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FUNCIONES REALES DE VARIABLE

REAL

1.- Aplicaciones y Funciones. Definiciones.

2.- Tipos de funciones.

3.-Operaciones con funciones.

4.-Composición de funciones.

5.- Función identidad y funciones recíprocas.

1.- Aplicaciones y Funciones. Definiciones.

Definición: Dados dos conjuntos A y B (Un conjunto es una colección de elementos), se dice que h es una aplicación entre el conjunto A y B y se denota por h : A B si es una correspondencia que asocia elementos de A con elementos de B cumpliendo las condiciones siguientes:

1.- A todos los elementos de A se le asigna un elemento de B 2.- A cada elemento x de A se le asigna un único elemento de B llamado imagen de x

Ejemplo:

Sea A el conjunto de las palabras de la frase “Aprobar Matemáticas no es tarea compleja” A= {aprobar, matemáticas, no, es, tarea, compleja} y sea B= ℕ el conjunto de los números naturales definimos la correspondencia que asigna a cada palabra de A el número de letras que tiene. Si llamamos h a dicha correspondencia, observamos que l es aplicación:1.- A todas las palabras de A se les asigna un número natural.2.- La asignación es única, pues al contar las letras sólo nos puede dar un número.

Será:h(aprobar) = 7h(matemáticas) = 11h(no) = 2h(es) = 2h(tarea) = 5h(compleja) = 8

Observamos que los elementos de B pueden estar asociados con más de un elemento de A (El 2 lo está con “no” y con “es”) pero un elemento de A no puede estar asociado con más de un elemento de B.

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Definición: Se llama función a una aplicación entre conjuntos numéricos.

Ejemplo: las sucesiones son funciones entre el conjunto ℕ∖0 y el conjunto ℝ .

Definición: Una función se dice real si el conjunto final B es ℝ y se dice que es de variable real si el conjunto inicial A es un subconjunto de ℝ .

Ejemplo: Las sucesiones son funciones Reales de variable Natural.

Definición:El subconjunto de ℝ para los que está definida una función real de variable real se llama Dominio de la función

Notación:Las funciones reales de variable real se denotan de las formas siguientes:

f : Dℝ x f x Siendo D⊂ℝ el dominio de la función y f(x) una expresión algebraica.

También suele denotarse sin indicar el dominio. Si no se indica el dominio se entiende que el dominio es el mayor subconjunto de ℝ para el que se puede calcular la expresión algebraica.

Ejemplo: Sea la función real de variable real f x = x−1x

El dominio será el mayor

subconjunto de ℝ para el que está definida la función. Deberá ser x−1≥0 y x≠0por un lado para poder calcular la raíz y por otro para poder calcular el cociente.Así, el dominio queda : D= [−1,0 ∪0,∞

Definición:Sea f : Dℝ una función, el conjunto de elementos de ℝ que son imágenes por f de elementos de D⊂ℝ se llama conjunto imagen o recorrido de f:

Im f ={ y∈ℝ/∃ x∈D⊂ℝ con f x= y }

Sea y∈Im f ; x∈D tal que f(x) = y se le llama antiimagen de y.

Ejemplo:

f :ℝℝ x f x= x2

El conjunto imagen es el conjunto de números reales que son cuadrado de otros. Por lo tanto será el conjunto de Reales positivos: Im f =[0,∞ Si consideramos el número 4∈Im f , una antiimagen de 4 es x= 2 porque f(2) =22 = 4.x= -2 también es antiimagen de 4.

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2.- Tipos de funciones.

Sea una función f : Dℝ :

Definición:Se dice que f es inyectiva si los elementos del conjunto final tienen a lo sumo una antiimagen.

{ f es inyectiva⇔[ Si x1 , x2∈ℝ/ f x1= f x2⇒ x1= x2] }

Ejemplo:

f x =x2 No es inyectiva porque cualquier elemento del conjunto final distinto de 0, tiene dos antiimágenes. (las dos raíces cuadradas positiva y negativa) Por ejemplo, 4 es imagen de 2 y -2 , es decir tiene dos antiimágenes.

