Semana 01 Logica y Conjuntos

CURSO DE ÁLGEBRA PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:

CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

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FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

SEMANA N° 01: (04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I : LÓGICA, CONJUNTOS Y RELACIONES

TEMA 1: NOCIONES DE LÓGICA

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si un enunciado es una proposición.OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir proposiciones verbales en forma simbólica.

(1.1) INTRODUCCIÓN

Distinguimos dos tipos: La LÓGICA CLÁSICA TRADICIONAL y la

LÓGICA MODERNA; de las cuales podemos observar lo siguiente:

a) La LÓGICA CLÁSICA considera el "juicio" y la "proposición"; donde

el JUICIO es un acto mental por medio del cual pensamos algún

enunciado; y la PROPOSICIÓN en cambio es lo pensado en dicho acto.

b) La LÓGICA MODERNA se remite solamente a las "proposiciones";

prescindiendo de los juicios. Así tenemos la LÓGICA PROPOSICIONAL O

SENTENCIAL, la que trata a las proposiciones como unidades y hace

combinaciiones con estas.

(1.2) DEFINICIÓN:

Llamaremos PROPOSICIÓN a un enunciado o aserción verbal en el

que es posible determinar si es VERDADERO O FALSO.

(1.3) NOTACIÓN:

Las proposiciones las denotaremos por las letras y:ß ;ß <ß ÞÞÞ

también las llamaremos PROPOSICIONES SIMPLES.

(1.4) EJEMPLO:

Son proposiciones: No son proposiciones:

los caballos son salvajes ¿Quién es María?: À

las flores son de carne Tómese este medicamento.; À

el perro ladra < À ÐB $Ñ#



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(1.5) DEFINICIÓN:

Llamaremos PROPOSICIÓN COMPUESTA a la que está formada por

dos o más proposiciones simples; y que resultan del uso de conectivos

lógicos, negación y/o cuantificadores.

(1.6) EJEMPLO:

Tomando las proposiciones de (1.4) podemos formar:

los caballos son salvajes y las flores son de carne: C ; À

los caballos son salvajes o el perro ladra: 9 < À

los caballos son salvajes y el perro ladra: C < À



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TEMA 2: CONECTIVOS LÓGICOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Comprender las tablas de verdad de los conectivos lógicos asociadas con el lenguaje cotidiano.

OBJETIVO OPERACIONAL: Formar proposiciones compuestas deter-minando su valor de verdadOBJETIVO OPERACIONAL: Aplicar las tablas de verdad para determi-nar el valor de verdad de las proposiciones compuestas.OBJETIVO OPERACIONAL: Aplicar las propiedades de la lógica proposicional para determinar la equivalencia de proposicionescompuestas.

(2.1) ( ): NEGACIÓN µ

Si es una proposición; entonces es una proposición y se: µ :

lee " " . El valor de verdad de la NEGACIÓN satisface: 89 :

: µ :Z JJ Z

(2.2) ( ):DISJUNCIÓN ”

Si y son proposiciones; entonces es una proposición y: ; : ” ;

se lee " " . El valor de verdad de la DISJUNCIÓN satisface: : 9 ;

: ; : ” ;Z Z ZZ J ZJ Z Z

J J J

(2.3) ( ):CONJUNCIÓN •

Si y son proposiciones; entonces es una proposición y: ; : • ;

se lee " ". El valor de verdad de la CONJUNCIÓN satisface: : C ;

: ; : • ;Z Z ZZ J JJ Z JJ J J



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(2.4) ( ):IMPLICACIÓN Ê

Si y son proposiciones; entonces es una proposición y: ; : Ê ;

se lee " " o " " . El valor de verdad de la: 37:63-+ ; =3 : /8>98-/= ;

IMPLICACIÓN satisface:

: ; : Ê ;Z Z ZZ J JJ Z ZJ J Z

(2.5) ( ):EQUIVALENCIA Í

Si y son proposiciones; entonces es una proposición y: ; : Í ;

se lee " " o " " . El valor de verdad de: /= /;?3@+6/8>/ + ; : =3 C =969 =3 ;

la EQUIVALENCIA satisface:

: ; : Í ;Z Z ZZ J JJ Z JJ J Z

(2.6) :OBSERVACIÓN

3Ñ Ê El conectivo " " no es una operación, más bien es una

propiedad. En efecto, estudiemos la tabla de verdad de " "µ : ” ;

: ; µ : µ : ” ;Z Z J ZZ J J JJ Z Z ZJ J Z Z

la cual es equivalente a la tabla de verdad vista en (2.4); lo cual significa

que:

" " " ": Ê ; µ : ” ;es equivalente con

33Ñ Análogamente;

" " " ": Í ; Ð µ : ” ;Ñ • Ð µ ; ” :Ñes equivalente con



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(2.7) :EJEMPLO

Aplique las tablas de verdad para determinar el valor de verdad de

las siguientes proposiciones:

(2.7.1) ‘ ‘: • Ð µ ;Ñ Ê : ” ;

: ; µ ; : • Ð µ ;Ñ : ” ; : • Ð µ ;Ñ Ê : ” ;

Z Z J J Z ZZ J Z Z Z ZJ Z J J Z ZJ J Z J J Z

‘ ‘

(2.7.2) Ð: • ;Ñ Í ; Ê : ‘ : ; : • ; ; Ê : : • ;Ñ Í ; Ê :

Z Z Z Z ZZ J J Z JJ Z J J ZJ J J Z J

‘ ‘

(2.7.3) Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal: ; Š

que su tabla de verdad es: : ; : Š ;

Z Z ZZ J JJ Z ZJ J J

El valor de verdad de la proposición: ‘µ Ð: ” ;Ñ • < Š Ð< Ê ;Ñ : ; < : ” ; µ Ð: ” ;Ñ µ Ð: ” ;Ñ • < < Ê ; µ Ð: ” ;Ñ • < Š Ð< Ê ;Ñ

