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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS – DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

– PDE

UNIVERSIDADE DO OESTE DO PARANÁ –UNIOESTE

IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO–PEDAGÓGICA

TURMA PDE / 2016

TEMA: UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL NO

SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO

Professora PDE Edelina Salete Mizerski

Área / Disciplina Matemática

Professor orientador Dr. André Vicente

Escola de implementação do projeto e

sua localização

Colégio Estadual José de Alencar-

Ensino Médio, situado a Rua Otacílio

Rodrigues, 704.

Município da Escola Nova prata do Iguaçu

Núcleo Regional de Educação Dois Vizinhos

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Oeste do

Paraná – UNIOESTE

Linha de Estudo Tendências Metodológicas em

Educação Matemática

Resumo O objetivo desta Produção Didático-

Pedagógica é apresentar uma

proposta diferenciada para tratar

temas relacionados com Geometria

Espacial. Como a Produção ocorrerá

em turmas do segundo ano do ensino

médio, será elaborado um material

sistematizando todos os conceitos

envolvidos e que contenha questões

do vestibular e do (Exame Nacional

do Ensino Médio) ENEM. A ideia é

apresentar ao aluno um material que

lhe dê autonomia para resolver

problemas, tanto de cunho prático

quanto questões de vestibulares, que

envolvam este tópico. Também será

trabalhada uma situação prática em

que o aluno deverá elaborar o

problema e resolvê-lo.

Palavras – chaves Geometria Espacial; Enem;

Vestibular; Problemas práticos.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 2º ano do Ensino Médio

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS – DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE

PRODUÇÃO DIDÁTICO– PEDAGÓGICA NA ESCOLA

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL NO SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO

EDELINA SALETE MIZERSKI

NOVA PRATA DO IGUAÇU-PR

2016

EDELINA SALETE MIZERSKI

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL NO SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO

Produção Didático-Pedagógica na Escola, apresentado à Secretaria de Estado da Educação- SEED, Departamento de Políticas e Programas Educacionais, para cumprir as atividades do Programa de desenvolvimento Educacional – PDE em parceria com a Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE, sob a orientação do Professor Dr. André Vicente.

NOVA PRATA DO IGUAÇU-PR

2016

1. APRESENTAÇÃO

A Produção Didático-Pedagógica intitulada como Uma Proposta para o

Ensino de Geometria Espacial no Segundo Ano do Ensino Médio visa

atender as perspectivas do Programa de Desenvolvimento Educacional-PDE

conjuntamente com a Universidade do Oeste do Paraná – UNIOESTE, campus de

Cascavel.

As atividades que serão discorridas nesta produção serão aplicadas no

Colégio Estadual José de Alencar – Ensino Médio, no Município de Nova Prata do

Iguaçu, no primeiro semestre de 2017. Serão trinta e seis horas/aula, distribuídas

em dezoito horas/aula em uma turma do período diurno e dezoito horas/ aula em

uma turma do noturno, tendo como público alvo os alunos do segundo ano do

Ensino Médio.

É importante proporcionar na escola um ambiente de construção do

conhecimento, pesquisa e aprendizagem e a Matemática como um dos conteúdos

básicos do Ensino Médio deve buscar um estudo prático e contextualizado,

objetivando relacionar o que se ensina em sala de aula com o cotidiano. Nesse

sentido cabe a Matemática o aprimoramento do raciocínio geométrico, sendo

essencial o aluno observar que as representações geométricas que estão no seu

entorno, faz parte do mundo real, do seu dia-a-dia.

O objetivo principal desta unidade é oportunizar aos alunos através de

material diferenciado conteúdos de Geometria Espacial, mais especificamente em

prismas, utilizando-se de problemas de cunho prático. Então se faz necessário

utilizarmos estratégias que estimulem o interesse do aluno pelo conhecimento

matemático presente no cotidiano, contribuindo e desafiando a aprendizagem do

conteúdo proposto de geometria espacial, levando-o a interessar-se pelas

atividades e buscando manter a frequência regular.

A Geometria Espacial é um dos conteúdos essenciais para o indivíduo,

pois tem vasta aplicação no cotidiano. Devido a sua significância está em

destaque no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), Vestibulares e

Concursos, exigindo dos estudantes domínio do conteúdo. Por isso pretende-se

instigar o aluno a resolver questões do Enem e vestibular, levando-o perceber que

é possível solucionar com eficiência, quando se tem conhecimento do conteúdo.

A princípio desenvolveremos a Produção Didático-Pedagógica centrada

nos interesses dos alunos, apresentando problemas práticos que o estimulem a

resolver questões, motivando-os a criar alternativas nas situações apresentadas.

O trabalho esta organizado no formato de Unidade Didática, seguindo

alguns critérios de ordem prática para melhor compreender e orientar no

desenvolvimento das atividades, conforme procedimentos desenvolvidos na

sequência.

2. MATERIAIS E MÉTODOS:

A presente Produção Didático-Pedagógica está organizada com 36 aulas,

que serão aplicadas e distribuídas em duas turmas do segundo ano do Ensino

Médio, uma do noturno, com 18 aulas e a outra do diurno, também com 18 aulas.

O intuito é verificar o nível e a diferença de aprendizado dos turnos, bem como de

explorar melhor a unidade didática acelerando o processo da mesma.

Esta Produção Didático-Pedagógica contempla uma Unidade Didática que

será desenvolvida de modo a absorver a atenção e o interesse do estudante em

torno do conteúdo proposto, incentivando-o a aprendizagem, frequência e

participação nas aulas durante a aplicação do projeto. Também busca levar o

aluno a perceber que o conhecimento, aliado com a prática, leva-o ao

aprendizado e consequentemente torna-o capaz de solucionar problemas

voltados ao Enem e vestibular.

As atividades de implementação da Unidade Didática, propõem cinco

momentos de estudo e tempo sugerido para cada ação apresentada a seguir:

� 1º momento: Apresentação e Diagnóstico da Produção Didático-

Pedagógica.

Para este primeiro momento destina-se duas aulas, uma para

apresentação e outra para diagnóstico. Apresentaremos a Produção Didático-

Pedagógica aos alunos falando da sua importância e implicações frente ao

Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). Exibiremos um vídeo que trata

sobre geometria explorando a importância e aplicabilidade na matemática.

Também apresentaremos aos alunos uma questão do Enem para

desenvolvermos algumas discussões sobre o conteúdo que será abordado no

trabalho.

