Semana N° 1 Funciones Reales de variable Real

7/25/2019 Semana N 1 Funciones Reales de variable Real

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Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2013-5

Carrera de Fecha:

1

CURSO: MATEMTICA I

Tema :

Docente: Pedro Quispe Ramos

1. FUNCION:Las funciones son una manera sumamente til dedescribir muchas situaciones del mundo real en las queel valor de una cantidad vara con, depende de, odetermina el valor de otra.Las funciones son de mucho valor y utilidad pararesolver problemas de la vida diaria, problemas definanzas, de economa, de estadstica, de ingeniera, demedicina, de qumica y fsica, de astronoma, de geologa,y de cualquier rea social donde haya que relacionarvariables.Por ejemplo: Cuando se va al mercado o a cualquiercentro comercial, siempre se relaciona un conjunto dedeterminados objetos o productos alimenticios, con elcosto en nuevos soles para as saber cunto podemos

comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en unaecuacin de funcin "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".Muchas son las aplicaciones de la funcin lineal en el caso de la medicina. Ciertassituaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertosfenmenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicolgico de Stenberg,sobre recuperacin de informacin. Esta dada por la formula y=mx+b donde m y bson nmeros reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Sugrfica es una recta.El estudio de las funciones cuadrticas resulta de inters no slo en matemtica sinotambin en fsica y en otras reas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoriade una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un ro al caer desde lo alto

de una montaa, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza unequilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuandouna partcula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniera civil, para resolver problemas especficostomando como punto de apoyo la ecuacin de segundo grado, en la construccin depuentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados ados torres.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL (Semana N 1)


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Carrera de Fecha:

2

Los bilogos utilizan las funciones cuadrticas para estudiar los efectos nutricionales

de los organismos.

1.1. DEFINICIN: Si A y B son conjuntos no vacos, una funcin fde A en B esuna relacin entre los elementos de A y B de forma que a cada elemento xdel conjunto A le corresponde uno y slo un elemento y que pertenece alconjunto B, esto lo denotamos como:

BA:f o tambin A f B

Que se lee:f es una funcin de A en B

Si escribimos yxf , estamos diciendo que a xle correspondey.

Dada la funcin f: A B, f se puede escribir en la forma: f=(x, y)AxB/y=f(x) ,

donde la ecuacin y=f(x) es llamada regla de correspondencia, y nos permite calcular

la imagen de un elemento del dominio

Pensemos a la funcin como una mquina. El dominio es el conjunto de

entradas (la materia prima) para la mquina, el proceso que se realiza dentro deella o sea la forma de procesar la entrada (regla de correspondencia) y los valoresde la funcin (imgenes) son las salidas de la mquina.

OBSERVACIN:

El conjunto de valores que alcanza una

funcin se denomina imagen de la funcin

o recorrido de la funcin. Siendo comn el

uso del trmino rango, el trmino correctoes imagen.

Entrada

x

xf

Salida

xfyForma de procesar la entrada


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Carrera de Fecha:

3

Observaciones:

1.

Toda funcin es una relacin, pero no toda relacin es una funcin.2. En una funcin, dos pares ordenados distintos no deben tener la mismaprimera componente

1.2.DOMINIO DE UNA FUNCIN:Sea f: AB una funcin de A en B llamaremos dominio de la funcin f alconjunto de todas sus primeras componentes de los pares ordenados de lafuncin, al cual denotaremos por Dom(f),es decir:Dom( f )=xA / ! yB / (x; y)f

1.3.RANGO DE UNA FUNCIN (Imagen ):Seaf: ABuna funcin de A en B llamaremos rango de la funcin f al conjuntode todas las segundas componentes de los pares ordenados de la funcin, al cualdenotaremos por Ran(f), es decir:Ran( f )=yB / xA (x; y)f

Ejemplo ilustrativo:Calcule elDominio y Rango de una funcinDada la siguiente funcin: f=(7;a),(9;b),(11;c), (13;6)

ResolucinDom(f)=7; 9; 11; 13

Ran(f)=a; b ;c; 6

IMPORTANTE:Sea la funcin: f: A BA = Dom(f) Ran(f)B

Para no olvidar:1. El dominio de una funcin es llamado tambin conjunto de partida o conjunto

de preimgenes.2. El rango de una funcin es llamado tambin conjunto de llegada o conjunto de

las imgenes.

3.Una funcin queda bien definida si tiene su dominio y su regla decorrespondencia.