Z Z Z Z J J Z ZZ Z J Z J J Z ZZ J Z Z J J J JZ J J Z J J Z ZJ Z Z Z J J Z ZJ Z J Z J J Z ZJ J Z J Z Z J JJ J J J Z J Z Z

‘



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(2.8) LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL:

a) LEY DEL COMPLEMENTO:

Ð µ Ð µ :ÑÑ Í :

b) CONMUTATIVIDAD:

Ð: ” ;Ñ Í Ð; ” :Ñ

Ð: • ;Ñ Í Ð; • :Ñ

c) ASOCIATIVIDAD:

Ð: ” Ð; ” <ÑÑ Í ÐÐ: ” ;Ñ ” <Ñ

Ð: • Ð; • <ÑÑ Í ÐÐ: • ;Ñ • <ÑÑ

d) DISTRIBUTIVIDAD:

Ð: ” Ð; • <ÑÑ Í ÐÐ: ” ;Ñ • Ð: ” <ÑÑ

Ð: • Ð; ” <ÑÑ Í ÐÐ: • ;Ñ ” Ð: • <ÑÑ

e) LEYES DE "DE MORGAN" O DE DUALIDAD:

Ð µ Ð: ” ;ÑÑ Í ÐÐ µ :Ñ • Ð µ ;ÑÑ

Ð µ Ð: • ;ÑÑ Í ÐÐ µ :Ñ ” Ð µ ;ÑÑ

f) LEYES DE IDEMPOTENCIA:

Ð: ” :Ñ Í : Ð: • :Ñ Í :

(2.9) :EJEMPLO

(2.9.1) Demuestre SIN USAR TABLA DE VERDAD la siguiente

proposición ‘ ‘Ð: • ;Ñ Ê < Í Ð: Ê <Ñ ” Ð; Ê <Ñ

donde son proposiciones cualesquiera. : ß ; ß <SOLUCIÓN:

‘ ‘Ð: • ;Ñ Ê < Í Ð Ð: • ;ÑÑ ” < µ

( ) )Í ÐÐ :Ñ ” ; Ñ ” < ‘µ µ

( ) )Í ÐÐ :Ñ ” ; Ñ ” Ð< ” < ‘µ µ

( ) )Í ÐÐ :Ñ ” <ÑÑ ” Ð ; ” < Ñ ‘µ µ

Í Ð: Ê <Ñ ” Ð; Ê <Ñ ‘



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(2.9.2) Simplifique la siguiente proposición:

Ð: • ;Ñ Í ; Ê : ‘SOLUCIÓN: ‘ ‘Ð: • ;Ñ Í Ð; Ê :Ñ Í Ð: • ;Ñ Í Ð ; ” :Ñ ( )µ

Í Ð: • ;Ñ Ê Ð ; ” :Ñ • Ð ; ” :Ñ Ê Ð: • ;Ñ ( ) ( ) ‘ ‘µ µ

Í Ð: • ;Ñ ” Ð ; ” :Ñ • Ð Ð ; ” :ÑÑ ” Ð: • ;Ñ ( ) ( ) ( ) ‘ ‘µ µ µ µ

Í ÐÐ : ” ;Ñ ” Ð ; ” :Ñ • Ð; • Ð :ÑÑ ” Ð: • ;Ñ ) ( ) ( ) ‘ ‘µ µ µ µ

Í Ð; • Ð :ÑÑ ” Ð: • ;Ñ ‘µ

Í ; • Ð :Ñ ” : ‘µ

Í ;

(2.9.3) Considere las proposiciones: Elena es millonaria Leonel es feliz: À ; À Dada la siguiente proposición: ‘Ð µ :Ñ • ; Ê :

a) Exprésela verbalmentes:SOLUCIÓN:

Si Elena no es millonaria y Leonel es feliz.

Entonces Elena es millonaria.

b) Simolifíquela y exprésela verbalmente:

SOLUCIÓN: ‘ ‘ ‘Ð µ :Ñ • ; Ê : Í µ Ð µ :Ñ • ; ” : Í : ” Ð µ ;Ñ ” :

Í :” Ð µ ;Ñ

Luego; verbalmente a) es equivalente a decir:

Elena es millonaria o Leonel no es feliz.

c) Construya la tabla de verdad de

T À Ð Ð µ :Ñ • ; Ê :Ñ Í Ð: ” Ð µ ;ÑÑ ‘SOLUCIÓN:

: ; µ : µ ; µ : • ; T

Z Z J J J Z Z ZZ J J Z J Z Z ZJ Z Z J Z J J ZJ J Z Z J Z Z Z

‘Ð µ :Ñ • ; Ê : : ” Ð µ ;ÑÑ



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d) Demuestre SIN USAR TABLA DE VERDAD que:

Ð Ð µ :Ñ • ; Ê :Ñ Í Ð: ” Ð µ ;ÑÑ ‘DEMOSTRACIÓN:

‘ ‘Ð µ :Ñ • ; Ê : Í µ Ð µ :Ñ • ; ” :

Í :” Ð µ ;Ñ ” : ‘ Í :” Ð µ ;Ñ

(2.10) :DEFINICIONES

Llamaremos:

a) ; a toda proposición compuesta que es VERDADERA,TAUTOLOGÍA

cualesquiera sean los valores de las proposiciones simples que la

componen.

(2.10.1) :EJEMPLO

Ð Ð µ :Ñ • ; Ê :Ñ Í Ð: ” Ð µ ;ÑÑ ‘es una TAUTOLOGÍA.

b) ; a toda proposición compuesta que es FALSA,CONTRADICCIÓN

cualesquiera sean los valores de las proposiciones simples que la

componen.

(2.10.2) :EJEMPLO

µ Ð Ð µ :Ñ • ; Ê :Ñ Í Ð: ” Ð µ ;ÑÑ’ “ ‘es una CONTRADICIÓN.

c) ; a toda proposición compuesta que no es tautologíaCONTINGENCIA

ni contradicción.