Na sequência, aplicaremos uma Avaliação Diagnóstica sobre Geometria

Plana, no intuito de verificar o nível de conhecimento das turmas. Também

passaremos um questionário referente ao Enem e vestibular, buscando verificar

seus interesses e perspectivas futuras de acesso a uma universidade.

� 2º momento: Revisando Geometria Plana.

Serão destinadas quatro aulas para o desenvolvimento de atividades

relacionadas a este conteúdo. Exploraremos área e perímetro de algumas figuras

planas, como: quadrado, retângulo, triângulo, paralelogramo, losango, trapézio,

hexágono e círculo, utilizando-se do Geoplano Manipulável e Virtual.

� 3º momento: Geometria Espacial.

Este conteúdo será desenvolvido em seis aulas. Exploraremos o

conteúdo através de objetos geométricos manipuláveis, tais como: Geoplano

Espacial, sólidos em acrílico, varetas e planificações de figuras geométricas.

Iniciaremos com uma breve exposição sobre polígonos, apresentando alguns

sólidos geométricos sua nomenclatura, número de vértices, arestas e faces,

aplicando a fórmula de Euler. Na sequência, exploraremos alguns prismas,

cilindros, cones, pirâmides e esferas calculando a área da base, lateral e total,

bem como volume e outros elementos dos objetos estudados. O material

construído será destinado aos alunos, objetivando viabilizar o processo de ensino

e aprendizagem.

� 4º momento: Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e

Vestibular.

Este conteúdo será desenvolvido em quatro aulas. Nesta etapa do trabalho

os alunos deverão resolver questões do Enem e Vestibulares. Para isto os

discentes serão organizados em duplas. Num primeiro momento as resoluções

serão corrigidas pelo professor e, posteriormente, cada questão/resolução será

discutida em conjunto com a turma.

� 5º momento: O Problema Aplicado.

Para este último momento será destinado duas aulas. Nesta etapa os

alunos serão organizados em grupos para resolverem questões relacionadas ao

transporte de cargas. Esta atividade abordará questões de geometria plana e

também espacial. O professor acompanhará as atividades dos alunos

esclarecendo dúvidas e orientando.

O processo avaliativo seguirá os critérios estabelecidos nas Diretrizes

Curriculares do Estado do Paraná.

A avaliação acontecerá durante todo o processo de aplicação do Projeto de

Intervenção Pedagógica na Escola. Ela será constante, através da observação

direta, conforme o desenvolvimento das atividades individuais e coletivas.

Sempre que for percebida alguma dificuldade apresentada pelo aluno e pela

turma, intervenções serão realizadas no intuito de auxiliar no processo de

aprendizagem, garantindo assim que o conhecimento se efetive.

Alguns critérios serão observados, de modo a avaliar com maior clareza e

poder verificar se o projeto cumpriu a sua função, que é a aquisição do

conhecimento, como: interesse em desenvolver as atividades propostas;

desempenho; cooperação, organização; envolvimento afetivo; criatividade e

aprendizagem.

A avaliação também se utilizará de todas as atividades executadas pelos

alunos, sejam escritas, orais ou no grupo.

O conteúdo será apresentado e na sequência as atividades serão

desenvolvidas de forma a oportunizar melhor absorção do conhecimento. Após

todo o conteúdo ser exposto, aplicar as questões do Enem, para que possam

constatar o estilo de cobranças, necessidades de se aperfeiçoar em seus

estudos, para que se sintam motivados a prepararem-se para ingresso pessoal

em uma Universidade e constatar se houve aprendizado.

3. APRESENTAÇÃO E DIAGNÓSTICO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-

PEDÁGOGICA

Duração: duas aulas.

a) APRESENTAÇÃO

Na sala de vídeo da escola apresentaremos aos alunos do segundo ano do

Ensino Médio a Produção Didático-Pedagógica, explicando os objetivos principais

e a importância do PDE- Programa de Desenvolvimento Educacional para a

escola e para o professor.

Passaremos vídeos que retratam a importância da Geometria para o

Ensino da Matemática, onde se faz presente e sua aplicação no cotidiano, como:

� Vídeo: Geometria no cotidiano. Expõe sobre a presença da

matemática na natureza, a importância dos triângulos e sua aplicabilidade,

define sólidos geométricos demonstrando suas características individuais e

explica o Teorema de Pitágoras.

Link disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM, último

acesso em 07 de dezembro de 2016.

PRIMEIRO MOMENTO:

� Vídeo: Matemática na construção. Relata a aplicação da Matemática

na Construção Civil, e conceitos como: estimativa de medidas, planta baixa,

importância e aplicabilidade das formas geométricas, figuras planas, polígonos,

quadriláteros, paralelogramos, área, perímetro, volume e outros cálculos.

Link:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=

17868,último acesso em 07 de dezembro de 2016.

Conversação referente ao vídeo de modo a levá-los perceber o quanto é

importante a Geometria no contexto pessoal a social. Que ela é presença

marcante em vestibulares e Exame Nacional do Ensino Médio, por isso é o foco

do objeto de estudo do projeto.

Neste momento apresentaremos aos alunos uma questão do Enem de

resolução lógica, conforme tempo disponível. Levá-los a perceber que é possível

resolver problemas de solução simplificada, muitas vezes, utilizando-se somente

da interpretação da questão, da lógica existente na situação, procurando quebrar

a insegurança que muitos alunos possuem na resolução de questões. A questão

apresentada objetiva também verificar se o aluno é capaz de nomear uma figura

geométrica, através de planificações, e se identifica qual delas é um prisma e por

que.

Problema: (Enem 2010) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu

vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as

planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas

planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.

d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Desenvolvimento da resposta:

Deixar os alunos refletirem sobre a resposta correta e a nomenclatura que

as planificações das figuras representam. Distribuir as figuras planificadas aos

alunos conforme problema exposto. Nomear as figuras. Questioná-los quanto às

alternativas de modo a perceberem o quanto a questão é fácil e que o

conhecimento é a base para o acerto de uma questão apresentada. Como tarefa

de casa solicitar que realizem a dobradura das figuras e tragam para a escola o

prisma montado, colado e decorado. Será explorado no terceiro momento, em

Geometria Espacial.

Resposta: alternativa a.

b) DIAGNÓSTICO E QUESTIONÁRIO

Realizar um diagnóstico (anexo um) do conhecimento básico de

Geometria Plana, a fim de detectar conceitos prévios que necessitam ser

explorados com maior rigor, constatando o nível de aprendizado apropriado, até

então, pelos estudantes. O conteúdo é suporte para aprendizagens posteriores.