Definición:

Se dice que f es suprayectiva si todos los elementos del conjunto final tienen al menos una antiimagen.

{ f es suprayectiva⇔[∀ y∈ℝ∃ x∈D tal que f x = y] }

Ejemplo:

f x =x2 No es suprayectiva porque los números negativos no tienen antiimagen ( no son cuadrado de ningún real)

Definición:

Se dice que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez

{ f es biyectiva⇔[∀ y∈ℝ∃! x∈D tal que f x= y ]}

∃! Significa (Existe y es único)

3.-Operaciones con funciones.

a) Producto de una función por un número real.Dada una función f : Dℝ y un número real k∈ℝ se llama producto de la función f por el número real k y se denota así k · f a la función que se obtiene de la manera siguiente:

k · f : Dℝ x k · f x

Observamos que el dominio de k · f es el mismo que el de f.

Ejemplo: Sea f x =3x2Dominio f =[−23

,∞ y k=2∈ℝ la función k·f

será:

k · f x =2 ·3x2=6x4 Dominio k · f =[−23

,∞

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b) Suma de funciones.Dadas dos funciones f : Dℝ y g : D 'ℝ se llama función suma de las funciones f y g y se denota por k · f a la función definida de la manera siguiente:

f g : D∩D 'ℝ x f x g x

Observamos que el dominio es la intersección de los dominios, es decir los puntos en común de ambos dominiosEjemplo:

f x =3x2Dominio f =[−23

,∞ y g x= 1x−1 Dominio g =ℝ∖{1}

La función f+g será:

f g x =3x2 1x−1

Dominio f g =[−23

,1∪1 ,∞ c) Producto de funciones.

Dadas dos funciones f : Dℝ y g : D 'ℝ se llama función producto de las funciones f y g y se denota por f · g a la función definida de la manera siguiente:

f · g : D∩D 'ℝ x f x · g x

Observamos que el dominio es la intersección de los dominios, es decir los puntos en común de ambos dominiosEjemplo:

f x =3x2Dominio f =[−23

,∞ y g x= 1x−1 Dominio g =ℝ∖{1}

La función f+g será:

f g x =3x2 · 1x−1

=3x2x−1

Dominio f · g =[−23

,1∪1 ,∞ d) Cociente de funciones.

Dadas dos funciones f : Dℝ y g : D 'ℝ y sea G0={x∈ℝ/g x =0} (el conjunto de puntos donde se anula la función g ) se llama función producto de las funciones f y g , y

se denota por fg a la función definida de la manera siguiente:

fg : D∩D' ∖G0ℝ

x f x g x

Observamos que el dominio es la intersección de los dominios eliminando los puntos donde se anula la función divisor , es decir los puntos en común de ambos dominios salvo los puntos donde se anula g.Ejemplo:

f x =3x2 Dominio f =ℝ y g x= x−3Dominio g =[3 ,∞

El conjunto G0={x∈ℝ/ g x=0} = {3}

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La función será:

fg x = 3x2

x−3 Dominio f

g =3 ,∞ 4.-Composición de funciones.

Definición:

Consideremos dos funciones f : Dℝ x f x y g : D 'ℝ

x g x si se cumple

Im f ⊂Dom f se puede definir una nueva función sobre el conjunto D tal que asocie a cada elemento de x∈D el valor . Esta función se denomina compuesta de f con g y se representa g ° f y queda definida así:

g° f : Dℝ x g f x

Ejemplo:

f x = x213x

Dominio f =ℝ∖{0} y g x=2x3Dominio g =ℝ

Se pide: Hallar g ° f y hallar f °g

g ° f x =g f x =g x213x =2 · x21

3x 3=2x229x3x

f °g x No puede calcularse porque 0∈Im g y 0∉Dom f El 0 es imagen de algún x∈D ' por g pero sobre él no podemos calcular f.

5.- Función identidad y funciones recíprocas.