(2.10.3) :EJEMPLO

Ð: • ;Ñ Í ; Ê : ‘es una CONTINGENCIA.



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TEMA 3: FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si un enunciado es una función proposicional.OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar la solución de una función proposicionalOBJETIVO OPERACIONAL: Escribir proposiciones verbales en formasimbólica usando los cuantificadores.OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir la negación de proposiciones quecontienen los cuantificadores.OBJETIVO OPERACIONAL: Comprender el método del contraejemplocomo método de demostración de proposiciones falsas.

(3.1) :DEFINICIÓN

Se llama FUNCIÓN PROPOSICIONAL EN LA VARIABLE ; a laB

expresión que contiene a la variable , tal que existe por lo menos unaB

constante que al ser substituída por transforma en una proposición aB

dicha expresión.

(3.2) : NOTACIÓN

Las denotaremos por .TÐBÑ ß UÐBÑß VÐBÑß ÞÞÞ

(3.3) :EJEMPLOS

a) es función proposicional.TÐBÑ À ÐB #Ñ • ÐB %Ñ

b) no es función proposicional.KÐBÑ À ÐB #Ñ#

c) es función proposicional.UÐBÑ À B /=7?6>3:69 ./ $ C &

(3.4) : SOLUCIÓN DE UNA FUNCIÓN PROPOSICIONAL

Sea una función proposicional.TÐBÑ

Diremos que una constante es una SOLUCIÓN de la función-

proposicional si y solo si al sustituir dicha constante en , es decirTÐBÑ

sustituir la variable por ; la transforma en una proposiciónB -

VERDADERA.



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(3.5) : EJEMPLO

En (3.3); tenemos que:

a) Los valores: son soluciones de .#Þ" à #Þ& à $ à $Þ) à ÞÞÞ T ÐBÑ

c) Los valores: son soluciones de ."& à %& à $! à '! à ÞÞÞ UÐBÑ

(3.6) :CUANTIFICADORES

Sea una función proposicional .TÐBÑ

(3.6.1) : ( )CUANTIFICADOR UNIVERSAL a

Ð aB − Y Ñ ÐT ÐBÑ Ñ

es una proposición que se lee:

" Para todo perteneciente a un conjunto tal que se tiene "B Y TÐBÑ

La función proposicional será VERDADERA si yÐ aB − Y Ñ ÐT ÐBÑ Ñ

solo si al reemplazar cualquier constante en la variable - − Y B à T Ð-Ñ

se hace una proposición verdadera.

(3.6.2) :EJEMPLO

a) Para todo perteneciente al conjunto de los números reales seB

tiene que lo que escribimos en forma simbólica por:B ! à#

Ð aB − Ñ ÐB !Ñ‘ #

es una proposición VERDADERA.

b) Para todo perteneciente al conjunto de los números reales seB

tiene que lo que escribimos en forma simbólica por:B #B & œ ! à#

Ð aB − Ñ ÐB #B & œ !Ñ‘ #

es una proposición FALSA.

(3.6.3) : ( )CUANTIFICADOR EXISTENCIAL b

Ð bB − Y Ñ ÐT ÐBÑ Ñ

es una proposición que se lee:

" Existe a lo menos un valor de perteneciente a un conjunto B Y

tal que se tiene "TÐBÑ

La función proposicional será VERDADERA si yÐ bB − Y Ñ ÐT ÐBÑ Ñ

solo si al reemplazar una constante en la variable se hace- − Y B à T Ð-Ñ

una proposición verdadera.



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(3.6.4) :EJEMPLO

a) Existe perteneciente al conjunto de los números reales tal queB

B ! à# lo que escribimos en forma simbólica por:

Ð bB − Ñ ÐB !Ñ‘ #


b) Existe perteneciente al conjunto de los números reales tal queB

B #B & œ ! à# lo que escribimos en forma simbólica por:

Ð bB − Ñ ÐB #B & œ !Ñ‘ #


(3.7) NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES

(3.7.1) µ ÐaB − YÑÐT ÐBÑÑ Í ÐbB − YÑÐ µ TÐBÑÑ

(3.7.2) :EJEMPLO

Niegue las proposiciones de (3.6.2):

a) µ Ð aB − Ñ ÐB !Ñ Í Ð bB − Ñ ÐB ! Ñ‘ ‘# #


b) µ Ð aB − Ñ ÐB #B & œ !Ñ Í Ð bB − Ñ ÐB #B & Á ! Ñ‘ ‘# #


(3.7.3) µ ÐbB − YÑÐT ÐBÑÑ Í ÐaB − YÑÐ µ TÐBÑÑ

(3.7.4) :EJEMPLO

Niegue las proposiciones de (3.6.4):

a) µ Ð bB − Ñ ÐB !Ñ Í Ð aB − Ñ ÐB !Ñ‘ ‘# #


b) µ Ð bB − Ñ ÐB #B & œ !Ñ Í Ð aB − Ñ ÐB #B & Á ! Ñ‘ ‘# #




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(3.8) :MÉTODO DEL CONTRAEJEMPLO

En Matemática se tiene en algunas ocasiones como método de

prueba de una propiedad O PROPOSICIÓN, el llamado MÉTODO DEL

CONTRAEJEMPLO; el cual sólo sirve para demostrar la FALSEDAD de

dicha propiedad; es decir: "Si se nos pide demostrar una cierta propiedad

y logramos obtener un elemento que no la verifica; entonces afirmamos

que dicha propiedad es FALSA.

