Secuencia Formativa 2

Estructura general de la asignaturaSecuenciaFormativa


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Tu empresa

Competencias Genéricas a las que contribuye la asignatura

Competencias Elementos de competencia4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Expresión verbalExpresión escritaProponeObservaReconoce Participación

5. Desarrolla innovaciones

y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Sentido de colaboraciónRespetoEscuchar Interpreta Innova

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.8.- Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Aplico la derivada en problemas reales de optimización, modelando las situaciones teórico-prácticas

Competencias Genéricas a las que contribuye la asignatura

Resultado de aprendizaje de la asignatura con respecto a la competencia

Relación con otras disciplinas

Algebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo: Nos auxiliamos de estas asignaturas en temas como: Expresiones algebraicas, lenguaje algebraico, productos notables, factorización, ecuaciones de primer y segundo grado, áreas, teorema de Pitágoras, funciones trigonométricas, la recta, cuádricas, gráfica de funciones, límite de funciones, interpretación geométrica de la derivada, derivación de funciones.

LEOyE. Nos auxiliamos de esta disciplina para expresarse en forma verbal y escrita adecuadamente a fin de comprender el mensaje y así transitar al lenguaje con símbolos y expresiones algebraicas para la deducción e interpretación de la función matemática.

Física, Química y Biología. Vinculación de estas materias con la asignatura en los temas como: tiro parabólico, caída libre, movimiento rectilíneo uniforme; En el tema de temperatura, rapidez de enfriamiento, mezclas de sustancias, velocidad de reacción; En reproducción asexual de microorganismos unicelulares, respectivamente

CTSyV I Y II. Contribuimos al análisis del ambiente y la alteración de este (contaminación, explosión demográfica) y a la promoción de valores universales.

Economía y Administración. Auxiliamos y contribuimos a los temas de mercado, oferta y demanda, indicadores económicos, inflación y devaluación. Y el proceso administrativo en la etapa de planeación.

Tu empresa

Aplicación de la Derivada Problemas de optimización:

No.Tema Integrador

Concepto Fundamental Concepto Subsidiario

Concepto(s) Subsidiario(s) de primer nivel

- Área- Volumen - Costo

Tiempo y diversidad 10 horas/clase.

Categorías Tiempo Programado

Conceptual (aprender a conocer):Optimización en actividades de tu entornoDimensiónVariaciónCostos

Dimensiones de la Competencia

Utilidad

Procedimental (aprender a hacer):Planteamiento y obtención de las funciones que modelen los problemas reales que se le presentenResolución de problemasElaboración de maqueta que represente la optimización en un problema realElaboración de problemas

Actitudinal (aprender a ser):Participación Interés

RespetoSentido de colaboración CreatividadSaber escucharTolerancia

Actividad 1

Lee la siguiente lectura:

“La mayoría de las personas en la actualidad no identifican la optimización como algo que tenga que ver con su vida cotidiana”.

La mayoría de las personas en la actualidad no identifican la optimización como algo que tenga que ver con su vida cotidiana. Sin embargo, la optimización afecta virtualmente a cada una de las personas del planeta.

La optimización se puede definir como el proceso de escoger las acciones que den como resultado la mejor salida.

En otros términos, permite calcular la mejor utilización posible de los recursos que se requieren para la obtención de un resultado deseado.

El hecho de querer casi siempre obtener mejores resultados con menos recursos se aplica a muchos problemas de la vida real. Por ejemplo, en las mañanas quisiéramos llegar lo más rápido posible la escuela recorriendo la menor distancia y gastando la menor cantidad de dinero. Al momento de planear un viaje en avión quisiéramos poder encontrar el boleto más económico con el menor número de escalas y en el mejor asiento posible. La optimización nos puede ayudar a encontrar la mejor respuesta a estos ejemplos.

La optimización permite a las organizaciones considerar escenarios alternativos que las puedan llevar a un mejor resultado reflejado en un incremento de ganancias o en una disminución de costos. Así como también determinar los mejores planes para alcanzar los objetivos planteados.Algunas de las soluciones existentes para responder preguntas específicas en diferentes industrias son:

-Optimización de campañas, ¿cuáles son las campañas que tendrán un mayor impacto en los resultados que se están buscando?