Definición: Sea D∈ℝ , se llama función identidad definida sobre D a la siguiente función:

I D : Dℝ x I D x=x

Observación: La gráfica de ID es la bisectriz del primer cuadrante si D=ℝ o parte de ella si D≠ℝ

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Definición:Dadas las funciones f y g se dice que son recíprocas entre sí ( o que una es inversa de la otra) si cumplen las siguientes condiciones:

1) g ° f x =g f x =x . x∈Dom f 2) f °g x = f g x =x . x∈Dom g

Es decir, g ° f x y f °g x han de ser función identidad.

Dada una función f, su recíproca o inversa se denota por f-1:f −1° f =I Dom f

f ° f −1=I Dom f −1

Las funciones que admiten inversa son las inyectivas. Si no es inyectiva podemos calcular la inversa restringiendo a una parte del dominio.

Ejemplo, f(x)=x2 , no es inyectiva (f(2)=f(-2) pero si restringimos el dominio a los positivos o a los negativos sí lo es:

f : [0,∞ )ℝ x x2 si es inyectiva y su inversa es f −1x= x

f : (−∞ ,0]ℝ x x2 si es inyectiva y su inversa es f −1x =− x

f :ℝℝ x x2 No es inyectiva y por tanto no podemos hablar de f-1.

Observación:La gráfica de la función f y la gráfica de su recíproca f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante.Ejemplo ( f(x) = Ln (x) y g(x) = ex )

Ejemplo de aplicación:

Calcular la función inversa de la función f x =4x231

xSe trata de despejar la x en función de f(x), para hacerlo más cómodo hacemos f(x) =y y despejamos la x en función de la y:

f x =231

x y=2

31

x y

3x=2x

3x 3

3x y=2x3 2x= y−3 x= y−3

2

f −1 y= y−32

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

1.- Tasa de variación

2.- Funciones crecientes.

3.-Funciones decrecientes.

4. Simetría de las gráficas de funciones.

5.- Funciones periódicas.

6.- Funciones acotadas

1.- Tasa de variación..

Consideramos una función y = f(x) cuya representación gráfica es

Consideramos un punto x' que experimenta una variación de h .se pasa de x' → x' + h El incremento de la variable independiente x (se denota x ) es h: x=h

Cuando la x experimenta un incremento, la f(x) también lo experimenta:

x' → x' + hf(x') → f(x'+h)

El incremento que experimenta la función será f(x' + h) – f(x') y es lo que se llama tasa de variación

Definición: Se llama tasa de variación de una función en un punto x' al incremento que experimenta la función cuando la variable independiente sufre un incremento: y= f x ' x − f x '

Ejemplo:Sea la función f(x) = 3x-2 , calcular la tasa de variación en x= 4 : y=34h−2−3·4−2=123h−2−122=3h En x= 4 la función aumenta el

triple que la x..

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2.- Funciones crecientes.

Definición:Consideremos una función y = f(x). Diremos que es creciente en un intervalo

I⊂Dom f si para cualquier par de puntos x1 , x2∈ I tales que x1 x2 se verifica f x1≤ f x2

En una función creciente la tasa de variación será siempre mayor o igual que 0. y≥0

Ejemplo: f(x) = 2x – 3

Sean x1 y x2 talesque x1x2 f x1=2x1−3 y f x2=2x2−3 si comparamos f(x1) y f(x2) vemos que :

x1 x2 2x12 x2 2x1−32x2−3 f x1 f x2 creciente.

3.- Funciones decrecientes.

Definición:Consideremos una función y = f(x). Diremos que es decreciente en un intervalo

I⊂Dom f si para cualquier par de puntos x1 , x2∈I tales que x1 x2 se verifica f x1≥ f x2

En una función decreciente la tasa de variación será siempre menor o igual que 0. y≤0

Ejemplo: f(x) = -2x – 3

Sean x1 y x2 talesque x1x2 f x1=2x1−3 y f x2=2x2−3 si comparamos f(x1) y f(x2) vemos que :

x1 x2−2x1−2 x2−2x1−3−2x2−3 f x1 f x2 decreciente.

Ejemplo de Aplicación (apartados 2 y 3):

Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función f(x) = x2-3x+2 en el intervalo (3, 6).