(3.9) :EJEMPLO(3.9.1) La proposición esÐ bB − Ñ ÐB #B & œ !Ñ‘ #

obviamente FALSA; para lo cual basta con decir que las soluciones son

complejas, dadas por B œ œ "„ 3 Â Þ#„ "'#

È‘

(3.9.2) La proposición es FALSA; ya que porÐ aB − Ñ ÐB !Ñ‘ #

ejemplo B œ # − Ê B œ % !Þ‘ #

(3.9.3) La proposición es FALSA; ya queTÐ8Ñ À " # $ Þ Þ Þ 8 œ à a8 −8Ð8"Ñ

#

si por ejemplo se tiene que 8 œ " œ ! Á "Þ"Ð""Ñ#



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TEMA 4: CONJUNTOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Comprender el concepto intuitivo de conjunto.OBJETIVO OPERACIONAL: Aplicar el lenguaje básico y las notaciones de la teoría de conjuntos.OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir un conjunto por extensión y/o por por comprensión.OBJETIVO OPERACIONAL: Comprender la propiedad de subconjunto, para demostrarla analíticamente.OBJETIVO OPERACIONAL: Comprender la propiedad de igualdad de conjunto, para demostrarla analíticamente.OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir el conjunto potencia o conjunto departes asociado a un conjunto.OBJETIVO OPERACIONAL: Representar los conjuntos en un Diagramade Venn.

(4.1) INTRODUCCIÓN

Nos interesa destacar que el término CONJUNTO es considerado un

concepto primitivo o elemental, por lo cual no se entrega una definición de

este, solo nos apoyaremos en la idea que tenemos de CONJUNTO y

pretendemos en este párrafo dar una idea intuitiva de este término.

En primer lugar diremos que todo CONJUNTO está conformado por

objetos que llamaremos ELEMENTOS.

Para denotar un conjunto generalmente se usan las letras

mayúsculas y los elementos usualmente se denotan porEà F à G à ÞÞÞ

letras minúsculas ; los cuales se encierran en llaves del+ à , à - à B à C à ÞÞÞ

tipo para formar el conjunto.˜ ™

(4.2) PERTENENCIA

Si es un conjunto y es un elemento.E +

Entonces:

a) La siguiente proposición " " se lee "el elemento pertenece+ − E +

al conjunto " .E

b) La siguiente proposición " " se lee "el elemento no+ Â E +

pertenece al conjunto " .E



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(4.3) FORMAS DE CARACTERIZAR UN CONJUNTO

Si es un conjunto; este lo podemos caracterizar por:E

(4.3.1) COMPRENSIÓN

Lo cual significa que consideramos una forma o función

proposicional ; tal que el conjunto está formado por todos losTÐBÑ E

elementos que son solución de ; es decir todas las constantesTÐBÑ

- T Ð-Ñ− Y Y ( es un conjunto referencial) que hacen que sea una

proposición VERDADERA.

Denotamos el conjunto por: E

E œ B TÐBÑ /= @/<.+./<+˜ ™− Y Î

(4.3.2) EXTENSIÓN

Lo cual significa que consideramos el listado explícito de los

elementos del conjunto.

Denotamos por: E

E œ B à B à˜ ™" #

ÞÞÞ à B8

à en el caso que la lista termina; o

E œ B à B à˜ ™" #

ÞÞÞ à B à ÞÞÞ3 à en el caso que la lista no termina.

(4.4) DEFINICIONES Y NOTACIONES

a) CONJUNTO UNIVERSAL y contiene todos los elementos.Y b) denota el CONJUNTO VACÍO y no contiene elementos.9

c) ˜ ™B denota un conjunto UNITARIO O SINGULAR con un únicoelemento.

d) Un conjunto es FINITO cuando tiene un número finito de elementos.

e) Un conjunto es INFINITO cuando tiene un número infinito de

elementos.

(4.5) :SUBCONJUNTO

Sean y conjuntos.E F

Diremos que ES SUBCONJUNTO DE o ESTÁ INCLUÍDOE F E

EN o INCLUYE AL CONJUNTO cuando todo elementoF F E

perteneciente al conjunto pertenece también al conjunto ; lo queE F

denotamos por:

E § F Í ÐaB − E Ê B − FÑ



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(4.6) :EJEMPLO

a) El conjunto ;E À +6?789= ;?/ -?<=+8 /6 -?<=9QEX'!"

es subconjunto del conjunto

plan común de Ingeniería ,F À +6?789= ;?/ /=>?.3+8/6

ya que todo alumno que cursa está en el plan común deQEX '!"

Ingeniería.

b) El conjunto E œ − ÎB B %B #B % œ !˜ ™B à™ % $ #

es subconjunto del conjunto intervalo cerrado F œ # ß # ß ‘ya que todo elemento del conjunto está o pertenece al intervalo E FÞ

c) El conjunto ÁLGEBRAE À +6?789= ;?/ -?<=+8/6 -?<=9

LINEAL /6 :<37/< =/7/=></ ./ #!!) à

no es subconjunto del conjunto

CÁLCULO IIF À +6?789= ;?/ -?<=+8/6 -?<=9

/6 :<37/< =/7/=></ ./ #!!) ß

ya que en ambos cursos no están inscritos los mismos alumnos, es decir

no todo alumno de ÁLGEBRA LINEAL está en CÁLCULO II .

(4.7) IGUALDAD DE CONJUNTOS

Sean y conjuntos.E F

Diremos que ES IGUAL A cuando dichos conjuntos tienen losE F

mismos elementos; lo que denotamos por:

E œ F Í ÐE § F •F § EÑ

(4.8) :EJEMPLO

El conjunto E œ − ÎB B %B #B % œ !˜ ™B à™ % $ #

es IGUAL al conjunto F œ # ß " ß # ß # ß˜ ™È Èya que y tienen los mismos elementosE F Þ

(4.9) FAMILIA DE CONJUNTOS

Se llama FAMILIA DE CONJUNTOS a un conjunto cuyos elementos

son conjuntos, los que usualmente se denotan por letras cursivas de la

forma ; ; ; ; ...T U V W



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(4.10) :EJEMPLO

a) T 9œ # ß " ß # ß ß +ß ,ß -˜˜ ™ ˜ ™ ˜ ™™È Èb) U 9œ ß ! ß " ß ! ß "˜ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™™c) V 9œ ß + ß , ß - ß +ß , ß +ß - ß ,ß - ß +ß ,ß -˜ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™™