Explicar aos alunos a importância e que as questões serão corrigidas no coletivo

no final da aplicação do projeto. Acompanhar o desenvolvimento das atividades,

observando as dificuldades encontradas pelos alunos.

No término da Unidade Didática, aplicaremos a mesma avaliação

diagnóstica, no intuito de avaliar se ouve resultados positivos com a execução do

projeto.

A presente Produção Didático-Pedagógica terá como foco explorar

questões do Enem e Vestibular, por isso considera-se essencial saber o que

pensa o estudante sobre o Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e Vestibular

e se pretende dar continuidade aos seus estudos. Aplicar questionário (anexo

dois), referente ao Enem e vestibular no intuito de verificar seus interesses e

perspectivas futuras de acesso a uma universidade.

4. REVISANDO GEOMETRIA PLANA

Duração: quatro aulas.

Os conceitos básicos de Geometria Plana e Espacial serão explorados

através do uso prático do Geoplano Manipulável e do Geoplano Virtual.

4.1. CONHECENDO O GEOPLANO

O geoplano é um material manipulável criado em 1950, por Caleb

Gettegno, do Institute of Education London University.

O geoplano serve de suporte para a representação mental, conforme

expõe Dias (2013): “É um recurso facilitador do processo de ensino aprendizagem

e auxilia no desenvolvimento de habilidades mentais necessárias à construção de

raciocínio lógico-matemático, de forma prazerosa”.

Ao se explorar figuras geométricas no Geoplano, é importante definir os

objetivos que se pretende atingir com o conteúdo proposto e fazer paralelamente

registros dos estudos, de maneira a tornar-se significativo para o aluno.

Pode-se através da manipulação do Geoplano, realizar inúmeras

atividades envolvendo o estudo de: ponto, reta, plano, semi-reta, área, perímetro,

medida, ângulo, comparação, simetria, proporcionalidade, estudo de diferentes

tipos de polígonos, função, geometria analítica e outros.

4.1.1 – Geoplano manipulável

SEGUNDO MOMENTO:

Pode ser construído em madeira com medidas diferenciadas de acordo

com necessidades do trabalho a ser desenvolvido. Riscar malhas quadriculadas

com a mesma distância de ponto a ponto, por exemplo: um centímetro por um

centímetro, tanto na vertical como na horizontal. A seguir, cravar pregos em cada

ponto construído na malha, a meia altura. Utilizar elásticos de cores diferentes

formando a em estudo.

Figura 01: geoplano quadrado.

Fonte: arquivo pessoal.

Este recurso didático pode ser construído em vários tamanhos e tipos de

malhas visando proporcionar interesse e curiosidade ao estudante, permitindo

construir seus próprios conceitos e hipóteses.

Paralelamente ao trabalho com o geoplano utilizaremos papel quadriculado

fazendo o registro das atividades realizadas, obtendo assim melhor fixação e

organização do material estudado.

4.1.2 - Geoplano Virtual

As atividades no laboratório de informática, utilizando-se o Geoplano

Virtual, terão uma sequência posterior à prática no Geoplano manipulável.

Link:http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-

mat/softwares-matematicos/, para explorar geometria plana, através do geoplano

virtual.

Figura 02: Geoplano virtual.

Fonte: http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/labmat/geoplanovirtual.jpg.

A utilização do software Geoplano virtual consiste em pegar o elástico,

levar até um determinado ponto e puxá-lo ponto a ponto, formando a figura

desejada. Pode-se pintar a parte interna da figura construída, clicando em uma

das cores presentes dentro do retângulo esquerdo. Ao clicar em Measure

aparecerá o resultado de área e perímetro das figuras desenhadas. Reset e

remove apagam a figura feita na área pontilhada.

4.2. GEOMETRIA PLANA

1) MEDIDAS DE ÁREA

Para medir uma grandeza é necessário compará-la a uma unidade padrão

estabelecida. O geoplano tem o formato de uma malha quadricular, que possui

pregos cravados nos vértices. No geoplano a menor distância entre dois pregos é

chamada de unidade de medida linear (u.m.l.), determinando assim a unidade de

medida de comprimento. O menor quadradinho possível, unindo com elástico os

quatro pregos mais próximos, constitui-se em uma unidade de área (1 u. a).

2) CÁLCULO DE ÁREA DE ALGUMAS FIGURAS PLANAS

Neste texto trataremos somente de polígonos convexos, ou seja, polígonos

tais quer é uma reta que contém qualquer um dos lados do polígono, então os

demais lados situam-se todos em um mesmo semipleno determinado por r.

Após cada atividade realizada, usar o caderno de malha quadriculada para

registrar a atividade.

2.1. TRIÂNGULOS

O triângulo é um polígono formado por três segmentos de retas que se

encontram duas a duas, constituindo três lados e três ângulos. A soma dos

ângulos internos é igual a 180o, independente da classificação do triângulo

utilizada. Não possui diagonais.

Denotando por b a medida da base e por h a medida da altura do triângulo,

temos que a fórmula para encontrar a área do triângulo é:

� = � . �.

�

Lembramos que a altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice

ao lado oposto a este vértice, formando um ângulo de 90o com este lado.

Conforme o triângulo visualizado nos geoplanos, verifique a medida da

altura, da base e calcule a área de cada um eles.

TEXTO PARA SER ENTREGUE AOS ALUNOS.

Figuras 03 e 04: triângulos.


Os triângulos possuem uma classificação baseada em seus ângulos e

lados. Mais precisamente:

1) Triângulo Retângulo:

É o triângulo que possui um ângulo medindo 90o. Neste caso seus lados

recebem uma nomenclatura especial. O lado oposto ao ângulo de 90o é chamado

de hipotenusa; os outros lados são chamados de catetos.

Figura 05: triângulo.

cateto

hipotenusa

cateto


Atividade: Faça dois triângulos retângulos no geoplano. Em seguida anote no

caderno quadriculado. Calcule sua área e perímetro.

2) Triângulo Equilátero:

É o triângulo que possui os três lados congruentes (possuem a mesma

medida).


a

a

a


Atividade: Construa no geoplano dois triângulos equiláteros com medidas

diferentes. Desenhe-os no caderno quadriculado e realize o calculo de área dos

mesmos.