Sean x1 y x2∈3,6 talesque x1x2 hay que ver si f(x1) – f(x2) es ≥0 decrecienteó ≤0 creciente será:

f x1− f x2=x12−3 x12− x2

23x2−2= x12−x2

23x2− x1=x1−x2x1 x2−3 x1−x2=x1−x2x1 x2−3

x1 x2 x1−x20 Por otro lado como x1>3 y x2>3 será x1+x2 >6 y por tanto x1+x2 – 3 >3>0 quedando:

x1−x20x1x2−30 por lo que el producto ( - por + ) será menor que cero:

f x1− f x2= x1−x2x1x2−30 f x1 f x2creciente en3, 6

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4.- Simetría de las gráficas de funciones.

a) Simetrías respecto del origen. Funciones Impares

Se dice que una función f(x) es simétrica respecto del origen de coordenadas si se verifica f −x =− f x∀ x∈Dom f . A estas funciones se les llama funciones impares.

Ejemplo :f x =4x : f −x=4 ·−x =−4x=− f x

b) Simetrías respecto del eje de ordenadas. Funciones Pares

Se dice que una función f(x) es simétrica respecto del origen del eje yo si se verifica f −x = f x ∀ x∈Dom f . A estas funciones se les llama funciones pares.

Ejemplo :f x =4x2 : f −x=4 ·−x 2=4x2= f x

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Ejemplo de Aplicación (apartado 4):

Estudiar las simetrías de las funciones:

f x= x3−2xx21

Calculamos f −x aver si coincide con− f x Impar ó f x Par

f −x = −x3−2−x−x21

=−x32xx21

=−x3−2x

x 21=− x3−2x

x 21=− f x

Simétrica respecto del origen Impar

f x=∣x∣Calculamos f −x aver si coincide con− f x Impar ó f x Par

f −x=∣−x∣=∣x∣= f x Simétrica respectodel eje OY Par

5.- Funciones periódicas.

Definición: Se dice que una función f(x) es periódica si se verifica que existe un número real T tal que

f xT = f x∀ x∈Dom f Al menor número real que verifica esa condición se le llama periodo de la función.

Ejemplo: la función sen (x) es periódica, ya que existe ese tal número real, por ejemplo T= 720º ya que sen (x + 720º) = sen (x) el menor número T que verifica la condición es 360. Ese será el periodo de la función seno. 360º

6.- Funciones acotadas.

Definición:Se dice que una función f(x) está acotada superiormente si existe un número real K tal que

f x ≤K ∀ x∈Dom f . A la menor de todas las cotas superiores se llama extremo superior de la función. Si este extremo superior es un valor que alcanza la función (si pertenece a Im(f) ) recibe el nombre de Máximo absoluto

Ejemplos:a) f x =2−x2 está acotada superiormente.

Cotas superiores: 2, 3, 5, 561,....Extremo superior: 2Máximo absoluto: 2 se alcanza en x= 0: f(0) = 2

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b) f x =2−12x

está acotada superiormente.

Cotas superiores: 2, 3, 5, 568,... Extremo superior: 2

Máximo absoluto: No existe. No se alcanza el ext. superior 12 x

nunca se anulará.

Definición:Se dice que una función f(x) está acotada inferiormente si existe un número real K tal que

f x ≥K ∀ x∈Dom f . A la mayor de todas las cotas inferiores se llama extremo inferior de la función. Si este extremo inferior es un valor que alcanza la función (si pertenece a Im(f) ) recibe el nombre de Mínimo absoluto

Ejemplos:a) f x =2x2 está acotada inferiormente.

Cotas inferiores: 2, 1, 0, -561,....Extremo inferior: 2Mínimo absoluto: 2 se alcanza en x= 0: f(0) = 2

b) f x =212x

está acotada inferiormente.

Cotas inferiores: 2, 1, 0, -568,... Extremo inferior: 2

Mínimo absoluto: No existe. No se alcanza el ext. superior 12x

nunca se anulará.

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FUNCIONES ELEMENTALES1.- Clasificación de las funciones

2.- Funciones Polinómicas

3.- Funciones Racionales

4.- Funciones Irracionales

5.- Funciones definidas a trozos

6.- Función valor absoluto.