(4.11) CONJUNTO DE PARTES O CONJUNTO POTENCIA

Sea conjunto.E

Se llama CONJUNTO DE PARTES O CONJUNTO POTENCIA delconjunto , lo que denotaremos por a la familia de conjuntosE ÐEÑc

formada por TODOS LOS SUBCONJUNTOS DE ; es decir:E

cÐEÑ œ \ \ § E˜ ™Î

(4.12) :EJEMPLO Encuentre el conjunto de partes o conjunto potencia de losconjuntos dados:

a) E œ ! ß "˜ ™SOLUCIÓN: .Los subconjunto de son: E 9 ß ! ß " ß ! ß "˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ Luego, el conjunto de partes o conjunto potencia de es:E

c 9ÐEÑ œ ß ! ß " ß ! ß "˜ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™™

b) F œ +ß ,ß -˜ ™SOLUCIÓN:

Los subconjunto de son:F

9ß + ß , ß - ß +ß , ß +ß - ß ,ß - ß +ß ,ß -˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ Luego, el conjunto de partes o conjunto potencia de es:F

c 9ÐFÑ œ ß + ß , ß - ß +ß , ß +ß - ß ,ß - ß +ß ,ß -˜ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™™

c) Sea .E œ +ß ,ß -˜ ™ Determine si es verdadero o falso. JUSTIFIQUE !! Escriba lo correcto si corresponde: ) ) 3 +ß ,ß - − T ÐEÑ 33 + § E˜ ™ SOLUCIÓN: 3Ñ VERDADERO FALSO; ya que 33Ñ + − E



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(4.13) OBSERVACIÓNa) El conjunto vacío 9 es subconjunto de todo conjunto EÞb) Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal E Y Þc) Si un conjunto es finito con elementos; entonces tiene E 8 #8

subconjuntos, es decir es finito y tiene elementos.cÐEÑ #8

(4.14) DIAGRAMA DE VENN Es útil para representar los conjuntos mediante achuramientos quecorresponden a los elementos del mismo.

(4.15) :EJEMPLO Se realizó una encuesta a una muestra de 800 personas y se obtuvoel siguiente resultado: 350 leen al menos El Mercurio; 250 leen al menos LaTercera; 300 leen al menos La Cuarta; 180 leen solamente El Mercurio y LaTercera; 55 leen solamente El Mercurio y La Cuarta; 15 leen solamente LaTercera y La Cuarta; 20 leen los tres diarios. Solamente represente en el siguiente diagrama de Venn, lossiguientes conjuntos: a) leen al menos dos de estos tres diariosE À Þ b) leen solamente El MercurioF À Þ c) leen La Tercera o La Cuarta, pero no El MercurioG À Þ d) no leen los diarios anteriores.H À



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SOLUCIÓN:a) b) E À F À

c) d) G À H À

(4.16) :EJEMPLO Se ha encuestado a 150 personas que poseen a lo menos una de lassiguientes tarjetas de crédito T1, T2 y T3. El resumen obtenido es elsiguiente: 90 poseen a lo menos T1; 50 poseen a lo menos T2; 35 poseensolamente T1; 15 poseen T1 y T2, pero no T3; 25 poseen T2 y T3; y 8poseen las tres tarjetas. Solamente represente en el siguiente diagrama de Venn, lossiguientes conjuntos: a) clientes que tienen a lo más dos de estas tarjetas.E À b) clientes que tienen solamente la tarjeta T3.F À c) clientes que tienen la tarjeta T1 y T3, pero no T2.G À d) clientes que tienen una y solo una de estas tarjetas.H À



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SOLUCIÓN:a) b) E À F À

c) c) G À H À



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA 1: (02 HORAS EJERCICIO)

GUÍA DE ESTUDIO N° 1

1. Considere las proposiciones: Elena es millonaria Leonel es feliz: À ; À Expresar por proposiciones verbales las simbologías:(1.1) (1.2) (1.3) : ” ; ; Ê : ; Í Ð µ :Ñ(1,4) (1.5) (1.6) µ Ð µ :Ñ : • ; : ” Ð µ ;Ñ(1.7) (1.8) Ð µ :Ñ Ê ; Ð µ :Ñ • ; Ê : ‘

2. Construya la tabla de verdad de las proposiciones siguientes:(2.1) (2.2) : Ê Ð µ :Ñ ” ; µ Ð µ : Í ;Ñ ‘(2.3) (2,4) Ð µ :Ñ • Ð µ ;Ñ : • Ð µ ;Ñ Ê Ð µ :Ñ ” ; ‘ ‘(2.5) ‘ ‘: ” Ð; Ê Ð µ <Ñ Ñ • Ð Ð µ :Ñ ” <Ñ Í Ð µ ;Ñ

(2.6) ‘ ‘’ “: • Ð µ ; Ê <Ñ • µ Ð: Í Ð µ ;Ñ Ñ Ê Ð< ” Ð µ :Ñ Ñ

3. Determine si las siguientes proposiciones son TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA; como también las del ejercicio 2. .(3.1) (3.2) (3.3) Ð: • ;Ñ Ê : Ð: ” ;Ñ Ê : Ð: ” ;Ñ Í :(3,4) (3.5) (3.6) Ð: ” ;Ñ Í Ð; ” :Ñ Ð: • ;Ñ Í : ; Ê Ð: Ê ;Ñ(3.7) (3.8) Ð: Ê ;Ñ Í Ð µ ;Ñ Ê Ð µ :Ñ Ð: Ê ;Ñ Í Ð µ :Ñ ” ; ‘ ‘

4. Determine cuales de las siguientes son funciones proposicionales;justificando su respuesta. Además, en las que lo sean, dé ejemplos paraque estas sean verdaderas y ejemplos para que sean falsas; e indique elconjunto solución.(4.1) (4.2) TÐBÑ À B # $ UÐCÑ À C #C# #

