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SEMANA 8

SEMANA 8

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 2

ÍNDICE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................................... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3 DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES .................................................................................. 4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA ................................................................................................... 4 RECTAS PARALELAS Y COINCIDENTES ........................................................................................... 4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN ............................................................................................................... 5

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ....................................................................................................... 5 MÉTODO DE REDUCCIÓN .......................................................................................................... 6

EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................. 8 DESARROLLO ................................................................................................................................. 9 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 12 REFERENCIAS ............................................................................................................................... 14


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APRENDIZAJES ESPERADOS

Se espera que al finalizar las actividades de esta semana los alumnos resuelvan sistemas de

ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.

INTRODUCCIÓN

Muchas de las situaciones del mundo real tienen demasiadas variables como para ser

modeladas con una sola ecuación. Por ejemplo, el clima depende de muchas variables, como la

temperatura, velocidad del viento, presión del aire y humedad entre muchas otras variables.

Estos sistemas de ecuaciones trabajan juntos para describir el clima. Con el siguiente ejemplo

se puede entender cómo surgen los sistemas:

Una bencinera vende bencina de 95 octanos a 800 pesos el litro y de 97 octanos a 840 pesos el

litro. Al final del día se vendieron 280 litros de gasolina teniendo un ingreso de $240.000

¿Cuántos litros de bencina de 95 octanos se vendieron ese día? ¿Cuántos litros de bencina de

97 octanos se vendieron ese día?

Si es la cantidad de bencina de 95 octanos vendida ese día e es la cantidad vendida de

bencina de 97 octanos, entonces se sabe que:

a) es la cantidad de dinero que ingresó por ventas de bencina de 95 octanos.

b) es la cantidad de dinero que ingresó por ventas de bencina de 97 octanos.

Por lo tanto, las ventas de ese día son y se sabe que las ventas de ese día fueron

$240.000, por lo tanto, se tiene que:

Por otro lado, el total de bencina vendido ese día fue de 280 litros, entonces:

Por lo que los valores de e que dan las cantidades de bencina vendidas el día en cuestión

satisfacen las dos ecuaciones y no es posible determinar sus valores usando solo una de las

ecuaciones.

En los contenidos de esta semana se aprenderá cómo resolver este tipo de problemas.


DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES

Como se ha visto anteriormente, una recta tiene una ecuación general de la

forma , además también se ha visto que la representación geométrica es

una línea recta en el plano cartesiano.

En un sistema de ecuaciones con dos incógnitas intervienen dos ecuaciones lineales y

generalmente el término libre ( o ), se anota al lado derecho de la igualdad.

Donde a, b, c, d, e y f son números reales.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas significa encontrar un punto de

intersección de las rectas que lo forman, o sea un punto que pertenezca a ambas rectas:

RECTAS PARALELAS Y COINCIDENTES

Si las rectas son paralelas no habrá intersección y, por lo tanto, el sistema no tiene solución:


Para verificar este caso hay que fijarse en los coeficientes de las incógnitas e :

Por ejemplo en:

Si, además, el término libre es múltiplo de la otra ecuación, entonces las rectas son

coincidentes y, entonces, el sistema tiene infinitas soluciones.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Existen varios métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones, pero ahora solo se

verán los más frecuentes:

Método de sustitución.

Método de reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Como su nombre lo indica consiste en sustituir o reemplazar una de las ecuaciones en la otra,

con el objetivo de obtener una ecuación con una sola incógnita.

A través del siguiente ejemplo se conocerán los pasos de este método:

1)

2)

Primer paso. De la ecuación más simple, se despeja una incógnita:

(1)

Segundo paso. El nuevo valor de la incógnita despejada se reemplaza en la otra ecuación del

sistema:


Tercer paso. Se despeja el valor de :

Cuarto paso. El valor encontrado se reemplaza en la ecuación despejada en el primer paso:

Respuesta: las rectas representadas en el sistema de ecuaciones se intersectan en el punto (1,

2).

MÉTODO DE REDUCCIÓN

El método de reducción consiste en, primero igualar los coeficientes de una de las incógnitas

( o ), pero con distinto signo, para luego sumar “término a término” y eliminar una de las

incógnitas.