7.- Funciones exponenciales

8.- Funciones logarítmicas

9.- Funciones trigonométricas

1.- Clasificación de las funciones

A partir de la expresión analítica de las funciones podemos efectuar la siguiente

clasificación:

• Funciones algebraicas: Son las funciones cuya expresión analítica solo incluye las

operaciones algebraicas (suma, resta, división, multiplicación y radicación). Distinguimos

entre las funciones algebraicas:

• Funciones polinómicas: f x =an xnan−1 xn−1...a1 xa0

• Funciones racionales: f x = p x q x donde p(x) y q(x) son polinomios.

• Funciones irracionales: f x =n g x donde g(x) es una función algebraica.

• Funciones trascendentes: aquellas que no son algebraicas. Analizaremos las siguientes:

• Funciones exponenciales. f x =a x donde a0 y a≠1

• Funciones logarítmicas. f x =loga x donde a0 y a≠1

• Funciones trigonométricas. f x =trig x donde trig representa alguna de las

funciones trigonométricas (seno,cos,tangente,...)

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2.- Funciones polinómicas.

Definición:

Se dice que una función f(x) es función polinómica si está definida de la forma siguiente:

f x =an xnan−1 xn−1...a1 xa0 donde n , n−1, n−2, ...∈ℕ y an , an−1 , ...a0∈ℝ

1.- Dominio

El dominio de una función polinómica es todo ℝ .

2.- Recorrido

El recorrido depende del grado del polinomio.

Si el grado es impar el recorrido será todo ℝ . Si es par, será un subconjunto de ℝ que

dependerá del polinomio.

3.- Periodicidad

No son funciones periódicas en ningún caso.

4.- Simetrías

En algunos casos pueden presentar simetrías, pero depende de cada polinomio.

5.- Gráficas:

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3.- Funciones racionales.Definición:

Una función es racional si su expresión analítica es un cociente de polinomios. f x = p x q x

1.- Dominio

El dominio de una función racional es todos los reales menos los puntos que anulan el

polinomio denominador. Dom f =ℝ∖{x∈ℝ/ qx =0 } .

2.- Recorrido

El recorrido depende de los polinomios numerador y denominador.

3.- Periodicidad

No son funciones periódicas en ningún caso.

4.- Simetrías

En algunos casos pueden presentar simetrías, pero depende de cada función.

5.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:

Es un tipo particular de función racional f x = kx

conℝ∋k≠0 , cuya gráfica es una

hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas.

Dom f =ℝ∖{0 }

Recorrido:ℝ∖{0 }

Simetría: f −x= k−x=−k

x=− f xEs impar.

6.- Algunas gráficas:

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4.- Funciones irracionales.Definición:

Una función es irracional si su expresión analítica es un radical de una función algebraica

f x =n g x

1.- Dominio

El dominio de una función irracional depende del índice del radical (n) y del radicando:

• Si el índice es impar, se puede calcular el radical de cualquier número real, y por

tanto el dominio de f(x) será el mismo que el del radicando g(x)

Ejemplo : f x =5 4x .Dom f =Dom4x =ℝ∖{0 }

• Si el índice es impar, sólo se puede calcular el radical de radicandos positivos o cero,

por tanto, el dominio será el conjunto de los puntos del dominio del radicando para los

que el radicando es mayor o igual que cero.

f x =ng x si n es par⇒D f =Dg ∖ x∈ℝ/ g x0

Ejemplo:

f x =8 4x

. Dom f =Dom 4x ∖{x∈ℝ/ 4

x0 }=ℝ∖{0 }∖−∞ ,0=0,∞ .

2.- Recorrido

El recorrido dependerá de la expresión algebraica.

3.- Periodicidad

No son funciones periódicas en ningún caso.

4.- Simetrías

En algunos casos pueden presentar simetrías, pero depende de cada función.

5.- Algunas gráficas:

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5.- Funciones definidas a trozos.Definición:

Una función se llama definida a trozos si requieren diferentes expresiones analíticas para cada

una de las partes de su dominio.

Ejemplos:

• La función parte entera de un número real se define como:

E [ x ]=n si x∈[ n , n1 , siendo n un número entero.

