Semana 9

Dr. Luis Antonio Durand Romero


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¿Cuál será la situación financieradel cliente después de unos meses?

¿Qué patrones financierospresentara nuestro cliente en untiempo determinado?


¿Cuántas personas son sensiblesante un problema de protecciónde los animales?

Objetivos

1. Definir matemáticamente que es

un Proceso Estocástico.

2. Conocer que es una cadena

ergodica.

3. Conocer que es una cadena

absorbente.

4. Aplicar los conceptos aprendidos

en clase.


1. INTRODUCCIÓN

Consideremos unsistema de la vidareal que puedecaracterizarse porestar en cualquierestado de un conjuntode estados previamentedefinidos, sea esteconjunto S. Supongamos un préstamo de

tipo: Asegurado Hipotecario No asegurado


Supongamos además,que el sistema bajoestudio cambia oevoluciona de unestado a otro a lolargo del tiempo T,y sea Xt el estadodel sistema en eltiempo t.

Supongamos un préstamo detipo: Asegurado Hipotecario No asegurado


Si consideramos queel sistema bajoestudio cambia oevolucionaaleatoriamente, yno en formadeterminística,entonces podemosconsiderar que Xtes una variablealeatoria para cadavalor de t.

Supongamos un préstamo detipo: Asegurado Hipotecario No asegurado


2. Cadenas Ergodicas

En el ejemplo anterior hemos visto unacadena que era estacionaria, siempreque su distribución inicial fuese

P(0)=.

Si consideramos una distribucióninicial distinta la cadena deja de serestacionaria, sin embargo presenta uncomportamiento muy interesante ya que,a largo plazo, cuando pasa mucho


tiempo, se alcanza una distribución

estacionaria que además resulta ser ,es decir:

de hecho, esta distribuciónestacionaria es siempre la mismaindependientemente de cuál haya sidola distribución inicial.

n

nP )(lim


Teorema. Una cadena de Markoves ergódica si es irreducible,positivamente recurrente yaperiódica.


Cadenas irreducibles

Decimos que el estado j es accesibledesde el i si es posible transitardesde i a j en un número finito depasos, es decir, si Pij

(n)>0 para algúnn≥0.Esto equivale a decir que existe,sobre el diagrama de transición, algúncamino que lleva de i a j. Si esposible el tránsito en ambos sentidosdecimos que los dos estados estáncomunicados.


Ejemplo. En este ejemplo los estados 1y 2 están comunicados.Además 1, 2 y 3 son accesibles desdeel estado 0, pero éste último no esaccesible desde ningún otro estado.

1 32

0


Cuando un subconjunto de estados es tal quetodos ellos están comunicados unos con otrosdecimos que dicho subconjunto constituye unaclase comunicante. En este ejemplo hay dosclases comunicantes, una formada por losestados 1 y 2, y otra por el estado

1 32

0


Decimos que una cadena es “irreducible“ sitodos sus estados comunican unos con otros,es decir, si están todos contenidos en unaúnica clase comunicante.

1 32

0


2. Estados Absorbentes

Un estado es absorbente si

Pii=1


Ejemplo 1. Indique cual estado esabsorbente.


Ejemplo 2.

Elaborar el diagrama de transiciónentre estados de la siguiente matriz

a) Indique si hay estados absorventesb) Indique si es una cadena

irreductible


Ejemplo 3.

Las empresa A, B y C tienen 60%, 30% y 10%respectivamente, del mercado de neumáticos.Estudios de mercado muestran que lasvariaciones en las preferencias de losconductores por neumáticos provocan cambiosmensuales en la cuota de mercado. La matrizde transición P muestra las probabilidades detransición de un mes a otro.

De/A A B C

A .5 .4 .1

B .3 .3 .4

C .2 .5 .3


A) Encuentre la probabilidad de que uncliente de la empresa A cambie a la B.

B) Obtenga la cuota de mercado de cadaempresa al final del primer mes.

C) Obtenga la cuota de mercado de cadaempresa al final del segundo mes.


Ejemplo 4.

En un proceso industrial una máquina cambia sucalidad operativa en función del clima; esteúltimo es variable y se clasifica en cálida(C), templado (T) o frio (F). La productividades normal con clima templado o frío, pero sereduce a la mitad cuando es cálido. Elanálisis climático de la zona indica que laprobabilidad de pasar de un clima a otroresulta de la matriz de transición.

De/A C T F

C .5 .3 .2

T .4 .4 .2

F .1 .3 .6


A) Encuentre la productividad media de lamáquina.

B) Si un día la producción es normal,encuentre la probabilidad de que dos díasdespués se haya reducido a la mitad.


Ejemplo 5.

Los habitantes de una comarca se clasifican,de acuerdo con la ubicación de su residencia,en urbanos, rurales o periféricos. Cada añohay personas que cambian de una zona deresidencial a otra, si viven en una zonaurbana y el año próximo se mudan, existirá unaprobabilidad de 0.3 de que esa persona nocambie de zona, 0.4 de que vaya a la periferiay 0.3 de que elija para vivir una zona ruralel siguiente año.


Si una persona vive en una zona periféricadurante un año, tiene una probabilidad de 0.1de mudarse a una zona urbana, 0.5 de quecontinúe viviendo en una zona periférica y 0.4de que finalmente se mude a una zona rural.Por último, las personas que tienen suresidencia en una zona rural y quierenmudarse, tienen una probabilidad de 0.1 deirse a una zona urbana, 0.1 de trasladarse ala periferia y 0.8 de seguir viviendo en unazona rural.


A) Elabore la matriz P.B) Si una persona es un habitante urbano,

encuentre la probabilidad de que setraslade una zona rural durante el próximoaño.

C) Si es un habitante urbano, encuentre laprobabilidad de se traslade a una zonarural.

“Si Cuidamos el Medio Ambiente, cuidamos nuestro

futuro”

Semana 9

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