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UNDAC MATEMATICA BASICA II
SEMESTRE 2012B
Mg. Eusebio ROQUE HUAMAN
RESPONSABLE DEL CURSO
Jorge RENTERIA MAURATE
ESTUDIANTE
CERRO DE PASCO - 2012
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
PROLOGO
Este trabajo es realizado con las intenciones que profundizar los
temas del curso de Matemtica Bsica II, como una contribucin alos contenidos ya realizados, es por estas razones, que hemos
estimado utilizar una recopilacin de textos con el objetivo, de
que sea un lenguaje sencillo, claro y conciso. El empeado en
conseguir que en este trabajo, sea un instrumento de trabajo til
y de fcil manejo.
El trabajo de Matemtica Bsica II, est organizado por 4
captulos, cada uno de ellos con una introduccin que ofrece un
panorama general de los contenidos fundamentales del tema, cada
captulo est elaborado de la siguiente forma: Objetivos,
Contenidos.
Como toda realizacin humana es perfeccionable, suplico al
docente que nos apoya a corregir los errores cometidos en este
trabajo, para poder mejorar y superar nuestros errores.
Finalmente no quiero terminar sin antes expresar mi profundo
agradecimiento al Ing. Eusebio Roque Huamn, por su gran
enseanza y compromiso en este curso, por lo que lo tendremos
siempre presente en nuestra vida profesional.
EL ESTUDIANTE
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
INDICE
CAPITULO I: FACTORIAL DE UN NMERO
CAPITULO II: PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA
CAPITULO III: SERIES
CAPITULO IV: NUMEROS COMPLEJOS
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
OBJETIVOS
Identificar y comprender la forma de desarrollo
de la factorial de un nmero.
El alumno al finalizar este captulo debe saber
desarrollar todo tipo de problemas respecto a un
factorial de un nmero.
1
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
INTRODUCCION
El estudio de la factorial de un nmero entero positivo (Z+)
es de suma importancia en esta parte del algebra, ya que este
objeto matemtico ayudara a profundizar temas como elBinomio de Newton. Al respecto, se presenta un esbozo de la
teora de factorial de un nmero entero positivo, junto con las
propiedades que nos ayudaran a enfrentar diferentes tipos deproblemas.
1. DEFINICION
La factorial de un nmero entero positivo se define comoel producto que se obtiene de multiplicar los nmeros enteros
desde 1 hasta el nmero n indicado en la factorial. Lanotacin de factorial que usaremos es la siguiente: n! Al
respecto, la definicin queda expresada en smbolos as:
Tambin:
Dnde: NOTA 1:El factorial de un nmero se lee:
Se lee: factorial de 2
Smbolo Representa
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Ejemplo:
1! = 1
3! = 1 2 3 = 6
4! = 1 2 3 4 = 24
./
NOTA 2: Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por
convencin el valor de 1. Entonces:
0 = 1
2. PROPIEDADES
a)n! = n (n 1)! ; n 2La prueba es directa, para ello usamos la definicin defactorial:
de lo que se desprende que: n! = n (n 1)!
b)Si n! = m! ; n = m n, m {1}Un caso especial de esta propiedad est relacionado con lasiguiente igualdad:
n! = 1! para lo cual siguiendo lo enunciado n = 1, pero
tambin se cumple para n = 0.
c)n (n!) = (n + 1)! n!La prueba es inmediata, ya que:
(n + 1)! n! = (n + 1) n! n! = n! (n + 1 1) = n (n!)
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
NOTA 3: En general, no es posible realizar las siguientes
operaciones:
./
3. COFACTORIAL O SEMI-FACTORIAL DE UN NMERO
Es importante mencionar que (2n)!! Equivale a multiplicar
todos los nmero pares desde 2 hasta (2n), entonces se
cumple que:
(2n)!! = 2 4 6 . . . (2n)
Asimismo, para (2n
1)!! equivale a multiplicar todos los
nmero impares desde 1 hasta (2n 1), entonces se cumpleque:(2n 1)!! = 1 3 5 . . . (2n 1)
ATENCION!
Otra forma menos usual de representar el factorial de un
numero nes de la siguiente forma
n
La cual equivale a n!