3)Triângulo Isósceles: É o triângulo onde dois de seus lados tem a mesma

medida, como CA e CB na figura sete. Os ângulos da base, também são

congruentes.


C

A B


Atividade: Construa no geoplano um triângulo isósceles e calcule sua área.

Transcreva no caderno.

3) Triângulo Escaleno: É o triângulo cujos três lados possuem medidas

diferentes.



Atividade: Construa o triângulo escaleno abaixo no geoplano e desenhe-o em

seu caderno. Calcule sua área e perímetro.



Os triângulos também podem ser classificados em acutângulo (quando

todos os ângulos internos medem menos de 90o) e obtusângulo (um dos ângulos

mede mais de 90o).

Figura 10 e 11: triângulos.

Obtusângulo Acutângulo


2.2. QUADRILÁTEROS

Os quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Os

quadriláteros mais comuns nos exercícios e provas de seleção são: retângulos,

quadrados, paralelogramos, trapézios e losangos.

Lembramos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o.

1) Retângulo:

É um quadrilátero que possui os quatro ângulos congruentes.

Figura 12: retângulo.

D C

A B


Denotando por b a medida de AB (o retângulo ABCD da figura acima) e h a

medida de BC, tem que a área do retângulo é dada por:

A = b .h .

Atividade: Construa, no geoplano, um retângulo com lados medindo 3 e 7

unidades. Anote no caderno quadriculado e calcule a área e o perímetro.

Lembre-se que o perímetro é a soma do contorno de todos os lados de um polígono, sendo a superfície regular ou não.

2) Quadrado:

É um quadrilátero que possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados

congruentes.

Figura 13: quadrado.

D C

A B


Notamos que cada ângulo mede 90o e denotando por a, a medida de

cada lado do quadrado, tem que a sua área é dada por:

A = a² .

Atividade: Transcreva no caderno quadriculado a figura formada no geoplano

abaixo e calcule a área e o perímetro. Construa no geoplano outro quadrado com

o dobro de área da figura a seguir.

Figura 14: geoplano.


3) Paralelogramo:

É um quadrilátero que possui quatro lados opostos e paralelos.

Figura 15: paralelogramo.

D C

A B


Para determinar a área do paralelogramo ABCD, denotamos por h a medida da altura e b a medida de AB, conforme a figura abaixo:

Figura 16: paralelogramo.

D C

h

A B

b


Notamos que a área do paralelogramo é a mesma do retângulo A’B’C’D’ abaixo: Figura 17: paralelogramo.

D’ C’ h

A’ B’

b


Portanto a área do paralelogramo é dada por:

A = b .h.

Atividade: Construa no geoplano os paralelogramos, conforme medidas

apresentadas abaixo e calcule a área.

Figuras 18 e 19: paralelogramos.

Fonte: Arquivo pessoal.

4) Trapézio:

É um quadrilátero que possui dois lados paralelos.

Figura 20: trapézio.

b

D C

H h

A B

B


Seguindo a notação da figura acima, temos que a área do trapézio é dada por:

� =� ��.

�

Atividade: Construa os trapézios no geoplano, conforme as informações

encontradas nas figuras abaixo. Calcule a área dos trapézios.

Figura 21 e 22: trapézio.


5) Losango

É um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes.

Figura 23: losango.

h D

A C

b B


Como o losango é um paralelogramo, sua área é dada por:

A = b. h .

A área do losango também pode ser obtida sabendo-se a medida d, diagonal menor, e D, diagonal maior, mais precisamente:

� =�. .

�

Figura 24: losango.

D

d


Atividade: Identifique as medidas dos losangos no geoplano abaixo e calcule a

área dos mesmos.

Figura 25 e 26: losango.


2.3. POLÍGONO REGULAR DE N LADOS

Um polígono é dito regular quando todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos são congruentes.

Exemplo: Triângulos equiláteros e quadrados.

A fórmula que fornece a área de um polígono regular de n lados é dada por:

A = p.m ,

onde p é o semiperímetro (perímetro dividido por dois) e m é a medida do apótema (ver figura abaixo).

Figura 27: hexágono.


.

Se n = 6, então a área do hexágono é dada por:

� =� �² √�.

�

Atividade: Calcule a área e o perímetro do hexágono regular abaixo:

Figura 28: hexágono.


4.3. GEOPLANO VIRTUAL

Após a realização das atividades com o geoplano manipulável, encaminhar os

alunos ao laboratório de informática com material de estudo e orientados quanto

aos procedimentos na execução dos trabalhos.

No laboratório de informática, realizar os exercícios sugeridos de figuras planas,

calculando suas respectivas áreas e perímetros, conforme unidade de medida

linear (u.m.l.) estabelecido no Geoplano Virtual.

Atividade:

Construir e calcular a área das figuras geométricas planas no geoplano virtual:

a) Quadrado com lados medindo 4u.m.l. e depois outro quadrado com 8 u.m.l. Diferenciar e somar a área e o perímetro de cada figura.

b) Retângulo de dimensões 7 e 9 u.m.l.

c) Retângulo de perímetro igual a 16 u.m.l. e altura 3u.m.l.

d) Quadrado de perímetro igual a 24 u.m.l.

e) Triângulo de base 8 u.m.l. e altura 3 u.m.l.

f) Hexágono regular inscrito na circunferência de r = 8 u.m.l.

g) Trapézio com a base maior medindo 6 u.m.l. e base menor 4 u.m.l. com altura 3 u.m.l.

5. GEOMETRIA ESPACIAL

Duração: 6 aulas.

Na Geometria Espacial utilizaremos alguns recursos que viabilizam a

aprendizagem do conteúdo proposto, construindo figuras geométricas através de:

planificação de figuras, com palitos, formas em acrílico e o geoplano espacial.

Geoplano Espacial

É um recurso didático que visa facilitar a compreensão de figuras

espaciais, pois se aproxima do real. Permite ao estudante explorar o conteúdo no

Geoplano de forma cooperativa, fazendo uso da criatividade e

consequentemente, tornando as aulas mais significativas.

Existem vários tipos de construção de Geoplanos Espaciais. A diferença

está nas possibilidades de construção dos poliedros. Sua construção consiste em

quadricular duas tábuas no formato de malha, mantendo a mesma unidade de

medida, tanto na horizontal como vertical. Em cada ponto da malha fixar

pequenos ganchos. As tábuas (ou outro material possível) são retangulares e

iguais, justapostas, com quatro ripas perpendiculares às bases, separando-as. Na

base superior os ganchos devem ficar voltados para a parte interna da figura.

