],

donde x e y, es t in en centfmetros, y 1, en segundos. a) Hillense la amplitud,

longitutl dc ontl;~, prrioclo \- vcloritl:~cl clr 1)ropag;1t-i611. O ) T15ccsc t t ~ i : ~ grJlir;l dc la fortn:~ ilc 1:1 rucrtl:~ ctt Ins illstantes I = (1. 1 , 0,(10'15 seg y I = o,oo.', scg. C) Si 1;1 tnasi~ por unidad d e lot~gilud clc In ruercla es 5 g/cttt, 1tAllese la tcnsi611.

26-7. La ccuncid~t de urta ot~tla Ion- giludinnl, quc sc propaga en una v:~rilla de dcnsitl;~cI 15.2 slugs/pie3, r s

donde 1 cstd ell segut~tlos, y r e y, e t ~ pies. a ) Calci~le~~sc la atnl)litud. longitucl de ottda, frccuc~~cia y velocidad dc propa- gaci6rt. b) L)cdtizrnse ulla ccunci611 que dC dy/rl.r CII funricin tlc x ?- I. jCuAl cs cl valor misinlo de dy!l!dr? bCuAl cs In te~lsidtt mdsima'? c) 1)ctluzcase una ccua- ci6n para la velocidatl de ia particula, dy/dl, c t ~ funci611 de x y I. jCuhl es el valor n~asittlo tle esta velocidad?

26-8. a) iCudl es la velocidad transversal maxima de utla particula de la cuerda a que hace referencia el problema 26-l? b) Y la aceleraci6n trat~sversal tnasittta'! c) H ~ l l c ~ ~ s c la elongacidn, velocidad y ;~ccleracidtt tlc una particula clc la cuerda cuya absrisa es 18 mnt, elt el i t~stante 1 = 2 seg. i(,ub sipnificado tiene el sigrto ncgativo?

26-9. UII alantbre tle acero de ti 111

de lottgitutl tiene u ~ t a ntasa de 60 g y es t i son~etido a una teltsi611 de 1000 new. ~ C u a l es la velocidad de propagaci611 tie una onda transversal ett el alantbre?

26-10. La velocidatl de las ottdas sonoras en el agua es, aprosimadamente, a 200 C, 1-130 m/seg. Calcrilese 1.1 compresibilidad adiab6tica del a fua y cotnpa- rese con la con~presibilidad isoterma que figura en la tabla 12-2.

26-11. Siempre que la atnl)litud sea suficiente~nente grande, el oido humano puede percibir ondas longitudinales com- pret~didas en un intervalo d e frecuencias de 20 a 20000 ciclos/seg, aprosimadamente. Calcular las longitudes de ottda correspondientes a estas freroencias:

( I ) para ontlas sonol.;~s ell el airc: b) para ontlas sot~o~.:~s cn cl agua. (\'C;~ac cl problema 26-10.)

26-12. Las o~ttlas sotloras erllititlas par u ~ t altavoz se propagan cnsi uttilor- ~ t~ct t~et l te en t o d s dircccioncs cuando su longitutl de o~lcln cs grantlc cott~paratla con el dih~netro tlcl altavoz. Si la longitud dc ontla cs ~)cquciia II relacicin con el di5tnctro dcl altavoz, a ntayor parte tlc F la encrgia se concc~ttra hacia adelante. Calcitlese, para un altavoz de 31) cm de dian~ctro, la frccuctlcia para la cual la longitud de onda de las ondas sonoras, en el aire, es: a) 10 veces el dianletro del altavoz; b) igual a1 dihnetro del altavoz; c) 1/10 del dihmetro del altavoz.

26-13. ' a) A la temperatura de 270 C, Len ctthntos m/seg aumcntard la velo- ridad del sonitlo en el aire por cada grado centigrade que se eleve la temperztura? Iltdicocion: Calc~ilese d V en funcion de dT, y sustitliyanse las diferenciales por 10s incrementos finitos. b) &Es Ia misma, a todas las temperaturas, la raz6n del increment~ de la velocidad a1 increment0 de temperatura?

26-14. jCuil debe ser la tensi611 de utt alambre methlico cuyo modulo de Young es Y, para que la velocidad de las ondas longitudinales sea diez veces mayor que la de las ondas transrersales'?

26-15. A la Lernperatura de 2 7 ~ C, jcual es la velocidad de las ondas sonoras: a) en el argon; b) en el hidrGgeno? Conlpirettse con su velocidad en el aire 3 la misma temperatura.

26-16. PruCbese que la relacidr~ existe~rte entre la amplitud I-' de la presi6n y la atnplitud Y de la elongaci6n de una onda sotlora de un gas puede escribirse:

'26-17; a) La amplitud de la presi6n de la onda sotlora ~ n h s dCbil de frecuencia 100 ciclos/seg, que puede percibir una persona de buen oido, es alrededor de 0,W2 dinas/cmt. ~ C u a l cs la atnplitud de la elongaci6n de la onda que se propaga en el aire? La an~plitud de la presi6n del

. . - +. - . - - . - -

, t ! 4

YHOBLEMAS 509 --

sonido tolerable mas intenso d e Irecuen- a) ~ C u h l es la longitud d e onda de una I cia 100 cicloslseg es de unas 200 dinas nota de frecuencia igual a 10 kilociclos

por centinletro cuadrado. 6 ) LCuhl es la por segundo? b) ~ C u h l es la magnitud amplitud de la elongacidn si la onda se de la fluctuation de temperaturas en un

. propaga ell el aire? c) LY si se propaga punto cualquiera d o ~ ~ d e es is te una onda en el agua? sollora cuya amplitud de presi6t1 es 10 di-

26-18. La \7elocidad del sotlido en el nas/cm2? c) iCuAl es la distancia entre aire a tcmperatura y presicin norn~ales 10s puntos dc t c n ~ p e r a t ~ t r a mbxin~a y es, aproximadamente, de 330 n~/seg. minima en la ontla citada CII ( I )? '

I

f 4 4 'f I c t 4 t i (

I (

. . ' 4

. .

4 t 4

I: 4 8

1

i I I

4

V I B R A C I O N E S D E C U E R D A S Y D E C O L U M N A S D E A I R E

27-1. Condiciones en 10s extremos de una cuerda.-Consideremos ahora lo que sucede cuando un tren de ondas, que avanza a lo largo de una cuerda tensa, llega a1 extremo de la misrna. Si el extremo esta sujeto a un soporte rigido, tiene que permanecer evidenternente en reposo. Cada sacudida que Ilega ejerce una fuerza sobre el soporte, y la reaccion a esta fuerza actha sobre la cuerda y engendra una sacudida reflejada que se propaga en sentido contrario. El caso opuesto a1 de un extremo rigidamente fijo seria uno que estuviese perfectamente libre, caso que no es de gran importancia para nuestro objeto presente (y qne puede realizarse mediante una cuerda que cuelgue verticalmente), pero que tiene inter& teorico, puesto que su analogo se presenta en otras clases de movimiento ondulatorio. En el extremo libre, la sacudida que llega contintla propagindose, pero en sentido contrario, originindose tambiPn una onda reflejada. Las condiciones que deben satisfacerse en 10s es- trernos de una cuerda (tales como y = 0 en el extrerno fijo) se deno- rninan condiciones en 10s extremos.

La fotografia de iluminaciones sucesivas de la figura 27-1 muestra la reflexion de una perturbaci6n en el extrerno fijo de una cuerda. (La camara podia girar alrededor de un eje horizontal y las fotografias fueron tornadas de mod0 que las imigenes sucesivas se encontrasen una debajo

I.'!(>. 27-1.-Unn perturbacidn clile parte del angulo superior izquierdo se refleja sobre el extremo fijo de (a derecha) de la cuerda.

SEC. 37-11 CONDICIONES EN LOS EXTREMGS DE UNA CUERDA 511

de otra. La cuerda es un tub0 de goma que esta algo curvado.) Se ve que la sacudida se refleja, invirtikndose las elongaciones y la velocidad. Cuando la reflexion tiene lugar en un es t remo libre, la direction d e la

! velocidad se invierte, pero el sentido de la elongaci6n no se modifica. Es util imaginar el proceso de la reflesion en la forma siguiente:

Supongamos que la cuerda se prolonga indefinidamente mas alla d e su longitud real; puede considerarse que la perturbacion continua en una parte imaginaria de la cuerda como si el soporte no existiera, mientras que a1 mismo tiempo una perturbaci6n v;r- fual, que ha estado propagindose en Iti parte irnaginaria, se mueve hacia la parte real y forma la perturbaci6n reflejada. La naturaleza de esta ultima depende I = j ( - - V I ? de que el extremo estC libre o fijo. En la figura 27-2 estan represen-

; tados 10s dos casos. La b perturbacibn virtual su-

= - I ( - r t V 0 perior, de linea de tra- 20s. uue corres~onde a 1- ]a refiexibn en in extre- FIG. 27-2.-Cna perturbacl6n virtual que se propaga desde

la izquierda se compone con la perturbaei6n inicial para m0 libre, tiene la misma fomar la onda reflcjada.

forma que tendria la h a g e n de la onda incidente si Csta se reflejase en un espejo situado en el plano Y-Z. La perturbaci6n virtual inferior, que corresponde a la reflexion en un extremo fijo, es la imagen de la superior, producida por un espejo colocado en el plano X-2.

I\Iatematicamente, la ecuaci6n del primer tip0 se obtiene sustituyendo x por -x en la ecuacion de la onda incidente, mientras que la del segundo tipo resulta cambiando, ademis, f por -1. Esto es, si la ecuacion de la onda en la cuerda es f(r - \ ' I ) , con10 en la figura 27-2, la ecuacion de la onda reflejada en un estremo libre, en la que solo se invierte la velocidad, serh f ( -z + \ - [ I . mientras que la ecuacibn de la onda reflejada en un estremo fijo es y = - f ( - z + 1.1).

El desplazamiento, o elongation, en tin punto en el que se cruzan las perturbaciones reales o virtuales, es la suma algebrica de las elongaciones producidas por las distintas perturbaciones. Las figuras 27-3 y 27i-1 muestran la forma del extremo de la cuertla para ambos tipos de perturbaciones reflejadas. Se vera que la figura 27- 3 corresponde a un extremo libre, y la 27-4, a un extremo fijo. En el ultimo cas0,-las perturbaciones incidente y reflejada se componen d e mod0 que el desplazamiento del extremo de la cuerda es siempre nulo.

27-2. Ondas estacionarias en una cuerda.-Cuando . un tm continuo de ondas llega a1 extremo fijo de una cuerda, parece como si en dicho extrerno se engendrase un tren continuo de ondas reflejadas que se propagan en sentido opuesto. Siempre que no se sobrepasen 10s limites de elasticidad de la cuerda, y las elongaciones sean suficiectemente pequeiias (vCase Sec. 26-4), la elongaci6n real en cualquier punto de aquella es la suma algebrica de las elongaciones corresp ndientes a las Y

. . . . . . . . . . . : . . : - ? . , . . . . .., , , -: - . RG. 27-5.---(a) . . Ondas estacionarias en una cuerda tensa (con exposici6n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * - . . . ........ '.. . ,

FIG. 27-3.-RcIlexi6n en un extrerno libre. '

FIG. 27-4.-ReIlex16n en un e-o lljo.

SEC. 27-21 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA 513

'i , ondas indiGiduales, hecho que se conoce con el nombre de principio de . , superposicidn. Este principio es extraordinariamente importante en todos t':: 10s tipos de movimiento ondulatorio, y se aplica .no sdlo a las ondas

i i - qu'e se propagan en una cuerda, sino a las ondas sonoras en el aire, a .!{-.: las ondas luminosas, y, en general, a cualquier clase de movimiento -.: ondulatorio. Se aplica la expresi6n general de interferencia a1 efecto

: producido por dos (o m6s) conjuntos de trenes de ondas que pasan sirnul- . aneamente por una regi6n .determinada. -.

$.?. El aspect0 de la cuerda en tales circunstancias no patentiza que dos .... ,- ,. L:.:: ondas esGn recorriendo la cuerda en sentidos opuestos. Si la frecuencia es , i ;

I FIG. 27-5.-(b) Fotografia con lluminaclones sucesivas de una onda estacionaria. con nodo en el centro y en 10s extremos.

suficientemente grande para que el ojo no pueda seguir el movirniento, la cuerda aparece subdividida en un .cierto ndmero de segmentos, como

la fotografia con exposici6n de la figura 27-5 (a). Una fotografia con minaciones sucesivas de la' misma cuerda [Fig. 27-5 ( b ) ] muestra algu- s-de las formas instantheas de Ia cuerda. En cualquier instante (except0

cumdo la forma de la cuerda es una linea recta) su forma es la de una cuwa sinusoidal, per0 mientras que en una onda que se propaga, la amplitud permanece constante en tanto la onda avanza, aqu i la onda formada permanece fija en posici6n (longitudinalmente) mientras la amplitud varia. Ciertos puntos, llamados nodos, permanecen siempre en reposo. Los puntos equidistantes de dos nodos consecutivos, denominados uienires, tienen amplitud m6xima. La vibracibn en conjunto se denomina onda esfacionaria. ....

La expresi6n analitica de una onda estacionaria sinusoidal puede educirse como se indica a continuacion. Supongarnos que :un tren de

I' 2n yl =- Y cos - (z - Vf)

A t .

SEARS. I.-33

'i m 511 VIBRhCIONES DE CUERDAS Y DE COLUSINAS DE AIRE [CAP. 27

. ..

incide en el extreme fijo de una cuerda. La ecuacibn de la onda reflejada se obtiene sustituyendo primer0 X - Vf par -X-Vi, lo que equivale a una de ]as reflexionesindicadas en la figura 27-2; a continuaci6n se sllstituye y par -Y, 10 que equivale a la segunda reflexi6n. Par tanto, ~ ' 1 tren de onda reflejado viene dado por

2x yr = - Y cos - (- x -Vf),

A

0, dado que cos (-8) = cos 8,

27c yz = -Y cos- (x + Vf).

A ' m par el principio de superposici6n, la elongacibn resultante serb: ', 2% - ' ., y = y l + yz = Y - V f ) - cos-(x + Vf) A

1 ,m Sustituyendo 'en esta ecuaci6n las formulas que dan 10s cosenos de la sulna de la diferencia de dos ingulos, y reduciendo terminos, se ob- ' m tiene: ' 4, 2zx [27-11 y = 2Y sen - sen 2 4 I lm ,- A

coma ecuaci6n de la onda estacionaria. En un instante dado se puede escribir:

I ,If,

I q, ~ T J I 2Y sen 2$ sen -

- ~

1 -.

- SEC. 27-31 V ~ ~ ~ ~ ~ ~ 6 ~ DE UNA CUERDA FIJA POR AMBOS EXTREMOS 515 -- Para valores de x tales que

f 2m/h = 0, x, 2x, etc., 1 la a m ~ I i t ~ d es nula, 0, en otras palabras, estos punto. permanec.n s i e m

) Pre en rePoso y son nodos. En 10s puntor donde I i 2m/A = 4 2 , 3x12, etc.,

i la am~l i tud es maxima e igual a 2Y. Estos puntos son 10s vientres (anti- i nodos). t i Los nodes se encuentran en 10s puntos en 10s que 1 ! A 2A 3A

= 0, - S --, -, etc., 1 2 2 2

y 10s vientres, en 10s correspondientes a I

- A 3A 5 1 - . , , 49 T , etc. 1 i 1 1 : . tanto, 10s nodos estan separados por media longitud de onda, y ! 10 mismo sucede con 10s vientres. 1.' !I

l i 27-3- Vibraci6n de una cuerda fija por ambos extremas.-Hasta : ah01-a nos hemos limitado a una cuerda larga fija por un extreme y ' hemos estudiado ondas estacionarias producidas junto a dicho extreme

pOrinterferencias de 1% ondas incidentes y reflejadas. Consideremos ahora mas corriente, en el que la cuerda est.5 fija por ambos extremes.

Un tren continuo de ondas, representadas por senos o cosenos, se refleja en dichos extremes, y como 6stos estin fijos, 10s dos deben ser nodes. Puesto que 10s nodos estan separados por una distancia igual a una

I I I

i 4 I ! I

La forma de la onda en cads instante eS, pOr tanto, Una sinusoide cuya ampli,.ud (erpresi6n entre corchetes) varia sinusoidalmente con el tiempo.

I m Para valores de f tales COmo 2 ~ f l = 0, n, 2n? etc., la amp1itud es "la y la cuerda ,es rectilinea: para 2nff=z/2, 3x12, 55x12, ktc.9 la a n l ~ l i t u d pass par un miximo, igual a 2Y, suma de las amplitudes de las ondas que interfieren.

Par otra parte, si nos fijamos en un punto particular de la cuerda

I m y escribimos la Ec. [27-l] en la forma

' n, 1 vcmos que cads punto de la cuerda efectda Un movimiento armdnico @I silllple de frecuencia /, per0 cuya amplitud (expresibn entre corchetes)

dcpende de la posicibn del punto. A1 rcv6s de 10 que sucede con una Onda . * rlLle se pmpaga @ease pbg. 496), to do^ 10s puntos situados entre cads (10s nodes vibran en fuse uno con otro.

L

', '.