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
OBJETIVOS
Reconocer las dos formas de progresiones para
poder resolver ejercicios
El alumno al finalizar este captulo debe saber
desarrollar todo tipo de problemas respecto a
progresiones aritmtica y geomtricas
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
INTRODUCCION
Las progresiones constituyen el ejemplo ms sencillo del
concepto de sucesin. Desde los albores de la historia de las
matemticas se han estudiado sus propiedades, y stas han sido
aplicadas, sobre todo, a la aritmtica comercial.
El estudio de las progresiones aritmticas es paralelo al de las
geomtricas por cuanto las propiedades de estas ltimas emanan
de las primeras sin ms que convertir las sumas en productos,
diferencias en cocientes, y el producto por un nmero natural en
una potencia de exponente natural.
El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras
ramas de las matemticas, es incierto. No obstante, se conservan
algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones
varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir
su paternidad a ningn matemtico concreto.
1. PROGRESION ARITMTICA
Una progresin aritmtica es una sucesin en la que cada
elemento se obtiene sumando al anterior un nmero fijo
llamado diferencia o razn aritmtica que se representa por la
letra d.
As, si (an) es una progresin aritmtica, se verifica que:
ATENCION!
Si en una progresin aritmtica, d0 , entonces decimosque la progresin es creciente: Ejemplo.
d = 4
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Si una progresin aritmtica, d , entonces decimos quela progresin es decreciente: Ejemplo.
d = -7
1.1CMO RECONOCER UNA PROGRESIN ARITMTICA
Para asegurarse de que una sucesin es una progresin
aritmtica se ha de comprobar que la diferencia entre cada
trmino y su anterior es siempre la misma. Adems, esta
comprobacin elemental determina el valor de la diferencia de
la progresin.
Es la sucesin 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5...una progresin aritmtica? Si
lo es, cul es la razn?
SOLUCION
Se determina si la diferencia entre cada dos trminos
consecutivos es la misma:
5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2 ; 1 - 3 = -2 ; -1 - 1 = -2; ...
Es una progresin aritmtica la razn es: d = -2.
1.2TRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIN ARITMTICA
La frmula del trmino general de una progresin aritmtica
(an) se encuentra sin ms que observar que:
a2= a1+ d
a3= a2+ d = (a1+ d) + d = a1+ 2 d
a4= a3+ d = (a1+ 2d) + d = a1+ 3d
a5= a4+ d = (a1+ 3d) + d = a1+ 4d
Ntese que en todos los casos el trmino correspondiente es
la suma de dos cantidades:
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
La primera es siempre a1
La segunda es el producto (n - 1) d.
1.3INTERPOLACIN DE MEDIOS ARITMTICOSInterpolar (de inter, entre y polos, ejes) n nmeros entre otros
dos conocidos a y b; consiste en construir una progresin
aritmtica a, a1, a2,..., an, b.
Para resolver este problema basta con conocer la diferencia
que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que
tener en cuenta dos cosas:
1) La sucesin tiene n + 2 trminos
2) El primer trmino es a y el trmino an + 2 es b.
Aplicando la frmula del trmino general de una progresin
aritmtica, se tiene que:
b = a + [(n + 2) - 1] d,
Una vez conocido el valor de la diferencia, a1se obtiene como
la suma de a y d; a2 es la suma de a1 y d, y as
sucesivamente.
Los nmeros a1, a2,..., an reciben el nombre de medios
aritmticos.
1.4
SUMA DE TRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIN ARITMTICA
Se denotar por: Sna la suma a1+ a2+... + an
Se tiene entonces:
Sn= a1+ a2+ a3+... + an-2 + an-1 + an
Invirtiendo el orden,
Sn= an+ an-1+ an-2+ ... + a3+ a2+ a1
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y sumando,
2Sn= (a1+ a2) + (a2+ an-1) +... + (an-1 + a2) + (an+ a1)
Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes sesabe que:
a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-2= ... = an+ a1
Por tanto, 2 Sn= n(a1+ an),y despejando:
.
2. PROGRESION GEOMETRICA
Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cada
elemento se obtiene multiplicando el anterior por un nmero fijo
llamado razn, y que se representar por la letra r.
As, si (an) es una progresin geomtrica, se verifica:
2.1CMO RECONOCER UNA PROGRESIN ARITMTICA
Para asegurarse de que una sucesin es una progresin
geomtrica se ha de comprobar que el cociente entre cada
trmino y su anterior es siempre el mismo. Adems estacomprobacin elemental determina el valor de esta razn de la
progresin.