Podem-se colocar ganchos nas ripas laterais de modo a ajudar na constituição de

TERCEIRO MOMENTO:

figuras espaciais. Os poliedros são formados com elásticos ou barbantes,

preferencialmente coloridos, para melhor visualização.

Figura 29: Geoplano Espacial.


5.1 - POLIEDROS CONVEXOS Consideremos n ≥ 4, polígonos planos convexos, tais que:

a) Dois polígonos não estão em um mesmo plano;

b) Cada lado de cada polígono é comum a dois e somente dois polígonos;

c) O plano que contém cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo

semi-espaço;

Cada um dos n planos do item (c) determina n semi-espaços que contém

os polígonos que não estão contidos no plano. A intersecção desse semi-espaço

é chamado de poliedro convexo.

Os elementos notáveis de um poliedro são: faces, que são os polígonos

convexos, arestas, que são os vértices dos polígonos e superfície do poliedro,

que é a reunião das faces do poliedro. Os poliedros são classificados quanto ao

número de faces. Por exemplo: quatro faces, tetraedro; cinco faces, pentaedro;

seis faces, hexaedro e assim consecutivamente.

Figura 30: Poliedros.


Os poliedros também podem ser classificados como regulares e não

regulares. Ele é dito regular quando todas as faces são congruentes entre si e

todos os ângulos poliédricos são congruentes.

Figura 31: poliedros.


Atividade 1: Disponibilizar os cinco poliedros regulares planificados, para que as

equipes com no máximo quatro componentes visualizem, manipulem e nominem

as figuras geométricas. Na sequência recortar, dobrar e colar identificando

vértices, arestas e faces. Solicitar em aula anterior, para os alunos do período

diurno que executem esta atividade em casa. As planificações estão nos anexos.

Conforme o estudante realiza a dobradura das figuras, explorar a Relação

de Euler entre o número de faces, vértices e arestas de um poliedro convexo. A

relação existirá se o número de vértices mais o número de faces forem iguais ao

número de arestas mais dois, ou seja: V+F=A+2.

Entregar ao aluno uma tabela em branco, onde preencherá as informações

solicitadas, como: vértice, aresta, face e verificar se há relação de Euler.

Desenvolver as atividades em duplas, buscando troca de ideias e aprendizagem.

Coletivamente nominar, contar o número de vértices, arestas e faces, verificando se existe a relação de Euler.

Atividade 2: Com os poliedros em mãos, complete as informações solicitadas na tabela abaixo:

Nominar Poliedro

Vértice Aresta Face Relação de Euler: V+F=A+2

Atividade 3: Resolver os problemas usando a fórmula de Euler.

1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? 3) (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?

4) (ITA-SP) Numa superfície poliédrica convexa aberta, o número de faces é 6 e o número de vértices é 8. Então o número de arestas é: a) 8. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14. Obs: Superfície poliédrica convexa aberta é o mesmo poliedro da primeira situação só que sem uma das faces, por isso aberto.

5.2- PRISMAS

Consideremos um polígono convexo ABC...KLM situado num plano � e um

segmento de reta PQ, cuja reta suporta interceptar o plano �. Chama-se prisma a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do polígono e situados num mesmo semi-plano dos determinados por �.

Figura 32: prisma.


1) Prisma de base pentagonal

Atividade 1: Solicitar que os alunos tragam o prisma de base pentagonal, utilizado no primeiro momento desta unidade. Explorar os elementos de um prisma, reforçando onde se localiza a base, faces laterais, vértices, arestas da base e altura.

Atividade 2: Utilizando-se de régua, medir as arestas da base e altura do prisma pentagonal. Calcular coletivamente a área da base, lateral e total.

Atividade 3: Construa no Geoplano Espacial um prisma com base pentagonal.

Calcule a área da base, lateral e total. Registre as atividades em seu caderno

quadriculado, com os cálculos e o desenho da figura.

2) Prisma de base triangular

Atividade 1: Verifique as medidas do prisma de base triangular em

acrílico abaixo e calcule:

� A área da base: A b =�²√�

�.

� A área lateral: Al = 3(área de um retângulo).

� A área total: At = Al + 2(área da base).

Figura 33: prisma.


Atividade 2: Utilizando-se do Geoplano Espacial desenvolva as atividades a

seguir:

a) Encontre o comprimento, largura e altura em u.m.l do prisma apresentado

na figura.

b) Calcule a área da base, lateral, total e volume do prisma de base triangular.

c) Construa um prisma com as medidas solicitadas no Geoplano Espacial,

como: 3u.m.l para cada aresta da base 30 u.m.l. para a altura.

d) Calcule a área da base, lateral e total.

Figura 34: prisma.


3) Prisma de base quadrangular

Atividade 1:Encontre as medidas dos prisma abaixo e calcule a área total.

Figura 35: prisma.


Atividade 2: Construa no geoplano espacial, um prisma de base quadrangular

com 9 u.m.l. de comprimento, 9 u.m.l. de largura e 30 u.m.l de altura. Calcule a

área da base, lateral e total.

Figura 36: prisma.

quivo pes s oal


4) Prisma de base Hexagonal

O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros, por isso a área

do hexágono é seis vezes a área de cada triângulo, representado pela fórmula:

Ab = �.�²√�.

�

Atividade 1:De acordo com as informações coletadas na figura em acrílico

abaixo, calcule as áreas da base, lateral e total.

Figura 37: prisma.


Atividade 2: Observe o Geoplano Espacial abaixo identificando a u.m.l. das

arestas das bases e a altura da figura geométrica. Calcule a área total.

Figura 38: prisma.


Volume de prismas

O volume de um prisma de altura h e área da base A b é: V= A b .h. Figura 39: prisma.

h

A b


Atividades: Utilizando-se do paralelepípedo em acrílico e do geoplano espacial,

calcular o volume das figuras abaixo, conforme medidas apresentadas pelo

prisma:

Figura 40: prisma.


Figura 41: prisma. .


Figura 42: prisma.


Figura 43: prisma.


Os prismas cujas bases são paralelogramos são chamados de

paralelepípedos. Se as arestas laterais são perpendiculares à base, então o

paralelepípedo é chamado de reta (caso contrário é oblíquo). Se, além disso, a

base é um retângulo, o paralelepípedo é chamado de reto-retângulo.

Quando todas as arestas de um paralelepípedo tem mesma medida, o

paralelepípedo é chamado de cubo.