. semilongitud de onday la longitud de la cuerda puede ser

0, en general, un numero enter0 de semilongitides de onda; 0 bien, para ex~resarlo de otro' m0d0, si consideramos una cuerda determinada, de . longitud L, pueden origiaarse ondas estacionarias en la cuerda para vibraciones de diferentes frecuencias, a saber: todas aquellas que' pro-

2L 2L 2L duzcan ondas de longitudes - - 2 y - 3 , e t c .

En +dud de la relacibn f = V/h, y puesto que V es la misma para - todas las frecuencias, las posibles frecuencias son:

I v v v EY 2z; 3%, ... .

La frecuencia mhs baja, V/2L, se denomina frecuencia fundamenfal,fo Y las otras son 10s armdnicos. Las frecuencias de estos idtimos son, por

,'

. . . . .. - --- -..- ~.. _ . . . . . _ .. . . ~ - .. .

consiguiente, 2Io, 310, 410, etc. Estas frecuencias forman una serie de armdnicos, y la fundamental constituye el primer armdnico. La frecuencia 2io es el segundo armdnico, la 310 es el fercer armdnico, y asi sucesivaniente.

Podemos apreciar ahora una diferencia importante entre un sistema constituido por un peso y un resorte, y una cuerda vibrante. El sisterna del peso y dcl resorte posee s610 una frecuencia propia, mientras que la cuerda ~ i b m n t e tiene.un numero infinito de frecuencias propias: la fundamental y todos 10s armbnicos. Si tiramos hacia abajo de un peso suspendido de un resorte y lo abandonamos a si mismo, s610 se producira una frectiencia de vibracion. Si se ha deformado inicialmente una cuerda de nlodo que su forma sea la misma que corresponde a uno cualquiero

I . . FIG. 27-6.-Reflexi6n de una onda aislada en 10s extremos fijos de una cuerda.

I . I

SEC. 27-31 V I B R A C I ~ N D E UNA CUERDA FIJA P O H ABIBOS EXTREMOS 517

de 10s arm6nicos posibles, vibrari, cuando se la abandone, con la frecuencia correspondiente a dicho armonico particular.

Si se golpea o pulsa una cuerda de mod0 arbitrario, para que su forma no sea sinusoidal, la perturbacibn inicial puede expresarse mediante un desarrollo de Fourier o suma de ondas sinusoidales de longitudes de onda iguales a las de 10s posibles arm6nicos de la cuerda. La vibracion resultante es, pues, una mezcla de ondas estacionarias, debidas a las componentes de Fourier de la perturbacibn inicial. Asi, cuando se golpea una cuerda de piano, no so10 estin presentes en el sonido emitido el correspondiente a la frecuencia fundamental, sino muchos de 10s arm6nicos. Ademas, mientras un sistema peso-resorte resuena imicamente con una frecuencia, una cuerda tensa reso~ar5 bien con su frecuencia fundamental o con cualquiera de sus arm6nicos.

Las amplitudes de 10s distintos arm6nicos dependen de la forma particular en que se haya pulsado la cuerda. E l lono del sonido musical emitido por la cuerda esti determinado principalmente por la frecuencia del sonido fundamental, y el flmbre depende del numero de arm6nicos presentes y de sus amplitudes.

Si la cuerda fuera perfectamente libre para moverse transversalmente en uno u otro de sus extremos, Cste seria un vientre en lugar de ser un

. nodo. Esta circunstancia no puede realizarse experimentalmente con ' + una cuerda sometida a tension, pero una situaci6n aniloga se muestra

en la fieura 27-7. aue es una foto-

FIG. 27-7.-Fotografia con iluniinaciones

una varilla.

Los instrumentos de cuerda suministran muchos ejemplos de las consecuencias de esta ecuaci6n: p. ej., en 10s instrumentos que se afinan variando la tension F, un increment0 de la tensi6n aumenta la frecuencia 0 tono, y viceversa. La proporcionalidad inversa de la frecuencia y la longitud L .queda demostrada por la mayor longitud de las cuerdas del piano que corresponden a las' frecuencias bajas, si se compara con la menor longitud de las cuerdas correspondientes a 10s tonos altos; como ,asimismo por la mayor longitud de las cuerdas del violonchelo comparada con la menor longitud de las cuerdas del violin. Una raz6n para rodear las cuerdas bajas del piano con alambre es aumentar la masa I* por unidad de longitud, -0bteniendo. asi la frecuencia baja deseada sin acudir a una cuerda excesivamente larga.

27-4. Vibraciones de membranas y p1acas.-Si se golpea en un punto una membrana flexible y tensa, tal como la d e un tambor, se propaga desde el lugar del golpe una perturbaci6n de dos dimensiones que se refleja repetidas veces en el b ~ r d e de la membrana. Si algun punto de 0 (('3 la membrana es obligado a vibrar

peribdicamente, se propaga a traves de la membrana un tren continuo

(a) de ondas. Igual que en una cuerda tensa, pueden producirse en la membrana ondas estacionarias, y

f -lSO3h k cada una de estas ondas tiene

su frecuencia propia. La frecuencia mhs baja. es la fundamental,

(-J .)O y las otras son 10s armonicos. E n general, cuando la membrana vibra

( t ) hay cierto numero de arm6nicos '- ' presentes. Los nodos de una m e m b r a ~ a

j - 2,135s f1 1 - 2 , ~ 18 vibrante son lineas (lineas nodales)

en lugar de puntos. El contorno de la membrana es evidentemente una 0 u)o de estas lineas. Algunas de las otras posibles lineas nodales de una membrana circular est5n indicadas en la

C"' I, , '. /' \ I figura 27-8, con las formas d e vi-

'-I/ I

L - /' braci6n dispuestas en el orden de , , 3,59g,,, las frecuencias crecientes. L a fre-

J - 2.91n 1. cuencia propia de cada forma de FIG. .L;-s.-Formas posibles de vlbracidn de

. - llna medrana, mostrando las lineas nodales. vibracibn da en funci6n de la In frceuencia de cada una de ellas esta dada fundamental fo. Se observara que en funci6n de la frecuencia fundamental, fo. las frecuencias de 10s armonicos no son multiplos de lo; esto es, no son en realidad armonicos.

La fuerza recuperadora, en el caso de una membrana vibrante flexible, procede d e la tension a que est6 sometida. Una placa metAlica, si es suficientemente gruesa, vibrar6 de un mod0 analogo, estando producida la fuerza recuperadora por 10s esfuerzos de flexion de la placa. E l estudio de las vibraciones de membranas y placas tiene importancia en relacion con el disefio de diafragmas de altavoces, y de receptores y microfonos tclef6nicos.

27-5. Ondas estacionarias en una columna de aire.-Las ondas longitudinales que se propagan a lo largo de un tub0 de longitud finita, se rcflcjan en 10s extremos del mismo en forma andloga a como las ondas I r:~nsvcrsales en una cuerda se reflejan en sus extremos. La interferencia csl1tre las ondas que se propagan en sentidos opuestos origina ondas v\Incionarias, y el tubo, a1 igual que la cuerda, posee un nlimero infinito t l t : rrrcucncias propias.

SEC. 27-51 OXDAS ESTACIONARIAS EN UNh COLU.\INA DE A I R E 519

Si la reflexi6n se produce en un extremo cerrado, la elongacion dc las particulas en dicho extremo ha de ser siempre necesariamente nula; por tanto, el extremo es un nodo de elongacidn. No obstante, puesto que 10s puntos de elongacibn nula son puntos de variacion maxima de presibn, el extremo es un uienfre de presibn.

Si el extremo del tub0 esta abierto, la naturaleza d e la reflexion es mucho m5s complicada y depende de si el t u b 0 es ancho o estrecho comparado con la longitud de onda del sonido. Si el tub0 es estrecho comparado con la longitud de onda, como es el caso en la mayor parte de 10s instrumentos musicales, la reflexion es tal que hace que el extremo abierto sea un uienfre de elongacidn o un nodo de p r a i d n 1. Es 16gico que suceda esto ultimo ya que si el extremo esta abierto a la atmosfera, cs de esperar que la presibn en el mismo permanezca constante e igual a la presion atmosfkrica. Por consiguiente, las ondas longitudinales en una columna de fiuido se reflejan en 10s extremos cerrado y abierto del tubo, del mismo mod0 que las ondas transversales d e una cuerda se reflejan en 10s extremos fijo y libre, respectivamente.

Las reflexiones en las aberturas por las cuales es accionado el instrumento son tales que en la abertura (o junto a ella) se produce un vientre de la elongacion (nodo de presion). La longitud efectiva de la columna de aire de un instrumento de viento queda, por tanto, menos definida que la longitud de una cuerda fija por sus extremos.

Las vibraciones de las columnas de flliido de 10s instrumentos de viento est6n excitadas por algun tipo de vibration en uno de 10s extremos de la columna. Estas vibraciones pueden ser las de 10s labios del

.mdsico (trompeta, trombon) o de una lengiieta (clarinete, oboe) o pueden originarse por un soplo de aire a travCs de ur.a abertura (flauta) o contra un borde afilado (tubo de organo).

En cualquier caso, la columna de aire selecciona en la vibration aquellas componentes de Fourier cuyas frecuencias coinciden con las de su nota fundamental y armonicos, resonando con estas frecuencias.

La figura 27-9 muestra la frecuencia fundamental y 10s primeros armonicos de dos tubos de organo abierto y cerrado, respectivamente. Esthn sefialadas las ondas estacionarias d e presion en el tubo; 10s nodos de la elongacion coinciden con 10s vientres d e prcsion, y reciprocamente. RecuCrdese que 10s nodos de una onda estacionaria se hallan separados por media longitud de onda; resulta asi evidente del diagrama que la longitud de onda de la vibration fundamental de un tubo abierto de longitud L es 2L, en tanto que para un t u b 0 cerrado de igual longitud es 4L. Las frecuencias fundamentales correspondientes (V = f h ) son V/2L para el tub0 abierto, y V/4L, para e l cerrado. Por consiguiente, la frecuencia fundamental de un tub0 abierto es doble que la dcl cerrado, y su tono, una octava superior.

La teoria completa muestra que el nodo nose encuentra prccisamente en el extrem0 del tuba, sino que la longitud efectiva de este es superior a su longilud real en unas seis dCcimas de su radio.

d r e-

' 520 VIBRACIONES DE CUERDAS Y DE COLUMNAS DE AIRE [CAP. 27 g SEC. 27-61 PULSACIONES :i

52 1 c.

Par la figura 27-9 puede verse que las longitudes de onda de 10s a r m b Se produce esta situaci6n a1 hacer vibrar simultineamente dos diapa- nicos de un tub0 abierto son 2L/2, 2L/3, 2L/4, etc., en tanto que sus fre- sones de frecuencias algo distintas, o cuando se golpean a1 mismo tiempo cuencias son 2, 3, 4, etc. veces la fundamental. Por otra parte, 10s arm& dos cuerdas de piano ligeramente desajinadas. nicos de un tub0 cerrado tienen longitudes de onda 4Lj3, 4L/5,4L/7, etc., Consideremos un punto del espacio por el que pasan simult5nearnente mientras que las frecuencias son 3, 5, 7, etc. veces la fundamental. Re- las ondas; las elongaciones debidas a las dos ondas pueden escribirse sulta de ello que en las vibraciones de un tubo abierto estan presentes por separado en la forma todos 10s armbnicos, en tanto que en un tub0 cerrado s610 lo eskin 10s yl = Y cos 27tfil; arm6nicos impares. La calidad del tono emitido por un tubo cerrado y2 = Y cos 2xf2i difiere, por tanto, de la correspondiente a un tub0 abierto\ aun en el case de que, mediante una elecci6n apropiada de sus longitudes, se haya :se suponen iguales las amplitudes). conseguido igualar las frecuencias fundamentales. En virtud del principio de superposicibn, la elongaci6n resultante es:

27-6. Pulsaciones.-Se han citado como ejemplo de interferencia las ondas estacionarias de una columna de aire producidas cuando dos trenes de ondas de amplitud y frecuencia iguales se propagan en el mismo lugar y en sentidos opuestos. Vamos a considerar ahora otro tip0 de interferencia que resulta cuando dos trenes de ondas de igual amplitud, a - l - b a - t per0 de frecuencia ligeramente distinta, se propagan en el mismo lugar. cos a + cos b = 2 cos -

2 cos --

2 ' podemos escribir:

JJ :-L

f" q 0-> '4

- -J $ - L

FIG. 27-9.-Diagrama de ondis estacionarias en la columna de aire de un tubo de 6rgano. ,. . FIG. 27-10.-Las pulsations son fluctuaciones de amplitud producidas por dos ondas sonoras

Hay un vientre de la elongacidn coincldiendo con cada nodo de presidn. de frecuencias ligeramente distintas.

I n .

clos instrumentos musicales para que suenen con el-mismo tono o a1 rlnlsono se hace uso del fen61neno descrito.

27-7. Composici6n de sonidos.-El oido puede percibir las pulsaciones producidas por dos sonidos hasta que la frecuencia de las mismas se reduce a 6 6 7 por segundo. Para frecuencias mas elevadas no es posible distinguir pulsaciones separadas y la sensaci6n se confunde en una de consonancia o disonancia, dependiendo de la raz6n de las frecuencias de 10s sonidos. Aunque la frecuencia de una pulsaci6n se encuentre dentro tlel interval0 de frecuencias del oido, no es interpretada por este como un sonido de dicha frecuencia. Sin embargo, puede oirse un sonido cuya frecuencia sea igual a la diferencia de frecuencias entre otros dos que suenen simultanean~ente. Este sonido se denomina sonido diferencia. hunque no es tan facil de reconocer, puede tambien percibirse un sonido

FIG. 27-1 1.-Explicaci6n de la producci6n de sonidos compuestos.

PROBLEMAS 523 ----

llamado surna, cuya frecuencia es igual a la suma de las frecuencias de 10s dos sonidos. La expresibn general aplicada a ambos sonidos, suma y diferencia, es la de sonidos compueslos.

Los sonidos compuestos son analogos a las pulsaciones, pero se deben a la naturaleza del mecanismo de la audici6n. El oido constituye uno de losnumerosos dispositivos cuya reaccibn o respuesta no es proporcional a 10s estimulos que recibe. Son de 10s llamados de respuesta n o lineal. Una lampara de radio que funciona en la part? curva de su caracteristica es otro de ellos. La figura 27-11 interprets el caso esquemltica- mente. La respuesta a cierto~estimulo esta re~resen tada por la linea cun-a AA (en una lampara de radio la respueila seria la corriente de placa, y el eslimulo, el potencial de rejilla). La curva que se propaga verticalmente hacia arriba representa la elongacibn del aire en un punto a travCs del cual pasan simultAneamente dos ondas de frecuencias diferentes. La respuesta a este estimulo se obtiene proyectando hacia arriba desde cada punto de esta curva hasta la cum-a -4A, y despuks proyectando horizontalmente. Se vera que a causa d e la curvatura de AA, la curva respuesta no es simetrica sino que tiene un desplazamiento rnedio hacia arriba representado por la linea de trazos. Por consiguiente, si la grafica representa el movimiento del timpano, se ve que este Gltimo vibrara con una frecuencia igual a la frecuencia de pulsacibn, o sea, a la diferencia de frecuencias de 10s dos sonidos. Esta vibracibn se su- perpone a la de frecuencia mucho mas elevada d e las ondas individuales queforman el sonido. ObsCrvese atentamente que si la curva respuesta AA fuera u n a recta, la curva CC seria simetrica y no tendria lugar el n~ovimiento del timpano que hemos descrito.

P R O B L E M A S i \ 27-1. Pruebese que la Ec. [27-11 es

una consecuencia inrnediata de la ecua- ci6n que le precede.

27-2. a) Sobre 10s mismos ejes, y en el inter.valo de t de 0 a 10 cm, constrd- yanse las grzificas de las ecuaciones

2 x Yl = Y cos - )i ( x + 'Vf)

2x yz ;= Y cos - A (x - V1)

en el instante correspondiente a .I = 0. HBgase Y = 2,5 cm, A = 5 cm y V = 0,6 centirnetros por segundo. Sup6ngase que estas grhlicas representan una onda in-

cidente y o t r a reflejada en el purrto r=O; sumense las dos grhficas y deduzcase la forma de la onda resultarlte en el instante I = 0. 6 ) En un segundo diagrama trB- cense las graficas de y~ e yz en el instante I = 1 seg. Deterrninese por adici6n de las dos cun-as la Iorma de la onda resultante. c) Re?itase la construccidn para el instante i = 2 seg, dando respuesta a las siguientes preguntas: jen qu6 di- recci6n se propaga la primera onda?; i,y la segunda? ;A qu6 valores de z corresponden 10s nodos?; iy 10s vientres? jCuhl es la arnpIitud de la vibraci6n d e un punto de abscija 6 mm:'; &y del de abscisa 12 mm?

27-3. L a ecuaci6n d e una onda transversal en una cuerda tensa es:

1 c) Escribase la ecuaci6n que represents y - I sen^^(^ --&), este movimiento vibratorio u t i i d o las

constantes dadas y las calculadas en el

siendo x e y centfmetros, y 1, segundos. a) iEs la onda estacionaria? b) ~ C u a l es su amplitud? c) i Y su longitud de onda? d) iCuAl es l a velocidad de propagacidn? e) i Y su frecuencia? 1) Hallese la velocidad transversal de un punto de la cuerda de abscisa z = 800 em, en el instante 1 = 0,08 seg.