Es5, 15, 45, 135, 405...una progresin geomtrica?
SOLUCION
Es una progresin geomtrica de razn 3
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
2.2TRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIN ARITMTICA
La frmula del trmino general de una progresin geomtrica
(an) se encuentra sin ms que observar que:
a2= a1 r
a3= a2 r = (a1 r) r = a1 r2
a4= a3 r = (a1 r2) r = a1 r3
a5= a4 r = (a1 r3) r = a1 r4
Ntese que, en todos los casos, el trmino correspondiente es
el producto de dos cantidades:
- La primera es siempre a1
- La segunda es una potencia de base r y exponente un
cierto nmero, que se obtiene restando una unidad al
subndice.
En definitiva, la expresin del trmino general es:
Si la razn de una progresin geomtrica es mayor que uno,
la progresin es creciente, es decir, cada trmino es mayor
que el anterior.
Si la razn de una progresin geomtrica est comprendida
entre cero y uno, la progresin es decreciente, es decir, cada
trmino es menor que el anterior.
Si la razn de una progresin geomtrica es igual a uno, la
progresin es constante, es decir, tiene todos los trminosiguales.
Si la razn de una progresin geomtrica es menor que cero,
la progresin es alterna, es decir, sus trminos son
alternativamente positivos y negativos.
2.3INTERPOLACIN DE MEDIOS ARITMTICOS
Interpolar n medios geomtricos entre otros dos conocidos ay
b, consiste en construir una progresin geomtrica a, a1, a2, ..., an,b.
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Para resolver este problema basta con conocer la razn que
ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que
tener en cuenta dos cosas:
1) La sucesin tiene n + 2 trminos.
2) El primer trmino es ay el n + 2 es b.
Aplicando la frmula del trmino general de una progresin
geomtrica se tiene que:
, de donde
Una vez conocido el valor de la razn, a1se obtiene como el
producto de r por a; a2 es el producto de a1 por r, y as
sucesivamente.
2.3PRODUCTO DE TRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESINGEOMTRICA
Continuando con la analoga observada, se encuentra la
frmula del producto de trminos de una progresingeomtrica.
Se denotar por Pnal producto a1 a2... an.
Se tiene entonces:
Pn= a1a2a3... an-2an- 1 an
Invirtiendo el orden Pn= an an - 1 an-2... a3 a2 a1
y multiplicando Pn=(a1 an )(a2 an - 1) ... (an - 1 a2)(an a1
Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes sesabe que:
a1an= a2an-1= a3an-2= ... = ana1
Por tanto Pn 2 = (a1 an)ny despejando:
nPara determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto.
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Esta frmula no slo sirve para multiplicar los primeros
trminos de una progresin geomtrica, sino que tambin es
vlida para multiplicar cualquier n trminos consecutivos, al
igual que se hace en las progresiones aritmticas.
2.4SUMA DE VARIOS TRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIN
GEOMTRICA
Se denotar por Sna la suma de n trminos consecutivos de
una progresin geomtrica:
Sn= a1+ a2+... + an-1 + an
Para obtener una frmula que permita hacer este clculo de un
modo rpido, se multiplican ambos miembros de la igualdad
por la razn:
Sn r = (a1+ a2+ ... + an-1+ an) r
Sn r = a1r + a2r + ... + an-1r + anr,
y teniendo en cuenta que al multiplicar un trmino por la razn
se obtiene el trmino siguiente,
Sn r = a2+ a3+ ... + an+ an r
Restando ahora a esta igualdad la primera:
Sn r = a2+ a3+ ... + an+ an r
Sn= a1+ a2+ ... + an-1+ an
Sn r Sn= -a1+ an r
Sn(r - 1) = an r a1
Despejando Sn,
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
OBJETIVOS
Reconocer las formas que se presentan una serie
geomtrica
El alumno al finalizar este captulo debe tener
nocin para poder desarrollar todo tipo de
problemas respecto a series geomtricas.
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
INTRODUCCION
Es conocido el problema de calcular en cunto tiempo se
doblara una cantidad de dinero a un determinado interscompuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo
cual hace pensar que conocan de alguna manera la frmula del
inters compuesto y, por tanto, las progresiones geomtricas.