Atividade 1: A medida da carroceria do caminhão é de 8,0 m. de comprimento,

2,5 m. de largura e 0,60 cm. de altura.

Sua carroceria tem o formato de um paralelepípedo reto–retângulo. A

fórmula que pode ser utilizada é V= a. b. c ou V= A b .h.

Figura 44: paralelepípedo.

h

b

a


Calcule a capacidade de carga do caminhão?

Atividade 2:Utilizando-se de uma régua, verifique e anote as medidas do cubo

em acrílico abaixo. Desenhe o cubo em seu caderno e calcule a área da base,

lateral, total e a capacidade de água que o cubo comporta.

Figura 45: cubo.


Atividade 3: Imaginemos que este cubo em acrílico tenha uma área total de 150 m². Com esta informação calcule a aresta e o volume desse cubo.

Atividade 4: Construir a figura geométrica no geoplano espacial. Calcular a área

da base, as áreas laterais, a área total e o volume, através das informações

presentes no geoplano. Registrar os dados coletados no caderno e desenhar o

paralelepípedo.

Figura 46: paralelepípedo.


5.3 -PIRÂMIDES

Consideramos um polígono convexo ABC...KLM situado num plano � e

em ponto V fora de �. Chama-se pirâmide a reunião de segmentos com uma

extremidade em V e a outra nos pontos do polígono.

Figura 47: pirâmide.


Atividade 1: Com o material acrílico, calcule a área total da pirâmide de base

hexagonal, de acordo com as medidas apresentadas pela figura. Registre a

atividade no caderno quadriculado.

Figura 48: pirâmide.


Atividade 2: Construa com palitos e jujubas duas pirâmides, uma de base

triangular e outra de base quadrangular. Utilizando-se de régua verifique as

medidas das pirâmides realizadas. Calcule a área da base, lateral e total das

figuras.

Figura 49 e 50: pirâmides.


Atividade 3: Com uma figura planificada de uma Pirâmide Pentagonal, recorte,

realize a dobradura e cole. Calcule a área total da Pirâmide.

Volume de pirâmide

Sejam h a medida da altura de uma pirâmide e Ab a área da base, então o

volume é dado por:

� =��. �

�.

Atividade 1: Calcule o volume das duas pirâmides triangulares abaixo. Verifique

a diferença de capacidade de cada uma. Compare os volumes, utilizando-se de

água.

Figura 51: pirâmides.


Atividade 2: Tendo como base de medida as pirâmides construídas com palitos e

as figuras planificadas, calcule o volume das mesmas.

5.4 - CILINDRO, CONE E ESFERA

1) CILINDRO Seja � e � dois planos paralelos distintos a uma reta que intercepta � e �

e C em circulo contido em �.

Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos que são paralelos

à r e que tem suas extremidades uma em C e a outra no plano �.

Figura 52: cilindro.


Se os segmentos que formam o cilindro são perpendiculares às bases,

então ele é chamado de cilindro reto.

O volume de um cilindro de área da base r e altura h é:

� = ��.

Os elementos de um cilindro circular:

� As bases do cilindro são os círculos congruentes localizados em

planos paralelos.

� As geratrizes g são os segmentos de retas paralelos ao cilindro com

extremos nas circunferências das bases.

� A altura h é a distância entre os planos das bases, �e �.

� O raio r do cilindro é o raio dos círculos das bases.


base raio r

h=g eixo

base

Fonte: arquivo pessoal

Atividade 1: Com a régua verifique a medida da altura e do raio de uma das

bases do cilindro. Calcule a área da base, lateral, total e o volume do cilindro.


basbases do cilindro. Calcule a área da base, lateral, total e o volume do cilindro.


Atividade 2: Assistir ao vídeo sobre cilindros. Apresenta diferentes tipos de

embalagens e seus respectivos cálculos. Compara volume com preços. Vídeo:

Aula 64 Matemática (Comparação entre volumes de prismas e cilindros) E. Médio

Telecurso.https://www.youtube.com/watch?v=PQNskQPWlFU&list=PLA1RzCTI8V

sid1RUG8Kj29S-kXkexcqWp&index=64&nohtml5=False, último acesso do link em

dezembro de 2016.

Atividade 3: Em aula anterior solicitar para que tragam diferentes figuras no

formato de cilindro, como: latas de óleo, ervilha, cilindro de papel higiênico,

alumínio e outros. Em grupo calcular a área da base, lateral, total e volume.

Socializar para a turma as formas e os cálculos que cada equipe desenvolveu.

2) CONE CIRCULAR Seja C um circulo contido em um plano � e V um ponto não pertencente

� . A reunião de todos os segmentos de reta que possuem um extremo

pertencente ao circulo e o outro em V é chamado de cone (circular).

Figura 55: cone.


Os elementos básicos de um cone são:

� Vértice: É o ponto V

� Base: É o círculo de raio r e Centro O.

� Altura: É a distância entre o plano da base é o vértice.

� Geratriz: É um segmento com extremidades na circunferência da base e a

outra no vértice.

Atividade 1: Conforme as medidas de altura e raio da base verificados na figura

abaixo, calcule:

a) A geratriz: g²=h² + r².

b) Área da base: A b = ��.

c) Área lateral: AL =�.r.g.

d) Área total: AT = Ab+ AL

e) Volume: ' =()².*

+

Figura 56: cone


Atividade2: Recortar, pintar e colar as figuras planificadas do cone. Realizar as

dobraduras e verificar suas medidas de altura e raio da base. Calcular a área da

base, lateral, total e volume dos cones.

3) ESFERA Seja C um ponto do espaço e r um número positivo.

Uma esfera é o conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP

é menor ou igual a r.

Figura: 55.


O volume da esfera é dado por:

V =4πr+

3.

Atividade 1: Calcule o volume de uma esfera de raio 2 cm.

Atividade 2: Desmonte a figura abaixo e verifique a medida do raio. Calcule o

volume. Verifique se a resposta condiz com a capacidade da figura.

Figura: 56.


Atividade 3: Assistir ao vídeo que identifica as propriedades dos sólidos,

relaciona semelhanças e diferenças e apresenta cálculos e fórmulas de

pirâmides, cones e esferas. Vídeo: Aula 65 Matemática (Volume de Pirâmide,

cone, esfera e propriedades) E. Médio Telecurso. /E/matemática/v/telecurso-

ensino-medio-matematica-aula-65/1270036/.