27-4. Un tub0 de caucho flexible de 3 m de longitud y de masa 0,6 utm se halla estirado mediante una tensi6n de 12 Kg aplicada por medio de un hilo largo de masa despreciable, se@n

,-,.- muestra la figura 27-12. El t u b ~ esta k recorrido por ondas estacionarias de fre- i cuencia 3,125 ciclos/seg. Dibdjese la for-

ma del tub0 cuando es maxim0 el desplazamiento de un vientre, indicando claramente la localizacidn de nodos y vientres.

27-5. UII hilo de acero de lo~igitud L = 100 cm y densidad p = 8 g/crn3 est6 tenso entre dos soportes rlgidos. Cuando oscila con su vibraci6n fundamental, la frecuoncia es d e I = 200 ciclos/seg. a) (,Cut11 es la velocidad de las ondas transversales en dicho hilo? b) iCuAl es el esfuerzo de traccibn del alambre en dinas/cmZ? c) Si la aceleracidn maxima en el centro del hilo es de 80 000 cm/seg2, lcual sera la amplitud de la elongacidn de dicho punto?

27-6. Se observa que una cuerda ' tensa vibra con una frecuencia de 30 ci-

clos corresporldiente a su mod0 fundamental cuando 10s soportes estan separados 60 cm, siendo la amplitud en el vientre de 3 cm, y la masa de la cuerda 30 g. a) LCuAl es la velocidad de propa- gaci6n de una onda transversal de la cuerda? b) Calcdlese la tensi6n d e Csta.

apartado a). 27-7. Una cuerda de piano 6 hecha

de acero y tiene 50 cm de longitud y 5 g de masa, estando sometida a una tensidn de 300 newtons. a) ~ C u i l es la frecuencia de su vibraci6n fundame+tal? b) hCuAl es el ndmero del armdnico mas alto que puede ser ofdo por una persona m p a z de vercibir frecuencias hasta de 10 OW ci- hos/seg?

27-8. Supongamos que la cuerda de piano del problema 27-7 se pone en vi- braci6n cbn una frecucncia doble de su frecuencia fundamental. a) Hagase un esquema de la forma de la cuerda en distintos instantes. b)'~CuAl es la l ong tud de onda de las ondas transversales en la cuerda? c) ~ C u a l es la longitud d e onda, en el aire, del sonido emitido por la cuerda? . .

27-9. El tub0 de 6rga110, cerrado, representado en la figura 27-13 t i e ~ e 60 cm de longitud y las ondas estacionuias que se propagan en su interior son de una longitud de ouda de 80 cm. a) 3lukstrese en un diagrama la posicidn de 10s nodos y vientres de presi6n, indicando con exactitud cada uno de ellos. b) Indfquense en un segundo diagrama las posiciones de 10s nodos y vientres de la elongacidn. c) Si la amplitud de la elongation de las ondas estacionarias es de 1 0 4 cm, jcual sera la elongaci6n instantlnea de las partIculas de aire en el centro del tubo, en un instante en que es maxima l a elon- gaci6n en un nodo de presi6n4

27-10. Calculense las frecuencias de la vibraci6n fundamental y de 10s cuatro armdnicos siguientes de un t u b o tie dr- gano de 1,20 m de longitud: a) si el tub0 es abierto; b) si el tub0 es cerrado. Des- pr6ciense las correccion'es de 10s exkemos.

--- PHOBLEMAS 525 ---

27-11. Hhllense la frecuencia fundamental y 10s cuatro primeros arm6nicos d e un tub0 de 6 pulg: a) si esth abierto por ambos extremos: b) si el tub0 esta cerrado por un extremo; c) ~ c u l n t o s ar- m6nicos puede percibir una persona de oido normal en cada uno de 10s casos mencionados?

27-12. Un tub0 de gran longitud contiene aire a la presi6n d e 1 a tm y a la temperatura de 770 C. E l tub0 estA abierto por uno de sus extremos y lleva adosado en el otro un Cmbolo movil. Se hace vibrar un diapasdn en el extremo abierto, con una frecuencia de 500 ciclos/seg. Se produce resonancia (la columna de aire estA recorrida por ondaa estacionarias) cuando el Cmbolo se encuentra a las distancias de 18,0 cm, 55,5 cm y 93,O cm del estrerno abierto. a) Deddzcase de estos datos la velocidad del sonido en el aire a 770 C. b) Deddzcase

I de lo anterior la raz6n y d e 10s calores especlficos para el aire.

27-13. Comparense las frecuencias fundamentales de u n tub0 de 6rgano abierto, de I m de longitud: a) cuando el tub0 esta lleno de aire; b) cuando estA lleno de hidr6geno.

27-14. Dos tubos de 6rgano iguales se llenan uno con hidr6geno y el otro con helio. a) Si ambos gases estan a la misma temperatura, ~cuAl de 10s tubos tendrA una frecuencia fundamental mas

' elevada? Razdnese la respuesta. b) Si la temperatura del hidr6gcno es de 3000 I<, ~ c u a l deberfa ser la temperatura del helio para que 10s dos tubos emitiesen un3 nota d e la .misma frecuencia?

27-15. Un tub0 de 6rgano A , de longitud 2 pies y cerrado por un extremo, vibra con su primer arm6nic0, mientras otro tub0 B, de longitud 1,35 pies y abierto por ambos extremos, vibra con su frecuencia fundamental. T6mese como velocidad del sonido en el aire 1120 pies

I

por segundo y despreciense las correcciones de 10s extremos. a) LCuAl es la frecuencia del sonido que emite .4? b) ~CutIl es la Irecuencia del sonido procedente de R? c) Si arnbos tubos vibran simulthneamente, icuhl sera la frccuencia de la pulsaci6n?

27-16. Dos cuerdas d e piano identicas tienen una frecuencia fundamental de 400 vibraciones por segundo cuando estan sometidas a la misma tensibn. LEn qu6 fracci6n debe aumentarse la tensi6n de una de ]as cuerdas para que se pro- duzcan 4 pulsaciones p a r segundo cuando ambas vibran a1 mismo tiempo? (Susti- tdyanse 10s incrementos finitos por dile- re~iciales.)

27-17. Una lamina de cristal de cuarzo se utiliza a menudo para contro- lar la frecucncia de un circuit0 electrico oscilante. Se. originan ondas longitudinales estacionarias en l a lamina con produccibn de vientres en las caras opuestas. 1.a frecuencia fundamental de la vibra- ci6n esta dada por l a ecuaci6n

siendo /o la frecuencia en ciclos/seg y s el espesor de la lamina en centimetros. a) Calcdlese el n6dulo d e Young para !a lamina de cuarzo. b) Calcdlese el espesor dc la lamina necksario para una frecuencia de 1200 kilociclos/seg. (1 kilociclo = = 1000 ciclos). La densidad del cuarzo es 2,66 g/cm3.

27-18. Un peso de aluminio pende de un hilo de acero, siendo la frecuencia fundamental de las ondas transversales en el hilo dc 300 ciclos/seg. Se introduce el peso en agua de forma que quede sumergida la mitad d e s u volumen. ~ C u a l sera en este caso la frecuencia fundamental?

ONDAS SONORAS. EL 0fD0 Y LA AUDICI~N

28-1. Intensidad.-Desde el punto de vista puramente geomktrico, lo que se propaga en un movirniento ondulatorio es la forrna de la onda; sin embargo, desde el punto de vista fisico, se propaga algo m8s en una onda, y es la energfa. El ejemplo mas importante es, naturalmente, la energia suministrada a la Tierra, que nos llega del Sol por medio de las ondas electromagnCticas. La inlensidad I de una onda que se propaga se define como la canfidad media de energfa fransporfada por la onda, por unidad de superficie y por unidad de fiernpo, a travks de una superficie perpendicular a la direcci6n de propagaci6n. Mas brevemente, la intensidad es la potencia media transportada por unidad de Brea.

La energia en un medio en el que se propaga una onda sonora es en parte potencial, asociada con la energia de compresi6n del medio, y en parte cinktica, asociada con el movimiento de las pal-ticulas de aqu61. En el interior de un pequeiio volumen, las cantidades relativas de una y otra forma de energia estan variando continuamente, pero el total permanece constante. Un problema analog0 es el de una masa que vibra suspendida de un resorte (vCase Sec. 14-5) donde, s e g h hemos visto, la energia se distribuye entre potencial y cinktica.

Para abreviar llamemos energfa de presidn a la energia asociada con la compresi6n del medio. El trabajo W realizado sobre un sistema en un proceso de compresion es:

W = - s p d u ,

siendo v el volumen. Por definici6n de compresibilidad, k :

d v = - k ~ o dp. Por tanto,

En cualquier onda. sonora real, las variaciones de presi6n son tan pequefias que k y vo pueden considerarse constantes. El trabajo reali- zndo para incrementar la .presi6n manomktrica desde 0 a p ser5, por tanto:

SEC. 28-11 IN TENSIDAD 527 -

La energfa de presidn por unidad de uolumen es:

En un instante en que la presi6n manometrica p es igual a1 maximo de presi6n P, tambiCn es maxima la energia de presion. En este instante seri nula, por tanto, la energia cinCtica, siendo la energia de presi6n equivalente a la energia total; pero esta liltima es la misma en cualquier instante, de mod0 que la energia total por unidad de volumen es:

W 1 -- - T , k ~ 2 . [2s-11 uo

Consideremos ahora el elemento de volumen representado en la figura 28-1, cuyas cara extremas, de area A , son normales a la direcci6n de propagaci6n de la onda sonora, y cuyo espesor es V d l , siendo V

FIG. 28-1. la velocidad de propagacibn. La energia sonora en este volumen es igual a1 product0 de la energia por unidad de volumen, por el volumen del elemento:

Energia en .el elemento de volumen = kP2 x A Vdl .

En el tiempo dt, toda la energia comprendida en el elemento de volumen atravesara la cara de 6rea A ; por consiguiente, el flujo de energia, por unidad de !rea y unidad de tiempo, o sea, la intensidad I, es:

= i k ~ 2 ~ . Ahora bien:

528 ONDAS SONORAS. EL O ~ D O Y LA A U D I C I ~ N [CAP. - 28

Si esta expresion de k se sustituye en la Ec. [28-21, se obtiene:

ObsCrvese que la infensidad es proportional a1 cuadrado, de la ampli fud, resultado que se verifica para cualquier tipo de movimiento \

ondulatorio. j,

La intensidad de una onda sonora cuya amplitud de 10s cambios de presion es P = 280 dinaslcm2 (aproximadamente, el sonido mas fuerte

. que puede tolerarse) es:

ergios = 940

seg - cm2

*., La amplitud de 10s cambios de presi6n del sonido mAs dCbil que

f? puede percibir el oido es de unas 0,0002 dinaslcm2, y la intensidad corres- r'' pondiente vale, aproximadamente, 10-16 wlcm2.

La potencia total que transporta una onda sonora a travCs de una superficie, si es uniforme la intensidad. en toda ella, es igual a1 product0 de la intensidad por el Area de la superficie. La potencia media desarrollada, en forma de ondas sonoras, por una persona que habla en el tono ordinario de la conversaci6n, es de unos 10-5 w, en tanto que un grito corresponde a 3 x 10-2 w, aproximadamente. Si 10s 6 millones de per- sonas que componen la poblaci6n de Nueva York se pusiesen a hablar a1 mismo tiempo, la potencia acdstica desarrollada seria de unos 60 n-, es decir, suficiente para encender una lampara elCctrica de tip0 corriente. Por otra.parte, la potencia. que se requiere para saturar un audi tor ium de regular tamaiio con un sonido de tono elevado es considerable. Su- p6ngase que la intensidad sobre la superficie de un hemisferio de 20 m, de radio es de 10-4 wlcm2. El Area de la superficie es, aproximadamente, 25 x 106 cm2; por tanto, la potencia acdstica emitida por un altavoz situado en el centro de la esfera seria:

o sea 2,5 Mw. La potencia elCctrica que habria que suministrar a1 altavoz seria mucho mayor, debido a que el rendimiento de tales dispositivos no es muy satisfactorio.

I El w/cnP cs una lrnldad mlxta. nl cgs nl mks. La conservaremos para no disentir de In cllln I-I I I S O gencrnl en ncdstica.

SEC. 28-21 NIVEL DE INTENSIDAD. EL DECIBEL 529

28-2. Nivel de intensidad. El decibel.-Debido a1 gran interval0 de intensidades para las cuales es sensible el oido, es mAs conveniente utilizar una escala logaritmica que una escala natural. De acuerdo con esto, se define el niuel de inlensidad p de una onda sonora por la ecuaci6n

I p = 10 log-, lo

siendo I0 una intensidad arbitraria de referencia que se toma igual a 10-16 w/cm2, y que corresponde aproximadamente a1 sonido mas ddbil que puede oirse. Los niveles de intensidad se expresan en decibeles, abreviadamente db 1.

Si la intensidad de una onda sonora es igual a Io, o sea, 10-l6 m/cm2, su nivel de intensidad es cero. La intensidad maxima que el oido puede tolerar es de unos 10-4 \v/crnz, que corresponde a un nivel de intensidad de 120 db. La tabla 28-1 da 10s niveles de intensidad en decibeles de algunos ruidos corrientes, y est& tomada de medidas efectuadas por la Comisi6n de supresion de ruidos de la ciudad de Nueva York (N. E'. City Noise .4 bafemenf Commission).

TABLA 28-1

Nir~eles de infenaidad de algunos ruidos de origen diuerso (Valores tipicos)

La intensidad de una onda sonora es una caracteristica de la onda puramente objetiva o fisica, y puede medirse con aparatos actisticos sin utilizar el sentido del oido de un observador humano. Sin embargo, si escuchamos una onda sonora cuya intensidad va aumentando gradual-

A1 priicipio, se defini6 tlna escala en belrs de loc niveles de intensidad por la relaci6n

ORICEN 0 DESCRIPCI~S DEL nulno

--

Umbral de la sensaci6n desagradable . . . . . Mhquina remachadora . . . . . . . . . . . Tren elevado . . . . . . . . . . . . . . . Calle dc mucho trhfico . . . . . . . . . . . ConversaciBn ordinaria . . . . . . . . . . . Autom6vil en marcha moderada . . . . . . . Radio funcionando moderadamente en casa . . ConversaciBn en voz baja . . . . . . . . . . Murmullo de las hojas . . . . . . . . . . . Umbral de la sensaci6n sonora . . . . . . . .

nirel de intensidad = log L; I0

Nivel de intensidad

db

120 95

. 90

. 70 - 65 50 4 0 20 I I? 0

sin embargo, esta unidad result6 demasiado grande y se adopt6 el decibel.

SEARS. I.-%

,') 3 0 ONDAS SOh.OR.4S. EL O ~ D O Y LA A U D I C I ~ N .- - [CAP. 28

rnente,, la sensaci6n que describimos como sonoridad aumenta tambiCn. Ill1 tPrmino sonoridad se resenTa para la sensacibri, y por ser una sensaci6n o atributo subjetivo de la onda sonora, la sonoridad no puede medirse con aparatos fisicos. Sin embargo, es posible establecer una escala nu- ~nkrica para evaluarla. Para mas detalles debe consultarse un tratado especial de acustica. Se encuentra que aunque un incremento de intensidad origina un incremento de la sonoridad o sensaci6n sonora, Csta no es de ningtin mod0 proporcional a la intensidad. Esto es, un sonido de intensidad lo-= w/cm2 no es cien veces m6s fuerte que otro de intensidad 10-8 w/cm2. La sonoridad es, con bastante aproximaci611, aunque no cxactamente, proporcional a1 logaritrno de la intensidad o a1 nivel de inlensidad. En otras palabras, la sonoridad producida por una onda sonora cuyo nivel de intensidad es 60 db, excede a la sonoridad producida por el mismo tipo de onda de intensidad 40°db, en la misma cantidad (a,proximadamente) que la sensaci6n producida por la onda de $0 db escede de la producida por una onda cuyo nivel de intensidad es 20 db.

Lo dicho anteriormente s610 se cumple cuando se comparan 10s efectos fisiol6gicos producidos por el misrno tipo de ondas con intensidaaes diferentes, pero varia cornpletamente cuando se comparan ondas de tipos distintos. Por ejemplo, es posible producir una onda de una sola frecuencia y otra de muchas frecuencias, de rnodo que ambas tengan esactamente el mismo nivel de intensidad. Sin embargo, las dos ondas pueden producir sonoridades completamente distintas.

28-3. El oido y la audici6n.-La figura 28-2 es una secci6n semi- esquen~atica del oido derecho. El tamalio del oido interno ha sido esa- gerado para poder mostrar 10s detalles. Las ondas sonoras que penetran

mas del riervio auditivo

Canal Mernbrana builar

Timpano de Eustaquio

FIG. 28-2.-Secci6n esquematiea del oldo derecho.

por el conduct0 auditivo actuan sobre el timpano, y una cadena de tres huesecillos, martillo, punque y estribo, transmite las vibraciones a la ventana oval. La ventana oval, a su vez, las transmite a1 oido interno,

FIG. 28-3.-Esquema convencional del caracol. lPor corlesio del doctor Harvey Flelcher.)