En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una
frmula, semejante a la actual, de la suma de n trminos
consecutivos de una progresin geomtrica. Bhaskara, matemtico
hind del siglo XII, plantea en su ms conocida obra, el Lilavati,
diversos problemas sobre progresiones aritmticas y geomtricas.
3.1 SERIES
Una serie es una suma formada por un nmero ilimitado de
sumandos, y provista de una ley determinada que define cada
termino en funcin de su rango. La frmula algebraica que
expresa esta ley se denomina trmino general de la serie.
Los trminos que forman una serie pueden ser reales o
imaginarios, positivos o negativos. Pero nos ocuparemos de las
series de trminos reales.
Indicaremos los diversos trminos de una serie por la notacin
Tiende a un lmite infinito, cuando n tiende al infinito. Esto
quiere decir que la sucesin. definida de la manerasiguiente:
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Tenga un lmite finito y fijo de S, cuando n crezca
indefinidamente que es lo que se llama, aunque
incorrectamente, suma de la serie.
Pero si la sucesin crece indefinidamente a medidaque , se dice que el lmite es infinito y que la serie esdivergente. Si el lmite de no es , ni , ni seaproxima a un numero determinado fijo, sino que oscila entre y , o entre varios valores infinitos; la eleccindepende del carcter del entero n, por consideraciones tales
como la siguiente: que n sea par o impar, o que sea de la
forma: , se dice que la serie es oscilante.Con oscilacin infinita en el primer caso y finita en el segundo.Si todo los trminos tiene el mismo signo la serie no puede
oscilar, porque ella va aumentando en valor absoluta
continuamente.
Consideramos como ejemplo la progresin geomtrica.
Se sabe que la suma de n trminos es:
Si el valor absoluto de r o sea ||es menor que 1, el valor de
cuando n crezca indefinidamente tendera a 0, y la suma
se deduce en el lmite a:
Que es finita, luego la serie es convergente.
Si ||es mayor que 1, sucede que rncrece sin lmite cuando ntiende al infinito, luego la serie ser divergente; en el caso de
que , entonces la frmula para se presenta en formaindeterminada, pero la progresin viene a ser:
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Cuya suma es:
Que para , nos da:
O sea que es divergente tambin.
Cuando r = -1 se tiene la serie en la forma:
La suma ser cero si n es par, y a si n es impar. La serieser en este caso.
Anlogamente a como se ha procedido en el ejemplo anterior,
puede procederse en todos aquellos casos en los que se
conozca el valor general de las sumas .Pero en muchos casos no se conoce este valor, lo cual hace
necesario otras reglas.
3.2 CARCTER GENERAL DE CONVERGENCIA.
La condicin necesaria y suficiente para que la sucesin, tenga un lmite, o lo que es lo mismo para quela serie correspondiente sea con ver gente, es que dado un
numero positivo e (tan pequeo como se quiere) sea posible
determinar un nmero entero v tal que para todos los valoresde se verifique que:
Cualquiera que sea el entero p.
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
OBJETIVOS
Determinar las 4 formas de representar los
nmeros complejos
El alumno al finalizar este captulo debe saber
desarrollar todo tipo de problemas respecto
nmeros complejos.
4
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
INTRODUCCION
Los algebristas de los siglos XV y XVI, al resolver ecuaciones de
segundo grado, por ejemplo: y obtener laexpresin decan que no era posible extraer la razcuadrada de un nmero negativo y por tanto la ecuacin no tenasolucin. Pero en algn momento los algebristas se decidieron a
operar con estas expresiones como si se tratara de nmeros
reales:
Y seguan operando con
como si se tratara de un nmero
real. Fue en 1777 cuando Euler le dio a el nombre de i (porimaginario) y a partir de entonces se ha desarrollado toda lateora de los nmeros complejos. En estas notas vamos a dar
solamente unos breves conceptos de distintas formas de expresarlos nmeros complejos y como se trabaja con ellos. Pero antes de
empezar una advertencia: aunque histricamente (y vulgarmente)
se llama i a la raz cuadrada de 1 esta expresin no es
totalmente cierta. Si as fuera obtendramos la siguiente cadena de
igualdades que no es posible,...Verdad?
