Semana 5- Sesiones 9 y 10 - Pruebas de Hipotesis Para Una Poblacion -2

Inicio

•  Motivación. •  Competencias •  Saberes previos.

Construcción

•  Definiciones básicas •  Prueba de hipótesis para la media:

•  Cuando la varianza es conocida •  Cuando la varianzas es desconocida

•  Prueba de hipótesis para la proporción •  Prueba de hipótesis para verificar normalidad (vía minitab)

Cierre

•  Retroalimentación. •  Autoevaluación

Plan de clases:

Competencias Al termino de la sesión, el e s t u d i a n t e e s t a r á e n capacidad de:

Ø Calcular e interpretar los errores 6po I y 6po II.

Ø Formular e interpretar apropiadamente pruebas de hipótesis para un parámetro con la finalidad de tomar de decisiones.

¿Qué es una Hipótesis estadís5ca? Una hipótesis estadís6ca es un enunciado acerca de la naturaleza de una población. Principalmente, se formula en términos de sus parámetros: media (µ), varianza (2 ), proporción (), etc.

¿Qué es una prueba de hipótesis? Es un procedimiento que sirve para contrastar una hipótesis estadís6ca. Estas pruebas ayudan a determinar si la hipótesis es un enunciado razonable y no debe rechazarse o si no es razonable y debe rechazarse. Es un procedimiento basado en: •  Evidencia de la muestra •  Teoría de probabilidades

Tipos de Hipótesis Hipótesis Nula (H0)

•  Es la creencia apriori que no se rechaza a menos que los datos m u e s t r a l e s p r u e b e n l o contrario.

•  Es la hipótesis de la “igualdad”. •  Es la hipótesis a contrastar. •  Lleva los signos igual, mayor o igual y menor o igual.

Ejemplo: H0: µ = 65

Hipótesis Alterna (H1) •  Es la hipótesis del inves6gador. •  Es la hipótesis que queremos probar como verdadera.

•  Lleva los signos diferente, mayor o menor ( ≠, > o <).

Ejemplo H1: µ ≠ 65

Ejemplos de cómo plantear las hipótesis 1.  La concentración promedio de Zinc en el agua es de 1.65. H0:µ = 1.65 H1: µ ≠ 1.65

2. El tiempo de vida promedio de una Tablet es menor de 20000 horas. H0: µ ≥ 20000 H1:µ < 20000

3. El porcentaje de artículos defectuosos de un proceso de empacado es mayor al 10%. H0: π ≤ 0.10 H1: π > 0.10

Tipos de Errores Error 6po I (α)

• Rechazar una hipótesis nula cuando es verdadera. •  La probabilidad de cometer el error del Tipo I es igual al nivel de significancia α.

•  La probabilidad de no cometer el Error Tipo I es igual a 1-‐ α

Error Tipo II () • Aceptar (no rechazar) una hipótesis nula cuando es falsa. •  La probabilidad de cometer un error Tipo II es igual a . •  La probabilidad de no cometer un Error Tipo II es igual a 1-‐ .

Resumen de las situaciones posibles en una prueba de

hipótesis: Decisión Ho es verdadera Ho es falsaAcepta Ho No hay error Error tipo IIRechaza Ho Error tipo I No hay error

1.   Plantear las hipótesis Definir las hipótesis nula y alterna traducida a lenguaje estadís6co

2. Fijar el nivel de significancia α Los valores más usados son: 0.01, 0.05, 0.10.

3. Calcular el valor del estadís5co de prueba Puede ser: Z, T, χ2 , F, etc.

4. Establecer la región de rechazo Obtener el valor crí6co y establecer la región de rechazo para H0. 5. Decisión: Sacar conclusiones en base a la evidencia muestral y tomar la decisión correspondiente.

Procedimiento para llevar a cabo una prueba de hipótesis

Prueba de Hipótesis para la media poblacional PASOS UNILATERAL A LA

IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA

1. Hipótesis

2 . N i v e l d e significación

3. Estadístico de prueba

Si s es conocido

Si s es desconocido

4. Región de rechazo 5. Decisión

Rechazar H0 si Zcal < Za Rechazar H0 si Tcal < T(n-1,a)

Rechazar H0 si |Zcal| > Z1-a/2 Rechazar H0 si |Tcal| > T(n-1,1-a/2)

Rechazar H0 si Zcal > Z1-a Rechazar H0 si Tcal > T(n-1,1-a)

01

00

:H:H

µµµµ

≠=

01

00

:H:H

µµµµ

>≤

01

00

:H:H

µµµµ

<≥

( )etcserpuede ,10.0,05.0,01.0α

)1,0(/

Nn

xZcal ≈−=σ

µ)1(/ −≈−= ncal t

nSxT µ

Una máquina está calibrada para embolsar cereales con un peso promedio de 500 gr. Cada cierto 6empo el jefe de control de calidad realiza una inspección para determinar si debe mandar a calibrar la máquina. Para tomar una decisión, el jefe tomó una muestra aleatoria de 36 bolsas y encontró un promedio de 496.5 gr. ¿A que conclusión llegará el jefe de control de calidad, si suponemos que el peso se distribuye normalmente con una desviación estándar de 9 gr.? Use un 5% de significancia.