(4.3) (4,4) VÐDÑ À & $ • D # # WÐ>Ñ À > ( ” )# #

(4.5) (4.6)X Ð?Ñ À ? #? " YÐ@Ñ À @ " œ Ð@ "ÑÐ@ "Ñ# #

5. Determine el valor de verdad de las siguientes proposicionesconsiderando el conjunto de los Números Reales.(5.1) (5.2) ÐaBÑ ÐB œ BÑ ÐaBÑ ÐB $ BÑ#

(5.3) (5,4) ÐbBÑ Ð#B œ BÑ ÐbBÑ ÐB #B & œ !Ñ#

(5.5) (5.6) ÐbBÑ ÐB $B # œ !Ñ ÐaBÑ Ð#B $B œ &BÑ#

6. Determine el valor de verdad de la negación de las proposicionesdadas en 5. .



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7. Sea el conjunto universal. Determine el valor de verdad˜ ™"ß #ß $ß %

de las siguientes proposiciones:(7.1) (7.2) ÐaBÑ ÐB $ 'Ñ ÐaBÑ ÐB "! Ÿ )Ñ#

(7.3) (7,4) ÐbBÑ ÐB $ 'Ñ ÐbBÑ Ð#B B œ "&Ñ#

8. Determine el valor de verdad de la negación de las proposicionesdadas en 7. .

9. Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal que su tabla: ; ˜de verdad es:

V V FV F FF V VF F F

: ; : ˜ ;

Determine si la siguiente proposición ‘µ Ð: ˜ ;Ñ Í Ð: Ê ;Ñ

es TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN o CONTINGENCIA

10. Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal que su tabla: ; òde verdad es:

V V FV F VF V VF F V

: ; : ò ;

Idem 9. para la siguiente proposición Ð: ò :ÑòÐ; ò ;Ñ

11. Sea . Determine cuales de las siguientes proposicionesE œ +ß ,ß -˜ ™son verdaderas. JUSTIFIQUE !!(11.1) (11.2) (11.3) ˜ ™ ˜ ™+ Â E − E +ß , § ÐEÑ9 c

(11.4) (11.5) (11.6) ˜ ™+ß ,ß - − ÐEÑ + § E − TÐEÑc 9

(11.7) (11.8) (11.9) ˜ ™ ˜ ™+ß - § E , − ÐEÑ § Ec 9

12. Se realizó una encuesta a una muestra de 800 personas y se obtuvoel siguiente resultado:350 leen al menos El Mercurio; 250 leen al menos La Tercera; 300 leen almenos La Cuarta; 180 leen solamente El Mercurio y La Tercera; 55 leensolamente El Mercurio y La Cuarta; 15 leen solamente La Tercera y LaCuarta; 5 leen los tres diarios. Cuantas personas de las encuestadas À(12.1) leen solamente uno y solo uno de estos tres diarios?(12.2) no leen estos diarios?(12.3) leen El Mercurio y La Tercera?(12.4) leen a lo menos dos de estos tre diarios?(12.5) leen La Tercera o La Cuarta?



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13. El Director del Departamento de Química tiene los siguientes datosestadísticos respecto a un grupo de estudiantes de Química Industrial: 170 estudian Matemática, 150 estudian Química; 130 estudianAdministración,70 estudian Matemática y Química; 62 estudian Matemáticay Administración; 50 estudian Química y Administración; 10 estudian lastres asignaturas.13.1) Cuantos alumnos estudian uno y solo un curso.(13.2) Cuantos alumnos estudian solo dos de los tres cursos.(13.3) Cuantos alumnos estudian Matemática, pero no Química.(13.4) Cual es el número total de alumnos considerado en este estudio.



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA 1: (02 HORAS EJERCICIO)

TALLER DE ESTUDIO N° 1

1. Determine si la siguiente proposición es TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA.(1.1) ‘ ‘: Ê ; Í Ð µ ;Ñ Ê Ð µ :Ñ

(1.2) Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal que su tabla: ; òde verdad es:

V V FV F VF V VF F V

: ; : ò ;

a) b) Ð: Ê ;ÑòÐ; Í Ð µ <ÑÑ ‘ ‘Ð: Ê Ð µ ;Ñ ò Ð: • ;Ñ ” <

2. Hallar un contraejemplo para la siguiente proposición:(2.1) Ð aB − Ñ ÐB " # Ñ ‘ #

(2.2) Ð aB − "ß #ß $ß %ß &ß 'ß ( Ñ Ð B /=?88?7/<9 :<379Ñ ˜ ™

3. El Director del Departamento de Química tiene los siguientes datosestadísticos respecto a un grupo de estudiantes de Química Industrial: 170estudian Matemática; 150 estudian Química; 130 estudian Administración;70 estudian Matemática y Química pero no Administración; 62 estudianMatemática y Administración; 50 estudian Química y Administración perono Matemática; y 10 estudian las tres asignaturas. Determine si esconsistente y de serlo responda:(3.1) Cuantos alumnos estudian uno y solo un curso.(3.2) Cual es el número total de alumnos considerado en este estudio.

4. El Director del Departamento de Industria tiene los siguientes datosestadísticos respecto de un grupo de 300 estudiantes de IngenieríaIndustrial: 70 estudian Matemática; 60 estudian Química; 50 estudianAdministración; 30 estudian Matemática y Química pero noAdministración; 22 estudian Matemática y Administración; 20 estudianQuímica y Administración pero no Matemática; y 2 estudian las tresasignaturas. Determine si es consistente y de serlo responda ¿cuantosalumnos:(4.1) estudian solamente dos de estos cursos?(4.2) no estudian estos cursos?(4.3) estudian uno y solo un curso?(4.4) estudian Matemática, pero no Administración?