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Carrera de Fecha:

4

2. FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL

2.1.DEFINICION: Seaf: AB, siAB,diremos quefes una funcin

real de variable real,f: RR

)x(fy/RxRy;xf o bien

xDomx/RxRxf;xf

La regla de correspondencia es la ecuacin que relaciona a las variables x e y e toda

la funcin real:

Las funciones reales de variable real se pueden graficar en el sistema de coordenadas

cartesianas, cuyos grficos sern curvas planas con su propia caractersticas; su

dominio se tomar sobre el eje de las xy su rango sobre el eje de lasy.

Seaf(x)es una funcin, la grfica de f(x)es el conjunto Gf = {(x; f(x) / xDom(f))}que puede representarse en el plano cartesiano.

( )=y f x

Variable independiente

Variable dependiente

0

x

y

y;x

xfy

Dominio

Imagen

X

Y


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Carrera de Fecha:

5

Ejemplos ilustrativos de funciones reales:

a) 723 2 xxxg

b)

44

404

x:six

x:si;xxf

2.2.CRITERIO PARA CALCULAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNAFUNCIN REAL DE VARIABLE REAL

El dominio de una funcin f se determina analizando todos los valoresposibles que pueda tomar x, de tal manera quef(x)sea real, salvo el caso enque el dominio sea especificado.El rango se determina partiendo de la condicin dada para los x en eldominio y se construye las cotas o valores adecuados paray=f(x).

Ejemplo ilustrativo N 1

Halle el dominio y el rango de la siguiente funcin 22 xxxf

Resolucin

Expresemos en la forma: xfy

Clculo del dominio:2

2 xxy , y es real si: 02 2 xx

Resolvemos la inecuacin:

022 xx 012 xx (Puntos crticos: -1 y 2)

Se toma la zona con el signo - siendo el intervalo solucin cerrado en ambos

extremos, debido al sentido de la desigualad y por ser esta una desigualdad no

estricta.

Dom(f)=-1; 2

1 2


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Carrera de Fecha:

6

Clculo del rango:

Como 02 2 y,xxy Dando la forma adecuada:

4

9

2

1

4

9

4

12

2

22

xxxxx

Partimos del dominio para obtener el rango: Dom(f)=-1; 2

2

3

2

1

2

321 xx

TEOREMA:

Si b > 0, entonces: a2


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Carrera de Fecha:

7

4343 ;yy

43;)f(Ran

Sugerencias didcticas para calcular el dominio y el rango de una relacin F(x; y)=0Recuerda que una funcin es una relacin, pero no toda relacin es una funcin

CALCULO DEL DOMINIO DE UNA RELACIN DE R EN R

Se despeja y en trminos de x.

CASOS FORMA DOMINIO OBSERVACIONES

POLINOMIO

nnxa....xaxaay

2

210

Zn,Rai

;x

RAIZCUADRADA

xPy 0 xP/Rx

RACIONAL

xQxP

y

P(x) Q(x) son polinomiosprimos entre s. 0 xQ/RxRx

Los valores realesde x que seobtienen de

Q(x)=0 son lasasntotasverticales

CALCULO DEL RANGO DE UNA RELACIN DE R EN R

Se despeja x en trminos de y.

CASOS FORMA DOMINIO OBSERVACIONES

POLINOMIO

n

nyb....ybybbx

2

210 Zn,Rbi

;y

RAIZCUADRADA

yPx 0 yP/Ry


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Carrera de Fecha:

8

RACIONAL

yQ

yPx

P(y) Q(y) son polinomiosprimos entre s.

0 yQ/RyRy

Los valores reales

de y que seobtienen deQ(y)=0 son lasasntotasverticales

(Tomado de Relaciones y Funciones de R en R, de Moiss Lzaro Carrin)

PRCTICA N 1:

1. Si F representa a una funcin: ab;,a;,;,ba;F 2532252273 cul(ocules) de los siguientes conjuntos son funciones?

a) 555 ;ba,ab;,;ab,b;aA b) ba;,;,;b,b;B 298333

c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }C = ; , ; , b;a , a; b

2. Hallar el valor de a para que el siguiente conjunto de pares ordenados sea una funcin.

Indicar el dominio y rango.

f = {(-4; 1), (-1; 8), (a; 7), (2; 5), (3; 6), (-1; 2a -1), (4; 3)}

3. Hallar los valores de a y b para que el siguiente conjunto de pares ordenados sea una funcin.

Indicar el dominio y rango.

f = {(3; ba 32 2 ), (-2; 5), (2; ba 32 2 ), (6;7), (3;8), (a + b; 3), (2; -4)}

4. Sea f una funcin definida mediante la regla 62 xxxf .

a. Determine el dominio de f.

b.