Es decir E [x] es el entero más grande que es menor que x.

Es una función definida a trozos, el dominio, ℝ , se divide en infinitos intervalos, tantos

como números enteros. El recorrido de esta función es el conjunto ℤ de los números

enteros.

• f x ={x2−2 si x < 3−3x si x >=3

∣

6.- Función valor absoluto.Definición:

El valor absoluto de una función f(x) se denota por |f(x)| y se define de la manera siguiente:

∣ f x ∣={ f x si f x≥0− f x si f x 0

∣Obtención de la gráfica:

1.- Se obtiene la gráfica de la función f .

2.- los tramos de la gráfica por debajo del eje de abscisas se transforman en otros tramos

simétricos por encima del eje de abscisas.

Ejemplos:

∣x3−10x4∣

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7.- Función exponencial.Definición:

Las funciones exponenciales son aquellas cuya expresión analítica es

f x =a x con a0 a≠1

1.- Dominio

El dominio de una función exponencial es todo el conjunto de los números reales.

Dom f =ℝ

2.- Recorrido

El recorrido es el conjunto de los números reales mayores que cero. REC f =0,∞

3.- Periodicidad

No son funciones periódicas en ningún caso.

4.- Simetrías

no presentan simetrías

5.- Comportamiento a largo plazo

Si a > 1 → ax se hace cada vez más grande cuando la x crece. Si x∞ : a x∞

ax se va acercando a cero cuando la x decrece. Si x−∞ : ax0

Si a < 1 → ax se va acercando a cero cuando la x crece. Si x∞ : a x0

ax se hace cada vez más grande cuando la x crece. Si x−∞ : ax∞

Observación: Sea cual sea a la función f(x) = ax siempre corta al eje de ordenadas en el punto

(0,1), ya que a0 = 1 para todo a.

6.- Algunas gráficas:

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8.- Función logarítmica.Definición:

Las funciones logarítmicas son aquellas cuya expresión analítica es

f x =loga x con a0 a≠1

1.- Dominio

El dominio de una función logarítmica es es el conjunto de los números reales mayores que

cero. Dom f =0,∞ Pues es sobre los que se define la operación logaritmo.

2.- Recorrido

El recorrido es el todo el conjunto de los números reales. REC f =ℝ

3.- Periodicidad

No son funciones periódicas en ningún caso.

4.- Simetrías

no presentan simetrías

5.- Comportamiento en los extremos

Si a > 1 → loga (x) es creciente y : Si x0 : log ax −∞

Si x∞ : loga x ∞

Si a < 1 → loga (x) es creciente y : Si x0 : log ax ∞

Si x∞ : loga x 0

Observación: Sea cual sea a la función f(x) = loga (x) siempre corta al eje de abscisas en el

punto (1,0), ya que loga (1) = 0 para todo a.

6.- Algunas gráficas:

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8.- Funciones trigonométricas.Definición:

Son las funciones f(x) = trig (x) donde trig representa alguna de las razones trigonométricas.

Ya se han estudiado así que me limitaré a recordar las gráficas:

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LÍMITE DE FUNCIONES

1.- Idea intuitiva del límite de una función en un punto

2.- Concepto de límite de una función en un punto.

3.-Propiedades de los límites

4. Asíntotas horizontales

5.- Asíntotas verticales.

1.- Idea intuitiva del límite de una función en un punto.El límite de una función cuando x tiende a un valor “a”, es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se va aproximando hacia “a”.

Cuando el valor “a” es un número real, podemos hablar de límite cuando x se acerca a “a” por valores más pequeños que “a” (x tiende a “a” por la izquierda) o podemos hablar de límite cuando x se acerca a “a” por valores mayores que “a” (x tiende a “a” por la derecha).