FIG. 28-4.-Diagrama auditlvo para un sonldo puro correspondiente a 200 ciclos y un niwl de intensidad de 90 db.

(Por corlesio del dwlor Harvey Flefchcr.)

SEC. 28-31 EL O ~ D O Y LA A U D I C I ~ N @ 532 OXDAS SONORAS. El. O ~ D O Y LA AUDICIOX [CAP. 28 533 i I: -- t . el cual es t i lleno de un liquido. Las terminaciones del nervio auditivo, de las cuales hay aproximadamente 30 000 en cada oido, estan distribuidas a lo largo de la membrana basilar que divide el conduct0 espiral, o caracol, en dos conductos. Las 30 000 terminaciones nerviosas ocupan realmente un area que s610 tiene 30 mm de longitud y 113 de mm de anchura; una notable proeza de ingenieria. \,

El doctor Harvey Fletcher, de Bell Telephone Laboratories, ha tra- bajado mucho en 10s ultimos aiios sobre el proceso por el cual las ondas sonoras asentadas en el caracol son recogidas por las terminaciones nerviosas. Para representar el proceso grtificamente, se ha dibujado el caracol como una espiral convencional (Fig. 28-3). Cada division colocada a lo largo de la espiral se refiere a un paquete que contiene el 1 % de las terminaciones nerviosas (300 terminaciones, aproximadamente).

La anchura de la cinta negra de la figura 284 muestra la extensi6n en la cual son estimulados 10s correspondientes paquetes de nen-ios para una frecuencia de 200 ciclos y un nivel de intensidad de 90 db. Los es- quem8.s de esta clase se denominan diagramas audiliuos. La figura 28-5 (0) muestra la variaci6n del estimulo a1 variar el nivel de intensidad para una frecuencia dada, y la figura 28-5 (b) indica el desplazamiento de las porciones estimuladas a1 variar la frecuencia, para un nivel constante de 90 db. Aunque la respuesta del oido a un tono puro no esta locali- zada en un punto determinado, las notas de frecuencia m i s baja esti- mulan princ~palmente~los paquetes pr6ximos a la porci6n inteina del caracol, y viceversa. La posici6n de la regi6n cuya respuesta a 10s sonidos puros es mixima, esta indicada en la figura 28-6. Cuando se oye el ruido de la calle o uca orquesta sinfbnica, todas Ias porciones del caracol estan estimuladas en un grado mayor o menor. La figura 28-7 es el diagrama auditivo del silbido de la sirena de un barco.

La audici6n defectuosa o sordera puede ser de dos tipos: por obstruc- ci6n y de origen nervioso, y ambas pueden darse simulttineamente en una persona. El primer caso es debido a una deficiencia del mecanismo de transmisi6n del sonido desde el aire exterior a1 oido interno; en el segundo son defectuosas las terminaciones nerviosas. La audici6n auxiliar por transmisidn dsea, que transmite directamente el sonido a 10s huesos del craneo, evita las porciones defectuosas del oido, resultando eficaz, por tanto, en el primer tip0 de sordera, per0 no en el segundo.

' Un caso de sordera por deficiencia de las terminaciones nerviosas esta representado en el diagrama auditivo de la figura 28-8. E l signifi-

. cad0 de la porci6n rayada es qile el diagrama auditivo debe extenderse por encima de ella para que exista avdici6n. Las porciones en negro de la figura corresponden a 10s diagramas auditivos normales producidos por dos sonidos de 2300 ciclos y 6500 ciclos. Una parte del primer diagrama se sale de la zona rayada y el sonido correspondiente es, por tanto, percibido, mientras que no se oye el sonido de 6500 ciclos, por encontrarse completamente su diagrama dentro del area rayada.,

El interval0 de freciiencias e intensidades a las cuales es sensible el

Nivel d e intensidad 110 d b

-3 h).-l)ingnlmas auditi~-or, de un sonido de 200 ciclos correspondien~es a dislilllos nivelcs de intc11sitl:id.

IPor cotlcsia del doclor lrarucy Flc*lc\~c,r.)

Nivel de intensidad I i

C

I

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FIG. 28-5 (b).-Diagramas nt~ditivos para 90 db y v:~rins Irecucccias. (Por corlesia del doclor Harvey I.'lelchtr.)

f):%.% ONDAS SONORAS. EL O ~ D O Y LA AUDICION [CAP. 28 SEC. 28-31 EL O ~ D O Y LA AUDICIOS

-- I J 3 J

FIG. 28-6.-Region de respuesta mlIxima a 10s sonidos puros. (Por corlesia del doclor Harvey Flelcher.)

FIG. 2S-7.-Dingmma auditivo del silbido de una sirena de barco. (Por corlesia del doctor Harvey Flelcher.)

oido se representa por un diagrama como el de la figura 28-9, que es una grcifica del cirea de audicidn de una persona de buen oido. La ordenada de la curva inferior representa el nivel de intensidad que corresponde a1 sonido m6s dCbil que puede percibirse con una cierta frecuencia. I,a curva demuestra que el oido tiene la sensibilidad mixima para las fl.ccuencias comprendidas entre 2000 y 3000 ciclos/seg, para las cuales

FIG. 28-8.-Diagrama auditivo de la sordera del nervio. (Por corlesia del doclor Harvey Fletcher.)

Frecuencia cn ciclos por scgundo

FIG. 28-9.-Area d e audici6n comprendida entre el umbra1 d e audicldn y el u m b d d e h sensaci6n desagradable.

(Por corlesia del doclor Harvey Fletcher.)

el umbral d e audicidn, como suele Ilamirsele, es aproxirnadamente -5 db. La ordenada de la curva superior corresponde a1 nivel de intensidad del sonido m6s fuerte que puede percibirse z una frecuencia determinada. Para intensidades superiores a las seiialadas por esta curva, llamada umbral de la sensacidn desagradable, la sensaci6n deja de ser una audicibn para convertirse en una sensacibn inc6moda o aun dolorosa. La orde-

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33s ONDAS SONORAS. EL O ~ D O Y LA A U D I C I ~ N [CAP. 28 ---

dad urn, la velocidad de las ondas emitidas hacia la derecha, respecto a tierra, es la suma de su velocidad respecto a1 medio y de la velocidad del medio respecto a tierra, o sea, V + Urn. Por consiguiente, en un tiempo f, una onda avanza hacia la derecha una distancia (V + urn)[. Durante el mismo tiempo, el foco ha aranzado una distancia vsl y ha emitido iot ondas. Por tanto, jot ondas ocupan la distancia comprendida entre el foco y la onda emitida en el instante t = 0, o sea, una distancia ( V - um)l - vsf = (V + urn - us)[. La distancia entre dos ondas cualesquiera consecutivas, es decir, la longitud de onda sera, por tanto:

Consideremos ahora el observador. Las oridas sonoras que pasan por cl, tienen una velocidad V + u,, pero su propia velocidad es u ~ , y la velocidad de las ondas respecto a1 observador es V + u , - u ~ . El numero de ondas que pasan por el observador por unidad de tiempo, o sea, la frecuencia aparente 1, es la razon de la velocidad relativa a la longitud de onda, esto es:

V + u r n - U ~ . I = (V + urn - ~s> l io '

/ V - k ~ r n - U ~ -= i o v + urn - us'

I sier~do la razon de la frecuencia aparente a la verdadera. l o

Cuando se aplica esta ecuacion, debe prestarse especial atencion a la c.onstrucci6n de un esquema y a 10s signos algCbricos. El esquema debe tlibujarse como en la figura 28-11, con el foco a la izquierda del obser- v:~tlor, y todas las velocidades representadas por vectores. Si en un ca:lso dado, alguna de las velocidades es opuesta a la de la figura 28-11, (IvI)c ilivertirse su signo en la Ec. [28-61. La velocidad de propagacion V :.r cwnsidera siempre positiva. .

I:.II:SIPLO 1.-Un foco fijo en el aire en calma. emite.una onda sonora de frecuen- ( . I : \ lo. ~Ct111 es la frecuencia aparente percibida par un observador que se a p m ~ m a 1 1 1 Ioro con una velocidad de valor VL?

\.t::~sc la figura 28-12 (a). Puesto que el medio y el foco e s t h en reposo, Dm = = us = 0, y dado que VL estP dirigida hacia

0 la izquierda,

v + D L

(a) / = l o 7

La frecuencia aparente es superior a la

(q frecuencia verdaderr, de acuerdo coo la

( b ) experiencia corriente.

I?IC: . 28-12. - EJEMPLO 2.-Un obscrvador se aleja de

SEC. 28-51 R E F L E X I ~ N DE LAS ONDAS SONOR.-\S 539. ---

un foco fijo en el aire en calma, con una velocidad de valor u ~ . Calcdlese la raz6n dc la frecuencia aparente a la verdadera.

Vease la figura 28-12 ( b ) . Evidentemente,

y la frecuencia aparente'disminuye cuando el observador se aleja del foco.

El estudio anterior es un caso especial en el cual os, v~ y u, son todas paralelas a la linea que une el foco y el observador. El lector interesado puede fhcilmente deducir el caso mas general.

El efecto Doppler no queda limitado a las ondas sonoras. La luz de una estrella que se aproxima a la Tierra tiene frecuencia un poco mas elevada, o longitud de onda mas corta, que si las dos estuvieran en reposo relativo. Por este procedimiento se ha obtenido mucha informacibn valiosa respecto a1 movimiento de las estrellas.

28-5. Reflexi6n de las ondas sonoras.-Hemos mencionado ya la reflexibn de ondas sonoras en 10s extremos abiertos o cerrados de un tub0 sonoro. El conocido fen6meno del eco es consecuencia tambien de la reflexion del sonido. L;a reflexion de una onda de tres dimensiones .sobre una superficie en la cual incide, puede estudiarse matematicamente por medio de 10s mCtodos aplicados en la secci6n 27-1, en el problema de la refiexior1 de ondas transver- I

sales en 10s extremos de una cuer- d' {

da. Puede evitarse este estudio matematico con ayuda de un mCtodo grafico muy util, llamado principio de Huygens. Este mismo principio es extraordinariamente valioso cuando operamos con ondas luminosas.

En la figura 28-13, el punto S @ representa un pequefio foco sonoro y 10s arcos de circunferencia aa', hb', etc., son las trazas de las ondas sonoras que se propagan desde el origen con una velocidad V. Supongamos que en un cierto instante se conoce .la forma cc' de una d Onda y se desea determinar

FIG. 28-13.-hf&todo de Huygens para deter- despues de transcurrido un inter- minar la forma de una onda. valo de tiempo f. El principio de Huygens establece que cada pynto de la onda cc' puede considerarse como un foco secundario desde el cual se propagan pequefias ondas esfericas con la velocidad V. En un interval0 de tiempo I cada pequefia onda avanza una distancia V1, y la nueva posicibn d e la onda se en-

540 ONDAS SONOHAS. EL OIDO Y LA A U D I C I ~ N [CAP. 2s

cuentra dibnjando la tangente coniuu a las pequeiias ondas, I la~nada su envolvente. En la figura 28-13, esta envolvente es la onda dd'.

Xpliquemos aliora el principio de Huygens a la reflexion de una onda sonora. Para mayor sencillez, supongarnos la onda plana aa' de la figura 28-14 (a ) que incide sobre una superficie planapija AA'. Constru- yamos las pequefias ondas de Huygens de radio Vf qhe parten de cada punto d e aa'. La envolvente de las de la parte inferior de aa' es la porci6n de la nueva onda bO. Las pequefias ondas de la parte superior de an', si no hubiera estado prese~ite la superficie, habrian avarizado hasta la posicion de 10s circulos de trazos. E n realidad, puesto que no pueden penetrar en la superficic, se propagan en sentido opuesto y su envoivente es la.porci6n Ob' de la liueva onda.

El ingulo 0 formado por la onda incidente aa' y la superficie se deno- ~ n i ~ l a ungulo de incidencia; el angulo 0' que forma la onda reflejada 06' con la superficie es el cingulo de reflexidn. Es fiicil ver que 10s triangulos rectingulos Ob'a' y Oca' son iguales, y, pbr consiguiente, 0 = 8'. Esto . es, ulia onda plana sonora se refleja sobre una si~perfi~ie plana formando un angulo de reflesion igual a1 de incidencia. Se observari qiie 6sta es la misma ley que rige 1a.reflexion de las oridas luminosas sobre 1111 espejo plano.

FIG. 18-14.---(a) Dos etapas. de la reflexibn de ona onda plana sobre una srlperficie plana. ( b ) Rellexi611 de un tren de ondas planas sobrc una sl~perlicie plana.

La iigura 28-14 ( b ) representa etapas sucesivas 3e la reflesion de ondas planas sobre una superficie plana, o puede corisiderarse tambiCn

- que representa una folografia insianfdnea de un tren de ondas planas, que incide y se refleja sobre la superficie.

Si la superficie sobre la cual se refleja el sonido es perfectamente , rigida, no hay pCrdida de energia en el proceso de reflexion. Ninguna

superficie real cumple este requisito, sin0 que cede en cierta proporci6n hajo la presion de la onda. Ademis, si la superficie es porosa, el aire que contienen 10s poros o cavidades entra en movimiento turbulento. _ E n consecuencia, se desarrolla siempre algo de calor cuando las ondas sonoras inciden sobre una superficie, y la energia reflejada es menor que la incidente. La energia perdida por la onda sonora, se dice que es absorbida por la superficie.

- 28-6. Aciistica arquitectdnica. Tiempo de reverberaci6n.-El estudio L de un proyecto adecuado de una sala de espectaculos que relina las me-

jores condiciones aclisticas fuC emprendido, por primera vez, por el profesor W. C. Sabine, de H a n a r d , en 1895. La contribuci6n d e Sabine a esta rama de la aci~stica fuC, en primer lugar, su descubrimiento de que las propiedades acusticas de un local estan determinadas, en gran escala, por la proporcibn en la cual es absorbida la energia sonora por

, sus paredes, suelo y techo, como tambi6n por el public0 presente, y, en segundo lugar, que dicha proporcion de sonido absorbido esta ligada intimamente a1 tiempo necesario para que un sonido e~ni t ido en el local desaparezca despuCs de suprimir el foco sonoro.

Cuando un foco sonoro comienza a funcionar en un local, se precisa cierto tiempo para que el sistema de ondas sonoras alcance un estado estacionario. Aunque el foco esta continuamente suministrando energia, la energia sonora en el local no aumenta indefinidamente, a causa de la absorci6n. Si suprimimos repentinamente el foco, el sonido no cesa inmediatamente, puesto que se requiere un cierto tiempo para que la energia sonora del local alcance las paredes y sea absorbida. La persistencia de un sonido en un local despub d e suprimido el foco sonoro se denomina reverberacidn.

El fiempo de reverberacidn de un local se define arbitrariamente como el tiempo necesario para que la intensidad disminuya hasta una millo- nCsima de sn valor inicial, o para que el nivel de intensidad disminuya en 60 db. Resulta que este tiempo es independiente aprosimadamente del nivel de intensidad inicial y del timbre del sonido. Existen en la actualidad aparatos que indican directamente el tiempo de reverbe- ration.

Si la absorcion de sonido es grande, el tielnpo de reverberacibn es pequeiio. Cuando ocurre asi, el nivel de intensiclad que ~ u e d e crear 1111

foco sonoro de potencia aclistica dada, tal como una persona que habla, es pequefio, y el orador tendra dificultad para hacerse oir por todo el local a causa de la pequeiia intensidad. Se dice que el local mala el sonido. Por el contrario, si la absorcibn es pequeiia, y el tiempo d e reverberacion

.5,12 ONDAS SONORAS. EL O ~ D O Y LA A U D I C I ~ N [CAP. 28

I:rrgo, las palabras del orador pueden resultar ininteligibles a causa de clue se estara oyendo todavia una silaba con intensidad apreciable, des- 1)116s de haber pronunciado la siguiente. Se ha encontrado que para s:llisfacer las mejores condiciones acdsticas el tiempo de reverberacibn tlcbe estar comprendido entre uno y dos segundos.

Las propiedades absorbentes de una superficie.se definen cuantita- liva~nente como sigue. Cuando una ~ n d a sonora incide sobre una su- ~)crficie, una cierta fraccicin de su intensidad, p. ej., a, es absorbida y (%I resto, (1 - a) , es reflejada. La magnitud a se denomina coejicienie tic nbsorcidn de la superficie. E n la tabla 28-2 est6n indicados algunos valores tipicos. Si la intensidad de la onda incidente es lo (no debe con- fundirse con la intensidad lo del nivel de referencia, que vale 10-16 n-,'cm2, o sea 0 db), la intensidad despuCs de la reflexicin es Io (1 - a); a1 cab0 tlc dos reflexiones es lo (1 - a)2, y asi sucesivamente. Para obtener la illlensidad a1 cab0 del tiempo 1, debemos calcular el ndmero de reflexio- rlcs cn el tiempo I. Esto puede hacerse suponiendo una cierta distancia rucdia entre las reflexiones, que se define ordinariamente por la espresion

Volumen del local 4 x -

Area del local 1

(csta magnitud es equivalente a una distancia igual a 213 de la longitud clc la arista del local, si es un cubo).

