VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LA ARANDELA

CALCULO INTEGRAL (ARQ)

21/04/23 1CI Arq

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

ab

21/04/23 2CI Arq

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

i2

ii x])x(f[V i

2ii x])x(f[V

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DEL DISCO

21/04/23 4CI Arq

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y = f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

b

a

2

n

1ii

2i

0)P(

dx)]x(f[

x)]x(f[limV

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Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

21/04/23 6CI Arq

x

Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.

21/04/23 7CI Arq

y

Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:

d

c

2 dy)]y(g[V

21/04/23 8CI Arq

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MÉTODO DE LA ARANDELACuando la región a girar está limitada por dos

funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

a bx

y

x

(*)

Diferencial de volumen

f(xi)g(xi)

xi

i22

i x))]x(g[)]x(f[(V

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TEOREMASean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

dx))]x(g[)]x(f[(

x))]x(g[)]x(f[(limV

b

a

22

n

1ii

2i

2i

0)P(

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Ejemplo 5:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

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-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

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Ejemplo 7:La región limitada por la curva y = x2, el eje X y la recta x = 2 se gira alrededor del eje Y. Calcule el volumen generado.

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Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.

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Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.

y = -3