Volumen Metodo de Las Arandelas

7/30/2019 Volumen Metodo de Las Arandelas

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METODO DE LAS ARANDELAS

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Consideremos dos funciones )( x f y )( x g continúas en el intervalo cerrado [ ]ba, , de

tal manera que )()( x g x f ≥ para todo [ ]ba x ,∈ . Sea la región del plano limitada por

las curvas con ecuaciones )( x f y = ; )( x g y = y las rectas con ecuaciones b xa x == , .

Se requiere determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la regióncomprendida entre las dos curvas, alrededor del eje (note que en este caso no giramosla región alrededor de una de sus fronteras).

El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

Sea n P una partición del intervalo [ ]ba, determinada por el conjunto de números

{ }n x x x x ,....,,, 210 con 1−−=∆iii x x x para ni ....,3,2,1= ,

En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación delvolumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

1




Se muestra a continuación el esimoi − rectángulo y el esimoi − anillo circular generadoal rotar aquel alrededor del eje .

Luego, el área del anillo circular es: )( )( x g bajo x f bajo Area Area −

( ) ( )22

)()( x g x f A i π π −=

por lo que el volumen del esimoi − elemento sólido será:

( ) ( ) iii x x g x f V ∆−=∆22

)()(π

Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:

( ) ( )[ ]∑∑ ==∆−=∆=

n

i

ii

i

n

i

x x g x f V V 1

22

1

)()(π

Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será laaproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Por lo tanto si hacemos que ntienda al infinito el volumen del sólido generado es:

( ) ( )[ ]∑=

∞→∆−=

n

i

iin

x x g x f LimV 1

22)()(π

( ) ( )[ ]∫ −=b

ai dx x g x f V

22)()(π

Al igual que para el área entre dos curvas, es bueno recordar la expresión en la forma:

2




−=

b

adx

erior

Curva

erior

Curva

V

22

inf supπ

Para evaluar el sólido generado al hacer girar una región del plano comprendida entredos curvas , se recomienda.

1. Dibujar las curvas para identificar la región que se hace girar y determinar en elintervalo que curva se encuentra en la parte superior y cual en la inferior.

2. Determinar los límites de integración los cuales corresponden a las rectasb xa x == , si las curvas no se intersecan, o los puntos de intersección cuando

estas se cruzan.

3. Aplicar la expresión para determinar el volumen, es decir

( ) ( )[ ]∫

−=b

a

i dx x g x f V 22

)()(π

Ejemplos UNO.

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje x , la superficie

comprendida entre las parábolas con ecuaciones2)( x x g = , x x f =)( .

Solución La representación gráfica de la región y del esimoi − rectángulo es la siguiente:

3




-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

y

f(x)=√x

g(x)=x2

En la grafica observamos que la función que se encuentra en la parte superior es x x f =)( . Ahora los límites de integración corresponden a los puntos de corte de las

dos curvas, es decir:

( )

1

0

01

0

)()(

3

4

4

2

==

=−=−

==

=

x

x

x x

x x

x x

x x

x f x g

Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:

( ) ( )[ ]

( ) ( )

[ ]

π π

π

π

π

π

10

3

5

1

2

1

52

)()(

1

0

52

4

222

22

=

−=

−=

−=

−=

−=

∫

∫ ∫

V

x xV

dx x xV

dx x xV

dx x g x f V

b

a

b

a

b

ai

4




EJEMPLO DOS. Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al hacergirar en torno al eje de las equis la región del plano comprendida entre las curvas

2)( x x f = , 12)( += x x g .