-Optimización de promociones, ¿cuál es la promoción que después de ser aplicada maximizará las ventas?

-Optimización de precios regulares, ¿cuál es el precio regular que conviene mantener para incrementar todas las ventas?

-Optimización de inventarios, ¿cuáles son las existencias que se deben de tener para no tener costos asociados a un sobre inventario o sub inventario?

La optimización ayuda a tomar la mejor decisión de acuerdo a las condiciones actuales de las organizaciones. Sin la optimización, las empresas solo repetirían sus errores tomando siempre las mismas acciones y creyendo que éstas son las mejores.

La verdadera utilización de la optimización en nuestro país es todavía muy rara. Sin embargo, ésta continuará creciendo de una manera exponencial debido a los grandes resultados que pueden ser obtenidos. Entre más pronto una compañía implemente la tecnología para la optimización de sus procesos de toma de decisiones, mayores serán los beneficios logrados.

Una de las preguntas que con más frecuencia se escucha en la industria actualmente es: “¿es óptimo este diseño?”

Actividad 2

Analiza y comenta en plenaria con tus compañeros la siguiente pregunta ¿De qué manera piensas que una empresa que se dedica a construir cajas para empacar tenis, hacen sus cálculos para construir una pieza usando la mínima cantidad de material?

En la figura puedes ver los elementos necesarios para construir una caja.

La figura geométrica total es un rectángulo

O09

Los cortes que le hagas a las esquinas son cuadrados.Si unes las 4 pestañas se forman las caras laterales de la caja.

Actividad 4

Intégrate en equipo y construye una caja abierta por arriba y del mayor volumen posible, para lo cual disponen de una pieza de cartulina de 32 cm por lado.

32 cm

El volumen no se mide en unidades cuadráticas (m2, cm2, mm2)

Para medir el volumen de cualquier cuerpo usamos las unidades de volumen. Su unidad principal es el metro cúbico, cuyo símbolo es: m3. Un metro cúbico es el espacio que ocupa un cubo de 1 metro de arista.1m3 = 1000 l

Las unidades de área son dadas en unidades cuadradas (m2, cm2, mm2)

Los milímetros cúbicos (mm3) no es lo mismo que mililitros (ml)

Actividad 1

Responde a las siguientes preguntas:

¿Cómo podemos realizar de una manera más segura la construcción de la caja?

¿Estamos en posición de emplear la potencia del cálculo para responder a la pregunta?

¿Las herramientas que hemos estado desarrollando en Matemáticas VI son precisamente lo que se necesita?

Actividad 2

Realiza un tabla con ejemplos de los siguientes conocimientos previos que te van a ser necesarios para tener un buen desempeño en la solución de estos problemas.

Lenguaje algebraico.Solución de ecuaciones

FactorizaciónMétodo de solución de máximos y mínimos.

Para que te des una idea puede ser como:

Conocimiento Ejemplo

Factorización por diferencia de cuadrados

Se desea construir una caja cuadrada abierta por arriba y del mayor volumen posible, cortando las esquinas cuadradas iguales doblando hacia arriba para formar las caras laterales. Si se dispone de una pieza de hojalata de 32 cm por lado, ¿Cuánto debe medir el cuadrado que se recorta para obtener el volumen máximo?

Datosx altura o profundidad de la caja32 – 2x longitud del lado cuadrado que formará la base de la caja. .

32 cm

xx

xx

32 cm

x232

Te sugerimos que para resolver este tipo de problemas te apoyes en las siguientes guías generales (son guías no reglas) y te recomendamos que no las memorices pero que las tengas en mente mientras trabajas este tema.

Si hay una imagen que dibujar, ¡dibújala! No trates de imaginar en tú cabeza cómo parecen las cosas. Plasma la imagen en papel y ponle etiquetas adecuadas.

Determina cuáles son las variables y cómo están relacionadas. Establece qué cantidad requiere ser maximizada o minimizada. Escribe una expresión para la cantidad que debe ser maximizada o minimizada en

términos de sólo una variable. Para hacer esto puede ser necesario resolver con respecto a las otras variables en sólo una variable, en términos de la variable seleccionada.