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5. Sea . Determine cuales de las siguientesE œ !ß "ß #ß $ß %˜ ™proposiciones son verdaderas. JUSTIFIQUE señalando lo correcto.(5.1) (5.2) (5.3) ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™!ß " − E § E E œ E9

(5.4) (5.5) (5.6) ˜ ™!ß "ß % − T ÐEÑ $ § E − TÐEÑ9

Además indique cuantos subconjuntos se tienen de EÞ

6. El valor de verdad de la proposición: ‘µ Ð: • ;Ñ ” Ð: Ê ;Ñ es (solo señale en la última columna el resultado final):

V VV FF VF F

: ; µ Ð: • ;Ñ ” Ð: Ê ;Ñ ‘

7. Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal que su tabla: ; ˜de verdad es:

V V FV F FF V VF F F

: ; : ˜ ;

El valor de verdad de la proposición: es ‘µ Ð: ˜ ;Ñ Í Ð: Ê ;Ñ (solo señale en la última columna el resultado final):

V VV FF VF F

: ; µ Ð: ˜ ;Ñ Í Ð: Ê ;Ñ ‘

8. Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal que su tabla: ; Šde verdad es:

V V VV F FF V VF F F

: ; : ;Š



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El valor de verdad de la proposición: es ‘µ Ð: ” ;Ñ • < Ð< Ê ;ÑŠ(SOLO SEÑALE EN LA ÚLTIMA COLUMNA EL RESULTADO FINAL):

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

: ; < µ Ð: ” ;Ñ • < Ð< Ê ;Ñ ‘Š

y se dice que la proposición compuesta es una _______________________



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 1

PROBLEMA 1 TALLER Nª 1:: (1.1) RESPUESTA: Tautología.

: ; : Ê ; µ ; µ : µ ; Ê µ : : Ê ; Í µ ; Ê µ :

Z Z Z J J Z ZZ J J Z J J ZJ Z Z J Z Z ZJ J Z Z Z Z Z

‘ ‘

(1.2) b)TALLER Nª 1: RESPUESTA: Contingencia.

: ; < µ ; : Ê µ ; : • ; Ð: • ;Ñ ” < : Ê µ ; Ð: • ;Ñ ” <

Z Z Z J J Z Z ZZ Z J J J Z Z ZZ J Z Z Z J Z JZ J J Z Z J J ZJ Z Z J Z J Z JJ Z J J Z J J ZJ J Z Z Z J Z JJ J J Z Z J J Z

‘ ‘ò

PROBLEMA 2 TALLER Nª 1:: 7. RESPUESTA:

: ; : ˜ ; µ Ð: ˜ ;Ñ : Ê ; µ Ð: ˜ ;Ñ Í : Ê ;

Z Z J Z Z ZZ J J Z J JJ Z Z J Z JJ J J Z Z Z

‘ ‘



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PROBLEMA 3 TALLER Nª 1:: 8. RESPUESTA: Contingencia.

: ; < : ” ; µ Ð: ” ;Ñ µ Ð: ” ;Ñ • < < Ê ; µ Ð: ” ;Ñ • < Ð< Ê ;Ñ

Z Z Z Z J J Z ZZ Z J Z J J Z ZZ J Z Z J J J JZ J J Z J J Z ZJ Z Z Z J J Z ZJ Z J Z J J Z ZJ J Z J Z Z J JJ J J J Z J Z Z

‘ ‘ Š

PROBLEMA 4 TALLER Nª 1:: 4. RESPUESTA: (4.1) 70 alumnos. (4.2) 194 alumnos. (4.3) hágalo usted. (4.4) hágalo usted.

PROBLEMA 5 TALLER Nª 1:: 5. RESPUESTA: (5.1) FALSO, ya que ˜ ™! ß " § E

(5.2) FALSO, ya que o 9 9§ E § ÐEÑ˜ ™ c

(5.3) FALSO, ya que E œ E

(5.4) VERDADERO.

(5.5) FALSO, ya que $ − E

(5.6) VERDADERO.

E # œ $# tiene subconjuntos.&



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 16 DE AGOSTO DE 2007: 14:05-15:45 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) a) Determine si la siguiente proposición es TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA ‘ ‘: • Ð µ ;Ñ Ê : ” ;

b) Sea . Determine si es verdadero o falso.E œ +ß ,ß -˜ ™JUSTIFIQUE !! Escriba lo correcto si corresponde: ) ) 3 33˜ ™+ß ,ß - − T ÐEÑ + § E

(1.2) Se realizó una encuesta a una muestra de 800 personas y seobtuvo el siguiente resultado: 350 leen al menos El Mercurio; 250leen al menos La Tercera; 300 leen al menos La Cuarta; 180 leensolamente El Mercurio y La Tercera; 55 leen solamente El Mercurio yLa Cuarta; 15 leen solamente La Tercera y La Cuarta; 20 leen lostres diarios. Cuantas personas de las encuestadas: a) leen al menos dos de estos tres diarios? b) leen solamente El Mercurio? c) leen La Tercera o La Cuarta, pero no El Mercurio?

PONDERACIONES: (1.1) = 08 (1.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!



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PAUTA DE CORRECCIÓN SECCIÓN 11PREGUNTA 1:(1.1) :SOLUCIÓNa) 3: ; µ ; : • Ð µ ;Ñ : ” ; : • Ð µ ;Ñ Ê : ” ;

Z Z J J Z ZZ J Z Z Z ZJ Z J J Z ZJ J Z J J Z

‘ ‘

Por lo tanto, es TAUTOLOGÍA. 1

b) VERDADERO 2 FALSO; ya que 23Ñ 33Ñ + − E

(1.2) :SOLUCIÓN

1

a) personas. 2")! && "& #! œ #(!

b) personas. 2*&

c) personas. 2$& "& #"! œ #'!