EJERCICIO 1

1.- Hipótesis nula: Hipótesis alterna

500:500: 10 ≠= µµ HHLa máquina esta calibrada (las bolsas de cereal pesan en promedio 500 gr.)

La máquina no esta calibrada (las bolsas de cereal no pesan en promedio 500 gr.)

2.- = 0.05

3.- Estadístico de prueba

33.236/95005.496

/−=−=−=

nxZcal σ

µ

Z0 = Z1-α/2 = Z0.975 = 1.96

4.- Valor crítico

Como Zcal= -2.33< Z0= -1.96, se rechaza H0. 5.- Decisión Con un nivel de significación del 5%, existe evidencia estadística para concluir que el peso promedio de las bolsas de cereal no pesan 500 gramos. Se justifica enviar a calibrar la máquina.

SOLUCIÓN

El productor artesanal de adornos de sala afirma que el número promedio de arlculos producidos por cada uno de sus artesanos es de 220 adornos en una semana. Un nuevo material ha sido incluido en su producción con lo que se espera que la producción de adornos en una semana sea superior a 220. Para tal prueba se considera una muestra aleatoria de la producción de adornos en una semana en la siguiente muestra: 217 223 225 245 238 216 217 226 202 218 233 235 242 219 221 234 199 236 248 224 ¿Habrá suficiente evidencia estadís6ca para apoyar la afirmación del artesano? Jus6ficar su respuesta con un α=0.05

EJERCICIO 2

SOLUCIÓN Por dato del problema, se sabe que es desconocido; por lo tanto, se tiene que estimar su valor con los datos de la muestra. A partir de los datos se obtiene la media y desviación estándar de la siguiente manera:

90.2251 ==∑=

n

xx

n

ii

09.113348.171

3481.1711

2

12

==

=−

−=∑=

s

n

xnxs

n

ii

220:0 ≤µH El artesano no tiene la razón El artesano tiene la razón

5.- Decisión

Como Tc= 2.02 < TT=1.7291, se rechaza H0.

Con un nivel de significación del 5%, existe evidencia estadística para concluir que la produccion promedio de los artesanos es mayor a 220. Es decir el artesano tiene la razón).

02.220/09.1322090.225

/=−=−=

nSxTc

µ

7291.1975.0;192/1;1 === −− ttt nt α

3.- Estadístico de prueba

2.- = 0.05

1.- Hipótesis nula: Hipótesis alterna

220:1 >µH

4.- Valor crítico

Prueba de hipótesis para la proporción poblacional PASOS UNILATERAL A LA


1. Hipótesis

2. Nivel de significación

3. Estadístico de Prueba


Rechazar H0 si Zcal < Za

Rechazar H0 si |Zcal| > Z1-a/2

Rechazar H0 si Zcal > Z1-a

( )etcserpuede ,10.0,05.0,01.0α

n

pZcal )1( 00

0

πππ−

−=

0

0

:

:

1

0

ππππ

≠

=

H

H

0

0

:

:

1

0

ππππ

>

≤

H

H

0

0

:

:

1

0

ππππ

<

≥

H

H

El jefe de producción de una fabrica de hilos evalua si los lotes que

producen 6enen la calidad esperada. Los hilos producidos 6enen una

tolerancia del 5% de arlculos defectuosos. Si hay evidencia que es

más del 5% se considerara la evaluación y mantenimiento de la

maquinaria. Para tomar una decisión se elige una muestra aleatoria

de 650 Hilos y se encuentran que 610 no son defectuosos. ¿Cuál

será la decisión? Use alfa = 0.01.

EJERCICIO 3

Prueba de Hipótesis

La proporción de hilos defectuosos es superior al 5%.

2.-‐ Nivel de significancia = 0.01

3.-‐ Estadístico de prueba

4.-‐ Valor crítico

5.-‐ Decisión

Con un nivel de significación del 1%, no existe suficiente evidencia estadís6ca para concluir que más del 5% de los hilos producidos son defectuosos.

1.-‐ Hipotesis Ho: p ≤ 0.05 H1: p > 0.05

La proporción de hilos defectuosos NO es superior al 5%.

345.1

650)05.01(05.0

05.00615.0)1(

=−−=

−−=

n

PZcal πππ

Z0 = Z1-α/2 = Z0.995 = 2.33

Como Zcal = 1.345 < Z0 =2.33, no se rechaza H0.

¿Cómo calcular el p-valor? UNILATERAL A LA


)( calZFvalorp =− ))(1(2 calZFvalorp −=− )(1 calZFvalorp −=−

¿Cómo interpretar?

Si p-valor < α, se rechaza Ho

Si p-valor > α, no se rechaza Ho

El “p-value” llamado el nivel de significación observado, es el mínimo valor de al cual se rechazaría la hipótesis nula. Un “p-value” cercano a 0 indica que es muy poco probable que Ho ocurra por lo que estaremos inclinados a rechazarla.