Ejemplo :

(figura A)Observamos que cuando en el eje X nos vamos acercando a “a” por la izquierda, en el eje Y, la función se acerca a L. lim

xa -f x =L

(figura A)

(Figura B)Observamos que cuando en el eje X nos vamos acercando a “a” por la derecha, en el eje Y, la función se acerca a L.

limxa +

f x=L (figura B)

Si los límites laterales coinciden, entonces, entonces podemos decir que existe límite de la función cuando x tiwende a “a”: lim

xaf x=L

Observación: No nos importa lo que valga la función en “a”, es decir, cuando hablamos de límite, f(a) puede hasta no existir, lo único que nos importa es qué pasa en los puntos cercanos a “a”

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2.- Concepto del límite de una función en un punto.

Definiciones:a) Límite por la izquierda:Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a “a” por la izquierda y se representa por lim

xa -f x =L⇔

∀0 , ∃0 tal que si a−xa entonces∣ f x −L∣

Es decir, sea cual sea la distancia a L fijada ( > 0 ) encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos que estén entre a− y a (todos los puntos cercanos a

“a” por la izquierda ) son puntos cuya imagen está tan cerca de L como se haya fijado ( )

b) Límite por la derecha:Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a “a” por la derecha y se representa por lim

xa +f x=L⇔

∀0 , ∃0 tal que si a xa entonces∣ f x −L∣

Es decir, sea cual sea la distancia a L fijada ( > 0 ) encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos que estén entre a y a (todos los puntos cercanos a “a”

por la derecha ) son puntos cuya imagen está tan cerca de L como se haya fijado ( )

c) Límite global en un punto:Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a “a” y se representa por

limxa +

f x=L⇔ ∀0 , ∃0 tal que si a xa entonces∣ f x −L∣

Es decir, sea cual sea la distancia a L fijada ( > 0 ) encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos que estén entre a− y a (todos los puntos cercanos

a “a” por ambos lados ) tienen su imagen tan cerca de L como se haya fijado ( )

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d) Límites en el infinito:• Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a infinito y se representa por

limx∞

f x =L⇔ ∀0 , ∃0 tal que si x entonces∣ f x −L∣

Es decir, sea cual sea la distancia a L fijada ( > 0 ) encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos más grandes que (todos los puntos a partir de uno )

tienen su imagen tan cerca de L como se haya fijado ( )

• Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a menos infinito y se representa por

limx−∞

f x =L⇔ ∀0 , ∃0 tal que si x− entonces∣ f x −L∣

Es decir, sea cual sea la distancia a L fijada ( > 0 ) encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos anteriores a − (todos los puntos anterioresa uno )

tienen su imagen tan cerca de L como se haya fijado ( )

e) Límites infinitos:• Se dice que el límite de la función f(x) es infinito cuando x tiende a un valor real “a” y

se representa por limxa

f x=∞⇔ ∀0 , ∃0 tal que si a−xa entonces f x

Es decir, sea cual sea el valor positivo ( > 0 ) , por grande que sea, encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos entre a− y a (todos los puntos cercanos a “a” ) tienen su imagen por encima del valor fijado ( ) (figura a)

• Se dice que el límite de la función f(x) es menos infinito cuando x tiende a un valor real “a” y se representa por

limxa

f x=−∞⇔

∀0 , ∃0 tal que si a−xa entonces f x−

Es decir, sea cual sea el valor positivo ( > 0 ) , por grande que sea, encontraremos un valor ( 0 ) de manera que todos los puntos entre a− y a (todos los puntos cercanos a “a” ) tienen su imagen por debajo del opuesto al valor fijado ( − ) (figura b)

(figura a) (figura b)

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3.- Propiedades de los límites de funciones .

1- Si una función tiene límite en un punto, dicho límite es único.2- Si en un entorno de x=a se verifica f x ≤g x∀ x≠a y x dentro de dicho entorno .

Entonces se cumple que limxa

f x≤limxa

g xen el supuesto de que ambos límites existen.

Si además se cumple que f x≤hx ≤g xy los límites de las funciones f y gexisten y son iguales. Entonces la función h x tiene límite siendo este

limxa

f x =limxa

h x=limx a

g x (Crit. del sandwich)

3- Si existe el limxa

f x entonces va a existir un entorno de punto a en el que la función f está acotada.