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 16 DE AGOSTO DE 2007: 15:45-17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __12PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) a) Determine si la siguiente proposición es TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA Ð: • ;Ñ Í ; Ê : ‘

b) Escriba la negación y determine el valor de verdad de dichanegación; para la siguiente proposición ÐaB − Ñ ÐB ! • B Á )Ñ‘ #

(1.2) Se ha encuestado a 150 personas que poseen a lo menos unade las siguientes tarjetas de crédito T1, T2 y T3. El resumenobtenido es el siguiente: 90 poseen a lo menos T1; 50 poseen a lomenos T2; 35 poseen solamente T1; 15 poseen T1 y T2, pero no T3;25 poseen T2 y T3; y 8 poseen las tres tarjetas. Cuantas personasde las encuestadas tienen: a) a lo menos dos de estas targetas? b) solamente la tarjeta T3 ? c) la tarjeta T1 y T3, pero no T2 ?





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PAUTA DE CORRECCIÓN SECCIÓN 12

PREGUNTA 1:(1.1) :SOLUCIÓNa) 3: ; : • ; ; Ê : : • ;Ñ Í ; Ê :

Z Z Z Z ZZ J J Z JJ Z J J ZJ J J Z J

‘ ‘

Por lo tanto, es . 1GSRXMRKIRGME

b) 13Ñ Ðb B − ÑÐ µ ÒB ! • B Á )ÓÑ‘ #

2Ðb B − ÑÐB ! ” B œ )Ñ‘ #

ES VERDADERA. 1

(1.2) :SOLUCIÓN

1

a) personas. 2"& $# "( ) œ (#

b) personas. 2$$

c) personas. 2$#



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 14 DE AGOSTO DE 2007: 14:15-15:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __13PROFESOR__ __LUIS OROZCO FUENZALIDA

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1:(1.1)a) Determine si la siguiente proposición es TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA ‘ ‘: Ê Ð µ ;Ñ • : ” ;

b) Sea . Determine si es verdadero o falso.E œ +ß ,ß -˜ ™JUSTIFIQUE !! Escriba lo correcto si corresponde: ) ) 3 33˜ ™+ Â E − E9

(1.2) El Director del Departamento de Industria tiene los siguientesdatos estadísticos respecto de un grupo de 300 estudiantes deIngeniería Industrial: 70 estudian Matemática; 60 estudian Química;50 estudian Administración; 30 estudian Matemática y Química perono Administración; 22 estudian Matemática y Administración; 20estudian Química y Administración pero no Matemática; y 2 estudianlas tres asignaturas. Determine si es consistente y de serloresponda:a) Cuantos alumnos estudian solamente dos de estos cursos?b) Cuantos alumnos no estudian estos cursos?c) , pero noCuantos alumnos estudianMatemática y Química Administración?PONDERACIONES: (1.1) = 08 (1.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.




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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 22 DE AGOSTO DE 2007: 17:15-18:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __21PROFESOR__ __NORMA BUSTOS CERDA

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) a) Determine si la siguiente proposición es TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA Ð: Ê ;Ñ Í Ð µ ;Ñ Ê Ð µ :Ñ ‘

b) Escriba y SIMPLIFIQUE, aplicando las propiedades quecorrespondan; la negación y determine el valor de verdad de dichanegación; para la siguiente proposición ÐbB − Ñ ÐB $ ” B 'Ñ‘

(1.2) El Director del Departamento de Química tiene los siguientesdatos estadísticos respecto a un grupo de estudiantes de QuímicaIndustrial: 170 estudian Matemática, 150 estudian Química; 130estudian Administración,70 estudian Matemática y Química; 62estudian Matemática y Administración; 50 estudian Química yAdministración; 10 estudian las tres asignaturas. a) Cuantos alumnos estudian uno y solo un curso? b) Cuantos alumnos estudian solo dos de los tres cursos? c) Cual es el número de alumnos en este estudio?





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 22 DE AGOSTO DE 2007: 15:45-17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __22PROFESOR__ __ANDRÉS CARRILLO LÓPEZ

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1:(1.1)a) Determine si la siguiente proposición es TAUTOLOGÍA,CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA ‘ ‘: • Ð µ ;Ñ Ê Ð µ :Ñ ” ;

b) Sea Determine si es verdadero o falso.E œ +ß ,ß -˜ ™. JUSTIFIQUE !! Escriba lo correcto si corresponde: ) ) 3 33˜ ™ ˜˜ ™™+ß , § ÐEÑ - § Ec

(1.2) Se realizó una encuesta a una muestra de 800 personas y seobtuvo el siguiente resultado: 350 leen al menos El Mercurio; 250leen al menos La Tercera; 300 leen al menos La Cuarta; 180 leensolamente El Mercurio y La Tercera; 55 leen solamente El Mercurio yLa Cuarta; 15 leen solamente La Tercera y La Cuarta; 5 leen los tresdiarios. Cuantas personas de las encuestadas: a) leen uno y solo uno de estos tres diarios? b) no leen estos diarios?. c) leen El Mercurio, pero no La Cuarta?





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 22 DE AGOSTO DE 2007: 17:15-18:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __23PROFESOR__ __CARLOS ALARCÓN REYES

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 1: (1.1) a) Demuestre SIN USAR TABLA DE VERDAD la siguienteproposición ‘ ‘Ð: • ;Ñ Ê < Í Ð: Ê <Ñ ” Ð; Ê <Ñ

donde son proposiciones cualesquiera.: ß ; ß <b) Sea . Determine si es verdadero o falso.E œ +ß ,ß -˜ ™JUSTIFIQUE !! Escriba lo correcto si corresponde: ) ) 3 33E − TÐEÑ + ß , − E ˜ ™

(1.2) Sean y proposiciones y sea un conectivo, tal que su: ; Štabla de verdad es: : ; : Š ;

V V VV F FF V VF F F

El valor de verdad de la proposición: ‘µ Ð: ” ;Ñ • < Š Ð< Ê ;Ñ

: ; < µ Ð: ” ;Ñ • < Š Ð< Ê ;Ñ ‘V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F


Semana 01 Logica y Conjuntos

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