¿Qué significa?

P-VALOR

PRUEBA DE NORMALIDAD: ANDERSON DARLING (con Reporte Minitab)

La prueba de Normalidad se utiliza para verificar si los datos provienen o no de una población con distribución normal.

Hipótesis

Ho: La variable se distribuye como una distribución normal H1: La variable no se distribuye como una distribución normal

Decisión: Si p-valor < α, se rechaza Ho Si p-valor > α, no se rechaza Ho

Nivel de significación: ( )etcserpuede ,10.0,05.0,01.0α

Verificar si los siguientes datos se distribuyen como una normal.

1.- Planteamiento de hipótesis H 0 : L a v a r i a b l e a l e a t o r i a s e comporta como una distribución normal H1: La variable aleatoria no se comporta como una distribución normal. 2.- Nivel de significación: α =0.05 3.- Decisión Como p-valor=0.228 > 0.05, entonces no se rechaza Ho. Es decir, con un nivel de significación de 5% los datos se distribuyen como una normal.

141312111098765

99

95

90

80

70

60504030

20

10

5

1

x

Perc

ent

Mean 9.25StDev 1.913N 12AD 0.449P-Value 0.228

Probability Plot of xNormal x

8 9 7 7 8 9 11 12 13 8 9 10

EJERCICIO 4

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA VARIANZA

PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA

DERECHA

1. Hipótesis

2. Nivel de significación

3. Estadístico de Prueba


( )etcserpuede ,05.0,10.0α

20

21

20

20

:

:

σσσσ

<

≥

H

H20

21

20

20

:

:

σσσσ

≠

=

H

H20

21

20

20

:

:

σσσσ

>

≤

H

H

212

0

22 )1(

−≈−= ncalsn χ

σχ

2,1

2αχχ −< ncal 2

2/1,12

22/,1

2

α

α

χχχχ

−−

−

>

<

ncal

ncal o 21,1

2αχχ −−> ncal

El contenido de monóxido de carbono (en miligramos) que con6ene una marca de cigarrillos es una variable aleatoria que sigue una distribución normal y es estudiada por un analista de laboratorio con fines de inves6gación. La empresa que produce estos cigarrillos afirma que la desviación estándar del contenido de monóxido de carbono es de 1.2 miligramos. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 cigarrillos y se ob6ene que la desviación estándar es de 2.10 miligramos. Al nivel de significación de 0.05 ¿existe evidencia de que la desviación estándar de contenido de monóxido de carbono en los cigarrillos es superior a 1.2 miligramos?

EJERCICIO 5

La varianza es mayor que 1.22




5.-‐ Decisión

Como se rechaza la hipótesis nula; por lo tanto, existe evidencia estadís6ca para afirmar que la desviación estándar del contenido de monóxido de carbono en los cigarrillos es superior a 1.2 miligramos.

220 2.1: ≤σH

221 2.1: >σH

81.882.11.2)130()1(

2

2

20

22 =−=−=

σχ Sncal

6.42295.0

205.01

21 === −− χχχ α

1.-‐ Hipótesis La varianza no es mayor que 1.22

SOLUCIÓN

,6.4281.88 21

2 =>= −αχχcal

El 6empo medio que tarda en secar una nueva marca de pintura esta siendo evaluado. La pintura que se u6lizó presentó una media de 4.5 minutos y una varianza de 0.06 minutos2. Si el 6empo de secado de la nueva pintura resulta más estable en su variabilidad en comparación con la anterior, esta será remplazada. Para tomar la decisión escogió una muestra aleatoria simple de 10 6empos de secado u6lizando la nueva pintura y se obtuvo las siguientes mediciones en minutos: 4.55 4.30 4.45 4.48 4.59 4.53 4.36 5.10 4.40 4.38 ¿Debería cambiarse la pintura por la nueva marca? Use alfa = 0.05 y verifique que el 6empo de secado se distribuye como una normal.

2252.0=sCalculo de la desviación estándar:

EJERCICIO 6

Prueba de Hipótesis




5.-‐ Decisión

Decisión: Por lo tanto, llegamos a rechazar la hipótesis nula; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el tiempo de secado de la nueva pintura resulta más variable en comparación con el anterior.

06.0: 20 ≤σH

06.0: 21 >σH

607.706.02252.0)110()1( 2

20

22 =−=−=

σχ Sncalc

33.3607.7 21

2 =>= −αχχCComo:

1.-‐ Las Hipotesis La variable de estudio es tiempo que tarda en secar una nueva marca de pintura y se distribuye como una normal.

33.3205.0,9 =χ

1.- Alvarado, J., Obagi, J. (2008) Fundamentos de la Inferencia Estadística. Ed. Pontificia Universidad Javeriana 1ra. Edición. Colombia. 2.- Anderson, S. (2008) Estadística para Administración y Economía. Cengage Learning 8va. Edición. México 3. Mendehall, W. (2008) Introducción a la Probabilidad y Estadística. Thomson 12° Edición. México

Bibliografía:

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