Educacao.globo.com/telecurso/vídeos/ensino-medio.

6. QUESTÕES DO ENEM E VESTIBULAR

Duração: 4 aulas.

As questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e Vestibular

consiste em uma listagem de problemas que serão entregues aos alunos para

resolução.

Após o conteúdo ter sido apresentado aos alunos e as atividades serem

aplicadas e corrigidas, resolver as questões do Enem e vestibular

individualmente.

Realizar a correção em hora-atividade na escola. Em outra aula, depois da

verificação dos resultados, entregar aos alunos. Comentar sobre conteúdos com

maior incidência de erros, rever os pontos falhos através da correção dos

problemas, buscando esclarecer dúvidas.

Proceder a entregada avaliação diagnóstica realizada no primeiro

momento, já corrigida, para que façam uma revisão dos erros, consertando-os.

Entregar aos alunos texto digitado com questões do Enem e Vestibular.

6.1 - Questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e Vestibular

QUARTO MOMENTO

1)( ENEM 2010)Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico,

seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo

maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:

a) 12 cm3. b) 64 cm3. c) 96 cm3. d) 1 216 cm3. e) 1 728 cm3.

2) (ENEM 2014) Qual a ordem de grandeza da quantidade de dados com lados

de 1 cm que encheria completamente uma caixa cúbica com lados iguais a 1 m?

a) 10³ dados. b) 105 dados. c) 106 dados. d) 107 dados. e) 1011 dados.

3) (ENEM 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona

canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os

canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de

madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas

em torno do tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem

ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando

a confecção do diploma.

Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção

do diploma?

a) �0. b) 2�0. c) 4�0. d) 5�0. e) 10 �0.

4) (ENEM 2015) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado

na Figura 1, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma

área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses

contêineres (Figura 2).

De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados

de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada.

Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto, a altura

mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é:

a) 12,5 m. b) 17,5 m. c) 25,0 m. d) 22,5 m. e) 32,5 m.

5) (ENEM 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado

por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da

parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte

cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e

levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do

depósito?

a)8. b)10. c)16. d)18. e)24.

6) (FGV–SP) Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de

largura, para elevar o nível de água em 10 cm são necessários:

a) 500 l. de água.

b) 5000 l. de água.

d) 1000 l.de água.

e) 50000 l. de água.

7) (UFOP–MG) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é:

a)140cm². b)150cm². c)120√2cm². d)100√3cm². e)450cm².

8) (ENEM 2015) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a

partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos

cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que

metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma

cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de

cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

a) 6. b) 8. c) 14. d) 24. e) 30.

9) (ENEM 2014) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está

localizada no Chile, em San Alfonso Del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares

de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o

valor, em metros quadrados, de área coberta pelo terreno da piscina?

a) 8. b) 80. c) 800. d) 8000. e) 80000.

10) (ENEM 2016) Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda um guarda

roupa nas dimensões 220 cm de altura, 120 cm de largura e 50 cm de

profundidade. Alguns dias depois, o projetista, com o desenho elaborado na

escala 1:8, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação. No

momento da impressão, o profissional percebe que o desenho não caberia na

folha de papel que costumava usar. Para resolver o problema, configurou a

impressora para que a figura fosse reduzida em 20 %.

A altura, a largura e a profundidade do desenho impresso para a apresentação

serão, respectivamente:

a) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm.

b) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,25 cm.

c) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81 cm.

d) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm.

e) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm.

11) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as

dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo

que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Para

obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em:

a) 14,4%. b) 20,0%. c) 32,0%. d) 36,0%. e) 64,0%.

5) UM PROBLEMA APLICADO

QUINTO MOMENTO

Duração: duas aulas.

Objetivos:

� Desafiar o aluno a resolver em equipe o problema solicitado.

� Apresentar, verificar e concluir às atividades solucionadas pelas equipes.

� Observar se houve participação, interesse, envolvimento nas atividades

disponibilizadas e aprendizagem.

Encaminhamento Metodológico:

Formar grupos com até quatro membros por equipe, para que resolvam o

problema proposto de forma cooperativa. A responsabilidade pela resolução do

problema e resultado final será do próprio grupo, pois estarão sendo avaliados

durante o processo.

Primeiramente as equipes farão a leitura das questões, buscando

compreender antecipadamente os procedimentos na resolução dos cálculos que

se propõem realizar.

O professor acompanhará a resolução das atividades, complementando,

sugerindo e intervindo sempre que for necessário, no intuito de facilitar o processo

de ensino e aprendizagem.

Os alunos farão registros das respostas e desenvolvimento dos respectivos

cálculos realizados.

Após as equipes resolverem as questões, o representante do grupo

socializará o resultado do trabalho para a turma, objetivando sanar eventuais

dúvidas.

Coletivamente e no grupo avaliar o trabalho realizado verificando a

produtividade.

O problema será desenvolvido com dois caminhões. Na primeira parte, o

agricultor transportará seu produto com um caminhão menor. A medida da

carroceria do caminhão é de 8,0 m de comprimento, 2,5 m de largura e 0,60 cm

de altura. Tem capacidade para 7500 toneladas.

Na segunda parte, o caminhão Bitrem de sete eixos, com uma capacidade

de transportar carga de 37 toneladas, levará da Cooperativa de Nova Prata do

Iguaçu até Paranaguá

Dialogar com os alunos as oscilações de preço por tonelada, tornando

muitas vezes inviável o transporte do produto, pois gera prejuízo. Atualmente a

média por tonelada é de R$ 35,00. Na época da colheita chega até a média de R$

120,00 por tonelada.

Problema: Transporte de Carga

Um produtor rural plantou soja em uma determinada área de sua

propriedade, conforme especifica a figura abaixo.

420 metros

Benfeitorias do Agricultor

410 m. 450 m. 210 m. 400 m.

Área plantada de soja Pasto Reserva florestal

240 m. 130 m. 130 m.

250 m. 130 m.

510 metros

Com base nessas informações, responda:

a) Qual é a área total da propriedade?

AGORA É COM VOCÊ!

UM TRABALHO EM EQUIPE TEM FORÇA,

QUANDO TODOS COOPERAM.