A través del siguiente ejemplo se conocerán los pasos de este método:

1)

2)

En realidad el valor de x se puede reemplazar en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar el valor de y. Pero ésta ecuación ya esta despejada.


Primer paso. Al analizar el valor de los coeficientes de , resulta que multiplicando la ecuación

1) por 2 estarían igualados, es decir:

1)

2)

Segundo paso. Sumar término a término las ecuaciones y despejar la incógnita:

Tercer paso. El valor encontrado se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema en:

1)

Respuesta: las rectas representadas en el sistema de ecuaciones se intersectan en el punto (1,

2).

+


EJERCICIOS RESUELTOS

1. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones corresponde al gráfico?

I.

II.

III.

A. Solo I

B. Solo II y III

C. Solo I y III

D. Solo II

E. Solo III

Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.

2. Encuentre el punto de intersección de las rectas:

L1: y L2:

A.

B.

C.

D.

E. No se intersectan.

3. Dado el siguiente sistema, ¿cuál es el valor de + 3 ?

A. 13

B. 5

C. 1

D. -3

E. -19


DESARROLLO

1. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones corresponde al gráfico?

I.

II.

III.

Material elaborado para este curso: Costa, T.,

2012.

A. Solo I

B. Solo II y III

C. Solo I y III

D. Solo II

E. Solo III

Utilizando lo aprendido anteriormente (ecuación de la recta), se sabe que n es el coeficiente

de posición e indica la intersección de la recta con el eje Y.

a) Si , la ecuación (1) indicaría una intersección en el semieje negativo de Y. Pero

claramente en el gráfico se muestra L1 pasando por el origen.

b) Si , la ecuación (2) indicaría una intersección en el semieje positivo de Y. Pero

claramente en el gráfico se muestra L2 pasando por el semieje negativo de Y. Por tanto, si no

son correctas I ni II, entonces según las alternativas, es E solo III.

2. Encuentre el punto de intersección de las rectas:

L1: y L2:

A.

B.

C.

D.

E. No se intersectan.


En este caso es posible evitar el desarrollo de un método de solución, pues las alternativas

están respondiendo a la pregunta ¿cuál es el punto de intersección? y solo una de ellas es la

correcta, por lo tanto solo es necesario reemplazar los valores y verificar que se cumpla una

igualdad. De esta manera de inmediato quedan descartadas A y B, pues la ecuación de L2:

, exige que los números sean distintos en signo, pero iguales en cantidad, pues la

suma resulta cero. Luego, falta verificar C y D:

C. , o sea

L1:

No hay igualdad

D. , o sea,

L1:

Son iguales

Entonces correspondería la opción D.

3. Dado el siguiente sistema, ¿cuál es el valor de + 3 ?

A. 13

B. 5

C. 1

D. -3

E. -19

En este problema no es posible probar las alternativas, pues la pregunta no se refiere a los

valores de e , sino a una suma donde no es posible saber exactamente la relación entre las

incógnitas. Por lo tanto, no queda más que aplicar un método. En este caso lo más simple es

aplicar reducción:

Igualar coeficientes:

1) 1

2) /


Sumar término a término:

Encontrar el valor de en 2):

Con los datos , se reemplaza en la pregunta:

Finalmente, la alternativa correcta es la A.

+


CONCLUSIONES

Esta semana se ha aprendido a resolver sistemas de ecuaciones de dos variables, los

problemas que se pueden solucionar usando las ideas aprendidas esta semana son variados y

aparecerán en la vida tanto como estudiante, profesional y personal. Es importante mencionar

que en un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas se tiene geométricamente lo

siguiente: una ecuación de dos incógnitas se puede determinar como la ecuación de la recta,

por ejemplo, la ecuación que se grafica de la siguiente manera:

Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.

Por otro lado, la ecuación la ecuación de la recta tiene una gráfica:

Material elaborado para este curso: Costa, T. 2012.


La solución del sistema:

Es e que, además, representa el punto intersección de las dos gráficas:

Por lo tanto, no solo se puede mirar la solución de un sistema de ecuaciones como un par de

valores, sino que, además, como la intersección de dos rectas en el plano.


REFERENCIAS

Baldor, A. (2004). Álgebra. México D. F.: Publicaciones Cultural S. A.

Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.

Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall

Hispanoamericana.

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