En el tiempo f la onda recorre una distancia Vt, y el nlimero de reflexio- rlcs en este tiempo es la distancia recorrida dividida por la distancia media chntrc reflexiones. Por consiguiente, la intensidad I a1 cab0 del tiempo t es:

V , Area - I = Io(1 - a ) 4 XVolumen

TABLA 28-2

Coeficienfes de absorcidn (Valores tipicos)

Celotex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fieltro de pelo

Lin6leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pared de ladrillo

. . . . . . . . . . . . . . . . . Tapices Vidrio . . . . . . . . . . . . . . . . . Y a o . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficientes de absorci6n

( a )

I S~~l)rrllcle del suelo, techo y paredes.

El tiempo de reverberacibn se define como el tiempo transcurrido cuando I = 10-6 x 10. Si representarnos este tiempo por T:

Area 7.- 1 0 6 l o = Io(1 - a ) Volumen

o bien, tomando logaritmos neperianos en ambos miembros:

E n la tabla 28-2 puede verse que a es una cantidad pequeiia para la mayor parte de las superficies. Por consiguiente, s610 necesitamos conservar el primer tCrmino de la serie y obtenemos, aproximadamente,

Volumen T = 0,16 x

Area x a (T, en segundos; volumen, en metros cdbicos; area, en metros cuadrados).

E n la deduccibn anterior se supuso que el coeficiente de absorcicin era el mismo para toda la superficie del local. Si no sucede asi, la ex- presicin Area x u ha de reemplazarse por

siendo Al, A2, etc., las Areas que tienen coeficientes de absorcibn al, az, etc. Basandose en la Ec. [28-71, 10s ingenie-

ros de sonido pueden calcular de antemano, con suficiente aproximacibn, cu61 ser6 el tiempo de reverberacibn de un local.

28-7. Refracci6n de ondas sonoras.- Hemos demostrado que la velocidad de propagacibn de una onda sonora en un gas varia con la temperatura. Consideremos una onda sonora plana en el aire, tal como la aa' de la figura 28-15. E l plano de la onda es vertical y Ia onda esta avanzando de izquierda a derecha. Supongamos que la temperatura del aire, y, por consiguiente, la velocidad de a

propagacibn, aumentan con la altura. Las 28-13.-ReIracci6n de ondas de Huygens en la parte superior de onda sonora. la onda tienen entonces ui radio mayor que las de la parte inferior, de lo cual resulta que las ondas variaran continuamente de direccibn como mueitra la figura. Este cambio de direc- ciOn, originado por la variacibn de la velocidad de un punto a otro, se denomina refraccidn.

E n general, la temperatura del aire sobre la superficie terrestre n o es la misma en todos 10s puntos, y resulta evidente qu la refracci6n del sonido serA un factor importante en el proceso de dete&nar la direcci6n en que llega el sonido, esto es, localizar un foco sonoro tal corno u n aeroplane distante o la explosibn d e una granada o bomba.

28-8. Interferencia de ondas sonoras.-Hemos citado corno ejemplos tle interferencia las ondas estacionarias en una cuerda tensa o en un tubo d e fluido. El fen6meno consiste en el efecto combinado d e dos o m l s trenes de ondas que pasan simultaneamente por una regibn dada. Sean S y S' en la figura 28-16 dos manantiales de ondas en una super-

FIG. 28-16.-Intcrfercncia dc dos trenes de onda de la misma frecuencla.

ficie liquida. Los manantiales se encuentran en fase y emiten ondas d e frecuencia y amplitud iguales. Las circunferencias de trazo continuo representan elevaciones y las d e trazo interrumpido, depresiones d e la superficie liquida. E n .todos 10s puntos a lo largo de linea aa' llegan simult4neamente dos elevaciones o dos depresiones; por consiguiente, en todos estos puntos la amplitud resultante es doble de la correspondiente a un solo manantial. E n 10s puntos de las lineas bb' y cc' coinciden en el mismo instante una elevaci6n y una depresibn, par lo que ambas ondas se anulan, y la superficie liquida permanece en reposo a lo largo de dichas curvas. Se dice que las ondas interfieren construcfiocrmenfe a lo largo de aa', y destructivamenfe, a lo largo de bb' y cc'. Sobre las curvas dd' y ee' se tiene de nuevo interferencia constructiva, y asi suce- sivarnente.

A partir dc la figura 28-1G cl lcctor puedc construir menlnlrncntc el diagrama rorrcspondientc a Ins onclas sonorns tridimcnsionales, sin m5s quc imaginar u ~ i a rotacion clc 1800 alrctlcdor dc un eje qoc pnse por 10s dos manantialcs. E n cste proccso las circunfcrcncias cngcntlmn csfcras, y 13s ciirvas aa', etc., origi~lail 13s supcrlicics de intcrfcrencia cons t r~~c l iva o dcstrucliva.

Si cl oitlo de un observndor sc I1alln situado en cualquier punto dc una sllpcrficie clc inlcrfcrcncia clcstructi\-a. no pcrcibir6 sonido alguno, mientras que sobrc una sl~pcrficie dc i~itcrIcrcncia constructiva la nrn- plitud clel sonido scrzi doblc, y su intensiclad, cuatro ~ e c e s mayor q r ~ c la dcbida a un solo ~nnnanlial. Asi, un ol~servaclor cuyo oido sc encuenlre sobre una superlicic tal corno la bb' pcrci11irA sonidos si cualquicra dc 10s focos emite ondns, pcro no oirj. nada si ambos emilen s imul l i nca- mente.

E n 10s auditorios se producen a vcces efectos de interferencias de este tipo, 10s que, por supuesto, son pcrturbadores y dcben evitarsc.

28-9. Difracci6n de ondas sonoras.-la su])crficic reflectantc d c la figura 28-14 se to1116 dc proposito mayor q u e la anchura del i rcn dc ondas sonoras. Podcnlos prcguntar aliora: ~ q u 6 sucederia si un tren dc ondas sonoras quc avanza corno en la figurn 28-17 encontrasc un obstaculo A que tuviese Ins dimensioncs rclativas rcprcsenta- das? E l anilisis complcto del caso queda fuera del alcance de este libro. Bastarh con dccir q u c si las clin~ensiones clel obsticulo son grandcs com- paradas con la longitud de onda dc las ondas sonoras, puede aplicarse el principio de Huygcns, corno en la figura 28-14, para encontrar la forlna de la onda reflejacla. Sin embargo, si las dimensiones del obsticulo son del mismo orden de mag-

FIG. 28-17. nitud que la longitud de oncla de las ondas sonoras, cl fen6meno es rnucllo 1-116s complicado. Una porci6n de la onda incidente se dobla alredcdor del obstaculo y cont in i~a llacia la derccha. Shpcrpucsta a estn ondn hay otra, Ilamacla rlispersa, la cual sc propaga en toclas direccioncs desde cl obsticulo, pero con una intcnsitlatl quc es dirercnte segi~n la dircccibn. L a espresion general aplicada a1 fcn6meno es la de difrnccidn.

Los efeclos de di[mccibn son d e importancia en ingenieria acustica, pucsto que la figura 28-17 puede rcprcscntar las ondas sonoras procedentes tle una persona que liabla y A puecle scr un micrbfono. L a respucsta del rnicrbfono depcndc tie las vnriacioncs cle presion e n su supcr- ficic y Cstas, a su vez, estrin d c t c r ~ n i n a d a ~ por la naturalcza particular de 10s cfectos de difraccibn. Si sc desca~l mris dctallcs dcbe consultarsc un tcxto sobrc la teoria matem6tica dcl sonido.

Los efectos de difl.acci6n sc prescntan tanibidn cuando las ondas lurninosas cncuentran un obsticulo. L a raz611 dc que la difracci6n d e

In luz sea un fcnbmeno menos familiar, p. cj., qlie la rcflcsibn regular d c 13 luz cn un espejo, es que Ins longitudes de Ins ondas luminosas visiblcs (5 x 10-5 cni, nprosimatlanlente) son tan pcquc.iias quc la nlayor pnrte d c 10s instrumcntos bpticos so11 grantlcs co~~ipamclos con cllns. P o r el contrario, la longilud de onda en el airc tle una o~ idn sollorn dc 500 ciclos es dc unos GO cm, y, cvidentemente, Ias dimensiones tle muchos apnratos ncilsticos, tales conio micrbfonos y altnvoccs, son dcl ~ n i s ~ n o orden de mngnitud. Por tanto, 10s fen61ncnos de dilracciO1.r son de importancia rclntivnmcnte mnyor en aci~stica ~ I I C en 6ptica.

I,a frccuencia limite supcrior clc un sonido nutli1)le cs de unos 1.5 000 riclosjsc~, que corrcspontien n una longitntl tlc onda en cl nire dc 2.5 cm, aprosimatlnnlente. L,ns ondas de longilud m:is cortn (frccocncia 1115s alta) que 6sta se denominan rrllrnsonidos. Estas ontlns son, nnturalmcntc, innudibles, pcro puedcn protlucirse y dctcctarse por instrumento$ mc- c;inicos o elCctricos dcl ~nismo tipo que 10s utilizados en In rcgi61l nudiblc. 1.2s dimcnsioncs de 10s aparntos p ~ ~ c d c n I~ncersc, con f:~cilitlnd, mnyorcs (11:c Ins longitudes de onda d r 10s ullrasonidos, tlc notl lo que 10s cfectos c l c . difraccibn so11 tle mcnor iinportnllcia y los ullrnsonitlos pucdcrl scr f: .ic~llncnte . reflcjados, rcfractatios, conccnlrados, ctc., lo misnio quc Ins ondas luminosas.

P R O B L E M A S

28-1. n ) Si la arnplitud de 10s cani- l~ ios de presi6n de una orida sonora sc cl~tplica, jcuiritas veces se aumenta la inlc~rsitlad dc In onda? 6) iCuantns \'cCCs t iwe q11e numcntnrse la amplitud c'.e 10s ~ . :~~nLios tlc presi611 dc unn onda sonora Imrn ~nultiplicnr In intcnsidad por cl fnctor IO?

28-2. (1) Dos o~ldns sonoras, unn en el :rirc y otrn en el nglln, ticncn igunl intrn- sillncl. ~ C u h l cs la raz6n de Ins amplitudes glr los c:uiibios tic prcsici~i de la onda en el :1::11:1 :I ]:I o~rdn cn el nire? 6) Si Ins a~npl i - Ir~(lcs tlc 10s cnrnbios dc 1)rcsibn tic nm- 11:1s otrtl:ls son igunlcs, ;cu61 cs In raz611 ( I t * sus itltc~rsidntlcs'!

28-3. ( I ) i.CuAl cs el nivcl tlc i ~ ~ t c n s i - (l:~tl C I I tll), tlc ut~u onda sollorn cuy ;~ in- Iv~r\itl:rtl cs 10-10 \v/cm? rcspccto a uns 11111.1r~itl:ld nrbitrnria de rclerencia tlc 1 . 1 la \\./c.~n"? 6) i.Cuh1 cs cl nivcl de in- [ ~ ~ ~ \ i t l : ~ l l (It, un:1 ontla sonora ell cl airc, I . I I \ :I :~nrl)lit~rd dc fariacio~ics dc prcsitin I,,. :' tli~~:r\/c.nl?'?

:OH-4. 11) DcriruCstrcse que si lr $2

. . * ~ I I Im nivclcs de intensidad en db de dos nt~l~lllo.; cuyns intcnsidades respectivns

son 11 e I?, la difcrencin tle 10s nivelcs de intensidad de 10s sonidos cs:

11) Pruilbcsc que si PI y son lac n ~ n - plitudcs dc 10s cambios tlc prcsi6n tlc dos ontlns sonoras, la difcrcncin dc los ~iivc- Ies tlc i~~lcnsit l :~d tle las ontlas cs:

r ) DcmuCstrcsc que si In intc~lsirlntl tlcl ni\.cl tlc reicrcnci:~ r s lo .- 10-16 \\.!cn12. el nivrl tlc intc~rsitlntl tlc un sonido tlc ir~lc~rsitlntl I cs:

= 100 + 10 log I.

28-5. Dos altnvoccs, ;l y If, elnitcn nntl:rs sonoras ~~rri lor~rrcnrc~rt~ en tot13s tl<rccciorlcs. El rcndirnicrrto cn potcncin nci~stica cle .-I cs de S x 10-4 w, y el de B, 13,5 x 1(J-4, w. X~ribos altavoces \'i- bran en fase, con una frecuencia de 153 ciclosjscg. a) Detcrmlnese la diferencia de fase de las dos sefiales que Ile-

PROBLEMAS 547 i !

gan al punto C, situado a 3 m de B y a 4 m de A. b) HAllese l a intensidad en C del altavoz A cuando deja de emitlr B, y la intensidad cn C del altavoz B si se ciema el A. c ) ~CuA1e.s son la intensidad y el nivel de Intensidad en C cuando funcionan ambos altavoces? 28-6. La intensidad debida a un

cierto ndmero de focos sonoros indepen- dicntes es la suma de las intensidades de cada uno de ellos. LEn culntos decibeles aumenta el nlvel de intensidad cuando gritan al mismo tiempo cinco quintillizos, que si lo hace uno s610? ~ C u l n t o s nifios habria que reunir para producir un in- c r e m e n t ~ posterior en el nivel de intensidad del mismo ndmero de decibeles? 28-7. Una ventana cuya superficie

es 1 ma, estA abierta 2 una calle cuyo ruido produce un nivel d e intensldad, en la ventana, de 60 db. ~ C u l n t a energla acdstica penetra por la ventana por medio d e las ondas sonoras? 28-8. a) ~CuAles son 10s limites su-

perior e inferior del nivel de intcnsidad, a la frecuencia d e 200 ciclos/seg, para una persona cuya Area auditiva es t l representada por el grAfico d e la figura 28-91

b) jCulles son las frecuencias m l s alta y mAs baja que puede oir cuando el nfvel dc intensidad es de 40 db? 28-9. Dos sirenas, -4 y B, tienen

una frecuencia de 500 ciclos/seg. A esta fija, y B se mueve hacia la derecha (alejlndose de A) con una velocidad de 60 m/seg. Un observador situado entre A y B se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 30 m/seg. T6mese como velocidad del sonldo en el aire 330 m/seg. a) ~ C u f l es la irecuencia de A a1 ser percibida por el observador? 6) LY la de B? c) ~ C u a l es la frecuencia de la pulsaci6n que llega a1 observador? 28-10. Un tren r lp ido se mueve, en

el aire en calma, a la velocfdad de 30 m 1 por segundo. L a frecuencia de la nota emitida por el silbato de In locomotora es 500 ciclos/seg. ;CuA1 es la longitud

I de onda de las ondns sonoras: a) delante, y b) detr l s de la locomotora? iCuAl serf? 1 la frecuencia del sonido percibido por un observador inm6vil: c) en frcnte: d ) detrhs de la locomotora? iQu6 frecuencia. perclbirfa un viajero dc otro tren que llevase una velocidad dc 15 m/seg, y 1 e) se aproximase, 1) se alejase del pri- I mero? g) jC6mo se modifica cada una de las respuestas anteriores si sopla un vicnto de 9 m/seg en el mismo sentido en que se mueve la locomotora?

i 28-11. U n foco de ondas sonoras S

I que emite ondas de 1000 ciclos/seg, se I mueve hacla la derecha en el aire en calma con una velocidad de 30 m/seg. i A la derecha del foco se halla una gran superficie reflectora que se desplaza hacia la izquierda con una velocidad c de 120 m/seg. a) iQu6 distancia reco- I

rrerA en 0,01 seg una onda emitida? i b) &CuAl es la longitud de onda de las f ondas emitidas hacia la derecha del foco? c ) &CuAntas ondas llegan a la supcrficie receptors en 0,01 seg? d ) &CuAl es la velocidad de las ondas reflejadas? e) &Y su longitud d e onda? 28-12. El piso de un local mide 5 m

por 10 m, y el local tiene 3 m de alto. n) iCull es el tiempo de reverberaci6n, si el coeficiente medlo de absorcidn de , todas las supedicies es 0,051 b) &A quB valor quedaria reducido el tiempo de rcverberaci6n si se cubriese el techo con Celotex y se cubriese el piso con una alfonibra? 28-13. HAllense las longitudes de

onda; en cl aire y en el agua. de ondas supers6nicas d e frecuencias: a) 50 000 ciclos/seg; b) lo6 ciclos/seg.

BIBLIOGRAF~A RECOMENDADA

~ I E C ~ X I C A I t ii . CAJORI, F.: A History of Physics. h1acmillnn. I t ! COURANT y ROBBISS: iQut es la ;\lalenzulica? Aguilar. I

LEXARD, Philip: The Greut illen 01 Science (traduccion d v H . S. H a t - I f : field). hIacmillan. !( 7

LIXDSAY, R. B.: Handbook 01 Elementary Physics. Drydcn Prcss. MACH, Ernst: The Science o/ Jlechanics ( tnducci6n de T. J. 3IacCor1nacli). u

T h e Open Court Publishing Co. (! ~ I A G I E , W. F.: A Source Uoofi in Physics. JIcGraw-IIill. TAYLOR, W. L.: Physics, The Pioneer Science. I-Ioughton 3Iifllin.