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

g(x)=2x+1

f(x)=x2

Buscamos los puntos de intersección

012

12

)()(

2

2

=−−

+=

=

x x

x x

x g x f

Resolviendo la cuadrática encontramos

38.2

43.0

=

−=

x

x

En la grafica observamos que la función que se encuentra en la parte superior de laregión es 12)( += x x g , Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:

5




( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

π

π π

π π

π π

π

π

π

π

556514.16

023486.058.16

000486.0023.027.1585.31

5

43.0

6

1.43.0*2

5

38.2

6

138.2*2

5612

12

12

)()(

5353

38.2

43.0

53

38.2

43.0

42

38.2

43.0

222

22

=

−=

+−−=

−−

+−−

−

+=

−+=

−+=

−+=

−=

−

−

−

∫

∫

∫

V

V

V

V

x xV

dx x xV

dx x xV

dx x f x g V b

ai

EJEMPLO TRES : La región del plano comprendida entre las curvas 4)( += x x f ,

2)( −= x x g y las rectas 2= x , 5= x se hace girar en torno al eje de las equis.Determine el volumen del sólido de revolución generado.

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

f(x)=x+4

g(x)=x-2

De acuerdo a la región mostrada en la figura, el volumen del sólido es:

6




( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

π

π π

π π

π

π

π

162

0729243

5

22

6

42

3

25

3

45

3

2

3

4

24

)()(

3333

5

2

33

5

2

22

22

=−−−=

−−+−

−−+=

−−+=

−−+=

−=

∫ ∫

V

V

V

x xV

dx x xV

dx x g x f V b

ai

EJEMPLO CUATRO:

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje y , la superficie

comprendida entre las parábolas con ecuaciones 2)( x x g = , x x f =)( .

Solución La representación gráfica de la región es la siguiente:

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

y

f(x)=√x

g(x)=x2

El anillo circular tiene como radio máximo )( x g , y como radio mínimo )( x f .

En este caso tomamos como la variable dependiente, y se tiene que el volumen delsólido está dado por:

7




( ) ( )[ ]

( ) ( )

π

π

π

π

π

5

3

5

1

2

1

52

)()(

1

0

52

1

0

222

22

=

−=

−=

−=

−=

∫ ∫

V

V

y yV

dy y yV

dy y f y g V d

c

EJEMPLO CINCO:

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor del eje y, la parte de la

parábola 0,42 >= aax y , que intercepta la recta a x =

Solución: La representación gráfica de la región y del i-ésimorectángulo es la siguiente:

El anillo circular tiene como radio máximo a x = , y como

radio interiora

y x

4

2

= . Tomamos x como la variable

dependiente.

El volumen del sólido está dado por:

8




( )

π

π π

π

π

π

π

3

3

3

3

3

1

0

2

5

2

2

22

4

2

2

2

22

2

22

5

16

522

522

80

16

4

aV

aaaaV

a

y yaV

dya

yaV

dya

yaV

dyizquierda

Curva

derecha

CurvaV

a

a

a

a

d

c

=

+−−

−=

−=

−=

−=

−

=

∫

∫

∫

−

−

ACTIVIDAD.

1. Determinar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitadapor las gráficas de las ecuaciones 2 x y = , 4= y , gira alrededor de:

1. el eje y2. la recta con ecuación y=43. el eje x4. la recta con ecuación y=-15. la recta con ecuación x=2

2. Calcule EL volumen del sólido de revolución cuando se hace girar el área comprendida

entre2

)( x x g = y2

4)( x x x g −= alrededor a) del eje x b) del eje y.

3. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje de las x la

región acotada por la parábola 1)(2 += x x f y la recta 3)( += x x g .

4. Calcule el volumen cuando la región acotada por las parábolas2 y y x −= y

32 −= y x se hace girar alrededor de la recta 4−= x .

5. Se tiene la región acotada por las curvas3

)( x x f = , x x g =)( . Determine el

sólido de revolución que se genera al hacer rotar la región entorno a: el eje x , eleje y , la reta x= 2 , la recta y= 4.

9




6. determine el volumen cuando la region indicada se hace girar entorno a:

a)

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)=x3-3x2+1

g(x)=x2-2x

alrededor de la recta y= -4.

b)

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

f(x)=x3-3x2

y=2

alrededor de la reta y = 2

10




c)

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

f(x)=√x

f(x)=21-x

al eje x

d)

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

f(x)=1+√x

f(x)=2e-x

(0.28,1.5)

entorno al eje x ,en torno al eje y.

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