BOM ESTUDO!

b) Qual é a área plantada de soja em m²?

c) Se um hectare tem 10000 m². Quantos hectares de soja o agricultor plantou?

d) O produtor colhe em média seis toneladas por hectare. Qual é a perspectiva de

colheita para está área? Quantas sacas de 60 kg essa produção representa?

e) Para transportar o produto, o caminhão leva até 7500 toneladas. A medida da

carroceria do caminhão é de 8,0 m de comprimento, 2,5 m de largura e 0,60 cm

de altura. Quantas viagens terá que fazer se levar a granel?

f) Quanto gastará com o frete se o valor por saca de 60 Kg é de R$ 1,20 ?

g) A previsão para o valor da saca de soja é de R$ 75,00. Qual é a perspectiva do

valor arrecadado com a venda, descontando o frete?

h) Qual é a área destinada para a reserva florestal, pasto e propriedade?

i) Para comercializar o produto de forma competitiva o agricultor armazena seus

grãos em silos, no formato cilíndrico, com capacidade de duas mil toneladas cada

um. A safra de grãos comportará em apenas um silo? Se não, quantos silos?

j) São feitos exercícios para calcular o volume do silo quando ele possui os

seguintes formatos: 1) Cilindro; 2) Tronco do cone; 3) Tronco de cone encimado

um cilindro; 4) Cilindro encimado por uma semi- esfera; 5) Cilindro encimado por

um tronco de cone.

Você é o caminhoneiro. Está levando a carga completa, conforme

recomendações, de soja a granel. Para o transporte do produto recebe pelo frete

por tonelada, conforme a capacidade do caminhão que é de 37 toneladas. O valor

do frete por tonelada é de R$ 90,00. Você ganha mais 12% do valor bruto da

carga. Deste valor é descontado de você R$ 35,00 de seguro da carga. O frete

O agricultor levou o produto até a Cooperativa, onde vendeu. A

Cooperativa tem destino certo para a soja do agricultor.

desta vez é livre de pedágio. O preço do óleo é de R$ 2,95. Você faz em média

1,7 km por litro de óleo. Com base nos dados, calcule:

a) Qual é o valor bruto recebido pelo transporte do produto?

b) A distância de Nova Prata do Iguaçu até chegar ao local de desembarque da

carga em Paranaguá é de 619 Km, via BR 277.O caminhão faz em média 2 km

por litro de óleo. Qual será a quantidade de combustível gasto no total do trajeto?

c) Qual é o valor da despesa em R$ de combustível?

d) Qual o lucro aproximado do caminhoneiro?

e) Descubra o volume da carga de soja a granel.

6. ANEXOS

Anexo 1: Avaliação Diagnóstica do conteúdo de Geometria:

1. Identifique vértice, aresta e face das figuras abaixo, conforme orientações:

a) Faça um circulo pequeno no vértice.

b) Pinte a face.

c) Cubra as arestas.

d) Qual o número de vértices ( ), de arestas ( ) e faces ( ) do quadrado?

e) Qual o número de vértices ( ), de arestas ( ) e faces ( ) do triângulo?

2) O tijolo representado na figura abaixo tem a forma de um paralelepípedo com

0,24 cm de comprimento, 0,14 cm de largura e 0,08 cm de altura. Conforme os

valores apresentados, calcule:

a) A área da base inferior.

b) A soma da base inferior e superior.

c) A área da lateral maior.

d) A área da lateral menor.

e) A área total das laterais do tijolo.

f) A área da superfície total deste paralelepípedo.

g) Como se calcula o volume? Qual o volume do tijolo? (Fornecer a fórmula)

3) A parte da parede de uma casa tem medidas de 1,83 cm comprimento e 1,15

cm de altura.

Calcule:

a) A área da superfície da parede.

b) A medida da diagonal desta figura.

c) O perímetro da imagem

4) (ENEM 2012) Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos

construíssem um cubo a partir da planificação em uma folha de papel,

representada na figura a seguir.

Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M.

As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras:

a) E-N, E-M e B-R.

b) B-N, E-E e M-R.

c) E-M, B-N e E-R.

d) B-E, E-R e M-N.

e) E-N, B-M e E-R.

5) (ENEM 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de

espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A

prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato

retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza

orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a

praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos

terrenos disponíveis para a construção da praça:

Terreno 1: 55 m por 45 m.





Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela

prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno:

a) 1. b)2. c) 3 . d) 4. e) 5.

6) (ENEM 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente,

com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a

figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48

metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é:

Anexo 2- Questionário

1. Você já resolveu questões do Enem e Vestibular com sucesso?

( ) Sim ( ) Não

Porque?

2. Em que ano do Ensino Médio deveria ser trabalhado com os alunos a

resolução das questões do Enem e Vestibular?

( ) em todas as séries

( ) somente com os alunos dos 3º anos

( ) com nenhuma turma

Porquê?

3. Você julga ter conhecimento para solucionar questões apresentadas?

( ) Sim ( )Não

Porque?

4. Conforme sua opinião, o critério que o professor deve adotar no dia a dia

escolar que melhor contribui para a aprendizagem do estudante e colabora com o

sucesso no momento de fazer o Enem e Vestibular:

( ) Resolver listagens de questões do Enem e vestibular.

( ) Colocar questões nas provas, referente ao Enem e vestibular.

( ) Sempre após cada conteúdo abordado, explorar questões do Enem e

vestibular.

( ) Trabalhar as questões do Enem e vestibular, somente no término do terceiro

ano do ensino médio.

( ) Todos os itens anteriores.

( ) Outro? _________________________________________________

5. A escola deveria explorar mais durante o ensino Médio questões do Enem e

Vestibular?

( ) Sim ( ) Não

Se você respondeu sim, de que forma:________________________________

6. Você pretende prosseguir seus estudos após a conclusão do Ensino Médio?

( ) Sim ( ) Não

7. Vai fazer o Enem este ano?

( ) Sim ( ) Não Por quê?________________________________

Anexo 3 – Planificações

7. REFERÊNCIAS:

DIAS, Marília do Amaral. VI Congresso Internacional de Ensino da

Matemática. Experiências Matemáticas no Geoplano, 2013.

DOLCE, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau. Fundamentos da Matemática.

Elementar. Volume 9. Geometria plana, 7ª ed., Atual, 1997.

DOLCE, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau. Fundamentos da Matemática

Elementar. Volume10. Geometria Espacial posição e métrica, 5ª ed., Atual,1998.

PAIVA, Manoel. Matemática. Volume1e 2, 1ª edição, São Paulo: Moderna, 2009.

PIRES, M.N.M. Et.Al. Prática Educativa do pensamento Matemático. IESDE,

Curitiba, 2004.

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