4.- Asíntotas horizontales

Definición:Una asíntota es una recta tangente a la función en el infinito .Si f(x) es una función que verifica lim

x∞f x =b ó lim

x−∞f x =c , entonces las rectas

y= b ó y = c son asíntotas horizontales de la función f(x)

Ejemplo: f x =2x1 : limx−∞

2x1=1 la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

4.- Asíntotas verticales

Definición: Si f(x) es una función que verifica que en x=a alguno de los límites laterales es ∞ ó −∞

entonces decimos que la recta x=a es una asíntota vertical de la función f(x).

CASO1: Si limxa-

f x =limxa +

f x=±∞ .

Entonces la recta x=a es una asíntota vertical de ramas convergentes.

CASO 2: Si alguno de los límites laterales es ±∞ pero limxa-

f x≠ limxa+

f x .

Entonces la recta x=a es una asíntota vertical de ramas divergentes.

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Ejemplos:

Ejemplo1:

f x = x2−3x12

Asíntota vertical de ramas convergentes en x= -1

Ejemplo 2:

f x = xx1 Asíntota vertical de ramas divergentes en x= -1

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CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1.- Función continua en un punto.

2.- Continuidad lateral

3.-Tipos de discontinuidad

4. Propiedades de las funciones continuas.

1.- Función continua en un punto.

Definición: Dada una función f : Dℝ se dice que f es continua en el punto x=a∈D si se verifican las condiciones siguientes:

1) ∃ f a ( la función está definida en el punto x = a)2) ∃ lim

xaf x ∈ℝ

3) limxa

f x= f a

Resumiendo: LA función está definida en a y su valor coincide con su límite. (se aproxima a lo que vale)

Ejemplo:

f x ={ x2−4x−2

si x≠2

4 si x=2∣1º)∃ f 2=4

2º)∃ limx2

x−2x2x−2

=4

3º) limx2

f x= f 2→ Es continua en x= 2.

2.- Continuidad lateral.

Definición: Dada una función cuyo dominio de definición es el conjunto D, diremos que es continua por la izquierda en el punto x=a∈D si se verifica:

f a =limxa -

f x

Dada una función cuyo dominio de definición es el conjunto D, diremos que es continua por la derecha en el punto x=b∈D si se verifica:

f a =limxb+

f x

Ejemplo: f x ={x3 si x≤12x si x1

∣Es continua por la izquierda en x = 1.NO es continua por la derecha en x = 1.

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3.- Tipos de discontinuidad

Definición: Se dice que una función es discontinua en un punto x = a cuando no es continua en dicho punto f a ≠lim

xaf x .

a) Discontinuidad evitable Una función f(x) presenta en un punto x = a una discontinuidad evitable cuando ∃ lim

xaf x ∈ℝ pero , o no existe f (a ) ó f a ≠lim

xaf x

b) Discontinuidad esencial de salto finito Una función f(x) presenta en un punto x = a una discontinuidad esencial (o inevitable) de salto finito cuando ∄ lim

xaf x pero , sí existen los límites laterales y son finitos

ℝ∋ limxa +

f x≠limxa-

f x∈ℝ

c) Discontinuidad esencial de salto infinito Una función f(x) presenta en un punto x = a una discontinuidad esencial (o inevitable) de salto infinito cuando alguno de los límites laterales (o ambos) es ±∞

limxa +

f x±∞ ó limxa-

f x=±∞

4.- Propiedades de las funciones continuas

Definición:Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en todos los puntos del intervalo.

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en (a, b) y además se verifica que lim

xa +f x= f a y lim

xb-f x = f b

1.- Continuidad de funciones elementales:Las funciones lineales f x=mxn , cuadráticas f x =ax2bxc , potenciales de exponente entero f x =xn , exponenciales f x =a x con a0a≠1 , logarítmicas f x =loga xa0 a≠1 y trigonométricas, son continuas en todo su dominio.

2.-Operaciones con funciones continuas:Dadas f y g dos funciones continuas en un punto de sus dominios x=a∈D f ∩Dg , entonces se verifica que:

1. f g , f −g , f · g son funciones continuas en x = a.2. k· f es continua para cualquier valor de k∈ℝ

3.fg es continua en x = a si g a≠0