SEMANA 01 - 02

DIVISIBILIDAD Múltiplos Divisor Conjunto de divisores de un número Forma general de los múltiplos. Divisibilidad – Criterios o reglas. Números primos y compuestos

MÚLTIPLO. Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número por cualquier número natural. Si la división a: b es exacta diremos que: a es un múltiplo de b, y lo expresaremos simbólicamente a = m(b). Forma práctica y creativa para obtener múltiplos de un número Forma: Abanico:

( ) * +

( ) * +

( ) * +

( ) * +

Forma : Circo

RECUERDA. Todo número natural es múltiplo de sí mismo, porque si multiplicamos dicho

numero por 1, nos da el mismo número. m(2)= 2 ; m(3)=3; m(4)=4; m(5)=5; m(6)=6 m(7)=7; m(8)=8; m(9)=9…

6

x

4 = 24

2 = 12

6 = 36

0 = 0

3 = 18

1 = 6

5 = 30

. . . . . .

n

Múltiplos

Números Naturales

8

9 x

4 = 32

2 = 16

6 = 48

0 = 0

3 = 24

1 = 8

5 = 40

. . . . . .

n

Múltiplos

Números Naturales

N={ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …}

12 x

M(12)={ 0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …}

N={ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …}

17 x

M(17)={ 0; 17; 34; 51; 68; 85; 102; …}

4

x

4 = 16

2 = 8

6 = 24

0 = 0

3 = 12

1 = 4

5 = 20

. . . . . .

n

Múltiplos

Números Naturales

9

4 x

4 = 36

2 = 18

6 = 54

0 = 0

3 = 27

1 = 9

5 = 45

. . . . . .

n

Múltiplos

Números Naturales

El 0 es múltiplo de todos los números. m(2)= 0 ; m(3)=0; m(4)=0; m(5)=0; m(6)=0 m(7)=0; m(8)=0; m(9)=0… Todo número natural a tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por

la sucesión infinita de los números naturales.

( ) * + La suma de dos múltiplos de a es otro múltiplo de a: ( )

( ) * ( )+ El producto de múltiplos de un número a es múltiplo de a: ( )( ) ( ) ( ) * ( )+

DIVISOR Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.

Si b es divisor de a, lo expresaremos simbólicamente como: a b , dicho de otra forma a es múltiplo de b ó b es divisor de a si existe un número natural “n” tal que a = b.n. Ejemplos: 24 = 4(6) Donde a = 24 ; b = 4 y n = 6 42 = 6(7) Donde a = 42 ; b = 6 y n = 7 LOS TÉRMINOS “MÚLTIPLOS” Y “DIVISOR” SON CORRELATIVOS Los términos múltiplo y divisor son correlativos; Esto quiere decir que donde quiera que consideremos un múltiplo habrá que considerar un divisor y viceversa. CONJUNTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO: D(n) Los divisores de un número se pueden encontrar a través de todos los productos equivalentes a dicho número. Ejemplos. En los ejemplos se observa que el conjunto de divisores de un número distinto de cero

es finito ( ) ( )

3 27

Es divisor de

Es múltiplo de

7 42

Es divisor de

Es múltiplo de

5 35

Es divisor de

Es múltiplo de

𝐷( ) * +

Divisores de 18.

18 = 1 x 18

18 = 2 x 9

18 = 3 x 6

𝐷( ) * +

Divisores de 24.

24 = 1 x 24

24 = 2 x 12

24 = 3 x 8

NÚMERO TOTAL DE DIVISORES DE UN NÚMERO Generalizando: Si un número “N” se factoriza en sus factores primos, quedaría representada así: N = ax .by . cz Dónde: a; b y c son los factores primos; x; y; z son los exponentes de cada factor primo. Luego, el número de divisores del número “N” está dado por la siguiente formula: Número de divisores = (X + 1) . (Y + 1) . (Z + 1) Hallar el número total de divisores de 80 Hallar el número total de divisores de 120 FORMA GENERAL DE LOS MÚLTIPLOS NOTA: Importante: el cero es múltiplo de cualquier número entero positivo y es el único con tal característica. OPERACIONES ENTRE MÚLTIPLOS 1

2 3 4

OBSERVACIÓN. La división de dos números que son múltiplos de “n” no necesariamente es otro múltiplo de “n”

80 2

40 2

20 2

10 2

A B

0 K

Dados los números A y B

Por propiedad en la división:

A= B x K+0 → A= B x K = B

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

20 + 8 = 28

(𝑛)𝑚 𝑛 𝑚 ∈ 𝑍

(4)3 = 64

𝑛𝑥 𝑘 𝑛 𝑘 ∈ 𝑍

20 x 5 = 100

𝑛 − 𝑛 𝑛

20 - 8 = 12

A 4

0 K

A= 4 x K = 4

Múltiplos de 4

A= 4= 4K ={0; +4; +8; +12; +16; +20……

{0; 1; 2; 3; 4; 5; ……

𝑛

𝑛 𝑞 (q 𝐶𝑢𝑎𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜)

𝑝𝑒𝑟𝑜

𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒

4

4

80= 2x2x2x 2x 5 = 24 x 51

Para hallar el número total de divisores, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos

#D(80) = (4 + 1) (1 + 1) = ( 5 ) ( 2 ) = 10

Entonces el número de divisores de 80 es 10

120 2

60 2

30 2

15 3

120 = 2x2x2x 3x 5 = 23x 31x 51

Para hallar el número total de divisores, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos

#D(120) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) = 16

Entonces el número de divisores de 120 es 16

Resuelve ejercicios y problemas sobre múltiplos y divisores 1) Los múltiplos de un número es un conjunto: ……………… ¿Por qué? ……………………………………………………………………………………… 2) Los divisores de un número es un conjunto: ……………… ¿Por qué? …..…………………………………………………………………………………. 3) Hallar los 7 primeros múltiplos de:

a) Múltiplos de 2 b) Múltiplos de 3

c) Múltiplos de 4

d) Múltiplos de 5

e) Múltiplos de 6

f) Múltiplos de 7

g) Múltiplos de 8

h) Múltiplos de 9

i) Múltiplos de 10

j) Múltiplos de 14

k) Múltiplos de 38

4) Cuantos múltiplos de 7, existen entre 48 y 172. ¿Cuáles son?

5) ¿Cuántos números de 3 cifra menores que 325 son múltiplos de 13?

6) Halla los múltiplos de:

{ ⁄ ∈ }

B { ⁄ ∈ }

C { }

7) Halla los divisores de: a) 12 = b) 38 = c) 80 =

8) Hallar el número de divisores de 180 y 342

9) Hallar “a + b”, si se sabe que el número es múltiplo de 15 y que a tiene raíz cuadrada perfecta

ACTIVIDAD Divisibilidad, Múltiplos, divisores,.