4.1 NUMERO COMPLEJO EN FORMA DE PAR ORDENADO
Nombraremos nmeros complejos a todo par ordenado de
nmeros reales el cual denotaremos por Se denota:
* +4.1.1 EL PLANO COMPLEJO
Entre los nmeros complejos y los puntos del plano
cartesiano, existe una correspondencia biunvoca, de tal
amera que todo nmero complejo se puederepresentar geomtricamente por un segmento orientado,
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
que tiene su origen, en el origen de coordenadas y su
extremo en el punto
4.1.2 OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA DE PAR ORDENADO
a) IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS.
Dos nmeros complejos son iguales cunado tienen iguales
su parte real y su parte imaginaria, es decir:
b) SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS
La suma de dos nmeros complejos, es un nmero
complejo, que tiene por parte real a la suma de las partes
reales de los sumandos y la parte imaginaria a la suma de
las partes imaginarias de la misma, es decir:
c) RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS
Sean
y
dos nmeros complejos,
definimos la diferencia por: d) MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Sean y dos nmeros complejos, alproducto de y definiremos por:
Y
bZ=(a, b)
a x
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e) DIVISION DE UN NUMERO COMPLEJOS
Sean , sabiendo , la divisin de definiremos por:
de esta definicin obtendremos la regla para la divisinSi entonces:
( ) . /
4.2 NUMERO COMPLEJO EN FORMA BINOMICA (CUADRADA)
El nmero complejo se define como una expresin de la forma
Donde x e y son nmeros enteros
Este tipo de expresin, , y se denomina formaBinmica.
Se llama parte real de al nmero real , que sedenota Re (z), y parte imaginaria de , al numero real
y, que se denota Im (z), por lo que se tiene entonces que: El conjunto de los nmeros complejos es: por lo tanto
* +Esta construccin permite considerar a los nmeros reales
como un sub conjunto de los nmeros complejos de parte
imaginaria nula. As, los nmeros complejos de la forma son nmeros reales y se denominan numerosimaginarios a los de la forma , es decir, con su partereal nula.
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4 2 1 OPERACIONES EN FORMA BINOMICA
Las operaciones de suma y producto definidas en los nmeros
reales se pueden extender a los nmeros complejos. Para la
suma y el producto de dos nmeros complejos escritos de laforma se tiene en cuenta laspropiedades usuales del algebra con lo que se define:
a) IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS.
Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen iguales
su parte real y su parte imaginaria, es decir:
b) SUMA DE NUMEROS COMPLEJOSSean y dos nmeros complejos,definimos la adicin por:
,-c) RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS
Sean y dos nmeros complejos,definimos la diferencia por: , -
d) MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Sean y dos nmeros complejos, alproducto de
y
definiremos por:
, -e) DIVISION DE UN NUMERO COMPLEJOS
Sean , sabiendo , la divisin de definiremos por:
[(
) (
) ]
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
Que esto llamamos forma polar o trigonomtrica de un nmero
complejo:
Dnde:
Argumento de z Modulo4 3 2 OPERACIONES EN FORMA POLAR
a) ADICION Y SUSTRACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Para las operaciones debemos de seguir algunos pasos:
Si los nmeros complejos que vamos a desarrollar seobserva que presentan ngulos notables, lo llevamos a
su forma Binmica ya conocida y a continuacin
realizamos la operacin correspondiente.
Si los nmeros complejos a operar no se presentan
ngulos notables hay que seguir algunos
transformaciones trigonomtricas.
b) MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Sea:
y
, -c) DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS
Sea:
y
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, -
d) POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Sea:
,-
e) POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS
,- [ ( ) ( )]
NOTA: Dependiendo el valor que tome n, k toma el valor
para desarrollar la raz
4.3 NUMERO COMPLEJO EN FORMA EXPONENCIAL
Sea:
Definimos la exponencial compleja por:
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UNDAC MATEMATICA BASICA II
e: nmero de Euler, que es hallado la frmula de Euler.
Entonces multiplicamos a ambos miembros por r:
Donde:
r = Modulo
e = base del logaritmo neperiano
i = unidad imaginaria
= ngulo expresado en radianes
PROPIEDADES:
Si en la frmula de Euler sustituimos por , es decir:=
Si lo sumamos:
Si lo restamos: