Capıtulo 1´ Preliminares. Funciones reales de una variable … · 2018-01-14 · Capıtulo 1´...

Capıtulo 1

Preliminares. Funciones reales deuna variable real.

1.1. Distintos tipos de numeros

Los conjuntos de los numeros naturales N, enteros Z y racionales Q surgieronpor el estudio de las operaciones y propiedades algebraicas que poseıan.

Los numeros naturales gozan ya de propiedades interesantes, relacionadas consu propia definicion rigurosa. La idea es que los numeros naturales se construyenpartiendo de un numero “semilla”, el 1, y utilizando una operacion “siguiente”que produce el siguiente numero natural a partir de uno dado.

Definicion 1.1 (Principio de induccion matematica). Sea P (n) una proposicionsobre los numeros naturales ( por ejemplo, una formula que depende de n ∈N ) Si

• P (1) es cierta

• y se cumple que si P (k) es cierta para un cierto k ∈N entonces P (k + 1) es cierta

entonces P (n) es cierta ∀n natural.

Ejemplo 1.2. Demuestra que P (n) es cierta para todo n ∈N si

P (n) es la formula 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

Evidentemente P (1) es cierta ( atencion a la notacion, P (1) es 1 ¡ no1 + 1 ! ) Si P (k) es cierta, entonces P (k + 1) es

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k −1) + (2k + 1) = P (k) + 2k + 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2

cierta. Esto implica que P (n) es cierta para todo n.

1

2 CAPITULO 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

Ejercicio 1.3. Demuestra por induccion que

1 + 2 + 3 + · · ·+n =n(n+ 1)

2.

El principio de induccion nos permite dar definiciones “inductivas”, recurren-tes o recursivas de funciones sobre N o Z, como las dos siguientes.

Ejemplo 1.4. El factorial n! de un numero positivo n ∈ Z+ se define como

• 0! = 1,

• n! = n · (n− 1)!

Ejemplo 1.5. Los numeros de Fibbonaci Fn. F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 +Fn−2.

Ejercicio 1.6. Escribir los diez primeros numeros de Fibbonaci.

El estudio de las propiedades de los numeros naturales es una rama enterade la Matematica. Nosotros solo recordaremos aquı el teorema fundamental de laaritmetica: todo numero entero n se puede escribir como un producto de numerosprimos elevados a una potencia natural. Dicha escritura es unica, salvo por elorden de los factores.

Si deseamos un conjunto de numeros que incluya a los numeros naturales yen el cual la operacion de substraccion este bien definida, necesitamos construirnuevos numeros. En concreto, es necesario introducir el cero y los numerosnegativos. Llegamos ası al conjunto de los numeros enteros Z. El conjunto Qde los numeros racionales se construyo para dar naturalidad a la operacion decociente de numeros:

Q ={ nm, siendo n,m ∈N y m , 0

}Los numeros irracionales fueron descubiertos por los griegos clasicos, al

observar que ciertas magnitudes geometricas no se relacionaban entre sı deforma “racional”.

Ejemplo 1.7. La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidadno es un numero racional. Es decir,

√2 <Q.

Demostracion. Lo demostramos por reduccion al absurdo. Para ello su-ponemos que la aseveracion es falsa, es decir, que existe una frac-cion m/n irreducible, tal que

√2 =m/n. Por ello m2 = 2n2, luego m2

es par. Es facil ver que el cuadrado de un numero par es par, y el

1.1. DISTINTOS TIPOS DE NUMEROS 3

de uno impar es impar, ası que m es tambien par, digamos m = 2p.Entonces n2 =m2/2 = 4p2/2 = 2p2 y n2 y n son pares, es decir n = 2q.Pero esto implica que m/n = 2p/2q no es irreducible y esto es una con-tradiccion. Deducimos por ello que la suposicion inicial,

√2 =m/n,

es falsa.

La idea que los griegos tenıan del conjunto de numeros reales era de naturalezageometrica: el “lugar geometrico de los puntos de una recta” es un conjunto R, talque Q ⊂ R pero R ,Q. Se suele denominar “la recta real”, y nos conformaremosaquı con la imagen intuitiva de que es un conjunto geometrico “continuo”.

Cuantitativamente, podemos imaginar un numero real como un numeroasociado a una expresion decimal. Si la expresion decimal posee infinitas cifrasdecimales, no periodicas, entonces representa un numero irracional, y en casocontrario, un numero racional.

Ejemplo 1.8. El numero q = 0.2014 = 0.20141414 · · · tiene que ser ra-cional, segun lo anterior. Tomemos la parte periodica p = 0.0014 y,observando que

100p = 0.14 + p

tenemos que 99p = 14/100, luego p = 14/9900 y

q = 0.20 + p =20

100+

149900

=15

+7

4950=

990 + 74950

=997

4950

El ejemplo anterior nos debe de convencer que toda expresion decimal periodicacorresponde a un numero racional. Es decir, que para que una expresion decimalcorresponda a un numero racional, es suficiente que sea periodica.

Ejemplo 1.9. Consideremos el numero racional 45/148. Realicemos la


division para encontrar su expresion decimal:

4 5− 0

4 5 0− 4 4 4

6 0 0− 5 9 2

8 0 0− 7 4 0

6 0 0− 5 9 2

8 0 0− 7 4 0

6 0

1 4 80.3 0 4 0 5 4 0 5

Observemos los restos que se van produciendo: 6, 8, 60 y de nuevo 8.Esta claro que, si se repite un resto ( el 8 es el primero en nuestrocaso ) toda la secuencia posterior de restos se repetira, y el cocientepresentara un periodo ( 405 en nuestro caso ) Como solo hay 148posibles restos ( contando con el 0 ) la division no puede prolongarseinfinitamente sin que, en algun momento anterior a la resta numero149, algun resto se repita y se produzca un periodo.

El argumento del ejemplo anterior tambien es facilmente generalizable a cual-quier division de dos numeros enteros. La conclusion es que necesariamente todaexpresion decimal de un numero racional es periodica. La periodicidad de laexpresion decimal es una condicion necesaria y suficiente para que el numerosea racional, es decir totalmente equivalente a que el numero sea racional. Lasexpresiones decimales no periodicas representan, por tanto, numeros irraciona-les*.

Definicion 1.10 (Propiedades elementales de los numeros reales).

• Propiedades de cuerpo: Existen dos operaciones “+” y “·” que producen unnumero real a partir de dos dados y tienen las siguientes propiedades para todos

*el significado de dicha expresion infinita conlleva la idea de una suma infinita, un conceptoque estudiaremos en otro capıtulo y que requiere la definicion de numero real para definirse.Ello desvela la falta de autoconsistencia que tiene la definicion de numero real como “expresiondecimal infinita”


los numeros reales x,y,z ∈ R:

1. + y · son conmutativas y asociativas:

x+ y = y + x, x · y = y · x,x+ (y + z) = (x+ y) + z, x · (y · z) = (x · y) · z;

2. se cumple la propiedad distributiva: x · (y + z) = x · y + x · z;

3. existen elementos neutros: 0 respecto a + y 1 respecto a ·, con 0 , 1:x+ 0 = x, x · 1 = x;

4. existen elementos inversos respecto a + y · : ∃−x | x + (−x) = 0, y ∀x ,0 ∃x−1 | x · x−1 = 1.

• Propiedades de orden: Existe una relacion > que satisface, para todos losnumeros reales x,y ∈ R:

5. dado x, o bien x > 0, o bien −x > 0 o bien x = 0;

6. si x,y > 0 tambien x+ y > 0 y x · y > 0.

Las propiedades anteriores son las propiedades caracterısticas de los numerosracionales. Los numeros reales poseen una propiedad mas, la propiedad que lesconfiere su caracterıstica de formar un “continuo”, como hemos comentado masarriba. Discutiremos esta ultima propiedad algo mas adelante (ver [1]).

Todo el conocimiento elemental que tenemos sobre los numeros reales esta“encapsulado” en las seis propiedades anteriores. Por ejemplo:

Proposicion 1.11. Cualquier numero multiplicado por 0 es 0, y el opuesto −x ( inver-so respecto a la suma ) de un numero x es -1 multiplicado por ese numero: −x = −1 ·x.

Demostracion. 0 · x = (0 + 0) · x 2.= 0 · x + 0 · x; sumando a ambos lados de la

igualdad −0 · x (el opuesto de 0 · x)1.⇒ 0 = 0 · x, ∀x ∈ R. Y 0 = 0 · x = (1 + (−1)) · x 2.=

1 · x+ (−1) · x 3.= x+ (−1) · x4.⇒ −x = −1 · x.

Ejercicio 1.12. ¿ Que sucederıa si en 3. admitieramos 0 = 1 ?

Hemos reducido tanto el conjunto de propiedades de los numeros que hayconceptos muy familiares que necesitan ser definidos.

Definicion 1.13. La resta es la suma del opuesto del sustraendo y −x = y + (−x). Unnumero es mayor que otro cuando al sustraer este ultimo al primero se obtiene unnumero positivo: y > x ⇔ y − x > 0.


Los sımbolos <, ≥ y ≤ denotan respectivamente la relacion de orden inversaa >, es decir x < y ⇔ y > x y las relaciones x ≥ y ⇔ x > y o x = y, x ≤ y ⇔ x <y o x = y.

Proposicion 1.14.

1) Si x > y entonces x+ z > y + z, y si ademas z > 0, entonces z · x > z · y.

2) Si x > y y a > b entonces x+ a > y + b. Si a > b > 0 entonces x · a > y · b.

3) Si x > y entonces −x < −y. En particular si x > 0 entonces −x < 0.

Cambiando > por ≥ y < por ≤ los resultados siguen siendo validos, entendiendose quesi hay una igualdad, la consecuencia tambien es una igualdad.

Demostracion. 1) 0 < x − y = x+ z − (y + z), y 0 < z(x − y) = zx − zy;2) x − y > 0, a− b > 0⇒ x − y + a− b > 0, y xa > xb > yb;3) x − x − y > y − x − y⇒−y > −x.

Proposicion 1.15.

1) Si x > 0 y 0 > y entonces 0 > xy.

2) Si 0 > x y 0 > y entonces xy > 0.

Cambiando > por ≥ los resultados siguen siendo validos.

Demostracion. 1) 0 < x(−y) = −xy⇒ xy < 0.

Ejercicio 1.16. Demuestra que si x > 0, entonces

si x > 1 ⇒ x2 > x

si x < 1 ⇒ x2 < x

Ejercicio 1.17. Demuestra que x2 > 0, ∀x , 0 y x2 = 0 ⇔ x = 0.

La siguiente definicion de valor absoluto es la mejor para nuestros proposi-tos.

Definicion 1.18 (Valor absoluto).

|x| ={x x ≥ 0−x x ≤ 0

*

Ejercicio 1.19. Demuestra que

|x| < |y| ⇔ |x|2 < |y|2

*aunque ahora no es relevante, tambien se escribe |x| = +√x2.


Proposicion 1.20.

|x|2 = x2, |x| = | − x|, |xy| = |x||y|, −|x| ≤ x ≤ |x|,(x > y)∧ (x > −y)⇔ x > |y|.

Volviendo a la interpretacion geometrica de R, se puede definir la distanciaentre dos puntos x,y ∈ R de la recta real como

distancia d(x,y) = |y − x|.

Las siguientes desigualdades, importantes en el analisis, tienen un significadogeometrico profundo.

Teorema 1.21 (Desigualdad triangular).

|x+ y| ≤ |x|+ |y|

Proposicion 1.22.

|x − y| ≥∣∣∣|x| − |y|∣∣∣

Demostracion del teorema 1.21: Escribiendo |x + y|2 = (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ≤|x|2 + |y|2 + 2|x||y| = (|x|+ |y|)2, (ver nota*) y usando el ejercicio 1.19 se demuestrael resultado. Otra demostracion: cuatro casos x ≥ 0, y ≥ 0; x ≥ 0, y ≤ 0 etc. Loscasos de mismo signo son evidentes. Resolvamos el segundo caso:

|x+ y| =∣∣∣|x| − |y|∣∣∣ =

|x| − |y| ≤ |x|+ |y| x ≥ |y||y| − |x| ≤ |y|+ |x| x ≤ |y|

Demostracion de la proposicion 1.22: |x| = |x−y+y| ≤ |x−y|+ |y|, y |y| = |y−x+x| ≤|y − x| + |x|, con lo que |x| − |y| ≤ |x − y| e |y| − |x| ≤ |x − y| y usando la ultimaformula de la proposicion 1.20, se demuestra el resultado. Otra demostracion:(|x| − |y|)2 = |x|2 − 2|x||y|+ |y|2 ≤ x2 − 2xy + y2 = (x − y)2.

Ejercicio 1.23. Demuestra que |x| − |y| ≤ |x − y| ≤ |x|+ |y|.

*la desigualdad xy ≤ |x||y|, que se denomina de Cauchy-Schwarz, es evidente en R.


1.2. Intervalos y cotas

Los intervalos son subconjuntos especiales de R, que se utilizan profusamen-te.

Definicion 1.24.

[a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, (a,b) = {x ∈ R : a < x < b}[a,b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

Existen las correspondientes variaciones infinitas. Los subconjuntos definidosmediante expresiones con valores absolutos suelen ser describibles en terminosde intervalos, como vemos en los siguientes resultados.

Proposicion 1.25. Sean a ∈ R y r > 0. Entonces

|x| ≤ r⇔−r ≤ x ≤ r⇔ x ∈ [−r, r],|x| < r⇔−r < x < r⇔ x ∈ (−r, r),

|x − a| < r⇔ a− r < x < a+ r⇔ x ∈ (a− r,a+ r)

Demostracion. |x| ≤ r ⇒ −r ≤ −|x| ⇒ −r ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ r. |x − a| < r ↔ −r <x − a < r↔ a− r < x < a+ r.


|x − a| < r ⇒ |x| < |a|+ r

Definicion 1.27. Sean a ∈ R y r > 0. Una bola abierta Br(a) de radio r centradaen a, es el conjunto de las x ∈ R que satisfacen:

|x − a| < r ⇔ a− r < x < a+ r ⇔ x ∈ (a− r,a+ r).

Las equivalencias se demuestran con la proposicion 1.25. Otro nombre pa-

ra Br(a) es el de entorno del punto x = a. Un entorno perforado◦Br(a) de a es la

union del par de intervalos (a− r,a)⋃

(a,a+ r), es decir◦Br(a) = Br(a) \ {a}.

Definicion 1.28. Dado un subconjunto A ⊂ R, un punto a ∈ R es

• un punto interior de A si a ∈ A y si ∃δ > 0 tal que Bδ(a) ⊂ A;

• un punto aislado de A si a ∈ A y si ∃δ > 0 tal que◦Bδ(a)

⋂A = ∅ ( el conjunto

vacıo )

1.2. INTERVALOS Y COTAS 9

• un punto de acumulacion de A si ∀δ > 0 se tiene que◦Bδ(a)

⋂A , ∅;

• un punto frontera de A si ∀δ > 0 se tiene Bδ(a)⋂A , ∅ y Bδ(a)

⋂(R \A) , ∅.

Ejemplo 1.29. En la figura 1.1 se representan algunos subconjuntos de Rilustrando el concepto de punto de acumulacion.

0 1

(a){

1n , n ∈N

}tiene un punto de acumu-

lacion.

-1 0 1

(b){(−1)n + 1

n , n ∈N}

tiene dos puntosde acumulacion.

Figura 1.1: Algunos subconjuntos de R. Los puntos de acumulacion se represen-tan en blanco.

Un subconjunto A ⊂ R es abierto si ∀a ∈ A, ∃δ > 0 |Bδ(a) ⊂ A, es decir, todos lospuntos de A son interiories. Un subconjunto es cerrado si su complementarioen R es abierto. Por convenio, ∅ es abierto.

Ejercicio 1.30. Demuestra que todo intervalo abierto es un conjunto abierto.

Ejercicio 1.31. Demuestra que tanto ∅ como R son abiertos y cerrados a la vez*.

Definicion 1.32. El lımite superior de un subconjunto A ⊂ R es el mayor de suspuntos de acumulacion. Si A contiene elementos arbitrariamente grandes, entoncesel lımite superior se considera ∞. El lımite inferior es el menor de los puntos deacumulacion de A, siendo −∞ si A contiene elementos arbitrariamente pequenos.

Una cota superior de un subconjunto A ∈ R es un numero real c ∈ R que esmayor o igual que todos los numeros de A:

∀x ∈ A ⇒ x ≤ c.

Una cota inferior de A ∈ R es, analogamente, un numero real c ∈ R que esmenor o igual que todos los numeros de A:

∀x ∈ A ⇒ x ≥ c.

Un subconjunto de numeros reales esta acotado superior o inferiormentesi existe alguna cota superior o inferior suya. Evidentemente, existen muchosconjuntos que no son acotados y, si un conjunto es acotado, entonces admitemuchas cotas.

*En realidad, son los unicos subconjuntos de R abiertos y cerrados a la vez.


Definicion 1.33 (cota superior mınima). Dado un subconjunto A ⊂ R acotadosuperiormente, una cota superior mınima de A es un numero real a ∈ R tal que:

1. a es una cota superior de A;

2. para toda cota superior c de A, se tiene que a ≤ c.

Si a es una cota superior mınima de A, se denota

a = supA

porque tambien se suele decir que a es el supremo del subconjunto A.

Existe una definicion analoga de cota inferior maxima ınfA, o ınfimo de unsubconjunto A ⊂ R. Es sencillo comprobar que la cota superior mınima (o la cotainferior maxima) si existe, es unica.

Ahora estamos preparados para enunciar la propiedad distintiva de los nume-ros reales sobre los numeros racionales. Es la propiedad del continuo (o la com-pletitud), que se puede expresar muy escuetamente como sigue.

Axioma (Axioma del supremo).

7. Todo subconjunto A ⊂ R acotado superiormente posee una cota superior mıni-ma c = supA que es un numero real, c ∈ R.

Esta “propiedad” esta formulada como un axioma, para hacer enfasis en quemas que una caracterıstica que se demuestra, es una propiedad que se postula oexige a los numeros reales.

Ejercicio 1.34. Demuestra que en el conjunto Q de numeros racionales el axiomaanterior no se cumple, construyendo un contraejemplo.

El axioma del supremo es la formulacion matematica de que en la recta real“no hay huecos”.

1.3. Funciones reales de variable real

En esta asignatura nos concentraremos en el estudio de las funciones realesde variable real:

f : R→ Rx 7→ y = f (x)

La letra x representa una magnitud real variable, denominada argumento ovariable independiente de la funcion. A la variable y se la denomina variabledependiente.

1.3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 11

El conjunto dom(f ) = f −1(R) = {x ∈ R : f (x) esta bien definida}, es decir, elconjunto de argumentos x en los que esta bien definida la funcion, se denominadominio de f . El conjunto im(f ) = f (R) = {y ∈ R : ∃x ∈ R | y = f (x)} se denominaimagen, rango o recorrido de f ( es decir, el conjunto de todos los posibles valoresde la variable dependiente )

Ejemplo 1.35. La funciony = f (x) = 3x

tiene dom(f ) = R, im(f ) = R. La funcion

y = f (x) = −√x

tiene dom(f ) = [0,∞), im(f ) = (−∞,0].

La grafica de una funcion es una curva en R2 = {(x,y) : x,y ∈ R} = R ×R ( elplano coordenado ) definida por

grafica de f ={(x,y) ∈ R2 : y = f (x),x ∈ dom(f )

}La grafica de una funcion es una construccion, debida a Descartes, que relacionael Analisis y la Geometrıa, y fue, entre otros descubrimientos, la que facilito eldesarrollo explosivo de las Matematicas en siglos venideros.

Ejemplo 1.36. En la figura 1.2 se dan ejemplos de graficas.

−3

−2

−1

1

2

3y

x

−2 −1 0 1 2

(a) Parte de la grafica de f (x) = 3x

−4

−3

−2

−1

y

1 2 3 4 5 6 7 x

(b) Parte de la grafica de f (x) = −√x

Figura 1.2: Algunas graficas.


Dediquemonos ahora a construir funciones. La mas trivial es la funcion cons-tante:

y = f (x) = 3, y = c siendo c ∈ R una constante.

La siguiente funcion, denominada funcion identidad, es tambien bastante tri-vial:

y = f (x) = x.

Una funcion lineal* es de la forma

f (x) =mx+ b, a,b ∈ R

y su grafica es una recta de pendiente m que corta el eje y en (x,y) = (0,b) ( verfig. 1.3 )

b

y

x

α

y =mx+ b

Figura 1.3: Parte de la grafica de f (x) =mx+ b. La pendiente es m = tanα.

El producto de x por si mismo varias veces define

f (x) = x · x ≡ x2, f (x) = x · x · x · x · x ≡ x5

y en general la funcion potencia natural

y = f (x) = xn, n ∈N.

Es sencillo deducir que la potenciacion cumple la siguiente regla:

xn · xm = xn+m, ∀n,m ∈N. (1.1)

Podemos extender la funcion potencia para potencias enteras n ∈ Z, utilizandola regla anterior. ¿ Que es x elevado a −1 ? Si ha de ser

x−1 · x2 = x−1+2 = x1 = x*en el sentido del algebra lineal, la funcion es lineal solo si b = 0. Aquı usamos el termino

lineal de un modo mas general.


entoncesx−1 =

x

x2 =1x

y evidentementex0 = x−1 · x =

xx

= 1.

Utilizando la suma y el producto podemos construir funciones polinomi-cas

y = x2, y = 3x88 − 4x33 +√

2

Utilizando la division definimos funciones racionales, que son cocientes de poli-nomios:

R(x) =P (x)Q(x)

, P (x),Q(x) polinomios.

Por ejemplo

R(x) =4x2 − 3x+ 1

x − 3es una funcion racional.

Vamos a necesitar utilizar funciones inversas a las funciones reales dadas.Intuitivamente, se trata de definir operacion “inversa” a la que define la funcionoriginal.

Definicion 1.37. Dada una funcion f

{(x,y) ∈ R2 = R×R | y = f (x)}

la funcion f −1 se define como

{(y,x) ∈ R2 = R×R | y = f (x)}

Esta definicion es solo correcta si cada y es asignada solo a una x por lafuncion y = f (x), es decir, si la funcion f es inyectiva (ver el Apendice A). Elconcepto de funcion inversa esta ıntimamente ligado al de composicion defunciones, como veremos en la definicion 1.45.

Definicion 1.38.

• Una funcion f es inyectiva si

∀x1,x2 ∈ dom(f ), x1 , x2⇒ f (x1) , f (x2)

o, equivalentemente ( negacion de una proposicion logica )

∀x1,x2 ∈ dom(f ), f (x1) = f (x2)⇒ (x1 = x2)


• Una funcion f es sobreyectiva ( o suprayectiva ) sobre un conjunto A ⊂ R si laimagen es igual al conjunto im(f ) = A, es decir si

∀y ∈ A, ∃x ∈ dom(f ) | f (x) = y.

• Una funcion f es biyectiva ( o una biyeccion ) si es inyectiva y sobreyectiva.

Observacion: una biyeccion se puede invertir dos veces, resultando la funcionidentidad.

Ejemplo 1.39. La definicion matematica completa del concepto de fun-cion ( o aplicacion ) no solo incluye la operacion a realizar sobre elargumento, sino que tambien incluye el dominio de la funcion. Esdecir, para definir una funcion hay que especificar la operacion yel dominio. Para hablar de sobreyectividad se debe especificar unrecorrido. Denotando R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, las aplicaciones

f : R→ R

x 7→ x2

f : R→ R+

x 7→ x2

f : R+→ R

x 7→ x2

f : R+→ R+

x 7→ x2

son, respectivamente, ni inyectiva ni sobreyectiva, sobreyectiva perono inyectiva, inyectiva pero no sobreyectiva y finalmente biyectiva.

En el ejemplo anterior, solo podemos invertir las ultimas dos funciones, porqueson las unicas inyectivas.

Ejemplo 1.40.

f : R+→ R+

x 7→ x2

g : R−→ R+

x 7→ x2

se pueden invertir

f −1 : R+→ R+

x 7→√x

g−1 : R+→ R−

x 7→ −√x

Este ejemplo tan detallado es la expresion rigurosa de lo que solemos escribircomo “f (x) = x2 ⇒ f −1(x) = ±

√x ”. En adelante entenderemos que las funciones

inversas que escribamos estaran definidas en intervalos adecuados (de inyec-tividad de la funcion original) pero realizaremos una discusion detallada dedominios de definicion solo cuando lo consideremos necesario.

Intentemos generalizar la funcion potencia f (x) = xn a exponentes no enteros.Comencemos con numeros fraccionarios de la forma n = 1/m, por ejemplo,


n = 1/2. Si deseamos que se siga cumpliendo la regla (1.1), tenemos que definirexpresiones como

x12 · x

12 = x

12 + 1

2 = x,

con lo que observamos que f (x) = x1/2 es la funcion inversa del cuadrado. Hemosvisto en el ejemplo 1.40 que, para x ≥ 0 se tiene que podemos tomar comoinversa

f (x) = x2 ⇒ f −1(x) = +√x ≡ x1/2.

En general, invirtiendo funciones potencia

y = f (x) = xn, n ∈N

en el dominio positivo* x > 0, definimos las raıces

y = + n√x ≡ x1/n.

Hay que senalar que para demostrar rigurosamente la existencia de la raızenesima de cualquier numero real (positivo) hay que apelar a la propiedad decontinuidad de R.

Podemos entonces definir todas las potencias racionales

y = f (x) = xn/m ≡ m√xn, x ≥ 0.

Con todas estas definiciones, hemos conseguido establecer las funciones poten-cia f (x) = xq para q = n/m ∈Q, y la construccion que hemos hecho implica lassiguientes propiedades de la potencia:

Proposicion 1.41. ∀p,q ∈Q, x ≥ 0

xp+q = xp · xq, x−p =1xp

(1.2)

xpq = (xp)q (1.3)(xy)p = xpyp (1.4)

Podemos ver el resultado anterior desde otro punto de vista: hemos definidola funcion potencial

y = ax, a ∈ [0,∞) (1.5)

para cualquier argumento x ∈Q. Utilizando argumentos de continuidad, o lımi-tes de numeros racionales tendiendo a x, se puede definir la funcion potencialpara toda potencia real x de un numero real positivo a > 0.

*si n es impar, las raıces se pueden definir en todo x ∈ R


Ejercicio*1.42. Si a es negativo, ¿ cuando esta definido ax ? Es decir, ¿ cual es eldominio de f (x) = ax ?

Ejemplo 1.43. La aplicacion exponencial

f : R→ R+

x 7→ exp(x) = ex

es una funcion potencia, siendo e = 2.7182818284 . . . el numero e.En el dominio y recorrido que hemos especificado, es biyectiva. Esinteresante comentar que una definicion mas rigurosa de las fun-ciones potenciales es definir primero, mediante alguna propiedadmatematica clara y concreta* y luego definir la funcion potencialcomo

xα = eα lnx y ax = ex lna

siendo lnx la funcion inversa de la exponencial†

*Por ejemplo, exp(x) es la unica funcion continua tal que f (a+ b) = f (a)f (b) y f (0) = 1. O esla unica derivable tal que f ′(x) = f (x) y f (0) = 1. Para obtener mas informacion vease [1].

†Es mas frecuente incluso definir el logaritmo natural lnx como una integral y la exponencialcomo su inversa.


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%

El modelo de Ebers-Moll de un diodo

La curva caracterıstica de un diodo semiconductor, que expresala corriente i que lo atraviesa cuando se aplica un voltaje v entresus terminales, es aproximadamente la de la figura 1.4.

IS

i

v

Figura 1.4: Caracterıstica deun diodo.

Un modelo funcional para estacurva, cuando el diodo esta po-larizado directamente (v ≥ 0) esel de Ebers-Moll, que describeuna ley exponencial

i = IS

[exp

(vVT

)− 1

]El parametro VT = kT /q (k esla constante de Boltzmann, T latemperatura en la union del dio-do, q la carga del electron) se

denomina voltaje termico, y depende de la temperatura. A tem-peratura ambiente, es de unos 0.026 V.

Ejemplo 1.44. La funcion inversa de la funcion potencial (1.5) es ellogaritmo

f : R+→ Rx 7→ loga(x)

de tal modo quealoga(x) = x, ∀x ∈ R+.

Las notaciones usadas en ingenierıa son

log = log10, ln = loge

Algunas propiedades son

log(x · y) = log(x) + log(y), log(xy

)= log(x)− log(y),

log(ax) = x log(a), logb(x) =loga(x)loga(b)

, logb(a) =1

loga(b),

ax = bx logb a, ax = ex lna


'

&

$

%

Los decibelios

La escala de decibelios es una escala logarıtmica. Es decir, es pro-porcional al logaritmo de la magnitud que describe. En concreto

dB = 20log10PP0

siendo P la potencia de la magnitud fısica medida y P0 unapotencia de referencia ( en acustica, 0dB SPL es la potencia deuna onda cuya presion rms es de 0.0002 µbar )Otras escalas logarıtmicas son la de magnitudes de estrellas, lasde la severidad de los terremotos o huracanes, la escala musical( bien temperada )

En la primera parte del curso, nos dedicaremos a definir el concepto defuncion elemental. Las funciones elementales, intuitivamente, son aquellas que secomportan “bien” respecto a ciertas operaciones. Por ejemplo, si sumamos dosfunciones polinomicas obtenemos una funcion polinomica: los polinomios sonfunciones elementales respecto a la suma ( y la resta ) y la multiplicacion. Sinembargo, si dividimos dos polinomios obtenemos, si el dividendo no es multiplodel divisor, una expresion racional no polinomica. Las funciones racionales son,claramente, elementales respecto a suma, resta, producto ( y potencia ) division,etc.

Definicion 1.45 ( Operaciones con funciones ). Algunas operaciones que se puedenrealizar con funciones son

• La suma

f + g : R→ Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

• la resta

f − g : R→ Rx 7→ (f − g)(x) = f (x)− g(x)

• el producto

f · g : R→ Rx 7→ (f · g)(x) = f (x)g(x)


• el cociente

f /g : R→ R

x 7→ (f /g)(x) =f (x)g(x)

• la composicion de funciones f : R→ R y g : R→ R

g ◦ f : R→ Rx 7→ (g ◦ f )(x) = g ◦ f (x) = g(f (x))

donde para estar bien definida debe ser dom(g) ⊂ im(f ).

• la inversion f −1 : R→ R. Segun su definicion

id ≡ f ◦ f −1 = f −1 ◦ f : R→ Rx 7→ x

Ejemplo 1.46.

Sean f (x) = x2, g(x) = exp(x). Entonces

(f ◦ g)(x) = exp(x2), (g ◦ f )(x) = [exp(x)]2 = exp(2x)

Sean f (x) = x2, g(x) = +√x. Entonces

(f ◦ g)(x) =

x x ≥ 0indefinido x < 0

(g ◦ f )(x) = +√x2 = |x|

Definicion 1.47 (Las funciones trigonometricas). Las funciones sen(x), cos(x),tg(x), cosec(x), sec(x) y cotg(x) tienen una definicion geometrica que debe ser familiarpara el lector. Esta interpretacion o definicion geometrica esta reflejada en la figura 1.5.

Formulas de adicion.

Ejercicio 1.48. Demuestra la siguiente formula:

acosωx+ b sinωx = Acos(ωx −θ) (1.6)

donde

a = Acosθb = Asenθ

⇔A =√a2 + b2

θ = arctgba.

Es decir, en general, la suma de dos sinusoides de la misma frecuencia es otrasinusoide de la misma frecuencia, con amplitud y fase dadas por las formulasanteriores.


cosx

secx

tgx

ctgx

sen

x

csec x

1 x

x

Figura 1.5: Funciones trigonometricas.

−2

−1

1

2y

x

−4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π

(a) Parte de la grafica de f (x) = sinx

−2

−1

1

2y

x

−4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π

(b) Parte de la grafica de f (x) = cosx

Figura 1.6: Algunas graficas de funciones trigonometricas.

Las funciones inversas de las funciones trigonometricas se denotan como arcsenx,arccosx, arctanx, arcsecx, arccscx,, arcctgx y otras variaciones. Algunas de lasfunciones trigonometricas no son inyectivas o sobreyectivas, por lo que sus fun-ciones inversas pueden presentar ramas, es decir, son multivaluadas, y se debe


elegir que rango de valores se considera.

y

x

−1 −0.5 0.5 1

−3π2

−5π4

−π

−3π4

−π2

−π4

π4

π2

3π4

π

5π4

3π2

(a) Varias ramas de arcsenx. La principal es la de color azul oscuro.

−2

−1

1

2y

x

−4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π

(b) Parte de la grafica de f (x) = sinx

Figura 1.7: Algunas graficas de funciones inversas trigonometricas.

Ejemplo 1.49. En la figura 1.7a se pueden ver varias ramas del arcsen(x).La que se toma habitualmente es la de color azul oscuro ( es decir, da-do x ∈ [−1,1], se toma el valor del arcsenx que esta entre (−π/2,π/2) )


Definicion 1.50 (Las funciones hiperbolicas). Funciones sh(x), ch(x), th(x), cosech(x),sech(x) y cotgh(x). Formulas de adicion y funciones inversas.

La funcion sh(x) es inyectiva en todo R y, curiosamente se da el siguiente resulta-do.

Ejercicio 1.51. Comprobad que

argsh(x) = ln(x+√x2 + 1

).

Definicion 1.52. Consideremos una funcion y = f (x) en un conjunto A. Si ∀x1,x2 ∈A

x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤f (x2) f es creciente en Ax1 < x2 ⇒ f (x1) ≥f (x2) f es decreciente en A.

Si las desigualdades ≤ o ≥ se pueden sustituir por < o >, la funcion es, respectivamente,estrictamente creciente o estrictamente decreciente en A.

Definicion 1.53 (Funciones pares e impares). Si f (x) satisface

f (−x) = f (x) se dice que f (x) es parf (−x) = −f (x) se dice que f (x) es impar

Definicion 1.54 (Funciones periodicas). Una funcion f (x) es periodica si existe unT , 0 tal que

f (x+ T ) = f (x) para todo x

Cuando existe un tal T , no es unico, ya que multiplos enteros nT tambien producirıanla propiedad de periodicidad. Al mınimo de tales numeros T se le denomina perıodode la funcion periodica f (x).

Funciones no elementales: funciones elementales definidas a trozos: parteentera, escalon, signo, ventana, sinc . . .

Definicion 1.55. La funcion valor absoluto

y = f (x) = |x| ={x x ≥ 0−x x ≤ 0

o tambien |x| =√x2

Definicion 1.56. La funcion escalon o salto de Heaviside u(x) ( o H(x) ) se definecomo

u(x) =

0 si x < 01 si x ≥ 0

1.4. LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO 23

0

1y

0x

H(x)

Figura 1.8: Grafica de la funcion escalon ( la lınea roja vertical tiene una utilidadpuramente estetica )

La funcion escalon es profusamente usada en la descripcion de senales digita-les y en general en la teorıa de senales.

Ejercicio 1.57. Representa la funcion g(x) =H(x − 1)−H(x − 2).

1.4. Lımite de una funcion en un punto

Siguiendo a Spivak [1], la funcion f tiende hacia el lımite l cerca de a, si sepuede hacer que f (x) sea tan proximo a l como se desee, mediante valores de xcercanos a a, aunque distintos de a.

Ejemplo 1.58. La funcion

f (x) = sen1x

no tiene lımite cuando x→ 0 ( otra forma de decir “cerca de cero”)Efectivamente, tenemos que se anula en los puntos x tales que 1/x =nπ, es decir x = 1/(nπ). Pero vale 1 en los puntos en los que 1/x =π/ (2 + 2nπ), o x = 2/ [(1 + 4n)π]. Es decir, en cualquier entorno de x =0, hay puntos en lo que la funcion vale 0 y otros en los que vale 1. Porlo tanto, no podemos acercar el valor de f (x) ni a 0 ni a 1, ni a ningunotro valor, por mucho que restrinjamos x a una cercanıa de x = 0.Observad que sı tiene lımite en cualquier otra x.

Sin embargo, la funcion

f (x) = x sen1x

sı posee lımite para todo valor de x, incluido 0. Como |sen 1x | ≤ 1, ∀x,

tenemos que ∣∣∣∣∣x sen1x

∣∣∣∣∣ ≤ |x|, ∀x , 0.


Por ejemplo, si |x| < 110 , se cumple que f (x) < 1

10 . Si queremos que f (x)este cerca de 0 con una precision determinada ε, basta con tomar xsuficientemente cercano a 0, concretamente |x| < ε.

Ejemplo 1.59. Las funciones

f (x) =

1, x racional0, x irracional

f (x) =

x, x racional0, x irracional

Definicion 1.60. La funcion f tiende hacia el lımite l cuando x tiende a a <> paratodo ε > 0 existe algun δ > 0 tal que, para todo x que satisface 0 < |x − a| < δ, secumple que |f (x)− l| < ε. Se escribe

lımx→a

f (x) = l

Se sobrentiende que los valores de x deben pertenecer al dominio de f , y quealrededor de a debe de haber infinitos puntos de este dominio, infinitamentecercanos a a. Es decir, a debe ser un punto de acumulacion de dom(f ). Nosotrosconsideraremos a partir de ahora, si no se dice lo contrario, el caso mas simplede que a es un punto interior de dom(f ). El valor de δ depende, normalmente,de la precision ε. Una observacion importante es que el valor en sı de la funcionen a, f (a), no influye en la existencia y valor del lımite de la funcion en x = a.

Ejemplo 1.61. Los lımites

lımx→a

c, lımx→a

x, lımx→0

x senx, lımx→2

f (x) = 2x+ 1.

En el ultimo caso

|f (x)− l| = |2x+ 1− l| < 2∣∣∣∣∣x − 2 + 2 +

1− l2

∣∣∣∣∣ ≤ 2|x − 2|+ |5− l|

luego si elegimos l = 5, δ = ε/2, satisfacemos la condicion de lımite.

Ejemplo 1.62. La funcion f (x) =√x satisface

lımx→a

√x =√a, a > 0.

Demostracion. Estudiamos la diferencia

|f (x)− l| =∣∣∣√x −√a∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣(√x −√a)(√

x+√a)(√

x+√a) ∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ x − a√x+√a

∣∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣x − a√a

∣∣∣∣∣∣


Definiendo δ =√aε tenemos que si |x − a| < δ

|f (x)− l| ≤ |x − a|√a

<

∣∣∣∣∣∣ δ√a∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣√aε√a

∣∣∣∣∣∣ = ε

Ejemplo 1.63. La funcion f (x) = x2 satisface

lımx→a

f (x) = lımx→a

x2 = a2.

Demostracion. Sea dif = |f (x)− l| = |x2−a2| = |x−a||x+a|. Si |x−a| < δ se tiene dif =|x − a||x + a| < δ|x + a|. Si conseguimos acotar |x + a| podremos acotar la expresion.El ejercicio 1.26 implica que |x| < |a| + δ ( es decir, al estar x cerca de a, elmodulo |x| esta cerca de |a| ) Entonces |x + a| ≤ |x| + |a| < δ + 2|a| (ver pie depagina*) Entonces dif =< δ(δ+ 2|a|) = ε. Resolviendo δ en funcion de ε tenemosque δ =

√|a|2 + ε − |a| > 0, y

∀x : |x − a| <√|a|2 + ε − |a| ⇒ |f (x)− l| = |x2 − a2| = dif < ε.

como se puede comprobar directamente con

|x| < δ+ |a| =√|a|2 + ε ⇒ |f (x)− l| = |x2 − a2| = |x − a||x+ a| <

< (√|a|2 + ε − |a|)(|x|+ |a|) < (

√|a|2 + ε − |a|)(

√|a|2 + ε+ |a|) = ε.

Ejercicio 1.64. Demostrar que si lımx→x0|f (x)| = 0 entonces lımx→x0

f (x) = 0.

El calculo de lımites, afortunadamente, no resulta tan complejo como en estosejemplos, debido a que se pueden aplicar una serie de procedimientos que loreducen a una cuestion usualmente bastante mecanica ( ver el teorema 1.70y especialmente la definicion 1.84, el teorema 1.85 y la formula (1.7) ) Estosprocedimientos permiten evitar el uso de la definicion de lımite, que sera precisosolo para funciones “especiales”, definidas de una manera no analıtica.

Algunas extensiones al concepto de lımite son las siguientes.

Definicion 1.65. Los lımites laterales se definen

lımx→a+

f (x) = lımx→ax>a

f (x) = l ⇔∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀x > a, a < x < a+ δ

⇒ |f (x)− l| < ε

lımx→a−

f (x) = lımx→ax<a

f (x) = l ⇔∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀x < a, a− δ < x < a

⇒ |f (x)− l| < ε*directamente |x+ a| = |x − a+ 2a| ≤ |x − a|+ 2|a| = δ+ 2|a|


Los lımites infinitos se definen

lımx→∞

f (x) = l ⇔∀ε > 0 ∃R > 0 | ∀x > R⇒ |f (x)− l| < ε

lımx→−∞

f (x) = l ⇔∀ε > 0 ∃R > 0 | ∀x < −R⇒ |f (x)− l| < ε

lımx→a

f (x) =∞ ⇔∀M > 0 ∃δ > 0 | ∀x, 0 < |x − a| < δ

⇒ f (x) >M

lımx→a

f (x) = −∞ ⇔∀M > 0 ∃δ > 0 | ∀x, 0 < |x − a| < δ

⇒ f (x) < −M

Ejemplo 1.66. Se comprueba que

lımx→−∞

u(x) = 0, lımx→0−

u(x) = 0, lımx→0+

u(x) = 1, lımx→∞

u(x) = 1

Existen otras combinaciones de obvia definicion.

Ejercicio 1.67. Calculad los lımites laterales

lımx→0+

x|x|, lım

x→0−

x|x|

El siguiente resultado da coherencia a la definicion de lımite.

Teorema 1.68. El lımite, si existe, es unico.

Demostracion. Si l1 , l2 fueran dos lımites distintos de f (x) cuando x→ a enton-ces existen δ1,δ2 > 0 tales que

0 < |x − a| < δ1⇒ |f (x)− l1| < ε y 0 < |x − a| < δ2⇒ |f (x)− l2| < ε.

Elijamos ε < 12 |l1 − l2| con lo que

|f (x)− l2| = |f (x)− l1 + l1 − l2| ≥ |l1 − l2| − |f (x)− l1| ≥ 2ε − ε = ε

que contradice |f (x)− l2| < ε.

La siguiente proposicion es util para el calculo de lımites de funciones defini-das a trozos ( ver por ejemplo la definicion 1.56 )

Proposicion 1.69. El lımite existe si y solo si los lımites laterales existen y son igualesal lımite:

lımx→a

f (x) = lımx→a+

f (x) = lımx→a−

f (x)


Demostracion. La necesidad de la igualdad de los lımites laterales es obvia, yaque si |f (x)−l| < ε se cumple ∀x tal que |x−a| < δ, en particular se cumple ∀x talesque |x−a| < δ y x < a o x > a. Pero la suficiencia tambien es sencilla, considerandoque al existir los lımites laterales (iguales a l) existen δ1 y δ2 tales que

|f (x)− l| < ε cuando

|x − a| < δ1 y x < a|x − a| < δ2 y x > a

y eligiendo δ = mın(δ1,δ2) tenemos que |f (x)− l| < ε para todo x con 0 < |x − a| <δ.

El calculo de lımites empieza a simplificarse gracias a la siguiente proposi-cion.

Proposicion 1.70. Dadas f ,g : C→ R, si a ∈ C y existe el lımite lımx→a f (x) y (ensu caso) lımx→a g(x), entonces

1. lımx→a

λf (x) = λ lımx→a

f (x), donde λ ∈ R.

2. lımx→a

f (x)± g(x) = lımx→a

f (x)± lımx→a

g(x).

3. lımx→a

f (x) · g(x) = lımx→a

f (x) · lımx→a

g(x).

4. lımx→a

f (x)/g(x) = lım

x→af (x)

/lımx→a

g(x), si lımx→a g(x) , 0.

Observad que de la propiedad de la multiplicacion se deduce la analoga paralas potencias de exponente entero positivo.

Demostracion. Demostrar 1. es sencillo: basta con tomar la δ que harıa que |f (x)−l| < ε/ |λ| para asegurar que |λf (x)−λl| = |λ| |f (x)− l| < ε. La demostracion de 2. sebasa en encontrar δ que haga |f (x)− l| < ε/2 y |g(x)−m| < ε/2 simultaneamentepara ver que |f (x) + g(x)− l −m| ≤ |f (x)− l|+ |g(x)−m| < ε.

La demostracion de 3. es la siguiente. l = lımx→a f (x) , 0 entonces f (x)g(x) =f (x)g(x)−lg(x)+lg(x)−lm = (f (x)−l)g(x)+l(g(x)−m) y por tanto |f (x)·g(x)−l ·m| ≤|f (x)− l||g(x)|+ |l||g(x)−m| ≤ |f (x)− l|(|m|+ ε) + |l||g(x)−m| < ε(|m|+ |l|+ ε) = ε′. Esdecir, basta con tomar

ε =

√(|l|+ |m|

2

)2

+ ε′ − |l|+ |m|2

para que |f (x)·g(x)−l ·m| < ε′ si 0 < |x−a| < δ siendo δ la que hace que |f (x)−l| < εy |g(x)−m| < ε.


La demostracion de 4. tiene solo un punto delicado. Si 0 , m = lımx→a g(x)entonces existe algun δ′ tal que si 0 < x < δ′ entonces |m|−|g(x)| < |m−g(x)| < |m|/2,es decir |g(x)| > |m|/2 ( |g(x)| se mantiene positivo en un entorno de x = a )Entonces ∣∣∣∣∣ 1

g(x)− 1m

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣m− g(x)mg(x)

∣∣∣∣∣ =|g(x)−m||m||g(x)|

< 2|g(x)−m|.

Existe un δ′′ tal que |g(x) −m| < ε/2. Tomando δ = mın(δ′,δ′′) se consigue quesi 0 < x < δ entonces |1/g(x)− 1/m| < ε.

El resultado lımx→a

(f ◦ g)(x) = lımx→a

f (g(x)) = lımx→b

f (x), si b = lımx→a

g(x) no es cierto

en general. Sea l = lımx→b f (x). Entonces ∀ε > 0, ∃δ′ > 0 tal que 0 < |y − b| < δ′implica que |f (y) − l| < ε. Tambien existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δentonces |g(x)− b| < δ′. Identificando y = g(x) tenemos que si 0 < |x− a| < δ enton-ces |y − b| < δ′. El problema es que no es 0 < |y − b|, es decir, puede ser g(x) = b encualquier entorno de x = a. Si imponemos condiciones adicionales, como g(x) , ben un entorno de a, o bien f (b) = l, entonces aseguramos que |f (g(x))− l| < ε yel resultado es valido. De todos modos, esta discusion sera mas natural cuandohablemos de continuidad (v. teorema 1.82).

Para calcular lımites de funciones especiales, existen reglas prefabricadascomo las que vamos a demostrar a continuacion.

Proposicion 1.71.

lımx→∞

1x

= 0.

Efectivamente, |x > R| ⇔ |1x | < ε donde ε = 1/R.

Proposicion 1.72. Los lımites de funciones racionales (cuando x⇒±∞).

Se divide por la maxima potencia xn. Esto se puede hacer porque para calcu-lar lımx→a f (x), la funcion se estudia en los valores x , a, donde no suele tenerproblemas de definicion.

Ejemplo 1.73. Velocidad instantanea en t = 2 en caıda libre:

lımt→2

s(t)− s(2)t − 2

= lımt→2

4.9t2 − 4.922

t − 2= lımt→2

4.9t2 − 22

t − 2= lımt→2

4.9(t + 2) = 4.9 · 4

En el penultimo paso hemos utilizado el hecho de que t nunca tomaEl valor 2.

1.5. FUNCIONES CONTINUAS 29

Proposicion 1.74. Si lımx→a f (x) = 0 y |g(x)| ≤ C, C > 0 en un entorno perforadode a, entonces

lımx→a

f (x)g(x) = 0.

Demostracion. Como lımx→a f (x) = 0 entonces ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |f (x)| < ε/Ccuando x ∈ Bδ(a). En ese mismo entorno se cumple que |f (x)g(x)| ≤ C|f (x)| ≤ε

Proposicion 1.75. Si f (x) ≤ g(x) en un entorno de a entonces, si existen, lımx→a f (x) ≤lımx→a g(x).

Ejercicio 1.76. Demuestra que si f (x) < g(x) en un entorno perforado de a, solopuede afirmarse que lımx→a f (x) ≤ lımx→a g(x).

Proposicion 1.77 (Teorema del encaje). Si g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x de unintervalo abierto que contenga al punto a (excepto quizas x = a), y ademas

lımx→a

g(x) = lımx→a

h(x) = l

entonces lımx→a f (x) = l.

Ejemplo 1.78. Comprobando que, geometricamente, si 0 < x < π2

senx < x < tgx

tenemos1 <

xsenx

<1

cosx

luego lımx→0

senxx

= 1.

Observad que tambien se cumple la desigualdad cuando −π2 < x < 0.

1.5. Funciones continuas

Definicion 1.79. Una funcion f (x) es continua en un punto x = a ∈ dom(f ) si existesu lımite cuando x→ a y

lımx→a

f (x) = f (a).

Esta definicion tiene la siguiente formulacion “ε–δ”.

Proposicion 1.80. La funcion f (x) es continua en un punto x = a ∈ dom(f ) si

∀ε > 0, ∃δ > 0 | si |x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε.


Una funcion no continua en un punto, es discontinua en ese punto. Existentres tipos de discontinuidades:

1. Cuando l = lımx→a f (x) existe, pero f (a) no existe o f (a) , l la discontinui-dad es evitable.

2. Cuando l = lımx→a f (x) no existe, pero sı existen ( son finitos ) los lımiteslaterales lımx→a+ f (x) , lımx→a− f (x). La discontinuidad se denomina desalto.

3. Cuando no existe algun lımite lateral lımx→a± f (x) (o es infinito), la discon-tinuidad es esencial.

Existe el concepto de continuidad lateral. Una funcion es continua en unsubconjunto C ⊂ R si es continua en cada uno de sus puntos.

Ejemplo 1.81. La funcion sen 1x ( v. el ejemplo 1.58 ) tiene una disconti-

nuidad esencial en x = 0, mientras que x sen 1x tiene una discontinui-

dad evitable.

Pero, ¿ como sabemos si funciones complicadas son continuas en puntos“comunes”, como x , 0 en los ejemplos precedentes ?

Teorema 1.82 (Algebra de funciones continuas). Dadas dos funciones continuas f (x)y g(x) en x = a, entonces, tambien en x = a:

1. λf (x) es continua, siendo λ ∈ R.

2. f (x)± g(x) es continua.

3. f (x) · g(x) es continua.

4. f (x)/g(x) es continua en los puntos x en que g(x) , 0.

5. f (g(x)) es continua, siempre que f (x) sea continua en g(a).

Demostracion. Debido a la proposicion 1.70 las tres primeras aseveraciones sonevidentes. Solo necesitamos demostrar 5. En la discusion posterior a esa pro-posicion, vimos como se demuestra. Si b = lımx→a g(x) y l = lımx→b f (x) = f (b),entonces ∀ε > 0, ∃δ′ > 0 tal que |y−b| < δ′ implica que |f (y)−l| < ε. Tambien existeun δ > 0 tal que si |x−a| < δ entonces |g(x)−b| < δ′. Identificando y = g(x) tenemosque si |x − a| < δ entonces |y − b| < δ′ y entonces |f (g(x))− l| = |f (g(x))− f (g(a))| <ε.

El teorema anterior permite anadir una regla mas a la proposicion 1.70, la dellımite de la funcion compuesta.


Proposicion 1.83 (continuacion de 1.70).

5. lımx→a

f (g(x)) = lımx→g(a)

f (x) si la funcion g es continua en x = a.

La continuidad, en la practica, equivale a que el signo de lımite conmuta conla funcion. Si f (x) es continua entonces

lımx→a

f (x) = f (lımx→a

x) = f (a)

y si f (x) es continua en g(a) y g(x) lo es en a:

lımx→a

f (g(x)) = f (lımx→a

g(x)) = f (g(a))

Existe toda una clase de funciones continuas, que permiten reconocer demodo sencillo cuando las funciones habituales en la practica son continuas, y endonde.

Definicion 1.84. Una funcion es elemental si es una funcion racional, trigonome-trica, hiperbolica, exponencial o una multiplicacion por una constante, suma, resta,producto, cociente, composicion o inversa de funcion elemental.

El teorema 1.82 se reescribe como*

Teorema 1.85. Toda funcion elemental es continua en su dominio ( en aquellos x enlos que este bien definida )

Este resultado, ademas de proporcionar muchas funciones continuas, justificala operacion habitual del calculo del lımite de f (x) cuando x→ a simplementesustituyendo el valor x = a en f (x) cuando el punto es “no conflictivo”. Esdecir,

lımx→a

f (x) = f (a) (1.7)

cuando f (x) es elemental y a es un punto de su dominio.

Ejemplo 1.86. La funcion f (x) = exp[sen

√ln(x − 1) +

√3]

es elemental,por lo que es continua en su dominio, es decir, en {x : x > 1}.

Una clase de funciones no elementales frecuente es la de las funciones elementalesa trozos, es decir, una funcion a trozos que es elemental en cada trozo. El valorabsoluto f (x) = |x| ( ejemplo 1.55 ) o la funcion escalon u(x) ( ejemplo 1.56 ) sonejemplos tıpicos de funciones elementales a trozos.

*El caso de la funcion inversa queda sin demostrar, mereciendo una discusion aparte.


La continuidad de las funciones elementales a trozos esta asegurada en cadatrozo por el teorema 1.85, y en las fronteras entre intervalos la funcion seracontinua si esta definida y su valor es igual al de los lımites laterales, por laproposicion 1.69.

Ejemplo 1.87. ¿ Se puede hacer continua* en todo R la siguiente fun-cion ?

f (x) =

x+ 2, x < −1|2x+ 1|, −1 < x < 1x+ a, x > 1

donde a ∈ R. Hacer un estudio de lımites laterales.

Utilizaremos a menudo la siguiente definicion de continuidad a trozos, que esalgo mas restrictiva que la anterior puesto que exige la existencia de los lımiteslaterales en los puntos de discontinuidad.

Definicion 1.88. Se dice que una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a,b]es continua a trozos si es continua en todos los puntos de [a,b] excepto en un numerofinito de puntos en los que posee discontinuidades de salto.

Ejercicio 1.89. Si una funcion es continua en un punto, entonces ¿ es necesaria-mente continua en un entorno alrededor de ese punto ? (v. ejemplo 1.59 )

Proposicion 1.90 (La conservacion del signo). Si f (x) es continua en a, y f (a) > 0,entonces f (x) > 0 en cierto entorno de a.

Demostracion. Sea ε = f (a) > 0. Existe δ > 0 tal que |x−a| < δ implica |f (x)−ε| < ε.Esto equivale a que 0 < f (x) < 2ε en el entorno x ∈ (a− δ,a+ δ).

Si f (a) < 0 es continua en x = a, entonces es negativa en un entorno de a ( poraplicacion de la proposicion anterior a −f (x) )

Proposicion 1.91 (Acotacion local). Si f (x) es continua en a, entonces f (x) esacotada en cierto entorno de a. Es decir, ∃δ,m,M > 0 | |x − a| < δ⇒m < f (x) <M.

Demostracion. |f (x) − f (a)| < ε ⇔ m ≡ f (a) − ε < f (x) < M ≡ f (a) + ε en ciertoentorno |x − a| < δ.

Teorema 1.92 (Bolzano). Si f (x) es continua† en un intervalo cerrado [a,b], y si f (a)y f (b) tienen signos opuestos, entonces existe un punto c ∈ (a,b) para el que f (c) = 0.

*forma coloquial de preguntar si existe una f (x) continua tal que f (x) = f (x), ∀x ∈ dom(f ).†Ser continua en x = a o x = b quiere decir ser lateralmente continua, por la izquierda o por

la derecha, segun corresponda.


Demostracion. Supongamos que f (a) < 0 < f (b). Considerese el conjunto A ={x : x ∈ [a,b] ∧ f (a) ≤ f (x) ≤ 0}. Este conjunto no es vacıo. porque a ∈ A, y estaacotado, porque b es una cota superior suya. Por la propiedad del supremo de losnumeros reales, existe un supremo c ∈ [a,b) de A. Demostremos por reduccion alabsurdo que f (c) = 0.

Suponiendo que f (c) < 0, entonces por la proposicion 1.90 existe un entornoalrededor de c en el cual f (x) < 0. Pero entonces existen en ese entorno numerosmayores a c tales que f (x) < 0, y esos numeros pertenecen tambien a A. Pero estocontradice el que c sea el supremo de A, y por lo que ha de ser f (c) ≥ 0 ( y estoimplica que c , a ).

Pero si f (c) > 0 entonces por la proposicion 1.90 habra, analogamente, unintervalo (c−δ,c] en el que f (x) < 0. Todos los numeros de ese intervalo son cotassuperiores de A, en particular c − δ < c, ası que c no puede ser el supremo (cotasuperior mınima) de A.

Las contradicciones anteriores solo se superan si f (c) = 0.

Teorema 1.93 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Si f (x) es continua en un inter-valo cerrado [a,b], entonces f alcanza un valor maximo y un valor mınimo en [a,b].Es decir, existen xm,xM ∈ [a,b] tales que f (xm) ≤ f (x) y f (xM) ≥ f (x) ∀x ∈ [a,b].

Demostracion. Primero hay que demostrar que f (x) esta acotada en [a,b]. Sea elconjunto A = {x : a ≤ x ≤ b, y f (x) acotado superiormente en [a,x]}. Como a ∈ A,A , ∅ y al ser b una cota superior de A, existe un punto c = supA con C ∈ [a,b]que es el supremo de A. Pero, al ser f (x) continua en c, por la proposicion 1.91en un entorno (c−δ,c+δ) de c, f (x) esta acotada, por lo que se mantiene acotadamas alla de C. Contradiccion, a menos que c = b.

Sea M = supa≤x≤b f (x). Supongamos (para contradecirlo) que no existe xM ∈[a,b] tal que f (xM) =M. Consideremos g(x) = 1

/(M−f (x)), que bajo la suposicion

es positiva en todo x ∈ [a,b], y continua. Por lo tanto, es acotada. Tomemosuna cota superior C de g(x), es decir, g(x) < C y por lo tanto M − f (x) > 1/C,o f (x) <M−1/C, para todo x ∈ [a,b]. Esto contradice queM es el supremo de f (x)en [a,b]. Con el valor mınimo se puede hacer un razonamiento analogo, o verque −f (x) alcanza un maximo, que es el mınimo de f (x).

Este teorema es valido sobre cualquier conjunto compacto de R, es decir, cerra-do y acotado. Por supuesto, el teorema es falso en un abierto, como demuestra elejemplo f (x) = 1/x en (0,1].


Observad que f (xm) y f (xM) son valores finitos, lo que implica que la funcion festa acotada en [a,b].

Corolario 1.94 (Teorema del valor intermedio). Si f (x) es continua en un intervalocerrado [a,b], entonces todo valor intermedio f (xm) ≤ C ≤ f (xM) se alcanza en algunpunto: ∃c ∈ [a,b] : f (c) = C.

Demostracion. Si f (xm) = f (xM) el resultado es obvio, porque f (x) es constantey el unico valor intermedio es esa constante. Sea entonces f (xM) > C > f (xm).Considerese la funcion g(x) = f (x) − C. Se tiene que g(xM) = f (xM) − C > 0y g(xm) = f (xm)−C < 0. Al ser los signos de g(x) opuestos en el intervalo [xm,xM]( o en [xM ,xm] si xM < xm en xM ), el teorema de Bolzano 1.92 implica que habraun punto c ∈ (a,b) para el que g(c) = 0. Es es el punto en el que f (c) = g(c)+C = Csatisface el resultado del corolario.

1.6. DERIVADAS 35

1.6. Derivadas

La definicion formal de derivada es

Definicion 1.95.

f ′(a) = lımx→a

f (x)− f (a)x − a

La funcion f ′(x) es la funcion derivada de f (x). La funcion f (x) se dice deriva-ble en un punto si existe su derivada en ese punto, y en un subconjunto de R sies derivable en todos los puntos de ese subconjunto.

Ejemplo 1.96.

La funcion derivada de f (x) = x


f (x)− f (a)x − a

=x − ax − a

= 1

es f ′(x) = 1. La funcion derivada de f (x) = x2


x2 − a2

x − a= lımx→a

(x+ a) = 2a

es f ′(a) = 2a, es decir f ′(x) = 2x.

Teorema 1.97. Una funcion derivable es continua.

Demostracion. Evidentemente, si lımx→a f (x) , f (a), el lımite del cociente in-

cremental no esta definido. O bien, escribiendo f (x) = f (a) +f (x)− f (a)x − a

(x − a)y tomando el lımite a ambos lados obtenemos que lımx→a f (x) = f (a) + f ′(a) ·lımx→a f (x)(x − a) = f (a).

Ser continua es, pues, una condicion necesaria para ser derivable, pero nosuficiente, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.98. La funcion valor absoluto f (x) = |x| no es derivable en x =0.

Existe el concepto de derivadas laterales f ′−(a), f ′+(a), aunque presenta ciertassutilezas.


Definicion 1.99 (Derivadas laterales). Las derivadas laterales de f (x) en x = a sedefinen por los lımites laterales

f ′−(a) = lımx→a−

f (x)− f −(a)x − a

f ′+(a) = lımx→a+

f (x)− f +(a)x − a

siendo f −(a) y f +(a) los lımites laterales de f (x) (que han de existir).

Algunas veces se restringe esta definicion unicamente al caso en que f (x) escontinua en a, con lo cual f −(a) = f +(a) = f (a).

Ejemplo 1.100. Volviendo a la funcion valor absoluto f (x) = |x| tenemosque f ′−(0) = −1 y f ′+(0) = 1.

Una funcion puede ser no derivable porque

1. No es continua.

2. Es continua, pero alguna derivada lateral no existe ( o es infinita )

3. Es continua, pero las derivadas laterales no coinciden.

Algunas veces, cuando se definen las funciones a trozos, puede resultar util lasiguiente observacion.

Proposicion 1.101. Si f (x) es continua en x = a y las derivadas laterales f ′−(a) yf ′+(a) son finitas e iguales, entonces f (x) es derivable en a.

Demostracion. Cuando f (x) es continua, las derivadas laterales son los lımiteslaterales del cociente incremental. Si coinciden, existe el lımite total y, por tanto,la derivada.

La interpretacion geometrica de la derivada esta ıntimamente relacionada conla definicion de recta tangente a una curva. El concepto de recta tangente es mascomplicado de lo que pueda parecer y su definicion lleva implıcita un proceso depaso al lımite. Podemos definirla como la recta lımite de las secantes que pasanpor dos puntos de la curva, cuando estos puntos se aproximan hasta confundirseen uno. Consideremos una curva dada por una grafica y = f (x), y dos puntossobre la curva cercanos (x,y) = (a,f (a)) y (x,y) = (b,f (b)). La recta que pasa poresos dos puntos tiene como ecuacion

y − f (a)x − a

=y − f (b)x − b

1.6. DERIVADAS 37

es decir

y = f (a) +f (b)− f (a)b − a

(x − a) (1.8)

El proceso de lımite b→ a sobre el lado derecho

lımb→a

(f (a) +

f (b)− f (a)b − a

(x − a))

= f (a) +(lımb→a

f (b)− f (a)b − a

)(x − a) = f (a) + f ′(a)(x − a)

conduce a una rectay = f (a) + f ′(a)(x − a)

que es, por definicion, la recta tangente. Y, efectivamente, la pendiente de larecta tangente a la grafica de f (x) en el punto x = a es la derivada f ′(a) de lafuncion en ese punto.

Ejercicio 1.102. La recta normal a una curva en un punto es aquella que formaun angulo de 90◦ con la recta tangente. ¿ Cual es la ecuacion de la recta normal ?

Otra interpretacion de la derivada, quizas mas general que la geometrica, esla de tasa de variacion instantanea de la funcion. Comenzamos con el siguienteejercicio.


lımh→0

f (a+ h) = lımx→a

f (x).

( Usar la definicion de lımite )

La definicion formal de derivada es equivalente a

Proposicion 1.104. La derivada de una funcion en un punto de su dominio a ∈dom(f ) es

f ′(a) = lımh→0

f (a+ h)− f (a)h

.

Denotando h = ∆x y f (a+ h)− f (a) = ∆f , esta formula proporciona una interpre-tacion mas:

f ′(a) = lımh→0

f (a+ h)− f (a)h

= lım∆x→0

∆f

∆x.

La derivada es el lımite del cociente incremental de f (x), es decir, su tasa ins-tantanea de variacion. Por ello, el signo de la derivada f ′(a) indica si la funcioncrece o decrece en x = a. Discutiremos esto mas rigurosamente despues deformular el teorema 1.122.

Otras notaciones habituales de la derivada son

f ′(x0) = f ′(x)∣∣∣x=x0

= y′(x0) =df

dx(x0) =

dy

dx(x0) = (Df )(x0).


1.7. Propiedades y calculo de derivadas

Proposicion 1.105 (Propiedades de la derivacion).• c′ = 0.

• (f (x)± g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).

• (cf (x))′ = cf ′(x).

• (f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) ( regla de Leibniz )

•[f (x)g(x)

]′=f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g(x)2 .

• [f (g(x))]′ = f ′(g(x))g ′(x) ( regla de la cadena )

• f −1′(x) =1

f ′(f −1(x))( funcion inversa )

• Si y = y(t) y x = x(t) entonces y = y(x), ydy

dx=dy/dt

dx/dt.

Demostracion. La demostracion de la regla de la cadena presenta una dificultadtecnica. En los libros de Spivak [1] y Apostol [2] se explica como solventarla.Existe una alternativa mas clara, quizas, usando el teorema del valor medio, quese explica mas adelante. Como la demostracion de este teorema es independientede la regla de la cadena, se puede usar sin crear un bucle logico.

Ejercicio 1.106. Calculad ( y aprended de memoria ) una formula para(

1f (x)

)′.

Con la tabla de derivacion anterior y el conocimiento de la derivada de f (x) = xpodemos calcular la derivada de cualquier funcion racional. Esta claro quepara calcular la derivada de una funcion elemental cualquiera solo necesitamosconocer las derivadas de funciones elementales basicas.

Teorema 1.107.

•ddxxα = αxα−1, siendo α ∈ R.

•ddxex = ex.

ddx

lnu =1u

.

•ddx

senx = cosx.ddx

cosx = −senx.

•ddx

shx = chx.ddx

chx = shx.

1.7. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 39


ddx

tgx =1

cos2x= 1 + tg2x,

ddx

thx =1

ch2x= −1 + th2x.

Ejemplo 1.109. Se tiene que

ddx

arcsenx =1

√1− x2

porqueddx

arcsen(x) =1

cos(arcsenx)=

1√

1− x2

donde el signo de la raız esta elegido suponiendo que hemos elegidola rama principal del arcsen ( ver el ejemplo 1.49 )

Ejercicio 1.110. Encontrar las derivadas de las funciones trigonometricas ehiperbolicas inversas.

Ası, dada cualquier funcion elemental, podemos calcular su funcion derivada,que es a su vez elemental. El dominio de la derivada, sin embargo, puede sermenor que el de la funcion original. Lo dicho anteriormente implica que en eldominio de la funcion derivada, la funcion original es derivable, y fuera de esedominio, no es derivable.

Ejemplo 1.111. La funcionf (x) = +

√x

es elemental, siendo su dominio [0,+∞). Su derivada

f ′(x) = +1√x

es tambien elemental, pero de dominio (0,+∞). Esto implica que f (x) =+√x es derivable en (0,+∞), y no es derivable en x = 0, pese a estar

bien definida.

Hemos visto que de una funcion se puede deducir su “funcion derivada”.Podemos tambien considerar la funcion derivada de la funcion derivada, ysucesivamente, con lo cual definimos las derivadas de orden superior

f ′′(x) =d2f

dx2 (x), f ′′′(x) =d3f

dx3 (x), f IV (x) =df 4

dx4 (x), f (n)(x) =dnf

dxn(x).


Ejemplo 1.112. Derivadas de funciones no elementales. La derivada dela funcion continua

f (x) =

x sen 1x , x , 0

0, x = 0

en x , 0 existe, al ser una funcion elemental bien definida. Sin embar-go, en x = 0

lımx→0

x sen 1x − 0

x − 0= lımx→0

sen1x

= @.

Ejercicio 1.113. Demuestra que es derivable

f (x) =

x2 sen 1x , x , 0

0, x = 0

¿ Es dos veces derivable ?

Ejercicio 1.114. Encontrar un ejemplo de funcion derivable en un punto unica-mente.

1.8. Teoremas del valor medio y extremos

La funcion derivada permite encontrar el comportamiento cualitativo de unafuncion, comenzando por su crecimiento o decrecimiento. Tenemos el siguien-te resultado tecnico, que nos servira para demostrar diversas cuestiones mastarde.

Lema 1.115. Si f (x) es derivable en x = x0 y f ′(x0) > 0 entonces, para todos losvalores de x en un cierto entorno de x0, se cumple que

f (x) < f (x0) si x < x0 y f (x0) < f (x) si x0 < x

Demostracion. Como existe el lımite lımx→x0

f (x)−f (x0)x−x0

= f ′(x0) > 0 entonces enun entorno de x0

f (x)− f (x0)x − x0

> 0

por lo cual, si x > x0 entonces ha de ser f (x) > f (x0) y si x − x0 < 0 se tieneque f (x) < f (x0).

Evidentemente existe una afirmacion analoga cuando f ′(x0) < 0.

1.8. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y EXTREMOS 41

Definicion 1.116.

Sea f (x) definida en un conjunto A. Se dice que f tiene en x = x0

• un maximo global si f (x) ≤ f (x0), ∀x ∈ A;

• un mınimo global si f (x) ≥ f (x0), ∀x ∈ A;

• un maximo local ( o relativo ) si f (x) ≤ f (x0) en cierto entorno de x0. Algunosautores exigen que x0 sea un punto interior de A, es decir, el entorno se extiendea ambos lados de x0;

• un mınimo local si f (x) ≥ f (x0) en cierto entorno de x0.

Los maximos y mınimos se denominan extremos de la funcion. Estrictos son cuandoen lugar de ≤ figura <.

Proposicion 1.117 (Fermat). Sea f una funcion derivable en cierto abierto (a,b). Sic ∈ (a,b) es un extremo local, entonces f ′(c) = 0.

Demostracion. Segun el lema 1.115, si f ′(c) , 0 el valor f (c) no puede ser elmaximo o el mınimo en ninguno de sus entornos.

Definicion 1.118. Un punto x = c para el que f ′(c) = 0 se denomina punto crıtico( o singular ) de f (x).

Los extremos locales de una funcion, entonces, son puntos crıticos, pero,como veremos mas adelante, no necesariamente todo punto crıtico es un extremolocal.

La proposicion anterior implica que los extremos de una funcion en un inter-valo cerrado deben de ser buscados

• en las fronteras del intervalo,

• en los puntos crıticos interiores,

• en los puntos en los que la funcion no es derivable.

Ejemplo 1.119. Encontrad los extremos de f (x) = |2x + 1| consideradaen el intervalo [−1,1]

Teorema 1.120 (Rolle). Sea una funcion f (x) es continua en un intervalo cerra-do [a,b], y derivable en todo (a,b). Si f (a) = f (b) entonces existe al menos un pun-to c ∈ (a,b) en el que se anula la derivada f ′(c) = 0 ( y ademas es un extremo local )

Demostracion. El teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que existen los extre-mos globales (maximo y mınimo). Estos extremos son, o bien tambien locales, o


estan en las fronteras a, b del intervalo. Si ambos estan en las fronteras, entoncesla funcion es constante con f ′(c) = 0 ∀c ∈ [a,b] y si, contrariamente, hay unextremo local c, en el se satisface f ′(c) = 0.

Ejemplo 1.121. Entre dos ceros consecutivos de la derivada de una fun-cion derivable, solo puede haber un cero de la funcion, como se de-duce por contradiccion. Supongamos que hay dos ceros de la funcionentre dos ceros consecutivos c1 y c2 de la derivada. Denotemos esosceros por x1 y x2, siendo entonces f (x1) = f (x2) = 0 y (x1,x2) ⊂ (c1, c2).Aplicando el teorema de Rolle a f (x) entre x1 y x2, se deduce quedebe de haber al menos un cero c3 de la derivada y c3 ∈ (x1,x2). Estoimplica que c3 ∈ (c1, c2), con lo que entre dos ceros consecutivos de f ′

hay otro cero; esto es una contradiccion que hace la suposicion inicial( que haya dos ceros de la funcion entre dos ceros de la derivada )imposible.

El teorema de Rolle, aparentemente teorico, implica muchos resultados practicos.El primero es el siguiente teorema, historicamente denominado del valor medio,pero que serıa mas apropiado denominar de la “variacion media”.

Teorema 1.122 (Teorema del valor medio). Si f (x) es continua en [a,b] y derivableen (a,b), entonces existe un numero c ∈ (a,b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)b − a

, c ∈ (a,b)

Demostracion. La demostracion consiste en aplicar el teorema de Rolle a lafuncion diferencia g(x) = f (x)− f (b)−f (a)

b−a (x−a)− f (a). Tenemos que g(a) = g(b) = 0,

por lo que existe c ∈ (a,b) tal que g ′(c) = f ′(c)− f (b)−f (a)b−a = 0.

Es interesante escribir el t.v.m. poniendo b = x, a = x0 como

f (x) = f (x0) + f ′(c)(x − x0), c ∈ (x0,x).

De este modo, podemos deducir propiedades de f a partir de las de f ′, y no alreves. Por ejemplo, sabemos que f (x) = C ⇒ f ′(x) = 0. Pero, ¿ y el argumentocontrario ? Tenemos que f (x) = f (x0) + f ′(c)(x − x0), con c ∈ (x0,x), por lo quesi f ′ = 0 en (x0,x)⇒ f (x) = f (x0).

Proposicion 1.123. Si f es derivable en (a,b),

1. f ′ ≥ 0 en (a,b)⇔ f es creciente en (a,b).

2. f ′ > 0 en (a,b)⇔ f es estrictamente creciente en (a,b).

1.8. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y EXTREMOS 43

3. f ′ ≤ 0 en (a,b)⇔ f es decreciente en (a,b).

4. f ′ < 0 en (a,b)⇔ f es estrictamente decreciente en (a,b).

5. f ′ = 0 en (a,b)⇔ f es constante en (a,b).

Demostracion. Demostremos 1. Para todo subintervalo (x0,x) ⊂ (a,b) existe algun c ∈(x0,x) tal que f ′(c) = [f (x) − f (x0)]

/(x − x0). Como es f ′(c) ≥ 0, entonces f (x) −

f (x0) ≥ 0 al ser x − x0 > 0. Los demas casos se demuestran analogamente.

En un punto x = a, se puede asegurar que si f ′(a) > 0 y f ′(x) es continua en elpunto a, la funcion es creciente en un entorno de a, y si f ′(a) < 0, f es decrecienteen un entorno de a. Si f ′(x) no es continua en x = a, no se puede asegurar quela funcion sea “creciente” en algun entorno por ser f ′(a) > 0, a pesar de que ellema 1.115 sigue siendo vigente.

Ejercicio 1.124. Demuestra que funcion

f (x) =

x+ x2 sen 1x , x , 0

0, x = 0

satisface que f ′(0) = 1 ( ver el ejercicio 1.113 ) y que, sin embargo, no es crecienteen ningun intervalo (−δ,δ).

Lo que el lema 1.115 implica es que si f ′(a) > 0 entonces al menos en algunpequeno intervalo x ∈ (a,a+ δ) por la derecha de a se tendra que f (x) > f (a) ( yf (x) < f (a) en algun intervalo por la izquierda )

Ejercicio 1.125. Demuestra que si dos funciones derivables tienen la mismaderivada, difieren en una constante.

Una generalizacion del teorema del valor medio es

Teorema 1.126 (T.v.m. de Cauchy). Sean dos funciones f (x) y g(x) continuasen [a,b] y derivables en (a,b), con g ′ , 0 en (a,b). Entonces existe c ∈ (a,b) talque

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a)

.

Demostracion. Aplıquese Rolle a f (x)[g(b)− g(a)]− g(x)[f (b)− f (a)].

Estos teoremas tienen aplicaciones en el calculo de lımites y derivadas.


Teorema 1.127 (Regla de l’Hopital). Supongamos que

lımx→a

f (x) = 0, y lımx→a

g(x) = 0,

y ademas que existe lımx→a f′(x)

/g ′(x). Entonces existe lımx→a f (x)

/g(x) y

lımx→a

f (x)g(x)

= lımx→a

f ′(x)g ′(x)

Demostracion. La demostracion se basa en aplicar el t.v.m. de Cauchy, [f (x) −0]g ′(c) = [g(x) − 0]f ′(c) y ver que c ∈ (a,x)⇒ c→ a al hacer tender x→ a. Hayque asegurarse de que existe un entorno de a en el que g ′(x) , 0 y g(x) , 0, loprimero por la existencia del lımite del cociente de derivadas y lo segundo porlo primero y la proposicion 1.123.

La regla de L’Hopital es extendible al caso a = ±∞, al caso de lımites laterales eincluso al caso en que los lımites de los cocientes involucrados son infinitos.

Algunas aplicaciones de la regla de L’Hopital.

Aplicando L’Hopital a [f (x)− f (a)]/(x − a) obtenemos

Teorema 1.128. Sea f continua en a, y derivable en un entorno ( perforado ) de a. Siademas existe lımx→a f

′(x) entonces tambien existe f ′(a) y


f ′(x).

Este teorema se puede especializar al caso de las derivadas laterales

Proposicion 1.129. Sea f continua en a, y derivable en el lado izquierdo de unentorno perforado de a. Es decir, existe una funcion derivable fi(x) tal que en eseentorno, si x < a se tiene que f ′(x) = f ′i (x). Entonces


f ′i (x)

Existe un resultado analogo para la derivada lateral derecha.

Un resultado que los principiantes usan mucho, sin que sepan por que estajustificado, es el siguiente.

1.9. ESTIMACIONES DE CRECIMIENTO. INFINITESIMOS∗ 45

Proposicion 1.130. Sea f (x) una funcion continua en x = a. Si para x < a se tieneque f (x) es igual a una funcion fi(x) derivable y para x > a a otra funcion deriva-ble fr(x), y

lımx→a

f ′i (x) = lımx→a

f ′r (x) = l ∈ R

entonces f (x) es derivable en x = a y

f ′(a) = l.

Si los lımites anteriores no existen o son distintos, entonces f (x) no es derivableen x = a.

Demostracion. Segun la proposicion 1.129 las derivadas laterales son, si existen,


f ′i (x), f ′+(a) = lımx→a+

f ′r (x)

y el resultado se deduce de la proposicion 1.101.

Ejemplo 1.131. Calcula, donde sea posible, la derivada de la funcionf (x) = 2x+ |x2 − 2|.

Caracterısticas de las funciones derivadas. La propiedad de Darboux.

1.9. Estimaciones de crecimiento. Infinitesimos∗

Ejemplos de lımites exp-pol-log, etc.

La regla de L’Hopital se puede obviar muchas veces si conocemos equivalen-cias entre ciertas expresiones, que poseen el mismo lımite.

Definicion 1.132.• Se dice que f (x) es un infinitesimo cuando x→a si

lımx→a

f (x) = 0

• Se dice que f (x) es un infinito cuando x→a si 1/f (x) es un infinitesimo cuan-do x→a.


• Se dice que f (x) es un infinitesimo de mayor orden que g(x) ( o despreciablefrente a g(x) ) si

lımx→a

f (x)g(x)

= 0

y se denota con

f (x) x→a= o(g(x)) ⇔ f (x)x→a≺≺ g(x) ⇔ f (x) = o(g(x)) (cuando x→a)

Tambien se dice que f (x) esta dominada por g(x) cuando x→ a.

• La funcion f (x) es a lo sumo del mismo orden que g(x) cuando x→a, si en unentorno perforado de a existe C ∈ R tal que∣∣∣∣∣f (x)g(x)

∣∣∣∣∣ ≤ C, ⇔ f (x) x→a= O(g(x)), ⇔ f (x)x→a� O(g(x))

⇔ f (x) =O(g(x)) (cuando x→a)

Ejercicio 1.133. Mostrad que f (x) = o(1) cuando x→ a es equivalente a decirque f (x) es un infinitesimo cuando x→ a.

Ejemplo 1.134. Vamos a utilizar mucho el caso

f (x) x→a= o((x − a)n) ⇔ lımx→a

f (x)(x − a)n

= 0

Proposicion 1.135. Si

lımx→a

f (x)g(x)

= k, k , 0

entoncesf (x) =O(g(x)) y g(x) =O(f (x)) cuando x→ a.

Se dice que f (x) y g(x) son del mismo orden cuando x→ a.

Demostracion. Efectivamente, para que el lımite exista, habra un entorno perfo-

rado◦Bδ(a) de x = a en el cual g(x) , 0 y∣∣∣∣∣f (x)

g(x)− k

∣∣∣∣∣ < ε ⇒∣∣∣∣∣f (x)g(x)

∣∣∣∣∣ < |k|+ ε ≡ Cpor el ejercicio 1.26. El valor C nos sirve para satisfacer la definicion de f (x) =O(g(x)). Como k , 0, tambien habra un entorno reducido de x = a en el que f (x) ,0, por lo que lımx→a g(x)/f (x) = 1/k e intercambiando g y f , se ve que se satisfa-ce g(x) =O(f (x)) por el mismo razonamiento.

1.9. ESTIMACIONES DE CRECIMIENTO. INFINITESIMOS∗ 47

En el caso concreto de funciones del mismo orden, si ademas la constante es 1,tenemos el siguiente concepto.

Definicion 1.136. Dadas dos cantidades f (x), g(x) del mismo orden cuando x→a,se dice que son equivalentes (cuando x→a) si

lımx→a

f (x)g(x)

= 1 ⇔ f (x) x→a∼ g(x) ⇔ f (x) ∼ g(x) (cuando x→a)

Proposicion 1.137.

o(f )± o(f ) = o(f ),g = o(f ) ⇒ f + g =O(f )

g =O(f ) y f (x) = o(h) ⇒ g = o(h)f ∼ g ⇒ f − g = o(f )

Ejercicio 1.138. Demuestra que cuando x→0

senx ∼ x ∼ arcsenx ∼ tgx ∼ arctgx

cosx ∼ 1 cosx − 1 ∼ −12x2

chx ∼ 1 chx − 1 ∼ 12x2

11 + x

− 1 ∼ −x

log(1 + x) ∼ x ex ∼ 1 ex − 1 ∼ x

Ejercicio 1.139. Demuestra que cuando x→∞

senx =O(1), cosx =O(1)

shx ∼ chx ∼ 12ex

Ejemplo 1.140. Calcular lımx→0(ch4x tg2x)/(x2ex):

ch4x tg2x

x2ex∼ 1 · x2

x2(1 + x)= 1

( A veces, como en la exponencial, es mejor afinar el infinitesimo masde lo necesario )


Ejercicio 1.141. Es muy importante desarrollar la intuicion de estimar el valorde algunos lımites. Por ejemplo, se propone demostrar el siguiente resultado.Si α,β,γ,c > 0 entonces

1 ≺≺ (logx)α ≺≺ xβ ≺≺ ecxγ

(cuando x→∞)

e−cxα ≺≺ xβ ≺≺ 1(

log 1x

)γ ∼ 1| logx|γ

≺≺ 1 (cuando x→ 0)

Se dice que la exponencial domina a cualquier potencia, y una potencia posi-tiva domina al logaritmo. Por ejemplo, xβ ≺≺ ex porque, utilizando la regla del’Hopital n veces

lımx→∞

xβ

ex= lımx→∞

βxβ−1

ex= lımx→∞

β(β−1)xβ−2

ex

= · · · = lımx→∞

β · · · (β−n+1)xβ−n

ex= 0

cuando la potencia β −n sea 0 o negativa.


x · o(xn) = o(xn+1) y si n ≥ 1o(xn)x

= o(xn−1) (cuando x→ 0)

Ejercicio 1.143. Demuestra que si dos funciones f (x) y g(x) continuamentederivables n veces en x = 0 difieren en un infinitesimo o(xn) (cuando x→ 0), esdecir, si

lımx→0

f (x)− g(x)xn

= 0

entonces tienen, en x = 0, el mismo valor y las mismas primeras n derivadas:

f (0) = g(0), f ′(0) = g ′(0′), . . . f (n)(0) = g(n)(0)

Ejercicio 1.144. Demuestra que si f (x) = o(1) cuando x→ 0 entonces

11 + f (x)

= 1− f (x) + o(f (x)) cuando x→ 0

1.10. El polinomio de Taylor

Utilizando el t.v.m. hemos conseguido una formula

f (x) = f (x0) + f ′(c)(x − x0), c ∈ (x0,x) (1.9)

1.10. EL POLINOMIO DE TAYLOR 49

que da el valor de la funcion f (x), si f (x) es derivable. La formula (1.9) se puedeinterpretar pensando que cuando x es muy pequena aporta una correccion sobreel valor de partida f (x0) del orden de un infinitesimo f ′(c)(x − x0) = o(1):

f (x) = f (x0) + o(1) (cuando x→ x0) (1.10)

ya que, si f ′(x) es continua en x0 y al estar c en (x0,x)

lımx→x0

(f (x)− f (x0)) = lımx→x0

f ′(c)(x − x0) = f ′(x0) · 0 = 0

Por ejemplo

senx = sen0 + sen′(c)(x − 0) = 0 + cos(c) · x, c ∈ (0,x)

y lımx→0 cos(c) · x = 1 · 0 = 0 al ser lımx→0 cos(c) = 1, porque c ∈ (0,x) ( si x > 0 )El problema es que c es desconocido, ası que a efectos de realmente evaluarel senx esta formula no parece servir de mucho, solo dice que es cero mas uninfinitesimo. En el caso del seno, podemos hacer una mejora si hacemos lo mismopara cosc, es decir, como cosc = cos0 + o(1) = 1 + o(1) tenemos que

senx = (1 + o(1))x = x+ o(1)x = x+ o(x) (cuando x→ 0) (1.11)

ya que o(1)x = o(x) cuando x→ 0. Concluımos que cerca de x = 0, el senx es elinfinitesimo x mas otro infinitesimo o(x), de orden superior a x. Es decir, me mejorinfinitesimo para aproximar a senx es x porque

senx − x = o(x)

es un infinitesimo de orden superior a x. Si continuamos con el procedimiento,podemos pensar que a su vez cosc = 1− sen(d)c con d ∈ (0, c):

senx = cos(c)x = (1− sen(d)c)x = x − sen(d)cx

y como otra vez send = (0 + cos(e)d)cx con e ∈ (0,d)

senx = x − cos(e)dcx

y hemos perdido un poco el control de la siguiente correccion ¿ O no ? Como0 < e < d < c < x, el lımite lımx→0 cose = 1 y se observa que

senx = x − o(x2)

porque

lımx→0

senx − xx2 = lım

x→0

−cos(e)dcxx2 = lım

x→0

dcx≤ lımx→0

c = 0


Podemos elegir el infinitesimo o(x2) que hay que anadir a x requiriendolo sufi-cientemente simple, es decir, como kx3 y exigiendo que

senx = x+ kx3 + o(x3) (cuando x→ 0)

Para ello se ha de cumplir que

0 = lımx→0

senx − x − kx3

x3

es decir

lımx→0

senx − x − kx3

x3 = lımx→0

cosx − 1− 3kx2

3x2 = lımx→0

−senx − 6kx6x

= lımx→0

−cosx − 6k6

=−1− 6k

6= 0 ⇒ k = −1

6

y por tanto

senx = x − 16x3 + o(x3) (cuando x→ 0)

Se pueden mejorar las estimaciones de funciones en el entorno de un punto,anadiendo los infinitesimos correctos de mayor orden a (1.10). Por ejemplo,la funcion f (x) = 1/(1 + x) ∼ 1 + o(1), cuando x → 0. En el ejercicio 1.138 semostro que, en las cercanıas de x = 0, 1/(1 + x)− 1 ∼ −x, que implica, segun laproposicion 1.137, que

11 + x

= 1− x+ o(x) cuando x→ 0.

Se puede aplicar el mismo procedimiento para deducir que

11 + x

= 1− x+ x2 + o(x2) cuando x→ 0

y continuar anadiendo infinitesimos de ordenes cada vez mas altos.

Observemos que el procedimiento anterior, consistente en anadir infinitesi-mos proporcionales a (x − x0)i , con i = 0,1, . . . ,n, produce una aproximacionpolinomica a f (x)

f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·+ an(x − x0)n + o((x − x0)n) (1.12)

cuya diferencia con la funcion original es un infinitesimo o((x − x0)n). Si laaproximacion funciona correctamente, la funcion es ( cuando x→ x0 ) igual a unpolinomio de grado n, mas un termino de resto, o “error” de la aproximacion


que es o((x − x0)n). La formula (1.10) es la aproximacion con un polinomio degrado 0, expresando el coeficiente a0 = f (x0). El siguiente paso es encontrar unaformula general para la aproximacion con un polinomio de grado 1:

f (x) = f (x0) + a1(x − x0) + o((x − x0)).

Ejercicio 1.145. Demuestra que, si existen las derivadas involucradas

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + o[(x − x0)].

La aproximacion anterior equivale a utilizar la funcion lineal que tiene comografica la tangente a f (x) en x = x0:

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + resto.

Una consecuencia del ejercicio 1.143 es que esta aproximacion con una funcionlineal, en x0, coincide en valor y en el valor de su derivada con la funcion. Segunese mismo ejercicio, la aproximacion polinomica (1.12) coincide en x = x0 envalor y en sus primeras n derivadas con f (x). Construyamos directamente unaproximacion polinomica a f (x) con esas propiedades:

p(x) = Tn(f ,x0)(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·+ an(x − x0)n

Evidentemente a0 = f (x0), y

p′(x) = a1 + 2a2(x − x0) + 3(x − x0)2 + · · ·+nan(x − x0)n−1

lo cual implica que si queremos que p′(x0) = f ′(x0) entonces a1 = f ′(x0). Parececlaro que si seguimos procediendo ası, encontraremos que 2a2 = f ′′(x0), 2 ·3 ·a3 =f ′′′(x0) y en general m!am = f (m)(x0). Por ello, la aproximacion polinomica degrado n que buscamos es unica y es

Tn(f ,x0)(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)2 +

f ′′′(x0)6

(x − x0)3

+ · · ·+f (n−1)(x0)

(n− 1)!(x − x0)n−1 +

f (n)(x0)n!

(x − x0)n.

Ese polinomio se denomina polinomio de Taylor de grado n, de f alrededorde x = x0.

Ejemplo 1.146.

• ex→ 1 + x+x2

2+x4

6+ · · ·+ x

n

n!


• log(1 + x)→ x − x2

2+x3

3− x

4

4+ · · ·+ (−1)n+1x

n

n

• senx→ x − x3

6+x5

120+ · · ·+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!

• cosx→ 1− x2

2+x4

24+ · · ·+ (−1)n

x2n

(2n)!

•1

1− x→ 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn

• (1 + x)α→ 1 +(α1

)x+

(α2

)x2 + +

(α3

)x3 + · · ·+

(αn

)xn, ¡ α ∈ R !

Hemos demostrado que necesariamente la aproximacion polinomica (1.12)ha de ser el polinomio de Taylor, debido al ejercicio 1.143. Pero no estamosseguros de si la diferencia entre f (x) y su polinomio de Taylor de grado n es uninfinitesimo o((x − x0)n), y de como estimar esta diferencia. El primer resultadoes el siguiente.

Proposicion 1.147. La diferencia entre una funcion n veces derivable y su polinomiode Taylor de orden n es un infinitesimo de orden n:

f (x)− Tn(f ,x0)(x) = o((x − x0)n) = o(x − x0)n (cuando x→ x0)

con lo cual

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)2

+ · · ·+f (n)(x0)n!

(x − x0)n + o(x − x0)n.

Demostracion. La demostracion se realiza aplicando la regla de l’Hopital n vecesa

lımx→x0

f (x)− Tn(f ,x0)(x)(x − x0)n

probando que Rn(f ,x0)(x) = f (x)− Tn(f ,x0), el denominado resto del polinomiode Taylor, es un infinitesimo respecto a (x − x0)n cuando x→ x0.

Se puede demostrar una expresion concreta para el resto:

Teorema 1.148 (Teorema de Taylor). Supongase que f ′, f ′′, . . . , f (n+1) estan definidassobre [x0,x]. Entonces

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + · · ·+f (n)(x0)n!

(x − x0)n +Rn(f ,x0)(x)


siendo el resto igual a ( forma de Lagrange del resto )

Rn(f ,x0)(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1, donde c ∈ (x0,x)

Las demostraciones mas breves utilizan la denominada forma integral delresto. Existe una demostracion, algo sofisticada, usando solo el t.v.m. ( v. [1]p. 514 )

Ejemplo 1.149. Polinomio de Taylor de

f (x) =

exp(−1/x2), x , 00, x = 0

Para el calculo de algunos polinomios de Taylor, se usa a menudo el siguienteresultado

Proposicion 1.150. Si el polinomio de Taylor de f (x) es

Tn(f ,x0)(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·+ an(x − x0)n

entonces el polinomio de Taylor de (x − x0)mf (x) es

Tn((x−x0)mf ,x0)(x) = a0(x−x0)m+a1(x−x0)m+1 +a2(x−x0)m+2 + · · ·+an(x−x0)m+n

Aquı m ∈ N, aunque si a0 = a1 = · · · = aj = 0, entonces m puede tomar valoresnegativos m = −1,−2, . . . ,−j − 1 ( Es decir, la formula del lado derecho de la ecuacionanterior ha de ser un polinomio )

Demostracion. Sabemos que f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·+ an(x − x0)n +o(x − x0)n cuando x→ x0. Entonces

(x − x0)mf (x) = a0(x − x0)m + a1(x − x0)m+1 + a2(x − x0)m+2 + · · ·+ an(x − x0)m+n + (x − x0)mo(x − x0)n

Pero, segun el Ejercicio 1.142, (x − x0)mo(x − x0)n = o(x − x0)m+n es decir

lımx→x0

(x − x0)mo(x − x0)n

(x − x0)m+n = lımx→x0

o(x − x0)n

(x − x0)n= 0

Por ello,

(x − x0)mf (x) = a0(x − x0)m + a1(x − x0)m+1 + a2(x − x0)m+2 + · · ·+ an(x − x0)m+n + (x − x0)m+n

y el polinomio de Taylor es el predicho.


Ejemplo 1.151. Es sencillo demostrar que la funcion

f (x) =ex − 1x

, f (0) = 1

es continua e infinitamente derivable en x = 0. Esto se puede intuirintentando calcular su polinomio de Taylor en x0 = 0 a partir delpolinomio de Taylor Tn(ex) = 1 + x+ 1

2x2 + · · ·+ 1

n!xn:

ex − 1x→

1 + x+ 12x

2 + · · · 1n!x

n − 1x

=x+ 1

2x2 + · · · 1

n!xn

x

= 1 +12x+

16x2 + · · · − 1

n!xn−1

El polinomio resultante es el polinomio de Taylor de orden n− 1. Elde orden n es

ex − 1x→ 1 +

12x+

16x2 + · · ·+ 1

(n+ 1)!xn

Este tipo de manipulaciones para calcular polinomios de Taylor sin necesidad decalcular las derivadas de la funcion ( o cuando ello sea imposible ) se puedenexplicar mas ampliamente en el marco de las series de Taylor ( Capıtulo 5 )

Ejemplo 1.152. Irracionalidad de e:

ab

= e1 = 1 + 1 +12

+13!

+ · · ·+ 1n!

+R

⇒ n!ab

= n! +n! +n!2

+n!3!

+ · · ·+ n!n!

+n!R

En esta expresion todos los terminos son enteros, si n es suficiente-mente grande (por ejemplo, n ≥ b) menos quizas n!R, que entoncesdebe ser entero. Pero sabemos que

R =ec

(n+ 1)!, c ∈ (0,1) ⇒ 0 < n!R =

n!(n+ 1)!

ec <e

n+ 1

( desde luego, e > 1 ) y, como siempre se puede encontrar un n > e− 1,esto implicarıa que el supuesto entero n!R esta entre 0 y 1, 0 < n!R < 1.Imposible.

1.11. MAXIMOS, MINIMOS Y CONVEXIDAD 55

1.11. Determinacion de maximos y mınimos de fun-ciones. Convexidad

Hemos visto como debemos buscar los maximos y mınimos de una funcioncontinua sobre un intervalo cerrado, o bien en los extremos del intervalo, o enextremos relativos de la funcion en el interior del intervalo. Si la funcion esderivable en todos los puntos del intervalo, en los extremos relativos interiorestendra derivada nula. Entonces debemos buscar esos extremos en los puntos enlos que la derivada es nula, los denominados puntos crıticos. En resumen, losextremos de una funcion continua se encuentran en los siguientes puntos.

1. En los extremos del intervalo considerado.

2. En los puntos crıticos.

3. En los puntos de no derivabilidad.

El primer ejemplo de extremo que podemos discutir es aquel que se puedecalcular directamente:

Ejemplo 1.153. La funcion f (x) = |x| tiene un mınimo relativo en x = 0.Esto es evidente, porque f (x) > 0 para todo x , 0, ası que el mınimoabsoluto esta en x = 0.

Ejemplo 1.154. Consideremos potencias enteras positivas fn(x) = xn,n ≥ 2. El punto x = 0 es crıtico, ya que f ′n(x) = nxn−1 = 0 si x = 0.

1. Si n = 2, el analisis del ejemplo 1.153 anterior implica que esta-mos ante un mınimo.

2. Si n = 3 tenemos que f3(x) > 0 si x > 0 y f (x) < 0 si x < 0,siendo f3(0) = 0, por lo que en x = 0 no hay ni un maximoni un mınimo.

3. Si n es un numero par n = 2m, la situacion es analoga a lade n = 2, habiendo un mınimo en x = 0.

4. Si n es un numero impar n = 2m+ 1, la situacion es analoga a lade n = 3, no habiendo ni un mınimo ni un maximo en x = 0.

Muchas veces no es facil comparar directamente un candidato a valor extre-mo f (x0) con los valores f (x) en un entorno de x = x0. Si se tiene acceso a laderivada f ′(x), al menos en ese entorno, o a las derivadas laterales, se puede usarel siguiente criterio.


Proposicion 1.155 (Criterio de la primera derivada).

Si la funcion f (x) es continua en x = c y es tal que

f ′−(c) > 0 y f ′+(c) < 0, ⇒ c es un maximo relativo de ff ′−(c) < 0 y f ′+(c) > 0, ⇒ c es un mınimo relativo de f

Demostracion. Al existir la derivada lateral por la izquierda f ′−(c), para todos losvalores x de cierto entorno x ∈ (c − δ,c) tenemos que∣∣∣∣∣f (x)− f (c)

x − c− f ′−(c)

∣∣∣∣∣ < ε ⇒f (x)− f (c)x − c

> f ′−(c)− ε

para cualquier ε > 0. Como f ′−(c) > 0, bastara tomar un ε < f ′−(c) para asegurarque

f (x)− f (c)x − c

> 0.

Como x esta a la izquierda de c, x − c < 0 y ha de ser f (x) − f (c) < 0, con loque f (x) < f (c) para esos valores de x. Se demuestra analogamente que al existirla derivada por la derecha f (x) < f (c) para valores por la izquierda x > c suficien-temente proximos a c. Por tanto, f (c) es un valor maximo estricto en un entornode c.

Si existe la derivada en f ′(c) = 0, el punto x = c es un candidato a ser extremo,pero todas las situaciones son posibles. Si la segunda derivada existe, tenemosposibilidades de utilizar el siguiente criterio local.

Proposicion 1.156 (Criterio de la segunda derivada).

Si la funcion f (x) es continua en x = c, con f ′(c) = 0 y es tal que

f ′′(c) < 0 ⇒ c es un maximo relativo de ff ′′(c) > 0, ⇒ c es un mınimo relativo de f

Demostracion. El teorema de Taylor de segundo grado implica que

lımx→c

f (x)− f (c)− f ′(c)(x − c)− 12f′′(c)(x − c)2

(x − c)2 = lımx→c

f (x)− f (c)− 12f′′(c)(x − c)2

(x − c)2 = 0

Por tanto, en cierto entorno de x = c∣∣∣∣∣f (x)− f (c)(x − c)2 −

f ′′(c)2

∣∣∣∣∣ < ε ⇔f ′′(c)

2− ε <

f (x)− f (c)(x − c)2 <

f ′′(c)2

+ ε

1.11. MAXIMOS, MINIMOS Y CONVEXIDAD 57

para cualquier ε > 0. Eligiendo ε < 12 |f′′(c)| tenemos que f (x)−f (c)

(x−c)2 tiene el mismo

signo que f ′′(c) en el entorno ( en x = c, tiende a ser f ′′(c)/2 ) Como (x − c)2 > 0,si f ′′(c) > 0 entonces ha de ser f (x) > f (c) para todo x , c del entorno, siendo soloen x = c donde f (x) = f (c), por lo que en x = c hay un mınimo. Si f ′′(c) < 0 ha deser f (x) < f (c) y en x = c hay un maximo.

Cuando f ′′(c) = 0 y existen mas derivadas, podemos acudir al siguiente criteriomas general.

Proposicion 1.157.

Si f ′(c) = f ′′(c) = · · · = f (n−1)(c) = 0 y f (n)(c) , 0, entonces

1. Si n es par, y f (n)(c) < 0, entonces c es un maximo local de f .

2. Si n es par, y f (n)(c) > 0, entonces c es un mınimo local de f .

Si f ′′(c) = f ′′′(c) = · · · = f (n−1)(c) = 0 y f (n)(c) , 0.

3. Si n es impar, entonces c no es ni maximo ni mınimo.

El ultimo caso ( cuando n > 2 ) es, como veremos, es lo que se denomina un punto deinflexion.

Demostracion. En el caso par n = 2m tendremos, como en la demostracion de laproposicion 1.156, que

f (2m)(c)(2m)!

− ε <f (x)− f (c)(x − c)2m <

f (2m)(c)(2m)!

+ ε

y la demostracion es analoga: f (x)−f (c)(x−c)2m tiene el mismo signo que f (2m)(c)

(2m)! , por lo

que si f (2m)(c) > 0, x = c es un mınimo y si f (2m)(c) < 0 un maximo. Falta el caso

impar n = 2m+ 1, para el cual f (x)−f (c)(x−c)2m+1 y f (2m+1)(c)

(2m+1)! tienen el mismo signo en unentorno de x = c. Pero el signo de x − c cambia, a un lado de x = c es positivo y alotro es negativo. Es decir, a un lado sera f (x) > f (c) y al otro f (x) < f (c).

Convexidad. La definicion de convexidad de una funcion es sencilla, peroaquı nos ceniremos a una version restringida de facil interpretacion geometrica,valida cuando f (x) es derivable en cierto intervalo. Tal f (x) es convexa ( haciaarriba ) en un intervalo si su grafica queda por debajo de la tangente en cada unode los puntos del intervalo. Es decir:

f (x) < f (a) + f ′(a)(x − a)


para todo x y a del intervalo de convexidad. Una funcion f (x) es concava ( haciaarriba ) si f (x) > f (a)+f ′(a)(x−a), es decir, su grafica esta por encima de cualquiertangente en el intervalo estudiado.

Proposicion 1.158. Si f ′′(x) esta definida y es negativa f ′′(x) < 0 en un intervalo,f (x) es convexa.

Demostracion.f (x)− f (a)− f ′(a)(x − a) =

12f ′′(a)(x − a)2

es negativo porque f ′′(a) < 0.

Si f ′′(x) > 0 en un intervalo la funcion es concava ( hacia arriba )

Un punto de inflexion es aquel en el que, existiendo la tangente, la grafica dela funcion esta a un lado por encima de la tangente y al otro lado por debajo.Si f ′′(c) = 0 y f ′′(x) tiene distinto signo a un lado y a otro de c, en un entornode x = c, hay un punto de inflexion en x = c, la convexidad cambia en esepunto.

Por ultimo, demostremos la ultima afirmacion de la proposicion 1.157. Genera-licemosla un poco mas, pudiendo ser f ′(c) , 0: si f ′′(c) = f ′′′(c) = · · · = f (2m)(c) = 0y f (2m+1)(c) , 0, con m ≥ 1, entonces x = c es un punto de inflexion. Tenemos queen un entorno de x = c

f (2m+1)(c)(2m+ 1)!

− ε <f (x)− f (c)− f ′(c)(x − c)

(x − c)2m+1 <f (2m+1)(c)(2m+ 1)!

+ ε

Tomando ε <∣∣∣∣ f (2m+1)(c)

(2m+1)!

∣∣∣∣ nos aseguramos de que f (x)−f (c)−f ′(c)(x−c)(x−c)2m+1 tenga siempre el

mismo signo en un entorno de x = c. Como (x − c)2m+1 tiene distinto signo a unlado o a otro de x = c, tambien lo tendra f (x)− f (c)− f ′(c)(x − c), es decir, por unlado de x = c la funcion sera convexa y por el otro concava.

1.12. Soluciones de algunos ejercicios

1.6 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

1.12 x+ x = 0 · x+ 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x = x ⇒ x = 0, ∀x.

1.16 Como x > 0, se tiene que x > 1 ⇒ x · x > x y x < 1 ⇒ x · x < x.

1.17 Inmediato de la propiedad 6 y de las proposiciones 1.11 y 1.15, 2).

1.12. SOLUCIONES DE ALGUNOS EJERCICIOS 59

1.19 Por la proposicion 1.14, 2), |x|2 = |x||x| < |y||x| < |y|2.

1.23 |x| − |y| ≤ |x − y| por la proposicion 1.22. |x − y| ≤ |x| + | − y| = |x| + |y| por ladesigualdad triangular.

1.26 La proposicion 1.22 implica que |x| − |a| ≤ |x − a| < r⇒ |x| < r + |a|.

1.64 Si lımx→x0|f (x)| = 0 entonces | |f (x)| − 0| < ε en la definicion de lımite. Pero

| |f (x)| − 0| = | |f (x)| | = |f (x)| = |f (x)− 0|, ası que en las mismas condiciones |f (x)−0| < ε, con lo que de nuevo la definicion implica que lımx→x0

f (x) = 0.

1.7 Multiplicar por x2 la funcion del ejemplo 1.59.

1.142 lımx→0x·o(xn)xn+1 = lımx→0

xx ·

o(xn)xn = 1 · 0 = 0 y lımx→0

o(xn)/xxn−1 = lımx→0

o(xn)xn = 0.

1.143 f (x) − g(x) = o(xn) cuando x→ 0, es decir lımx→0(f (x) − g(x))/xn = 0. Portanto, multiplicando por xn, lımx→0(f (x)− g(x)) = f (0)− g(0) = lımx→0 0 · xn = 0y f (0) = g(0). Multiplicando por xn−1 y usando la regla de l’Hopital

lımx→0

f (x)− g(x)x

= lımx→0

f ′(x)− g ′(x)1

= f ′(0)− g ′(0) = lımx→0

0 · xn−1 = 0

y f ′(0) = g ′(0). Multiplicando por xn−2 y usando l’Hopital dos veces

lımx→0

f (x)− g(x)x2 = lım

x→0

f ′(x)− g ′(x)2x

= lımx→0

f ′′(x)− g ′′(x)2

= lımx→0

0 · xn−2 = 0

y f ′′(0) = g ′′(0). Se demuestra ası inductivamente que f (i)(0) = g(i)(0) hastaorden i = n.

1.144 lımx→0

11+f (x) − (1− f (x))

f (x)= lımx→0

f (x)2

1+f (x)

f (x)= lımx→0

f (x)1 + f (x)

= 0 porque lımx→0

f (x) = 0.

1.145 Ha de ser lımx→x0[f (x)− f (x0)− a1(x − x0)] /(x−x0) = 0. Por l’Hopital lımx→x0

[f ′(x)− a1] =0


1.13. Resumen

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