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A~IERICAN INSTITUTE OF PIIYSICS: ~ e m ~ e r a t u r e : ~ e i n l i o l d . KEENAN, J. H.: Thermodynamics. Wile];. LOEB, L. B.: Icinetic Theory of Gases. JlcGra\v-I-Iill. TYSDALL, J.: Heat Considered as a -?lode o/ Jlotion. Appleton. ZE~IANSI<Y, ;\I. TV.: Heat and Thernzod!lncmlics. AIcGraw-Hill.

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TABLA DE FACTORES DE CONVERSI6N

LOSGITUD: 1 m = 100 cm = 1000 mm. 1 I<m = 1000 m = 0,6214 milla. 1 m = 39,37 pulg; 1 cm = 0,3937 pulg. 1 pie = 30,48 cm; 1 pulgada = 2,540 cm. 1 milla = 5280 pies = 1,609 I<m. 1 A = 10-8 cm; 1 p (micra) = 10-4 cm.

V o ~ u n r ~ s : 1 litro = 1000 cms = 10-3 m3 = 0,0351 pies3 = 61 pulg3. 1 pie3 = 0,0283 m3 = 28,32 litros; 1 pulg3 = 16,39 cm3.

PVERZA: 1 dina = 2,247 x 10-6 Ib = 10-5 newton. 1,383 x 104 dinas = 0,0311 lb = 0,1383 newton. 4,45 x 105 dinas = 1 Ib = 4,45 newton. 105 dinas = 0,2247 Ib = 1 newton.

~ I A ~ A : I g = 6,85 x 10-5 slug = 10-3 IZg. 453,6 g = 0,0311 slug = 0,4536 Iig. 1,459 x 104 g = 1 slug = 14,59 Iig. 103 g = 0,0685 slug = 1 I<g.

P n ~ s 1 6 s : 1 a tm = 14,7 Ib/pulgz = 1,013 x 106 dinaslcm2.

ENERG~A: 1 julio = 107 ergios = 0,239 cai; 1 cai = 4,lS juiios.

. 1 electr6n-voltio (ev) = 10-6 >lev = 1,60 x 10-12 erg = 1,07 x uma. 1 uma = 1,66 x 10-24g = 1,49 x 10-3 erg = 931 blev.

SOLUCIOSES A LOS PROBLERIAS IIIPARES

DE FINAL DE CAP~TULO

(La primera o dos primeras cilras en negrila sc rclieren a1 cupilulo.)

NOTA.-Los datos cn 10s proble~nns sc suponc~i con tres cifras csactas (cs dccir, 2 cm cquivalc a 2,00 cm) y , en general, las rcspucstas tlcben tlarse con tres cifras (aprosin~acicin de la regla de calculo.) En Ins solucio- ncs se dan s61o dos cilrns cn la mayoria tlc 10s casos. El prop6sito no es el de dar soluciones quc dcban coincidir eraclornenle con las calculadas, siuo quc sirvan

s610 de orientaci6n.

1-3. a ) 13 Kg; b) 0,2 Iig. 1-5. 23.5 I ig en la direccibn ncgativa

del ejc I'. 1-7. 0) 7 I<g; 2,9 Iig; b) 7,G I<g;

d ) 11 Iig. 1-9. li = cero.

2-5. a) 150 IZg en A; 180 I<g en LI; 200 I<g en C. b) 200 I<g en A; 280 I<g cn B; 200 I ig cn C. C) 550 I ig en -4.; 670 I<g en D; 200 Jig en C. d ) 167 1<g en -4; 58 I<g en 11; 125 I ig en C.

2-7. a) Pueden rcsolversc las partcs b) Y c)- b) E n la parte a) es nccesario conocer otro lado o dngulo.

, 2-9. a) 7,s I<g; b) 90 Kg; c) 313 Kg. 2-11. 1370 l ie. " 2-13. a) cero; b) 5 IZg; c) 8 IZg; d) 4 Iig;

e) 4 Iie. 2-15. ;w /(coLpf sen ?) 2-17. L)eslizando hacia abajo para O =

=330, y hacia arriha para 0-370. 2-19. b) 10 Iig; c) 1 I<g. 9

2-21. w s e n ~ + p c o s ~ L - ~ l j ~ cos a 4- p sen r

2-23. u) F= w/2 sen 0. b) T = ( W cot e)12.

, / d) a 60 cm del extremo dcrecho

de la bnrra. 3-5. U) 1.'~=3'1 Kg; F C = l S Jig; 6 )

V,4=35 lig; V a = 1 5 Jig; c) 1311 el p ~ ~ n t o A , 45 I i g liacia la dcrccha, 35 I<g hacia abajo. En el punto C, 45 I ig Iiacia la izquierda, 17 1ig hacia arriha. E n el punto B, 18 l i g hacia arriba. f

3-7. 1200 Kg. 3-9. a ) 8 Kg; b) 36 Kg; 14 Kg. 3-11. Cada guia cjerce una fuerza de

100 Jig. 3-13. TI= f i = G ton; T2= i ,5 ton; F2=

= S ton. 3-15. 332 I<g. 3-17. Ii=0. El sistcnla cquivalc a un

I par dc momento -r=130 Kg-m.

3-21. Se cncucntra a 219 crn del estremo menor.

3-23. u) 1; b) 450. 3-25. 81 I<g por encima de la horizon-

tal y formantlo con esta un Angulo tle S2o 3G'. I

3-27. a) 7,5 I<g; h) 2,5 Kg sobrc cada pats frontal y 10 I ig sobre cada pata trasera; c) 4,375 i i g sobre I cada pnta frontal, 8,123 I<g sobre catla pata trascra; d) 100 cm por cncima dcl suclo.

3-29. Una fucrza total d e 11 ton sobre las rucdas froniales, y de 14 ton sobrc 13s trascras. I

! 6 - 3-1. La resultante dc un par cs cero,

i pcro una fucrza nula no produce 4-1. 0,0037 millaslseg=13 millas/h= el mismo efccto que un par. = 600 cm/scg= 200 pieslseg. 1 3-3. a)-6 Kg; 10 Kg; b) 513; c) 11,7 IZg; 4-3. a) 5 cmlscg; -4 ctnlseg; b) 8-

1 1 536 SOLUCIOSES A LOS PR@I3LEJI..\S D E FIS:\L D E C-XPITULO

\

-G1-331; C ) S-Gl; d ) 1=1,3. c ) - G cmlscg'.

4-5. ti) +45 clnlscg" hncia In dcrccl~n; b ) -45 cm!scg', hnci:~ la izc[uicrtla; C ) -45 CIII/SC~') , hacia la izquicrtln; d ) +.I5 cm/scg?, hacia la dcrcchn; c ) -120 cm/scgg, hncin la izquicr- d3; I) +I20 clnlscg?, hacin la dcrccha; r/) ~ ~ r i c a m c l l l c ell b) y d ) .

4-7. 24 lnlscg. 4-9. a ) 13 m; 6 ) 40 In. 4-11. a ) 2-1 pics/scg; b) 0,i3 seg; c )

0,3S scg; d ) G,S pics. 4-13. (I) 2S,G rulscg; 6) 37,G 111; c ) 1G . .

~n / scg ; d ) 4S ln/scg?; c ) 2 -sea;, 1) 2S,G mlscg. p l + Q , ~ / r , > I ?:

4-15. a ) uo=S,4 lnlscg;' b) 10,s' n;; c ) 24 nllscg. 'Irl.5 -/I

4-17. a ) 4 ~nlscg; 6 ) G m:scg; c ) 4,.5 In. 4-19. U=ol+Sl; x=~oflk~l+-Il ' .

La ~clocitlntl y abscisa inicialcs. 4-21. a ) S pieslscg; b) para 1 = i 2 scg;

C ) -3'2 pics/scg?. 4-23. a ) rl=10+20 1+S P-13;

b) zz=lO l+S 12-13; C ) u12=1Of l G 1-3 12; . alz=lG--6 1.

$ 4-25. o ) 4 pics; 6 ) -8 pies/scgc; c ) l =

f: - -2 seg; d ) Sc r n ~ c \ ~ c durantc 2 scg hacia la dcrccha, p, despu8s, ha-

-cia la izquierdn.

. - 4-17. U = ~ - I X + G X ? + 100. 4-29. E l que va cn cl botc, 40 Inin; el

que va andnndo, 30 mill. 4-31. a ) 0 y 20 Iirnjh hacia el Oestc;

b) 34,G Iim/11 hacia abajo; 40 l<m/h, formando 300 con la vertical.

5-1. 9S0 lb. 5-3. a ) 2,5 cm; 1 cmlseg; b) 20 cm;

2 cmlscg. 5-5. a ) 1,G2x 10-10 dinas; b) 3,33x

x 10-9 seg; c ) 1,s x 1017 C I I I / S C ~ ~ . 5-7. 32,50 en tlirecci611 SO; 1,12 ~nlscg?. 5-9. a ) 3,9 1nlseg2 hacia abajo; 6 ) acc-

lcraciGn nula; c) 4,9 1nlseg2 hacia arriba.

5-11. a) 59 new; 6) movimicnto uniforme; c ) 6,25 mlseg.

5-13. b) 1=40 scg; c) 50 cm; d ) 250 cm. 5-15. a ) 7,2 new; b) 82 In; c ) 41 mlseg. 5-17. 2 s m. 5-19. a ) 630 pies; b) 1000 lb.

I 5-21. Una fuerza de rozamiento de 8 Kg.

5-23. 0,41. \

5-25. a = g (sell 0-tg a cos 0). 5-27. (1) 370; b) 2 mlseg2; c ) 2,5 seg. 5-29. (I) tcnsiGn=l Ib; b) 1,03 Ib. 5-31. G3,7 I<g. 5-33. a ) O,S3 scg; b) 59 new. 5-35. a ) 200 cm/seg2; b) 3.1 x 105 dinas.

. 5-37. a ) hacia la izcluierda; b) O,G5 mlscg" c) 43 I<r - .

5-39. n w 2 m f l .

41nl+rnz' 4ml+rn2 5-41. a ) 1G pics/scg'; 6) 27 lb; c) 21 1L.

5-43. a1 0 2

6-1. ISO ~)ics/seg. 6-3. (I) IG,S cm; b) G7,2 cm; c ) 153,2 cln;

d ) 4.9 In. 6-5. 11=5000 pics; R=5200 pies; v =

=G-I0 picslscg; 0=630; 1=1S scg. 6-7. tg 0=2 ~2/gh. 6-9. a ) 40 scg; b ) 5 5 O . 6-11. 5,1 I I I ~ S C ~ .

6-13. a ) 200 pics; b ) 1G5 piesjscg. 6-15. a ) 90 cm; b) horizontalmel~te. 6-17. 0= 100 5G'; 3,.19 scg; 1-1.9 rn.

0=790 19'; 18 scg; 39s m. 6-19. (1) 7 seg; b ) x=202 In; y=34 nl. 6-21. (1 ) G70 pies:sc&; 6) 2700 pics;

c) u,=530 pieslseg; u,=5GO pies/ seg.

7-1. Xo; v&ase, p. ej., el problema 7-5. 7-3. Si las masas estS11 colocadas cn

orden numeric0 crccicnte ell el selltido de las agujas del reloj, y con la masa de 10 g en el origen, se tiene: *=I4 cm; v=10 cm.

7-5. h 4-1 cm del estrcmo mas pr6si- mo a la masa de 20 g.

7-7. -4 4735 I<rn del celltro de la Ticrra.

7-11. GO cm \la.plancha se desplaza 3 m). 7-13. a ) 12 In; b) a 19,2 m del edificio. 7-15. .i\rroja fuera parte clcl cargamento.'

Cuai~do no actda fiierza esterior, el centro de masa sigue movikn- dose en linea recta.

I - SOLUCIOSES A LOS PROBLEMAS DE FINAL D E CAP~TULO 557

7-17. A una distancia del vertice igual a 314 del lado mayor.

7-19. a ) 14 pieslsegz; b) sobre cada pata frontal, 26 Ib; sobre cada pata trasera, 5.7 lb.

7-21. 73 pies; 1,7. 7-23. T=S98 Kg, F=225 Iig. 7-25. a) Sobre el eje a 4 cm de la base;

b) 98 000 dinas. m l m s 7-27. a) T = - -

ml+mn. '

7-29. a ) 32 Kg; b) 29,4 mlsegz; c ) 9,s mlse$.

8-5. 350 jukos. 8-7. a ) +6 lb contra la fuerza;

b) 1-48 lb contra la fuerza; c ) 24 libras-pie.

8-9. 3 x 104 cmlseg. 8-11. 4,5 x 10-10 ergios; 4,5 x 10-17 julios. 8-13. a ) 10 Kam: 2.5 I<am: " ,

b) 0,625-1<~m: 8-15. a ) 24 I<gm; 6 ) 24 I<gm. 8-17. a ) 3300 libras-pie; b) 1300 libras-

pie; c ) 1500 libras-pie. d ) 500 libras-pie; se transforma en calor; e) b + c + d = a .

8-19. 37 500 Kg. 8-21. 0,25. 8-23. 10 cm.

~ - . . . . . . 8-25. a ) 1470 m;'2940 m; b ) 735 m. 8-27. a ) 4S5 cmlseg; b) 7,5 cm; c ) 7 I<gm. 8-29. 8 0/,. 8-31. a) ' i ,4 mlseg; b) 8,4 m/seg2. 8-33. 740 CV. 8-35. a ) 303 mlseg; b) 150 000 Kgm;

c ) 160 000 Kgm. 8-37. 107 CV. 8-39. 58,SS x 0,75=44,16 ptas. 8-41. a ) 75 000 Kg; 6) 40 mlseg. 8-43. 73 pieslseg. 8-45. 33,5 ICg.

9-1. a ) 8503 utm-mlseg; b ) GO I<m/h; c ) 42,3 I<m/h.

9-3. a ) S x 105 mlsegz; b) 4 x 104.newtons; c) 5 x seg; d) 20 new-seg.

9-5. a ) 12755 utm-mlseg; b) 22,5 I<m/h; c ) 40 000 1<gm.

9-7. a ) Cero; b) 4 m/seg, hacia la iz-

quierda; 1,5 mjseg, hacia la izquierda; c) 33 julios.

9-9. 19,2 new. , 9-11. 1,026 I<m/h.

9-13. 2S0 mlseg. Observese que l a E C inicial de la bala no es igual a l a EP final del pendulo.

9-15. a ) 0,16; b) 240 julios; c ) 0,32 julios. 9-17. a ) 5 x 106 ergios; b) 100 cm lseg;

c) 10 000 cmlseg. 9-19. a ) 5 muz/ll; b) 0,33. 9-21. a ) 10 pieslseg; b) 11 pieslseg;

c ) 8 pieslseg. 9-23. a ) 10 seg; b) fragmento de 8 Ib,

100 pieslseg; fragmento de 2 lb, 100 pieslseg; c) 25 lb-seg; d ) 25 000 lb; e) 340 picslseg.

9-25. a) 0,71; b) 2 pies-libra. 9-27. a ) 41 cm; hn=lOO (0,64)ncm; 10;

b ) 0,72 seg; tn=0,9 (0,S)n; c) 0,s. 9-29. a ) V I = ~ F L

b) uz= GL cos O

C ) v = m SL (1- M

9-31. 3 x 10-4 g.

10-1. a ) 1,5 rad; b) 1,57 rad; 900; c ) 120 cm; 120 pies.

10-3. a ) 5,89 m/seg; b ) 230 rpm; 10-5. a ) 5 radlseg?; b) 1000 rad. 10-7. 20 radlsegz. 10-9. b ) ~ ~ - 0 ; aR=02R;

c ) Si, a ~ = Rr; Si, a ~ = Rot . . 10-11. a ) 40 x radlseg; b) 132 rr rad;

c ) GOO x pulgjseg; d ) $4 002: pulg/seg2.

10-13. a ) 0,24 radlsegz; b) 20 rad. 10-15. a ) 3,06 mlseg2 y formando un

Bngu!o de 540 con la dirccci6n de l a velocidad inicial. b) 4,17 mlseg2 y formando un hngulo de 720 con la velocidad inicial. c ) 4,21 m/seg2 y formando u n angulo de 810 con la velocidad illicial. d) 4,23 mlseg2 y formando u n angulo de 900 con la velocidad inicial.

10-17. 163 SO0 rpm. 10-19. a ) Gira 1350 a partir del punto

mas alto; b) 71 cm/seg2; 33 c~n/segz.