Determina los valores máximos y mínimos permisibles (si los hay) de la variable que estarás usando.

Resuelve el problema (¡asegúrate de responder la pregunta formulada!)

Sigue los procedimientos de manera reflexiva y comprende como cada uno de ellos contribuye a darle solución al problema, utilízalo como apoyo para darle solución a otros problemas.

Los datos son

Encontrando la ecuación para calcular el volumen de la caja.

V = área de la base por la altura.Si recordamos que A del cuadrado = lado x lado = l 2

x232 Longitud del lado del cuadrado que forma la base de la cajaAltura de la cajax

Entonces:

Aplicamos el criterio de la primera derivada para obtener el máximo; si

El resultado de lo igualamos a cero para obtener los valores de es decir las raíces:

Ecuación a la que le vamos a realizar el análisis y que nos dará el volumen máximo.

Factorización Ecuación. General

Ecuación cuadrática

Factor común

A= 12B=-256C=1024Recuerda que: La

ecuación. General solo te sirve para resolver ecuaciones de 2º. Grado completa incompleta.

Analizando los valores de

Un número un poco menor Un número un poco mayor

Como el signo pasa de positivo a negativo se concluye que hay un máximo en

+ -


Como el signo pasa de negativo a positivo se concluye que hay un mínimo en

- +

Las medidas de la caja deben ser:

Altura = cm. o el cuadrado que se debe recortar es de cm por lado

Volumen de la caja se obtiene sustituyendo en

Opina brevemente acerca de que diariamente se construyen grandes cantidades de cajas unas pequeñas por ejemplo para empacar medicinas y otras tan grandes como las de un refrigerador y que procedimientos como el anterior les permite obtener las medidas adecuadas.

Una pagina rectangular ha de contener 24 cm2 de impresión; los márgenes superior e inferior de la página tienen una anchura de 1.5 cm; los márgenes laterales tienen 1 cm. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de papel a emplear sea mínima?.

A = 24 cm2

1.5 cm

1 cm

x

y

Sigue los procedimientos de manera reflexiva y completa los espacios con una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuentas para darle solución al problema.

Los datos son

Área impresa 24xy (1)

Encontrando la ecuación para conocer los valores del largo (x) y ancho (y) del área impresa y así las dimensiones de la hoja.

Despejando y de la ec. 1

)2)(3( yx Área de la hoja total (2)

(3)

Sustituimos (3) en (2)

Aplica el criterio de la primera derivada para obtener el máximo; si ____________________________

Ecuación a la que le vamos a realizar el análisis y que nos dará el volumen máximo.

El resultado de lo igualamos a cero para obtener los valores de es decir las raíces:

Resuelve la ecuación anterior que formaste por la manera elijas.

Factorización Ecuación. GeneralA=_____ B=_____C=_____

Ecuación cuadrática

Analizando los valores de


Como el signo pasa de positivo a negativo se concluye que hay un máximo en

Un # un poco menor Un # un poco mayor

+ -

____________________________

____________________________

Como el signo pasa de ____________ a __________ se concluye que hay un ___________ en

Las medidas de la hoja impresa deben ser:Largo del área impresa = ___________

Ancho del área impresa = __________

Largo del hoja = ____________________

Ancho de la hoja = __________________

Área minima de la hoja = _____________

Escribe de manera concreta que opinas de la manera de resolver este problema en donde siguiendo una serie de procedimientos y completando otros te pueden ayudar a construir tú conocimiento.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad 1

En sesiones de taller (ver anexo y fotografías) e integrándote en equipo elige uno de los siguientes problemas de manera que se cuente con una diversidad de ejemplos de aplicación y que a la vez te permita realizar tú microempresa que entregaras al final de la secuencia ejemplificada en una maqueta.

1. En el costado de un corral se encuentra una barda de piedra y se disponen de 900 m de malla de acero de la misma altura de la barda; se desea hacer un corral rectangular utilizando el muro de piedra como uno de sus costados, calcula las dimensiones que debe tener el corral para encerrar la mayor área posible.

x

yy

2. Se va a construir un corral doble que forma dos rectángulos idénticos adyacentes. Si se dispone de 120 m de malla de alambre ¿Qué dimensiones harán que el área del corral sea máxima?

3. Se desea construir un pequeño centro comercial cuyo plano está dibujado en la figura 1.

El centro comercial debe constar de ocho tiendas rectangulares iguales (señaladas con una T en la figura), cada una con una superficie de 150 m2 . El pasillo central y la entrada deben tener 6 m de ancho. Las paredes de concreto están marcadas en el plano con línea doble y las lineas puntedas representan divisiones de vidrio. Queremos saber las dimensiones exteriores que debe tener este centro para que el costo de la construcción sea el minimo posible. Como datos adicionales se sabe que la construcción de pared cuesta $40 el metro lineal y las divisiones de vidrio valen $100 por metro lineal (ya considerada la altura de 5 m que debe tener el centro)

6 m

T T T

T T T T

T

Ty

x

(a) Plano de un centro comercial con 8 tiendas que se desea construir. Cada una debe tener 150 m2. Las líneas punteadas representan divisiones de vidrio.b) Este diagrama muestra una tienda con las variables del problema, las cuales se tienen que determinar para minimizar el costo total de la construcción.

Fig. 1

(a)

(b)

4. Una empresa refresquera solicita le fabriquen un envase cilíndrico que tenga una capacidad de 300 cm3. Cuales son las dimensiones que minimicen la cantidad de material usado en su fabricación, suponiendo que el espesor del aluminio es el mismo en todo el envase.

h

r

5. Se desea construir una caja rectangular sin tapa utilizando una lamina de plata de 16 por cm. Calcula la altura de la caja para que tenga el mayor volumen posible con el material disponible.

10 cm

16 cm

x

6. Un partido político para su campaña le solicita a una imprenta que le realice un póster el cual debe incluir 3000 cm2 de texto con imágenes, los márgenes superior e inferior deben tener 10 cm de ancho y los laterales 5 cm. Calcula las dimensiones mínimas de cada póster. Vota por

mi

10 cm

5 cm

7. Una maquiladora puede vender 2000 aparatos por mes a $15.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en cincuenta centavos podrá vender 10 piezas más. Calcula cuantas piezas debe vender para obtener la utilidad máxima y cual seria el ingreso al venderlas.

Actividad 2

Finalmente realiza una representación en forma de maqueta. Para que de esta manera tú puedas transitar por diferentes ambientes.

Resuelve en tu cuaderno de evidencias de producto las siguientes cuestiones y comprueba lo que aprendiste.

Supón que algunos amigos te transmiten sus quejas de que no pueden resolver ninguno de los problemas anteriores. Cuando les pides que te muestren su trabajo, ellos dicen que ni

siquiera pudieron comenzar. En esta secuencia hemos hecho énfasis en dibujar una imagen y definir variables. Parte del beneficio de esto es ayudarte a comenzar escribiendo algo (cualquier cosa). ¿Crees que este consejo ayuda? ¿Cuál crees que es el aspecto más difícil de estos problemas? Da a tus amigos el mejor consejo que puedas.

Hemos dejado de lado un aspecto de los problemas de optimización, un aspecto que podría llamarse “sentido común”. Por ejemplo supón que estas calculando las dimensiones óptimas

para una cerca y la solución matemática es construir una cerca cuadrada de longitud metros por

1.

2.

lado. Al reunirte con el carpintero que va a construir la cerca, ¿Qué longitud ordenarías? ¿Por qué probablemente no es la mejor forma de expresar la longitud? Podemos hacer la aproximación

= 22.36 ¿Qué le dirías al carpintero?

Un fabricante de acuerdo con sus registros de producción considera que el costo de fabricación de unos radios de pilas depende del número de unidades fabricadas según la función . Calcula la cantidad de radios por fabricar para que el

costo de cada unidad sea el mismo.

3.

4.

Calcula dos números cuya suma sea 125 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

Calcula las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 m, de manera que el rectángulo tenga el área máxima.

5.

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