Calcule f(x) para x=-3, -2, -1, 0, , 1, 2, 3.c. Utilice los resultados obtenidos en (a) y (b) para trazar la grfica de f.

5. Sea f una funcin definida mediante la regla 32 2 xxxf .

a. Determine el dominio de f.

b. Calcule f(x) para x=-3, -2, -1, 0, , 1, 2, 3.

c. Utilice los resultados obtenidos en (a) y (b) para trazar la grfica de f.


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Carrera de Fecha:

9

n

m

f

6. Dada la funcin f = {(2; a-2b), (1;1/2), (-1; 1+a/3b), (2; 3a+b)}, encontrar la imagen de -1

por f.

7. Sea f(x)=ax2+bx (a0). Evaluar a + b, si xxfxf 1 , xR.

8. Dada la funcin f(x)=mx + b, xR, si: f(3)=11, f(-3)=6. Hallar: m +b.

9. Sea la funcin xxxf 34 2 . Hallar f(a+1).

10. Dada la funcin xxxxf 8121612 23 , determinar f(x).

11. Hallar:

x

xfxf 1, si 21 242 xxxf .

12.

Dado el polinomio xxaxxP 23 1 , se define la funcin f con dominio {0;1;2;3;5},

por f(a)=resto de la divisin de P(x) entre x + a, calcular f(2)+f(3).

13. Sea f(x) = mx + b una funcin lineal. Si f(1)=2f(0), calcular f(-1).

14. Dada 1

6612

2

x

xxxf , encontrar f(7) sin calcular f(x)

15. Calcular b para que f(x+2)-f(x)=8x+12, xR, si f(x)=ax2+bx+c.

16.

Si 152535

2 xxxf , encontrar:

2

11 xfxf

17.

Dada la siguiente grfica:

Calcular el rea de la regin sombreada, si: ( )=f x x

18.

Un carpintero puede producir libreros de una misma clase a un costo de S/.50 la unidad. Si

los vende a S/. k cada uno, podr vender aproximadamente (120-k) libreros al mes. La

utilidad mensual del carpintero depende del precio de venta de los libros. Calcule el precio de

venta si la utilidad es mxima.

RECTNGULO


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Carrera de Fecha:

10

Evale las siguientes funciones en los puntos indicados y encuentre su dominio:

19.

31

31

3

3

x:six

x:sixxf

a)

f(2)

b)f(3)

c)f(4,5)

20.

04

01

2 2

x:six

x:six

xxf

a)f(-1)

b)f(0)

c)f(1)

21.

41

2132

2

2

x:six

x

x:sixx

xf

a)f(1)

b)f(3)

c)f(5)

22.

2

1

1

31

2 x:si

x

x:six

xf

a)f(1)

b)

f(2,5)

c)f(10)


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Carrera de Fecha:

11

23.

3

31

2

2

x:sixx

x:sixxf

a)f(0)

b)f(3)

c)f(3,1)

24.

21

212

01

3

2

x:six

x:six

x:six

x

xf

a)f(-1)

b)f(1,5)

c)f(3)

25.

5

1

1

41

2

31

2

3

x:six

x

x:six

x:six

xf

a)f(1)

b)

f(3)c)f(4,1)


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Carrera de Fecha:

12

26.

112

1013

1

1

1

2

x:six

x:six

x:six

x

xf

a)f(-2)

b)f(-1/2)

c)

f(2,3)

PRCTICA N 2:

1. Hallar el dominio y rango de las funciones definidas por:

a) xxxf 42

b) 2 xxg

c) 2

43

xxxxh

d) xxF 4

2. Hallar el dominio, el rango y la grfica de las siguientes funciones:

a) ( )= - + f x x x

b)

( ) - + -

=-

x x xg x

x

c) ( ) - + -

=-

x x xh x

x


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Carrera de Fecha:

13

3. Hallar el dominio y el rango de la funcin definida por:

51458

133

3672

2

2

;x;xx

;x;x

;x;x

xf

4. Halle el mayor dominio admisible y el rango de la funcin:

822 xx

5. Encontrar el dominio, rango de la funcin f y trazar su grfica.

1322 xxf

6. Halle el dominio de la funcin f, tal que:

25116

2

xxf

7. Halle el dominio de la funcin:

2

32

16

112152

xxxxxh

8. Encontrar el dominio y el rango de

11

1

2

x

xf

9. Encontrar el dominio de la funcin:

4

1

3

24

2

2

xx

xxxxf

10. Halle el dominio de cada una de las funciones:

a) ( )= - + f x x x

b) ( )=-

xf x

x

c) ( ) - -

=+

x xf x

x x


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Carrera de Fecha:

14

d)

( )= - + ++ -

f x x x x x

e) ( ) - -

= ++ +

x xf x

x x

f) ( )( )

-= + -

++

xf x

xx

g) ( )= -f x x

h)

( )

-

= - +

x

f x x x

i) ( ) - -

=- -

x xf x

x


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Carrera de Fecha:

15

3. FUNCIONES ELEMENTALESAlgunas funciones son de uso frecuente en matemticas y otras reas, por lo que elconocimiento de sus principales caractersticas como dominio, rango y grfica, sehace indispensable. Las ecuaciones o reglas de correspondencia que definen a otrasfunciones pueden ser parecidas a las de algunas de estas funciones especiales,existiendo tan solo algunas pequeas diferencias, de modo que tengan caractersticasparecidas.

3.1.Funcin Constante:Es aquella funcin cuyo dominio es R y que su rango est formado por unsolo nmero. Si este nmero es c, entonces su regla de correspondencia es

f(x)=c.

3.2.Funcin Identidad:Es aquella funcin denotada por I, cuyo dominio es R y su regla decorrespondencia es I(x)=x.

Esta funcin asigna a cada nmero xel mismo nmero (idntico). Su rango estambin R y su grfica es la rectay=x.

Y

cy

X

Y

xy

X


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Carrera de Fecha:

16

3.3.

Funcin Valor Absoluto:

Es aquella funcin cuyo dominio es R, su rango: Ran(f)=0; +> y con reglade correspondencia xxf . Es decir:

0

0

x:si,x

x:si,xxxf

3.4.Funcin lineal:Es aquella funcin cuyo dominio es R y su regla de correspondencia es:

f(x)=ax+b, a0

La grfica de la funcin lineal es la recta oblicua y=ax+b, donde a es lapendiente. El rango de la funcin lineal es R.

Y

X

xy xy

Y

b;0

X

baxy


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Carrera de Fecha:

17

3.5.

Funcin Cuadrtica:

Es aquella funcin cuyo dominio es R y su regla de correspondencia es de laforma: f(x)=ax2+bx+c, a0

Para hallar su grfica hacemos y=ax2+bx+c,ecuacin que corresponde a unaparbola. Completando cuadrados esta ecuacin se transforma en:

a

bc

a

bxay

42

22

Adems: = -b ac

Vrtice de la parbola: V(h; k)

Donde:

= -b

ha

, = -b

k ca

As la grfica de la funcin cuadrtica es una parbola con vrtice en(h, k),con eje paralelo al eje Y. Existen dos casos:

As a>0, la parbola se abre hacia arriba siendo su rango el intervalo[k; +>.

Si a


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Carrera de Fecha:

18

3.6.

Funcin Cubica:

La funcin cbica es unapolinmica de tercergrado. Tiene la siguienteregla de correspondencia:( )f x = ax + bx + cx + d ,donde elcoeficiente aes distinto de 0.

Su dominio y rango son los reales (R).Respecto a su grfica: Es una curva que corta al eje X al menos en unpunto, y al eje Y en el punto (0; d).

3.7. Funcin racional:Si f y g son funciones polinmicas, la funcin F, cuya regla decorrespondencia es:

( )n n-

n

n n-

n

a x + a x + .... + aF x =

b x + b x + .... + b

, donde g(x) es diferente de cero se denomina

funcin racional.

El dominio de una funcin raciona es el conjunto de los nmeros reales talesque g(x)0 (menos los valores de x que anulan el denominador)

Ejemplo:

( ) x -

f x =x - x +

, para esta funcin racional su dominio estar formado por los

reales menos aquellos valores de x que hagan cero al denominador. Para sabercules son esos valores hacemos lo siguiente:

x - x + = x=2, 3Por lo tanto, su dominio ser: Dom(f)=R - {2; 3}
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_%28polinomio%29http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_%28polinomio%29http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica


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Carrera de Fecha:

19

3.8.

Funcin Raz Cuadrada:Es aquella funcin con dominio el intervalo [0;+> y su regla decorrespondencia es x)x(f . Su dominio es el intervalo [0; +>.

4. FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONESELEMENTALESSe obtendrn funciones nuevas, haciendo uso del desplazamiento, el alargamiento yla reflexin de las grficas de funciones elementales.

4.1. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES:

A.DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES:

Suponga que c > 0. Para obtener la grfica de:

cxfy , se desplaza la grfica de xfy una distancia de c

unidades hacia arriba.


unidades hacia abajo.


unidades hacia la derecha.


unidades hacia la izquierda.

Ejemplo: Desplazamientos de la funcin cuadrtica2xy

Y

X

xy


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Carrera de Fecha:

20

cxy 2

B.ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES YHORIZONTALES:

Suponga que c > 1. Para obtener la grfica de:

xcfy , alrguesela la grfica de xfy verticalmente en un factor

de c.

xfc

y

1 , comprmase la grfica de xfy verticalmente en un

factor de c.

cxfy , comprmase la grfica de xfy horizontalmente en un

factor de c.

Y

X

2xy 2cxy 2cxy

cxy 2

cxy 2

Desplazamiento vertical

Desplazamiento horizontal


21/25


Carrera de Fecha:

21

Y

c

xfy , alrguese la grfica de xfy horizontalmente en un factor

de c.

xfy , refljese la grfica de xfy con respecto al eje X

xfy , refljese la grfica de xfy con respecto al eje Y

Y

xcosy xcosy 2

xcosy2

1

X

X

2

xcosy

xcosy 2 xcosy

Y


22/25


Carrera de Fecha:

22

PRCTICA N 3:

1. Dibuje la grfica de cada funcin lineal y determine el dominio y el rango.

a) 52 xxf

b) 14 xxg

c) 22

1 xxh

d) 14

1 xxF

e)

xxG 2 f) xxH 3

g) 5xf

h) 4xg

2. Indique el vrtice de la grfica de cada funcin cuadrtica:

a) 23xxf

b)

42

xxf

c) 41 2 xxf

d) 43 2 xxf

e) 250 x,xf

f) 42 xxf

g) 23 xxf

h) 85 2 xxf

3.

Dibuje la grfica de cada funcin cuadrtica:

a) 23xxf

b) 22xxf

c) 24

1xxf


23/25


Carrera de Fecha:

23

d) 2

3

1xxf

e) 12 xxf

f) 32 xxf

g) 22 xxf

h) 42 xxf

i)

22 2 xxf

j) 13 2 xxf

k)

24 xxf

l) 213 xxf

m) 212 xxf

n) 23xxf

o) 23xxf

4. Dibuje la grfica de cada funcin cuadrtica. Diga las coordenadas del vrtice de la grfica

a) 1482 xxxf

b) 23102 xxxf

c) 422 xxxf

d) 893 2 xxxf

e) 542 2 xxxf

f) 2105 2 xxxf

5. Dibuje la grfica de las funciones siguientes:

a)

x

xf 3

b) xxf 5

c) x

xf

4

1

d) x

xf

3

1


24/25


Carrera de Fecha:

24

6.

Graficar la funcin:

a)

22 xy b) 33x

c)

23 xy

d) 21 xy

e)23 xy

f)25 xy

g)43 xy

h) 424 xy

i)424 xy

7. Determinar el rango y graficar la funcin: 92 x)x(f

8. Graficar la funcin x)x(f

9. Al graficar las funciones 542 xxxf ; ,xxxg 106 2 calcular

gf RR .

10.

Al graficar las funciones:

312 x)x(f

23 xxg

Halle : Rg - Rf

11. Graficar la funcin y encontrar el dominio y rango de la misma

32 2 xy

12. Trace las grficas de cada funcin:

a) 250 x,xf

b) xxf 3

c)

13

12

x:si

x:sixxf


25/25

25

d)

01

012

x:si

x:sixxf

e)

032

03

x:six

x:sixy

13. Determinar el dominio, rango y construir la grfica de la funcin:

( ) -

=+

xf x

x

14. Determinar el dominio y graficar la funcin:

( )= + -f x x x

15.

Hallar el dominio, rango y graficar la funcin:

( ) + + +

=+

x x xf x

x

16. En el siguiente grupo de ejercicios, determine el punto de interseccin de cada par de lneas

rectas.

a) 43 xy ; 142 xy

b)

74

xy ;105

xy

c) 632 yx ; 1663 yx

d) 1142 yx ; 535 yx

e)

5

4

1 xy ; 1

2

32 yx

f) 4

3

2 xy ; 033 yx

Semana N° 1 Funciones Reales de variable Real

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