10-21. La acelcraci611 es tangente a l a trayectoria: a ) a 600 la aceleraci6n resultante vale 6 1 2 ;

SOLUCIONES A LOS PROBLEhfAS DE FINAL DE CAP~TULO I, b) a 370 la aceleraci6n resultante es 0,6 g=59 rnlseg2, independientemente de la longitud de l a

a) 40,8 mlseg2; b) 253,3 Kg; c) 253.3 I<g; d) 4,85 mlseg. s= 1 / S b ~ / 2 h . a) fJ=llo; b) (6,2) (masa del aeroplano en slugs); b) 33 m (g=32,2 pies/seg2). a) La fuerza de rozamiento hacia arriba, igual a mg; la luerza normal hacia adentro; b) 40 pieslseg; c) vertical, 320 Ib; horizontal, 800 Ib. a) 10 ton hacia abajo; b) 2 ton hacia arriba;, c) tiene un coeficiente de seguridad igual a 2. a) 15 lb; b) 5 lb. 310 g. a) 596,s Kg-m; b) 2652 Kg; c) 56,52 mlseg. a) 16 HP; b) 280 Ib-pie; 840 Ib-pie; c) 210 Ib; 720 Ib.

a) 2 L/3; b) 3 mL212; c) mL216; a) k=1,22 L. 7 AiL2148. 8,s cm. a) E l de menor momento d e inercia es el A; el de mayor, el D; b) 4mRa/3. 13:lfR2/24. 112 d l R2. a) 4 rad/segz; b) w=14 radlseg; c) 32 000 Ib-pie. 4,2 lb. a) 15 Kg-m2; b) -1,8 newtons-m; c) 92 rev. a ) 9,8 x 105 g-cm2; b) 1,l rad/seg. a ) 10 -2 seg; b) 400 ~ 3 1 3 rev. a) lO,66 I<g; b) 16,17 m/seg; c) 2,45 seg. a) 5,7 pieslseg; b) 16 lb-pie; c) permanece constante. a) 240 cmlseg; 320 cmlseg. b) 5 x 105 g-cm; c) 1600 cm/seg2; d) 780 cmlseg2; e) una tensi6n de 51 000 dinas. a ) 0 = 2 1/m b) 4 gM/3.

12-1. a) 18 mlseg; b) velocidad nula; c) 36 m/seg en la misma direcci6n; d) 25,5 mlseg, 450 por debajo de la horizontal; e) 2 mlseg, en djrecci6n opuesta a la del a o - vimiento de la locomoton: f ) en 10s puntos situados a 90 crn del eje instanthneo, la direcci6n de la velocidad forma 600 con la nori- zontal.

12-5. a) 25 I<g; b) 30 I<g. 12-7. a) a = 16 pieslseg?; b) 16 rad 3eg2; '

c) 2 x pies. 12-9. a) 0,25; b) 100 cm. 12-11. a) 1,2; b) 1 (inclulda la energla

cinktica de rotaci6n). . 12-13. a) La fuerza de gravedad y la

fuerza normal, ambas perpendiculares a la superficie; b) 2 seg;

'c) 160 cm. 12-15. 15 min. 12-17. aR=20 g/7; ~ ' ~ = 5 g / 7 (;Obs+r\-ese

que no es a ~ = g ! ) . 12-19. a) 330 cmlseg. b) E C T = ~ , ~ x 106

erg; ECn=2,2 x 106 erg; c) 79 cm. 12-21. a)-;= d m ;

b) 4-p; C) h = 7 (R+r)/17.

12-23. a) 55 cmlsegz; 28 rad/segT; b) 6000 erg; c) 37 cmlseg.

12-25. 2 pieslsegz; 2,5 lb. 12-27. a) 3,64 utm-mzlseg; b j 5,68

radlseg; c) 3,64 Kgm; 10,31 Kgm. La dilerencia procede del trabajo realizado para ncercar las pesas.

12-29. a) 6 rpm; b) 6 rpm. 12-31. a) -0,05 radlseg; b) 720; c) 90°. 12-33. a) Cero; b) 2 radlseg, en sentido

contrario a1 de las manecillas

1 12-35. YTZ6 dinas-reg; 13 x 1 V erg; bj 2xl04'erg; -

c) en el primer caso el pivote ejerce 61 mismo una impulsi6n, de mod0 que laimpulsi6n f o l d no es la misma en ambos casos.

- - SOLUCIOSES A LOS PROnLEhIAS D B FISAI. DE C.%P~.TUI.O 9-39

13-1. 20 x 103 I<g/mm'. 13-3. b) 22 x 103 I<g/mrn?; c) 22 I<g/rnm?. 13-5. a) 315 cm; b) 4G0 I<g/cm? cn cl

accro; 038 I<g/cni? cn el cobrc; c ) 2,235 en el accra; 7,Sl x 10-4 en cl cobrc.

13-7. 0,Sl lnm. 13-9. SI'/2. 13-11. S13,G Kg. 13-13. G-1,0071 Il1ipic3. 13-15. -6 x 10-4 (tlismi:1uci6n):

i - 7 x 10-4 (aumcnto). 13-17. cr ) 0,0033 Ins aristns paralclas a

1.'; 0,0003 las aristas ~)crpctitlicu- lnrcs a P; b) 0,0015.

13-19. n ) lo largo dcl cjc Z, F (1 f IS) /1'L?; .I lo largo tlcl cjc Y,-I* ' (1 -!-a)/17L?; a lo largo dcl rje .Y, ccro.

12-37. n) 40 000 dinns-scg; b) 0 = 3 mdlscg.

12-39. (I) 180 000 dinas; b) -1300 rpm.

15-1. a) 1,9 x 1016 ton; b) 2,4 x 106 pics=450 n~illas.

15-3. n) 5 x 10-6 cm/scg2 a lo largo de la rnctlintriz tlcl scgmcnto AB; b) 0,s x 10-3 cn~!scc.

15-5. <;..I -- 1 3y tlitlns:g. lormando UII

:ingulo tlc 390 con la rcctn quc uric ;t con cl cctilro tlc la cslcra nlnciz:~. (in-'1.3 y tlitiasig Ilncin la csIera tn:lcizn. 1',4 ?:: - 621) .{ (*rg ;&r.

\.,;=5 I oil crgig. 15-7. 1.3 ntmccib~l tlcl Sol cs 2,4 ~ c c c s

Innyor quc la cjcrcid:~ por In Ticrra. 15-9. n) 1 , i x 1113 m l ~ c a : b) 0,S7 m;

c) (i,(i In; (1) 2.1 x1.g. -. . . . . -. .

15-11. (I= ~ L ! / I ~ I ; / ( R ;.: 11). clue sc reduce n fl2!;5; si 11 cs tlcsprcciable rcs-

14-27. a ) (src/3) ,/=; b) (2x13) dlrn.

14-3. a) x = l O + j sell h ) F=75 ri2 sen rrl; C) x=10 cm;

b) Xula. 13-21. n) El csfuerzo cortante en A vale

2100 lb/pulg?; en B es cero; b) en -4, una tensi6n dc 900 Ib; C) en l3, una compresi6n dc

. - - - - - - - 1 15-21. u) I:=-<mm'.r/R3, si .7: es pcquciio I rcspecto a R; -- I - b) I= dyn~ / l i " /3z .

pccto a It. l5-l3. x = l , 4 It- 15-15. a ) 2.5 y dinaz; b) 1, l y, formatido

UII Bngulo dc %,Go con la rccta AD: c) -15 y cry; d) la misma que I'

900 Ib. i cn cl punto C, pucsto que cl 13-23. 53 ncwtons-m. I potcl~cial cn I) cs cl mismo que 13-25. 0,005. I en I?. 13-27. a) 17 Ib-pie; b) fl,r)C@G7 ra(]= 15-17. 2 j: 1(1" I i K .

= 0.0370. 1 15-19. G p = y J I / ( L + I ) -4, que so rcducc I I

a y.ll/..l? si A es muy grandc rcsnccto a I..

(1) x z . 5 cm; x = I 5 cm. 14-5. o) 2,s cm; bj.1,3 cm; c) -1,3 cni,

por dcl~njo de su posici6n dc erluilihrio y 0,236 zeg despues dc abandonarla.

14-7. u ) 3,5 seg-1; h ) 1 GO 000 erg. ] nsccnsionnl si sc ulilizn hrlio. 14-9. .41>A2. I 16-7. (I) -1500 11,; b) 1 0 noo 11); C) 230 ~ b . 14-11. (I) L1=35 cm; L 2 = 3 cln; bj 1 scg. 1 16-9. CI) 100 Il)/pic3; b) il1tlical.i 5 11), 14-13. 979,78 crnlseg?. y I), 15 lb .

, 14-15. n ) 40 rad/scg; b) 3-1 ratl/seg; 16-11. 0,781 g/cnP. c) 120 rad/scg, en el sentido dc 16-13. b) 2 I<&; c) 32 dm3. ]as agujas del rcloj. 16-15. 8100 Kg-m.

14-17. u) 9 viblseg; b) 20 x 106 Ib/pulg?. 16-17. n) 5.1 x 10.5 Kg-rn; b) cl par recu- 14-19. a) 29 cm; b) l , 5 scg. 1 pcrador es 68, S i x 10s lig-m. 14-21. a) 17,25 cm; b) 70 rad/seg. 16-19. 13 720 dinns/cm?. 14-23. El p6ndulo de torsibn, 60 vibra-

ciones; el otro, 40 vibraciones. 14-25. 99 cm por debajo del pivote.

16-21. a) 70,7 cm d e Hg; b) 712 cm de Hg; c) 11 cm.

16-23. 4,3 cm.

3GO SOLCCIOSES A LOS 111<OBLE31AS DE PlN,\I. DE CAP~'I.UI.O SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE F I S A L DE CAP~TULO -- - - . . - - - - -- - 561

16-25. 3,s cni. 16-27. 40 'dinas/crn=. 16-31. 2a/I?. , .

O r - b) a+ -; 17-1. n ) 10,s-1 mlscg; 6 ) 5,32 litroslscg. 3

17-3. a ) l ,5 l litros/scg; 6 ) 90 cn . 612 17-5. a ) +&em; 6 ) U?lrs9~,~)h $h'.! \ C ) a+ j 17-7. a ) 0,2 pics3/scg; b) 4,7 pics:

c ) 3 pies. I 19-15. n) 2SS c11i3; 6 ) S9fi I<gsi; 17-9. a ) A 05 pics dc la proyccci6ri vcr- ( c ) 42G.G Iical; (1) 1,S22 x 105 Iigni

tical dcl orificio: (cl tm1)njo rc:~lizatlo por la glicc- 1

6 ) una fucrza vcrticnl tlc 21 Ib; I rinn cs trcsl)rcciablc).

c ) una fucrza horizolltnl tlc 120 1b. , 17-11. n ) 2,s scg; b ) G300 Ib/l>ic'=43 / 20-1. S6 -lo(l calftlia.

Iblpulg?; C ) 4700- lb/])ulg?. 1 20-3. l , l 3 caljscg; 4 % a t m ~ C s (!el 17-13. u1= 2/2r~h:lz'/(.-12?- 1L,t). I accro, y 96 0,/, n trayits del cobre.

'\ 17-15. 0,565 I ig /cni~ . 20-5. a ) 320 cnl/scg; 6 ) 310 caliscg. 17-17. a ) 1,s n,/scg la partc filic]ia; 20-7' a] 3,1 %; b, 390x10 ' dinas/c1n2.

0 m/scg r-11 13 1)3rle C S ~ ~ C C I ~ ; ~ ; 20-9' f l ) 4'J°C; b) 2,' callscg. 6 ) 0,172 I<g/cli~?; c ) 13,G cnl. I 20-11. n) dEl=xdr; 6) 200 cnllscg.

17-19. ~a pnrtc -.I t ic~ic c~ tli;iilictr.o ! 20-13. II= 'io:' [ ( ' ~ - - ' 1 ) + ( ~ (c-':)"! 111a).or, y In I3 cl m6s ])ctl~~cfio. ' L

17-21. n) 0,0S3 pics3;scg: b ) ~ 2 0 ~ . b) -11 Ibll)ul~?. i

17-23. 1,6 x 106 d i rk - i t n . 21-3. O*C, qucdando 0,2 g de hielo. 17-25. 25,O CP. 21-5. 24OC. 17-27. 6 ) 2p grna31h. 21-7. 40oC. 17-29. 0,03 cnl. 21-9. 1,s I<g. 17-31. a ) 0,33 cnilscg; b ) 55 cmlscg. 21-11. 1100~ .

l,G pics. 20,047 nim. 2 x 10-5 por gmdo ccntigrndo. 0,l-1. a ) 1,2 x lo-.'; b) adelantar6 5,2 Scg por dia. 0,63 c1n3. 12 x 109 dinaslcm?. La tcnsi6n ell el acero cs tle 1s Iig/lnni', supo~iictitlo quc 1:) barra dc In1611 cs lo stlfiricntc- nicutc allclia como para 110 csl)c-

21-13. 0,01 Iig. 21-15. n) 16 ,155 ligm; 6 ) -199 Iical. 21-17. 357 m!scg.

2.68 lig/cn$. -3,?5? $1: :, u ) 0,75 atni; 6 ) 2 g. '; n ) 2,l-1 m; b) i , i S lig!!c~~i~. n) 0,3G cm; 6 ) 0,20 c~ii . n ) Ccro; 6 ) 4200 cal; c ) 1S00n julio.: (1) 230 litros. 5 1.10 I i . n) 1.ino 1;; O,G2 atm; 4,9 atnl- lilro; calor nbsorbitlo igual a.ccro: -4,O ntm-litro. 6) 300o Ii; I,? atm; ccro; ccro; ..--

riliic~:tar dcformaci"n ],or cl 'cs- ! ('cru.

fuerzo de tcnsiJ11. 22-15. 295,3 litros.

18-19. 4.5G attn. i 22-17.

be -45,5 atm-litro; C(1 0

, . .'. .. ~

. . ,,, .... $L.. . .<. : .. .

-? ... . 7- >+ . . i * *. ,-a.

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.1-,; .C *,.,. . ,. >,. ... . <...,. ,.,. . . $.' $ , -1 ' . .,, , . .

t .

'...

Proccso AV

ab 1200 cat; bc 0; cd -1200 cal.

22-19. a ) ab es ~d iabd t i ca (mayor pan. diente):

. . 6 ) P b = 2 atm (=PC); C ) Tb=3000 K; Tc=600° K; d) V,=S litros.

22-21. 0,026 atm-1. 22-23. a ) 50 pieslseg; b) 36 pieslseg.

23-3. a ) 110C; b) 9 Kglcm*. 23-5. 140 atm. 23-7. 68 cm de Hg. 23-11. a ) 25 litros; bj 6,O litros; c ) 54 g de

soz. 23-13. a ) 37%; b) 6,5 mm de Hg;

c ) 6,4 glm3. 23-15. 16 0/,.

24-1. 65 %. 24-3. 93OC. 24-7. 15 %. 24-9. a ) 32 Btu/oF; b) 180 B ~ ~ / o F ;

C ) -29 BtuloF. 24-11. a ) Tj=OOC; se funden 80 g de

hielo. b) 5,9 cal/oI<. ,

24-13. a ) 0,28 cal/oI<; --0,28 callol;; cero; b) cero; cero; cero.

25-1. 3,3 x 10-5 cm. 25-3. 510 mlseg. 25-5. a ) 7,s x 10-7 atm; b) 2500 cho-

ques lseg. 25-7. q es proporcional a 2/T, pcro e s

independiente de la presi6n. 25-9. a ) 4,9 x lo4 cmlseg; 6) 2,2 x 1023

impactoslcm2, por segundo. 25-11. a ) 12 atm-litro; b) 800°1<; c ) 1200

.cal.

26-5. 2 cm; 3.0 cm; 100 viblseg; 3000 cm Iscg.

26-7. a ) Amplitud=lO-7 pies; longitud de onda= 10 pics; frecuencia=

0 ab 2000 cal; bc - 1100 cnl; ca - 1200 cal;

= 1700 seg-1; velocidad = 17 000 pleslseg; 6 ) -2x x cos 3400 x

( I - - ; valor mdximo = 2 x x 1 i:ooJ

x 10-8; tensldn maxima = 280 IblpieP (el valor de Y para esta va- rllla es 4,4 x 10s lb/pie2); c ) 3,4x x

x 10-4 cos 3400 sc ( f -&);

28-18. a j O,57 ' m/segoc; b) d ~ l d ~ es proporclonal a 1 / fi.

e8-15. 320 mlseg; 1300 mlseg; 350 mlseg. 28-17, a) i , l x 10-7 cm;

b) 7.1 x 10-8 cm; c ) 2,2 x 10-6 cm.

27-3. a) S o ; b) 4 cm; c ) 600 cm; d ) 20000 cmlseg; e) 33 ciclos/seg; f ) 800 x / 3 cmlseg.

27-6. a) 4 x l o 4 cm lseg; , b) 1,3 X 10lo dlnaslcn12; c ) 10 cm.

27-7. a ) 200 ciclos/seg; b ) 490 armonico. 27-9. c ) y--0,7l x 10-6 cm. 27-11. a ) 1100; 2300; 3400; 4500; 5700

clclos /seg; b ) 570; 1700; 2800; 4000; 5100 ciclos:scg. c ) 16; 17.

27-13. a ) 170 seg-i; b ) 660 seg-l. 27-15. a ) 420 cicloslseg; b ) 415 cicloslseg;

c ) 5 clclos/seg. 27-17. n ) S,S x 1011 clinas/crn2; 6 ) 0,24 cm.

28-1. a ) 9 veces; 6 ) 4 veces. 28-3. a ) 60 db; b) 77 db. 28-5. a) T: radlancs; b) Debida a A,

. 4 x 10-10 wlcm2; debida a B, 12 x 10-10 wlcm2; c ) 2,l x 10-lo w /cm?.

28-7. 10-6 \V.

28-9. a) 454 cicloslseg; b ) 4G2 cicloslseg; c ) 8 ciclos/scg.

28-11, a ) 3,3 m; 6 ) 30 cm; c ) casi 15 oiidas; d) 330 mlseg; e) 14 cm.

28-13. a ) 6.6 x 10-3 ni; 2,s x m. b) 3,3 x 10-4 m; 1,4 x m.

~ N D I C E ALFABETICO D E AUTORES Y MATERIAS

' .Abscisa: angular, 174. lineal, 54.

Aceleraci6n: angular, 176. constante. 60.

angular, 177. lineal, 60.

de la gravedad, 63, 300, 301. de traslacion pura, 111, 121. instantinea, 59. media, 58. negativa, 59. radial (o normal), 185. tangential, 186. variable, 67.

Action, 18. Aerodinhinica, 317. Adherencia, 332. Adiabhtico, 430. Agua:

densidad del, 378. eqrlivalente en, 388.

' presion de vapor del, 443. Alcance:

de un proyectil, 104. horizontal, 104.

.lmplitud, 271. de presibn, 505.

Angular: abscisa, 174. aceleraci611, 176. desplazamiento, 175. momento, 233. velocidad, 155.

h g u l o de contacto, 332. ' Xrmonico, movimiento, 269 y sgs.

Arm61licos, 515, 516. ARQU~~IEDES, 322. Arquimedes, principio de, 322. htm6sfera, 321. Xuclicion, Area de, 535.

Balanza: analitica, 92, 323. cle Cavendish, 298. de resorte, 5.

Balistico, pkndulo, 161. Bar. 321. ~ a r o m e t r o , 320.

' Bel, 529. Bernoulli, teorema de, 344.

BOLTZMANX, 477. Boltzmann, constante de, 477. BOYLE, 416. Boyle, ley de, 416. Browniano, movimiento, 481.

Caballo de vapor, 146, 147. Caballo-hora, 147. Caida lihre de 10s cuerpos, 63. Calor:

de combusli6n. 389. tabla, 389.

de fusi6n, 407. tabla, 408.

de sublimaci611, 409. de transformaci6n, 408. de vaporizacion, 407.

tabla, 40s. especifico, 478.

de gases, 125, 478. tabla, 428, 480.

tabla, 480. Caloria, 383-85. Calorimetria, 387. Calorimetro:

de agua, 387. de flujo continuo, 387, 388.

Ca~nbios de estado, 406. Campo gravitatorio, 302. Cantidad de movimiento, 154 y sgs. Capacidad:

calorifica, 35.5. espccifica, 385.

Capilaridad, 332. Carnot, ciclo de, 461. Cavenclish, balanza de, 298. Centimetro, 32. Centrifuga, 200.

fuerza, 189. Centripeta, fuerza, 189. Centro:

de cravedad. 39. de Lass, 11 1. de oscilacion, 289. de percusion, 291.

Cero absoluto, 369, 421, 472. Ciclo:

de Carnot, 461. de Rankine, 460. Diesel, 459. Otto, 458.

CinemAtica, 54 y sgs.

YltiCi ~ N D I C E ALFABETICO D E ALTORES Y MATERIAS I (:incitica, energla, 130, 209. I frecuencia de, 482. (:ircular. rnovimiento, 174 y sgs. inelhstico, 159. (;iz:~lladura, deformacibn por, 256. (:ocliciente:

clc absorci6n, 542. tle conductibilidad tdrmica, 394. tle dilatacibn:

cubica, 376, 377. de 10s gases perfectos, 419. lineal, 373.

cle restitucibn, 159, 160. dc rigidez, 139. cle rozamiento, 24. de tension superficial, 328. de viscosidad, 353.

(:ollcsibn, 332. Col~ete, 168. Combusti6n, calor de, 389. Co~~~ponentes :

ile la velocidad; 70. de on vector, 6.

Conlposicibn: rlc sonidos. 522. cle vectores, 9.

(:on~presibilidad, 254-55. de un gas, 433. 1116dulo de, 255. t:~l)la, 254.

(:ot~~presibn, 20. csiuerzo de, 251.

(:o11ciucci61~, 393. (:ontloctibilidad tkrmica:

cocliciente de, 394. labla de, 396.

(:onservacibn: tie la cantidad de ~novimiettto, 157. cle la energia, 129. del rnomento de la cantidad de lnovi-

miento, 234. Constantc:

del resorte,. 139. molecular de 10s gases, 477. recupcradora, 2G4. universal de 10s gases, -121.

(:o~~stantes elhsticas, tabla de, 251. (:ontacto, ingulo de, 332. (:o~lti~luidad, ecuacibn de, 348. c:onveccibn, 397. (:ortante, esfuerzo, 252. c:ori~o>rn, 26. (:~tc.rpo negro, 402. (:l~rvas de Lissajous, 282.

Deceleracih, 59. Decibel, 529. Decrement0 logaritmico, 284. Deformaci6n, 252.

longitudinal, 253. por cizalladura, 253. por compresibn, 253. por tensibn, 253.

Densidad, 91. del agua, 378. relativa, 92. tabla de, 92.

Descomposici611 de vectores, 8. Desplazamiento:

angular, 175. lineal, 54. virtual, 146.

Diagramas auditivos, 532-35. 1 ~ i e i e l , ciclo, 459. ! Difraccibn de ondas sonoras, 545.

Dilatacibn: clibica, 375.

coeficiente de, 377. '

tabla, 375. de una vasija, 377.

! del agua, 377. : lineal, 373.

coeficiente de, 373. tabla, 375.

superficial,. 375. Dimensiones, 136.

, Dina, 82. ' -centlmetro, 132. I Dinimica, 77. I Distribuci6n de Maxwell - Boltzn~atitl,

I "5.

Ebullicibn: punto de, 407.

, tabla, 408. i Ecuacibn: I de Clausius-Clapeyron, 445. ! de continuidad, 346.

de estado: ! de un gas perlecto, 420. 1 de Van der Waals, 451. / EDGERTON, GG. ! Efecto Doppler, 537. I

1 Eficiencia de una mhquina frigorifica,

";;;., 164.

, instanthneo, 231.

~ N D I C E ALFABETICO D E AUTORES Y MATERIAS 567

Elasticidad, 250 y sgs. Elhstico:

choque, 159. Iimite, 254. mbdulo. 253

Elemento bimethlico, 374. Elongaci6n, 271. Emisor ideal, 401. Empuje:

del aire, 323. fuerza de, 323.

Energia, 129 y sgs. cinbtica, 130, 209. conservacibn de la, 129. interna, 390, 410. 429. potential, 130, 138, 308.

gravitatoria, 130', 308. su~erficial, 338. y &a, 164.

Entropia, 464 y sgs. Equivalente mechnico del calor, 384. Equilibrio, 17, 35.

estable, 36, 143. .incstable, 36, 143.

Ergio, 132. Escala:

absoluta de ternperaturas K e l ~ i n , 369, 471.

centigrada, 368. Fahrenheit, 368.

Escalares. magnitudes, 6. ~sfuerzo,'250.

cortante. 252. de comGesibn, 251. de origen t6rmic0, 378. de traccibn, 250, 251.

Espectrograma del sonido, 536. Estabilidad de un barco, 323. Estabilizador giroscbpico, 241, 242. Estado, cambios de, 406 y sgs. Esthtica, 16 y sgs. EULER, 209. Experimento d e Joule, 423.

Fase. 272.

Flexibn, 263. Flujo laminar, 352. F16id0, 317. Foot-pound, 132. FOURIER, 497. Fourier, series de, 497. Frecuencia, 271.

de 10s choques, 482. fundamental, 515.

Fuerza, 3, 82.

centrifuga, 189. centrfpeta, 189. de inercia, 90. momento de una, 33.

Fuerzas: conservativas, 141. disipativas, 141. moleculares, 326, 327. no consccutivas, 142.

Fusi6n, calor de, 407.

GALILEO, 3. Gases:

calores especllicos de, 425, 478. tabla de, 480.

pcrfcctos, 416 y sgs. teoria cinktica dc 10s. 474 y sgs.

Gasto de un tubo, 346. GAY-Lussac, 418. Gay-Lussac, Icy de, 418. Giro, radio de, 214. Giroscopio, 240. Gotas, formacibn de, 338. Grados de libertad. 478. Gramo, 78.

fuerza, 85. Gravedad:

aceleracibn d e la, 63, 300. centro de, 39.

Gravitacibn, 298 y sgs. constante de, 299.

Gravitatorio: camoo. 302.

HELMHOLTZ, 491. Hidrodinimica, 343 y sgs. Hidrostbtica, 317 y sgs. Higrbmetro, 449. HOOKE, 138.

ley de, 138, 139, 254. Horsepower, 147. Humetlad. 447.

abso~u t i , 447. relativa, 448.

Huygens, principio de, 539.

Impulsibn, 154 y sgs. angular, 234.

Inelistico, choque, 159. Inercia, 77.

iuerza de, 90. mornento de, 207. reaccibn de, 90.

Intensidad de una onda sonora, 526. Interferencia, 513.

de ondas sonoras, 514.

1 568 ~ N D I C E ALFABETICO DE AUTOHES Y MATFJUBS ~.

--

Intenla, eneigla, 390, 310, 429. de un gas, 423.

Isotermas de un gas ideal, 117.

SOULE, 129, 382-81. Julio, 132, 384.

I~ELVIN, 3, 4. Kilogramo, 78.

fuerza, 4, 85, 302. masa, 85. -metro, 33. patrbn, 1, 58.

I<ilovatio, 146, 1-15. -hora, 147.

LAGRANGE, 2lS5. Ley:

de Dalton, 417. cle Dulong y Petit, 357. de Stefan. 400. - - ,

de Stokes, 355. Libcrtad, gratlos de, 47s. Licuaci6n de 10s gases, 438. Lineas nodales, 518. Longitud recorrida, 54. LORENT, 101.

I",.' JIan61netr0, 320. JIaquina:

de vapor, 460. fri-oorifica. ,163.

de inercia, 207. de la cantidad de movimiento, 234. de ulia fuerza, 33.

Motor: de aire caliente, 458. de combusti6n interna, 158.

hlovimiento: arn16nic0, 2G9 y sgs.

amortiguado, 283. de rotaci611, 287. forzado, 284. lineal, 2G9.

browniano, 481. circular, 151 y sgs. currentilineo, 343. de un proyectil, 100 y sgs. estacionario, 343. planetario, 313. rectilineo, 54 y sgs.

uniformemcnte acelerado, 60. unifor~iie, G3.

! SE\\.TON, 1G. Se\vton, S2. '

ley de la gravitaci611, 29s. -metro, 34, 132. primera ley de, 16, 81. segunda lev de, 78, 163. teycera leyde, 18, -158.

Xodo, 513. Si~niero de Xvogadro, 47-1. Sutaci611, 241. -

JIasa, 57. centro de, 11 1. Oido, 530. de la Tierm, XI!). Onda: en reposo, 1G-I, 1GG. ccuaci6n de la, 49s. variaci6n con la velocitlatl, 164, 165. I !o~~gitud de, 495.

\IAS\VELL, 185. JIecBnica, 3. Jlegavatio, 14G. Jlernbranas, vibmci611 tle, 51s. JIenisco, 333. JIfnsula, 263. JIetacentro, 323. JIfitodo:

del paralelogramo, 10. tlel poligono, 11.

>Ifitodos grificos, 6'3. >Ietro, 32. JIilibar, 321. JIodulo:

de compresibilidad, 255. de rigidez, 25-1. de torsi611, 251. de Young, 254.

.\lomento, 33. cinfitico, 23 1:

Ondas: estncionarias:

en una columna de aire, $18. en una cuerda, 512.

longitudinales, 500. transversales, 493.

en una cucrda, 101. velocidad de las, 193.

Oscilacion, 271. centro clc, 289.

Otto, ciclo, 458.

Par termoelCctrico, 370. Paradoja hidrostitica, 324. Phres, 47, 225. PASCAL, 310. PBndulo:

balistico, 1G1. c6nic0, 193. fisico, 2SS.

k p.- -

i ' ~ N D I C E ..\LFABETICO DE AUTORES 1- JI-kTEHIAS 569

PCndulo: simple, 280.

Peralte de las curvas, 191. Percusi6n, centro de, 291. Periodo, 271. PERRIN, 481. Peso. 3. 83. 198.

especlfico, 92. Pie, 33. ~ i r d m e t r o 6ptic0, 372. Pitot, tub0 de, 348. Poder emisivo, 400. Poise, 353. Poiseuille, ley de, 357. Poisson, coeficiente de, 258. Potencia, 146, 200.

y velocidad, 147. Potencial:

de energia, 130, 137-39, 308. gravitatorio, 31 0.

Poundal, 85. Precesi6n, 238. Presi6n, 252, 317.

absoluta, 320. amplitud de, 505. atmosftrica, 321. en las burbujas, 336. manomCtrica, 320. parcial, 447.

Primer principio de la termodintimica, 424.

Primera ley de Newton, 16, 81, 119. Principio:

de Arquimedes, 322. de D'Alembert, 90, 191. de equipartici6n de la energia, 179. - de Pascal, 319.

Procedimiento Linde, 441. Propulsi6n a chorro, 167. Proyectiles, 100. Psicr6metr0, 449. Pulgada, 33. Pulsaciones, 520. Punto:

de roclo, 448. de solidificaci6n, 407, 408.

efecto de la presi6n sobre el, 412. normal de fusibn, 407.

tabla, 408. triple, 445, 451.

Radio de giro. 211. Rankine, ciclo de, 460. RAYLEIGH, 491. Reaccidn, 18.

de inercia, 90. Recorrido libre medio, 482. Reflexi6n de ondas sonoras, 539. Refracci6n de ondas sonoras, 543. RCgimen laminar, 352. Rehielo, 414. Rendimiento de un motor tdrmico, 458. Resonancia, 284. Resorte, balanza de, 5. Restitucibn, coeficiente de, 159. Resultante, 9.

de vectores no concurrentes, 13. de vectores paralelos, 37.

Rigidez: coeficiente de, 139. m6dulo de, 2.51, 255.

Rodadura. 22s. Rozamiento, 24, 110.

coeficiente de, 24. tabla de. 26.

H U ~ ~ F O R D , 382.

SABINE, 541. Segunda ley de Sewton, 78, 163. Segundo, 55. Segundo principio de Termodinhmica,

455 y sgs. Slug, s2. Sonido, 491.

diferencia, $12. suma, 522, 523. velocidad en el aire, 504.

Sonoridad, 530. STEFAN, 400. STOKES, 356. Sublimaci6n, 109.

calor de, 109. Superficial:

dilataci6n, 375. energia, 338. tensi6n, 328 g sgs.

coeficiente de, 328. tabla, 329.

Superficies termodinBmicas, 450. Sustentaci6n de un perfil, 350.

~ u n t o s : conjugados de un pendulo fisico, 289. Tac6metro' lg4.

fijos, 368. Tangcncial, velocidad, 180. Temperatura, 367.

critica, 339, 440. Radiaci6n. 398. tabla de.' 141.

I Radihn, 174. Radiante, energia, 399.

3

Tensi6n, 19. Teorema de Steiner, 215.

570 ~ N D I C E ALFAB~TICO DE AUTORES Y MATERIAS

Teoria cinktica de 10s gases, 474 p sgs.

Tercera ley de Newton, 18, 158. Termodinhrnica:

primer principio de, 424. segundo principio de, 455, 469.

Term6rnetros, 367. de gas, 371. de liquid0 en recipiente de vidrio,

367. 370. de resistencia, 370.

Tiernpo de reverberaci6n, 541. Tierra:

densidad d e la, 300. masa de la, 299. radio de la, 299.

Timbre, 517. Tono, 517. Torricelli, teorerna de, 347. Toni6n, 261.

m6dulo de, 254. Trabajo, 131 y sgs.

contra las fuerzas de rozamiento, 140. I

en el rnovirniento circular, 200. en un carnbio de volumen, 409. exterior. 409.

Trabajos hrtuales, 145. Tracci6n. esfuerzo de. 250. 251. ~ r a n s f o r k a c i 6 n reversible, 41 7. Trayectoria, 100. Trihngulo, rnBtodo del, 11. Tubo de 6rgan0, 519. Turbulencia, 344, 351. TYND.UL, 400.

Ultracentrlfugas, 200. Uniforme, rnovirniento, 63. Urnbrak

de audici6n. 535. d e la sensacidn desagradable, 535.

Ultrasonidos. 546. Unidad tdrmica brithnica, 383, 385.

Van der Waals, ecuaci6n de, 451. Vapor, 440.

1 presi6n de, 440. del agua, 443.

saturante, 440. Vaporizacibn:

calor de, 407. tabla de, 408.

Vatio, 146. Vector. 6.

dilerencia, 14. suma, 14.

Velocidad, 55. angular, 175. de las ondas:

sonoras, 503. transversales, 493.

instanthnea, 56. Ilmite, 356. media, 54. relativa, 70. tangential, 180.

Vcna conlracta, 347. Ventaja rnechnica, 22. Venturi, contador de, 348. Vibraci6n, 271.

de una membrana, 518. Vientres, 513. Viga, 263. Virtual:

desplazamiento, 146. trabajo, 145.

Viscosidad, 351 \- sgs. coeficiente de, 353.

tabla de, 354. de un gas, 483.

Viscoslrnetro, 351, 355. Voladizo, 263.

Wilson, d m a r a de niebla de, 449.

Yarda, 32. Young, m6dulo de, 254.

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